高考数学二轮总复习专题训练二 基本初等函数的图象与性质 理
2016届广东省高考数学二轮专题复习函数、基本初等函数的图象与性质01
函数、基本初等函数的图象与性质1． 函数的概念及其表示两个函数只有当它们的三要素完全相同时才表示同一函数，定义域和对应关系相同的两个函数是同一函数．2． 函数的性质(1)单调性：单调性是函数在其定义域上的局部性质．利用定义证明函数的单调性时，规范步骤为取值、作差、判断符号、下结论．复合函数的单调性遵循“同增异减”的原则．(2)奇偶性：奇偶性是函数在定义域上的整体性质．偶函数的图象关于y 轴对称，在关于坐标原点对称的定义域区间上具有相反的单调性；奇函数的图象关于坐标原点对称，在关于坐标原点对称的定义域区间上具有相同的单调性．(3)周期性：周期性是函数在定义域上的整体性质．若函数满足f (a ＋x )＝f (x )(a 不等于0)，则其一个周期T ＝|a |.3． 指数函数、对数函数和幂函数的图象和性质(1)指数函数y ＝a x (a >0，a ≠1)与对数函数y ＝log a x (a >0，a ≠1)的图象和性质，分0<a <1，a >1两种情况，着重关注两函数图象中的两种情况的公共性质．(2)幂函数y ＝x α的图象和性质，分幂指数α>0，α<0两种情况．4． 熟记对数式的五个运算公式log a (MN )＝log a M ＋log a N ；log a M N ＝log a M －log a N ；log a M n ＝n log a M ；a log a N ＝N ；log a N ＝log b N log b a(a >0且a ≠1，b >0且b ≠1，M >0，N >0)．提醒：log a M －log a N ≠log a (M －N )，log a M ＋log a N ≠log a (M ＋N )．5． 与周期函数有关的结论(1)若f (x ＋a )＝f (x ＋b )(a ≠b )，则f (x )是周期函数，其中一个周期是T ＝|a －b |.(2)若f (x ＋a )＝－f (x )，则f (x )是周期函数，其中一个周期是T ＝2a .(3)若f (x ＋a )＝1f (x )或f (x ＋a )＝－1f (x )，则f (x )是周期函数，其中一个周期是T ＝2a . 提醒：若f (x ＋a )＝f (－x ＋b )(a ≠b )，则函数f (x )关于直线x ＝a ＋b 2对称.考点一 函数及其表示例1 (1)若函数y ＝f (x )的定义域是[0,2]，则函数g (x )＝f (2x )ln x的定义域是________． 答案 (0,1)【详细分析】由函数y ＝f (x )的定义域是[0,2]得，函数g (x )有意义的条件为0≤2x ≤2且x >0，x ≠1，故x ∈(0,1)．(2)设函数y ＝f (x )在R 上有定义，对于给定的正数M ，定义函数f M (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧f (x )，f (x )≤M ，M ，f (x )>M ，则称函数f M (x )为f (x )的“孪生函数”．若给定函数f (x )＝2－x 2，M ＝1，则f M (f M (0))的值为________．答案 1【详细分析】由题意，令f (x )＝2－x 2＝1，得x ＝±1，因此当x ≤－1或x ≥1时，f M (x )＝2－x 2；当－1<x <1时，f M (x )＝1，所以f M (0)＝1，f M (f M (0))＝f M (1)＝2－12＝1.(1)求函数定义域的类型和相应方法①若已知函数的解析式，则这时函数的定义域是使解析式有意义的自变量的取值范围，只需构建并解不等式(组)即可，函数f (g (x ))的定义域应由不等式a ≤g (x )≤b 解出． ②实际问题或几何问题除要考虑解析式有意义外，还应使实际问题有意义．(2)求函数值时应注意形如f (g (x ))的函数求值时，应遵循先内后外的原则；而对于分段函数的求值(解不等式)问题，必须依据条件准确地找出利用哪一段求解．(1)若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，x ≥4，f (x ＋3)，x <4，则f (log 23)＝________. (2)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1， x ≥0，1， x <0，则满足不等式f (1－x 2)>f (2x )的x 的取值范围是________．答案 (1)24 (2)(－1，2－1)【详细分析】(1)f (log 23)＝f (log 23＋3)＝f (log 224)＝2log 224＝24.(2)当x ≥0时，f (x )＝x 2＋1是增函数；当x <0时f (x )＝1，因此由题设f (1－x 2)>f (2x )得，⎩⎪⎨⎪⎧ 1－x 2>02x <0或⎩⎪⎨⎪⎧1－x 2>2x ，2x ≥0. 解之得－1<x <0或0≤x <2－1.故所求实数x 的取值范围是(－1，2－1)．考点二 函数的性质例2 (1)已知函数f (x )＝x 3＋x ，对任意的m ∈[－2,2]，f (mx －2)＋f (x )<0恒成立，则x 的取值范围为________．答案 ⎝⎛⎭⎫－2，23 【详细分析】f ′(x )＝3x 2＋1>0，∴f (x )为增函数．又f (x )为奇函数，由f (mx －2)＋f (x )<0知，f (mx －2)<f (－x )．∴mx －2<－x ，即mx ＋x －2<0，令g (m )＝mx ＋x －2，由m ∈[－2,2]知g (m )<0恒成立，即⎩⎪⎨⎪⎧g (－2)＝－x －2<0g (2)＝3x －2<0，∴－2<x <23. (2)设奇函数y ＝f (x ) (x ∈R )，满足对任意t ∈R 都有f (t )＝f (1－t )，且x ∈⎣⎡⎦⎤0，12时，f (x )＝－x 2，则f (3)＋f ⎝⎛⎭⎫－32的值等于________． 答案 －14【详细分析】根据对任意t ∈R 都有f (t )＝f (1－t )可得f (－t )＝f (1＋t )，即f (t ＋1)＝－f (t )，进而得到f (t ＋2)＝－f (t ＋1)＝－[－f (t )]＝f (t )，得函数y ＝f (x )的一个周期为2，故f (3)＝f (1)＝f (0＋1)＝－f (0)＝0，f ⎝⎛⎭⎫－32＝f ⎝⎛⎭⎫12＝－14.所以f (3)＋f ⎝⎛⎭⎫－32＝0＋⎝⎛⎭⎫－14＝－14. 函数的性质主要是函数的奇偶性、单调性和周期性以及函数图象的对称性，在解题中根据问题的条件通过变换函数的解析式或者已知的函数关系，推证函数的性质，根据函数的性质解决问题．(1)已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且在区间[0，＋∞)上单调递增．若实数a 满足f (log 2a )＋f (log 12a )≤2f (1)，则a 的取值范围是________． (2)已知f (x )是定义在R 上的奇函数，且当x >0时，f (x )＝e x ＋a ，若f (x )在R 上是单调函数，则实数a 的最小值是________．答案 (1)⎣⎡⎦⎤12，2 (2)－1【详细分析】(1)由题意知a >0，又log 12a ＝log 2a －1＝－log 2a . ∵f (x )是R 上的偶函数，∴f (log 2a )＝f (－log 2a )＝f (log 12a )． ∵f (log 2a )＋f (log 12a )≤2f (1)，∴2f (log 2a )≤2f (1)，即f (log 2a )≤f (1)．又因f (x )在[0，＋∞)上递增．∴|log 2a |≤1，－1≤log 2a ≤1，∴a ∈⎣⎡⎦⎤12，2.(2)依题意得f (0)＝0.当x >0时，f (x )>e 0＋a ＝a ＋1.若函数f (x )在R 上是单调函数，则有a ＋1≥0，a ≥－1，因此实数a 的最小值是－1.考点三 函数的图象例3 形如y ＝b |x |－a(a >0，b >0)的函数，因其图象类似于汉字中的“囧”字，故我们把它称为“囧函数”．若当a ＝1，b ＝1时的“囧函数”与函数y ＝lg|x |图象的交点个数为n ，则n ＝________.答案 4【详细分析】由题意知，当a ＝1，b ＝1时，y ＝1|x |－1＝⎩⎨⎧ 1x －1(x ≥0且x ≠1)，－1x ＋1(x <0且x ≠－1)，在同一坐标系中画出“囧函数”与函数y ＝lg|x |的图象如图所示，易知它们有4个交点．(1)作图：常用描点法和图象变换法．图象变换法常用的有平移变换、伸缩变换和对称变换．尤其注意y ＝f (x )与y ＝f (－x )、y ＝－f (x )、y ＝－f (－x )、y ＝f (|x |)、y ＝|f (x )|及y ＝af (x )＋b 的相互关系．(2)识图：从图象与轴的交点及左、右、上、下分布范围、变化趋势、对称性等方面找准解析式与图象的对应关系．(3)用图：图象形象地显示了函数的性质，因此，函数性质的确定与应用及一些方程、不等式的求解常与图象数形结合研究．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2x ，x ≤0，ln (x ＋1)，x >0.若|f (x )|≥ax ，则a 的取值范围是________． 答案 [－2,0]【详细分析】函数y ＝|f (x )|的图象如图．①当a ＝0时，|f (x )|≥ax 显然成立．②当a >0时，只需在x >0时，ln(x ＋1)≥ax 成立．比较对数函数与一次函数y ＝ax 的增长速度．显然不存在a >0使ln(x ＋1)≥ax 在x >0上恒成立．③当a <0时，只需在x <0时，x 2－2x ≥ax 成立．即a ≥x －2成立，∴a ≥－2.综上所述：－2≤a ≤0.考点四 基本初等函数的图象及性质例4 (1)若函数f (x )＝若f (a )>f (－a )，则实数a 的取值范围是________．(2)已知a ＝，b ＝，c ＝，则a 、b 、c 大小关系为________．答案 (1)(－1,0)∪(1，＋∞) (2)a >c >b【详细分析】(1)方法一 由题意作出y ＝f (x )的图象如图．显然当a >1或－1<a <0时，满足f (a )>f (－a )．方法二 对a 分类讨论：当a >0时，log 2a >log 12a ，即log 2a >0，∴a >1. 当a <0时，log 12(－a )>log 2(－a )，即log 2(－a )<0， ∴－1<a <0，故－1<a <0或a >1.(2)∵a ＝，b ＝，c ＝＝5log 3313， 根据y ＝a x 且a ＝5，知y 是增函数．又∵log 23.4>log 3313>1,0<log 43.6<1， ∴5log 23.4>(15)log 30.3>5log 43.6，即a >c >b . (1)指数函数、对数函数、幂函数是中学阶段所学的基本初等函数，是对口升学的必考内容之一，重点考查图象、性质及其应用，同时考查分类讨论、等价转化等数学思想方法及其运算能力．(2)比较指数函数值、对数函数值、幂函数值大小有三种方法：一是根据同类函数的单调性进行比较；二是采用中间值0或1等进行比较；三是将对数式转化为指数式，或将指数式转化为对数式，通过转化进行比较．(1)已知a ＝21.2，b ＝⎝⎛⎭⎫12－0.8，c ＝2log 52，则a ，b ，c 的大小关系为________．(2)使log 2(－x )<x ＋1成立的x 的取值范围是________．答案 (1)c <b <a (2)(－1,0)【详细分析】(1)利用中间值判断大小．b ＝⎝⎛⎭⎫12－0.8＝20.8<21.2＝a ， c ＝2log 52＝log 522<log 55＝1<20.8＝b ，故c <b <a .(2)作出函数y ＝log 2(－x )及y ＝x ＋1的图象．其中y ＝log 2(－x )及y ＝log 2x 的图象关于 y 轴对称，观察图象(如图所示)知，－1<x <0，即x ∈(－1,0)．也可把原不等式化为⎩⎪⎨⎪⎧－x >0，－x <2x ＋1后作图．1． 判断函数单调性的常用方法(1)能画出图象的一般用数形结合法去观察．(2)由基本初等函数通过加、减运算或复合而成的函数，常转化为基本初等函数单调性的判断问题．(3)对于解析式较复杂的一般用导数法．(4)对于抽象函数一般用定义法．2． 函数奇偶性的应用函数的奇偶性反映了函数图象的对称性，是函数的整体特性．利用函数的奇偶性可以把研究整个函数具有的性质问题转化到只研究部分(一半)区间上，是简化问题的一种途径．尤其注意偶函数f (x )的性质：f (|x |)＝f (x )．3． 函数图象的对称性(1)若函数y ＝f (x )满足f (a ＋x )＝f (a －x )，即f (x )＝f (2a －x )，则f (x )的图象关于直线x ＝a 对称．提醒：函数y ＝f (a ＋x )与y ＝f (a －x )的图象对称轴为x ＝0，并非直线x ＝a .(2)若f (x )满足f (a ＋x )＝f (b －x )，则函数f (x )的图象关于直线x ＝a ＋b 2对称． (3)若函数y ＝f (x )满足f (x )＝2b －f (2a －x )，则该函数图象关于点(a ，b )成中心对称．4． 二次函数、一元二次方程和一元二次不等式是一个有机的整体，要深刻理解它们之间的相互关系，能用函数与方程、分类讨论、数形结合思想来研究与“三个二次”有关的问题，对口升学对“三个二次”知识的考查往往渗透在其他知识之中，并且大都出现在解答题中．5． 指数函数、对数函数的图象和性质受底数a 的影响，解决与指、对数函数特别是与单调性有关的问题时，首先要看底数a 的范围．比较两个对数的大小或解对数不等式或解对数方程时，一般是构造同底的对数函数，若底数不同，可运用换底公式化为同底的对数，三数比较大小时，注意与0比较或与1比较．6． 解决与本讲有关的问题应注意函数与方程、数形结合、分类讨论、化归与转化等思想的运用．。
高考数学二轮三轮总复习专题课件 专题1第2讲 函数、基本初等函数的图象与性质 理 北师大
第2讲│ 主干知识整合
(3)若 函 数 f(x)的 图 象 有 一 条 对 称 轴 x＝ a 和 一 个 对 称 中 心 (b,0)(a≠b)，则函数 f(x)是周期函数，4|b－a|是它的一个正周期，特 别是若偶函数 f(x)有对称中心(a,0)(a≠0)，则函数 f(x)是周期函数， 4|a|是它的一个正周期，若奇函数 f(x)有对称轴 x＝a(a≠0)，则函数 f(x)是周期函数，4|a|是它的一个正周期．
3．函数的图象 (1)指数函数、对数函数和幂函数、一次函数、二次函数等初等 函数的图象的特点； (2)函数的图象变换主要是平移变换、伸缩变换和对称变换．
第2讲│ 主干知识整合
4．指数函数、对数函数和幂函数的图象和性质(注意根据图象 记忆性质)
指数函数 y＝ax(a>0，a≠1)的图象和性质，分 0<a<1，a>1 两种 情况；对数函数 y＝logax(a>0，a≠1)的图象和性质，分 0<a<1，a>1 两种情况；幂函数 y＝xα 的图象和性质，分幂指数 α>0，α＝0，α<0 三种情况．
x∈0，12
时，
f(x)＝－x2，则 f(3)＋f－32的值等于________．
第2讲 │ 要点热点探究
(1)A (2)－14 【解析】 (1)法一：∵f(x)是定义在 R 上的奇函数，且 x≤0 时，f(x) ＝ 2x2－x，
∴f(1)＝－f(－1)＝－2×(－1)2＋(－1)＝－3，故选 A. 法二：设 x>0，则－x<0，∵f(x)是定义在 R 上的奇函数，且 x≤0 时，f(x) ＝ 2x2－x，∴f(－x)＝2(－x)2－(－x)＝2x2＋x，又 f(－x)＝－f(x)， ∴f(x)＝－2x2－x，∴f(1)＝－2×12－1＝－3，故选 A. (2)根据对任意 t∈R都有 f(t)＝f(1－t)可得 f(－t)＝f(1＋t)，即 f(t＋1)＝－f(t)， 进而得到 f(t＋2)＝－f(t＋1)＝－[－f(t)]＝f(t)，得函数 y＝f(x)的一个周期为 2， 故 f(3)＝f(1)＝f(0＋1)＝－f(0)＝0，f－32＝f12＝－14.所以 f(3)＋f－32的值是 0 ＋－14＝－14.
高考数学二轮复习专题能力训练基本初等函数、函数的图象与性质
专题能力训练4 基本初等函数、函数的图象与性质专题能力训练第14页一、能力突破训练1.下列函数在其定义域上既是奇函数又是减函数的是( ) A.f (x )=-x|x| B.f (x )=x sin x C.f (x )=1x D.f (x )=x 12答案:A解析:函数f (x )={-x 2,x ≥0,x 2,x <0在其定义域上既是奇函数又是减函数,故选A .2.(2019全国Ⅱ,理6)若a>b ,则( ) A.ln(a-b )>0 B.3a <3b C.a 3-b 3>0 D.|a|>|b| 答案:C解析:取a=2,b=1,满足a>b.但ln(a-b )=0,排除A; ∵3a =9,3b =3,∴3a >3b ,排除B;∵y=x 3是增函数,a>b ,∴a 3>b 3,故C 正确;取a=1,b=-2,满足a>b ,但|a|<|b|,排除D . 故选C .3.函数y=-x 4+x 2+2的图象大致为( )答案:D解析:当x=0时,y=2>0,排除A,B;当x=12时,y=-(12)4+(12)2+2>2.排除C .故选D . 4.(2019吉林长春质监(四))已知f (x )=sin x+1sinx +ax 2,若f (π2)=2+π,则f (-π2)=( ) A.2-πB.π-2C.2D.π解析:因为f(x)=sin x+1sinx +ax2,f(π2)=2+π,所以f(π2)=1+1+π2a4=2+π,因此π2a4=π,故a=4π;所以f(-π2)=-1-1+4π×π24=-2+π.故选B.5.已知函数f(x)={2x-1-2,x≤1,-log2(x+1),x>1,且f(a)=-3,则f(6-a)=()A.-74B.-54C.-34D.-14答案:A解析:∵f(a)=-3,∴当a≤1时,f(a)=2a-1-2=-3,即2a-1=-1,此等式显然不成立.当a>1时,f(a)=-log2(a+1)=-3,即a+1=23,解得a=7.∴f(6-a)=f(-1)=2-1-1-2=14-2=-74.6.已知f(x)是定义域为(-∞,+∞)内的奇函数,满足f(1-x)=f(1+x),若f(1)=2,则f(1)+f(2)+f(3)+…+f(50)=()A.-50B.0C.2D.50答案:C解析:∵f(-x)=f(2+x)=-f(x),∴f(x+4)=f[(x+2)+2]=-f(x+2)=f(x).∴f(x)的周期为4.∵f(x)为R上的奇函数,∴f(0)=0.∵f(2)=f(1+1)=f(1-1)=f(0)=0,f(3)=f(-1)=-f(1)=-2,f(4)=f(0),∴f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=0.∴f(1)+f(2)+…+f(50)=f(49)+f(50)=f(1)+f(2)=2.7.已知a>b>1,若log a b+log b a=52,a b=b a,则a=,b=.答案:4 2解析:设log b a=t,由a>b>1,知t>1.由题意,得t+1t =52,解得t=2,则a=b2.由a b=b a,得b2b=b b2,即得2b=b2,即b=2,故a=4.8.若函数f(x)=x ln(x+√a+x2)为偶函数,则a=.解析:∵f (x )是偶函数,∴f (-1)=f (1). 又f (-1)=-ln(-1+√a +1)=ln√a+1+1a,f (1)=ln(1+√a +1),因此ln(√a +1+1)-ln a=ln(√a +1+1), 于是ln a=0, ∴a=1.9.已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数,且在区间[0,+∞)内单调递增.若实数a 满足f (log 2a )+f (lo g 12a )≤2f (1),则a 的取值范围是 .答案:[12,2]解析:由题意知a>0,又lo g 12a=log 2a -1=-log 2a.∵f (x )是R 上的偶函数, ∴f (log 2a )=f (-log 2a )=f (lo g 12a ).∵f (log 2a )+f (lo g 12a )≤2f (1),∴2f (log 2a )≤2f (1),即f (log 2a )≤f (1). 又f (x )在区间[0,+∞)内单调递增,∴|log 2a|≤1,-1≤log 2a ≤1,∴a ∈[12,2].10.设奇函数y=f (x )(x ∈R ),满足对任意t ∈R 都有f (t )=f (1-t ),且当x ∈[0,12]时,f (x )=-x 2,则f (3)+f (-32)的值等于.答案:-14解析:根据对任意t ∈R 都有f (t )=f (1-t )可得f (-t )=f (1+t ),即f (t+1)=-f (t ),进而得到f (t+2)=-f (t+1)=-[-f (t )]=f (t ),得函数y=f (x )的一个周期为2,则f (3)=f (1)=f (0+1)=-f (0)=0,f (-32)=f (12)=-14,所以f (3)+f (-32)=0+(-14)=-14. 11.设函数f (x )=(x+1)2+sinxx 2+1的最大值为M ,最小值为m ,则M+m= .答案:2 解析:f (x )=(x+1)2+sinxx 2+1=1+2x+sinx x 2+1,设g(x)=2x+sinxx2+1,则g(-x)=-g(x),故g(x)是奇函数.由奇函数图象的对称性知g(x)max+g(x)min=0,则M+m=[g(x)+1]max+[g(x)+1]min=2+g(x)max+g(x)min=2.12.若不等式3x2-log a x<0在x∈(0,13)内恒成立,求实数a的取值范围.解:由题意知3x2<log a x在x∈(0,13)内恒成立.在同一平面直角坐标系内,分别作出函数y=3x2和y=log a x的图象.观察两函数图象,当x∈(0,13)时,若a>1,则函数y=log a x的图象显然在函数y=3x2图象的下方,所以不成立;当0<a<1时,由图可知,y=log a x的图象必须过点(13,13)或在这个点的上方,则log a13≥13,所以a≥127,所以127≤a<1.综上,实数a的取值范围为127≤a<1.二、思维提升训练13.函数y=cos6x2-2-x的图象大致为()答案:D解析:y=cos6x2-2-x 为奇函数,排除A 项;y=cos6x 有无穷多个零点,排除C 项;当x 在原点右侧附近时,可保证2x -2-x >0,cos6x>0,则此时y>0,故选D . 14.已知f (x )是定义在R 上的偶函数,当x>0时,f (x )={ax +log 5x ,x >4,x 2+2x +3,0<x ≤4,若f (-5)<f (2),则a 的取值范围为( ) A.(-∞,1) B.(-∞,2) C.(-2,+∞) D.(2,+∞)答案:B解析:因为f (x )是定义在R 上的偶函数, 所以f (-5)=f (5)=5a+log 55=1+5a , 则不等式f (-5)<f (2)可化为f (5)<f (2).又f (2)=4+4+3=11,所以由5a+1<11可得a<2,故选B . 15.已知函数f (x )(x ∈R )满足f (-x )=2-f (x ),若函数y=x+1x与y=f (x )图象的交点为(x 1,y 1),(x 2,y 2),…,(x m ,y m ),则∑i=1m(x i +y i )=( )A.0B.mC.2mD.4m 答案:B解析:由f (-x )=2-f (x ),得f (x )的图象关于点(0,1)对称. 而y=x+1x=1+1x 的图象是由y=1x 的图象向上平移一个单位长度得到的,故y=x+1x的图象关于点(0,1)对称. 则函数y=x+1x与y=f (x )图象的交点也关于点(0,1)对称,且每一组对称点(x i ,y i ),(x'i ,y'i )(i=1,2,…,m )满足x i +x'i =0,y i +y'i =2, 所以∑i=1m(x i +y i )=∑i=1mx i +∑i=1my i =m2×0+m2×2=m.16.已知函数f (x )={2x ,x >0,-x 2-2x +1,x ≤0,若f (f (a ))=4,则a= .答案:1或-1解析:令m=f (a ),则f (m )=4,当m>0时,由2m =4,解得m=2;当m ≤0时,-m 2-2m+1=3,无解,故f (a )=2.当a>0时,由2a =2,解得a=1;当a ≤0时,由-a 2-2a+1=2,解得a=-1.综上可知,a=1或a=-1.故答案为1或-1.17.设f (x )是定义在R 上且周期为2的函数,在区间[-1,1]上,f (x )={ax +1,-1≤x <0,bx+2x+1,0≤x ≤1,其中a ,b ∈R .若f (12)=f (32),则a+3b 的值为 .答案:-10解析:∵f (32)=f (12),∴f (12)=f (-12),∴12b+232=-12a+1,易求得3a+2b=-2.又f (1)=f (-1),∴-a+1=b+22,即2a+b=0,∴a=2,b=-4,∴a+3b=-10.18.若函数e x f (x )(e =2.718 28…是自然对数的底数)在f (x )的定义域上单调递增,则称函数f (x )具有M 性质.下列函数中所有具有M 性质的函数的序号为 .①f (x )=2-x ②f (x )=3-x ③f (x )=x 3 ④f (x )=x 2+2 答案:①④解析:对①,设g (x )=e x ·2-x ,则g'(x )=e x (2-x +2-x ln 12) =e x ·2-x ·(1+ln 12)>0,∴g (x )在R 上单调递增,具有M 性质; 对②,设g (x )=e x ·3-x ,则g'(x )=e x (3-x +3-x ln 13) =e x ·3-x (1+ln 13)<0,∴g (x )在R 上单调递减,不具有M 性质; 对③,设g (x )=e x ·x 3,则g'(x )=e x ·x 2(x+3),令g'(x )=0,得x 1=-3,x 2=0,∴g (x )在区间(-∞,-3)内单调递减,在区间(-3,+∞)内单调递增,不具有M 性质; 对④,设g (x )=e x (x 2+2),则g'(x )=e x (x 2+2x+2), ∵x 2+2x+2=(x+1)2+1>0,∴g'(x )>0,∴g (x )在R 上单调递增,具有M 性质.故填①④. 19.已知函数f (x )=e x -e -x (x ∈R ,且e 为自然对数的底数). (1)判断函数f (x )的奇偶性与单调性.(2)是否存在实数t ,使不等式f (x-t )+f (x 2-t 2)≥0对一切x 都成立?若存在,求出t ;若不存在,请说明理由.解:(1)∵f (x )=e x-(1e )x,且y=e x 是增函数, y=-(1e )x是增函数,∴f (x )是增函数.∵f (x )的定义域为R ,且f (-x )=e -x -e x =-f (x ), ∴f (x )是奇函数.(2)由(1)知f (x )是增函数且为奇函数.∵f (x-t )+f (x 2-t 2)≥0对x ∈R 恒成立, ∴f (x-t )≥f (t 2-x 2),∴t 2-x 2≤x-t , ∴x 2+x ≥t 2+t 对x ∈R 恒成立.又(t +12)2≤(x +12)2对一切x ∈R 恒成立,∴(t +12)2≤0,∴t=-12.即存在实数t=-12,使不等式f (x-t )+f (x 2-t 2)≥0对一切x 都成立.。
高考数学二轮复习(考点梳理+热点突破)第二讲 函数、基本初等函数的图象与性质课件
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Z主 干考点
(kǎo
diǎn) 梳理
解析 对A，没有幂函数的图象；对B，f(x)＝xa(x＞0)中a
＞1，g(x)＝logax中0＜a＜1，不符合(fúhé)题意；对C，f(x)
＝xa(x＞0)中0＜a＜1，g(x)＝logax中a＞1，不符合(fúhé)题
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随堂讲义·第一部分 知识复习专题 专题一 集合、常用逻辑(luójí)用语、函数与导
数 第二讲 函数、基本初等函数的图象与性质
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高考预测 函数的图象与性质历来是高考的重点，也是热点，一般以选 择题或填空题的形式考查．对于函数图象的考查体现在两个(liǎnɡ ɡè)方面：一是识图；二是用图，即通过函数的图象，通过数形结 合的思想方法解决问题，对于函数的性质，主要考查函数单调性 、奇偶性、周期性，也可能考查求函数的定义域和简单函数的值
0＜a＜1 时，在(0，＋∞)
上是⑩_减__函__数_
a○ 1＞2_增_1_时函__，_数在(0，＋∞)上是
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0＜a＜1，
当 x＞1 时，○ 15_y_＜__0__；
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当 0＜x＜1 时，○ 16_y_＞__0
a＞1，
当 x＞1 时，○ 19_y_＞__0__； 当 0＜x＜1 时，○ 20_y_＜__0
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Z主 干考点
(kǎo
diǎn) 梳理
3．函数 y＝f(x)(x∈R)的图象如下图所示，下列说法 正确的是( C )
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目
①函数 y＝f(x)满足 f(－x)＝－f(x)；
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②函数 y＝f(x)满足 f(x＋2)＝f(－x)；
高三理科数学二轮复习专题能力提升训练：函数、基本初等函数的图象和性质(含答案解析).pdf
训练 函数、基本初等函数的图象和性质 一、选择题(每小题5分，共25分) 1．函数f(x)＝＋lg(1＋x)的定义域是( )． A．(－∞，1) B．(1，＋∞) C．(－1,1)(1，＋∞) D．(－∞，＋∞) 2．如果x＜y＜0，那么( )． A．y＜x＜1 B．x＜y＜1 C．1＜x＜y D．1＜y＜x 3．下列四个函数中，是奇函数且在区间(－1,0)上为减函数的是( )． A．y＝|x| B．y＝ C．y＝log2|x| D．y＝ 4．已知函数f(x)＝ex－1，g(x)＝－x2＋4x－3.若有f(a)＝g(b)，则b的取值范围为( )． A．[2－，2＋] B．(2－，2＋) C．[1,3] D．(1,3) 5．已知函数y＝f(x)的周期为2，当x[－1,1]时f(x)＝x2，那么函数y＝f(x)的图象与函数y＝|lg x|的图象的交点共有( )． A．10个 B．9个 C．8个 D．1个 二、填空题(每小题5分，共15分) 6．设函数f(x)＝x3cos x＋1，若f(a)＝11，则f(－a)＝______. 7．f(x)为定义在R上的以3为周期的奇函数，若f(1)＞0，f(2)＝(a＋1)(2a－3)，则a的取值范围是________． 8．函数y＝f(x)是定义在R上的奇函数，且满足f(x－2)＝－f(x)对一切xR都成立，又当x[－1,1]时，f(x)＝x3，则下列四个命题： 函数y＝f(x)是以4为周期的周期函数； 当x[1,3]时，f(x)＝(2－x)3；函数y＝f(x)的图象关于x＝1对称； 函数y＝f(x)的图象关于点(2,0)对称． 其中正确命题的序号是________． 三、解答题(本题共3小题，共35分) 9．(11分)已知aR且a≠1，求函数f(x)＝在[1,4]上的最值． 10．(12分)已知二次函数f(x)＝ax2＋bx＋1(a＞0)，F(x)＝若f(－1)＝0，且对任意实数x均有f(x)≥0成立． (1)求F(x)的表达式； (2)当x[－2,2]时，g(x)＝f(x)－kx是单调函数，求k的取值范围． 11．(12分)已知f(x)是定义在区间[－1,1]上的奇函数，且f(1)＝1，若m，n[－1,1]，m＋n≠0时，有＞0. (1)解不等式f＜f(1－x)； (2)若f(x)≤t2－2at＋1对所有x[－1,1]，a[－1,1]恒成立，求实数t的取值范围．1．C [要使函数有意义当且仅当解得x＞－1且x≠1，从而定义域为(－1,1)(1，＋∞)，故选C.] 2．D [因为y＝logx为(0，＋∞)上的减函数，所以x＞y＞1.] 3．D [选项A，y＝|x|为偶函数，因此排除；选项B，y＝＝－＝－＝－1＋对称中心为(2，－1)，在(2，＋∞)和(－∞，2)递减，不符合题意，排除；选项C，y＝log2|x|是偶函数，因此不符合题意，排除C.答案为D.] 4．B [f(a)＞－1，g(b)＞－1，－b2＋4b－3＞－1， b2－4b＋2＜0，2－＜b＜2＋.选B.] 5．A [根据f(x)的性质及f(x)在[－1,1]上的解析式可作图如下 可验证当x＝10时，y＝|lg 10|＝1；0＜x＜10时，|lg x|＜1；x＞10时，|lg x|＞1.因此结合图象及数据特点y＝f(x)与y＝|lg x|的图象交点共有10个．] 6．解析 令g(x)＝x3cos x，则f(x)＝g(x)＋1且g(x)为奇函数，所以g(－a)＝－g(a)．由f(a)＝11得，g(a)＋1＝11，所以g (a)＝10. f(－a)＝g(－a)＋1＝－g(a)＋1＝－10＋1＝－9. 答案 －9 7．解析 f(x)是周期为3的奇函数， f(2)＝f(2－3)＝f(－1)＝－f(1)＜0.(a＋1)(2a－3)＜0.解得－1＜a＜.答案 8．解析 因为函数y＝f(x)是奇函数，故有f(－x)＝－f(x)，由f(x－2)＝－f(x)可知，函数是最小正周期为4的函数，故命题正确． f(－x)＝－f(x)和f(x－2)＝－f(x)结合得到 f(x－2)＝f(－x)，故函数关于x＝－1对称， 而x[1,3]，x－2[－1,1]， f(x－2)＝(x－2)3＝－f(x)， f(x)＝－(x－2)3＝(2－x)3，故命题正确， 由上可作图，推知命题正确． 答案 9．解 任取x1，x2[1,4]，且x1＜x2，则 f(x1)－f(x2)＝－＝. x1－x2＜0，(x1＋1)(x2＋1)＞0，又aR，且a≠1. 当a－1＞0，即a＞1时，f(x1)－f(x2)＜0. 即f(x1)＜f(x2)． 函数f(x)在[1,4]上是增函数， f(x) max＝f(4)＝，f(x)min＝f(1)＝. 当a－1＜0，即a＜1时，f(x1)－f(x2)＞0， 即f(x1)＞f(x2)，函数f(x)在 [1,4]上是减函数， f(x)max＝f(1)＝，f(x)min＝f (4)＝. 10．解 (1)f(－1)＝0，a－b＋1＝0， b＝a＋1，f(x)＝ax2＋(a＋1) x＋1. f(x)≥0恒成立， ∴∴a＝1，从而b＝2，f(x)＝x2＋2x＋1， F(x)＝ (2)g(x)＝x2＋2x＋1－kx＝x2＋(2－k)x＋1. g(x)在[－2,2]上是单调函数， ≤－2，或≥2，解得k≤－2，或k≥6. 所以k的取值范围为(－∞，－2][6，＋∞)11．解 (1)任取x1、x2[－1,1]，且x2＞x1，则f(x2)－f(x1)＝f(x2)＋f(－x1)＝·(x2－x1)＞0， f(x2)＞f(x1)，f(x)是增函数． f＜f(1－x) 即不等式f＜f(1－x)的解集为. (2)由于f(x)为增函数，f(x)的最大值为f(1)＝1， f(x)≤t2－2at＋1对a[－1,1]、x[－1,1]恒成立t2－2at＋1≥1对任意a[－1,1]恒成立t2－2at≥0对任意a[－1,1]恒成立．把y＝t2－2at看作a的函数， 由a[－1,1]知其图象是一条线段， t2－2at≥0对任意a[－1,1]恒成立 ?t≤－2，或t＝0，或t≥2.。
高考数学二轮复习 专题限时集训（二）A函数、基本初等函数Ⅰ的图像与性质（解析版）
专题限时集训二A[第2讲函数、基本初等函数Ⅰ的图像与性质]时间：30分钟1．函数f＝错误!的定义域为∪1，2]∪1，2] ∪1，22．函数f＝错误!的图像是图2－13．若og a20，且a≠1，则函数f＝og a＋1的图像大致是图2－24．定义在R上的函数f满足f＋1＝－f，且当∈[0，2时，f＝og2＋1，则f2 012－f2 011＝A．－1 B．－2 C．1 D．25．定义运算a*b＝错误!则函数f＝e－*e的图像是图2－36．函数＝n错误!的图像大致为图2－47．已知函数＝f的定义域为4a－3，3－2a2，且＝f2－3为偶函数，则实数a的值为A．3或－1 B．－3或1 C．－1 D．18．已知函数f＝－4＋错误!，∈0，4，当＝a时，f取得最小值b，则在直角坐标系中函数g＝错误!错误!的图像为图2－59．设＝f在－∞，1]上有定义，对于给定的实数K，定义f K＝错误!给出函数f＝2＋1－4，若对于任意∈－∞，1]，恒有f K＝f，则A．K的最大值为0 B．K的最小值为0C．K的最大值为1 D．K的最小值为110．设函数f为定义在R上的奇函数，当≥0时，f＝2＋2＋bb为常数，则f－1＝________．11．若函数＝f的定义域是[0，2]，则函数g＝错误!的定义域是________．12．定义在R上的函数f满足f＋f＋2＝8，且当∈－1，1]时，f＝2＋2，则当∈3，5]时，f的解析式为________________．专题限时集训二A【基础演练】1．C [解析] 由题意有错误!解得错误!故为选项D中的图像．6．C [解析] 需满足错误!>0，即e－e－>0，所以>0，即函数的定义域是0，＋∞，排除选项A，B中的图像，由于错误!＝错误!<1，所以n错误!<0，故只能是选项C中的图像．7．C [解析] 因为函数＝f的定义域为4a－3，3－2a2，所以＝f2－3的定义域为：4a－3<2－3<3－2a2，即2a<<3－a2，又＝f2－3为偶函数，其定义域关于原点对称，所以2a＋3－a2＝0，解得a＝－1或a＝3经验证不符合，舍．8．B [解析] 因为f＝＋1＋错误!－5≥2错误!－5＝1，当且仅当＋1＝错误!，即＝2时，等号成立，所以a＝2，b＝1，得g＝错误!错误!＝错误!易知选B9．D [解析] 根据给出的定义，f K的含义是在函数＝f，＝K中取小．若对任意的∈－∞，1]恒有f K＝f，等价于对任意的∈－∞，1]恒有f≤K，即函数f在－∞，1]＝2∈0，2]，则函数f＝2＋1－4，即为函数φt＝－t2＋2t＝－t－12＋1≤1，故函数f在－∞，1]上的最大值为1，即K≥有最小值110．－3 [解析] 因为函数f为定义在R上的奇函数，所以f0＝0，即20＋b＝0，所以b ＝－1，所以函数f＝2＋2－1，≥0，所以f－1＝－f1＝－2＋2－1＝－311．[0，1 [解析] 因为f的定义域为[0，2]，所以对g，0≤2≤2但≠1，故∈[0，1．12．f＝2－6＋8 [解析] 根据f＋f＋2＝8，可得f＋2＋f＋4＝8，消掉f＋2得f＝f＋4，即函数f是以4为周期的函数．当∈3，5]时，－4∈－1，1]，所以f＝f－4＝－42＋2－4＝2－6＋8。
2019年高考数学(理科)二轮专题复习：第二部分 函数的图象与性质
π4 ＝
2 2.
(2)因为f(x)＋f(－x)＝ln( 1＋x2 －x)＋1＋ln( 1＋x2 ＋x)＋1＝ln(1＋x2－x2)＋2＝2，
所以f(a)＋f(－a)＝2，所以f(－a)＝－2.
答案：(1)
2 2
(2)－2
命题视角 函数的单调性与最值
【例 3－2】 (1)(2018·河南六市一模)若函数 f(x)＝
因此M＝3116，m＝0，所以M－m＝3116.
(2)因为f(x)在R上是偶函数，且在(－∞，0)上是增 函数，
所以f(x)在(0，＋∞)上是减函数， 由f(32a－1)≥f(－ 3)＝f( 3)， 所以32a－1≤ 3，则2a－1≤12，所以a≤34. 故a的最大值是34. 答案：(1)A (2)D
热点3 函数的性质及应用(高频考点) 1．函数的单调性 单调性是函数的一个局部性质，一个函数在不同的 区间上可以有不同的单调性，判断函数单调性常用定义 法、图象法及导数法． 温馨提醒：函数的多个单调区间若不连续，不能用 符号“∪”连接，可用“和”或“，”连接．
2．函数的奇偶性 函数的奇偶性是函数在定义域上的整体性质，偶函 数的图象关于y轴对称，在关于坐标原点对称的定义区间 上具有相反的单调性；奇函数的图象关于坐标原点对 称，在关于坐标原点对称的定义区间上具有相同的单调 性．
|x|－x12在{x|1≤|x|≤4，x∈R}上的最大值为 M，最小值
为 m，则 M－m＝( )
31 A.16
B．2
9 C.4
11 D. 4
(2)(2018·佛山调研)已知函数f(x)是定义在R上的偶函
数，且在区间(－∞ ，0)上单调递增．若实数a满足f(32a－1)
≥f(－ 3)，则a的最大值是( )
高考数学二轮复习专题补偿练2基本初等函数、函数与方程理
补偿练二 基本初等函数、函数与方程(建议用时：40分钟)一、选择题 1．函数f (x )＝3x21－x＋lg(3x ＋1)的定义域是( )．A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，＋∞B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，1C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，13 D.⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－13 解析 由题意知⎩⎪⎨⎪⎧1－x >0，3x ＋1>0，解得－13<x <1.答案 B2．若奇函数f (x )在(0，＋∞)上的解析式是f (x )＝x (1－x )，则在(－∞，0)上，f (x )的解析式是( )．A ．f (x )＝－x (1－x )B ．f (x )＝x (1＋x )C ．f (x )＝－x (1＋x )D ．f (x )＝x (1－x )解析 当x ∈(－∞，0)时，－x ∈(0，＋∞)， ∴f (－x )＝－x (1＋x )， 又f (－x )＝－f (x )， ∴f (x )＝x (1＋x )． 答案 B3．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1－x 2，x ≤1，x 2＋x －2，x >1，则f ⎝⎛⎭⎪⎫1f的值为 ( )．A.1516 B ．－2716 C.89 D ．18 解析 f (2)＝4，1f＝14， ∴f ⎝⎛⎭⎪⎫1f ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫142＝1516. 答案 A4．已知a ＝log 23.6，b ＝log 43.2，c ＝log 43.6，则( )．A ．a >b >cB ．a >c >bC ．b >a >cD ．c >a >b解析 a ＝log 23.6＝log 43.62＝log 412.96，又∵y ＝log 4x 在(0，＋∞)是增函数，而3.2<3.6<12.96∴a >c >b . 答案 B5．已知幂函数y ＝f (x )的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，22，则log 2f (2)的值为( )．A.12 B ．－12C ．2D ．－2解析 设幂函数f (x )＝x α， 则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12α＝22，解得α＝12，所以f (x )＝x .∴log 2f (2)＝log 22＝12.答案 A 6．函数f (x )＝e1－x2的部分图象大致是( )．解析 因函数f (x )为偶函数，所以图象关于y 轴对称，排除A ，B ，又因为e 1－x2>0，所以排除D. 答案 C7．函数f (x )＝lg x －1x的零点所在的区间是( )．A ．(3,4)B ．(2,3)C ．(1,2)D ．(0,1)解析 因为f (2)＝lg 2－12<0，f (3)＝lg 3－13>0，且f (x )在(0，＋∞)上单调递增，所以函数的零点在区间(2,3)上．答案 B8．已知函数f (x )＝x －ln |x |x2，则函数y ＝f (x )的大致图象为 ( )．解析 因为函数f (x )为非奇非偶函数， 所以排除B 、C.又f (－1)＝－1<0，排除D. 答案 A 二、填空题9．若函数f (x )为奇函数，当x ≥0时，f (x )＝x 2＋x ，则f (－2)的值______．解析 由题意知f (－2)＝－f (2)＝－(22＋2)＝－6. 答案 －610．定义a *b ＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a <b ，b ，a ≥b ，已知a ＝30.3，b ＝0.33，c ＝log 30.3，则(a *b )*c ＝______(用a ，b ，c 作答)．解析 log 30.3<0<0.33<1＝30<30.3， 即有c <b <a依题意得：(a *b )*c ＝b *c ＝c . 答案 c11．某公司购买一批机器投入生产，据市场分析每台机器生产的产品可获得的总利润y (单位：万元)与机器运转时间x (单位：年)的关系为y ＝－x 2＋18x －25(x ∈N *)．则当每台机器运转______年时，年平均利润最大，最大值是______万元．解析 由题意知每台机器运转x 年的年平均利润为y x＝18－(x ＋25x)，而x >0，故yx≤18－225＝8，当且仅当x ＝5时，年平均利润最大，最大值为8万元． 答案 5 812．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x ≤0，x 2－x ，x >0，若函数g (x )＝f (x )－m 有三个不同的零点，则实数m的取值范围是________．解析 由g (x )＝f (x )－m ＝0得f (x )＝m ，作出函数y ＝f (x )的图象， 当x >0时，f (x )＝x 2－x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122－14≥－14，所以要使函数g (x )＝f (x )－m 有三个不同的零点， 则－14<m <0，即m ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，0.答案 ⎝⎛⎭⎪⎫－14，013．已知函数f (x )在实数集R 上具有下列性质：①直线x ＝1是函数f (x )的一条对称轴；②f (x ＋2)＝－f (x )；③当1≤x 1<x 2≤3时，(f (x 2)－f (x 1))·(x 2－x 1)<0，则f (2 011)，f (2 012)，f (2 013)从大到小的顺序为____________． 解析 由f (x ＋2)＝－f (x )得f (x ＋4)＝f (x )，所以周期是4.所以f (2 011)＝f (3)，f (2 012)＝f (0)，f (2 013)＝f (1)，又直线x ＝1是函数f (x )的一条对称轴． 所以f (2 012)＝f (0)＝f (2)．由(f (x 2)－f (x 1))·(x 2－x 1)<0可知当1≤x 1<x 2≤3时，函数单调递减；所以f (1)>f (2)>f (3)，故f (2 013)>f (2 012)>f (2 011)．答案 f (2 013)>f (2 012)>f (2 011)14．已知定义在R 上的函数f (x )的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫－34，0成中心对称，对任意实数x 都有f (x )＝－1f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋32，且f (－1)＝1，f (0)＝－2，则f (0)＋f (1)＋…＋f (2016)＝________.解析 由函数关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫－34，0对称可知，f (x )＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32－x ＝0，所以f (1)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＝0，又f (x )＝－1f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋32，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＝－1f －＝－1，所以f (1)＝1，因为f (x )＝－1f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋32，所以f (x )＝－1f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋32＝－1－1f x ＋＝f (x ＋3)，即f (x )是以3为周期的函数，故f(3)＝f(0)＝－2，f(2)＝f(－1)＝1，所以f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋(2 016)＝f(0)＋[f(1)＋f(2)＋f(3)]×672＝f(0)＝－2.答案－215．设函数y＝f(x)是定义在R上的奇函数，且满足f(x－2)＝－f(x)，对一切x∈R都成立，又当x∈[－1,1]时，f(x)＝x3，则下列四个命题：①函数y＝f(x)是以4为周期的周期函数；②当x∈[1,3]，f(x)＝(2－x)3；③函数y＝f(x)的图象关于x＝1对称；④函数y ＝f(x)的图象关于(2,0)对称，其中正确命题的序号是________．解析∵y＝f(x)是定义在R上的奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，∵f(x－2)＝－f(x)对一切x∈R都成立，∴f(x－4)＝f(x)，∴函数y＝f(x)是以4为周期的周期函数，故①正确；当x∈[1,3]，x－2∈[－1,1]，f(x－2)＝(x－2)3＝－f(x)，∴f(x)＝(2－x)3，故②正确；∵f(x－2)＝－f(x)，∴f(1＋x)＝f(1－x)，∴函数y＝f(x)的图象关于x＝1对称，故③正确；∵当x∈[1,3]时，f(x)＝(2－x)3，∴f(2)＝0，∵f(x－2)＝－f(x)，∴f(－x－2)＝－f(－x)＝f(x)＝－f(x－2)，∴f(x＋2)＝－f(x－2)，∴函数y＝f(x)的图象关于(2,0)对称，故④正确．答案①②③④。
高考数学 专题练习 二 基本初等函数的图象与性质 理.doc
高考专题训练二基本初等函数的图象与性质班级________ 姓名________ 时间：45分钟分值：75分总得分________一、选择题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项填在答题卡上．1．(·课标)下列函数中，既是偶函数，又是在(0，＋∞)上单调递增的函数是( ) A．y＝x3B．y＝|x|＋1C．y＝－x2＋1 D．y＝2－|x|解析：由偶函数排除A，由在(0，＋∞)上单调递增，排除C、D.答案：B2．(·广东)设函数f(x)和g(x)分别是R上的偶函数和奇函数，则下列结论恒成立的是( )A．f(x)＋|g(x)|是偶函数B．f(x)－|g(x)|是奇函数C．|f(x)|＋g(x)是偶函数D．|f(x)|－g(x)是奇函数解析：令F(x)＝f(x)＋|g(x)|，∵f(x)是偶函数，g(x)是奇函数∴f(－x)＝f(x)，g(－x)＝－g(x)∴F(－x)＝f(－x)＋|g(－x)|＝f(x)＋|－g(x)|＝f(x)＋|g(x)|＝F(x)．∴F(x)在R上是偶函数．答案：A3．(·湖北)已知定义在R上的奇函数f(x)和偶函数g(x)满足f(x)＋g(x)＝a x－a－x＋2(a>0，且a≠1)．若g(2)＝a，则f(2)＝( )A．2 B.15 4C.174D．a2解析：f(x)＋g(x)＝a x－a－x＋2①f(－x)＋g(－x)＝a－x－a x＋2∴－f(x)＋g(x)＝a－x－a x＋2②由①②可得：g(x)＝2，f(x)＝a x－a－x∵g (2)＝a ＝2，∴f (2)＝22－2－2＝154.答案：B4．(·山东)对于函数y ＝f (x )，x ∈R ，“y ＝|f (x )|的图象关于y 轴对称”是“y ＝f (x )是奇函数”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：y ＝f (x )，x ∈R ，“y ＝|f (x )|的图象关于y 轴对称”构造函数f (x )＝x 2，y ＝|f (x )|关于y 轴对称，但f (x )＝x 2是偶函数． 又y ＝f (x )是奇函数，则y ＝|f (x )|的图象关于y 轴对称， ∴选B. 答案：B5．(·全国)设f (x )是周期为2的奇函数，当0≤x ≤1时，f (x )＝2x (1－x )，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＝( )A ．－12B ．－14C.14D.12解析：f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝－2×12×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＝－12.答案：A6．在实数集R 中定义一种运算“*”，对任意给定的a ，b ∈R ，a *b 为唯一确定的实数，且具有性质：(1)对任意a ，b ∈R ，a *b ＝b *a ； (2)对任意a ∈R ，a *0＝a ；(3)对任意a ，b ∈R ，(a *b )*c ＝c *(ab )＋(a *c )＋(c *b )－2c .关于函数f (x )＝(3x )*13x 的性质，有如下说法：①函数f (x )的最小值为3；②函数f (x )为奇函数；③函数f (x )的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－13，⎝ ⎛⎭⎪⎫13，＋∞.其中所有正确说法的个数为( ) A ．0 B ．1 C ．2D ．3解析：f (x )＝f (x )*0＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x13x *0＝0*（3x ×13x ）＋[(3x )*0]＋⎝ ⎛⎭⎪⎫0*13x )－2×0＝3x ×13x ＋3x ＋13x ＝3x ＋13x ＋1.当x ＝－1时，f (x )<0，故①错误；因为f (－x )＝－3x －13x ＋1≠－f (x )，所以②错误；令f ′(x )＝3－13x 2>0，得x >13，或x <－13，因此函数f (x )的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－13，⎝ ⎛⎭⎪⎫13，＋∞，即③正确．答案：B二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共把答案填在题中横线上． 7．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2x x ，0 x ＝，x 2＋mx x为奇函数，若函数f (x )在区间[－1，|a |－2]上单调递增，则a 的取值范围是________．解析：当x <0时，－x >0，∵f (－x )＝－(－x )2＋2(－x )＝－x 2－2x ，又f (x )为奇函数，∴f (－x )＝－f (x )＝－x 2－2x ，∴x <0时，f (x )＝x 2＋2x ，∴m ＝2，即f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2x x ，0 x ＝，x 2＋mx x其图象为由图象可知，f (x )在[－1,1]上单调递增，要使f (x )在[－1，|a |－2]上单调递增，只需⎩⎪⎨⎪⎧|a |－2>－1，|a |－2≤1，解得－3≤a <－1或1<a ≤3.答案：[－3，－1)∪(1,3]8．(·上海)设g (x )是定义在R 上，以1为周期的函数，若函数f (x )＝x ＋g (x )在区间[3,4]上的值域为[－2,5]，则f (x )在区间[－10,10]上的值域为________．解析：令f(x)分别在x1，x2(x1，x2∈[3,4])处取得最大、最小值，即f(x1)＝x1＋g(x1)＝5，f(x2)＝x2＋g(x2)＝－2，因为y＝x为增函数，y＝g(x)的周期为1，故f(x1＋6)是f(x)在[9,10]上的最大值，此即为f(x)在[－10,10]上的最大值．f(x2－13)是f(x)在[－10，－9]上的最小值，此即为f(x)在[－10,10]上的最小值．f(x1＋6)＝x1＋6＋g(x1＋6)＝x1＋g(x1)＋6＝11.f(x2－13)＝x2－13＋g(x2－13)＝x2＋g(x2)－13＝－15.故值域为[－15,11]．答案：[－15,11]9．对方程lg(x＋4)＝10x根的情况，有以下四种说法：①仅有一根；②有一正根和一负根；③有两个负根；④没有实数根．其中你认为正确说法的序号是________．解析：在同一坐标系中作出它们的图象，如图．当x＝0时，y1＝lg4，y2＝100＝1，y1<y2；当x＝－2时，y1＝lg2，y2＝10－2＝0.01，y1>y2.故这两个函数图象的交点均在y轴左侧，原方程应有两个负根，应填③.答案：③10．(·福建)设V是全体平面向量构成的集合，若映射f：V→R满足：对任意向量a＝(x1，y1)∈V，b＝(x2，y2)∈V，以及任意λ∈R，均有f[λa＋(1－λ)b]＝λf(a)＋(1－λ)f(b)，则称映射f具有性质P.现给出如下映射：①f1：V→R，f1(m)＝x－y，m＝(x，y)∈V；②f2：V→R，f2(m)＝x2＋y，m＝(x，y)∈V；③f3：V→R，f3(m)＝x＋y＋1，m＝(x，y)∈V.其中，具有性质P的映射的序号为________．(写出所有具有性质P的映射的序号) 解析：a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)．f1[λa＋(1－λ)b]＝f1[λx1＋(1－λ)x2，λy1＋(1－λ)y2]＝λx1＋(1－λ)x2－λy1－(1－λ)y2.λf1(a)＋(1－λ)f1(b)＝λ(x1－y1)＋(1－λ)(x2－y2)＝λx1－λy1＋(1－λ)x2－(1－λ)y2＝λx1＋(1－λ)x2－λy1－(1－λ)y2.∴f1具有性质Pf2[λa＋(1－λ)b]＝f2[λx1＋(1－λ)x2，λy1＋(1－λ)y2]＝[λx1＋(1－λ)x2]2＋λy1＋(1－λ)y2λf2(a)＋(1－λ)f2(b)＝λ(x21＋y1)＋(1－λ)(x22＋y2)＝λx21＋(1－λ)x22＋λy1＋(1－λ)y2≠f2[λa＋(1－λ)b]∴f2不具有性质Pf3[λa＋(1－λ)b]＝λx1＋(1－λ)x2＋λy1＋(1－λ)y2＋λf3(a)＋(1－λ)f3(b)＝λ(x1＋y1＋1)＋(1－λ)(x2＋y2＋1)＝λx1＋(1－λ)x2＋λy1＋(1－λ)y2＋1＝f3[λa＋(1－λ)b]．∴f3具有性质P.答案：①③三、解答题：本大题共2小题，共25分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．11．(12分)(·广东清远市高三3月测试)已知函数f(x)＝ax2＋bx＋c，x∈[0,6]的图象经过(0,0)和(6,0)两点，如图所示，且函数f(x)的值域为[0,9]．过动点P(t，f(t))作x轴的垂线，垂足为A，连接OP.(1)求函数f (x )的解析式；(2)记△OAP 的面积为S ，求S 的最大值．解：(1)由已知可得函数f (x )的对称轴为x ＝3，顶点为(3,9)．法一：由⎩⎪⎨⎪⎧f ＝0－b 2a＝34ac －b 24a ＝9得a ＝－1，b ＝6，c ＝0 得f (x )＝6x －x 2，x ∈[0,6]．法二：设f (x )＝a (x －3)2＋9 由f (0)＝0，得a ＝－1f (x )＝6x －x 2，x ∈[0,6]．(2)S (t )＝12|OA |·|AP |＝12t (6t －t 2)，t ∈(0,6)S ′(t )＝6t －32t 2＝32t (4－t )列表↗ ↘即S (t )max ＝S (4)＝12×4×(6×4－42)＝16.12．(13分)(·上海)已知函数f (x )＝a ·2x＋b ·3x，其中常数a ，b 满足a ·b ≠0. (1)若a ·b >0，判断函数f (x )的单调性；(2)若a ·b <0，求f (x ＋1)>f (x )时的x 的取值范围．解：(1)当a >0，b >0时，任取x 1，x 2∈R ，且x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝a (2x1－2 x2)＋b (3x1－3 x2)∵2x 1<2x 2，a >0⇒a (2x1－2 x2)<0,3 x1<3 x2，b >0⇒b (3x1－3 x2)<0， ∴f (x 1)－f (x 2)<0，函数f (x )在R 上是增函数． 同理，当a <0，b <0时，函数f (x )在R 上是减函数．(2)f (x ＋1)－f (x )＝a ·2x＋2b ·3x>0当a <0，b >0时，⎝ ⎛⎭⎪⎫32x>－a 2b ， 则x >log 1.5⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2b ；当a >0，b <0时，⎝ ⎛⎭⎪⎫32 x<－a 2b ， 则x <log 1.5⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2b .。
高三数学二轮复习 1-1-2基本初等函数的图象与性质课件 理 人教版
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1
专题一 集合、函数与导数
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2
第二讲 基本初等函数的图象与性质
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3
考情分析
• 函数及其基本性质是函数内容的主体部分，是高考考 查的重点，其中定义域、单调性、奇偶性、周期性等 几乎是每年必考，常常是将这些知识点与集合、不等 式、方程、函数图象等知识交汇融合，以选择题或填 空题的形式进行考查．
a＋b 2
对称．特别地，若f(a＋x)＝f(a－x)，函数f(x)的图象
关于直线x＝a对称；若f(a＋x)＝－f(b－x)，则函数f(x)的
图象关于点a＋2 b，0中心对称．特别地，若f(a＋x)＝－f(a －x)，则函数f(x)的图象关于点(a,0)中心对称．
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12
• 7．对称性与周期性之间的关系
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10
若f(x＋a)＝
1 fx
(a≠0且f(x)≠0)，则f(x)是周期函数，
2a是它的一个周期；
若f(x＋a)＝
1＋fx 1－fx
(a≠0且f(x)≠1)，则f(x)是周期函
数，4a是它的一个周期．
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11
6．有关对称性的几个重要结论
一般地，对于函数f(x)，如果对于定义域内的任意一
个x的值，
若f(x＋a)＝f(b－x)，则函数f(x)的图象关于直线x＝
(2011·山西模拟)已知函数f(x)＝
1 x2
＋|x2－a|(常
数a∈R＋)．
(1)求函数f(x)的定义域，判断f(x)的奇偶性并说明理由；
(2)若f(1)＝4，试研究函数f(x)在定义域内的单调性，并
利用单调性的定义给出证明．
[分析] 本题考查函数的定义域、奇偶性、单调性．
高考数学二轮专题训练：专题二 第1讲 函数、基本初等函数的图象与性质
第1讲 函数、基本初等函数的图象与性质 考情解读 1.高考对函数的三要素，函数的表示方法等内容的考查以基础知识为主，难度中等偏下.2.函数图象和性质是历年高考的重要内容，也是热点内容，对图象的考查主要有两个方面：一是识图，二是用图，即利用函数的图象，通过数形结合的思想解决问题；对函数性质的考查，则主要是将单调性、奇偶性、周期性等综合一起考查，既有具体函数也有抽象函数．常以选择、填空题的形式出现，且常与新定义问题相结合，难度较大．1．函数的三要素定义域、值域及对应关系两个函数当且仅当它们的三要素完全相同时才表示同一函数，定义域和对应关系相同的两个函数是同一函数． 2．函数的性质(1)单调性：单调性是函数在其定义域上的局部性质．利用定义证明函数的单调性时，规范步骤为取值、作差、判断符号、下结论．复合函数的单调性遵循“同增异减”的原则．(2)奇偶性：奇偶性是函数在定义域上的整体性质．偶函数的图象关于y 轴对称，在关于坐标原点对称的定义域区间上具有相反的单调性；奇函数的图象关于坐标原点对称，在关于坐标原点对称的定义域区间上具有相同的单调性．(3)周期性：周期性是函数在定义域上的整体性质．若函数在其定义域上满足f(a ＋x)＝f(x)(a 不等于0)，则其一个周期T ＝|a|. 3．函数的图象对于函数的图象要会作图、识图、用图．作函数图象有两种基本方法：一是描点法，二是图象变换法，其中图象变换有平移变换、伸缩变换、对称变换．4．指数函数、对数函数和幂函数的图象和性质(1)指数函数y ＝ax(a>0，a≠1)与对数函数y ＝logax(a>0，a≠1)的图象和性质，分0<a<1，a>1两种情况，着重关注两函数图象中的两种情况的公共性质．(2)幂函数y ＝xα的图象和性质，分幂指数α>0，α<0两种情况.热点一 函数的性质及应用 例1 (1)(2014·课标全国Ⅱ)已知偶函数f(x)在[0，＋∞)单调递减，f(2)＝0.若f(x －1)>0，则x 的取值范围是________．(2)设奇函数y ＝f(x) (x ∈R)，满足对任意t ∈R 都有f(t)＝f(1－t)，且x ∈⎣⎡⎦⎤0，12时，f(x)＝－x2，则f(3)＋f ⎝⎛⎭⎫－32的值等于________． 思维启迪 (1)利用数形结合，通过函数的性质解不等式；(2)利用f(x)的性质和x ∈[0，12]时的解析式探求f(3)和f(－32)的值．答案 (1)(－1,3) (2)－14解析 (1)∵f(x)是偶函数， ∴图象关于y 轴对称．又f(2)＝0，且f(x)在[0，＋∞)单调递减， 则f(x)的大致图象如图所示，由f(x －1)>0，得－2<x －1<2，即－1<x<3.(2)根据对任意t ∈R 都有f(t)＝f(1－t)可得f(－t) ＝f(1＋t)，即f(t ＋1)＝－f(t)，进而得到 f(t ＋2)＝－f(t ＋1)＝－[－f(t)]＝f(t)，得函数y ＝f(x)的一个周期为2，故f(3)＝f(1)＝f(0＋1)＝－f(0)＝0，f ⎝⎛⎭⎫－32＝f ⎝⎛⎭⎫12＝－14. 所以f(3)＋f ⎝⎛⎭⎫－32＝0＋⎝⎛⎭⎫－14＝－14. 思维升华 函数的性质主要是函数的奇偶性、单调性和周期性以及函数图象的对称性，在解题中根据问题的条件通过变换函数的解析式或者已知的函数关系，推证函数的性质，根据函数的性质解决问题．(1)(2013·重庆)已知函数f(x)＝ax3＋bsin x ＋4(a ，b ∈R)，f(lg(log210))＝5，则f(lg(lg 2))等于( )A ．－5B ．－1C ．3D ．4(2)已知函数f(x)＝x3＋x ，对任意的m ∈[－2,2]，f(mx －2)＋f(x)<0恒成立，则x 的取值范围为_________．答案 (1)C (2)⎝⎛⎭⎫－2，23 解析 (1)lg(log210)＝lg ⎝⎛⎭⎫1lg 2＝－lg(lg 2)，由f(lg(log210))＝5，得a[lg(lg 2)]3＋bsin(lg(lg 2))＝4－5＝－1，则f(lg(lg 2))＝a(lg(lg 2))3＋bsin(lg(lg 2))＋4＝－1＋4＝3. (2)易知f(x)为增函数．又f(x)为奇函数，由f(mx －2)＋f(x)<0知， f(mx －2)<f(－x)．∴mx －2<－x ，即mx ＋x －2<0，令g(m)＝mx ＋x －2，由m ∈[－2,2]知g(m)<0恒成立，即⎩⎪⎨⎪⎧－＝－x －2<0＝3x －2<0，∴－2<x<23.热点二 函数的图象例2 (1)(2014·烟台质检)下列四个图象可能是函数y ＝10ln|x ＋1|x ＋1图象的是( )(2)已知函数f(x)的图象向左平移1个单位后关于y 轴对称，当x2>x1>1时，[f(x2)－f(x1)](x2－x1)<0恒成立，设a ＝f(－12)，b ＝f(2)，c ＝f(3)，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．c>a>bB ．c>b>aC ．a>c>bD ．b>a>c思维启迪 (1)可以利用函数的性质或特殊点，利用排除法确定图象．(2)考虑函数f(x)的单调性． 答案 (1)C (2)D解析 (1)函数的定义域为{x|x≠－1}，其图象可由y ＝10ln|x|x的图象沿x 轴向左平移1个单位而得到，y ＝10ln|x|x 为奇函数，图象关于原点对称，所以，y ＝10ln|x ＋1|x ＋1的图象关于点(－1,0)成中心对称．可排除A ，D. 又x>0时，y ＝10ln|x ＋1|x ＋1>0，所以，B 不正确，选C.(2)由于函数f(x)的图象向左平移1个单位后得到的图象关于y 轴对称，故函数y ＝f(x)的图象本身关于直线x ＝1对称，所以a ＝f(－12)＝f(52)，当x2>x1>1时，[f(x2)－f(x1)](x2－x1)<0恒成立，等价于函数f(x)在(1，＋∞)上单调递减，所以b>a>c.选D.思维升华 (1)作图：常用描点法和图象变换法．图象变换法常用的有平移变换、伸缩变换和对称变换．尤其注意y ＝f(x)与y ＝f(－x)、y ＝－f(x)、y ＝－f(－x)、y ＝f(|x|)、y ＝|f(x)|及y ＝af(x)＋b 的相互关系．(2)识图：从图象与轴的交点及左、右、上、下分布范围、变化趋势、对称性等方面找准解析式与图象的对应关系．(3)用图：图象形象地显示了函数的性质，因此，函数性质的确定与应用及一些方程、不等式的求解常与图象数形结合研究．(1)函数f(x)＝1＋log2x 与g(x)＝21－x 在同一直角坐标系中的图象大致是( )(2)(2013·课标全国Ⅰ)已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧－x2＋2x ，x≤0，＋，x>0.若|f(x)|≥ax ，则a 的取值范围是( )A ．(－∞，0]B ．(－∞，1]C ．[－2,1]D ．[－2,0]答案 (1)C (2)D解析 (1)f(x)＝1＋log2x 的图象过定点(1,1)，g(x)＝21－x 的图象过定点(0,2)． f(x)＝1＋log2x 的图象由y ＝log2x 的图象向上平移一个单位而得到，且f(x)＝1＋log2x 为单调增函数，g(x)＝21－x ＝2×(12)x 的图象由y ＝(12)x 的图象伸缩变换得到，且g(x)＝21－x 为单调减函数．A 中，f(x)的图象单调递增，但过点(1,0)，不满足；B 中，g(x)的图象单调递减，但过点(0,1)，不满足；D中，两个函数都是单调增函数，也不满足．选C.(2)函数y ＝|f(x)|的图象如图．①当a ＝0时，|f(x)|≥ax 显然成立． ②当a>0时，只需在x>0时， ln(x ＋1)≥ax 成立．比较对数函数与一次函数y ＝ax 的增长速度． 显然不存在a>0使ln(x ＋1)≥ax 在x>0上恒成立． ③当a<0时，只需在x<0时，x2－2x≥ax 成立．即a≥x －2成立，∴a≥－2.综上所述：－2≤a≤0.故选D. 热点三 基本初等函数的图象及性质例3 (1)若函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧log2x ，x>0，log 12－，x<0，若f(a)>f(－a)，则实数a 的取值范围是( )A ．(－1,0)∪(0,1)B ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)C ．(－1,0)∪(1，＋∞)D ．(－∞，－1)∪(0,1)(2)已知α，β∈[－π2，π2]且αsin α－βsin β>0，则下面结论正确的是( )A ．α>βB ．α＋β>0C ．α<βD ．α2>β2思维启迪 (1)可利用函数图象或分类讨论确定a 的范围；(2)构造函数f(x)＝xsin x ，利用f(x)的单调性．答案 (1)C (2)D解析 (1)方法一 由题意作出y ＝f(x)的图象如图．显然当a>1或－1<a<0时，满足f(a)>f(－a)．故选C. 方法二 对a 分类讨论：当a>0时，log2a>log 12a ，即log2a>0，∴a>1.当a<0时，log 12(－a)>log2(－a)，即log2(－a)<0，∴－1<a<0，故选C.(2)设f(x)＝xsin x ，x ∈[－π2，π2]，∴y′＝xcos x ＋sin x ＝cos x(x ＋tan x)， 当x ∈[－π2，0]时，y′<0，∴f(x)为减函数，当x ∈[0，π2]时，y′>0，∴f(x)为增函数，且函数f(x)为偶函数，又αsin α－βsin β>0， ∴αsin α>βsin β，∴|α|>|β|，∴α2>β2.思维升华 (1)指数函数、对数函数、幂函数和三角函数是中学阶段所学的基本初等函数，是高考的必考内容之一，重点考查图象、性质及其应用，同时考查分类讨论、等价转化等数学思想方法及其运算能力．(2)比较数式大小问题，往往利用函数图象或者函数的单调性．(1)设15<(15)b<(15)a<1，那么( )A ．aa<ab<baB ．ab<aa<baC ．aa<ba<abD ．ab<ba<aa(2)已知函数f(x)＝2x －12x ，函数g(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧，x≥0，－，x<0，则函数g(x)的最小值是________．答案 (1)B (2)0解析 (1)因为指数函数y ＝(15)x 在(－∞，＋∞)上是递减函数，所以由15<(15)b<(15)a<1得0<a<b<1，所以0<ab<1.所以y ＝ax ，y ＝bx ，y ＝(a b )x 在(－∞，＋∞)上都是递减函数，从而ab<aa ，(ab )a<1得ba>aa ，故ab<aa<ba ，答案选B.(2)当x≥0时，g(x)＝f(x)＝2x －12x 为单调增函数，所以g(x)≥g(0)＝0；当x<0时，g(x)＝f(－x)＝2－x－12－x为单调减函数，所以g(x)>g(0)＝0，所以函数g(x)的最小值是0.1．判断函数单调性的常用方法(1)能画出图象的一般用数形结合法去观察．(2)由基本初等函数通过加、减运算或复合而成的函数，常转化为基本初等函数单调性的判断问题． (3)对于解析式较复杂的一般用导数法． (4)对于抽象函数一般用定义法． 2．函数奇偶性的应用函数的奇偶性反映了函数图象的对称性，是函数的整体特性．利用函数的奇偶性可以把研究整个函数具有的性质问题转化到只研究部分(一半)区间上，是简化问题的一种途径．尤其注意偶函数f(x)的性质：f(|x|)＝f(x)． 3．函数图象的对称性(1)若函数y ＝f(x)满足f(a ＋x)＝f(a －x)，即f(x)＝f(2a －x)，则f(x)的图象关于直线x ＝a 对称．提醒：函数y ＝f(a ＋x)与y ＝f(a －x)的图象对称轴为x ＝0，并非直线x ＝a.(2)若f(x)满足f(a ＋x)＝f(b －x)，则函数f(x)的图象关于直线x ＝a ＋b2对称．(3)若函数y ＝f(x)满足f(x)＝2b －f(2a －x)，则该函数图象关于点(a ，b)成中心对称． 4．二次函数、一元二次方程和一元二次不等式是一个有机的整体，要深刻理解它们之间的相互关系，能用函数与方程、分类讨论、数形结合思想来研究与“三个二次”有关的问题，高考对“三个二次”知识的考查往往渗透在其他知识之中，并且大都出现在解答题中．5．指数函数、对数函数的图象和性质受底数a 的影响，解决与指、对数函数特别是与单调性有关的问题时，首先要看底数a 的范围．比较两个对数的大小或解对数不等式或解对数方程时，一般是构造同底的对数函数，若底数不同，可运用换底公式化为同底的对数，三数比较大小时，注意与0比较或与1比较．6．解决与本讲有关的问题应注意函数与方程、数形结合、分类讨论、化归与转化等思想的运用.真题感悟 1．(2014·安徽)若函数f(x)(x ∈R)是周期为4的奇函数，且在[0,2]上的解析式为f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧－，0≤x≤1，sin πx ，1<x≤2，则f ⎝⎛⎭⎫294＋f ⎝⎛⎭⎫416＝________. 答案516解析 ∵f(x)是以4为周期的奇函数， ∴f ⎝⎛⎭⎫294＝f ⎝⎛⎭⎫8－34＝f ⎝⎛⎭⎫－34， f ⎝⎛⎭⎫416＝f ⎝⎛⎭⎫8－76＝f ⎝⎛⎭⎫－76. ∵当0≤x≤1时，f(x)＝x(1－x)， ∴f ⎝⎛⎭⎫34＝34×⎝⎛⎭⎫1－34＝316. ∵当1<x≤2时，f(x)＝sin πx ， ∴f ⎝⎛⎭⎫76＝sin 7π6＝－12. 又∵f(x)是奇函数， ∴f ⎝⎛⎭⎫－34＝－f ⎝⎛⎭⎫34＝－316， f ⎝⎛⎭⎫－76＝－f ⎝⎛⎭⎫76＝12. ∴f ⎝⎛⎭⎫294＋f ⎝⎛⎭⎫416＝12－316＝516.2．(2014·福建)若函数y ＝logax(a>0，且a≠1)的图象如图所示，则所给函数图象正确的是( )答案 B解析 由题意得y ＝logax(a>0，且a≠1)的图象过(3,1)点，可解得a ＝3.选项A 中，y ＝3－x ＝(13)x ，显然图象错误；选项B 中，y ＝x3，由幂函数图象可知正确；选项C 中，y ＝(－x)3＝－x3，显然与所画图象不符；选项D 中，y ＝log3(－x)的图象与y ＝log3x 的图象关于y 轴对称，显然不符，故选B. 押题精练1．已知函数f(x)＝e|ln x|－⎪⎪⎪⎪x －1x ，则函数y ＝f(x ＋1)的大致图象为( )答案 A解析 据已知关系式可得f(x)＝⎩⎨⎧e －ln x ＋⎝⎛⎭⎫x －1x ＝，eln x －⎝⎛⎭⎫x －1x ＝1x，作出其图象然后将其向左平移1个单位即得函数y ＝f(x ＋1)的图象．2．已知函数f(x)＝|log 12x|，若m<n ，有f(m)＝f(n)，则m ＋3n 的取值范围是( )A ．[23，＋∞)B ．(23，＋∞)C ．[4，＋∞)D ．(4，＋∞) 答案 D解析 ∵f(x)＝|log 12x|，若m<n ，有f(m)＝f(n)，∴log 12m ＝－log 12n ，∴mn ＝1，∴0<m<1，n>1，∴m ＋3n ＝m ＋3m在m ∈(0,1)上单调递减，当m ＝1时，m ＋3n ＝4，∴m ＋3n>4. 3．已知f(x)＝2x －1，g(x)＝1－x2，规定：当|f(x)|≥g(x)时，h(x)＝|f(x)|；当|f(x)|<g(x)时，h(x)＝－g(x)，则h(x)( )A ．有最小值－1，最大值1B ．有最大值1，无最小值C ．有最小值－1，无最大值D ．有最大值－1，无最小值 答案 C解析 由题意得，利用平移变化的知识画出函数|f(x)|，g(x)的图象如图，而h(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧，－，，故h(x)有最小值－1，无最大值．(推荐时间：40分钟)一、选择题1．下列函数f(x)中，满足“对任意的x1，x2∈(0，＋∞)时，均有(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0”的是( ) A ．f(x)＝12 B ．f(x)＝x2－4x ＋4C ．f(x)＝2xD ．f(x)＝log 12x答案 C解析 函数f(x)满足“对任意的x1，x2∈(0，＋∞)时，均有(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0”等价于x1－x2与f(x1)－f(x2)的值的符号相同，即可化为－x1－x2>0，表示函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增，由此可得只有函数f(x)＝2x 符合．故选C.2．(2014·浙江)在同一直角坐标系中，函数f(x)＝xa(x≥0)，g(x)＝logax 的图象可能是( )答案 D解析 方法一 分a>1,0<a<1两种情形讨论．当a>1时，y ＝xa 与y ＝logax 均为增函数，但y ＝xa 递增较快，排除C ；当0<a<1时，y ＝xa 为增函数，y ＝logax 为减函数，排除A.由于y ＝xa 递增较慢，所以选D. 方法二 幂函数f(x)＝xa 的图象不过(0,1)点，排除A ；B 项中由对数函数f(x)＝logax 的图象知0<a<1，而此时幂函数f(x)＝xa 的图象应是增长越来越慢的变化趋势，故B 错，D 对；C 项中由对数函数f(x)＝logax 的图象知a>1，而此时幂函数f(x)＝xa 的图象应是增长越来越快的变化趋势，故C 错．3．已知函数y ＝f(x)是奇函数，当x>0时，f(x)＝lg x ，则f ⎝⎛⎭⎫f ⎝⎛⎭⎫1100的值等于( ) A.1lg 2 B ．－1lg 2 C ．lg 2 D ．－lg 2 答案 D解析 当x<0时，－x>0，则f(－x)＝lg(－x)． 又函数f(x)为奇函数，f(－x)＝－f(x)， 所以当x<0时，f(x)＝－lg(－x)． 所以f ⎝⎛⎭⎫1100＝lg 1100＝－2， f ⎝⎛⎭⎫f ⎝⎛⎭⎫1100＝f(－2)＝－lg 2. 4．若a>b ，则下列不等式成立的是( ) A ．ln a>ln b B ．0.3a>0.3b C ．1122a b >D.3a>3b答案 D解析 因为a>b ，而对数的真数为正数，所以ln a>ln b 不一定成立； 因为y ＝0.3x 是减函数，又a>b ，则0.3a<0.3b ，故B 错；因为y ＝12x 在(0，＋∞)是增函数，又a>b ，则1122a b >不一定成立，故C 错； y ＝13x 在(－∞，＋∞)是增函数，又a>b ，则1133a b >，即3a>3b 成立，选D. 5．设偶函数f(x)满足f(x)＝2x －4(x≥0)，则{x|f(x －2)>0}等于( ) A ．{x|x<－2或x>4} B ．{x|x<0或x>4} C ．{x|x<0或x>6} D ．{x|x<－2或x>2} 答案 B解析 由于函数f(x)是偶函数，因此有f(|x|)＝f(x)，不等式f(x －2)>0， 即f(|x －2|)>0，f(|x －2|)＝2|x －2|－4>0，|x －2|>2，即x －2<－2或x －2>2，由此解得x<0或x>4. 于是有{x|f(x －2)>0}＝{x|x<0或x>4}，故选B.6．使log2(－x)<x ＋1成立的x 的取值范围是( ) A ．(－1,0) B ．[－1,0) C ．(－2,0) D ．[－2,0) 答案 A解析 在同一坐标系内作出y ＝log2(－x)，y ＝x ＋1的图象，知满足条件的x ∈(－1,0)，故选A.7．下列函数中，与函数f(x)＝2x －1－12x ＋1的奇偶性、单调性均相同的是( ) A ．y ＝ex B ．y ＝ln(x ＋x2＋1) C ．y ＝x2 D ．y ＝tan x 答案 B解析 因为函数f(x)＝2x －1－12x ＋1＝12(2x －12x )，可知函数f(x)在定义域上是奇函数，且单调递增，y ＝ex 为非奇非偶函数，y ＝x2为偶函数，y ＝tan x 在定义域上是奇函数，但不单调递增，只有y ＝ln(x ＋x2＋1)在定义域上是奇函数，且单调递增，故选B.8．(2013·天津)已知函数f(x)是定义在R 上的偶函数，且在区间[0，＋∞)上单调递增．若实数a 满足f(log2a)＋f(log 12a)≤2f(1)，则a 的取值范围是( )A ．[1,2]B.⎝⎛⎦⎤0，12 C.⎣⎡⎦⎤12，2 D ．(0,2] 答案 C解析 由题意知a>0，又log 12a ＝log2a －1＝－log2a.∵f(x)是R 上的偶函数， ∴f(log2a)＝f(－log2a)＝f(log 12a)．∵f(log2a)＋f(log 12a)≤2f(1)，∴2f(log2a)≤2f(1)，即f(log2a)≤f(1)． 又∵f(x)在[0，＋∞)上递增． ∴|log2a|≤1，－1≤log2a≤1， ∴a ∈⎣⎡⎦⎤12，2，选C. 二、填空题9．已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧13＋，则f(ln 3)＝________.答案 e解析 f(ln 3)＝f(ln 3＋1)＝13eln 3＋1＝e ，故填e. 10．已知函数f(x)＝x|x －a|，若对任意的x1，x2∈[2，＋∞)，且x1≠x2，(x1－x2)·[f(x1)－f(x2)]>0恒成立，则实数a 的取值范围为________．答案 {a|a≤2}解析 f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧ －，x≥a －－，x<a ，由(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0知，函数y ＝f(x)在[2，＋∞)单调递增，当a≤0时，满足题意，当a>0时，只需a≤2，即0<a≤2，综上所述，实数a 的取值范围为a≤2.11．设f(x)是定义在R 上且周期为2的函数，在区间[－1,1]上，f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋1，－1≤x<0，bx ＋2x ＋1，0≤x≤1，其中a ，b ∈R.若f ⎝⎛⎭⎫12＝f ⎝⎛⎭⎫32，则a ＋3b 的值为________．答案 －10解析 因为f(x)的周期为2，所以f ⎝⎛⎭⎫32＝f ⎝⎛⎭⎫32－2＝f ⎝⎛⎭⎫－12，即f ⎝⎛⎭⎫12＝f ⎝⎛⎭⎫－12. 又因为f ⎝⎛⎫－12＝－12a ＋1，f ⎝⎛⎭⎫12＝b 2＋212＋1＝b ＋43， 所以－12a ＋1＝b ＋43. 整理，得a ＝－23(b ＋1)．① 又因为f(－1)＝f(1)，所以－a ＋1＝b ＋22，即b ＝－2a.② 将②代入①，得a ＝2，b ＝－4.所以a ＋3b ＝2＋3×(－4)＝－10.12．已知定义在R 上的函数y ＝f(x)满足以下三个条件：①对于任意的x ∈R ，都有f(x ＋4)＝f(x)；②对于任意的x1，x2∈R ，且0≤x1＜x2≤2，都有f(x1)＜f(x2)；③函数y ＝f(x ＋2)的图象关于y 轴对称．则判断f(4.5)，f(6.5)，f(7)的大小关系为________．答案 f(4.5)＜f(7)＜f(6.5)解析 由已知得f(x)是以4为周期且关于直线x ＝2对称的函数．所以f(4.5)＝f(4＋12)＝f(12)， f(7)＝f(4＋3)＝f(3)，f(6.5)＝f(4＋52)＝f(52)． 又f(x)在[0,2]上为增函数．所以作出其在[0,4]上的图象知f(4.5)＜f(7)＜f(6.5)．13．设函数f(x)＝1＋－2(x ∈Z)，给出以下三个结论：①f(x)为偶函数；②f(x)为周期函数；③f(x ＋1)＋f(x)＝1，其中正确结论的序号是________． 答案 ①②③解析 对于x ∈Z ，f(x)的图象为离散的点，关于y 轴对称，①正确；f(x)为周期函数，T ＝2，②正确；f(x ＋1)＋f(x)＝1＋－＋12＋1＋－2＝1＋－＋1＋－2＝1，③正确．14．能够把圆O ：x2＋y2＝16的周长和面积同时分为相等的两部分的函数称为圆O 的“和谐函数”，下列函数是圆O 的“和谐函数”的是________．①f(x)＝ex ＋e －x②f(x)＝ln 5－x 5＋x ③f(x)＝tan x 2 ④f(x)＝4x3＋x答案 ②③④解析 由“和谐函数”的定义知，若函数为“和谐函数”，则该函数为过原点的奇函数，①中，f(0)＝e0＋e －0＝2，所以f(x)＝ex ＋e －x 的图象不过原点，故f(x)＝ex ＋e －x 不是“和谐函数”；②中f(0)＝ln 5－05＋0＝ln 1＝0，且f(－x)＝ln 5＋x 5－x ＝－ln 5－x 5＋x ＝－f(x)，所以f(x)为奇函数，所以f(x)＝ln 5－x 5＋x为“和谐函数”；③中，f(0)＝tan 0＝0，且f(－x)＝tan －x 2＝－tan x 2＝－f(x)，f(x)为奇函数，故f(x)＝tan x 2为“和谐函数”；④中，f(0)＝0，且f(x)为奇函数，故f(x)＝4x3＋x 为“和谐函数”，所以，②③④中的函数都是“和谐函数”．。
高考数学二轮考点专题突破函数、基本初等函数的图象与性质
第二讲 函数、基本初等函数的图象与性质一、选择题1．(2010·陕西)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋1，x <1，x 2＋ax ，x ≥1，若f (f (0))＝4a ，则实数a 等于( )A.12B.45C ．2D ．9 解析：f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x＋1，x <1，x 2＋ax ，x ≥1.∵0<1，∴f (0)＝20＋1＝2.∵f (0)＝2≥1，∴ f (f (0))＝22＋2a ＝4a ， ∴a ＝2，故选C. 答案：C2．(2010·山东)设f (x )为定义在R 上的奇函数．当x ≥0时，f (x )＝2x ＋2x ＋b (b 为常数)， 则f (－1)＝ ( ) A ．3 B ．1 C ．－1 D ．－3解析：因为f (x )为定义在R 上的奇函数，所以f (0)＝0，可求得b ＝－1，f (－1)＝－f (1) ＝－(21＋2＋b )＝－3.故选D. 答案：D3．(2010·安徽)设abc >0，二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 的图象可能是 ( )解析：A 项，由图象开口向下知a <0，由对称轴位置知－b2a <0，∴b <0.又∵abc >0，∴c >0.而由图知f (0)＝c <0；B 项，由图知a <0，－b2a >0，∴b >0.又∵abc >0，∴c <0，而由图知f (0)＝c >0； C 项，由图知a >0，－b2a <0，∴b >0.又∵abc >0，∴c >0，而由图知f (0)＝c <0；D 项，由图知a >0，－b2a >0，∴b <0.又∵abc >0，∴c <0，由图知f (0)＝c <0.D 正确．答案：D4．(2010·全国Ⅰ)已知函数f (x )＝|lg x |.若0<a <b ，且f (a )＝f (b )，则a ＋2b 的取值范围是( )A ．(22，＋∞)B ．[22，＋∞)C ．(3，＋∞)D ．[3，＋∞)解析：f (x )＝|lg x |的图象如图所示，由图知f (a )＝f (b )，则有0<a <1<b ，∴f (a )＝|lg a | ＝－lg a ，f (b )＝|lg b |＝lg b ，即－lg a ＝lg b ，得a ＝1b ，∴a ＋2b ＝2b ＋1b.令g (b )＝2b ＋1b ，g ′(b )＝2－1b 2，显然b ∈(1，＋∞)时，g ′(b )>0，∴g (b )在(1，＋∞)上为增函数，得g (b )＝2b ＋1b >3，故选C.答案：C5．(2009·山东)已知定义在R 上的奇函数f (x )，满足f (x －4)＝－f (x )，且在区间[0,2]上是 增函数，则( )A ．f (－25)<f (11)<f (80)B ．f (80)<f (11)<f (－25)C ．f (11)<f (80)<f (－25)D ．f (－25)<f (80)<f (11) 解析：∵f (x －4)＝－f (x )，∴f (x －8)＝f [(x －4)－4]＝－f (x －4)＝－[－f (x )]＝f (x )， ∴f (x )是以8为周期的周期函数． f (80)＝f (8×10)＝f (0)， f (11)＝f (3＋8)＝f (3)＝－f (3－4) ＝－f (－1)＝－[－f (1)]＝f (1)，f (－25)＝f [8×(－3)－1]＝f (－1)＝－f (1)． ∵f (x )在区间[0,2]上递增，∴f (0)<f (1)．又∵f (x )为奇函数，∴f (0)＝0，∴f (1)>0，∴－f (1)<0， ∴－f (1)<f (0)<f (1)，f (－25)<f (80)<f (11)．答案：D 二、填空题6．已知函数f (x )＝x 2－cos x ，对于⎣⎡⎦⎤－π2，π2上的任意x 1，x 2，有如下条件：①x 1>x 2； ②x 21>x 22；③|x 1|>x 2.其中能使f (x 1)>f (x 2)恒成立的条件序号是________解析：函数f (x )＝x 2－cos x 显然是偶函数，其导数y ′＝2x ＋sin x 在0<x <π2时，显然也大于0，是增函数，要使f (x 1)>f (x 2)恒成立，即f (|x 1|)>f (|x 2|)恒成立．∵f (x )在⎣⎡⎦⎤0，π2 上是增函数，∴|x 1|>|x 2|，即②成立，①③不成立． 答案：②7．已知f (x )是定义在R 上的偶函数，并且f (x ＋2)＝－1f (x )，当2≤x ≤3时，f (x )＝x ，则f (1.5)＝________.解析：∵f (x ＋2)＝－1f (x )，∴f (x ＋4)＝－1f (x ＋2)＝f (x )∴T ＝4，∴f (1.5)＝f (1. 5－4)＝f (－2.5)＝f (2.5)＝2.5. 答案：2.58．(2010·全国Ⅰ)直线y ＝1与曲线y ＝x 2－|x |＋a 有四个交点，则a 的取值范围是 ________．解：y ＝x 2－|x |＋a 是偶函数，图象如图所示．由图可知y ＝1与y ＝x 2－|x |＋a 有四个交点， 需满足a －14<1<a ，∴1<a <54.答案：1<a <549．(2010·重庆)已知函数f (x )满足：f (1)＝14，4f (x )f (y )＝f (x ＋y )＋f (x －y )(x ，y ∈R )，则f (2 010)＝________.解析：解法一：∵当x ＝1，y ＝0时，f (0)＝12；当x ＝1，y ＝1时，f (2)＝－14；当x＝2，y ＝1时， f (3)＝－12；当x ＝2，y ＝2时，f (4)＝－14；当x ＝3，y ＝2时，f (5)＝14；当x ＝3，y ＝3时，f (6)＝12；当x ＝4，y ＝3时，f (7)＝14；当x ＝4，y ＝4时，f (8)＝－14；… ∴f (x )是以6为周期的函数， ∴f (2 010)＝f (0＋335×6)＝f (0)＝12.解法二：∵f (1)＝14，4f (x )·f (y )＝f (x ＋y )＋f (x －y )∴构造符合题意的函数f (x )＝12cos π3x ，∴f (2 010)＝12cos ⎝⎛⎭⎫π3×2 010＝12. 答案：12三、解答题10．在直角坐标平面中，已知点P 1(1,2)，P 2(2,22)，对平面上任一点A 0，记A 1为A 0关于点P 1的对称点，A 2为A 1关于点P 2的对称点． (1)求向量A 0 A 2→的坐标；(2)当点A 0在曲线C 上移动时，点A 2的轨迹是函数y ＝f (x )的图象，其中f (x )是以3 为周期的周期函数，且当x ∈(0,3]时，f (x )＝lg x ．求以曲线C 为图象的函数在(1,4] 上的解析式． 解：(1)设A 0(x ，y )，根据已知条件A 1(2－x,4－y )，A 2(2＋x,4＋y )， ∴A 0 A 2→＝(2,4)．(2)∵f (x )为以3为周期的周期函数，且f (x )＝lg x ，x ∈(0,3] 当x ∈(3,6]时，x －3∈(0,3]． f (x )＝f (x －3)＝lg (x －3)，由(1)知⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝2＋x ，y 2＝4＋y .当1<x ≤4时，3<x 2≤6，由y 2＝lg(x 2－3)得4＋y ＝lg (x －1)， 即y ＝lg(x －1)－4，(1<x ≤4)．11．已知二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋1(a >0)，F (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧f (x ) (x >0)，－f (x ) (x <0).若f (－1)＝0，且对任意实数x 均有f (x )≥0成立． (1)求F (x )的表达式；(2)当x ∈[－2,2]时， g (x )＝f (x )－kx 是单调函数，求k 的取值范围． 解：(1)∵f (－1)＝0，∴a －b ＋1＝0，∴b ＝a ＋1， ∴f (x )＝ax 2＋(a ＋1)x ＋1. ∵f (x )≥0恒成立，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a >0，Δ＝(a ＋1)2－4a ≤0，∴⎩⎪⎨⎪⎧a >0(a －1)2≤0. ∴a ＝1，从而b ＝2，∴f (x )＝x 2＋2x ＋1∴F (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x ＋1 (x >0)，－x 2－2x －1 (x <0).(2)g (x )＝x 2＋2x ＋1－kx ＝x 2＋(2－k )x ＋1. ∵g (x )在[－2,2]上是单调函数， ∴k －22≤－2或k －22≥2，解得k ≤－2或k ≥6. 所以所求k 的取值范围为k ≤－2或k ≥6.12．(2009·江苏镇江)已知f (x )是定义在区间[－1,1]上的奇函数，且f (1)＝1，若m 、n ∈[－1,1]，m ＋n ≠0时，有f (m )＋f (n )m ＋n >0.(1)解不等式f ⎝⎛⎭⎫x ＋12<f (1－x )； (2)若f (x )≤t 2－2at ＋1对所有x ∈[－1,1]，a ∈[－1,1]恒成立，求实数t 的取值范围． 解：(1)任取x 1、x 2∈[－1,1]，且x 2>x 1，则f (x 2)－f (x 1)＝f (x 2)＋f (－x 1)＝f (x 2)＋f (－x 1)x 2＋(－x 1)·(x 2－x 1)>0，∴f (x 2)>f (x 1)，∴f (x )是增函数．f ⎝⎛⎭⎫x ＋12<f (1－x )⇔⎩⎪⎨⎪⎧－1≤x ＋12≤1，－1≤1－x ≤1，x ＋12<1－x⇔0≤x <14，即不等式f ⎝⎛⎭⎫x ＋12<f (1－x )的解集 为⎣⎡⎭⎫0，14. (2)由于f (x )为增函数，∴f (x )的最大值为f (1)＝1，∴f (x )≤t 2－2at ＋1对a ∈[－1,1]、x ∈[－1,1]恒成立⇔t 2－2at ＋1≥1对任意a ∈ [－1,1]恒成立⇔t 2－2at ≥0对任意a ∈[－1,1]恒成立．把y ＝t 2－2at 看作a 的函数， 由a ∈[－1,1]知其图象是一条线段， ∴t 2－2at ≥0对任意a ∈[－1,1]恒成立⇔⎩⎪⎨⎪⎧ t 2－2×(－1)×t ≥0，t 2－2×1×t ≥0⇔⎩⎪⎨⎪⎧t 2＋2t ≥0，t 2－2t ≥0⇔⎩⎪⎨⎪⎧t ≤－2或t ≥0t ≤0或t ≥2，⇔t ≤－2，或t ＝0，或t ≥2。
高三数学二轮复习 必考问题专项突破1 函数、基本初等函数的图象和性质 理 试题
二轮专题复习·数学理(新课标)第一局部 22个必考问题专项打破创 作人：历恰面 日 期： 2020年1月1日必考问题1 函数、根本初等函数的图象和性质1．(2021·)以下函数中，与函数y ＝13x定义域一样的函数为( )．A ．y ＝1sin x B ．y ＝ln x x C ．y ＝x e xD ．y ＝sin x x答案：D [函数y ＝13x的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，而y ＝1sin x 的定义域为{x |x∈R ，x ≠k π，k ∈Z }，y ＝ln x x 的定义域为(0，＋∞)，y ＝x e x的定义域为R ，y ＝sin x x的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)．]2．(2021·)以下函数中，不满足f (2x )＝2f (x )的是( )．A ．f (x )＝|x |B ．f (x )＝x －|x |C ．f (x )＝x ＋1D ．f (x )＝－x答案：C [对于选项A ，f (2x )＝|2x |＝2|x |＝2f (x )；对于选项B ，f (x )＝x －|x |＝⎩⎪⎨⎪⎧0x ≥02x x ＜0，当x ≥0时，f (2x )＝0＝2f (x )，当x ＜0时，f (2x )＝4x ＝2·2x ＝2f (x )，恒有f (2x )＝2f (x )；对于选项D ，f (2x )＝－2x ＝2(－x )＝2f (x )；对于选项C ，f (2x )＝2x＋1＝2f (x )－1.]3．(2021·)以下函数中，在区间(0，＋∞)上为增函数的是( )．A ．y ＝ln(x ＋2)B ．y ＝－x ＋1C ．y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12xD ．y ＝x ＋1x答案：A [结合初等函数的单调性逐一分析即可得到正确结论．选项A 的函数y ＝ln(x ＋2)的增区间为(－2，＋∞)，所以在(0，＋∞)上一定是增函数．]4．(2021·)实数a ≠0，函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋a ，x ＜1，－x －2a ，x ≥1.假设f (1－a )＝f (1＋a )，那么a 的值是________．解析 首先讨论1－a,1＋a 与1的关系， 当a ＜0时，1－a ＞1,1＋a ＜1， 所以f (1－a )＝－(1－a )－2a ＝－1－a ；f (1＋a )＝2(1＋a )＋a ＝3a ＋2.因为f (1－a )＝f (1＋a )，所以－1－a ＝3a ＋2， 所以a ＝－34.当a ＞0时，1－a ＜1,1＋a ＞1，所以f (1－a )＝2(1－a )＋a ＝2－a ；f (1＋a )＝－(1＋a )－2a ＝－3a －1.因为f (1－a )＝f (1＋a )，所以2－a ＝－3a －1，所以a ＝－32(舍去)．综上，满足条件的a ＝－34.答案 －34高考对本内容的考察主要有：①利用函数的图象与性质求函数定义域、值域与最值，尤其是考察对数函数的定义域、值域与最值问题；②借助根本初等函数考察函数单调性与奇偶性的应用，尤其是考察含参函数的单调性问题或者借助单调性求参数的范围，主要以解答题的形式考察；③求二次函数的解析式、值域与最值，考察二次函数的最值、一元二次方程与不等式的综合应用；④在函数与导数的解答题中，考察指数函数、对数函数的求导、含参函数单调性的讨论、函数的极值或者最值的求解等．本局部的试题多围绕二次函数、分段函数、指数函数、对数函数等几个常见的函数来设计，考察函数的单调性、奇偶性、周期性、对称性等，所以复习时一定要回归课本，重读教材，只有把课本中的例题、习题弄明白，把根底夯扎实，才能真正掌握、灵敏应用，到达事半功倍的效果.必备知识函数及其图象(1)定义域、值域和对应关系是确定函数的三个要素，是一个整体，研究函数问题时必须要“定义域优先〞．(2)对于函数的图象要会作图、识图、用图，作函数图象有两种根本方法：一是描点法；二是图象变换法，其中图象变换有平移变换、伸缩变换、对称变换．函数的性质(1)函数单调性的断定方法①定义法：取值，作差，变形，定号，答题．其中变形是关键，常用的方法有：通分、配方、因式分解．②导数法．③复合函数的单调性遵循“同增异减〞的原那么．(2)函数的奇偶性反映了函数图象的对称性，是函数的整体特性．利用函数的奇偶性可以把研究整个函数具有的性质问题转化到只研究局部(一半)区间上，是简化问题的一种途径．(3)求函数最值(值域)常用的方法①单调性法：合适于或者能判断单调性的函数； ②图象法：合适于或者易作出图象的函数；③根本不等式法：特别合适于分式构造或者两元的函数； ④导数法：合适于可求导数的函数． 函数图象的对称性(1)假设函数y ＝f (x )满足f (a ＋x )＝f (a －x )，即f (x )＝f (2a －x )，那么f (x )的图象关于直线x ＝a 对称．(2)假设f (x )满足f (a ＋x )＝f (b －x )，那么函数f (x )的图象关于直线x ＝a ＋b2对称．(3)假设f (x ＋a )为奇函数⇒f (x )的图象关于点(a,0)成中心对称；假设f (x ＋a )为偶函数⇒f (x )的图象关于直线x ＝a 对称．必备方法1．函数的图象和解析式是函数关系的主要表现形式，它们的本质是一样的，在解题时经常要互相转化．在解决函数问题时，尤其是较为繁琐的(如分类讨论，求参数的取值范围等)问题时，要注意充分发挥图象的直观作用．2．二次函数、一元二次方程和一元二次不等式是一个有机的整体，要深入理解它们之间的互相关系，能用函数与方程、分类讨论、数形结合思想来研究与“三个二次〞有关的问题，高考对“三个二次〞知识的考察往往浸透在其他知识之中，并且大都出如今解答题中.函数性质及其应用的考察常考察：①给定函数解析式求定义域；②给出分段函数表达式结合奇偶性、周期性求值．纯熟转化函数的性质是解题的关键，是高考的必考内容，常以选择题、填空题的形式考察，多为根底题．【例1】► 设定义域在[－2,2]上的偶函数f (x )在区间[0,2]上单调递减，假设f (1－m )＜f (m )．那么实数m 的取值范围是________．[审题视点] [听课记录][审题视点] 利用条件，可将问题转化为|1－m |＞|m |. 解析 ∵f (x )是偶函数，∴f (－x )＝f (x )＝f (|x |)． ∴不等式f (1－m )＜f (m )⇔f (|1－m |)＜f (|m |)， 又∵当x ∈[0,2]时，f (x )是减函数， ∴⎩⎪⎨⎪⎧|1－m |＞|m |，－2≤1－m ≤2，－2≤m ≤2，解得－1≤m ＜12.答案 ⎣⎢⎡⎭⎪⎫－1，12(1)函数的性质主要是函数的奇偶性、单调性和周期性以及函数图象的对称性．(2)求函数最值常用的方法有单调性法、图象法、根本不等式法、导数法和换元法． 【打破训练1】 (2021·2月月考)定义在R 上的函数y ＝f (x )满足以下三个条件：①对于任意的x ∈R ，都有f (x ＋4)＝f (x )；②对于任意的x 1，x 2∈R ，且0≤x 1≤x 2≤2，都有f (x 1)＜f (x 2)；③函数y ＝f (x ＋2)的图象关于y 轴对称．那么以下结论正确的选项是( )．A ．f (4.5)＜f (7)＜f (6.5)B ．f (7)＜f (4.5)＜f (6.5)C ．f (7)＜f (6.5)＜f (4.5)D ．f (4.5)＜f (6.5)＜f (7)答案：A [由①知，f (x )的周期为4， 由②知，f (x )在[0,2]上单调递增． 由③知，f (x )的对称轴为x ＝2.∴f (4.5)＝f (0.5)，f (7)＝f (3)＝f (1)．f (6.5)＝f (2.5)＝f (1.5)．∴f (4.5)＜f (7)＜f (6.5)．] 函数图象及其应用的考察常考察：①由函数的性质(如单调性、对称性、最值)及图象的变换选图象；②在解方程或者不等式问题时，利用图象求交点个数或者解集的范围，是高考考察的热点，常以选择题形式考察，难度中档．【例2】► 函数y ＝x2－2sin x 的图象大致是( )．[审题视点] [听课记录][审题视点] 利用导数的正负与函数在某一区间内的单调性的关系求解．C [由f (－x )＝－f (x )知，函数f (x )为奇函数，所以排除A ；又f ′(x )＝12－2cos x ，当x 在y 轴右侧，趋向0时，f ′(x )＜0，所以函数f (x )在x 轴右边接近原点处为减函数，当x ＝2π时，f ′(2π)＝12－2cos 2π＝－32＜0，所以x ＝2π应在函数的减区间上，所以选C.]函数的图象在研究函数性质中有着举足轻重的作用．(1)识图：在观察、分析图象时，要注意到图象的分布及变化趋势，具有的性质，找准解析式与图象的对应关系．(2)用图：在研究函数性质特别是单调性、最值、零点时，要注意用好其与图象的关系，结合图象研究．(3)掌握根本初等函数的图象(一元一次函数、一元二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、三角函数)，它们是图象变换的根底．【打破训练2】 (2021·新课标全国)函数f (x )＝1ln x ＋1－x，那么y ＝f (x )的图象大致为( )．答案：B [g (x )＝ln(x ＋1)－x ⇒g ′(x )＝－x1＋x ，当g ′(x )＞0时，－1＜xg ′(x )＜0时，x ＞0.故g (x )＜g (0)＝0，即x ＞0或者－1＜x ＜0时均有f (x )＜0，排除A 、C 、D.] 二次函数综合问题的考察高考很少单独考察二次函数，往往与导数结合来命题，可涉及到二次函数的许多根底知识的考察，如含参函数根的分布问题，根与系数的关系问题，要求考生纯熟应用有关的根底知识．【例3】► 设函数f (x )＝a3x 3＋bx 2＋cx ＋d (a ＞0)，且方程f ′(x )－9x ＝0的两个根分别为1,4.(1)当a ＝3且曲线y ＝f (x )过原点时，求f (x )的解析式； (2)假设f (x )在(－∞，＋∞)内无极值点，求a 的取值范围． [审题视点] [听课记录][审题视点] (1)借助根与系数的关系，曲线过原点等条件进展求解；(2)问题可转化为f ′(x )≥0在(－∞，＋∞)内恒成立．解 由f (x )＝a3x 3＋bx 2＋cx ＋d ，得f ′(x )＝ax 2＋2bx ＋c .因为f ′(x )－9x ＝ax 2＋2bx ＋c －9x ＝0的两个根分别为1,4，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＋2b ＋c －9＝0，16a ＋8b ＋c －36＝0，(*)(1)当a ＝3时，由(*)式得⎩⎪⎨⎪⎧2b ＋c －6＝0，8b ＋c ＋12＝0.解得b ＝－3，c ＝12.又因为曲线y ＝f (x )过原点，所以d ＝0， 故f (x )＝x 3－3x 2＋12x .(2)由于a ＞0，所以“f (x )＝a3x 3＋bx 2＋cx ＋d 在(－∞，＋∞)内无极值点〞等价于“f ′(x )＝ax 2＋2bx ＋c ≥0在(－∞，＋∞)内恒成立〞．由(*)式得2b ＝9－5a ，c ＝4a . 又Δ＝(2b )2－4ac ＝9(a －1)(a －9)．解⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0，Δ＝9a －1a －9≤0得，a ∈[1,9]，即a 的取值范围是[1,9]．高考对该局部的考察多与二次函数相结合综合命题，涉及函数零点问题，比拟方程根的大小问题，函数值的求解，函数图象的识别等问题，考察学生分析、解决问题的才能．【打破训练3】 函数f (x )＝3ax 4－2(3a ＋1)x 2＋4x . (1)当a ＝16时，求f (x )的极值；(2)假设f (x )在(－1,1)上是增函数，求a 的取值范围． 解 (1)f ′(x )＝4(x －1)(3ax 2＋3ax －1)． 当a ＝16时，f ′(x )＝2(x ＋2)(x －1)2，f (x )在(－∞，－2)内单调递减，在(－2，＋∞)内单调递增，在x ＝－2时，f (x )有极小值． 所以f (－2)＝－12是f (x )的极小值．(2)在(－1,1)上，f (x )单调递增，当且仅当f ′(x )＝4(x －1)·(3ax 2＋3ax －1)≥0，即3ax 2＋3ax －1≤0，①(i)当a ＝0时，①恒成立；(ii)当a ＞0时，①成立，当且仅当3a ·12＋3a ·1－1≤0. 解得a ≤16.∴0＜a ≤16.(iii)当a ＜0时，①成立，即3a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122－3a4－1≤0成立，当且仅当－3a 4a ≥－43.∴－43≤a ＜0.综上，a 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－43，16.函数根底知识在综合问题中的应用函数是高考永远不变的主题，二次函数更是热点．对二次函数的考察主要以二次函数的图象为载体，利用数形结合思想，解决二次函数的单调区间、二次函数在给定区间上的最值以及与此相关的参数范围的问题．下面介绍函数根底知识在综合问题中的应用．【例如】► (高考改编题)设函数f (x )＝－13x 3＋x 2＋(m 2－1)x (x ∈R )，其中m ＞0.(1)当m ＝1时，求曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线的斜率； (2)求函数f (x )的单调区间与极值；(3)函数f (x )有三个互不一样的零点0，x 1，x 2，且x 1＜x 2，假设对任意的x ∈[x 1，x 2]，f (x )＞f (1)恒成立，求m 的取值范围．[满分是解答] (1)当m ＝1时，f (x )＝－13x 3＋x 2，f ′(x )＝－x 2＋2x ，故fy ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线的斜率为1.(3分)(2)f ′(x )＝－x 2＋2x ＋m 2－1.令f ′(x )＝0，解得x ＝1－m 或者x ＝1＋m .因为m ＞0，所以1＋m ＞1－m .当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：x (－∞，1－m )1－m (1－m,1＋m )1＋m (1＋m ，＋∞)f ′(x ) －0 ＋0 － f (x )极小值极大值所以f (x )在(－∞，1－m )，(1＋m ，＋∞)上是减函数，在(1－m,1＋m )上是增函数．函数f (x )在x ＝1－m 处获得极小值f (1－m )，且f (1－m )＝－23m 3＋m 2－13.函数f (x )在x ＝1＋m处获得极大值f (1＋m )，且f (1＋m )＝23m 3＋m 2－13.(7分)(3)由题设，f (x )＝x ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13x 2＋x ＋m 2－1＝－13x (x －x 1)(x －x 2)，所以方程－13x 2＋x ＋m2－1＝0有两个相异的实根x 1，x 2，故x 1＋x 2＝3，且Δ＝1＋43(m 2－1)＞0，解得m ＜－12(舍去)或者m ＞12.因为x 1＜x 2，所以2x 2＞x 1＋x 2＝3，故x 2＞32＞x 1.(9分)假设x 1≤1＜x 2，那么f (1)＝－13(1－x 1)(1－x 2)≥0，而f (x 1)＝0，不合题意．假设1＜x 1＜x 2，对任意的x ∈[x 1，x 2]，有x ＞0，x －x 1≥0，x －x 2≤0，那么f (x )＝－13x (x －x 1)(x －x 2f (x 1)＝0，所以f (x )在[x 1，x 2x ∈[x 1，x 2]，f (x )＞f (1)恒成立的充要条件是f (1)＝m 2－13＜0，解得－33＜m ＜33.综上，m 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫12，33.(12分) 教师叮咛：该题综合考察了导数知识与函数的根底知识，是一道不错的试题.12问较易得分，第3问因找不到问题的打破口而得分率很低，原因是二次函数的相关根底知识掌握不结实，不会利用数形结合的思想.【试一试】 设函数f (x )＝6x 3＋3(a ＋2)x 2＋2ax .(1)假设f (x )的两个极值点为x 1，x 2，且x 1x 2＝1，务实数a 的值；(2)是否存在实数a ，使得f (x )是(－∞，＋∞)上的单调函数？假设存在，求出a 的值；假设不存在，说明理由．解 f ′(x )＝18x 2＋6(a ＋2)x ＋2a .创 作人： 历恰面 日 期： 2020年1月1日创 作人： 历恰面 日 期： 2020年1月1日 (1)由有f ′(x 1)＝f ′(x 2)＝0，从而x 1x 2＝2a 18＝1，所以a ＝9. (2)由于Δ＝36(a ＋2)2－4×18×2a ＝36(a 2＋4)＞0，所以不存在实数a ，使得f (x )是(－∞，＋∞)上的单调函数．。
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高考专题训练二基本初等函数的图象与性质班级________ 姓名________ 时间：45分钟分值：75分总得分________一、选择题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项填在答题卡上．1．(2011·课标)下列函数中，既是偶函数，又是在(0，＋∞)上单调递增的函数是( ) A．y＝x3B．y＝|x|＋1C．y＝－x2＋1 D．y＝2－|x|解析：由偶函数排除A，由在(0，＋∞)上单调递增，排除C、D.答案：B2．(2011·广东)设函数f(x)和g(x)分别是R上的偶函数和奇函数，则下列结论恒成立的是( )A．f(x)＋|g(x)|是偶函数B．f(x)－|g(x)|是奇函数C．|f(x)|＋g(x)是偶函数D．|f(x)|－g(x)是奇函数解析：令F(x)＝f(x)＋|g(x)|，∵f(x)是偶函数，g(x)是奇函数∴f(－x)＝f(x)，g(－x)＝－g(x)∴F(－x)＝f(－x)＋|g(－x)|＝f(x)＋|－g(x)|＝f(x)＋|g(x)|＝F(x)．∴F(x)在R上是偶函数．答案：A3．(2011·湖北)已知定义在R上的奇函数f(x)和偶函数g(x)满足f(x)＋g(x)＝a x－a －x＋2(a>0，且a≠1)．若g(2)＝a，则f(2)＝( )A．2 B.15 4C.174D．a2解析：f(x)＋g(x)＝a x－a－x＋2①f(－x)＋g(－x)＝a－x－a x＋2∴－f(x)＋g(x)＝a－x－a x＋2②由①②可得：g(x)＝2，f(x)＝a x－a－x∵g (2)＝a ＝2，∴f (2)＝22－2－2＝154.答案：B4．(2011·山东)对于函数y ＝f (x )，x ∈R ，“y ＝|f (x )|的图象关于y 轴对称”是“y ＝f (x )是奇函数”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：y ＝f (x )，x ∈R ，“y ＝|f (x )|的图象关于y 轴对称”构造函数f (x )＝x 2，y ＝|f (x )|关于y 轴对称，但f (x )＝x 2是偶函数． 又y ＝f (x )是奇函数，则y ＝|f (x )|的图象关于y 轴对称， ∴选B. 答案：B5．(2011·全国)设f (x )是周期为2的奇函数，当0≤x ≤1时，f (x )＝2x (1－x )，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＝( )A ．－12B ．－14C.14D.12解析：f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝－2×12×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＝－12.答案：A6．在实数集R 中定义一种运算“*”，对任意给定的a ，b ∈R ，a *b 为唯一确定的实数，且具有性质：(1)对任意a ，b ∈R ，a *b ＝b *a ； (2)对任意a ∈R ，a *0＝a ；(3)对任意a ，b ∈R ，(a *b )*c ＝c *(ab )＋(a *c )＋(c *b )－2c .关于函数f (x )＝(3x )*13x 的性质，有如下说法：①函数f (x )的最小值为3；②函数f (x )为奇函数；③函数f (x )的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－13，⎝ ⎛⎭⎪⎫13，＋∞.其中所有正确说法的个数为( ) A ．0 B ．1 C ．2D ．3解析：f (x )＝f (x )*0＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x13x *0＝0*（3x ×13x ）＋[(3x )*0]＋⎝ ⎛⎭⎪⎫0*13x )－2×0＝3x ×13x ＋3x ＋13x ＝3x ＋13x ＋1.当x ＝－1时，f (x )<0，故①错误；因为f (－x )＝－3x －13x ＋1≠－f (x )，所以②错误；令f ′(x )＝3－13x 2>0，得x >13，或x <－13，因此函数f (x )的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－13，⎝ ⎛⎭⎪⎫13，＋∞，即③正确．答案：B二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上． 7．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2x x ，0 x ＝，x 2＋mx x为奇函数，若函数f (x )在区间[－1，|a |－2]上单调递增，则a 的取值范围是________．解析：当x <0时，－x >0，∵f (－x )＝－(－x )2＋2(－x )＝－x 2－2x ，又f (x )为奇函数，∴f (－x )＝－f (x )＝－x 2－2x ，∴x <0时，f (x )＝x 2＋2x ，∴m ＝2，即f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2x x ，0 x ＝，x 2＋mx x其图象为由图象可知，f (x )在[－1,1]上单调递增，要使f (x )在[－1，|a |－2]上单调递增，只需⎩⎪⎨⎪⎧|a |－2>－1，|a |－2≤1，解得－3≤a <－1或1<a ≤3.答案：[－3，－1)∪(1,3]8．(2011·上海)设g (x )是定义在R 上，以1为周期的函数，若函数f (x )＝x ＋g (x )在区间[3,4]上的值域为[－2,5]，则f (x )在区间[－10,10]上的值域为________．解析：令f(x)分别在x1，x2(x1，x2∈[3,4])处取得最大、最小值，即f(x1)＝x1＋g(x1)＝5，f(x2)＝x2＋g(x2)＝－2，因为y＝x为增函数，y＝g(x)的周期为1，故f(x1＋6)是f(x)在[9,10]上的最大值，此即为f(x)在[－10,10]上的最大值．f(x2－13)是f(x)在[－10，－9]上的最小值，此即为f(x)在[－10,10]上的最小值．f(x1＋6)＝x1＋6＋g(x1＋6)＝x1＋g(x1)＋6＝11.f(x2－13)＝x2－13＋g(x2－13)＝x2＋g(x2)－13＝－15.故值域为[－15,11]．答案：[－15,11]9．对方程lg(x＋4)＝10x根的情况，有以下四种说法：①仅有一根；②有一正根和一负根；③有两个负根；④没有实数根．其中你认为正确说法的序号是________．解析：在同一坐标系中作出它们的图象，如图．当x＝0时，y1＝lg4，y2＝100＝1，y1<y2；当x＝－2时，y1＝lg2，y2＝10－2＝0.01，y1>y2.故这两个函数图象的交点均在y轴左侧，原方程应有两个负根，应填③.答案：③10．(2011·福建)设V是全体平面向量构成的集合，若映射f：V→R满足：对任意向量a＝(x1，y1)∈V，b＝(x2，y2)∈V，以及任意λ∈R，均有f[λa＋(1－λ)b]＝λf(a)＋(1－λ)f(b)，则称映射f具有性质P.现给出如下映射：①f1：V→R，f1(m)＝x－y，m＝(x，y)∈V；②f2：V→R，f2(m)＝x2＋y，m＝(x，y)∈V；③f3：V→R，f3(m)＝x＋y＋1，m＝(x，y)∈V.其中，具有性质P的映射的序号为________．(写出所有具有性质P的映射的序号) 解析：a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)．f1[λa＋(1－λ)b]＝f1[λx1＋(1－λ)x2，λy1＋(1－λ)y2]＝λx1＋(1－λ)x2－λy1－(1－λ)y2.λf1(a)＋(1－λ)f1(b)＝λ(x1－y1)＋(1－λ)(x2－y2)＝λx1－λy1＋(1－λ)x2－(1－λ)y2＝λx1＋(1－λ)x2－λy1－(1－λ)y2.∴f1具有性质Pf2[λa＋(1－λ)b]＝f2[λx1＋(1－λ)x2，λy1＋(1－λ)y2]＝[λx1＋(1－λ)x2]2＋λy1＋(1－λ)y2λf2(a)＋(1－λ)f2(b)＝λ(x21＋y1)＋(1－λ)(x22＋y2)＝λx21＋(1－λ)x22＋λy1＋(1－λ)y2≠f2[λa＋(1－λ)b]∴f2不具有性质Pf3[λa＋(1－λ)b]＝λx1＋(1－λ)x2＋λy1＋(1－λ)y2＋λf3(a)＋(1－λ)f3(b)＝λ(x1＋y1＋1)＋(1－λ)(x2＋y2＋1)＝λx1＋(1－λ)x2＋λy1＋(1－λ)y2＋1＝f3[λa＋(1－λ)b]．∴f3具有性质P.答案：①③三、解答题：本大题共2小题，共25分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．11．(12分)(2011·广东清远市高三3月测试)已知函数f(x)＝ax2＋bx＋c，x∈[0,6]的图象经过(0,0)和(6,0)两点，如图所示，且函数f(x)的值域为[0,9]．过动点P(t，f(t))作x轴的垂线，垂足为A，连接OP.(1)求函数f (x )的解析式；(2)记△OAP 的面积为S ，求S 的最大值．解：(1)由已知可得函数f (x )的对称轴为x ＝3，顶点为(3,9)．法一：由⎩⎪⎨⎪⎧f ＝0－b 2a＝34ac －b 24a ＝9得a ＝－1，b ＝6，c ＝0 得f (x )＝6x －x 2，x ∈[0,6]．法二：设f (x )＝a (x －3)2＋9 由f (0)＝0，得a ＝－1f (x )＝6x －x 2，x ∈[0,6]．(2)S (t )＝12|OA |·|AP |＝12t (6t －t 2)，t ∈(0,6)S ′(t )＝6t －32t 2＝32t (4－t )列表↗ ↘即S (t )max ＝S (4)＝12×4×(6×4－42)＝16.12．(13分)(2011·上海)已知函数f (x )＝a ·2x＋b ·3x，其中常数a ，b 满足a ·b ≠0. (1)若a ·b >0，判断函数f (x )的单调性；(2)若a ·b <0，求f (x ＋1)>f (x )时的x 的取值范围．解：(1)当a >0，b >0时，任取x 1，x 2∈R ，且x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝a (2x1－2 x2)＋b (3x1－3 x2)∵2x 1<2x 2，a >0⇒a (2x1－2 x2)<0,3 x1<3 x2，b >0⇒b (3x1－3 x2)<0， ∴f (x 1)－f (x 2)<0，函数f (x )在R 上是增函数． 同理，当a <0，b <0时，函数f (x )在R 上是减函数．(2)f (x ＋1)－f (x )＝a ·2x ＋2b ·3x>0当a <0，b >0时，⎝ ⎛⎭⎪⎫32x>－a 2b ， 则x >log 1.5⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2b ；当a >0，b <0时，⎝ ⎛⎭⎪⎫32 x<－a 2b ， 则x <log 1.5⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2b .。