2020江苏高考理科数学二轮讲义：复数 含解析
2020届高考数学(理)算法初步、选讲部分、不等式考点05复数的概念(含解析)
)
A ．0 【答案】
B．－ 3 C
C．－ 3i
D．3
6. 若复数 z 2 ，其中 i 为虚数单位，则 z =（ 1i
（ A ）1+i
（ B） 1-i
（ C） -1+i
） （ D ）-1-i
2
2(1 i )
【解析】 z
1 i , z 1 i ，选 B.
1 i (1 i )(1 i )
【答案】 B
7.若 (1＋ i) ＋ (2－ 3i) ＝a＋ bi( a， b∈ R， i 是虚数单位 )，则 a，b 的值分别等于 ( )
2i 2i i ，
2
所以 | z | 0 12 1，故选 C．
【答案】 C
9.【 2018 年高考北京卷理数】在复平面内，复数
1 的共轭复数对应的点位于 (
)
1i
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
1
【解析】
1i
1i (1 i)(1 i)
1 2
1 i 的共轭复数为
2
1 2
1
1
i ，对应点为 ( ,
【答案】 C
2. 【 2019 年高考全国Ⅰ卷理数】设复数 z 满足 z i =1， z 在复平面内对应的点为 (x， y)，则（
）
A． (x+1) 2 y2 1
B． (x 1)2 y2 1
2
2
C． x ( y 1) 1
2
2
D． x ( y+1) 1
【分析】本题考点为复数的运算，为基 础题目，难度偏易．此题可采用几何法，根据点（
数系的扩充与复数的引入
05 复数的概念
高考数学专题《复数》习题含答案解析
专题10.2 复数1．（2020·全国高考真题（理））复数113i-的虚部是（ ）A ．310-B ．110-C ．110D ．310【答案】D 【解析】因为1131313(13)(13)1010i z i i i i +===+--+，所以复数113z i =-的虚部为310.故选：D.2．（2020·全国高考真题（文））（1–i ）4=（ ）A ．–4B ．4C ．–4i D ．4i【答案】A 【解析】422222(1)[(1)](12)(2)4i i i i i -=-=-+=-=-.故选：A.3．（2021·北京·高考真题）在复平面内，复数z 满足(1)2i z -=，则z =（ ）A ．1i --B ．1i-+C ．1i-D ．1i+【答案】D 【分析】由题意利用复数的运算法则整理计算即可求得最终结果.【详解】由题意可得：()()()()2121211112i i z i i i i ++====+--+.故选：D.4．（2021·全国·高考真题）已知2i z =-，则()i z z +=（ ）A ．62i -B ．42i-C ．62i+D ．42i+【答案】C 【分析】练基础利用复数的乘法和共轭复数的定义可求得结果.【详解】因为2z i =-，故2z i =+，故()()()2222=4+42262z z i i i i i i i+=-+--=+故选：C.5．（2021·全国·高考真题（文））已知2(1)32i z i -=+，则z =（ ）A ．312i--B ．312i-+C ．32i-+D ．32i--【答案】B 【分析】由已知得322iz i+=-，根据复数除法运算法则，即可求解.【详解】2(1)232i z iz i -=-=+，32(32)23312222i i i i z i i i i ++⋅-+====-+--⋅.故选：B.6．（2021·全国·高考真题（理））设()()2346z z z z i ++-=+，则z =（ ）A ．12i -B ．12i+C ．1i+D ．1i-【答案】C 【分析】设z a bi =+，利用共轭复数的定义以及复数的加减法可得出关于a 、b 的等式，解出这两个未知数的值，即可得出复数z .【详解】设z a bi =+，则z a bi =-，则()()234646z z z z a bi i ++-=+=+，所以，4466a b =⎧⎨=⎩，解得1a b ==，因此，1z i =+.故选：C.7．（2021·全国·高考真题（文））设i 43i z =+，则z =（ ）A ．–34i -B ．34i-+C ．34i-D ．34i+【答案】C 【分析】由题意结合复数的运算法则即可求得z 的值.【详解】由题意可得：()2434343341i i i i z i i i ++-====--.故选：C.8．（2021·浙江·高考真题）已知a R ∈，()13ai i i +=+，(i 为虚数单位)，则a =（ ）A ．1-B ．1C ．3-D ．3【答案】C 【分析】首先计算左侧的结果，然后结合复数相等的充分必要条件即可求得实数a 的值.【详解】()213ai i i ai i a a i i +=-=-+=++=，利用复数相等的充分必要条件可得：3,3a a -=∴=-.故选：C.9．（2019·北京高考真题（文））已知复数z =2+i ，则（ ）ABC ．3D ．5【答案】D 【解析】∵ 故选D.10．（2019·全国高考真题（文））设，则=（ ）A．2B CD ．1【答案】C 【解析】因为，所以，所以，故选C ．1．（2010·山东高考真题（文））已知 ，，其中 为虚数单位，则=（ ）A ．-1B ．1C ．2D ．3【答案】B 【解析】z z ⋅=z 2i,z z (2i)(2i)5=+⋅=+-=3i12iz -=+z 312iz i -=+(3)(12)17(12)(12)55i i z i i i --==-+-z ==2a ib i i+=+,a b ∈R i +a b 练提升因为 ，，所以，则，故选B.2．（全国高考真题（理））复数的共轭复数是( )A ．B ．ｉC ．D ．【答案】A 【解析】，故其共轭复数为.所以选A.3．（2018·全国高考真题（理））设，则（ ）A ．B ．C ．D【答案】C 【解析】，则，故选c.4．（2009·重庆高考真题（理））已知复数的实部为，虚部为2，则的共轭复数是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B 【解析】由题意得：所以，共轭负数为2+i 故选B5．（2017·山东高考真题（理））已知，是虚数单位，若，，22222a i ai i ai b i i i+--==-=+-,a b ∈R 2211b b a a ==⎧⎧⇒⎨⎨-==-⎩⎩+1a b =212ii+-i -35i-35i()()()()2i 12i 5i i12i 12i 5++==-+i -1i2i 1iz -=++||z =0121()()()()1i 1i 1i2i 2i 1i 1i 1i z ---=+=++-+i 2i i =-+=1z =z 1-5iz2i -2i+2i--2i-+R a ∈i z a =4z z ⋅=则（ ）A ．1或B或C ．D【答案】A 【解析】由得，所以，故选A.6．（2021·广东龙岗·高三期中）已知复数z 满足()2i 34i z +=+（其中i 为虚数单位），则复数z =（ ）A ．2i -B ．2i-+C ．2i+D ．2i--【答案】C 【分析】根据复数除法运算求出z ，即可得出答案.【详解】()2i 35z +=+= ，()()()52i 52i 2i 2i 2i z -∴===-++-，则2i z =+.故选：C.7．（2021·安徽·合肥一六八中学高一期中）欧拉公式i s co in s i x e x x +=(i 是虚数单位)是由瑞士著名数学家欧拉发现的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里非常重要，被誉为“数学中的天桥”.根据欧拉公式可知，i 3e π表示的复数位于复平面中的（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】A 【分析】先由欧拉公式计算可得312e π=，然后根据复数的几何意义作出判断即可.【详解】根据题意i s co in s i xe x x +=，故i3is n 1cos 33i 2e πππ=+=，对应点12⎛ ⎝，在第一象限.故选：A .8．【多选题】（2021·全国·模拟预测）已知复数z =（i 为虚数单位），则下列说法正确的是（）A ．复数z 在复平面内对应的点坐标为()sin 3cos3,sin 3cos3+-a =1-,4z a z z =+⋅=234a +=1a =±B ．z 的虚部为C ．2z z ⋅=D ．z ⋅为纯虚数【答案】CD 【分析】根据复数的概念、共轭复数的概念、复数的几何意义以及四则运算法则即可求解.【详解】复数3cos3i sin 3cos3z =++-．因为334ππ<<，所以sin 3cos3304π⎛⎫+=+< ⎪⎝⎭，sin 3cos30->，所以原式()()sin 3cos3i sin 3cos3=-++-，所以选项A 错误；复数z B错误；222z z ⋅=+=，所以选项C 正确；z ⋅=()i 1sin 61sin 62i⋅=++-=，所以选项D 正确.故选：CD.9．【多选题】（2021·河北武强中学高三月考）已知复数cos isin z θθ=+（其中i 为虚数单位），下列说法正确的是（ ）A ．1z z ⋅=B ．1z z+为实数C ．若83πθ=，则复数z 在复平面上对应的点落在第一象限D ．若(0,)θπ∈，复数z 是纯虚数，则2πθ=【答案】ABD 【分析】对选项A ，根据计算1z z ⋅=即可判断A 正确，对选项B ，根据12cos z zθ+=即可判断B 正确，对选项C ，根据88cosisin 33z ππ=+在复平面对应的点落在第二象限，即可判断C 错误，对选项D ，根据z 是纯虚数得到2πθ=即可判断D 正确.【详解】对选项A ，()()()2222cos isin cos isin cos isin cos sin 1z z θθθθθθθθ⋅=+-=-=+=，故A 正确.对选项B ，因为11cos isin cos isin z z θθθθ+=+++()()cos isin cos isin cos isin cos isin θθθθθθθθ-=+++-cos isin cos isin 2cos θθθθθ=++-=，所以1z z+为实数.故B 正确.对选项C ，因为83πθ=为第二象限角，所以8cos03π<，8sin 03π>，所以88cos isin 33z ππ=+在复平面对应的点落在第二象限.故C 错误.对选项D ，复数z 是纯虚数，则cos 0sin 0θθ=⎧⎨≠⎩，又因为(0,)θπ∈，所以2πθ=，故D 正确.故选：ABD10．（2021·福建·厦门一中模拟预测）在复平面内，复数(,)z a bi a b R =+∈对应向量OZ（O为坐标原点），设||OZ r =，以射线Ox 为始边，OZ 为终边旋转的角为θ，则(cos sin )z r i θθ=+，法国数学家棣莫弗发现了棣莫弗定理：1111(cos sin )z r i θθ=+，2222(cos sin )z r i θθ=+，则12121212[cos()sin()]z z rr i θθθθ=+++，由棣莫弗定理可以推导出复数乘方公式：[(cos sin )](cos sin )n n r i r n i n θθθθ+=+，已知4)z i =，则||z =______；若复数ω满足()*10n n ω-=∈N ，则称复数ω为n 次单位根，若复数ω是6次单位根，且ω∉R ，请写出一个满足条件的ω=______．【答案】16 ()22cossin 1,2,4,566k k i k ππ+= 【分析】2(cos sin )66i i ππ+=+，则4222(cos sin )33z i ππ=+，再由||||z z =求解，由题意知61ω=，设cos sin i ωθθ=+，即可取一个符合题意的θ，即可得解．【详解】解： 2(cos sin )66i i ππ=+，∴4422)2(cos sin )33z i i ππ==+，则4||||216z z ===．由题意知61ω=，设cos sin i ωθθ=+，则6cos 6sin 61i ωθθ=+=，所以sin 60cos 61θθ=⎧⎨=⎩，又ω∉R ，所以sin 0θ≠，故可取3πθ=，则cossin33i ππω=+故答案为：16，cossin33i ππω=+（答案不唯一）．1．（2021·江苏·高考真题）若复数z 满足()1i 3i z +=-，则z 的虚部等于（ ）A ．4B ．2C ．-2D ．-4【答案】C 【分析】利用复数的运算性质，化简得出12z i =-.【详解】若复数z 满足()1i 3i z +=-，则()()()()3i 1i 3i 12i 1i 1i 1i z ---===-++-，所以z 的虚部等于2-.故选：C.2．（2021·全国·高考真题）复数2i13i--在复平面内对应的点所在的象限为（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】A 【分析】利用复数的除法可化简2i13i--，从而可求对应的点的位置.【详解】()()2i 13i 2i 55i 1i13i 10102-+-++===-，所以该复数对应的点为11,22⎛⎫ ⎪⎝⎭，该点在第一象限，故选：A.3．（2020·全国高考真题（理））若z=1+i ，则|z 2–2z |=（ ）A ．0B ．1C D ．2练真题【答案】D 【解析】由题意可得：()2212z i i =+=，则()222212z z i i -=-+=-.故2222z z -=-=.故选：D.4．（2020·全国高考真题（文））若312i i z =++，则||=z （ ）A ．0B ．1CD ．2【答案】C 【解析】因为31+21+21z i i i i i =+=-=+，所以z ==故选：C ．5.（2019·全国高考真题（理））设z =-3+2i ，则在复平面内对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】C 【解析】由得则对应点（-3，-2）位于第三象限．故选C ．6.（2018·江苏高考真题）若复数满足，其中i 是虚数单位，则的实部为________．【答案】2【解析】因为，则，则的实部为.z 32,z i =-+32,z i =--32,z i =--z i 12i z ⋅=+z i 12i z ⋅=+12i2i iz +==-z 2。
2020年江苏高考数学第二轮复习专题训练含解析
高考冲刺训练专题 (一 )
4 1. 中心在原点，一个顶点为 A( －3，0)，离心率为 3的双曲线的
x2 y2 方程是 9 － 7 ＝1 .
解析 ：因为双曲线的顶点为 A( －3，0)，所以双曲线的焦点在 x
x2 y2
4
轴上，所以设双曲线的方程为 a2－b2＝1，则 a＝3.又因为 e＝3，所以
4. 已知双曲线 xa22－y2＝1(a>0)的一条渐近线为 3x＋y＝0，则 a
3 ＝3.
解析 ：因为双曲线的一条渐近线方程为
y＝－
3x，且
a>0，则
b a
＝ 1a＝
3，解得
a＝
3 3.
x2 y2 5. 设双曲线 a2－b2＝1(a>0，b>0)的右焦点为 F，右准线 l 与两
条渐近线交于 P，Q 两点，如果△ PQF 是直角三角形，那么双曲线的
－ y0)，M→F2＝( 3－ x0，－y0)，所以 M→F1·M→F 2＝ x02－ 3＋ y20.因为点 M 在 双曲线上，所以 x220－ y20＝ 1，代入不等式 M→F 1·M→F 2<0，得 3y02<1，解得
3
3
－ 3 <y0< 3 .
9.
设 F1， F2 是双曲线
x2－
y2 24＝
1
的两个焦点，
P
是双曲线上的
一点，且 3PF1＝ 4PF2，则△ PF1F2 的面积为 24 .
解析 ：由题意知，双曲线的实轴长为 2，焦距为 F1F2＝2×5＝ 10，
4
1
PF1－PF2＝ 3PF2－ PF2＝ 3PF2＝2，所以
2020年高考数学23道题必考考点各个击破精讲主题02 复数(含详细答案解析)
2020年新课标高考数学23道题必考考点各个击破（按题号与考点编排）主题02 复数【主题考法】本主题考查形式为选择或者填空题，主要考查复数的概念、四则运算、几何意义等等复数知识，考查运算求解能力，为基础题.2020年的高考仍将以选择或填空形式考查复数的概念、四则运算、几何意义等等复数知识，考查运算求解能力，为基础题，分值为5分.【主题考前回扣】1．复数的相关概念及运算法则(1)复数z＝a＋b i(a，b∈R)的分类①z是实数⇔b＝0；②z是虚数⇔b≠0；③z是纯虚数⇔a＝0且b≠0.(2)共轭复数复数z＝a＋b i的共轭复数z＝a－b i.(3)复数的模复数z＝a＋b i的模|z|＝a2＋b2.(4)复数相等的充要条件a＋b i＝c＋d i⇔a＝c且b＝d(a，b，c，d∈R)．特别地，a＋b i＝0⇔a＝0且b＝0(a，b∈R)．(5)复数的运算法则加减法：(a＋b i)±(c＋d i)＝(a±c)＋(b±d)i；乘法：(a＋b i)(c＋d i)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i；除法：(a＋b i)÷(c＋d i)＝ac＋bdc2＋d2＋bc－adc2＋d2i.()其中a，b，c，d∈R.2．复数的几个常见结论 (1)(1±i)2＝±2i. (2)1＋i 1－i ＝i ，1－i1＋i＝－i. (3)i 4n ＝1，i 4n ＋1＝i ，i 4n ＋2＝－1，i 4n ＋3＝－i ，i 4n ＋i 4n ＋1＋i 4n ＋2＋i 4n ＋3＝0(n ∈Z )． (4)ω＝－12±32i ，且ω0＝1，ω2＝ω，ω3＝1,1＋ω＋ω2＝0. 【易错点提醒】1．复数z 为纯虚数的充要条件是a ＝0且b ≠0(z ＝a ＋b i ，a ，b ∈R )．还要注意巧妙运用参数问题和合理消参的技巧．2．复数的运算与多项式运算类似，要注意利用i 2＝－1化简合并同类项．1．复数z 为纯虚数的充要条件是a ＝0且b ≠0(z ＝a ＋b i ，a ，b ∈R )．还要注意巧妙运用参数问题和合理消参的技巧．2．复数的运算与多项式运算类似，要注意利用i 2＝－1化简合并同类项． 【主题考向】 考向一 复数的概念 【解决法宝】 1.复数的有关概念 (1)复数的概念：设a ，b 都是实数，形如a ＋b i 的数叫做复数，其中a ，b 分别是它的实部和虚部．若b ＝0，则a ＋b i 为实数；若b ≠0，则a ＋b i 为虚数；若b ≠0且a ＝0，则a ＋b i 为纯虚数． (2)复数相等：a ＋b i ＝c ＋d i ⇔a ＝c 且b ＝d ；a ＋b i ＝0⇔a ＝0且b ＝0. (3)共轭复数：如果两个复数的实部相等，而虚部互为相反数，则这两个复数叫做互为共轭复数，复数z ＝a ＋b i 的共轭复数z ＝a －b i.2.复数的概念问题，关键在理解概念的基础上，利用复数的有关概念解题. 例1已知复数z 满足3z z i +=+，则z =（ ）A. 1i -B. 1i +C.43i - D. 43i + 【分析】先设出复数z ，再利用复数相等的充要条件求出复数z.【解析】设(),z a bi a b R =+∈，则22z a b =+，由已知有223a bi a b i +++=+，所以223{ 1a a b b ++== ，解得4{ 31a b == ，即43z i =+，选D.考向二 复数的运算 【解决法宝】复数的运算(1)复数的加、减、乘、除运算法则： 设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i (a ，b ，c ，d ∈R)，则 ①加法：z 1＋z 2＝(a ＋b i)＋(c ＋d i)＝(a ＋c )＋(b ＋d )i ； ②减法：z 1－z 2＝(a ＋b i)－(c ＋d i)＝(a －c )＋(b －d )i ； ③乘法：z 1·z 2＝(a ＋b i)·(c ＋d i)＝(ac －bd )＋(ad ＋bc )i ； ④除法：z 1z 2＝a ＋b ic ＋d i ＝a ＋b ic －d i c ＋d ic －d i＝ac ＋bd c 2＋d 2＋bc －ad c 2＋d 2i(c ＋d i≠0)． (2)复数加法的运算定律：复数的加法满足交换律、结合律，即对任何z 1、z 2、z 3∈C ，有z 1＋z 2＝z 2＋z 1，(z 1＋z 2)＋z 3＝z 1＋(z 2＋z 3)．例2设复数z 满足()13z i i +=-，则复数zi的实部为（ ） A. -2 B. 2 C. -1 D. 1【分析】利用复数的除法运算求出复数z ，再根据共轭复数的概念求出z 的共轭复数，利用方式的除法求出复数zi，即可求出其实部..考向三 复数的几何意义 【解决法宝】1.复数z ＝a ＋b i←――→一一对应有序实数对(a ，b )←――→一一对应点Z (a ，b )． 2.一般情况下复数不能比较大小。
2020年高考数学(理)二轮专项复习专题12 复数含答案
专题十二 复数本章内容主要是复数的概念、复数的运算．引入虚数，这是中学阶段对数集的最终扩充．需要掌握复数的概念、弄清实数与复数的关系，掌握复数代数形式的运算(包括加、减、乘、除)，了解复数的几何表示．由于向量已经单独学习，因此复数的向量形式与三角形式就不作要求，主要解决代数形式．【知识要点】1．复数的概念中，重要的是复数相等的概念．明确利用“转化”的思想，把虚数问题转化为实数问题加以解决，而这种“转化”的思想是通过解实数的方程(组)的方法加以实现．2．复数的代数形式：z ＝a ＋bi (a ，b ∈R )．应该注意到a ，b ∈R 是与z ＝a ＋bi 为一个整体，解决虚数问题实际上是通过a ，b ∈R 在实数集内解决实数问题．3．复数的代数形式的运算实际上是复数中实部、虚部(都是实数)的运算．【复习要求】1．了解数系的扩充过程．理解复数的基本概念与复数相等的充要条件．2．了解复数的代数表示法及其几何意义．3．能进行复数代数形式的四则运算，了解复数代数形式的加、减运算的几何意义．【例题分析】例1 m (m ∈R )取什么值时，复数z ＝(m 2－3m －4)＋(m 2－5m －6)i 是(1)实数?(2)纯虚数?(3)零?【分析】此类问题可以应用复数的定义加以解决．解：(1)当m 2－5m －6＝0，即m ＝－1或m ＝6时，复数z 为实数；(2)当，即m ＝4时，复数z 为纯虚数； (3)当，即m ＝－1时，复数z 为零． 【评析】本题主要考查实数、纯虚数的定义，需要对复数的实部、虚部加以研究．应该注意到复数的实部、虚部都是实数，解决复数的问题时实际上是在进行实数运算．这一点大家在后面的运算中更加能够体会到．例2 判断下列命题的对错：(1)复平面内y 轴上所有点的集合与纯虚数集是一一对应的；⎪⎩⎪⎨⎧=/--=--06504322m m m m ⎪⎩⎪⎨⎧=--=--06504322m m m m(2)两个复数a ＋bi ＝c ＋di 的充要条件是a ＝c ，b ＝d ；(3)任意两个确定的复数都不能比较大小；(4)若z 1＋z 2∈R ，则z 1，z 2为共轭复数．【分析】本题进一步考察数系的概念，大家在解决此类问题时一定要跳出实数这个圈子，考虑全面一些． 解：(1)错误．复平面内y 轴上的原点对应的是实数0，不是纯虚数．(2)错误．复数a ＋bi 中并没有强调a ，b ∈R 这一条件，因此a ，b 不一定是复数的实部、虚部，例如：3i ＋4i ＝5i ＋2i ，此时，a ＝3i ，b ＝4、c ＝5i ，d ＝2，a ＝c ，b ＝d 不成立．(3)错误．复数中的两个确定的实数是可以比较大小的．(4)错误．z 1＝3＋4i ，z 2＝5－4i ，z 1＋z 2＝8∈R ，z 1，z 2不是共轭复数．【评析】(4)中需要注意不能从两个复数运算的结果来判定这两个复数的范围；(3)中再次强调复数中对于实部和虚部必须加以明确；对于判断命题的正确与否的问题，错误的要能举出反例(一个即可)，正确的要能加以证明．错误的命题最好能够加以改正．例3 计算下列各式的值：(1) (2)(1＋2i )(3－4i )(2－i )；(3)|(5＋12i )(3－4i )|．【分析】这是本专题的重点，运算中要运用法则，还要观察题目本身的特点．解：(1) (2)(1＋2i )(3－4i )(2－i )＝(3－4i ＋6i ＋8)(2－i )＝(11＋2i )(2－i )＝24－7i ．(3)|(5＋12i )(3－4i )|＝|(5＋12i )||(3－4i )|＝【评析】(1)中的变号问题不容忽视；(2)中不妨再把后两个括号先算，对结果加以验证；(3)中运用复数模的运算法则要比先运算再取模方便得多．复数的计算是高考中考察复数知识的重点，运算要准确，不要图快，最好从多个角度加以验证．例4 已知复数z ＝1＋i ，表示z 的共轭复数，且az ＋2b ＝(a ＋2z )2，求实数a ，b 的值．【分析】利用复数相等的充要条件列出实数的方程或方程组是解决此类问题的一般方法．);2334()2()2131(i i i ---++.1)23121()34231()2334()2()2131(i i i i i +=+-+-+=---++.65513431252222=⨯=+⨯+z z解：∵z ＝1＋i ，∴＝1－i ，∵∴，∴(a ＋2b )＋(a －2b )i ＝(a 2＋4a )＋(4a ＋8)i ，即：(a ＋2b )＋(a －2b )i ＝(a 2＋4a )＋(4a ＋8)i ，∴ 解得 或 【评析】应注意到a ，b 是实数这一条件在本题中的作用，如果没有这个条件，那么a ，b 都要按照复数来求，问题就复杂多了．习题121．1＋i ＋i 2＋…＋i 2008的值是( )A ．0B ．－1C ．1D ．i2．复数z 1＝(a 2＋3)＋(－4a －3)i ，z 2＝(a －7)＋(a 2＋a )i ，若z 1＋z 2＝2＋i ，则实数a 的值为( )A ．－3B ．2C ．1D ．不存在 3．若复数的实部和虚部互为相反数，则b ＝( ) A ． B ． C ． D ．24．复数的共轭复数为( ) A ．1＋2i B ．1－2i C ． D ． 5．若a 是实数，是纯虚数，则a ＝______． 6．复数，若，则|z 3|等于______． 7．复平面内，复数z ＝sin2＋i cos2对应的点所在的象限是______．8．虚数z ＝(x －2)＋yi (x ，y ∈R )，若虚数的模｜z |＝1，则的取值范围是______． z ,)2(22z a z b az +=+22442z az a z b az ++=+⎩⎨⎧+=-+=+842422a b a a a b a ⎩⎨⎧-=-=12b a ⎩⎨⎧=-=.24b a )R (212∈+-b i bi 232-32i215+i 31035+-i 31035--ii a +-1i z ii z 32,342321-=-+=213z z z =xy9．已知复数i (m R )，当z 是(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数时，分别求m 的值或取值范围．10．已知复数(3x ＋2y )＋5xi 与复数18＋(y －2)i 的共轭复数相等，求实数x ，y 的值．11．已知函数，求f (1＋i )与f (1－i )的值．专题十二 复数参考答案习题12一、选择题：1．C 2．D 3．B 4．A提示：)152(315822--+++-=m m m m m z ∈132)(2++-=x x x x f(1)解：1＋i ＋i 2＋…＋i 2008＝ (2)解：z 1＋z 2＝(a 2＋3＋a －7)＋(－4a －3＋a 2＋a )i ＝2＋i ，即：方程组无解． 二、填空题5．1； 6．； 7．第四象限； 8． 提示：(6)解： (8)解：∵，设 则k 为过圆(x －2)2＋y 2＝1上点及原点的直线斜率，作图如下，， 又∵y ≠0，∴k ≠0．∴ 三、解答题： 9．解：(1)当z 是实数时，有 .111112009=--=--i i ii &⎩⎨⎧=-==-=⇒⎪⎩⎪⎨⎧=--=-+41231332422a a a a a a a a 或或⇒51)].33,0()0,33[(Y -,254325)34(34)32)(34()32()32)(34(23213i i i i i i i i i i i i z z z +-=+=-=---=--+==⋅==+-=+-=5125525|43||2543|||3i i z ⎩⎨⎧=/=+-01)2(22y y x ,x y k=3333≤≤-k ].33,0()0,33[Y -∈k .50301522=⇒⎩⎨⎧=/+=--m m m m(2)当z 是虚数时，有且． (3)当z 是纯虚数时，有 10．解：∵x ，y R ，∴∵11．解：∵ ∴ ⎩⎨⎧=/+=/--0301522m m m 5≠⇒m 3-≠m ⎪⎩⎪⎨⎧=⇒=++-=/--.303158015222m m m m m m ∈,)2(1818)2(i y i y --=+-.122)2(51823,5)23(18)2(⎩⎨⎧=-=⇒⎩⎨⎧--==+∴++=+-y x y x y x xi y x i y ,132)(2++-=x x x x f ,5221113)1(2)1()1(2i i i i i i f -=+=++++-+=+⋅+=-=+-+---=-5221113)1(2)1()1(2i i i i i i f。
2020年高考江苏版高考数学 专题九 复 数
考点清单
复数的有关概念及几何意义
考向基础 1.复数的有关概念 (1)复数相等:a+bi=c+di⇔① a=c且b=d (a,b,c,d∈R). (2)共轭复数:a+bi与c+di共轭⇔② a=c,b=-d (a,b,c,d∈R).
(3)复数的模 ①概念:复数z=a+bi(a,b∈R)对应的向量 OZ 的模叫做z的模,记作|z|或|a+
除法: z1 = a bi = (a bi)(c di) = ac bd + bc ad i(c+di≠0). z2 c di (c di)(c di) c2 d 2 c2 d 2
2.复数加法的运算律 复数的加法满足交换律、结合律,即对任意z1、z2、z3∈C,有z1+z2=z2+z1, (z1+z2)+z3=z1+(z2+z3).
.
解析 因为z= 2 =-1+i,所以i z =i(-1-i)=1-i,其在复平面内对应的点的
1 i
坐标为(1,-1).
答案 (1,-1)
考点二 复数的运算
考向基础 1.复数的加、减、乘、除运算法则 设z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R),则 加法:z1+z2=(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i; 减法:z1-z2=(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i; 乘法:z1·z2=(a+bi)·(c+di)=(ac-bd)+(bc+ad)i;
.
解析 由几何意义知,复数z对应的点到△ABC三个顶点的距离都相等, 则z对应的点是△ABC的外心. 答案 外心
2020届江苏高考数学(文)总复习讲义：复数
第二节 • 必过数材美1.复数的有关概念(1)复数的概念：形如a + bi(a , b € R )的数叫复数，其中a ,b 分别是它的实部和虚部.若 b = 0,贝U a +bi 为实数；若 b z 0,则a + bi 为虚数；若 a = 0且0，则a + bi 为纯虚数.(2) 复数相等：a + bi = c + di ? a = c 且 b = d(a , b , c , d € R ). (3) 共轭复数：a + bi 与 c + di 共轭? a = c , b =- d(a , b , c , d € R ). (4) 复数的模：向量OZ>的模r 叫做复数 z = a + bi(a , b € R )的模，记作|z|或|a + bi|，即|z|= |a +圳= a 2+ b 2.2. 复数的几何意义——对应(1) 复数 z = a + bi F复平面内的点 Z(a , b)(a , b € R ). ——「匸 —> (2) 复数 z = a + bi(a , b € R ) * -平面向量 ~OZ .3. 复数的运算(1)复数的加、减、乘、除运算法则设 Z 1 = a + bi , z 2= c + di(a , b , c , d € R ),则①加法： z 1— z 2= (a — bi) + (c — di) = (a — c)— (b — d)i ; ②减法： z 1 — z 2= (a — bi) — (c — di) = (a — c)— (b — d)i ; ③乘法：Z 1 z 2= (a — bi) (c — di) = (ac — bd) — (ad — bc)i ;Z 1a + bi a + bi c — di ac + bd 电氏 2 2 —LZ 2 c — di c — di c — di c +d(2)复数加法的运算定律复数的加法满足交换律、结合律，即对任何 Z 1 , Z 2,爲€ C,有Z 1— Z 2= Z 2+ Z 1, (Z 1—Z 2)+ Z 3= Z 1 土色土Z3L［小题体验］1. (2019徐州调研)若复数z 满足i z = 1— 2i(其中i 为虚数单位)，则z 的模为 _________________复__数④除法: bc — adc 2—d 2i(c — di z 0).解析：由iz= 1+ 2i,得z= 1 + 2i= 1+2i.2—i = 2—i,i —i••• |z|= 5.答案：52- i2 .若复数z=下厂卩是虚数单位)，则z的共轭复数为 ________________ .解析：因为z= 27T-i= 23-^i = 1 + 2i,所以z = 1 —2i.i i只i答案：1 —2i3.四边形ABCD是复平面内的平行四边形，A, B, C三点对应的复数分别是 1 + 3i, —i,2 + i,则点D对应的复数为_____________ .答案：3+ 5i■•卜必过易措关1•判定复数是实数，仅注重虚部等于0是不够的，还需考虑它的实部是否有意义.2.两个虚数不能比较大小.3•注意不能把实数集中的所有运算法则和运算性质照搬到复数集中来•例如，若z2€ C, £+ z2=0,就不能推出可=Z2=0；z2v 0在复数范围内有可能成立.［小题纠偏］1 .设复数z1= 2—i, z2= a + 2i(i 是虚数单位，a€R),若z1 z2^ R,贝V a = _______ .解析：依题意，复数z1z2= (2 —i)(a + 2i)= (2a + 2) + (4 —a)i 是实数，因此4 —a= 0, a = 4.答案：42 •设i是虚数单位，若复数(2 + ai)i的实部与虚部互为相反数，则实数a的值为________________ .解析：因为(2 + ai)i = —a+ 2i,又其实部与虚部互为相反数，所以一a+ 2 = 0，即a = 2.答案：2考点一复数的有关概念基础送分型考点一一自主练透［题组练透］2—i1. (2018扬州期末)已知i是虚数单位，则复数z= 1+^的共轭复数是_________________解析：2—i (2—i (1 —i\ 1 3—1+ i_ (1 + i[1 —i)—2• • z==2 +2i.答案：2+3ia + i2. (2019盐城模拟)设复数z =帀j(i 为虚数单位)为纯虚数，则实数 a 的值为则a ++1 = 0,号工0,故 a =— 1. a + i法二：设 a = bi , b € R,0,贝U a + i = bi(1 + i) = — b + bi ,1 + iab ,故。
2020年高考江苏版高考数学 专题九 复 数
专题九复数挖命题【真题典例】【考情探究】分析解读复数是江苏高考的必考内容,试题一般比较简单,主要围绕复数的四则运算、简单的几何意义、复数的基本概念等进行考查.破考点【考点集训】考点一复数的有关概念及几何意义1.(2019届江苏太湖高级中学检测)若(1+2ai)i=1-bi,其中a,b∈R,i是虚数单位,则|a+bi|= .答案2.(2019届江苏汇龙高级中学检测)在复平面内,复数z和-(i是虚数单位)表示的点关于虚轴对称,则复数z= .答案+i考点二复数的运算1.(2018江苏南京、盐城高三一模,2)设复数z=a+i(a∈R,i为虚数单位),若(1+i)·z为纯虚数,则a的值为.答案 12.(2018江苏苏锡常镇四市高三教学情况调研(一),2)已知复数z满足z·i=3-4i(i为虚数单位),则|z|= . 答案 53.(2019届江苏黄桥中学检测)设复数z=-1-i(i为虚数单位),z的共轭复数为,则|(1-z)·|= .答案炼技法【方法集训】方法一复数四则运算的方法1.(2019届江苏如东中学检测)-+-= .答案-1+i2.已知=b+i,其中i是虚数单位,则a-b= . 答案-3方法二复数几何意义有关问题的应用方法1.在复平面内与复数z=(i为虚数单位)所对应的点关于实轴对称的点为A,则A对应的复数为. 答案1-i+2i2(i为虚数单位)对应的点位于第象限.2.(2019届江苏南通一中检测)在复平面内,复数-答案二过专题【五年高考】A组自主命题·江苏卷题组1.(2017江苏,2,5分)已知复数z=(1+i)(1+2i),其中i是虚数单位,则z的模是.答案2.(2016江苏,2,5分)复数z=(1+2i)(3-i),其中i为虚数单位,则z的实部是.答案 53.(2015江苏,3,5分)设复数z满足z2=3+4i(i是虚数单位),则z的模为.答案4.(2014江苏,2,5分)已知复数z=(5+2i)2(i为虚数单位),则z的实部为.答案21B组统一命题、省(区、市)卷题组考点一复数的有关概念及几何意义1.(2018浙江改编,4,4分)复数(i为虚数单位)的共轭复数是.-答案1-i2.(2017课标全国Ⅲ文改编,2,5分)复平面内表示复数z=i(-2+i)的点位于第象限.答案三3.(2016课标全国Ⅱ改编,1,5分)已知z=(m+3)+(m-1)i在复平面内对应的点在第四象限,则实数m的取值范围是.答案(-3,1)4.(2017北京改编,2,5分)若复数(1-i)(a+i)在复平面内对应的点在第二象限,则实数a的取值范围是. 答案(-∞,-1)5.(2015广东改编,2,5分)若复数z=i(3-2i)(i是虚数单位),则= .答案2-3i6.(2016天津,9,5分)i是虚数单位,复数z满足(1+i)z=2,则z的实部为.答案 17.(2015天津,9,5分)i是虚数单位,若复数(1-2i)(a+i)是纯虚数,则实数a的值为.答案-28.(2016北京,9,5分)设a∈R.若复数(1+i)(a+i)在复平面内对应的点位于实轴上,则a= .答案-19.(2016山东改编,1,5分)若复数z满足2z+=3-2i,其中i为虚数单位,则z= .答案1-2i考点二复数的运算= .1.(2018课标全国Ⅱ理改编,1,5分)-答案-+i2.(2018课标全国Ⅰ文改编,2,5分)设z=-+2i,则|z|= .答案 13.(2018课标全国Ⅲ理改编,2,5分)(1+i)(2-i)= .答案3+i4.(2018天津文,9,5分)i是虚数单位,复数= .答案4-i5.(2017课标全国Ⅱ文改编,2,5分)(1+i)(2+i)= .答案1+3i6.(2017课标全国Ⅲ理改编,2,5分)设复数z满足(1+i)z=2i,则|z|= .答案7.(2017山东文改编,2,5分)已知i是虚数单位,若复数z满足zi=1+i,则z2= .答案-2i8.(2017山东理改编,2,5分)已知a∈R,i是虚数单位.若z=a+i,z·=4,则a= .答案1或-19.(2016课标全国Ⅰ改编,2,5分)设(1+2i)(a+i)的实部与虚部相等,其中a为实数,则a= . 答案-3= .10.(2016课标全国Ⅲ理改编,2,5分)若z=1+2i,则-答案i=i,则|z|= .11.(2015课标Ⅰ改编,1,5分)设复数z满足-答案 1= .12.(2016北京改编,2,5分)复数-答案i13.(2015湖南改编,1,5分)已知-=1+i(i为虚数单位),则复数z= .答案-1-i14.(2014安徽改编,1,5分)设i是虚数单位,表示复数z的共轭复数.若z=1+i,则+i·= . 答案 2C组教师专用题组1.(2015湖北改编,1,5分)i为虚数单位,i607的共轭复数为.····答案i2.(2014江西改编,1,5分)是z的共轭复数,若z+=2,(z-)i=2(i为虚数单位),则z= .答案1-i3.(2016四川改编,1,5分)设i为虚数单位,则复数(1+i)2= .答案2i4.(2014重庆改编,1,5分)复平面内表示复数i(1-2i)的点位于第象限.答案一5.(2014湖北改编,1,5分)i为虚数单位,-= .答案-16.(2012江苏,3,5分)设a,b∈R,a+bi=-(i为虚数单位),则a+b的值为.-答案8【三年模拟】一、填空题(每小题5分,共50分)1.(2018江苏海安高三质量测试)设复数z满足i(z+i)=-3+4i,其中i为虚数单位,则z的模为.答案22.(2018江苏泰州中学高三学情调研)已知复数z=(a-i)(1+i)(a∈R,i是虚数单位)是实数,则a= . 答案 13.(2018江苏徐州高三年级期中)已知复数z满足(1+i)z=i,其中i为虚数单位,则复数z的实部为. 答案4.(2018江苏苏州高三第一次调研测试)已知i为虚数单位,复数z=-i的模为.答案5.(2018江苏南通高三第一次调研测试)已知复数z=,其中i为虚数单位,则复数z的实部为.-答案-6.(2019届江苏白蒲高级中学检测)若a为实数,且(2+ai)(a-2i)=-4i(i为虚数单位),则a= .答案07.(2019届江苏南通大学附属中学检测)若复数z满足=i,其中i为虚数单位,则z= .-答案1-i8.(2018江苏南京高三年级学情调研)若(a+bi)(3-4i)=25(a,b∈R,i为虚数单位),则a+b的值为.答案7的共轭复数是.9.(2019届江苏启东一中检测)已知i是虚数单位,则复数-答案1-i=0(i是虚数单位)的复数对应的10.(2019届江苏启东中学检测)定义运算=ad-bc,则符合条件-点在第象限.答案二二、解答题(共10分)11.(2019届江苏江安中学检测)已知复数z的共轭复数是,且满足z·+2iz=9+2i(i是虚数单位),求z.解析设z=a+bi(a,b∈R),则=a-bi.因为z·+2iz=9+2i,所以(a+bi)(a-bi)+2i(a+bi)=9+2i,即a2+b2-2b+2ai=9+2i,-所以由 得a=1,代入 ,得b2-2b-8=0.解得b=-2或b=4.所以z=1-2i或z=1+4i.。
江苏省2020届高考数学二轮复习 专题8 向量与复数
江苏省2020届高考数学（苏教版）二轮复习专题8 向量与复数回顾2020～2020年的考题，2020年第5题，2020年第2题、第15题，2020年第15题，2020年第10题，2020年第9题、第15题分别考查了向量的线性运算、坐标运算或数量积运算，属于中低档题；2020年第3题，2020年第1题，2020年第2题，2020年第3题，2020年第3题分别考察了复数的概念与四则运算，属容易题.预测在2020年的高考题中：1复数题依然是必考题，而且考查相对简单，在前3题； 2向量问题多以填空题的形式考查，也可能在解答题中以条件的形式出现.重点考查数量积的运算及应用.1．(2020·江苏高考)设a ，b ∈R ，a ＋b i ＝11－7i1－2i (i 为虚数单位)，则a ＋b ＝________.解析：∵a ＋b i ＝11－7i1＋2i5＝25＋15i5＝5＋3i ， ∴a ＝5，b ＝3，故a ＋b ＝8. 答案：82.设E ，F 分别是Rt△ABC 的斜边BC 上的两个三等分点，已知AB＝3，AC ＝6，则AE u u u r ·AF u u u r＝________.解析：AE u u u r ·AF u u u r ＝()AB u u u r ＋BE u u u r·()AC u u u r ＋CF uuu r ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫AB uu u r ＋13 BC uuu r ·⎝ ⎛⎭⎪⎫AC u u u r －13 BC uuu r ＝AB u u u r ·AC u u u r －19|BC uuu r |2＋13BC uuu r ·(AC u u u r －AB u u u r)＝29|BC uuur |2＝29×45＝10. 答案：103．(2020·江苏高考)已知e 1，e 2是夹角为23π的两个单位向量，a ＝e 1－2e 2，b ＝k e 1＋e 2.若a ·b ＝0，则实数k 的值为____．解析：由题意知：a ·b ＝(e 1－2e 2)·(k e 1＋e 2)＝0， 即k e 21＋e 1e 2－2k e 1e 2－2e 22＝0，即k ＋cos 2π3－2k cos 2π3－2＝0，化简可求得k ＝54.答案：544．(2020·扬州质检)设OA u u u r ＝(1，－2)，OB uuu r ＝(a ，－1)，OC u u u r＝(－b,0)，a >0，b >0，O 为坐标原点，若A ，B ，C 三点共线，则1a ＋2b的最小值为________．解析：AB u u u r ＝OB uuur －OA u u u r ＝(a －1,1)，AC u u u r ＝(－b －1,2)．∵A ，B ，C 三点共线，∴AB u u u r ∥AC u u ur .∴2(a －1)＋(b ＋1)＝0. ∴2a ＋b ＝1.∴1a ＋2b ＝2a ＋b a ＋4a ＋2b b ＝4＋b a ＋4a b≥4＋2b a ·4ab＝8. 答案：85.如图，设点P 是三角形ABC 内一点(不包括边界)，且AP u u u r ＝m AB u u u r＋n AC u u u r ，m ，n ∈R ，则m 2＋(n －2)2的取值范围为________．解析：因为点P 是三角形ABC 内一点(不包括边界)，所以0<m ，n <1,0<m ＋n <1，根据线性规划的知识，作出如图阴影部分，m 2＋(n －2)2表示点P (0,2)到阴影内点的距离的平方，显然到点A (0,1)的距离最近，为1；到点B (1,0)的距离最远，这时m 2＋(n －2)2＝5，故所求取值范围为(1,5)．答案：(1,5)[典例1]若z 是实系数方程x 2＋2x ＋p ＝0的一个虚根，且|z |＝2，则p ＝________. [解析] 设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R ，b ≠0)， 则a 2＋b 2＝4，且(a ＋b i)2＋2(a ＋b i)＋p ＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2＝4，a 2－b 2＋2a ＋p ＝0，2ab ＋2b ＝0，解得p ＝4.[答案] 4利用复数相等的充要条件，将复数问题实数化是处理复数问题的基本策略． [演练1]设关于x 的方程x 2－(tan θ＋i)x －(2＋i)＝0有实根，求锐角θ及这个实根． 解：设实数根为a ，则a 2－(tan θ＋i)a －(2＋i)＝0，即a 2－a tan θ－2－(a ＋1)i ＝0.∵a ，tan θ∈R ，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 2－a tan θ－2＝0，a ＋1＝0.∴a ＝－1且tan θ＝1. 又0<θ<π2，∴θ＝π4.[典例2]如图，在△ABC 和△AEF 中，B 是EF 的中点，AB ＝EF ＝1，CA ＝CB＝2，若AB u u u r ·AE u u u r ＋AC u u u r ·AF u u u r ＝2，则EF u u u r 与BC uuur 的夹角θ等于________．[解析] 因为△ABC 中，CA ＝CB ＝2，AB ＝1，所以cos ∠CAB ＝12·ABAC＝14，所以AC u u u r ·AB u u u r ＝12.又因为AB u u u r ·AE u u u r ＋AC u u u r ·AF u u u r＝2，所以AB u u u r ·(AB u u u r ＋BE u u u r )＋AC u u u r ·(AB u u u r ＋BF u u u r)＝2，即1＋AB u u u r ·BE u u u r ＋12＋AC u u u r ·BF u u u r＝2，所以AB u u u r ·BE u u u r ＋AC u u u r ·BF u u u r ＝12.因为BE u u u r ＝－BF u u u r ，所以－AB u u u r ·BF u u u r ＋AC u u u r ·BF u u u r ＝12，即BF u u u r (AC u u u r －AB u u u r )＝12，所以BF u u u r ·BC uuur ＝12，所以cos θ＝12，故θ＝π3.[答案]π3本题中△ABC 为确定的三角形，所以以AC u u u r ，AB u u u r 为基底，通过BF u u u r ，BC uuur 与基底的关系，进行计算．这类问题比较难建立未知向量与基底向量之间的关系，本题中关键是利用条件AB u u u r ·AE u u u r ＋AC u u u r ·AF u u u r＝2进行转化．另外本题也可以以B 为原点建立直角坐标系，用坐标进行研究．[演练2](2020·江苏高考)如图，在矩形ABCD 中，AB ＝2，BC ＝2，点E 为BC 的中点，点F 在边CD 上，若AB u u u r ·AF u u u r ＝2，则AE u u u r ·BF u u u r的值是________．解析：以A 为坐标原点，AB ，AD 所在的直线分别为x 轴，y 轴建立直角坐标系，则B (2，0)，E (2，1)，D (0,2)，C (2，2)．设F (x,2)(0≤x ≤2)，由AB u u u r ·AF u u u r＝2⇒2x ＝2⇒x ＝1，所以F (1,2)，AE u u u r ·BF u u u r＝(2，1)·(1－2，2)＝ 2.答案： 2 [典例3]如图，在正方形ABCD 中，E 为AB 的中点，P 为以A 为圆心、AB 为半径的圆弧上的任意一点，设向量AC u u u r ＝λDE u u u r ＋μAP u u u r，则λ＋μ的最小值为________．[解析] 以A 为原点，AB u u u r 为x 轴正方向，AD u u u r为y 轴正方向，建立直角坐标系．设AB ＝1，P (cos θ，sin θ)，θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，则AC u u u r ＝(1,1)，DE u u u r ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－1，AP u u u r ＝(cos θ，sin θ)，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧1＝12λ＋μcos θ，1＝－λ＋μsin θ，解得μ＝32cos θ＋sin θ.又λ＝μsin θ－1，所以λ＋μ＝μ(sin θ＋1)－1＝31＋sin θ2cos θ＋sin θ－1.设y ＝1＋sin θ2cos θ＋sin θ，则y ′＝cos θ2cos θ＋sin θ－1＋sin θcos θ－2sin θ2cos θ＋sin θ2＝2＋2sin θ－cos θ2cos θ＋sin θ2，因为y ′＝2＋2sin θ－cos θ2cos θ＋sin θ2>0，所以y ＝1＋sin θ2cos θ＋sin θ在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2递增．所以(λ＋μ)min ＝12.[答案] 12解决本题的关键是将点P 坐标设为三角函数，从而引入三角函数来表示参数λ，μ.难点是对所得函数的进一步研究，通过导数确定函数的单调性，从而求得最小值．[演练3]设e 1，e 2是夹角为60°的两个单位向量，已知OM u u u u r ＝e 1，ON u u u r＝e 2，OP uuu r ＝x ·OM u u u u r ＋y ·ON u u u r(x ，y 为实数)．若△PMN 是以M 为直角顶点的直角三角形，则x －y 取值的集合为________．解析：由题意得|OM u u u u r |＝|ON u u u r |＝1，OM u u u u r ·ON u u u r ＝12，又因为△PMN 是以M 为直角顶点的直角三角形，所以有MP u u u r ·MN u u u ur ＝0，即(OP uuu r －OM u u u u r )·(ON u u u r －OM u u u u r)＝0，所以((x －1) OM u u u u r ＋y ON u u u r )·(ON u u u r －OM u u u u r)＝0，得(1－x )＋y ＋12(x －1－y )＝0，所以－12(x －y )＝－12，即x －y ＝1，故x －y 取值的集合为{1}． 答案：{1}[专题技法归纳](1)向量的数量积问题主要涉及向量的模、夹角、坐标这三个基本方面，有关向量数量积的运算都是这三个方面的运算．(2)处理向量问题，一般有两个途径，一是建立直角坐标系用坐标运算研究向量间的问题，二是用基底表示后直接运算．(3)平面向量的线性运算中应注意以下几个关键要素： ①基底向量的建立；②未知向量与基底向量的关系； ③向量条件的几何意义； ④参数取值范围的几何解法．1．(2020·南通第一次调研)若复数z 满足(1＋2i)z ＝－3＋4i(i 是虚数单位)，则z ＝________.解析：z ＝－3＋4i 1＋2i ＝－3＋4i1－2i5＝5＋10i5＝1＋2i. 答案：1＋2i2．定义：复数b ＋a i 是z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )的转置复数，记为z ′＝b ＋a i ；复数a －b i 是z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )的共轭复数，记为z ＝a －b i.给出下列三个命题：①z ′＝i·z ；②z ′＋z ′＝0；③z 1′·z 2′＝z 1·z 2.其中真命题的个数为________．解析：i·z ＝i(a －b i)＝b ＋a i ＝z ′，①正确；z ′＋z ′＝(a －b i)′＋b ＋a i ＝－b ＋a i ＋b －a i ＝0，②正确；z 1′·z 2′＝(a 1＋b 1i)′(a 2＋b 2i)′＝(b 1＋a 1i)(b 2＋a 2i)＝(b 1b 2－a 1a 2)＋(b 1a 2＋a 1b 2)i ，z1·z2＝a 1＋b 1i ·a 2＋b 2i ＝a 1a 2－b 1b 2＋a 1b 2＋b 1a 2i ＝(a 1a 2－b 1b 2)－(a 1b 2＋a 2b 1)i ，∴z 1′·z 2′≠z 1·z 2，③错，因此真命题个数是2.答案：23．在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边长分别为a 、b 、c ，设向量x ＝(sin B ，sin C )，向量y ＝(cos B ，cos C )，向量z ＝(cos B ，－cos C )，若z ∥(x ＋y )，则tan B ＋tan C 的值为________．解析：x ＋y ＝(sin B ＋cos B ，sin C ＋cos C )， 由z ∥(x ＋y )，得cos C (sin B ＋cos B )＋cos B (sin C ＋cos C )＝0， 即sin B cos C ＋cos B sin C ＝－2cos B cos C . 所以sin B cos C ＋cos B sin C cos B cos C ＝tan B ＋tan C ＝－2.答案：－24．平面内两个非零向量α，β，满足|β|＝1，且α与β－α夹角为135°，则|α|的取值范围________．解析：如图所示，在△OAB 中，设∠OBA ＝θ， 所以OB sin 45°＝OAsin θ，即|α|＝OA ＝2sin θ，又θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，34π，故|α|∈(0， 2 ]．答案：(0， 2 ]5．等边三角形ABC 中，P 在线段AB 上，且AP u u u r ＝λAB u u u r ，若CP u u u r ·AB u u u r ＝PA u u u r ·PB u u u r，则实数λ的值是________．解析：P 在线段AB 上，所以0≤λ≤1，不妨设等边三角形ABC 边长为1，∵CP u u u r ·AB u u u r＝PA u u u r ·PB u u u r ，∴(CA u u u r ＋AP u u u r )·AB u u u r ＝PA u u u r ·(AB u u u r －AP u u u r)，从而有CA u u u r ·AB u u u r ＋AP u u u r ·AB u u u r ＝PA u u u r ·AB u u u r －PA u u u r ·AP u u u r ，∴－12＋2λ＝λ2，解得λ＝1±22.又0≤λ≤1，∴λ＝1－22. 答案：1－226.如图放置的边长为1的正方形ABCD 的顶点A 、D 分别在x 轴、y 轴正半轴上(含原点)滑动，则OB uuu r ·OC u u u r的最大值是________．解析：设∠OAD ＝θ，则OA ＝AD ·cos θ＝cos θ， 点B 的坐标为(cos θ＋cos(90°－θ)，sin(90°－θ))， 即B (cos θ＋sin θ，cos θ)， 同理可求得C (sin θ，sin θ＋cos θ)，所以OB uuu r ·OC u u u r＝(cos θ＋sin θ，cos θ)·(sin θ，sin θ＋cos θ)＝1＋sin 2θ.所以(OB uuu r ·OC u u u r)max ＝2.答案：27．等腰直角三角形ABC 中，∠A ＝90°，AB ＝2，AD 是BC 边上的高，P 为AD 的中点，点M 、N 分别为AB 边和AC 边上的点，且M 、N 关于直线AD 对称，当PM u u u u r ·PN u u u r ＝－12时，AMMB＝________.解析：由等腰直角三角形ABC 中，∠A ＝90°，AB ＝2，AD 是BC 边上的高，P 为AD 的中点知，AD ＝1，AP ＝12.由PM u u u u r ·PN u u u r ＝－12知(PA u u u r ＋AM u u u u r )·(PA u u u r ＋AN u u u r )＝－12，即P PA u u u r 2＋(AM u u u u r ＋AN u u u r )·PA u u u r ＋AM u u u u r ·AN u u u r ＝－12.又M 、N 关于直线AD 对称，得|AM u u u u r |×12×cos 135°＋|AN u u u r |×12×cos 135°＝－34，故|AM u u u u r |＝324，所以AM MB＝3.答案：38.在平面直角坐标系xOy 中，设A 、B 、C 是圆x 2＋y 2＝1上相异三点，若存在正实数λ，μ，使得OC u u u r ＝λOA u u u r ＋μOB uuu r ，则λ2＋(μ－3)2的取值范围是________．解析：设OA u u u r 与OB uuu r 的夹角为θ，则由OC u u u r ＝λOA u u u r ＋μOB uuu r 得λ2＋2λμcos θ＋u 2＝1，从而由正实数λ，μ及|cos θ|<1，得－1<1－λ2－μ22λμ<1，所以λ＋μ>1，且|λ－μ|<1，作出如图所示的可行域，则λ2＋(μ－3)2表示区域内任一点到点(0,3)的距离的平方，而当点(0,3)到直线λ－μ＋1＝0的距离d 为最小值时，d 2＝2，所以λ2＋(μ－3)2的取值范围为(2，＋∞)．答案：(2，＋∞)9．(1)设向量a ＝(cos α，sin α)，b ＝(cos β，sin β)，其中0<α<β<π，若|2a ＋b |＝|a －2b |，则β－α＝________.(2)在△ABC 中，AB ＝1，AC ＝2，O 为△ABC 外接圆的圆心，则AO u u u r ·BC uuu r＝________.解析：(1)由|2a ＋b |＝|a －2b |得3a 2＋8a ·b －3b 2＝0，即a ·b ＝0，从而cos(β－α)＝0.又0<α<β<π，故0<β－α<π，所以β－α＝π2.(2)法一：AO u u u r ·BC uuu r ＝AO u u u r ·(OC u u u r －OB uuu r) ＝AO u u u r ·OC u u u r －AO u u u r ·OB uuu r ，又|AB u u u r|＝|OB uuu r －OA u u u r |，|AC u u u r |＝|OC u u u r －OA u u u r |，所以⎩⎨⎧|OB uuu r －OA u u u r |2＝OB uuu r 2－2OB uuu r ·OA u u u r ＋OA u u u r 2＝1，| OC u u u r －OA u u u r |2＝OC u u u r 2－2OC u u u r ·OA u u u r ＋OA u u u r 2＝4，即AO u u u r ·OC u u u r －AO u u u r ·OB uuu r ＝32，故AO u u u r ·BC uuu r ＝32.法二：过O 作OD 垂直于BC ，垂足为D ，因为O 是三角形ABC 的外接圆圆心，所以D 为线段BC 的中点，所以AO u u u r ＝AD u u u r ＋DO u u u r ，则AO u u u r ·BC uuu r ＝(AD u u u r ＋DO u u u r)·BC uuu r ＝AD u u u r ·BC uuu r ＝12(AB u u ur ＋AC u u u r )·(AC u u u r －AB u u u r )＝12|AC u u u r |2－12|AB u u u r |2＝32. 答案：(1)π2 (2)3210．在平面直角坐标系xOy 中，点A (－1，－2)，B (2,3)，C (－2，－1)．(1)求以线段AB 、AC 为邻边的平行四边形两条对角线的长；(2)设实数t 满足(AB u u u r －t OC u u u r )·OC u u u r ＝0，求t 的值．解：(1)由题设知AB u u u r ＝(3,5)，AC u u u r ＝(－1,1)，则AB u u u r ＋AC u u u r ＝(2,6)，AB u u u r －AC u u u r ＝(4,4)．所以|AB u u u r ＋AC u u u r |＝210，|AB u u u r －AC u u u r |＝4 2.故所求的两条对角线长分别为42，210.(2)由题设知OC u u u r ＝(－2，－1)，AB u u u r － t OC u u u r ＝(3＋2t,5＋t )，由(AB u u u r －t OC u u u r )·OCu u u r ＝0，得(3＋2t,5＋t )·(－2，－1)＝0，从而5t ＝－11，所以t ＝－115. 11．已知点A (2,0)，B (0,2)，点C (x ，y )在以原点为圆心的单位圆上．(1)若|OA u u u r ＋OC u u u r |＝7(O 为坐标原点)，求向量OB uuu r 与OC u u u r 的夹角θ；(2)若AC u u u r ⊥BC uuu r ，求点C 的坐标．解：(1)由OA u u u r ＝(2,0)，OC u u u r ＝(x ，y )，得OA u u u r ＋OC u u u r ＝(2＋x ，y )．由|OA u u u r ＋OC u u u r |＝7，得(2＋x )2＋y 2＝7，所以⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋y 2＝1，2＋x 2＋y 2＝7，解得x ＝12，y ＝±32. cos θ＝OB uuu r ·OC u u u r | OB uuu r |·|OC u u u r |＝2y 2x 2＋y2＝y ＝±32， 所以OB uuu r 与OC u u u r 的夹角为30°或150°.(2) AC u u u r ＝(x －2，y )，BC uuu r ＝(x ，y －2)，由AC u u u r ⊥BC uuu r 得，AC u u u r ·BC uuu r ＝0，则x 2－2x ＋y 2－2y ＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋y 2＝1，x 2＋y 2－2x －2y ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1－74，y ＝1＋74，或⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1＋74，y ＝1－74，所以点C 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫1－74，1＋74或⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋74，1－74. 12.已知点P 是圆x 2＋y 2＝1上的一个动点，过点P 作PQ ⊥x 轴于点Q ，设OM u u u u r ＝OP uuu r ＋OQ uuu r .(1)求点M 的轨迹方程；(2)求向量OP uuu r 和OM u u u u r 夹角最大时的余弦值，并求此时P 点的坐标． 解：(1)设P (x 0，y 0)，M (x ，y )，则OP uuu r ＝(x 0，y 0)，OQ uuu r ＝(x 0,0)，OM u u u u r ＝OP uuu r ＋OQ uuu r ＝(2x 0，y 0)．∴⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2x 0，y ＝y 0⇒⎩⎪⎨⎪⎧ x 0＝12x ，y 0＝y .∵x 20＋y 20＝1，∴x 24＋y 2＝1. 故点M 的轨迹方程为x 24＋y 2＝1. (2)设向量OP uuu r 与OM u u u u r 的夹角为α，则cos α＝OP uuu r ·OM u u u u r |OP uuu r |·|OM u u u u r |＝2x 20＋y 204x 20＋y 20＝ x 20＋123x 20＋1， 令t ＝3x 20＋1，则cos α＝13 t ＋22t ＝13t ＋4t ＋4≥223， 当且仅当t ＝2时，等号成立，即α最大．∴OP uuu r 与OM u u u u r 夹角最大时的余弦值为223，此时P 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫±33，±63.。
高考数学二轮复习考点知识讲解与练习33---复数
高考数学二轮复习考点知识讲解与练习第33讲复数考点知识：1.理解复数的基本概念；2.理解复数相等的充要条件；3.了解复数的代数表示法及其几何意义；4.会进行复数代数形式的四则运算；5.了解复数代数形式的加、减运算的几何意义．知识梳理1．复数的有关概念(1)定义：形如a＋b i(a，b∈R)的数叫做复数，其中a叫做复数z的实部，b叫做复数z 的虚部(i为虚数单位)．(2)分类：(3)复数相等：a＋b i⇔a＝c且b＝d((4)共轭复数：a＋b i与c＋d i共轭⇔a＝c，b＝－d(a，b，c，d∈R)．(5)模：向量OZ →的模叫做复数z ＝a ＋b i 的模，记作|a ＋b i|或|z |，即|z |＝|a ＋b i|＝a 2＋b 2(a ，b ∈R)． 2．复数的几何意义(1)复数z ＝a ＋b i 一一对应复平面内的点Z (a ，b )(a ，b ∈R)． (2)复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R)一一对应平面向量OZ →. 3．复数的运算(1)运算法则：设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i ，a ，b ，c ，d ∈R.z 1±z 2＝(a ＋b i)±(c ＋d i)＝(a ±c )＋(b ±d )i. z 1·z 2＝(a ＋b i)(c ＋d i)＝(ac －bd )＋(bc ＋ad )i. z 1z 2＝a ＋b i c ＋d i ＝ac ＋bd c 2＋d 2＋bc －ad c 2＋d 2i(c ＋d i≠0)． (2)几何意义：复数加减法可按向量的平行四边形或三角形法则进行．如图所示给出的平行四边形OZ 1ZZ 2可以直观地反映出复数加减法的几何意义，即OZ →＝OZ 1→＋OZ 2→，Z 1Z 2→＝OZ 2→－OZ 1→.1．i 的乘方具有周期性i 4n ＝1，i 4n ＋1＝i ，i 4n ＋2＝－1，i 4n ＋3＝－i ，i 4n ＋i 4n ＋1＋i 4n ＋2＋i 4n ＋3＝0，n ∈N *. 2．(1±i)2＝±2i，1＋i 1－i ＝i ；1－i1＋i＝－i. 3．复数的模与共轭复数的关系z ·z ＝|z |2＝|z |2. 4．两个注意点(1)两个虚数不能比较大小；(2)利用复数相等a ＋b i ＝c ＋d i 列方程时，注意a ，b ，c ，d ∈R 的前提条件．诊断自测1．判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”) (1)复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R)中，虚部为b i.( )(2)复数中有相等复数的概念，因此复数可以比较大小．( ) (3)原点是实轴与虚轴的交点．( )(4)复数的模实质上就是复平面内复数对应的点到原点的距离，也就是复数对应的向量的模．( )答案 (1)× (2)× (3)√ (4)√解析 (1)虚部为b ；(2)虚数不可以比较大小．2．已知i 为虚数单位，a 为实数，复数z 满足z ＋3i ＝a ＋a i ，若复数z 是纯虚数，则( ) A ．a ＝3 B ．a ＝0 C ．a ≠0 D ．a <0 答案 B解析 由z ＋3i ＝a ＋a i ，得z ＝a ＋(a －3)i. 又因为复数z 是纯虚数，所以⎩⎨⎧a ＝0，a －3≠0，解得a ＝0.3．已知(1＋2i)z ＝4＋3i ，则z ＝________.答案 2＋i 解析 因为z ＝4＋3i 1＋2i ＝(4＋3i )(1－2i )(1＋2i )(1－2i )＝10－5i5＝2－i ，所以z ＝2＋i.4．(2022·北京卷)在复平面内，复数z 对应的点的坐标是(1,2)，则i·z ＝( ) A ．1＋2i B ．－2＋I C ．1－2i D ．－2－i 答案 B解析 z ＝1＋2i ，∴i·z ＝i(1＋2i)＝－2＋i.故选B.5．(2019·全国Ⅲ卷改编)设复数z 满足(1＋i)z ＝2i ，则|z |＝( ) A.12 B ．22 C ． 2 D ．2 答案 C解析 法一 由(1＋i)z ＝2i ，得z ＝2i1＋i＝1＋i ， 所以|z |＝ 2.法二 因为2i ＝(1＋i)2，所以由(1＋i)z ＝2i ＝(1＋i)2，得z ＝1＋i ，所以|z |＝ 2. 6．(2021·安庆一中月考)已知复数z ＝2i(1－i )3，则z 在复平面内对应的点所在的象限为第________象限． 答案 二解析 ∵z ＝2i (1－i )3＝－(1－i )2(1－i )3＝－11－i ＝－12－i 2，∴z ＝－12＋i 2对应的点⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，12位于第二象限．考点一复数的相关概念1．(2022·浙江卷)已知a∈R，若a－1＋(a－2)i(i为虚数单位)是实数，则a＝( ) A．1 B．－1 C．2 D．－2答案 C解析由题可知复数的虚部为a－2，若该复数为实数，则a－2＝0，即a＝2.故选C. 2．(2019·全国Ⅱ卷)设z＝i(2＋i)，则z＝( )A．1＋2i B．－1＋2i C．1－2i D．－1－2i答案 D解析∵z＝i(2＋i)＝－1＋2i，∴z＝－1－2i.故选D.3．(2022·全国Ⅰ卷)若z＝1＋2i＋i3，则|z|＝( )A．0 B．1 C． 2 D．2答案 C解析∵z＝1＋2i＋i3＝1＋2i－i＝1＋i，∴|z|＝12＋12＝ 2.故选C. 4．(2021·西安调研)下面关于复数z＝－1＋i(其中i为虚数单位)的结论正确的是( )A.1z对应的点在第一象限 B．|z|<|z＋1|C．z的虚部为i D．z＋z<0 答案 D解析∵z＝－1＋i，∴1z＝1－1＋i＝－1－i(－1＋i)(－1－i)＝－12－i2.则1z对应的点在第三象限，故A错误；|z|＝2，|z＋1|＝1，故B错误；z的虚部为1，故C错误；z＋z＝－2<0，故D正确．感悟升华 1.复数z＝a＋b i(a，b∈R)，其中a，b分别是它的实部和虚部．若z为实数，则虚部b＝0，与实部a无关；若z为虚数，则虚部b≠0，与实部a无关；若z为纯虚数，当且仅当a＝0且b≠0.2．复数z＝a＋b i(a，b∈R)的模记作|z|或|a＋b i|，即|z|＝|a＋b i|＝a2＋b2.3．复数z＝a＋b i(a，b∈R)的共轭复数为z＝a－b i，则z·z＝|z|2＝|z|2，即|z|＝|z|＝z·z，若z∈R，则z＝z.利用上述结论，可快速、简洁地解决有关复数问题．考点二复数的几何意义【例1】(1)(2019·全国Ⅰ卷)设复数z满足|z－i|＝1，z在复平面内对应的点为(x，y)，则( )A．(x＋1)2＋y2＝1 B．(x－1)2＋y2＝1C．x2＋(y－1)2＝1 D．x2＋(y＋1)2＝1(2)(2022·临沂质检)已知a1－i＝－1＋b i，其中a，b是实数，则复数a－b i在复平面内对应的点位于( )A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限答案(1)C (2)B解析(1)由已知条件，可设z＝x＋y i(x，y∈R)．∵|z－i|＝1，∴|x＋y i－i|＝1，∴x 2＋(y －1)2＝1.故选C. (2)由a 1－i＝－1＋b i ，得a ＝(－1＋b i)(1－i)＝(b －1)＋(b ＋1)i ， ∴⎩⎨⎧b ＋1＝0，a ＝b －1，即a ＝－2，b ＝－1，∴复数a －b i ＝－2＋i 在复平面内对应点(－2,1)，位于第二象限．感悟升华 1.复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R)一一对应Z (a ，b )一一对应OZ →＝(a ，b )．2．由于复数、点、向量之间建立了一一对应的关系，因此解题时可运用数形结合的方法，可把复数、向量与解析几何联系在一起，使问题的解决更加直观．【训练1】 (1)若复数z ＝(2＋a i)(a －i)在复平面内对应的点在第三象限，其中a ∈R ，i 为虚数单位，则实数a 的取值范围为( ) A ．(－2，2) B ．(－2，0) C ．(0，2) D ．[0，2)(2)(2021·郑州模拟)已知复数z 1＝2－i 2＋i 在复平面内对应的点为A ，复数z 2在复平面内对应的点为B ，若向量AB →与虚轴垂直，则z 2的虚部为________． 答案 (1)B (2)－45解析 (1)z ＝(2＋a i)(a －i)＝3a ＋(a 2－2)i 在复平面内对应的点在第三象限，∴⎩⎨⎧3a <0，a 2－2<0，解得－2<a <0.(2)z 1＝2－i 2＋i ＝(2－i )2(2＋i )(2－i )＝35－45i ，所以A ⎝ ⎛⎭⎪⎫35，－45，设复数z 2对应的点B (x 0，y 0)，则AB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0－35，y 0＋45，又向量AB →与虚轴垂直，∴y 0＋45＝0，故z 2的虚部y 0＝－45.考点三 复数的运算【例2】 (1)(2022·全国Ⅰ卷)若z ＝1＋i ，则|z 2－2z |＝( ) A ．0 B ．1 C ． 2 D ．2(2)在数学中，记表达式ad －bc 为由⎪⎪⎪⎪⎪⎪ab cd 所确定的二阶行列式．若在复数域内，z 1＝1＋i ，z 2＝2＋i1－i ，z 3＝z 2，则当⎪⎪⎪⎪⎪⎪z 1z 2z 3z 4＝12－i 时，z 4的虚部为________．答案 (1)D (2)－2解析 (1)法一 z 2－2z ＝(1＋i)2－2(1＋i)＝－2，|z 2－2z |＝|－2|＝2. 法二 |z 2－2z |＝|(1＋i)2－2(1＋i)|＝|(1＋i)(－1＋i)| ＝|1＋i||－1＋i|＝2. 故选D.(2)依题意，⎪⎪⎪⎪⎪⎪z 1z 2z 3z 4＝z 1z 4－z 2z 3，因为z 3＝z 2，且z 2＝2＋i 1－i ＝(2＋i )(1＋i )2＝1＋3i2， 所以z 2·z 3＝|z 2|2＝52，因此有(1＋i)z 4－52＝12－i ，即(1＋i)z 4＝3－i ，故z 4＝3－i 1＋i ＝(3－i )(1－i )2＝1－2i.所以z 4的虚部是－2.感悟升华 1.复数的加法、减法、乘法运算可以类比多项式运算，除法关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，注意要把i 的幂写成最简形式． 2．记住以下结论，可提高运算速度： (1)(1±i)2＝±2i；(2)1＋i 1－i ＝i ；(3)1－i1＋i＝－i ；(4)－b ＋a i ＝i(a ＋b i)；(5)i 4n ＝1，i 4n＋1＝i ，i 4n ＋2＝－1，i 4n ＋3＝－i(n ∈N)．【训练2】 (1)(2022·新高考山东卷)2－i1＋2i＝( ) A ．1 B ．－1 C ．i D ．－i(2)(2022·全国Ⅱ卷)设复数z 1，z 2满足|z 1|＝|z 2|＝2，z 1＋z 2＝3＋i ，则|z 1－z 2|＝________.答案 (1)D (2)2 3 解析 (1)2－i 1＋2i ＝(2－i )(1－2i )(1＋2i )(1－2i )＝－5i5＝－i.故选D. (2)法一 设z 1＝a ＋b i(a ，b ∈R)，则z 2＝3－a ＋(1－b )i ， 则⎩⎨⎧|z 1|2＝a 2＋b 2＝4，|z 2|2＝(3－a )2＋(1－b )2＝4，即⎩⎨⎧a 2＋b 2＝4，3a ＋b ＝2.∴|z 1－z 2|2＝(2a －3)2＋(2b －1)2 ＝4(a 2＋b 2)－4(3a ＋b )＋4＝12. 因此|z 1－z 2|＝2 3.法二设复数z1，z2对应的向量为a，b，则复数z1＋z2，z1－z2对应向量为a＋b，a－b，依题意|a|＝|b|＝2，|a＋b|＝2，又因为|a＋b|2＋|a－b|2＝2|a|2＋2|b|2，所以|a－b|2＝12，故|z1－z2|＝|a－b|＝2 3.法三设z1＋z2＝z＝3＋i，则z在复平面上对应的点为P(3，1)，所以|z1＋z2|＝|z|＝2，由平行四边形法则知OAPB是边长为2，一条对角线也为2的菱形，则另一条对角线的长为|z1－z2|＝2×32×2＝2 3.A级基础巩固一、选择题1．设z＝－3＋2i，则在复平面内z对应的点位于( ) A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限答案 C解析z＝－3－2i，故z对应的点(－3，－2)位于第三象限．2．(2022·全国Ⅲ卷)复数11－3i的虚部是( )A．－310B．－110C．110D．310答案 D解析z＝11－3i＝1＋3i(1－3i)(1＋3i)＝110＋310i，虚部为310.故选D.3．(2022·全国Ⅱ卷)(1－i)4＝( )A．－4 B．4 C．－4i D．4i答案 A解析(1－i)4＝(1－2i＋i2)2＝(－2i)2＝4i2＝－4.4. (2021·全国大联考)如图，复数z1，z2在复平面上分别对应点A，B，则z1·z2＝( )A．0 B．2＋I C．－2－i D．－1＋2i答案 C解析由复数几何意义，知z1＝－1＋2i，z2＝i，∴z1·z2＝i(－1＋2i)＝－2－i.5．设复数z满足|z－3|＝2，z在复平面内对应的点为M(a，b)，则M不可能为( ) A．(2，3) B．(3,2) C．(5,0) D．(4,1)答案 D解析设z＝a＋b i(a，b∈R)，则z－3＝(a－3)＋b i，∴(a－3)2＋b2＝4，验证点M(4,1)，不满足．6．(2021·河南部分重点高中联考)若复数a＋|3－4i|2＋i(a∈R)是纯虚数，则a＝( )A．－3 B．－2 C．2 D．3 答案 B解析a＋|3－4i|2＋i＝a＋5(2－i)(2＋i)(2－i)＝a＋2－i为纯虚数．则a＋2＝0，解得a＝－2.7．设2＋ii＋1－2i＝a＋b i( a，b∈R，i为虚数单位)，则b－a i＝( )A．－52－32i B．52－32iC.52＋32i D．－52＋32i答案 A解析因为2＋ii＋1－2i＝(2＋i)(1－i)(i＋1)(1－i)－2i＝32－52i＝a＋b i，所以a＝32，b＝－52，因此b－a i＝－52－32i.故选A.8.如图所示，在复平面内，复数z1，z2对应的向量分别是OA→，OB→，则复数z1·z2对应的点位于( )A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限答案 D解析由图知OA→＝(－2，－1)，OB→＝(0,1)，所以z1＝－2－i，z2＝i，z1·z2＝1－2i，所以复数z1·z2所对应的点为(1，－2)，该点在第四象限．二、填空题9．(2022·江苏卷)已知i是虚数单位，则复数z＝(1＋i)(2－i)的实部是________．答案 3解析z＝(1＋i)(2－i)＝2－i＋2i－i2＝3＋i，所以复数z的实部为3.10．在复平面内，O为原点，向量OA→对应的复数为－1＋2i，若点A关于直线y＝－x的对称点为B，则向量OB→对应的复数为________．答案－2＋i解析因为A(－1,2)关于直线y＝－x的对称点B(－2，1)，所以向量OB→对应的复数为－2＋i.11．已知复数z＝1＋2i1＋i＋2i z，则|z|等于________．答案2 2解析由z＝1＋2i1＋i＋2i z得z＝1＋2i(1＋i)(1－2i)＝1＋2i3－i＝(1＋2i)(3＋i)(3－i)(3＋i)＝1＋7i10，故|z|＝11012＋72＝22.12．已知i为虚数单位，若复数z＝1－a i1＋i(a∈R)的实部为－3，则|z|＝________，复数z的共轭复数z＝________. 答案 5 －3＋4i解析因为z＝1－a i1＋i＝(1－a i)(1－i)(1＋i)(1－i)＝1－a－(a＋1)i2的实部为－3，所以1－a2＝－3，解得a ＝7. 所以z ＝－3－4i ，故|z |＝(－3)2＋(－4)2＝5，且共轭复数z ＝－3＋4i.B 级 能力提升13．(2022·南宁模拟)已知z ＝3－i1－i(其中i 为虚数单位)，则z 的共轭复数z 的虚部是( )A ．－1B ．－2C ．1D ．2 答案 A 解析 ∵z ＝3－i 1－i ＝(3－i )(1＋i )(1－i )(1＋i )＝4＋2i2＝2＋i ， ∴z ＝2－i ，∴z 的虚部为－1.14．(2021·哈尔滨调研)已知z 的共轭复数是z ，且|z |＝z ＋1－2i(i 为虚数单位)，则复数z 在复平面内对应的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 答案 D解析 设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R)，因为|z |＝z ＋1－2i ，所以x 2＋y 2＝x －y i ＋1－2i ＝(x＋1)－(y ＋2)i ，所以⎩⎨⎧x 2＋y 2＝x ＋1，y ＋2＝0，解得⎩⎨⎧x ＝32，y ＝－2.所以复数z 在复平面内对应的点为⎝ ⎛⎭⎪⎫32，－2，此点位于第四象限．15.⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i 1－i 6＋2＋3i 3－2i ＝________. 答案 －1＋i解析 原式＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤(1＋i )226＋(2＋3i )(3＋2i )(3)2＋(2)2＝i 6＋6＋2i ＋3i －65＝－1＋i.16．已知复数z ＝x ＋y i(x ，y ∈R)，且|z －2|＝3，则y x的最大值为________． 答案3解析 因为|z －2|＝(x －2)2＋y 2＝3， 所以(x －2)2＋y 2＝3. 由图可知⎝ ⎛⎭⎪⎫y x max ＝31＝ 3.。
2020江苏高考理科数学二轮讲义：函数的概念、图象与性质含解析
[答案]2
函数的性质
[典型例题]
(1)已知函数f(x)＝ 的最大值为M，最小值为m，则M＋m等于________．
(2)(20xx·泰州模拟)设函数y＝f(x)在(－∞，＋∞)内有定义．对于给定的正数k，定义函数fk(x)＝ 取函数f(x)＝2－|x|．当k＝ 时，函数fk(x)的单调递增区间为______．
[答案]－4<x<2
6．(20xx·江苏省名校高三入学摸底卷)已知定义在[0，＋∞)上的函数f(x)满足f(x)＝ f(x＋2)，且当x∈[0，2)时，f(x)＝x2＋1，则log2f(8)＝______．
[解析]由题意得f(x＋2)＝2f(x)，所以f(8)＝2f(6)＝4f(4)＝8f(2)＝16f(0)＝16，所以log2f(8)＝log216＝4．
2．记住几个常用的公式与结论
图象变换规则
(1)水平平移：y＝f(x±a)(a>0)的图象，可由y＝f(x)的图象向左(＋)或向右(－)平移a个单位而得到．
(2)竖直平移：y＝f(x)±b(b>0)的图象，可由y＝f(x)的图象向上(＋)或向下(－)平移b个单位而得到．
(3)y＝f(－x)与y＝f(x)的图象关于y轴对称．
(8)若奇函数f(x)在x＝0处有定义，则f(0)＝0．
(9)奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称；反之亦然；利用奇函数的图象关于原点对称可知，奇函数在原点两侧的对称区间上的单调性相同；利用偶函数的图象关于y轴对称可知，偶函数在原点两侧的对称区间上的单调性相反．
3．需要关注的易错易混点
[解析]因为f(x)是偶函数，所以图象关于y轴对称．又f(2)＝0，且f(x)在[0，＋∞)单调递减，则f(x)的大致图象如图所示，由f(x－1)>0，得－2<x－1<2，即－1<x<3．
2020版高考数学大二轮培优理科通用版课件：专题一 第2讲 平面向量与复数
答案:C
10.(2019全国Ⅲ,理13)已知a,b为单位向量,且a·b=0,若c=2a- b5,则
cos<a,c>=______.
解析:∵a,b 为单位向量,∴|a|=|b|=1.
又 a·b=0,c=2a- 5b,
∴|c|2=4|a|2+5|b|2-4 5a·b=9,∴|c|=3.
又 a·c=2|a|2- 5a·b=2,
答案:C
3.(2019全国Ⅱ,理2)设z=-3+2i,则在复平面内 ������ 对应的点位于( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 解析:由z=-3+2i,得 ������ =-3-2i,则在复平面内 ������ 对应的点(-3,-2)位于第 三象限,故选C. 答案:C
4.(2019全国Ⅲ,理2)若z(1+i)=2i,则z=( )
λ i(i=1,2,3,4,5,6)取遍±1
时,|λ 1������������+λ 2������������+λ 3������������+λ 4������������+λ 5������������+λ 6������������|的最小值
是
,最大值是
.
解析:(基向量处理)
λ 1������������+λ 2������������+λ 3������������+λ 4������������+λ 5������������+λ 6������������=(λ 1-λ 3+λ 5-λ 6)������������ +(λ 2-λ 4+λ 5+λ 6)������������,要使 |λ 1������������+λ 2������������+λ 3������������+λ 4������������+λ 5������������+λ 6������������|的最小,只需要 |λ 1-λ 3+λ 5-λ 6|=|λ 2-λ 4+λ 5+λ 6|=0,此时只需要取 λ 1=1,λ 2=-1,λ 3=1,λ 4=1,λ 5=1,λ 6=1,此时 |λ 1������������+λ 2������������+λ 3������������+λ 4������������+λ 5������������+λ 6������������|min=0,由于
2020江苏高考理科数学二轮讲义：曲线与方程、抛物线含解析
由 得k2x2－(4k＋1)x＋4＝0，
所以xB＋xC＝ ，xBxC＝ ．
由
得xN＝ ．
所以 ＋ ＝ ＋ ＝xN· ＝ · ＝ · ＝2，
故 ＋ 为定值2．
1．如图，圆O1和圆O2的半径都等于1，O1O2＝4．过动点P分别作圆O1、圆O2的切线PM、PN(M、N为切点)，使得PM＝ PN．试建立平面直角坐标系，并求动点P的轨迹方程．
3．(20xx·××市高三模拟)在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y2＝2px(p>0)上一点P 到准线的距离与到原点O的距离相等，抛物线的焦点为F．
(1)求抛物线的方程；
(2)若A为抛物线上一点(异于原点O)，点A处的切线交x轴于点B，过A作准线的垂线，垂足为点E，试判断四边形AEBF的形状，并证明你的结论．
代入①式得4(3x＋4)2－3y＋1＝0，
即为所求轨迹方程．
抛物线的综合问题
[典型例题]
如图，在平面直角坐标系xOy中，已知直线l：x－y－2＝0，抛物线C：y2＝2px(p>0)．
(1)若直线l过抛物线C的焦点，求抛物线C的方程；
(2)已知抛物线C上存在关于直线l对称的相异两点P和Q．
①求证：线段PQ的中点坐标为(2－p，－p)；
因为OC的中点为M ，
故|MP|＝ |OC|＝ ，
得方程 ＋y2＝ ，
由圆的范围知0<x≤1．
法二：定义法．
因为∠OPC＝90°，
所以动点P在以点M 为圆心，OC为直径的圆上，由圆的方程得 ＋y2＝ (0<x≤1)．
法三：代入法．
设Q(x1，y1)，则 ⇒
又因为(x1－1)2＋y ＝1，
所以(2x－1)2＋(2y)2＝1(0<x≤1)．
2020江苏高考理科数学二轮讲义：推理与证明含解析
由对称性知、M为F2Q的中点、且PF2＝PQ、
从而OM∥F1Q且OM＝ F1Q．
而F1Q＝F1P＋PQ＝F1P＋PF2＝2a、所以OM＝a．
对于双曲线、过F2作∠F1PF2内角平分线的垂线、垂足为M、
类比可得OM＝a．
因为OM＝ F1Q＝ (PF1－PF2)＝ ·2a＝a．
合情推理
[典型例题]
(1)(20xx·湖北八校联考)观察下列等式：12＝1、12－22＝－3、12－22＋32＝6、12－22＋32－42＝－10、…、由以上等式推测出一个一般性的结论：对于n∈N*、12－22＋32－42＋…＋(－1)n＋1n2＝________．
(2)(20xx·苏州五校联考)对于三次函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d(a≠0)、给出定义：设f′(x)是函数y＝f(x)的导数、f″(x)是f′(x)的导数、若方程f″(x)＝0有实数解x0、则称点(x0、f(x0))为函数y＝f(x)的“拐点”．某同学经过探究发现、任何一个三次函数都有“拐点”、任何一个三次函数的图象都有对称中心、且“拐点”就是对称中心．设函数f(x)＝ x3－ x2＋3x－ 、请你根据这一发现、计算f ＋f ＋f ＋…＋f ＝________．
[解析]因为a1＝ 、an＋1＝ 、所以a2＝－1、a3＝2、a4＝ 、
所以数列{an}是以3为周期的周期数列、所以
S22＝7(a1＋a2＋a3)＋a1＝7× ＋ ＝11．
[答案]11
4．(20xx·宿迁调研)观察下列各式：a＋b＝1、a2＋b2＝3、a3＋b3＝4、a4＋b4＝7、a5＋b5＝11、…、则a10＋b10＝________．
[解析]平面几何中、圆的面积与圆的半径的平方成正比、而在空间几何中、球的体积与半径的立方成正比、所以 ＝ ．
2020江苏高考理科数学二轮讲义：导数及其应用含解析
t)3万元．利用导数解决生活中的优化问题的一般步骤(1)分析实际问题中各个量之间的关系，建立数学模型，写出函数关系式y＝f(x)；(2)求出函数的导函数f′(x)，解方程f′(x)＝0；(3)比较函数在区间端点和使f′(x)＝0的点处的函数值的大小，最大(小)者为最大(小)值．[对点训练]4．现需要设计一个仓库，它由上下两部分组成，上部的形状是正四棱锥P A1B1C1D1，下部的形状是正四棱柱ABCD A1B1C1D1(如图所示)，并要求正四棱柱的高O1O是正四棱锥的高PO1的4倍．(1)若AB＝6 m，PO1＝2 m，则仓库的容积是多少？(2)若正四棱锥的侧棱长为6 m，则当PO1为多少时，仓库的容积最大？[解] (1)由PO1＝2知O1O＝4PO1＝8．因为A 1B 1＝AB ＝6， 所以正四棱锥P A 1B 1C 1D 1的体积V 锥＝13·A 1B 21·PO 1＝13×62×2＝24(m 3)．正四棱柱ABCDA 1B 1C 1D 1的体积V 柱＝AB 2·O 1O ＝62×8＝288(m 3)．所以仓库的容积V ＝V 锥＋V 柱＝24＋288＝312(m 3)． (2)设A 1B 1＝a m ，PO 1＝h m ，则0<h <6，O 1O ＝4h ．如图，连结O 1B 1． 因为在Rt △PO 1B 1中，O 1B 21＋PO 21＝PB 21， 所以⎝⎛⎭⎫22a 2＋h 2＝36，即a 2＝2(36－h 2)． 于是仓库的容积V ＝V 柱＋V 锥＝a 2·4h ＋13a 2·h ＝133a 2h＝263(36h －h 3)，0<h <6， 从而V ′＝263(36－3h 2)＝26(12－h 2)．令V ′＝0，得h ＝23或h ＝－23(舍)． 当0<h <23时，V ′>0，V 是单调递增函数； 当23<h <6时，V ′<0，V 是单调递减函数． 故h ＝23时，V 取得极大值，也是最大值． 因此，当PO 1＝23 m 时，仓库的容积最大．。
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4．若复数z 满足z
－
1－i ＝i ，其中i 为虚数单位，则z ＝________．
[解析] 由已知得z －
＝i(1－i)＝1＋i ，则z ＝1－i ． [答案] 1－i
5．设a ，b ∈R ，i 是虚数单位，则“ab ＝0”是“复数a ＋b
i 为纯虚数”的________条件．
[解析] 若复数a ＋b
i ＝a －b i 为纯虚数，则a ＝0，b ≠0，ab ＝0；而ab ＝0时a ＝0或b ＝
0，a ＋b i 不一定是纯虚数，故“ab ＝0”是“复数a ＋b
i
为纯虚数”的必要不充分条件．
[答案] 必要不充分
6．在复平面内，复数1＋i 与－1＋3i 分别对应向量OA →和OB →，其中O 为坐标原点，则|AB →|＝________．
[解析] 由题意知A (1，1)，B (－1，3)，故|AB →
|＝（－1－1）2＋（3－1）2＝22． [答案] 22
7．(20xx·广东实验中学模拟改编)已知复数z 1，z 2在复平面上对应的点分别为A (1，2)，B (－1，3)，则z2
z1
＝________．
[解析] 由复数的几何意义可知，z 1＝1＋2i ，z 2＝－1＋3i ， 所以z2z1＝－1＋3i 1＋2i ＝（－1＋3i ）（1－2i ）（1＋2i ）（1－2i ）＝5＋5i 5＝1＋i ．
[答案] 1＋i
8．设复数z 满足|z |＝|z －1|＝1，则复数z 的实部为________．
[解析] 设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，由|z |＝|z －1|＝1得⎩
⎪⎨⎪⎧a2＋b2＝1，（a －1）2＋b2＝1，两式相减得2a ＝1，
a ＝1
2
． [答案] 12
9．(20xx·徐州模拟)已知集合A ＝{x |x 2＋y 2＝4}，集合B ＝{x ||x ＋i|<2，i 为虚数单位，x ∈R }，则集合A 与B 的关系是________．
[解析] |x ＋i|＝x2＋1<2，即x 2＋1<4，解得－3<x <3，所以B ＝(－3，3)，而A ＝[－2，2]，所以B
A ．
[答案] B
A
10．已知m ∈R ，复数1－m
i 在复平面内对应的点在直线x －y ＝0上，则实数m 的值是
________．。