高级中学考试浙江卷数学试题和答案.doc
2024届浙江省慈溪市三山高级中学等六校高三数学第一学期期末统考试题含解析
2024届浙江省慈溪市三山高级中学等六校高三数学第一学期期末统考试题注意事项1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置． 3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．4．作答选择题，必须用2B 铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效． 5．如需作图，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设集合{}2320M x x x =++>，集合1{|()4}2xN x =≤ ，则 M N ⋃=（ ）A ．{}2x x ≥-B ．{}1x x >-C ．{}2x x ≤-D ．R2． “完全数”是一些特殊的自然数，它所有的真因子（即除了自身以外的约数）的和恰好等于它本身.古希腊数学家毕达哥拉斯公元前六世纪发现了第一、二个“完全数”6和28，进一步研究发现后续三个完全数”分别为496，8128，33550336，现将这五个“完全数”随机分为两组，一组2个，另一组3个，则6和28不在同一组的概率为（ ） A ．15B ．25C ．35D ．453．若点位于由曲线与围成的封闭区域内（包括边界），则的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．4．已知m ，n 为异面直线，m ⊥平面α，n ⊥平面β，直线l 满足l ⊥m ，l ⊥n ，,l α⊄,l β⊄则 （ ）A ．α∥β且l ∥αB ．α⊥β且l ⊥βC ．α与β相交，且交线垂直于lD ．α与β相交，且交线平行于l5．设f (x )是定义在R 上的偶函数，且在(0,+∞)单调递减，则（ ）A ．0.30.43(log 0.3)(2)(2)f f f -->> B ．0.40.33(log 0.3)(2)(2)f f f -->> C ．0.30.43(2)(2)(log 0.3)f f f -->>D ．0.40.33(2)(2)(log 0.3)f f f -->>6．将函数sin 2y x =的图像向左平移(0)ϕϕ>个单位得到函数sin 26y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像，则ϕ的最小值为（ ） A ．6π B ．12πC ．1112πD ．56π 7．已知全集{},1,2,3,4,U Z A ==()(){}130,B x x x x Z =+->∈，则集合()U A C B ⋂的子集个数为（ ） A ．2B ．4C ．8D ．168．中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还.”意思为有一个人要走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛，每天走的路程为前一天的一半，走了六天恰好到达目的地，请问第二天比第四天多走了（ ） A ．96里B ．72里C ．48里D ．24里9．要得到函数2sin 26y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象，只需将函数2cos2y x =的图象 A ．向左平移3π个单位长度 B ．向右平移3π个单位长度C ．向左平移6π个单位长度 D ．向右平移6π个单位长度 10．已知函数2()e (2)e xx f x t t x =+--（0t ≥），若函数()f x 在x ∈R 上有唯一零点，则t 的值为（ ）A ．1B ．12或0 C ．1或0 D ．2或011．函数cos ()cos x xf x x x+=-在[2,2]ππ-的图象大致为A ．B ．C ．D ．12．已知向量(1,0)a =，(1,3)b =，则与2a b -共线的单位向量为( )A ．13,22⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭B ．13,22⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭C ．321⎫-⎪⎪⎝⎭或321⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭D ．13,2⎛ ⎝⎭或13,22⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭ 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2021-2022学年浙江省杭州市长河高级中学高二下学期期中数学试题(解析版)
2021-2022学年浙江省杭州市长河高级中学高二下学期期中数学试题一、单选题1．已知两个向量()()1,2,1,2,,2a b m ==，若a b ⊥，则m 的值为（ ） A ．4- B ．2- C ．2 D ．8【答案】B【分析】直接利用空间向量垂直的坐标运算计算即可.【详解】因为a b ⊥，所以0a b ⋅=，即2220m ++=，解得2m =-. 故选：B2．已知直线l 过点()2,4P ，且在y 轴上的截距是在x 轴上的截距的两倍，则直线l 的方程为（ ） A ．20x y -=B ．280x y +-=C ．20x y -=或2100x y +-=D ．20x y -=或280x y +-=【答案】D【分析】对直线l 是否经过原点分类，结合条件，求出l 的方程．【详解】解：若直线l 经过原点，满足条件，可得直线l 的方程为2y x =，即20x y -=； 若直线l 不经过原点，可设直线l 的方程为12x ya a+=()0a ≠， 把点()2,4P 代入可得2412a a+=，解得4a =， ∴直线l 的方程为148x y+=，即280x y +-=， 综上可得直线l 的方程为20x y -=或280x y +-=； 故选：D ．3．如图，函数()y f x =的图象在点P 处的切线方程是8y x =-+，则()()55limx f x f x x∆→+∆--∆=∆（ ）A ．12-B ．2C ．1-D ．2-【答案】D【分析】依题意可知切点坐标，由切线方程得到()51f '=-，利用导数的概念解出即可. 【详解】依题意可知切点()5,3P ，函数()y f x =的图象在点P 处的切线方程是8y x =-+，∴ ()51f '=-，即()()55lim 1x f x f x∆→+∆-=-∆∴()()()()5555lim2lim2x x f x f x f x f x x x∆→∆→+∆--∆+∆--∆=∆∆又()()()()5555limlim12x x f x f x f x f x x ∆→∆→+∆--∆+∆-==-∆∆ ∴()()()()5555lim2lim22x x f x f x f x f x xx∆→∆→+∆--∆+∆--∆==-∆∆即()()55lim2x f x f x x∆→+∆--∆=-∆故选：D.4．已知动圆圆心在抛物线24x y =上，且动圆恒与直线1y =-相切，则此动圆必过定点（ ） A ．()2,0 B ．()1,0 C ．()0,1 D ．()0,1-【答案】C【分析】首先求出抛物线的焦点坐标与准线方程，根据抛物线的定义判断即可.【详解】解：抛物线24x y =的焦点坐标为()0,1F ，准线方程为1y =-，依题意根据抛物线的定义可知动圆必过点()0,1F ； 故选：C5．“杭帮菜”山肤水豢，回味无穷.今有人欲以“糟烩鞭笋”、“冰糖甲鱼”、“荷叶粉蒸肉”、“宋嫂鱼羹”、“龙井虾仁”、“叫化童鸡”共六道杭帮菜宴请远方来客.这六道菜要求依次而上，其中“冰糖甲鱼”和“叫化章鸡”不能接连相邻上菜，请问不同的上菜顺序种数为（ ） A ．480 B ．240 C ．384 D ．1440【答案】A【分析】利用插空法求解，先排列“糟烩鞭笋”、“荷叶粉蒸肉”、“宋嫂鱼羹”、“龙井虾仁”这4道菜，然后用“冰糖甲鱼”和“叫化章鸡”去插空即可.【详解】根据题意，先排列“糟烩鞭笋”、“荷叶粉蒸肉”、“宋嫂鱼羹”、“龙井虾仁”这4道菜，共有44A 24=种方法，4道菜排列后，有5个空，然后用“冰糖甲鱼”和“叫化章鸡”去插空，有25A 20=种方法，所以由分步计数原理可知共有2420480⨯=种不同的上菜顺序， 故选：A6．已知等差数列{}n a 前n 项和为n S ，且4813S S =，则816SS 等于（ ）A ．18B ．19C ．13D ．310【答案】D【分析】由题设及等差数列前n 项和公式可得114618283a d a d +=+，求1,a d 的数量关系，进而求816S S 即可. 【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ， 由题设，41814618283S a d S a d +==+，可得152a d =， ∴8116182831612010S a d S a d +==+. 故选：D.7．某项上机考试的规则是：每位学员最多可上机考试3次，一旦通过，则停止考试；否则一直到3次上机考试结束为止.某学员一次上机考试通过的概率为()0p p ≠，考试次数为X ，若X 的数学期望() 1.75E X >，则p 的取值可能是（ ） A ．12 B ．512C ．712 D ．34【答案】B【分析】根据独立重复实验的概率计算方法求出随机变量X 的分布列，根据数学期望的公式即可计算p 的范围.【详解】考试次数X 的所有可能取值为1，2，3，()1P X p ==，()()21P X p p ==-，()()231P X p ==-，∴()()()22131 1.75E X p p p p =+-+->， 即241250p p -+>，解得2p 1<或52p >， 又01p <<，故102p <<． 故选：B.8．已知双曲线22221x y a b -=，过左焦点F 作一条渐近线的垂线，记垂足为P ，点Q 在双曲线上，且满足FQ QP =，则双曲线的离心率为（ ） A1 BCD ．2【答案】C【分析】设P 在渐近线b y x a=-上，直线FP 的方程为()ay x c b =+，联立求得2,a ab P c c ⎛⎫- ⎪⎝⎭，由FQ QP =，求得2,222a c ab Q c c ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，代入双曲线的方程化简即可得出答案.【详解】设P 在渐近线b y x a=-上，直线FP 的方程为()ay x c b =+，由()b y x a a y x c b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，得2,a x c ab y c ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩即2,a ab P c c ⎛⎫- ⎪⎝⎭， 由FQ QP =，得Q 为FP 的中点，又因为(),0F c -所以2,222a c ab Q c c ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，因为Q 在双曲线上，所以2222222()1,44c a a a c c+-=化简得：222,c a =ce a=故选：C二、多选题9．某同学投篮1次，投中的概率是0.8，他连续投篮4次，且他每次投篮互不影响，则下列四个选项中，正确的（ ） A ．他第3次投中的概率是0.8 B ．他恰投中3次的概率是30.80.2⨯C ．他至少投中1次的概率是410.2-D ．他恰好有连续2次投中的概率为330.80.2⨯⨯ 【答案】AC【分析】利用相互独立事件的概率和独立重复试验的概率公式判断即可.【详解】A 选项：投篮1次，投中的概率为0.8，所以第3次投中的概率为0.8，故A 正确；B 选项：恰投中3次的概率为33340.80.240.80.2⨯⨯=⨯⨯C ，故B 错；C 选项：至少投中1次对立事件为都没有投中，所以至少投中1次的概率为044410.210.2-⨯=-C ，故C 正确；D 选项：恰好有连续2次投中的概率为22220.80.20.80.2⨯⨯+⨯，故D 错. 故选：AC.10．已知直线():12330l m x my m -+-+=，m R ∈和圆()()22:214C x y -+-=，下列说法正确的是（ ） A ．直线l 恒过定点()3,0B ．圆C 被x 轴截得的弦长为C ．直线被圆截得的弦长存在最大值，且最大值为D ．直线被圆截得的弦长存在最小值，且最小值为【答案】ABD【分析】利用直线系方程求得直线所过定点的坐标判断A ；求出圆C 被x 轴截得的弦长判断B ；当直线过圆心时可判断C ，当直线l PC ⊥时算出弦长可判断D. 【详解】对于A ，由()12330m x my m -+-+=，得()2330m x y x +--+=，联立23030x y x +-=⎧⎨-+=⎩，得30x y =⎧⎨=⎩，无论m 为何值，直线l 恒过定点()3,0，故A 正确；对于B ，在22(2)(1)4x y -+-=中，令0y =，得2=x C 被x 轴截得的弦长为2(2=B 正确；对于C ，当直线l 过圆心C (2,1)时，直线被圆截得的弦长最大，最大值为圆C 直径4，故C 错误；对于D ，由于直线l 恒过的定点()3,0，易知此点在圆内，设此定点为P ，当直线l 与直径垂直时，直线l 被圆截得的弦长最小，且最小值为=D正确. 故选：ABD11．已知等比数列{}n a 的各项均为正数，公比为q ，且11a >，565612a a a a +>+>，记{}n a 的前n 项积为n T ，则下列选项中不正确的是（ ） A ．01q << B ．61a > C ．101T > D ．111T >【答案】BD【分析】等比数列{}n a 的各项均为正数，11a >，565612a a a a +>+>，可得56(1)(1)0a a --<，因此51a >，61a <，01q <<．进而判断出结论．【详解】等比数列{}n a 的各项均为正数，11a >，565612a a a a +>+>，56(1)(1)0a a ∴--<，11a >，若51a <，则一定有61a <，不符合不等式，故51a >，61a <，01q ∴<<．5612a a +>，561a a ∴>，0565101231()1T a a a a a a =⋯=>，111161T a =<，综上可知，AC 正确，BD 错误． 故选：BD ．12．若三次函数()32127f x ax x cx =+++有三个相异且成等差的零点，则a 的可能取值为（ ） A ．3 B ．1C ．13D ．19-【答案】CD【分析】利用三次函数有三个相异的零点，得到()232f x ax x c '=++有两个相异的根，由根的判别式求出13ac <，根据三次函数的三个零点，利用加减消元法得到213x a =-，利用()2103f x f a ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭求出()()1,00,1a ∈-⋃，得到正确答案.【详解】()32127f x ax x cx =+++定义域为R ，且0a ≠， ()232f x ax x c '=++，因为三次函数有三个相异的零点，所以()232f x ax x c '=++有两个相异的根，所以4120ac ∆=->，解得：13ac <，设三次函数三个相异的零点分别为()123123,,x x x x x x <<，则1322x x x += 则321111027ax x cx +++=①，322221027ax x cx +++=②，323331027ax x cx +++=③，①－②得：()()()33221212120a x x x x c x x -+-+-=，即()()()()()221211221212120a x x x x x x x x x x c x x -+++-++-=，因为120x x -≠，所以()()221122120a x x x x x x c +++++=④，同理②－③得：()()223322320a x x x x x x c +++++=⑤，④-⑤得：()()()()1313132130a x x x x x x x x x ⎡-++-⎤+-=⎣⎦， 因为130x x -≠，所以()13210a x x x ⎡++⎤+=⎣⎦， 因为1322x x x +=，所以2310x a +=， 解得：213x a=-， 则()322111110333327f x f a c a a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-+-+-+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，解得：229a c a+=，代入13ac <得：22193a a a +⋅<， 解得：21a <，又0a ≠， 所以()()1,00,1a ∈-⋃，从而a 的可能取值为13，19-故选：CD【点睛】处理三次函数零点问题，可通过消元法将三次问题转化为一次问题，再结合题目特征求出参数的取值范围.三、填空题13．北京冬奥会期间，小苏抢购了3个冰墩墩和4个雪容融且造型不一的吉祥物，现抽取3个吉祥物送给一位朋友，其中至少有冰墩墩雪容融各1个，则不同的送法有________种.（用数字作答） 【答案】30【分析】分选1个冰墩墩和2个雪容融与选2个冰墩墩和1个雪容融两种情况讨论，按照分类加法与分步乘法计数原理计算可得；【详解】若选1个冰墩墩和2个雪容融，则有1234C C =18种； 若选2个冰墩墩和1个雪容融，则有2134C C =12种； 综上可得一共有181230+=种； 故答案为：3014．已知()62601262x a a x a x a x -=++++，则0126a a a a ++++=________（用数字作答） 【答案】729【分析】由二项式定理确定各项的符号，则原式可化为()6012345621a a a a a a a ⎡⎤-+-+-+=--⎣⎦，即可求值【详解】由二项式定理可知，0246a a a a 、、、均为正数，135a a a 、、均为负数， 可得()6601260123456213729a a a a a a a a a a a ⎡⎤++++=-+-+-+=--==⎣⎦.故答案为：72915．若对1x ∀，()2,∈+∞x m ，且12x x <，都有1212ln ln 1x x x x -<-，则m 的最小值是________.【答案】1【分析】根据题意整理可得：1122ln ln x x x x ->-，理解可得：()ln f x x x =-在(),m +∞上单调递减，即()0f x '≤在(),m +∞上恒成立，结合参变分离运算求解. 【详解】∵12x x <，则120x x -<由题意可得：1212ln ln x x x x ->-，即1122ln ln x x x x ->- ∴()ln f x x x =-在(),m +∞上单调递减，则()110f x x'=-≤在(),m +∞上恒成立 即1≥x 在(),m +∞上恒成立，则m 1≥，即m 的最小值是1 故答案为：1.16．已知正方体1111ABCD A B C D -棱长为4. 若M 是平面11BCC B 内的动点，且AM MC ⊥，则1A M 与平面11BCC B 所成角的正切值的最大值为________.【答案】512+ 【分析】先由AM MC ⊥判断出M 点轨迹，再求出1A M 与平面11BCC B 所成角为11A MB ，要使11tan A MB ∠最大，则1B M 最小，结合M 点轨迹求出1B M 最小值即可. 【详解】连接1,BM B M ，如图，易知AB ⊥平面11BCC B ，CM ⊂平面11BCC B ，所以AB CM ⊥，又AM MC ⊥，AB AM A =，故CM ⊥平面ABM ，BM ⊂平面ABM ，所以⊥CM BM ，即M 点在平面11BCC B 内的轨迹为以BC 为直径的圆（除去点C ）， 又11A B ⊥平面11BCC B ，故1A M 与平面11BCC B 所成角即为11A MB ， 又1111114tan A B A MB B M B M∠==，故要使11tan A MB ∠最大，则1B M 最小，将平面11BCC B 及M 点轨迹画出如下图：设O 为BC 中点，连接1OB ，则2212425OB +=1B M 最小为52， 此时1151tan 252A MB +∠=-51+.四、解答题17．已知函数()ln f x x =，()tan g x x =. (1)求曲线()y g x =在ππ,44g ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭处切线的方程；(2)若直线l 过坐标原点且与曲线()y f x =相切，求直线l 的方程. 【答案】(1)2102x y(2)e 0x y -=【分析】（1）利用导数的几何意义求出切线斜率，然后利用点斜式写切线方程即可； （2）根据()ln f x x =设切点坐标()00,ln x x ，然后利用导数的几何意义得到斜率01k x =，再利用点斜式写切线方程，将()0,0代入切线方程得到0e x =即可得到切线方程.【详解】(1)()sin tan cos x g x x x ==，所以()2222cos sin 1cos cos x x g x x x+'==，所以24g π⎛⎫'= ⎪⎝⎭，14g π⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以切线方程为：124y x π⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，整理得2102x y .(2)()ln f x x =，所以()1f x x'=，设切点坐标为()00,ln x x ，所以切线斜率为01k x =，则切线方程为：()0001ln y x x x x -=-，又因为切线过原点，所以将()0,0代入切线方程得()0001ln x x x -=⋅-，解得0e x =，所以切线方程为：()11e ey x -=-，整理得e 0x y -=. 18．甲、乙两班进行多场趣味比赛，若每场比赛相互独立，且均能分出胜负.已知每场比赛甲、乙两班胜出的概率相同，都是12.(1)若比赛采用五局三胜制（在不超过五场的比赛中，先赢得三场者胜），设比赛的局数为X ，写出X 的分布列；(2)若比赛规定某班率先赢得四场比赛则为胜出，假定比赛已进行了5场，请问此时甲胜出的概率.【答案】(1)见解析；(2)18.【分析】（1）分别求出3,4,5X =时的概率，然后写分布列即可； （2）此时甲胜出意味着乙只在前4场胜出1场，然后表示概率即可. 【详解】(1)由题意知X 可取3，4，5，()31211324P X ⎛⎫=== ⎪⎝⎭C ，()4112313428P X ⎛⎫=== ⎪⎝⎭C C ，()5122413528P X ⎛⎫=== ⎪⎝⎭C C ， 所以X 的分布列为：(2)设此时甲胜出为事件B ，则()5141128P B ⎛⎫== ⎪⎝⎭C ，所以此时甲胜出的概率为18. 19．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且()*16n n S a n +=∈N .(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)令n n b a n =-，求数列{}n b 的前n 项和n T .【答案】(1)412-⎛⎫= ⎪⎝⎭n n a(2)427,19,241,322n n n T n n n n -⎧⎪=⎪⎪==⎨⎪++⎛⎫⎪+≥ ⎪⎪⎝⎭⎩【分析】（1）当1n =时，可得1a ；2n ≥时，由2n n S a +=，可得112n n S a --+=，两式作差可得数列{}n a 是等比数列，进而可得通项公式； （2）利用分类讨论求解即可．【详解】(1)由题意知，当1n =时，1116S a +=，即18a =，2n ≥时，由1116,16n n n n S a S a --+=+=得110n n n n S S a a ---+-=即12n n a a -=，所以数列{}n a 是首项为8，公比为12的等比数列.所以1411822n n n a --⎛⎫⎛⎫=⨯= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭.(2)由题意知，441,1221,32n n n n n n b a n n n --⎧⎛⎫-≤≤⎪ ⎪⎪⎝⎭=-=⎨⎛⎫⎪-≥ ⎪⎪⎝⎭⎩， 所以127,2b b ==，所以112127,729T b T b b ===+=+=， 当3n ≥时，20144135119[3][4][5]112222n n n T T b b b b n --⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪=+++++=+-+-+-++ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭11411119345[]2222n n --⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++-++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭++++212[1]329(2)1212n n n -⎛⎫- ⎪+⎝⎭=+⨯---221214422n n n -++⎛⎫=-+⨯ ⎪⎝⎭424122n n n -++⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.所以427,19,241,322n n n T n n n n -⎧⎪=⎪⎪==⎨⎪++⎛⎫⎪+≥ ⎪⎪⎝⎭⎩. 20．如图，把以AC 为底边的等腰ACD △绕着它的一条腰AD 旋转到ABD △的位置，使得BCD △为正三角形，且30ACD ∠=︒，2BC =，E 、F 为线段AB 、CD 上的点，且3AE EB =，3CF FD =.(1)求证：EF ⊥平面ACD ； (2)求二面角A CD B --的正弦值. 【答案】(1)证明如下(2)223【分析】（1）通过作辅助线，构造平面BCM ，使得AD ⊥平面BCM ，再在平面BCM 内作直线E F ''与EF 平行，即AM E F ''⊥，并通过勾股定理求证E F MC ''⊥，从而证明出EF ⊥平面ACD ；（2）因为BCD △为等边三角形，所以BN CD ⊥，并在平面ACD 作辅助线QN CD ⊥，构造出二面角A CD B --所对应的平面角，通过求出各边长，从而求出二面角A CDB --的正弦值【详解】(1)过点C 作CM AD ⊥，连接BM 过点E 作//EE AC '交BC 于点E '过点F 作//FF AC '交CM 于点F '，连接E F ''//EE AC '，3AE EB =，∴14EE AC '=CM AD ⊥，ACD △为等腰三角形，且30ACD ∠=︒∴ 30DCM ∠=︒，且2222cos 12AC AD CD AD CD ADC =+-⋅∠=，∴3AC =∴3EE '=//FF AC '，30ACD ∠=︒，∴30CFF '∠=︒∴CFF '△为等腰三角形又3CF FD =，2CD =，∴32CF =∴22232cos 4F F CF F C CF F C DCM '''=+-⋅⋅∠=，即3FF CF ''==∴//FF EE ''且FF EE ''=∴四边形FF E E ''为平行四边形，∴//EF E F ''CM AD ⊥，ACD △全等于ABD △∴3CF BM ==BM AD ⊥，∴3cos MCB ∠= 32CE '=∴22232cos 2EE CF E C CF E C BCM '''''=+-⋅⋅∠=∴222E F F C E C ''''+=∴E F MC ''⊥BM AD ⊥，CM AD ⊥，BM CM M ⋂=，BM ⊂平面BCM ，CM ⊂平面BCM∴AM ⊥平面BCME F ''⊂平面BCM ，∴AM E F ''⊥E F MC ''⊥，AM CM M ⋂=，AM ⊂平面ACD ，CM ⊂平面ACD∴E F ''⊥平面ACD//EF E F ''∴EF ⊥平面ACD(2)过点A 作AP CD ⊥，取CD 的中点N ，连接BN 过点N 作//QN AP 交AC 于点Q ，连接BQBCD △为等边三角形，N 为CD 的中点，∴BN CD ⊥AP CD ⊥，//QN AP ，∴QN CD ⊥∴二面角A CD B --的平面角为BNQ ∠2CD =，BN CD ⊥∴3BN =1CN =由（1）得3AC =又ACD △为等腰三角形，且30ACD ∠=︒，AP CD ⊥∴3AP =1DP =，∴13CN CP = 又//QN AP ，∴13CQ QN AC AP == ∴3QN =，23CQ =3cosACB ∠=∴2222cos 4BQ BC CQ BC CQ ACB =+-⋅∠=，即2BQ =∴在BNQ 中，2221cos 23BN QN BQ BNQ BN BQ +-∠==-⋅∴二面角A CD B --2221．已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>过点()22,2P ，A 、B 为左右顶点，且8AB =.(1)求椭圆C 的方程；(2)过点A 作椭圆内的圆()222:0O x y r r +=>的两条切线，交椭圆于C 、D 两点，若直线CD 与圆O 相切，求圆O 的方程；(3)过点P 作（2）中圆O 的两条切线，分别交椭圆于两点Q 、R ，求证：直线QR 与圆O 相切.【答案】(1)221164x y += (2)22169x y +=(3)证明见解析【分析】（1）根据椭圆的基本量可得4a =，代入()22,2P 即可得椭圆的方程； （2）根据对称性可得直线CD 与x 轴垂直，再根据相切的性质，结合三角函数的关系列式求解半径r 即可；（3）设圆O 的切线方程为()222y k x -=-，根据切线到圆心的距离可得k 的二次方程，进而得到,PQ PR 的斜率12,k k ，再联立,PQ PR 的方程与椭圆方程可得,Q R 的横坐标，进而表达出QR 的方程，求解圆心到QR 的距离表达式，代入数据求解得43d =即可证明. 【详解】(1)依题意，8AB =则4a =，代入()22,2P 可得282116b+=，解得24b =，故椭圆方程为221164x y += (2)由椭圆与圆的对称性可得，直线,AC AD 关于x 轴对称，故直线CD 与x 轴垂直. 代入x r =到221164x y +=，不妨设21,162C r r ⎛⎫- ⎪⎝⎭，设E 为AC 与圆O 的切点，F 为CD 与圆O 的切点.则由切线的性质，21162CE CF r ==-OE OF r ==，故22216AE AO OE r =--故AC AE EC =+=故1sin 34CF OE r CAF AC OA ∠====，故43r =. 故圆O 的方程为22169x y +=. (3)设圆O的切线方程为(y k x =-，即0kx y -=.43=，故()2212819k k -=+，化简得2283610k k -+=. 则该方程两根分别为,PQ PR 的斜率12,k k，则1k =，2k =联立(221164y k x x y ⎧=-⎪⎨⎪+=⎩，则()()()222141284410k x k x k k ++-+--=.设()()1122,,,Q x y R x y ，则()211121844114k k k--=+，即)21112144114k k x k--==+，同理)22222244114k k x k --==+故11k x =，22k x =((121122y y k x k x -=---)112212k x k x k k =---=又1212QR y y k x x -=-，故直线QR 的方程为()121112y y y y x x x x --=--，即 ()()121212210y y x x x y x y x y ---+-=，故O 到直线QR 的距离d=代入数据可得43d =，故直线QR 与圆O 相切.【点睛】本题主要考查了根据直线与圆和直线与椭圆的位置关系问题，需要根据题意设直线方程，联立椭圆方程得出对应的点坐标，从而得出直线方程，根据点到直线的距离公式化简求解.计算量较大，属于难题.22．已知()e cos xf x x =⋅.(1)求()f x 的极大值点；(2)若0a >，当2x ≥-时，()()()2e 2cos 242xf x x x a x x ≤⋅++-++恒成立，求a 的取值范围.【答案】(1)π2π,Z 4k k +∈；(2)2e ,1-⎡⎤⎣⎦.【分析】（1）由题可得()πcos 4xf x x ⎛⎫'=+ ⎪⎝⎭，根据函数的导数与函数的极值点的关系即得；（2）由题可得()()2e 22420x x a x x ⋅+-++≥恒成立，构造函数()()()2e 2242x h x x a x x =⋅+-++，利用导数求函数的最值即得.【详解】(1)因为()e cos xf x x =⋅，所以()()πe cos sin cos 4x xf x x x x ⎛⎫'=-+ ⎪⎝⎭，由()0f x '>可得，πππ2π2π,Z 242k x k k -<+<+∈，即3ππ2π2π,Z 44k x k k -<<+∈， 由()0f x '<可得，ππ3π2π2π,Z 242k x k k +<+<+∈，即π5π2π2π,Z 44k x k k +<<+∈，所以()f x 的极大值点为π2π,Z 4k k +∈；(2)由()()()2e 2cos 242xf x x x a x x ≤⋅++-++，可得()()2e 22420x x a x x ⋅+-++≥，当2x ≥-时，()()2e 22420x x a x x ⋅+-++≥恒成立，令()()()2e 2242x h x x a x x =⋅+-++，则()()()24e xh x x a '=+-，由()()()24e 0xh x x a '=+-=，可得2x =-或ln x a =，因为2x ≥-，240x +≥，所以当ln 2a ≤-，即20e a -<≤时，()0h x '≥，()h x 在[)2,-+∞上单调递增， ∴()()2222e h x h a -≥-=-，则222e 0a --≥，即2e a -≥，所以2e -=a ；当ln 2>-a ，即2e a ->时，当()2,ln x a ∈-时，()()0,h x h x '<单调递减， 当()ln ,x a ∈+∞时，()()0,h x h x '>单调递增，所以()()()()2ln 2ln 2ln 4ln 2h x h a a a a a a ≥=+-++，则()()22ln 2ln 4ln 20a a a a a +-++≥，∴2ln 0a -≤≤，即2e 1a -≤≤， 所以2e 1a -<≤；综上，a 的取值范围为2e ,1-⎡⎤⎣⎦.【点睛】方法点睛：恒（能）成立问题的解法： 若()f x 在区间D 上有最值，则（1）恒成立：()()min ,00x D f x f x ∀∈>⇔>；()()max ,00x D f x f x ∀∈<⇔<； （2）能成立：()()max ,00x D f x f x ∃∈>⇔>；()()min ,00x D f x f x ∃∈<⇔<. 若能分离常数，即将问题转化为：()a f x >（或()a f x <），则 （1）恒成立：()()max a f x a f x >⇔>；()()min a f x a f x <⇔<； （2）能成立：()()min a f x a f x >⇔>；()()max a f x a f x <⇔<.。
2019-2020学年浙江省杭州高级中学高二(上)期中数学试卷
2019-2020学年浙江省杭州高级中学高二（上）期中数学试卷试题数：22.满分：01.（单选题.4分）若直线l1：3x+my-2=0.l2：x+2y+8=0互相平行.则实数m的值为（）A.-6B.6C. 32D. −322.（单选题.4分）若直线l的斜率为2.且在x轴上的截距为1.则直线l的方程为（）A.y=2x+1B.y=2x-1C.y=2x+2D.y=2x-23.（单选题.4分）已知m.n为异面直线.直线l || m.则l与n（）A.一定异面B.一定相交C.不可能相交D.不可能平行4.（单选题.4分）圆心为（1.1）且过原点的圆的标准方程是（）A.（x-1）2+（y-1）2=1B.（x+1）2+（y+1）2=1C.（x+1）2+（y+1）2=2D.（x-1）2+（y-1）2=25.（单选题.4分）若直线l的倾斜角α满足0°≤α＜150°.且α≠90°.则它的斜率k满足（）＜k≤0A.- √33B.k＞- √33C.k≥0或k＜- √3D.k≥0或k＜- √336.（单选题.4分）已知圆柱的上、下底面的中心分别为O1.O2.过直线O1O2的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形.则该圆柱的表面积为（）A.12 √2 πB.12πC.8 √2 πD.10π 7.（单选题.4分）若x.y 满足约束条件 {x +y ≥1x −y ≥−12x −y ≤2.目标函数z=-ax+y 仅在点（1.0）处取得最小值.则实数a 的取值范围是（ ）A.（-∞.2）B.（-1.1）C.（-1.2）D.（-1.+∞）8.（单选题.4分）某几何体的三视图如图所示.则该几何体的体积为（ ）A. 13B. 23C. 16D. 129.（单选题.4分）过点P （3.0）作直线2x+（λ+1）y-2λ=0（λ∈R ）的垂线.垂足为M.已知定点N （4.2）.则当λ变化时.线段|MN|的长度取值范围是（ ）A. [0，√10+√5]B. [√10−√5，√10+√5]C. [√10，2√5]D. [√5，2√10]10.（单选题.4分）已知正四面体纸盒的俯视图如图所示.其中四边形ABCD 是边长为2的正方形.若在该正四面体纸盒内放一个正方体.使正方体可以在纸盒内任意转动.则正方体棱长的最大值是（ ）A. 23B. 13C. √2D. √311.（填空题.6分）已知直线l 过点A （3.1）.B （2.0）.则直线l 的倾斜角为___ .直线l 的方程为___ ．12.（填空题.6分）已知直线l 1：ax+y-6=0与l 2：x+（a-2）y+a-1=0相交于点P.若l 1⊥l 2.则a=___ .此时点P 的坐标为___ ．13.（填空题.6分）圆x 2+y 2+2y-3=0的半径为___ .若直线y=x+b 与圆x 2+y 2+2y-3=0交于两点.则b 的取值范围是___ ．14.（填空题.6分）如图.在长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中.AA 1=1.AB=AD=2.E.F 分别是BC.DC 的中点.则异面直线A 1B 1与EF 所成角为___ ；AD 1与EF 所成角的余弦值为___ ． 15.（填空题.4分）已知曲线y= √1−x 2 与直线x-7y+5=0交于A.B 两点.若直线OA.OB 的倾斜角分别为α、β.则cos （α-β）___16.（填空题.4分）已知M （x 0.y 0）到直线x+3y+2=0与直线3x+y+3=0的距离相等.且y 0≥3x 0+1.则 y0x 0 的最小值是___ ． 17.（填空题.4分）已知正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的体积为8.点M 在线段BC 上（点M 异于B 、C 两点）.点N 为线段CC 1的中点.若平面AMN 截正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1所得的截面为五边形.则线段BM 长度的取值范围是___ ．18.（问答题.0分）若实数x.y 满足约束条件 {x −y ≥0x +y +2≥0x −2≤0．（1）在平面直角坐标系中画出此约束条件所表示的平面区域；（2）若z=2x-y.求z 的最大值．19.（问答题.0分）已知数列{a n}满足a1=1.na n+1=2（n+1）a n.设b n= a n．n（1）求b1.b2.b3；（2）判断数列{b n}是否为等比数列.并说明理由；（3）求{a n}的通项公式．20.（问答题.0分）如图.在直三棱柱ABC-A1B1C1中.D为棱AC的中点．（1）求证：AB1 || 面BC1D；（2）若AB=AC=2.BC=1. AA1=√3 .求异面直线AB1与BC1所成角的余弦值．21.（问答题.0分）如图.圆M：（x-2）2+y2=1.点P（-1.t）为直线l：x=-1上一动点.过点P引圆M的两条切线.切点分别为A、B．（1）若t=1.求切线所在直线方程；（2）求|AB|的最小值；（3）若两条切线PA.PB与y轴分别交于S、T两点.求|ST|的最小值．22.（问答题.0分）如图.在平面直角坐标系xOy中.已知圆O：x2+y2=4.过点P（0.3）.且斜率)．为k的直线l与圆O交于不同的两点A.B.点Q(0，43（1）若直线l的斜率k=√2 .求线段AB的长度；（2）设直线QA.QB的斜率分别为k1.k2.求证：k1+k2为定值.并求出该定值；|MQ|.若存在.求出直线l的方程.若不（3）设线段AB的中点为M.是否存在直线l使|MO|= √63存在说明理由．2019-2020学年浙江省杭州高级中学高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析试题数：22.满分：01.（单选题.4分）若直线l1：3x+my-2=0.l2：x+2y+8=0互相平行.则实数m的值为（）A.-6B.6C. 32D. −32【正确答案】：B【解析】：由题意利用两条直线平行的性质.求得m的值．【解答】：解：∵直线l1：3x+my-2=0.l2：x+2y+8=0互相平行.∴ 3 1 = m2≠ −28.∴m=6.故选：B．【点评】：本题主要考查两条直线平行的性质.属于基础题．2.（单选题.4分）若直线l的斜率为2.且在x轴上的截距为1.则直线l的方程为（）A.y=2x+1B.y=2x-1C.y=2x+2D.y=2x-2【正确答案】：D【解析】：由题意利用点斜式求出直线l的方程．【解答】：解：∵直线l的斜率为2.且在x轴上的截距为1.则直线l的方程为y-0=2（x-1）.即y=2x-2.故选：D．【点评】：本题主要考查用点斜式求直线的方程.属于基础题．3.（单选题.4分）已知m.n为异面直线.直线l || m.则l与n（）A.一定异面B.一定相交C.不可能相交D.不可能平行【正确答案】：D【解析】：由已知结合空间中两直线的位置关系及平行公理得答案．【解答】：解：若m.n为异面直线.直线l || m.则l与n可能异面.也可能相交.不可能平行.若l与n平行.由平行公理可得.m与n平行.与m.n为异面直线矛盾．结合选项可知.D正确．故选：D．【点评】：本题考查空间中直线与直线位置关系的判定.考查空间想象能力与思维能力.是基础题．4.（单选题.4分）圆心为（1.1）且过原点的圆的标准方程是（）A.（x-1）2+（y-1）2=1B.（x+1）2+（y+1）2=1C.（x+1）2+（y+1）2=2D.（x-1）2+（y-1）2=2【正确答案】：D【解析】：利用两点间距离公式求出半径.由此能求出圆的方程．【解答】：解：由题意知圆半径r= √2 .∴圆的方程为（x-1）2+（y-1）2=2．故选：D．【点评】：本题考查圆的方程的求法.解题时要认真审题.注意圆的方程的求法.是基础题．5.（单选题.4分）若直线l的倾斜角α满足0°≤α＜150°.且α≠90°.则它的斜率k满足（）A.- √3＜k≤03B.k＞- √33C.k≥0或k＜- √3D.k≥0或k＜- √33【正确答案】：D【解析】：由直线的倾斜角的范围.得到正切值的范围.求解即可．【解答】：解：直线的倾斜角α满足0°≤α＜150°.且α≠90°.由0≤k 或k ＜- √33 .故选：D ．【点评】：本题考查倾斜角和斜率的关系.注意倾斜角的范围.正切函数在[0. π2 ）、（ π2 .π）上都是单调增函数．6.（单选题.4分）已知圆柱的上、下底面的中心分别为O 1.O 2.过直线O 1O 2的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形.则该圆柱的表面积为（ ）A.12 √2 πB.12πC.8 √2 πD.10π【正确答案】：B【解析】：利用圆柱的截面是面积为8的正方形.求出圆柱的底面直径与高.然后求解圆柱的表面积．【解答】：解：设圆柱的底面直径为2R.则高为2R.圆柱的上、下底面的中心分别为O 1.O 2.过直线O 1O 2的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形.可得：4R 2=8.解得R= √2 .则该圆柱的表面积为： π•(√2)2×2+2√2π×2√2 =12π．故选：B ．【点评】：本题考查圆柱的表面积的求法.考查圆柱的结构特征.截面的性质.是基本知识的考查．7.（单选题.4分）若x.y 满足约束条件 {x +y ≥1x −y ≥−12x −y ≤2.目标函数z=-ax+y 仅在点（1.0）处取得最小值.则实数a 的取值范围是（ ）A.（-∞.2）B.（-1.1）C.（-1.2）D.（-1.+∞）【正确答案】：C【解析】：作出不等式对应的平面区域.利用线性规划的知识.确定目标取最优解的条件.即可求出a的取值范围．【解答】：解：作出不等式对应的平面区域.可行域为△ABC.由z=-ax+y可得y=ax+z.直线的斜率k=a∵k AC=2.k AB=-1若目标函数z=-ax+y仅在点A（1.0）处取得最小值.则有k AB＜k＜k AC即-1＜a＜2.即实数a的取值范围是（-1.2）故选：C．【点评】：本题考查了平面区域中线性规划中的应用问题.解题时利用平移直线法.属于中档题．8.（单选题.4分）某几何体的三视图如图所示.则该几何体的体积为（）A. 13B. 23C. 16D. 12【正确答案】：C【解析】：首先把三视图转换为直观图.进一步求出几何体的体积．【解答】：解：根据几何体的三视图转换为几何体为：该几何体为三棱锥体.其中两条虚线分别表示下底的高和垂直底面的高．如图所示：故：V= 13×12×(12+12)×1×=16．故选：C．【点评】：本题考查的知识要点：三视图和直观图形之间的转换.几何体的体积公式.主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力.属于基础题．9.（单选题.4分）过点P（3.0）作直线2x+（λ+1）y-2λ=0（λ∈R）的垂线.垂足为M.已知定点N（4.2）.则当λ变化时.线段|MN|的长度取值范围是（）A. [0，√10+√5]B. [√10−√5，√10+√5]C. [√10，2√5]D. [√5，2√10]【正确答案】：B【解析】：根据题意.由直线2x+（λ+1）y-2λ=0的方程分析可得直线经过定点（-1.2）.设Q （-1.2）.分析可得M的轨迹是以PQ为直径的圆.易得圆的圆心与半径.结合点与圆的位置关系即可得答案．【解答】：解：根据题意.直线2x+（λ+1）y-2λ=0（λ∈R ）.变形可得2x+y+λ（y-2）=0. 则有 {2x +y =0y −2=0 .解可得 {x =−1y =2 .即直线恒过定点（-1.2）.设Q （-1.2）.过点P （3.0）作直线2x+（λ+1）y-2λ=0（λ∈R ）的垂线.垂足为M. 则M 的轨迹是以PQ 为直径的圆.其圆心为（1.1）.半径r= 12 |PQ|= √5 . 其方程为（x-1）2+（y-1）2=5.已知定点N （4.2）.则|NC|= √(4−1)2+(2−1)2 = √10 . 则有|NC|-r≤|MN|≤|NC|+r .即 √10 - √5 ≤|MN|≤ √10 + √5 . 故选：B ．【点评】：本题考查直线与圆的位置关系.涉及恒过定点的直线方程.注意分析M 的轨迹.属于综合题．10.（单选题.4分）已知正四面体纸盒的俯视图如图所示.其中四边形ABCD 是边长为2的正方形.若在该正四面体纸盒内放一个正方体.使正方体可以在纸盒内任意转动.则正方体棱长的最大值是（ ）A. 23B. 13 C. √2 D. √3【正确答案】：A【解析】：以正方体为载体作出正四面体的直观图.得出正四面体的棱长.计算正四面体的体积和表面积.得出其内切球的半径.令小正方体的体对角线小于或等于内切球的直径得出小正方体棱长的范围即可．【解答】：解：作出正四面体A-CB 1D 1的直观图如图所示. 由于俯视图的正方形边长为2.故正四面体的棱长为2 √2 .故正四面体的体积V=23- 13×12×2×2×2 ×4= 83 .表面积为S= √34×(2√2)2×4=8 √3 .设正四面体的内切球半径为R.则 13×8√3×R = 83 .解得R= √33. 设放入正四面体纸盒内部的小正方体棱长为a.则 √3 a≤2R= 2√33.故a≤ 23 ．故选：A ．【点评】：本题考查了棱锥与球的位置关系.考查棱锥三视图与体积、表面积计算.属于中档题． 11.（填空题.6分）已知直线l 过点A （3.1）.B （2.0）.则直线l 的倾斜角为___ .直线l 的方程为___ ．【正确答案】：[1]45°; [2]x-y-2=0【解析】：由两点求斜率公式可得AB 所在直线斜率.再由斜率等于倾斜角的正切值求解.进而求出直线方程．【解答】：解：直线l 过点A （3.1）.B （2.0）. 由两点求斜率公式可得：k AB =1−03−2=1． 设直线l 的倾斜角为α（0°≤α＜180°）. ∴tanα=1.则α=45°．∴直线l 的方程为：y-0=1×（x-2）.即x-y-2=0． 故答案为：45°.x-y-2=0．【点评】：本题考查直线的斜率公式.考查直线斜率与倾斜角的关系.是基础题．12.（填空题.6分）已知直线l 1：ax+y-6=0与l 2：x+（a-2）y+a-1=0相交于点P.若l 1⊥l 2.则a=___ .此时点P 的坐标为___ ． 【正确答案】：[1]1; [2]（3.3）【解析】：由直线垂直的性质得a×1+1×（a-2）=0.由此能求出a.再由直线l 1和l 2联立方程组.能求出点P 的坐标．【解答】：解：∵直线l1：ax+y-6=0与l2：x+（a-2）y+a-1=0相交于点P.l1⊥l2. ∴a×1+1×（a-2）=0.解得a=1.解方程{x+y−6=0x−y=0 .解得x=3.y=3.∴P（3.3）．故答案为：1.（3.3）．【点评】：本题考查两直线垂直时直线方程中参数值的求法.考查两直线交点坐标的求法.是基础题.解题时要认真审题.注意直线垂直的性质的合理运用．13.（填空题.6分）圆x2+y2+2y-3=0的半径为___ .若直线y=x+b与圆x2+y2+2y-3=0交于两点.则b的取值范围是___ ．【正确答案】：[1]2; [2] (−1−2√2，2√2−1)【解析】：将圆方程化为标准方程.找出半径即可．由圆心到直线的距离小于圆的半径求得答案．【解答】：解：圆的方程x2+y2+2y-3=0变形得：x2+（y+1）2=4.∴圆的半径为2．∵直线y=x+b与圆x2+y2+2y-3=0相交.∴d= |1+b|√1+1＜2；∴解得b∈ (−1−2√2，2√2−1)；故b的取值范围为：(−1−2√2，2√2−1)．故答案为：2；(−1−2√2，2√2−1)．【点评】：本题考查直线与圆的位置关系的应用.考查了点到直线距离公式.体现了数学转化思想方法.是中档题．14.（填空题.6分）如图.在长方体ABCD-A1B1C1D1中.AA1=1.AB=AD=2.E.F分别是BC.DC的中点.则异面直线A1B1与EF所成角为___ ；AD1与EF所成角的余弦值为___ ．【正确答案】：[1] π4 ; [2] √105【解析】：作出异面直线所成的角.根据特殊三角形得出所求角或利用余弦定理计算角的余弦值．【解答】：解：∵A 1B 1 || AB || CD.∴∠CFE 为异面直线A 1B 1与EF 所成的角. ∵CE= 12 BC=1.CF= 12CD=1.BC⊥CD .∴∠CFE= π4 .即异面直线A 1B 1与EF 所成角为 π4. 取CC 1中点H.连接EH.BC 1.∵AD 1 || BC 1 || EH.∴∠HEF 为AD 1与EF 所成的角. ∵CH= 12 CC 1= 12 .∴EH=FH= √14+1 = √52 .又EF= √2 . ∴cos∠HEF=54+2−542×√52×√2=√105． 故答案为： π4 . √105．【点评】：本题考查了异面直线所成角的计算.属于基础题．15.（填空题.4分）已知曲线y= √1−x 2 与直线x-7y+5=0交于A.B 两点.若直线OA.OB 的倾斜角分别为α、β.则cos （α-β）___ 【正确答案】：[1]0【解析】：求得半圆的圆心到直线的距离.可得弦长|AB|.判断三角形ABO 的形状.进而得到所求值．【解答】：解：曲线y= √1−x 2 与直线x-7y+5=0交于A.B 两点.如图所示. 可得半圆的圆心（0.0）到直线的距离为d= √1+49= √22 . 可得弦长|AB|=2 √1−12 = √2 .即有△ABO 为直角三角形.且∠AOB 为直角. 可得cos （α-β）=cos∠AOB=0．故答案为：0．【点评】：本题考查圆方程的运用和直线方程的运用.考查圆的弦长公式和数形结合思想.属于基础题．16.（填空题.4分）已知M（x0.y0）到直线x+3y+2=0与直线3x+y+3=0的距离相等.且y0≥3x0+1.则y0x0的最小值是___ ．【正确答案】：[1]-1【解析】：由点到直线的距离公式可得M的轨迹方程.与y0≥3x0+1.作出图形.求得y0x0的范围得答案．【解答】：解：∵M（x0.y0）到直线x+3y+2=0与直线3x+y+3=0的距离相等.∴ |x0+3y0+2|√10= |3x0+y0+3|√10.可得：x0+3y0+2=3x0+y0+3.即2x0-2y0+1=0.或x0+3y0+2=-（3x0+y0+3）.即4x0+4y0+5=0.由题意{2x0−2y0+1=0y0≥3x0+1① .或{4x0+4y0+5=0y0≥3x0+1② .由① 可得图1.联立{2x0−2y0+1=0y0=3x0+1 .可得P（−14，14）.可知当M与P重合时. y0x0取最小值-1；由② 可得图2.联立{4x0+4y0+5=0y0=3x0+1 .可得P（−916，−1116）.＞-1．可得y0x0的最小值是-1．综上. y0x0故答案为：-1．【点评】：本题考查轨迹方程的求法.考查简单的线性规划.考查数形结合的解题思想方法.是中档题．17.（填空题.4分）已知正方体ABCD-A1B1C1D1的体积为8.点M在线段BC上（点M异于B、C两点）.点N为线段CC1的中点.若平面AMN截正方体ABCD-A1B1C1D1所得的截面为五边形.则线段BM长度的取值范围是___ ．【正确答案】：[1]（1.2）【解析】：当点M为线段BC的中点时.截面为四边形AMND1.从而当0＜BM≤1时.截面为四边形.当BM＞1时.截面为五边形.由此能求出线段BM的取值范围．【解答】：解：∵正方体ABCD-A1B1C1D1的体积为8.点M在线段BC上（点M异于B.C两点）.点N为线段CC1的中点.平面AMN截正方体ABCD-A1B1C1D1所得的截面为四边形.∴依题意.当点M为线段BC的中点时.由题意可知.截面为四边形AMND1.当0＜BM≤1时.截面为四边形.当BM＞1时.截面为五边形.∵平面AMN截正方体ABCD-A1B1C1D1所得的截面为五边形.∴线段BM的取值范围为（1.2）．故答案为：（1.2）．【点评】：本题考查线段的取值范围的求法.考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识.考查运算求解能力.考查函数与方程思想.是中档题．18.（问答题.0分）若实数x.y 满足约束条件 {x −y ≥0x +y +2≥0x −2≤0 ．（1）在平面直角坐标系中画出此约束条件所表示的平面区域； （2）若z=2x-y.求z 的最大值．【正确答案】：【解析】：（1）由约束条件作出可行域；（2）根据可行域.化目标函数为直线方程的斜截式.数形结合得到最优解.联立方程组求出最优解的坐标.代入目标函数得答案．【解答】：解：（1）由约束条件 {x −y ≥0x +y +2≥0x −3≤0 作出此约束条件所表示的平面区域如图△ABC .（2）化目标函数z=2x-y 为y=2x-z.由图可知.当直线y=2x-z 过C 时.直线在y 轴上的截距-z 最小.z 最大.此时x=3.y=-5.z 有最大值11．【点评】：本题考查简单的线性规划.考查了数形结合的解题思想方法.是中档题．19.（问答题.0分）已知数列{a n }满足a 1=1.na n+1=2（n+1）a n .设b n = ann ．（1）求b 1.b 2.b 3；（2）判断数列{b n}是否为等比数列.并说明理由；（3）求{a n}的通项公式．【正确答案】：【解析】：（1）直接利用已知条件求出数列的各项．（2）利用定义说明数列为等比数列．（3）利用（1）（2）的结论.直接求出数列的通项公式．【解答】：解：（1）数列{a n}满足a1=1.na n+1=2（n+1）a n.则：a n+1n+1a nn=2（常数）.由于b n=a nn.故：b n+1b n=2 .数列{b n}是以b1为首项.2为公比的等比数列．整理得：b n=b1•2n−1=2n−1 .所以：b1=1.b2=2.b3=4．（2）数列{b n}是为等比数列.由于b n+1b n=2（常数）；所以：数列{b n}是以b1为首项.2为公比的等比数列．（3）由（1）得：b n=2n−1 .根据b n=a nn.所以：a n=n•2n−1．【点评】：本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用．20.（问答题.0分）如图.在直三棱柱ABC-A1B1C1中.D为棱AC的中点．（1）求证：AB1 || 面BC1D；（2）若AB=AC=2.BC=1. AA1=√3 .求异面直线AB1与BC1所成角的余弦值．【正确答案】：【解析】：（1）取A 1C 1的中点D 1.证明平面AB 1D 1 || 平面BC 1D.于是可得AB 1 || 面BC 1D ； （2）建立空间坐标系.利用向量坐标求出 AB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 和 BC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角得出异面直线所成角．【解答】：（1）证明：取A 1C 1的中点D 1.连接B 1D 1.AD 1.DD 1. ∵C 1D 1 || AD.C 1D 1=AD.∴四边形ADC 1D 1是平行四边形.∴AD 1 || DC 1. 又AD 1⊄平面BC 1D.C 1D⊂平面BC 1D. ∴AD 1 || 平面BC 1D.同理可证：B 1D 1 || 平面BC 1D.又AD 1∩B 1D 1=D 1.AD 1⊂平面AB 1D 1.B 1D 1⊂平面AB 1D 1. ∴平面AB 1D 1 || 平面BC 1D.又AB 1⊂平面AB 1D 1. ∴AB 1 || 面BC 1D ．（2）解：取BC 的中点O.B 1C 1的中点E.连接AO. ∵AB=AC=2.BC=1.∴OA⊥BC .OA=√152. 以O 为原点.以OB.OA.OE 为坐标轴建立空间直角坐标系O-xyz.如图所示. 则A （0.√152 .0）.B 1（ 12 .0. √3 ）.B （ 12 .0.0）.C 1（- 12 .0. √3 ）. ∴ AB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =（ 12.- √152. √3 ）. BC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =（-1.0. √3 ）. ∴cos ＜ AB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ . BC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ＞= AB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ •BC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |AB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||BC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |= −12+3√7×2 = 5√728 . ∴异面直线AB 1与BC 1所成角的余弦值为 5√728 ．【点评】：本题考查了线面平行的判定.考查空间向量与异面直线的夹角计算.属于中档题．21.（问答题.0分）如图.圆M：（x-2）2+y2=1.点P（-1.t）为直线l：x=-1上一动点.过点P引圆M的两条切线.切点分别为A、B．（1）若t=1.求切线所在直线方程；（2）求|AB|的最小值；（3）若两条切线PA.PB与y轴分别交于S、T两点.求|ST|的最小值．【正确答案】：【解析】：（1）设切线方程.利用圆心到切线距离等于半径求得斜率即可得解；（2）连接PM.AB交于N.利用∠MPA=∠MAN.结合正余弦可得最值；（3）利用（1）的方法.得到k的二次方程.结合根与系数关系.用含t的式子表示去表示|ST|.可得最值．【解答】：解：（1）由题意.切线斜率存在.可设切线方程为y-1=k（x+1）.即kx-y+k+1=0.则圆心M 到切线的距离d=√k 2+1 =1. 解得k=0或- 34 . 故所求切线方程为y=1.3x+4y-1=0；（2）连接PM.AB 交于点N.设∠MPA=∠MAN=θ.则|AB|=2|AM|cosθ=2cosθ.在Rt△MAP 中.sinθ= |AM||PM| = 1|PM| .∵|PM|≥3.∴（sinθ）max = 13 .∴（cosθ）min =2√23 . ∴|AB|min = 4√23； （3）设切线方程为y-t=k （x+1）.即kx-y+k+t=0.PA.PB 的斜率为k 1.k 2.故圆心M 到切线的距离d=√k 2+1 =1.得8k 2+6kt+t 2-1=0.∴k 1+k 2=- 34t .k 1k 2= t 2−18 . 在切线方程中令x=0可得y=k+t.故|ST|=|（k 1+t ）-（k 2+t ）|=|k 1-k 2|= √(k 1+k 2)2−4k 1k 2 = √t 2+84 . ∴|ST|min = √22 .此时t=0． 故|ST|的最小值为 √22．【点评】：此题考查了圆的切线及最值问题.综合性较强.难度较大．22.（问答题.0分）如图.在平面直角坐标系xOy中.已知圆O：x2+y2=4.过点P（0.3）.且斜率)．为k的直线l与圆O交于不同的两点A.B.点Q(0，43（1）若直线l的斜率k=√2 .求线段AB的长度；（2）设直线QA.QB的斜率分别为k1.k2.求证：k1+k2为定值.并求出该定值；|MQ|.若存在.求出直线l的方程.若不（3）设线段AB的中点为M.是否存在直线l使|MO|= √63存在说明理由．【正确答案】：【解析】：（1）由题意可得直线l的方程.求出圆心O到直线l的距离d及圆的半径.再由弦长与半径即圆心到直线的距离的关系求出弦长；（2）设直线l的方程与圆O联立求出两根之和及两根之积.进而求出直线QA.QB的斜率之和.可证得斜率之和为定值0；|MQ|.可得k的表达式.进而求出k的（3）由（2）可得线段AB的中点M的坐标.由|MO|= √63值.求出直线l 的方程．【解答】：解：（1）由题意可得直线l 的方程为：y= √2x +3. 所以圆O 到直线l 的距离d= √3 = √3 . 圆O 的半径r=2.所以弦长|AB|=2 √r 2−d 2 =2 √22−(√3)2 =2；（2）证明：设直线l 的方程为：y=kx+3.设A （x 1.y 1）.B （x 2.y 2）.将直线l 的方程与圆联立 {y =kx +3x 2+y 2=4.整理可得：（1+k 2）x 2+6kx+5=0. △=36k 2-20（k 2+1）＞0.可得：k 2 ＞54 .x 1+x 2= −6k 1+k 2 .x 1x 2= 51+k 2 .k 1+k 2= y 1−43x 1 + y 2−43x 2 = (kx 1+3−43)x 2+(kx 2+3−43)x 1x 1x 2 =2k+ 53(x 1+x 2)x 1x 2 =2k+ 53•(−6k 1+k 2)51+k 2 =2k-2k=0.所以可证得：k 1+k 2为定值0．（3）由（2）可得AB 的中点M （ x 1+x 22 . y 1+y 22 ）.即（ −3k 1+k 2 . 31+k 2 ）. 因为|MO|= √63 |MQ|.所以 9k 2(1+k 2)2 + 9(1+k 2)2 = 23 [ 9k 2(1+k 2)2 +（ 31+k 2 - 43 ）2]. 整理可得： 251+ k 2 = 329 .解得k 2= 19332 .满足k 2 ＞54 所以k=± √3868. 所以直线l 的方程为：y= ±√3868 x+3．【点评】：本题考查求弦长即直线与圆的位置关系.属于中档题．。
2025届杭州市高级中学高三下学期联考数学试题含解析
2025届杭州市高级中学高三下学期联考数学试题注意事项：1． 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。
2．选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设α，β是方程210x x --=的两个不等实数根，记n nn a αβ=+（n *∈N ）.下列两个命题（ ）①数列{}n a 的任意一项都是正整数； ②数列{}n a 存在某一项是5的倍数. A ．①正确，②错误 B ．①错误，②正确 C ．①②都正确D ．①②都错误2．已知平面向量()4,2a →=，(),3b x →=，//a b →→，则实数x 的值等于（ ） A ．6B ．1C ．32D ．32-3．已知双曲线C ：2222x y a b-=1(a >0，b >0)的右焦点为F ，过原点O 作斜率为43的直线交C 的右支于点A ，若|OA |=|OF |，则双曲线的离心率为（ ）A B C ．2D 4．3481(3)(2)x x x+-展开式中x 2的系数为( ) A ．－1280B ．4864C ．－4864D ．12805．已知点(A 在双曲线()2221010x y b b-=>上，则该双曲线的离心率为（ ）A ．3B ．2C D ．6．P 是正四面体ABCD 的面ABC 内一动点，E 为棱AD 中点，记DP 与平面BCE 成角为定值θ，若点P 的轨迹为一段抛物线，则tan θ=（ ）AB ．2C D ．7．如图是2017年第一季度五省GDP 情况图，则下列陈述中不正确的是（ ）A ．2017年第一季度GDP 增速由高到低排位第5的是浙江省．B ．与去年同期相比，2017年第一季度的GDP 总量实现了增长．C ．2017年第一季度GDP 总量和增速由高到低排位均居同一位的省只有1个D ．去年同期河南省的GDP 总量不超过4000亿元．8．在边长为23的菱形ABCD 中，60BAD ∠=︒，沿对角线BD 折成二面角A BD C --为120︒的四面体ABCD （如图），则此四面体的外接球表面积为（ ）A ．28πB ．7πC ．14πD ．21π9．设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，且443S a =+，则2a =( ) A ．2-B ．1-C ．1D ．210．2019年10月1日，中华人民共和国成立70周年，举国同庆.将2,0,1,9,10这5个数字按照任意次序排成一行，拼成一个6位数，则产生的不同的6位数的个数为 A ．96B ．84C ．120D ．36011．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）A ．48122+B ．60122+C ．72122+D ．8412．已知f （x ）=ax 2+bx 是定义在[a –1，2a]上的偶函数，那么a+b 的值是A ．13-B ．13 C ．12-D ．12二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2019～2020学年度浙江省嘉兴市桐乡高级中学高一第1学期10月月考数学试题解析版
2019～2020学年度浙江省嘉兴市桐乡高级中学高一第一学期10月月考数学试题一、单选题 1.已知集合{}11A x x =-<<,集合(){}10B x x x =-≥,则A B I ＝( )A.[)0,1 B.[)1,+∞ C.(1,0)- D.(]1,0-【参考答案】D【试题分析】试题分析：因为(){}{}1100x B x x x x x =-≥=≥≤或,所以A B I ＝(]1,0-. 【考查知识点】集合的交集运算.2.下列函数中在定义域上既是奇函数又是增函数的为( ) A.y ＝x ＋1 B.y ＝－x 2C.y ＝x 3D.1y x=-【参考答案】C【试题分析】依据奇偶性和单调性依次判断每个选项即可.y ＝x ＋1是非奇非偶函数, y ＝－x 2是偶函数,y ＝x 3由幂函数的性质,是定义在R 上的奇函数,且为单调递增,1y x=-在在定义域为(,0)(0,)-∞+∞U ,不是定义域上的单调增函数,故选：C此题考查函数奇偶性单调性的判断,要求对奇偶性和单调性的判断方式熟练掌握,是简单题目. 3.下列各组表示同一函数的是( )A.()()21,1x f x x g x x=-=-B.()1f x =,()0g x x =C.()()f x g x == D.()(),0,,0x x f x x g x x x ≥⎧==⎨-<⎩【参考答案】D【试题分析】若两个函数是同一个函数,则两个函数必须具有相同的定义域、值域、对应关系,由此依次判断选项即可解： 函数()1f x x =-的定义域为R ,而函数()21x g x x=-的定义域为{}|0x x ≠,故它们不是同一个函数,故排除A ；函数()1f x =的定义域为R ,()0g x x =的定义域为{}|0x x ≠,故它们不是同一个函数,故排除B ；函数()f x =[)0,+∞,函数()g x =R ,故它们不是同一个函数,故排除C ； 函数()f x x =,0,0x x x x ≥⎧=⎨-<⎩与函数(),0,0x x g x x x ≥⎧=⎨-<⎩,具有相同的定义域、值域、对应关系,故它们是同一个函数, 故选：D本题考查同一函数问题,应用函数的三要素即为解题关键4.已知()311f x x -=+,则()7f 的值为( )－1 ＋1C.3D.2【参考答案】C【试题分析】令312x -=得2x =,代入即可求解.由题()311f x x -=+,令317x -=得2x =,所以()()3721213f f =-=+=.故选：C此题考查根据函数解析式求值,需注意根据已知解析式求出x 的取值方可求解.5.已知156a=,23b=,32c =,则a ,b ,c 的大小关系是( ) A.a ＜b ＜c B.a ＜c ＜b C.b ＜a ＜c D.c ＜a ＜b【参考答案】B【试题分析】将三个指数转化为对数形式,结合对数函数性质利用0,1作为中间值进行比较即可求解.由题：51log 06a =<,2log 31b =>,33log 2,0log 21,01c c =<<<<, 所以a c b <<. 故选：B此题考查指数与对数的转化和对数的大小比较,关键在于准确将指数转化成对数形式,结合对数函数的单调性利用特殊值1,0进行比较.6.已知()f x 是定义在[]1,2a a -上的偶函数,且当0x ≥时,()f x 单调递增,则关于x 的不等式()()1f x f a ->的解集是( ) A.45,33⎡⎫⎪⎢⎣⎭B.1245,,3333⎡⎫⎛⎤⋃⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦ C.2112,,3333⎛⎤⎛⎤--⋃ ⎥⎥⎝⎦⎝⎦D .随a 的值变化而变化 【参考答案】B【试题分析】函数定义在[]1,2a a -上的偶函数,可求出a ,当0x ≥时,()f x 单调递增,根据偶函数得出0x <的单调性即可求解.由题：函数定义在[]1,2a a -上的偶函数,所以1120,3a a a -+==, 当0x ≥时,()f x 单调递增,所以当0x ≤时,()f x 单调递减,关于x 的不等式()()1f x f a ->即()113f x f ⎛⎫-> ⎪⎝⎭,且()f x 定义在22,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上,所以21133x -≤-<-或12133x <-≤,解得：1233x ≤<或4533x <≤,所以原不等式解集为：1245,,3333⎡⎫⎛⎤⋃⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦. 故选：B此题考查根据函数奇偶性和单调性解抽象函数相关不等式,需注意偶函数定义域关于0对称,转化成单调性求解不等式时注意考虑函数定义域,易产生考虑不全发生遗漏出错.7.已知()f x 是定义在R 上的函数且()2f x +是偶函数,当2x ≤时,()2xf x -=,则( )A.f (3)＜f (4)＜f (－1)B.f (4)＜f (－1)＜f (3)C.f (－1)＜f (3)＜f (4)D.f (3)＜f (－1)＜f (4)【参考答案】A【试题分析】()f x 定义在R 上的函数,()2f x +是偶函数关于直线0x =对称,通过平移则()f x 关于2x =对称,结合当2x ≤时,()2xf x -=分析单调性即可求解.()f x 定义在R 上的函数,()2f x +是偶函数,即关于直线0x =对称,所以()f x 关于2x =对称,()1(5)f f -= 当2x ≤时,()2xf x -=,函数单调递减,所以当2x >时,函数单调递增,(3)(4)(5)(1)f f f f <<=-. 故选：A此题考查函数单调性奇偶性,利用单调性和对称性比较函数值的大小,体现转化与化归思想. 8.关于x 的不等式()()10x x a --<的解集中,恰有3个整数,则a 的取值范围是( ) A.｛a ｜4＜a ＜5｝ B.｛a ｜4＜a ＜5或－3＜a ＜－2｝ C.｛a ｜4＜a ≤5｝ D.｛a ｜4＜a ≤5或－3≤a ＜－2｝【参考答案】D【试题分析】分别讨论1a <和1a >两种情况的解集中,恰有3个整数即可得出a 的范围.由题当1a =时,无解；当1a <时,不等式的解集为(),1a ,解集内恰有三个整数,即0,1,2--, 所以32a -≤<-；当1a >时,不等式的解集为()1,a ,解集内恰有三个整数,即2,3,4, 所以45a <≤,综上所述,a 的取值范围是32{a a -≤<-或45}a <≤. 故选：D此题考查解二次不等式,讨论解集里面整数的个数,需要分类讨论尤其注意端点讨论.9.设函数()31,1{2,1x x x f x x -<=≥,则满足()()()2f a f f a =的a 的取值范围是( )A.2,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦B.[]0,1C.2,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D.[)1,+∞【参考答案】C【试题分析】试题分析：令()f a t =,则()2tf t =,当1t <时,312t t --,由()312tg t t =--的导数为()32ln 2t g t =-',当1t <时,在(,1)-∞递增,即有()()10g t g <=,则方程无解；当1t ≥时,22t t =成立,由()1f a ≥,即311a -≥,解得23a ≥且1a <；或1,21a a ≥≥解得0a ≥,即为1a ≥,综上所述实数a 的取值范围是2,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭,故选C. 【考查知识点】分段函数的综合应用. 【方法点晴】本题主要考查了分段函数的综合应用,其中解答中涉及到函数的单调性、利用导数研究函数的单调性、函数的最值等知识点的综合考查,注重考查了分类讨论思想和转化与化归思想,以及学生分析问题和解答问题的能力,试题有一定的难度,属于难题,本题的解答中构造新的函数()312tg t t =--,利用新函数的性质是解答的关键.10.已知函数()242tx t f x x --+=+在区间［－1,2］上的最大值为2,则t 的值等于( )A.2或3B.－1或3C.1D.3【参考答案】A 【试题分析】函数()24422tx t f x t x x --+==-+++,4[1,2],[1,4]2x t t t x ∈--+∈--+,根据绝对值的最大值为2进行分类讨论检验即可.由题函数()24422tx t f x t x x --+==-+++,4[1,2],[1,4]2x t t t x ∈--+∈--+, ()24422tx t f x t x x --+==-+++的最大值为4t -,或1t -当41t t -≥-时,即52t ≤时,最大值42t -=解得：2t =； 当41t t -<-时,即52t >时,最大值12t -=解得：3t = 综上所述：t 的值等于2或3. 故选：A此题考查绝对值函数值域问题,重在分类讨论,先求出绝对值内函数值域,再根据绝对值的性质分析最大值的取值.二、填空题11.计算：10628+=___________.若102x=,103y =,则3210x y -=________________.【参考答案】0【试题分析】①根据指数幂的运算性质逐一化简计算即可得解,1=；②对3210x y -进行恰当的拆分成10x 和10y 进行计算.①()1136628112110=+-=+=；②3132210(10)x y x y --=====故答案为：此题考查指数幂的运算,对基本运算性质的考查,,3210x y -变形代换不准确导致错误,没能用好102x =,103y =的整体关系.12.已知函数(20x y aa -=>且)1a ≠恒经过定点A ,则点A 的坐标是___________,若点A 在函数()21f x x bx =--上,则()f x 的单调递增区间是_____________.【参考答案】(2,1) 1[,)2+∞【试题分析】①函数(20x y aa -=>且)1a ≠恒经过定点即2x =时对应点；②根据第一问(2,1)A ,求得b ,即可得出()f x 的单调递增区间.①函数(20x y aa -=>且)1a ≠恒经过定点,即2x =时,1y =,所以定点(2,1)A ；②根据第一问(2,1)A 在函数()21f x x bx =--上,即1421b =--,1b =,所以()21f x x x =--其单调递增区间为：1[,)2+∞故答案为：(2,1),1[,)2+∞此题考查指数型函数过定点问题,二次函数的单调区间的判别,关键在于弄清定点的本质,不因参数变化而变化.13.已知函数()2213x xf x -⎛⎫= ⎪⎝⎭,则()f x 的单调递增区间是__________,值域是____________.【参考答案】(,1]-∞ (0,3]【试题分析】①根据同增异减法则求出函数的单调区间； ②通过换元法求出函数值域.1()3t y =是减函数,22t x x =-在(,1]-∞单调递减,在[1,)+∞单调递增,根据同增异减法则,函数()2213x xf x -⎛⎫= ⎪⎝⎭在(,1]-∞单调递增,在[1,)+∞单调递减,令22,[1,)t x x t =-∈-+∞,()2213x xf x -⎛⎫= ⎪⎝⎭的值域即求：1())3[1,,t t y ∈-+∞=的值域,根据指数函数图像性质1())3[1,,t t y ∈-+∞=是减函数,其值域为(0,3].故答案为：(,1]-∞,(0,3]此题考查复合函数的单调性和求值域问题,单调性根据复合关系按同增异减法则,值域问题可以根据单调性求,也可以换元法求值域.14.已知函数()()()241,11,1xx a x x f x a x ⎧-+-+≤⎪=⎨+>⎪⎩,当1a =时,()()1f f =___________,若()f x 在R 上单调递增,则a 的取值范围是______________. 【参考答案】8322a ≤≤ 【试题分析】①当1a =时,先求出()1f ,再求()()1ff ；②分段函数()f x 在R 上单调递增,必须满足两段函数递增,且在1x =处附近满足()1f 小于等于右极限.①当1a =时,()231,12,1x x x x f x x ⎧-++≤=⎨>⎩,()13,((1))(3)8f f f f ===；②()f x 在R 上单调递增,则4121141aa a a --⎧≥⎪⎪⎨>≤++⎪⎪⎩,解得322a ≤≤.故答案为：8,322a ≤≤此题考查分段函数求值和根据分段函数的单调性求参数取值范围,求值应该注意自变量的取值范围,分段函数单调递增必须满足两段函数分别递增,且在“接点”处的函数取值仍然满足关系.15.已知()f x 是定义在R 上的奇函数,当0x >时,()2xf x x =+,则()f x 在R 上的解析式为_______________.【参考答案】()2,00,01,02x x x x f x x x x ⎧⎪+>⎪==⎨⎪⎪-+<⎩ 【试题分析】根据奇函数的性质()00f =,当0x <时,0x ->,()()f x f x =--补齐解析式.由题：()f x 是定义在R 上的奇函数,()00f =, 当0x >时,()2xf x x =+,所以当0x <时,0x ->,()1()(2)2xxf f x x x x ---=--=-+=, 所以()2,00,01,02x x x x f x x x x ⎧⎪+>⎪==⎨⎪⎪-+<⎩. 故答案为：()2,00,01,02x x x x f x x x x ⎧⎪+>⎪==⎨⎪⎪-+<⎩此题考查根据奇偶性补齐函数解析式,易错点在于此题要求()f x 在R 上的解析式,容易漏掉()00f =. 16.若函数()f x =3,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭单调递减,则a 的取值范围是___________. 【参考答案】932a ≤≤【试题分析】函数()f x =3,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭单调递减,2y x ax a =-+必满足两个条件,一是单调递减,二是20x ax a -+≥在3,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭恒成立.由题：函数()f x 3,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭单调递减, 考虑函数2y x ax a =-+在3,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭单调递减,即322a ≥所以3a ≥； 且20x ax a -+≥在3,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭恒成立,已得3a ≥,只需233()022aa -+≥,即92a ≤ 综上所述：932a ≤≤. 故答案为：932a ≤≤此题考查通过函数单调性求参数范围,既要考虑函数单调性,还应考虑单调区间必须是定义域内的子区间,易错点在于漏掉考虑单调区间是定义域的子集. 17.已知函数()122xx f x =+,若()()312f m f m -<,则m 的取值范围是___________. 【参考答案】115m <<【试题分析】()122xxf x =+是偶函数且在[0,)+∞单调递增,根据单调性求解不等式.由题()122xxf x =+是偶函数,考虑复合函数1,[1,)y t t t=+∈+∞单调递增, 2x t =在[0,)+∞单调递增,且[1,)t ∈+∞,所以()122xxf x =+在[0,)+∞单调递增,在(,0]-∞单调递减, 解不等式()()312f m f m -<,即312m m -<,229614m m m -+<, 25610,(51)(1)0m m m m -+<--<,解得：115m <<故答案为：115m <<此题考查复合函数单调性的判断,根据奇偶性单调性解不等式,体现了数形结合和转化与化归思想,对函数性质综合应用要求较高.三、解答题18.已知集合21244x A x -⎧⎫=<<⎨⎬⎩⎭,集合{}2230B x x x =--≥,集合{}2131C x m x m =-<<+.(1)求集合A B I ,集合A B U ； (2)若集合A C C =I ,求m 的取值范围.【参考答案】(1){34}A B x x =≤<I ,{1A B x x =≤-U 或0}x >；(2)2m ≤-或112m ≤≤ 【试题分析】(1)解不等式得出集合,A B ,即可求解； (2)A C C =I 即C A ⊆,分类讨论结合数轴求解.(1)解不等式21244x -<<即222222,222,04x x x --<<-<-<<<, 所以{04}A x x =<<；解不等式2230,(3)(1)0x x x x --≥-+≥,1x ≤-或3x ≥, 所以{1B x x =≤-或3}x ≥；{34}A B x x =≤<I ,{1A B x x =≤-U 或0}x >；(2)A C C =I ,即C A ⊆,{}2131C x m x m =-<<+,由第一问{04}A x x =<<,当2131m m -≥+时,C =∅,即2m ≤-时,符合题意； 当2m >-,C A ⊆,即2021314m m m >-⎧⎪≤-⎨⎪+≤⎩解得：112m ≤≤ 综上：2m ≤-或112m ≤≤此题考查集合交集并集的运算和通过集合包含关系求解参数取值范围,容易漏掉子集为空集的情况,考查细节.19.已知函数2()ax b f x x a +=+是定义在R 上的奇函数,且4(1)5f =. (1)求实数a ,b 的值,并求函数()y f x =的值域；(2)判断()f x 在区间[]22-,上的单调性,并用定义证明. 【参考答案】(1)4a =,0b =,值域为[1,1]-；(2)单调递增,证明见解析.【试题分析】(1)定义在R 上的奇函数必有(0)0f =,且4(1)5f =,解方程组即可求解； (2)根据定义作差法证明函数单调递增.(1)由题函数2()ax b f x x a +=+是定义在R 上的奇函数,(0)0,0b f b a ===, 4(1),415a f a a ===+,24()4x f x x =+, 当0x =时,(0)0f =,当0x ≠时,4()4f x x x=+,由对勾函数性质：设4,(,4][4,)t x t x =+∈-∞-⋃+∞, 所以当0x ≠时,4()4f x x x =+的值域即：求4,(,4][4,)y t t =∈-∞-⋃+∞的值域,根据反比例函数性质可得其值域为[1,0)(0,1]-⋃,综上所述：24()4x f x x =+的值域为[1,1]- (2)24()4x f x x =+在区间[]2,2-上单调递增, 证明：任取1222x x -≤<≤,124x x <,1240x x -<,210x x ->2212121122122222121244416416()()44(4)(4)x x x x x x x x f x f x x x x x +---=-=++++ 122122124(4)()0(4)(4)x x x x x x --=<++,12()()f x f x < 所以24()4x f x x =+在区间[]2,2-上单调递增.此题考查根据函数奇偶性求参数,利用换元法求值域,定义法证明函数单调性,其中求值域也可以考虑判别式法.20.已知函数()2()0f x ax bx c a =++≠满足(1)()2f x f x x +-=,且(0)1f =.(1)求函数()f x 的解析式；(2)讨论方程()f x m x =在1,42x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦的解的个数. 【参考答案】(1)2()1f x x x =-+；(2)当134m >或1m <时,无解；当31324m <≤或1m =时,一个解；当312m <≤时,两个解 【试题分析】(1)(0)1f =求出c ,根据(1)()2f x f x x +-=求出,a b ；(2)根据对勾函数得1,4)121(,x g x x x ⎡⎤∈⎢⎥⎣+-⎦=的图象,数形结合得解.(1)函数()2()0f x ax bx c a =++≠, (0)1f =,所以1c =,221112()()()()()f x f x a x b x c ax bx c ax a b +-=++++-++=++,(1)()2f x f x x +-=,即220a a b =⎧⎨+=⎩,11a b =⎧⎨=-⎩ 所以2()1f x x x =-+； (2)()11f x m x x x ==+-,令1,4)121(,x g x x x ⎡⎤∈⎢⎥⎣+-⎦=,根据对勾函数单调性可得1,12x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦单调递减,[]1,4x ∈单调递增,1313(),(1)1,(4)224g g g === 方程()f x m x =在1,42x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦的解的个数,即函数y m =与1,4)121(,x g x x x ⎡⎤∈⎢⎥⎣+-⎦=公共点的个数, 1,4)121(,x g x x x ⎡⎤∈⎢⎥⎣+-⎦=函数图象：当134m >或1m <时,无解； 当31324m <≤或1m =时,一个解； 当312m <≤时,两个解 此题考查函数解析式的求法和方程的根的个数判断,关键在于数形结合,根据相关性质得出函数的图象即可求解.21.已知m R ∈,函数()f x x x m =-.(1)当3m =时,写出()f x 的单调递增区间；(2)当0m >时,求()f x 在区间[]1,3上的最小值.【参考答案】(1)3(,]2-∞,[3,)+∞；(2)当4m ≥时,最小值1m -,当34m <<,最小值3(3)m -,当13m ≤≤时,最小值为0,当01m <<时,最小值1m -. 【试题分析】(1)当3m =时()223,333,3x x x f x x x x x x ⎧->=-=⎨-+≤⎩,即可写出单调递增区间； (2)当0m >时,()22,,x mx x m f x x x m x mx x m⎧->=-=⎨-+≤⎩,分类讨论即可求出最小值.(1)当3m =时,()223,333,3x x x f x x x x x x ⎧->=-=⎨-+≤⎩, 作图：()f x 的单调递增区间为3(,]2-∞,[3,)+∞； (2)当0m >时,()22,,x mx x m f x x x m x mx x m⎧->=-=⎨-+≤⎩,作图如下：当32m ≤,即6m ≥时,最小值()11f m =-； 当32m m <<,即36m <<时,3122m >>： 若322m >≥, 46m ≤<,最小值()11f m =- 若3222m <<,34m <<,最小值()33(3)f m =-； 当13m ≤≤时,最小值为0；当01m <<时,最小值为()11f m =-综上所述,当4m ≥时,最小值1m -,当34m <<,最小值3(3)m -,当13m ≤≤时,最小值为0,当01m <<时,最小值1m -.此题考查分段函数单调性及根据含参数的函数讨论函数最值问题,主要考查分类讨论的思想,分类讨论是一大难点,做到不重不漏方可正确解题.22.已知函数()()1x xf x a k a -=--(0a >且1a ≠)是定义在R 上的奇函数. (1)求k 的值；(2)若()10f >,且()()2510f x f mx ++->对于任意[]1,5x ∈恒成立,求m 的取值范围. 【参考答案】(1)2k =；(2)4m >-.【试题分析】(1)定义在R 上的奇函数必有(0)0f =即可求解k 的值；(2)根据()10f >,确定a 的范围,得出()f x 的单调性和奇偶性,()()2510f x f mx ++->对于任意[]1,5x ∈恒成立,根据奇偶性可转化变形求解m 的取值范围.(1)函数()()1x x f x a k a -=--(0a >且1a ≠)是定义在R 上的奇函数, (0)1(1)0,2f k k =--==；(2)因为0a >且1a ≠,()1,(1)0x x f x a a f a a-=-=->,解得：1a >, 所以()x xf x a a -=-在R 上单调递增, ()()2510f x f mx ++->对于任意[]1,5x ∈恒成立,即()()251(1)f x f mx f mx +>--=-对于任意[]1,5x ∈恒成立,即251x mx +>-对于任意[]1,5x ∈恒成立, 即4x m x +>-对于任意[]1,5x ∈恒成立,根据对勾函数性质[]4,1,2y x x x=+∈单调递减,[]2,5x ∈单调递增,所以4x x +在[]1,5x ∈最小值为4, 4,4m m >->-,所以4m >-.此题考查根据函数的奇偶性求参数值,根据函数的单调性奇偶性解不等式相关问题,通过单调性将问题转化为不等式恒成立求参数范围,体现了转化与化归思想.。
2024学年浙江省舟山市白泉高级中学下学期高三联考试卷数学试题
2024学年浙江省舟山市白泉高级中学下学期高三联考试卷数学试题注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。
2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。
第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。
3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．若ABC ∆的内角A 满足2sin 23A =-，则sin cos A A -的值为（ ） A ．153B ．15-3 C ．53D ．5-32．棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -内有一个内切球O ，过正方体中两条异面直线AB ，11A D 的中点,P Q 作直线，则该直线被球面截在球内的线段的长为（ ） A ．22B ．21-C ．2D ．13．函数()y f x =在区间,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上的大致图象如图所示，则()f x 可能是（ ）A ．()ln sin f x x =B ．()()ln cos f x x =C ．()sin tan f x x =-D ．()tan cos f x x =- 4．“是函数()()1f x ax x =-在区间内单调递增”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件5．若4log 15.9a =， 1.012b =，0.10.4c =，则（ ） A ．c a b >>B ．a b c >>C ．b a c >>D ．a c b >>6．小明有3本作业本，小波有4本作业本，将这7本作业本混放在-起，小明从中任取两本.则他取到的均是自己的作业本的概率为( ) A ．17B ．27C ．13D ．18357．中国古代用算筹来进行记数，算筹的摆放形式有纵横两种形式（如图所示），表示一个多位数时，像阿拉伯记数一样，把各个数位的数码从左到右排列，但各位数码的筹式需要纵横相间，其中个位、百位、方位……用纵式表示，十位、千位、十万位……用横式表示，则56846可用算筹表示为（ ）A ．B ．C ．D ．8．已知函数()(0)f x x x x =->，()xg x x e =+，()()ln 0h x x x x =+>的零点分别为1x ，2x ，3x ，则（ ）A ．123x x x <<B ．213x x x <<C ．231x x x <<D ．312x x x <<9．已知ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别是,,,a b c 且444222222a b c a b c a b+++=+，若c 为最大边，则a b c +的取值范围是（ ） A ．313⎛ ⎝⎭,B ．(3C ．2313⎛ ⎝⎦,D ．3]10．设01p <<，随机变量ξ的分布列是ξ1-0 1P1(1)3p - 2313p则当p 在23(,)34内增大时，（ ）A ．()E ξ减小，()D ξ减小B ．()E ξ减小，()D ξ增大C ．()E ξ增大，()D ξ减小D ．()E ξ增大，()D ξ增大11．定义在R 上的偶函数()f x 满足()()11f x f x +=-()()0≠f x ，且在区间()20172018,上单调递减，已知,αβ是锐角三角形的两个内角，则()()sin cos f f βα,的大小关系是（ ） A ．()()sin cos βα<f f B ．()()sin cos βα>f f C ．()()sin =cos βαf fD ．以上情况均有可能12．若函数()2xf x e mx =-有且只有4个不同的零点，则实数m 的取值范围是（ ）A ．2,4e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭B ．2,4e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭C ．2,4e ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭D ．2,4e ⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
浙江省杭州市余杭第二高级中学2024届高三下学期第二次联考数学试题
浙江省杭州市余杭第二高级中学2024届高三下学期第二次联考数学试题请考生注意：1．请用2B 铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。
写在试题卷、草稿纸上均无效。
2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知三棱锥A BCD -的所有顶点都在球O 的球面上，AD ⊥平面,120ABC BAC ︒∠=，2AD =，若球O 的表面积为20π，则三棱锥A BCD -的体积的最大值为（ ） A ．33B ．233C ．3D ．232．已知双曲线22122:1x y C a b -=与双曲线222:14y C x -=没有公共点，则双曲线1C 的离心率的取值范围是( )A ．(1,3⎤⎦B ．)3,⎡+∞⎣C ．(1,5⎤⎦D ．)5,⎡+∞⎣3．函数cos 1ln(),1,(),1x x x f x xex π⎧->⎪=⎨⎪≤⎩的图象大致是（ ） A ． B ．C ．D ．4．设函数()()ln 1f x x =-的定义域为D ，命题p ：x D ∀∈，()f x x ≤的否定是（ ） A ．x D ∀∈，()f x x > B ．0x D ∃∈，()00f x x ≤ C ．x D ∀∉，()f x x > D ．0x D ∃∈，()00f x x >5．已知函数2ln(2),1,()1,1,x x f x x x -⎧=⎨-+>⎩若()0f x ax a -+恒成立，则实数a 的取值范围是（ ）A ．1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．[0,1]C ．[1,)+∞D ．[0,2]6．若复数21z m mi =-+（m R ∈）在复平面内的对应点在直线y x =-上，则z 等于( ) A ．1+iB ．1i -C ．1133i --D ．1133i -+7．港珠澳大桥于2018年10月2刻日正式通车，它是中国境内一座连接香港、珠海和澳门的桥隧工程，桥隧全长55千米．桥面为双向六车道高速公路，大桥通行限速100km /h ，现对大桥某路段上1000辆汽车的行驶速度进行抽样调查．画出频率分布直方图（如图），根据直方图估计在此路段上汽车行驶速度在区间[85，90）的车辆数和行驶速度超过90km /h 的频率分别为（ ）A ．300，0.25B ．300，0.35C ．60，0.25D ．60，0.358．记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和.若25a =-，416S =-，则6a =（ ） A ．5B ．3C ．－12D ．－139．执行如图所示的程序框图，若输出的结果为11，则图中的判断条件可以为（ ）A ．1?S >-B ．0?S <C ．–1?S <D ．0?S >10．如图所示，已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右焦点为F ，双曲线C 的右支上一点A ，它关于原点O 的对称点为B ，满足120AFB ∠=︒，且||2||BF AF =，则双曲线C 的离心率是（ ）.A 3B 7C 3D 711．已知圆224210x y x y +-++=关于双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的一条渐近线对称，则双曲线C 的离心率为（ ） A 5B ．5C 5D ．5412．我们熟悉的卡通形象“哆啦A 梦”2.在东方文化中通常称这个比例为“白银比例”，该比例在设计和建筑领域有着广泛的应用.已知某电波塔自下而上依次建有第一展望台和第二展望台，塔顶到塔底的高度与第二展望台到塔底的高度之比，第二展望台到塔底的高度与第一展望台到塔底的高度之比皆等于“白银比例”，若两展望台间高度差为100米，则下列选项中与该塔的实际高度最接近的是（ ） A ．400米 B ．480米 C ．520米D ．600米二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
浙江高一高中数学期末考试带答案解析
浙江高一高中数学期末考试班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、选择题1.若集合，集合，则等于（）A．B．C．D．2.若角的终边上有一点，则的值是（）A．B．C．D．3.已知为第二象限角，则的值是（）A．3B．-3C．1D．-14.下列函数中，值域为的是（）A．B．C．D．5.函数的部分图象如图，则，可以取的一组值是（）A．B．C．D．6.已知，，，则的大小关系是（）A．B．C．D．7.函数的零点所在的大致区间是（）A．B．C．D．8.为了得到函数的图像，只要把函数图象上所有的点（）A．向左平行移动个单位长度B．向右平行移动个单位C．向左平行移动个单位长度D．向右平行移动个单位9.定义在上的函数既是偶函数又是周期函数，若的最小正周期是，且当时，，则的值为（）A．B．C．D．10.对实数和，定义运算“”：设函数，，若函数的图像与轴恰有两个公共点，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．二、填空题1.函数的定义域为。
2.若幂函数的图象过点，则______________。
3.设扇形的周长为，面积为，则扇形的圆心角的弧度数是。
4.函数的单调递增区间是________________。
5.已知是关于的方程的两个实根，且，= 。
三、解答题1.设，，(1)当时，求的子集的个数；(2)当且时，求的取值范围。
2.已知函数，。
(1)求函数的最小正周期和单调递减区间；(2)求函数在区间上的最小值和最大值，并求出取得最值时的值。
3.已知函数的图象关于原点对称。
（1）求m的值；（2）判断在上的单调性，并根据定义证明。
4.已知函数。
（1）若不等式对任意的实数恒成立，求实数的取值范围；（2）设，且在上单调递增，求实数的取值范围。
浙江高一高中数学期末考试答案及解析一、选择题1.若集合，集合，则等于（）A．B．C．D．【答案】D【解析】因为，，所以=。
【考点】集合的运算。
点评：直接考查集合的运算，属于基础题型。
浙江省海宁市高级中学高一下学期中考试(数学).doc
海宁市高级中学—高一第二学期期中考试数 学 试 题命题与审核：王增伟 王章安一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．34cosπ的值为 （A ）21-（B ）21（C ）23- （D ）232．在数列{}n a 中，122,211=-=+n n a a a ，则101a 的值为（A ）52 （B ）51 （C ）50 （D ）493．已知函数)(cos sin )(R x x x x f ∈-=，则)(x f 的最大值与最小值分别为（A ）1,1- （B ）2,2- （C ）2,2- （D ）2,1 4．在ABC ∆中，若0cos sin 2sin =-C B A ，则ABC ∆必定是（A ）钝角三角形 （B ）锐角三角形 （C ）直角三角形 （D ）等腰三角形 5．已知{}n a 为等差数列,若π=++951a a a ,则)sin(82a a +的值为（A ）21-（B ）23- （C ）21 （D ）236．函数)412tan()(π-=x x f 的定义域是（A ）R （B ）⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+≠∈Z k k x R x x ,83,ππ且 （C ）⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+≠∈Z k k x R x x ,283,ππ且 （D ）⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+≠∈Z k k x R x x ,24,ππ且 7．下列函数中，周期为π且图像关于直线3x π=对称的函数是(A) )32sin(2)(π+=x x f(B) )32sin(2)(π+=x x f (C) )62sin(2)(π-=x x f(D) )62sin(2)(π-=x x f8．数列 ,1614,813,412,211的前n 项和为（A ）12212+++n n n （B ）2212nn n ++- （C ）12212+++-n n n （D ）22121nn n ++-+图所示，9．已知函数B x A y ++=)sin(ϕϖ的一部分图象如右如果2||,0,0πϕϖ<>>A ，则(A) 4=A (B)1=ϖ (C)6πϕ=(D)4=B10．已知等差数列{}n a 中,93a a = , 公差0<d , 则n S 取最大值的自然数n 的值是（A ）4和5 （B ）5和6 （C ） 6和7 （D ）仅取6 11．已知1411)cos(,71cos -=+=βαα，且βα,都是锐角，则β的值为 （A ）12π（B ）6π （C ）4π （D ）3π12．已知两个等差数列{}n a 和{}n b 的前n 项和分别为n A 和n B ，且3457++=n n B A n n ，则使得n n b a为整数的正整数n 的个数是（ ）（A ）5 （B ）4 （C ）3 （D ）2 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 13．在ABC ∆中，24,34,60===c a A ，则B = ▲ ．14.若α是三角形的一个内角，且21)23sin(=+απ，则α＝ ▲15.求和：=+⨯-++⨯+⨯+⨯)12()12(1751531311n n ▲ ．（用分数作答） 16.把函数)32sin(3π+=x y 的图象向右平移6π,再将所得图象上各点的横坐标缩小为原来的21(纵坐标不变),得到的图象所对应的解析式为 ▲ ．17．各项为正数的等比数列}{n a 的前n 项和为n S ，若12=a ,则3S 的最小值为 ▲ 18．已知x x f sin )(是周期为2π的周期函数，且3)6(=πf ，则=)32(πf ▲三、解答题（本大题共5小题，共46分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 19．（本小题8分）已知)2,23(,53cos ππαα∈=,求αα2tan ,2cos 的值.本小题8分）在ABC ∆中，已知bc a c b 21222=-+（1）求A cos 的值； （2）若43sin ,415==C a ，求边c 的长。
浙江高三高中数学月考试卷带答案解析
浙江高三高中数学月考试卷班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、选择题1.设集合，, 则下列结论正确的是（）A．B．C．D．2.下列函数中，在其定义域上既是奇函数又是增函数的是（）A．B．C．D．3.已知直线，，则“”是“”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4.若是不相同的空间直线，是不重合的平面，则下列命题正确的是（）A．B．C．D．5.已知实数满足：，若的最小值为，则实数（）A．B．C．D． 86.为了得到函数的图像，可以将函数的图像（）A．向右平移B．向右平移C．向左平移D．向左平移7.设点是曲线上的动点，且满足，则的取值范围为（）A．B．C．D．二、填空题1.已知双曲线：，则它的焦距为__ _；渐近线方程为__ _；焦点到渐近线的距离为__ _．2.已知等差数列的前项和为,,，则__ ，__ ．3.三棱锥中，平面，为侧棱上一点，它的正视图和侧视图（如下图所示），则与平面所成角的大小为__ _；三棱锥的体积为__ _．4.在中，若，则其形状为__ _，__ .（①锐角三角形②钝角三角形③直角三角形，在横线上填上序号）；5.已知满足方程，当时，则的最小值为__．6.过抛物线的焦点作一条倾斜角为锐角,长度不超过的弦,且弦所在的直线与圆有公共点,则角的最大值与最小值之和是__ _．7.已知函数，若关于的方程有个不同的实数根，且所有实数根之和为，则实数的取值范围为__ _．三、解答题1.（本题满分15分）已知函数.（Ⅰ）求函数的单调增区间；（Ⅱ）在中，内角所对边分别为，，若对任意的不等式恒成立，求面积的最大值．2.（本题满分15分）如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，平面，点分别为的中点，且，．（Ⅰ）证明：平面；（Ⅱ）设直线与平面所成角为，当在内变化时，求二面角的取值范围．3.（本题满分15分）设各项均为正数的等比数列的公比为，表示不超过实数的最大整数（如），设，数列的前项和为，的前项和为.（Ⅰ）若，求及；（Ⅱ）若对于任意不超过2015的正整数,都有，证明:．4.(本题满分14分)设为函数两个不同零点.（Ⅰ）若，且对任意,都有，求；（Ⅱ）若，则关于的方程是否存在负实根?若存在,求出该负根的取值范围，若不存在，请说明理由；（Ⅲ）若，，且当时，的最大值为，求的最小值.浙江高三高中数学月考试卷答案及解析一、选择题1.设集合，, 则下列结论正确的是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】，所以，选C.【考点】集合的基本运算.2.下列函数中，在其定义域上既是奇函数又是增函数的是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】，不是奇函数，故A、C错. 函数分别在区间内是增函数，而不能说在其定义域上是增函数，故D错. 的定义域为，在上是增函数，且为奇函数，故B正确.【考点】函数的奇偶性及单调性.3.已知直线，，则“”是“”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】当时，，所以.故为充分条件.当时，，所以不是必要条件.选A.【考点】1、充要条件；2、平面内两直线的垂直关系.4.若是不相同的空间直线，是不重合的平面，则下列命题正确的是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】对A.或异面，故A错；对B. 或相交或异面，故B错；对C.，正确；对D. 或相交或，只有当垂直于的交线时，才有，故D错.【考点】空间直线平面间的位置关系.5.已知实数满足：，若的最小值为，则实数（）A．B．C．D． 8【答案】B【解析】作出不等式组表示的区域如下图所示，从图可知，直线过点时，的值最小，所以.选B.【考点】线性规划.6.为了得到函数的图像，可以将函数的图像（）A．向右平移B．向右平移C．向左平移D．向左平移【答案】D【解析】，所以将的图象向左平移可得的图象.【考点】三角函数图象的变换.7.设点是曲线上的动点，且满足，则的取值范围为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】设，则满足的点P的轨迹是以为焦点的椭圆，其方程为.曲线为如下图所示的菱形ABCD，.由于，所以，即.所以.选A.【考点】1、曲线与方程；2、不等式.二、填空题1.已知双曲线：，则它的焦距为__ _；渐近线方程为__ _；焦点到渐近线的距离为__ _．【答案】.【解析】所以焦距为，渐近线方程为，焦点到准线的距离即为.【考点】双曲线.2.已知等差数列的前项和为,,，则__ ，__ ．【答案】【解析】由题设得：，解之得：，.【考点】等差数列.3.三棱锥中，平面，为侧棱上一点，它的正视图和侧视图（如下图所示），则与平面所成角的大小为__ _；三棱锥的体积为__ _．【答案】【解析】由题设及正视图可知，又由平面得，所以平面，即与平面所成角为.三棱锥的体积.【考点】1、三视图；2、三棱锥的体积.4.在中，若，则其形状为__ _，__ .（①锐角三角形②钝角三角形③直角三角形，在横线上填上序号）；【答案】③，【解析】由知，，所以是直角三角形，，利用数量积的几何意义得.【考点】平面向量.5.已知满足方程，当时，则的最小值为__．【答案】8【解析】.易知表示抛物线上的点与点的连线的斜率，从图可知，所以.【考点】重要不等式.6.过抛物线的焦点作一条倾斜角为锐角,长度不超过的弦,且弦所在的直线与圆有公共点,则角的最大值与最小值之和是__ _．【答案】【解析】抛物线的焦点为，则过焦点的直线方程为，代入得，弦长为.据题意得，所以.将变形得，由得，综合得，所以角的最大值与最小值之和.【考点】直线与圆锥曲线.7.已知函数，若关于的方程有个不同的实数根，且所有实数根之和为，则实数的取值范围为__ _．【答案】【解析】设.因为，所以的图象关于直线对称.设的4个根为，则，由题设知，，，的最小值为，作出的图象如图所示，由图可知的范围为.【考点】函数与方程.三、解答题1.（本题满分15分）已知函数.（Ⅰ）求函数的单调增区间；（Ⅱ）在中，内角所对边分别为，，若对任意的不等式恒成立，求面积的最大值．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.【解析】（Ⅰ）将函数降次化一得，根据正弦函数的单调性可得函数的单调增区间；（Ⅱ）对任意的不等式恒成立，意即当时，取得最大值，所以.又，所以，由此得.要求面积的最大值，只需求出的最大值即可.由余弦定理得即，由此即可得面积的最大值.试题解析：（Ⅰ）由解得所以函数的单调增区间为（Ⅱ）由题意得当时，取得最大值，则及解得，所以由余弦定理得即所以当时，【考点】1、三角恒等变换；2、三角函数的性质；3、解三角形；4、不等式.2.（本题满分15分）如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，平面，点分别为的中点，且，．（Ⅰ）证明：平面；（Ⅱ）设直线与平面所成角为，当在内变化时，求二面角的取值范围．【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）二面角取值范围为．【解析】（Ⅰ）根据直线与平面平行的判定定理，需在平面内找一条与平行的直线.结合题设可取取中点，连接，易得四边形为平行四边形，从而得，问题得证.（Ⅱ）思路一、首先作出二面角的平面角，即过棱BC上一点分别在两个平面内作棱BC的垂线.因为，点分别为的中点，则.连接，因为平面，所以AM是PM在面ABC内的射影，所以，所以即为二面角的平面角.再作出直线与平面所成的角，即作出AC在平面PBC内的射影.由，且得平面，从而平面平面.过点在平面内作于，根据面面垂直的性质知平面．连接，于是就是直线与平面所成的角．在及中，找出与的关系，即可根据的范围求出的范围. 思路二、以所在的直线分别为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系，利用空间向量亦可求解.试题解析：（Ⅰ）证明：取中点，连接，因为点分别为的中点，所以四边形为平行四边形，则又平面，平面所以平面.（Ⅱ）解法1：连接，因为，点分别为的中点，则又平面，则所以即为二面角的平面角又，所以平面，则平面平面过点在平面内作于，则平面．连接，于是就是直线与平面所成的角，即=．在中，；在中，，．，，．又，．即二面角取值范围为．解法2：连接，因为，点分别为的中点，则又平面，则所以即为二面角的平面角，设为以所在的直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，于是，，，．设平面的一个法向量为，则由．得可取，又，于是，，，．又，．即二面角取值范围为．【考点】1、空间直线与平面的位置关系；2、二面角.3.（本题满分15分）设各项均为正数的等比数列的公比为，表示不超过实数的最大整数（如），设，数列的前项和为，的前项和为.（Ⅰ）若，求及；（Ⅱ）若对于任意不超过2015的正整数,都有，证明:．【答案】（Ⅰ），；（Ⅱ）证明详见解析.【解析】（Ⅰ）根据等比数列的前项和公式及条件可得.由于是一个取整函数，所以必然对中的项分情况讨论.因为，时，所以，这样分情况可求出.（Ⅱ）根据前项和公式求，则用公式.所以由可得，.因为，所以，，其中.又因为，所以.待证不等式等价于，而，所以根据便可得出，从而问题得证.试题解析：（Ⅰ）所以则因为，且所以即（Ⅱ）因为因为，所以，，其中.又因为，所以. (1)(2)由（1）（2）两式可得【考点】数列与不等式.4.(本题满分14分)设为函数两个不同零点.（Ⅰ）若，且对任意,都有，求；（Ⅱ）若，则关于的方程是否存在负实根?若存在,求出该负根的取值范围，若不存在，请说明理由；（Ⅲ）若，，且当时，的最大值为，求的最小值.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）存在，其范围为；（Ⅲ）.【解析】（Ⅰ）由得函数关于对称，从而，再将代入方程得，联立解方程组，由此得；（Ⅱ）首先应考虑去掉绝对值.因为，所以时的根必然大于0，故只需考虑时的情况.当时方程可化为：，即.用求根公式可求出这个方程的负根：.令，则，在上单调递增，所以，显然当无限增大时，无限趋近于0，所以，由此可得；（Ⅲ），因为，所以，由重要不等式可得，又因为，所以，显然在单调递增，所以.试题解析：（Ⅰ）由得函数关于对称，则又解得（Ⅱ）由知只需考虑时的情况当时可化为所以关于的方程存在唯一负实根令，则，在上单调递增，则.（Ⅲ）等号成立条件为所以因为【考点】函数、方程及不等式.。
浙江高三高中数学高考真卷带答案解析
浙江高三高中数学高考真卷班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、选择题1.设全集U={1，2，3，4，5，6} ，设集合P={1，2，3，4}， Q{3，4，5}，则P∩（C U Q ）= A ．{1，2，3，4，6} B ．{ 1，2，3，4，5} C ．{1，2，5} D ．{1,2}2.已知i 是虚数单位，则= A ．1-2iB ．2-iC ．2+iD ．1+2i3.已知某三棱锥的三视图（单位：cm ）如图所示，则该三棱锥的体积是A ．1cm3B ．2cm3C ．3cm3D ．6cm34.设a ∈R ，则“a ＝1”是“直线l 1：ax+2y=0与直线l 2 ：x+(a+1)y+4=0平行的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件5.设l 是直线，a ，β是两个不同的平面 A ．若l ∥a,l ∥β，则a ∥β B ．若l ∥a ，l ⊥β，则a ⊥β C ．若a ⊥β,l ⊥a,则l ⊥βD ．若a ⊥β, l ⊥a,则l ⊥β6.把函数y=cos2x+1的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），然后向左平移1个单位长度，再向下平移 1个单位长度，得到的图象是（ ）A ．B ．C ．D ．7.设a，b是两个非零向量。
A．若|a+b|=|a|-|b|，则a⊥bB．若a⊥b，则|a+b|=|a|-|b|C．若|a+b|=|a|-|b|，则存在实数λ，使得b=λaD．若存在实数λ，使得b=λa，则|a+b|=|a|-|b|8.如图，中心均为原点O的双曲线与椭圆有公共焦点，M，N是双曲线的两顶点.若M，O，N将椭圆长轴四等分，则双曲线与椭圆的离心率的比值是A．3B．2C．D．9.若正数x，y满足x+3y=5xy，则3x+4y的最小值是A．B．C．5D．610.设a＞0，b＞0，e是自然对数的底数A．若e a+2a=e b+3b，则a＞bB．若e a+2a=e b+3b，则a＜bC．若e a-2a=e b-3b，则a＞bD．若e a-2a=e b-3b，则a＜b二、填空题1.某个年级有男生560人，女生420人，用分层抽样的方法从该年级全体学生中抽取一个容量为280的样本，则此样本中男生人数为____________.2.从边长为1的正方形的中心和顶点这五点中，随机（等可能）取两点则该两点间的距离为的概率是___________。
浙江高三高中数学高考真卷带答案解析
浙江高三高中数学高考真卷班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、解答题1.已知抛物线：上一点到其焦点的距离为．（I）求与的值；（II）设抛物线上一点的横坐标为，过的直线交于另一点，交轴于点，过点作的垂线交于另一点．若是的切线，求的最小值．2.如图，平面，，，，分别为的中点．（I）证明：平面；（II）求与平面所成角的正弦值．3.设为数列的前项和，，，其中是常数．（I）求及；（II）若对于任意的，，，成等比数列，求的值．4.（本小题满分12分）20090423在中，角所对的边分别为，且满足，．（1）求的面积；（2）若，求的值．5.已知函数.(I)若函数的图象过原点,且在原点处的切线斜率是,求的值;(II)若函数在区间上不单调,求的取值范围.二、选择题1.设，，，则（）A．B．C．D．2.“”是“”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件3.设是两个不同的平面，是一条直线，以下命题正确的是（）A．若，则B．若，则C．若，则D．若，则4.已知向量，．若向量满足，，则（）A．B．C．D．5.已知椭圆的左焦点为，右顶点为，点在椭圆上，且轴，直线交轴于点．若，则椭圆的离心率是（）A．B．C．D．6.若函数，则下列结论正确的是（）A．，在上是增函数B．，在上是减函数C．，是偶函数D．，是奇函数7.已知三角形的三边长分别为，则它的边与半径为的圆的公共点个数最多为（）A．B．C．D．三、填空题1.某个容量为的样本的频率分布直方图如下，则在区间上的数据的频数为．2.设等差数列的前项和为，则，，，成等差数列．类比以上结论有：设等比数列的前项积为，则，，成等比数列．3.有张卡片，每张卡片上分别标有两个连续的自然数，其中．从这张卡片中任取一张，记事件“该卡片上两个数的各位数字之和（例如：若取到标有的卡片，则卡片上两个数的各位数字之和为）不小于”为，则．浙江高三高中数学高考真卷答案及解析一、解答题1.已知抛物线：上一点到其焦点的距离为．（I）求与的值；（II）设抛物线上一点的横坐标为，过的直线交于另一点，交轴于点，过点作的垂线交于另一点．若是的切线，求的最小值．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）【解析】解：（Ⅰ）由抛物线方程得其准线方程：，根据抛物线定义：点到焦点的距离等于它到准线的距离，即，解得抛物线方程为：，将代入抛物线方程，解得（Ⅱ）由题意知，过点的直线斜率存在且不为0，设其为。
浙江高三高中数学高考真卷带答案解析
浙江高三高中数学高考真卷班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、选择题1.2.若复数，为虚数单位，则=3.若实数满足不等式组 ,则的最小值是A．13B．15C．20D．284.若直线不平行于平面，且，则A．内的所有直线与异面B．内不存在与平行的直线C．内存在唯一的直线与平行D．内的直线与都相交5.在中，角所对的边分.若，则A．- B．C． -1D．16.7.几何体的三视图如图所示,则这个几何体的直观图可以是8.从已有3个红球、2个白球的袋中任取3个球，则所取的3个球中至少有1个白球的概率是A．B．C．D．9.已知椭圆（a＞b＞0）与双曲线有公共的焦点，的一条渐近线与的长度为直径的圆相交于两点.若恰好将线段三等分，则A．B．C．D．10.二、填空题1.设函数 ,若,则实数=____2.若直线与直线与直线互相垂直，则实数=_______3.4.5.6.7.若数列中的最大项是第项，则=_______。
三、解答题1.（本题满分14分）已知函数，，，.的部分图像，如图所示，、分别为该图像的最高点和最低点，点的坐标为.[（Ⅰ）求的最小正周期及的值；（Ⅱ）若点的坐标为，2.（本题满分14分）已知公差不为0的等差数列的首项为 (),且，，成等比数列（Ⅰ）求数列的通项公式（Ⅱ）对，试比较与的大小.学&3.本题满分14分）如图，在三棱锥中，，为的中点，⊥平面，垂足落在线段上.（Ⅰ）证明：⊥；（Ⅱ）已知，，，.求二面角的大小.4.本题满分15分）设函数（Ⅰ）求单调区间（Ⅱ）求所有实数，使对恒成立注：为自然对数的底数5.（本题满分15分）如图，设是抛物线:上动点。
圆:的圆心为点M，过点做圆的两条切线，交直线：于两点。
（Ⅰ）求的圆心到抛物线准线的距离。
（Ⅱ）是否存在点，使线段被抛物线在点处得切线平分，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由。
浙江高三高中数学高考真卷答案及解析一、选择题1.【答案】C【解析】略2.若复数，为虚数单位，则=【答案】A【解析】故选A3.若实数满足不等式组 ,则的最小值是A．13B．15C．20D．28【答案】A【解析】：作出可行域，，4.若直线不平行于平面，且，则A．内的所有直线与异面B．内不存在与平行的直线C．内存在唯一的直线与平行D．内的直线与都相交【答案】 B【解析】：直线不平行于平面，所以与相交，故选B5.在中，角所对的边分.若，则A．- B．C． -1D．1【答案】D【解析】6.【答案】D【解析】充分性：由，取，则，充分性不成立；必要性：由，取，则，所以必要性也不成立.此题为充分必要性判断，作为选择题，可利用特值代入，快速选出选项.7.几何体的三视图如图所示,则这个几何体的直观图可以是【答案】B【解析】同视图知识不难看出应选B。
浙江高三高中数学高考真卷带答案解析
浙江高三高中数学高考真卷班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、选择题1.已知集合则=A．B．C．D．2.函数的最小正周期是A．B．C．D．3.已知a,b都是实数，那么“”是“a>b”的A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件}是等比数列，,则公比q=4.）已知{anA．B．-2C．2D．5.已知A．B．C．D．6.在(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)(x-5)的展开式中，含的项的系数是A．-15B．85C．-120D．2747.在同一平面直角坐标系中，函数y＝cos(＋)(x∈[0,2π])的图象和直线y＝的交点个数是() A．0B．1C．2D．48.若双曲线的两个焦点到一条准线的距离之比为3：2，则双曲线的离心率是A．3B．5C．D．9.）对两条不相交的空间直线a与b,必存在平面α,使得A．B．∥αC．D．10.若且当时,恒有,则以a,b 为坐标的点P(a,b)所形成的平面区域的面积是A ．B ．C ．1D ．二、填空题1.已知函数 .2.若.3.已知F 1、F 2为椭圆的两个焦点，过F 1的直线交椭圆于A 、B 两点若|F 2A |+|F 2B |=12，则|AB |= 。
4.在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c 。
若则cos A = .5.如图，已知球O 的面上四点，DA ⊥平面ABC 。
AB ⊥BC ，DA=AB=BC=，则球O 的体积等于 。
6.已知a 是平面内的单位向量，若向量b 满足b ·(a -b )=0, 则|b |的取值范围是 .7.用1，2，3，4，5，6组成六位数（没有重复数字），要求任何相邻两个数字的奇偶性不同，且1和2相邻。
这样的六位数的个数是 （用数字作答）三、解答题1.（本题14分） 已知数列的首项，通项，且成等差数列。
求：（Ⅰ）p ,q 的值； (Ⅱ) 数列前n 项和的公式。
浙江高三高中数学期末考试带答案解析
浙江高三高中数学期末考试班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、选择题1.复数对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2.函数的定义域是（）A．[-1，4]B．[1，4]C．D．3.已知，则“”是“”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件4.执行如图的程序框图，输出的S和n的值分别是（）A．9，3B．9，4C．11，3D．11，45.某四面体的三视图如图所示，则该四面体的所有棱中最长的是（）A．B．C．D．56.设是空间中的一个平面，是三条不同的直线，①若；②若③若，则④若；则上述命题中正确的是( )A．①②B．②③C．③④D．①④7.．已知双曲线与抛物线有一个公共的焦点F，且两曲线的一个交点为P，若|PF|=5，则双曲线的渐近线方程为（）A．B．C．D．8.项数为n的数列的前k项和为，定义为该项数列的“凯森和”，如果项系数为99项的数列的“凯森和”为1000，那么项数为100的数列100，的“凯森和”为（）A．991B．1001C．1090D．11009.将A，B，C，D，E五种不同的文件随机地放入编号依次为1，2，3，4，5，6，7的七个抽屉内，每个抽屈至多放一种文件，则文件A，B被放在相邻的抽屉内且文件C，D被放在不相邻的抽屉内的概率是（）A．B．C．D．10.已知变量x，y满足约束条件若目标函数取得最大值时的最优解有无穷多组，则点（a，b）的轨迹可能是（）二、填空题1.已知，则= ；2.设的展开式的各项系数之和为256，则展开式中项的系数为；3.袋中有大小质地均相同的4个红球与2个白球，若从中有放回的依次取出一个球，记6次取球中取出红球的次数为，则的期望= ；4.．已知椭圆的中心在原点，焦点在坐标轴上，与过点P（1，2）且斜率为-2的直线相交所得的弦恰好被P平分，则此椭圆的离心率是；5.已知定义在R上的函数满足：（1）函数的图像关于原点对称；（2）对任意的实数x，都有成立；（3）当时，则方程在[-4，4]上根的个数是；6.已知平面向量α，β满足，且α与的夹角为，则的取值范围是；7.已知对角线互相垂直且面积为5的四边形，其顶点都在半径为3的圆上，设圆心到两对角线的距离分别为，则的最大值为。
浙江高一高中数学期末考试带答案解析
浙江高一高中数学期末考试班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、选择题1.已知，则与共线的向量为A．B．C．D．2.函数的零点所在区间为A．B．C．D．3.下列大小关系正确的是A．B．C．D．4.已知角的终边上一点的坐标为，则角的最小正角为A．B．C．D．5.若，则为A．B．C．D．6.函数的单调递减区间为A．B．C．D．7.的最大值为A．B．C．D．8.以下命题正确的是A．若一个几何体的正视图和侧视图都是等腰梯形，则这个几何体是棱台；B．在中，若，则；C．“”是“”的必要不充分条件；D．“若且，则”的逆命题是真命题.9.若关于的方程在恒有解，则实数的取值范围是A．B．C．D．10.直角三角形的两条直角边两点分别在轴、轴的正半轴（含原点）上滑动，分别为的中点.则的最大值是A．B．2C．D．二、填空题1.弧长为的扇形的圆心角为，则此扇形的面积为；2.已知与的夹角为，则；3.函数的图象如图所示，则；4.如图，在中，，交于点，设，，用表示______5.已知函数，若关于的方程有唯一一个实数根，则实数的取值范围是；6.已知定义在上的函数满足：是偶函数，且时的解析式为，则时的解析式为；7.关于函数，有以下命题（1）为偶函数；（2）的图象关于直线对称；（3）函数在区间的值域为；（4）在的减区间是和.其中正确命题的序号为 .三、解答题1.在中，已知，（1）判断的形状；（2）若线段的延长线上存在点，使，求点坐标.2.已知，且，（1）求的值；（2）求的值.3.已知函数，（1）若，求实数的解集；（2）将函数的图象向右平移个单位后，再将得到的函数图象上的各点横坐标伸长到原来的倍，得到函数，若，求的值.4.已知函数是偶函数，，（1）求的值；（2）当时，求的解集；（3）若函数的图象总在的图象上方，求实数的取值范围.5.已知函数（1）求函数的定义域；（2）若存在,对任意，总存在唯一，使得成立.求实数的取值范围.浙江高一高中数学期末考试答案及解析一、选择题1.已知，则与共线的向量为A．B．C．D．【答案】C【解析】因为，那么则与共线的向量要满足，那么对于选项A,分析不满足比例关系，对于选项B，由于不存在实数满足，因此不共线，同理可知选项D，也不满足，排除法只有选C.【考点】共线向量点评：主要是考查了向量共线的概念的运用，属于基础题。
2021-2022学年浙江省杭州市长河高级中学高一下学期期中数学试题(解析版)
2021-2022学年浙江省杭州市长河高级中学高一下学期期中数学试题一、单选题1．已知复数2i1+iz=，则z的共轭复数z是()A．1－i B．1＋i C．i D．－i 【答案】A【分析】根据复数的运算法则计算即可.【详解】∵2i1iz=+＝()()()2i1i1i1i-+-＝1i+，∴1iz=-，故选：A．2．如图，在ABC中，D为AB的中点，E为CD的中点，设,AB a AC b==，以向量,a b 为基底，则向量AE=（）A．1142a b+B．12a b+C．12a b D．1124a b+【答案】A【分析】利用向量的加减法运算法则，化简求解即可．【详解】解：因为E为CD的中点，则1()2AE AD AC=+．因为D为AB的中点，则12AD AB=．所以1142AE AB AC=+，即1142AE a b=+.故选：A．包括（ ）A ．一个圆台、两个圆锥B ．一个圆柱、两个圆锥C ．两个圆台、一个圆柱D ．两个圆柱、一个圆台【答案】B【分析】画出简图，将等腰梯形分割成两个直角三角形和一个矩形，进而进行旋转，然后根据多面体的定义得到答案.【详解】将等腰梯形分割成两个直角三角形和一个矩形，如图所示：矩形绕其一边旋转一周得到圆柱，直角三角形绕其一条直角边旋转一周得到圆锥； 因此，将该等腰梯形绕它的较长的底边所在的直线旋转一周，可得几何体为：一个圆柱、两个圆锥. 故选：B.4．已知△ABC 的三个内角为A ，B ，C ，则“3A π<”是“3sin A <”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】结合三角函数的性质，利用充分性与必要性的定义，可得出答案. 【详解】A 是△ABC 的三个内角，()0,πA ∴∈当3sin A <时，由()0,πA ∈，可得π03A <<或2ππ3A <<，所以“3A π<”是“3sin A <”的充分不必要条件. 故选：A5．一海轮从A 处出发，以毎小时40海里的速度沿南偏东35︒的方向直线航行，30分钟后到达B 处，在C 处有一座灯塔，海轮在A 处观察灯塔，其方向是南偏东65︒，在B 处观察灯塔，其方向是北偏东70︒，那么B ，C 两点间的距离是（ ） A ．3 B ．203C ．102海里D ．2【答案】C正弦定理可得到BC 的值． 【详解】解：如图，由已知可得，30BAC ∠=︒，3570105ABC ∠=︒+︒=︒，140202AB =⨯=， 从而1801803010545ACB BAC ABC ∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒． 在ABC 中，由正弦定理sin sin BC ABBAC ACB=∠∠，可得1sin30102sin 4522AB BC =⨯︒=︒海里． 故选：C ．6．圆锥的高h 和底面半径r 之比:2:1h r =，且圆锥的体积18V π=，则圆锥的表面积为（ ） A ．185π B ．9(15)π+ C ．5π D ．9(15)π+【答案】D【分析】根据圆锥的体积求出底面圆的半径r 和高h ,求出母线长，即可计算圆锥的表面积．【详解】圆锥的高h 和底面半径r 之比:2:1h r =， ∴2h r =，又圆锥的体积18V π=， 即32121833r r h πππ==， 解得3r =；母线长为22226335l h r =+=+=，则圆锥的表面积为2233539(15)S rl r πππππ=+=⋅⋅+⋅=+． 故选D ．【点睛】本题考查圆锥的体积和表面积公式，考查计算能力，属于基础题.7．已知M 是ABC ∆内的一点，且23,30AB AC BAC ⋅=∠=，若,MBC MCA ∆∆和 MAB ∆的面积分别为1,,2x y ，则14x y+的最小值是A ．20B ．18C ．16D ．9【答案】B【详解】试题分析：利用向量的数量积的运算求得bc 的值，利用三角形的面积公式求得x+y 的值，进而把14x y +转化为利用基本不等式求得14x y+的最小值即可．因为C 23AB⋅A =，C 30∠BA =， 所以311123412222ABC bc bc S x y bcsin BAC x y ∆=∴=∴=++=∠=∴+=，，，，14144422525218y x y x x y x y x y x y x y ∴+=+⨯+=++≥+⨯=（）（）（）（）． 故选B ． 【解析】平面向量；均值不等式8．攒尖是古代中国建筑中屋顶的一种结构形式依其平面有圆形攒尖、三角攒尖、四角攒尖、八角攒尖如图属重檐四角攒尖，它的上层轮廓可近似看作一个正四棱锥，若此正四棱锥的侧面积是底面积的2倍，则此正四棱锥的底面边长与内切球半径比为（ ）A 2B ．22C 3D ．3【分析】画出上层轮廓近似正四棱锥示意图，设2AB BC CD DA a ====，由正四棱锥中内切球球心与各面的关系可得OF POO E PE='，结合已知面积比求PE ，进而求得PO '，即可求内切球半径r ，最后可求正四棱锥的底面边长与内切球半径比.【详解】上层轮廓近似正四棱锥如下图示，若O '为底面中心，O 为内切球球心，OF ⊥面PCD 且E 为CD 中点，令内切球半径为r ，2AB BC CD DA a ====，∵正四棱锥的侧面积是底面积的2倍， ∴42PCDABCD S S =，即1422PE CD AD CD ⨯⨯⨯=⨯，故2PE a =，则3PO a '=，又∵OF PO O E PE ='，即3r a ra -=， ∴3ar =:23CD r =故选：D【点睛】关键点点睛：依据正四棱锥中内切球的性质，得到相关线段的比例关系，设底面边长及内切球半径，进而确定它们之间的数量关系.二、多选题9．己知平面向量()1,0a =，()1,23b =，则下列说法正确的是（ ） A ．1a b +=B ．()2a b a +⋅=C ．向量a b +与a 的夹角为30°D ．向量a b +在a 上的投影向量为2a【答案】BD【分析】根据向量坐标的线性运算和模的坐标表示即可判断A ，根据向量数量积的坐标表示即可判断B ，根据()cos ,a b a a b a a b a+⋅+=+即可判断C ，根据投影向量的定义即可判断D.【详解】2,23a b +=，则4124a b +=+=，故A 错误；()(2,23)(1,0)212302a b a +⋅=⋅=⨯+⨯=，故B 正确；()1cos ,2a b a a b a a b a+⋅+==+，又0,180a b a ︒≤+≤︒，所以向量a b +与a 的夹角为60°，故C 错误； 向量a b +在a 上的投影向量为()221a b a a a a aa+⋅⋅=⨯=，故D 正确. 故选：BD.10．如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，P 是线段1BC 上的动点，则下列结论中正确的是（ ）A ．1AC BD ⊥B ．1A P 6C ．1//A P 平面1ACDD ．异面直线1A P 与1AD ，所成角的取值范围是,42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】ABC【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量计算可得；【详解】解：如图建立空间直角坐标系，则()1,0,0A ，()0,1,0C ，()10,0,1D ，()11,0,1A ，()1,1,0B ，()10,1,1C ，所以()1,1,0AC =-，()11,1,1BD =--，()10,1,1A B =-，()11,0,1BC =-，所以10AC BD =，所以1AC BD ⊥，故A 正确； 因为P 是线段1BC 上一动点，所以1B B C P λ=()01λ≤≤，所以()()()110,1,11,0,1,1,1A P B B A P λλλ=+=-+-=--，所以()21221311222A P λλλ⎛⎫=+-+=-+ ⎪⎝⎭，当且仅当12λ=时m 1in 62A P=，故B 正确； 设平面1ACD 的法向量为(),,n x y z =，则1·0·0n AC n AD ⎧=⎪⎨=⎪⎩，即00x y x z -+=⎧⎨-+=⎩，令1x =，则1y z ==，所以()1,1,1n =，因为1110n P A λλ=-++-=，即1n A P ⊥，因为1A P ⊄平面1ACD ，所以1//A P 平面1ACD ，故C 正确；设直线1A P 与1AD 所成的角为θ，因为11//AD BC ，当P 在线段1BC 的端点处时，3πθ=，P在线段1BC 的中点时，2πθ=，所以,32ππθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，故D 错误； 故选：ABC11．在△ABC 中，a ，b ，c 分别为∠A ，∠B ，∠C 的对边，下列叙述正确的是（ ） A ．若cos cos a bB A=，则△ABC 为等腰三角形 B ．若30A =︒，4b =，3a = ，则△ABC 有两解 C ．若tan tan tan 0A B C ++<，则△ABC 为钝角三角形 D ．若sin cos a b C c B =+，则4C π∠=【答案】BCD【分析】本题需要逐项分析，根据每个选项 所给的条件，具体分析得出结论. 【详解】对于A ：cos cos a b B A=，由正弦定理得sin sin cos cos A BB A =，即sin 2sin 2A B =， 由于A 、B 为三角形的内角，∴22A B =或22A B π+=， 即A B =或2A B π+=，△ABC 为等腰三角形或直角三角形，故A 错误；对于B ：∵30A =︒，4b =，3a =，由正弦定理得，341sin B =，即2sin 3B =，cos A =，cos B ==， ()()cos cos cos sin sin cos cos C A B A B A B A B π=-+=-+=-⎡⎤⎣⎦，若cos B =，B 是锐角，则12cos 023C =⨯=< ，C 是钝角，若cos B = ，B 是钝角，12cos 023C =⨯+=> ，C 是锐角，故B 有两角，故B 正确；对于C ：若tan tan tan 0A B C ++<，∵()tan tan tan tan 1tan tan A BC A B A B+=-+=--，tan tan tan A B C +=-()1tan tan A B -，tan tan tan tan tan tan 0A B C A B C ++=< ，∴tan A ，tan B ，tan C 中必有一个值为负，即A ，B ，C 中必有一个为钝角，∴△ABC 为钝角三角形，故C 正确； 对于D ：sin cos a b C c B =+，由正弦定理得：sin sin sin sin cos A B C C B =+， 即()sin sin sin sin cos B C B C C B +=+，即sin cos sin sin B C B C =， ∵sin 0C ≠，∴cos sin C C =，即tan 1C =，∵0C π<<，∴4C π，故D 正确；故选：BCD ． 12．已知函数()()4e sin xf x bx +=，若存在实数a ，使得()y f x a =+是奇函数，则sin b 的值可能为（ ）A B C ．D ． 【答案】AC【分析】根据()y f x a =+是奇函数，可得()()f x a f x a =-+-+，由此可求出4a =-，,4k b k π=-∈Z ，对k 进行取值，由此即可求出结果. 【详解】因为函数()()4esin x f x bx +=，所以()()4sin x ay ebx f a ab x ++==++，若存在实数a ，使得()y f x a =+是奇函数， 所以()()f x a f x a =-+-+ 又()()4sin x af x a e bx ab -++=-+-+，所以()()()444sin sin sin x ax ax aebx ab e bx ab ebx ab ++++-++-+=--=-+，所以40a +=且,ab k k π=∈Z ， 所以4a =-，,4k b k π=-∈Z ， 所以sin sin ,4k b k π⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭Z ， 当1k =时，sin sin 4b π⎛⎫=-= ⎪⎝⎭；当2k =时，2sin sin sin 142b ππ⎛⎫=-=-=- ⎪⎝⎭； 当3k =时，3sin sin 4b π⎛⎫=-= ⎪⎝⎭当4k =时，()sin sin 0b π=-=；当5k =时，55sin sin sin 44b ππ⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭当6k =时，63sin sin sin 142b ππ⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭； 所以sin b的值可能为1,1,022-. 故选：AC.三、填空题13．已知向量a ，b 是两个不共线的向量，且35=+OA a b ，47=+OB a b ，=+OC a mb ，若A ，B ，C 三点共线，则实数m =__________． 【答案】1【分析】由三点共线可令λμ=+OB OA OC 且1λμ+=，结合已知有47(35)()a b a b a mb λμ+=+++，即可求m 值.【详解】由A ，B ，C 三点共线，可令λμ=+OB OA OC 且1λμ+=， ∴47(35)()a b a b a mb λμ+=+++， 综上，34571m λμλμλμ+=⎧⎪+=⎨⎪+=⎩，可得32121m λμ⎧=⎪⎪⎪=-⎨⎪=⎪⎪⎩.14．已知,,a b c 分别为ABC 内角,,A B C 的对边，22c ab =且1sin sin 2A C =，则cos A =__________．【答案】78【解析】由1sin sin 2A C =结合正弦定理可得2c a =，再利用22c ab =得到三边的关系，最后利用余弦定理可求cos A . 【详解】由正弦得sin ,sin 22a c A C R R ==，故1222a c R R=⨯（R 为外接圆的半径），故2c a =，又22c ab =，故2b a =，由余弦定理可得2222277cos 288b c a a A bc a +-===.故答案为：78.【点睛】三角形中共有七个几何量（三边三角以及外接圆的半径），一般地，知道其中的三个量（除三个角外），可以求得其余的四个量. （1）如果知道三边或两边及其夹角，用余弦定理；（2）如果知道两边即一边所对的角，用正弦定理（也可以用余弦定理求第三条边）； （3）如果知道两角及一边，用正弦定理.15．如图，在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，点E ，F 分别是棱BC ，CC 1的中点，P 是底面ABCD （含边界）上一动点，满足1A P EF ⊥，则线段1A P 长度的取值范围是________．【答案】[2,3]【分析】先由垂直关系，找出点P 所在的直线，再判断线段1A P 长度的取值范围. 【详解】连接1BC ，1A D ，如图所求:可得1//EF BC ，11A D BC ⊥，1A D EF ∴⊥， 又DC EF ⊥，可得EF ⊥平面1A DC ，则1A C EF ⊥， ∴当P 在线段CD 上运动时，有1A P EF ⊥，当P 与D 重合时，1A P 有最小值为2，当P 与C 重合时，1A P 有最大值为3． ∴线段1A P 长度的取值范围是[2,3]．故答案为：[2,3]．16．窗花是贴在窗纸或户玻璃上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一.每年新春佳节，我国许多地区的人们都有贴窗花的习俗，以此达到装点环境、渲染气氛的目的，并寄托着辞旧迎新、接福纳祥的愿望.图一是一张由卷曲纹和回纹构成的正六边形剪纸窗花，已知图二中正六边形ABCDEF 的边长为4，圆O 的圆心为正六边形的中心，半径为2，若点P 在正六边形的边上运动，MN 为圆O 的直径，则PM PN ⋅的取值范围是______.【答案】[]8,12【分析】先利用平面向量的线性运算，将PM 、PN 用向量PO 和OM 表示，整理成2PO 的形式，结合r PO R ≤≤即可求解.【详解】正六边形ABCDEF的内切圆半径为sin 604r OA === 外接圆的半径为4R =，()()2PM PN PO OM PO ON PO PO ON PO OM OM ON ⋅=+⋅+=+⋅+⋅+⋅ ()222224PO PO ON OM OM PO OM PO =+⋅+-=-=-，因为r PO R ≤≤，即4PO ≤， 所以21216PO ≤≤，可得28412PO ≤-≤， 故答案为：[]8,12.四、解答题17．在复平面内，复数1z ，2z 对应的点分别为（1，-2），(),1a ，a ∈R ，且21z z 为纯虚数．（1）求a 的值；（2）若1z 的共轭复数1z 是关于x 的方程20x px q ++=的一个根，求实数p ，q 的值． 【答案】（1）2a =；（2）2,5p q =-=.【分析】（1）首先利用复数的几何意义，求得12,z z ，再设21i z b z =，利用复数相等求a 的值；（2）将112i z =+代入方程，求实数p ，q 的值. 【详解】（1）由条件可知112i z =-，2i z a =+， 21i i 12iz a b z +==-，则()i i 12i 2i a b b b +=-=+， 所以21a b b =⎧⎨=⎩，解得：2a =；（2）112i z =+，由条件可知()()212i 12i 0p q ++++=， 得()()342i=0p q p -++++，则30420p q p -++=⎧⎨+=⎩，解得：2,5p q =-=.18．已知半圆圆心为O 点，直径2AB =，C 为半圆弧上靠近点A 的三等分点，若P 为半径OC 上的动点，以O 点为坐标原点建立平面直角坐标系，如图所示．(1)求点A 、B 、C 的坐标；(2)若3144PA CA CB =-，求PA 与CB 夹角的大小；(3)试求点P 的坐标，使PA PO ⋅取得最小值，并求此最小值． 【答案】(1)()1,0A -，()10B ,，132C ⎛- ⎝⎭(2)2π3(3)138P ⎛- ⎝⎭，最小值116-【分析】（1）利用任意角三角函数的定义易求A 、B 、C 的坐标； （2）利用平面向量的夹角公式求解即可；（3）设()01OP tOC t =≤≤，用t 表示P 点坐标，代数量积的坐标计算公式即可求解【详解】(1)因为半圆的直径2AB =，由题易知：又()1,0A -，()10B ,. 又1OC =，2π3BOC ∠=，则2π1cos 32C x ==-，2π3sin 3C y ==132C ⎛- ⎝⎭. (2)由（1）知，13,2CA ⎛=- ⎝⎭，33,2CB ⎛=⎝⎭， 所以3133,444PA CA CB ⎛=-=- ⎝⎭. 设PA 与CB 夹角为α，则314cos 2332PA CB PA CBα-⋅===-⋅⨯，又因为[]0,απ∈，所以2π3α=，即PA 与CB 的夹角为2π3. (3)设()01OP tOC t =≤≤，由（1）知，131322OP t t ⎛⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，13,2PO t ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，131,2PA t ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，所以22211311112242416PA PO t t t t t t ⎛⎫⎛⎫⋅=-+=-=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，又因为01t ≤≤，所以当14t =时，PA PO ⋅有最小值为116-，此时点P 的坐标为18⎛- ⎝⎭.19．已知函数2(cos -4sin 1f x x x x +． （1）求函数()f x 的单调增区间；（2）在ABC 中，内角,,A B C 所对边分别为,,a b c ，2a =，若对任意的R x ∈不等式()()f x f A ≤恒成立，求ABC 面积的最大值．【答案】（1）,()36k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦；（2）2 【分析】（1）利用二倍角公式和辅助角公式将函数()f x 进行化简,根据正弦函数的单调性可得答案；（2）由题意知当x A =时，()f x 取得最大值，可得6A π=，11sin 24ABCSbc A bc ==. 由余弦定理和基本不等式可得最大值.【详解】（1）2(cos -4sin 1f x x x x +22cos 22sin 22cos 21x x x x x +-=+-4sin(2)16x π=+-由222262k x k πππππ-≤+≤+解得()36k x k k Z ππππ-≤≤+∈所以函数()f x 的单调增区间为(),36k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦.（2）由题意得当x A =时，()f x 取得最大值，则()2262A k k Z πππ+=+∈及(0,)A π∈解得6A π=，所以11sin 24ABCSbc A bc ==由余弦定理得222242cos 2b c bc A b c bc =+-=+≥即4(2bc ≤=，当b c =时取等号，所以，()max1·4(224ABC S ==20．在新型冠状病毒感染的肺炎治疗过程中，需要某医药公司生产的某种药品．此药品的年固定成本为200万元，每生产x 千件需另投入成本()C x ，当年产量不足60千件时，()21102C x x x =+（万元），当年产量不小于60千件时，()6400511000C x x x =+-（万元）．每千件商品售价为50万元，在疫情期间，该公司生产的药品能全部售完． (1)写出利润()L x （万元）关于年产量 x （千件）的函数解析式；(2)该公司决定将此药品所获利润的10%用来捐赠防疫物资，当年产量为多少千件时，在这一药品的生产中所获利润最大？此时可捐赠多少万元的物资款？【答案】(1)()2140200,0602,1000N 6400800,60x x x L x x x x x *⎧-+-≤<⎪⎪=∈⎨⎛⎫⎪-+≥ ⎪⎪⎝⎭⎩； (2)当年产量为80千件时所获利润最大为640万元，此时可捐64万元物资款.【分析】（1）分060x ≤<、60x ≥两种情况讨论，结合利润=销售收入-成本，可得出年利润()L x （万元）关于年产量x （千件）的函数解析式；（2）利用二次函数的基本性质、基本不等式可求得函数()L x 的最大值及其对应的x 值，由此可得出结论.【详解】(1)由题意可知()()50200L x x C x =-+⎡⎤⎣⎦，当060x ≤<时，()221110200402500220L x x x x x x ⎛⎫+-=-+- ⎪⎝⎭=-，当60x ≥时，()6400640050511000200800L x x x x x x ⎛⎫⎛⎫=-+--=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 故有()2140200,0602,1000N 6400800,60x x x L x x x x x *⎧-+-≤<⎪⎪=∈⎨⎛⎫⎪-+≥ ⎪⎪⎝⎭⎩； (2)当060x ≤<时，()()21406006002L x x =-⋅-+≤，即40x =时，max 600y =，当60x ≥时，有()6400800800640L x x x ⎛⎫≤ ⎪⎝⎭=-+-， 当且仅当80x =时，max 640y =,因为640600>，所以80x =时，max 640y =，答：当产量为80千件时所获利润最大为640万元，此时可捐64万元物资款.21．如图，在四棱锥P ABCD -中，AD ⊥平面PDC ，AD BC ，PD PB ⊥，1AD =，3BC =，4CD =，2PD =.（I）求异面直线AP与BC所成角的余弦值；（II）求证：PD⊥平面PBC；（Ⅲ）求直线AB与平面PBC所成角的正弦值.【答案】（Ⅰ）55.（Ⅱ）见解析;（Ⅲ）55.【分析】（Ⅰ）由已知AD//BC，故DAP∠或其补角即为异面直线AP与BC所成的角，然后在Rt△PDA中求解即可；（Ⅱ）因为AD⊥平面PDC，所以AD⊥PD，PD⊥BC，又PD⊥PB，所以PD⊥平面PB C；（Ⅲ）过点D作AB的平行线交BC于点F，连结PF，则DF与平面PBC所成的角等于AB与平面PBC所成的角，且DFP∠为直线DF和平面PBC所成的角，然后在Rt△DPF中求解即可.【详解】解：（Ⅰ）如图，由已知AD//BC，故DAP∠或其补角即为异面直线AP与BC 所成的角.因为AD⊥平面PDC，所以AD⊥PD.在Rt△PDA中，由已知，得225AP AD PD=+=，故5 cos5ADDAPAP∠==.所以，异面直线AP与BC所成角的余弦值为5 5.（Ⅱ）证明：因为AD⊥平面PDC，直线PD⊂平面PDC，所以AD⊥PD. 又因为BC//AD，所以PD⊥BC，又PD⊥PB，BC PB B⋂=所以PD ⊥平面PB C.（Ⅲ）过点D 作AB 的平行线交BC 于点F ，连结PF ， 则DF 与平面PBC 所成的角等于AB 与平面PBC 所成的角. 因为PD ⊥平面PBC ，故PF 为DF 在平面PBC 上的射影， 所以DFP ∠为直线DF 和平面PBC 所成的角. 由于AD //BC ，DF //AB ，故BF =AD =1， 由已知，得CF =BC –BF =2. 又AD ⊥DC ，故BC ⊥DC ，在Rt △DCF 中，可得DF在Rt △DPF 中，可得sin PD DFP DF ∠==所以，直线AB 与平面PBC 【解析】两条异面直线所成的角、直线与平面垂直、直线与平面所成的角【点睛】本小题主要考查两条异面直线所成的角、直线与平面垂直的证明、直线与平面所成的角，要求一定的空间想象能力、运算求解能力和推理论证能力.求两条异面直线所成的角，首先要借助平行线找出异面直线所成的角，证明线面垂直只需寻求线线垂直，求线面角首先利用转化思想寻求直线与平面所成的角，然后再计算即可. 22．已知函数()5f x x x=-，[]1,5x ∈，()221g x x a x a =--+． (1)求函数()f x 的值域；(2)若对任意的[]2,4x ∈，都有()g x a ≥恒成立，求实数a 的取值范围；(3)若对任意的[]01,5x ∈，都存在四个不同的实数1x ，2x ，3x ，4x ，使得()()0i g x f x =，其中1i =，2，3，4，求实数a 的取值范围． 【答案】(1)[]4,4-； (2)2a ≤； (3)4a >【分析】（1）利用基本函数的单调性即得；（2）由题可得()2121211x a x x x ≤=-++--恒成立，再利用基本不等式即求； （3）由题意可知对任意一个实数[]4,4t ∈-，方程()g x t =有四个根，利用二次函数的图像及性质可得[]()24,4,13a a a --+⊆+，即求.【详解】(1)∵函数()5f x x x=-，[]1,5x ∈， 所以函数()f x 在[]1,5上单调递增， ∴函数()f x 的值域为[]4,4-；(2)∵对任意的[]2,4x ∈，都有()g x a ≥恒成立，∴()221g x x a x a =--+a ≥，即2210x a x -⋅-≥，即有()2210x a x --≥，故有()2121211x a x x x ≤=-++--， ∵[]2,4x ∈，[]11,3x -∈， ∴()11241x x -++≥-，当且仅当111x x -=-，即2x =取等号， ∴24a ≤，即2a ≤，∴实数a 的取值范围为2a ≤； (3)∵函数()f x 的值域为[]4,4-，由题意可知对任意一个实数[]4,4t ∈-，方程()g x t =有四个根，又()2223,12,1x ax a x g x x ax a x ⎧-+≥=⎨+-<⎩，则必有1a >，令()11n g a ==+，()(){}{}222max ,max 3,3m g a g a a a a a a a =-=-+--=-+，故有[](),4,4m n -⊆，故有21434a a a +>⎧⎨-+<-⎩，可解得4a >，∴实数a 的取值范围为4a >.。
2021-2022学年浙江省杭州高级中学钱江校区高一上学期期末考试数学试卷带讲解
B.∀x∈R，f(x)＝0或g(x)＝0
C.∃x0∈R，f(x0)＝0且g(x0)＝0
D.∃x0∈R，f(x0)＝0或g(x0)＝0
D
【详解】试题分析：根据全称命题与存在性命题的互为否定的关系可得：命题 的否定是“ 或 ”故选D．
考点：命题的否定．
6.如果2弧度的圆心角所对的弦长为4，那么这个圆心角所对的弧长为（）
（2）利用函数的奇偶性和单调性解不等式即可.
【小问1详解】
因为 为偶函数，且 ，所以 ，解得 ，又 ，所以 , ；
设 ，则 ，因为 ，所以 ， ，所以 ，所以 在 上单调递增.
【小问2详解】
因为 为定义在 上的偶函数，且在 上单调递增， ，所以 ，平方得 ，又因为对任意 不等式恒成立，所以 ，解得 .
【详解】A. 时， ，有最大值，无最小值.故选项A错误；
B. ，当且仅当 时，等号成立，即 .而 ，故 无解，即该式无法取得等号.故选项B错误；
C.对于正数 ， ，有 ，当且仅当 时，取得等号，即 .故选项C正确；D. ， ， ，当且仅当 时，取得等号，则 .故选项D正确.
故选：CD
三、填空题：本大题共4小题，每空4分，共16分.
18.（1）化简 ；
（2）已知关于 的方程 的两根为 和 ， .求实数 以及 的值.
（1） ；（2） ，
【分析】（1）利用诱导公式化简即可；
（2）利用韦达定理得到 ， ，再将 两边平方即可求出 ，最后由 求出 .
详解】解：（1）
，
即 .
（2）因为关于 的方程 的两根为 和 ，
所以 ， ，
所以 ，所以 ，
综上可得， 的增区间为 ，减区间为 .
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201７年高考浙江卷数学试题和答案２017年高考浙江卷数学试题解析版选择题部分(共40分)一、选择题：本大题共10小题，每小题４分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知，,则A. B．C. Ｄ．【答案】Ａ【解析】试题分析：利用数轴,取所有元素，得.【考点】集合运算【名师点睛】对于集合的交、并、补运算问题，应先把集合化简再计算,常常借助数轴或韦恩图处理.2.椭圆的离心率是Ａ. Ｂ．Ｃ. D.【答案】B【解析】【考点】椭圆的简单几何性质【名师点睛】解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于的方程或不等式，再根据的关系消掉得到的关系式,建立关于的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.３.某几何体的三视图如图所示(单位:cm)，则该几何体的体积(单位：ｃm３）是A. B. C. D．【答案】A【解析】【考点】三视图【名师点睛】思考三视图还原空间几何体首先应深刻理解三视图之间的关系，遵循长对正,高平齐，宽相等的基本原则,其内涵为正视图的高是几何体的高，长是几何体的长;俯视图的长是几何体的长,宽是几何体的宽;侧视图的高是几何体的高,宽是几何体的宽．由三视图画出直观图的步骤和思考方法：1、首先看俯视图，根据俯视图画出几何体地面的直观图；2、观察正视图和侧视图找到几何体前、后、左、右的高度；3、画出整体，然后再根据三视图进行调整．4.若，满足约束条件,则的取值范围是Ａ.[0,6]Ｂ．［0，4］Ｃ．［６, D．［4，【答案】Ｄ【解析】试题分析：如图,可行域为一开放区域，所以直线过点时取最小值4，无最大值,选Ｄ.【考点】简单线性规划【名师点睛】本题主要考查线性规划问题,首先由不等式组作出相应的可行域，作图时,可将不等式转化为(或), 取下方，取上方,并明确可行域对应的是封闭区域还是开放区域、分界线是实线还是虚线,其次确定目标函数的几何意义,是求直线的截距、两点间距离的平方、直线的斜率、还是点到直线的距离等等,最后结合图形确定目标函数最值取法、值域范围.5.若函数f(x)=ｘ2+ax+b在区间[0,1]上的最大值是M，最小值是m，则M mＡ.与a有关,且与b有关B．与a有关，但与b无关Ｃ.与a无关，且与b无关Ｄ.与ａ无关,但与b有关【答案】B【解析】【考点】二次函数的最值【名师点睛】对于二次函数的最值或值域问题,通常先判断函数图象对称轴与所给自变量闭区间的关系，结合图象,当函数图象开口向上，且对称轴在区间的左边，则函数在所给区间内单调递增;若对称轴在区间的右边，则函数在所给区间内单调递减；若对称轴在区间内，则函数图象顶点的纵坐标为最小值,区间端点距离对称轴较远的一端取得函数的最大值.６.已知等差数列｛an}的公差为d，前n项和为Sn,则d 0 是S4+ S６2S5 的A.充分不必要条件Ｂ.必要不充分条件C.充分必要条件Ｄ.既不充分也不必要条件【答案】C【解析】【考点】等差数列、充分必要性【名师点睛】本题考查等差数列的前项和公式,通过公式的套入与简单运算,可知，结合充分必要性的判断,若,则是的充分条件,若,则是的必要条件，该题，故为充要条件．7.函数ｙ=f(ｘ)的导函数的图像如图所示,则函数ｙ=ｆ（x)的图像可能是【答案】Ｄ【解析】试题分析：原函数先减再增，再减再增,且由增变减时，极值点大于0,因此选Ｄ．【考点】导函数的图象【名师点睛】本题主要考查导数图象与原函数图象的关系:若导函数图象与轴的交点为，且图象在两侧附近连续分布于轴上下方，则为原函数单调性的拐点，运用导数知识来讨论函数单调性时，由导函数的正负，得出原函数的单调区间.8.已知随机变量满足P(=1)=ｐi，P(=0)=1pi,i=1，2. 若0C., D．，【答案】A【解析】试题分析：,选A．【考点】两点分布【名师点睛】求离散型随机变量的分布列,首先要根据具体情况确定的取值情况，然后利用排列,组合与概率知识求出取各个值时的概率.对于服从某些特殊分布的随机变量，其分布列可以直接应用公式给出,其中超几何分布描述的是不放回抽样问题，随机变量为抽到的某类个体的个数.由已知本题随机变量服从两点分布,由两点分布均值与方差公式可得A正确.9.如图，已知正四面体 D ABC（所有棱长均相等的三棱锥),P,Q，Ｒ分别为AB,BC，CA上的点，AP＝PB,，分别记二面角D ＰR Q,D ＰQ R,D QＲP的平面角为,，，则A. B. C. Ｄ.【答案】Ｂ【解析】【考点】空间角(二面角)【名师点睛】立体几何是高中数学中的重要内容，也是高考重点考查的考点与热点.这类问题的设置一般有线面位置关系的证明与角度距离的计算等两类问题.解答第一类问题时一般要借助线面平行与垂直的判定定理进行;解答第二类问题时先建立空间直角坐标系，运用空间向量的坐标形式及数量积公式进行求解.10．如图,已知平面四边形ABCＤ,AB BC,ＡＢ＝BC=ＡD=2,CD=3,AC与BＤ交于点Ｏ，记，，,则A. Ｂ.Ｃ. D.【答案】C【解析】【考点】平面向量数量积运算【名师点睛】平面向量的计算问题,往往有两种形式，一是利用数量积的定义式，二是利用数量积的坐标运算公式，涉及几何Ziyuａnku．ｃoｍ图形的问题,先建立适当的平面直角坐标系,可起到化繁为简的妙用．利用向量夹角公式、模公式及向量垂直的充要条件，可将有关角度问题、线段长问题及垂直问题转化为向量的数量积来解决．列出方程组求解未知数．本题通过所给条件结合数量积运算,易得，由AB=BC=AD＝2，ＣD=3,可求,,进而解得.非选择题部分(共110分）二、填空题:本大题共7小题,多空题每题6分,单空题每题４分，共3６分.1１.我国古代数学家刘徽创立的割圆术可以估算圆周率，理论上能把的值计算到任意精度.祖冲之继承并发展了割圆术，将的值精确到小数点后七位,其结果领先世界一千多年,割圆术的第一步是计算单位圆内接正六边形的面积，.【答案】【解析】试题分析:将正六边形分割为６个等边三角形,则【考点】数学文化【名师点睛】本题粗略看起来文字量大,其本质为将正六边形分割为6个等边三角形，确定6个等边三角形的面积,其中对文字信息的读取及提取有用信息方面至关重要,考生面对这方面题目时应多加耐心,仔细分析题目中所描述问题的本质,结合所学进行有目的的求解．1２．已知ａ，ｂR,(i是虚数单位)则，ab= ．【答案】5，２【解析】试题分析：由题意可得,则，解得，则【考点】复数的基本运算和复数的概念【名师点睛】本题重点考查复数的基本运算和复数的概念,属于基本题.首先对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路,如．其次要熟悉复数相关基本概念,如复数的实部为、虚部为、模为、对应点为、共轭为Zｉｙuanｋu.cｏm13.已知多项式32=,则=＿_______，=_______＿.【答案】16,4【解析】【考点】二项式定理【名师点睛】本题主要考查二项式定理的通项与系数,属于简单题二项展开式定理的问题也是高考命题热点之一，关于二项式定理的命题方向比较明确,主要从以下几个方面命题：(１)考查二项展开式的通项公式;(可以考查某一项，也可考查某一项的系数)(2)考查各项系数和和各项的二项式系数和;(3)二项式定理的应用14.已知△AＢC，AB=AＣ＝4,BC=2. 点D为ＡB延长线上一点,BD=2,连结CＤ,则△BＤＣ的面积是_＿＿___，cｏs ＢDC=_______.【答案】【解析】【考点】解三角形【名师点睛】利用正、余弦定理解决实际问题的一般思路:(1)实际问题经抽象概括后，已知量与未知量全部集中在一个三角形中，可以利用正弦定理或余弦定理求解;(２)实际问题经抽象概括后，已知量与未知量涉及两个或两个以上三角形，这时需作出这些三角形，先解够条件的三角形，再逐步解其他三角形，有时需要设出未知量,从几个三角形中列出方程(组),解方程(组)得出所要的解１5.已知向量ａ,b满足则的最小值是________,最大值是＿_＿__＿＿.【答案】4，【解析】试题分析:设向量的夹角为,由余弦定理有:,,则:,令，则，据此可得：,即的最小值是4，最大值是.【考点】平面向量模长运算【名师点睛】本题通过设入向量的夹角,结合模长公式,解得,再利用三角有界性求出最大、最小值，属中档题，对学生的转化能力和最值处理能力有一定的要求．1６.从6男2女共8名学生中选出队长1人,副队长1人,普通队员２人组成4人服务队，要求服务队中至少有１名女生，共有__＿___中不同的选法.(用数字作答)【答案】６６0【解析】【考点】排列组合的应用【名师点睛】本题主要考查分类计数原理与分步计数原理及排列组合的应用,有关排列组合的综合问题,往往是两个原理及排列组合问题交叉应用才能解决问题，解答这类问题理解题意很关键,一定多读题才能挖掘出隐含条件解题过程中要首先分清是分类还是分步、是排列还是组合，在应用分类计数加法原理讨论时,既不能重复交叉讨论又不能遗漏，这样才能提高准确率在某些特定问题上，也可充分考虑正难则反的思维方式.1７．已知R，函数在区间[1，4］上的最大值是5,则的取值范围是__＿__＿＿____.【答案】【解析】试题分析:，分类讨论：①.当时,,函数的最大值，舍去；②.当时，，此时命题成立;③.当时,,则:或:,解得:或综上可得，实数的取值范围是.【考点】基本不等式、函数最值【名师点睛】本题利用基本不等式,由，通过对解析式中绝对值号的处理，进行有效的分类讨论:①当；②;③,问题的难点最要在于对分界点的确认及讨论上，属难题．解题时,应仔细对各个情况进行逐一讨论．三、解答题:本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.18.(本题满分14分)已知函数ｆ(x)＝ｓin２x coｓ2ｘsｉn x coｓｘ(xＲ)．(Ⅰ）求的值.(Ⅱ)求的最小正周期及单调递增区间．【答案】（Ⅰ）2；(Ⅱ)最小正周期为，单调递增区间为．【解析】（Ⅱ)由与得所以的最小正周期是由正弦函数的性质得解得所以的单调递增区间是.【考点】三角函数求值、三角函数的性质【名师点睛】本题主要考查了三角函数的化简,以及函数的性质，属于基础题,强调基础的重要性，是高考中的常考知识点;对于三角函数解答题中,当涉及到周期,单调性，单调区间以及最值等都属于三角函数的性质，首先都应把它化为三角函数的基本形式即，然后利用三角函数的性质求解.19.(本题满分15分)如图,已知四棱锥P AＢCＤ，△PＡD是以AＤ为斜边的等腰直角三角形,,CＤＡD,PＣ=ＡD＝2DＣ＝2CB，E为PＤ的中点.(Ⅰ)证明：平面PAB;(Ⅱ)求直线ＣE与平面PBＣ所成角的正弦值.【答案】（Ⅰ)见解析；(Ⅱ)．【解析】(Ⅰ)如图,设PA中Ziｙuａnku．com点为F，连结EF，FB．因为E,F分别为PＤ,PＡ中点，所以且,又因为，,所以且,即四边形BＣＥF为平行四边形,所以，因此平面PＡB.设CD=1.在△PＣD中，由ＰC=2,CD=1，ＰD=得CE=，在△PBN中,由ＰN=BＮ=１,PＢ＝得QH=，在Rt△MQH中，QH=，ＭＱ=,所以sｉnＱMH＝，所以直线CE与平面PBＣ所成角的正弦值是.【考点】证明线面平行,求线面角【名师点睛】本题主要考查线面平行的判定定理、线面垂直的判定定理及面面垂直的判定定理,属于中档题.证明线面平行的常用方法:①利用线面平行的判定定理,使用这个定理的关键是设法在平面内找到一条与已知直线平行的直线，可利用几何体的特征，合理利用中位线定理、线面平行的性质或者构造平行四边形、寻找比例式证明两直线平行.②利用面面平行的性质，即两平面平行,在其中一平面内的直线平行于另一平面．本题（1)是就是利用方法①证明的．另外，本题也可利用空间向量求解线面角.20.(本题满分１5分）已知函数f(x)=（x )（)．(Ⅰ)求ｆ（ｘ)的导函数;(Ⅱ)求f（x）在区间上的取值范围.【答案】(Ⅰ）；(Ⅱ)[0，］.【解析】解得或．因为ｘ() 1() ()- ０+ 0 - f（x) 0又，所以f(x)在区间[）上的取值范围是．【考点】导数的应用【名师点睛】本题主要考查导数的两大方面的应用：(一)函数单调性的讨论:运用导数知识来讨论函数单调性时,首先考虑函数的定义域，再求出，有的正负，得出函数的单调区间；(二)函数的最值（极值)的求法：由确认的单调区间,结合极值点的定义及自变量的取值范围，得出函数极值或最值．２1.(本题满分15分)如图,已知抛物线,点A,,抛物线上的点.过点B作直线ＡP的垂线，垂足为Q.(Ⅰ)求直线AP斜率的取值范围;(Ⅱ)求的最大值.【答案】（Ⅰ);(Ⅱ)【解析】解得点Q的横坐标是,因为｜PA|==|PQ|= ,所以|PA｜|PQ|=令,因为,所以f（k）在区间上单调递增，上单调递减,因此当ｋ=时,取得最大值.【考点】直线与圆锥曲线的位置关系【名师点睛】本题主要考查直线方程、直线与抛物线的位置关系等基础知识，同时考查解析几何的基本思想方法和运算求解能力，通过表达与的长度,通过函数求解的最大值．2２．(本题满分15分）已知数列{xn}满足：ｘ１=1,xn=xn+1+ｌn(1＋xｎ＋１)().证明：当时,(Ⅰ)0(Ⅱ)2xｎ+1 ｘｎ（Ⅲ) xn .【答案】(Ⅰ)见解析；(Ⅱ)见解析;(Ⅲ)见解析.【解析】因此,所以，因此(Ⅱ)由得记函数函数f(x)在［０,＋)上单调递增,所以=0，因此，【考点】不等式证明【名师点睛】本题主要考查数列的概念、递推关系与单调性等基础知识,不等式及其应用,同时考查推理论证能力、分析问题和解决问题的能力，属于难题.本题主要应用:(１)数学归纳法证明不等式;(2)构造函数，利用函数的单调性证明不等式;(３)由递推关系证明.点击下页查看更多２017年高考全国Ⅲ卷文数试题2017高考浙江理综物理试卷２01７高考物理试题全国卷一纵览近40年的高考物理试题发现，..．201７江苏物理高考题及答案近几年的物理高考力学题的命题思...2017年黑龙江高考物理试题考生研究高中物理高考解题策略，...2017河北高考物理试题总分为100分的物理试题,其中的7０．..。