高数 上册 下册基本概念和基本方法

f ′( x) =
2 ln a ⋅ a x ; a
x > 0, f ′( x) =
x cos x − sin x x2
2 x 2 2 x a +1− −1 (a − 1) f ( x) − f (0) 2 a a a f _′ (0) = lim = lim = lim = ln a − − → x → 0− x 0 x → 0 x−0 x x a
2 2 2 2 2
解： y′ = 2 xf ′( x ) ， y′′ = 2 f ′( x ) + 4 x f ′′( x ) . 例4 求方程 e − e + xy = 0 所确定的隐函数 y 的导数.
y
解：方程两边分别对 x 求导数，注意 y = y ( x)
d y dy dy + y+x (e − e + xy ) = e y dx dx dx dy y dy 由于等式两边对 x 的导数相等，所以 e + y+x =0 dx dx dy y 从而 =− , ( x + e y ≠ 0) . y dx x+e 1 例 5 求由方程 x − y + sin y = 0 所确定的函数 y = y ( x) 的二阶导数. 2 1 解：方程两边分别对 x 求导数， 1 − y′ + cos y ⋅ y′ = 0 2
2．闭区间上连续函数的性质
会应用闭区间上连续函数的性质 （最大值、 最小值定理和介值定理） ， 重点为介值定理 （零 点定理） 。 例6 证明方程 x 3 − 4 x 2 + 1 = 0 在区间 ( 0 ,1 ) 内至少有一个根.
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证: 显然 f ( x) = x − 4 x + 1 ∈ C[0 ,1] , 又 f (0) = 1 > 0 , f (1) = −2 < 0 ，据零点定理, 至
⎧ x = 1 + te t 例 9 求曲线 ⎨ 3 ⎩ y=t
解：由 ⎨ 在 t = 0 的切线方程.
⎧ x = 1 + te t ， ⎩ y=t
3
得
′ 3t 2 t3 t dy = ， = t dx 1 + te t ′ t e (1 + t )
(
( )
)
t = 0 的对应点 M 处切线的斜率为
解：两边取对数：
ln y =
2 [ln( x + 1) + ln( x + 2) + ln( x + 3) − 3 ln x − ln( x + 4)] , 3 1 2 1 1 1 3 1 ⋅ y' = [ + + − − ], y 3 x +1 x + 2 x + 3 x x + 4
两边关于 x 求导：
sin x ~ x arcsin x ~ x ln(1 + x) ~ x
tan x ~ x arctan x ~ x ex −1~ x 1 2 x 2 a x − 1 ~ x ln a (a > 0) 1 − cos x ~
(1 + x) α − 1 ~ αx(α ≠ 0是常数)
例1 求 lim +
2 2
2
解：当 x → 1 时， sin( x − 1) ~ x − 1 ，且 lim( x + ax + b) = 0
x →1
a + b + 1 = 0,
b= − (a + 1)
x 2 + ax + b x 2 + ax − (a + 1) ( x − 1)( x + a + 1) = = x2 − 1 ( x − 1)( x + 1) ( x − 1)( x + 1)
x →0
1 − cos x x 1 − cos x
(
).
解： lim +
x →0
1 − cos x x(1 − cos x ) 1 + cos x
(
)
= lim+
x →0
1 x ⋅ x 1 + cos x 2
第1页
(
1 2 x 2
)
=
1 . 2
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例2
已知 lim
x →1
x 2 + ax + b = 3 ，求 a, b 的值. sin( x 2 − 1)
f ( x) − f (1) ax + b − 1 ax − a = lim = lim =a x 1 0 x 1 0 → + → + x −1 x −1 x −1
要使 f ( x ) 在 x = 1 可导，必须有 f +′ (1) = f −′ (1), 这时有 a = 2 ，再由 a + b = 1 有 b = −1 。 故当 a = 2 ， b = −1 时， f ( x ) 在 x = 1 连续且可导. 例3 设 f ′′( x) 存在，求 y = f ( x ) 的二阶导数.
第1章 第2章 第3章
函数与极限 ..........................................................................................................................1 导数与微分 ..........................................................................................................................3 微分中值定理与导数的应用 ...............................................................................................7 不定积分 定积分和定积分的应用 .......................................................................12
方程左边对 x 求导得 于是
y′ =
2 2 − cos y
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上式两边再对 x 求导，得 例6
5
y′′ =
7
−2sin y ⋅ y′ −4sin y = . 2 (2 − cos y ) (2 − cos y )3
求由方程 y + 2 y − x − 3 x = 0 所确定的隐函数在 x = 0 处的导数.
例4
计算 lim
x →0
2 − 1 + cos x . sin 2 x
解：原式 = lim
x →0
( 2 − 1 + cos x )( 2 + 1 + cos x ) 1 − cos x 1 = lim 2 = . 2 0 x → x ( 2 + 1 + cos x ) x ( 2 + 1 + cos x ) 4 2
第 4、5、6 章
第七章 常微分方程 ........................................................................................................................18
第 1 章 函数与极限
1 x 2 sin − 0 1 f ( x) − f (0) x 又 f ′(0) = lim = lim = lim x sin = 0 0 0 x →0 x → x → x x x
所以函数在 x = 0 处可导。 例2 设函数 f ( x ) = ⎨
⎧ x2 ,
x ≤1
⎩ax + b, x > 1,
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lim
x 2 + ax + b a + 2 = = 3 ⇒ a = 4, b = −5 x −>1 x2 − 1 2
tan 2 2 x 例 3 求 lim . x →0 1 − cos x
解： 当x → 0时, 1 − cos x ~
1 2 x , tan 2 x ~ 2 x. 2
原式 = lim
(2 x) 2 =8 x →0 1 2 x 2
f ( 4) = 4 − e 4 − 3 − 1 = 3 − e > 0 ，
根据零点定理，在开区间 (0 , 4) 内至少存在一点 ξ ∈ (0 , 4) , 使 f (ξ ) = 0 , 原命题得证
第 2 章 导数与微分
要点
导数和微分
例题选解 1．导数和微分
理解导数和微分的概念，理解函数的可导性与连续性之间的关系。 掌握导数的四则运算法则和复合函数的求导法，掌握基本初等函数的导数公式，了解微 分的四则运算法则和一阶微分形式的不变性，了解微分在近似计算中的应用。 会求简单函数的 n 阶导数。 会求分段函数的一阶、二阶导数。 会求隐函数和由参数方程所确定的函数的一阶、二阶导数，会求反函数的导数。 理解导数的几何意义，会求平面曲线的切线方程和法线方程；理解导数的物理意义，会用 导数描述一些物理量。
于是
dy 2 1 1 1 3 1 = y( + + − − ) dx 3 x + 1 x + 2 x + 3 x x + 4
例8
求由参数方程 ⎨
⎧ x = a (t − sin t ) 所表示的函数 y = y ( x) 的二阶导数. ⎩ y = a (1 − cos t )
dy dy dt a sin t t 解： = = = cot 2 dx dx a (1 − cos t ) dt 2 d y d t 1 1 1 1 , (t ≠ 2nπ , n ∈ Z ) =− = (cot ) ⋅ =− ⋅ 2 2 2 dx (1 cos ) a (1 cos t ) − dx dt a − t 2 t 2sin 2 dt
1 ⎧ 2 ⎪ x sin , x ≠ 0 例 1 讨论 f ( x) = ⎨ 在 x = 0 处的连续性与可导性. x ⎪ x=0 ⎩0,
解：因为 lim f ( x) = lim x sin
2 x →0 x →0
1 = 0 = f (0) ，所以函数在 x = 0 处连续。 x
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要使 f ( x ) 在 x = 1 连续，必须有 f (1 − 0) = f (1 + 0) ，这时有 又 f −′ (1) = lim
a + b = 1.
x →1− 0
f ( x) − f (1) x2 − 1 = lim =2 x →1− 0 x − 1 x −1
f +′(1) = lim
x →1+ 0
3 2
少存在一点 ξ ∈ (0 ,1) , 使 f (ξ ) = 0 , 即 ξ − 4ξ + 1 = 0 .
3 2
例7
证明 x = e x −3 + 1 至少有一个不超过 4 的正根.
x −3
证：令 f ( x) = x − e
− 1 ，显然 f ( x) 在闭区间 [ 0 , 4 ] 上连续 , 且 f (0) = − e −3 − 1 < 0
解：因为当 x = 0 时，从原方程得 y = 0 . 方程的两边分别对 x 求导，有 代入 x = 0 ， y = 0 ，得
5 y 4 y′ + 2 y′ − 1 − 21x 6 = 0 1 . 2
y′ x =0 =
2
⎡ ( x + 1)( x + 2)( x + 3) ⎤ 3 dy 例7 求y= ⎢ ⎥ 的导数 . 3 dx x ⋅ ( x + 4) ⎣ ⎦
所以， M 处切线的方程为
dy dt
， = 0 ， M 点的坐标为（1，0）
t =0
y = 0．
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2 ⎧2 x a +1− , x ≤ 0 ⎪ ⎪a a 例 10 设 f ( x) = ⎨ ⎪ sin x , x>0 ⎪ ⎩ x
解： x < 0,
(a > 0, a ≠ 1), 求 f ′( x) .
要点
数列与函数的极限 闭区间上连续函数的性质
例题选解 1．数列与函数的极限
理解极限的概念，理解函数左、右极限的概念，以及极限存在与左、右极限之间的关系。 掌握极限的性质及四则运算法则。掌握极限存在的两个准则，并会利用它们求极限。掌握利用 两个重要极限求极限的方法。理解无穷小、无穷大以及无穷小的阶的概念，会用等价无穷小求 极限。理解函数连续性的概念，会判别函数间断点的类型。 常用等价无穷小关系：当 x → 0 时，有
例5
计算 lim(
n →∞
2n − 1 n ) . 2n + 1
解： lim(
n →∞
2n − 1 n 2 n 1 n+ 1 1 −1 1 −1 1 ) = lim(1 − ) = lim(1 − ) 2 ⋅ (1 − ) 2 = ⋅1 2 = n →∞ n →∞ 1 1 2n + 1 2n + 1 e e n+ n+ 2 2
2 x →1− 0
问 a , b 取何值时， f ( x ) 在 x = 1 连续且可导.
解： f (1 − 0) = lim f ( x ) = lim x = 1 ， f (1 + 0) = lim f ( x) = lim (ax + b) = a + b ，
x →1− 0
x →1+ 0
x →1+ 0