2018届高三仿真考试模拟卷理科数学试题
2018届普通高等学校招生全国统一考试高三数学仿真卷(三)理
理科数学（三）
本试题卷共 2 页，23 题（含选考题）。全卷满分 150 分。考试用时 120 分钟。
注意事项：
★祝考试顺利★
1、答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形 码粘贴在答题卡上的指定位置。用 2B 铅笔将答题卡上试卷类型 A 后的方框涂黑。
A．x | 1 x 1
B．x | 1 x 2
C．x | 0 x 2
D．x | 0 x 1
2．设复数 z 1 2i （是虚数单位），则在复平面内，复数 z2 对应的点的坐标为（ ）
A． 3, 4
B． 5, 4
C． 3, 2
D． 3, 4
3． 2 x2x 16 的展开式中 x4 的系数为（ ）
的体积的最大值为 4 ，则球 O 的表面积为__________． 3
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．已知数列an 是等差数列， a1 t 2 t ， a2 4 ， a3 t2 t ． （1）求数列an 的通项公式；
（2）若数列an 为递增数列，数列bn 满足 log2bn an ，求数列 an 1 bn 的前项和 Sn ．
A．-160
B．320
C．480
4．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（
D．640 ）
A． 5 2
B． 4 2
C． 4 4
D． 5 4
5．过双曲线
x2 9
y2 16
1的右支上一点
P
，分别向圆 C1 ： x
52
y2
4 和圆C2 ： x
52
y2
r2
（ r 0 ）作切线，切点分别为 M ， N ，若 PM 2 PN 2 的最小值为 58 ，则 r （ ）欧阳修的《卖油翁》中写道：“（翁）乃取一葫芦置于地，以钱覆盖其口，徐以杓酌油沥之，
2018年 高三数学第三次模拟考试题(理科)含答案
2017—2018学年度高三第三次调研测试理科数学本试卷共23小题，共150分，共6页，考试时间120分钟，考试结束后，将答题卡和试题卷一并交回。
注意事项：1．答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，认真核对条 形码、姓名、准考证号，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上。
2．选择题答案使用2B 铅笔填涂,如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案 的标号；非选择题答案必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、 笔迹清楚。
3．请按照题号在各题的答题区域(黑色线框)内作答，超出答题区域书写的答案 无效。
4. 作图可先用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5. 保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮 纸刀。
一、选择题：本大题共12题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求。
1. 若集合{|0}B x x =≥，且A B A =，则集合A 可以是A ．{1,2}B ．{|1}x x ≤C ．{1,0,1}-D ．R2． 已知复数1z i =+（i 为虚数单位）给出下列命题：①||z =；②1z i =-；③z 的虚部为i . 其中正确命题的个数是A. 0B. 1C. 2D. 33． 若1sin ,3α=且2παπ<<，则sin 2α=A ．B ．C ．D ． 4. 已知等差数列{}n a 的公差不为0，11a =，且248,,a a a 成等比数列，设{}n a 的前n 项和为n S ，则n S =A. (1)2n n +B. 2(1)2n +C. 212n + D. (3)4n n +5． 若1()n x x-的展开式中只有第7项的二项式系数最大，则展开式中含2x 项的系数是A ． 462-B ． 462C ． 792D ． 792-6． 执行如图所示的程序框图，输出的S 值为 A.12018B. 12019C. 20172018D. 201820197． 10|1|x dx -=⎰A ．12B ． 1C ． 2D ． 38． 一个四面体的顶点在空间直角坐标系O xyz -中的坐标分别是 (0,0,0),(1,0,1),(0,1,1)1,(,1,0)2,绘制该四面体三视图时,按照如图所示的方向画正视图,则得到左视图可以为 A.B.C.D.9． 设曲线()cos (*)f x m xm R =∈上任一点(,)x y 处切线斜率为()g x ，则函数2()y x g x =的部分图象可以为10．平行四边形ABCD 中，2,1,1,AB AD AB AD ===-点M 在边CD 上，则MA MB 的 最大值为A. 2B. 1C. 5D.111． 等比数列{}n a 的首项为32，公比为12-，前n 项和为n S ，则当*n N ∈时，1n nS S -的最 大值与最小值的比值为A. 125-B. 107- C. 109D.12512．已知函数13,1()22ln ,1x x f x x x ⎧+≤⎪=⎨⎪>⎩（ln x 是以e 为底的自然对数， 2.71828e =），若存在实数,()m n m n <，满足()()f m f n =，则n m -的取值范围为 A. 2(0,3)e +B. 2(4,1]e -C. 2[52ln2,1]e --D. [52ln2,4)-二、填空题：本大题共4个小题,每小题5分。
2018年高考第三次模拟考试理科数学试卷含答案
**2017—2018学年度高三年级第三次模拟考试**理科数学试卷 第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.已知集合{}{}13,0M x x N x x =-≤<=<，则集合{}03xx ≤<=（ ）A ．MN⋂ B ．MN⋃ C.()R MC N⋂ D ．()R C M N⋂2.复数z 满足()234i z i --=+（i 为虚数单位），则z=（ ）A ．2i -+B ．2i - C. 2i -- D ．2i + 3.已知ta n 16πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则ta n 6πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭（ ）A ．2-．2+C. 2--．2-+4.已知命题:p 在A B C ∆中，若sin sin A B=，则A B=；命题():0,q x π∀∈，1sin 2sin x x+>.则下列命题为真命题的是（ ） A ．pq∧ B ．()pq ∨⌝ C.()()p q ⌝∧⌝ D ．()p q⌝∨5.已知双曲线()2222:10,0x y Ea b ab-=>>的两条渐近线分别为12,l l ，若E 的一个焦点F 关于1l 的对称点F '在2l 上，则E 的离心率为（ ）A B ．326.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A ．6B ．7 C. 152D ．2337.已知函数()()s in 203f x x πωωω⎛⎫=+-> ⎪⎝⎭的图象与x 轴相切，则()f π=（ ）A ．32-B ．12-12- D ．12--8.已知P 是抛物线24y x=上任意一点，Q 是圆()2241xy-+=上任意一点，则P Q 的最小值为（ ）A ．52B ．1D．19.利用随机模拟的方法可以估计圆周率π的值，为此设计如图所示的程序框图，其中()ra n d 表示产生区间[]0,1上的均匀随机数（实数)，若输出的结果为786，则由此可估计π的近似值为（ ）A ．3.134B ．3.141 C.3.144 D ．3.147 10.在A BC ∆中，点G 满足0G A G BG C ++=.若存在点O ，使得16O GB C=，且O Am O B n O C=+，则m n -=（ ）A ．2B ．2- C. 1 D ．1- 11.若异面直线,m n 所成的角是60︒，则以下三个命题: ①存在直线l ，满足l 与,m n 的夹角都是60︒； ②存在平面α，满足mα⊂，n 与α所成角为60︒；③存在平面,αβ，满足,mn αβ⊂⊂，α与β所成锐二面角为60︒.其中正确命题的个数为（ ）A ．0B ．1 C. 2 D ．3 12.已知()0,xxxea fx e a>=+，若()f x 的最小值为1-，则a=（ ）A ．21eB ．1eC. e D ．2e第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 设变量,x y 满足约束条件10,1,250,x y y x y -+≥⎧⎪≥⎨⎪+-≤⎩则zx y=+的最大值为 ．14.某种袋装大米的质量X （单位：k g ）服从正态分布()50,0.01N ，任意选一袋这种大米，质量在49.850.1kg的概率为 ． 15.设函数()2,0,0,x x f x x ⎧<⎪=≥则使得()()f x fx >-成立的x 得取值范围是 ．16.A B C ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，角A 的内角平分线交B C 于点D ，若111,2a bc=+=，则A D 的取值范围是 ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. 已知数列{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，111,2a b ==，22337,13a b a b +=+=.（1）求{}n a 和{}n b 的通项公式； （2）若,,n nn a n c b n ⎧⎪=⎨⎪⎩为奇数为偶数，求数列{}n c 的前2n 项和2n S .18. 某球迷为了解,A B 两支球队的攻击能力，从本赛季常规赛中随机调查了20场与这两支球队有关的比赛.两队所得分数分别如下：A球队：122 110 105 105 109 101 107 129 115 100114 118 118 104 93 120 96 102 105 83B球队：114 114 110 108 103 117 93 124 75 10691 81 107 112 107 101 106 120 107 79（1）根据两组数据完成两队所得分数的茎叶图，并通过茎叶图比较两支球队所得分数的平均值及分散程度（不要求计算出具体值，得出结论即可）；（2）根据球队所得分数，将球队的攻击能力从低到高分为三个等级：记事件:C “A 球队的攻击能力等级高于B 球队的攻击能力等级”.假设两支球队的攻击能力相互独立. 根据所给数据，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，求C 的概率. 19.如图，四棱锥PA B C D-的底面A B C D 是平行四边形，90B A CP A D P C D ∠=∠=∠=︒.（1）求证：平面P A B ⊥平面A B C D ；（2）若3AB AC PA ===，E 为B C 的中点，F 为棱P B 上的点，//P D平面A E F ，求二面角A D F E--的余弦值.20.已知点()2,0A -，点()1,0B -，点()1,0C ，动圆O '与x 轴相切于点A ，过点B 的直线1l 与圆O '相切于点D ，过点C 的直线2l 与圆O '相切于点E （,D E 均不同于点A ），且1l 与2l 交于点P ，设点P 的轨迹为曲线Γ. （1）证明：P B P C+为定值，并求Γ的方程；（2）设直线1l 与Γ的另一个交点为Q ，直线C D 与Γ交于,M N两点，当,,O D C '三点共线时，求四边形M P N Q 的面积. 21.已知0a>，函数()24ln 2a f x x x a=+-+.（1）记()()2g a fa =，求()g a 的最小值；（2）若()yfx =有三个不同的零点，求a 的取值范围.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22.选修4-4：坐标系与参数方程 已知点A 在椭圆22:24Cx y+=上，将射线O A 绕原点O 逆时针旋转2π，所得射线O B 交直线:2l y =于点B .以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系. （1）求椭圆C 和直线l 的极坐标方程；（2）证明：:R t O A B ∆中，斜边A B 上的高h 为定值，并求该定值. 23.选修4-5：不等式选讲 已知函数()123f x x x =---.（1）求不等式()0f x ≥的解集； （2）设()()()g x fx fx =+-，求()g x 的最大值.试卷答案一、选择题1-5: CADBB 6-10: BBDCD 11、12：DA 二、填空题13. 4 14.0.8185 15.()(),10,1?∞-⋃- 16.2⎫⎪⎪⎣⎭三、解答题 17.解：（1）设数列{a n }的公差为d ，数列{b n }的公比为q ， 依题意有，⎩⎨⎧1＋d ＋2q ＝7，1＋2d ＋2q 2＝13，解得d ＝2，q ＝2， 故a n ＝2n －1，b n ＝2n，（2）由已知c 2n －1＝a 2n －1＝4n －3，c 2n ＝b 2n ＝4n， 所以数列{c n }的前2n 项和为S 2n ＝(a 1＋a 3＋…a 2n －1)＋(b 2＋b 4＋…b 2n )＝n(1＋4n －3)2＋4(1－4n)1－4＝2n 2－n ＋ 4 3(4n －1)．18．解：（1）两队所得分数的茎叶图如下3 6 9 3 15 2 4 0 7 1 9 5 5 10 8 367 7 1 6 78 8 4 5 0 11 4 4 0 7 20 9 2 12 4 0通过茎叶图可以看出，A 球队所得分数的平均值高于B 球队所得分数的平均值； A 球队所得分数比较集中，B 球队所得分数比较分散．（2）记C A1表示事件：“A 球队攻击能力等级为较强”， C A2表示事件：“A 球队攻击能力等级为很强”； C B1表示事件：“B 球队攻击能力等级为较弱”， C B2表示事件：“B 球队攻击能力等级为较弱或较强”，则C A1与C B1独立，C A2与C B2独立，C A1与C A2互斥，C ＝(C A1C B1)∪(C A2C B2)． P (C)＝P (C A1C B1)+ P (C A2C B2)＝P (C A1)P (C B1)＋P (C A2)P (C B2)．由所给数据得C A1，C A2，C B1，C B2发生的频率分别为1420，320，520，1820，故P (C A1)＝1420，P (C A2)＝320，P (C B1)＝520，P (C B2)＝1820，P (C)＝1420×520＋320×1820＝0.31．19．解：（1）∵AB ∥CD ，PC ⊥CD ，∴AB ⊥PC ， ∵AB ⊥AC ，AC ∩PC ＝C ，∴AB ⊥平面PAC ， ∴AB ⊥PA ，又∵PA ⊥AD ，AB ∩AD ＝A ， ∴PA ⊥平面ABCD ，PA 平面PAB ， ∴平面PAB ⊥平面ABCD ． （2）连接BD 交AE 于点O ，连接OF ， ∵E 为BC 的中点，BC ∥AD ， ∴ BO OD ＝ BE AD ＝ 1 2， ∵PD ∥平面AEF ，PD 平面PBD ， 平面AEF ∩平面PBD ＝OF ， ∴PD ∥OF ，∴ BF FP ＝ BO OD ＝ 1 2，以AB ，AC ，AP 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系A －xyz ，则A(0，0，0)，B(3，0，0)，C(0，3，0)，D(－3，3，0)， P(0，0，3)，E ( 3 2， 32，0)，F(2，0，1)，设平面ADF 的法向量m ＝(x 1，y 1，z 1)， ∵AF →＝(2，0，1)，AD →＝(－3，3，0)，由AF →·m ＝0，AD →·m ＝0得⎩⎨⎧2x 1＋z 1＝0，－3x 1＋3y 1＝0，取m ＝(1，1，－2)．设平面DEF 的法向量n ＝(x 2，y 2，z 2)，∵DE →＝( 9 2，－ 3 2，0)，EF →＝( 1 2，－ 32，1)，由DE →·n ＝0，EF →·n ＝0得⎩⎨⎧ 9 2x 2－ 32y 2＝0， 1 2x 2－ 32y 2＋z 2＝0，取n ＝(1，3，4)． cos m ，n＝m ·n |m ||n |＝－23939， ∵二面角A-DF-E 为钝二面角，∴二面角A-DF-E 的余弦值为－23939．20．解：（1）由已知可得|PD|＝|PE|，|BA|＝|BD|，|CE|＝|CA|， 所以|PB|＋|PC|＝|PD|＋|DB|＋|PC| ＝|PE|＋|PC|＋|AB| ＝|CE|＋|AB|＝|AC|＋|AB|＝4＞|BC| 所以点P 的轨迹是以B ，C 为焦点的椭圆（去掉与x 轴的交点），可求的方程为x 24＋y23＝1(y ≠0)．（2）由O ，D ，C 三点共线及圆的几何性质，可知PB ⊥CD ， 又由直线CE ，CA 为圆O 的切线，可知CE ＝CA ，O A ＝O E ， 所以△OAC ≌△O EC ，进而有∠ACO ＝∠ECO ，所以|PC|＝|BC|＝2，又由椭圆的定义，|PB|＋|PC|＝4，得|PB|＝2， 所以△PBC 为等边三角形，即点P 在y 轴上，点P 的坐标为(0，±3)(i)当点P 的坐标为(0，3)时，∠PBC ＝60，∠BCD ＝30， 此时直线l 1的方程为y ＝3(x ＋1)，直线CD 的方程为y ＝－33(x －1)， 由⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 23＝1，y ＝3(x ＋1)整理得5x 2＋8x ＝0，得Q (－ 8 5，－335)，所以|PQ|＝165，由⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y23＝1，y ＝－33(x －1)整理得13x 2－8x －32＝0，设M(x 1，y 1)，N(x 2，y 2)，x 1＋x 2＝813，x 1x 2＝－3213，|MN|＝1＋ 1 3|x 1－x 2|＝4813，所以四边形MPNQ 的面积S ＝1 2|PQ|·|MN|＝38465．(ii)当点P 的坐标为(0，－3)时，由椭圆的对称性，四边形MPNQ 的面积为38465．综上，四边形MPNQ 的面积为38465．21．解：（1）g (a)＝ln a 2＋4a a 2＋a 2－2＝2(ln a ＋ 1 a －1)，g(a)＝2(1a － 1 a )＝2(a －1)a，所以0＜a ＜1时，g (a)＜0，g (a)单调递减；a ＞1时，g(a)＞0，g (a)单调递增，所以g (a)的最小值为g (1)＝0．（2）f(x)＝ 1x －4a (x ＋a 2)2＝x 2＋(2a 2－4a)x ＋a 4x(x ＋a 2)2，x ＞0． 因为y ＝f (x)有三个不同的零点，所以f (x)至少有三个单调区间， 而方程x 2＋(2a 2－4a)x ＋a 4＝0至多有两个不同正根，所以，有⎩⎨⎧2a 2－4a ＜0，Δ＝16a 2(1－a)＞0，解得，0＜a ＜1．由（1）得，当x ≠1时，g (x)＞0，即ln x ＋1x－1＞0， 所以ln x ＞－ 1x，则x ＞e －1x (x ＞0)，令x ＝a 22，得a 22＞e － 2 a 2．因为f (e － 2a 2)＜－ 2 a 2＋ 4 a －2＝－2(a －1)2a2＜0，f (a 2)＞0，f (1)＝4a 1＋a 2－2＝－2(a －1)21＋a 2＜0，f (e 2)＝4a e 2＋a2＞0，所以y ＝f (x)在(e － 2a 2，a 2)，(a 2，1)，(1，e 2)内各有一个零点，故所求a 的范围是0＜a ＜1．22．解：（1）由x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ得椭圆C 极坐标方程为ρ2(cos 2θ＋2sin 2θ)＝4，即ρ2＝41＋sin 2θ； 直线l 的极坐标方程为ρsin θ＝2，即ρ＝ 2sin θ．（2）证明：设A(ρA ，θ)，B (ρB ，θ＋2)，－2＜θ＜ 2．由（1）得|OA|2＝ρ2A ＝41＋sin 2θ，|OB|2＝ρ2B ＝ 4sin 2(θ＋2)＝4cos 2θ， 由S △OAB ＝ 1 2×|OA|×|OB|＝ 12×|AB|×h 可得，h 2＝|OA|2×|OB|2|AB|2＝|OA|2×|OB|2|OA|2＋|OB|2＝2．故h 为定值，且h ＝2．23．解：（1）由题意得|x －1|≥|2x －3|, 所以|x －1|2≥|2x －3|2整理可得3x 2－10x ＋8≤0，解得 4 3≤x ≤2，故原不等式的解集为{x | 43≤x ≤2}．（2）显然g (x)＝f (x)＋f (－x)为偶函数， 所以只研究x≥0时g (x)的最大值．g (x)＝f (x)＋f (－x)＝|x －1|－|2x －3|＋|x ＋1|－|2x ＋3|， 所以x≥0时，g (x)＝|x －1|－|2x －3|－x －2 ＝⎩⎪⎨⎪⎧－4， 0≤x ≤1，2x －6，1＜x ＜ 3 2，－2x ， x ≥ 32，所以当x ＝ 32时，g (x)取得最大值－3，故x ＝± 32时，g (x)取得最大值－3．。
2018届高三普通高校统一招生考试仿真卷(一)数学(理)试卷(含答案)
绝密 ★ 启用前2018年普通高等学校招生全国统一考试仿真卷理科数学（一）本试题卷共2页，23题（含选考题）。
全卷满分150分。
考试用时120分钟。
★祝考试顺利★注意事项：1、答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。
2、选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。
答案写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
5、考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合(){},2M x y x y =+=，(){},2N x y x y =-=，则集合M N =I （ ） A ．{}0,2B ．()2,0C ．(){}0,2D ．(){}2,02．若复数2i 1i z ⎛⎫= ⎪-⎝⎭（为虚数单位），则z =（ ） A ． B ．C ．12D ．2 3．如图所示的阴影部分是由轴及曲线sin y x =围成，在矩形区域OABC 内随机取一点，班级 姓名 准考证号 考场号 座位号则该点取自阴影部分的概率是（）A．2πB．12C．1πD．3π4．已知()cos2cos2ααπ⎛⎫+=π-⎪⎝⎭，则tan4απ⎛⎫-=⎪⎝⎭（）A．4-B．C．13-D．135．《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称之为“堑堵”．已知某“堑堵”的三视图如图所示，俯视图中间的实线平分矩形的面积，则该“堑堵”的侧面积为（）A．2 B．422+C．42+D．42+6．已知实数，y满足2210x yxy+-⎧⎪⎨⎪⎩≥≤≥，若z x my=+的最大值为10，则m=（）A．B．C．D．7．已知()201720162018201721f x x x x=++++L，下列程序框图设计的是求()0f x的值，在“ ”中应填的执行语句是（）开始i =1,n =2018结束i ≤2017？是否输入x 0S =2018输出SS =Sx 0S =S+ni =i +1A ．2018n i =-B ．2017n i =-C ．2018n i =+D ．2017n i =+8．若函数()24x f x a =--存在两个零点，且一个为正数，另一个为负数，则的取值范围为（ ） A ．()0,4B ．()0,+∞C ．()3,4D ．()3,+∞9．阿波罗尼斯（约公元前262-190年）证明过这样一个命题：平面内到两定点距离之比为常数（0k >且1k ≠）的点的轨迹是圆．后人将这个圆称为阿氏圆．若平面内两定点A ，B 间的距离为2，动点P 与A ，B，当P ，A ，B不共线时，PAB △面积的最大值是（ ） A ．B CD 10．双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的离心率e =，右焦点为F ，点A 是双曲线C 的一条渐近线上位于第一象限内的点，AOF OAF ∠=∠，AOF △的面积为，则双曲线C 的方程为（ ）A ．2213612x y -=B ．221186x y -=C ．22193x y -=D ．2213x y -=11．设锐角ABC △的三个内角A ，B ，C的对边分别为a ，b ，c ，且1c =，2A C =，则ABC △周长的取值范围为（ ） A．(0,2B ．(0,3C ．(2+D ．(2+12．若关于的方程e 0e exx xx m x ++=+有三个不相等的实数解1x ，2x ，3x ，且1230x x x <<<，其中m ∈R ，e 2.71828=L 为自然对数的底数，则3122312111e e e x x x xx x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭的值为（ ） A ．1 B ． C ．1m - D ．1m +第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分。
山东省淄博市2018届高三下学期第一次模拟考试数学(理)
山东省淄博市2018届高三下学期第一次模拟考试数学(理)淄博市2017-2018学年度高三模拟考试试题理科数学第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若集合 $A=\{x\in N|2x\leq 8\},B=\{0,1,2,3,4\}$，则$A\cap B=$A。
$\{0,1,2,3\}$B。
$\{1,2,3\}$C。
$\{0,1,2\}$D。
$\{0,1,2,3,4\}$2.在复平面内，复数 $z$ 满足 $z(1+i)=1-2i$，则 $z$ 对应的点位于A。
第一象限B。
第二象限C。
第三象限D。
第四象限3.若 $0.43a=3,b=0.4,c=\log_{0.4}3$，则A。
$b<a<c$B。
$c<a<b$XXX<c<b$D。
$c<b<a$4.若 $\sin2\alpha=\frac{\sin(\alpha-\pi/2)}{2\cos(\alpha+\pi/2)}$，则 $\sin\alpha$ 的值为A。
$\frac{5}{7}$B。
$\frac{5}{3}$C。
$-\frac{3}{5}$D。
$-\frac{5}{3}$5.已知某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是A。
$\frac{2}{3}$B。
$\frac{5}{6}$C。
$1$D。
$2$6.设每天从甲地去乙地的旅客人数为随机变量 $X$，且$X\sim N(800,502)$。
记一天中从甲地去乙地的旅客人数不超过 $2X\sim N(\mu,\sigma^2)$ 的概率为 $p$，则 $p$ 的值为（参考数据：若 $P(\mu-\sigma<X\leq\mu+\sigma)=0.6826$，$P(\mu-2\sigma<X\leq\mu+2\sigma)=0.9544$，$P(\mu-3\sigma<X\leq\mu+3\sigma)=0.9974$）A。
2018年高考数学模拟试卷(理科)带答案精讲
2018年高考数学模拟试卷（理科）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分．）1．（5分）已知复数z1=2+i，z2=a﹣i，z1•z2是实数，则实数a=（）A．2 B．3 C．4 D．52．（5分）若集合A={0，1，2，3}，集合B={x|x∈A且1﹣x∉A}，则集合B的元素的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．43．（5分）一个几何体的正视图和侧视图都是边长为1的正方形，则这个几何体的俯视图一定不是（）A．B．C．D．4．（5分）从编号为001，002，…，500的500个产品中用系统抽样的方法抽取一个样本，已知样本中编号最小的两个编号分别为007，032，则样本中最大的编号应该为（）A．480 B．481 C．482 D．4835．（5分）函数f（x）的导函数f′（x）的图象是如图所示的一条直线l，l与x轴交点的坐标为（1，0），则f（0）和f（3）的大小关系为（）A．f（0）＜f（3）B．f（0）＞f（3）C．f（0）=f（3）D．不能确定6．（5分）一个等比数列前三项的积为2，最后三项的积为4，且所有项的积为64，则该数列有（）A．13项B．12项C．11项D．10项7．（5分）当0＜x＜1时，f（x）=，则下列大小关系正确的是（）A．f2（x）＜f（x）＜f（x2）B．f（x2）＜f2（x）＜f（x）C．f（x）＜f（x2）＜f2（x）D．f2（x）＜f（x2）＜f（x）8．（5分）如图所示计算机程序的打印结果为（）A．B．C．D．9．（5分）如图，已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左右焦点分别为F1，F2，|F1F2|=4，P是双曲线右支上的一点，F2P与y轴交于点A，△APF1的内切圆在边PF1上的切点为Q，若|PQ|=1，则双曲线的离心率是（）A．3 B．2 C．D．10．（5分）已知函数f（x）的导函数的图象如图所示，a、b、c分为△ABC的边且3a2+3b2﹣c2=4ab，则一定成立的是（）A．f（sinA）≤f（cosB）B．f（sinA）≥f（cosB）C．f（sinA）≥f（sinB）D．f（cosA）≤f（cosB）二、填空题（本大题共4小题，考生共需作答5小题，每小题5分，共25分.）（一）必做题（11-14题）11．（5分）某天上午要排物理，化学，生物和两节自习课共5节，如果第一节不排自习课，那么不同的排法共有种（用数字作答）．12．（5分）已知点P（t，2）在不等式组所表示的平面区域内运动，l 为过点P和坐标原点O的直线，则l的斜率的最大值为．13．（5分）某一物体在某种介质中作直线运动，已知t时刻，它的速度为v，位移为s，且它在该介质中所受到的阻力F与速度v的平方成正比，比例系数为k，若已知s=t2，则该物体由位移s=0移动到位移s=a时克服阻力所作的功为．（注：变力F做功W=∫F（s）ds，结果用k，a表示）14．（5分）已知椭圆+=1（a＞b＞0），P（x，y），Q（x′，y′）是椭圆上异于顶点的两点，有下列四个不等式①a2+b2≥（x+y）2；②+≥（+）2；③4（）2≤（）2；④+≤1．其中不等式恒成立的序号是．（填所有正确命题的序号）选考题（请考生在第15、16两题中任选一题作答，如果全选，则按第15题作答结果计分.）15．（5分）（几何证明选讲选做题）如图，半径为2的⊙O中，∠AOB=90°，D 为OB的中点，AD的延长线交⊙O于点E，则线段DE的长为．16．设直线l1的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴为极轴建立极坐标系得另一直线l2的方程为ρsinθ﹣3ρcosθ+4=0，若直线l1与l2间的距离为，则实数a的值为．三、解答题（本大题共6小题，前4题每题12分，21题13分，22题14分）17．（12分）已知向量=（，sinx），=（cos2x，﹣cosx），x∈R，设函数f （x）=•（Ⅰ）求f（x）的最小正周期及在区间[0，π]上的单调区间；（Ⅱ）若f（θ）=1，求cos2（﹣θ）+sinθcosθ的值．18．（12分）已知函数f（x）=4x，数列{a n}中，2a n+1﹣2a n+a n+1a n=0，a1=1且a n ≠0，若数列{b n}中，b1=2且b n=f（）（n≥2）．（Ⅰ）求证：数列{}是等差数列，并求出数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）求数列{}的前n项和T n．19．（12分）如图1，直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，E、F分别为边AD和BC上的点，且EF∥AB，AD=2AE=2AB=4FC=4．将四边形EFCD沿EF折起成如图2的位置，使AD=AE．（1）求证：AF∥平面CBD；（2）求平面CBD与平面DAE所成锐角的余弦值．20．（12分）由于雾霾日趋严重，政府号召市民乘公交出行．但公交车的数量太多会造成资源的浪费，太少又难以满足乘客需求．为此，某市公交公司在某站台的60名候车乘客中进行随机抽样，共抽取10人进行调查反馈，所选乘客情况如下表所示：（1）估计这60名乘客中候车时间少于10分钟的人数；（2）现从这10人中随机取3人，求至少有一人来自第二组的概率；（3）现从这10人中随机抽取3人进行问卷调查，设这3个人共来自X个组，求X的分布列及数学期望．21．（13分）若椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率e为，且椭圆C的一个焦点与抛物线y2=﹣12x的焦点重合．（1）求椭圆C的方程；（2）设点M（2，0），点Q是椭圆上一点，当|MQ|最小时，试求点Q的坐标；（3）设P（m，0）为椭圆C长轴（含端点）上的一个动点，过P点斜率为k的直线l交椭圆与A，B两点，若|PA|2+|PB|2的值仅依赖于k而与m无关，求k的值．22．（14分）已知函数f（x）=x﹣xlnx，g（x）=f（x）﹣xf′（a），其中f′（a）表示函数f（x）在x=a处的导数，a为正常数．（1）求g（x）的单调区间；（2）对任意的正实数x1，x2，且x1＜x2，证明：（x2﹣x1）f′（x2）＜f（x2）﹣f （x1）＜（x2﹣x1）f′（x1）；（3）对任意的n∈N*，且n≥2，证明：．参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分．）1．（5分）已知复数z1=2+i，z2=a﹣i，z1•z2是实数，则实数a=（）A．2 B．3 C．4 D．5【分析】利用复数的运算法则和复数为实数的充要条件即可得出．【解答】解：∵z1•z2=（2+i）（a﹣i）=2a+1+（a﹣2）i为实数，∴a﹣2=0，解得a=2．故选：A．【点评】本题考查了复数的运算法则和复数为实数的充要条件，属于基础题．2．（5分）若集合A={0，1，2，3}，集合B={x|x∈A且1﹣x∉A}，则集合B的元素的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4【分析】根据已知中集合A={0，1，2，3}，集合B={x|x∈A且1﹣x∉A}，逐一分析集合A中的元素是否满足B中元素的条件，进而得到答案．【解答】解：∵集合A={0，1，2，3}，集合B={x|x∈A且1﹣x∉A}，当x=0时，不满足B中元素的条件；当x=1时，不满足B中元素的条件；当x=2时，满足B中元素的条件；当x=3时，满足B中元素的条件；故B={2，3}，则集合B的元素的个数为2，故选：B．【点评】本题考查的知识点是集合的包含关系判断及应用，正确理解集合B={x|x ∈A且1﹣x∉A}中元素所满足的条件，是解答的关键．3．（5分）一个几何体的正视图和侧视图都是边长为1的正方形，则这个几何体的俯视图一定不是（）A．B．C．D．【分析】四个图形的高均可取1，A可以是三棱柱，B可是三分之一圆柱，C可以是正方体，D从俯视图看出正方体去掉四分之一圆锥后的几何体．【解答】解：A中几何体的侧视图是左侧面在过里面侧棱和中心高线确定面上的正投影，能满足和正视图侧视图为边长为1的正方形；满足题目的要求，正确；B的俯视图是一扇形，是三分之一圆柱，从正视图与侧视图的高为1的线段，正视图的长度大于1，不满足要求．C可以是正方体，以其正视图和侧视图也可是边长为1的正方形．满足题目的要求，正确；选项D从俯视图看出正方体去掉四分之一圆锥后的几何体．故其正视图与侧视图是边长为1的正方形．满足题目的要求，正确；故选：B．【点评】本题考查三视图的理解与应用，解决三视图问题，要掌握视图原则，关键是图形在与目光视线垂直面上的正投影．4．（5分）从编号为001，002，…，500的500个产品中用系统抽样的方法抽取一个样本，已知样本中编号最小的两个编号分别为007，032，则样本中最大的编号应该为（）A．480 B．481 C．482 D．483【分析】根据系统抽样的定义得到，编号之间的关系，即可得到结论．【解答】解：∵样本中编号最小的两个编号分别为007，032，∴样本数据组距为32﹣07=25，则样本容量为，则对应的号码数x=7+25（n﹣1），当n=20时，x取得最大值为x=7+25×19=482，故选：C．【点评】本题主要考查系统抽样的应用，根据条件确定组距是解决本题的关键，比较基础．5．（5分）函数f（x）的导函数f′（x）的图象是如图所示的一条直线l，l与x轴交点的坐标为（1，0），则f（0）和f（3）的大小关系为（）A．f（0）＜f（3）B．f（0）＞f（3）C．f（0）=f（3）D．不能确定【分析】根据导函数的图象，写出函数f（x）的单调区间，由导函数图象是一条直线知原函数是二次函数，对称轴是x=1，从而将f（0），f（3）转换到单调区间，就能比较大小了．【解答】解：由导函数f′（x）的图象可知：函数f（x）的增区间为（﹣∞，1），减区间为（1，+∞），又导函数f′（x）的图象是一条直线l，∴原函数是二次项系数小于0的二次函数，其图象的对称轴是x=1．∴f（x）=f（2﹣x），∴f（0）=f（2），由函数f（x）在（1，+∞）上是减函数，得f（2）＞f（3），即f（0）＞f（3）．故选B．【点评】本题主要考查利用导数研究函数的性质：单调性，进而比较两数大小，解题时应注意导函数的图象与原函数的关系是解决问题的关键．6．（5分）一个等比数列前三项的积为2，最后三项的积为4，且所有项的积为64，则该数列有（）A．13项B．12项C．11项D．10项【分析】先设数列的通项公式为a1q n﹣1，则前三项之积：a13q3=2，后三项之积：a13q3n﹣6=4两式相乘得即a12q n﹣1=2，又根据所有项的积为64，进而求出n．【解答】解析：设数列的通项公式为a1q n﹣1则前三项分别为a1，a1q，a1q2，后三项分别为a1q n﹣3，a1q n﹣2，a1q n﹣1．∴前三项之积：a13q3=2，后三项之积：a13q3n﹣6=4两式相乘得：a16q3（n﹣1）=8，即a12q n﹣1=2又a1•a1q•a1q2…a1q n﹣1=64，∴=64，即（a12q n﹣1）n=642，∴2n=642，∴n=12故选B【点评】本题主要考查了等比数列的性质．属基础题．7．（5分）当0＜x＜1时，f（x）=，则下列大小关系正确的是（）A．f2（x）＜f（x）＜f（x2）B．f（x2）＜f2（x）＜f（x）C．f（x）＜f（x2）＜f2（x）D．f2（x）＜f（x2）＜f（x）【分析】根据不等式的性质，以及函数单调性和导致之间的关系判断函数f（x）的单调性即可得到结论．【解答】解：根据三角函数线的定义知|sinx|≤|x|，∴≤1，∵0＜x＜1，∴0＜＜1成立，即0＜f（x）＜1，则f2（x）＜f（x），∵f（x）=，∴f′（x）=，设g（x）=xcosx﹣sinx，则g′（x）=﹣xsinx＜0，（0＜x＜1），∴g（x）在0＜x＜1上单调递减，则g（x）＜g（0）=0，∴f′（x）=＜0，即在0＜x＜1上f（x）单调递减，∵此时x＞x2，∴f2（x）＜f（x）＜f（x2），故选：A．【点评】本题主要考查函数的值的大小比较，利用函数单调性和导数之间的关系是解决本题的关键．8．（5分）如图所示计算机程序的打印结果为（）A．B．C．D．【分析】根据框图的流程依次计算程序运行的结果，直到不满足条件z≤30，计算输出的值．【解答】解：由程序框图知：x=1，y=1，z=2，第一次循环x=1，y=2，z=1+2=3；第二次循环x=2，y=3，z=2+3=5；第三次循环x=3，y=5，z=3+5=8；第四次循环x=5，y=8，z=5+8=13；第五次循环x=8，y=13，z=8+13=21；第六次循环x=13，y=21，z=34．不满足条件z≤30，跳出循环体，输出=．故选：C．【点评】本题考查了循环结构的程序框图，根据框图的流程依次计算程序运行的结果是解答此类问题的常用方法．9．（5分）如图，已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左右焦点分别为F1，F2，|F1F2|=4，P是双曲线右支上的一点，F2P与y轴交于点A，△APF1的内切圆在边PF1上的切点为Q，若|PQ|=1，则双曲线的离心率是（）A．3 B．2 C．D．【分析】由|PQ|=1，△APF1的内切圆在边PF1上的切点为Q，根据切线长定理，可得|PF1|﹣|PF2|=2，结合|F1F2|=4，即可得出结论．【解答】解：由题意，∵|PQ|=1，△APF1的内切圆在边PF1上的切点为Q，∴根据切线长定理可得AM=AN，F1M=F1Q，PN=PQ，∵|AF1|=|AF2|，∴AM+F1M=AN+PN+NF2，∴F1M=PN+NF2=PQ+PF2∴|PF1|﹣|PF2|=F1Q+PQ﹣PF2=F1M+PQ﹣PF2=PQ+PF2+PQ﹣PF2=2PQ=2，∵|F1F2|=4，∴双曲线的离心率是e==2．故选：B．【点评】本题考查双曲线的离心率，考查三角形内切圆的性质，考查切线长定理，考查学生的计算能力，属于基础题．10．（5分）已知函数f（x）的导函数的图象如图所示，a、b、c分为△ABC的边且3a2+3b2﹣c2=4ab，则一定成立的是（）A．f（sinA）≤f（cosB）B．f（sinA）≥f（cosB）C．f（sinA）≥f（sinB）D．f（cosA）≤f（cosB）【分析】根据函数f（x）的导函数f′（x）的图象可知f（x）在（0，+∞）上是增函数，然后判定sinA与cosB的大小，根据单调性的定义进行判定即可．【解答】解：根据函数f（x）的导函数f′（x）的图象可知f（x）在（0，+∞）上是增函数，又当3a2+3b2﹣c2=4ab时，cosC==，∴C≥90°，∴A+B≤90°，∴A≤90°﹣B，∴sinA≤sin（90°﹣B）=cosB，从而f（sinA）≤f（cosB）故选A．【点评】本题主要考查了函数的单调性与导数的关系，以及导函数图象与原函数的性质的关系，属于基础题．二、填空题（本大题共4小题，考生共需作答5小题，每小题5分，共25分.）（一）必做题（11-14题）11．（5分）某天上午要排物理，化学，生物和两节自习课共5节，如果第一节不排自习课，那么不同的排法共有36种（用数字作答）．【分析】分两步进行，先排第一节课，再排其它四节，注意两节自习课只有一种顺序，进而由分步乘法公式计算可得答案【解答】解：先排第一节，从物理，化学，生物任选一科，有，剩下的四节从剩下的科目中任意排，有，而两节自习课只有一种顺序，不同的排法共有=36种．故答案为：36．【点评】本题考查分步计数原理的运用，要优先处理特殊的元素，即有特殊要求或受到限制的元素．12．（5分）已知点P（t，2）在不等式组所表示的平面区域内运动，l 为过点P和坐标原点O的直线，则l的斜率的最大值为2．【分析】由不等式组可得所表示的可行域，即可得到：当取点P（1，2）时，直线l的斜率取得最大值．【解答】解：由不等式组可得所表示的可行域，由图可知：当取点P（1，2）时，直线l的斜率的取得最大值，k==2．故答案为：2．【点评】本题考查了线性规划的可行域、斜率的计算公式，属于中档题．13．（5分）某一物体在某种介质中作直线运动，已知t时刻，它的速度为v，位移为s，且它在该介质中所受到的阻力F与速度v的平方成正比，比例系数为k，若已知s=t2，则该物体由位移s=0移动到位移s=a时克服阻力所作的功为ka2．（注：变力F做功W=∫F（s）ds，结果用k，a表示）【分析】将变力F用s表示出来，根据变力F做功的公式进行计算即可得到结论．【解答】解：∵在该介质中所受到的阻力F与速度v的平方成正比，比例系数为k，∴F=kv2，∵t时刻，它的速度为v，位移为s，∴s=t2，s′（t）=t，即v=s′（t）=t，∴s=t2=v2，即v2=2s，即F=kv2=2ks，则由W=∫F（s）ds得W=∫=ks2|=ka2，故答案为：ka2【点评】本题主要考查积分的物理意义，要求熟练掌握积分的公式．14．（5分）已知椭圆+=1（a＞b＞0），P（x，y），Q（x′，y′）是椭圆上异于顶点的两点，有下列四个不等式①a2+b2≥（x+y）2；②+≥（+）2；③4（）2≤（）2；④+≤1．其中不等式恒成立的序号是①②③④．（填所有正确命题的序号）【分析】利用三角换元，即可得出结论．【解答】解：设x=asinα，y=bcosα，则x+y=sin（α+θ），∴a2+b2≥（x+y）2，即①正确；（+）a2b2=（+）a2b2=（sin2α+cos2α）（+）≥（a+b）2，∴+≥（+）2，即②正确；=4b2sin2αcos2α=b2sin22α≤b2，即③正确；设x′=acosβ，y′=bsinβ，∴+=sin（α+β）≤1，即④正确．故答案为：①②③④．【点评】本题考查椭圆方程，考查三角函数知识，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．选考题（请考生在第15、16两题中任选一题作答，如果全选，则按第15题作答结果计分.）15．（5分）（几何证明选讲选做题）如图，半径为2的⊙O中，∠AOB=90°，D为OB的中点，AD的延长线交⊙O于点E，则线段DE的长为．【分析】延长BO交⊙O与点C，我们根据已知中⊙O的半径为2，∠AOB=90°，D为OB的中点，我们易得，代入相交弦定理，我们即可求出线段DE的长．【解答】解：延长BO交⊙O与点C，由题设知：，又由相交弦定理知AD•DE=BD•DC，得故答案为：【点评】本题考查的知识是与圆有关的比例线段，其中延长B0交圆于另一点C，从而构造相交弦的模型是解答本题的关键．16．设直线l1的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴为极轴建立极坐标系得另一直线l2的方程为ρsinθ﹣3ρcosθ+4=0，若直线l1与l2间的距离为，则实数a的值为a=9或a=﹣11．【分析】先利用直线l1的参数方程化为普通方程，再利用直角坐标与极坐标间的关系，进行代换将直线l2的方程化为直角坐标方程．最后利用两平行线的距离公式即可求得实数a的值．【解答】解：将直线l1的方程化为普通方程得3x﹣y+a﹣3=0，将直线l2的方程化为直角坐标方程得3x﹣y﹣4=0，由两平行线的距离公式得⇒a=9或a=﹣11．故答案为：a=9或a=﹣11．【点评】本题考查直线的参数方程、直线的极坐标和直角坐标的互化、两平行线的距离公式等知识，体会在极坐标系和平面直角坐标系中刻画点的位置的区别，能进行极坐标和直角坐标的互化．三、解答题（本大题共6小题，前4题每题12分，21题13分，22题14分）17．（12分）已知向量=（，sinx），=（cos2x，﹣cosx），x∈R，设函数f （x）=•（Ⅰ）求f（x）的最小正周期及在区间[0，π]上的单调区间；（Ⅱ）若f（θ）=1，求cos2（﹣θ）+sinθcosθ的值．【分析】（Ⅰ）利用向量积的知识，求得f（x）的解析式，进而化简，利用三角函数的图象和性质求得函数的最小正周期T和在区间[0，π]上的单调区间．（Ⅱ）通过f（θ）=1，求得cos（2θ+）的值，代入原式求得答案．【解答】解：（Ⅰ）f（x）=•=cos2x﹣sinxcosx=cos2x﹣sin2x=cos（2x+），∴T==π，当，即时，函数单调增，∵x∈[0，π]∴f（x）在区间[0，π]上的单调减区间为，单调增区间为．（Ⅱ）∵f（θ）=1，∴∴=．【点评】本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，三角函数图象和性质．18．（12分）已知函数f（x）=4x，数列{a n}中，2a n+1﹣2a n+a n+1a n=0，a1=1且a n ≠0，若数列{b n}中，b1=2且b n=f（）（n≥2）．（Ⅰ）求证：数列{}是等差数列，并求出数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）求数列{}的前n 项和T n ．【分析】（Ⅰ）由2a n +1﹣2a n +a n +1a n =0，得，，由此能证明数列{}是首项为1，公差为的等差数列，从而能求出．（Ⅱ）b 1=2，当n ≥2时，==2n ，从而得到，由此利用错位相减法能求出数列{}的前n 项和T n ．【解答】解：（Ⅰ）由2a n +1﹣2a n +a n +1a n =0，两边同时除以2a n +1a n ， 得，，∴数列{}是首项为1，公差为的等差数列，（3分）∴， ∴．（6分）（Ⅱ）b 1=2，当n ≥2时==2n当n=1时b 1=2也符合 ∴b n =2n （n ∈N *） ∴（8分）+4×22+…+（n +1）×2n ﹣1①2T n =2×21+3×22+…+n ×2n ﹣1+（n +1）×2n ②（10分） ①﹣②得∴（12分）【点评】本题考查等差数列的证明，考查数列的通项公式的求法，考查数列的前n 项和的求法，解题时要认真审题，注意错位相减法的合理运用．19．（12分）如图1，直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ABC=90°，E 、F 分别为边AD和BC上的点，且EF∥AB，AD=2AE=2AB=4FC=4．将四边形EFCD沿EF折起成如图2的位置，使AD=AE．（1）求证：AF∥平面CBD；（2）求平面CBD与平面DAE所成锐角的余弦值．【分析】（1）取DE的中点G，连结FG，AG，CG，由已知条件推导出FG∥CD，AG∥BC，从而得到平面AFG∥平面CBD，由此能证明AF∥平面CBD．（2）如图以AE中点为原点，AE为x轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出面CBD与面DAE所面角的余弦值．【解答】（1）证明：取DE的中点G，连结FG，AG，CG，∵翻折前E、F分别为边AD和BC上的点，且EF∥AB，AD=2AE=2AB=4FC=4，∴翻折后AD=AE=2CF，∴CF DG，CG AB，∴FG∥CD，AG∥BC，∴平面AFG∥平面CBD，∴AF∥平面CBD．（2）如图以AE中点为原点，AE为x轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则由题意知A（﹣1，0，0），D（0，0，），B（﹣1，﹣2，0），E（1，0，0），∴DE的中点坐标为（），∵，∴C（），∵是平面ADE的一个法向量，即，设平面BCD的一个法向量为，∵，，∴，令x=2，则y=2，z=﹣2，∴，∴cos＜＞==，∴面CBD与面DAE所面角的余弦值为．【点评】本题考查直线与平面平行的证明，考查二面角的余弦值的求法，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．20．（12分）由于雾霾日趋严重，政府号召市民乘公交出行．但公交车的数量太多会造成资源的浪费，太少又难以满足乘客需求．为此，某市公交公司在某站台的60名候车乘客中进行随机抽样，共抽取10人进行调查反馈，所选乘客情况如下表所示：（1）估计这60名乘客中候车时间少于10分钟的人数；（2）现从这10人中随机取3人，求至少有一人来自第二组的概率；（3）现从这10人中随机抽取3人进行问卷调查，设这3个人共来自X个组，求X的分布列及数学期望．【分析】（1）根据15名乘客中候车时间少于10分钟频数和为6，可估计这60名乘客中候车时间少于10分钟的人数；（2）利用对立事件的概率公式，可求至少有一人来自第二组的概率；（3）X的可能值为1，2，3，求出相应的概率，即可求出求X的分布列及数学期望．【解答】解：（1）候车时间少于10分钟的人数为人；…（3分）（2）设“至少有一人来自第二组为事件A”…（7分）（3）X的可能值为1，2，3，，…（10分）所以X的分布列为…（13分）【点评】本题考查的知识点是频率分布直方表，古典概型概率公式，考查随机变量的分布列及数学期望，正确求概率是关键．21．（13分）若椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率e为，且椭圆C的一个焦点与抛物线y2=﹣12x的焦点重合．（1）求椭圆C的方程；（2）设点M（2，0），点Q是椭圆上一点，当|MQ|最小时，试求点Q的坐标；（3）设P（m，0）为椭圆C长轴（含端点）上的一个动点，过P点斜率为k的直线l交椭圆与A，B两点，若|PA|2+|PB|2的值仅依赖于k而与m无关，求k 的值．【分析】（1）先求出焦点的坐标，再由离心率求得半长轴的长，从而得到短半轴长，即可写出椭圆的标准方程；（2）用坐标表示出|MQ|2，利用配方法可得结论；（3）设出直线方程，代入椭圆方程，利用韦达定理，表示出|PA|2+|PB|2，根据|PA|2+|PB|2的值仅依赖于k而与m无关，可得等式，从而可求k的值．【解答】解：（1）由题意可得：抛物线y2=﹣12x的焦点（﹣3，0），∵=，∴a=5，∴=4∴椭圆C的方程为；（2）设Q（x，y），﹣5≤x≤5∴|MQ|2=（x﹣2）2+y2=∵对称轴为x=＞5，∴x=5时，|MQ|2取得最小值∴当|MQ|最小时，点Q的坐标为（5，0）；（3）设A（x1，y1），B（x2，y2），直线l：y=k（x﹣m）直线代入椭圆方程，消去y可得（25k2+16）x2﹣50mk2x+25m2k2﹣400=0∴x1+x2=，x1x2=∴y1+y2=k（x1+x2）﹣2km=﹣，y1y2=∴|PA|2+|PB|2=+=（k2+1）•∵|PA|2+|PB|2的值仅依赖于k而与m无关，∴512﹣800k2=0，解得k=．【点评】本题考查椭圆的标准方程，考查配方法的运用，考查直线与椭圆的位置关系，考查学生的计算能力，正确运用韦达定理是关键．22．（14分）已知函数f（x）=x﹣xlnx，g（x）=f（x）﹣xf′（a），其中f′（a）表示函数f（x）在x=a处的导数，a为正常数．（1）求g（x）的单调区间；（2）对任意的正实数x1，x2，且x1＜x2，证明：（x2﹣x1）f′（x2）＜f（x2）﹣f （x1）＜（x2﹣x1）f′（x1）；（3）对任意的n∈N*，且n≥2，证明：．【分析】（1）求导函数，利用导数的正负，可确定函数的单调区间；（2）先证明f（x2）﹣f（x1）＜（x2﹣x1）f'（x1），f（x2）﹣f（x1）＞（x2﹣x1）f'（x2），即可得（x2﹣x1）f'（x2）＜f（x2）﹣f（x1）＜（x2﹣x1）f'（x1）；（3）构造函数φ（x）=，确定φ（x）在（1，+∞）上单调递减，从而可得，即ln2lnn≤ln（2+k）ln（n﹣k），再利用放缩法，即可证得结论．【解答】（1）解：f'（x）=﹣lnx，g（x）=x﹣xlnx+xlna，g'（x）=f'（x）﹣f'（a）=﹣lnx+lna=ln．所以，x∈（0，a）时，g'（x）＞0，g（x）单调递增；x∈（a，+∞）时，g'（x）＜0，g（x）单调递减．所以，g（x）的单调递增区间为（0，a]，单调递减区间为[a，+∞）．（2）证明：∵f′（x）=﹣lnx，∴f′（x）在（0，+∞）上是一个减函数，对任意的正实数x1，x2，且x1＜x2，由拉格朗日中值定理，可知，存在b∈（x1，x2），使得，∴x1＜b＜x2，又f′（x）在（0，+∞）上是一个减函数，∴f′（x2）＜f′（b）＜f′（x1），∴f′（x2）＜＜f′（x1），∴（x2﹣x1）f′（x2）＜f（x2）﹣f（x1）＜（x2﹣x1）f′（x1）．（3）证明：对k=1，2，…，n﹣2，令φ（x）=，则φ′（x）=，显然1＜x＜x+k，0＜lnx＜ln（x+k），所以xlnx＜（x+k）ln（x+k），所以φ′（x）＜0，φ（x）在（1，+∞）上单调递减．由n﹣k≥2，得φ（n﹣k）≤φ（2），即．所以ln2lnn≤ln（2+k）ln（n﹣k），k=1，2，…，n﹣2．所以=≤=2又由（2）知f（n+1）﹣f（n）＜f′（n）=﹣lnn，所以lnn＜f（n）﹣f（n+1）．∴ln1+ln2+…+lnn＜f（1）﹣f（2）+f（2）﹣f（3）+…+f（n）﹣f（n+1）=f（1）﹣f（n+1）=1﹣f（n+1）．所以，．【点评】本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性，考查不等式的证明，考查放缩法的运用，综合性强，难度较大．。
2018届高三第三次模拟考试(三模)仿真卷(A卷) 理科数学-版9
2018届好教育云平台高三第三次模拟考试仿真卷理科数学（A ）注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．[2018·乌鲁木齐二检]i 为虚数单位，则复数 ） ABCD2．[2018·河南二模]已知集合(){}|lg 21A x x =-<，集合{}2|230B x x x =--<，则A B = （ ） A ．()2,12B ．()1,3-C ．()1,12-D ．()2,33．[2018·安庆二模]如图，四边形OABC 是边长为2的正方形，曲线段DE 所在的曲线方程为1xy =，现向该正方形内抛掷1枚豆子，则该枚豆子落在阴影部分的概率为（ ） ABCD4．[2018·南康中学]在ABC △中，角A ，B ，C 所对应的边分别为a ，b ，c ．若角A ，B ，C 依次成等差数列，且1a =，b =．则ABC S =△（ ） AB．CD ．25．[2018·新乡二模]如图，网格纸上小正方形的边长均为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ）A ．7B ．6C ．5D ．46．[2018·榆林二模]已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且在区间(),0-∞上单调递增．若实数a 满足()(213a f f -≥，则a 的最大值是（ ） A ．1B ．12C ．14D ．347．[2018·成都外国语]在平面直角坐标系中，若不等式组2212 10x y x ax y +≥⎧≤≤-+≥⎪⎨⎪⎩（a 为常数）表示的区域面积等于1，则抛物线2y ax =的准线方程为（ ） A ．124y =-B ．124x =-C ．32x =-D ．32y =-8．[2018·郑州一检]在nx ⎛⎝的展开式中，各项系数和与二项式系数和之比为32，则2x 的系数为（ ）A ．50B ．70C ．90D ．1209．[2018·新乡二模]我国古代数学名著《九章算术》里有一道关于买田的问题：“今有善田一亩，价三百；恶田七亩，价五百．今并买一顷，价钱一万．问善、恶田各几何？”其意思为：“今有好田1亩价值300钱；坏田7亩价值500钱．今合买好、坏田1顷，价值10000钱．问好、坏田各有多少亩？”已知1顷为100亩，现有下列四个程序框图，此卷只装订不密封班级 姓名 准考证号 考场号 座位号其中S 的单位为钱，则输出的x ，y 分别为此题中好、坏田的亩数的是（ ）A ．B．C ．D ．10．[2018·中原名校]已知函数()()sin 0f x x x ωωω=>，若集合4个元素，则实数ω的取值范围是（ ）A ．35,22⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．35,22⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．725,26⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．725,26⎛⎤ ⎥⎝⎦11．[2018·梧桐二模]已知三棱锥P ABC -的四个顶点都在球O 的球面上，PA ⊥平面ABC ，ABC △是边长为2的等边三角形，若球O则直线PC 与平面PAB 所成角的正切值为（ ） AB．CD12．[2018·天津联考]设P 为双曲线()2222:1,0x y C a b a b-=>上一点，1F ，2F 分别为双曲线C 的左、右焦点，212PF F F ⊥，若12PF F △的外接圆半径是其内切圆半径的176倍，则双曲线C 的离心率为（ ） A ．2B ．4C ．2或3D ．4或53第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．[2018·郑州毕业]已知()2,1=-a ，()1,0=b ，()1,2=-c ，若a 与m -b c 平行，则m =__________．14．[2018·朝阳一模]已知点()2,0A -，()0,2B 若点M 是圆22220x y x y +-+=上的动点，则ABM △面积的最小值为__________．15．[2018·石嘴山三中．16．[2018·汇文中学]记{}ave ,,a b c 表示实数a ，b ，c 的平均数，{}max ,,a b c 表示实数a ，b ，c 的最大值，设11ave 2,,122A x x x ⎧⎫=-++⎨⎬⎩⎭，11max 2,,122M x x x ⎧⎫=-++⎨⎬⎩⎭，若31M A =-，则x 的取值范围是__________．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23为选考题，考生根据要求作答． （一）必考题：60分，每个试题12分．17．[2018·黔东南州二模]已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足()413n n S a =-，*n ∈N ．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）令2log n n b a =，记数列()()111n n b b ⎧⎫⎪⎪⎨⎬-+⎪⎪⎩⎭的前n 项和为n T ，证明：12n T <．18．[2018·昆明二模]在贯彻中共中央国务院关于精准扶贫政策的过程中，某单位定点帮扶甲、乙两个村各50户贫困户．为了做到精准帮扶，工作组对这100户村民的年收入情况、劳动能力情况、子女受教育情况、危旧房情况、患病情况等进行调查，并把调查结果转化为各户的贫困指标x 和y ，制成下图，其中“*”表示甲村贫困户，“+”表示乙村贫困户．若00.6x <<，则认定该户为“绝对贫困户”，若0.60.8x ≤≤，则认定该户为“相对贫困户”，若0.81x <≤，则认定该户为“低收入户”；若100y ≥，则认定该户为“今年能脱贫户”，否则为“今年不能脱贫户”．（1）从甲村50户中随机选出一户，求该户为“今年不能脱贫的绝对贫困户”的概率； （2）若从所有“今年不能脱贫的非绝对贫困户”中选3户，用ξ表示所选3户中乙村的户数，求ξ的分布列和数学期望()E ξ；（3）试比较这100户中，甲、乙两村指标y 的方差的大小（只需写出结论）．19．[2018·安阳二模]如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，底面ABC △是边长为2的等边三角形，D 为BC 的中点，侧棱13AA =，点E 在1BB 上，点F 在1CC 上，且1BE =，2CF =．（1）证明：平面CAE ⊥平面ADF ； （2）求二面角F AD E --的余弦值．20．[2018·兰炼一中]已知定点()3,0A -、()3,0B ，直线AM 、BM 相交于点M ，且它们的斜率之积为19-，记动点M 的轨迹为曲线C ．（1）求曲线C 的方程；（2）过点()1,0T 的直线l 与曲线C 交于P 、Q 两点，是否存在定点(),0S s ，使得直线SP 与SQ 斜率之积为定值，若存在求出S 坐标；若不存在请说明理由．21．[2018·成都二诊]设0a >，已知函数()()ln f x x a =-+，()0x >． （1）讨论函数()f x 的单调性；（2）试判断函数()f x 在()0,+∞上是否有两个零点，并说明理由．（二）选考题（共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做第一题计分）22．[2018·太原模拟]在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 过点(),1P a，其参数方程为1x a y =+=⎧⎪⎨⎪⎩（t 为参数，a ∈R ），以O 为极点，x 轴非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为2cos 4cos 0ρθθρ+-=． （1）求曲线1C 的普通方程和曲线2C 的直角坐标方程；（2）求已知曲线1C 和曲线2C 交于A ，B 两点，且2PA PB =，求实数a 的值．23．[2018·江西六校联考]选修4-5：不等式选讲 已知x ∃∈R ，使不等式12x x t ---≥成立． （1）求满足条件的实数t 的集合T ；（2）若1,1m n >>，对t T ∀∈，不等式33log log m n t ⋅≥恒成立，求22m n +的最小值．理科数学（A ）第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．[2018·乌鲁木齐二检]i 为虚数单位，则复数 ） ABCD【答案】AA ．2．[2018·河南二模]已知集合(){}|lg 21A x x =-<，集合{}2|230B x x x =--<，则A B = （ ） A ．()2,12 B ．()1,3-C ．()1,12-D ．()2,3【答案】C【解析】(){}|lg 21A x x =-<{}()|02102,12x x =<-<=，{}2|230B x x x =--<()1,3=-，所以A B = ()1,12-，选C ．3．[2018·安庆二模]如图，四边形OABC 是边长为2的正方形，曲线段DE 所在的曲线方程为1xy =，现向该正方形内抛掷1枚豆子，则该枚豆子落在阴影部分的概率为（） ABCD【答案】A【解析】根据条件可知，122E ⎛⎫⎪⎝⎭，，阴影部分的面积为A ．4．[2018·南康中学]在ABC △中，角A ，B ，C 所对应的边分别为a ，b ，c ．若角A ，B ，C 依次成等差数列，且1a=，b =则ABC S =△（ ） AB． CD ．2【答案】C【解析】∵A ，B ，C 依次成等差数列，∴60B =︒，∴由余弦定理得：2222cos b a c ac B =+-，得：2c =，∴由正弦定理得：1sin 2ABC S ac B ==△，故选C ． 5．[2018·新乡二模]如图，网格纸上小正方形的边长均为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（）A ．7B ．6C ．5D ．4【答案】B【解析】几何体如图，则体积为332=64⨯，选Ｂ．6．[2018·榆林二模]已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且在区间(),0-∞上单调递增．若实数a 满足()(213a f f -≥，则a 的最大值是（ ） A ．1 B ．12C ．14D ．34【答案】D【解析】根据题意，函数()f x 是定义在R 上的偶函数，则(f=f，又由()f x 在区间(),0-∞上单调递增，则()f x 在()0,+∞上递减，a 的最大值是34，故选D ． 7．[2018·成都外国语]在平面直角坐标系中，若不等式组2212 10x y x ax y +≥⎧≤≤-+≥⎪⎨⎪⎩（a为常数）表示的区域面积等于1，则抛物线2y ax =的准线方程为（ ） A ．124y =-B ．124x =-C ．32x =-D ．32y =-【答案】D【解析】16a ∴=，26x y ∴=，即准线方程为32y =-，选D ．8．[2018·郑州一检]在nx ⎛⎝的展开式中，各项系数和与二项式系数和之比为32，则2x 的系数为（ ）A ．50B ．70C ．90D ．120【答案】C【解析】在nx ⎛+ ⎝中，令1x =得()134n n+=，即展开式中各项系数和为4n ；又展开式中的二项式系数和为2n．由题意得42322nn n ==，解得5n =．故二项式为5x ⎛ ⎝，其展开式的通项为()35521553rr r r r r r T C x C x --+==，()0,1,2,3,4,5r =．令2r =得222235390T C x x ==．所以2x 的系数为90．选C ．9．[2018·新乡二模]我国古代数学名著《九章算术》里有一道关于买田的问题：“今有善田一亩，价三百；恶田七亩，价五百．今并买一顷，价钱一万．问善、恶田各几何？”其意思为：“今有好田1亩价值300钱；坏田7亩价值500钱．今合买好、坏田1顷，价值10000钱．问好、坏田各有多少亩？”已知1顷为100亩，现有下列四个程序框图，其中S 的单位为钱，则输出的x ，y 分别为此题中好、坏田的亩数的是（ ）A ． B．C ．D ．【答案】B【解析】设好田为x ，坏田为y12.5 87.5x y =⎧∴⎨=⎩， A 中12.5x ≠；B 中正确；C 中87.5x =，12.5y =；D 中12.5x ≠，所以选B ． 10．[2018·中原名校]已知函数()()sin 0f x x x ωωω=>，若集合4个元素，则实数ω的取值范围是（ ）A ．35,22⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．35,22⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．725,26⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．725,26⎛⎤ ⎥⎝⎦【答案】D【解析】π2sin 13x ω⎛⎫-=- ⎪⎝⎭ ，π1sin 32x ω⎛⎫∴-=- ⎪⎝⎭，解得：()7π2π6k k +∈Z ，3π2π2k x ωω=+()k ∈Z ， 设直线1y =-与()y f x =在()0,+∞上从左到右的第四个交点为A ，第五个交点为B，则由于方程()1f x =-在()0,π上有且只有四个实数根， 则<πB A x x ≤，即3π2ππ4ππ26ωωωω+<≤+D ． 11．[2018·梧桐二模]已知三棱锥P ABC -的四个顶点都在球O 的球面上，PA ⊥平面ABC ，ABC △是边长为2的等边三角形，若球O则直线PC 与平面PAB 所成角的正切值为（ ） ABCD【答案】A【解析】R =，设ABC △的外心为M ，由正弦定理AM =，由2222PA AM ⎛⎫+= ⎪⎝⎭得PA =，设AB 的中点为N ，则CN ⊥平面PAB ，连接PN ，则CPN ∠为直线与平面所成的角，PN ==，CN =tan CN CPN PN ∠==，故选A ． 12．[2018·天津联考]设P 为双曲线()2222:1,0x y C a b a b-=>上一点，1F ，2F 分别为双曲线C 的左、右焦点，212PF F F ⊥，若12PF F △的外接圆半径是其内切圆半径的176倍，则双曲线C 的离心率为（ ） A ．2 B ．4C ．2或3D ．4或53【答案】D【解析】∵1F ，2F 分别为双曲线C 的左、右焦点， ∴()1,0F c -，()2,0F c ，∵212PF F F ⊥，∴点P 在双曲线的右支，12PF F △的内切圆半径为12212222F F PF PF c ac a +--==-．设1PF x =，则22PF x a =-．∵2221212PF PF F F =+，即()()22222x x a c =-+，∴22a c x a +=，即12PF F △的外接圆半径为222a c a+．∵12PF F △的外接圆半径是其内切圆半径的176倍， ∴()221726a c c a a +=-，即22201730a ac c -+=．∴2317200e e -+=∴53e =或4，故选D ．第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．[2018·郑州毕业]已知()2,1=-a ，()1,0=b ，()1,2=-c ，若a 与m -b c 平行，则m =__________．【答案】-3【解析】已知()2,1=-a ，()1,2m m -=-b c ，若a 与m -b c 平行则143m m -=⇒=-，故答案为：-3．14．[2018·朝阳一模]已知点()2,0A -，()0,2B 若点M 是圆22220x y x y +-+=上的动点，则ABM △面积的最小值为__________． 【答案】2【解析】将圆22:220M x y x y +-+=化简成标准方程()()22112x y -++=， 圆心()1,1-，半径r =，因为()2,0A -，()0,2B，所以AB =，要求ABM △面积最小值，即要使圆上的动点M 到直线AB 的距离d 最小，而圆心()1,1-到直线AB的距离为，所以ABM S △的最小值为min 11222AB d ⋅⋅=⨯=，故答案为2．15．[2018·石嘴山三中．【答案】1212．16．[2018·汇文中学]记{}ave ,,a b c 表示实数a ，b ，c 的平均数，{}max ,,a b c 表示实数a ，b ，c 的最大值，设11ave 2,,122A x x x ⎧⎫=-++⎨⎬⎩⎭，11max 2,,122M x x x ⎧⎫=-++⎨⎬⎩⎭，若31M A =-，则x 的取值范围是__________． 【答案】{}| 4 2x x x =-≥或．【解析】作出112122M max x x x ⎧⎫=-++⎨⎬⎩⎭，的图象如图所示31M A =- ， ∴当0x <时，122x x -=-+，得4x =-，当01x ≤<时，122x x =-+，得43x =，舍去，当12x ≤<时，112x x =+，得2x =，舍去，当2x ≥时，x x =，恒成立，综上所述，x 的取值范围是{}|42x x x =-≥或．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23为选考题，考生根据要求作答． （一）必考题：60分，每个试题12分．17．[2018·黔东南州二模]已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足()413n n S a =-，*n ∈N ．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）令2log n n b a =，记数列()()111n n b b ⎧⎫⎪⎪⎨⎬-+⎪⎪⎩⎭的前n 项和为n T ，证明：12n T <．【答案】（1）()*4n n a n =∈N ；（2）见解析． 【解析】（I ）当1n =时，有()111413a S a ==-，解得14a =．……1分 当n ≥2时，有()11413n n S a --=-，则 ()()11441133n n n n n a S S a a --=-=---，……3分整理得：14n n a-=，……4分∴数列{}n a 是以4q =为公比，以14a =为首项的等比数列．……5分∴()1*444n n n a n -=⨯=∈N ，即数列{}n a 的通项公式为：()*4n n a n =∈N ．……6分 （2）由（1）有22log log 42n n n b a n ===，……7分 则()()()()11111=11212122121n n b b n n n n ⎛⎫=- ⎪+-+--+⎝⎭，……8分∴()()11111335572121n T n n =+++⋅⋅⋅+⨯⨯⨯+- 11111111121335572121n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-+⋅⋅⋅+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦……10分 11112212n ⎛⎫=-< ⎪+⎝⎭，故得证．……12分 18．[2018·昆明二模]在贯彻中共中央国务院关于精准扶贫政策的过程中，某单位定点帮扶甲、乙两个村各50户贫困户．为了做到精准帮扶，工作组对这100户村民的年收入情况、劳动能力情况、子女受教育情况、危旧房情况、患病情况等进行调查，并把调查结果转化为各户的贫困指标x 和y ，制成下图，其中“*”表示甲村贫困户，“+”表示乙村贫困户．若00.6x <<，则认定该户为“绝对贫困户”，若0.60.8x ≤≤，则认定该户为“相对贫困户”，若0.81x <≤，则认定该户为“低收入户”；若100y ≥，则认定该户为“今年能脱贫户”，否则为“今年不能脱贫户”．（1）从甲村50户中随机选出一户，求该户为“今年不能脱贫的绝对贫困户”的概率； （2）若从所有“今年不能脱贫的非绝对贫困户”中选3户，用ξ表示所选3户中乙村的户数，求ξ的分布列和数学期望()E ξ；（3）试比较这100户中，甲、乙两村指标y 的方差的大小（只需写出结论）． 【答案】（1）0.1；（2）见解析；（3）见解析．【解析】（1）由图知，在甲村50户中，“今年不能脱贫的绝对贫困户”有5户，……1分 所以从甲村50户中随机选出一户，该户为“今年不能脱贫的绝对贫困户”的概率为50.150P ==．……3分 （2）由图知，“今年不能脱贫的非绝对贫困户”有10户，其中甲村6户，乙村4户，依题意，……4分ξ的可能值为0，1，2，3．从而……5分()3631020101206C P C ξ====，……6分……7分()2146310363212010C C P C ξ====，……8分()3431041312030C P C ξ====．……9分所以ξ的分布列为：故ξ的数学期望()1131120123 1.262103010E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯==．……10分（3）这100户中甲村指标y 的方差大于乙村指标y 的方差．……12分19．[2018·安阳二模]如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，底面ABC △是边长为2的等边三角形，D 为BC 的中点，侧棱13AA =，点E 在1BB 上，点F 在1CC 上，且1BE =，2CF =．（1）证明：平面CAE ⊥平面ADF ； （2）求二面角F AD E --的余弦值． 【答案】（1）见解析；（2． 【解析】（1）∵ABC △是等边三角形，D 为BC 的中点， ∴AD BC ⊥，∴AD ⊥平面11BCC B ，得AD CE ⊥．①……2分 在侧面11BCC B 中，1tan 2CD CFD CF ∠==，1tan 2BE BCE BC ∠==， ∴tan tan CFD BCE ∠=∠，CFD BCE ∠=∠，∴90BCE FDC CFD FDC ∠+∠=∠+∠=︒，∴CE DF ⊥．②……4分 结合①②，又∵AD DF D = ，∴CE ⊥平面ADF ，……5分 又∵CE ⊂平面CAE ，∴平面CAE ⊥平面ADF ，……6分 （2）如图建立空间直角坐标系D xyz -．则)00A，，()012F -，，，()011E ，，． ，()012DF =- ，，，()011DE =，，，……7分 设平面ADF 的法向量()x y z =，，m ，则0DA DF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩m m ，得0 2x y z ==⎧⎨⎩取()021=，，m ．……9分 同理可得，平面ADE 的法向量()011=-，，n ，……10分……11分 则二面角F AD E --．……12分 20．[2018·兰炼一中]已知定点()3,0A -、()3,0B ，直线AM 、BM 相交于点M ，且它们的斜率之积为19-，记动点M 的轨迹为曲线C ．（1）求曲线C 的方程；（2）过点()1,0T 的直线l 与曲线C 交于P 、Q 两点，是否存在定点(),0S s ，使得直线SP 与SQ 斜率之积为定值，若存在求出S 坐标；若不存在请说明理由．【答案】（1）()22139x y x +=≠±；（2）见解析．【解析】（1）设动点(),M x y ，则3MA y k x =+，3MB yk x =-()3x ≠±， 19MA MB k k ⋅=- ，即1339y y x x ⋅=-+-．……3分化简得：2219x y +=，……4分由已知3x ≠±，故曲线C 的方程为2219x y +=()3x ≠±．……5分（2）由已知直线l 过点()1,0T ，设l 的方程为1x my =+，则联立方程组22199x my x y =++=⎧⎨⎩， 消去x 得()229280m y my ++-=，设()11,P x y ，()22,Q x y……7分直线SP 与SQ 斜率分别为11111SP y y k x s my s ==-+-，22221SQ y y k x s my s==-+-， ()()121111SP SP y y k k my s my s =+-+-()()()1222121211y y m y y m s y y s =+-++-()()2228991sm s -=-+-．……10分当3s =时，()282991SP SP k k s -⋅==--；当3s =-时，()2811891SP SP k k s -⋅==--． 所以存在定点()3,0S ±，使得直线SP 与SQ 斜率之积为定值．……12分 21．[2018·成都二诊]设0a >，已知函数()()ln f x x a =-+，()0x >． （1）讨论函数()f x 的单调性；（2）试判断函数()f x 在()0,+∞上是否有两个零点，并说明理由． 【答案】（1）见解析；（2）函数()f x 没有两个零点． 【解析】（1）()1'f x x a=+，……1分 ()()22'0220f x x a x a x a >⇔+>⇔+-+>， ()()22'0220f x x a x a <⇔+-+<，设()()2222g x x a x a =+-+，则()161a ∆=-， ①当1a ≥时，0∆≤，()0g x ≥，即()'0f x ≥， ∴()f x 在()0,+∞上单调递增；……3分 ②当01a <<时，0∆>， 由()0g x =得12x a ==--，22x a =-+，可知120x x <<，由()g x 的图象得：()f x在(0,2a --和()2a -++∞上单调递增； ()fx 在(2a --2a -+上单调递减．……5分 （2）假设函数()f x 有两个零点，由（1）知，01a <<，因为()0ln 0f a =->，则()20f x<()2ln x a <+， 由()2'0f x =知2x a +=ln <（，t =，则()ln 2t t <（＊），……8分由()221,4x a =-+，得()1,2t ∈，设()()ln 2h t t t =-，得()1'10h t t=->，所以()h t 在()1,2递增，得()()11ln20h t h >=->，即()ln 2t t >，……11分 这与（＊）式矛盾，所以上假设不成立，即函数()f x 没有两个零点．…12分 （二）选考题（共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做第一题计分）22．[2018·太原模拟]在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 过点(),1P a，其参数方程为1x a y ==+⎧⎪⎨⎪⎩（t 为参数，a ∈R ），以O 为极点，x 轴非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为2cos 4cos 0ρθθρ+-=． （1）求曲线1C 的普通方程和曲线2C 的直角坐标方程；（2）求已知曲线1C 和曲线2C 交于A ，B 两点，且2PA PB =，求实数a 的值． 【答案】（1）10x y a --+=，24y x =；（2）136a =或94． 【解析】（1）1C的参数方程 1x a y ==+⎧⎪⎨⎪⎩，消参得普通方程为10x y a --+=，……2分 2C 的极坐标方程为2cos 4cos 0ρθθρ+-=两边同乘ρ得222cos 4cos 0ρθρθρ+-=即24y x =；……5分（2）将曲线1C的参数方程2 1x a y ⎧⎪⎪⎨=+=+⎪⎪⎩（t为参数，a ∈R ）代入曲线224C y x =：，得第三次模拟考试仿真测试卷 第21页（共22页） 第三次模拟考试仿真测试卷 第22页（共22页）211402t a +-=，……6分由(()2141402a ∆=-⨯->，得0a >，……7分设A ，B 对应的参数为1t ，2t ，由题意得122t t =即122t t =或122t t =-，…8分当122t t =时，()1212122 214t t t t t t a =+==-⎧⎪⎨⎪⎩，解得136a =，……9分 当122t t =-时，()1212122 214t t t t t t a =⎧-+==-⎪⎨⎪⎩解得94a =， 综上：136a =或94．……10分23．[2018·江西六校联考]选修4-5：不等式选讲已知x ∃∈R ，使不等式12x x t ---≥成立．（1）求满足条件的实数t 的集合T ；（2）若1,1m n >>，对t T ∀∈，不等式33log log m n t ⋅≥恒成立，求22m n +的最小值．【答案】（1）{|1}t T t t ∈=≤；（2）18．【解析】（1……2分则()11f x -≤≤，……4分由于x ∃∈R 使不等式12x x t ---≥成立，有{|1}t T t t ∈=≤．……5分 （2）由（1）知，33log log 1m n ⋅≥，从而23mn ≥，当且仅当3m n ==时取等号，……7分再根据基本不等式6m n +≥≥，当且仅当3m n ==时取等号． 所以m n +的最小值为6．……10分。
最新-2018学年高三理科数学高考模拟考试试题及答案【安徽省宿州二中】 精品
安徽省宿州二中2018—2018学年度高三模拟考试数学试题（理工类）本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分. 共150分，测试时间120分钟.第Ⅰ卷（选择题 共60分）注意事项： 1．答第1卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目写在答题卡上. 2．每小题选出答案后，用HB 或者2B 铅笔把答题卡上的对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.不能答在试题卷上.一、选择题：本大题共12个小题. 每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．若iim -+1是纯虚数，则实数m 的值为 （ ）A ．－1B ．0C ．1D ．22．若以连续掷两次骰子分别得到的点数m ，n 作为点P 的横、纵坐标，则点P 在直线x +y=5下方的概率为 （ ）A ．61B ．41 C ．121 D ．91 3．若⎰⎰⎰===220232,sin ,,则xdx c dx x b dx x a a 、b 、c 大小关系是 （ ） A ．a <c <b B ．a <b <cC ．c <b <aD ．c <a <b4．如图所示给出的是计算201614121++++ 的值的一个程序框图，其中判断框内填入的条件是 （ ）A ．10>iB ．10<iC ．20>iD ．20<i5．如右图，一个空间几何体的主视图和侧视图（左视图）都是边长为1的正三角形，俯视图是一个圆，那么该几何体的侧面积 （ ）A ．4πB ．π42C ．π22 D ．π216．已知函数]3,3[sin ππω-=在x y 上是减函数，则实数的ω的取值范围是 （ ）A ．]23,(--∞B ．)0,23[-C ．]23,0(D ．),23[+∞7．一船向正北匀速行驶，看见正西方两座相距10海里的灯塔恰好与该船在同一直线上，继续航行半小时后，看见其中一座灯塔在南偏西60°方向上，另一灯塔在南偏西75°方向上，则该船的速度应该是 （ ）A ．10海里/小时B ．103海里/小时C ．5海里/小时D ．53海里/小时 8．函数|2|||ln --=x e y x 的图象大致是（ ）9．已知直线x +y=a 与圆x 2+y 2=4交于A 、B 两点，且||||-=+，其中O 为坐标原点，则实数a 的值为 （ ）A ．2B ．±2C ．－2D ．2±10．已知L 、M 、N 是平面α内的三点，点P 在平面α外，有三个命题①若PL ⊥α，LN ⊥MN ，则PN ⊥MN ②若PL ⊥α，PN ⊥MN ，则LN ⊥MN ③若LN ⊥MN ，PN ⊥MN ，则PL ⊥α 对这三个命题的正确评价是 （ ） A ．仅①是真命题 B ．仅②是假命题 C ．仅③是假命题 D ．全是真命题11．已知F 1、F 2是两个定点，点P 是以F 1和F 2为公共焦点的椭圆和双曲线的一个交点，并且PF 1⊥PF 2，e 1和e 2分别是上述椭圆和双曲线的离心率，则有 （ ）A ．4112221=+e e B ．2112221=+e e C ．42221=+e eD ．22221=+e e12．设函数)(x f 在定义域为D ，如果对任意的D x ∈1，存在唯一的D x ∈2，使C x f x f =+2)()(21（C 为常数）成立，则称函数)(x f 在D 上的均值为C . 给出下列四个函数：①y=x 3；②y=4sin x ；③y=lg x ；④y=2x ，则满足在其定义域上的均值为2的所有函数是 （ ） A ．①② B ．③④ C ．②④ D ．①③第II 卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4个小题，每小题4分，共16分， 13．观察下列式子： ,474131211,3531211,2321122222<+++<++<+，则可以猜想：当2≥n 时，有 . 14．若二项式6)sin (x x-θ展开式中的常数项为20，则θ的值为 . 15．在两个实数间定义一种运算“#”，规定⎩⎨⎧≥-<=)(1)(1#b a b a b a ，则方程12|#21|=-x 的解集是 .16．给出下列四个结论：①函数)10(log )10(≠>=≠>=a a a y a a a y x a x 且与函数且在其各自定义域上具备相同单调性； ②函数k k y k (3⋅=为非零常数）的图象可由函数y=3x 的图象经过平移得到；③函数)0)(21131()0(12121≠+-=≠-+=x x y x y x x 是奇函数且函数是偶函数； ④函数y=cos|x |是周期函数.其中正确结论的序号是 .（填写你认为正确的所有结论序号）三、解答题：本大题共6个小题，共74分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 请 17．（12分）已知△ABC 的面积S 满足.,6,333θ的夹角为与且S =⋅≤≤（I ）求θ的取值范围； （2）求函数θθθθθ22cos 3cos sin 2sin)(+⋅+=f 的最大值.18．（12分） 如图，在四棱锥P —ABCD 中，PD ⊥底面ABCD ，底面ABCD 为正方形，PD =DC ，E 、F 分别是AB ，PB 的中点. （I ）求证：EF ⊥CD ；（II ）求DB 与平面DEF 所成角的正弦值； （III ）在平面PAD 内是否存在一点G ，使G 在平面PCB 上的射影为△PCB 的外心，若存在，试确定点G 的位置；若不存在，说明理由.19．（12分） 某班从6名干部中（其中男生4人，女生2人），选3人参加学校的义务劳动. （I ）设所选3人中女生人数为ξ，求ξ的分布列及E ξ；（II ）求男生甲或女生乙被选中的概率；（III ）在男生甲被选中的情况下，求女生乙也被选中的概率.20．（12分）已知在曲线点项和为的前数列))(1,(,}{,14)(*12N n a a P S n a xx f n n n n n ∈+=+.0,1,)(1>==n a a x f y 且上（I ）求数列{n a }的通项公式n a ；（II ）数列{n b }的首项b 1=1，前n 项和为T n ，且381622121--+=++n n a T a T n n n n ，求数列{n b }的通项公式b n .21．（12分） 设M 是由满足下列两个条件的函数)(x f 构成的集合：①议程0)(=-x x f 有实根；②函数)(x f 的导数)(x f '满足0<)(x f '<1.（I ）若4sin 2)(xx x f +=，判断方程0)(=-x x f 的根的个数； （II ）判断（I ）中的函数)(x f 是否为集合M 的元素；（III ）对于M 中的任意函数)(x f ，设x 1是方程0)(=-x x f 的实根，求证：对于)(x f 定义域中任意的x 2，x 3，当| x 2－x 1|<1，且| x 3－x 1|<1时，有.2|)()(|23<-x f x f22．（14分）过点T （2，0）的直线2:+=my x l 交抛物线y 2=4x 于A 、B 两点.（I ）若直线l 交y 轴于点M ，且,,21λλ==当m 变化时，求21λλ+的值；（II ）设A 、B 在直线n x g =:上的射影为D 、E ，连结AE 、BD 相交于一点N ，则当m变化时，点N 为定点的充要条件是n =－2.参考答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分. 1—5CADAD 6—10BACBC 11—12BD二、填空题：本大题共4个小题，每小题4分，共16分. 13．n n n 12131211222-<++++14．)(22Z k k ∈-ππ 15．),41(+∞ 16．③④ 三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（本小题满分12分） 解：（I ）由题意知.6cos ||||==⋅θ……………………1分θθθθtan cos ||||21sin ||||21)sin(||||21x S ==-=.tan 3tan 621ϑθ=⨯=………………………………………………………6分.3tan 1.33tan 33,333≤≤∴≤≤≤≤θθ即S].3,4[],,0[ππθπθ∈∴∈ 又………………………………………………8分（II ）θθθθθθθ222cos 22sin 1cos 3cos sin 2sin )(++=++=f).42sin(222cos 2sin 2πθθθ++=++=…………………………10分].1211,43[42],3,4[πππθππθ∈+∈)(,4,4342θπθππθf 时即当==+∴最大，其最大值为3.………………12分18．（本小题满分12分）解：以DA ，DC ，DP 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系（如图）. 设AD =a ，则D （0，0，0），A （a ，0，0），B （a ，a ，0），C （0，a ，0），E （a ，2a，0），P （0，0，a ），F （2a ，2a ，2a）.………………2分 （I ）,0)0,,0()2,0,2(=⋅-=⋅a aa.DC EF ⊥∴…………………………………………4分（II ）设平面DEF 的法向量为⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅=0),,,(z y x n 由得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=++⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=⋅=⋅.02,0)(2,0)0,2,(),,(,0)2,2,2(),,(y a ax z y x aa a z y x a a a z y x 即取x =1，则y=－2，z=1.).1,2,1(-=∴………………………………………………6分.6362||||,cos =⋅=⋅>=<∴a a n BD设DB 与平面DEF 所成角为.63sin ,=θθ则……………………………………8分 （III ）假设存在点G 满足题意因为).,0,(,z x G PAD G 点坐标为可设平面∈.0,0)2(2),,0()2,2,2(.2,0)2()0,0,()2,2,2()2,2,2(10.)2,2,2(,,.,0),,0()0,0,(2==-+=-⋅---=⋅==-=⋅---=⋅---=∆∴∆⊥∴=-⋅=⋅z ax a a a a a z a a x CP FG ax a x a a a z a a x ax a a x PBC Rt aa a F PB F PBC Rt PC BC a a a 得由得由分的外心为中点为中在∴存在点G ，其坐标为（2a，0，0），即G 点为AD 的中点.……………………12分19．（本小题满分12分） 解：（I ）ξ的所有可能取值为0，1，2，依题意得： ;51)2(;53)1(;51)0(3622143612243634=========C C C P C c C P C C P ξξξ…………3分 ∴ξ的分布列为∴E ξ=0×5+1×5+2×5=1.…………………………………………4分（II ）设“甲、乙都不被选中”的事件为C ，则.51204)(3634===C C C P ……6分∴所求概率为.54511)(1)(=-=-=C P C P …………………………………8分 （III ）记“男生甲被选中”为事件A ，“女生乙被选中”为事件B ，.51)(;212010)(36143625==⋂===C C A B P C C A P ………………………………10分)52104)|(.(52)()()|(2514=====C C A B P A P BA P A B P 或直接得……………12分20．（本小题满分12分）解：（I ）由题意知.141.14122121nn n n a a a a +=∴+=++}1{,4112221nn n a a a 即=-∴+是等差数列.…………………………………………2分.34441)1(411212-=-+=-+=∴n n n a a n.341,0.3412-=∴>-=∴n a a n a n n n 又………………………………5分（II ）由题设知).34)(14()14()34(1-+++=-+n n T n T n n n.1,34.1341411=-=-=--+∴++n n n n n n c c c n Tn T n T 则上式变为设}{n c ∴是等差数列.…………………………………………………………8分.1111111n n b n T n c c n =-+=-+=-+=∴.34)34(.342n n n n T n n T n n-=-==-∴即………………………………10分∴当n =1时，11==T b n ；当.78)1(3)1(434,2221-=-+---=-=≥-n n n n n T T b n n n n 时经验证n=1时也适合上式. ).(78*N n n b n ∈-=∴…………………………12分21．（本小题满分12分） 解：（I ）令.24sin )(,)()(xx x F x x f x F -=-=即 则.0)(,1cos 1.214cos )(≤'∴≤≤--='x F x x x F x x f x F -=∴)()(是单调递减函数.……………………………………2分又取).)((02)(,,02)(,为奇函数或说明取x F F x F x <-==>=--=ππππππ0)(=-∴x x f 方程在其定义域上有唯一实根.……………………………4分（II ）由（I ）知方程0)(=-x x f 有实根（或者由0)(=-x x f ，易知x =0就是方程的一个根），)(x f 满足条件①.………………………………………………5分 .43)(41,1cos 1,4cos 21)(≤'≤≤≤-+='x f x x x f 得由又)(x f ∴满足条件②.故)(x f 是集合M 中的元素.……………………………7分（III ）不妨设)(,1)(0,32x f x f x x 知由<'<<在其定义域上是增函数. ).()(32x f x f <∴………………………………………………………………8分 x x f x f -∴<-')(,01)(又是其定义域上的减函数.23233322)()(0,)()(x x x f x f x x f x x f -<-<->-∴即.………………10分 |)()(||||)()(|12132323x x x x x x x f x f ---=-<-∴.211||||1213<+<---≤x x x x …………………………………………12分22．（本小题满分14分）解：（I ）设),(),,(2211y x B y x A由.0844222=--⎩⎨⎧=+=my y xy my x 得.8,42121-==+∴y y m y y ………………………………………………2分又),,2()2,(,),2,0(111111y x my x AT MA n M --=+=-λλ即.21,211111my y m y --=-=+∴λλ得同理，由.21,222my --==λλ得………………………………4分.1882)(22)11(2221212121-=+-=+--=+--=+∴mmy my y y y y m λλ…………6分 （II ）方法一：当m =0时，A （2，22），B （2，－2），D （n ，22），E （n ，－22）.∵ABED 为矩形，∴直线AE 、BD 的交点N 的坐标为（).0,22+n ………………8分当),,22(),,22(),,(),,(,021121y n y x n y n E y n D m -=--+=≠ 时(*))2(28)2(2)(2222)222(22)22(2112121121n m m n m y m y y y n y n y m y n y n y x n +=+-=-+-=-+--+=-+-+则同理，对BN 、ND 进行类似计算也得（*）式.………………………………12分 即n =－2时，N 为定点（0，0）.反之，当N 为定点，则由（*）式等于0，得n =－2.…………………………14分方法二：首先n =－2时，则D （－2，y 1），A （),,2(),,2(),,222211y my B y E y my +-+)2(4:2121++-=-x my y y y y l DB ①)2(4:1212++-=-x my y y y y l EA ②…………………………………………8分①－②得,).4141)()(2(12121212y y my my y y x y y ≠+++-+=-.04884241411222121212=+-=++=-+++=∴my m m my y my y y m my my x.)0,0(为定点N ∴…………………………………………………………10分反之，若N 为定点N （0，0），设此时),,(),,(21y n E y n D 则).,2(),,(221y my y n +==由D 、N 、B 三点共线，.022121=-+∴ny y y my ③同理E 、N 、A 三点共线，.021221=-+∴ny y y my ④………………12分 ③+④得,0)()(22212121=+-++y y n y y y my即－16m +8m －4m =0，m (n +2)=0.故对任意的m 都有n =－2.……………………………………………………14分。
2018高三数学(理科)期末模拟试题及参考解答
2018高三数学(理科)期末模拟试题本试卷分选择题和非选择题两部分，满分为150分，考试用时120分钟。
第一部分 选择题 (共40分)一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知复数12z i =-，则11z z +=- A ．1i + B ．1i - C ．1i -+ D ．1i --2. 一个空间几何体的正视图和侧视图都是边长为1的正方形，俯视图是一个圆，则这个 几何体的体积为A ．4π B ．3π C ．2πD ． π 3. 为了解一片经济林的生长情况，随机测量了其中100株树木的底部周长（单位：cm ）. 根据所得数据画出样本的频率分布直方图（如下图所示），那么在这100株树木中，底部 周长小于110cm 的株数是A ．30B ．60C ．70D ．80 4. 四名犯罪嫌疑人同时落网，但是他们只承认参与了 犯罪行为，却都不承认自己是主犯. 在警察审问的 时候，四个人的回答如下：甲说：丙是主犯，每次都是他负责的； 乙说：我不是主犯； 丙说：我也不是主犯； 丁说：甲说得对. 警方通过调查，终于查出了主犯，发现他们之中只有 1个人说了真话，其余3个人都说了假话，据此可推知A ．甲是主犯B ．乙是主犯C ．丙是主犯D ．丁是主犯 5. 函数()cos2sin f x x x =+的值域是A ．[2,1]-B ．9[2,]8-C ．[0,1]D ． 9[0,]86．天文台用3.2万元买一台观测仪，已知这台观测仪从启用的第一天起连续使用，第n 天 的维修保养费为4910n +元*()n ∈N ，使用它直至报废最合算（所谓报废最合算是指使用 的这台仪器的日平均耗资最少）为止，一共使用了A ．600天B ．800天C ．1000天D ．1200天7. 若两个函数的图象经过若干次平移后能够重合，则称这两个函数为“同形”函数，给出下列三个函数：1()3x f x =，2()43x f x =⨯，385()log 53log 2x f x =⋅⋅，则 A . 123(),(),()f x f x f x 为“同形”函数B . 12(),()f x f x 为“同形”函数，且它们与3()f x 不为“同形”函数C . 13(),()f x f x 为“同形”函数，且它们与2()f x 不为“同形”函数D . 23(),()f x f x 为“同形”函数，且它们与1()f x 不为“同形”函数8．关于x 的方程2(1)10(0,)x a x a b a a b +++++=≠∈R 、的两实根为12,x x ，若12012x x <<<<，则ba的取值范围是A ．4(2,)5--B ．34(,25--C ．52(,)43-- D ．51(,42-- 第二部分 非选择题 (共110分)二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，满分30分．其中13～15题是选做题，考生只能选做两题，三题全答者，只计算前两题得分．9．已知a 、b 是两个非零向量，且||||||==-a b a b ， 则a 与+a b 的夹角大小为 .10．右图所示的算法流程图的输出结果是. 11．设0(sin cos )a x x dx π=+⎰，则二项式6( 展开式中含2x 项的系数是 .12．给出平面几何的一个定理：底边长和腰长都确定的等腰三角形底边上任意一点到两腰的距离之和为定 值. 将此结论类比到空间，写出在三棱锥中类似的 结论为.13．（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，若直线sin()4a πρθ+=被圆2ρ=截得的弦长为a = .14．（不等式选讲选做题）已知22221(0)x y a b a b+=>>，则22b a +与2()x y +的大小关系为____________.15．（几何证明选讲选做题）如右图，PA 与圆O 相切于A ，圆O 的割线，并且不过圆心O ，已知30BPA ∠=︒，PA =1PC =，则圆O 的半径等于 ．三、解答题：本大题共6小题，共80分. 解答应写出详细文字说明，证明过程或演算步骤. 16．(本小题满分12分)函数()sin()(0,0,)2f x A x B A πωϕωϕ=++>><的图象上一个最高点的坐标为(,3)12π，与之相邻的一个最低点的坐标为7(,1)12π-. (1) 求函数()f x 的解析式； (2) 求导函数()f x '在区间[0,]2π上的最大、最小值.17．(本小题满分12分)B甲、乙两个奥运会主办城市之间有7条网线并联，这7条网线能通过的信息量分别为1， 1，2，2，2，3，3. 现从中任选三条网线，设可通过的信息量为ξ. 若可通过的信息量6ξ≥， 则可保证信息通畅.(1) 求线路信息通畅的概率；(2) 求线路可通过的信息量ξ的分布列和数学期望.18．(本小题满分14分)如图，正四棱锥ABCD S -中，E 是侧棱SC 的中点，异面直线SA 和BC 所成角的 大小是︒60.(1) 求证：直线SA ∥平面BDE ； (2) 求二面角D SB A --的余弦值；(3) 求直线BD 和平面SBC 所成角的正弦值.19．(本小题满分14分)已知椭圆E 的中心在坐标原点O ，焦点在坐标轴上，且经过(2,0)A -、(2,0)B 、C 三点. (1) 求椭圆E 的方程；(2) 过定点(F 作直线l 与椭圆E 交于M 、N 两点，求ΔOMN 的面积S 的 最大值及此时直线l 的方程.20．(本小题满分14分)设32()()f x ax bx cx a b c =++>>，已知函数()f x 在1x =处取得极值，且曲线()f x在x t =处的切线斜率为2a -.(1) 求ca的取值范围； (2) 若函数()f x 的单调递减区间为[,]m n ，求m n -的最小值；(3) 判断曲线()f x 在83x t =-处的切线斜率的正负，并说明理由.21．(本小题满分14分)数列{}n a 满足12a =，*12()nn n a a n λ+=+∈N ，其中λ为常数.(1) 是否存在实数λ，使得数列{}n a 为等差数列或等比数列？若存在，求出其通项公式； 若不存在，说明理由；(2) 求数列{}n a 的前n 项和n S .SA B CD E2018高三数学(理科)期末模拟试题参考解答一、选择题1．A 2．A 3．C 4．B 5．D 6．B 7．A 8．D二、填空题9．30︒ 10．9 11．192-12．底面边长和侧棱长都确定的正三棱锥底面上任意一点到三个侧面的距离之和为定值. 13．1± 14．222()a b x y +≥+ 15．7三、解答题 16．解：(1) 依题意，7212122T πππ=-=，即T π=，故22Tπω==. 由31A B A B +=⎧⎨-+=-⎩，解得21A B =⎧⎨=⎩. 把(,3)12π代入()2sin(2)1f x x ϕ=++，得sin()16πϕ+=，又||2πϕ<，故3πϕ=. 综上所述，()2sin(2)13f x x π=++.(2) ()4cos(2)3f x x π'=+.由[0,]2x π∈，得42[,]333x πππ+∈，则1cos(2)[1,]32x π+∈-， ()4cos(2)[4,2]3f x x π'=+∈-， 故()f x '在区间[0,]2π上的最大值为2，最小值为4-.17．解：(1) 因为2123373(8)35C C P C ξ===，21213222378(7)35C C C C P C ξ+===， 111323233713(6)35C C C C P C ξ+===， 所以线路信息通畅的概率为38132435353535++=. (2) ξ的所有可能取值为4，5，6，7，8.21212232378(5)35C C C C P C ξ+===，212337C 3(4)C 35C P ξ===. ∴ξ的分布列为∴3813834567863535353535E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=.18．(1) 证：连结AC 交BD 于点O ，连结OE ， ∵S ABCD -是正四棱锥，∴ABCD 是正方形，∴O 是AC 的中点. ∵E 是侧棱SC 的中点，∴SA ∥OE ，又OE ⊂平面BDE ，SA ⊄平面BDE ， ∴直线SA ∥平面BDE . (2) 解：∵AD ∥BC ，∴60SAD ∠=︒为异面直线SA 和BC 所成的角，△SAD 是等边三角形. 根据正棱锥的性质得，△SCD 、△SAB 、△SBC 也是等边三角形. 连结SO ，取SB 中点F ，连结AF OF 、，∵O 是正方形ABCD 的中心，根据正棱锥的性质得，SO ⊥平面ABCD ， ∴AO SO ⊥，又AO BD ⊥，∴AO ⊥平面SBD .∵SB AF ⊥，根据三垂线定理的逆定理，得OF SB ⊥， ∴AFO ∠是二面角A SB D --的平面角.Rt ΔAOF 中，12OF SD =，AF ==，cos OF AFO AF ∠==， ∴二面角A SB D --(3) 解：∵E 是侧棱SC 的中点，∴BE SC ⊥，DE SC ⊥，∴SC ⊥平面BDE ， ∴平面SBC ⊥平面BDE ，过D 作平面SBC 的垂线，垂足在交线BE 上，即BE 为BD 在平面SBC 上的射影，∴DBE ∠为直线BD 和平面SBC 所成的角，∵12OE SA =，BE ==，∴sin sin OE DBE OBE BE ∠=∠==， ∴直线BD 和平面SBC.19．解：(1) 设椭圆E 的方程为221mx ny +=（0,0m n >>），将(2,0)A -、(2,0)B、C 代入，得41143114m m m n n =⎧⎧=⎪⎪⇒⎨⎨+=⎪⎪=⎩⎩． ∴椭圆E 的方程为2214x y +=． (2) 当l x ⊥轴时，:l x =1MN =，则1122S =⨯当l 的斜率存在时，设l：(y k x =，代入椭圆方程2244x y +=，得2222(14)4(31)0k x x k +++-=，设11(,)M x y ，22(,)N x y，则212214x x k +=-+，21224(31)14k x x k -=+．∵(F 为椭圆E 的左焦点，∴2121224(1)()()4)14k MN MF NF a ex a ex x x k +=+=+++=++=+．又原点O 到直线l的距离d =∴22213(1)1214k k S MN d k ++=⋅==≤=+．上式等号当且仅当2231k k =+，即k =时成立.综上，ΔOMN 的面积S 的最大值为1，此时直线l的方程为2y x =±即0x =.20．解：(1) 2()32f x ax bx c '=++，由()f x 在1x =处取得极值，得(1)0f '=，即320a b c ++=，由a b c >>知：0,0a c ><.由2232a b a c c >=-->，得51ca-<<- ①.曲线()f x 在x t =处的切线斜率为2a -，得()2f t a '=-，即23220at bt c a +++=.由2412(2)0b a c a ∆=-+≥，将23b a c =--代入，得226150c ac a --≥，即 2()6150c c a a -⋅-≥，解得：3c a ≤-3ca≥+②. 由①②联立得ca的取值范围是(5,3--.(2) 由(1)0f '=知：方程()0f x '=即2320ax bx c ++=的一根为1，设另一根为0x ，则由韦达定理，得053(,333c x a -=∈-. 由0a >，令2()320f x ax bx c '=++<，得01x x <<，则0[,][,1]m n x =，从而081)3m n x -=-∈，故m n -. (3) 由0a >知，当01x x <<时()0f x '<；当0x x <或1x >时()0f x '>.而()20f t a '=-<，则01x t <<，于是08533t x -<-<，故8()03f t '->，即曲线()f x 在83x t =-处的切线斜率为正.21．解：(1) 12a =，222a λ=+，2324224a a λλλ=+=++.① 若数列{}n a 为等差数列，则1322a a a +=，即22(224)2(22)λλλ+++=+，得210λλ-+=，由21430∆=-=-<知方程无实根， 故不存在实数λ，使得数列{}n a 为等差数列.② 若数列{}n a 为等比数列，则2132a a a ⋅=，即222(224)(22)λλλ++=+，解得1λ=，此时，12n n n a a +=+，由累加法得：121121321()()()22222(2)n n n n n a a a a a a a a n --=+-+-++-=++++=≥ ，显然，当1n =时也适合，故*2()n n a n =∈N .故存在实数1λ=，使得数列{}n a 为等比数列，其通项公式为*2()n n a n =∈N .(2) ① 当1λ=时，*2()nn a n =∈N ，故12(12)2212n n n S +-==--. ② 当2λ=时，111122222nn n n n n na a a a +++=+⇒=+，即数列2n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项为1，公差为12 的等差数列，故11(1)22n n a n =+-⋅，即1(1)2n n a n -=+⋅，下用错位相减法求n S . 2123242(1)2n n S n -=+⋅+⋅+++⋅ ，2n S = 2122322(1)2n n n n -⋅+⋅++⋅++⋅ ，上面两式相减，得212222(1)22n n n n S n n -=-----++⋅=⋅ . ③ 当1λ≠且2λ≠时，下用待定系数法求通项n a .令112(2)n n n n a x a x λ+++⋅=+⋅，则1(2)2n n n a a x λλ+=+-⋅， 上式与12n n n a a λ+=+比较系数，得(2)1x λ-=，12x λ=-. 故数列22n n a λ⎧⎫+⎨⎬-⎩⎭是首项为222λλ--，公比为λ的等比数列，从而 122222n n n a λλλλ--+=⋅--，即1(22)22n nn a λλλ--⋅-=-. 因此，2123(22)(1)(2222)2n n n S λλλλλ--+++-++++=-112(22)22(2)11222n nn n λλλλλλ---⋅-⋅---==--. 综上所述，2(2)2(2)(2)2nn n n n S λλλλ⎧⋅=⎪=⎨-≠⎪-⎩.。
2018年全国普通高等学校高考数学模拟试卷理科一参考答案与试题解析
2018年全国普通高等学校高考数学模拟试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知集合A={x|﹣x2+4x≥0}，，C={x|x=2n，n∈N}，则（A∪B）∩C=（）A．{2，4}B．{0，2}C．{0，2，4}D．{x|x=2n，n∈N}2．（5分）设i是虚数单位，若，x，y∈R，则复数x+yi的共轭复数是（）A．2﹣i B．﹣2﹣i C．2+i D．﹣2+i3．（5分）已知等差数列{a n}的前n项和是S n，且a4+a5+a6+a7=18，则下列命题正确的是（）A．a5是常数B．S5是常数C．a10是常数D．S10是常数4．（5分）七巧板是我们祖先的一项创造，被誉为“东方魔板”，它是由五块等腰直角三角形（两块全等的小三角形、一块中三角形和两块全等的大三角形）、一块正方形和一块平行四边形组成的．如图是一个用七巧板拼成的正方形中任取一点，则此点取自黑色部分的概率是（）A．B．C．D．5．（5分）已知点F为双曲线C：（a＞0，b＞0）的右焦点，直线x=a与双曲线的渐近线在第一象限的交点为A，若AF的中点在双曲线上，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．6．（5分）已知函数则（）A．2+πB．C．D．7．（5分）执行如图所示的程序框图，则输出的S的值为（）A．B．C．D．8．（5分）已知函数（ω＞0）的相邻两个零点差的绝对值为，则函数f（x）的图象（）A．可由函数g（x）=cos4x的图象向左平移个单位而得B．可由函数g（x）=cos4x的图象向右平移个单位而得C．可由函数g（x）=cos4x的图象向右平移个单位而得D．可由函数g（x）=cos4x的图象向右平移个单位而得9．（5分）的展开式中剔除常数项后的各项系数和为（）A．﹣73 B．﹣61 C．﹣55 D．﹣6310．（5分）某几何体的三视图如图所示，其中俯视图中六边形ABCDEF是边长为1的正六边形，点G为AF的中点，则该几何体的外接球的表面积是（）A．B．C．D．11．（5分）已知抛物线C：y2=4x的焦点为F，过点F分别作两条直线l1，l2，直线l1与抛物线C交于A、B两点，直线l2与抛物线C交于D、E两点，若l1与l2的斜率的平方和为1，则|AB|+|DE|的最小值为（）A．16 B．20 C．24 D．3212．（5分）若函数y=f（x），x∈M，对于给定的非零实数a，总存在非零常数T，使得定义域M内的任意实数x，都有af（x）=f（x+T）恒成立，此时T为f（x）的类周期，函数y=f（x）是M上的a级类周期函数．若函数y=f（x）是定义在区间[0，+∞）内的2级类周期函数，且T=2，当x∈[0，2）时，函数．若∃x1∈[6，8]，∃x2∈（0，+∞），使g（x2）﹣f（x1）≤0成立，则实数m的取值范围是（）A．B．C．D．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）已知向量，，且，则=．14．（5分）已知x，y满足约束条件则目标函数的最小值为．15．（5分）在等比数列{a n}中，a2•a3=2a1，且a4与2a7的等差中项为17，设b n=a2n ﹣a2n，n∈N*，则数列{b n}的前2n项和为．﹣116．（5分）如图，在直角梯形ABCD中，AB⊥BC，AD∥BC，，点E是线段CD上异于点C，D的动点，EF⊥AD于点F，将△DEF沿EF折起到△PEF 的位置，并使PF⊥AF，则五棱锥P﹣ABCEF的体积的取值范围为．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（12分）已知△ABC的内角A，B，C的对边a，b，c分别满足c=2b=2，2bcosA+acosC+ccosA=0，又点D满足．（1）求a及角A的大小；（2）求的值．18．（12分）在四棱柱ABCD﹣A 1B1C1D1中，底面ABCD是正方形，且，∠A1AB=∠A1AD=60°．（1）求证：BD⊥CC1；（2）若动点E在棱C1D1上，试确定点E的位置，使得直线DE与平面BDB1所成角的正弦值为．19．（12分）“过大年，吃水饺”是我国不少地方过春节的一大习俗．2018年春节前夕，A市某质检部门随机抽取了100包某种品牌的速冻水饺，检测其某项质量指标，（1）求所抽取的100包速冻水饺该项质量指标值的样本平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（2）①由直方图可以认为，速冻水饺的该项质量指标值Z服从正态分布N（μ，σ2），利用该正态分布，求Z落在（，）内的概率；②将频率视为概率，若某人从某超市购买了4包这种品牌的速冻水饺，记这4包速冻水饺中这种质量指标值位于（10，30）内的包数为X，求X的分布列和数学期望．附：①计算得所抽查的这100包速冻水饺的质量指标的标准差为；②若，则P（μ﹣σ＜Z≤μ+σ）=，P（μ﹣2σ＜Z≤μ+2σ）=．20．（12分）已知椭圆C：的离心率为，且以两焦点为直径的圆的内接正方形面积为2．（1）求椭圆C的标准方程；（2）若直线l：y=kx+2与椭圆C相交于A，B两点，在y轴上是否存在点D，使直线AD与BD的斜率之和k AD+k BD为定值？若存在，求出点D坐标及该定值，若不存在，试说明理由．21．（12分）已知函数f（x）=e x﹣2（a﹣1）x﹣b，其中e为自然对数的底数．（1）若函数f（x）在区间[0，1]上是单调函数，试求实数a的取值范围；（2）已知函数g（x）=e x﹣（a﹣1）x2﹣bx﹣1，且g（1）=0，若函数g（x）在区间[0，1]上恰有3个零点，求实数a的取值范围．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在平面直角坐标系xOy中，圆C1的参数方程为（θ为参数，a是大于0的常数）．以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆C2的极坐标方程为．（1）求圆C1的极坐标方程和圆C2的直角坐标方程；（2）分别记直线l：，ρ∈R与圆C1、圆C2的异于原点的焦点为A，B，若圆C1与圆C2外切，试求实数a的值及线段AB的长．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）=|2x+1|．（1）求不等式f（x）≤10﹣|x﹣3|的解集；（2）若正数m，n满足m+2n=mn，求证：f（m）+f（﹣2n）≥16．2018年全国普通高等学校高考数学模拟试卷（理科）（一）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知集合A={x|﹣x2+4x≥0}，，C={x|x=2n，n∈N}，则（A∪B）∩C=（）A．{2，4}B．{0，2}C．{0，2，4}D．{x|x=2n，n∈N}【解答】解：A={x|﹣x2+4x≥0}={x|0≤x≤4}，={x|3﹣4＜3x＜33}={x|﹣4＜x＜3}，则A∪B={x|﹣4＜x≤4}，C={x|x=2n，n∈N}，可得（A∪B）∩C={0，2，4}，故选C．2．（5分）设i是虚数单位，若，x，y∈R，则复数x+yi的共轭复数是（）A．2﹣i B．﹣2﹣i C．2+i D．﹣2+i【解答】解：由，得x+yi==2+i，∴复数x+yi的共轭复数是2﹣i．故选：A．3．（5分）已知等差数列{a n}的前n项和是S n，且a4+a5+a6+a7=18，则下列命题正确的是（）A．a5是常数B．S5是常数C．a10是常数D．S10是常数【解答】解：∵等差数列{a n}的前n项和是S n，且a4+a5+a6+a7=18，∴a4+a5+a6+a7=2（a1+a10）=18，∴a1+a10=9，∴=45．故选：D．4．（5分）七巧板是我们祖先的一项创造，被誉为“东方魔板”，它是由五块等腰直角三角形（两块全等的小三角形、一块中三角形和两块全等的大三角形）、一块正方形和一块平行四边形组成的．如图是一个用七巧板拼成的正方形中任取一点，则此点取自黑色部分的概率是（）A．B．C．D．【解答】解：设AB=2，则BC=CD=DE=EF=1，∴S=××=，△BCIS平行四边形EFGH=2S△BCI=2×=，∴所求的概率为P===．故选：A．5．（5分）已知点F为双曲线C：（a＞0，b＞0）的右焦点，直线x=a 与双曲线的渐近线在第一象限的交点为A，若AF的中点在双曲线上，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．【解答】解：设双曲线C：的右焦点F（c，0），双曲线的渐近线方程为y=x，由x=a代入渐近线方程可得y=b，则A（a，b），可得AF的中点为（，b），代入双曲线的方程可得﹣=1，可得4a2﹣2ac﹣c2=0，由e=，可得e2+2e﹣4=0，解得e=﹣1（﹣1﹣舍去），故选：D．6．（5分）已知函数则（）A．2+πB．C．D．【解答】解：∵，=∫cos2tdt===，∴=（）+（﹣cosx）=﹣2．故选：D．7．（5分）执行如图所示的程序框图，则输出的S的值为（）A．B．C．D．【解答】解：第1次循环后，S=，不满足退出循环的条件，k=2；第2次循环后，S=，不满足退出循环的条件，k=3；第3次循环后，S==2，不满足退出循环的条件，k=4；…第n次循环后，S=，不满足退出循环的条件，k=n+1；…第2018次循环后，S=，不满足退出循环的条件，k=2019第2019次循环后，S==2，满足退出循环的条件，故输出的S值为2，故选：C8．（5分）已知函数（ω＞0）的相邻两个零点差的绝对值为，则函数f（x）的图象（）A．可由函数g（x）=cos4x的图象向左平移个单位而得B．可由函数g（x）=cos4x的图象向右平移个单位而得C．可由函数g（x）=cos4x的图象向右平移个单位而得D．可由函数g（x）=cos4x的图象向右平移个单位而得【解答】解：函数=sin（2ωx）﹣•+=sin（2ωx﹣）（ω＞0）的相邻两个零点差的绝对值为，∴•=，∴ω=2，f（x）=sin（4x﹣）=cos[（4x﹣）﹣]=cos（4x﹣）．故把函数g（x）=cos4x的图象向右平移个单位，可得f（x）的图象，故选：B．9．（5分）的展开式中剔除常数项后的各项系数和为（）A．﹣73 B．﹣61 C．﹣55 D．﹣63【解答】解：展开式中所有各项系数和为（2﹣3）（1+1）6=﹣64；=（2x﹣3）（1+++…），其展开式中的常数项为﹣3+12=9，∴所求展开式中剔除常数项后的各项系数和为﹣64﹣9=﹣73．故选：A．10．（5分）某几何体的三视图如图所示，其中俯视图中六边形ABCDEF是边长为1的正六边形，点G为AF的中点，则该几何体的外接球的表面积是（）A．B．C．D．【解答】解：如图，可得该几何体是六棱锥P﹣ABCDEF，底面是正六边形，有一PAF侧面垂直底面，且P在底面的投影为AF中点，过底面中心N作底面垂线，过侧面PAF的外心M作面PAF的垂线，两垂线的交点即为球心O，设△PAF的外接圆半径为r，，解得r=，∴，则该几何体的外接球的半径R=，∴表面积是则该几何体的外接球的表面积是S=4πR2=．故选：C．11．（5分）已知抛物线C：y2=4x的焦点为F，过点F分别作两条直线l1，l2，直线l1与抛物线C交于A、B两点，直线l2与抛物线C交于D、E两点，若l1与l2的斜率的平方和为1，则|AB|+|DE|的最小值为（）A．16 B．20 C．24 D．32【解答】解：抛物线C：y2=4x的焦点F（1，0），设直线l1：y=k1（x﹣1），直线l2：y=k2（x﹣1），由题意可知，则，联立，整理得：k12x2﹣（2k12+4）x+k12=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=，设D（x3，y3），E（x4，y4），同理可得：x3+x4=2+，由抛物线的性质可得：丨AB丨=x1+x2+p=4+，丨DE丨=x3+x4+p=4+，∴|AB|+|DE|=8+==，当且仅当=时，上式“=”成立．∴|AB|+|DE|的最小值24，故选：C．12．（5分）若函数y=f（x），x∈M，对于给定的非零实数a，总存在非零常数T，使得定义域M内的任意实数x，都有af（x）=f（x+T）恒成立，此时T为f（x）的类周期，函数y=f（x）是M上的a级类周期函数．若函数y=f（x）是定义在区间[0，+∞）内的2级类周期函数，且T=2，当x∈[0，2）时，函数．若∃x1∈[6，8]，∃x2∈（0，+∞），使g（x2）﹣f（x1）≤0成立，则实数m的取值范围是（）A．B．C．D．【解答】解：根据题意，对于函数f（x），当x∈[0，2）时，，分析可得：当0≤x≤1时，f（x）=﹣2x2，有最大值f（0）=，最小值f（1）=﹣，当1＜x＜2时，f（x）=f（2﹣x），函数f（x）的图象关于直线x=1对称，则此时有﹣＜f（x）＜，又由函数y=f（x）是定义在区间[0，+∞）内的2级类周期函数，且T=2；则在∈[6，8）上，f（x）=23•f（x﹣6），则有﹣12≤f（x）≤4，则f（8）=2f（6）=4f（4）=8f（2）=16f（0）=8，则函数f（x）在区间[6，8]上的最大值为8，最小值为﹣12；对于函数，有g′（x）=﹣+x+1==，分析可得：在（0，1）上，g′（x）＜0，函数g（x）为减函数，在（1，+∞）上，g′（x）＞0，函数g（x）为增函数，则函数g（x）在（0，+∞）上，由最小值f（1）=+m，若∃x1∈[6，8]，∃x2∈（0，+∞），使g（x2）﹣f（x1）≤0成立，必有g（x）min≤f（x）max，即+m≤8，解可得m≤，即m的取值范围为（﹣∞，]；故选：B．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）已知向量，，且，则=．【解答】解：根据题意，向量，，若，则•=2sinα﹣cosα=0，则有tanα=，又由sin2α+cos2α=1，则有或，则=（，）或（﹣，﹣），则||=，则=2+2﹣2•=；故答案为：14．（5分）已知x，y满足约束条件则目标函数的最小值为．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得A（2，4），=，令t=5x﹣3y，化为y=，由图可知，当直线y=过A时，直线在y轴上的截距最大，t有最小值为﹣2．∴目标函数的最小值为．故答案为：．15．（5分）在等比数列{a n}中，a2•a3=2a1，且a4与2a7的等差中项为17，设b n=a2n ﹣a2n，n∈N*，则数列{b n}的前2n项和为．﹣1【解答】解：等比数列{a n}中，a2•a3=2a1，且a4与2a7的等差中项为17，设首项为a1，公比为q，则：，整理得：，解得：．则：，所以：b n=a2n﹣1﹣a2n==﹣22n﹣4，则：T 2n ==．故答案为：．16．（5分）如图，在直角梯形ABCD 中，AB ⊥BC ，AD ∥BC ，，点E 是线段CD 上异于点C ，D 的动点，EF ⊥AD 于点F ，将△DEF 沿EF 折起到△PEF 的位置，并使PF ⊥AF ，则五棱锥P ﹣ABCEF 的体积的取值范围为 （0，） ．【解答】解：∵PF ⊥AF ，PF ⊥EF ，AF ∩EF=F ， ∴PF ⊥平面ABCD ．设PF=x ，则0＜x ＜1，且EF=DF=x ．∴五边形ABCEF 的面积为S=S 梯形ABCD ﹣S △DEF =×（1+2）×1﹣x 2=（3﹣x 2）． ∴五棱锥P ﹣ABCEF 的体积V=（3﹣x 2）x=（3x ﹣x 3），设f （x ）=（3x ﹣x 3），则f′（x ）=（3﹣3x 2）=（1﹣x 2）， ∴当0＜x ＜1时，f′（x ）＞0，∴f （x ）在（0，1）上单调递增，又f （0）=0，f （1）=． ∴五棱锥P ﹣ABCEF 的体积的范围是（0，）． 故答案为：．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（12分）已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边a ，b ，c 分别满足c=2b=2，2bcosA+acosC+ccosA=0，又点D满足．（1）求a及角A的大小；（2）求的值．【解答】解：（1）由2bcosA+acosC+ccosA=0及正弦定理得﹣2sinBcosA=sinAcosC+cosAsinC，即﹣2sinBcosA=sin（A+C）=sinB，在△ABC中，sinB＞0，所以．又A∈（0，π），所以．在△ABC中，c=2b=2，由余弦定理得a2=b2+c2﹣2bccosA=b2+c2+bc=7，所以．（2）由，得=，所以．18．（12分）在四棱柱ABCD﹣A 1B1C1D1中，底面ABCD是正方形，且，∠A1AB=∠A1AD=60°．（1）求证：BD⊥CC1；（2）若动点E在棱C1D1上，试确定点E的位置，使得直线DE与平面BDB1所成角的正弦值为．【解答】解：（1）连接A1B，A1D，AC，因为AB=AA1=AD，∠A1AB=∠A1AD=60°，所以△A1AB和△A1AD均为正三角形，于是A1B=A1D．设AC与BD的交点为O，连接A1O，则A1O⊥BD，又四边形ABCD是正方形，所以AC⊥BD，而A1O∩AC=O，所以BD⊥平面A1AC．又AA1⊂平面A1AC，所以BD⊥AA1，又CC1∥AA1，所以BD⊥CC1．（2）由，及，知A 1B⊥A1D，于是，从而A1O⊥AO，结合A1O⊥BD，AO∩AC=O，得A1O⊥底面ABCD，所以OA、OB、OA1两两垂直．如图，以点O为坐标原点，的方向为x轴的正方向，建立空间直角坐标系O ﹣xyz，则A（1，0，0），B（0，1，0），D（0，﹣1，0），A1（0，0，1），C（﹣1，0，0），，，，由，得D1（﹣1，﹣1，1）．设（λ∈[0，1]），则（x E+1，y E+1，z E﹣1）=λ（﹣1，1，0），即E（﹣λ﹣1，λ﹣1，1），所以．设平面B1BD的一个法向量为，由得令x=1，得，设直线DE与平面BDB1所成角为θ，则，解得或（舍去），所以当E为D1C1的中点时，直线DE与平面BDB1所成角的正弦值为．19．（12分）“过大年，吃水饺”是我国不少地方过春节的一大习俗．2018年春节前夕，A市某质检部门随机抽取了100包某种品牌的速冻水饺，检测其某项质量指标，（1）求所抽取的100包速冻水饺该项质量指标值的样本平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（2）①由直方图可以认为，速冻水饺的该项质量指标值Z服从正态分布N（μ，σ2），利用该正态分布，求Z落在（，）内的概率；②将频率视为概率，若某人从某超市购买了4包这种品牌的速冻水饺，记这4包速冻水饺中这种质量指标值位于（10，30）内的包数为X，求X的分布列和数学期望．附：①计算得所抽查的这100包速冻水饺的质量指标的标准差为；②若，则P（μ﹣σ＜Z≤μ+σ）=，P（μ﹣2σ＜Z≤μ+2σ）=．【解答】解：（1）所抽取的100包速冻水饺该项质量指标值的样本平均数为．（2）①∵Z服从正态分布N（μ，σ2），且μ=，σ≈，∴P（＜Z＜）=P（﹣＜Z＜+）=，∴Z落在（，）内的概率是．②根据题意得X～B（4，），；；；；．∴X的分布列为X01234P∴．20．（12分）已知椭圆C：的离心率为，且以两焦点为直径的圆的内接正方形面积为2．（1）求椭圆C的标准方程；（2）若直线l：y=kx+2与椭圆C相交于A，B两点，在y轴上是否存在点D，使直线AD与BD的斜率之和k AD+k BD为定值？若存在，求出点D坐标及该定值，若不存在，试说明理由．【解答】解：（1）由已知可得解得a2=2，b2=c2=1，所求椭圆方程为．（2）由得（1+2k2）x2+8kx+6=0，则△=64k2﹣24（1+2k2）=16k2﹣24＞0，解得或．设A（x1，y1），B（x2，y2），则，，设存在点D（0，m），则，，所以==．要使k AD+k BD为定值，只需6k﹣4k（2﹣m）=6k﹣8k+4mk=2（2m﹣1），k与参数k无关，故2m﹣1=0，解得，当时，k AD+k BD=0．综上所述，存在点，使得k AD+k BD为定值，且定值为0．21．（12分）已知函数f（x）=e x﹣2（a﹣1）x﹣b，其中e为自然对数的底数．（1）若函数f（x）在区间[0，1]上是单调函数，试求实数a的取值范围；（2）已知函数g（x）=e x﹣（a﹣1）x2﹣bx﹣1，且g（1）=0，若函数g（x）在区间[0，1]上恰有3个零点，求实数a的取值范围．【解答】解：（1）根据题意，函数f（x）=e2﹣2（a﹣1）x﹣b，其导数为f'（x）=e x﹣2（a﹣1），当函数f（x）在区间[0，1]上单调递增时，f'（x）=e x﹣2（a﹣1）≥0在区间[0，1]上恒成立，∴2（a﹣1）≤（e x）min=1（其中x∈[0，1]），解得；当函数f（x）在区间[0，1]单调递减时，f'（x）=e x﹣2（a﹣1）≤0在区间[0，1]上恒成立，∴2（a﹣1）≥（e x）max=e（其中x∈[0，1]），解得．综上所述，实数a的取值范围是．（2）函数g（x）=e x﹣（a﹣1）x2﹣bx﹣1，则g'（x）=e x﹣2（a﹣1）x﹣b，分析可得f（x）=g'（x）．由g（0）=g（1）=0，知g（x）在区间（0，1）内恰有一个零点，设该零点为x0，则g（x）在区间（0，x0）内不单调，所以f（x）在区间（0，x0）内存在零点x1，同理，f（x）在区间（x0，1）内存在零点x2，所以f（x）在区间（0，1）内恰有两个零点．由（1）知，当时，f（x）在区间[0，1]上单调递增，故f（x）在区间（0，1）内至多有一个零点，不合题意．当时，f（x）在区间[0，1]上单调递减，故f（x）在（0，1）内至多有一个零点，不合题意；所以．令f'（x）=0，得x=ln（2a﹣2）∈（0，1），所以函数f（x）在区间[0，ln（2a﹣2）]上单调递减，在区间（ln（2a﹣2），1]上单调递增．记f（x）的两个零点为x1，x2（x1＜x2），因此x1∈（0，ln（2a﹣2）]，x2∈（ln（2a﹣2），1），必有f（0）=1﹣b＞0，f （1）=e﹣2a+2﹣b＞0．由g（1）=0，得a+b=e，所以，又f（0）=a﹣e+1＞0，f（1）=2﹣a＞0，所以e﹣1＜a＜2．综上所述，实数a的取值范围为（e﹣1，2）．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在平面直角坐标系xOy中，圆C1的参数方程为（θ为参数，a是大于0的常数）．以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆C2的极坐标方程为．（1）求圆C1的极坐标方程和圆C2的直角坐标方程；（2）分别记直线l：，ρ∈R与圆C1、圆C2的异于原点的焦点为A，B，若圆C1与圆C2外切，试求实数a的值及线段AB的长．【解答】解：（1）圆C1：（θ是参数）消去参数θ，得其普通方程为（x+1）2+（y+1）2=a2，将x=ρcosθ，y=ρsinθ代入上式并化简，得圆C1的极坐标方程，由圆C2的极坐标方程，得ρ2=2ρcosθ+2ρsinθ．将x=ρcosθ，y=ρsinθ，x2+y2=ρ2代入上式，得圆C2的直角坐标方程为（x﹣1）2+（y﹣1）2=2．（2）由（1）知圆C1的圆心C1（﹣1，﹣1），半径r1=a；圆C 2的圆心C2（1，1），半径，，∵圆C1与圆C2外切，∴，解得，即圆C1的极坐标方程为．将代入C1，得，得；将代入C2，得，得；故．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）=|2x+1|．（1）求不等式f（x）≤10﹣|x﹣3|的解集；（2）若正数m，n满足m+2n=mn，求证：f（m）+f（﹣2n）≥16．【解答】解：（1）此不等式等价于或或解得或或3＜x≤4．即不等式的解集为．（2）证明：∵m＞0，n＞0，m+2n=mn，，即m+2n ≥8，当且仅当即时取等号．∴f（m）+f（﹣2n）=|2m+1|+|﹣4n+1|≥|（2m+1）﹣（﹣4n+1）|=|2m+4n|=2（m+2n）≥16，当且仅当﹣4n+1≤0，即时，取等号．∴f（m）+f（﹣2n）≥16．。
高三数学全真模拟考试试题(一)理(含解析)
荆州中学2018年普通高等学校招生全国统一考试理科数学(模拟一)选择题:本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1、已知集合,则Ａ、 B、C、 D、【答案】D【解析】【分析】分别求出集合,,再利用交集定义就可求出结果【详解】则故选【点睛】本题主要考查了集合的交集及其运算,属于基础题、2、欧拉公式(为虚数单位)是由瑞士著名数学家欧拉发现的,它将指数函数的定义域扩大到复数,建立了三角函数和指数函数的关系,它在复变函数论里特别重要,被誉为“数学中的天桥"、依照欧拉公式可知,表示的复数位于复平面中的A、第一象限 B。
第二象限 C、第三象限 D、第四象限【答案】Ｂ【解析】【分析】由欧拉公式(为虚数单位)可得:,再利用诱导公式化简,即可得到答案【详解】由欧拉公式(为虚数单位)可得:表示的复数对应的点为,此点位于第二象限故选【点睛】本题主要考查的是欧拉公式的应用,诱导公式,复数与平面内的点的一一对应关系,考查了学生的运算能力,转化能力。
3、要得到函数的图象,只需将函数的图象Ａ。
向左平移个周期Ｂ、向右平移个周期Ｃ、向左平移个周期D、向右平移个周期【答案】D【解析】【分析】利用函数的图象变换规律,三角函数的周期性,得出结果【详解】将函数的图象向右平移个单位,可得的图象,即向右平移个周期故选【点睛】本题考查了三角函数图像的平移,运用诱导公式进行化简成同名函数,然后运用图形平移求出结果,本题较为基础。
4。
某地区空气质量监测表明,一天的空气质量为优良的概率是,连续两天为优良的概率是,已知某天的空气质量为优良,则随后一天空气质量为优良的概率是A。
B。
C、 D、【答案】A【解析】试题分析:记“一天的空气质量为优良”,“第二天空气质量也为优良”,由题意可知,因此,故选Ａ、考点:条件概率。
视频5、如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗线画出的是某几何体的三视图,则此几何体各面中直角三角形的个数是A、 2 B。
2018年理科数学高考模拟试卷
高考模拟数学试卷（理科）第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}252140A x x x =-+-<，{}36B x Z x =∈-<<，则()U C A B I 的元素的个数为（ ） A.3B.4C.5D.62.若一个复数的实部与虚部互为相反数，则称此复数为“理想复数”.已知() 12az bi a b R i=+∈-，为“理想复数”，则（ ） A.350a b +=B.350a b -=C.50a b +=D.50a b -=3.已知角α的终边经过点(3 m m ，，若73πα=，则m 的值为（ ） A.27B.127C.9D.194.已知()f x 为奇函数，当0x <时，()()2log f x a x x =++-，其中()4 5a ∈-，，则()40f >的概率为（ ）A.13B.49C.59D.235.若直线22py x =+与抛物线()220x py p =>相交于 A B ，两点，则AB 等于（ ） A.5pB.10pC.11pD.12p6.《数书九章》中对已知三角形三边长求三角形的面积的求法填补了我国传统数学的一个空白，与著名的海伦公式完全等价，由此可以看出我国古代已具有很高的数学水平，其求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上，以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实.一为从隅，开平方得积.”若把以上这段文字写成公式，即222222142c a b S c a ⎡⎤⎛⎫+-⎢⎥=- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦现有周长为225ABC △满足))sin :sin :sin 21521A B C =，试用以上给出的公式求得ABC △的面积为（ ） 33 5 5 7.某程序框图如图所示，其中t Z ∈，该程序运行后输出的2k =，则t 的最大值为（ ）A.11B.2057C.2058D.20598.已知函数()sin432sin23xf xxππ⎛⎫+⎪⎝⎭=⎛⎫+⎪⎝⎭的图象与()g x的图象关于直线12xπ=对称，则()g x的图象的一个对称中心可以为（）A. 06π⎛⎫⎪⎝⎭， B. 03π⎛⎫⎪⎝⎭， C. 04π⎛⎫⎪⎝⎭， D. 02π⎛⎫⎪⎝⎭，9.设0a>，若关于x y，的不等式组202020ax yx yx-+≥⎧⎪+-≥⎨⎪-≤⎩，表示的可行域与圆()2229x y-+=存在公共点，则2z x y=+的最大值的取值范围为（）A.[]8 10， B.()6 +∞， C.(]6 8， D.[)8 +∞，10.过双曲线()2222:10 0x yC a ba b-=>>，的右焦点F作x轴的垂直，交双曲线C于M N，两点.A为左顶点，设MANθ∠=，双曲线C的离心率为()fθ，则233f fππ⎛⎫⎛⎫-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭等于（）A.23B.3C.3D.611.某几何体的三视图如图所示，已知三视图中的圆的半径均为2，则该几何体的体积为（）A.203πB.12πC.443πD.16π12.若函数()()12ln x f x a x e x x=-++在()0 2，上存在两个极值点，则a 的取值范围是（ ）A.21 4e ⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭，B.()21 1 4e e ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭U ，，C.1 e ⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭，D.2111 4e e e ⎛⎫⎛⎫-∞--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭U ，，第Ⅱ卷二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上） 13.在()()54123x x ---的展开式中，常数项为 ．14.某设备的使用年数x 与所支出的维修总费用y 的统计数据如下表：根据上表可得回归直线方程为$1.3y x a =+.若该设备维修总费用超过12万元就报废，据此模型预测该设备最多可使用 年．15.设向量 a b r r ，满足3a b +=r r ，2a b -=r r，则aa b⋅r r r 的取值范围为 ． 16.在底面是菱形的四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，120BAD ∠=︒，点E 为棱PB 的中点，点F 在棱AD 上，平面CEF 与PA 交于点K ，且3PA AB ==，2AF =，则点K 到平面PBD 的距离为 ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是公差为1的等差数列，且233 5a a ==，.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设3n n n b a =⋅，求数列{}n b 的前n 项和n T .18.以下是新兵训练时，某炮兵连8周中炮弹对同一目标的命中情况的柱状图：（1）计算该炮兵连这8周中总的命中频率0p ，并确定第几周的命中频率最高；（2）以（1）中的0p 作为该炮兵连炮兵甲对同一目标的命中率，若每次发射相互独立，且炮兵甲发射3次，记命中的次数为X ，求X 的数学期望；（3）以（1）中的0p 作为该炮兵连炮兵对同一目标的命中率，试问至少要用多少枚这样的炮弹同时对该目标发射一次，才能使目标被击中的概率超过0.99？（取lg0.40.398=-） 19.如图，在四棱锥P ABCD -中，侧面PAB ⊥底面ABCD ，PAB △为正三角形，AB AD ⊥，CD AD ⊥，点E ，M 分别为线段BC 、AD 的中点，F 、G 分别为线段PA 、AE 上一点，且2AB AD ==，2PF FA =.（1）确定点G 的位置，使得FG ∥平面PCD ；（2）试问：直线CD 上是否存在一点Q ，使得平面PAB 与平面PMQ 所成锐二面角的大小为30︒，若存在，求DQ 的长；若不存在，请说明理由.20.已知焦距为2的椭圆()2222:10x y W a b a b +=>>的左、右顶点分别为12 A A ，，上、下顶点分别为12 B B ，.点()00 M x y ，为椭圆W 上不在坐标轴上的任意一点，且四条直线1212 MA MA MB MB ，，，的斜率之积为14.（1）求椭圆W 的标准方程；（2）如图所示，点 A D ，是椭圆W 上两点，点A 与点B 关于原点对称，AD AB ⊥，点C 在x 轴上，且AC 与x 轴垂直，求证： B C D ，，三点共线.21.已知函数221284x m f x x m ⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭，()()22112cos 2g x x mx a x x x m =-++++-.（1）若曲线()y f x =仅在两个不同的点()()11 A x f x ，，()()22 B x f x ，处的切线都经过点()2 t ，，求证：38t m =-，或2212273t m m m =-+-； （2）当[]0 1x ∈，时，若()()f x g x ≥恒成立，求a 的取值范围. 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22.在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的方程为23815y x x =+-+-（1）写出曲线C 的一个参数方程；（2）在曲线C 上取一点P ，过点P 作x 轴、y 轴的垂线，垂足分别为 A B ，，求矩形OAPB 的周长的取值范围.23.已知函数()252f x x x x =+--+. （1）求不等式()0f x <的解集；（2）若关于x 的不等式()f x m ≤的整数解仅有11个，求m 的取值范围.高三数学试卷参考答案（理科）一、选择题1.C ∵()(){}()14150 5 4A x x x ⎛⎫=--<=-∞+∞ ⎪⎝⎭U ，，，∴1 54R C A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，，∴(){}1 2 3 4 5R C A B =I ，，，，. 2.A ∵()12212555a i a a a z bi bi b i i +⎛⎫=+=+=++ ⎪-⎝⎭，∴2055a a b ⎛⎫++= ⎪⎝⎭，∴350a b +=. 3.B∵1113267tan 3m m π--===，16m -=，∴6127m -==，∴127m =. 4.D ∵()244log 42f a a -=-+=-，∴()()44202f f a a =--=->⇒<，故由几何概型可知所求概率为()()242543--=--. 5.B 联立22py x =+与22x py =得2240x px p --=，设()11 A x y ，，()22 B x y ，，则124x x p +=，∴12249y y p p p +=⨯+=，又直线22py x =+过抛物线的焦点，∴1210AB y y p p =++=. 6.A因为))sin :sin :sin 11A B C =，所以由正弦定理得))::11a b c =+，又a b c ++=所以1a =，b =1c =，则211ac =-=，222651c a b +-=-=，故S ==.7.C 10k =，1S =，8k =；3S =，6k =；11S =，4k =，2059S =，2k =，由于输出的2k =，故计算结束，所以t 的最大值为2058.8.C ∵()sin 4sin 4332sin 2 662sin 2cos 2626x x k f x x x k Z x x ππππππππ⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎛⎫⎛⎫⎝⎭⎝⎭===+≠+∈ ⎪⎪⎛⎫⎛⎫⎝⎭⎝⎭+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，∴()2sin 22cos 2 6662k g x f x x x x k Z ππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-+=≠-∈ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，的图象的一个对称中心为 04π⎛⎫⎪⎝⎭，.9.D 作出不等式组大致表示的可行域，当直线20ax y-+=经过点()2 3，时，12a=，数形结合可得12a≥，当直线2z x y=+经过点()2 22A a+，时，z取得最大值46a+，∵12a≥，∴8z≥.10.A ∵22bMNa=，AF c a=+，∴()()22212tan12MN b c a c aeAF a c a a c a aθ--=====-++，∴()tan12e fθθ==+，∴232331133f fππ⎫⎛⎫⎛⎫-=-=⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.11.B 由三视图可知，该几何体由半径为2的球的34及两个14圆柱组成，它的直观图如图所示，故其体积32341222212434Vπππ=⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯=.12.D ()()()2211'11x xxf x a x e x aex x-⎛⎫=-+=-+⎪⎝⎭，令()'0f x=，得1x=或21xax e=-，设()21xg xx e=-，则()()()2222'xxe x xg xx e+=，当0x>时，()'0g x>，∴()g x在()0 2，上递增，当0x→时，()g x∞→-，又()2124ge=-，∴()214g xe⎛⎫∈-∞-⎪⎝⎭，，∴214ae<-，又()1a g≠，∴1ae≠-，∴21114ae e e⎛⎫⎛⎫∈-∞---⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭U，，.二、填空题13.27-，因为()523x -的展开式中4x 的系数为()3353270C -=-，所以()()54123x x ---的展开式中常数项为()5270327024327---=-+=-.14.9，∵ 4 5x y ==，，∴$5 1.34a =⨯+，∴$0.2a=-，∴$ 1.30.2y x =-，由$12y ≤得5913x ≤. 15.2 25⎡⎤⎢⎥⎣⎦，，∵224945a b a b a b +--=⋅=-=r r r r r r ，∴54a b ⋅=r r .∵[][]23 2 32 1 5a a b a b =++-∈-+=r r r r r ，，，∴15 22a ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦r ，，∴2 25a a b ⎡⎤∈⎢⎥⋅⎣⎦r r r ，. 16.95，延长CF 交BA 的延长线于点Q ，连接QE 交PA 于点K ，设QA x =，由AD BC ∥得QBC QAF △∽△，则233x x =+，∴6x =，取AB 的中点M ，则PA EM ∥，∴QAK QME △∽△，则323662AK =+，∴65AK =，∴633535PK PA -==，设BD AC O =I ，连接PO ，过A 作AH PO ⊥于H ，易证AH ⊥平面PBD ，在菱形ABCD 中，120BAD ∠=︒，3AB =，则32AO =，故2233352332AH ⨯==⎛⎫+ ⎪⎝⎭，∴点K 到平面PBD 的距离为3955AH =.三、解答题17.解：（1）∵32132S S -=， ∵11353132a a +++-=，∴11a =， ()111nS n n n=+-⨯=，∴2n S n =，∴()1212n n n a S S n n -=-=-≥，∵11a =，∴21n a n =-. （2）∵()213n n b n =-⋅，∴()21333213n n T n =⨯+⨯++-⋅…， ∴()23131333213n n T n +=⨯+⨯++-⋅…，∴()()231332333213n n n n T T n +-=+⨯+++--⋅…，即()()()2111133323221336123223613n n n n n n T n n n ++++-⨯-=+⨯--⋅=-+-⋅=-⋅--，故()1133n n T n +=-⋅+.18.解：（1）这8周总命中炮数为4045464947495352381+++++++=， 总未命中炮数为3234303235333028254+++++++＝， ∴03810.6381254p ==+.∵52532830>，∴根据表中数据易知第8周的命中频率最高. （2）由题意可知()3 0.6X B ～，， 则X 的数学期望为()30.6 1.8E X =⨯=.（3）由()0110.99np -->即10.40.99n ->得0.40.01n <， ∴0.4lg0.0122log 0.01 5.025lg0.4lg0.40.398n >==-=≈， 故至少要用6枚这样的炮弹同时对该目标发射一次，才能使目标被击中的概率超过0.99. 19.解：（1）G 为线段AE 的靠近E 的三等分点.在线段AD 上取一点N ，使得2DN AN =，因为2PF FA =，∴FN PD ∥， 因为M 为AD 中点，∴23AN AM =， 当G 为线段AE 靠近E 的三等分点时，即23AG AE =，NG AE ∥，又易知ME CD ∥，∴NG CD ∥.又FN NG N =I ，所以平面FNG ∥平面PCD ，因为FG ⊂平面FNG ，所以FG ∥平面PCD .（2）取AB中点O，连接PO，因为PAB△为正三角形，所以PO AB⊥，又侧面PAB⊥底面ABCD，所以PO⊥底面ABCD，以OA为x轴，AB的中垂线为y轴，OP为z轴，建立空间直角坐标系O xyz-，如图所示，则(0 0 3P，，，()1 1 0M，，，设()2 0Q t，，，则(1 1 3PM=u u u u r，，，( 2 3PQ t=u u u r，，，设平面PMQ的法向量为()n x y z=r，，，则0PM n PQ n⋅=⋅=u u u u r r u u u r r，即3230x y z tx y z+=+=，令3x=PMQ的一个法向量为))3 31 2n t t=--r，，.易得平面PAB的一个法向量为()0 1 0m=u r，，，所以()()22313cos cos303312tm nt t-<>==︒=+-+-u r r，，解得3t=，故存在点Q，且312DQ=-=.20.解：（1）由题可得22c=，∴1c=，∴221a b-=，∵点()00M x y，为椭圆W上不在坐标轴上任意一点，∴2200221x ya b+=，∴()2222002by a xa=-，()2222002ax b yb=-，∴1212222000000222000000MA MA MB MBy y y b y b y y bk k k kx a x a x x x a x-+-⋅⋅⋅=⋅⋅⋅=⋅+--()()222222202022222200214b a x y b b a a x a a b y b -⎛⎫-=⋅== ⎪-⎝⎭-，∴222a b =. 又221a b -=，∴22a =，21b =，故椭圆W 的标准方程为2212x y +=.（2）证明：设()11 A x y ，，()22 D x y ，，则()11 B x y --，，()1 0C x ，， ∵A ，D 都在M 上，∴221122222222x y x y ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩， ∴()()()()1212121220x x x x y y y y -++-+=，即()121212122y y x xx x y y -+=--+，又AB AD ⊥，∴1AB AD k k ⋅=-， 即1121121y y y x x x -⋅=--，∴()11211212y x xx y y +⋅=+， ∴()1211122y y y x x x +=+，又1211212121121202BD BC y y y y y y y k k x x x x x x x +++-=-=-=+++，∴BD BC k k =，∴ B C D ，，三点共线.21.（1）证明：∵321284x m f x x m ⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭，∴()32f x x mx m =-+-，∴()2'32f x x mx =-+，则曲线()y f x =在 A B ，两点处的切线的方程分别为：()()()3221111132y x mx m x mx x x --+-=-+-， ()()()3222222232y x mx m x mx x x --+-=-+-.将()2 t ，代入两条切线方程，得 ()()()32211111322t x mx m x mx x --+-=-+-， ()()()32222222322t x mx m x mx x --+-=-+-.由题可得方程()()()322322t x mx m x mx x --+-=-+-即()32264t x m x mx m =-++-有且仅有两个不相等的两个实根.设()()32264h x x m x mx m =-++-，()()()()2'6264232h x x m x m x m x =-++=--.①当6m =时，()()2'620h x x =-≥，∴()h x 单调递增，显然不成立. ②当6m ≠时，()'0h x =，解得2x =或3m x =. ∴()h x 的极值分别为()238h m =-，32123273m h m m m ⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭.要使得关于x 的方程()32264t x m x mx m =-++-有且仅有两个不相等的实根， 则38t m =-或3212273t m m m =-+-. （2）解：()()()312cos 2x f x g x a x x x -=-+--212cos 2x x a x ⎛⎫=-+++ ⎪⎝⎭，设()22cos 2x G x x =+，则()'2sin G x x x =-，记()2sin H x x x =-，则()'12cos H x x =-，当[]0 1x ∈，时，()'0H x <，于是()'G x 在[]0 1，上是减函数， 从而当[]0 1x ∈，时，()()''00G x G ≤=，故()G x 在[]0 1，上是减函数， 于是()()02G x G ≤=，从而()13a G x a ++≤+，所以当30a +≤时，()()0f x g x -≥. 所以，当3a ≤-时，()()f x g x ≥在[]0 1，上恒成立， 因此，a 的取值范围是(] 3-∞-，.22.解：（1）由3y =()()()223143y x y -=--≥，即()()()224313x y y -+-=≥，故曲线C 的一个参数方程为4cos 3sin x y θθ=+⎧⎨=+⎩（θ为参数，且[]0 θπ∈，）. （2）由（1）可知点P 的坐标为()4cos 3sin θθ++，，[]0 θπ∈，，则矩形OAPB 的周长为()24cos 3sin 144C πθθθ⎛⎫=+++=++ ⎪⎝⎭，∵[]0 θπ∈，，∴5 444πππθ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，，∴sin 14πθ⎡⎤⎛⎫+∈⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦，，∴12 C ⎡∈⎣，.23.解：（1）()2223 02 3 057 5x x f x x x x x x ⎧-≤⎪=+-<<⎨⎪+≥⎩，，，，由不等式()0f x <，得2300x x ⎧-<⎨≤⎩或223005x x x ⎧+-<⎨<<⎩或2705x x ⎧+<⎨≥⎩，即0x ≤或01x <<或x ∈∅， 故不等式()0f x <的解集为()1，.（2）由（1）知()22222 3 3 02 3 012 3 157 5x x x x f x x x x x x x x x ⎧-≤⎪-<≤⎪⎪=--+<<⎨⎪+-≤<⎪⎪+≥⎩，，，，，，当()532m f ==时，不等式()f x m ≤的整数解为5-，4-，…，4，5共有11个， 当33m =时，不等式()f x m ≤的整数解为6-，5-，…，4，5共有12个，故[)32 33m ∈，.。
2018学年度高三第三次模拟考试理科数学试题及答案精品
x2
5． 已知实数 x、y 满足约束条件 y 2 ，则 z 2 x 4y 的最大值为 （
）．
xy6
A．24
B
．20
C
．16
D
． 12
6．已知向量 | a | 10,| b | 12 , 且 a b 60 ，则向量 a 与 b 的夹角为（
）
A． 600
B
． 1200
C
．1350
D
．150 0
7．下列命题错误的是（
17. （本小题满分 14 分）
18. （本小题满分 14 分） 1
P
E
D C
O
A
B
19. （本小题满分 14 分）
20. （本小题满分 14 分）
2018-2018 学年度高三第三次模拟考试 ( 理科 ) 数学试题参考答案
一、选择题 : （本大题共 8 小题，每小题 5 分，满分 40 分．） 1．D本题主要考察互为共轭复数的概念及复数的乘法运算．
20．（本小题满分 14 分） 设 { an} 是等差数列， {bn} 是各项都为正数的等比数列， 且 a1 b1 1 ，a3 b5 21 ，
a5 b3 13
（Ⅰ）求 { an} ， { bn} 的通项公式；
（Ⅱ）求数列
an bn
的前 n 项和 Sn ．
2018-2018 学年度高三第三次模拟考试
）
A．命题“若 m 0 ，则方程 x2 x m 0 有实根”的逆否命题为： “若方程
x2 x m 0 无实根，则 m 0 ”。
B．“ x 1 ”是“ x2 3x 2 0 ”的充分不必要条件。
C．命题“若 xy 0 ，则 x, y 中至少有一个为零”的否定是： “若 xy 0，则 x, y 都 不为零”。 D．对于命题 p : x R ，使得 x2 x 1 0 ；则 p 是 : x R ，均有 x2 x 1≥ 0 。
2018届高三数学仿真试题一理
安徽省六安市舒城中学2018届高三数学仿真试题（一）理时间：120分钟分值：150分注意事项：1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.2.答题前，考生务必将自己的姓名、座位号填写在答题卡相应的位置.3.考试结束后，将本试题和答题卡一并交回.第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.复数的实部为（）A．B．C．－D．－2.集合,则（）A. B. C. D.3.设等差数列的前项和为，，，则公差的取值范围是（）A. B. C. D.4.已知“”，且“”，则“”是“”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件5.已知实数满足约束条件，则的最小值为（）A．-1 B. 1 C. -2 D． 36.甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑球。
乙罐中有4个红球，3个白球和3个黑球．先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，再从乙罐中随机取出一球，分别以，和表示由甲罐取出的球是红球，白球和黑球的事件，以B表示由乙罐取出的球是红球的事件．则事件发生的概率=（）A. B. C. D.7.某几何体的三视图如图所示，图中的四边形都是边长为的正方形，两条虚线互相垂直，则该几何体的体积是（ ） A. B. C. D.8.宋元时期数学名著《算学启蒙》中有关于“松竹并生”的问题：松长五尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等. 右图是源于其思想的一个程序框图，若输入的、分别为、，则输出的（ ）A. B. C. D. 9.函数的大致图象是（ ）A ．B ．C ．D ．10. 已知，，点满足，若，则的值为（ ）A.B. C. D.11．已知在直三棱柱ABC −中，△ABC 为等腰直角三角形，AB =AC =4，=a ，过顶点A 、线段的（第7题图） （第8题图中点与的中点的平面与平面相交所得交线与所成角的正切值为，则三棱柱ABC−的外接球的半径为（）A．4 B．3 C．2 D．12．已知，分别是双曲线C：(a>0，b>0)的两个焦点，若在双曲线上存在点P满足，则双曲线C的离心率的取值范围是（）A．(1，] B．(1，2] C．[，+∞) D．[2，+∞)第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）13.已知，，现向集合所在区域内投点，则该点落在集合所在区域内的概率为.14.在数列、中，是与的等差中项，，且对任意的都有，则的通项公式为__________．15.设椭圆C：的右焦点为F，过点F的直线与椭圆C相交于A，B两点，直线的倾斜角为60o,.则椭圆C的离心率是 .16.已知函数==(k∈R)．若存在唯一的整数x，使得，则k的取值范围是.三、解答题：本大题共6小题，第22（或23）小题10分，其余每题均为12分，共70分.解答应写出文字说明、证明过程、计算步骤.17.（本小题满分12分）在中，角的对边分别为，向量，向量，且.（Ⅰ）求角的大小；（Ⅱ）设中点为，且，求的最大值及此时的面积。
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2018届高三仿真考试模拟卷
数学（理科）
第Ⅰ卷
一、选择题：本题共12个小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. 已知集合4{|0}2x A x Z x -=∈≥+，1
{|24}4
x B x =≤≤，则A B =
A ．{|12}x x -≤≤
B ．{1,0,1,2}-
C ．{2,1,0,1,2}--
D ．{0,1,2}
2. 设复数z 满足
121z i i +=-+，则1||z
=
A B ．1
5
C ．
5
D ．
25
3. 若1cos()43π
α+
=，(0,)2
π
α∈，则sin α的值为
A.
46 B ．46+ C.718
D ．3 4. 已知双曲线1C ：22
12x y -=与双曲线2C ：2212
x y -=-，给出下列说法，其中错误的是 A. 它们的焦距相等 B ．它们的焦点在同一个圆上 C. 它们的渐近线方程相同
D ．它们的离心率相等
5. 在如图所示的正方向中随机投掷10000个点，则落入阴影部分（曲线C 为正态分布
(1,1)N -的密度曲线）的点的个数的估计值为（附：若2~(,)X N μσ，则
()0.6827P X μσμσ-<≤+=，(22)0.9545P X μσμσ-<≤+=.
A ．906
B ．1359
C ．2718
D ．3413 6. 某几何体的三视图如图所示，若该几何体的体积为32π+，则它的表面积是
A. 313(
3)2222π+++ B ．3133
()22242π+++ C.
13222π+ D ．13224
π+ 7. 函数sin ln ||y x x =+在区间[3,3]-的图象大致为
A ．
B ．
C ．
D ． 8. 二项式1()(0,0)n
ax a b bx
+
>>的展开式中只有第6项的二项式系数最大，且展开式中的第3项的系数是第4项的系数的3倍，则ab 的值为
A ．4
B ．8 C.12 D ．16
9. 已知函数()sin()f x A x ωϕ=+(0,0,||)A ωϕπ>><的部分图象如图所示，则函数
()cos()g x A x ϕω=+图象的一个对称中心可能为
A ．5(,0)2-
B ．1(,0)6 C.1(,0)2- D ．11(,0)6
-
10. 一直线l 与平行四边形ABCD 中的两边AB ，AD 分别交于E 、F ，且交其对角线
AC 于M ，若2AB AE =，3AD AF =，AM AB AC λμ=-(,)R λμ∈，则5
2
μλ-= A ．12- B ．1 C.3
2
D ．-3
11. 焦点为F 的抛物线C ：2
8y x =的准线与x 轴交于点A ，点M 在抛物线C 上，则当
||
||
MA MF 取得最大值时，直线MA 的方程为 A ．2y x =+或2y x =-- B ．2y x =+ C.22y x =+或22y x =-+ D ．22y x =-+
12. 已知0x 是方程222ln 0x
x e
x +=的实根，则关于实数0x 的判断正确的是
A ．0ln 2x ≥
B ．01
x e
<
C.002ln 0x x +=
D ．002ln 0x
e x +=
第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分，第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22题和第23题为选考题，考生根据要求作答. 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.
13. 如果执行右面的程序框图，输入6,4n m ==，
那么输出的p 等于________．
14. 已知实数x ，y 满足不等式组20,250,20,x y x y y --≤⎧⎪
+-≥⎨⎪-≤⎩
且2z x y =-的最大值为________．
15. 在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，
tan tan 2tan b B b A c B +=-，且8a =，ABC ∆的面
积为43，则b c +的值为 ．
16. 已知球O 是正三棱锥（底面为正三角形，顶点在底面的射影为底面中心）A BCD -的
外接球，3BC =，23AB =，点E 在线段BD 上，且3BD BE =，过点E 作圆O 的截面，则所得截面圆面积的取值范围是 .
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，112
a =，121n n S S -=+*
(2,)n n N ≥∈.
（1）求数列{}n a 的通项公式；
（2）记12
log n n b a =*
()n N ∈求1
1
{
}n n b b +的前n 项和n T .
18. 如图所示，四棱锥A BCDE -，已知平面BCDE ⊥平面ABC ，
BE EC ⊥，6BC =，43AB =,30ABC ∠=︒.
（1）求证：AC BE ⊥；
（2）若二面角B AC E --为45︒，求直线AB 与平面ACE 所成角的正弦值.
19. 2017年春节期间，某服装超市举办了一次有奖促销活动，消费每超过600元（含600
元），均可抽奖一次，抽奖方案有两种，顾客只能选择其中的一种.
方案一：从装有10个形状、大小完全相同的小球（其中红球3个，黑球7个）的抽奖盒中，一次性摸出3个球，其中奖规则为：若摸到3个红球，享受免单优惠；若摸出2个红球则打6折，若摸出1个红球，则打7折；若没摸出红球，则不打折.
方案二：从装有10个形状、大小完全相同的小球（其中红球3个，黑球7个）的抽奖盒中，有放回每次摸取1球，连摸3次，每摸到1次红球，立减200元.
（1）若两个顾客均分别消费了600元，且均选择抽奖方案一，试求两位顾客均享受免单优惠的概率；
（2）若某顾客消费恰好满1000元，试从概率的角度比较该顾客选择哪一种抽奖方案更合算？
20. ABC ∆中，O 是BC 的中点，||BC =，其周长为6+，若点T 在线段AO 上，
且||2||AT TO =.
（1）建立合适的平面直角坐标系，求点T 的轨迹E 的方程；
（2）若M ，N 是射线OC 上不同的两点，||||1OM ON ⋅=，过点M 的直线与E 交于P ，Q ，直线QN 与E 交于另一点R ，证明：MPR ∆是等腰三角形.
21. 设函数2
2
()ln f x a x x ax =-+-()a R ∈.
（1）试讨论函数()f x 的单调性；
（2）设2
()2()ln x x a a x ϕ=+-，记()()()h x f x x ϕ=+，当0a >时，若方程
()()h x m m R =∈有两个不相等的实根1x ，2x ，证明12
'(
)02
x x h +>.
请考生在第22、23题中任选一题作答.并用2B 铅笔将答题卡上所选题目对应的题号右侧方框涂黑，按所涂题号进行评分；多涂、多答，按所涂的首题进行评分；不涂，按本选考题的首题进行评分.
22. 选修4-4：坐标系与参数方程
已知直线l
的参数方程为4,22
x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t
为参数）
，以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为4cos ρθ=，直线l 与圆C 交于A ，B 两点.
（1）求圆C 的直角坐标方程及弦AB 的长；
（2）动点P 在圆C 上（不与A ，B 重合），试求ABP ∆的面积的最大值.
23. 选修4-5：不等式选讲.
已知函数()|21||1|f x x x =-++. （1）计算不等式()3f x ≤的解集；
（2）若函数()y f x =的最小值记为m ，设,a b R ∈，且有2
2
a b m +=，试证明：
22
1418
117
a b +≥++.。