2018年湛江一模理科数学试题 精品
高考最新-湛江市2018年高考一模考试数学(附答案) 精品
湛江市2018年普通高考测试题（一）1、若非空集合P 与Q 的关系P Q ，则下列结论中正确的是(A)P ∩Q=P(B)P ∩Q=φ(C)Q ⊂P(D)P ∩Q=Q2、若向量a 、b 的坐标满足a )1,2(--=+b ，a )3,4(-=-b ，则a ·b 等于（A ）7 （B ）5 （C ）5- （D ）1- . 3、方程2||2x x y += 满足的性质为（A ）对应的曲线关于原点对称 （B ）对应的曲线关于y 轴对称 （C ）x 可取任意实数 （D ）y 可取任意实数 4、如果复数2()1bi b R i-∈+的实部和虚部互为相反数，则b =（A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）35、已知抛物线)1(2+=x a y 的准线方程是3-=x ，那么抛物线的焦点坐标是 （A ）（0，0） （B ）（1，0） （C ）（2，0） （D ）（3，0）6、已知θ为第二象限角，且sincos22θθ<，那么sincos22θθ+ 的取值范围是(A)（-1，0） (B) (C)（-1，1） (D)7、已知正三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，A 1B ⊥CB 1，则A 1B 与AC 1 所成的角为（A ）450 （B ）600 （C ）900 （D ）12008、实数x 、y 满足不等式组010,1220y y x y W x x y ≥⎧-⎪-≥=⎨+⎪--≥⎩,则有(A)-1≤W 31 (B) 3121≤≤-W(C)W ≥21- (D)121<≤W9、已知函数f (x )=2x 2-mx +3，当()2,x ∈-+∞时是增函数，当(),2x ∈-∞-时是减函数，则f (1)等于(A)-3 (B)13 (C)7 (D) 含有m 的变量10.设（2x +3）4=23401234a a x a x a x a x ++++则()()2202413a a a a a ++-+的值为(A)2 (B)－2 (C)1 (D)－1 二、填空题：(每小题4分，共16分)11．已知双曲线4222=-ky kx 的一条准线是y =1，则实数k 的值是______12、已知A 箱内有红球1个和5个白球，B 箱内有3个白球，现随意从A 箱中取出3个球放入B 箱，充分搅匀后再从中随意取出3个球放入A 箱，共有 种不同的取法，又红球由A 箱移入到B 箱，再返回到A 箱的概率等于 .)2,1()1,2(--ABCA 1B 1C 113、如果函数3()f x x bx=-+在区间（0，1）上单调递增，并且方程()0f x =的根都在区间[-2，2]内，则b 的取值范围为 .14.某住宅小区有居民2万户，从中随机抽取200户，调查是否安装宽带，调查结果如下表所示：宽带 动迁户 原住户 已安装 60 35 未安装4560则该小区已安装宽带的户数估计有 户. 三、解答题：15、（本题满分13分）11,tan ,tan ,23ABC A B ∆==在中已知且最长边为5. （Ⅰ）求证：3.4C π∠=（Ⅱ）求△ABC 最短边的长．16、如图，（本题满分13分）已知长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，AB=BC=4，AA 1=8，E 、F 分别为AD 和CC 1的中点，O 1为下底面正方形的中心。
2018湛江一模理科数学试题[1]
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q：若
平面 琢 内有两条直线平行于平面 茁，则 琢∥茁.下列判断中正确的是
A．“劭p∧q”为真命题
B．“p∧q”为真命题
C．“p∨劭q”为假命题
D．“p∨q”为真命题
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理科数学试题 第 1 页（共 ４ 页）
8． 执行如图所示的程序框图，若输出 k 的值为 2018，则判断框内可 开始
20．（12 分）
A
D
A1
设椭圆
C：
x2 a2
+
y2 b2
=1（a＞b＞0）的离心率 e= 1 2
，左顶点 M（-a，0） 到直线 x a
+y b
=1
的距离
d=
8
姨21 7
.
（1）求 C 的方程；
（2）设直线 l：y=kx+m 与 C 相交于 A，B 两点，与 x 轴，y 轴分别交于 P，Q 两点，O 为坐标
4. 考试结束后，将本试题和每小题 5 分，共 60 分。 在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的。
1． 已知全集为实数集 R ，集合 A= x log2 x＜0 ，B= x x2-4x-5＜0 ，则
A． A∩B=A %%B． A∩B=B
C． A∪B=A
原点，若直线
OA，OB
的斜率之积为-
3 4
，求△OPQ 面积的取值范围.
21.（12 分）
已知函数 （ f x）=xe1-（ x x∈R）.
（1）求函数 （ f x）的单调区间和极值；
∈ ∈ （2）若对任意的 x∈（0,1），都有 （ f x）＞f
m x
恒成立，求实数 m 的取值范围.
广东省湛江市第一中学2018-2019学年高二上学期第一次大考试题+数学(理)答案
第1页,共4页湛江一中2018-2019学年度第一学期“第一次大考” 高二级理科数学普通卷（A ）答案一. 选择题（本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.）二．填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.)13．95 14． 35 15．186716． 三．解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤（共70分）17.解：（Ⅰ）311cos 22cos cos 2-=-==B B D ……………………………………………….…………2分 因为()0,D π∠∈，所以sin 3D =，……………………………………………………………………………3分 所以△ACD 的面积1sin 2S AD CD D =⋅⋅⋅=…………………………………………………..………5分 （Ⅱ）在△ACD 中，12cos 2222=⋅⋅-+=D DC AD DC AD AC ，所以AC =…………………………………………………………………………………….....………………7分 在△ABC 中，12cos 2222=⋅⋅-+=B BC AB BC AB AC …………………………………….………9分 把已知条件代入并化简得：042=-AB AB 因为0AB ≠，所以4AB = …………………10分18. 解 (1)当n ＝1时，a 1＝S 1，由S 1＋12a 1＝1，得a 1＝23，…………………………………1分 当n ≥2时，S n ＝1－12a n ，S n －1＝1－12a n －1，…………………………………………………………………2分则S n －S n －1＝12(a n －1－a n )，即a n ＝12(a n －1－a n )，所以a n ＝13a n －1(n ≥2). ……………4分故数列{a n }是以23为首项，13为公比的等比数列.故a n ＝23·⎝ ⎛⎭⎪⎫13n －1＝2·⎝ ⎛⎭⎪⎫13n (n ∈N *).………………………………………………………………………………………5分. (2)因为1－S n ＝12a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13n .………………………………………………………………………………………………………6分。
2018广东省一模理科数学(含答案)
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2018年广东省高考数学一模试卷(理科)
2018年广东省高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合A={x|−1<1−x<1}，B={x|x2<1}，则A∩B=()A.{x|−1<x<1}B.{x|0<x<1}C.{x|x<1}D.{x|0<x<2}2. 设复数z=a+4i(a∈R)，且(2−i)z为纯虚数，则a= ( )A.−1B.1C.2D.−23. 如图为射击使用的靶子，靶中最小的圆的半径为1，靶中各图的半径依次加1，在靶中随机取一点，则此点取自黑色部分（7环到9环）的概率是（）A.3 20B.3π25C.325D.π204. 已知函数f(x)满足f(x2)=x3−3x，则函数f(x)的图象在x=1处的切线斜率为（）A.0 B.9 C.18 D.275. 已知F是双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0, b>0)的一个焦点，点F到C的一条渐近线的距离为2a，则双曲线C的离心率为( )A.2√2B.√3C.√5D.26. (x+1x)(1+2x)5的展开式中，x3的系数为（）A.120B.160C.100D.807. 如图，网格纸上的小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为（）A.48+8πB.96+8πC.96+16πD.48+16π8. 已知曲线C:y=sin(2x−π3)，则下列结论正确的是（）A.把C向左平移5π12个单位长度，得到的曲线关于原点对称B.把C向右平移π12个单位长度，得到的曲线关于y轴对称C.把C向左平移π3个单位长度，得到的曲线关于原点对称D.把C向右平移π6个单位长度，得到的曲线关于y轴对称9. 大衍数列，来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论．主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理．数列中的每一项，都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量总和，是中华传统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数列题．其规律是：偶数项是序号平方再除以2，奇数项是序号平方减1再除以2，其前10项依次是0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，…，如图所示的程序框图是为了得到大衍数列的前100项而设计的，那么在两个“”中，可以先后填入（）A.n是偶数，n≥100B.n是奇数，n≥100C.n是偶数，n>100D.n是奇数，n>10010. 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若A=π3，且2bsinB+2csinC=bc+√3a．则△ABC的面积的最大值为（）A.3√32B.√32C.3√34D.√3411. 已知抛物线C:y2＝x，M为x轴负半轴上的动点，MA，MB为抛物线的切线，A，B 分别为切点，则MA→⋅MB→的最小值为（）A.−14B.−18C.−116D.−1212. 设函数f(x)={|2x+1−2|,x ≤2x 2−11x +30,x >2，若互不相等的实数a ，b ，c ，d 满足f(a)=f(b)=f(c)=f(d)，则2a +2b +2c +2d 的取值范围是（ ）A.(64√2+2,146)B.(98, 146)C.(64√2+2,266)D.(98, 266) 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）已知单位向量e 1→，e 2→的夹角为30∘，则|e 1→−√3e 2→|=________．设x ，y 满足约束条件{x −y ≤64x +5y ≤65x +4y ≥3，则z =x +y 的最大值为________．已知sin10∘+mcos10∘＝2cos140∘，则m ＝________．如图，圆形纸片的圆心为O ，半径为6cm ，该纸片上的正方形ABCD 的中心为O ，E ，F ，G ，H 为圆O 上的点，△ABE ，△BCF ，△CDG ，△ADH 分别是以AB ，BC ，CD ，DA 为底边的等腰三角形．沿虚线剪开后，分别以AB ，BC ，CD ，DA 为折痕折起△ABE ，△BCF ，△CDG ，△ADH ，使得E ，F ，G ，H 重合，得到一个四棱锥．当该四棱锥的侧面积是底面积的2倍时，该四棱锥的外接球的体积为________．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17-21题为必考题，每道试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.已知公差不为零的等差数列{a n }满足a 1=5，且a 3，a 6，a 11成等比数列． （1）求数列{a n }的通项公式；（2）设b n =a n ∗3n−1，求数列{b n }的前n 项和S n ．“微信运动”是一个类似计步数据库的公众账号．用户只需以运动手环或手机协处理器的运动数据为介，然后关注该公众号，就能看见自己与好友每日行走的步数，并在同一排行榜上得以体现．现随机选取朋友圈中的50人，记录了他们某一天的走路步数，并将数据整理如下：规定：人一天行走的步数超过8000步时被系统评定为“积极性”，否则为“懈怠性”．（1）以这50人这一天行走的步数的频率代替1人一天行走的步数发生的概率，记X 表示随机抽取3人中被系统评为“积极性”的人数，求P(X ≤2)和X 的数学期望．（2）为调查评定系统的合理性，拟从这50人中先抽取10人（男性6人，女性4人）．其中男性中被系统评定为“积极性”的有4人，“懈怠性”的有2人，从中任意选取3人，记选到“积极性”的人数为x ；其中女性中被系统评定为“积极性”和“懈怠性”的各有2人，从中任意选取2人，记选到“积极性”的人数为y ；求x >y 的概率．如图，在直角梯形ABCD 中，AD // BC ，AB ⊥BC ，且BC =2AD =4，E ，F 分别为线段AB ，DC 的中点，沿EF 把AEFD 折起，使AE ⊥CF ，得到如下的立体图形． （1）证明：平面AEFD ⊥平面EBCF ；（2）若BD ⊥EC ，求二面角F −BD −C 的余弦值．已知椭圆C:x 2a2+y 2b 2=1(a >b >0)的离心率为√32，且C 过点(1,√32)．（1）求椭圆C 的方程；（2）若直线l 与椭圆C 交于P ，Q 两点（点P ，Q 均在第一象限），l 与x 轴，y 轴分别交于M ，N 两点，且满足S △PMO 2+S △QMO 2S△PMO ⋅S △QMO=S △PNO 2+S △QNO2S △PNO ⋅S △QNO（其中O 为坐标原点）．证明：直线l 的斜率为定值．已知函数f(x)=(x −2)e x +a(ln x −x +1)． (1)讨论f(x)的导函数f ′(x)零点的个数；(2)若函数f(x)的最小值为−e ，求a 的取值范围．（二）选考题：共10分.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]在直角坐标系xOy 中，圆C 1：(x −2)2+(y −4)2=20，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，C 2:θ=π3(ρ∈R)． (1)求C 1的极坐标方程和C 2的平面直角坐标系方程；(2)若直线C 3的极坐标方程为θ=π6(ρ∈R)，设C 2与C 1的交点为O ，M ，C 3与C 1的交点为O ，N ，求△OMN 的面积． [选修4-5：不等式选讲]已知函数f(x)=3|x −a|+|3x +1|，g(x)=|4x −1|−|x +2|．（1）求不等式g(x)<6的解集；（2）若存在x1，x2∈R，使得f(x1)和g(x2)互为相反数，求a的取值范围．参考答案与试题解析2018年广东省高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.【答案】B【考点】交集及其运算【解析】解不等式得出集合A、B，根据交集的定义写出A∩B．【解答】集合A={x|−1<1−x<1}={x|0<x<2}，B={x|x2<1}={x|−1<x<1}，则A∩B={x|0<x<1}．2.【答案】D【考点】复数的基本概念【解析】把z=a+4i(a∈R)代入(2−i)z，利用复数代数形式的乘法运算化简，由实部为0且虚部不为0求得a值．【解答】解：∵z=a+4i(a∈R)，且(2−i)z=(2−i)(a+4i)=(2a+4)+(8−a)i为纯虚数，∴{2a+4=0,8−a≠0,解得a=−2．故选D.3.【答案】A【考点】几何概型计算（与长度、角度、面积、体积有关的几何概型）【解析】根据几何概型的定义分别求出满足条件的面积，作商即可．【解答】解：根据题意可得，黑色部分的面积为S1=π(42−1)=15π，圆靶的面积为S=102π=100π，由题意此点取自黑色部分的概率是：P=15π100π=320.故选A.4.【答案】C【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程【解析】根据题意，分析可得函数的解析式，求出其导数f′(x)=24x2−6，计算可得f′(1)的值，结合导数的几何意义分析可得答案．【解答】根据题意，函数f(x)满足f(x2)=x3−3x，则f(x)=8x3−6x，其导数f′(x)=24x2−6，则有f′(1)=24−6=18，即函数f(x)的图象在x=1处的切线斜率为18；故选：C．5.【答案】C【考点】双曲线的离心率双曲线的特性【解析】根据题意，由双曲线的几何性质，分析可得b=2a，进而可得c=√a2+b2=√5a，由双曲线的离心率公式计算可得答案．【解答】解：根据题意，F是双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0, b>0)的一个焦点，若点F到C的一条渐近线的距离为2a，则b=2a，则c=√a2+b2=√5a，则双曲线C的离心率e=ca=√5.故选C.6.【答案】A【考点】二项式定理的应用【解析】利用多项式乘以多项式展开，然后分别求出两项中含有x3的项得答案．【解答】(x+1x )(1+2x)5=x(1+2x)5+1x(1+2x)5，∵x(1+2x)5的展开式中含x3的项为x∗C52∗(2x)2=40x3，1 x (1+2x)5的展开式中含x3的项为1x∗C54∗(2x)4=80x3．∴(x+1x)(1+2x)5的展开式中，x3的系数为40+80=120．7.【答案】 B【考点】由三视图求体积 【解析】由三视图可得，该几何体是长方体截去两个半圆柱，即可求解表面积． 【解答】由题意，该几何体是长方体截去两个半圆柱，∴ 表面积为：4×6×2+2(4×6−4π)+2×2π×4=96+8π， 8.【答案】 B【考点】函数y=Asin （ωx+φ）的图象变换 【解析】直接利用三角函数的图象平移逐一核对四个选项得答案． 【解答】把C 向左平移5π12个单位长度，可得函数解析式为y =sin[2(x +5π12)−π3]=sin(2x +π2)=cos2x ， 得到的曲线关于y 轴对称，故A 错误； 把C 向右平移π12个单位长度，可得函数解析式为y =sin[2(x −π12)−π3]=sin(2x −π2)=−cos2x ， 得到的曲线关于y 轴对称，故B 正确； 把C 向左平移π3个单位长度，可得函数解析式为y =sin[2(x +π3)−π3]=sin(2x +π3)，取x =0，得y =√32，得到的曲线既不关于原点对称也不关于y 轴对称，故C 错误；把C 向右平移π6个单位长度，可得函数解析式为y =sin[2(x −π6)−π3]=sin(2x −23π)， 取x =0，得y =−√32，得到的曲线既不关于原点对称也不关于y 轴对称，故D 错误．∴ 正确的结论是B ． 9.【答案】 D【考点】 程序框图 【解析】模拟程序的运行过程，结合退出循环的条件，判断即可． 【解答】n=1，s=0，n=2，s=2，n=3，s=4，…，n=99，s=992−12，n=100，s=10022，n=101>100，结束循环，10.【答案】C【考点】三角形求面积【解析】由正弦定理和余弦定理即可求出a=√3，再由余弦定理可得：b2+c2=3+bc，利用基本不等式可求bc≤3，根据三角形面积公式即可得解．【解答】根据正弦定理可得bsinB =csinC=asinA=√32，∴sinB=√3b2a ，sinC=√3c2a，∵2bsinB+2csinC=bc+√3a，∴√3b2a +√3c2a=bc+√3a，∴b2+c2=√33abc+a2，∴b2+c2−a2=√33abc，∴b2+c2−a22bc =√3a6=cosA=12∴a=√3，∴3=b2+c2−bc，可得：b2+c2=3+bc，∵b2+c2≥2bc（当且仅当b=c时，等号成立），∴2bc≤3+bc，解得bc≤3，∴S△ABC =12bcsinA=√34bc≤3√3411.【答案】C【考点】抛物线的性质【解析】设切线MA的方程为x＝ty+m，代入抛物线方程得y2−ty−m＝0，由直线与抛物线相切可得△＝t2+4m＝0，分别求出A，B，M的坐标，根据向量的数量积和二次函数的性质即可求出【解答】设切线MA 的方程为x ＝ty +m ，代入抛物线方程得y 2−ty −m ＝0， 由直线与抛物线相切可得△＝t 2+4m ＝0， 则A(t 24, t2)，B(t 24, −t2)，将点A 的坐标代入x ＝ty +m ，得m =−t 24，∴ M(−t 24, 0)，∴ MA →⋅MB →=(t 22, t 2)⋅(t 22, −t 2)=t 44−t 24=14(t 2−12)2−116，则当t 2=12，即t ＝±√22时，MA →⋅MB →的最小值为−11612.【答案】 B【考点】分段函数的应用 【解析】 此题暂无解析 【解答】解：作出函数f(x)的图象，由图象可得存在互不相等的实数a ，b ，c ，d 使得f(a)=f(b)=f(c)=f(d)，且可设a <b <2<c <d ．当x ≤2时，f(x)=|2x+1−2|，可得2−2a+1=2b+1−2，即2a +2b =2．当x >2时，f(x)=x 2−11x +30，可得c +d =11，令x 2−11x +30=2，解得x =4或7，可得4<c <5，即有16<2c <32，则2a +2b +2c +2d =2+2c +2d =2+2c +2112c，设m =2c ，则y =m +211m在(16, 32)递减，则y =m +211m∈(96, 144)，所以2+2c +2112c的范围是(98, 146)，即2a +2b +2c +2d 的取值范围是(98, 146)． 故选B ．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）【答案】 1【考点】平面向量数量积的性质及其运算律 【解析】根据单位向量e 1→,e 2→的夹角为30∘即可求出e 1→∗e 2→的值，从而可求出(e 1→−√3e 2→)2的值，进而得出|e 1→−√3e 2→|的值．【解答】单位向量e 1→,e 2→的夹角为30∘；∴ e 1→∗e 2→=cos30∘=√32，e 1→2=e 2→2=1； ∴ (e 1→−√3e 2→)2=e 1→2−2√3e 1→∗e 2→+3e 2→2=1−2√3×√32+3=1；∴ |e 1→−√3e 2→|=1． 【答案】 2【考点】 简单线性规划 【解析】画出约束条件的可行域，利用目标函数的最优解求解目标函数的最大值即可． 【解答】x ，y 满足约束条件{x −y ≤64x +5y ≤65x +4y ≥3 的可行域如图，则z =x +y 经过可行域的A 时，目标函数取得最大值， 由{x −y =64x +5y =6 解得A(4, −2)， 所以z =x +y 的最大值为：2． 【答案】 −√3【考点】三角函数的恒等变换及化简求值 【解析】 由题意可得m =2cos140−sin10cos10，再利用三角恒等变换求得它的值．【解答】 由题意可得m =2cos140−sin10cos10=−2cos40−sin10cos10=−2cos(30+10)−sin10cos10=−2⋅√32⋅cos10+sin10−sin10cos10=−√3，【答案】 500√3π27 【考点】球的体积和表面积 【解析】根据题意，设正方形ABCD 的边长为x ，E ，F ，G ，H 重合，得到一个正四棱锥，四棱锥的侧面积是底面积的2倍时，即可求解x ，从而求解四棱锥的外接球的体积． 【解答】连接OE 交AB 与I ，E ，F ，G ，H 重合为P ，得到一个正四棱锥，设正方形ABCD 的边长为x ．则OI =x2，IE =6−x2．由四棱锥的侧面积是底面积的2倍，可得4∗x2(6−x2)=2x2，解得：x=4．设外接球的球心为Q，半径为R，可得OC=2√2，OP=√42−22=2√3，R2= (2√3−R)2+(2√2)2．∴R=√3该四棱锥的外接球的体积V=43πR3=500√3π27．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17-21题为必考题，每道试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.【答案】公差d不为零的等差数列{a n}满足a1=5，且a3，a6，a11成等比数列．∴a62=a3⋅a11，即(5+5d)2=(5+2d)(5+10d)，化为：d2−2d=0，解得：d= 2．∴a n=5+2(n−1)=2n+3．b n=a n∗3n−1=(2n+3)⋅3n−1．∴数列{b n}的前n项和S n=5+7×3+9×32+……+(2n+3)⋅3n−1．∴3S n=5×3+7×32+……+(2n+1)×3n−1+(2n+3)×3n，∴−2S n=5+2(3+32+……+3n−1)−(2n+3)×3n=5+2×3(3n−1−1)3−1−(2n+3)×3n，解得S n=(n+1)3n−1．【考点】数列的求和数列递推式【解析】（1）公差d不为零的等差数列{a n}满足a1=5，且a3，a6，a11成等比数列．可得a62= a3⋅a11，即(5+5d)2=(5+2d)(5+10d)，解得：d．（2）b n=a n∗3n−1=(2n+3)⋅3n−1．利用错位相减法即可得出．【解答】公差d不为零的等差数列{a n}满足a1=5，且a3，a6，a11成等比数列．∴a62=a3⋅a11，即(5+5d)2=(5+2d)(5+10d)，化为：d2−2d=0，解得：d= 2．∴a n=5+2(n−1)=2n+3．b n=a n∗3n−1=(2n+3)⋅3n−1．∴数列{b n}的前n项和S n=5+7×3+9×32+……+(2n+3)⋅3n−1．∴3S n=5×3+7×32+……+(2n+1)×3n−1+(2n+3)×3n，∴−2S n=5+2(3+32+……+3n−1)−(2n+3)×3n=5+2×3(3n−1−1)3−1−(2n+3)×3n，解得S n=(n+1)3n−1．【答案】由题意得被系统评为“积极性”的概率为3050=35，X∼B(3, 35)，∴ P(X ≤2)＝1−(35)3=98125， X 的数学期望E(X)＝3×35=95．“x >y “包含“x ＝3，y ＝2“，“x ＝3，y ＝1“，“x ＝3，y ＝0“，“x ＝2，y ＝1“，“x ＝2，y ＝0“，“x ＝1，y ＝0“， P(x ＝3, y ＝2)=C 43C 63×C 22C 42=130，P(x ＝3, y ＝1)=C 43C 63×C 21C21C 42=215，P(x ＝3, y ＝0)=C 42C 63×C 2C 42=130，P(x ＝2, y ＝1)=C 42C21C 63×C 21C21C 42=25，P(x ＝2, y ＝0)=C 42C21C 63×C 2C 42=110，P(x ＝1, y ＝0)=C 41C22C 63×C 20C 42=130，∴ P(x >y)=130+215+130+25+110+130=1115． 【考点】离散型随机变量的期望与方差 离散型随机变量及其分布列 【解析】（1）由题意得被系统评为“积极性”的概率为3050=35，X ∼B(3, 35)，由此能求出P(X ≤2)和X 的数学期望．（2）“x >y “包含“x ＝3，y ＝2“，“x ＝3，y ＝1“，“x ＝3，y ＝0“，“x ＝2，y ＝1“，“x ＝2，y ＝0“，“x ＝1，y ＝0“，分别求出相应的概率，由此能求出P(x >y)． 【解答】由题意得被系统评为“积极性”的概率为3050=35，X ∼B(3, 35)， ∴ P(X ≤2)＝1−(35)3=98125， X 的数学期望E(X)＝3×35=95．“x >y “包含“x ＝3，y ＝2“，“x ＝3，y ＝1“，“x ＝3，y ＝0“，“x ＝2，y ＝1“，“x ＝2，y ＝0“，“x ＝1，y ＝0“， P(x ＝3, y ＝2)=C 43C 63×C 22C 42=130，P(x ＝3, y ＝1)=C 43C 63×C 21C21C 42=215，P(x ＝3, y ＝0)=C 42C 63×C 2C 42=130，P(x ＝2, y ＝1)=C 42C21C 63×C 21C21C 42=25，P(x ＝2, y ＝0)=C 42C21C 63×C 2C 42=110，P(x ＝1, y ＝0)=C 41C22C 63×C 2C 42=130，∴ P(x >y)=130+215+130+25+110+130=1115． 【答案】证明：∵ 在直角梯形ABCD 中，AD // BC ，AB ⊥BC ， E ，F 分别为线段AB ，DC 的中点， ∴ EF // AD ，∴ AE ⊥EF ， 又AE ⊥CF ，且EF ∩CF =F ， ∴ AE ⊥平面EBCF ， ∵ AE ⊂平面AEFD ，∴ 平面AEFD ⊥平面EBCF ．由（1）可得EA ，EB ，EF 两两垂直， 故以E 为原点建立空间直角坐标系，（如图）设AE =m ，则E(0, 0, 0)，A(0, 0, m)，B(m, 0, 0)， F(0, 3, 0)，C(m, 4, 0)，D(0, 2, m)， ∴ BD →=(−m, 2, m)，EC →=(m,4,0)，∵ DB ⊥EC ，∴ −m 2+8=0，∴ m =2√2．∴ BD →=(−2√2, 2, 2√2)，FB →=(2√2,−3,0)，CB →=(0,−4,0)，设面DBF 的法向量为m →=(x,y,z)，则{m →∗BD →=0m →∗FB →=0，即{−2√2x +2y +2√2z =02√2x −3y =0 ， 令y =4可得：m →=(3√2, 4, √2)，同理可得平面CDB 的法向量为n →=(1,0,1)， ∴ cos <m →,n →>=m →∗n→|m →||n →|=√26×√2=23．由图形可知二面角F −BD −C 为锐角， ∴ 二面角F −BD −C 的余弦值为23．【考点】平面与平面垂直二面角的平面角及求法 【解析】（1）根据AE ⊥EF ，AE ⊥CF 可得AE ⊥平面BCFE ，故而平面AEFD ⊥平面EBCF ； （2）建立空间坐标系，根据BD ⊥EC 求出AE ，求出平面BDF 和平面BCD 的法向量即可得出二面角的余弦值．【解答】证明：∵ 在直角梯形ABCD 中，AD // BC ，AB ⊥BC ， E ，F 分别为线段AB ，DC 的中点， ∴ EF // AD ，∴ AE ⊥EF ， 又AE ⊥CF ，且EF ∩CF =F ， ∴ AE ⊥平面EBCF ， ∵ AE ⊂平面AEFD ，∴ 平面AEFD ⊥平面EBCF ．由（1）可得EA ，EB ，EF 两两垂直， 故以E 为原点建立空间直角坐标系，（如图）设AE =m ，则E(0, 0, 0)，A(0, 0, m)，B(m, 0, 0)， F(0, 3, 0)，C(m, 4, 0)，D(0, 2, m)， ∴ BD →=(−m, 2, m)，EC →=(m,4,0)，∵ DB ⊥EC ，∴ −m 2+8=0，∴ m =2√2．∴ BD →=(−2√2, 2, 2√2)，FB →=(2√2,−3,0)，CB →=(0,−4,0)，设面DBF 的法向量为m →=(x,y,z)，则{m →∗BD →=0m →∗FB →=0，即{−2√2x +2y +2√2z =02√2x −3y =0 ， 令y =4可得：m →=(3√2, 4, √2)，同理可得平面CDB 的法向量为n →=(1,0,1)， ∴ cos <m →,n →>=m →∗n→|m →||n →|=√26×2=23． 由图形可知二面角F −BD −C 为锐角， ∴ 二面角F −BD −C 的余弦值为23．【答案】由题意可得ca =√32，1a 2+34b 2=1，a 2−b 2=c 2，解得a =2，b =1，c =√3， 故椭圆C 的方程为x 24+y 2=1；证明：由题意可得直线l 的斜率存在且不为0，设直线l 的方程为y =kx +m ，(m ≠0)， P ，Q 的坐标为(x 1, y 1)，(x 2, y 2)，令x =0，可得y =m ，即|MO|=|m|， 令y =0，可得x =−mk ，即|NO|=|mk |，则S △PMO =12|MO|⋅|y 1|，S △QMO =12|MO|⋅|y 2|， S △PNO =12|MO|⋅|x 1|，S △QNO =12|NO|⋅|x 2|， 由S △PMO 2+S △QMO 2S△PMO ⋅S △QMO=S △PNO 2+S △QNO2S △PNO ⋅S △QNO，可得y 12+y 22y 1y 2=x 12+x 22x 1x 2，即有y 12+y 22y 1y 2−2=x 12+x 22x 1x 2−2，可得(y 1−y 2)2y 1y 2=(x 1−x 2)2x 1x 2，即y 1y 2x1x 2=(y 1−y 2x 1−x 2)2=k 2，由y =kx +m 代入椭圆x 24+y 2=1，可得(1+4k 2)x 2+8kmx +4(m 2−1)=0， 则△=64k 2m 2−16(1+4k 2)(m 2−1)>0， 即为1+4k 2−m 2>0， x 1+x 2=−8km1+4k 2，x 1x 2=4(m 2−1)1+4k ，y 1y 2=(kx 1+m)(kx 2+m)=k 2x 1x 2+km(x 1+x 2)+m 2 =k 2⋅4(m 2−1)1+4k 2+km(−8km 1+4k2)+m 2 =m 2−4k 21+4k ， 可得m 2−4k 21+4k 2=k 2⋅4(m 2−1)1+4k 2，即有4k 2=1(m ≠0)， 可得k =−12（12舍去），则直线l 的斜率为定值． 【考点】 椭圆的离心率 【解析】（1）由椭圆的离心率公式和点满足椭圆方程、a ，b ，c 的关系，解方程可得a ，b ，即可得到所求椭圆方程；（2）由题意可设直线l 的方程为y =kx +m ，(m ≠0)，P ，Q 的坐标为(x 1, y 1)，(x 2, y 2)，联立椭圆方程，消去y ，可得x 的方程，运用判别式大于0和韦达定理，以及三角形的面积公式，化简整理，解方程可得直线的斜率，即可得证． 【解答】由题意可得ca =√32，1a 2+34b 2=1，a 2−b 2=c 2，解得a =2，b =1，c =√3， 故椭圆C 的方程为x 24+y 2=1；证明：由题意可得直线l 的斜率存在且不为0，设直线l 的方程为y =kx +m ，(m ≠0)， P ，Q 的坐标为(x 1, y 1)，(x 2, y 2)，令x =0，可得y =m ，即|MO|=|m|， 令y =0，可得x =−m k ，即|NO|=|mk |， 则S △PMO =12|MO|⋅|y 1|，S △QMO =12|MO|⋅|y 2|， S △PNO =12|MO|⋅|x 1|，S △QNO =12|NO|⋅|x 2|， 由S △PMO 2+S △QMO 2S△PMO ⋅S △QMO=S △PNO 2+S △QNO2S △PNO ⋅S △QNO，可得y 12+y 22y 1y 2=x 12+x 22x 1x 2，即有y 12+y 22y 1y 2−2=x 12+x 22x 1x 2−2，可得(y 1−y 2)2y 1y 2=(x 1−x 2)2x 1x 2，即y 1y 2x 1x 2=(y 1−y2x 1−x 2)2=k 2，由y =kx +m 代入椭圆x 24+y 2=1，可得(1+4k 2)x 2+8kmx +4(m 2−1)=0， 则△=64k 2m 2−16(1+4k 2)(m 2−1)>0， 即为1+4k 2−m 2>0， x 1+x 2=−8km1+4k 2，x 1x 2=4(m 2−1)1+4k ，y 1y 2=(kx 1+m)(kx 2+m)=k 2x 1x 2+km(x 1+x 2)+m 2 =k 2⋅4(m 2−1)1+4k 2+km(−8km1+4k2)+m 2 =m 2−4k 21+4k 2， 可得m 2−4k 21+4k 2=k 2⋅4(m 2−1)1+4k 2，即有4k 2=1(m ≠0)， 可得k =−12（12舍去）， 则直线l 的斜率为定值． 【答案】解：(1)f ′(x)=(x −1)e x +a (1x −1)=(x−1)(xe x −a)x(x >0)，令g(x)=xe x −a(x >0)，g ′(x)=(x +1)e x >0， 故g(x)在(0, +∞)上单调递增， 则g(x)>−a,因此当a ≤0或a =e 时，f ′(x)=0只有一个零点； 当0<a <e 或a >e 时，f ′(x)有两个零点． (2)①当a ≤0时，xe x −a >0，则函数f(x)在x =1处取得最小值f(1)=−e ，符合题意．②当a>0时，易知函数y=xe x−a在(0,+∞)上单调递增，所以必存在正数x0，使得x0e x e−a=0．（ⅰ）若a>e，则x0>1，函数f(x)在(0,1)与(x0,+∞)上单调递增，在(1,x0)上单调递减，又f(1)=−e，故不符合题意．（ⅱ）若a=e，则x0=1，f′(x)≥0，函数在(0,+∞)上单调递增，又f(1)=−e，故不符合题意．（ⅲ）若0<a<e，则0<x0<1，设正数b=e−e a−1∈(0,1)，则f(b)=(b−2)e b+a(ln b−b+1)<a(ln e−e a−1−b+1)=a(−ea−b)=−e−ab<−e，与函数f(x)的最小值为−e矛盾．综上所述，a≤0，即a∈(−∞,0]．【考点】导数求函数的最值【解析】此题暂无解析【解答】解：(1)f′(x)=(x−1)e x+a(1x −1)=(x−1)(xe x−a)x(x>0)，令g(x)=xe x−a(x>0)，g′(x)=(x+1)e x>0，故g(x)在(0, +∞)上单调递增，则g(x)>−a,因此当a≤0或a=e时，f′(x)=0只有一个零点；当0<a<e或a>e时，f′(x)有两个零点．(2)①当a≤0时，xe x−a>0，则函数f(x)在x=1处取得最小值f(1)=−e，符合题意．②当a>0时，易知函数y=xe x−a在(0,+∞)上单调递增，所以必存在正数x0，使得x0e x e−a=0．（ⅰ）若a>e，则x0>1，函数f(x)在(0,1)与(x0,+∞)上单调递增，在(1,x0)上单调递减，又f(1)=−e，故不符合题意．（ⅱ）若a=e，则x0=1，f′(x)≥0，函数在(0,+∞)上单调递增，又f(1)=−e，故不符合题意．（ⅲ）若0<a<e，则0<x0<1，设正数b=e−e a−1∈(0,1)，则f(b)=(b−2)e b+a(ln b−b+1)<a(ln e−e a−1−b+1)=a(−ea−b)=−e−ab<−e，与函数f(x)的最小值为−e矛盾．综上所述，a≤0，即a∈(−∞,0]．（二）选考题：共10分.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]【答案】解：(1)∵ 圆C 1的普通方程为x 2+y 2−4x −8y =0，把x =ρcosθ，y =ρsinθ代入方程得ρ2−4ρcosθ−8ρsinθ=0， 故C 1的极坐标方程是ρ=4cosθ+8sinθ， C 2的平面直角坐标系方程是y =√3x ；(2)分别将θ=π3，θ=π6代入ρ=4cosθ+8sinθ，得ρ1=2+4√3，ρ2=4+2√3，S △OMN =12×(2+4√3)×(4+2√3)×sin(π3−π6)=8+5√3． 【考点】直线的极坐标方程 圆的极坐标方程 极坐标刻画点的位置 【解析】 此题暂无解析 【解答】解：(1)∵ 圆C 1的普通方程为x 2+y 2−4x −8y =0，把x =ρcosθ，y =ρsinθ代入方程得ρ2−4ρcosθ−8ρsinθ=0， 故C 1的极坐标方程是ρ=4cosθ+8sinθ， C 2的平面直角坐标系方程是y =√3x ；(2)分别将θ=π3，θ=π6代入ρ=4cosθ+8sinθ， 得ρ1=2+4√3，ρ2=4+2√3，S △OMN =12×(2+4√3)×(4+2√3)×sin(π3−π6)=8+5√3．[选修4-5：不等式选讲] 【答案】g(x)=|4x −1|−|x +2|．g(x)={−3x +3,x ≤2−5x −1,2<x <14−3x −3,x ≥14，不等式g(x)<6，x ≤−2时，4x −1−x −2<6，解得：x >−1，不等式无解； −2<x <14时，1−4x −x −2<6，解得：−75<x <14， x ≥14时，4x −1−x −2<6，解得：3>x ≥14， 综上，不等式的解集是(−75, 3)；因为存在x 1∈R ，存在x 2∈R ，使得f(x 1)=−g(x 2)成立，所以{y|y =f(x), x ∈R}∩{y|y =−g(x), x ∈R}≠⌀，又f(x)=3|x −a|+|3x +1|≥|(3x −3a)−(3x +1)|=|3a +1|， 故g(x)的最小值是−94，可知−g(x)max =94，所以|3a +1|≤94，解得−1312≤a ≤512， 所以实数a 的取值范围为[−1312, 512]．【考点】函数与方程的综合运用绝对值不等式的解法与证明 绝对值三角不等式 【解析】（1）通过讨论x 的范围，求出不等式的解集即可；（2）问题转化为{y|y =f(x), x ∈R}∩{y|y =−g(x), x ∈R}≠⌀，求出f(x)的最小值和g(x)的最小值，得到关于a 的不等式，解出即可． 【解答】g(x)=|4x −1|−|x +2|．g(x)={−3x +3,x ≤2−5x −1,2<x <14−3x −3,x ≥14 ，不等式g(x)<6，x ≤−2时，4x −1−x −2<6，解得：x >−1，不等式无解； −2<x <14时，1−4x −x −2<6，解得：−75<x <14，x ≥14时，4x −1−x −2<6，解得：3>x ≥14， 综上，不等式的解集是(−75, 3)；因为存在x 1∈R ，存在x 2∈R ，使得f(x 1)=−g(x 2)成立，所以{y|y =f(x), x ∈R}∩{y|y =−g(x), x ∈R}≠⌀，又f(x)=3|x −a|+|3x +1|≥|(3x −3a)−(3x +1)|=|3a +1|， 故g(x)的最小值是−94，可知−g(x)max =94，所以|3a +1|≤94，解得−1312≤a ≤512， 所以实数a 的取值范围为[−1312, 512]．。
2018届广东省湛江市第一中学高三4月月考理科数学试题 及答案 精品
湛江市第一中学2018届高三8月月考数学（理）试题一、 选择题（每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把答案按要求答在答题卡） 1、设集合{}6,5,4,3,2,1=P ，{}62≤≤∈=x R x Q ，那么下列结论正确的是（ ）A 、P Q P =B 、Q Q P ≠⊃C 、Q Q P =D 、≠⊂Q P P 2、设集合}2|{>=x x M ，}3|{<=x x P ，那么“P x M x ∈∈或”是“x P M ∈ ”的（ ）A 、充分非必要条件B 、必要非充分条件C 、充分必要条件D 、既非充分条件也非必要条件3、命题“,x R ∀∈ 都有32x x >”的否定是（ ）A 、0,x R ∃∈使得3200x x >B 、0,x R ∃∉使得3200x x > C 、0,x R ∃∈使得3200x x ≤ D 、0,x R ∃∉使得3200x x ≤4、设函数()y f x = 是偶函数，且在[)+∞,0上单调递增，则（ ）A 、(2)(1)f f ->B 、(2)(1)f f -<-C 、(2)(2)f f ->D 、(||)()f x f x <5、在同一坐标系内作出的两个函数图像图1所示，则这两个函数为（ ）A 、x y a =和log ()a y x =-B 、x y a = 和1log ()a y x -=C 、x y a -= 和1log ()a y x -=D 、x y a -= 和log ()a y x =-6、若定义在R 上的函数()f x 满足2log (1)(0)()(5)(0)x x f x f x x -≤⎧=⎨->⎩，则(2014)f =( )A 、2B 、1C 、0D 、1- 7、若函数3()2f x ax bx =++在)0,(-∞上有最小值－5，（a ，b 为常数），则函数)(x f 在),0(+∞上（ ）A ．有最大值5B ．有最小值5C ．有最大值3D ．有最大值98、已知函数()(1||)f x x a x =+. 设关于x 的不等式()()f x a f x +<的解集为A , 若11,22A ⎡⎤-⊆⎢⎥⎣⎦, 则实数a 的取值范围是A、⎫⎪⎪⎭ B、⎫⎪⎪⎭ C、⎛ ⎝⎫⎪⎪⎭ D、⎛- ⎝∞二、填空题（每小题5分，共30分，把答案填在答题卡中相应的横线上）9、设集合{0,1,2,3}A =,则A 的真子集的个数为 10、若函数()y f x =是函数(0,1)x y a a a =>≠且的反函数，其图像经过点)a ，则()f x =11、已知0.81.2512,,2log 22a b c -⎛⎫=== ⎪⎝⎭，则,,a b c 的大小关系是_______．12、已知命题p ：m ∈R ，且m ＋1≤0，命题q ：∀x ∈R ，x 2＋mx ＋1＞0恒成立，若p ∧q 为假命题，则m 的取值范围是__________． 13、设()f x 是定义在R 上且以3为周期的奇函数，若(1)1f ≤，23(2)1a f a -=+， 则实数a 的取值范围是 ．14、若对任意,x A y B ∈∈，（,A R B R ⊆⊆）有唯一确定的(,)f x y 与之对应，则称(,)f x y 为关于,x y 的二元函数。
广东省湛江市2018届高三下学期第二次模拟考试数学(理)试题(解析版)
湛江市2018年普通高考测试题（二）数学（理科）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合，全集，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：由题意首先求得全集U，然后结合补集的定义求解补集即可.详解：求解函数的值域可得：，结合补集的定义可得：.本题选择C选项.点睛：本题主要考查集合的表示方法，补集的定义等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.2. 已知是虚数单位，复数满足，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】分析：由题意首先求得复数z，然后结合负数的运算法则整理计算即可求得最终结果.详解：由题意可得：，则：，结合复数模的运算法则可得：.本题选择B选项.点睛：本题主要考查复数的运算法则，复数的模的求解等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.3. 设，则“”是“”的（）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】分析：由题意首先求解三角不等式，然后结合题意确定“”与“”的充分性和必要性即可. 详解：求解绝对值不等式可得，若，则，当时，，据此可得：“”是“”的充分而不必要条件.本题选择A选项.点睛：本题主要考查充分不必要条件，三角不等式的解法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.4. 从某中学甲、乙两班各随机抽取名同学，测量他们的身高（单位：），所得数据用茎叶图表示如下，由此可估计甲、乙两班同学的身高情况，则下列结论正确的是（）A. 甲班同学身高的方差较大B. 甲班同学身高的平均值较大C. 甲班同学身高的中位数较大D. 甲班同学身高在以上的人数较多【答案】A【解析】分析：结合茎叶图逐一考查所给的选项即可求得最终结果.详解：逐一考查所给的选项：观察茎叶图可知甲班同学数据波动大，则甲班同学身高的方差较大，A选项正确；甲班同学身高的平均值为：，乙班同学身高的平均值为：，则乙班同学身高的平均值大，B选项错误；甲班同学身高的中位数为：，乙班同学身高的中位数为：，则乙班同学身高的中位数大，C选项错误；甲班同学身高在以上的人数为3人，乙班同学身高在以上的人数为4人，则乙班同学身高在以上的人数多，D选项错误；本题选择A选项.点睛：茎叶图的绘制和阅读需注意：(1)“叶”的位置只有一个数字，而“茎”的位置的数字位数一般不需要统一；(2)重复出现的数据要重复记录，不能遗漏，特别是“叶”的位置的数据．5. 已知是双曲线：右焦点，是上一点，且与轴垂直，点的坐标是，则的面积为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】分析：由题意首先确定焦点坐标，然后结合通径公式求解三角形的底，结合点的坐标求得三角形的高即可计算三角形的面积.详解：由题意可得，则焦点坐标为，由通径公式可得：，且点A到直线PF的距离，据此可得△P AF的面积为：.本题选择B选项.点睛：本题主要考查双曲线的通径公式，双曲线中的三角形问题等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.6. 已知，，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】分析：由题意首先求得的值，然后结合降幂公式求解三角函数式的值即可.详解：，则，结合同角三角函数基本关系可得：据此由题意可得：.本题选择D选项.点睛：本题主要考查同角三角函数基本关系，降幂公式的应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.7. 的展开式中的系数为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：由题意首先确定展开式的通项公式，然后结合通项公式即可确定的系数.详解：展开式的通项公式为，当时，，当时，，据此可得：的系数为.本题选择C选项.点睛：二项式定理的核心是通项公式，求解此类问题可以分两步完成：第一步根据所给出的条件(特定项)和通项公式，建立方程来确定指数(求解时要注意二项式系数中n和r的隐含条件，即n，r均为非负整数，且n≥r，如常数项指数为零、有理项指数为整数等)；第二步是根据所求的指数，再求所求解的项．8. 执行如图所示的程序框图，为使输出的值大于，则输入正整数的最小值为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】分析：由题意结合流程图试运行所给的程序框图，结合S值的变化即可求得最终结果.详解：结合所给的流程图执行程序：首先初始化数据：,第一次循环，应满足，执行，，；第二次循环，应满足，执行，，；第三次循环，，此时之后程序即可跳出循环，据此可得输入正整数的最小值为.本题选择D选项.点睛：识别、运行程序框图和完善程序框图的思路：(1)要明确程序框图的顺序结构、条件结构和循环结构．(2)要识别、运行程序框图，理解框图所解决的实际问题．(3)按照题目的要求完成解答并验证．9. 已知一个三棱锥的三视图如图所示，其中俯视图是等腰直角三角形，则该三棱锥的外接球体积为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：由题意首先将三视图还原为三棱锥，然后补形为三棱柱，结合外接球半径即可求得外接球的体积. 详解：如图所示，在长宽高分别为的长方体中，为其所在棱的中点，三视图对应的几何体为图中的三棱锥，将其补形为三棱柱，取的中点，取的中点，由题意可知，为外接球球心，且：，外接球的体积：.本题选择C选项.点睛：与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径.10. 在中，，， .若，（），且，则的值为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】分析：由题意结合平面向量基本定理首先求得，结合平面向量数量积的运算法则得到关于的方程，解方程即可求得最终结果.详解：由题意可得：，则：,其中：，，，据此可得：，求解关于的方程可得：.本题选择A选项.点睛：(1)应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算．(2)用向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决．11. 我国南北朝时间著名数学家祖暅提出了祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”.意思是：夹在两平行平面间的两个几何体，被平行于这两个平行平面的任何平面所载，若截得的两个截面面积总相等，则这两个几何体的体积相等.为计算球的体积，构造一个底面半径和高都与球半径相等的圆柱，然后再圆柱内挖去一个以圆柱下底面圆心为顶点，圆柱上底面为底面的圆锥，运用祖暅原理可证明此几何体与半球体积相等（任何一个平面所载的两个截面面积都相等）.将椭圆绕轴旋转一周后得一橄榄状的几何体，类比上述方法，运用祖暅原理可求得其体积等于（）A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：首先类比球的体积的求解方法构造出几何体，然后利用祖暅原理求解该几何体的体积即可.详解：如图所示，椭圆的长半轴为4，短半轴为 3.现构造一个底面半径为3，高为4的圆柱，然后在圆柱内挖去一个以圆柱下底面圆心为顶点，圆柱上底面为底面的圆锥，当截面距离下底面的高度为h时，设橄榄状的几何体对应的截面平径为R，圆柱对应截面的小圆半径为r，则由可得，则橄榄状的几何体对应的截面面积.由相似可得：，即，圆柱对应的截面的面积，则，由祖暅原理可得几何体的体积为：.本题选择C选项.点睛：“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.对于此题中的新概念，对阅读理解能力有一定的要求.但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝.12. 已知函数，如果对于任意的，恒成立，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】分析：将原问题转化为两个函数图像之间的关系，利用导函数研究函数的图像变化情况，然后结合导函数在临界点的斜率即可求得最终结果.详解：原问题等价于对任意的，，即函数的图像恒不在函数的上方，令，则，函数单调递增，且，则单调递增，即函数切线的斜率随着自变量的增大而增大，函数图像下凸，函数在处的切线为，且，函数在处的切线方程为，如图所示，观察可知，函数中k的取值范围是.本题选择B选项.点睛：导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 若函数为奇函数，则__________．【答案】【解析】分析：由题意结合奇函数与偶函数的乘积为奇函数将原问题转化为考查偶函数的问题，然后结合偶函数的定义得到关于实数a的恒等式，使得恒等式成立即可求得实数a的值.详解：函数为奇函数，函数为偶函数，故，即：，则恒成立，化简可得：恒成立，则.故答案为：．点睛：正确理解奇函数和偶函数的定义，必须把握好两个问题：(1)定义域关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要非充分条件；(2)f(－x)＝－f(x)或f(－x)＝f(x)是定义域上的恒等式．奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称，反之也成立．利用这一性质可简化一些函数图象的画法，也可以利用它去判断函数的奇偶性．14. 设变量、满足约束条件，则目标函数的最大值为__________．【答案】【解析】分析：首先绘制出可行域，然后求得函数2x+y的最小值，最后结合指数函数的单调性即可求得最终结果. 详解：绘制不等式组表示的平面区域如图所示，要求解目标函数的最大值，只需求解函数的最小值，结合目标函数的几何意义可知：目标函数在点处取得最小值，则目标函数的最大值为：.点睛：本题的关键是求线性目标函数z＝ax＋by(ab≠0)的最值，当b＞0时，直线过可行域且在y轴上截距最大时，z 值最大，在y轴截距最小时，z值最小；当b＜0时，直线过可行域且在y轴上截距最大时，z值最小，在y轴上截距最小时，z值最大.15. 平面直角坐标系中，椭圆（）的离心率，，分别是椭圆的左、右两个顶点，圆的半径为，过点作圆的切线，切点为，在轴的上方交椭圆于点.则__________．【答案】【解析】分析：由题意首先设出椭圆方程，结合几何关系确定直线的斜率，然后由弦长公式求得弦长，最后求解的值即可.详解：如图所示，设，则，椭圆方程为，圆的方程为，直线与圆相切，则：，，直线是斜率为，直线方程为：，联立直线方程与椭圆方程：，整理可得：，即，由弦长公式可得：，在中，，故.点睛：本题主要考查直线与椭圆的位置关系，直线与圆的位置关系等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.16. 如图，游客从景点下山至有两种路径：一种是从沿直线步行到，另一种是先从乘缆车到，然后从沿直线步行到.现有甲、乙两位游客从下山，甲沿匀速步行，速度为米/分钟.在甲出发分钟后，乙从乘缆车到，在处停留分钟后，再从匀速步行到.已知缆车从到要分钟，长为米，若，.为使两位游客在处互相等待的时间不超过分钟，则乙步行的速度（米/分钟）的取值范围是__________．【答案】【解析】分析：由题意结合正弦定理余弦定理首先解三角形，然后结合实际问题得到关于速度的不等式，求解不等式即可求得最终结果.详解：在△ABC中解三角形：已知，，，则：，由正弦定理可得：，由余弦定理有：，解得：，若，则，不能组成三角形，舍去，据此可得：.乙从B出发时,甲已经走了50×(2+8+1)=550m，还需走710m才能到达 C.设乙步行的速度为vm/min,由题意得,解得,所以为使两位游客在C处互相等待的时间不超过3分钟,乙步行的速度应控制在范围内.点睛：解三角形应用题的一般步骤：(1)阅读理解题意，弄清问题的实际背景，明确已知与未知，理清量与量之间的关系．(2)根据题意画出示意图，将实际问题抽象成解三角形问题的模型．(3)根据题意选择正弦定理或余弦定理求解．(4)将三角形问题还原为实际问题，注意实际问题中的有关单位问题、近似计算的要求等.三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 已知数列的前项和（）（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前项和.【答案】（1）（）；（2）【解析】分析：（1）由通项公式与前n项和个关于分类讨论n=1和n≥２两种情况即可求得数列的通项公式为（）.（2）结合(1)的结论可得：，裂项求和可得数列的前项和.详解：（1）∵数列的前项和，∴.当时，.又对也成立.∴（）.（2）由可知：，∴.点睛：本题考查的核心是裂项求和，使用裂项法求和时，要注意正负项相消时消去了哪些项，保留了哪些项，切不可漏写未被消去的项，未被消去的项有前后对称的特点，实质上造成正负相消是此法的根源与目的．18. 红星海水养殖场进行某水产品的新旧养殖方法的产量对比，收货时在旧养殖的大量网箱中随机抽取个网箱，在新养殖法养殖的大量网箱中也随机抽取个网箱，测量各箱水产品的产量，得样本频率分布直方图如下：（1）填写下列列联表，并根据列联表判断是否有的把握认为箱产量与养殖方法有关.养殖法箱产量箱产量箱产量总计旧养殖法新养殖法总计（2）设两种养殖方法的产量互相独立，记表示事件：“旧养殖法的箱产量低于，新养殖法的箱产量不低于”，估计的概率；（3）某水产批发户从红星海水养殖场用新养殖法养殖的大量网箱水产品中购买了个网箱的水产品，记表示箱产量位于区间的网箱个数，以上样本在相应区间的频率代替概率，求 .附：（，其中）【答案】（1）见解析；（2）0.4464；（3）12【解析】分析：（1）由频率分布直方图求得相应的概率值，据此完成列联表，计算观测值可得，则有的把握认为箱产量与养殖法有关.（2）记表示事件“旧养殖法的箱产量低于”，表示事件“新养殖法的箱产量不低于”，由题意可得，则事件的概率估计值为.（3）由题意可得，随机变量X服从分布列：，则.详解：（1）旧养殖法的箱产量低于的频率为：，箱产量不低于的频率为；新养殖法的箱产量低于的频率为，箱产量不低于的频率为.由此得列联表：养殖法箱产量箱产量箱产量总计旧养殖法新养殖法总计则=，∴有的把握认为箱产量与养殖法有关.（2）记表示事件“旧养殖法的箱产量低于”，表示事件“新养殖法的箱产量不低于”，由题意知，旧养殖法的箱产量低于的频率为，故的估计值为，∴事件的概率估计值为.（3）新养殖法的样品中，箱产量位于区间的频率为，故养殖场用新养殖法养殖的大量网箱水产品，箱产量位于区间的概率估计值为.依题意知，∴.点睛：本题主要考查独立性检验的应用，频率分布直方图与统计知识的实际应用等，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.19. 如图，在三棱柱中，侧面与侧面都是菱形，， .（1）证明：；（2）若三棱柱的体积为，求二面角的余弦值.【答案】（1）见解析；（2）【解析】分析：（1）取的中点，连接、、、，由菱形的性质可得，，则平面，.（2）由题意结合几何关系可得平面，建立空间直角坐标系.则平面的一个法向量为，是平面的一个法向量.据此计算可得二面角的余弦值为. 详解：（1）取的中点，连接、、、，由菱形的性质及.得，为正三角形.∴，，且.∴平面，∴.（2）三棱锥的体积是三棱柱体积的三分之一，得四棱锥的体积是柱体体积的三分之二，即等于.平行四边形的面积为.设四棱锥的高为，则：，∴，又，平面，建立如图直角坐标系：.则，，.，，设平面的一个法向量为，则，取一个法向量为，显然是平面的一个法向量.则.二面角的余弦值为.点睛：本题主要考查线面垂直的判断定理，空间向量求解二面角的余弦值等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.20. 已知动圆过定点且与轴相切，点关于圆心的对称点为，动点的轨迹记为.（1）求的方程；（2）设直线：与曲线交于点、；直线：与交于点，，其中，以、为直径的圆、（、为圆心）的公共弦所在直线记为，求到直线距离的最小值.【答案】（1）；（2）【解析】分析：（1）设，则，结合直线与圆相切的充分必要条件可得 .整理化简，则轨迹方程为.（2）设，，联立直线与抛物线的方程可得，，结合韦达定理可得以为直径的圆的方程是：，化简可得，同理可得以为直径的圆的方程是：，两式作差可得的方程是： .结合点到直线距离公式可得，则所求距离最小值为 .详解：（1）如图，设，则，由题可知，动圆与轴相切，得.即.化简得：.（2）设，，将代入得：，，则：，且①设是上的任意一点.由得以为直径的圆的方程是：，将①式代入上式，化简得：②同理以为直径的圆的方程是：③②③得的方程是：.又，到的距离：当时，所求距离最小值为.点睛：(1)直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系；(2)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB|＝x1＋x2＋p，若不过焦点，则必须用一般弦长公式．21. 已知函数，其中，且 .（1）当（为自然对数的底）时，讨论的单调性；（2）当时，若函数存在最大值，求的最小值.【答案】（1）见解析；（2）【解析】分析：（1）求导可得，分类讨论:①当，在上是减函数；②当时，在上递减，在上递增.（2）当，.据此可知：①当时，无极大值，也无最大值；②当，的极大值为，.其中即，令，结合导函数考查其单调性讨论可得的最小值为，此时.详解：（1）由题，，①当，当，在上是减函数；②当，当，，在上是减函数；当，，在上是增函数.即当时，在上个递减；当时，在上递减，在上递增.（2）当，，.①当时，，，则，在上为增函数，无极大值，也无最大值；②当，设方程的根为，得.即，所以在上为增函数，在上为减函数，则的极大值为，.令，令，..当时；当时，所以为极小值也是最小值点.且，即的最小值为，此时.点睛：导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，所以在历届高考中，对导数的应用的考查都非常突出，本专题在高考中的命题方向及命题角度从高考来看，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：(1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系．(2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数．(3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题．(4)考查数形结合思想的应用．22. 在直角坐标系中，点，直线的参数方程为（为参数），以原点为极点，轴的非负半轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为 .（1）求直线的普通方程和曲线的直角坐标方程；（2）设直线与曲线的两个交点分别为、，求的值.【答案】（1），；（2）【解析】分析：（1）消去参数可得直线的普通方程为，极坐标化为直角坐标可得曲线的直角坐标方程为.（2）联立直线的参数方程与椭圆方程可得，由参数的几何意义可得，.则.详解：（1）消去参数可得直线的普通方程为，即，极坐标化为直角坐标可得曲线的直角坐标方程为，即.（2）点在直线：上，将直线的参数方程代入曲线的直角坐标方程，得，∴，设两根为，，，，故与异号，∴.∴.点睛：本题主要考查直线参数方程的几何意义，参数方程与普通方程的互化，极坐标方程与直角坐标方程的互化等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.23. 已知函数 .（1）解不等式；（2）若关于的不等式的解集为，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）【解析】分析：（1)结合函数的解析式零点分段可得不等式的解集为或.（2)由题意可得.由绝对值三角不等式的性质可知，则，求解不等式可得实数的取值范围是.详解：（1)不等式可化为，当时，，解得，即；当时，，解得，即；当时，，解得，即；综上所述，不等式的解集为或.（2)由不等式可得.∵，∴，即解得或.∴实数的取值范围是.点睛：绝对值不等式的解法：法一：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；法二：利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；法三：通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想．。
广东省湛江第一中学2017_2018学年高一数学下学期第一次大考试题理
满分：150 分 共 60 分）
考试时间：120 分钟 第Ⅰ卷（选择题 注意事项：
1、答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、考号、考试科目用铅笔涂写在机读卡上。 2、每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮 擦干净后，再选涂其他答案标号，不能答在试卷上。 3、考试结束后，监考人将本试卷和答题卡一并收回。 一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，满分 60 分，在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的。 ） 1． y 2sin x 的值域是（
堵 ”：其上底是一矩形，下底是一线段．有一斧头：上厚为三，下厚为六，高为五及袤 （ ）为二，问此斧头的体积为几何？意思就是说有一斧头形的几何体，上底为矩形，
下底为一线段，上底的长为 3，下底线段长为 6，上下底间的距离（高）为 5，上底矩形的 宽为 2，则此几何体的体积是___________________
A． 3 4 已知 tan( ) A． B． 5 C．3
C．向左平移
个单位
D．向右平移
个单位
) D． 10 ) D．
1 6
2 1 , tan( ) , 则 tan( ) 的值为 ( 5 4 4 4 22 3 B． C． 13 22
13 18
3, b x ，若
2
( 第 14 题图 )
15． 某 几 何 体 的 三 视 图 如 图 所 示 ， 则 该 几 何 体 的 体 积 为 . 16
（第 15 题图）
设 OA 1, OB 2, OA OB 0, OP OA OB ， 且 1 ， 则 OA 在 OP 上
2018年普通高考测试题一数学理科
广东省湛江市2018年普通高考测试题（一）试卷类型：A数学（理 科）本试卷共4页，共21小题，满分150分。
考试用时120分钟。
注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号填写在答题卡上。
用2B 铅笔将答题卡试卷类型（A ）填涂在答题卡上。
在答题卡右上角的“试室号”和“座位号”栏填写试室号、座位号，将相应的试室号、座位号信息点涂黑。
2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，不能答在试卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答的答案无效。
4．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。
参考公式： 如果事件A 、B 互斥，那么()()()P A B P A P B +=+如果事件A 、B 相互独立，那么()()()P A B P A P B ⋅=⋅一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知U = { 2，3，4，5，6，7 }，M = { 3，4，5，7 }，N = { 2，4，5，6 }，则 A ．M ∩N = { 4，6 } B ．M ∪N = UC ．(Cu N )∪M = UD ．(Cu M )∩N = N2．若将复数ii-+11表示为a + bi （a ，b ∈R ，i 是虚数单位）的形式，则a + b = A ．0 B ．1 C ．–1 D ．23．如图，样本数为9的四组数据，它们的平均数都是5，频率条形图如下，则标准差最大的一组是第一组 第二组 第三组 第四组A ．B ．C ．D ． 4．已知等差数列}{n a 的前13项之和为39，则876a a a ++等于A ．6B ．9C ． 12D ．185．已知函数x x x f sin cos )(=)(R x ∈，给出下列四个命题：①若)()(21x f x f -=，则21x x -= ②)(x f 的最小正周期是π2 ③在区间]4,4[ππ-上是增函数． ④)(x f 的图象关于直线43π=x 对称 其中真命题是A ．①②④B ．①③C ．②③D ．③④6．若过点A (3 , 0 ) 的直线l 与曲线 1)1(22=+-y x 有公共点，则直线l 斜率的取值范围为A ．(3-, 3 )B ．[3-, 3 ]C ．(33-, 33 )D ．[33-, 33] 7．命题p ：),0[+∞∈∀x ，1)2(log 3≤x ，则A ．p 是假命题，p ⌝：1)2(log ),,0[030>+∞∈∃x xB ．p 是假命题，p ⌝：1)2(log ),,0[3≥+∞∈∀x xC ．p 是真命题，p ⌝：),0[0+∞∈∃x ，1)2(log 03>xD ．p 是真命题，p ⌝：1)2(log ),,0[3≥+∞∈∀x x8．函数xx x f 52)(+=图象上的动点P 到直线x y 2=的距离为1d ，点P 到y 轴的距离为2d ，则=21d d A ．5 B ．5 C ．55D ．不确定的正数二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分. （一）必做题（9~12题）9.抛物线24x y =的焦点坐标是__________________.10.用单位立方块搭一个几何体，使它的主视图和俯视图如下图所示，则它的体积的最小值为 ，最大值为 .11. 若x , y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≥+-≥+30030x y x y x ，则y x z -=2的最大值为 ．主视图12.已知某算法的流程图如图所示，若将输出的 (x , y )(x 1 , y 1 )，(x 2 , y 2 )，……(x n , y n )，…….(1) 若程序运行中输出的一个数组是(9 , t)，则t = ； (2) 程序结束时，共输出(x , y )的组数为 .（二）选做题（13-15题，考生只能从中选做二题） 13. （坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，若过点)0,3(A 且与极轴垂直的直线交曲线θρcos 4=于A 、B 两点，则=||AB ____ _．14.（不等式选讲选做题）设1=++z y x ，则22232z y x F ++=的最小值为________．15.（几何证明选讲选做题）如图，已知PA 、PB 是圆O 的切线，A 、B 分别为切点，C 为圆O 上不与A 、B 重合的另一点，若∠ACB = 120°，则∠APB = ．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16.（本小题满分12分）在一次国际大型体育运动会上，某运动员报名参加了其中5个项目的比赛．已知该运动员在这5个项目中，每个项目能打破世界纪录的概率都是0.8，那么在本次运动会上： （Ⅰ）求该运动员至少能打破3项世界纪录的概率；（Ⅱ）若该运动员能打破世界纪录的项目数为ξ，求ξ的数学期望ξE （即均值）． 17．（本小题满分12分）已知向量)3,cos 2(2x a =→-，)2sin ,1(x b =→-，函数→-→-⋅=b a x f )(，2)(→-=b x g ． （Ⅰ）求函数)(x g 的最小正周期；（Ⅱ）在∆ABC 中，c b a ,,分别是角C B A ,,的对边，且3)(=C f ，1=c ，32=ab ，且b a >，求b a ,的值．18．（本小题满分14分）如图，在三棱锥P-ABC 中， PA=3，AC=AB=4，PB=PC=BC=5，D 、E 分别是BC 、AC 的中点，F 为PC 上的一点，且PF :FC=3:1． （Ⅰ）求证：PA ⊥BC ；（Ⅱ）试在PC 上确定一点G ，使平面ABG ∥平面DEF ； （Ⅲ）在满足（Ⅱ）的情况下，求二面角G-AB-C 的平面角的正切值．19．（本小题满分14分）已知函数x x a x f ln )21()(2+-=.（R a ∈）（Ⅰ）当1=a 时，求)(x f 在区间[1，e ]上的最大值和最小值；（Ⅱ）若在区间（1，+∞）上，函数)(x f 的图象恒在直线ax y 2=下方，求a 的取值范围． 20．（本小题满分14分）已知定圆,16)3(:22=++y x A 圆心为A ，动圆M 过点)0,3(B ，且和圆A 相切，动圆的圆心M 的轨迹记为C ． (Ⅰ)求曲线C 的方程；(Ⅱ)若点),(00y x P 为曲线C 上一点，探究直线044:00=-+y y x x l 与曲线C 是否存在交点? 若存在则求出交点坐标, 若不存在请说明理由．21．（本小题满分14分）设数列{n a }的前n 项和为n S ，并且满足n a S n n +=22，0>n a （n ∈N*）. （Ⅰ）求1a ，2a ，3a ；（Ⅱ）猜想{n a }的通项公式，并加以证明；（Ⅲ）设0>x ，0>y ，且1=+y x ，证明：11+++y a x a n n ≤)2(2+n .APBD EF广东省湛江市2018年普通高考测试题（一）数学（理 科）参考答案及评分意见一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）1.B2. B3. D4.B5.D6.D7.C8. B .二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）9.（0，161）. 10. 10（2分），16（3分）. 11.9. 12. 4-（2分），1005（3分）. 13. 32. 14. 116. 15. 60.三、解答题（本大题共6小题，共80分） 16.（本小题满分12分） 解：（Ⅰ）依题意，该运动员在每个项目上“能打破世界纪录”为独立事件，并且每个事件发生的概率相同. 设其打破世界纪录的项目数为随机变量ξ，“该运动员至少能打破3项世界纪录”为事件A ，则有 ………………………………………………………………2分)5()4()3()(=+=+==ξξξP P P A P …………………………………………4分55544523358.02.08.02.08.0C C C +⨯+⨯=…………………………………6分94208.0=. ………………………………………………………………8分（Ⅱ）由（Ⅰ）解答可知，ξ～B （5，0.8），故所求数学期望为48.05=⨯=ξE . ………………………………………………………………12分 17．（本小题满分12分） 解：（Ⅰ）234cos 2124cos 112sin 1)(22+-=-+=+==→-x x x bx g ---------2分 ∴函数)(x g 的最小周期242ππ==T ----------4分 （Ⅱ）x x x x b a x f 2sin 3cos 2)2sin ,1()3,cos 2()(22+=⋅=⋅=→-→- 1)62sin(22sin 312cos ++=++=πx x x -------------6分 31)62sin(2)(=++=πC C f ∴1)62s i n (=+πC ------------7分C 是三角形内角 ∴)613,6(62πππ∈+C ， ∴262ππ=+C 即：6π=C -------------8分∴232cos 222=-+=ab c a b C 即：722=+b a ----------------10分 将32=ab 可得：71222=+aa 解之得：432或=a ∴23或=a ∴32或=bb a > ∴2=a 3=b ------------12分18．（本小题满分14分）解：(Ⅰ) 在△PAC 中，∵PA=3，AC=4，PC=5，∴222PC AC PA =+，∴AC PA ⊥；……1分又AB=4，PB=5，∴在△PAB 中，同理可得 AB PA ⊥ …………………………2分 ∵A AB AC = ，∴ABC PA 平面⊥……3分 ∵⊂BC 平面ABC ，∴PA ⊥BC. …………4分(Ⅱ) 如图所示取PC 的中点G ，…………………5分 连结AG ，BG ，∵PF:FC=3:1,∴F 为GC 的中点 又D 、E 分别为BC 、AC 的中点，∴AG ∥EF ，BG ∥FD ，又AG∩GB=G ，EF∩FD=F ……………7分 ∴面ABG ∥面DEF即PC 上的中点G 为所求的点 …………… 9分(Ⅲ)由(Ⅱ)知G 这PC 的中点，连结GE ，∴GE ⊥平面ABC ，过E 作EH ⊥AB 于H ，连结GH ，则GH ⊥AB ，∴∠EHG 为二面角G-AB-C 的平面角 …………… 11分 ∵839521==∆∆ABC ABE S S 又EH AB S ABE ⋅=∆21∴16395443952===∆ABS EH ABE又2321==PA GE …………… 13分 ∴653983951623tan =⨯==∠EH EG EHG ∴二面角G-AB-C 的平面角的正切值为65398 …………… 14分解：（Ⅰ）当1=a 时，x x x f ln 21)(2+=，xx x x x f 11)(2+=+='；………………2分对于∈x [1，e ]，有0)(>'x f ，∴)(x f 在区间[1，e ]上为增函数，…………3分∴21)()(2max e e f x f +==，21)1()(min ==f x f .……………………………5分（Ⅱ）令x ax x a ax x f x g ln 2)21(2)()(2+--=-=，则)(x g 的定义域为（0，+∞）.……………………………………………6分在区间（1，+∞）上，函数)(x f 的图象恒在直线ax y 2=下方等价于0)(<x g 在区间（1，+∞）上恒成立.∵x x a x x ax x a x a x a x g ]1)12)[(1(12)12(12)12()(2---=+--=+--='① 若21>a ，令0)(='x g ，得极值点11=x ，1212-=a x ，………………8分 当112=>x x ，即121<<a 时，在（2x ，+∞)上有0)(>'x g ，此时)(x g 在区间(2x ，+∞)上是增函数，并且在该区间上有)(x g ∈()(2x g ，+∞)，不合题意；………………………………………9分当112=<x x ，即1≥a 时，同理可知，)(x g 在区间(1，+∞)上，有)(x g ∈()1(g ，+∞)，也不合题意；………………………………………10分② 若21≤a ，则有012≤-a ，此时在区间(1，+∞)上恒有0)(<'x g ， 从而)(x g 在区间(1，+∞)上是减函数；……………………………………12分 要使0)(<x g 在此区间上恒成立，只须满足021)1(≤--=a g 21-≥⇒a ， 由此求得a 的范围是[21-，21]. 综合①②可知，当a ∈[21-，21]时，函数)(x f 的图象恒在直线ax y 2=下方.………………………………………………14分解：(Ⅰ) 圆A 的圆心为4),0,3(1=-r A 半径， ……………… 1 分设动圆M 的圆心为.||,,),,(22MB r r y x M =依题意有半径为 ………… 2分 由|AB|=32，可知点B 在圆A 内，从而圆M 内切于圆A ，故|MA|=r 1-r 2， 即|MA|+|MB|=4， ……………… 4分所以，点M 的轨迹是以A ，B 为焦点的椭圆，设椭圆方程为12222=+by a x ，由.1,4,322,4222====b a c a 可得故曲线C 的方程为.1422=+y x ……………… 6分 (Ⅱ)当2,14,0020200±==+=x y x y 可得由时，)..0,2(,2,0,2000有且只有一个交点与曲线直线的方程为直线时当C l x l y x ===).0,2(,2,0,2000--==-=有且只有一个交点与曲线直线的方程为直线时当C l x l y x ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-=-=≠.14,44:,44,02200000y x y x x y y x x y l y 联立方程组的方程为直线时当 ………………8分 消去.016168)4(,20022020=-+-+y x x x x y y 得 ① …………… 10分 由点),(00y x P 为曲线C 上一点，.44.1420202020=+=+x y y x 可得得 于是方程①可以化简为.022002=+-x x x x 解得0x x =， …………… 12分),,(,44000000y x P C l y y y xx y x x 有且有一个交点与曲线故直线可得代入方程将=-== ……………………………………………………………13分 综上，直线l 与曲线C 存在唯一的一个交点，交点为),(00y x P . …………… 14分解：（Ⅰ）分别令1=n ，2，3，得⎪⎩⎪⎨⎧+=+++=++=3)(22)(212233212221211a a a a a a a a a ∵0>n a ，∴11=a ，22=a ，33=a .………………………………………3分 （Ⅱ）证法一：猜想：n a n =，………………………………………………………4分由 n a S n n +=22 ① 可知，当n ≥2时，)1(2211-+=--n a S n n ②①-②，得 12212+-=-n n n a a a ，即12212-+=-n n n a a a .………………6分 1）当2=n 时，1122222-+=a a ，∵02>a ，∴22=a ；……………7分2）假设当k n =（k ≥2）时，k a k =. 那么当1+=k n 时，122121-+=++k k k a a a 1221-+=+k a k0)]1()][1([11=-++-⇒++k a k a k k ， ∵01>+k a ，k ≥2，∴0)1(1>-++k a k ， ∴11+=+k a k .这就是说，当1+=k n 时也成立，∴n a n =（n ≥2）. 显然1=n 时，也适合.故对于n ∈N*，均有n a n =.………………………………………9分 证法二：猜想：n a n =，………………………………………………………4分 1）当1=n 时，11=a 成立；…………………………………………………5分 2）假设当k n =时，k a k =.…………………………………………………6分那么当1+=k n 时，12211++=++k a S k k .∴1)(2211++=+++k a S a k k k ，∴)1(22121+-+=++k S a a k k k )1()(221+-++=+k k k a k )1(221-+=+k a k（以下同证法一）…………………………………………………………9分 （Ⅲ）证法一：要证11+++ny nx ≤)2(2+n ，只要证1)1)(1(21++++++ny ny nx nx ≤)2(2+n ，………………10分即+++2)(y x n 1)(22+++y x n xy n ≤)2(2+n ，…………………11分将1=+y x 代入，得122++n xy n ≤2+n ，即要证)1(42++n xy n ≤2)2(+n ，即xy 4≤1. …………………………12分 ∵0>x ，0>y ，且1=+y x ，∴xy ≤212=+y x , 即xy ≤41，故xy 4≤1成立，所以原不等式成立. ………………………14分 证法二：∵0>x ，0>y ，且1=+y x ，∴121+⋅+nnx ≤2121+++n nx ①当且仅当21=x 时取“=”号. …………………………………11分∴121+⋅+n ny ≤2121+++nny ② 当且仅当21=y 时取“=”号. …………………………………12分①+②，得 （++1nx 1+ny ）12+n≤24)(n y x n +++2+=n ， 当且仅当21==y x 时取“=”号. ……………………………………13分 ∴11+++ny nx ≤)2(2+n .………………………………………14分证法三：可先证b a +≤)(2b a +. ………………………………………10分 ∵ab b a b a 2)(2++=+，b a b a 22))(2(2+=+，b a +≥ab 2，……………………………11分试卷∴b a 22+≥ab b a 2++， ∴)(2b a +≥b a +，当且仅当b a =时取等号. ………………12分令1+=nx a ，1+=ny b ，即得11+++ny nx ≤)11(2+++ny nx )2(2+=n ，当且仅当1+nx 1+=ny 即21==y x 时取等号. ………………………14分如上各题若有其它解法，请评卷老师酌情给分.。
广东省湛江市第一中学2018-2019学年高二上学期第一次大考试题数学(理)(含答案)
湛江一中2018-2019学年度第一学期“第一次大考”高二级理科数学试卷考试时间：120分钟 满分：150一. 选择题（本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.） 1．数列1,3,6,10，…的一个通项公式是( ) A ．a n ＝n 2－n ＋1 B ．a n ＝n (n －1)2C ．a n ＝n 2＋1D ．a n ＝n (n ＋1)22.已知下列四个条件：①b ＞0＞a ，②0＞a ＞b ，③a ＞0＞b ，④a ＞b ＞0，能推出1a ＜1b 成立的有( )A.1个B.2个C.3个D.4个3.把1,3,6,10,15,21，…这些数叫做三角形数，这是因为用这些数目的点可以排成一个正三角形(如图).则第7个三角形数是( )A.27B.28C.29D.304.在△ABC 中，A ∶B ＝1∶2，sin C ＝1，则a ∶b ∶c 等于( ) A ．1∶3∶2 B ．3∶2∶1 C ．1∶2∶3D ．2∶3∶15. 若x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧2x －y≤0，x ＋y≤3，x ≥0，则2x ＋y 的最大值为( )A.0B.3C.4D.56．在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 所对的边，若a ＝2bcos C ，则此三角形一定是( ) A ．等腰直角三角形 B ．等腰三角形 C ．直角三角形D ．等腰或直角三角形{}{}157.3717.1941.4119.,3432,,,.7483759D C B A b b a b b a n n T S n T S n b a n n n n n n ）的值为（则都有若对任意自然数项和分别为的前设等差数列+++--=8. 已知函数),(1)(22R b R a b b ax x x f ∈∈+-++-=，对任意实数x 都有)-1()1(x f x f =+成立，若当[]1,1-∈x 时，0)(>x f 恒成立，则b 的取值范围是( )A.(－1，0)B.(2，＋∞)C.(－∞，－1)∪(2，＋∞)D.不能确定9.已知数列{}n a 是等比数列，数列{}n b 是等差数列，若161116117a a a b b b π⋅⋅=-++=,则3948tan 1b b a a +-⋅的值是（ ）A. B.22 C . 22- D.310．若2α＋β＝π，则y ＝cos β－6sin α的最大值和最小值分别是( ) A ．5，－112 B ．7，－112C ．7,5D ．7，－511．不等式x 2＋2x <a b ＋16ba 对任意a ，b ∈(0，＋∞)恒成立，则实数x 的取值范围是( )A ．(－4，2)B ．(－2，0)C ．(－∞，－2)∪(0，＋∞)D ．(－∞，－4)∪(2，＋∞)12.记方程①：2110x a x ++=，方程②：2220x a x ++=，方程③：2340x a x ++=，其中1a ，2a ，3a 是正实数．当1a ，2a ，3a 成等比数列时，下列选项中，能推出方程③无实根的是（ ） A ．方程①无实根，且②有实根 B ．方程①无实根，且②无实根 C ．方程①有实根，且②有实根 D ．方程①有实根，且②无实根二．填空题（本大题共4小题,每小题5分,共20分.）13．在等差数列{}n a 中，91110a a +=，则数列{}n a 的前19项之和是___________．14．给出平面区域如图阴影部分所示，若使目标函数z ＝ax ＋y (a >0)取得最大值的最优解有无穷多个，则a 的值为________．15．CD CB AD AC AD AB ，AB D ABC 3,,3,===∆且的一个三等分点为中在，则B cos =16．已知a >b ，不等式ax 2＋2x ＋b ≥0对一切实数x 恒成立．又存在x 0∈R ，使ax 20＋2x 0＋b ＝0成立，则a 2＋b 2a －b的最小值为三．解答题：解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤（共70分）17. （本题10分）如图所示，在四边形ABCD 中， D ∠=2B ∠，且1AD =，3CD =，cos B =（Ⅰ）求△ACD 的面积；（Ⅱ）若BC =AB 的长．18.（本题12分）已知数列{a n }的前n 项和是S n ，且S n ＋12a n ＝1(n ∈N *).(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝log 13(1－S n ＋1)(n ∈N *)，令T n ＝1b 1b 2＋1b 2b 3＋…＋1b n b n ＋1，求T n .19．（本题12分）如图，四棱锥S ABCD -中，M 是SB 的中点,//AB CD ，BC CD ⊥，且2AB BC ==，1CD SD ==，又SD ⊥面SAB .(1) 证明:CD SD ⊥; (2) 证明://CM 面SAD ; (3) 求四棱锥S ABCD -的体积.SABCDMABCD20．（本题12分）已知2()cos cos 222x x xf x =+. （Ⅰ）若()1f α=，求cos(2)3πα+的值；（Ⅱ）在锐角ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足A c C a b cos cos )2(=-，求)(B f 的取值范围．21. （本题12分） 解关于x 的不等式ax 2－(2a ＋1)x ＋2＜0(a ∈R ).22. （本题12分）数列{}n a 的通项n a 是关于x 的不等式2x x n x -<的解集中正整数的个数，111（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若2nn na b =，求数列{}n b 的前n 项和n S ； （3）求证：对2n ≥且*n N ∈恒有7()112f n ≤<．湛江一中2018-2019学年度第一学期“第一次大考”高二级理科数学普通卷（A ）答案一. 选择题（本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.）二．填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.)13．95 14． 35 15．1867 16．三．解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤（共70分）17.解：（Ⅰ）311cos 22cos cos 2-=-==B B D ……………………………………………….…………2分因为()0,D π∠∈，所以sin 3D =，……………………………………………………………………………3分所以△ACD的面积1sin 2S AD CD D =⋅⋅⋅=…………………………………………………..………5分 （Ⅱ）在△ACD 中，12cos 2222=⋅⋅-+=D DC AD DC AD AC ， 所以AC =．…………………………………………………………………………………….....………………7分在△ABC 中，12cos 2222=⋅⋅-+=B BC AB BC AB AC …………………………………….………9分把已知条件代入并化简得：042=-AB AB 因为0AB ≠，所以4AB = …………………10分 18. 解 (1)当n ＝1时，a 1＝S 1，由S 1＋12a 1＝1，得a 1＝23，…………………………………1分当n ≥2时，S n ＝1－12a n ，S n －1＝1－12a n －1，…………………………………………………………………2分则S n －S n －1＝12(a n －1－a n )，即a n ＝12(a n －1－a n )，所以a n ＝13a n －1(n ≥2). ……………4分故数列{a n }是以23为首项，13为公比的等比数列.故a n ＝23·⎝ ⎛⎭⎪⎫13n －1＝2·⎝ ⎛⎭⎪⎫13n(n ∈N *).………………………………………………………………………………………5分. (2)因为1－S n ＝12a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13n.………………………………………………………………………………………………………6分所以b n ＝log 13(1－S n ＋1)＝log 13⎝ ⎛⎭⎪⎫13n ＋1＝n ＋1，……………………………………………………………7分因为1b n b n ＋1＝1（n ＋1）（n ＋2）＝1n ＋1－1n ＋2，………………………………………………………9分 所以T n ＝1b 1b 2＋1b 2b 3＋…＋1b n b n ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13－14＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n ＋1－1n ＋2＝12－1n ＋2＝n 2（2n ＋2）.……………………12分 19. （1）证明：由SD ⊥面SAB .，AB SAB ⊂面 所以S ⊥………………………………………………………………………………………………………………………1分又//AB CD …………………………………………………………………………………………………………………………2分 所以C ⊥ (3)分（2）取SA 中点N，连结,N D N M………………………………………………………………………..…………4分 则//NM AB ，且12MN AB DC ==，//AB CD 所以N是平行四边形…………………………………………………………………………………..…..…………5分//ND MC ，……………………………………………………………………………………………………………..…………6分且,ND SAD MC SAD ⊂⊄面面 所以//CM 面SAD ;………………………………………………………………………………………………..…………7分（3）::3:2S ABCD S ABD ABCD ABD V V S S --∆∆==………………………………………………………..…………8分 过D 作DH AB ⊥，交于H ，由题得22125BD AD ==+=……………………..…………9分 在,Rt DSA Rt DSB ∆∆中，22512SA SB ==-=……………………………….…………..…………10分所以133S ABD D SAB ABS V V DS S --∆==⋅⋅=……………………..………………………………………….……11分 所以3323S A V -=⋅-……………………..……………………………………………….……………….……12分(注：其他解法按步骤相应给分) 20．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）=)(x f 2s s 222x x xco co ⋅+21cos 21sin 23++=x x ， ………………………………………………2分 21)6sin(++=πx ．………………………………………………………3分由()1f α= ，得1sin()162πα++=，∴1sin()62πα+=．……………………4分∴21)6(sin 21)6(2cos )32cos(2=+-=+=+πππx x x ． ………………………5分（Ⅱ）由A c C a b cos cos )2(=-及正弦定理得：A C C AB cos sin cos )sin sin 2(⋅=⋅-．………………………………………………6分∴A C C A C B cos sin cos sin cos sin 2⋅=-，B C A C B sin )sin(cos sin 2=+=．……………………………………………8分∵0sin ≠B ，且ABC ∆是锐角三角形，∴21cos =C ，3π=C ． ∴32π=+B A ，A B -=32π． ………………………………………………10分 ∵20π<<A ， ∴26ππ<<B ． ∴3263πππ<+<B ．∴1)6sin(23≤+<πB ．………………………………………………………11分 ∵21)6sin()(++=πB B f ，∴)(B f 的取值范围是]23,213(+． ………………………………………12分 21. 解关于x 的不等式ax2－(2a ＋1)x ＋2＜0(a ∈R).解：原不等式可化为(ax －1)(x －2)＜0. ……………………………………………………………….……..1分(1) 当a ＞0时，原不等式可以化为a(x －2)⎝⎛⎭⎫x －1a ＜0，等价于(x －2)·⎝⎛⎭⎫x －1a ＜0.(2) 当0＜a ＜12时，2＜1a ，则原不等式的解集是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x|2＜x ＜1a ；……………………………………...3分当a ＝12时，原不等式的解集是∅；………………………………………………………………….……….……..5分当a ＞12时，1a ＜2，则原不等式的解集是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪1a ＜x ＜2.………………………………………….……..7分(2)当a ＝0时，原不等式为－(x －2)＜0，解得x ＞2，即原不等式的解集是{x|x ＞2}.…………………………………………………………………..…………….……..9分 (3)当a ＜0时，原不等式可以化为a(x －2)⎝⎛⎭⎫x －1a ＜0，根据不等式的性质，这个不等式等价于(x －2)·⎝⎛⎭⎫x －1a ＞0，由于1a ＜2，故原不等式的解集是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x|x ＜1a 或x ＞2.…………………………………………..….……..11分 综上所述，当a ＜0时，不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x|x ＜1a 或x ＞2；当a ＝0时，不等式的解集为{x|x ＞2}；当0＜a ＜12时，不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x|2＜x ＜1a ； 当a ＝12时，不等式的解集为∅；当a ＞12时，不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x|1a ＜x ＜2.……..12分22. 解：（1）2x x nx -<等价于(1)0x x n --<，解得(0,1)x n ∈+其中有正整数n 个，于是n a n = …………………………………………..….……...….……..….…….2分 （2）1()22nn n n b n ==⋅ 21211112()()222n n n S b b b n =+++=⨯+⨯++⨯……23111111()2()()2222n n S n +=⨯+⨯++⨯… ………………………………..….……...….……..….….3分 两式相减得231111111111()()()()1()()22222222n n n n n S n n ++=++++-⨯=--⨯…….4分故11112()()=2(2)()222n n n n S n n -=--⨯-+ …………………………..….……...….……..….….6分（3 1111n nn<+++= ………………………………..….……...….……..…...….……..….……...….……...8分 由111111()1212n n n f n a a a n n n n n=+++=+++++++++…… 知11111(+1)++2322122f n n n n n n =+++++++… 于是111111(1)()021********f n f n n n n n n n +-=+->+-=++++++.….……...10分故(1)()f n f n +>()f n ∴当2n ≥且*n N ∈时为增函数7()(2)12f n f ∴≥=综上可知7()112f n ≤< ……………………………..….……...….……..…...….……..….……...….……..12分。
广东省湛江市中学2018年高一数学理模拟试卷含解析
广东省湛江市中学2018年高一数学理模拟试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的直观图可以是（）A．B．C．D．参考答案：D【考点】L7：简单空间图形的三视图．【分析】首先由几何体的俯视图断定原几何体的最上面的平面图形应是圆，再由俯视图内部只有一个虚圆，断定原几何体下部分的图形不可能是棱柱，由此可排除前三个选项．【解答】解：由俯视图可知，原几何体的上底面应该是圆面，由此排除选项A和选项C．而俯视图内部只有一个虚圆，所以排除B．故选D．2. 已知在半径为2的圆Ｏ上有Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ四点，若ＡＢ＝ＣＤ＝2，ＡＢ、ＣＤ中点分别为O1,Ｏ2，则△Ｏ2AB的面积最大值为（）A．B．C．D．参考答案：A3. 已知（x,y）在映射f下的象是（x+2y 2x-y），那么（3，1）在f下的原象为（）A、（-3，-4）B、（-4，-6）C、（1，1）D、（1，-1）参考答案：B略4. 下面四个条件中，使a＞b成立的充分不必要条件是()A．a≥b＋1B．a＞b－1C．a2＞b2D．|a|＞|b|参考答案：A解析：由a≥b＋1＞b，从而a≥b＋1?a＞b；反之，如a＝4，b＝3.5，则4＞3.54≥3.5＋1，故a＞b a≥b＋1，故A正确．5. 已知函数是奇函数，若，则m的取值范围是（）A. B. C. D.参考答案：C【分析】由题意首先求得m的值，然后结合函数的性质求解不等式即可.【详解】函数为奇函数，则恒成立，即恒成立，整理可得：，据此可得：，即恒成立，据此可得：.函数的解析式为：，，当且仅当时等号成立，故奇函数是定义域内的单调递增函数，不等式即，据此有：，由函数的单调性可得：，求解不等式可得的取值范围是.本题选择C选项.【点睛】对于求值或范围的问题，一般先利用函数的奇偶性得出区间上的单调性，再利用其单调性脱去函数的符号“f”，转化为解不等式(组)的问题，若f(x)为偶函数，则f(－x)＝f(x)＝f(|x|)．6. （5分）垂直于同一条直线的两条直线一定（）A．平行B．相交C．异面D．以上都有可能参考答案：D考点：空间中直线与直线之间的位置关系．专题：分类讨论．分析：根据在同一平面内两直线平行或相交，在空间内两直线平行、相交或异面判断．解答：分两种情况：①在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行；②在空间内垂直于同一条直线的两条直线可以平行、相交或异面．故选D点评：本题主要考查在空间内两条直线的位置关系．7. 函数的值域为（）A.[0,3]B.[-1,0]C.[-1,3]D.[0,2]参考答案：C8. 设，则的值为（）A．0 B．1 C．2D．2参考答案：C9. 在△ABC中，若，则△ABC的形状是：( )A. 等腰三角形B. 直角三角形C.等腰或直角三角形D.等腰直角三角形参考答案：A略10. 正方体ABCD－A1B1C1D1中，BB1与平面ACD1所成角的正弦值为( )A. B. C. D.参考答案：B二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 若对任意实数，规定是不超过的最大整数，如等，则当时，函数的值域为___________参考答案：12. 在等比数列{a n}中，，则．参考答案：由等比数列的性质得，∴，∴.13. 某大型超市销售的乳类商品有四种：纯奶、酸奶、婴幼儿奶粉、成人奶粉，且纯奶、酸奶、婴幼儿奶粉、成人奶粉分别有种、种、种、种不同的品牌．现采用分层抽样的方法从中抽取一个容量为的样本进行三聚氰胺安全检测，若抽取的婴幼儿奶粉的品牌数是，则．参考答案：2014. 计算：▲ .参考答案：略15. △ABC中，D为BC边上一点，BC=3BD,AD=,∠ADB=135°.若AC=AB,则BD=_____.参考答案：2+16. 已知(n∈N＋)，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2013)+f(2014)＝________.参考答案：17. 已知参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。
广东省湛江市新华中学2018年高一数学理模拟试卷含解析
广东省湛江市新华中学2018年高一数学理模拟试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 下列函数中，在区间（0，+∞）上单调递增且为偶函数的是（）A．y=x3 B．y=2xC．y=[x]（不超过x的最大整数）D．y=|x|参考答案：D【考点】函数单调性的判断与证明；函数奇偶性的判断．【分析】根据题意，对选项中的函数的单调性和奇偶性进行判定即可．【解答】解：对于A，函数y=x3，是定义域R上的奇函数，不满足题意；对于B，函数y=2x，是定义域R上的非奇非偶的函数，不满足题意；对于C，函数y=[x]，是定义域R上的奇函数，不满足题意；对于D，函数y=|x|，是定义域R上的偶函数，且在区间（0，+∞）上单调递增．故选：D．2. 交通管理部门为了解机动车驾驶员（简称驾驶员）对某新法规的知晓情况，对甲、乙、丙、丁四个社区做分层抽样调查。
假设四个社区驾驶员的总人数为，其中甲社区有驾驶员96人。
若在甲、乙、丙、丁四个社区抽取驾驶员的人数分别为12,21,25,43，则这四个社区驾驶员的总人数为（）A.101B.808C.1212D.2012参考答案：B由，所以这四个社区驾驶员的总人数为808.3. 已知数列满足，（）A． B． C．D．参考答案：C略4. 函数的图象大致是( )参考答案：B略5. 若=，则tanθ=（）A．1 B．﹣1 C．3 D．﹣3参考答案：D【考点】三角函数的化简求值．【分析】直接利用诱导公式化简求解即可．【解答】解： ==，可得sinθ=3cosθ，∴tanθ=﹣3．故选：D．6. 如果a＜b＜0，那么下列不等式成立的是（）A．B．ab＜b2 C．﹣ab＜﹣a2 D．参考答案：D【考点】不等关系与不等式．【分析】由于a＜b＜0，不妨令a=﹣2，b=﹣1，代入各个选项检验，只有D正确，从而得出结论．【解答】解：由于a＜b＜0，不妨令a=﹣2，b=﹣1，可得=﹣1，∴，故A 不正确．可得ab=2，b2=1，∴ab＞b2，故B不正确．可得﹣ab=﹣2，﹣a2=﹣4，∴﹣ab＞﹣a2，故C不正确．故选D．7. 已知在△ABC中，，且，则的值为（）A. B. C. D.参考答案：C【分析】先确定D位置，根据向量的三角形法则，将用，表示出来得到答案.【详解】故答案选C【点睛】本题考查了向量的加减，没有注意向量方向是容易犯的错误.8. 如果幂函数的图象不过原点，则的取值是( )A． B．或 C． D．参考答案：B略9. 如图所示的程序框图表示求算式“2×3×5×9×17”之值，则判断框内可以填入（）A．k≤10B．k≤16C．k≤22D．k≤34参考答案：C【考点】EF：程序框图．【分析】由程序运行的过程看这是一个求几个数的乘积的问题，验算知2×3×5×9×17五个数的积故程序只需运行5次．运行5次后，k值变为33，即可得答案．【解答】解：由题设条件可以看出，此程序是一个求几个数的连乘积的问题，第一次乘入的数是2，由于程序框图表示求算式“2×3×5×9×17”之值，以后所乘的数依次为3，5，9，17，2×3×5×9×17五个数的积故程序只需运行5次，运行5次后，k值变为33，故判断框中应填k＜33，或者k≤22．故选C．【点评】本题考查识图的能力，考查根据所给信息给循环结构中判断框填加条件以使程序运行的结果是题目中所给的结果．10. 空间中到A、B两点距离相等的点构成的集合是( )A．线段AB的中垂线B．线段AB的中垂面C．过AB中点的一条直线D．一个圆参考答案：B空间中线段AB的中垂面上的任意一点到A、B两点距离相等．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知a+a=5（a＞0，x∈R），则a x+a﹣x= ．参考答案：23【考点】有理数指数幂的化简求值．【专题】函数的性质及应用．【分析】利用a的平方等于a x，所以只要将已知等式两边平方即可．【解答】解：由已知a+a=5得（a+a）2=25，展开得a x+a﹣x+2=25，所以a x+a﹣x=25﹣2=23；故答案为：23【点评】本题考查了幂的乘方的运用以及完全平方式的运用，关键是发现（a）2=a x，以及a×a=1．12. 已知参考答案：13. 函数y=2sinπx（x∈R）的部分图象如图所示，设O为坐标原点，P是图象的最高点，B是图象与x轴的交点，则tan∠OPB的值为．参考答案：【考点】正弦函数的图象．【分析】过P作PQ垂直于x轴，根据正弦函数的图象与性质，得出点P、B和Q的坐标，计算|PQ|，|OQ|，|BQ|的长，利用锐角三角函数定义表示出tan∠OPQ和tan∠BPQ，计算tan∠OPB的值即可．【解答】解：过P作PQ⊥x轴，如图所示：∵函数y=2sinπx，且P是图象的最高点，B是图象与x轴的交点，∴P（，2），B（2，0），即|PQ|=2，|OQ|=，|OB|=2，∴|QB|=|OB|﹣|OQ|=，在Rt△OPQ中，tan∠OPQ==，在Rt△PQB中，tan∠BPQ==，∴tan∠OPB=tan（∠OPQ+∠BPQ）==．故答案为：．【点评】本题考查了两角和与差的正切函数公式，锐角三角函数定义以及正弦函数的图象与性质，作出辅助线PQ，找P、B的坐标是解题的关键．14. 已知，则________.参考答案：2【分析】首先利用，求出t值，然后利用数量积运算即可得到答案.【详解】根据题意，可知，又，求得，所以，故答案为2.【点睛】本题主要考查数量积运算，难度不大.15. 若函数对于上的任意都有，则实数的取值范围是▲．参考答案：略16. 函数满足，写出满足此条件的两个函数解析式：＝，＝；参考答案：答案不唯一17. 已知,则的值是_____________.参考答案：略三、解答题：本大题共5小题，共72分。
广东省湛江第一中学2018-2019学年高一上学期第一次大考数学试题(解析版)
广东省湛江第一中学2018-2019学年高一上学期第一次大考数学试题考试时间：120分钟满分：150分一、选择题（每题5分，共12题60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目只有一项符合题目要求的）1.设集合A＝{0,2,4,6,8,10}，B＝{4,8}，则∁A B＝( )A. {4,8}B. {0,2,6}C. {0,2,6,10}D. {0,2,4,6,8,10}【答案】C【解析】【分析】根据补集定义求解.【详解】∵A∩B＝{4,8}，∴∁A B＝{0,2,6,10}．故选C．【点睛】本题考查补集的定义，考查基本求解能力.2.函数的定义域为( )A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】函数有意义，要求【详解】函数有意义，要求故答案为：C.【点睛】这个题目考查了具体函数的定义域问题，对于函数定义域问题，首先分式要满足分母不为0，根式要求被开方数大于等于0，对数要求真数大于0，幂指数要求底数不等于0即可.3.设，下列图形中表示集合A到集合B的函数图形的是( )A. B.C. D.【答案】D【解析】试题分析：A选项中，图象过原点（0，0），纵坐标为0，与值域B矛盾；B选项中，图象上个点的横坐标均在[0，2]上，纵坐标均在[1，2]上，故正确；C，D选项中，值域均为{1，2}，与题干中的值域矛盾；故正确选项为B．考点：函数图象与定义域，值域的关系．4.设函数=则 ( )A. B. C. 1 D. 4【答案】D【解析】【分析】根据函数的解析式得到=，.【详解】函数=,=,.故答案为：D.【点睛】这个题目考查了分段函数的解析式和性质，求分段函数的函数值，要先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，当出现的形式时，应从内到外依次求值;求某条件下自变量的值，先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记代入检验，看所求的自变量的值是否满足相应段自变量的取值范围.5.若，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】所以6.若，则的值为( )A. 0B. 1C.D. 1或【答案】C【解析】【分析】由集合相等的性质求出b=0，a=﹣1，由此能求出a2017+b2017的值．【详解】∵，, b=0,,,a=-1或1，根据集合元素的互异性得到a=-1.∴b=0，a=﹣1，∴a2017+b2017=（﹣1）2017+02017=﹣1．故选：C．【点睛】本题考查代数式求值，是基础题，解题时要认真审题，注意集合相等的性质的合理运用．同时也考查到了集合相等的概念和集合元素的互异性，集合相等即集合元素完全相同，互异性指的是同一个集合内不能有重复的元素.7.若不等式对任意实数均成立，则实数的取值范围是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】试题分析：不等式对任意实数均成立等价于恒成立．当即时,不等式变形为,恒成立；当时依题意可得综上可得．故B正确．考点：1一元二次不等式；2转化思想．【易错点晴】本题主要考查的是一元二次不等式恒成立问题考查转化思想,难度中等．将原问题转化为恒成立问题．往往考虑二次函数开口向下且判别式小于0,而忽视二次项系数等于0的情况出错．8.已知函数是定义在R上的偶函数，当时，是增函数，且，则不等式的解集为( )A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据函数的奇偶性和单调性之间的关系，将不等式进行转化，即可得到不等式的解集．【详解】∵偶函数f（x）在[0，+∞）上为增函数，f（﹣1）=0，∴f（﹣1）=f（1）=0，则函数f（x）对应的图象如图：则f（x）＜0的解为﹣1＜x＜1，即不等式的解集为（﹣1，1），故选：A．【点睛】本题主要考查不等式的解法，利用函数的奇偶性和单调性之间的关系是解决本题的关键，综合考查函数性质的应用．当函数的解析式比较复杂或者没有解析式的抽象函数，通常采用的方法是研究函数的单调性和奇偶性，从而可以直接比较自变量的大小即可.9.若与在区间[1，2]上都是减函数，则的取值范围是( )A. B. C. [0，1] D. (0，1]【答案】D【解析】【分析】f（x）为二次函数，单调性结合图象解决，而g（x）为指数型函数，单调性只需看底数与1的大小即可．【详解】f（x）=﹣x2+2ax在区间[1，2]上是减函数，故对称轴x=a≤1；g（x）=（a+1）1﹣x在区间[1，2]上是减函数，只需a+1＞1，即a＞0，综上可得0＜a≤1．故选：D．【点睛】本题考查已知函数单调性求参数范围，属基本题．掌握好基本函数的单调性是解决本题的关键．考查了二次函数的单调性，和二次函数的对称轴有关系，指数型函数的单调性，和底数有直接关系.10.若一系列函数的解析式相同，值域相同，但定义域不同，则称这些函数为“孪生函数”，那么函数解析式为，值域为的“孪生函数”共有( )A. 10个B. 9个C. 8个D. 4个【答案】B【解析】【分析】根据孪生函数的定义，即函数的定义域不同而已，，解得x=-1或1，解得x=-2或2，分别写出函数的定义域即可.【详解】函数解析式为，值域为，根据孪生函数的定义，即函数的定义域不同而已，，解得x=-1或1，解得x=-2或2，定义域分别可为：｛-1，-2｝，｛-1，2｝，｛1，2｝，｛1，-2｝，｛-1，1，2｝｛-1，1，-2｝，｛-1，2，-2｝，｛1，-2，2｝，｛-1，1，-2，2｝共九个定义域不同的函数.故答案为：B.【点睛】这个题目考查了函数的三要素，函数的三要素指的是函数的定义域，对应法则，值域，当这三者完全相同时两个函数是同一函数，有一个不同则函数即不为同一函数.11.函数是上的减函数，则的取值范围是( )A. （0，1）B.C.D.【答案】B【解析】【分析】当x＜0时，函数f（x）是减函数，当x≥0时，若函数f（x）=a x是减函数，则0＜a＜1．要使函数f（x）在（﹣∞，+∞）上是减函数，还需满足0+3﹣3a≥a0，从而求得a的取值范围．【详解】当x＜0时，函数f（x）=﹣x+3﹣3a是减函数，当x≥0时，若函数f（x）=a x是减函数，则0＜a＜1．要使函数f（x）在（﹣∞，+∞）上是减函数，需满足0+3﹣3a≥a0，解得a≤，故有即0＜a≤．故答案为:B．【点睛】本题主要考查指数函数的单调性的应用，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．考查了分段函数已知单调性求参的问题，首先保证每一段上的单调性，之后再保证整个定义域上的单调性.12.已知是定义域为的奇函数，满足，若，则A. B. 0 C. 2 D. 50【答案】C【解析】【分析】根据函数奇偶性和对称性的关系求出函数的周期是4，结合函数的周期性和奇偶性进行转化求解即可．【详解】∵f（x）是奇函数，且f（1﹣x）=f（1+x），∴f（1﹣x）=f（1+x）=﹣f（x﹣1），f（0）=0，则f（x+2）=﹣f（x），则f（x+4）=﹣f（x+2）=f（x），即函数f（x）是周期为4的周期函数，∵f（1）=2，∴f（2）=f（0）=0，f（3）=f（1﹣2）=f（﹣1）=﹣f（1）=﹣2，f（4）=f（0）=0，则f（1）+f（2）+f（3）+f（4）=2+0﹣2+0=0，则f（1）+f（2）+f（3）+…+f（50）=12[f（1）+f（2）+f（3）+f（4）]+f（49）+f（50）=f（1）+f（2）=2+0=2，故选：C．【点睛】本题主要考查函数值的计算，根据函数奇偶性和对称性的关系求出函数的周期性是解决本题的关键．一般函数的对称轴为x=a，函数的对称中心为（a,0）.二、填空题（每题5分，共4题20分）13.不论为何值，函数的图象一定经过点P，则点P的坐标为___________.【答案】【解析】【分析】函数过的定点，即需要指数的次数等于0即可.【详解】不论为何值，函数的图象过的定点为：x-2=0,x=2,代入解析式求得y=2,故点P （2，2）.故答案为：.【点睛】本题考查了指数函数型的函数所过的定点，即不受底数的影响，此时使得指数部分为0即可，形如的指数型函数过的定点是：.14.已知函数的定义域是[－1,1]，则的定义域为___________.【答案】【解析】【分析】函数的定义域是[－1,1],的范围是,即作用法则的范围，即函数f(x)的定义域.【详解】函数的定义域是[－1,1],的范围是，则的定义域为x的范围，即括号内能容纳的范围:. 故答案为：.【点睛】求函数定义域的类型及求法(1)已知函数解析式：构造使解析式有意义的不等式(组)求解．(2)抽象函数：①若已知函数f(x)的定义域为[a，b]，其复合函数f[g(x)]的定义域由a≤g(x)≤b求出．②若已知函数f[g(x)]的定义域为[a，b]，则f(x)的定义域为g(x)在x∈[a，b]上的值域．15.已知，分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且，则___________. 【答案】1【解析】试题分析：∵，∴，又∵，分别是定义在上的偶函数和奇函数，∴，，∴，∴．考点：函数的奇偶性．16.若关于的函数的最大值为M，最小值为N，且M＋N＝4，则实数的值为___________.【答案】2【解析】【分析】函数，g(x)是奇函数，M＋N＝【详解】函数=,其中g(x)是奇函数，M＋N＝故答案为：2.【点睛】本题考查了函数奇偶性的应用，奇函数在对称区间上的最值互为相反数，且在对称点处取得的函数值互为相反数.也用到了判断函数奇偶性的方法：奇函数*奇函数为奇函数，奇函数乘以偶函数是奇函数.三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.(1)求值：+(2)已知，求的值．【答案】（1）； （2）18. 【解析】 【分析】(1)根据指数幂的运算公式进行计算即可；（2）根据立方和公式和完全平方公式进行化简. 【详解】（１）原式=(2) 已知,=,代入上式得到18.【点睛】本题考查了指数幂的运算公式，以及立方和公式的应用，完全平方公式的应用，较为基础.18.已知全集U ＝R ，集合，．(1)若，求A∩B；(2)若A∩B＝∅，求实数的取值范围． 【答案】（1）； （2）.【解析】 【分析】(1) A ＝,，∴;(2) 当A ＝∅时，, A≠∅时，则由，易得或,解出即可，最终将两种情况并到一起. 【详解】(1)若，则A ＝，又，∴．(2)当A ＝∅时，，∴，此时满足A∩B＝∅；当A≠∅时，则由，，易得或，∴或.综上可知，实数的取值范围.【点睛】与集合元素有关问题的思路：（1）确定集合的元素是什么，即确定这个集合是数集还是点集．（2）看这些元素满足什么限制条件．（3）根据限制条件列式求参数的值或确定集合元素的个数，但要注意检验集合是否满足元素的互异性．19.已知函数是定义在上的偶函数，且当时，．（1）现已画出函数在轴左侧的图像，如图所示，请补全函数的图像，并根据图像直接写出函数的增区间；（2）求函数的解析式；（3）求函数的值域。
湛江市第一中学2017-2018学年高二数学上学期第一次大考试题 理
湛江一中2017-2018学年度第一学期第一次大考高二级理科数学试卷考试时间:120分钟，满分：150分参考公式：用最小二乘法求线性回归方程系数公式1122211()()ˆ()n niii ii i nniii i x x y y x y nx ybx x xnx ====---⋅==--∑∑∑∑，a y bx =-.一、选择题：（本大题共12个小题，每小题5分，共60分。
请把答案填写在答题卷中).1．某林场有树苗30 000棵，其中松树苗4 000棵，为调查树苗的生长情况,采用分层抽样的方法抽取一个容量为150的样本，则样本中松树苗的数量为( ）A ．30B ．25C ．20D ．152．欧阳修《卖油翁》中写到：（翁)乃取一葫芦置于地，以钱覆其口,徐以杓酌油沥之，自钱孔入，而钱不湿．可见“行行出状元”，卖油翁的技艺让人叹为观止．若铜钱是直径为3cm 的圆，中间有边长为1cm 的正方形孔,若你随机向铜钱上滴一滴油，则油（油滴的大小忽略不计)正好落入孔中的概率是( )A ． 49π B ． π49 C ． 94πD ．π94 3．在ABC ∆中，0135=A ，030=C ，20=c ，则边a 的长为( ）A ．210B 。
220 C. 620D.36204．我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯?”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯（ ）A ．1盏B ．3盏C ．5盏D ．9盏5．已知x 与y 之间的几组数据如下表：假设根据上表数据所得线性回归直线方程为a x b y ˆˆˆ+=．若某同学根据上表中前两组数据)0,1(和)2,2(求得的直线方程为a x b y '+'=,则以下结论正确的是( ）A ．a a b b '>'>ˆ,ˆB ．a a b b '<'>ˆ,ˆC ．a a b b '>'<ˆ,ˆD ．a a b b'<'<ˆ,ˆ源：学 6．用三种不同颜色给下图中3个矩形随机涂色,每个矩形只涂一种颜色,则3个矩形颜色都不同的概率是（ ） A. 19B 。
《广东省湛江市届高三普通高考模拟测试题(一)(数学理)扫描版》
湛江市 2018 年一般高考测试（一）理科数学
本试卷共 4 页， 21 小题，满分150 分．考试用时120 分钟．
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共8 小题，每题 5 分，满分40 分．
6. 甲乙两人从 4 门课程中各选 2 门，则甲乙所选的课程中起码有 1 门不同样的选法共有
A.6 种种种种
7、设 p：“ >3”q:“f ( x)x3ax21在 (0,2) 上有独一零点” ，则 p 是 q 的
A 、充足不用要条件
B 、必需不充足条件
C、充要条件 D 、既不充足也不用要条件
8、设 g( x)是定义在 R上，以 1为周期的函数，若 f ( x) x g( x)
在 [0,1]上的值域为[-2,5]，则f(x)在区间[0,3]上的值域为
A、[-2,7 ]
B、 [-2,5 ]
C、 [0,8 ]
D、 [-3,7 ]
第Ⅱ卷
二、填空题：本大题共7 小题，考生作答 6 小题，每题 5 分，满分 30 分．
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三、解答题：本大题共 6 小题，满分 80 分，解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤。
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广东省湛江第一中学2018-2019学年高二上学期第一次大考数学(理)试题(解析版)
广东省湛江第一中学2018-2019学年高二上学期第一次大考数学（理）试题一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.数列1，3，6，10，的一个通项公式是A. B. C. D.【答案】C【解析】解：仔细观察数列1，3，6，10，可以发现：第n项为，数列1，3，6，10，的通项公式为，故答案为．仔细观察数列1，3，6，10，，便可发现其中的规律：第n项应该为，便可求出数列的通项公式．本题考查了数列的基本知识，考查了学生的计算能力和观察能力，属于基础题．2.已知四个条件，，能推出成立的有A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个【答案】C【解析】解：，，因此能推出成立；，，，，因此能推出成立；，，因此不能推出；，，，因此能推出成立．综上可知：只有能推出成立．故选：C．利用不等式的基本性质即可推出．熟练掌握不等式的基本性质是解题的关键．3.把1，3，6，10，15，21这些数叫做三角形数，这是因为这些数目的点子可以排成一个正三角形如图所示则第七个三角形数是A. 27B. 28C. 29D. 30【答案】B【解析】解：原来三角形数是从l开始的连续自然数的和．l是第一个三角形数，第1个数是1；3是第二个三角形数，第2个数是；6是第三个三角形数，第3个数是：；10是第四个三角形数，第4个数是：；15是第五个三角形数，第5个数是：；那么，第七个三角形数就是：．故选：B．原来三角形数是从l开始的连续自然数的和是第一个三角形数，3是第二个三角形数，6是第三个三角形数，10是第四个三角形数，15是第五个三角形数那么，第七个三角形数就是：．本题考查数列在生产实际中的应用，考查运算求解能力，推理论证能力；考查化归与转化思想综合性强，难度大，易出错，是高考的重点解题时要认真审题，注意总结规律，属于中档题．4.在中，A：：2，，则a：b：A. 1：2：3B. 3：2：1C. 2：：1D. 1：：2【答案】D【解析】解：在中，A：：2，，可得，，．a：b：：：：：：：2．故选：D．求出C，利用A：：2，求出A，B，然后利用正弦定理推出结果即可．本题考查正弦定理以及三角形的解法，考查计算能力．5.若x，y满足，则的最大值为A. 0B. 3C. 4D. 5【答案】C【解析】解：作出不等式组对应的平面区域如图：阴影部分．设得，平移直线，由图象可知当直线经过点A时，直线的截距最大，此时z最大．由，解得，即，代入目标函数得．即目标函数的最大值为4．故选：C．作出不等式组对应的平面区域，目标函数的几何意义是直线的纵截距，利用数形结合即可求z的取值范围．本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义，结合数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法．6.在中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，若，则此三角形一定是A. 等腰直角三角形B. 直角三角形C. 等腰三角形D. 等腰三角形或直角三角形【答案】C【解析】解：在中，，，，，此三角形一定是等腰三角形．故选：C．利用余弦定理代入，推出三角形的边的关系判断即可．本题考查三角形的形状判断，着重考查余弦定理的应用，属于中档题．7.设等差数列、的前n项和分别为，，若对于任意的正整数n都有，则A. B. C. D.【答案】A【解析】解：由题意可得故选：A．由等差数列的性质和求和公式可得原式，代值计算可得．本题考查等差数列的性质和求和公式，涉及整体思想，属基础题．8.已知函数，对任意实数x都有成立，若当时，恒成立，则b的取值范围是A. B. C. 或 D. 不能确定【答案】C【解析】【分析】先根据条件“对任意实数x都有成立”得到对称轴，求出a，再研究函数在上的单调性，求出函数的最小值，使最小值大于零即可．本题主要考查了函数恒成立问题，二次函数在给定区间上恒成立问题必须从开口方向，对称轴，判别式及端点的函数值符号4个角度进行考虑．【解答】解：对任意实数x都有成立，函数的对称轴为，解得，函数的对称轴为，开口向下，函数在上是单调递增函数，而恒成立，，解得或，故选C．9.已知数列是等比数列，数列是等差数列，若，则的值是A. 1B.C.D.【答案】D【解析】解：在等差数列中，由，得，，，在等比数列中，由，得，，，则．故选：D．由等差数列和等比数列的性质求出，的值，代入得答案．本题考查等差数列与等比数列的综合题，考查等差数列与等比数列的性质，训练了三角函数值的求法，是中档题．10.若，则的最大值和最小值分别是A. 7、5B. 7、C. 5、D. 7、【答案】D【解析】解：由，可得则当，时，当时，故选：D．由，及诱导公式可得，由二次函数的性质，结合可求函数的最值本题主要考查了三角函数的诱导公式及二倍角公式在三角函数化简中的应用，二次函数在闭区间上的最值的求解，解题时要注意不要漏掉的条件的考虑11.不等式对任意a，恒成立，则实数x的取值范围是A. B.C. D.【答案】C【解析】解：对任意a，，，所以只需即，解得故选：C．由已知，只需小于的最小值即可，可利用基本不等式求出最小值．本题考查不等式恒成立问题，往往转化为函数最值问题．12.记方程：，方程：，方程：，其中，，是正实数当，，成等比数列时，下列选项中，能推出方程无实根的是A. 方程有实根，且有实根B. 方程有实根，且无实根C. 方程无实根，且有实根D. 方程无实根，且无实根【答案】B【解析】解：当方程有实根，且无实根时，，，即，，，，成等比数列，，即，则，即方程的判别式，此时方程无实根，故选：B．根据方程根与判别式之间的关系求出，，结合，，成等比数列求出方程的判别式的取值即可得到结论．本题主要考查方程根存在性与判别式之间的关系，结合等比数列的定义和性质判断判别式的取值关系是解决本题的关键．二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.在等差数列中，，则数列的前19项之和是______．【答案】95【解析】解：等差数列中，，故有，数列的前19项之和，故答案为95．根据等差数列的定义和性质可得，代入等差数列的前n项和公式运算求得结果．本题主要考查等差数列的定义和性质、以及前n项和公式的应用，属于基础题．14.给出平面区域如图所示，若使目标函数，取得最大值的最优解有无数个，则a值为______【答案】【解析】解：由题意，最优解应在线段AC上取到，故应与直线AC平行，，，故应填．由题设条件，目标函数，取得最大值的最优解有无数个知取得最优解必在边界上而不是在顶点上，目标函数中两个系数皆为正，故最大值应在左上方边界AC上取到，即应与直线AC平行；进而计算可得答案．本题考查线性规划最优解的判定，属于该知识的逆用题型，知最优解的特征，判断出最优解的位置求参数．15.在中，D为AB的一个三等分点，，，，则______．【答案】【解析】解：令，，则：，，则利用余弦定理可得：．．故答案为：．令，，可求，，利用余弦定理可得关于的等式，解得m的值，利用余弦定理即可求的值．本题主要考查了余弦定理在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，数形结合思想，属于中档题．16.已知，二次三项式对一切实数恒成立，又，使，则的最小值为______．【答案】【解析】解：已知，二次三项式对于一切实数x恒成立，，且，．再由，使成立，可得，，，，当且仅当时取等号故的最小值为，故答案为：．由条件求得，，由此把要求的式子化为，利用基本不等式即可求出答案．本题主要考查基本不等式的应用以及函数恒成立的问题，式子的变形是解题的难点和关键，属于中档题．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.如图所示，在四边形ABCD中，，且，，．Ⅰ求的面积Ⅱ若，求AB的长．【答案】解：Ⅰ分因为，所以，分所以的面积分Ⅱ在中，，所以分在中，分把已知条件代入并化简得：因为，所以分【解析】Ⅰ求出，即可求的面积；Ⅱ在中，求出AC，在中，，把已知条件代入并化简求AB的长．本题考查二倍角的余弦公式及余弦定理等有关知识的综合运用，属于中档题．18.已知数列的前n项和是，且Ⅰ求数列的通项公式；Ⅱ设，令，求．【答案】解：Ⅰ当时，，由，得：．当时，．则，即，所以．，．故数列是以为首项，为公比的等比数列．故Ⅱ，．．．所以，．【解析】Ⅰ首先由递推式求出，取得另一递推式，两式作差后可证出数列是等比数列，则其通项公式可求；Ⅱ把Ⅰ中求出的代入递推式，则可求出，整理后得到，最后利用裂项相消求．本题考查了等差数列和等比数列的通项公式，考查了裂项相消法求数列的前n项和，考查了计算能力，是中档题．19.如图，四棱锥中，M是SB的中点，，，且，，又面SAB．证明：；证明：面SAD；求四棱锥的体积．【答案】解：证明：由面SAB，面SAB，所以，又，所以；证明：取SA中点N，连接ND，NM，则，且，，所以NMCD是平行四边形，，且平面SAD，平面SAD，所以面SAD；：：：2，过D作，交于H，由题意得，，在，中，．所以，，四棱锥的体积为：．【解析】利用平行线中的一条直线与令一条直线垂直，推出另一条直线垂直证明；取SA中点N，连接ND，NM，证明NMCD是平行四边形，通过，证明面SAD；利用：：，求出，即可求四棱锥的体积．本题考查直线与直线垂直，直线与平面平行的证明，几何体的体积的求法，考查空间想象能力，计算能力．20.已知．Ⅰ若，求的值；Ⅱ在锐角中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足，求的取值范围．【答案】本小题满分12分解：Ⅰ，分分由，得，分分Ⅱ由及正弦定理得：分，可得：分，且是锐角三角形，，可得：．，分，．．分，的取值范围是分【解析】Ⅰ利用二倍角公式化简已知可得由，得，进而利用二倍角的余弦函数公式化简所求即可得解．Ⅱ由已知及正弦定理得，结合，且是锐角三角形，可求C的值，可得，利用正弦函数的性质即可得解．本题主要考查了二倍角公式，正弦定理，正弦函数的性质在解三角形中的综合应用，考查了运算求解能力和转化思想，属于中档题．21.解关于x的不等式，．【答案】解：当时，不等式化为，解得．当，时，解得．不等式化为．当时，不等式化为，解得．当时，不等式化为，解得．当时，不等式化为，解得．综上可得：当时，不等式的解集为．当时，不等式的解集为．当时，不等式的解集为当时，不等式的解集为【解析】对a分类讨论：当时，当时，当时，当时，利用一元二次不等式的解法即可得出．本题考查了一元二次不等式的解法、分类讨论的思想方法，属于基础题．22.数列的通项是关于x的不等式的解集中的整数的个数，且已知．求数列的通项公式；若，求的前n项和；求证：对且，恒有．【答案】解：由得，，解得，不等式的解集中的整数的个数是n，；由得，，，，得，，则；证明：由得，，即，随着n的增大而增大且，则的最小值是，，综上可得，对且，恒有．【解析】由一元二次不等式的解法求出x的范围，由条件求出；由化简，利用错位相减法和等比数列的前n项和公式求出；由化简，求出后化简判断出符号，判断出的单调性求出的最小值，由放缩法证明成立．本题考查等比数列的前n项和公式，利用作差法判断数列的单调性，一元二次不等式的解法，以及错位相减法和求数列的前n项和，考查放缩法在证明不等式中的应用，化简、变形能力．。
广东省湛江市第一中学2018_2019学年高二数学上学期第一次大考试题理卓越班201901080257
湛江一中2018-2019学年度第一学期第一次大考高二级理科数学试卷(B)考试时间：120分钟 满分：150分第Ⅰ卷一. 选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1.下列命题是真命题的是（ ）①命题“，”的否定是“， ”； ②命题“，x ∀∈R sin x x >0x ∃∈R 00sin x x <0x R ∃∈”的否定是“，”；③ 命题“”320010x x -+>x R ∀∈3210x x -+≤1sin ,≤∈∀x R x 是真命题；④命题“，”是真命题. 0x R ∃∈2200sin cos 1x x +>A.①② B.②③ C.②④ D.③④2. 已知数列{n a }为等比数列，472a a +=，568a a =-，则110a a +=（ ）A ．7B ．5C ．－5D ．－73.“”是“是椭圆方程”的（ ）97<<k 17922=-+-k y k x A.充分必要条件 B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不是充分条件，也不是必要条件 4. 在中，，则边上的高为（ ）ABC ∆o B BC AC 45,2,5===BC A . B . C .D . 2322365. 已知，则下列命题正确的是（ ）R c b a ∈,,A . 若 则 B . 若，则 ,b a >22bc ac >cbc a >b a >C . 若且，则 D . 若且，则,22b a >0>ab b a 11<,33b a >0<ab ba 11>6.设变量满足约束条件则的最大值为（ ）,x y 0,0,220,x x y x y ≥⎧⎪-≥⎨⎪--≤⎩32z x y =-A . 0 B . 2 C . 4 D . 67．设抛物线C ：y 2=4x 的焦点为F ，过点（–2，0）且斜率为的直线与抛物线C 交于M ，N 23两点，则=FM FN ⋅ A ．5B ．6C ．7D ．88. 已知，，若不等式恒成立，则实数的最大值是（ ） 0a >0b >212ma b a b+≥+m A . 10 B . 9 C . 8 D . 79. 椭圆的左右焦点分别为，点P 在椭圆上，且，2221(1)x y a a+=>12,F F 1290o F PF ∠=则△ 的面积S 等于( )12F PF A ． B ．C ．D ．以上都不对 1128510. 已知数列的通项公式为，其前项和为{}n a )(12cos )12()1(*∈+--=N n n n a nn πn ，则（ ）n S =60S A . -30 B . -60 C . 90 D . 12011. 设集合，对的任意非空子集A ，定义为集合A 中{}()*∈=Nn n P n ,,3,2,1 nP )(A M 的最大元素.当A 取遍的所有非空子集时，对应的的和为.则n P )(A M n S =-1n S （ ）A . B. C.D. n n 2)1(∙-12)1(+∙-n n 2)1(+n n ()2212-+n n 12.椭圆的左、右顶点分别为,点在椭圆上且直线的斜率的22:143x y C +=12,A A P C 2PA 取值范围是,那么直线斜率的取值范围是 （ ）[]2,1--1PA A ． B ． C ．D ．3384⎡⎤⎢⎥⎣⎦，1324⎡⎤⎢⎥⎣⎦，112⎡⎤⎢⎥⎣⎦，314⎡⎤⎢⎥⎣⎦第II 卷二．填空题：本大题共4小题．每小题5分，满分20分．13.在中，D 是AB 边上的点，且满足ABC ∆,2,3=+=+=BC BD AC AD BD ADPCDFE ，则= .2=CD A cos 14.已知，，则的最小值 ．,,x y z R +∈230x y z -+=2y xz15.已知双曲线C ：（a >0，b >0）的右顶点为A ，以A 为圆心，b 为半径作圆A ，22221x y a b-=圆A 与双曲线C 的一条渐近线交于M 、N 两点．若∠MAN =60°，则双曲线C 的离心率为________． 16.有穷数列前项和为.若把称为数列的“优美和”，{}n a n n S nS S S S n++++ 321{}n a 现有一个共有2017项的数列：.若其“优美和”为2018，则有2018{}n a 2017321,,,,a a a a 项数列：1，的“优美和”为 .2017321,,,,a a a a 三.解答题：本大题共6小题，满分70分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 17．（本题满分10分）已知数列的前项和为， {}n a n n S .14,0,111-=≠=+n n n n S a a a a （1）证明：数列为等差数列，并求其通项公式； {}n a （2）设，求数列的前项和为. 11+=n n n a a b {}n b n n T18. （本题满分12分）在中，内角的对边分别为， ABC ∆C B A ,,c b a ,,且. b B c C b a +=+cos cos 2（1）求的值；C cos （2）若的面积为，，求的周长. ABC ∆22=-b a ABC ∆19. （本题满分12分）如图，在矩形中，分别为ABCD ,32,2==AD AB F E ,的中点，以为折痕把折起，点到达点的位置，使.BC AD ,DF CDF ∆C P 1=PE （1）证明：平面平面； ⊥PEF ABFD （2）求二面角的正弦值. E DF P --20.（本题满分12分）已知是抛物线：的焦点， 过点作抛物线G 的两条切线F G 24x y =()1,-a P )0(≠a ,其中为切点.,PA PC ,A C (1)证明：直线经过抛物线G 的焦点F ；AC (2)设B 为抛物线G 上异于原点的点，且满足,延长BF 交抛物线G 于点D ，问0·=FB FA 当为何值时，四边形ABCD 面积最小，并求其最小值. a21. （本题满分12分）已知椭圆的左、右焦点分别为)0(1:2222>>=+b a b y a x C ，点和点都在椭圆上，是等腰直角三角形，直线21,F F )1,0(P )0(),(≠m n m A C 21F PF ∆交轴于点.PA x M （1）求椭圆的方程；C （2）设为原点，点B 与点A 关于轴对称，直线PB 交轴于点N ，证明：在y 轴上存O x x 在点Q ，使. ONQ OQM ∠=∠22. （本题满分12分） 在平面直角坐标系中，椭圆的离心xOy )0(12222>>=+b a by a x 率为，过该椭圆的右焦点作两条互相垂直的弦与CD ，当直线AB 的斜率为0时，21AB.7=+CD AB （1）求椭圆的方程；（2）求的取值范围. CD AB +湛江一中2018-2019学年度第一学期第一次大考高二级理科数学（B ）参考答案一.选择题:本大题共12小题，每小题5分，满分60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 BDCCDCDBADAA二. 填空题:本大题共4小题．每小题5分，满分20分． 13. 0; 14. 3; 15. ; 16.2018 . 332三．解答题：17. （1）证明：由及 )1(141 -=+n n n S a a )2(14121 -=+++n n n S a a (2)-(1)得，，，11214)(4)(++++=-=-n n n n n n a S S a a a ()*∈≠N n a n 0 42=-∴+n n a a………………………2分由得,14,111-==+n n n S a a a 3141411212=-=-==a S a a a 数列是首项为1，公差为4的等差数列，，∴{}12-n a 1)12(2)1(4112--=-+=-n n a n 数列是首项为3，公差为4的等差数列， {}n a 21)2(2)1(432-=-+=n n a n 由此得………………………4分()*∈-=N n n a n 12，数列是首项为1，公差为2的等差数列，其通项公式是21=-+n n a a ∴{}n a .…………5分()*∈-=N n n a n 12（2），………………………7分()()⎪⎭⎫⎝⎛+--=+-==+121121211212111n n n n a a b n n n ⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+--++⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=++++=1211217151513131121321n n b b b b T n n .………………………10分 12121121+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=n nnAPC DFEHO18.解：(1)由正弦定理及得，b Bc C b a +=+cos cos 2………………………2分B BC C B A sin cos sin cos sin 2sin +=+CB C B C B A C B A sin cos cos sin )sin(sin )(+=+=∴+-=π ………………………5分,sin cos sin 3B C B =∴31cos ,0sin =∴≠C B （2）由（1），则，31cos =C 322cos 1sin 2=-=C C 的面积为，，又，ABC ∆23,2sin 21==∴ab C ab 2=-b a 解得，.………………………9分1,3==b a 由余弦定理得………………………11分 .22,8cos 2222==-+=c C ab b a c 所以的周长为.………………………12分ABC ∆224+19.（1）证明：E 、F 分别为的中点，且BC AD ,∴AB EF //3=DE 在矩形中，，……………1分 ABCD EF AD AB AD ⊥∴⊥,由翻折的不变性，，，3,2====DE CF PF PD 7=DF 又，有即………………3分 1=PE 222DE PE PD +=,PE DE ⊥∴,PE AD ⊥又，平面，平面，………………4分E EF PE =⋂ ⊂EF PE ,PEF ⊥∴AD PEF 平面，平面平面.………………5分⊂AD ABFD ∴⊥PEF ABFD （2）过点P 作交EF 于H ，由平面垂直性质定理得EF PH ⊥平面，⊥PH ABFD 过点P 作交DF 于O ，连结OH ，则，DF PO ⊥DF OH ⊥为二面角的平面角. …………………8分 ∴POH ∠E DF P --，，由等面积法容易求得. 222EF PF PE =+o EPF 90=∠∴7212,23==PO PH在直角△POH 中，，即二面角的正弦值为. 47sin ==∠PO PH POH E DF P --47………………………12分20.解：(1) 设抛物线的切点A 的坐标为,其中，G ()11,y x 1214y x =则切线的方程是（为切线PA 的斜率），PA )(111x x k y y -=-1k 联立方程组，消去y 且将代入并整理得⎩⎨⎧=-=-yx x x k y y 4)(211121141x y = (04)141211112=-++-x x k x k x ()*为抛物线G 的切线，方程的判别式△=，PA ∴()*02141211211121=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+-x k x x k k 得，1121x k =所以切线的方程为,即,PA ()1112x y y x x -=-211122x x y x y =-+即…2分11220x x y y --=设抛物线的切点C 的坐标为,其中，G ()22,y x 2224y x =同理可得切线的方程为…………3分PC 22220x x y y --=因为切线均过点,所以,………4分 ,PA PC ()1,-a P 11220ax y -+=22220ax y -+=所以直线经过两点. 220ax y -+=()()2211,,,y x C y x A 所以直线的方程为.AC 220ax y -+=∵∴直线经过抛物线G 的焦点……………6分 02120a ⨯-⨯+=AC (01)F ，(2) 由(1)知， 直线的方程为．AC 220ax y -+=点的坐标满足方程组 消去x ，整理得，A C ，22204ax y x y-+=⎧⎨=⎩01)2(22=++-y a y 由根与系数的关系得 2212a y y +=+由抛物线的定义得…………………8分．⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+=++=+=222121442a a y y CF AF AC 因为，所以的斜率为，AC BD ⊥BD 2a-同理可求得…………9分⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=22414214a a BD ．…………11分 ()222214162412(8322ABCD S AC BD a a a a ≥⎛⎫==++=++ ⎪⎝⎭当时，等号成立．所以四边形面积的最小值为．………12分2a =±ABCD 3221.解（1）由于点在椭圆上且是等腰直角三角形，所以有)1,0(P 1:2222=+b y a x C 21F PF ∆ 又，解得，. ,22,112a cb ==222c b a +=1,2==b a 所以椭圆的方程是.………………………4分C 1222=+y x （2）在y 轴上存在点Q ，其坐标为，使.………………5分 ()2,0±ONQ OQM ∠=∠证明如下：点B 与点A 关于轴对称，x ()n m B -∴,直线的方程是，令，得，， PA 11+-=x m n y 0=y n m x -=1⎪⎭⎫⎝⎛-∴0,1n m M 同理得.……………………7分 ⎪⎭⎫⎝⎛+0,1n m N 设，则),0(0y Q ， ()0011tan y n my n mOQM -=-=∠()m y n nm y ONQ 0011tan +=+=∠，， 即， ONQ OQM ∠=∠ONQ OQM ∠=∠∴tan tan ()=-01y n m()my n 01+……………………10分,12220n m y -=∴点在椭圆上，，得， 则 ),(n m A C ∴1222=+n m 2122=-nm ,220=∴y 20±=y 所以在y 轴上存在点Q ，其坐标为，使.……………12分 ()2,0±ONQ OQM ∠=∠22.解：（1）由题意知，， 223,2,21c b c a a c e ====当直线AB 的斜率为0时，直线CD 过椭圆的右焦点且与x 轴垂直，则.2,22a b CD a AB ==，将代人722,72=+∴=+ab a CD AB 223,2c b c a ==解得，3,2,1===b a c 椭圆的方程是.………………………4分∴13422=+y x （2）①当两条直线中有一条斜率为0时，另一条直线的斜率不存在，由题意可知………………………5分.7=+CD AB ②当两条直线斜率都存在且不为0时，由（1）知. )0,1(F 设，直线AB 的方程为，),(),,(2211y x B y x A )1(-=x k y 则直线CD 的方程为， )1(1--=x ky 将直线AB 的方程代人椭圆的方程并整理得………7分()01248432222=-+-+k x k x k 其判别式△=……………8分 ,0)1(1442>+k ∴2221222143124,438k k x x k k x x +-=+=+，同理得， ∴()()[]()222122124311241k k x x x x k AB ++=-++=()4311222++=k k CD +=，∴=+CD AB ()2243112k k ++()4311222++k k ()()()43431842222+++k k k 令，则，()112>+=t k t 1343,144322+=+-=+t k t k 设， ()()44921112111314)(222+⎪⎭⎫ ⎝⎛--=++-=+-=t t t t t t t f ，.()⎥⎦⎤⎝⎛∈∴∈∴>449,12)(,1,01,1t f t t ∴⎪⎭⎫⎢⎣⎡∈=+7,748)(84t f CD AB 综合①②可知，的取值范围是.………………………12分CD AB +⎪⎭⎫⎢⎣⎡7,748。
广东省湛江第一中学2018-2019学年高一上学期第一次大考数学试题(解析版)
广东省湛江第一中学2018-2019学年高一上学期第一次大考数学试题考试时间：120分钟满分：150分一、选择题（每题5分，共12题60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目只有一项符合题目要求的）1.设集合A＝{0,2,4,6,8,10}，B＝{4,8}，则∁A B＝( )A. {4,8}B. {0,2,6}C. {0,2,6,10}D. {0,2,4,6,8,10}【答案】C【解析】【分析】根据补集定义求解.【详解】∵A∩B＝{4,8}，∴∁A B＝{0,2,6,10}．故选C．【点睛】本题考查补集的定义，考查基本求解能力.2.函数的定义域为( )A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】函数有意义，要求【详解】函数有意义，要求故答案为：C.【点睛】这个题目考查了具体函数的定义域问题，对于函数定义域问题，首先分式要满足分母不为0，根式要求被开方数大于等于0，对数要求真数大于0，幂指数要求底数不等于0即可.3.设，下列图形中表示集合A到集合B的函数图形的是( )A. B.C. D.【答案】D【解析】试题分析：A选项中，图象过原点（0，0），纵坐标为0，与值域B矛盾；B选项中，图象上个点的横坐标均在[0，2]上，纵坐标均在[1，2]上，故正确；C，D选项中，值域均为{1，2}，与题干中的值域矛盾；故正确选项为B．考点：函数图象与定义域，值域的关系．4.设函数=则 ( )A. B. C. 1 D. 4【答案】D【解析】【分析】根据函数的解析式得到=，.【详解】函数=,=,.故答案为：D.【点睛】这个题目考查了分段函数的解析式和性质，求分段函数的函数值，要先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，当出现的形式时，应从内到外依次求值;求某条件下自变量的值，先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记代入检验，看所求的自变量的值是否满足相应段自变量的取值范围.5.若，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】所以6.若，则的值为( )A. 0B. 1C.D. 1或【答案】C【解析】【分析】由集合相等的性质求出b=0，a=﹣1，由此能求出a2017+b2017的值．【详解】∵，, b=0,,,a=-1或1，根据集合元素的互异性得到a=-1.∴b=0，a=﹣1，∴a2017+b2017=（﹣1）2017+02017=﹣1．故选：C．【点睛】本题考查代数式求值，是基础题，解题时要认真审题，注意集合相等的性质的合理运用．同时也考查到了集合相等的概念和集合元素的互异性，集合相等即集合元素完全相同，互异性指的是同一个集合内不能有重复的元素.7.若不等式对任意实数均成立，则实数的取值范围是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】试题分析：不等式对任意实数均成立等价于恒成立．当即时,不等式变形为,恒成立；当时依题意可得综上可得．故B正确．考点：1一元二次不等式；2转化思想．【易错点晴】本题主要考查的是一元二次不等式恒成立问题考查转化思想,难度中等．将原问题转化为恒成立问题．往往考虑二次函数开口向下且判别式小于0,而忽视二次项系数等于0的情况出错．8.已知函数是定义在R上的偶函数，当时，是增函数，且，则不等式的解集为( )A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据函数的奇偶性和单调性之间的关系，将不等式进行转化，即可得到不等式的解集．【详解】∵偶函数f（x）在[0，+∞）上为增函数，f（﹣1）=0，∴f（﹣1）=f（1）=0，则函数f（x）对应的图象如图：则f（x）＜0的解为﹣1＜x＜1，即不等式的解集为（﹣1，1），故选：A．【点睛】本题主要考查不等式的解法，利用函数的奇偶性和单调性之间的关系是解决本题的关键，综合考查函数性质的应用．当函数的解析式比较复杂或者没有解析式的抽象函数，通常采用的方法是研究函数的单调性和奇偶性，从而可以直接比较自变量的大小即可.9.若与在区间[1，2]上都是减函数，则的取值范围是( )A. B. C. [0，1] D. (0，1]【答案】D【解析】【分析】f（x）为二次函数，单调性结合图象解决，而g（x）为指数型函数，单调性只需看底数与1的大小即可．【详解】f（x）=﹣x2+2ax在区间[1，2]上是减函数，故对称轴x=a≤1；g（x）=（a+1）1﹣x在区间[1，2]上是减函数，只需a+1＞1，即a＞0，综上可得0＜a≤1．故选：D．【点睛】本题考查已知函数单调性求参数范围，属基本题．掌握好基本函数的单调性是解决本题的关键．考查了二次函数的单调性，和二次函数的对称轴有关系，指数型函数的单调性，和底数有直接关系.10.若一系列函数的解析式相同，值域相同，但定义域不同，则称这些函数为“孪生函数”，那么函数解析式为，值域为的“孪生函数”共有( )A. 10个B. 9个C. 8个D. 4个【答案】B【解析】【分析】根据孪生函数的定义，即函数的定义域不同而已，，解得x=-1或1，解得x=-2或2，分别写出函数的定义域即可.【详解】函数解析式为，值域为，根据孪生函数的定义，即函数的定义域不同而已，，解得x=-1或1，解得x=-2或2，定义域分别可为：｛-1，-2｝，｛-1，2｝，｛1，2｝，｛1，-2｝，｛-1，1，2｝｛-1，1，-2｝，｛-1，2，-2｝，｛1，-2，2｝，｛-1，1，-2，2｝共九个定义域不同的函数.故答案为：B.【点睛】这个题目考查了函数的三要素，函数的三要素指的是函数的定义域，对应法则，值域，当这三者完全相同时两个函数是同一函数，有一个不同则函数即不为同一函数.11.函数是上的减函数，则的取值范围是( )A. （0，1）B.C.D.【答案】B【解析】【分析】当x＜0时，函数f（x）是减函数，当x≥0时，若函数f（x）=a x是减函数，则0＜a＜1．要使函数f（x）在（﹣∞，+∞）上是减函数，还需满足0+3﹣3a≥a0，从而求得a的取值范围．【详解】当x＜0时，函数f（x）=﹣x+3﹣3a是减函数，当x≥0时，若函数f（x）=a x是减函数，则0＜a＜1．要使函数f（x）在（﹣∞，+∞）上是减函数，需满足0+3﹣3a≥a0，解得a≤，故有即0＜a≤．故答案为:B．【点睛】本题主要考查指数函数的单调性的应用，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．考查了分段函数已知单调性求参的问题，首先保证每一段上的单调性，之后再保证整个定义域上的单调性.12.已知是定义域为的奇函数，满足，若，则A. B. 0 C. 2 D. 50【答案】C【解析】【分析】根据函数奇偶性和对称性的关系求出函数的周期是4，结合函数的周期性和奇偶性进行转化求解即可．【详解】∵f（x）是奇函数，且f（1﹣x）=f（1+x），∴f（1﹣x）=f（1+x）=﹣f（x﹣1），f（0）=0，则f（x+2）=﹣f（x），则f（x+4）=﹣f（x+2）=f（x），即函数f（x）是周期为4的周期函数，∵f（1）=2，∴f（2）=f（0）=0，f（3）=f（1﹣2）=f（﹣1）=﹣f（1）=﹣2，f（4）=f（0）=0，则f（1）+f（2）+f（3）+f（4）=2+0﹣2+0=0，则f（1）+f（2）+f（3）+…+f（50）=12[f（1）+f（2）+f（3）+f（4）]+f（49）+f（50）=f（1）+f（2）=2+0=2，故选：C．【点睛】本题主要考查函数值的计算，根据函数奇偶性和对称性的关系求出函数的周期性是解决本题的关键．一般函数的对称轴为x=a，函数的对称中心为（a,0）.二、填空题（每题5分，共4题20分）13.不论为何值，函数的图象一定经过点P，则点P的坐标为___________.【答案】【解析】【分析】函数过的定点，即需要指数的次数等于0即可.【详解】不论为何值，函数的图象过的定点为：x-2=0,x=2,代入解析式求得y=2,故点P（2，2）.故答案为：.【点睛】本题考查了指数函数型的函数所过的定点，即不受底数的影响，此时使得指数部分为0即可，形如的指数型函数过的定点是：.14.已知函数的定义域是[－1,1]，则的定义域为___________.【答案】【解析】【分析】函数的定义域是[－1,1],的范围是,即作用法则的范围，即函数f(x)的定义域.【详解】函数的定义域是[－1,1],的范围是，则的定义域为x的范围，即括号内能容纳的范围:.故答案为：.【点睛】求函数定义域的类型及求法(1)已知函数解析式：构造使解析式有意义的不等式(组)求解．(2)抽象函数：①若已知函数f(x)的定义域为[a，b]，其复合函数f[g(x)]的定义域由a≤g(x)≤b求出．②若已知函数f[g(x)]的定义域为[a，b]，则f(x)的定义域为g(x)在x∈[a，b]上的值域．15.已知，分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且，则___________.【答案】1【解析】试题分析：∵，∴，又∵，分别是定义在上的偶函数和奇函数，∴，，∴，∴．考点：函数的奇偶性．16.若关于的函数的最大值为M，最小值为N，且M＋N＝4，则实数的值为___________.【答案】2【解析】【分析】函数，g(x)是奇函数，M＋N＝【详解】函数=,其中g(x)是奇函数，M＋N＝故答案为：2.【点睛】本题考查了函数奇偶性的应用，奇函数在对称区间上的最值互为相反数，且在对称点处取得的函数值互为相反数.也用到了判断函数奇偶性的方法：奇函数*奇函数为奇函数，奇函数乘以偶函数是奇函数.三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.(1)求值：+(2)已知，求的值．【答案】（1）；（2）18.【解析】【分析】(1)根据指数幂的运算公式进行计算即可；（2）根据立方和公式和完全平方公式进行化简.【详解】（１）原式=(2) 已知,=,代入上式得到18.【点睛】本题考查了指数幂的运算公式，以及立方和公式的应用，完全平方公式的应用，较为基础.18.已知全集U＝R，集合，．(1)若，求A∩B；(2)若A∩B＝∅，求实数的取值范围．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】(1)A＝,，∴;(2) 当A＝∅时，, A≠∅时，则由，易得或,解出即可，最终将两种情况并到一起.【详解】(1)若，则A＝，又，∴．(2)当A＝∅时，，∴，此时满足A∩B＝∅；当A≠∅时，则由，，易得或，∴或.综上可知，实数的取值范围.【点睛】与集合元素有关问题的思路：（1）确定集合的元素是什么，即确定这个集合是数集还是点集．（2）看这些元素满足什么限制条件．（3）根据限制条件列式求参数的值或确定集合元素的个数，但要注意检验集合是否满足元素的互异性．19.已知函数是定义在上的偶函数，且当时，．（1）现已画出函数在轴左侧的图像，如图所示，请补全函数的图像，并根据图像直接写出函数的增区间；（2）求函数的解析式；（3）求函数的值域。