创新教程高考数学大一轮复习 第六章 第3节 一元二次不等式及其解法课时冲关 理 新人教A版
创新教程高考数学大一轮复习 第六章 第2节 基本不等式课时冲关 理 新人教A版
【创新教程】2016年高考数学大一轮复习 第六章 第2节 基本不等式课时冲关 理 新人教A 版对应学生用书课时冲关 理三十/第291页文二十九/第257页一、选择题1．设0<a <b ，则下列不等式中正确的是( ) A ．a <b <ab <a ＋b2 B ．a <ab <a ＋b2<bC ．a <ab <b <a ＋b 2D.ab <a <a ＋b2<b解析：∵0<a <b ，∴a <a ＋b2<b ，A 、C 错误；ab －a ＝a (b －a )>0，即ab >a ，D 错误，故选B.答案：B2．下列不等式一定成立的是( )A ．lg ⎝⎛⎭⎪⎫x 2＋14>lg x (x >0)B ．sin x ＋1sin x≥2(x ≠k π，k ∈Z ) C ．x 2＋1≥2|x |(x ∈R ) D.1x 2＋1>1(x ∈R ) 解析：当x >0时，x 2＋14≥2·x ·12＝x ，所以lg ⎝⎛⎭⎪⎫x 2＋14≥lg x (x >0)，故选项A 不正确；而当x ≠k π，k ∈Z 时，sin x 的正负不定，故选项B 不正确；由均值不等式可知，选项C 正确；当x ＝0时，有1x 2＋1＝1，故选项D 不正确． 答案：C3．已知0<x <1，则x (3－3x )取得最大值时x 的值为( ) A.13B.12C.34D.23解析：∵0<x <1，∴1－x >0. ∴x (3－3x )＝3x (1－x )≤3⎝⎛⎭⎪⎫x ＋1－x 22＝34.当x ＝1－x ，即x ＝12时取等号．答案：B4．(2015·吉林延边质检)已知正数a ，b 满足4a ＋b ＝30，使得1a ＋1b取最小值的实数对(a ，b )是( )A ．(5,10)B ．(6,6)C ．(10,5)D ．(7,2)解析：1a ＋1b ＝130⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b (4a ＋b )＝130⎝ ⎛⎭⎪⎫4＋1＋b a ＋4a b ≥130⎝ ⎛⎭⎪⎫5＋2b a ·4a b ＝310，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧b a ＝4a b ，4a ＋b ＝30，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＝5，b ＝10时等号成立．故选A.答案：A5．已知f (x )＝x ＋1x－2(x ＜0)，则f (x )有( )A ．最大值为0B ．最小值为0C ．最大值为－4D ．最小值为－4解析：∵x ＜0，∴f (x )＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤－x ＋1－x －2≤－2－2＝－4，当且仅当－x ＝1－x ，即x ＝－1时取等号．答案：C6．某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为800元．若每批生产x 件，则平均仓储时间为x8天，且每件产品每天的仓储费用为1元．为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品( )A ．60件B ．80件C ．100件D ．120件解析：(1)设每件产品的平均费用为y 元，由题意得y ＝800x ＋x8≥2800x ·x8＝20. 当且仅当800x ＝x8(x >0)，即x ＝80时“＝”成立，故选B.答案：B7．若函数f (x )＝x ＋1x －2(x >2)在x ＝a 处取最小值，则a 等于( ) A ．1＋ 2 B ．1＋ 3 C ．3D ．4解析：f (x )＝x ＋1x －2＝x －2＋1x －2＋2. ∵x >2，∴x －2>0. ∴f (x )＝x －2＋1x －2＋2≥2 x －2·1x －2＋2＝4，当且仅当x －2＝1x －2，即x ＝3时，“＝”成立． 又f (x )在x ＝a 处取最小值．∴a ＝3. 答案：C8．已知a >0，b >0，若不等式m 3a ＋b －3a －1b≤0恒成立，则m 的最大值为( )A ．4B ．16C ．9D ．3解析：因为a >0，b >0，所以由m 3a ＋b －3a －1b ≤0恒成立得m ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫3a ＋1b (3a ＋b )＝10＋3b a ＋3a b 恒成立．因为3b a ＋3ab≥23b a ·3ab＝6，当且仅当a ＝b 时等号成立，所以10＋3b a ＋3ab≥16，所以m ≤16，即m 的最大值为16，故选B.答案：B9．函数y ＝x 2＋2x －1(x >1)的最小值是( )A ．23＋2B ．23－2C ．2 3D ．2解析：∵x >1，∴x －1>0.∴y ＝x 2＋2x －1＝x 2－2x ＋2x ＋2x －1＝x 2－2x ＋1＋2x －1＋3x －1＝x －12＋2x －1＋3x －1＝x －1＋3x －1＋2≥2x －1⎝ ⎛⎭⎪⎫3x －1＋2＝23＋2.当且仅当x －1＝3x －1，即x ＝1＋3时，取等号． 答案：A10．设x ，y 均为正实数，且32＋x ＋32＋y＝1，则xy 的最小值为( ) A ．4 B ．4 3 C ．9D ．16解析：由32＋x ＋32＋y＝1可化为xy ＝8＋x ＋y ，∵x ，y 均为正实数，∴xy ＝8＋x ＋y ≥8＋2xy (当且仅当x ＝y 时等号成立)，即xy －2xy －8≥0，解得xy ≥4，即xy ≥16，故xy 的最小值为16. 故选D.答案：D11．(2015·洛阳市高三统考)在△ABC 中，D 为BC 边的中点，AD ＝1，点P 在线段AD 上，则PA →·(PB →＋PC →)的最小值为( )A ．－1B ．1 C.12D ．－12解析：依题意得，PA →·(PB →＋PC →)＝2PA →·PD →＝－2|PA →|·|PD →|≥－2⎝⎛⎭⎪⎫|PA →|＋|PD →|22＝－|AD →|22＝－12，当且仅当|PA →|＝|PD →|＝12时取等号，因此PA →·(PB →＋PC →)的最小值是－12，故选D. 答案：D12．(2015·北京模拟)已知关于x 的方程x 2＋2px ＋(2－q 2)＝0(p ，q ∈R )有两个相等的实数根，则p ＋q 的取值范围是( )A ．[－2,2]B ．(－2,2)C ．[－2，2]D ．(－2，2)解析：由题意知4p 2－4(2－q 2)＝0，即p 2＋q 2＝2，∵⎝ ⎛⎭⎪⎫p ＋q 22≤p 2＋q 22＝1， ∴－1≤p ＋q2≤1，即－2≤p ＋q ≤2，故选A.答案：A 二、填空题13．已知函数f (x )＝4x ＋a x(x ＞0，a ＞0)在x ＝3时取得最小值，则a ＝________. 解析：借助基本不等式求最值的条件求解．f (x )＝4x ＋ax≥24x ·ax ＝4a (x ＞0，a ＞0)，当且仅当4x ＝a x，即x ＝a2时等号成立，此时f (x )取得最小值4a .又由已知x ＝3时，f (x )min ＝4a ，∴a2＝3，即a ＝36. 答案：3614．如图，建立平面直角坐标系xOy ，x 轴在地平面上，y 轴垂直于地平面，单位长度为1千米，某炮位于坐标原点．已知炮弹发射后的轨迹在方程y ＝kx －120(1＋k 2)x 2(k ＞0)表示的曲线上，其中k 与发射方向有关．炮的射程是指炮弹落地点的横坐标．则炮的最大射程为________千米．解析：令y ＝0，得kx －120(1＋k 2)x 2＝0，由实际意义和题设条件知x ＞0，k ＞0，故x ＝20k 1＋k 2＝20k ＋1k≤202＝10，当且仅当k ＝1时取等号．所以炮的最大射程为10千米． 答案：1015．(2015·青岛二模)设OA →＝(1，－2)，OB →＝(a ，－1)，OC →＝(－b,0)，a ＞0，b ＞0，O 为坐标原点，若A ，B ，C 三点共线，则1a ＋2b的最小值是________．解析：AB →＝OB →－OA →＝(a －1,1)，AC →＝OC →－OA →＝(－b －1,2)，∵A ，B ，C 三点共线，∴AB →与AC →共线， ∴2(a －1)＋b ＋1＝0，即2a ＋b ＝1. ∵a ＞0，b ＞0，∴1a ＋2b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋2b (2a ＋b )＝4＋b a ＋4ab≥4＋4＝8，当且仅当b a ＝4ab，即b ＝2a 时等号成立． 答案：816．(文科)定义“*”是一种运算，对于任意的x ，y ，都满足x *y ＝axy ＋b (x ＋y )，其中a ，b 为正实数，已知1] .解析：∵1]6ab )，∴ab ≤23.当且仅当2a ＝3b ，即a ＝1时等号成立， 所以当a ＝1时，ab 取最大值23.答案：116．(理科)规定记号“⊗”表示一种运算，即a ⊗b ＝ab ＋a ＋b (a ，b 为正实数)．若1⊗k ＝3，则k 的值为________，此时函数f (x )＝k ⊗xx的最小值为________．解析：1⊗k ＝k ＋1＋k ＝3， 即k ＋k －2＝0， ∴k ＝1或k ＝－2(舍)， ∴k ＝1.f (x )＝1⊗x x ＝x ＋x ＋1x＝1＋x ＋1x≥1＋2＝3， 当且仅当x ＝1x即x ＝1时等号成立．答案：1 3[备课札记]。
高考数学大一轮复习第六章不等式推理与证明课时跟踪检测三十三一元二次不等式及其解法
课时跟踪检测 (三十三) 一元二次不等式及其解法一抓基础，多练小题做到眼疾手快1．设集合A ＝{x |x 2＋x －6≤0}，集合B 为函数y ＝1x －1的定义域，则A ∩B 等于( )A ．(1,2)B ．[1,2]C ．[1,2)D ．(1,2]解析：选D A ＝{x |x 2＋x －6≤0}＝{x |－3≤x ≤2}， 由x －1>0得x >1，即B ＝{x |x >1}， 所以A ∩B ＝{x |1<x ≤2}．2．不等式f (x )＝ax 2－x －c >0的解集为{x |－2<x <1}，则函数y ＝f (－x )的图象为( )解析：选B 由根与系数的关系得1a ＝－2＋1，－ca＝－2，得a ＝－1，c ＝－2，∴f (x )＝－x 2－x ＋2(经检验知满足题意)，∴f (－x )＝－x 2＋x ＋2，其图象开口向下，顶点为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，94．3．(2017·昆明模拟)不等式x 2－2x ＋5≥a 2－3a 对任意实数x 恒成立，则实数a 的取值范围为( )A ．[－1,4]B ．(－∞，－2]∪[5，＋∞)C ．(－∞，－1]∪[4，＋∞)D ．[－2,5]解析：选A x 2－2x ＋5＝(x －1)2＋4的最小值为4，所以x 2－2x ＋5≥a 2－3a 对任意实数x 恒成立，只需a 2－3a ≤4，解得－1≤a ≤4．4．不等式|x (x －2)|>x (x －2)的解集是________．解析：不等式|x (x －2)|>x (x －2)的解集即x (x －2)<0的解集，解得0<x <2． 答案：{x |0<x <2}5．若0<a <1，则不等式(a －x )⎝⎛⎭⎪⎫x －1a >0的解集是________．解析：原不等式为(x －a )⎝⎛⎭⎪⎫x －1a <0，由0<a <1得a <1a ，∴a <x <1a．答案：⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪a <x <1a 二保高考，全练题型做到高考达标1．已知不等式x2－2x－3＜0的解集为A，不等式x2＋x－6＜0的解集为B，不等式x2＋ax＋b＜0的解集为A∩B，则a＋b等于( )A．－3 B．1C．－1 D．3解析：选A 由题意得，A＝{x|－1＜x＜3}，B＝{x|－3＜x＜2}，∴A∩B＝{x|－1＜x ＜2}，由根与系数的关系可知，a＝－1，b＝－2，则a＋b＝－3．2．不等式2x＋1<1的解集是( )A．(－∞，－1)∪(1，＋∞) B．(1，＋∞) C．(－∞，－1) D．(－1,1)解析：选A ∵2x＋1<1，∴2x＋1－1<0，即1－xx＋1<0，该不等式可化为(x＋1)(x－1)>0，∴x<－1或x>1．3．(2017·郑州调研)规定记号“⊙”表示一种运算，定义a⊙b＝ab＋a＋b(a，b为正实数)，若1⊙k2＜3，则k的取值范围是( )A．(－1,1) B．(0,1)C．(－1,0) D．(0,2)解析：选A 因为定义a⊙b＝ab＋a＋b(a，b为正实数)，1⊙k2＜3，所以k2＋1＋k2＜3，化为(|k|＋2)(|k|－1)＜0，所以|k|＜1，所以－1＜k＜1．4．某商场若将进货单价为8元的商品按每件10元出售，每天可销售100件，现准备采用提高售价来增加利润．已知这种商品每件销售价提高1元，销售量就要减少10件．那么要保证每天所赚的利润在320元以上，销售价每件应定为( )A．12元B．16元C．12元到16元之间D．10元到14元之间解析：选C 设销售价定为每件x元，利润为y，则y＝(x－8)[100－10(x－10)]，依题意有，(x－8)[100－10(x－10)]＞320，即x2－28x＋192＜0，解得12＜x＜16，所以每件销售价应为12元到16元之间．5．若不等式x2－(a＋1)x＋a≤0的解集是[－4,3]的子集，则a的取值范围是( ) A．[－4,1] B．[－4,3]C ．[1,3]D ．[－1,3]解析：选B 原不等式为(x －a )(x －1)≤0，当a <1时，不等式的解集为[a,1]，此时只要a ≥－4即可，即－4≤a <1；当a ＝1时，不等式的解为x ＝1，此时符合要求；当a >1时，不等式的解集为[1，a ]，此时只要a ≤3即可，即1<a ≤3．综上可得－4≤a ≤3．6．不等式x 2＋ax ＋4<0的解集不是空集，则实数a 的取值范围是________． 解析：∵不等式x 2＋ax ＋4<0的解集不是空集， ∴Δ＝a 2－4×4>0，即a 2>16． ∴a >4或a <－4．答案：(－∞，－4)∪(4，＋∞)7．若关于x 的不等式ax ＞b 的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，15，则关于x 的不等式ax 2＋bx －45a ＞0的解集为________．解析：由已知ax ＞b 的解集为⎝⎛⎭⎪⎫－∞，15，可知a ＜0，且b a ＝15，将不等式ax 2＋bx －45a＞0两边同除以a ，得x 2＋b a x －45＜0，即x 2＋15x －45＜0，即5x 2＋x －4＜0，解得－1＜x ＜45，故所求解集为⎝⎛⎭⎪⎫－1，45． 答案：⎝⎛⎭⎪⎫－1，45 8．(2017·石家庄质检)在R 上定义运算：⎪⎪⎪⎪⎪⎪ab cd ＝ad －bc ．若不等式⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －1 a －2a ＋1 x ≥1对任意实数x 恒成立，则实数a 的最大值为________．解析：原不等式等价于x (x －1)－(a －2)(a ＋1)≥1， 即x 2－x －1≥(a ＋1)(a －2)对任意x 恒成立，x 2－x －1＝⎝⎛⎭⎪⎫x －122－54≥－54，所以－54≥a 2－a －2，解得－12≤a ≤32．答案：329．已知f (x )＝－3x 2＋a (6－a )x ＋6． (1)解关于a 的不等式f (1)>0；(2)若不等式f (x )>b 的解集为(－1,3)，求实数a ，b 的值． 解：(1)∵f (x )＝－3x 2＋a (6－a )x ＋6， ∴f (1)＝－3＋a (6－a )＋6＝－a 2＋6a ＋3，∴原不等式可化为a 2－6a －3<0， 解得3－23<a <3＋23．∴原不等式的解集为{a |3－23<a <3＋23}．(2)f (x )>b 的解集为(－1,3)等价于方程－3x 2＋a (6－a )x ＋6－b ＝0的两根为－1,3，等价于⎩⎪⎨⎪⎧－1＋3＝a －a3，－1×3＝－6－b3，解得⎩⎨⎧a ＝3±3，b ＝－3.10．(2017·北京朝阳统一考试)已知函数f (x )＝x 2－2ax －1＋a ，a ∈R ． (1)若a ＝2，试求函数y ＝f xx(x >0)的最小值； (2)对于任意的x ∈[0,2]，不等式f (x )≤a 成立，试求a 的取值范围．解：(1)依题意得y ＝f x x ＝x 2－4x ＋1x ＝x ＋1x－4．因为x >0，所以x ＋1x≥2．当且仅当x ＝1x时，即x ＝1时，等号成立．所以y ≥－2． 所以当x ＝1时，y ＝f xx的最小值为－2． (2)因为f (x )－a ＝x 2－2ax －1，所以要使得“∀x ∈[0,2]，不等式f (x )≤a 成立”， 只要“x 2－2ax －1≤0在[0,2]恒成立”． 不妨设g (x )＝x 2－2ax －1，则只要g (x )≤0在[0,2]上恒成立即可．所以⎩⎪⎨⎪⎧g ，g≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧0－0－1≤0，4－4a －1≤0，解得a ≥34．则a 的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫34，＋∞．三上台阶，自主选做志在冲刺名校1．(2016·太原模拟)若关于x 的不等式x 2－4x －2－a >0在区间(1,4)内有解，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，－2)B ．(－2，＋∞)C ．(－6，＋∞)D ．(－∞，－6)解析：选A 不等式x 2－4x －2－a >0在区间(1,4)内有解等价于a <(x 2－4x －2)max ，令g (x )＝x 2－4x －2，x ∈(1,4)，∴g (x )<g (4)＝－2，∴a <－2．2．已知函数f (x )＝ax 2＋2ax ＋1的定义域为R ． (1)求a 的取值范围； (2)若函数f (x )的最小值为22，解关于x 的不等式x 2－x －a 2－a ＜0． 解：(1)∵函数f (x )＝ax 2＋2ax ＋1的定义域为R ， ∴ ax 2＋2ax ＋1≥0恒成立， 当a ＝0时，1≥0恒成立． 当a ≠0时，需满足题意，则需⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0，Δ＝a2－4a ≤0，解得0＜a ≤1，综上可知，a 的取值范围是[0,1]． (2)f (x )＝ax 2＋2ax ＋1＝a x ＋2＋1－a ，由题意及(1)可知0＜a ≤1， ∴当x ＝－1时，f (x )min ＝1－a ， 由题意得，1－a ＝22， ∴a ＝12，∴不等式x 2－x －a 2－a ＜0可化为x 2－x －34＜0．解得－12＜x ＜32，∴不等式的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32．。
高中数学大一轮复习讲义之一元二次不等式及其解法
由图可得∁RA＝{x|－2≤x≤3}. 故选B.
3.y＝log2(3x2－2x－2)的定义域是__－__∞__，__1_－__3__7__∪__1_＋_3___7_，__＋__∞__ ___.
解析 由题意，得3x2－2x－2>0， 令 3x2－2x－2＝0，得 x1＝1－3 7，x2＝1＋3 7，
6x30解得x36或x3实数x的取值范围是363一元二次方程根的分布情况拓展视野设方程ax应的二次函数为fxaxbxc方程的根即为二次函数的图象不x轴交点的横坐标它们的分布情况见下面各表每种情况对应的均是充要条件
大一轮复习讲义
§7.2 一元二次不等式及其解法
最新考纲
1.会从实际问题的情境中抽象出一元二次不等式模型. 2.通过函数图象了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系. 3.会解一元二次不等式，对给定的一元二次不等式，会设计求解的程序框图.
2.一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(<0)恒成立的条件是什么？
a>0， 提示 显然 a≠0.ax2＋bx＋c>0 恒成立的条件是
Δ<0； 条件是a<0，
Δ<0.
ax2＋bx＋c<0 恒成立的
基础自测
题组一 思考辨析
1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)若不等式ax2＋bx＋c<0的解集为(x1，x2)，则必有a>0.( √ )
解得a≥－7，∴－7≤a<－4.
综上可得，满足条件的实数a的取值范围是[－7,2].
(3)若当a∈[4,6]时，f(x)≥0恒成立，求实数x的取值范围.
解 令h(a)＝xa＋x2＋3. 当a∈[4,6]时，h(a)≥0恒成立. 只需hh46≥≥00，， 即xx22＋＋46xx＋＋33≥≥00，， 解得 x≤－3－ 6或 x≥－3＋ 6.
高考数学大一轮复习第六章不等式、推理与证明38一元二次不等式及其解法课时作业理
课时作业 38 一元二次不等式及其解法一、选择题x＋11．已知会集A＝{ x||2 x＋1|>3}，会集 B＝{ x| y＝} ，则A∩ ( ?R B) ＝ ()x－2A． (1， 2)B．(1 ，2]C． (1，＋∞)D．[1 ，2]x＋1x＋1解析：由 A＝{ x||2 x＋1|>3}＝{ x| x>1或 x<－2}， B＝{ x| y＝x－2} ＝ { x| x－2≥ 0}＝{ x| x>2 或x≤－ 1} ，所以 ?R B＝{ x| － 1<x≤2} ，所以A∩(?R B) ＝ { x|1< x≤2} ．答案： B22x＋ 12．已知两个会集A＝ { x| y＝ ln( －x＋x＋ 2)} ，B＝ { x| e－x≤ 0} ，则A∩B＝ () 11A.－，2B. － 1，－22C． ( －1， e)D． (2 ， e)21解析：由题意得 A＝{ x|－ x ＋ x＋2>0}＝ { x| －1<x<2} ，B＝ { x| x>e 或x≤－2} ，故A∩B 1＝(－1，－2] ．答案： B3．“ 0<a<1”是“ax2＋ 2ax＋ 1>0 的解集是实数集 R”的 ()A．充分而不用要条件B．必需而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不用要条件解析：当a ＝ 0 时， 1>0，明显成立；当a≠0时，a>0，故ax2＋ 2＋1>0 的＝ 4a2－ 4a<0.ax解集是实数集R 等价于 0≤ <1. 所以，“ 0< <1”是“2＋2ax ＋ 1>0 的解集是实数集R”的充a a ax 分而不用要条件．答案： A4．关于x 的不等式x2－( ＋1)x＋ <0 的解会集，恰有 3 个整数，则a的取值范围是 ()a aA．(4， 5)B． ( －3，－ 2) ∪(4 ， 5)C．(4， 5]D． [ －3，－ 2) ∪(4 ， 5]解析：原不等式可变形为( x－ 1)( x－a)<0 ，当a>1 时，得 1<x<a，此时解会集的整数为2， 3， 4，则 4<a≤5，当a<1 时得a<x<1，则－ 3≤a<－ 2，故a∈[ － 3，－ 2) ∪(4 ， 5] ．答案： D5．若不等式x2＋ax－ 2>0 在区间 [1 ，5]上有解，则 a 的取值范围是()A. －23，＋∞ B. －23， 1 55C． (1 ，＋∞) D. －∞，－235解析：由＝ a2＋8>0，知方程恒有两个不等实根，又知两根之积为负，所以方程必有一正根、一负根．于是不等式在区间[1 ，5]上有解的充要条件是f (5)>0 ， (1) ≤ 0，解得a>－23，且≤1，f5a故 a 的取值范围为－23， 1 . 5答案： B6．已知奇函数f ( x) 满足f ( － 1) ＝f (3) ＝ 0，在区间 [ － 2， 0) 上是减函数，在区间[2 ，＋∞ ) 是增函数，函数 f ( x)＝xf （－ x）， x<0)，则 f ( x)>0的解集是(－f （ x）， x>0A． { x| x<－ 3，或 0<x<2，或x>3}B． { x| x<－ 3，或－ 1<x<0，或 0<x<1，或x>3}C． { x| － 3<x<－1，或 1<x<3}D． { x| x<－ 3，或 0<x<1，或 1<x<2，或 2<x<3}解析：由题意，可得 f ( x)的草图以下：①x<0时， xf (－ x)>0，即 xf ( x)<0，解得－3<x<－1；② x>0时，－ f ( x)>0，即 f ( x)<0，解得1<x<3，综上所述， f ( x)>0的解集为{ x|－3<x<－1或1<x<3}．答案： C二、填空题1 27．若关于x 的不等式2x ＋(2－ m) x<0的解集是{ x|0< x<2}，则实数 m＝________．解析： 由题知 x ＝ 0 和 x ＝2 是方程 21x 2＋ (2 － m ) x ＝ 0 的根，可得 m ＝ 3.答案： 38．若关于 x 的不等式x－ 2 x ＋1， 2] 上恒成立，则实数a 的取值范围是4 － a ≥0 在 [1________．解析： ∵不等式 4x － 2x ＋1 －a ≥0在 [1 ， 2] 上恒成立，∴ 4x － 2x ＋1≥ a 在[1 ， 2] 上恒成立．xx ＋1x 2xx2令 y ＝4 － 2 ＝(2 ) －2×2 ＋1－ 1＝ (2 －1) － 1. ∵ 1≤ x ≤ 2，∴ 2≤ 2x ≤ 4.由二次函数的性质可知：当2x ＝ 2，即 x ＝1 时， y 获得最小值 0，∴实数a 的取值范围为 ( －∞， 0] ．答案： ( －∞， 0]9．已知会集 A ＝ { x ||2 x －3| ≤1， x ∈ R} ，会集 B ＝ { x | ax 2－ 2x ≤0，x ∈R} ，A ∩ ( ?U B ) ＝ ?，则实数 a 的范围是 ________．解析： A ＝ [1 ， 2] ，因为 A ∩(?U B ) ＝ ?，则 A ? B ，当 a＝0 时， ＝{ | x ≥0， ∈ R} ＝[0 ，＋∞ ) ，满足 ? ；B xxA B22当 a <0 时， B ＝ xx x － a ≥0， x ∈ R ＝ －∞， a ∪ [0 ，＋∞ ) ，满足 A ? B ；当 a >0 时， B ＝ xx x － 2 ≤0， x ∈ R ＝ 0， 2 ，若2 a a A ? B ，则 ≥2，即 0<a ≤1；联合以a上议论，实数 a 的范围是 ( －∞， 1] ．答案： ( －∞， 1]三、解答题10．已知不等式 ax 2－ 3x ＋6>4 的解集为 { x | x <1 或 x >b } ．(1) 求 a ， b ；(2) 解不等式 ax 2－( ac ＋ b ) x ＋ bc <0.解： (1) ∵不等式 ax 2－ 3x ＋6>4 的解集为 { x | x <1 或 x >b } ，∴ x ＝ 1 与 x ＝ b 是方程 ax 2－33 ＋ 2＝ 0 的两个实数根，且1＋b ＝ a ，a ＝ 1，>1. 由根与系数的关系，得解得xb2， b ＝ 2.1×b ＝a(2) 原不等式 ax 2－( ac ＋ b ) x ＋ bc <0，可化为 x 2－ (2 ＋ c ) x ＋ 2c <0，即 ( x － 2)( x － c )<0.①当 c >2 时，不等式 ( x －2)( x － c )<0 的解集为 { x |2< x <c } ；②当 c <2 时，不等式 ( x －2)( x － c )<0 的解集为 { x | c <x <2} ；③当c ＝ 2 时，不等式 ( x － 2)( x －c )<0 的解集为 ?.综上所述，当 c>2时，不等式 ax2－(ac＋b) x＋bc<0的解集为 { x|2< x<c} ；当c <2 时，不等式ax2－ (＋ )＋bc<0 的解集为 {|< <2}；ac b x x c x当 c＝2时，不等式ax2－( ac＋ b) x＋bc<0的解集为?.11．设二次函数 f ( x)＝ ax2＋ bx＋ c，函数 F( x)＝ f ( x)－ x 的两个零点为m， n( m<n)．(1)若 m＝－1，n＝2，求不等式 F( x)>0的解集；1f (x) 与的大小．(2) 若 >0，且 0< < < < ，比较a x m n a m解： (1)由题意知， F( x)＝ f(x) －x＝a( x－m)( x－n) ，当 m＝－1， n＝2时，不等式F( x)>0，即 a( x＋1)( x－2)>0.那么当 a>0时，不等式F( x)>0的解集为{ x| x<－1，或 x>2}；当 a<0时，不等式 F( x)>0的解集为{ x|－1<x<2}．(2)f ( x)－ m＝ a( x－ m)( x－ n)＋ x－m＝( x－m)( ax－ an＋1)，1∵a>0，且0<x<m<n<a，∴x－ m<0，1－ an＋ ax>0.∴f ( x)－ m<0，即 f ( x)< m.1．若函数f (x) ＝(a2＋ 4 －5)x2－ 4(－1)x＋ 3的图象恒在x轴上方，则a的取值范围a a是()A． [1 ， 19]B． (1 ， 19)C． [1 ， 19)D． (1 ， 19]解析：函数图象恒在x 轴上方，即不等式( a2＋4a－5) x2－4( a－1) x＋3>0关于全部 x∈R 恒成立．(1) 当2＋4－5＝0 时，有a ＝－5 或＝1. 若＝－ 5，不等式化为24 ＋ 3>0，不满足a a a a x 题意；若 a＝1时，不等式化为3>0，满足题意．(2)当 a2＋4a－5≠0时，应有2＋ 4 － 5>0，a a16（a－ 1）2－ 12（a2＋ 4a－ 5） <0.解得 1< <19.a综上 1≤a<19.答案： C2．偶函数f ( x)( x∈ R) 满足：f ( － 4) ＝f (1) ＝ 0，且在区间0，55与，＋∞ 上分别递22减和递加，则不等式x3f ( x)<0的解集为()A． ( －∞，－ 4) ∪(4 ，＋∞)B． ( －4，－ 1) ∪(1 ， 4)C． ( －∞，－ 4) ∪( － 1，0)D． ( －∞，－ 4) ∪( － 1，0) ∪(1 ， 4)解析：由图知， f ( x)<0的解集为(－4，－1)∪(1，4)，∴不等式 x3f ( x)<0的解集为(－∞，－4)∪(－ 1，0)∪(1， 4)．答案： D3．已知二次函数f ( x) 的二次项系数为a，且不等式f ( x)>0 的解集为 (1 ， 2) ，若f ( x)的最大值小于 1，则a的取值范围是 ________．2－3ax＋ 2a，∴f ( x)＝ f3＝－解析：由题意知 a<0，可设 f ( x) ＝ a( x－ 1)( x－ 2) ＝ ax2maxa4<1，∴a>－4，故－4<a<0.答案： ( －4， 0)4．已知不等式ax2＋ bx＋ c>0的解集为(1， t )，记函数 f ( x)＝ ax2＋( a－ b) x－ c.(1)求证：函数 y＝ f ( x)必有两个不一样样的零点；(2) 若函数y＝f ( x) 的两个零点分别为m， n，求| m－n|的取值范围．解： (1) 证明：由题意知＋＋＝0，且－b>1，a b c2a c∴a<0且a>1，∴ ac>0，∴关于函数f ( ) ＝ax2＋( －)x－c有＝ (－ )2＋4ac>0，x a b a b∴函数 y＝ f (x)必有两个不一样样零点．(2)| m－n|22（ b－ a）2＋4ac＝( m＋n) － 4mn＝2a（－－）2＋4ac c2c2a c＝a2＝a＋ 8a＋ 4，由不等式ax2＋ bx＋ c>0的解集为(1， t )可知，方程ax2＋ bx＋c＝0的两个解分别为1和t (t>1) ，由根与系数的关系知c＝，∴ |－ | 2＝t2＋ 8t＋4，∈(1，＋∞ ) ．a t m n t∴ | m－n| 的取值范围为 (13，＋∞ ) ．。
高考数学一轮复习 第六章 不等式 6.2 一元二次不等式及其解法课件
解之得x<1或x>3.
思维升华
解析答案
跟踪训练2
(1)若不等式x2－2x＋5≥a2－3a对任意实数x恒成立，则实数a的取值范
围为( A)
A.[－1,4]
B.(－∞，－2]∪[5，＋∞)
C.(－∞，－1]∪[4，＋∞)
不等
解集
式
a<b
(x－a)· (x－ b)>0
{x|x<a {或x|ax<>x<bb}}
a＝b
{x|x≠a}
∅
a>b
{x|x<b或 x>a}
口(诀x－：大a)于·取两边，小于取中间.
答案
判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
思考辨析
(1)若不等式ax2＋bx＋c<0的解集为(x1，x2)，则必有a>0.( √ ) (2)不等式xx－ ＋21≤0 的解集是[－1,2].( × ) (3)若不等式ax2＋bx＋c>0的解集是(－∞，x1)∪(x2，＋∞)，则方程ax2＋
bx＋c＝0的两个根是x1和x2.( √ ) (4)若方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)没有实数根，则不等式ax2＋bx＋c>0的解
集为R.( × )
(5) 不 等 式 ax2 ＋ bx ＋ c≤0 在 R 上 恒 成 立 的 条 件 是 a<0 且 Δ ＝ b2 －
4ac≤0.( × )式x2－3x－10>0的解集是( D )
A.(－2,5)
B.(5，＋∞)
C.(－∞，－2)
D.(－∞，－2)∪(5，＋∞)
2019通用版 高中理数 高考一轮复习 第六章第33讲 一元二次不等式及其解法 练习及解析
课时达标 第33讲[解密考纲]考查不等式的解法，常以选择题或填空题的形式出现．在解答题中也涉及一元二次不等式的解法．一、选择题1．不等式2x ＋1<1的解集是( )A ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)B ．(1，＋∞)C ．(－∞，－1)D ．(－1,1)2．不等式－x 2＋3x －2>0的解集是( ) A ．{x |x <－2或x >－1} B ．{x |x <1或x >2} C ．{x |1<x <2} D ．{x |－2<x <－1}3．若ax 2＋bx ＋c <0的解集为{x |x <－2或x >4}，则对于函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 应有( ) A ．f (5)<f (2)<f (－1) B ．f (5)<f (－1)<f (2) C ．f (－1)<f (2)<f (5) D ．f (2)<f (－1)<f (5)4．函数y ＝ln ⎝⎛⎭⎫1＋1x ＋1－x 2的定义域为( ) A ．{x |－1<x <2} B ．{x |0<x <1} C ．{x |0<x ≤1} D ．{x |－1<x ≤2}5．已知函数f (x )＝(ax －1)(x ＋b )，如果不等式f (x )>0的解集是(－1,3)，则不等式f (－2x )<0的解集是( )A ．⎝⎛⎭⎫－∞，－32∪⎝⎛⎭⎫12，＋∞ B ．⎝⎛⎭⎫－32，12 C ．⎝⎛⎭⎫－∞，－12∪⎝⎛⎭⎫32，＋∞ D ．⎝⎛⎭⎫－12，326．若不等式(a －a 2)(x 2＋1)＋x ≤0对一切x ∈(0,2]恒成立，则a 的取值范围是( ) A ．⎝⎛⎦⎥⎤－∞，1－32B ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫1＋32，＋∞C ．⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，1－32∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫1＋32，＋∞D ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－32，1＋32二、填空题7．已知不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ＋3<0，x 2－6x ＋8<0的解集是不等式2x 2－9x ＋a <0的解集的子集，则实数a 的取值范围是____.8．若对任意实数p ∈[－1,1]，不等式px 2＋(p －3)x －3>0成立，则实数x 的取值范围为____.9．已知二次函数f (x )的二次项系数为a ，且不等式f (x )>0的解集为(1,2)，若方程f (x )的最大值小于1，则a 的取值范围是____.三、解答题10．已知f (x )＝－3x 2＋a (6－a )x ＋6. (1)解关于a 的不等式f (1)>0；(2)若不等式f (x )>b 的解集为(－1,3)，求实数a ，b 的值．11．解关于x 的不等式ax 2－(2a ＋1)x ＋2<0(a ∈R )．12．若二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，满足f (x ＋2)－f (x )＝16x 且f (0)＝2. (1)求函数f (x )的解析式；(2)若存在x ∈[1,2]，使不等式f (x )>2x ＋m 成立，求实数m 的取值范围．12．若二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，满足f (x ＋2)－f (x )＝16x 且f (0)＝2. (1)求函数f (x )的解析式；(2)若存在x ∈[1,2]，使不等式f (x )>2x ＋m 成立，求实数m 的取值范围．参考答案及解析 课时达标 第33讲一、选择题1．不等式2x ＋1<1的解集是(A)A ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)B ．(1，＋∞)C ．(－∞，－1)D ．(－1,1)解析 ∵2x ＋1＜1，∴2x ＋1－1＜0，即1－x x ＋1＜0，该不等式可化为(x ＋1)(x －1)＞0，∴x ＜－1或x ＞1，故选A ． 2．不等式－x 2＋3x －2>0的解集是( C)A ．{x |x <－2或x >－1}B ．{x |x <1或x >2}C ．{x |1<x <2}D ．{x |－2<x <－1}解析 不等式－x 2＋3x －2＞0，即x 2－3x ＋2＜0，(x －1)(x －2)＜0，解得1＜x ＜2.故原不等式的解集为{x |1＜x ＜2}．3．若ax 2＋bx ＋c <0的解集为{x |x <－2或x >4}，则对于函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 应有( B)A ．f (5)<f (2)<f (－1)B ．f (5)<f (－1)<f (2)C ．f (－1)<f (2)<f (5)D ．f (2)<f (－1)<f (5)解析 ∵ax 2＋bx ＋c ＜0的解集为{x |x ＜－2或x ＞4}，∴a ＜0，而且函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 的图象的对称轴方程为x ＝4－22＝1， ∴f (－1)＝f (3)．又∵函数f (x )在[1，＋∞)上是减函数， ∴f (5)＜f (3)＜f (2)，即f (5)＜f (－1)＜f (2)，故选B ． 4．函数y ＝ln ⎝⎛⎭⎫1＋1x ＋1－x 2的定义域为( C)A ．{x |－1<x <2}B ．{x |0<x <1}C ．{x |0<x ≤1}D ．{x |－1<x ≤2}解析 由题意知⎩⎪⎨⎪⎧1＋1x ＞0，1－x 2≥0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＞0或x ＜－1，－1≤x ≤1，所以函数y ＝ln ⎝⎛⎭⎫1＋1x ＋1－x 2的定义域为{x |0＜x ≤1}，故选C ．5．已知函数f (x )＝(ax －1)(x ＋b )，如果不等式f (x )>0的解集是(－1,3)，则不等式f (－2x )<0的解集是(A)A ．⎝⎛⎭⎫－∞，－32∪⎝⎛⎭⎫12，＋∞ B ．⎝⎛⎭⎫－32，12 C ．⎝⎛⎭⎫－∞，－12∪⎝⎛⎭⎫32，＋∞ D ．⎝⎛⎭⎫－12，32 解析 由f (x )＞0，得ax 2＋(ab －1)x －b ＞0，又其解集是(－1,3)， ∴a ＜0，且⎩⎨⎧1－aba＝2，－ba ＝－3，解得a ＝－1或13(舍去)，∴a ＝－1，b ＝－3，∴f (x )＝－x 2＋2x ＋3，∴f (－2x )＝－4x 2－4x ＋3，由－4x 2－4x ＋3＜0，得4x 2＋4x －3＞0，解得x ＞12或x ＜－32，故选A ．6．若不等式(a －a 2)(x 2＋1)＋x ≤0对一切x ∈(0,2]恒成立，则a 的取值范围是( C)A ．⎝⎛⎦⎥⎤－∞，1－32B ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫1＋32，＋∞C ．⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，1－32∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫1＋32，＋∞D ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－32，1＋32解析 ∵x ∈(0,2]，∴a 2－a ≥x x 2＋1＝1x ＋1x.要使a 2－a ≥1x ＋1x在x ∈(0,2]时恒成立，则a 2－a ≥⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋1x max ，由基本不等式得x ＋1x ≥2，当且仅当x ＝1时，等号成立，即⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋1x max ＝12.由a 2－a ≥12，解得a ≤1－32或a ≥1＋32.二、填空题7．已知不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ＋3<0，x 2－6x ＋8<0的解集是不等式2x 2－9x ＋a <0的解集的子集，则实数a 的取值范围是__(－∞，9]__.解析 不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ＋3＜0，x 2－6x ＋8＜0的解集是{x |2＜x ＜3}．设f (x )＝2x 2－9x ＋a ，则由题意得⎩⎪⎨⎪⎧f (2)≤0，f (3)≤0，解得a ≤9. 8．若对任意实数p ∈[－1,1]，不等式px 2＋(p －3)x －3>0成立，则实数x 的取值范围为__(－3，－1)__.解析 不等式可变形为(x 2＋x )p －3x －3＞0，令f (p )＝(x 2＋x )p －3x －3，p ∈[－1,1]．原不等式成立等价于f (p )＞0，p ∈[－1,1]，则⎩⎪⎨⎪⎧ f (－1)＞0，f (1)＞0，即⎩⎪⎨⎪⎧－x 2－x －3x －3＞0，x 2＋x －3x －3＞0，解得－3＜x ＜－1.9．已知二次函数f (x )的二次项系数为a ，且不等式f (x )>0的解集为(1,2)，若方程f (x )的最大值小于1，则a 的取值范围是__(－4,0)__.解析 由题意知a ＜0，可设f (x )＝a (x －1)(x －2)＝ax 2－3ax ＋2a ，∴f (x )max ＝f ⎝⎛⎭⎫32＝－a4＜1，∴a ＞－4，故－4＜a ＜0.三、解答题10．已知f (x )＝－3x 2＋a (6－a )x ＋6. (1)解关于a 的不等式f (1)>0；(2)若不等式f (x )>b 的解集为(－1,3)，求实数a ，b 的值．解析 (1)由题意知f (1)＝－3＋a (6－a )＋6＝－a 2＋6a ＋3>0，即a 2－6a －3<0，解得3－23<a <3＋2 3.所以不等式的解集为{a |3－23<a <3＋23}． (2)∵f (x )>b 的解集为(－1,3)，∴方程－3x 2＋a (6－a )x ＋6－b ＝0的两根为－1,3，∴⎩⎨⎧(－1)＋3＝a (6－a )3，(－1)×3＝b －63，解得⎩⎨⎧a ＝3±3，b ＝－3，即a 的值为3±3，b 的值为－3.11．解关于x 的不等式ax 2－(2a ＋1)x ＋2<0(a ∈R )． 解析 原不等式可化为(ax －1)(x －2)<0.①当a >0时，原不等式可以化为a (x －2)⎝⎛⎭⎫x －1a <0， 等价于(x －2)·⎝⎛⎭⎫x －1a <0.当0<a <12，即2<1a 时，原不等式的解集是{|x 2<x <1a； 当a ＝12时，原不等式的解集是∅；当a >12，即1a <2时，原不等式的解集是{|x 1a <x <2.②当a ＝0时，原不等式为－(x －2)<0，解得x >2， 即原不等式的解集是{x |x >2}．③当a <0时，原不等式可以化为a (x －2)⎝⎛⎭⎫x －1a <0， 等价于(x －2)·⎝⎛⎭⎫x －1a >0， 由于1a <2，故原不等式的解集是{|x x <1a 或x >2.综上：当a <0时，不等式的解集为{|x x <1a或x >2；当a ＝0时，不等式的解集为{x |x >2}；当0<a <12时，不等式解集为{|x 2<x <1a ；当a ＝12时，不等式的解集为∅；当a >12时，不等式的解集为{|x 1a<x <2.12．若二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，满足f (x ＋2)－f (x )＝16x 且f (0)＝2. (1)求函数f (x )的解析式；(2)若存在x ∈[1,2]，使不等式f (x )>2x ＋m 成立，求实数m 的取值范围． 解析 (1)由f (0)＝2，得c ＝2， 所以f (x )＝ax 2＋bx ＋2(a ≠0)，由f (x ＋2)－f (x )＝[a (x ＋2)2＋b (x ＋2)＋2]－(ax 2＋bx ＋2)＝4ax ＋4a ＋2b ，又f (x ＋2)－f (x )＝16x ，得4ax ＋4a ＋2b ＝16x ，故a ＝4，b ＝－8，所以f (x )＝4x 2－8x ＋2.(2)因为存在x ∈[1,2]，使不等式f (x )>2x ＋m 成立， 即存在x ∈[1,2]，使不等式m <4x 2－10x ＋2成立， 令g (x )＝4x 2－10x ＋2，x ∈[1,2]，故g (x )max ＝g (2)＝－2， 所以m <－2，即m 的取值范围是(－∞，－2)．12．若二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，满足f (x ＋2)－f (x )＝16x 且f (0)＝2. (1)求函数f (x )的解析式；(2)若存在x ∈[1,2]，使不等式f (x )>2x ＋m 成立，求实数m 的取值范围． 解析 (1)由f (0)＝2，得c ＝2， 所以f (x )＝ax 2＋bx ＋2(a ≠0)，由f (x ＋2)－f (x )＝[a (x ＋2)2＋b (x ＋2)＋2]－(ax 2＋bx ＋2)＝4ax ＋4a ＋2b ，又f (x ＋2)－f (x )＝16x ，得4ax ＋4a ＋2b ＝16x ，故a ＝4，b ＝－8，所以f (x )＝4x 2－8x ＋2.(2)因为存在x ∈[1,2]，使不等式f (x )>2x ＋m 成立， 即存在x ∈[1,2]，使不等式m <4x 2－10x ＋2成立， 令g (x )＝4x 2－10x ＋2，x ∈[1,2]，故g (x )max ＝g (2)＝－2， 所以m <－2，即m 的取值范围是(－∞，－2)．。
2019版高考数学理创新大一轮浙江专版文档：第六章 不
第1节 不等式的性质与一元二次不等式最新考纲 1.了解现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系，了解不等式(组)的实际背景；2.会从实际问题的情境中抽象出一元二次不等式模型；3.通过函数图象了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系；4.会解一元二次不等式，对给定的一元二次不等式，会设计求解的程序框图．知 识 梳 理1．两个实数比较大小的方法(1)作差法⎩⎨⎧a －b ＞0⇔a ＞b ，a －b ＝0⇔a ＝b ，a －b ＜0⇔a ＜b ；(2)作商法⎩⎪⎨⎪⎧ab ＞1⇔a ＞b （a ∈R ，b ＞0），ab ＝1⇔a ＝b （a ∈R ，b ＞0），a b ＜1⇔a ＜b （a ∈R ，b ＞0）.2．不等式的性质 (1)对称性：a ＞b ⇔b ＜a ； (2)传递性：a ＞b ，b ＞c ⇒a ＞c ；(3)可加性：a ＞b ⇔a ＋c ＞b ＋c ；a ＞b ，c ＞d ⇒a ＋c ≥b ＋d ； (4)可乘性：a ＞b ，c ＞0⇒ac ＞bc ；a ＞b ＞0，c ＞d ＞0⇒ac ＞bd ； (5)可乘方：a ＞b ＞0⇒a n ＞b n (n ∈N ，n ≥1)； (6)可开方：a ＞b ＞0n ∈N ，n ≥2)． 3．三个“二次”间的关系[常用结论与微点提醒]1．对于不等式ax 2＋bx ＋c >0，求解时不要忘记讨论a ＝0时的情形． 2．当Δ<0时，ax 2＋bx ＋c >0(a ≠0)的解集为R 还是∅，要注意区别．诊 断 自 测1．思考辨析(在括号内打“√”或“×”) (1)a ＞b ⇔ac 2＞bc 2.( )(2)若不等式ax 2＋bx ＋c ＜0的解集为(x 1，x 2)，则必有a ＞0.( )(3)若方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ＜0)没有实数根，则不等式ax 2＋bx ＋c ＞0的解集为R .( )(4)不等式ax 2＋bx ＋c ≤0在R 上恒成立的条件是a ＜0且Δ＝b 2－4ac ≤0.( ) 解析 (1)由不等式的性质，ac 2＞bc 2⇒a ＞b ；反之，c ＝0时，a ＞b ⇒/ ac 2＞bc 2. (3)若方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a <0)没有实根．则不等式ax 2＋bx ＋c >0的解集为∅. (4)当a ＝b ＝0，c ≤0时，不等式ax 2＋bx ＋c ≤0也在R 上恒成立． 答案 (1)× (2)√ (3)× (4)× 2．若a ＞b ＞0，c ＜d ＜0，则一定有( ) A.a d ＞bcB.a d ＜b cC.a c ＞b dD.a c ＜b d解析 因为c ＜d ＜0，所以0＞1c ＞1d ，两边同乘－1，得－1d ＞－1c ＞0，又a ＞b ＞0，故由不等式的性质可知－a d ＞－b c ＞0.两边同乘－1，得a d ＜bc .故选B. 答案 B3．当x ＞0时，若不等式x 2＋ax ＋1≥0恒成立，则a 的最小值为( ) A ．－2B ．－3C ．－1D ．－32解析 当Δ＝a 2－4≤0，即－2≤a ≤2时，不等式x 2＋ax ＋1≥0对任意x ＞0恒成立，当Δ＝a 2－4＞0，则需⎩⎪⎨⎪⎧a 2－4＞0，－a 2＜0，解得a ＞2，所以使不等式x 2＋ax ＋1≥0对任意x ＞0恒成立的实数a 的最小值是－2. 答案 A4．(2018·诸暨质检)已知A ＝{x |－2≤x ≤0}，B ＝{x |x 2－x －2≤0}，则A ∪B ＝________，(∁R A )∩B ＝________．解析 ∵A ＝{x |－2≤x ≤0}，∴∁R A ＝{x |x ＜－2或x ＞0}，又B ＝{x |x 2－x －2≤0}＝{x |－1≤x ≤2}，∴A ∪B ＝{x |－2≤x ≤2}，∴(∁R A )∩B ＝{x |0＜x ≤2}． 答案 [－2，2] (0，2]5．(2017·金华模拟)若不等式ax 2＋bx ＋2>0的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，13，则a ＝________，b ＝________．解析由题意知，方程ax 2＋bx ＋2＝0的两根为x 1＝－12，x 2＝13，又⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝－ba ，x 1x 2＝2a ，即⎩⎪⎨⎪⎧－12＋13＝－ba ，－12×13＝2a ，解得⎩⎨⎧a ＝－12，b ＝－2.答案 －12 －26．(必修5P80A3改编)若关于x 的一元二次方程x 2－(m ＋1)x －m ＝0有两个不相等的实数根，则m 的取值范围是________．解析 由题意知Δ＝[(m ＋1)]2＋4m ＞0.即m 2＋6m ＋1＞0，解得m ＞－3＋22或m ＜－3－2 2.答案 (－∞，－3－22)∪(－3＋22，＋∞)考点一 比较大小及不等式的性质的应用【例1】 (1)已知实数a ，b ，c 满足b ＋c ＝6－4a ＋3a 2，c －b ＝4－4a ＋a 2，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A ．c ≥b >aB ．a >c ≥bC ．c >b >aD ．a >c >b(2)(一题多解)若1a ＜1b ＜0，给出下列不等式：①1a ＋b＜1ab ；②|a |＋b ＞0；③a －1a ＞b －1b ；④ln a 2＞ln b 2.其中正确的不等式是( ) A ．①④B ．②③C ．①③D ．②④解析 (1)∵c －b ＝4－4a ＋a 2＝(a －2)2≥0，∴c ≥b . 又b ＋c ＝6－4a ＋3a 2，∴2b ＝2＋2a 2，∴b ＝a 2＋1， ∴b －a ＝a 2－a ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a －122＋34>0，∴b >a ，∴c ≥b >a .(2)法一 因为1a ＜1b ＜0，故可取a ＝－1，b ＝－2.显然|a |＋b ＝1－2＝－1＜0，所以②错误；因为ln a 2＝ln(－1)2＝0，ln b 2＝ ln(－2)2＝ln 4＞0，所以④错误．综上所述，可排除A ，B ，D.法二 由1a ＜1b ＜0，可知b ＜a ＜0.①中，因为a ＋b ＜0，ab ＞0，所以1a ＋b＜0，1ab＞0.故有1a ＋b ＜1ab ，即①正确；②中，因为b ＜a ＜0，所以－b ＞－a ＞0.故－b ＞|a |， 即|a |＋b ＜0，故②错误；③中，因为b ＜a ＜0，又1a ＜1b ＜0，则－1a ＞－1b ＞0， 所以a －1a ＞b －1b ，故③正确；④中，因为b ＜a ＜0，根据y ＝x 2在(－∞，0)上为减函数，可得b 2＞a 2＞0，而y ＝ln x 在定义域(0，＋∞)上为增函数，所以ln b 2＞ln a 2，故④错误．由以上分析，知①③正确． 答案 (1)A (2)C规律方法 (1)比较大小常用的方法： ①作差法；②作商法；③函数的单调性法．(2)判断多个不等式是否成立，常用方法：一是直接使用不等式性质，逐个验证；二是用特殊法排除．【训练1】 (1)已知p ＝a ＋1a －2，q ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2－2，其中a >2，x ∈R ，则p ，q 的大小关系是( ) A ．p ≥qB ．p >qC ．p <qD ．p ≤q(2)(2017·山东卷)若a ＞b ＞0，且ab ＝1，则下列不等式成立的是( ) A ．a ＋1b ＜b2a ＜log 2(a ＋b ) B.b 2a ＜log 2(a ＋b )＜a ＋1b C ．a ＋1b ＜log 2(a ＋b )＜b2a D ．log 2(a ＋b )＜a ＋1b ＜b2a解析 (1)由于a >2，故p ＝a ＋1a －2＝(a －2)＋1a －2＋2≥2＋2＝4，当且仅当a ＝3时取等号．因为x 2－2≥－2，所以q ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2－2≤⎝ ⎛⎭⎪⎫12－2＝4，当且仅当x ＝0时取等号，所以p ≥q .(2)令a ＝2，b ＝12，则a ＋1b ＝4，b 2a ＝18，log 2(a ＋b )＝log 252∈(1，2)，则b2a ＜log 2(a＋b )＜a ＋1b . 答案 (1)A (2)B考点二 一元二次不等式的解法(多维探究) 命题角度1 不含参的不等式【例2－1】 求不等式－2x 2＋x ＋3<0的解集． 解 化－2x 2＋x ＋3<0为2x 2－x －3>0， 解方程2x 2－x －3＝0得x 1＝－1，x 2＝32，∴不等式2x 2－x －3>0的解集为(－∞，－1)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫32，＋∞，即原不等式的解集为(－∞，－1)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫32，＋∞.命题角度2 含参不等式【例2－2】 解关于x 的不等式ax 2－2≥2x －ax (a ∈R )． 解 原不等式可化为ax 2＋(a －2)x －2≥0.①当a ＝0时，原不等式化为x ＋1≤0，解得x ≤－1. ②当a ＞0时，原不等式化为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －2a (x ＋1)≥0，解得x ≥2a 或x ≤－1.③当a ＜0时，原不等式化为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －2a (x ＋1)≤0.当2a ＞－1，即a ＜－2时，解得－1≤x ≤2a ； 当2a ＝－1，即a ＝－2时，解得x ＝－1满足题意； 当2a ＜－1，即－2<a <0，解得2a ≤x ≤－1.综上所述，当a ＝0时，不等式的解集为{x |x ≤－1}； 当a ＞0时，不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≥2a ，或x ≤－1； 当－2＜a ＜0时，不等式的解集为⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫2a ≤x ≤－1； 当a ＝－2时，不等式的解集为{－1}； 当a ＜－2时，不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－1≤x ≤2a . 规律方法 含有参数的不等式的求解，往往需要比较(相应方程)根的大小，对参数进行分类讨论：(1)若二次项系数为常数，可先考虑分解因式，再对参数进行讨论；若不易分解因式，则可对判别式进行分类讨论；(2)若二次项系数为参数，则应先考虑二次项系数是否为零，然后再讨论二次项系数不为零的情形，以便确定解集的形式；(3)其次对相应方程的根进行讨论，比较大小，以便写出解集．【训练2】 (1)已知不等式x 2－2x －3＜0的解集为A ，不等式x 2＋x －6<0的解集为B ，不等式x 2＋ax ＋b ＜0的解集为A ∩B ，则a ＋b 等于( )A ．－3B ．1C ．－1D ．3(2)不等式2x 2－x ＜4的解集为________．解析 (1)由题意得，A ＝{x |－1＜x ＜3}，B ＝{x |－3＜x ＜2}，所以A ∩B ＝{x |－1＜x ＜2}，由题意知，－1，2为方程x 2＋ax ＋b ＝0的两根，由根与系数的关系可知，a ＝－1，b ＝－2，则a ＋b ＝－3.(2)因为4＝22且y ＝2x 在R 上单调递增，所以2x 2－x ＜4可化为x 2－x ＜2，解得－1＜x ＜2，所以2x 2－x ＜4的解集是{x |－1＜x ＜2}． 答案 (1)A (2){x |－1＜x ＜2}考点三 一元二次不等式的恒成立问题(多维探究) 命题角度1 在R 上恒成立【例3－1】 若一元二次不等式2kx 2＋kx －38＜0对一切实数x 都成立，则k 的取值范围为( )A ．(－3，0]B ．[－3，0)C ．[－3，0]D ．(－3，0)解析 2kx 2＋kx －38＜0对一切实数x 都成立， 则必有⎩⎪⎨⎪⎧2k ＜0，Δ＝k 2－4×2k ×⎝ ⎛⎭⎪⎫－38＜0， 解之得－3＜k ＜0. 答案 D命题角度2 在给定区间上恒成立【例3－2】 (一题多解)设函数f (x )＝mx 2－mx －1(m ≠0)，若对于x ∈[1，3]，f (x )＜－m ＋5恒成立，则m 的取值范围是________. 解析 要使f (x )＜－m ＋5在[1，3]上恒成立， 则mx 2－mx ＋m －6＜0，即m ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34m －6＜0在x ∈[1，3]上恒成立．有以下两种方法：法一 令g (x )＝m ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34m －6，x ∈[1，3]．当m ＞0时，g (x )在[1，3]上是增函数， 所以g (x )max ＝g (3)＝7m －6＜0. 所以m ＜67，则0＜m ＜67.当m ＜0时，g (x )在[1，3]上是减函数， 所以g (x )max ＝g (1)＝m －6＜0. 所以m ＜6，所以m ＜0. 综上所述，m的取值范围是⎩⎨⎧⎭⎬⎫m ⎪⎪⎪0＜m ＜67或m ＜0. 法二 因为x 2－x ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34＞0，又因为m (x 2－x ＋1)－6＜0，所以m ＜6x 2－x ＋1.因为函数y ＝6x 2－x ＋1＝6⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34在[1，3]上的最小值为67，所以只需m ＜67即可．因为m ≠0，所以m 的取值范围是⎩⎨⎧⎭⎬⎫m |0＜m ＜67或m ＜0.答案⎩⎨⎧⎭⎬⎫m |0＜m ＜67或m ＜0命题角度3 给定参数范围的恒成立问题【例3－3】 已知a ∈[－1，1]时不等式x 2＋(a －4)x ＋4－2a ＞0恒成立，则x 的取值范围为( )A ．(－∞，2)∪(3，＋∞)B ．(－∞，1)∪(2，＋∞)C ．(－∞，1)∪(3，＋∞)D ．(1，3)解析 把不等式的左端看成关于a 的一次函数，记f (a )＝(x －2)a ＋x 2－4x ＋4， 则由f (a )＞0对于任意的a ∈[－1，1]恒成立， 所以f (－1)＝x 2－5x ＋6＞0，且f (1)＝x 2－3x ＋2＞0即可，解不等式组⎩⎨⎧x 2－5x ＋6＞0，x 2－3x ＋2＞0，得x ＜1或x ＞3. 答案 C规律方法 恒成立问题求解思路(1)一元二次不等式在R 上恒成立确定参数的范围时，结合一元二次方程，利用判别式来求解．(2)一元二次不等式在x ∈[a ，b ]上恒成立确定参数范围时，要根据函数的单调性，求其最小值，让最小值大于等于0，从而求参数的范围．(3)一元二次不等式对于参数m ∈[a ，b ]恒成立确定x 的范围，要注意变换主元，一般地，知道谁的范围，就选谁当主元，求谁的范围，谁就是参数．【训练3】 (1)若不等式x 2－2x ＋5≥a 2－3a 对任意实数x 恒成立，则实数a 的取值范围是( ) A ．[－1，4]B ．(－∞，－2]∪[5，＋∞)C ．(－∞，－1]∪[4，＋∞)D ．[－2，5](2)已知函数f (x )＝x 2＋mx －1，若对于任意x ∈[m ，m ＋1]，都有f (x )＜0成立，则实数m 的取值范围是______．解析 (1)由于x 2－2x ＋5＝(x －1)2＋4的最小值为4，所以x 2－2x ＋5≥a 2－3a 对任意实数x 恒成立，只需a 2－3a ≤4，解得－1≤a ≤4. (2)二次函数f (x )对于任意x ∈[m ，m ＋1]， 都有f (x )＜0成立，则⎩⎨⎧f （m ）＝m 2＋m 2－1＜0，f （m ＋1）＝（m ＋1）2＋m （m ＋1）－1＜0，解得－22＜m ＜0.答案 (1)A (2)⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，0基础巩固题组一、选择题1．若f (x )＝3x 2－x ＋1，g (x )＝2x 2＋x －1，则f (x )，g (x )的大小关系是( ) A ．f (x )＝g (x )B ．f (x )＞g (x )C ．f (x )＜g (x )D ．随x 的值变化而变化解析 f (x )－g (x )＝x 2－2x ＋2＝(x －1)2＋1＞0⇒f (x )＞g (x )．答案 B2．已知下列四个条件：①b ＞0＞a ，②0＞a ＞b ，③a ＞0＞b ，④a ＞b ＞0，能推出1a ＜1b 成立的有( ) A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个解析 运用倒数性质，由a ＞b ，ab ＞0可得1a ＜1b ，②、④正确．又正数大于负数，①正确，③错误，故选C. 答案 C3．若集合A ＝{x |3＋2x －x 2>0}，集合B ＝{x |2x <2}，则 A ∩B 等于( ) A ．(1，3)B ．(－∞，－1)C ．(－1，1)D ．(－3，1)解析 依题意，可求得A ＝(－1，3)，B ＝(－∞，1)， ∴A ∩B ＝(－1，1)． 答案 C4．若集合A ＝{x |ax 2－ax ＋1＜0}＝∅，则实数a 的取值范围是( ) A ．{a |0＜a ＜4} B ．{a |0≤a ＜4} C ．{a |0＜a ≤4}D ．{a |0≤a ≤4}解析 由题意知a ＝0时，满足条件．a ≠0时，由⎩⎨⎧a ＞0，Δ＝a 2－4a ≤0，得0＜a ≤4，所以0≤a ≤4. 答案 D5．已知函数f (x )＝－x 2＋ax ＋b 2－b ＋1(a ∈R ，b ∈R )，对任意实数x 都有f (1－x )＝f (1＋x )成立，若当x ∈[－1，1]时，f (x )＞0恒成立，则b 的取值范围是( ) A ．(－1，0)B ．(2，＋∞)C ．(－∞，－1)∪(2，＋∞)D ．不能确定 解析 由f (1－x )＝f (1＋x )知f (x )的图象关于直线 x ＝1对称，即a2＝1，解得a ＝2. 又因为f (x )开口向下，所以当x ∈[－1，1]时，f (x )为增函数，所以f (x )min ＝f (－1)＝－1－2＋b 2－b ＋1＝b 2－b －2， f (x )＞0恒成立，即b 2－b －2＞0恒成立， 解得b ＜－1或b ＞2. 答案 C6．(2018·杭州质检)若实数a ，b ，c 满足对任意实数x ，y 有3x ＋4y －5≤ax ＋by ＋c ≤3x ＋4y ＋5，则( ) A ．a ＋b －c 的最小值为2 B ．a －b ＋c 的最小值为－4 C ．a ＋b －c 的最大值为4 D ．a －b ＋c 的最大值为6解析 由题意可得－5≤(a －3)x ＋(b －4)y ＋c ≤5恒成立，所以a ＝3，b ＝4， －5≤c ≤5，则2≤a ＋b －c ≤12，即a ＋b －c 的最小值是2，最大值是12，A 正确，C 错误；－6≤a －b ＋c ≤4，则a －b ＋c 的最小值是－6，最大值是4，B 错误，D 错误，故选A. 答案 A 二、填空题7．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧x 2＋2x ，x ≥0，－x 2＋2x ，x ＜0，则不等式f (x )＞3的解集为________．解析 由题意知⎩⎨⎧x ≥0，x 2＋2x ＞3或⎩⎨⎧x ＜0，－x 2＋2x ＞3，解得x ＞1.故原不等式的解集为{x |x＞1}． 答案 {x |x ＞1}8．若关于x 的不等式ax ＞b 的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，15，则关于x 的不等式ax 2＋bx －45a＞0的解集为________．解析 由已知ax ＞b 的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，15，可知a ＜0，且b a ＝15，将不等式ax 2＋bx－45a ＞0两边同除以a ，得x 2＋b a x －45＜0，即x 2＋15x －45＜0，解得－1＜x ＜45，故不等式ax 2＋bx －45a ＞0的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，45.答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，459．不等式a 2＋8b 2≥λb (a ＋b )对于任意的a ，b ∈R 恒成立，则实数λ的取值范围为________．解析 因为a 2＋8b 2≥λb (a ＋b )对于任意的a ，b ∈R 恒成立，所以a 2＋8b 2－λb (a ＋b )≥0对于任意的a ，b ∈R 恒成立，即a 2－λba ＋(8－λ)b 2≥0恒成立， 由二次不等式的性质可得，Δ＝λ2b 2＋4(λ－8)b 2＝b 2(λ2＋4λ－32)≤0， 所以(λ＋8)(λ－4)≤0， 解得－8≤λ≤4. 答案 [－8，4]10．(2018·丽水调研)若关于x 的不等式a ≤34x 2－3x ＋4≤b 的解集恰好是[a ，b ]，则a ＝________，b ＝________．解析 令f (x )＝34x 2－3x ＋4＝34(x －2)2＋1，其图象对称轴为x ＝2.若a ≥2，则a ，b 是方程f (x )＝x 的两个实根，解得a ＝43，b ＝4，矛盾；若b ≤2，则f (a )＝b ，f (b )＝a ，两式相减得a ＋b ＝83，代入可得a ＝b ＝43，矛盾； 若a <2<b ，则f (x )min ＝1，所以a ≤1(否则在顶点处不满足a ≤f (x ))，所以此时a ≤f (x )的解集是R ，所以f (x )≤b 的解集是[a ，b ]，所以f (a )＝f (b )＝b .由⎩⎨⎧f （b ）＝b ，b >2解得b ＝4，由⎩⎨⎧f （a ）＝4，a <2解得a ＝0.答案 0 4 三、解答题11．已知f (x )＝－3x 2＋a (6－a )x ＋6. (1)解关于a 的不等式f (1)＞0；(2)若不等式f (x )＞b 的解集为(－1，3)，求实数a ，b 的值．解 (1)由题意知f (1)＝－3＋a (6－a )＋6＝－a 2＋6a ＋3＞0，即a 2－6a －3＜0，解得3－23＜a ＜3＋2 3.所以不等式的解集为{a |3－23＜a ＜3＋23}．(2)∵f (x )＞b 的解集为(－1，3)，∴方程－3x 2＋a (6－a )x ＋6－b ＝0的两根为－1，3， ∴⎩⎪⎨⎪⎧（－1）＋3＝a （6－a ）3，（－1）×3＝－6－b 3，解得⎩⎨⎧a ＝3±3，b ＝－3.即a 的值为3±3，b 的值为－3.12．某商品每件成本价为80元，售价为100元，每天售出100件．若售价降低x 成(1成＝10%)，售出商品数量就增加85x 成．要求售价不能低于成本价． (1)设该商店一天的营业额为y ，试求y 与x 之间的函数关系式y ＝f (x )，并写出定义域；(2)若再要求该商品一天营业额至少为10 260元，求x 的取值范围． 解 (1)由题意得，y ＝100⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 10·100⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋850x .因为售价不能低于成本价，所以100⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 10－80≥0.所以y ＝f (x )＝40(10－x )(25＋4x )， 定义域为{x |0≤x ≤2}．(2)由题意得40(10－x )(25＋4x )≥10 260， 化简得8x 2－30x ＋13≤0.解得12≤x ≤134. 所以x 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2.能力提升题组13．下面四个条件中，使a >b 成立的充分而不必要的条件是( ) A ．a >b ＋1B ．a >b －1C ．a 2>b 2D ．a 3>b 3解析 A 项：若a >b ＋1，则必有a >b ，反之，当a ＝2，b ＝1时，满足a >b ，但不能推出a >b ＋1，故a >b ＋1是a >b 成立的充分而不必要条件；B 项：当a ＝b ＝1时，满足a >b －1，反之，由a >b －1不能推出a >b ；C 项：当a ＝－2，b ＝1时，满足a 2>b 2，但a >b 不成立；D 项：a >b 是a 3>b 3的充要条件，综上所述答案选A. 答案 A14．(一题多解)已知函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，若不等式f (x )<0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x <12或x >3，则f (e x )>0(e 是自然对数的底数)的解集是( )A ．{x |x <－ln 2或x >ln 3}B ．{x |ln 2<x <ln 3}C ．{x |x <ln 3}D ．{x |－ln 2<x <ln 3}解析 法一 依题意可得f (x )＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12(x －3)(a <0)，则f (e x )＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫e x －12(e x －3)(a <0)，由f (e x)＝a ⎝⎛⎭⎪⎫e x －12(e x －3)>0，可得12<e x <3，解得－ln 2<x <ln 3，故选D. 法二 由题知，f (x )>0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |12<x <3，令12<e x <3，得－ln 2<x <ln 3，故选D.答案 D15．(2018·嘉兴测试)若不等式x 2＋ax －2＞0在R 上有解，则实数a 的取值范围是________；若在区间[1，5]上有解，则实数a 的取值范围是________． 解析 设f (x )＝x 2＋ax －2，∵f (x )的图象开口向上，∴对任意a ∈R ，f (x )>0在R 上有解；由于Δ＝a 2＋8＞0恒成立， 所以方程x 2＋ax －2＝0恒有一正一负两根，于是不等式x 2＋ax －2＞0在区间[1，5]上有解的充要条件是f (5)＞0，即a ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－235，＋∞. 答案 R ⎝ ⎛⎭⎪⎫－235，＋∞16．解关于x 的不等式ax 2－(2a ＋1)x ＋2＜0(a ∈R )． 解 原不等式可化为(ax －1)(x －2)＜0.(1)当a ＞0时，原不等式可以化为a (x －2)⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1a ＜0，根据不等式的性质，这个不等式等价于(x －2)·⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1a ＜0.因为方程(x －2)⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1a ＝0的两个根分别是2，1a ，所以当0＜a ＜12时，2＜1a ，则原不等式的解集是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |2＜x ＜1a ；当a ＝12时，原不等式的解集是∅；当a ＞12时，1a ＜2，则原不等式的解集是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪1a ＜x ＜2.(2)当a ＝0时，原不等式为－(x －2)＜0，解得x ＞2，即原不等式的解集是{x |x ＞2}．(3)当a ＜0时，原不等式可以化为a (x －2)⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1a ＜0，根据不等式的性质，这个不等式等价于(x －2)·⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1a ＞0， 由于1a ＜2，故原不等式的解集是⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x ＜1a 或x ＞2.综上所述，当a ＜0时，不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ＜1a 或x ＞2；当a ＝0时，不等式的解集为{x |x ＞2}；当0＜a ＜12时，不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪2＜x ＜1a ；当a ＝12时，不等式的解集为∅；当a ＞12时，不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪1a ＜x ＜2. 17．已知二次函数f (x )的二次项系数为a ，且不等式f (x )>－2x 的解集为(1，3)． (1)若方程f (x )＋6a ＝0有两个相等的根，求f (x )的解析式； (2)若f (x )的最大值为正数，求a 的取值范围． 解 (1)∵f (x )＋2x >0的解集为(1，3)， f (x )＋2x ＝a (x －1)(x －3)，且a <0，因而f (x )＝a (x －1)(x －3)－2x ＝ax 2－(2＋4a )x ＋3a .① 由方程f (x )＋6a ＝0， 得ax 2－(2＋4a )x ＋9a ＝0.② 因为方程②有两个相等的实根， 所以Δ＝[－(2＋4a )]2－4a ·9a ＝0， 即5a 2－4a －1＝0，解得a ＝1或a ＝－15. 由于a <0，舍去a ＝1，将a ＝－15代入①， 得f (x )＝－15x 2－65x －35.(2)由f (x )＝ax 2－2(1＋2a )x ＋3a ＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1＋2a a 2－a 2＋4a ＋1a 及a <0，可得f (x )的最大值为－a 2＋4a ＋1a . 由⎩⎪⎨⎪⎧－a 2＋4a ＋1a >0，a <0，解得a<－2－3或－2＋3<a<0.故当f(x)的最大值为正数时，实数a的取值范围是(－∞，－2－3)∪(－2＋3，0)．。
创新教程高考数学大一轮复习 第六章 第1节 不等关系与不等式课时冲关 理 新人教A版
【创新教程】2016年高考数学大一轮复习 第六章 第1节 不等关系与不等式课时冲关 理 新人教A 版对应学生用书课时冲关 理二十九/第289页文二十八/第255页一、选择题1．(2015·温州市高三质检)设a ，b ∈R ，则“a ＞1且b ＞1”是“ab ＞1”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：a ＞1且b ＞1⇒ab ＞1；但ab ＞1，则a ＞1且b ＞1不一定成立，如a ＝－2，b ＝－2时，ab ＝4＞1.故选A.答案：A2．设a <b <0，则下列不等式中不成立的是( ) A.1a >1bB.1a －b >1aC ．|a |>－bD.－a >－b解析：由题设得a <a －b <0，所以有1a －b <1a 成立，即1a －b >1a不成立． 答案：B3．设a ＝lg e ，b ＝(lg e)2，c ＝lg e ，则( ) A ．a >b >c B ．a >c >b C ．c >a >bD ．c >b >a解析：∵0<lg e<lg 10＝12，∴lg e>12lg e>(lg e)2，∴a >c >b .答案：B 4．已知p ＝a ＋1a －2，q ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2－2，其中a >2，x ∈R ，则p ，q 的大小关系是( ) A ．p ≥q B ．p >q C ．p <q D ．p ≤q解析：p ＝a ＋1a －2＝a －2＋1a －2＋2≥2＋2＝4，当且仅当a ＝3时取等号．因为x 2－2≥－2，所以q ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2－2≤⎝ ⎛⎭⎪⎫12－2＝4，当且仅当x ＝0时取等号．所以p ≥q .答案：A5．(2015·上海十三校联考)已知1a <1b<0，给出下面四个不等式：①|a |>|b |；②a <b ；③a ＋b <ab ；④a 3>b 3.其中不正确的不等式的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3解析：由1a <1b<0可得b <a <0，从而|a |<|b |，①不正确；a >b ，②不正确；a ＋b <0，ab >0，则a ＋b <ab 成立，③正确；a 3>b 3，④正确．故不正确的不等式的个数为2.答案：C6．若m ＜0，n ＞0且m ＋n ＜0，则下列不等式中成立的是( ) A ．－n ＜m ＜n ＜－m B ．－n ＜m ＜－m ＜n C ．m ＜－n ＜－m ＜nD ．m ＜－n ＜n ＜－m解析：法一：(取特殊值法)令m ＝－3，n ＝2分别代入各选项检验即可． 法二：m ＋n ＜0⇒m ＜－n ⇒n ＜－m ，又由于m ＜0＜n ，故m ＜－n ＜n ＜－m 成立． 答案：D7．(2013·北京高考)设a ，b ，c ∈R ，且a ＞b ，则( ) A ．ac ＞bc B.1a ＜1bC ．a 2＞b 2D ．a 3＞b 3解析：利用作差比较法或取特殊值排除法．A 项，c ≤0时，由a ＞b 不能得到ac ＞bc ，故不正确；B 项，当a ＞0，b ＜0(如a ＝1，b ＝－2)时，由a ＞b 不能得到1a ＜1b，故不正确；C 项，由a 2－b 2＝(a ＋b )(a －b )及a ＞b 可知当a ＋b ＜0时(如a ＝－2，b ＝－3或a ＝2，b ＝－3)均不能得到a 2＞b 2，故不正确；D 项，a 3－b 3＝(a －b )(a 2＋ab ＋b 2)＝(a －b )·⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22＋34b 2，因为⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22＋34b 2＞0，所以可由a ＞b 知a 3－b 3＞0，即a 3＞b 3，故正确．答案：D8．(2015·黄冈质检)已知x >y >z ，x ＋y ＋z ＝0，则下列不等式中成立的是( ) A ．xy >yz B ．xz >yz C ．xy >xzD ．x |y |>z |y |解析：因为x >y >z ，x ＋y ＋z ＝0，所以3x >x ＋y ＋z ＝0,3z <x ＋y ＋z ＝0，所以x >0，z <0.所以由⎩⎪⎨⎪⎧x >0，y >z ，可得xy >xz .答案：C9．(2015·济南调研)设a >1，且m ＝log a (a 2＋1)，n ＝log a (a －1)，p ＝log a (2a )，则m ，n ，p 的大小关系为( )A ．n >m >pB ．m >p >nC ．m >n >pD ．p >m >n解析：因为a >1，所以a 2＋1－2a ＝(a －1)2>0，即a 2＋1>2a ，又2a >a －1，所以由对数函数的单调性可知log a (a 2＋1)>log a (2a )>log a (a －1)，即m >p >n .答案：B 二、填空题10．设x ，y ∈R ，则“x ≥2且y ≥2”是“x 2＋y 2≥4”的________条件．解析：∵x ≥2且y ≥2，∴x 2＋y 2≥4，∴“x ≥2且y ≥2”是“x 2＋y 2≥4”的充分条件；而x 2＋y 2≥4不一定得出x ≥2且y ≥2，例如当x ≤－2且y ≤－2时，x 2＋y 2≥4亦成立，故“x ≥2且y ≥2”不是“x 2＋y 2≥4”的必要条件．∴“x ≥2且y ≥2”是“x 2＋y 2≥4”的充分不必要条件．答案：充分不必要11．(2014·扬州期末)若a 1<a 2，b 1<b 2，则a 1b 1＋a 2b 2与a 1b 2＋a 2b 1的大小关系是________． 解析：作差可得(a 1b 1＋a 2b 2)－(a 1b 2＋a 2b 1)＝(a 1－a 2)·(b 1－b 2)， ∵a 1<a 2，b 1<b 2， ∴(a 1－a 2)(b 1－b 2)>0， 即a 1b 1＋a 2b 2>a 1b 2＋a 2b 1. 答案：a 1b 1＋a 2b 2>a 1b 2＋a 2b 112．已知f (n )＝n 2＋1－n ，g (n )＝n －n 2－1，φ(n )＝12n(n ∈N *，n >2)，则f (n )，g (n )，φ(n )的大小关系是________．解析：f (n )＝n 2＋1－n ＝1n 2＋1＋n <12n ＝φ(n )，g (n )＝n －n 2－1＝1n ＋n 2－1>12n＝φ(n )，∴f (n )<φ(n )<g (n )． 答案：f (n )<φ(n )<g (n )13．已知奇函数f (x )在区间(－∞，＋∞)上是单调减函数，α，β，γ∈R ，且α＋β>0，β＋γ>0，γ＋α>0，则f (α)＋f (β)＋f (γ)与0的关系是________．解析：∵f (x )在R 上是奇函数，∴f (－x )＝－f (x )，∵α＋β>0，β＋γ>0，γ＋α>0，∴α>－β，β>－γ，γ>－α，而f (x )在R 上是单调减函数，∴f (α)<f (－β)＝－f (β)，f (β)<f (－γ)＝－f (γ)，f (γ)<f (－α)＝－f (α)，以上三式相加得：2[f (α)＋f (β)＋f (γ)]<0， 即f (α)＋f (β)＋f (γ)<0. 答案：f (α)＋f (β)＋f (γ)<014．设f (x )＝ax 2＋bx,1≤f (－1)≤2,2≤f (1)≤4，则f (－2)的取值范围是________． 解析：方法一 设f (－2)＝mf (－1)＋nf (1) (m ，n 为待定系数)，则4a －2b ＝m (a －b )＋n (a ＋b )，即4a －2b ＝(m ＋n )a ＋(n －m )b . 于是得⎩⎪⎨⎪⎧m ＋n ＝4n －m ＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝3n ＝1，∴f (－2)＝3f (－1)＋f (1)． 又∵1≤f (－1)≤2,2≤f (1)≤4，∴5≤3f (－1)＋f (1)≤10，故5≤f (－2)≤10. 方法二 由⎩⎪⎨⎪⎧f －1＝a －b f1＝a ＋b，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝12[f －1＋f 1]b ＝12[f1－f －1]，∴f (－2)＝4a －2b ＝3f (－1)＋f (1)． 又∵1≤f (－1)≤2,2≤f (1)≤4，∴5≤3f (－1)＋f (1)≤10，故5≤f (－2)≤10.方法三 由⎩⎪⎨⎪⎧1≤a －b ≤22≤a ＋b ≤4确定的平面区域如图阴影部分，当f (－2)＝4a －2b 过点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，12时， 取得最小值4×32－2×12＝5，当f (－2)＝4a －2b 过点B (3,1)时，取得最大值4×3－2×1＝10，∴5≤f (－2)≤10. 答案：[]5，10[备课札记]。
高考数学总复习 第六章第3课时 一元二次不等式及其解法课件 新人教版
1 综 上 所 述 , 原 不 等 式 的 解 集 为 0<a< 2 1 时 ,{x|2<x< }; a 1 a＝ 时 ,解集为∅ ; 2 1 1 a> 时 ,{x| <x<2}. 2 a
考点2
一元二次不等式恒成立问题
(1) 解决恒成立问题一定要搞清谁是自 变量,谁是参数,一般地,知道谁的范围,谁
思考探究 当a<0时，ax2＋bx＋c>0与ax2＋bx＋ c<0的解集如何？ 提示：当a<0时，可利用不等式的性质
将二次项系数化为正数，注意不等号的
变化，而后求得方程两根，再利用“大
于号取两边，小于号取中间”求解.
2.用程序框图来描述一元二次不等式 ax2＋bx＋c>0(a>0)的求解的算法过程
(2)原不等式可化为 3x2＋ 2x－8≤0, ∵ Δ＝100>0, 4 ∴方程 3x ＋ 2x－8＝ 0 的两根为－2, , 3
2
结合二次函数 y＝3x ＋ 2x－8 的图象可知 4 原不等式的解集为 {x|－ 2≤x≤ }. 3
2
(3)由 12x2－ ax－a2>0⇔(4x＋a)(3x－ a)>0 a a ⇔ (x＋ )(x－ )>0, 4 3 a a ① a>0 时 ,－ < , 4 3 a a 解集为 {x|x<－ 或 x> }; 4 3
答案：C
3.若 a<0,则关于 x 的不等式 x2－4ax－5a2>0 的解是 ( )
A.x>5a 或 x<－ a B.x>－ a 或 x<5a C.5a<x<－a D.－ a<x<5a
答案：B
高考数学一轮复习 第6章第3节 一元二次不等式及其解法课件 文 新课标
• 4．二次函数y＝ax2＋bx＋c(x∈R)的部分 对应值如下表：
x
－ 3
－ 2
－ 1
0
1
2 34
y6
0
－ 4
－ 6
－ 6
－ 4
06
• 则 不 等 式 ax2 ＋ bx ＋ c>0 的 解 集 是 ________．
• 解析：画图象易求．
• 答案：(－∞，－2)∪(3，＋∞)
• 1．解不等式的核心问题是不等式的同解变形， 是将复杂的、生疏的不等式问题转化为简单的、 熟悉的最简不等式问题．不等式的性质则是不等 式变形的理论依据，方程的根、函数的性质和图 象都与不等式的解法密切相关，要善于把它们有 机地联系起来，互相转化．
• (即时巩固详解为教师用书独有) • 考点一 一元一次不等式的解法
【案例 1】 若关于 x 的不等式(a＋b)x＋(2a－3b)＞0 的
解集为－∞，13，试求关于 x 的不等式(a－3b)x＋(b－2a)＞0
的解集． 关键提示：关于 x 的不等式 Ax>B 的解集得{x|x<BA}，其
中 A<0.
解析≥g32， x2－1>2，
解得 1<x<2 或 x> 10.
• 答案：C
• 3．若a<0，则关于x的不等式x2－4ax－ 5a2>0的解是( ) • A．x>5a或x<－a • B．x>－a或x<5a • C．5a<x<－a • D．－a<x<5a • 解析：因为a<0，－a>5a，所以x2－4ax －5a2>0⇔(x－5a)·(x＋a)>0⇔x>－a或x<5a. • 答案：B
全国通用近年高考数学大一轮复习第六章不等式、推理与证明课时达标32一元二次不等式及其解法(2021
（全国通用版）2019版高考数学大一轮复习第六章不等式、推理与证明课时达标32 一元二次不等式及其解法编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（（全国通用版）2019版高考数学大一轮复习第六章不等式、推理与证明课时达标32 一元二次不等式及其解法）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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课时达标第32讲一元二次不等式及其解法［解密考纲］考查一元二次不等式的解法，常利用判别式讨论解集，常以选择题或填空题的形式出现．一、选择题1．不等式错误!<1的解集是（A）A．(－∞,－1)∪（1,＋∞）B．(1,＋∞)C．(－∞，－1）D．（－1，1)解析∵错误!＜1，∴错误!－1＜0，即错误!＜0，该不等式可化为(x＋1)（x－1）＞0，∴x＜－1或x＞1.故选A．2．（2018·湖南株洲期中）在R上定义运算⊙：a⊙b＝ab＋2a＋b，则满足x⊙(x－2)＜0的实数x的取值范围为( B)A．（0，2）B．（－2，1）C．（－∞，－2）∪（1,＋∞）D．(－1,2）解析根据条件由x⊙(x－2)<0，得(x＋2）（x－1)<0,解得－2<x〈1。
故选B．3．函数y＝ln错误!＋错误!的定义域为( C）A．{x｜－1<x<2} B．｛x|0〈x〈1｝C．{x｜0〈x≤1}D．｛x|－1<x≤2｝解析由题意知错误!解得错误!所以函数y＝ln错误!＋错误!的定义域为｛x｜0＜x≤1}．故选C．4．(2018·辽宁庄河联考）不等式ax2＋bx＋2〉0的解集为{x|－1〈x<2｝，则不等式2x2＋bx＋a〉0的解集为( A)A．错误!x错误!B．错误!x错误!C．｛x|－2〈x<1} D．{x｜x〈－2或x〉1}解析∵不等式ax2＋bx＋2〉0的解集为｛x|－1〈x<2｝，∴ax2＋bx＋2＝0的两根为－1，2,且a<0，即－1＋2＝－错误!，(－1)×2＝错误!，解得a＝－1，b＝1，则所求不等式可化为2x2＋x－1>0,解得x<－1或x>错误!。
全国近年高考数学一轮复习第6章不等式第3讲二元一次不等式(组)及简单的线性规划问题学案(2021年
（全国版）2019版高考数学一轮复习第6章不等式第3讲二元一次不等式(组)及简单的线性规划问题学案编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（（全国版）2019版高考数学一轮复习第6章不等式第3讲二元一次不等式(组)及简单的线性规划问题学案）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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第3讲二元一次不等式(组）及简单的线性规划问题板块一知识梳理·自主学习[必备知识］考点1 判断二元一次不等式表示的平面区域由于对直线Ax＋By＋C＝0同一侧的所有点(x，y），把它的坐标（x，y）代入Ax＋By＋C 所得到实数的符号都相同，所以只需在此直线的某一侧取一个特殊点（x0，y0)，由Ax0＋By0＋C 的符号即可判断Ax＋By＋C>0表示直线Ax＋By＋C＝0哪一侧的平面区域．考点2 线性规划中的基本概念名称定义约束条件由变量x,y组成的不等式（组）线性约束条关于x，y的一次不等式(或等式)件目标函数关于x,y的函数解析式，如z＝2x＋3y等续表名称定义线性目标函数关于x，y的一次解析式可行解满足线性约束条件的解（x,y）可行域所有可行解组成的集合最优解使目标函数取得最大值或最小值的可行解线性规划问题在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题[必会结论]画二元一次不等式表示的平面区域的方法(1)直线定界：不等式中无等号时直线画成虚线，有等号时直线画成实线；（2)特殊点定域：若直线不过原点，特殊点常选原点;若直线过原点，则特殊点常选取(0，1)或(1,0)来验证．[考点自测］1．判断下列结论的正误．(正确的打“√"，错误的打“×"）（1）不等式Ax＋By＋C〉0表示的平面区域一定在直线Ax＋By＋C＝0的上方．（）(2）任何一个二元一次不等式组都表示平面上的一个区域．( ）(3)线性目标函数的最优解可能是不唯一的．（)(4)目标函数z＝ax＋by（b≠0）中,z的几何意义是直线ax＋by－z＝0在y轴上的截距．（）答案(1）×（2)×（3)√(4）×2．[2018·吉林长春模拟]不等式组错误!表示的平面区域是（）答案B解析x－3y＋6≥0表示直线x－3y＋6＝0以及该直线下方的区域，x－y＋2<0表示直线x －y＋2＝0上方的区域．故选B。
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【创新教程】2016年高考数学大一轮复习 第六章 第3节 一元二次不等式及其解法课时冲关 理 新人教A 版对应学生用书课时冲关 理三十一/第293页文三十/第259页一、选择题1．(2015·潍坊质检)不等式4x －2≤x －2的解集是( ) A ．(－∞，0]∪(2,4] B ．[0,2)∪[4，＋∞) C ．[2,4)D ．(－∞，2]∪(4，＋∞)解析：原不等式可化为－x 2＋4xx －2≤0.即⎩⎪⎨⎪⎧xx －4x －2≥0，x －2≠0.由标根法知，0≤x <2或x ≥4. 答案：B2．已知不等式ax 2－bx －1≥0的解集是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，－13，则不等式x 2－bx －a <0的解集是( )A ．(2,3)B ．(－∞，2)∪(3，＋∞) C.⎝ ⎛⎭⎪⎫13，12D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，13∪⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞ 解析：由题意知－12，－13是方程ax 2－bx －1＝0的根，所以由根与系数的关系得－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝b a ，－12×⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝－1a .解得a ＝－6，b ＝5，不等式x 2－bx －a <0即为x 2－5x ＋6<0，解集为(2,3)．答案：A3．(2015·广西南宁模拟)在R 上定义运算⊗：x ⊗y ＝x (1－y )．若不等式(x －a )⊗(x ＋a )＜1对任意实数x 成立，则( )A ．－1＜a ＜1B ．0＜a ＜2C ．－12＜a ＜32D ．－32＜a ＜12解析：(x －a )⊗(x ＋a )＜1对任意实数x 成立，即(x －a )(1－x －a )＜1对任意实数x 成立．∴x 2－x －a 2＋a ＋1＞0恒成立， ∴Δ＝1－4(－a 2＋a ＋1)＜0， ∴－12＜a ＜32.答案：C4．已知函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c ，不等式f (x )<0的解集为{x |x <－3或x >1}，则函数y ＝f (－x )的图象可以为( )解析：由f (x )<0的解集为{x |x <－3或x >1}知a <0，y ＝f (x )的图象与x 轴交点为(－3,0)，(1,0)，∴f (－x )图象开口向下，与x 轴交点为(3,0)，(－1,0)．答案：B5．(2015·湖北八校联考)“0<a <1”是“ax 2＋2ax ＋1>0的解集是实数集R ”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：当a ＝0时，1>0，显然成立；当a ≠0时，⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ＝4a 2－4a <0.故ax 2＋2ax ＋1>0的解集是实数集R 等价于0≤a <1.因此，“0<a <1”是“ax 2＋2ax ＋1>0的解集是实数集R ”的充分而不必要条件．答案：A6．关于x 的不等式x 2－(a ＋1)x ＋a ＜0的解集中，恰有3个整数，则a 的取值范围是( )A ．(4,5)B ．(－3，－2)∪(4,5)C ．(4,5]D ．[－3，－2)∪(4,5]解析：原不等式可能为(x －1)(x －a )＜0，当a ＞1时得1＜x ＜a ，此时解集中的整数为2,3,4，则4＜a ≤5，当a ＜1时得a ＜x ＜1，则－3≤a ＜－2，故a ∈[－3，－2)∪(4,5]．答案：D7．若不等式x 2＋ax －2>0在区间[1,5]上有解，则a 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－235，＋∞ B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－235，1C ．(1，＋∞)D.⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－235解析：由Δ＝a 2＋8>0，知方程恒有两个不等实根，又知两根之积为负，所以方程必有一正根、一负根．于是不等式在区间[1,5]上有解的充要条件是f (5)≥0，f (1)≤0，解得a ≥－235，且a ≤1，故a 的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－235，1. 答案：B8．不等式ax 2＋bx ＋c >0的解集为{x |－1<x <2}，那么不等式a (x 2＋1)＋b (x －1)＋c >2ax 的解集为( )A ．{x |0<x <3}B ．{x |x <0，或x >3}C ．{x |－2<x <1}D ．{x |x <－2，或x >1}解析：由题意知a <0且－1,2是方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两根，∴⎩⎪⎨⎪⎧－ba＝1ca ＝－2，∴b ＝－a ，c ＝－2a ，∴不等式a (x 2＋1)＋b (x －1)＋c >2ax ， 即为a (x 2＋1)－a (x －1)－2a >2ax ， ∴x 2－3x <0，∴0<x <3. 答案：A9．(2015·皖南八校第二次联考)不等式x 2－2x ＋5≥a 2－3a 对任意实数x 恒成立，则实数a 的取值范围为( )A ．[－1,4]B ．(－∞，－2]∪[5，＋∞)C ．(－∞，－1]∪[4，＋∞)D ．[－2,5]解析：x 2－2x ＋5＝(x －1)2＋4的最小值为4，所以x 2－2x ＋5≥a 2－3a 对任意实数x 恒成立，只需a 2－3a ≤4，解得－1≤a ≤4.答案：A10．(2015·潍坊模拟)函数f (x )＝1ln －x 2＋4x －3的定义域是( )A ．(－∞，1)∪(3，＋∞)B ．(1,3)C ．(－∞，2)∪(2，＋∞)D ．(1,2)∪(2,3)解析：由题意知⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋4x －3>0，－x 2＋4x －3≠1，即⎩⎪⎨⎪⎧1<x <3，x ≠2，故函数f (x )的定义域为(1,2)∪(2,3)．故选D.答案：D11．若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x －3≤0，x 2＋4x －1＋a≤0的解集不是空集，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，－4]B ．[－4，＋∞)C ．[－4,20]D ．[－40,20)解析：设f (x )＝x 2＋4x －(1＋a )，根据已知可转化为存在x 0∈[－1,3]使f (x 0)≤0.易知函数f (x )在区间[－1,3]上为增函数，故只需f (－1)＝－4－a ≤0即可，解得a ≥－4.答案：B12．已知不等式|a －2x |>x －1，对任意x ∈[0,2]恒成立，则a 的取值范围为( ) A ．(－∞，1)∪(5，＋∞) B ．(－∞，2)∪(5，＋∞) C ．(1,5)D ．(2,5)解析：当0≤x <1时，不等式|a －2x |>x －1对a ∈R 恒成立；当1≤x ≤2时，不等式|a －2x |>x －1，即a －2x <1－x 或a －2x >x －1，x >a －1或3x <1＋a ，由题意得1>a －1或6<1＋a ，a <2或a >5；综上所述，则a 的取值范围为(－∞，2)∪(5，＋∞)．答案：B提示：①|x |>a (a >0)⇔x >a 或x <a ，②f (x )>a 恒成立⇔f (x )min a ，f (x )<a 恒成立⇔f (x )max <a .二、填空题13．(2015·青岛一模)不等式|2x ＋1|－|x －4|>2的解集是________． 解析：原不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧x ≤－12，－2x ＋1＋x －4>2，或⎩⎪⎨⎪⎧－12<x ≤4，2x ＋1＋x －4>2，或⎩⎪⎨⎪⎧x >4，2x ＋1－x －4>2，解得x ∈(－∞，－7)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫53，＋∞.答案：(－∞，－7)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫53，＋∞14．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1x <0，－x －1x ≥0，则不等式x ＋(x ＋1)f (x －1)≤3的解集是________．解析：∵f (x －1)＝⎩⎪⎨⎪⎧ x ，－x ，x <1x ≥1，∴x ＋(x ＋1)f (x －1)≤3等价于⎩⎪⎨⎪⎧x <1，x ＋x ＋1x ≤3或⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1x ＋x ＋1－x ≤3，解得－3≤x <1或x ≥1，即x ≥－3. 答案：{x |x ≥－3}15．(2015·温州模拟)若关于x 的不等式4x－2x ＋1－a ≥0在[1,2]上恒成立，则实数a的取值范围为________．解析：∵4x－2x ＋1－a ≥0在[1,2]上恒成立，∴4x－2x ＋1≥a 在[1,2]上恒成立．令y ＝4x－2x ＋1＝(2x )2－2×2x ＋1－1＝(2x －1)2－1.∵1≤x ≤2，∴2≤2x≤4.由二次函数的性质可知：当2x＝2，即x ＝1时，y 有最小值0.∴a 的取值范围为(－∞，0]．答案：(－∞，0]16．(文科)当x ∈(1,2)时，不等式x 2＋mx ＋4<0恒成立，则m 的取值范围是________．解析：方法一 当x ∈(1,2)时，不等式x 2＋mx ＋4<0恒成立⇒m <－x 2＋4x ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋4x 在x∈(1,2)上恒成立，设φ(x )＝－⎝⎛⎭⎪⎫x ＋4x ，φ(x )＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋4x ∈(－5，－4)，故m ≤－5.方法二 设f (x )＝x 2＋mx ＋4，因为当x ∈(1,2)时，不等式x 2＋mx ＋4<0恒成立， 所以⎩⎪⎨⎪⎧f 1≤0，f2≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧5＋m ≤0，8＋2m ≤0，解得m ≤－5.答案：(－∞，－5]16．(理科)(2015·西安检测)已知函数f(x)＝|x－2|，g(x)＝－|x＋3|＋m.若函数f(x)的图象恒在函数g(x)图象的上方，则m的取值范围为________．解析：函数f(x)的图象恒在函数g(x)图象的上方，即为|x－2|>－|x＋3|＋m对任意实数x恒成立，即|x－2|＋|x＋3|>m恒成立．因为对任意实数x恒有|x－2|＋|x＋3|≥|(x－2)－(x＋3)|＝5，所以m<5，即m的取值范围是(－∞，5)．答案：(－∞，5)[备课札记]。