中考数学专题讲义垂直类
2021年中考复习讲义初中几何典型模型一：一线三垂直模型
初中数学典型模型之一： “三垂直模型”介绍总体解题思路：只要出现此典型图形，一般都要证三角形全等或相似，再根据全等或相似性质解题.（一）基本图形： 1.“三垂”例1.如图，矩形ABCD 中，E 在AD 上，且EF ⊥EC ，EF=EC ，DE=2，矩形的周长为16，则AE=__ 解析：如图1，典型的“三垂直模型”，由于有等边（EF=EC ）先证△AEF ≌△DCE ， ∴AE=DC ，∴AD-DC=2，∵AD+DC=8，∴AD=5，DC=3，∴AE=3例2.一块矩形木板ABCD ，长AD=3cm,宽AB=2cm,小虎将一块等腰直角三角板的一条直角边靠在顶点C 上，另一条直角边与AB 边交于点E ，三角板的直角顶点P 在AD 边上移动（不含端点A,D ），当线段BE 最短时，AP=_______解析：如图1，典型的“三垂直模型”，由于没有等边，先证△AEP ∽△DPC ， ∴AP CD=AE PD。
当题目出现线段最值时，初三的数学中有两种解题方法：①几何论证方法；②代数论证方法-----通过设未知数，把几何中的线段关系转化成二次函数形式，运用二次函数求最值的方法解题；（详见“动态问题下求线段长”），此题可采用代数论证方法，设BE =y,AP =x ，∴x2=2−y 3−x, ∴y =x 2−3x +4=(x −32)2+74, ∴a =1>0 , ∴x =32时，y 最小值=742.两种变化图形（1）“交叉型”三垂直模型 （2）“L 型”三垂直模型A BC DEF 图1PA BCD E 证明：∵∠1+∠2=90°，∠2+∠A=90°，∴∠1=∠A 又∵∠B=∠C ，若其中有一组边相等，则证ABE ≅ECD;若没有边相等，则证ABE ~ECD;21AB CED证明：∵∠1+∠2=90°，∠2+∠A=90°，∴∠1=∠A 又∵∠B=∠C ，若其中有一组边相等，则证ABE ≅FCD;若没有边相等，则证ABE ~FCD;21A BF E DC(1)若有等边，则△ABE≌△BDC（AAS ）(2)若无等边，则△ABE∽△BDC（AA ）EDCBA例3.如图，已知正方形ABCD 的边长为4，点E 、F 分别在边AB 、BC 上，且AE=BF=1，则OC= ．解析：求线段长，要么用勾股定理，要么用相似，不管走勾股定理，还是相似，都绕不过先求出∠DOC=90°，当把这个90°标在图形时，就出现“三垂直模型的变化图形—交叉型三垂直模型”，如图1，由于有等边（BC=CD ），先证△BCE ≌△CDF ，∴∠BCE =∠CDF ，∵∠BCE +∠OCD =90°，∴∠CDF +∠OCD =90°，∴∠DOC =90°；这时图形又出现了第二个典型图形：“双垂型图形”，如图2，便易得这个典型图形的一个典型的用途----两直角边的乘积会等于斜边乘以斜边上的高。
八年级数学垂直PPT优秀课件
巩固练习
1.找出图中互相垂直的线段：
D
D. .C
A
.
A
.B
E C
O
B
O
THANKS
FOR WATCHING
演讲人: XXX
PPT文档·教学课件
互相垂直的两条直线的
交点叫做垂足（如图中的
o点）.
直线AB与直线CD垂直，
记作AB⊥CD于点o
A
如果用 l，m 表示这两条
直线，那么直线 l 与 m
垂直，记作 l⊥ m 于点o
C
OB D
请注意噢，图中表示垂直的方法！
想一想
互相垂直的两条直线形成的四个角有
什么特征？C为什么来自 ？？A ？O？B
D
想一想 在下列两个图中，分别过点A作l的垂线，
第四章
平面图形及其位置关系
忆一忆
同一平面上的两条直线有哪些位置 关系?
a
a
b
b
平行
相交
a
a
b
b
垂直
如果两条直线相交成直角，那 么这两条直线互相垂直。
两条线段互相垂直是指这两 条线段所在的直线互相垂直。
找出下图中互相垂直的线段
你能利用三角尺作出两 条互相垂直的直线吗？
思考：如何判断你所作 的两条直线互相垂直？
您能作出来吗？每个图中您能作几条？
A
A
从中，您得到了什么结论？说说看！
性质：平面内，过一点有且只有一条直 线与已知直线垂直。
一般过程：
1、靠 2、过
3、画
点到直线的距离
如图，过点A作l的垂线，垂足为B点。 线段AB的长度叫做点A到直线l的距离。
2022年九年级中考数学冲刺-几何模型讲义
2022年中考几何模型一、角平分线模型知识精讲1. 过角平分线上一点向角的两边作垂线段，利用角平分线上的点到角两边的距离相等的性质来解决问题2. 若题目中已经有了角平分线和角平分线上一点到一边的垂线段（距离），则作另一边的垂线段，例：已知：AD是的平分线，，过点D于点E，则.3. 在角的两边上取相等的线段，结合角平分线构造全等三角形（角边等，造全等），已知：点D是平分线上的一点，在OA、OB上分别取点E、F，且，连接DE、DF4. 过角平分线上一点作角的一边的平行线，构造等腰三角形，例：已知：点D是平分线上的一点，过点D作三角形，即.5. 有角平分线时，过角一边上的点作角平分线的平行线，交角的另一边所在直线于一点，也可构造等腰三角形，例：已知：OC平分，点D是OA上一点，过点D作交OB的反向延长线于点E，则.6. 从角的一边上的一点作角平分线的垂线，使之与角的另一边相交，则可得到一个等腰三角形，例：已知：OE平分∠AOB，点D在OA上，DE⊥OE，则可延长DE交OB于点F，则DE＝EF，OD＝OF，∠ODF＝∠OFD.7. 有角平分线时，可将等角放到直角三角形中，构造相似三角形，也可以另加一对相等的角构造相似三角形，例：4321DA4231EFCB（1）已知：OC 平分，点E 、F 分别在OA 、OB 上，过点E M ，过点F N（2）已知：OC 平分，点E 、F 在OC 上，于点M ，于点N ，则（3）已知：OC 平分，点E 、F 在OC ，8. 利用“在同圆或等圆中，相等的圆周角（圆心角）所对的弦相等”可得相等线段，例：已知：∠BAC 是圆O 的圆周角，∠DOE 是圆O 的圆心角，AF 平分∠BAC ，OG 平分∠DOE ，连接BF 、CF 、DG 、EG ，则BF ＝CF ，DG ＝EG .9. 【内内模型】如图，两个内角平分线交于点D ，则.10. 【内外模型】如图，的一个内角平分线和一个外角平分线交于点D ，则.11. 【外外模型】如图，交于点D ，则.二、中点模型知识精讲1. 在等腰三角形中有底边中点或证明底边中点时，可以作底边的中线，利用等腰三角形的“三线合一”性质来解决问题.例：已知：在△ABC中，AB＝AC，取BC的中点D，连接AD，则AD平分∠BAC，AD是边BC上的高，AD是BC边上的中线.【说明】应用等腰三角形“三线合一”的性质是证明两条直线垂直的重要方法.2. 在直角三角形中，有斜边中点或有斜边的倍分关系线段时，可以作斜边的中线解决问题，例：（1）如图，在Rt△ABC中，D为斜边AB的中点，连接CD，则CD＝AD＝BD.（2）如图，在Rt△ABC中，AB＝2BC，作斜边AB上的中线CD，则AD＝BD＝CD＝BC，△BCD是等边三角形.【总结】在直角三角形中，若遇到斜边的中点，则连接直角顶点与斜边的中点是解决问题的基本方法，作这条辅助线的目的是得到三条相等的线段及两对相等的角. 3. 将三角形的中线延长一倍，构造全等三角形或平行四边形（倍长中线），例：（1）如图，在△ABC中，AD为△ABC的中线，延长AD至点E，使得DE＝AD，连接BE，则△ADC≌△EDB.（2）如图，在△ABC中，AD为△ABC的中线，延长AD至点E，使得DE＝AD，连接BE，则四边形ABEC是平行四边形.4. 将三角形中线上的一部分延长一倍，构造全等三角形或平行四边形，例：如图，已知点E是△AD上的一点，延长AD至点F，使得DE＝DF，连接BF、CF，则四边形BFCE为平行四边形或△BDF≌△CDE或△BED≌△CFD.【总结】证明两条线段相等常用的方法：①当要证明的两条线段是两个三角形的边时，一般通过证明这两条线段所在的两个三角形全等，通过三角形全等的对应边相等来证明两条线段相等；②当两条线段是同一个三角形的两条边时，一般证明这两条边所对的角相等，利用等角对等边证明两条线段相等.5. 有以线段中点为端点的线段时，可以倍长此线段，构造全等三角形或平行四边形，例：如图，已知点C边AE上一点，O为AB的中点，延长CO至点D，使得，连接AD、BD，四边形ADBC为平行四边形.6. 有三角形中线时，可过中点所在的边的两端点向中线作垂线，构造全等三角形，例：如图，AF为△ABC的中线，作BD⊥AF交AF延长线于点D，作CE⊥AF于点E，则△BDN≌△CEN.7. 在三角形中，有一边的中点时，过中点作三角形一边的平行线或把某条线段构造成中位线，利用已知的条件可求线段长，例：如图，D为AB的中点，过点D作DE∥BC，则DE为△ABC的中位线；过点B作BF∥DC 交AC的延长线于点F，则DC为△ABF的中位线.8. 有两个（或两个以上）中点时，连接任意两个中点可得三角形的中位线，例：如图，D、E、F分别为△ABC三边中点，连接DE、DF、EF，则.9. 有一边中点，并且在已知或求证中涉及线段的倍分关系时，可以取另一边的中点，构造三角形的中位线，例：如图，点E是△ABC边BC的中点，取AC的中点F，连接EF，则EF∥AB，10. 当圆心与弧（或弦）的中点，可以利用垂径定理解决问题，例：（1）如图，，连接AC、OB，则OB⊥AC，OB平分AC.（2）如图，点C为弦AB的中点，连接OC，则OC⊥AB.三、平行模型知识精讲在一些有平行线却没有截线的问题中，通常需要添加辅助线构造“三线八角”，再运用平行线的有关知识解题，常见的辅助线添加方式如下：如果遇到两条平行线之间夹折线，一般应过折点作出与已知平行线平行的直线.1. 如图，已知AB∥CD，点E为AB、CD间的一点，过点E作EF∥AB，则∠A＋∠C＝∠AEC.2. 如图，已知AB∥CD，则∠A＋∠AEC＋∠C＝360°.3. 如图，AB∥CD，则∠B＝∠D＋∠E.4. 如图，AB∥CD，则∠BEG＋∠D＋∠F＝180°.5. 如图，AB∥CD，则∠ABE＝∠D＋∠E.四、垂直模型1. 在三角形中，若题目中已经有一边的高了，常作另一边上的高，然后用同角的余角相等证明角相等.例：如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，过点B作BE⊥AC交AC于点E，交AD于点F，则∠CBE＝∠CAD，∠AFE＝∠C＝∠BFD.除了能得到角度间的关系外，还可以通过构造相似三角形来证明线段成比例或者用于求线段的长度.2. 在四边形中，如果有高线，可以再作垂线，构造特殊的四边形或者直角三角形.例：如图，在四边形ABCD中，AB⊥BC，DC⊥BC，过点D作DE⊥BC，垂足为点E，则四边形BCDE为矩形，△ADE为直角三角形.3. 在直角三角形中，常作斜边上的高，利用同角（等角）的余角相等，可得到相似三角形.例：如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，过点C作CD⊥AB于点D，则∠A＝∠DCB，∠B＝∠ACD，△ABC∽△CBD∽△ACD.4. 若题中已有直线的垂线时，可再作已知直线的垂线，得到两条平行线.例：如图，在△ABC中，AF⊥BC于点F，过AB上一点D作DE⊥BC于点E，则DE∥AF，∠BDE＝∠BAF，∠ADE＋∠BAF＝180°，△BDE∽△BAF.5. 若存在过一条直线上两点同时向另一条直线作垂线，可以再作一条垂线，构造一组平行线，利用平行线等分线段定理解决问题.6. 当两条互相垂直的弦的交点恰好在圆上，构成90°的圆周角，可构造直径.例：如图，点A在圆O上，∠BAC＝90°，连接BC，则BC就是圆O的直径.7. 当圆中有互相垂直的弦时，经常作直径所对的圆周角，可以得到垂直于同一条直线的两条直线，利用平行弦所夹的弧相等来解决问题.例：在圆O中，弦AB⊥CD于点E，连接CO并延长交圆O于点F，连接DF，则FD⊥CD，FD∥AB，.8. 当圆中有和弦垂直的线段时，作直径所对的圆周角，可以得到直角三角形，通过相似三角形来解决问题.例：如图，△ABC内接于圆O，CD⊥AB于点D，连接CO并延长交圆O于点E，连接AE，则△ACE∽△DCB.五、对角互补模型知识精讲1. 全等型—90º如图，已知∠AOB＝∠DCE＝90º，OC平分∠AOB.则可以得到如下几个结论：①CD＝CE，②OD＋OE＝OC，③2. 如图，已知∠DCE的一边与AO的延长线交于点D，∠AOB＝∠DCE＝90º，OC 平分∠AOB.则可得到如下几个结论：①CD＝CE，②OE－OD＝OC，③.3. 全等型—60º和120º如图，已知∠AOB＝2∠DCE＝120º，OC平分∠AOB.则可得到如下几个结论：①CD＝CE，②OD＋OE＝OC，③.4. 全等型—和如图，已知∠AOB＝，∠DCE＝，OC平分∠AOB.则可以得到以下结论：①CD＝CE，②OD＋OE＝2OC·cos，③.5. 相似型—90º如图，已知∠AOB＝∠DCE＝90º，∠BOC＝.结论：CE＝CD·.六、半角模型知识精讲1. 如图，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点，且∠EAF＝45º，则BE＋DF＝EF.2. 如图，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点，且∠EAF＝45º，则AE平分∠BEF，AF平分∠DFE.3. 如图，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点，且∠EAF＝45º，则4. 如图，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点，且∠EAF＝45º，过点A作AH⊥EF交EF于点H，则AH＝AB.简证：由上述结论可知AE平分∠BEF，又∵AB⊥BC，∴AH＝AB.5. 如图，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点，且∠EAF＝45º，. 简证：由结论1可得EF＝BE＋DF，CE＋CF＋EF＝CE＋CF＋BE＋DF＝2AB.6. 如图，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点，且∠EAF＝45º，AE、AF分别与BD相交于点M、N，则.简证：如图，将△AND绕点A顺时针旋90º得到△AGB，连接GM.通过证明△AMG≌△AMN得MN＝MG，DN＝BG，∠GBE＝90º，即可证.7. 如图，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点，且∠EAF＝45º，AE、AF分别与BD相交于点M、N，则△BME△DFN△AMN△BAN△DMA△AFE.简证：通过证明角相等得到三角形相似，要善于使用上述结论.8. 如图，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点，且∠EAF＝45º，AE、AF分别与BD相交于点M、N，则简证：连接AC，∵∠DAF＝∠EAC，∠ADB＝∠ACB，∴△ECA△NDA，又∵△AMN△AFE，∴.【补充】通过面积比是相似比的平方比亦可得到9. 如图，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点，且∠EAF＝45º，AE、AF分别与BD相交于点M、N，则.简证：由结论7可得△DAM△BNA，∴，即.10. 如图，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点，且∠EAF＝45º，AE、AF分别与BD相交于点M、N，则.简证：设，在Rt△CEF中，，化简得，.11. 如图，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点，且∠EAF＝45º，AE、AF分别与BD相交于点M、N，则当BE＝DF时，EF.证明：如图，作△AEF的外接圆，点P为EF的中点，连接OA、OE、OF、PC，过点A作AH⊥EF.∵∠EAF＝45º，∴∠EOF＝90º，设，则，∴当点A、O、P、C四点共线时，即BE＝DF，、EF大值.12. 如图，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点，且∠EAF＝45º，AE、AF分别与BD相交于点M、N简证：由结论8可得△△ECA△NDA，同理可得补充：等腰直角三角形与“半角模型”如图所示，在等腰直角三角形ABC中，若∠DCE＝45º，则.证明：如图，将△ACD绕着点C顺时针旋转90º得到△，连接.∵旋转，∴△ACD≌△，∴AD＝，在△DCE与△中，ED＝，∵∠BE＝∠BC＋∠EBC＝∠DAC＋∠EBC＝90º，∴，.七、倍半角模型知识精讲一、二倍角模型处理方法1. 作二倍角的平分线，构成等腰三角形.例：如图，在△ABC中，∠ABC＝2∠C，作∠ABC的平分线交AC于点D，则∠DBC＝∠C，DB＝DC，即△DBC是等腰三角形.2. 延长二倍角的一边，使其等于二倍角的另一边，构成两个等腰三角形.例：如图，在△ABC中，∠B＝2∠C，延长CB到点D，使得BD＝AB，连接AD，则△ABD、△ADC都是等腰三角形.二、倍半角综合1. 由“倍”造“半”已知倍角求半角，将倍角所在的直角三角形相应的直角边顺势延长即可.如图，若，则（）2. 由“半”造“倍”已知半角求倍角，将半角所在的直角三角形相应的直角边截取线段即可.如图，在Rt△ABC（∠A＜45º）的直角边AC上取点D，当BD＝AD时，则∠BDC＝2∠A，设，则，在Rt△BCD中，由勾股定理可得，解得，故有.三、一些特殊的角度1. 由特殊角30º求tan15º的值如图，先构造一个含有30º角的直角三角形，设BC＝1，，AB＝2，再延长CA至D，使得AD＝AB＝2，连接BD，构造等腰△ABD，则∠D＝∠BAC＝15º，.2. 由特殊角45º求tan22.5º的值由图可得，.3. “345”三角形（1）如图1，Rt△ABC三边比为3:4:5，Rt△BCD三边比为，，；（2）如图2，Rt△ABC三边比为3:4:5，Rt△BCD三边比为，，；（3）如图3，Rt△ABC三边比为3:4:5，Rt△BCD三边比为，，.八、全等模型知识精讲一、几何变换中的全等模型1. 平移全等模型，如下图：2. 对称（翻折）全等模型，如下图：3. 旋转全等模型，如下图：二、一线三等角全等模型4. 三垂直全等模型，如图：5. 一线三直角全等模型，如图：6. 一线三等角与一组对应边相等全等模型，如图：三、手拉手全等模型7. 等腰三角形中的手拉手全等模型如图，△ABC与△ADE均为等腰三角形，且∠BAC＝∠DAE，连接BD、CE，则△ABD ≌△ACE.8. 等边三角形中的手拉手全等模型如图，△ABC与△CDE均为等边三角形，点B、C、E三点共线，连接AE、BD，则△BCD≌△ACE.9. 一般三角形中的手拉手全等模型如图，在任意△ABC中，以AB为边作等边△ADB，以AC为边作等边△ACE，连接DC、BE，则△ADC≌△ACE.10. 正方形中的手拉手全等模型如图，在任意△ABC中，以AB为边作正方形ABDE，以AC为边作正方形ACFG，连接EC、BG，则△AEC≌△ABG.九、相似模型知识精讲1. A字型与反A字型相似2. 8字型与反8字型相似3. 蝴蝶型相似4. 共角共边相似模型5. 一线三等角6. 旋转相似模型拓展讲解：1. 射影定理（1）双垂直，如图：结论①△ABD∽△ACB，AB2＝AD·AC；②△ADC∽△ACB，AC2＝AD·AB；③△CDB∽△ACB，CB2＝BD·BA.（2）斜射影相似结论：△ABD∽△ACB，AB2＝AD·AC.2. 对角互补相似如图，在Rt△ABC中，∠C＝90º，点O是AB的中点，若∠EOF＝90º，则.证明：过点O作OD⊥AC于点D，OH⊥BC于点H，如图所示：通过△ODE∽△OHF即可得到3. 三平行相似如图，AB∥EF∥CD，若，则.证明：∵EF∥AB，∴△DEF∽△DAB，∴，即①同理△BEF∽△BCD，∴，即②①＋②，得，.4. 内接矩形相似如图，四边形DEFG是△ABC的内接矩形，EF在BC边上，D、G分别在AB、AC边上，则△ADG∽△ABC，△ADN∽△ABM，△AGN∽△ACM，.十、倍长中线模型知识精讲1. 如图，在矩形ABCD中，若BD＝BE，DF＝EF，则AF⊥CF.2. 如图，四边形ABCD是平行四边形，BC＝2AB，M为AD的中点，CE⊥AB于点E，则∠DME＝3∠AEM.3. 如图，△ADE与△ABC均为等腰直角三角形，且EF＝CF，求证（1）DF＝BF；（2）DF⊥BF.4. 如图，△OAB∽△ODC，∠OAB＝∠ODC＝90º，BE＝EC，求证：（1）AE＝DE；（2）∠AED＝2∠ABO.十一、弦图模型知识精讲1. 证法一以a、b为直角边（b＞a），以c为斜边作四个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于2. 证法二以a、b为直角边（b＞a），以c为斜边作四个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于3. 证法三以a、b为直角边，以c为斜边作两个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于4. 证法四如图所示，分别以a、b为直角边，以c为斜边的四个直角三角形全等，图中3个正方形的边长分别为a、b、c，整个图形的面积为S5. 证法五分别以a、b为直角边，以c为斜边的四个直角三角形全等，将它们按如图所示拼成一个多边形，并延长AC交DF于点P.。
中考数学几何动点运动轨迹及最值专题讲义
2020春中考数学几何动点运动轨迹及最值专题讲义一、动点运动轨迹——直线型（动点轨迹为一条直线，利用“垂线段最短”）Ⅰ．当一个点的坐标以某个字母的代数式表示，若可化为一次函数，则点的轨迹是直线；1．在平面直角坐标系中，点P的坐标为（0，2），点M的坐标为39(1,)44m m−−−(其中m为实数)，当PM 的长最小时，m的值为__________．2．如图，在平面直角坐标系中，A(1，4)，B(3，2)，C(m，－4m＋20)，若OC恰好平分四边形．．．OACB．．．．的面积，求点C的坐标．Ⅱ．当某一动点到某条直线的距离不变时，该动点的轨迹为直线；3．如图，矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8，点E在边AD上，且AE：ED＝1：3．动点P从点A出发，沿AB运动到点B停止．过点E作EF⊥PE交射线BC于点F，设M是线段EF的中点，则在点P运动的整个过程中，点M运动路线的长为_________.【变式1】如图，矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8，点E在边AD上，且AE：ED＝1：3．动点P从点A出发，沿AB运动到点B停止．过点E作EF⊥PE交边BC或CD于点F，设M是线段EF的中点，则在点P运动的整个过程中，点M运动路线的长为___________.ABDCEFPMABDCEFPMyxBAO【变式2】如图，在矩形ABCD 中，点P 在AD 上，AB ＝2，AP ＝1，E 是AB 上的一个动点，连接PE ，过点P 作PE 的垂线，交BC 于点F ，连接EF ，设EF 的中点为G ，当点E 从点B 运动到点A 时，点G 移动的路径的长是_________.【变式3】在矩形ABCD 中，AB ＝4，AD ＝6，P 是AD 边的中点，点E 在AB 边上，EP 的延长线交射线CD于F 点，过点P 作PQ ⊥EF ，与射线BC 相交于点Q ．（1）如图1，当点Q 在点C 时，试求AE 的长； （2）如图2，点G 为FQ 的中点，连结PG ． ①当AE ＝1时，求PG 的长；②当点E 从点A 运动到点B 时，试直接写出线段PG 扫过的面积． 变式3图14．如图，C 、D 是线段AB 上两点，且AC ＝BD ＝16AB ＝1，点P 是线段CD 上一个动点，在AB 同侧分别作等边△P AE 和等边△PBF ，M 为线段EF 的中点。
垂直讲义
一．知识要点1．线线垂直判断线线垂直的方法：所成的角是直角，两直线垂直；垂直于平行线中的一条，必垂直于另一条。
三垂线定理：在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。
三垂线定理的逆定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那麽它也和这条斜线的射影垂直。
推理模式： ,,PO O PA A a AO a a AP αααα⊥∈⎫⎪=⇒⊥⎬⎪⊂⊥⎭。
注意：⑴三垂线指PA ，PO ，AO 都垂直α内的直线a 其实质是：斜线和平面内一条直线垂直的判定和性质定理 ⑵要考虑a 的位置，并注意两定理交替使用。
2．线面垂直定义：如果一条直线l 和一个平面α相交，并且和平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线l 和平面α互相垂直其中直线l 叫做平面的垂线，平面α叫做直线l 的垂面,直线与平面的交点叫做垂足。
直线l 与平面α垂直记作：l ⊥α。
直线与平面垂直的判定定理：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面。
直线和平面垂直的性质定理：如果两条直线同垂直于一个平面,那么这两条直线平行。
3．面面垂直两个平面垂直的定义：相交成直二面角的两个平面叫做互相垂直的平面。
两平面垂直的判定定理：（线面垂直⇒面面垂直）如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直。
两平面垂直的性质定理：（面面垂直⇒线面垂直）若两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们的交线的直线垂直于另一个平面。
二．典例解析题型1：线线垂直问题例1．如图1所示，已知正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E 、F 、G 、H 、L 、M 、N 分别为A 1D 1，A 1B 1，BC ，CD ，DA ，DE ，CL 的中点，求证：EF ⊥GF 。
例2．如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AB ＝BC ，D 、E 分别为BB 1、AC 1的中点，证明：ED 为异面直线BB 1与AC 1的公垂线。
2024年中考数学专题复习讲义+：证明线段相等的常用方法
A CB D PQ证明线段相等的常用方法一、证明两线段相等常用方法 1.两全等三角形中对应边相等。
2.同一三角形中等角对等边。
3.等腰三角形顶角的平分线或底边的高平分底边。
4.平行四边形的对边或对角线被交点分成的两段相等。
5.直角三角形斜边的中点到三顶点距离相等。
6.线段垂直平分线上任意一点到线段两段距离相等。
7.角平分线上任一点到角的两边距离相等。
8.等于同一线段的两条线段相等。
二、例题讲解1.证明两线段是全等三角形的对应边如果所证两条线段分别在不同的三角形中，它们所在三角形看似全等，或者，通过简单处理，它们所在三角形看似全等，可考虑这种方法。
例1.如图， B 、C 、D 在一直线上，△ABC 与△ECD 都是等边三角形，BE 、AD 分别交AC 、EC 于点G 、F 。
（1）求证：AE=BD （2）求证 CG=CF例2．如图，四边形ABCD 是矩形，△PBC 和△QCD 都是等边三角形，且点P 在矩形上方，点Q 在矩形内．求证：（1）∠PBA =∠PCQ =30°；（2）P A =PQ ．例3.已知：如图，AB 是⊙O 的直径，点C 、D 为圆上两点，且弧CB ＝弧CD ，CF ⊥AB 于点F ，CE ⊥AD 的延长线于点E ．试说明：DE ＝BF ；2、利用等腰三角形的判定（等角对等边）证明线段相等如果两条所证线段在同一三角形中，证全等一时难以证明，可以考虑用此法例1.如图，已知△ABC中，AB=AC，DF⊥BC于F，DF与AC交于E，与BA的延长线交于D，求证：AD=AE。
例2. 如图，△ABC内接于半圆，AB是直径，过A作直线MN，若∠MAC＝∠ABC，D 是弧AC 的中点，连接BD交AC 于G , 过D 作DE⊥AB于E，交AC于F．求证：FD＝FG3、证明两线段都等于第三线段或者第三个量等量代换：若a=b，b=c，则a=c；等式性质：若a=b，则a－c=b－c例1、已知：∠1=∠2，CD=DE，EF//AB，求证：EF=ACBACDF21E例2.如图，△ABC 中，∠ACB=90°，AC=BC ，D 是BC 的中点,DE ⊥AB 于E ，BF ∥AC 交DE 的延长线于F.求证：(1)BD=BF(2)AD=CF (3)AF=CF【巩固练习】1、已知，如图，在正方形ABCD 中，点E 、F 分别在AB 上和AD 的延长线上，且BE=DF ，连接EF ，G 为EF 的中点．求证：（1）CE=CF ；（2）DG 垂直平分AC ．2.如图，P 为正方形ABCD 边BC 上任一点，BG ⊥AP 于点G ，在AP 的延长线上取点E ，使AG=GE ，连接BE ，CE ． （1）求证：BE=BC ；（2）∠CBE 的平分线交AE 于N 点，连接DN ，求证： ； （3）若正方形的边长为2，当P 点为BC 的中点时，请直接写出CE 的长为CADE FB。
七年级上册数学垂直知识点
七年级上册数学垂直知识点一、引言数学是一门重要且必备的学科，能够引导学生了解和掌握各种实际应用场景中所涉及的数据。
其中，垂直是数学学科中非常重要的一个概念，是学习数学不可或缺的一个环节。
在七年级上册的数学课程中，我们需要掌握垂直的相关知识点来帮助我们更好地理解和应用数学。
二、垂直的定义与性质垂直是指两条直线或线段之间的夹角为90度。
在数学中，垂直通常用符号“⊥”来表示。
垂直的性质包括：1.两个平面垂直的充分必要条件是它们的法向量相互垂直。
2.两个直线垂直的充分必要条件是它们斜率的乘积为-1。
3.一个平面与一条直线垂直，当且仅当该线在该平面上，且垂直于该平面的法向量与该线的方向向量相互垂直。
三、垂线在数学中，垂线指的是与另一条线段或直线垂直相交的线段或直线。
垂线的性质包括：1.一个点到一条直线的距离是垂线的长度。
2.垂线所在的直线称为“垂线的轴线”。
3.垂线能够将一个角分成两个互相垂直的角。
四、垂足和高垂足是指从一个点到一条直线垂线上的交点。
而高指的是一个三角形中，由顶点到对边的连线所组成的垂线段。
垂足和高的性质包括：1.在一个含有垂足的直角三角形中，垂足对于斜边的角度是90度。
2.在一个三角形中，某条边的中垂线将该边对应的垂足连接起来形成的线段，被成为该三角形的高。
3.一个三角形的三条高相互垂直，其垂足的点都在三角形的外心上。
五、举例在实际生活中，我们可以应用垂直的相关知识点来帮助我们解决各种问题。
比如，当我们需要从地图上求出一个建筑物顶端所在的高度时，就可以运用垂直的知识点来帮助我们计算。
此外，在我们学习物理学和工程学等学科时，垂直的知识点也具有广泛的应用。
六、结论在七年级上册的数学课程中，垂直的知识点是必须要掌握的。
通过了解垂直的定义、性质、垂线、垂足、高以及其在实际应用方面的作用等方面的知识，我们可以更好地理解和应用数学知识。
希望大家都可以在数学学科中取得更加出色的成绩。
高中数学垂直试讲教案模板
高中数学垂直试讲教案模板
一、教学内容：高中数学垂直试讲
二、教学目标：
1.使学生了解垂直的定义和特性；
2.帮助学生掌握垂直线段及垂直平分线段的性质；
3.训练学生分析和解决与垂直有关的问题的能力。
三、教学重难点：
1.垂直线段及垂直平分线段的性质；
2.垂直相关问题的解决方法。
四、教学准备：
1.教师准备投影仪、白板、笔等教学工具；
2.学生准备计算器、尺子等学习用具。
五、教学过程：
1.引入：通过提出一个与垂直相关的问题或现象引起学生的兴趣，激发学生思考与讨论。
2.讲解垂直定义和特性：讲解垂直线段、垂直平分线段的定义及特性，让学生理解垂直的含义。
3.实例分析：给出几个与垂直相关的实例，并引导学生通过分析解决这些问题。
4.练习：为学生提供一些练习题，让学生运用所学知识解决问题，检验他们的学习效果。
5.总结：对本节课的内容进行总结，并强调垂直相关知识的重要性和应用。
六、课堂作业：
1.完成课堂上的练习题；
2.自行查找与垂直相关的问题，通过思考解决。
七、反馈与评估：
1.通过学生课堂参与度和作业的完成情况评估他们对垂直知识的掌握程度；
2.根据学生的表现给予积极的反馈或建议。
八、教学反思：对本节课的教学效果进行反思，并有针对性地调整下节课的教学内容和方法。
中考数学重点几何模型：8字型、飞镖模型和三垂直全等模型 讲义(无答案)
微专题：8字模型与飞镖模型模型一：角的八字模型典型例题：观察图形，计算角度：（1）如图①，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=.（2）如图②，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F= .作业训练：1.（1）如图①，∠CAD+∠B+∠C+∠D+∠E= .（2）如图②，∠CA+D ∠B+∠ACE+∠D+∠E= .如图所示，AC 、BD 相交于点O ，连接AD 、BC.结论：∠A+∠D=∠B+∠C模型二：角的飞镖模型典型例题：1.如图，在四边形ABCD 中，AM 、CM 分别平分∠DAB 和∠DCB ，AM 与CM 交于M ，探究∠AMC 与∠B 、∠D 间的数量关系.作业训练：1.如图，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F= .2. 如图，求∠A+∠B+∠C+∠D= .微专题：三垂直全等模型如图所示，有结论：∠D=∠A+∠B+∠C模型：三垂直全等模型模型拓展：典型例题：例1：如图，AB ⊥BC ，CD ⊥BC ，AE ⊥DE ，AE=DE.求证：AB+CD=BC.例2:如图，∠ACB=90°，AC=BC ，BE ⊥CE ，AD=2.5cm ，BE=0.8cm ，则DE 的长为多少？ 如图，∠D=∠BCA=∠E=90°，BC=AC.结论：Rt △BCD ≌Rt △CAE.作业训练：1.如图，正方形ABCD，BE=CF.求证（1）AE=BF；（2）AE⊥BF.2.如图，直线l上有三个正方形ca,,，若a、c的面积分别是5和11，则b的面积是.b3.如图①，已知在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点P为BC上一动点（BP<CP），分别过B、C作BE⊥AP于E、CF⊥AP于F.（1）求证：EF=CF-BE；（2）如图②，若P为BC延长线上一点，其他条件不变，则线段BE、CF、EF是否存在某种确定的数量关系？画图并直接写出你的结论.4.如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AD=2，BC=3，设∠BCD=α，以D为旋转中心，将腰DC绕点D逆时针旋转90°至DE.（1）当α=45°时，求△EAD的面积；（2）当α=30°时，求△EAD的面积；（3）当0°<α<90°，猜想△EAD的面积与α大小有无关系.若有关，写出△EAD的面积S与α的关系式；若无关，请证明你的结论.5.如图，向△ABC的外侧作正方形ABDE、正方形ACFG，过A作AH⊥BC于H，AH的方向延长线于EG交于点P.求证：BC=2AP.。
七年级数学下册8.5垂直说课稿2
七年级数学下册8.5垂直说课稿2一. 教材分析《七年级数学下册8.5垂直》这一节的内容，主要介绍垂直的概念及其在实际生活中的应用。
教材通过丰富的图片和实例，引导学生认识垂直，理解垂直的性质，并学会用垂直的知识解决实际问题。
本节内容是学生对几何知识的重要拓展，也是初中数学的基本概念之一。
二. 学情分析七年级的学生已经具备了一定的几何基础知识，对图形的认识有一定的基础。
但是，对于垂直这一概念的理解，还需要通过具体的实例和操作来加深。
此外，学生在生活中对垂直的概念可能有一定的了解，但如何将生活中的垂直概念运用到数学学习中，还需要教师的引导和启发。
三. 说教学目标1.知识与技能：学生能够理解垂直的概念，掌握垂直的性质，并能够运用垂直的知识解决实际问题。
2.过程与方法：通过观察、操作、交流等活动，学生能够培养观察能力、动手能力和表达能力。
3.情感态度与价值观：学生能够体验数学与生活的联系，增强对数学的兴趣和自信心。
四. 说教学重难点1.重点：学生能够理解垂直的概念，掌握垂直的性质。
2.难点：学生能够将生活中的垂直概念运用到数学学习中，解决实际问题。
五. 说教学方法与手段1.教学方法：采用问题驱动法、合作学习法、实例教学法等，引导学生主动探究、积极参与。
2.教学手段：利用多媒体课件、实物模型、几何画板等，直观展示垂直的概念和性质，增强学生的直观感受。
六. 说教学过程1.导入：通过生活中的实例，如建筑物、电线杆等，引导学生观察垂直的现象，激发学生的学习兴趣。
2.新课导入：介绍垂直的概念和性质，引导学生通过观察、操作等活动，理解和掌握垂直的知识。
3.实例分析：通过具体的实例，让学生体验垂直在生活中的应用，培养学生运用数学知识解决实际问题的能力。
4.小组讨论：学生分组讨论，分享各自对垂直的理解和应用，培养学生的合作意识和表达能力。
5.总结提升：教师引导学生总结垂直的知识，强调垂直在生活中的重要性。
6.练习巩固：布置适量的练习题，让学生巩固所学知识，提高解题能力。
七下数学垂直线知识点总结
七下数学垂直线知识点总结一、几何学中的垂直线1. 垂直线的定义在几何学中，垂直线是相交的两条直线之间的一种特殊关系。
当两条直线相交并且它们的交角为 90 度时，我们就可以说这两条直线是垂直线。
在几何图形中，垂直线通常用符号“⊥”来表示，比如直线 AB ⊥直线 CD，表示直线 AB 和直线 CD 是垂直线。
2. 垂直线的性质垂直线有一些重要的性质，下面我们来逐一介绍：（1）垂直线的交角为 90 度这是垂直线的基本性质，也是定义垂直线的重要条件。
当两条直线相交的交角为90 度时，这两条直线就是垂直线。
（2）垂直线上的点到另一条直线的距离相等如果一条垂直线上的点到另一条直线的距离相等，那么这两条直线是垂直的。
这条性质可以用来判断一个点到一条直线的垂直距离。
（3）两条平行线与一条垂直线的交角相等如果两条平行线中的一条线与另一条垂直线相交，那么这两条平行线与垂直线的交角相等。
这是数学中的一个重要定理，也是几何学中常用的知识点。
3. 垂直线的应用在几何学中，垂直线的应用非常广泛。
比如在构图、定位、平面图形判断等方面都需要用到垂直线的概念。
在建筑、工程、地理等领域中，垂直线也有着重要的应用价值。
了解垂直线的性质和应用可以帮助我们更好地理解和应用几何学的知识。
二、代数学中的垂直线1. 垂直线的坐标表示在代数学中，我们可以通过坐标系和坐标表示来描述垂直线。
如果一条直线的方程为 ax + by + c = 0，那么通过这个方程我们可以判断这条直线的斜率和交点，进而确定两条直线是否垂直。
两条直线垂直的条件是它们的斜率的乘积为 -1，即 k1 * k2 = -1，其中 k1 和 k2 分别为两条直线的斜率。
2. 垂直线的方程通过坐标系和坐标表示，我们可以得到一条直线的方程。
对于垂直线来说，它们的斜率相乘为 -1，根据这个性质我们可以得到两条直线垂直的条件。
比如两条直线的方程分别为 y = k1x + b1 和 y = k2x + b2，那么它们垂直的条件可以表示为 k1 * k2 = -1。
高三数学垂直图形知识点
高三数学垂直图形知识点一、直角三角形与垂直图形的关系在直角三角形中，直角边与斜边的交角为90度，而直角边之间的交角为45度。
根据垂直图形的性质，直角边与斜边所形成的直角三角形可以看作是垂直图形的一种特殊情况。
因此，直角三角形中直角边与斜边之间的关系同样适用于垂直图形的性质。
二、垂直图形的定义垂直图形是指两条直线或线段之间的角度为90度。
通常，垂直图形可以用垂直符号⊥来表示，如：AB⊥CD。
垂直图形的基本特征是垂直线段之间的交角为90度。
三、垂直图形的性质1. 垂直线段之间的交角为90度，即两条垂直线段相互垂直。
2. 任意一条直线与其垂线相交，所形成的交角为90度。
3. 垂直线段之间的角度和为180度。
4. 垂直线段平分一条直线段，并将其分成两个相等的部分。
5. 在垂直图形中，如果一条线段与另一线段相垂直，并且与第三条线段平行，那么第三条线段也与另一线段相垂直。
四、垂直线的判定定理1. 若两直线相交，且其中一直线与另一直线的垂线相交，则两直线垂直。
2. 若两直线相交，且两直线的斜率乘积为-1，则两直线垂直。
五、垂直图形的应用垂直图形的概念和性质在数学中有着广泛的应用，尤其在解题过程中能够起到重要的作用。
下面以几个具体的例子来说明垂直图形的应用。
例1：在解决坡度问题时，可以利用垂直图形的性质求解。
如果一条直线斜率为k，那么与之垂直的直线斜率为-1/k。
例2：在解决平行线问题时，可以通过垂直图形的性质进行判定。
如果两条直线分别与第三条直线垂直，那么这两条直线平行。
例3：在解决三角形问题时，垂直图形的概念也常常被用到。
例如，利用垂直图形的性质可以判定三角形的高线是否相交于一个点，以及是否存在垂心等。
六、总结垂直图形是数学中的一个重要概念，具有丰富的性质和应用。
通过对垂直图形的学习，我们可以更好地理解和应用数学知识，提高解题的效率和准确性。
在解决数学问题时，灵活运用垂直图形的性质将会为我们找到更简单和直观的解决思路。
2021年中考数学复习讲义：第五章 轴对称 模型(二十)——婆罗摩笈多模型
第五章.轴对称模型（二十）——婆罗摩笈多模型一、垂直中点【结论1】如图，△ABC和△DBE是等腰直角三角形，MN经过点B，若MN⊥CE，则①点N是AD的中点，②SCBE∆＝SABD∆，③CE＝2BN. 【证明】如图，（知垂直得中点，一线三垂直）②如图，由①知，SCBM∆＝SBAP∆，SEBM∆＝SBDQ∆，SAPN∆＝SDQN∆∴SABD∆＝SABN∆＋SDBN∆＝SBAP∆＋SAPN∆＋SBDQ∆－SDQN∆模型讲解＝SBAP∆＋SBDQ∆＝SCBM∆＋SEBM∆＝SCBE∆,即SCBE∆＝SABD∆，得证.③如图，由①得，PN＝QN，∴CE＝CM＋EM＝BP＋BQ＝BN－NP＋BN＋QN＝2BN，得证.二、中点垂直【结论2】如图，△ABC和△DBE是等腰直角三角形，点P是CE的中点，PB的延长线交AD于点Q，则①PQ⊥AD，②SCBE∆＝SABD∆,③AD=2BP【证明】如图，（知中点得垂直，倍长中线）②如图，由①知SCBE∆＝SCBP∆＋SEBP∆＝SEMP∆＋SEBP∆＝SMEB∆＝SABD∆,得证.③如图，由①知AD＝MB＝2BP，得证。
婆罗摩笈多定理：若圆内接四边形的对角线相互垂直，则垂直于一边且过对角线交点的直线将平分对边。
这个定理有另一个名称，叫做“布拉美古塔定理”（又译《卜拉美古塔定理”）。
如图，△AOB和△COD是等腰直角三角形，MN过点O，⑴若MN⊥AD，则点M是BC的中点，②SAOD∆＝SBOC∆，③AD＝2OM.⑵若M是BC的中点，则①MN⊥AD，②SAOD∆＝SBOC∆，③AD＝2OM.如图，△AOB和△COD是等腰三角形，∠AOB＋∠COD=180º，MN过点O.N在AD延长线上.拓展拓展⑴若∠ANM＝∠AOB，则M是BC的中点，②SAOD∆＝SBOC∆，③AD＝2OM.⑵若M是BC的中点，则②∠ANM＝∠AOB，②SAOD∆＝SBOC∆，③AD＝2OM.如图，△AOB≌△COD且∠AOB＝∠COD=180º，MN过点O.⑴若M是BC的中点，则①AD＝2OM，②SAOD∆＝SBOC∆.⑵若N是AD的中点，则①BC＝2ON，②SAOD∆＝SBOC∆.如图，在△AOB、△COD中，DOCOBOAO=，且∠AOB＋∠COD=180º，则SAOD∆＝SBOC∆.拓展拓展典例秒杀典例1 ☆☆☆☆☆如图，AB=AE，AB⊥AE，AD=AC，AD⊥AC，点M为BC的中点，求证∶DE=2AM.BN.【解析】如图，延长 AM至点N，使 MN=AM，连接Array∵点 M为 BC 的中点，∴CM=BM.在△AMC和△NMB中，AM=MN, ∠AMC=∠NMB, CM= BM,∴△NMB≌△AMC（SAS），∴AC=BN,∠C=∠NBM.∵AB⊥AE，AD⊥AC，∴∠EAB=∠DAC=90°, ∴∠EAD+∠BAC=180°,∴∠ABN=∠ABC+∠C=180°-∠BAC=∠EAD.在△EAD和△ABN中， AE=AB, ∠EAD=∠ABN, AD= BN,∴△EAD≌△ABN（SAS），∴DE=AN=2AM.典例2 ☆☆☆☆☆定义：如图1，在△ABC和△ADE中，AB＝AC＝AD＝AE，当∠BAC＋∠DAE＝180º时，我们称△ABC与△DAE互为“顶补等腰三角形”，△ABC的边BC上的中线AM叫做△ADE的“顶心距”.特例感知∶⑴在图2、图3中，△ABC与△DAE互为“顶补等腰三角形”，AM， AN 分别是“顶心距”.①如图2，当∠BAC=90°时，AM与DE 之间的数量关系为AM=_____DE;②如图3，当∠BAC=120°，BC=6时，AN的长为__________.猜想论证∶⑵在图1中，当∠BAC为任意角时，猜想AM与DE 之间的数量关系，并给予证明。
模型34 两圆中垂构造等腰三角形(原卷版)-中考数学解题大招复习讲义
模型介绍【模型】已知点A，B是平面内两点，再找一点C，使得△ABC为等腰三角形.【结论】分类讨论：若AB＝AC，则点C在以点A为圆心，线段AB的长为半径的圆上；若BA＝BC，则点C在以点B为圆心，线段AB的长为半径的圆上；若CA＝CB，则点C在线段AB的垂直平分线PQ上．以上简称“两圆一中垂”．“两圆一中垂”上的点能构成等腰三角形，但是要除去原有的点A，B，还要除去因共线无法构成三角形的点M，N以及线段AB中点E(共除去5个点)，需要注意细节.例题精讲【例1】．如图，平面直角坐标系中，已知A（2，2），B（4，0）．若在坐标轴上取点C，使△ABC为等腰三角形，你能否将点C的坐标表示出来？变式训练【变式1-1】．直线y＝﹣x+2与x轴、y轴的正半轴分别交A、B两点，点P是直线y＝﹣x+2上的一点，当△AOP为等腰三角形时，则点P的坐标为．【变式1-2】．如图，在矩形ABCD中，AB＝5，BC＝3，点P为边AB上一动点，连接CP，DP．当△CDP为等腰三角形时，AP的值为．【例2】．如图，已知点A（1，2）是反比例函数y＝图象上的一点，连接AO并延长交双曲线的另一分支于点B，点P是x轴上一动点；若△PAB是等腰三角形，则点P的坐标是．变式训练【变式2-1】．直线y＝﹣x+4与x轴、y轴的正半轴分别交A、B两点，点P是直线y＝﹣x+4上的一点，当△AOP为等腰三角形时，则点P的坐标为．【变式2-2】．如图，平面直角坐标系中，直线y＝﹣x+与直线y＝x+交于点B，与x轴交于点A．（1）求点B的坐标．（2）若点C在x轴上，且△ABC是以AB为腰的等腰三角形，求点C的坐标．1．如图，在平面直角坐标系中，已知点A（3，3），B（0，5），若在坐标轴上找一点C，使得△ABC是等腰三角形，则这样的点C有（）A．4个B．5个C．6个D．7个2．如图，已知函数y＝x+的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，点P是x轴上一点，若△PAB为等腰三角形，则点P的坐标不可能是（）A．（﹣3﹣2，0）B．（3，0）C．（﹣1，0）D．（2，0）3．在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（0，2），点B的坐标为（，0），点C在x轴上．若△ABC为等腰三角形时，∠ABC＝30°，则点C的坐标为（）A．（﹣2，0），（，0），（﹣4，0）B．（﹣2，0），（，0），（4+，0）C．（﹣2，0），（，0），（，0）D．（﹣2，0），（1，0），（4﹣，0）4．已知平面直角坐标系中有A（2，2）、B（4，0）两点，若在坐标轴上取点C，使△ABC 为等腰三角形，则满足条件的点C的个数是（）A ．5个B ．6个C ．7个D ．8个5．如图，抛物线y ＝x 2﹣2x ﹣3与y 轴交于点C ，点D 的坐标为（0，﹣1），在第四象限抛物线上有一点P ，若△PCD 是以CD 为底边的等腰三角形，则点P 的横坐标为（）A ．1+B ．1﹣C ．﹣1D ．1﹣或1+6．在平面直角坐标系xOy 中，已知点A （2，﹣2），在y 轴上确定点P ，使△AOP 为等腰三角形，则符合条件的有个．7．如图，已知点A ，B 的坐标分别为（2，0）和（0，3），在坐标轴上找一点C ，使△ABC 是等腰三角形，则符合条件的C 点共有个．8．已知直线y ＝﹣x +3与坐标轴分别交于点A ，B ，点P 在抛物线y ＝﹣（x ﹣）2+4上，能使△ABP为等腰三角形的点P的个数有个．9．在平面直角坐标系中，已知A（5，0），B（0，12），且AB＝13，在x轴上取一点P，使得△PAB是以AB为腰的等腰三角形，请写出所有符合条件的点P的坐标．10．如图，在平面直角坐标系xOy中，点A在第一象限内，∠AOB＝50°，AB⊥x轴于B，点C在y轴正半轴上运动，当△OAC为等腰三角形时，顶角的度数是．11．如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，直线l分别交x轴、y轴于A、B两点，OA＜OB，且OA、OB的长分别是一元二次方程x2﹣7x+12＝0的两根．（1）求直线AB的函数表达式；（2）若在y轴上取一点P，使△ABP是等腰三角形，则请直接写出满足条件的所有点P 的坐标．12．如图1，在平面直角坐标系中，点A、点B的坐标分别为（4，0）、（0，3）．（1）求AB的长度．（2）如图2，若以AB为边在第一象限内作正方形ABCD，求点C的坐标．（3）在x轴上是否存在一点P，使得△ABP是等腰三角形？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．13．抛物线y＝ax2+bx﹣3（a≠0）与直线y＝kx+c（k≠0）相交于A（﹣1，0）、B（2，﹣3）两点，且抛物线与y轴交于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）求出C、D两点的坐标（3）在第四象限抛物线上有一点P，若△PCD是以CD为底边的等腰三角形，求出点P 的坐标．14．如图，已知二次函数y＝﹣x2+bx+c（c＞0）的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B 的左侧），与y轴交于点C，且OB＝OC＝3，顶点为M．（1）求二次函数的解析式；（2）点P为线段BM上的一个动点，过点P作x轴的垂线PQ，垂足为Q，若OQ＝m，四边形ACPQ的面积为S，求S关于m的函数解析式，并写出m的取值范围；（3）探索：线段BM上是否存在点N，使△NMC为等腰三角形？如果存在，求出点N 的坐标；如果不存在，请说明理由．15．直线y＝kx﹣4与x轴、y轴分别交于B、C两点，且＝．（1）求点B的坐标和k的值；（2）若点A时第一象限内的直线y＝kx﹣4上的一动点，则当点A运动到什么位置时，△AOB的面积是6？（3）在（2）成立的情况下，x轴上是否存在点P，使△POA是等腰三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．16．抛物线y＝ax2+bx+c的图象与x轴交于A（﹣1，0）、B（3，0）两点，与y轴交于点C （0，﹣3），顶点为D．（1）求此抛物线的解析式．（2）求此抛物线顶点D的坐标和对称轴．（3）探究对称轴上是否存在一点P，使得以P、D、A为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请求出所有符合条件的P点的坐标，若不存在，请说明理由．。
七年级数学4.6垂直1课件
O
D m
B
作图
• 作直线上一点的垂线
• 过直线外一点作已知 • 直线的垂线。
p● 垂直公理：在平面内，过 一点有且只有一条直线与 已知直线垂直。
●
O
a
b
如果是这样会怎样？
∥ 如果CD⊥AB，EF ⊥ AB，则CD___EF
C
●
E
A
●
B
D
F
结论：垂直于同一条直线的两条直线平行。
想一想
1 2 线段到直线BD的距离可以用哪条线段来表示？
垂直是怎么样的？
• 你能说出你所知道的垂直的图形吗？
• 如果两条直线相交成直角，那么这两条直 线就互相垂直。
○
90
如何表示垂直？
• 垂直用符号“⊥”表示，例如：直线AB与 直线CD垂直，记作AB⊥CD。如果用m，n 表示这两条直线，那么直线m与直线n垂直， 记作m⊥n ,互相垂直的两条直线的交点o叫 A n 做垂足。
O (1)
B
B
C (2)
E
(1)OA⊥OC OB ⊥ OD
(2)CB ⊥ CD AC ⊥ CE AC ⊥ BE
CE ⊥ CD AC ⊥ BC DC ⊥ BE
轻轻的,
我走了,
正如我轻轻的来, 我轻轻地点击鼠标,
A
线段AC
●
结论： C D B 直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段 最短。 直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直 线的距离。
练一练
B A C
O
D
ｏ
１如果ＤＯ⊥ＯＢ，则∠ＤＯＢ＝＿＿＿＿ ９０
２如果∠ＡＯＣ＝９０
ｏ
⊥ ，则ＯＡ＿＿ＯＣ
课堂练习
初中数学《垂线》精讲PPT1
CE
∴ ∠EOB=90°(垂直的定义) 1(
∵ ∠BOD= ∠1=55°
AO
B
（对顶角相等） D
∴ ∠ EOD= ∠ EOB+ ∠ BOD
=90 °+55 °=145°
做一做：
一、选择题：
1、 两条直线相交所成的四个角中，下列条件中能判 （C）
定两条直线垂直的是
（A） 有两个角相等 （ B）有两对角相等 （C） 有三个角相等 （ D） 有四对邻补角
（ A） 4 2、如图，已知直线AB、CD都经过O点，OE为射线，
例如、如图，AB、CD互相垂直,O叫垂足.
（B） 3
（C） 2
（D） 1
二：1、如图 ，已知AB. CD相交于O, OE⊥CD 于O,∠AOC=36°，则∠BOE= 54° 。
（A）36° (C)144°
(B) 64° (D) 54°
所以（ ∴）AB⊥CD（垂直的定义）
．
C
B
如果AB⊥CD，那么所得的四个角中，必有一个是直
角.这个推理过程可以写成:
因为（∵）AB⊥CD（已知），
所以 （∴）∠AOC＝90°（垂直的定义）．
二、例题 例1 如图，直线AB、CD相交于点O， OE⊥AB，∠1=55°,求∠EOD的度数.
解: ∵ AB⊥OE （已知）
D
O
A
B
C
E
2、如图，已知直线AB、CD都经过O点，OE为射线，
若∠1＝35° ∠2＝55°，则OE与AB的位置关系是
垂直
。
C
解：
∵∠1＝35°，∠2＝55°（已知）
A
1
O
B ∴ ∠AOE＝180°－∠1－∠2
专题18 等腰直角三角形构建三垂直全等问题(学生版)-2021年中考数学模型技巧讲义(二轮)
专题18 等腰直角三角形构建三垂直全等问题【规律总结】【典例分析】例1．（2020·无锡市玉祁初级中学八年级月考）如图，90ACB ∠=︒，AC BC =，AD CE ⊥，BE CE ⊥，垂足分别为D 、E ， 2.5AD cm =， 1.7DE cm =，则BE 的长（ ）．A ．0.8cmB ．0.7cmC ．0.6cmD ．1cm例2．（2020·浙江金华市·八年级期末）如图，在Rt ABC △中，90ACB ︒∠=，10AB =，8AC =，D 是AB 的中点，M 是边AC 上一点，连接DM ，以DM 为直角边作等腰直角三角形DME ，斜边DE 交线段CM 于点F ，若2MDF MEF S S =，则CF 的长为________．例3．（2021·江苏连云港市·八年级期末）如图1所示，直线:5l y mx m =+与x 轴负半轴，y 轴正半轴分别交于A 、B 两点．（1）当OA OB =时，求直线l 的解析式；（2）在（1）的条件下，如图2所示，设Q 线段AB 延长线上一点，作直线OQ ，过A 、B 两点分别作AM OQ ⊥于点M ，BN OQ ⊥于点N ，若4AM =，BN=3，求MN 的长； （3）如图3，当m 取不同的值时，点B 在y 轴正半轴上运动，分别以OB 、AB 为边，点B 为直角顶点在第一、二象限内作等腰直角OBF 和等腰直角ABE △，连接EF 交y 轴于P 点，当点B 在y 轴正半轴上运动时，试猜想ABP △的面积是否改变；若不改变，请求出其值；若改变，请说明理由．（4）如图3，当m 取不同的值时，点B 在y 轴正半轴上运动，以AB 为边，点B 为直角顶点，在第二象限作等腰直角ABE △，则动点E 在直线______上运动．（直接写出直线的解析式）【好题演练】一、单选题1．（2020·沙坪坝区·重庆一中八年级期末）如图，反比例函数()30y x x =>的图象经过等腰直角三角形的顶点A 和顶点C ，反比例函数()0k y x x=<的图象经过等腰直角三角形的顶点B ，90BAC ∠=︒，AB 边交y 轴于点D ，若13AD BD ，C 点的纵坐标为1，则k 的值是（ ）A ．6316-B ．498-C ．4912-D ．-62．（2020·福建龙岩市·八年级期末）如图，一次函数2:25l y x =-+的图像与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点，以AB 为腰作等腰直角三角形ABC ，则直线BC 的解析式是（ ）A ．325y x =+B ．324y x =+C ．328y x =+D ．327y x =+或522y x =+ 二、填空题3．（2020·沙坪坝区·重庆八中八年级月考）如图，点A 的坐标为()4,0，点B 的坐标为()0,1-，分别以OB ，AB 为直角边在第三、第四象限作等腰Rt OBF △，等腰Rt ABE △，连接EF 交y 轴于P 点，点P 的坐标是______．4．（2020·重庆南开中学七年级期末）如图，点C 在线段BD 上，AB BD ⊥于B ，ED BD ⊥于D ，90ACE ∠=︒，且5AC cm =，6CE cm =，点P 以2/cm s 的速度沿A C E →→向终点E 运动，同时点Q 以3/cm s 的速度从E 开始，在线段EC 上往返运动（即沿E C E C →→→…运动），当点P 到达终点时，P ，Q 同时停止运动.过P ，Q 分别作BD 的垂线，垂足为M ，N .设运动时间为 t s ，当以P ，C ，M 为顶点的三角形与QCN △全等时，t 的值为__________．三、解答题5．（2021·上海九年级专题练习）已知ABC 是等腰直角三角形，90ACB ∠=︒，BC AC =．直角顶点C 在x 轴上，锐角顶点B 在y 轴上，过点A 作AD x ⊥轴，垂足为点D ．当点B 不动，点C 在x 轴上滑动的过程中．（1）如图1，当点C 的坐标是()1,0-，点A 的坐标是()3,1-时，请求出点B 的坐标； （2）如图2，当点C 的坐标是()1,0时，请写出点A 的坐标；（3）如图3，过点A 作直线AE y ⊥轴，交y 轴于点E ，交BC 延长线于点F ．AC 与y 轴交于点G ．当y 轴恰好平分ABC ∠时，请写出AE 与BG 的数量关系．6．（2020·四川大学附属中学西区学校八年级期中）在直角坐标系中，A 为x 轴负半轴上的点，B 为y 轴负半轴上的点．（1）如图①，以A 点为顶点，AB 为腰在第三象限作等腰Rt ABC ，若已知()2,0A -，()0,4B -，试求C 点的坐标．（2）如图②，若点A 的坐标为()-，点B 的坐标为()0,a ，点D 的纵坐标为b ，以B 为顶点，BA 为腰作等腰Rt ABD △，当B 点沿y 轴负半轴向下运动且其他条件都不变时，求式子22b a --（3）如图③，E 为x 轴负半轴上的一点，且OB OE =，OF EB ⊥于点F ，以OB 为边作等边OBM ，连接EM 交OF 于点N ，求式子EM ON EN-的值．。
九年级数学垂直知识点
九年级数学垂直知识点数学是一门让很多学生头疼的学科，尤其是当它开始涉及到垂直知识点时。
垂直知识点在数学学习中起着至关重要的作用，因为它们构成了学科中的基础。
在本文中，我们将探讨九年级数学中的垂直知识点，如何理解和应用它们。
一、代数中的垂直知识点代数是九年级数学中一个重要的领域，其中有一些关键的垂直知识点需要掌握。
首先是线性方程和不等式的解法。
学生需要熟练掌握如何解线性方程和不等式，包括一元和二元方程。
其次是函数的概念和性质，包括定义域、值域、奇偶性、单调性和对称性等。
此外，学生还需要掌握如何画出函数的图像，并能够根据已知条件求出函数的表达式。
二、几何中的垂直知识点在几何中，垂直知识点扮演着至关重要的角色。
首先是角的概念与性质。
学生需要了解角的度量方法以及角的种类，如锐角、直角、钝角和平角等。
此外，学生还要掌握角的性质，如互补角、补角和相邻角等。
其次是三角形的性质。
学生需要了解三角形的各个角度之间的关系，如内角和为180度、直角三角形的性质和勾股定理等。
此外，学生还需要能够根据已知条件判断和证明三角形的性质。
三、数学中的垂直知识点数学中有一些其他的垂直知识点也很重要。
首先是统计学的基本概念。
学生需要了解如何收集、整理和分析数据，包括频率表、条形图、折线图和饼状图等。
其次是概率的概念与计算。
学生需要了解概率的基本原理和计算方法，包括事件的概率、互斥事件和独立事件等。
此外，学生还需要掌握如何应用排列和组合的知识来解决问题。
总结起来，九年级数学中的垂直知识点是学习这门学科的基础。
代数、几何和其他数学领域中的关键知识点需要学生深入理解和掌握。
只有通过不断的练习和实践，学生才能真正掌握这些知识，提高数学水平。
因此，学生在学习数学时要注重对垂直知识点的学习，并努力将它们应用到实际问题中。
对于那些觉得数学枯燥乏味的学生来说，垂直知识点可能会增加挑战。
然而，通过利用一些实际生活中的例子和有趣的问题，学生可以更好地理解和应用垂直知识点。
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垂直（直角）类
联想融通：试试看，与垂直（直角）相关的知识与题型能想起多少？
与垂直（直角）相关的知识极多，如：三线合一、角平分线性质及其逆，三角的比中大数等于两小数之和的三角形是Rt△、勾股定理、勾股数与特殊三角
形（3︰4︰5，5︰12︰13，1︰1︰2，1︰3︰2，1︰2︰5，1︰3︰10等），
见特殊角与三角函数构造直角三角形，直角三角形斜边上中线等于斜边的一半，对角线相互垂直的四边形面积及其中点四边形的特殊性、直角梯形可分割成矩形和直角三角形，正八边形可拼成一个直角、HL判全等、等腰三角形两腰上高相等、垂直出相似、三角形的两高交出六对相似三角形、摄影定理及其逆、面积公式可建立方程，轴对称、绕直角顶点旋转三角形形连结另两对对应点的线段相互垂直、正方形绕其中心旋转90°与自身重合、垂径定理、直径所对的圆周角是直角及其逆、知圆周角所对的弦长求直径时转化为以直径为斜边的直角三角形、两个直角的两组直角边分别相交时得四点共圆、切线切点、两圆连心线垂直平分公共弦……还有很多，随便写出30条.
本单元只对“过直角顶点的直线类、直角边相交成的双直角四边形类、用面积法建立方程类、重合直角顶点的双直角类。
勾股定理”五个方面进行研究.
一、见过直角顶点的直线【8】
解法归一：见过直角顶点的直线l，从直角两边上的点分别向直线l作垂线，必得全等或相似；然后再利用全等或相似进行转换.
例5-1-1 已知△ABC是直角三角形，AC=BC，直线MN经过直角顶点C，分别过A、B作直线MN的垂线AD、BE分别交MN于D、E.
图5-1-1①图5-1-1②
（1）如图5-1-1①，当且垂线段AD、BE在直线MN的同侧时，试探究线段AD、BE、DE长度之间的数量关系，并给予证明.
（2）如图5-1-1②，当垂线段AD、BE在直线MN的异侧时，试探究线段AD、BE、DE长度之间的关系，并给予证明.
交流分享：本例的两图就是“过直角顶点直线类”的两个基本图形：直线MN在直
角外、直线MN 分直角，题不难，但很有代表性.
本题在（1）怎样证的全等，在（2）照旧；在（1）怎么找的关系，在（2）照旧，即“照着做”.
体验与感悟5-1
1．如图5-1-2，分别以AC 、BC 为边向△ABC 外作正方形CADF 和正方形CBEG ，
作l DD ⊥1于点1D ，作l EE ⊥
1于点1E .线段1DD 、1EE 、AB 的数量关系是 .
图5-1-2
2．三个正方形A 、B 、C 如图5-1-3放置，已知正方形A 、C 的边长分别为b a ，，正方形B 的面积为2，那么22b a += .
图5-1-3
3．如图5-1-4，已知直线4321////// l l l ，相邻两条平行直线间的距离都是1，如果正方形ABCD 的四个顶点分别在四条直线上，则=αsin .
图5-1-4
4．（1）如图5-1-5①，在△ABC 中，AN ⊥BC 于点N ，以A 为直角顶点，分别以AB 、AC 为直角边，向△ABC 外作等腰Rt △ABE 和等腰Rt △ACF ，过点E 、F 作射线NA 的垂线，垂足分别为P 、Q .试探究EP 与FQ 之间的数量关系，并证明你的结论.
图5-1-5①
（2）如图5-1-5②，在梯形ABCD 中，AD //BC ，分别以两腰AB 、CD 为直角边向梯形ABCD 外作等腰Rt △ABE 和等腰Rt △DCF ，线段AD 的垂直平分线交线段AD 于点M ，交BC 于点N ，若EP ⊥MN 于P ，FQ ⊥MN 于Q ，（1）中结论还成立吗？请简述理由.
图5-1-5②
5、如图5-1-6，直线321//// l l l ，21 l l 与之间的距离是1，32l l 与之间的距离是2，试画出以A 为直角顶点的等腰Rt △ABC ，使三个顶点分别在直线321 l l l 、、上，并写出所画等腰Rt △ABC 的面积.
图5-1-6
提醒：直角顶点在一条直线上的题目怎么做？
二、直角边相交的“双直角”类
说明：我说的“双直角”特指如下两种情况：相对“双直角”（如图1）；同侧“双直角”（如图2）.
图1 图2 其特点是：A 、连公共斜边，作斜边上的中线，得5个等腰三角形；B 、四点共圆，据同弧上圆周角相等得到很多等角.
（一）见“双直角”连公共斜边
解法归一：见“双直角”，找（或连）公共斜边，构造全等三角形或等腰三角形. (见例3-2-1、体验感悟3-1之3、4题．)
例5-2-1 如图5-2-1，边长为1的正方形ABCD 绕点A 逆时针旋转30°后得到正方形AEFG ，边EF 与CD 交于点O ，则图中阴影部分的面积为（ ）
图5-2-1 图5-2-2 例5-2-2 如图5-2-2，把正方形ABCD 绕点C 按顺时针方向旋转45°得到正方形'''CD B A （此时，点'B 在AC 上，点'A 在CD 的延长线上），''B A 交AD 于点E ，求证：直线CE 是线段'AA 的中垂线.
交流分享：例5-2-1连结AO 、例5-2-2证CE 平分CA A '∠.
体验与感悟5-2-1
1．如图5-2-3，°==90∠∠ADC ABC ，M 、N 分别是线段AC 、BD 的中点. 求证：MN ⊥BD .
图5-2-3
2．（1）将2个全等的Rt △ABC 和Rt △DBE 按图5-2-4①摆放，其中°==90∠∠DEB ACB ,°==30∠∠D A ，点E 落在AB 上，直线DE 交直线AC 于点F .求证：AF +EF =DE .
（2）若将图5-2-4①中的△DBE 绕点B 按顺时针方向旋转α，且°<<°60α0，其他条件不变，请在图5-2-4②中画出变换后的图形，并直接写出（1）中的结论是否仍然成立.
图5-2-4②
（3）若将图5-2-4①中的△DBE 绕点B 按顺时针方向旋转β，且°<<°180β60，其它条件不变，如图5-2-4③.你认为（1）中的结论还成立吗？若成立，写出证明过程；若不成立，请写出此时AF 、EF 与DE 之间的关系，并说明理由
.
图5-2-4③ （二）见“双直角”用四点共圆
例5-2-3 如图5-2-5，BF 、CD 是△ABC 的两条高，E 是BC 的中点，
°=50∠A ，求DEF ∠
.
图5-2-5
交流分享：EB =ED =EC =EF ,B 、D 、F 、C 四点在同一圆上，ABF DEF ∠2∠=
例5-2-4 如图5-2-6，已知AC 、BD 相交于O ，BA =BO 、CD =CO ，P 、M 、N 分别是BC 、OA 、OD 的中点，2α∠ABO =.求证：△PMN ∽△BAO . N
M
P
O
B A
C
D
图5-2-6 交流分享：连结BM 、CN 后，方法同例5-2-3.
体验与感悟5-2-2
1. 如图5-2-7，在锐角△ABC 中，°=60∠BAC ，BD 、CE 为高，F 是BC 的中
点，连接DE 、EF 、FD .则在：①EF =FD ；②AD :AB =AE :AC ；③△DEF 是等边三角形；④BE +CD =BC ；⑤当°=45∠ABC 时，DE BE 2=.这五个结论中一定正确的个数是（ ）
A ．2
B ．3
C ．4
D ．5
图5-2-7 图5-2-8 2. 如图5-2-8，从边长为2的正方形中心O 作两条相互垂直的射线，分别与正
方形的边交于A 、B 两点，则线段AB 的最小值是 .
3. 如图5-2-9，点B 在线段AC 上，点D 、E 在AC 同侧，°==90∠∠C A ，
AD =BC =3，AB =CE =5，点P 为线段AB 上的动点，连接DP ，作PQ ⊥PD 交直线BE 于点Q .当点P 与A 、B 两点不重合时，求DP ︰PQ 的值.
图5-2-8
提醒：回顾一下“双直角”吧！。