2.2.2上课事件的相互独立性(一)
2.2.2事件的相互独立性
P( ABC ) P ( A) P ( B) P (C )
例3 在一段线路中并联着3个自动控制的常开开关，只
要其中有1个开关能够闭合，线路就能正常工作.假定在 某段时间内每个开关闭合的概率都是0.7,计算在这段时 间内线路正常工作的概率.
解：分别记这段时间内开关 J A、J B、J C 能够闭合为事 件A,B,C. 由题意，这段时间内3个开关是否能够闭合相 互之间没有影响。根据相互独立事件的概率乘法式这 段时间内3个开关都不能闭合的概率是
P(AUB)=1— P(A)P (B)
1 2 2 1 2 3 3
1.射击时, 甲射10次可射中8次;乙射10次可射中7次. 14 则甲,乙同时射中同一目标的概率为_______ 25
2.甲袋中有5球 (3红,2白), 乙袋中有3球 (2红,1白). 3 从每袋中任取1球,则至少取到1个白球的概率是___ 5
高二数学 选修2-3
2.2.2事件的相互独立性
昌乐及第中学 赵美艳
相互独立的概念
设A、 B为两个事件，若
P( A B) P( A) P( B)
则称事件A与事件B相互独立.
即事件A是否发生对事件B发生的概率没有影响， 反之亦然.
相互独立的性质
（1）事件A与事件B相互独立，则 A与B相互独立， A与B相互独立， A与B相互独立. （2）事件A，B，C两两相互独立，则
3.甲,乙二人单独解一道题, 若甲,乙能解对该题的概率 m+n- mn 分别是m, n . 则此题被解对的概率是_______
P(A+B)=P(A· B)+P(A· B) +P(A· B)=1- P(A· B)
4.有一谜语, 甲,乙,丙猜对的概率分别是1/5, 1/3 , 1/4 . 13 则三人中恰有一人猜对该谜语的概率是_____
高中数学选修2-3课件2.2.2《事件的相互独立性》课件
有”. 求“至多” “至少”事件概率时,通常考虑它们的对立事件的
概 3.寻率.找所求事件与已知事件之间的关系.
“所求事件” 分几类 (考虑加法公式, 转化为互斥事件) 还是分几步组成(考虑乘法公式, 转化为互独事件)
事件A为“取出的是白球”.事件B为“取出的是白
球”. ( 放回抽取)
A与B为互独事件
例1 某商场推出二次开奖活动，凡购买一定价值的商
品可以获得一张奖券。奖券上有一个兑奖号码，可以 分别参加两次抽奖方式相同的兑奖活动。如果两次兑 奖活动的中奖概率都是0.05 ,求两次抽奖中以下事件的 概率：
（1）都抽到某一指定号码；
时发生，根据相互独立事件的概率的乘法公式,得到
P(A•B)=P(A) •P(B)=0.6×0.6＝0.36
答：两人都击中目标的概率是0.36
例2 甲、乙二人各进行1次射击比赛，如果2人击
中目标的概率都是0.6，计算： (2) 其中恰有1人击中目标的概率？ 解：“二人各射击1次，恰有1人击中目标”包括两种
我们知道，当事件A的发生对事件B的发生有影 响时，条件概率P(B|A)和概率P(B)一般是不相等的， 但有时事件A的发生，看上去对事件B的发生没有影 响，比如依次抛掷两枚硬币的结果（事件A）对抛掷第二枚
硬币的结果（事件B）没有影响，这时P(B|A)与P(B)相等吗？
下面看一例
在大小均匀的5个鸡蛋中有3个红皮蛋，2个白皮 蛋，每次取一个，有放回地取两次，求在已知第一 次取到红皮蛋的条件下，第二次取到红皮蛋的概率。
分析: 设事件A为“第1次射击中靶”. B为“第2次射击中 靶”. ⑴ “两次又都∵中A靶与”B是是互指斥“事事件件. A发生且事件B发生” 即
下学期高二数学人教A版选修2-3第二章2.2.2事件的相互独立性课件
│学习目标│➯│新课引入│➯│课本预习│➯│预习评价│➯│知识导出│➯│课堂互动│➯│课堂小结│
│课堂互动│
2.2.2 事件的相互独立性
【训练 2】 本着健康、低碳的生活理念，租自行车骑游的人越来越多.某自行车租车 点的收费标准是每车每次租车时间不超过两小时免费，超过两小时的部分每小时收
【迁移2】 (变换所求)例1条件不变，求2人至多有1人射中目标的概率.
解 “2人至多有1人射中目标”包括“有1人射中”和“2人都未射中”两种情况， 故所求概率为 P＝P(A－ B－)＋P(AB－)＋P(A－B) ＝P(A－)·P(B－)＋P(A)·P(B－)＋P(A－)·P(B)＝0.02＋0.08＋0.18＝0.28.
│新课引入│
2.2.2 事件的相互独立性
引例2：分析下面的实验，它们有什么共同特征？所求随机事件的概率是多 少？
(1)将一个质地均匀的骰子投掷3次，出现3次点数6的概率是多少;
(2)某P同( A学1 A投2 A篮3 )3次 C，33每 (次16命)3 中的概率为0.6 ，求命中1次的概率;
P(
A1
P(B | A) n( AB) P( AB) n( A) P( A)
│学习目标│➯│新课引入│➯│课本预习│➯│预习评价│➯│知识导出│➯│课堂互动│➯│课堂小结│
│新课引入│
引例2：分析下面的实验，它们有什么共同特征？
2.2.2 事件的相互独立性
(1)将一个质地均匀的骰子投掷3次，出现3次点数6的概率是多少; (2)某同学投篮3次，每次命中的概率为0.6 ，求命中1次的概率;
(2)“2 人各射击 1 次，恰有 1 人射中目标”包括两种情况：
①甲射中、乙未射中(事件 A B－发生)，
2.2.2事件的相互独立性(一)
精品课件
3.某战士射击中靶的概率为0.99.若连续射击两次. 求: (1) 两次都中靶的概率;(2)至少有一次中靶的概率 (3)至多有一次中靶的概率;(4)目标被击中的概率
分析: 设事件A为“第1次射击中靶”. B为“第2次射击中 靶”. ⑴ “两次都中又靶∵”A与是B是指互“斥事事件件A.发生且事件B发生” 即
30
精品课件
(1-a)(1-b)
5.加工某产品须经两道工序, 这两道工序的次品率分
别
为a, b. 且这两道工序互相独立.产品的合格的概率是
_6_..某系统由A,B,C三个元件组成,
A
B
每个元件正常工作概率为P.
则系统正常工作的概率为P_+P_2-__P3
C
7.在100件产品中有4件次品.
C42
①从中抽2件, 则2件都是次品概率为C_10_02_
高二数学 选修23
2.2.2事件的相互独 立性（一）
精品课件
复习回顾
①什么叫做互斥事件？什么叫做对立事件？
不可能同时发生的两个事件叫做互斥事件；如果两个互斥 事件有一个发生时另一个必不发生，这样的两个互斥事件 叫对立事件.
②两个互斥事件A、B有一个发生的概率公式是什
么？ P(A+B)=P(A)+(B)
P（A1·A2……An）=P（A1）·P（A2）……P（An） 精品课件
试一试 判断事件A, B 是否为互斥, 互独事件?
1.篮球比赛 “罚球二次” . 事件A表示“ 第1球罚中” 事件B表示“第2球罚中”.A与B为互独事件
2.篮球比赛 “1+1罚球” . 事件A表示 “ 第1球罚中” 事件B表示 “第2球罚中”A.与B不是互独事件
高中数学复习选修2-3 2.2.2 事件的相互独立性课件
(女,男)},AB={(男1,女),(女,男)},
由此可知P(AB)≠4P(A)·P(B),故事件A，B不相互独立.
PA 1 ,PB 3 ,PAB 1 ,
2
4
2
(2)家庭中有三个小孩，小孩为男孩、女孩的所有可能情形为{(男,男,男),(男,男,
女),(男,女,男),(女,男,男),(男,女,女),(女,男,女),(女,女,男),(女,女,女)},它有8个基本
事件,
由等可能性知这8个基本事件的概率均为 此时
显然P(AB)=P(A)·P(B),故事件A，B相18 .
互P独B立 . 4 1 ,PAB 3 ,
82
8
PA 6 3,
84
【想一想】1，2两题的解题思路分别是什么？ 提示：(1)第1题在求解中直接利用实际背景求解，其理论依据是“事件相互独 立性的概念”. (2)第2题在求解中利用了“事件相互独立性的充要条件P(AB)=P(A)P(B)”.
3.若事件E与F相互独立，且 【解析】
P，E则 PP(EFF)的值1等于_______.
4
答案：
PEF PEPF 1 1 1 .
4 4 16
1 16
4.某射击运动员射击一次，命中目标的概率为0.9，则他连续射击两次都命中 的概率是______. 【解析】Ai表示“第i次击中目标”，i＝1,2，则P(A1A2)＝P(A1)P(A2)＝ 0.9×0.9＝0.81. 答案：0.81
P(A∪B)=P(A)+P(B)
2.对事件相互独立性的理解 (1)判断事件独立性的依据：公式可以作为判断两个事件是否相互独立的理论 依据,即P(AB)=P(A)P(B)是A，B相互独立的充要条件. (2)事件独立性的推广：若n个事件相互独立,则这n个事件同时发生的概率就 等于每个事件发生的概率的积,即P(A1A2…An)=P(A1)P(A2)…P(An). (3)公式P(AB)=P(A)P(B)的适用前提：在使用概率的乘法公式时,一定要注意 公式成立的条件,即各事件必须相互独立.
人教B版选修(2-3)2.2.2《事件的独立性》word教案
2 . 2. 2事件的相互独立性教学目标：知识与技能：理解两个事件相互独立的概念。
过程与方法：能进行一些与事件独立有关的概率的计算。
情感、态度与价值观：通过对实例的分析，会进行简单的应用。
教学重点：独立事件同时发生的概率.教学难点：有关独立事件发生的概率计算 .授课类型：新授课.课时安排：2课时.教具：多媒体、实物投影仪 +教学过程：一、复习引入：1事件的定义：随机事件：在一定条件下可能发生也可能不发生的事件；必然事件：在一定条件下必然发生的事件；不可能事件：在一定条件下不可能发生的事件•2•随机事件的概率：一般地，在大量重复进行同一试验时，事件A发生的频率m总是接近n某个常数，在它附近摆动，这时就把这个常数叫做事件A的概率，记作P(A).3.概率的确定方法：通过进行大量的重复试验，用这个事件发生的频率近似地作为它的概率；4.概率的性质：必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，随机事件的概率为0_P(A)_1,必然事件和不可能事件看作随机事件的两个极端情形*5.基本事件：一次试验连同其中可能出现的每一个结果(事件A)称为一个基本事件.6.等可能性事件：如果一次试验中可能出现的结果有n个，而且所有结果出现的可能性都1相等，那么每个基本事件的概率都是-，这种事件叫等可能性事件.n7.等可能性事件的概率：如果一次试验中可能出现的结果有n个，而且所有结果都是等可能的，如果事件A包含m个结果，那么事件A的概率p(A) = mn&等可能性事件的概率公式及一般求解方法.9.事件的和的意义：对于事件A和事件B是可以进行加法运算的•10+互斥事件：不可能同时发生的两个事件. P(A • B)二P(A) • P(B)一般地：如果事件A,A2,…,A n中的任何两个都是互斥的，那么就说事件A,A,…，代P(A A A) P(A) P(A) P彼此互斥•11.对立事件：必然有一个发生的互斥事件. P(A A) =1= P(N) =1 -P(A)12.互斥事件的概率的求法：如果事件A，A2,…，人彼此互斥，那么P(A A A) P(A) P(A) P探究：(1)甲、乙两人各掷一枚硬币，都是正面朝上的概率是多少？事件A :甲掷一枚硬币，正面朝上；事件B :乙掷一枚硬币，正面朝上.(2)甲坛子里有3个白球，2个黑球，乙坛子里有2个白球，2个黑球，从这两个坛子里分别摸出1个球，它们都是白球的概率是多少？事件A :从甲坛子里摸出1个球，得到白球；事件B :从乙坛子里摸出1个球，得到白球.问题(1)、(2)中事件A、B是否互斥？(不互斥)可以同时发生吗？(可以)问题(1)、⑵中事件A (或B)是否发生对事件B (或A)发生的概率有无影响？(无影响)，思考：三张奖券中只有一张能中奖，现分别由三名同学有放回地抽取，事件A为“第一名同学没有抽到中奖奖券”，事件B为“最后一名同学抽到中奖奖券”.事件A的发生会影响事件B发生的概率吗？显然，有放回地抽取奖券时，最后一名同学也是从原来的三张奖券中任抽一张，因此第一名同学抽的结果对最后一名同学的抽奖结果没有影响，即事件A的发生不会影响事件 B发生的概率•于是P ( B| A) =P(B),P (AB ) =P( A ) P ( B |A ) =P (A ) P(B).二、讲解新课：1.相互独立事件的定义：设A, B为两个事件，如果 P ( AB ) = P ( A ) P ( B ), 则称事件A与事件B相互独立(mutually in depe ndent ).事件A (或B )是否发生对事件B (或A )发生的概率没有影响，这样的两个事件叫做相互独立事件.若A与B是相互独立事件，则A与B , A与B , A与B也相互独立+2.相互独立事件同时发生的概率：P(A B)二P(A) P(B)问题2中，“从这两个坛子里分别摸出1个球，它们都是白球”是一个事件，它的发生，就是事件A , B同时发生，记作A B .(简称积事件)从甲坛子里摸出1个球，有5种等可能的结果；从乙坛子里摸出1个球，有4种等可能的结果.于是从这两个坛子里分别摸出1个球，共有5 4种等可能的结果+同时摸出白球的结果有3 2种.所以从这两个坛子里分别摸出1个球，它们都是白球的概率3汇2 3P(A Bp5汉4 103另一方面，从甲坛子里摸出1个球，得到白球的概率P(A) ，从乙坛子里摸出152个球，得到白球的概率P(B) .显然P(A B^P(A) P(B).4这就是说，两个相互独立事件同时发生的概率，等于每个事件发生的概率的积+—般地，如果事件A,A,…，A n相互独立，那么这n个事件同时发生的概率，等于每个事件发生的概率的积，即P(A A2 ：A) =P(A) P(A2) P(A n).3•对于事件A与B及它们的和事件与积事件有下面的关系：P(A B)二P(A) P(B) _P(A B) +三、讲解范例：例1.某商场推出二次开奖活动，凡购买一定价值的商品可以获得一张奖券•奖券上有一个兑奖号码，可以分别参加两次抽奖方式相同的兑奖活动. 如果两次兑奖活动的中奖概率都是0.05 ,求两次抽奖中以下事件的概率：(1)都抽到某一指定号码；(2)恰有一次抽到某一指定号码；(3)至少有一次抽到某一指定号码.解：(1)记“第一次抽奖抽到某一指定号码”为事件 A, “第二次抽奖抽到某一指定号码”为事件 B，则“两次抽奖都抽到某一指定号码”就是事件AB •由于两次抽奖结果互不影响，因此 A与B相互独立•于是由独立性可得，两次抽奖都抽到某一指定号码的概率P ( AB ) = P ( A ) P ( B ) = 0. 0 5X 0.05 = 0.0025.(2 ) “两次抽奖恰有一次抽到某一指定号码”可以用( A B ) U ( AB)表示•由于事件A B与A B 互斥，根据概率加法公式和相互独立事件的定义，所求的概率为P (A B )十 P ( A B) =P (A) P ( B ) + P ( A ) P ( B )=0. 05 X (1-0.05 ) + (1-0.05 ) X 0.05 = 0. 095.(3 ) “两次抽奖至少有一次抽到某一指定号码”可以用( AB ) U ( A B ) U ( A B)表示.由于事件 AB , A B和A B两两互斥，根据概率加法公式和相互独立事件的定义，所求的概率为P ( AB ) + P (A B ) + P ( AB ) = 0.0025 +0. 095 = 0. 097 5.例2.甲、乙二射击运动员分别对一目标射击1次，甲射中的概率为0.8，乙射中的概率为0.9，求：(1)2人都射中目标的概率；(2)2人中恰有1人射中目标的概率；(3)2人至少有1人射中目标的概率；(4)2人至多有1人射中目标的概率？解：记“甲射击1次，击中目标”为事件A , “乙射击1次，击中目标”为事件B，则A与B , A与B , A与B , A与B为相互独立事件，(1)2人都射中的概率为：P(A B) =P(A) P(B) =0.8 0.9=0.72 ,••• 2人都射中目标的概率是0.72 •(2)“ 2人各射击1次，恰有1人射中目标”包括两种情况：一种是甲击中、乙未击中(事件A B发生)，另一种是甲未击中、乙击中(事件A B发生)+根据题意，事件A B与A B互斥，根据互斥事件的概率加法公式和相互独立事件的概率乘法公式，所求的概率为：P(A B) P(A B)二P(A) P(B) P(A) P(B)-0.8 (1—0.9) (1—0.8) 0.9 =0.08 0.18 =0.26• 2人中恰有1人射中目标的概率是0.26 •其概率为 P = P(A B) [P(A B) P(A B)]二 0.72 0.26 二 0.98 .(法2): “ 2人至少有一个击中”与“ 2人都未击中”为对立事件， 2 个都未击中目标的概率是P C A B)=P(A) P(B)=(1—0.8)(1 — 0.9)= 0.02 ,••• “两人至少有1人击中目标”的概率为 P = 1 - P(A B) = 1 - 0.02二0.98.(4) (法1):“至多有1人击中目标”包括“有 1人击中”和“ 2人都未击中”， 故所求概率为：p =p(A B) P(A B) P(A B)= P(A) P(B) P(A) P(B) P(A) P(B)= 0.02 0.08 0.18 =0.28 .(法2): “至多有1人击中目标”的对立事件是“ 2人都击中目标”， 故所求概率为 P =1 -P(A B) =1 -P(A) P(B) =1-0.72 =0.28. 例3.在一段线路中并联着3个自动控制的常开开关，J A只要其中有1个开关能够闭合，线路就能正常工作 •假定在某段时间内每个开关能够闭合的概率都是 0.7，计算在这段时间内线路正常工作的概率 .解：分别记这段时间内开关 J A , J B , J C 能够闭合为事件 A , B , C .由题意，这段时间内 3个开关是否能够闭合相互之间没有影响.根据相互独立事件的概 率乘法公式，这段时间内 3个开关都不能闭合的概率是P(A B C)=p(A)P(B)卩(C)=1 — P(A) 11 -P(B) 11 —P(C)丨-(1 一0.7)(1 —0.7)(1 —0.7) =0.027•这段时间内至少有 1个开关能够闭合，，从而使线路能正常工作的概率是1 -P(A B C) =^0.02^0.973.答：在这段时间内线路正常工作的概率是 0.973 .变式题1：如图添加第四个开关J D 与其它三个开关串联，在某段时间内此开关能够闭合的概率也是0.7，计算在这段时间内线路正常工作的概率+(1 -P(A B C) P(D) =0.973 0.7 =0.6811 )变式题2:如图两个开关串联再与第三个开关并联，在某段时间内每个开关能够闭合的 概率都是0.7，计算在这段时间内线路正常工作的概率・方法一：P(A B C) P(A B C) P(A B C) P(A B C) P(A B C)J B /.J二P(A) P(B) P(C) P(A) P(B) P(C) P(A) P(B) P(C)P(A) P(B) P(C) P(A) P(B) P(C)= 0.847 J A J B方法二：分析要使这段时间内线路正常工作只要排除J CJ C . 开且J A与J B至少有1个开的情况* ---- --------1 -P(C) 1 - P(A B) I -1 — 0.3 (1 一0.72) =0.847例4.已知某种高炮在它控制的区域内击中敌机的概率为 0.2 .(1)假定有5门这种高炮控制某个区域，求敌机进入这个区域后未被击中的概率；(2)要使敌机一旦进入这个区域后有 0.9以上的概率被击中，需至少布置几门高炮？分析：因为敌机被击中的就是至少有 1门高炮击中敌机，故敌机被击中的概率即为至少有1门高炮击中敌机的概率・解：(1)设敌机被第k门高炮击中的事件为A K(k=1,2,3,4,5)，那么5门高炮都未击中敌机的事件为A A2A J A I A .•••事件A , A , A , A , A相互独立，• ••敌机未被击中的概率为5)=P(A)P(A2) P(A3) P(A4) P(A5)=(1-0.2)5 = (4)5.p(A A2 A A A5、, 4 5•••敌机未被击中的概率为(一).5(2)至少需要布置n门高炮才能有0.9以上的概率被击中，仿(1)可得4敌机被击中的概率为1- (-)n5•••令1 -(4)n _0.9 ,• (4)n -5 5 101两边取常用对数，得n ——'—10.3*1 -3lg 2••• n N ,• n =11 一•至少需要布置11门高炮才能有0.9以上的概率击中敌机•点评：上面例1和例2的解法，都是解应用题的逆向思考方法•采用这种方法在解决带有词语“至多”、“至少”的问题时的运用，常常能使问题的解答变得简便四、课堂练习:1 •在一段时间内，甲去某地的概率是 间没有影响，那么在这段时间内至少有(A) —(B)-20 52. 从甲口袋内摸出1个白球的概率是5袋内各摸出1个球，那么5等于(6(A)2个球都是白球的概率(C) 2个球不都是白球的概率3.电灯泡使用时间在 1000小时以上概率为0.2，则3个灯泡在使用1000小时后坏了 1个 的概率是( )(A) 0.128(B) 0.096 (C)0.104 (D) 0.3844.某道路的 A 、B 、C 三处设有交通灯，这三盏灯在一分钟内开放绿灯的时间分别为 25秒、35秒、45秒，某辆车在这条路上行驶时，三处都不停车的概率是()(A)亜(B)至(C)亜(D)色192 192 576 1925. (1)将一个硬币连掷 5次，5次都出现正面的概率是 ___________ ; (2)甲、乙两个气象台同时作天气预报，如果它们预报准确的概率分别是 0.8与0.7，那么在一次预报中两个气象台都预报准确的概率是 _________ . 6. 棉籽的发芽率为 0.9，发育为壮苗的概率为0.6 ,(1) ________________________________ 每穴播两粒，此穴缺苗的概率为 ;此穴无壮苗的概率为 ___________________________________ .(2) _________________________________ 每穴播三粒，此穴有苗的概率为 ;此穴有壮苗的概率为 ____________________________________ . 7.一个工人负责看管 4台机床，如果在1小时内这些机床不需要人去照顾的概率第 1台是0.79，第2台是0.79，第3台是0.80，第4台是0.81，且各台机床是否需要照顾相互之间 没有影响，计算在这个小时内这4台机床都不需要人去照顾的概率.&制造一种零件，甲机床的废品率是0.04，乙机床的废品率是0.05 .从它们制造的产品中1，乙去此地的概率是-，假定两人的行动相互之451人去此地的概率是 ()(C) 2 (D) 9 5201 丄，从乙口袋内摸出 11个白球的概率是 ，从两个口 3 )2(B)2个球都不是白球的概率(D)2个球中恰好有1个是白球的概率各任抽1件，其中恰有1件废品的概率是多少？ 9.甲袋中有8个白球，4个红球；乙袋中有 6个白球，6个红球，从每袋中任取一个球，问取得的球是同色的概率是多少？的，而相互独立事件是以它们能够同时发生为前提的，相互独立事件同时发生的概率等于每个事件发生的概率的积，这一点与互斥事件的概率和也是不同的.六、课后作业：七、板书设计（略）.八、教学反思：1.理解两个事件相互独立的概念。
课件5：2.2.2 事件的相互独立性
(2)事件A与B是否具备独立性，一般都由题设条件给出．但实际 问题的场合里往往要根据实际问题的性质来判定两个事件或一组事件 是否相互独立．通常，诸如射击问题，若干电子元件或机器是否正常 工作，有放回地抽样等场合下对应的事件(组)认为是相互独立的．
自我检测
1．若 A 与 B 是相互独立事件，则下面不是相互独立事件 的是( )
于是 P(A)＝12，P(B)＝34，P(AB)＝12. 由此可知 P(AB)≠P(A)P(B)，所以事件 A，B 不相互独立．
(2)有三个小孩的家庭，小孩为男孩、女孩的所有可能情形 为 Ω＝{(男，男，男)，(男，男，女)，(男，女，男)，(女，男， 男)，(男，女，女)，(女，男，女)，(女，女，男)，(女，女， 女)}，
(3)恰有一人译出密码分为两类：甲译出乙译不出；乙译出 甲译不出，即 A B ＋ A B，
∴P(A B ＋ A B)＝P(A B )＋P( A B)＝P(A)P( B )＋P( A )P(B) ＝13×1－14＋1－13×14＝152.
(4)至多一人译出密码的对立事件是两人都译出密码， ∴1－P(AB)＝1－112＝1112.
(5)记事件 A5＝“事件 A，B，C 恰有一个发生”，则有三种 情况：
第一种，事件 A 发生，事件 B，C 不发生，即 A·B ·C ； 第二种，事件 B 发生，事件 A，C 不发生，即 A ·B·C ； 第三种，事件 C 发生，事件 A，B 不发生，即 A ·B ·C； 而这三种情况不可能同时发生，即 A·B ·C ， A ·B·C ， A ·B ·C 彼此互斥，所以 P(A5)＝P(A·B ·C )＋P( A ·B·C )＋ P( A ·B ·C)＝14＋18＋112＝2114.
2．判别两个事件是否为相互独立事件也可以从定性的角度进行 分析，也就是看一个事件的发生对另一个事件的发生是否有影响．没 有影响就是相互独立事件；有影响就不是相互独立事件．
2.2.2 二项分布-事件的相互独立性
C
C 42 8.在100件产品中有4件次品. C 41· C 31 2 C100 ①从中抽2件, 则2件都是次品概率为___ C1001· C991 ②从中抽两次,每次1件则两次都抽出次品的概率是___ (不放回抽取)
③从中抽两次,每次1件则两次都抽出次品的概率是___
(放回抽取) C 4 1· C 41 C1001· C1001
事件B“最后一名同学抽到中奖奖券”，则分别计算P(B)
与P(B|A)
n( B) 3 31 1 P ( B) n( ) 3 3 3 3 n( AB) 2 3 1 1 P ( B A) n( A) 233 3
P ( AB) P ( AB) P B AP ( A) P( (AB B A) ) P P ( A ) P ( B A ) P ( A ) P ( B ) P ( A)
解法2：两人都未击中的概率是 P( A B) P( A) P( B) (1 0.6) (1 0.6) 0.16,
因此，至少有一人击中 目标的概率 P 1 P( A B) 1 0.16 0.84 答： 甲、乙二人各进行1次射击比赛，如果2人
解：记“开关J1闭合”为事件A,“开关J2闭合” 为事件B,“开关J3闭合”为事件C.
P 1 P( ABC ) 1 0.3 0.3 0.3 0.973
解题步骤：
1.用恰当的字母标记事件,如“XX”记为A, “YY”记为B. 2.理清题意, 判断各事件之间的关系(等可能;互斥; 互独; 对立). 关键词 如“至多” “至少” “同时” “恰
击中目标的概率都是0.6，计算： (4)至多有一次中靶的概率 解：两人都未击中的概率是 P( A B) P( A) P( B) (1 0.6) (1 0.6) 0.16,
高中数学人教A版选修(2-3)2.2.2《事件的相互独立性》word教案
§2．2．2事件的相互独立性教学目标：知识与技能：理解两个事件相互独立的概念。
过程与方法：能进行一些与事件独立有关的概率的计算。
情感、态度与价值观：通过对实例的分析，会进行简单的应用。
教学重点：独立事件同时发生的概率教学难点：有关独立事件发生的概率计算授课类型：新授课 课时安排：2课时教学过程：一、复习引入： 1 事件的定义：随机事件：在一定条件下可能发生也可能不发生的事件；必然事件：在一定条件下必然发生的事件；2．随机事件的概率：一般地，在大量重复进行同一试验时，事件A 发生的频率m n总是接近某个常数，在它附近摆动，这时就把这个常数叫做事件A 的概率，记作()P A ． 3.概率的确定方法：通过进行大量的重复试验，用这个事件发生的频率近似地作为它的概率；4．概率的性质：必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，随机事件的概率为0()1P A ≤≤，必然事件和不可能事件看作随机事件的两个极端情形 5基本事件：一次试验连同其中可能出现的每一个结果（事件A6．等可能性事件：如果一次试验中可能出现的结果有n 个，而且所有结果出现的可能性都相等，那么每个基本事件的概率都是1n ，这种事件叫等可能性事件 7．等可能性事件的概率：如果一次试验中可能出现的结果有n 个，而且所有结果都是等可能的，如果事件A 包含m 个结果，那么事件A 的概率()P A n = 8．等可能性事件的概率公式及一般求解方法9.事件的和的意义:对于事件A 和事件B 是可以进行加法运算的10 互斥事件:不可能同时发生的两个事件．()()()P A B P A P B +=+一般地：如果事件12,,,n A A A 中的任何两个都是互斥的，那么就说事件12,,,n A A A 彼此互斥 11．对立事件:必然有一个发生的互斥事件．()1()1()P A A P A P A +=⇒=-12．互斥事件的概率的求法:如果事件12,,,n A A A 彼此互斥，那么12()n P A A A +++ ＝12()()()n P A P A P A +++探究:(1)甲、乙两人各掷一枚硬币，都是正面朝上的概率是多少？ 事件A ：甲掷一枚硬币，正面朝上；事件B ：乙掷一枚硬币，正面朝上(2)甲坛子里有3个白球，2个黑球，乙坛子里有2个白球，2个黑球，从这两个坛子里分别摸出1个球，它们都是白球的概率是多少？事件A ：从甲坛子里摸出1个球，得到白球；事件B ：从乙坛子里摸出1个球，得到白球 问题(1)、(2)中事件A 、B 是否互斥？（不互斥）可以同时发生吗？（可以）问题(1)、(2)中事件A （或B ）是否发生对事件B （或A ）发生的概率有无影响？（无影响）思考:三张奖券中只有一张能中奖,现分别由三名同学有放回地抽取,事件A 为“第一名同学没有抽到中奖奖券”, 事件B 为“最后一名同学抽到中奖奖券”. 事件A 的发生会影响事件B 发生的概率吗?显然，有放回地抽取奖券时，最后一名同学也是从原来的三张奖券中任抽一张，因此第一名同学抽的结果对最后一名同学的抽奖结果没有影响，即事件A 的发生不会影响事件B 发生的概率．于是P （B| A ）=P(B ）,P （AB ）=P( A ) P ( B |A ）=P （A ）P(B).二、讲解新课：1．相互独立事件的定义：设A, B 为两个事件，如果 P ( AB ) = P ( A ) P ( B ) , 则称事件A 与事件B 相互独立（mutually independent ) .事件A （或B ）是否发生对事件B （或A ）发生的概率没有影响，这样的两个事件叫做相互独立事件若A 与B 是相互独立事件，则A 与B ，A 与B ，A 与B 也相互独立2．相互独立事件同时发生的概率：()()()P A B P A P B ⋅=⋅问题2中，“从这两个坛子里分别摸出1个球，它们都是白球”是一个事件，它的发生，就是事件A ，B 同时发生，记作A B ⋅．（简称积事件）从甲坛子里摸出1个球，有5种等可能的结果；从乙坛子里摸出1个球，有4种等可能的结果于是从这两个坛子里分别摸出1个球，共有54⨯同时摸出白球的结果有32⨯种所以从这两个坛子里分别摸出1个球，它们都是白球的概率323()5410P A B ⨯⋅==⨯． 另一方面，从甲坛子里摸出1个球，得到白球的概率3()5P A =，从乙坛子里摸出1个球，得到白球的概率2()4P B =．显然()()()P A B P A P B ⋅=⋅． 这就是说，两个相互独立事件同时发生的概率，等于每个事件发生的概率的积事件12,,,n A A A 相互独立，那么这n 个事件同时发生的概率，等于每个事件发生的概率的积， 即 1212()()()()n n P A A A P A P A P A ⋅⋅⋅=⋅⋅⋅ ．3．对于事件A 与B 及它们的和事件与积事件有下面的关系： ()()()(B A P B P A P B A P ⋅-+=+三、讲解范例：例 1.某商场推出二次开奖活动，凡购买一定价值的商品可以获得一张奖券．奖券上有一个兑奖号码，可以分别参加两次抽奖方式相同的兑奖活动．如果两次兑奖活动的中奖概率都是 0 . 05 ，求两次抽奖中以下事件的概率：(1)都抽到某一指定号码；(2)恰有一次抽到某一指定号码；(3)至少有一次抽到某一指定号码．解： (1)记“第一次抽奖抽到某一指定号码”为事件A, “第二次抽奖抽到某一指定号码”为事件B ，则“两次抽奖都抽到某一指定号码”就是事件AB ．由于两次抽奖结果互不影响，因此A 与B 相互独立．于是由独立性可得，两次抽奖都抽到某一指定号码的概率P ( AB ) = P ( A ) P ( B ) = 0. 05×0.05 = 0.0025.(2 ) “两次抽奖恰有一次抽到某一指定号码”可以用（A B ）U （A B ）表示．由于事件A B 与A B 互斥，根据概率加法公式和相互独立事件的定义，所求的概率为 P (A B ）十P （A B ）=P （A ）P （B ）+ P （A ）P （B )= 0. 05×(1-0.05 ) + (1-0.05 ) ×0.05 = 0. 095.( 3 ) “两次抽奖至少有一次抽到某一指定号码”可以用（AB ) U ( A B ）U （A B ）表示．由于事件 AB , A B 和A B 两两互斥，根据概率加法公式和相互独立事件的定义，所求的概率为 P ( AB ) + P （A B ）+ P （A B ) = 0.0025 +0. 095 = 0. 097 5.例2.甲、乙二射击运动员分别对一目标射击1次，甲射中的概率为0.8，乙射中的概率为0.9，求：（1）2人都射中目标的概率；（2）2人中恰有1人射中目标的概率； （3）2人至少有1人射中目标的概率；（4）2人至多有1人射中目标的概率？解：记“甲射击1次，击中目标”为事件A ，“乙射击1次，击中目标”为事件B ，则A 与B ，A 与B ，A 与B ，A 与B 为相互独立事件，（1）2人都射中的概率为： ()()()0.80.90.72P A B P A P B ⋅=⋅=⨯=，∴2人都射中目标的概率是0.72． （2）“2人各射击1次，恰有1人射中目标”包括两种情况：一种是甲击中、乙未击中（事件A B ⋅发生），另一种是甲未击中、乙击中（事件A B ⋅发生）根据题意，事件A B ⋅与A B ⋅互斥，根据互斥事件的概率加法公式和相互独立事件的概率乘法公式，所求的概率为：()()()()()()P A B P A B P A P B P A P B ⋅+⋅=⋅+⋅0.8(10.9)(10.8)0.90.080.180.26=⨯-+-⨯=+=∴2人中恰有1人射中目标的概率是0.26．（3）（法1）：2人至少有1人射中包括“2人都中”和“2人有1人不中”2种情况，其概率为()[()()]0.720.260.98P P A B P A B P A B =⋅+⋅+⋅=+=．（法2）：“2人至少有一个击中”与“2人都未击中”为对立事件，2个都未击中目标的概率是()()()(10.8)(10.9)0.02P A B P A P B ⋅=⋅=--=， ∴“两人至少有1人击中目标”的概率为1()10.020.98P P A B =-⋅=-=．（4）（法1）：“至多有1人击中目标”包括“有1人击中”和“2人都未击中”，故所求概率为：()()()P P A B P A B P A B =⋅+⋅+⋅()()()()()()P A P B P A P B P A P B =⋅+⋅+⋅0.020.080.180.28=++=． （法2）：“至多有1人击中目标”的对立事件是“2人都击中目标”，故所求概率为1()1()()10.72P P A B P A P B =-⋅=-⋅=-=例 3.在一段线路中并联着3个自动控制的常开开关，只要其中有1个开关能够闭合，线路就能正常工作假定在某段时间内每个开关能够闭合的概率都是0.7，计算在这段时间内线路正常工作的概率解：分别记这段时间内开关A J ，B J ，C J 能够闭合为事件A ，B ，C ．由题意，这段时间内3个开关是否能够闭合相互之间没有影响公式，这段时间内3个开关都不能闭合的概率是()()()()P A B C P A P B P C ⋅⋅=⋅⋅ [][][]1()1()1()P A P B P C =--- (10.7)(10.7)(10.7)0.027=---=∴这段时间内至少有1个开关能够闭合，，从而使线路能正常工作的概率是1()10.0270.973P A B C -⋅⋅=-=．答：在这段时间内线路正常工作的概率是0.973．变式题1：如图添加第四个开关D J 与其它三个开关串联，在某段时间内此开关能够闭合的概率也是0.7，计算在这段时间内线路正常工作的概率 （1()()0.9730.70.6811P A B C P D ⎡⎤-⋅⋅⋅=⨯=⎣⎦）变式题2：如图两个开关串联再与第三个开关并联，在某段时间内每个开关能够闭合的概率都是0.7，计算在这段时间内线路正常工作的概率方法一：()()()()()P A B C P A B C P A B C P A B C P A B C ⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅()()()()()()()()()()()()()()()P A P B P C P A P B P C P A P B P C P A P B P C P A P B P C =⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅ 0.847=方法二：分析要使这段时间内线路正常工作只要排除C J 开且A J 与B J 至少有1个开的情况 []21()1()10.3(10.7)0.847P C P A B --⋅=-⨯-= 例 4.已知某种高炮在它控制的区域内击中敌机的概率为0.2．（1）假定有5门这种高炮控制某个区域，求敌机进入这个区域后未被击中的概率； （2）要使敌机一旦进入这个区域后有0.9以上的概率被击中，需至少布置几门高炮？分析:因为敌机被击中的就是至少有1门高炮击中敌机，故敌机被击中的概率即为至少有1门高炮击中敌机的概率解:（1）设敌机被第k 门高炮击中的事件为K A (k=1,2,3,4,5)，那么5门高炮都未击中敌机的事件为12345A A A A A ⋅⋅⋅⋅．∵事件1A ，2A ，3A ，4A ，5A 相互独立，∴敌机未被击中的概率为12345()P A A A A A ⋅⋅⋅⋅=12345()()()()()P A P A P A P A P A ⋅⋅⋅⋅5(10.2)=-=)54( ∴敌机未被击中的概率为5)54(． （2）至少需要布置n 门高炮才能有0.9以上的概率被击中，仿（1）可得：敌机被击中的概率为1-n )54(∴令41()0.95n -≥，∴41()510n ≤两边取常用对数，得113lg 2n ≥≈- ∵+∈N n ，∴n =∴至少需要布置11门高炮才能有0.9以上的概率击中敌机点评：上面例1和例2的解法，都是解应用题的逆向思考方法“至多”、“至少”的问题时的运用，常常能使问题的解答变得简便四、课堂练习：1．在一段时间内，甲去某地的概率是14，乙去此地的概率是15，假定两人的行动相互之间没有影响，那么在这段时间内至少有1人去此地的概率是( ) ()A 320 ()B 15 ()C 25 ()D 9202．从甲口袋内摸出1个白球的概率是13，从乙口袋内摸出1个白球的概率是12，从两个口袋内各摸出1个球，那么56等于（ ） ()A 2个球都是白球的概率 ()B 2个球都不是白球的概率()C 2个球不都是白球的概率 ()D 2个球中恰好有1个是白球的概率 3．电灯泡使用时间在1000小时以上概率为0.2，则3个灯泡在使用1000小时后坏了1个的概率是（ ）()A 0.128 ()B 0.096 ()C 0.104 ()D 0.3844．某道路的A 、B 、C 三处设有交通灯，这三盏灯在一分钟内开放绿灯的时间分别为25秒、35秒、45秒，某辆车在这条路上行驶时，三处都不停车的概率是 （ ） ()A 35192 ()B 25192 ()C 35576 ()D 65192 5．（1）将一个硬币连掷5次，5次都出现正面的概率是 ；（2）甲、乙两个气象台同时作天气预报，如果它们预报准确的概率分别是0.8与0.7，那么在一次预报中两个气象台都预报准确的概率是 ．6．棉籽的发芽率为0.9，发育为壮苗的概率为0.6，（1）每穴播两粒，此穴缺苗的概率为 ；此穴无壮苗的概率为 ．（2）每穴播三粒，此穴有苗的概率为 ；此穴有壮苗的概率为 ．7．一个工人负责看管4台机床，如果在1小时内这些机床不需要人去照顾的概率第1台是0.79，第2台是0.79，第3台是0.80，第4台是0.81，且各台机床是否需要照顾相互之间没有影响，计算在这个小时内这4台机床都不需要人去照顾的概率.8．制造一种零件，甲机床的废品率是0.04，乙机床的废品率是0.05．从它们制造的产品中各任抽1件，其中恰有1件废品的概率是多少？9．甲袋中有8个白球，4个红球；乙袋中有6个白球，6个红球，从每袋中任取一个球，问取得的球是同色的概率是多少？答案：1. C 2. C 3. B 4. A 5.(1)132(2) 0.56 6.(1) 0.01 , 0.16 (2) 0.999,0.9367. P=220.790.810.404⨯≈8. P=0.040.950.960.050.086⨯+⨯≈9. 提示：86461121212122 P=⋅+⋅=五、小结：两个事件相互独立，是指它们其中一个事件的发生与否对另一个事件发生的概率没有影响一般地，两个事件不可能即互斥又相互独立，因为互斥事件是不可能同时发生的，而相互独立事件是以它们能够同时发生为前提的相互独立事件同时发生的概率等于每个事件发生的概率的积,这一点与互斥事件的概率和也是不同的六、课后作业：课本58页练习1、2、3 第60页习题 2. 2A组4. B组1七、板书设计（略）八、教学反思：1. 理解两个事件相互独立的概念。
2.2.2事件的相互独立性
辨一辨
设P( A) 0.4, P( A B) 0.7, 则 (1)当A, B互斥时, 求P( B)的值. (2)当A, B互为相互独立事件时, 求P( B)的值.
(2)A不发生且B不发生且C不发生
P( A B C )
练一练:已知A、B、C相互独立，试用数学 符号语言表示下列关系 ① A、B、C同时发生概率； ② A、B、C都不发生的概率； ③ A、B、C中恰有一个发生的概率； ④ A、B、C中恰有两个发生的概率； ⑤A、B 、C中至少有一个发生的概率；
例3：甲,乙,丙三人分别独立解一道题,甲做对 的概率是1/2,三人都做对的概率是1/24,三人全 做错的概率是1/4.
(1)分别求乙,丙两人各自做对这道题的概率； (2)求甲,乙,丙三人中恰有一人做对这道题的概 率.
练习：一个元件能正常工作的概率r称为该元件的可靠性。由 多个元件组成的系统能正常工作的概率称为系统的可靠性。今 设所用元件的可靠性都为r(0<r<1)，且各元件能否正常工作 是互相独立的。试求各系统的可靠性。
B表示事件“最后一名同学中奖”.
(2)事件A的发生不会影响事件B发生的概率。 P( B | A) P( B) ∵ P( AB) P( A) P( B | A)
P( AB) P( A) P( B)
设A，B为两个事件，如果 P( AB) P( A) P( B)
则称事件A与事件B相互独立。
(1)
1 (3) 1
1
2
(2)
1 2
P1=r2
2
(4)
P2=1－(1－r)2
1 1 2 2
2
P3=1－(1－r2)2
P4=[1－(1－r)2]2
例4盒中有大小相同的球10个，其中标号为1的球有
【课件】选修2-3 《2.2.2 事件的相互独立性》 课件
探究：
问题探究
3张奖券中只有1张能中奖，现分别由
3名同学有放回地抽取，事件A为“第一
名同学没有抽到奖券”，事件B为“最后
一名同学抽到奖券”，事件A的发生会影
响事件B发生的概率吗？
P(AB) P(A)P(B)
概念解析
设A，B为两个事件，如果 P(AB) P(A)P(B)
变式1：两次都没有抽到指定号码的概率是多少？
思考：二次开奖至少中一次奖的概率是一次开奖中奖 概率的两倍吗？
例3.甲、乙二射击运动员分别对一目标射击次，甲射 中的概率为0.8，乙射中的概率为0.9，求： （1）两人都射中目标的概率； （2）两人中恰有1人射中目标的概率； （3）两人至少有1人射中目标的概率； （4）两人至多有1人射中目标的概率？
则称事件A与事件B相互独立。
注意: (1)在事件与相互独立的定义中，A与B的地位是对称的；
（2）如果事件A与B相互独立，那么A 与 B ，A 与B， A 与 B 也都相互独立．
概念辨析
想一想 判断下列各对事件的关系
（1）运动员甲射击一次，射中9环与射中8环；
互斥
（2）甲乙两运动员各射击一次，甲射中9环与
乙射中8环；
相互独立
(3) 已知P( A) 0.6, P(B) 0.6, P( AB) 0.24
则事件A与B
相互独立
（4）在一次地理会考中，“甲的成绩合格”
与“乙的成绩优秀” 相互独立
总结升华
1、判定相互独立事件的方法：
（1）由定义，若 P(AB) P(A)P(B)，则A，B独立； （ 2）根据实际情况直接判定其独立性.
例2、某商场推出二次开奖活动，凡购买一定价值的商 品可以获得一张奖券．奖券上有一个兑奖号码，可以分 别参加两次抽奖方式相同的兑奖活动．如果两次兑奖活 动的中奖概率都是0.05，求两次抽奖中以下事件的概率：
031第2章 2.2 2.2.2 事件的相互独立性
2.2.2事件的相互独立性1.在具体情境中，了解两个事件相互独立的概念．(难点)2.能利用相互独立事件同时发生的概率公式解决一些简单的实际问题．(重点)3.综合运用互斥事件的概率加法公式及独立事件的乘法公式解决一些问题．(重点、难点)一、课前准备（预习教材P54~ P35，找出疑惑之处）二、新课导学※学习探究1．相互独立事件的定义和性质(1)定义：设A，B为两个事件，如果P(AB)＝__________，那么称事件A与事件B相互独立．(2)性质：①如果A与B相互独立，那么A与B，A与B，A与B也都相互独立．②如果A与B相互独立，那么P(B|A)＝________，P(A|B)＝_________思考：互斥事件与相互独立事件的区别是什么？[提示]2．n对于n个事件A1，A2，…，A n，如果其中任一个事件发生的概率不受其他事件是否发生的影响，则称n 个事件A1，A2，…，A n相互独立．3．独立事件的概率公式(1)若事件A，B相互独立，则P(AB)＝P(A)P(B)；(2)若事件A1，A2，…，A n相互独立，则P(A1A2…A n)＝P(A1)×P(A2)×…×P(A n)．※典型例题类型一：相互独立事件的判断【例1】判断下列各对事件是否是相互独立事件．(1)甲组3名男生，2名女生；乙组2名男生，3名女生，现从甲、乙两组中各选1名同学参加演讲比赛，“从甲组中选出1名男生”与“从乙组中选出1名女生”；(2)容器内盛有5个白乒乓球和3个黄乒乓球，“从8个球中任意取出1个，取出的是白球”与“从剩下的7个球中任意取出1个，取出的还是白球”；(3)掷一颗骰子一次，“出现偶数点”与“出现3点或6点”．变式1．(1)下列事件中，A ，B 是相互独立事件的是( ) A ．一枚硬币掷两次，A ＝“第一次为正面”，B ＝“第二次为反面”B ．袋中有2白，2黑的小球，不放回地摸两球，A ＝“第一次摸到白球”，B ＝“第二次摸到白球”C ．掷一枚骰子，A ＝“出现点数为奇数”，B ＝“出现点数为偶数”D ．A ＝“人能活到20岁”，B ＝“人能活到50岁”(2)甲、乙两名射手同时向一目标射击，设事件A ：“甲击中目标”，事件B ：“乙击中目标”，则事件A 与事件B ( )A ．相互独立但不互斥B ．互斥但不相互独立C ．相互独立且互斥D ．既不相互独立也不互斥 类型二：相互独立事件同时发生的概率【例2】 甲、乙两人破译一密码，他们能破译的概率分别为13和14.求：(1)两人都能破译的概率；(2)两人都不能破译的概率；(3)恰有一人能破译的概率； (4)至多有一人能够破译的概率．变式2．某田径队有三名短跑运动员，根据平时训练情况统计甲、乙、丙三人100米跑(互不影响)的成绩在13 s 内(称为合格)的概率分别为25，34，13，若对这三名短跑运动员的100米跑的成绩进行一次检测，求：(1)三人都合格的概率；(2)三人都不合格的概率；(3)出现几人合格的概率最大．类型三：事件的相互独立性与互斥性[探究问题]1．甲、乙二人各进行一次射击比赛，记A ＝“甲击中目标”，B ＝“乙击中目标”，试问事件A 与B 是相互独立事件，还是互斥事件？事件A B 与A B 呢？2．在探究1中，若甲、乙二人击中目标的概率均是0.6，如何求甲、乙二人恰有一人击中目标的概率？【例3】 在一段线路中并联着3个自动控制的常开开关，只要其中有1个开关能够闭合，线路就能正常工作．假定在某段时间内每个开关闭合的概率都是0.7，计算在这段时间内线路正常工作的概率．变式3．设事件A 与B 相互独立，两个事件中只有A 发生的概率和只有B 发生的概率都是14，求事件A 和事件B 同时发生的概率．三、总结提升 ※ 学习小结与相互独立事件A ，B 有关的概率计算公式事件A ，B 的各种情形概率计算公式A ，B 同时发生 P (AB )＝P (A )P (B )A ，B 都不发生P (A B )＝P (A )P (B )＝[1－P (A )][1－P (B )]＝1－P (A )－P (B )＋P (A )P (B )A ，B 至少有一个不发生 P ＝1－P (AB )＝1－P (A )P (B )A ，B 至少有一个发生P ＝1－P (A B )＝1－P (A )P (B )＝P (A )＋P (B )－P (A )P (B )A ，B 恰好有一个发生P ＝P (A B ＋A B )＝P (A )P (B )＋P (A )P (B )＝P (A )＋P (B )－2P (A )P (B )学习评价1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)对事件A 和B ，若P (B |A )＝P (B )，则事件A 与B 相互独立．( )(2)若事件A ，B 相互独立，则P (A － B －)＝P (A )P (B )．( ) (3)如果事件A 与事件B 相互独立，则P (B |A )＝P (B )．( ) (4)若事件A 与B 相互独立，则B 与B 相互独立．( )2．袋内有3个白球和2个黑球，从中不放回地摸球，用A 表示“第一次摸得白球”，用B 表示“第二次摸得白球”，则A 与B 是( )A ．互斥事件 B ．相互独立事件 C ．对立事件 D ．不相互独立事件3．国庆节放假，甲去北京旅游的概率为13，乙、丙去北京旅游的概率分别为14，15.假定三人的行动相互之间没有影响，那么这段时间内至少有1人去北京旅游的概率为________．4．某班甲、乙、丙三名同学竞选班委，甲当选的概率为45，乙当选的概率为35，丙当选的概率为710.(1)求恰有一名同学当选的概率；(2)求至多有两人当选的概率．课后作业1．如图， 在两个圆盘中，指针落在圆盘每个数所在区域的机会均等，则两个指针同时落在奇数所在区域内的概率是( )A.49 B.29 C.23 D.132．一件产品要经过2道独立的加工程序，第一道工序的次品率为a ，第二道工序的次品率为b ，则产品的正品率为( )A ．1－a －b B ．1－ab C ．(1－a )(1－b ) D ．1－(1－a )(1－b )3．甲、乙两队进行排球决赛，现在的情形是甲队只要再赢一局就获冠军，乙队需要再赢两局才能得冠军．若两队胜每局的概率相同，则甲队获得冠军的概率为( )A.34B.23C.35D.124．投掷一枚均匀硬币和一枚均匀骰子各一次，记“硬币正面向上”为事件A ，“骰子向上的点数是3”为事件B ，则事件A ，B 中至少有一件发生的概率是( )A.512 B.12C.712 D.345．设两个独立事件A 和B 都不发生的概率为19，A 发生B 不发生的概率与B 发生A 不发生的概率相同，则事件A 发生的概率P (A )是( ) A.29 B.118 C.13 D.236.在荷花池中，有一只青蛙在成品字形的三片荷叶上跳来跳去(每次跳跃时，均从一片跳到另一片)，而且逆时针方向跳的概率是顺时针方向跳的概率的两倍，如图所示．假设现在青蛙在A 片上，则跳三次之后停在A 片上的概率是( ) A.13 B.29 C.49 D.8277．甲、乙两人练习射击，命中目标的概率分别为12和13，甲、乙两人各射击一次，有下列说法：①目标恰好被命中一次的概率为12＋13；②目标恰好被命中两次的概率为12×13；③目标被命中的概率为12×23＋12×13；④目标被命中的概率为1－12×23.其中正确说法的序号是( )A ．②③B ．①②③C ．②④D ．①③8．已知甲袋中有3个白球和4个黑球，乙袋中有5个白球和4个黑球．现从两袋中各取2个球，则取得的4个球中有3个白球和1个黑球的概率为________．9．设两个相互独立事件A 与B ，若事件A 发生的概率为p ，B 发生的概率为1－p ，则A 与B 同时发生的概率的最大值为________．10．两个人通过某项专业测试的概率分别为12，23，他们一同参加测试，则至多有一人通过的概率为________．11．在甲盒内的200个螺杆中有160个是A 型，在乙盒内的240个螺母中有180个是A 型．若从甲、乙两盒内各取一个，则能配成A 型螺栓的概率为________．12．有一道数学难题，在半小时内，甲能解决的概率是12，乙能解决的概率是13，2人试图独立地在半小时内解决它，则2人都未解决的概率为________，问题得到解决的概率为________． 13.如图，已知电路中4个开关闭合的概率都是12，且是互相独立的，求灯亮的概率．附加1．某人忘记了电话号码的最后一个数字，因而他随意地拨号，假设拨过了的号码不再重复，试求下列事件的概率：(1)第3次拨号才接通电话；(2)拨号不超过3次而接通电话．附加2．(2019·全国卷Ⅱ)11分制乒乓球比赛，每赢一球得1分，当某局打成10∶10平后，每球交换发球权，先多得2分的一方获胜，该局比赛结束．甲、乙两位同学进行单打比赛，假设甲发球时甲得分的概率为0.5，乙发球时甲得分的概率为0.4，各球的结果相互独立，在某局双方10∶10平后，甲先发球，两人又打了X 个球该局比赛结束．(1)求P (X ＝2)；(2)求事件“X ＝4且甲获胜”的概率．。
高中数学 2.2.2 事件的相互独立性课件1 新人教A版选修23
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教学(jiāo xué)目标
• 知识与技能：理解两个事件相互独立的概念。 • 过程与方法：能进行一些与事件独立有关的概率的计算。 • 情感、态度与价值观：通过对实例的分析，会进行简单
的应用。 • 教学重点：独立事件同时发生(fāshēng)的概率 • 教学难点：有关独立事件发生(fāshēng)的概率计算 • 授课类型：新授课 课时安排：2课时 教 具：多媒体、
思考3. 如图,在一段线路中并联着3个自动控制的常开开 关，只要(zhǐyào)其中有1个开关能够闭合，线路就能正 常工作.假定在某段时间内每个开关能够闭合的概率都是 0.7，计算在这段时间内线路正常工作的概率.
解：分别记这段时间内开关JA,JB,JC能够闭 合为事件A，B，C.由题意，这段时间内3个开 关是否能够闭合相互之间没有影响,根据 (gēnjù)相互独立事件的概率乘法公式，这段 时间内3个开关都不能闭合的概率是
分析.显然，有放回地抽取奖券时，最后一名同学也是从原 来的三张奖券中任抽一张，因此第一名同学抽的结果对最后 一名同学没有影响，即事件 A 的发生不会影响事件 B 发生 的概率。于是
P(B | A) P(B) ， P( AB) P( A)P(B | A) P( A)P(B)
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相互独立事件(shìjiàn)的定义:
设 A, B为两个事件，若 P( AB) P( A)P(B) 则称事件 A与事件 B相互独立。
显然(xiǎnrán): (1)必然事件 及不可能(kěnéng)事件 与任何事件A相互 独 (2)立若.事件A与B相互独立, 则以下三对事件也相互独立:
① A 与 B；② A 与 B； ③ A 与 B.
高二数学 第二章2.2.2事件的相互独立性
2.2.2 事件的相互独立性一、基础过关 1．有以下3个问题：(1)掷一枚骰子一次，事件M ：“出现的点数为奇数”，事件N ：“出现的点数为偶数”； (2)袋中有5红、5黄10个大小相同的小球，依次不放回地摸两球，事件M ：“第1次摸到红球”，事件N ：“第2次摸到红球”；(3)分别抛掷2枚相同的硬币，事件M ：“第1枚为正面”，事件N ：“两枚结果相同”． 这3个问题中，M ，N 是相互独立事件的有( )A ．3个B ．2个C ．1个D ．0个2．投掷一枚均匀硬币和一枚均匀骰子各一次，记“硬币正面向上”为事件A ，“骰子向上的点数是3”为事件B ，则事件A ，B 中至少有一件发生的概率是( )A.512B.12C.712D.34 3．同时转动如图所示的两个转盘，记转盘甲得到的数为x ，转盘乙得到的数为y ，x ，y 构成数对(x ，y )，则所有数对(x ，y )中满足xy ＝4的概率为( )A.116B.18C.316D.144．两个实习生每人加工一个零件，加工为一等品的概率分别为23和34，两个零件是否加工为一等品相互独立，则这两个零件中恰有一个一等品的概率为( )A.12B.512C.14D.165．来成都旅游的外地游客中，若甲、乙、丙三人选择去武侯祠游览的概率均为35，且他们的选择互不影响，则这三人中至多有两人选择去武侯祠游览的概率为( ) A.36125 B.44125C.54125D.98125二、能力提升6．设两个独立事件A 和B 都不发生的概率为19，A 发生B 不发生的概率与B 发生A 不发生的概率相同，则事件A 发生的概率P (A )是( )A.29B.118C.13D.237．某篮球队员在比赛中每次罚球的命中率相同，且在两次罚球中至多命中一次的概率为1625，则该队员每次罚球的命中率为________．8．在感冒流行的季节，设甲、乙患感冒的概率分别为0.6和0.5，则他们中有人患感冒的概率是________．9．在一条马路上的A 、B 、C 三处设有交通灯，这三盏灯在一分钟内开放绿灯的时间分别为25秒、35秒、45秒，某辆汽车在这条马路上行驶，那么在这三处都不停车的概率是______．10．从10位同学(其中6女，4男)中随机选出3位参加测验，每位女同学能通过测验的概率均为45，每位男同学通过测验的概率均为35，求：(1)选出的3位同学中，至少有一位男同学的概率；(2)10位同学中的女同学甲和男同学乙同时被选中且通过测验的概率．11．某人忘记了电话号码的最后一个数字，因而他随意地拨号，假设拨过了的号码不再重复，试求下列事件的概率： (1)第3次拨号才接通电话； (2)拨号不超过3次而接通电话． 三、探究与拓展12．在一个选拔项目中，每个选手都需要进行四轮考核，每轮设有一个问题，能正确回答者进入下一轮考核，否则被淘汰．已知某选手能正确回答第一、二、三、四轮问题的概率分别为56、45、34、13，且各轮问题能否正确回答互不影响．(1)求该选手进入第三轮才被淘汰的概率； (2)求该选手至多进入第三轮考核的概率；(3)该选手在选拔过程中回答过的问题的个数记为X ，求随机变量X 的分布列．答案1．C 2.C 3.C 4.B 5.D 6.D 7.35 8．0.8 9.3519210．解 (1)设选出的3位同学中，至少有一位男同学的事件为A ，则A 为选出的3位同学中没有男同学的事件，而P (A )＝C 36C 310＝16，所以P (A )＝1－16＝56.(2)设女同学甲和男同学乙被选中的事件为A ，女同学甲通过测验的事件为B ，男同学乙通过测验的事件为C ，则甲、乙同学被选中且通过测验的事件为A ∩B ∩C ，由条件知A 、B 、C 三个事件为相互独立事件，所以P (A ∩B ∩C )＝P (A )×P (B )×P (C )．而P (A )＝C 18C 310＝115，P (B )＝45，P (C )＝35，所以P (A ∩B ∩C )＝115×45×35＝4125.11．解 设A i ＝{第i 次拨号接通电话}，i ＝1,2,3.(1)第3次才接通电话可表示为A 1 A 2A 3， 于是所求概率为P (A 1 A 2A 3)＝910×89×18＝110；(2)拨号不超过3次而接通电话可表示为A 1＋A 1A 2＋A 1 A 2A 3， 于是所求概率为P (A 1＋A 1A 2＋A 1 A 2A 3) ＝P (A 1)＋P (A 1A 2)＋P (A 1 A 2A 3) ＝110＋910×19＋910×89×18＝310. 12．解 设事件A i (i ＝1,2,3,4)表示“该选手能正确回答第i 轮问题”，由已知P (A 1)＝56，P (A 2)＝45，P (A 3)＝34，P (A 4)＝13.(1)设事件B 表示“该选手进入第三轮才被淘汰”， 则P (B )＝P (A 1A 2 A 3) ＝P (A 1)P (A 2)P (A 3) ＝56×45×⎝⎛⎭⎫1－34＝16. (2)设事件C 表示“该选手至多进入第三轮考核”， 则P (C )＝P (A 1＋A 1 A 2＋A 1A 2 A 3) ＝P (A 1)＋P (A 1 A 2)＋P (A 1A 2 A 3)＝16＋56×15＋56×45×⎝⎛⎭⎫1－34＝12. (3)X 的可能取值为1,2,3,4. P (X ＝1)＝P (A 1)＝16，P (X ＝2)＝P (A 1 A 2)＝56×⎝⎛⎭⎫1－45＝16， P (X ＝3)＝P (A 1A 2 A 3)＝56×45×⎝⎛⎭⎫1－34＝16， P (X ＝4)＝P (A 1A 2A 3)＝56×45×34＝12， 所以，X 的分布列为。
2.2.2事件的相互独立性最新版
解题步骤：
1.用恰当的字母标记事件,如“XX”记为A, “YY”记为B.
2.理清题意, 判断各事件之间的关系(等可能;互斥;互独; 对立). 关键词 如“至多” “至少” “同时” “恰有”. 求“至多” “至少”事件概率时,通常考虑它们的对立事 件的概率.
例题讲解 例 1.一个家庭中有若干个小孩，假定生男孩和生女孩是等可 能的，令 A＝{一个家庭中既有男孩又有女孩}，B＝{一个家庭 中最多有一个女孩}．对下述两种情形，讨论 A 与 B 的独立性： （1）某家庭中有 2 名小孩；（2）某家庭中有 3 名小孩.
例2 甲、乙二人各进行1次射击比赛，如果2人 击中目标的概率都是0.6，计算： （1）两人都击中目标的概率； （2）其中恰由1人击中目标的概率 （3）至少有一人击中目标的概率
件A,B,C. 由题意，这段时间内3个开关是否能够闭合相 互之间没有影响。根据相互独立事件的概率乘法式这 段时间内3个开关都不能闭合的概率是
P(ABC)P(A)P(B)P(C) [1P(A)]1[P(B)]1[P(C)] (10.7)(10.7)(10.7) 0.027
所以这段事件内线路正常工作的概率是
P(A B) P(A B)
P(A) P(B) P(A) P(B)
0.6(10.6) (10.6)0.6
0.24 0.24 0.48
例2 甲、乙二人各进行1次射击比赛，如果2人击 中目标的概率都是0.6，计算： （3）至少有一人击中目标的概率. 解法1:两人各射击一次至少有一人击中目标的概率是
2.2.2事件的相互独立性(教学设计)(可编辑修改word版)
2．2．2 事件的相互独立性（教学设计）教学目标：知识与技能：理解两个事件相互独立的概念。
过程与方法：能进行一些与事件独立有关的概率的计算。
情感、态度与价值观：通过对实例的分析，会进行简单的应用。
教学重点：独立事件同时发生的概率教学难点：有关独立事件发生的概率计算教学过程：一、复习引入：1.等可能性事件：如果一次试验中可能出现的结果有n 个，而且所有结果出现的可能性都相等，那么每1个基本事件的概率都是n，这种事件叫等可能性事件2.等可能性事件的概率：如果一次试验中可能出现的结果有n 个，而且所有结果都是等可能的，如果事m件A 包含m 个结果，那么事件A 的概率P( A) =n3 互斥事件:不可能同时发生的两个事件．P( A +B) =P( A) +P(B)一般地：如果事件A1 , A2 , , A n 中的任何两个都是互斥的，那么就说事件A1 , A2 , , A n 彼此互斥4.对立事件:必然有一个发生的互斥事件．P( A +A) =1 ⇒P( A) =1-P( A)5.互斥事件的概率的求法:如果事件A1, A2 , , A n 彼此互斥，那么P( A1+A2+ +An) ＝P( A1) +P( A2) + +P( An)6.条件概率：在事件A 发生的条件下，事件B 发生的条件概率：P(B | A) =乘法公式：P( AB) =P(B | A) ⋅P( A) . P( AB) P( A)二、师生互动，新课讲解：思考:三张奖券中只有一张能中奖,现分别由三名同学有放回地抽取,事件A 为“第一名同学没有抽到中奖奖券”, 事件B 为“最后一名同学抽到中奖奖券”. 事件A 的发生会影响事件B 发生的概率吗?显然，有放回地抽取奖券时，最后一名同学也是从原来的三张奖券中任抽一张，因此第一名同学抽的结果对最后一名同学的抽奖结果没有影响，即事件A 的发生不会影响事件B 发生的概率．于是P（B| A）=P(B）,P（AB）=P( A ) P ( B |A）=P（A）P(B).2 1. 相互独立事件的定义：设 A, B 为两个事件，如果 P ( AB ) = P ( A ) P ( B ) , 则称事件 A 与事件 B 相互独立（mutually independent ) .事件 A （或B ）是否发生对事件B （或 A ）发生的概率没有影响，这样的两个事件叫做相互独立事件若 A 与 B 是相互独立事件，则 A 与 B ， A 与 B ， A 与 B 也相互独立2. 相互独立事件同时发生的概率： P ( A ⋅ B ) = P ( A ) ⋅ P (B )问题：甲坛子里有 3 个白球，2 个黑球，乙坛子里有 2 个白球，2 个黑球，从这两个坛子里分别摸出 1个球，它们都是白球的概率是多少？事件 A ：从甲坛子里摸出 1 个球，得到白球；事件 B ：从乙坛子里摸出 1 个球，得到白球“从这两个坛子里分别摸出 1 个球，它们都是白球”是一个事件，它的发生，就是事件 A ， B 同时发生，记作 A ⋅ B ．（简称积事件）从甲坛子里摸出 1 个球，有 5 种等可能的结果；从乙坛子里摸出 1 个球，有 4 种等可能的结果于是从 这两个坛子里分别摸出 1 个球，共有5⨯ 4 种等可能的结果同时摸出白球的结果有3⨯ 2 种所以从这两个坛 3⨯ 2 3子里分别摸出 1 个球，它们都是白球的概率 P ( A ⋅ B ) == ．5⨯ 4 103另一方面，从甲坛子里摸出 1 个球，得到白球的概率 P ( A ) = ，从乙坛子里摸出 1 个球，得到白5球的概率 P (B ) = ．显然 P ( A ⋅ B ) = P ( A ) ⋅ P (B ) ．4这就是说，两个相互独立事件同时发生的概率，等于每个事件发生的概率的积 一般地，如果事件A 1 , A 2 , , A n 相互独立，那么这 n 个事件同时发生的概率，等于每个事件发生的概率的积，即 P ( A 1 ⋅ A 2 ⋅ ⋅ A n ) = P ( A 1 ) ⋅ P ( A 2 ) ⋅ ⋅ P ( A n ) ．3. 对于事件 A 与 B 及它们的和事件与积事件有下面的关系：P ( A + B ) = P ( A ) + P (B ) - P ( A ⋅ B )例题选讲：例 1（课本 P54 例 3）某商场推出二次开奖活动，凡购买一定价值的商品可以获得一张奖券．奖券上有一个兑奖号码，可以分别参加两次抽奖方式相同的兑奖活动．如果两次兑奖活动的中奖概率都是 0 . 05 ，求两次抽奖中以下事件的概率：(1) 都抽到某一指定号码；(2) 恰有一次抽到某一指定号码；(3)至少有一次抽到某一指定号码．解：(1)记“第一次抽奖抽到某一指定号码”为事件A, “第二次抽奖抽到某一指定号码”为事件B ，则“两次抽奖都抽到某一指定号码”就是事件AB．由于两次抽奖结果互不影响，因此A 与B 相互独立．于是由独立性可得，两次抽奖都抽到某一指定号码的概率P ( AB ) = P ( A ) P ( B ) = 0. 05×0.05 = 0.0025.(2 ) “两次抽奖恰有一次抽到某一指定号码”可以用（A B ）U（A B）表示．由于事件A B 与A B 互斥，根据概率加法公式和相互独立事件的定义，所求的概率为P (A B ）十P（A B）=P（A）P（B ）+ P（A ）P（B )= 0. 05×(1-0.05 ) + (1-0.05 ) ×0.05 = 0. 095.( 3 ) “两次抽奖至少有一次抽到某一指定号码”可以用（AB ) U ( A B ）U（A B）表示．由于事件AB , A B 和A B 两两互斥根，据概率加法公式和相互独立事件的定义所，求的概率为P ( AB ) + P（A B+）P（A B ) = 0.0025 +0. 095 = 0. 097 5.变式训练1：甲、乙二射击运动员分别对一目标射击1次，甲射中的概率为0.8 ，乙射中的概率为0.9 ，求：（1）2 人都射中目标的概率；（2）2 人中恰有1人射中目标的概率；（3）2 人至少有1人射中目标的概率；（4）2 人至多有1人射中目标的概率？解：记“甲射击1次，击中目标”为事件A ，“乙射击1次，击中目标”为事件B ，则A 与B ，A 与B ，A 与B ，A 与B 为相互独立事件，（1）2 人都射中的概率为：P( A ⋅B) =P( A) ⋅P(B) = 0.8⨯ 0.9 = 0.72 ，∴ 2 人都射中目标的概率是0.72 ．（2）“2 人各射击1次，恰有1人射中目标”包括两种情况：一种是甲击中、乙未击中（事件A ⋅B 发生），另一种是甲未击中、乙击中（事件A ⋅B 发生）根据题意，事件A ⋅B 与A ⋅B 互斥，根据互斥事件的概率加法公式和相互独立事件的概率乘法公式，所求的概率为：P( A ⋅B) +P( A ⋅B) =P( A) ⋅P(B) +P( A) ⋅P(B)= 0.8⨯(1- 0.9) + (1- 0.8) ⨯ 0.9 = 0.08 + 0.18 = 0.26∴ 2 人中恰有1人射中目标的概率是0.26 ．（3）（法 1）：2 人至少有 1 人射中包括“2 人都中”和“2 人有 1 人不中”2 种情况，其概率为J A J B J CP = P ( A ⋅ B ) +[P ( A ⋅ B ) + P ( A ⋅ B )] = 0.72 + 0.26 = 0.98 ．（法 2）：“2 人至少有一个击中”与“2 人都未击中”为对立事件，2 个都未击中目标的概率是 P ( A ⋅ B ) = P ( A ) ⋅ P (B ) = (1- 0.8)(1- 0.9) = 0.02 ，∴“两人至少有 1 人击中目标”的概率为 P = 1- P ( A ⋅ B ) = 1- 0.02 = 0.98 ． （4）（法 1）：“至多有 1 人击中目标”包括“有 1 人击中”和“2 人都未击中”，故所求概率为：P = P ( A ⋅ B ) + P ( A ⋅ B ) + P ( A ⋅ B )= P ( A ) ⋅ P (B ) + P ( A ) ⋅ P (B ) + P ( A ) ⋅ P (B ) = 0.02 + 0.08 + 0.18 = 0.28 ．（法 2）：“至多有 1 人击中目标”的对立事件是“2 人都击中目标”，故所求概率为 P = 1- P ( A ⋅ B ) = 1- P ( A ) ⋅ P (B ) = 1- 0.72 = 0.28例 2：在一段线路中并联着 3 个自动控制的常开开关，只要其中有 1 个开关能够闭合，线路就能正常 工作假定在某段时间内每个开关能够闭合的概率都是 0.7，计算在这段时间内线路正常工作的概率解：分别记这段时间内开关 J A ， J B ， J C 能够闭合为事件 A ， B ， C ．由题意，这段时间内 3 个开关是否能够闭合相互之间没有影响根据相互独立事件的概率乘法公式，这段时间内 3 个开关都不能闭合的概率是P ( A ⋅ B ⋅ C ) = P ( A ) ⋅ P (B ) ⋅ P (C )= [1- P ( A )][1- P (B )][1- P (C )]= (1- 0.7)(1- 0.7)(1- 0.7) = 0.027∴这段时间内至少有 1 个开关能够闭合，，从而使线路能正常工作的概率是1- P ( A ⋅ B ⋅ C ) = 1- 0.027 = 0.973 ．答：在这段时间内线路正常工作的概率是0.973 ．变式训练 2（1）：如图添加第四个开关 J D 与其它三个开关串联，在某段时间内此开关能够闭合的概率也是 0.7，计算在这段时间内线路正常工作的概率( ) （ ⎡⎣1- P ( A ⋅ B ⋅ C )⎤⎦⋅ P (D ) = 0.973⨯ 0.7 = 0.6811 ） 变式训练 2（2）：如图两个开关串联再与第三个开关并联，在某段时间内每个开关能够闭合的概率都是 0.7，计算在这段时间内线路正常工作的概率方法一： P ( A ⋅ B ⋅ C ) + P ( A ⋅ B ⋅ C ) + P ( A ⋅ B ⋅ C ) + P ( A ⋅ B ⋅ C ) + P ( A ⋅ B ⋅ C )= P ( A ) ⋅ P (B ) ⋅ P (C ) + P ( A ) ⋅ P (B ) ⋅ P (C ) + P ( A ) ⋅ P (B ) ⋅ P (C )+P ( A ) ⋅ P (B ) ⋅ P (C ) + P ( A ) ⋅ P (B ) ⋅ P (C ) = 0.847方法二：分析要使这段时间内线路正常工作只要排除 J C 开且 J A 与 J B 至少有 1 个开的情况1- P (C )[1- P ( A ⋅ B )] = 1- 0.3⨯(1- 0.72 ) = 0.847例 3.已知某种高炮在它控制的区域内击中敌机的概率为 0.2．（1） 假定有 5 门这种高炮控制某个区域，求敌机进入这个区域后未被击中的概率；（2） 要使敌机一旦进入这个区域后有 0.9 以上的概率被击中，需至少布置几门高炮？（列式不计算）分析:因为敌机被击中的就是至少有 1 门高炮击中敌机，故敌机被击中的概率即为至少有 1 门高炮击 中敌机的概率解:（1）设敌机被第 k 门高炮击中的事件为 A K (k=1,2,3,4,5)，那么 5 门高炮都未击中敌机的事件为A 1 ⋅ A 2 ⋅ A 3 ⋅ A 4 ⋅ A 5 ．∵事件 A 1 ， A 2 ， A 3 ， A 4 ， A 5 相互独立， ∴敌机未被击中的概率为P ( A 1 ⋅ A 2 ⋅ A 3 ⋅ A 4 ⋅ A 5 ) = P ( A 1 ) ⋅ P ( A 2 ) ⋅ P ( A 3 ) ⋅ P ( A 4 ) ⋅ P ( A 5 )= (1- 0.2)5 = ( 4)55∴敌机未被击中的概率为 ( 4)5 ． 5（2）至少需要布置 n 门高炮才能有 0.9 以上的概率被击中，仿（1）可得：敌机被击中的概率为 1- ( 4)n 5∴令1- ( 4)n ≥ 0.9 ，∴ 4 n ≤ 1 5 5 101两边取常用对数，得 n ≥ ≈ 10.31- 3lg 2J A J BJ C∵n ∈N +，∴n = 11∴至少需要布置 11 门高炮才能有 0.9 以上的概率击中敌机点评：上面例1 和例2 的解法，都是解应用题的逆向思考方法采用这种方法在解决带有词语“至多”、“至少”的问题时的运用，常常能使问题的解答变得简便课堂练习：（课本 P55 练习 NO：1；2；3）三、课堂小结，巩固反思：两个事件相互独立，是指它们其中一个事件的发生与否对另一个事件发生的概率没有影响一般地，两个事件不可能即互斥又相互独立，因为互斥事件是不可能同时发生的，而相互独立事件是以它们能够同时发生为前提的相互独立事件同时发生的概率等于每个事件发生的概率的积,这一点与互斥事件的概率和也是不同的四、课时必记：1、一般地，如果事件A1, A2 , , A n 相互独立，那么这n 个事件同时发生的概率，等于每个事件发生的概率的积，即P( A1 ⋅A2⋅ ⋅A n ) =P( A1 ) ⋅P( A2 ) ⋅ ⋅P( A n ) ．2、对于事件A 与B 及它们的和事件与积事件有下面的关系：P( A +B) =P( A) +P(B) -P( A ⋅B)3、若A 与B 是相互独立事件，则A 与B ，A 与B ，A 与B 也相互独立五、分层作业：A 组：31.若事件A,B 相互独立,且P(A)=P(B)= ,则P(AB)= ( )41 9 1A. 0B.C.D.16 16 2【解析】选 C.因为事件 A,B 相互独立,故3 3 9P(AB)=P(A)•P(B)= ×= .4 4 161 22.甲、乙两人投球命中率分别为, ,甲、乙两人各投一次,恰好命中一次的概率为( )2 31 2 3 5A. B. C. D .2 5 5 61 1 12 1【解析】选 A.P= × + × = .2 3 2 3 21 1 13.国庆节放假,甲去北京旅游的概率为 ,乙、丙去北京旅游的概率分别为 , .假定三人的行动相互之间没3 4 5有影响,那么这段时间内至少有1 人去北京旅游的概率为( )59 3 1 1A. B. C. D.60 5 2 601 1 12 【解析】选 B.因为甲、乙、丙去北京旅游的概率分别为 , , ,因此,他们不去北京旅游的概率分别为 ,3 4 5 33 4 2 3 4 3, .所以,至少有 1 人去北京旅游的概率为 P=1- ×× = .4 5 3 4 5 54.台风在危害人类的同时,也在保护人类.台风给人类送来了淡水资源,大大缓解了全球水荒,另外还使世界各地冷热保持相对均衡.甲、乙、丙三颗卫星同时监测台风,在同一时刻,甲、乙、丙三颗卫星准确预报台风的概率分别为0.8,0.7,0.9,各卫星间相互独立,则在同一时刻至少有两颗预报准确的概率是. 【解析】设甲、乙、丙预报准确依次记为事件 A,B,C,不准确记为A,B,C,则 P(A)=0.8,P(B)=0.7,P(C)=0.9,P(A)=0.2,P(B)=0.3,P(C)=0.1,至少两颗预报准确的事件有 AB C,A B C,A BC,ABC,这四个事件两两互斥且独立.所以至少两颗预报准确的概率为P=P(AB C)+P(A B C)+P(A BC)+P(ABC)=0.8×0.7×0.1+0.8×0.3×0.9+0.2×0.7×0.9+0.8×0.7×0.9=0.056+0.216+0.126+0.504=0.902.答案:0.902B 组：1.2012 年 10 月莫言获得诺贝尔文学奖后,其家乡山东高密政府准备投资 6.7 亿元打造旅游带,包括莫言旧居周围的莫言文化体验区,红高粱文化休闲区,爱国主义教育基地等.为此,某文化旅游公司向社会公开征集旅游带建设方案,在收到的方案中甲、乙、丙三个方案引起了专家评委的注意,现已知甲、乙、丙三个方2 3 1案能被选中的概率分别为 , , ,且假设各自能否被选中是无关的.求甲、乙、丙三个方案只有两个被选中5 4 3的概率.【解析】记甲、乙、丙三个方案被选中的事件分别为 A,B,C,则 231P(A)= ,P(B)= ,P(C)= .5 4 3“只有两个方案被选中”可分为三种情形:3 3 1 3①甲未被选中,乙、丙被选中,概率为 P(A •B •C)=P(A )•P(B)•P(C)= × × =.5 4 3 202 1 1 1 ②乙未被选中,甲、丙被选中,概率为 P(A •B •C)=P(A)•P(B )•P(C)= × × =.5 4 3 30 2 3 2 1 ③丙未被选中,甲、乙被选中,概率为 P(A •B •C )=P(A)•P(B)•P(C )= × × = .5 4 3 53 1 1 23以上三种情况是互斥的,因此只有两个方案被选中的概率为:P=++ = .20 30 5 602、（课本 P59 习题 2.2 B 组 NO ：2） 六、教学反思：1. 理解两个事件相互独立的概念。
2017-2018学年高中数学人教A版选修2-3教学案：2.2.2 事件的相互独立性含解析
2．2．2事件的相互独立性预习课本P54～55，思考并完成以下问题1．事件的相互独立性的定义是什么?性质是什么？2．相互独立事件与互斥事件的区别？［新知初探]事件的相互独立性(1)定义：设A，B为两个事件，如果P(AB)＝P（A)P（B），则称事件A与事件B相互独立．（2)性质：A与B是相互独立事件，则错误!也相互独立．［点睛] 相互独立事件与互斥事件的区别相互独立事件互斥事件条件事件A（或B)是否发生对事件B(或A)发生的概率没有影响不可能同时发生的两个事件符号相互独立事件A，B同时发生，记作：AB互斥事件A，B中有一个发生，记作：A错误!1．判断下列命题是否正确．（正确的打“√”，错误的打“×")(1)不可能事件与任何一个事件相互独立．( ）（2)必然事件与任何一个事件相互独立．( ）(3）如果事件A与事件B相互独立，则P（B|A）＝P（B)．( )（4）“P（AB)＝P(A)·P(B）"是“事件A,B相互独立”的充要条件．( )答案:（1）√（2)√（3）√(4)√2．甲、乙两水文站同时作水文预报,如果甲站、乙站各自预报的准确率为0．8和0．7．那么，在一次预报中，甲、乙两站预报都准确的概率为________．答案:0．563．一件产品要经过两道独立的工序, 第一道工序的次品率为a, 第二道工序的次品率为b，则该产品的正品率为________．答案：（1－a）（1－b)4．已知A，B是相互独立事件,且P（A)＝错误!，P（B）＝错误!，则P(A错误!)＝________，P(AB）＝________．答案:错误!错误!事件独立性的判断[典例］判断下列事件是否为相互独立事件．(1）甲组3名男生，2名女生；乙组2名男生，3名女生，现从甲、乙两组中各选1名同学参加演讲比赛，“从甲组中选出1名男生”与“从乙组中选出1名女生"．(2）容器内盛有5个白乒乓球和3个黄乒乓球,“从8个球中任意取出1个，取出的是白球"与“从剩下的7个球中任意取出1个，取出的还是白球”．［解] (1）“从甲组中选出1名男生”这一事件是否发生，对“从乙组中选出1名女生"这一事件是否发生没有影响，所以它们是相互独立事件．（2）“从8个球中任意取出1个，取出的是白球”的概率为错误!,若这一事件发生了,则“从剩下的7个球中任意取出1个,取出的仍是白球”的概率为错误!；若前一事件没有发生，则后一事件发生的概率为57，可见,前一事件是否发生，对后一事件发生的概率有影响，所以二者不是相互独立事件．两个事件是否相互独立的判断（1)直接法：由事件本身的性质直接判定两个事件发生是否相互影响．（2）定义法：如果事件A，B同时发生的概率等于事件A发生的概率与事件B发生的概率的积，则事件A，B为相互独立事件．(3)条件概率法：当P（A)>0时，可用P（B|A)＝P(B)判断．[活学活用]把一颗质地均匀的骰子任意地掷一次，判断下列各组事件是否是独立事件？(1）A＝{掷出偶数点｝，B＝｛掷出奇数点}；(2）A＝｛掷出偶数点｝，B＝{掷出3的倍数点｝；(3）A＝{掷出偶数点}，B＝｛掷出的点数小于4｝．解：(1）∵P（A)＝错误!，P（B)＝错误!,P（AB)＝0，∴A与B不是相互独立事件．（2)∵P(A）＝错误!，P（B）＝错误!，P(AB）＝错误!，∴P(AB）＝P（A）·P(B），∴A与B是相互独立事件．(3)∵P（A）＝错误!，P（B)＝错误!，P(AB）＝错误!，∴P（AB）≠P（A）·P(B），∴A与B不是相互独立事件．相互独立事件概率的计算[典例] 根据资料统计，某地车主购买甲种保险的概率为0．5，购买乙种保险的概率为0．6，购买甲、乙保险相互独立，各车主间相互独立．(1）求一位车主同时购买甲、乙两种保险的概率；（2）求一位车主购买乙种保险但不购买甲种保险的概率．[解] 记A表示事件“购买甲种保险”，B表示事件“购买乙种保险”，则由题意得A与B，A与B,A与B，错误!与错误!都是相互独立事件,且P（A)＝0．5，P(B)＝0．6．(1)记C表示事件“同时购买甲、乙两种保险”，则C＝AB，所以P(C)＝P(AB)＝P（A）·P(B)＝0．5×0．6＝0．3．(2)记D表示事件“购买乙种保险但不购买甲种保险",则D＝错误!B，所以P（D）＝P（错误!B)＝P（错误!）·P(B）＝(1－0．5)×0．6＝0．3．[一题多变］1．［变设问］本例中车主至少购买甲、乙两种保险中的一种的概率是多少?解：法一：记E表示事件“至少购买甲、乙两种保险中的一种",则事件E包括错误!B,A错误!，AB，且它们彼此为互斥事件．所以P（E）＝P（A B＋A B＋AB）＝P（错误!B）＋P(A错误!）＋P(AB)＝0．5×0．6＋0．5×0．4＋0．5×0．6＝0．8．法二:事件“至少购买甲、乙两种保险中的一种”与事件“甲、乙两种保险都不购买”为对立事件．所以P（E)＝1－P（AB)＝1－(1－0．5）×（1－0．6）＝0．8．2．[变条件，变设问］某同学参加科普知识竞赛,需回答三个问题．竞赛规则规定:答对第一、二、三个问题分别得100分、100分、200分，答错得零分．假设这名同学答对第一、二、三个问题的概率分别为0．8,0．7，0．6，且各题答对与否相互之间没有影响．(1）求这名同学得300分的概率；(2)求这名同学至少得300分的概率．解：记“这名同学答对第i个问题”为事件A i(i＝1,2，3)，则P(A1)＝0．8，P（A2)＝0．7,P(A3）＝0．6．（1)这名同学得300分的概率P1＝P(A1错误!2A3）＋P(错误!1A2A3）＝P（A1)P(错误!2）P（A3）＋P（错误!1)P（A2）P(A3)＝0．8×0．3×0．6＋0．2×0．7×0．6＝0．228．（2）这名同学至少得300分的概率P2＝P1＋P(A1A2A3）＝0．228＋0．8×0．7×0．6＝0．564．（1）求相互独立事件同时发生的概率的步骤是：①首先确定各事件之间是相互独立的；②确定这些事件可以同时发生；③求出每个事件的概率，再求积．(2)使用相互独立事件同时发生的概率计算公式时，要掌握公式的适用条件，即各个事件是相互独立的，而且它们同时发生．相互独立事件概率的实际应用［典例］三个元件T1,T2，T3正常工作的概率分别为12，34，错误!，将它们中的某两个元件并联后再和第三个元件串联接入电路，如图所示,求电路不发生故障的概率．[解］记“三个元件T1，T2，T3正常工作”分别为事件A1，A2，A3，则P（A1)＝错误!,P（A2)＝错误!，P(A3)＝错误!．不发生故障的事件为(A2∪A3）A1,∴不发生故障的概率为P＝P［(A2∪A3）A1]＝P（A2∪A3)·P（A1）＝［1－P(错误!2)·P（错误!3）]·P(A1)＝错误!×错误!＝错误!．求较为复杂事件的概率的方法（1)列出题中涉及的各事件，并且用适当的符号表示；（2）理清事件之间的关系（两事件是互斥还是对立．或者是相互独立），列出关系式；(3）根据事件之间的关系准确选取概率公式进行计算；(4）当直接计算符合条件的事件的概率较复杂时，可先间接地计算对立事件的概率，再求出符合条件的事件的概率．[活学活用］某校田径队有三名短跑运动员，根据平时的训练情况统计，甲、乙、丙三人100 m跑(互不影响)的成绩在13 s内（称为合格)的概率分别是错误!,错误!，错误!,如果对这三名短跑运动员的100 m跑成绩进行一次检测．（1）三人都合格的概率与三人都不合格的概率分别是多少？（2)出现恰有几人合格的概率最大？解:设“甲、乙、丙三人100 m跑合格”分别为事件A,B，C，显然A，B，C相互独立，P（A）＝错误!，P（B）＝错误!，P（C)＝错误!，所以P（错误!）＝1－错误!＝错误!，P(错误!）＝1－错误!＝错误!，P （错误!）＝1－错误!＝错误!．设恰有k人合格的概率为P k(k＝0,1,2，3）．(1）三人都合格的概率为P3＝P（ABC）＝P（A）P(B）P(C）＝错误!×错误!×错误!＝错误!．三人都不合格的概率为P0＝P（错误!错误!错误!)＝P(错误!）P（错误!)P(错误!)＝错误!×错误!×错误!＝错误!．所以三人都合格的概率与三人都不合格的概率都是错误!．(2)因为AB C,A错误!C，错误!BC两两互斥，所以恰有两人合格的概率为:P2＝P（AB错误!＋A错误!C＋错误!BC)＝P(AB错误!）＋P（A错误!C)＋P(错误!BC）＝P（A)P(B)P（错误!）＋P（A）P（错误!）P(C)＋P（错误!)P（B）P （C）＝错误!×错误!×错误!＋错误!×错误!×错误!＋错误!×错误!×错误!＝错误!．恰有一人合格的概率为P1＝1－P0－P2－P3＝1－错误!－错误!－错误!＝错误!＝错误!．由（1）(2)知P0，P1，P2，P3中P1最大，所以出现恰有一人合格的概率最大．层级一学业水平达标1．袋内有3个白球和2个黑球，从中不放回地摸球,用A表示“第一次摸得白球”，用B表示“第二次摸得白球"，则A与B是( )A．互斥事件B．相互独立事件C．对立事件D．不相互独立事件解析：选D 根据互斥事件、对立事件和相互独立事件的定义可知，A与B不是相互独立事件．故选D．2．若P(AB）＝错误!，P（错误!)＝错误!，P（B）＝错误!，则事件A 与B的关系是（）A．事件A与B互斥B．事件A与B对立C．事件A与B相互独立D．事件A与B既互斥又独立解析：选C 因为P（错误!）＝错误!，所以P（A）＝错误!,又P（B)＝错误!，P(AB)＝错误!，所以有P（AB）＝P(A)P(B），所以事件A与B 相互独立但不一定互斥．3．打靶时,甲每打10次可中靶8次，乙每打10次可中靶7次，若两人同时射击，则他们同时中靶的概率是( ）A．错误!B．错误!C．错误!D．错误!解析：选A 由题意知P甲＝810＝错误!,P乙＝错误!,所以P＝P甲·P乙＝错误!．4．有两名射手射击同一目标，命中的概率分别为0．8和0．7，若各射击一次，则目标被击中的概率是( )A．0．56 B．0．92 C．0．94 D．0．96解析：选C 设事件A表示：“甲击中"，事件B表示：“乙击中”．由题意知A,B互相独立．故目标被击中的概率为P＝1－P(A·错误!)＝1－P（错误!）P(错误!）＝1－0．2×0．3＝0．94．5．从甲袋内摸出1个红球的概率是错误!,从乙袋内摸出1个红球的概率是12，从两袋内各摸出1个球,则错误!等于( ）A．2个球不都是红球的概率B．2个球都是红球的概率C．至少有1个红球的概率D．2个球中恰好有1个红球的概率解析：选C 至少有1个红球的概率是错误!×错误!＋错误!×错误!＋错误!×错误!＝错误!．6．有甲、乙两批种子，发芽率分别为0．8和0．9，在两批种子中各取一粒，则恰有一粒种子能发芽的概率是________．解析：所求概率P＝0．8×0．1＋0．2×0．9＝0．26．答案:0．267．已知P（A)＝0．3，P（B）＝0．5，当事件A，B相互独立时，P（A∪B）＝________，P（A|B)＝________．解析:∵A，B相互独立，∴P（A∪B)＝P（A）＋P（B）－P(A)·P(B)＝0．3＋0．5－0．3×0．5＝0．65．P(A｜B)＝P(A）＝0．3．答案：0．65 0．38．设两个相互独立的事件A,B都不发生的概率为错误!，A发生B不发生的概率等于B发生A不发生的概率，则事件A发生的概率P(A）＝________．解析：由已知可得错误!解得P(A)＝P（B)＝错误!．答案：错误!9．在同一时间内，甲、乙两个气象台独立预报天气准确的概率分别为错误!和错误!．求：（1)甲、乙两个气象台同时预报天气准确的概率．（2）至少有一个气象台预报准确的概率．解：记“甲气象台预报天气准确”为事件A,“乙气象台预报天气准确”为事件B．显然事件A,B相互独立且P(A)＝错误!，P（B）＝错误!．（1）P（AB）＝P（A)P(B)＝错误!×错误!＝错误!．(2）至少有一个气象台预报准确的概率为P＝1－P(AB）＝1－P（错误!）P(错误!)＝1－错误!×错误!＝错误!．10．已知A,B，C为三个独立事件,若事件A发生的概率是错误!，事件B发生的概率是错误!，事件C发生的概率是错误!，求下列事件的概率：(1)事件A，B，C只发生两个;（2）事件A，B,C至多发生两个．解：（1)记“事件A,B，C只发生两个"为A1,则事件A1包括三种彼此互斥的情况，A·B·错误!;A·错误!·C;错误!·B·C，由互斥事件概率的加法公式和相互独立事件的概率乘法公式，得P（A1)＝P(A·B·错误!)＋P(A·错误!·C）＋P(错误!·B·C)＝错误!＋错误!＋错误!＝错误!，∴事件A，B，C只发生两个的概率为错误!．（2)记“事件A，B，C至多发生两个”为A2，则包括彼此互斥的三种情况:事件A，B，C一个也不发生，记为A3，事件A，B,C只发生一个，记为A4，事件A,B，C只发生两个，记为A5,故P(A2)＝P（A3）＋P（A4）＋P(A5）＝错误!＋错误!＋错误!＝错误!．∴事件A，B，C至多发生两个的概率为34．层级二应试能力达标1．在某段时间内，甲地下雨的概率为0．3,乙地下雨的概率为0．4，假设在这段时间内两地是否下雨之间没有影响，则这段时间内，甲、乙两地都不下雨的概率为（)A．0．12 B．0．88C．0．28 D．0．42解析：选D P＝（1－0．3）(1－0．4）＝0．42．2．如图所示，在两个圆盘中,指针落在本圆盘每个数所在区域的机会均等，那么两个指针同时落在奇数所在区域的概率是( )A．错误!B．错误!C．错误!D．错误!解析：选A 设A表示“第一个圆盘的指针落在奇数所在的区域”,则P（A）＝23，B表示“第二个圆盘的指针落在奇数所在的区域"，则P（B）＝错误!．故P（AB）＝P(A)·P（B）＝错误!×错误!＝错误!．3．荷花池中，有一只青蛙在成品字形的三片荷叶上跳来跳去(每次跳跃时，均从一片荷叶跳到另一片荷叶）,而且顺时针方向跳的概率是逆时针方向跳的概率的两倍，如图所示．假设现在青蛙在A荷叶上，则跳三次之后停在A荷叶上的概率是（)A．错误!B．错误!C．错误!D．错误!解析:选A 按A→B→C→A的顺序的概率为错误!×错误!×错误!＝错误!,按A→C→B→A的顺序的概率为错误!×错误!×错误!＝错误!，故跳三次之后停在A叶上的概率为P＝错误!＋错误!＝错误!．4．如图，已知电路中4个开关闭合的概率都是错误!，且是互相独立的,则灯亮的概率为( ）A．错误!B．错误!C．错误!D．错误!解析：选C 记“A，B，C,D四个开关闭合”分别为事件A,B，C，D，可用对立事件求解，图中含开关的三条线路同时断开的概率为：P（C)P（错误!）[1－P（AB）]＝错误!×错误!×错误!＝错误!．∴灯亮的概率为1－错误!＝错误!．5．加工某零件需经过三道工序，设第一、二、三道工序的次品率分别为错误!，错误!，错误!，且各道工序互不影响，则加工出来的零件的次品率为________．解析:加工出来的零件的正品率为错误!×错误!×错误!＝错误!,所以次品率为1－错误!＝错误!．答案：错误!6．某次知识竞赛规则如下:在主办方预设的5个问题中,选手若能连续正确回答出两个问题，即停止答题，晋级下一轮．假设某选手正确回答每个问题的概率都是0．8，且每个问题的回答结果相互独立，则该选手恰好回答了4个问题就晋级下一轮的概率等于________．解析：此选手恰好回答4个问题就晋级下一轮,说明此选手第2个问题回答错误，第3、第4个问题均回答正确,第1个问题答对答错都可以．因为每个问题的回答结果相互独立,故所求的概率为1×0．2×0．82＝0．128．答案：0．1287．某项选拔共有四轮考核,每轮设有一个问题，能正确回答者进入下一轮考核，否则即被淘汰．已知某选手能正确回答第一、二、三、四轮的问题的概率分别为0．6,0．4,0．5,0．2．已知各轮问题能否正确回答互不影响．（1）求该选手被淘汰的概率；(2）求该选手在选拔中至少回答了2个问题后最终被淘汰的概率．解：记“该选手能正确回答第i轮的问题”为事件A i（i＝1，2,3，4），则P（A1)＝0．6,P(A2）＝0．4，P(A3)＝0．5，P（A4)＝0．2．(1）法一:该选手被淘汰的概率:P＝P(错误!1∪A1错误!2∪A1A2错误!3∪A1A2A3错误!4)＝P（错误!1）＋P(A1)P（错误!2）＋P（A1）P(A2)P(错误!3)＋P（A1）P(A2)P(A3）P（错误!4)＝0．4＋0．6×0．6＋0．6×0．4×0．5＋0．6×0．4×0．5×0．8＝0．976．法二:P＝1－P（A1A2A3A4）＝1－P(A1)P（A2）·P（A3)·P(A4）＝1－0．6×0．4×0．5×0．2＝1－0．024＝0．976．（2）法一：P＝P(A1错误!2∪A1A2错误!3∪A1A2A3错误!4)＝P（A1）P（错误!）＋P（A1)P（A2)P(错误!3)＋P（A1）P(A2)P(A3）P（错误!4）＝0．6×0．6 2＋0．6×0．4×0．5＋0．6×0．4×0．5×0．8＝0．576．法二：P＝1－P(A1)－P(A1A2A3A4)＝1－（1－0．6）－0．6×0．4×0．5×0．2＝0．576．8．(全国卷Ⅱ)某公司为了解用户对其产品的满意度，从A，B 两地区分别随机调查了20个用户,得到用户对产品的满意度评分如下：A地区：62 73 81 92 95 85 74 64 53 7678 86 95 66 97 78 88 82 76 89B地区: 73 83 62 51 91 46 53 73 64 8293 48 65 81 74 56 54 76 65 79（1)根据两组数据完成两地区用户满意度评分的茎叶图，并通过茎叶图比较两地区满意度评分的平均值及分散程度（不要求计算出具体值,给出结论即可）；（2)根据用户满意度评分，将用户的满意度从低到高分为三个等级：满意度评分低于70分70分到89分不低于90分满意度等级不满意满意非常满意记事件C：“A地区用户的满意度等级高于B地区用户的满意度等级”．假设两地区用户的评价结果相互独立．根据所给数据，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，求C的概率．解:（1)两地区用户满意度评分的茎叶图如下：通过茎叶图可以看出，A地区用户满意度评分的平均值高于B 地区用户满意度评分的平均值；A地区用户满意度评分比较集中，B 地区用户满意度评分比较分散．(2)记C A1表示事件:“A地区用户的满意度等级为满意或非常满意";C A2表示事件:“A地区用户的满意度等级为非常满意”;C B1表示事件:“B地区用户的满意度等级为不满意”；C B2表示事件：“B地区用户的满意度等级为满意”，则C A1与C B1独立，C A2与C B2独立,C B1与C B2互斥，C＝C B1C A1∪C B2C A2．P(C）＝P（C B1C A1∪C B2C A2)＝P(C B1C A1)＋P（C B2C A2）＝P(C B1)P（C A1）＋P(C B2)P（C A2）．由所给数据得C A1，C A2，C B1，C B2发生的频率分别为错误!，错误!,错误!，错误!，故P（C A1）＝错误!，P(C A2)＝错误!，P（C B1）＝错误!，P（C B2）＝错误!，P(C）＝错误!×错误!＋错误!×错误!＝0．48．。
人教A版选修2-3教案：2.2.2事件的相互独立性(含反思)
§2．2．2事件的相互独立性教学目标：知识与技能：理解两个事件相互独立的概念。
过程与方法：能进行一些与事件独立有关的概率的计算。
情感、态度与价值观：通过对实例的分析，会进行简单的应用。
教学重点：独立事件同时发生的概率教学难点：有关独立事件发生的概率计算授课类型：新授课课时安排：2课时教学过程：一、复习引入：1 事件的定义：随机事件：在一定条件下可能发生也可能不发生的事件；必然事件：在一定条件下必然发生的事件；不可能事件：在一定条件下不可能发生的事件2．随机事件的概率：一般地，在大量重复进行同一试验时，事件A 发生的频率m n 总是接近某个常数，在它附近摆动，这时就把这个常数叫做事件A 的概率，记作()P A ．3.概率的确定方法：通过进行大量的重复试验，用这个事件发生的频率近似地作为它的概率；4．概率的性质：必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，随机事件的概率为0()1P A ≤≤，必然事件和不可能事件看作随机事件的两个极端情形5基本事件：一次试验连同其中可能出现的每一个结果（事件A ）称为一个基本事件6．等可能性事件：如果一次试验中可能出现的结果有n 个，而且所有结果出现的可能性都相等，那么每个基本事件的概率都是1n，这种事件叫等可能性事件 7．等可能性事件的概率：如果一次试验中可能出现的结果有n 个，而且所有结果都是等可能的，如果事件A 包含m 个结果，那么事件A 的概率()m P A n =8．等可能性事件的概率公式及一般求解方法9.事件的和的意义:对于事件A 和事件B 是可以进行加法运算的10 互斥事件:不可能同时发生的两个事件．()()()P A B P A P B +=+一般地：如果事件12,,,n A A A 中的任何两个都是互斥的，那么就说事件12,,,n A A A 彼此互斥11．对立事件:必然有一个发生的互斥事件．()1()1()P A A P A P A +=⇒=-12．互斥事件的概率的求法:如果事件12,,,n A A A 彼此互斥，那么12()n P A A A +++＝12()()()n P A P A P A +++探究:(1)甲、乙两人各掷一枚硬币，都是正面朝上的概率是多少？事件A ：甲掷一枚硬币，正面朝上；事件B ：乙掷一枚硬币，正面朝上(2)甲坛子里有3个白球，2个黑球，乙坛子里有2个白球，2个黑球，从这两个坛子里分别摸出1个球，它们都是白球的概率是多少？事件A ：从甲坛子里摸出1个球，得到白球；事件B ：从乙坛子里摸出1个球，得到白球问题(1)、(2)中事件A 、B 是否互斥？（不互斥）可以同时发生吗？（可以）问题(1)、(2)中事件A （或B ）是否发生对事件B （或A ）发生的概率有无影响？（无影响） 思考:三张奖券中只有一张能中奖,现分别由三名同学有放回地抽取,事件A 为“第一名同学没有抽到中奖奖券”, 事件B 为“最后一名同学抽到中奖奖券”. 事件A 的发生会影响事件B 发生的概率吗?显然，有放回地抽取奖券时，最后一名同学也是从原来的三张奖券中任抽一张，因此第一名同学抽的结果对最后一名同学的抽奖结果没有影响，即事件A 的发生不会影响事件B 发生的概率．于是P （B| A ）=P(B ）,P （AB ）=P( A ) P ( B |A ）=P （A ）P(B).二、讲解新课：1．相互独立事件的定义：设A, B 为两个事件，如果 P ( AB ) = P ( A ) P ( B ) , 则称事件A 与事件B 相互独立（mutually independent ) .事件A （或B ）是否发生对事件B （或A ）发生的概率没有影响，这样的两个事件叫做相互独立事件 若A 与B 是相互独立事件，则A 与B ，A 与B ，A 与B 也相互独立2．相互独立事件同时发生的概率：()()()P A B P A P B ⋅=⋅问题2中，“从这两个坛子里分别摸出1个球，它们都是白球”是一个事件，它的发生，就是事件A ，B 同时发生，记作A B ⋅．（简称积事件） 从甲坛子里摸出1个球，有5种等可能的结果；从乙坛子里摸出1个球，有4种等可能的结果于是从这两个坛子里分别摸出1个球，共有54⨯种等可能的结果同时摸出白球的结果有32⨯种所以从这两个坛子里分别摸出1个球，它们都是白球的概率323()5410P A B ⨯⋅==⨯． 另一方面，从甲坛子里摸出1个球，得到白球的概率3()5P A =，从乙坛子里摸出1个球，得到白球的概率2()4P B =．显然()()()P A B P A P B ⋅=⋅． 这就是说，两个相互独立事件同时发生的概率，等于每个事件发生的概率的积一般地，如果事件12,,,n A A A 相互独立，那么这n 个事件同时发生的概率，等于每个事件发生的概率的积，即 1212()()()()n n P A A A P A P A P A ⋅⋅⋅=⋅⋅⋅． 3．对于事件A 与B 及它们的和事件与积事件有下面的关系：)()()()(B A P B P A P B A P ⋅-+=+三、讲解范例：例 1.某商场推出二次开奖活动，凡购买一定价值的商品可以获得一张奖券．奖券上有一个兑奖号码，可以分别参加两次抽奖方式相同的兑奖活动．如果两次兑奖活动的中奖概率都是 0 . 05 ，求两次抽奖中以下事件的概率：(1)都抽到某一指定号码；(2)恰有一次抽到某一指定号码；(3)至少有一次抽到某一指定号码．解： (1)记“第一次抽奖抽到某一指定号码”为事件A, “第二次抽奖抽到某一指定号码”为事件B ，则“两次抽奖都抽到某一指定号码”就是事件AB ．由于两次抽奖结果互不影响，因此A 与B 相互独立．于是由独立性可得，两次抽奖都抽到某一指定号码的概率P ( AB ) = P ( A ) P ( B ) = 0. 05×0.05 = 0.0025.(2 ) “两次抽奖恰有一次抽到某一指定号码”可以用（A B ）U （A B ）表示．由于事件A B 与A B 互斥，根据概率加法公式和相互独立事件的定义，所求的概率为P (A B ）十P （A B ）=P （A ）P （B ）+ P （A ）P （B )= 0. 05×(1-0.05 ) + (1-0.05 ) ×0.05 = 0. 095.( 3 ) “两次抽奖至少有一次抽到某一指定号码”可以用（AB ) U ( A B ）U （A B ）表示．由于事件 AB , A B 和A B 两两互斥，根据概率加法公式和相互独立事件的定义，所求的概率为 P ( AB ) + P （A B ）+ P （A B ) = 0.0025 +0. 095 = 0. 097 5.例2.甲、乙二射击运动员分别对一目标射击1次，甲射中的概率为0.8，乙射中的概率为0.9，求：（1）2人都射中目标的概率；（2）2人中恰有1人射中目标的概率；（3）2人至少有1人射中目标的概率；（4）2人至多有1人射中目标的概率？解：记“甲射击1次，击中目标”为事件A ，“乙射击1次，击中目标”为事件B ，则A 与B ，A 与B ，A 与B ，A 与B 为相互独立事件，（1）2人都射中的概率为：()()()0.80.90.72P A B P A P B ⋅=⋅=⨯=，∴2人都射中目标的概率是0.72．（2）“2人各射击1次，恰有1人射中目标”包括两种情况：一种是甲击中、乙未击中（事件A B ⋅发生），另一种是甲未击中、乙击中（事件A B ⋅发生）根据题意，事件A B ⋅与A B ⋅互斥，根据互斥事件的概率加法公式和相互独立事件的概率乘法公式，所求的概率为：()()()()()()P A B P A B P A P B P A P B ⋅+⋅=⋅+⋅0.8(10.9)(10.8)0.90.080.180.26=⨯-+-⨯=+=∴2人中恰有1人射中目标的概率是0.26．（3）（法1）：2人至少有1人射中包括“2人都中”和“2人有1人不中”2种情况，其概率为()[()()]0.720.260.98P P A B P A B P A B =⋅+⋅+⋅=+=．（法2）：“2人至少有一个击中”与“2人都未击中”为对立事件，2个都未击中目标的概率是()()()(10.8)(10.9)0.02P A B P A P B ⋅=⋅=--=，∴“两人至少有1人击中目标”的概率为1()10.020.98P P A B =-⋅=-=．（4）（法1）：“至多有1人击中目标”包括“有1人击中”和“2人都未击中”，故所求概率为：()()()P P A B P A B P A B =⋅+⋅+⋅()()()()()()P A P B P A P B P A P B =⋅+⋅+⋅0.020.080.180.28=++=．（法2）：“至多有1人击中目标”的对立事件是“2人都击中目标”，故所求概率为1()1()()10.720.28P P A B P A P B =-⋅=-⋅=-= 例 3.在一段线路中并联着3个自动控制的常开开关，只要其中有1个开关能够闭合，线路就能正常工作假定在某段时间内每个开关能够闭合的概率都是0.7，计算在这段时间内线路正常工作的概率解：分别记这段时间内开关A J ，B J ，C J 能够闭合为事件A ，B ，C ．由题意，这段时间内3个开关是否能够闭合相互之间没有影响根据相互独立事件的概率乘法公式，这段时间内3个开关都不能闭合的概率是()()()()P A B C P A P B P C ⋅⋅=⋅⋅[][][]1()1()1()P A P B P C =--- (10.7)(10.7)(10.7)0.027=---=∴这段时间内至少有1个开关能够闭合，，从而使线路能正常工作的概率是1()10.0270.973P A B C -⋅⋅=-=．答：在这段时间内线路正常工作的概率是0.973．变式题1：如图添加第四个开关D J 与其它三个开关串联，在某段时间内此开关能够闭合的概率也是0.7，计算在这段时间内线路正常工作的概率 （1()()0.9730.70.6811P A B C P D ⎡⎤-⋅⋅⋅=⨯=⎣⎦）变式题2：如图两个开关串联再与第三个开关并联，在某段时间内每个开关能够闭合的概率都是0.7，计算在这段时间内线路正常工作的概率方法一：()()()()()P A B C P A B C P A B C P A B C P A B C ⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅()()()()()()()()()()()()()()()P A P B P C P A P B P C P A P B P C P A P B P C P A P B P C =⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅0.847=方法二：分析要使这段时间内线路正常工作只要排除C J 开且A J 与BJ 至少有1个开的情况 []21()1()10.3(10.7)0.847P C P A B --⋅=-⨯-=例 4.已知某种高炮在它控制的区域内击中敌机的概率为0.2．（1）假定有5门这种高炮控制某个区域，求敌机进入这个区域后未被击中的概率；（2）要使敌机一旦进入这个区域后有0.9以上的概率被击中，需至少布置几门高炮？分析:因为敌机被击中的就是至少有1门高炮击中敌机，故敌机被击中的概率即为至少有1门高炮击中敌机的概率解:（1）设敌机被第k 门高炮击中的事件为K A (k=1,2,3,4,5)，那么5门高炮都未击中敌机的事件为12345A A A A A ⋅⋅⋅⋅．∵事件1A ，2A ，3A ，4A ，5A 相互独立，∴敌机未被击中的概率为12345()P A A A A A ⋅⋅⋅⋅=12345()()()()()P A P A P A P A P A ⋅⋅⋅⋅5(10.2)=-=5)54( ∴敌机未被击中的概率为5)54(．（2）至少需要布置n 门高炮才能有0.9以上的概率被击中，仿（1）可得： 敌机被击中的概率为1-n)54( ∴令41()0.95n -≥，∴41()510n ≤ 两边取常用对数，得110.313lg 2n ≥≈- ∵+∈N n ，∴11n =∴至少需要布置11门高炮才能有0.9以上的概率击中敌机点评：上面例1和例2的解法，都是解应用题的逆向思考方法采用这种方法在解决带有词语“至多”、“至少”的问题时的运用，常常能使问题的解答变得简便四、课堂练习：1．在一段时间内，甲去某地的概率是14，乙去此地的概率是15，假定两人的行动相互之间没有影响，那么在这段时间内至少有1人去此地的概率是( )()A 320 ()B 15 ()C 25 ()D 9202．从甲口袋内摸出1个白球的概率是13，从乙口袋内摸出1个白球的概率是12，从两个口袋内各摸出1个球，那么56等于（ ） ()A 2个球都是白球的概率 ()B 2个球都不是白球的概率()C 2个球不都是白球的概率 ()D 2个球中恰好有1个是白球的概率3．电灯泡使用时间在1000小时以上概率为0.2，则3个灯泡在使用1000小时后坏了1个的概率是（ ）()A 0.128 ()B 0.096 ()C 0.104 ()D 0.3844．某道路的A 、B 、C 三处设有交通灯，这三盏灯在一分钟内开放绿灯的时间分别为25秒、35秒、45秒，某辆车在这条路上行驶时，三处都不停车的概率是 （ ）()A 35192 ()B 25192 ()C 35576 ()D 651925．（1）将一个硬币连掷5次，5次都出现正面的概率是 ；（2）甲、乙两个气象台同时作天气预报，如果它们预报准确的概率分别是0.8与0.7，那么在一次预报中两个气象台都预报准确的概率是 ．6．棉籽的发芽率为0.9，发育为壮苗的概率为0.6，（1）每穴播两粒，此穴缺苗的概率为 ；此穴无壮苗的概率为 ．（2）每穴播三粒，此穴有苗的概率为 ；此穴有壮苗的概率为 ．7．一个工人负责看管4台机床，如果在1小时内这些机床不需要人去照顾的概率第1台是0.79，第2台是0.79，第3台是0.80，第4台是0.81，且各台机床是否需要照顾相互之间没有影响，计算在这个小时内这4台机床都不需要人去照顾的概率.8．制造一种零件，甲机床的废品率是0.04，乙机床的废品率是0.05．从它们制造的产品中各任抽1件，其中恰有1件废品的概率是多少？9．甲袋中有8个白球，4个红球；乙袋中有6个白球，6个红球，从每袋中任取一个球，问取得的球是同色的概率是多少？答案：1. C 2. C 3. B 4. A 5.(1)132 (2) 0.56 6.(1) 0.01 , 0.16 (2) 0.999,0.9367. P=220.790.810.404⨯≈8. P=0.040.950.960.050.086⨯+⨯≈9. 提示：86461121212122P =⋅+⋅= 五、小结 ：两个事件相互独立，是指它们其中一个事件的发生与否对另一个事件发生的概率没有影响一般地，两个事件不可能即互斥又相互独立，因为互斥事件是不可能同时发生的，而相互独立事件是以它们能够同时发生为前提的相互独立事件同时发生的概率等于每个事件发生的概率的积,这一点与互斥事件的概率和也是不同的六、课后作业：课本58页练习1、2、3第60页 习题 2. 2A 组4. B 组1七、板书设计（略）八、教学反思：1. 理解两个事件相互独立的概念。
高中数学必修2-3第二章2.22.2.2事件的相互独立性讲解
稳健启程夯基固本2. 22 事件的相互独立性1. 问题导航(1) 事件的相互独立性的定义是什么？性质是什么？ (2) 在运用相互独立性公式求概率时要注意什么？ 2. 例题导读例3是求两相互独立事件中的概率，请试做教材P 55练习1、2、3题.1. 相互独立的概念设A , B 为两个事件，若 P(AB)= __________ P(A)P(B)，则称事件 A 与事件B 相互独立. 2. 相互独立的性质若事件A 与B 相互独立，那么 A 与 ___________ B , A 与 ________ B , A 与B 也相互独立.1.判断(对的打“/',错的打“X”)(1) 不可能事件与任何一个事件相互独立. ( )(2) 必然事件与任何一个事件相互独立.()⑶“P(AB) = P(A) P (B)”是“事件 A , B 相互独立”的充要条件. ()答案：(1)2 (2) V (3) V1 2 2•甲，乙两人投球命中率分别为1,5,甲，乙两人各投一次，恰好命中一次的概率为() A 1 A .21答案：9 D石A3•甲、乙两名射手同时向一目标射击，设事件 A : “甲击中目标”， 事件B : “乙击中目标”，则事件 A 与事件B( )A .相互独立但不互斥B .互斥但不相互独立 C. 相互独立且互斥 D. 既不相互独立也不互斥 答案：A4.甲、乙两水文站同时作水文预报，如果甲站、乙站各自预报的准确率为 0.8和0.7.那么，在一次预报中，甲、乙两站预报都准确的概率为 _____________ .答案：0.56..... 荻名呃侑灌“..相互独立事件互斥事件条件事件A(或B)是否发生对事件B(或A)发生的概率没有影响不可能同时发生的两个事件符号相互独立事件A, B同时发生，记作：AB互斥事件A, B中有一个发生，记作：A U B(或A+ B)计算公式P(AB)= P(A)P(B)P(A U B) = P(A) + P(B)探究点一相互独立事件的判断例①从一副扑克牌(52张)中任抽一张，记事件A为“抽得老K”，记事件B为“抽得红牌”，记事件C为“抽到J” .判断下列每对事件是否相互独立？为什么？(1) A 与B;(2) C 与A.” 4 1［解］(1)P(A)= 52=13，26 1P(B)= 52=2，事件AB即为“既抽得老K又抽得红牌”，亦即“抽得红桃老K或方块老K”，故P(AB)P(A)P(B) = P(AB)，因此事件A与B相互独立.(2)事件A与事件C是互斥的，因此事件A与C不是相互独立事件.厂［旁桂阳谢i］r判断两事件的独立性的方法：(1) 定义法：如果事件A, B同时发生的概率等于事件A发生的概率与事件B发生的概率的积，则事件A, B为相互独立事件.(2) 由事件本身的性质直接判定两个事件发生是否相互影响.(3) 当P(A) > 0 时，可用P(B|A) = P(B)判断.2 _52 =丄26,从而有A.互斥的事件C.对立的事件B .相互独立的事件D .不相互独立的事件2次，每次取一球，用)1. (1)坛子中放有3个白球，2个黑球，从中进行不放回地取球A i表示第一次取得白球，A2表示第二次取得白球，则A1和A2是(3 2 1 3解析：选D. T P(A i) = 5.若A i 发生了，P(A2)= 2= 2；若A l 不发生，P(A2)=-，即A l 发生的结果对A2发生的结果有影响，••• Ai与A2不是相互独立事件.(2) —个袋子中有4个小球，其中两个白球，两个红球，讨论下列A，B事件的相互独立性与互斥性.①A:取一个球为红球，B:取出的红球放回后，再从中取一球为白球；②从袋中取两个球， A :取出的两球为一白球一红球；B:取出的两球中至少一个白球. 解：①由于取出的红球放回，故事件A与B的发生互不影响，因此A与B相互独立，A, B能同时发生，不是互斥事件.②设两个白球为a, b,两个红球为1, 2,则从袋中取两个球的所有取法为{a, b} , {a, 1}, {a, 2}, {b, 1} , {b, 2}, {1 , 2},4 25 2则P(A) = 4 = 2 , P(B) = 5 , P(AB) = 2 ,6 3 6 3•/ P(AB)工P(A) P(B),•事件A , B不是相互独立事件，事件 A , B能同时发生.• A , B不是互斥事件.相互独立事件同时发生的概率■'nCj甲、乙2个人独立地破译一个密码，他们能译出密码的概率分别为1和4,求：3 4(1) 2个人都译出密码的概率；(2) 2个人都译不出密码的概率；(3) 至多1个人译出密码的概率；[解]记“甲独立地译出密码”为事件A, “乙独立地译出密码“为事件B , A与B为相1 1互独立事件，且P(A) = - , P(B)=-.3 4(1) “ 2个人都译出密码”的概率为：1J 1P(AB)= P(A) P(B)= 4 =石.(2) “2个人都译不出密码”的概率为：———— 1 11P(A B)= P(A) P(B)= [1 - P(A)] X [1 - P(B)] = (1 - -)X (1 - 4)=夕(3) “至多1个人译出密码”的对立事件为“ 2个人都译出密码”，所以至多1个人译出密码的概率为：1、/ 1 111-P(AB)= 1 - P(A)P(B)= 1-3X 4 =石[互动探究]在本例条件下，求：(1) 恰有1个人译出密码的概率；(2) 至少1个人译出密码的概率.解：(1) “恰有1个人译出密码”可以分为两类，即甲译出乙未译出以及甲未译出乙译出，且两个事件为互斥事件，所以恰有1个人译出密码的概率为：P(A- + -B)= P(A-)+ P(-B)=P(A)P(B)+ P(A)P(B)(2) “至少1个人译出密码”的对立事件为“ 2个人都未译出密码 所以至少1个人译出密码的概率为：—— — — 2^31 1- P(A B)= 1 — P(A)P( B)= 1— 3X 4= ^.厂［方储旳倩］r1. 求相互独立事件同时发生的概率的步骤是：(1) 首先确定各事件之间是相互独立的； (2) 确定这些事件可以同时发生； (3) 求出每个事件的概率，再求积.2•使用相互独立事件同时发生的概率计算公式时，要掌握公式的适用条件，即各个事 件是相互独立的，而且它们能同时发生.都没有投进的概率为()B 石C.1 1D.— 10解析： 选C .甲、乙、丙3人投篮相互独立，都不进的概率为1— g 1—5 1—1 = 5⑵设进入某商场的每一位顾客购买甲种商品的概率为0.5，购买乙种商品的概率为 0.6,且购买甲种商品与购买乙种商品相互独立，各顾客之间购买商品也是相互独立的.求：① 进入商场的1位顾客购买甲、乙两种商品中的一种的概率； ② 进入商场的1位顾客至少购买甲、乙两种商品中的一种的概率.解：记A 表示事件“进入商场的1位顾客购买甲种商品”，记B 表示事件“进入商场 的1位顾客购买乙种商品”，记C 表示事件“进入商场的1位顾客购买甲、乙两种商品中 的一种”，记D 表示事件“进入商场的1位顾客至少购买甲、乙两种商品中的一种”.①易知C = A —U —B ,则 P(C) = P(AB U AB)= P(AB) + P(AB)= P(A)P( B) + P(A)P(B)= 0.5X 0.4 + 0.5X 0.6=0.5.②易知D = AB ,则 P( D) = P( A B) = P( A)P( B)= 0.5X 0.4= 0.2, 故 P(D)= 1 —P( D) = 0.8.1 1 1=尹(1 - 4)+(1 - 3) 5 12.2. (1)甲、乙、丙3人投篮，投进的概率分别是 3，5，1现3人各投篮1次，则3人(3)某班甲、乙、丙三名同学竞选班委，甲当选的概率为的概率为—.10求：①恰有一名同学当选的概率； ②至多两人当选的概率.解：设甲、乙、丙当选的事件分别为A 、B 和C.①因为事件A, B, C 相互独立，恰有一名同学当选的概率为 P(A B C ) + P( A B C )+ P( ABC) = P(A)P( B )P( C) + P(A )P(B)P(C ) + P(A)P( B) P(C)=4X 2 X 3 3x 3+ 1 X = 5 5 10 5 5 10 5 5 10 ②至多有两人当选的概率为 1 -P(ABC) = 1-P(A)P(B)P(C)= 1 -4X5 X务 曇.................. .... h+rr ＞〔蒙谆兪提1笄)J ...甲、乙两人各射击一次，击中目标的概率分别是2和弓.假设两人射击是否击中目标3 4相互之间没有影响，每人每次射击是否击中目标相互之间也没有影响.(1) 求甲、乙各射击一次均击中目标的概率； (2) 求甲射击4次，恰有3次连续击中目标的概率.［解］(1)记事件A 表示“甲击中目标”，事件B 表示“乙击中目标”， 依题意知事件 A 和事件B 相互独立，因此甲、乙各射击一次均击中目标的概率为P(AB) = P(A)P(B) = 3 X 3 = 23 4 2⑵记事件A i 表示“甲第i 次射击击中目标”(其中i = 1， 2， 3， 4)，并记“甲4次射击 恰有3次连续击中目标”为事件C ，贝V C = A 1A 2A 3A 4 U A 1A 2A 3A 4，且 A 1A 2A 3A 4与 A 1A 2A 3A 4 是互斥事件， 由于A 1，A 2，A 3，A 4之间相互独立，所以A i 与A j (i ，j = 1，2，3，4，且i 工j)之间也相互独立.2由于 P(A” = P(A0= P(A 3)= P(A 4)= 3， 故 P(C)= P(A 1A 2A 3A 4 U A 1A 2A 3A 4)=P(A”P(A 2)P(A 3)P(A 4)+ P(A 1)P(A 2)P(A 3)P(A 4)问题.4 3 4，乙当选的概率为3，丙当选 5 5•-P(A) = 4, 5P(B) = 5, P(C)=和47250.《)3= 1681.［感悟提高］1.在求解第(2)问时，利用了分类讨论思想，把该事件分为两类求其概率.2. 求较复杂事件概率的一般步骤：(1)列出题中涉及的各事件，并且用适当的符号表示；(2) 理清事件之间的关系(两事件是互斥还是对立，或者是相互独立 )，列出关系式;(3) 根据事件之间的关系准确选取概率公式进行计算.测)<1•抛掷3枚质地均匀的硬币， A =｛既有正面向上又有反面向上｝ , B = ｛至多有一个反面向上｝，则A 与B 的关系是()A .互斥事件B .对立事件C .相互独立事件D .不相互独立事件2 3 4 1 3解析：选 C.由已知，有 P(A)= 1 —： = ：,P(B)= 1 — =-,P(AB)=，满足 P(AB) = P(A)P(B),8 4 8 2 8 则事件A 与事件B 相互独立，故选 C. 2.投掷一枚均匀硬币和一枚均匀骰子各一次，记"硬币正面向上”为事件A ,"骰子向上的点数是3”为事件B ,则事件A , B 中至少有一件发生的概率是( )5 AA.12解析：选 C. •/ P(A) = - , P(B)=-,2 6—1—5•-P (A) = 2 P (B) = 6. 又A , B 为相互独立事件， 155•-P(A B) = P(A)P(B)= X 6=石.••• A , B 中至少有一件发生的概率为 5 71 — P(A B)= 1 —石=石 3.有一道数学难题，在半小时内，甲能解决的概率是彳，乙能解决的概率是 * 2人试 23图独立地在半小时内解决它，则两人都未解决的概率为 ______________ ，问题得到解决的概率为4 5 *答案：12 4.某人忘记了电话号码的最后一个数字，因而他随意地拨号，假设拨过了的号码不再 重复，试求下列事件的概率；(1) 第3次拨号才接通电话； (2) 拨号不超过3次而接通电话.解：设A i = ｛第i 次拨号接通电话｝, i = 1, 2, 3.4 1 12 1解析：都未解决的概率为(1 —刁(1 —§)= X 3=§•问题得到解决就是至少有1人能解决1B.2• P = 1 — 23.(1)第3次才接通电话可表示为A1 —A2—A3 ,9 8 11于是所求概率为P(A1- A—A3) = 190X9X-8=盘.(2)拨号不超过3次而接通电话可表示为A i + A i A2+ A i—A2 —A3,于是所求概率为P(A i + A i —A2+ A i —A2 —A3)=P(A i)+ P(A i A2)+ P(A i—A2 —A3)=丄+ 2 X 1 + 2 X 8X 丄=i0 i0 9 i0 9 8训练案一知能捉升[A.基础达标]i •设A与B是相互独立事件，则下列事件中不相互独立的是（）A • A 与- B.—与 BC.—与—解析：选D.A、B、C选项的两事件相互独立，而A与A是对立事件，不是相互独立事件.2. —袋中有3个红球，2个白球，另一袋中有2个红球，i个白球，从每袋中任取i 个球，则至少取i个白球的概率为（）3A.83B.32解析：i%选B.至少取i个白球的对立事件为从每袋中都取得红球，从第一袋中取i个球3 2为红球的概率为6，从另一袋中取i个球为红球的概率为2，则至少取i个白球的概率为i —5 3解析：选A.左边转盘指针落在奇数区域的概率为6=f，右边转盘指针落在奇数区域的2 2 2 46X2= 35 3 5'3. 如图所示，在两个圆盘中，指针落在本圆盘每个数所在区域的机会均等，那么两个指针同时落在奇数所在区域的概率是（）3i0.4A.92B.22 i概率为2，二两个指针同时落在奇数区域的概率为 2 X 3=9.3 3 3 91 14. 甲、乙两名学生通过某种听力测试的概率分别为2和3，两人同时参加测试，其中有且只有一人能通过的概率是( )1 2 A.3 B.3 i C.2D . 1解析：选C.设事件A 表示“甲通过听力测试”，事件B 表示“乙通过听力测试”.依 1 1题意知，事件A 和B 相互独立，且P(A)= 2，P(B)= 3.记“有且只有一人通过听力测试 ”为事件C ,贝V C = (AB) U (AB)，且AB 和A B 互斥.故 P(C)= P((AB)U (AB))=P(AB)+ P( AB) = P(A)P( B)+ P(A )P(B) 111 1 1 =2x (1 —3)+(1—2 x3=2.1-,从乙袋中摸出一个红球的概率是3 1 22,从两袋各摸出一个球，则2等于()A. 2个球不都是红球的概率B. 2个球都是红球的概率C. 至少有1个红球的概率D. 2个球中恰有1个红球的概率解析： 1 2 •- P(A)= 2, P(B)= 3,—1 — 1••• P(A) = 2, P(B) = 3.1 1 1• P(AB)= P(A)P(B)= 2 X 3= 6， 111P(A B)= P(A)P(B) = 2X-= 6.答案:J J7. (2015铜陵质检)在甲盒内的200个螺杆中有160个是A 型，在乙盒内的240个螺母 中有180个是A 型•若从甲、乙两盒内各取一个，则能配成A 型螺栓的概率为 _________ .解析：从甲盒内取一个 A 型螺杆记为事件 M ，从乙盒内取一个 A 型螺母记为事件 N , 因事件M 、5. (2015东莞调研)从甲袋中摸出一个红球的概率是 解析：选C.分别记从甲、乙袋中摸出一个红球为事件1 1A 、B ,则 P(A) = -, P(B)于A 、B 相互独立，所以1- P(A)P(B)2 1 2=1 — 3 x 2=3.根据互斥事件可知 C 正确.6. 已知A , B 是相互独立事件，且 1 2 —P(A)= 2，P(B)= 3,贝V P(AB) = ；P(A B)N相互独立，则能配成A型螺栓(即一个A型螺杆与一个A型螺母)的概率为160、，180 3P(MN)= P(M)P(N)=200x240=5.3答案：35&设甲、乙、丙三台机器是否需要照顾相互之间没有影响，已知在某一小时内，甲、乙都需要照顾的概率为0.05，甲、丙都需要照顾的概率为0.1，乙、丙都需要照顾的概率为0.125.则甲、乙、丙每台机器在这个小时内需要照顾的概率分别为 ________ 、 _______ 、解析：记“机器甲需要照顾”为事件A, “机器乙需要照顾”为事件B, “机器丙需要照顾”为事件C,由题意可知A, B, C是相互独立事件.P (AB)= P (A) P ( B)= 0.05,由题意可知P (AC)= P (A) P ( C)= 0.1 ,P (BC)= P ( B) P (C)= 0.125 ,P (A)= 0.2 ,得P (B)= 0.25,P (C)= 0.5.所以甲、乙、丙每台机器需要照顾的概率分别为0.2、0.25、0.5.答案：0.2 0.25 0.59 .掷3枚质地均匀的硬币，设事件A表示第一枚正面朝上，事件B表示3枚结果相同，试判断A与B是否相互独立.4 1解：掷3枚硬币，基本事件总数为8，事件A包含的基本事件个数为 4 ,••• P(A):8 2B包含的基本事件个数为2,二P(B)= |= £ AB包含的基本事件为(正，正，正),8 41•- P(AB)=-.111而P(A)P(B)=『1 = - = P(AB),• A、B相互独立.10.某工厂有3套设备，它们在一天内不要工人维护的概率分别是：第一台为0.9,第二台为0.8，第三台为0.7.计算一天内：(1) 3套设备都要维护的概率是多少？(2) 恰有1套设备要维护的概率是多少？(3) 至少有1套设备要维护的概率是多少？解：设在一天内，第一台、第二台、第三台需工人维护分别为事件A、B、C,则A, B,C 相互独立，且P(A) = 1- 0.9= 0.1 , P(B) = 1 - 0.8= 0.2, P(C)= 1 - 0.7= 0.3.(1)3套设备都需维护的概率是P(ABC)= P(A)P(B)P(C)= 0.1 X 0.2X 0.3= 0.006.⑵恰有1套设备要维护的概率是P(AB C) + P(ABC) + P(A BC)= 0.398.(3)至少1套设备需要维护的概率是1 — P(A B C)= 1 - P(A)P( B)P(C) = 1 - 0.9X 0.8X 0.7= 0.496. 1 •设两个独立事件 A 和B 都不发生的概率为 [B.能力提升] 11, A 发生B 不发生的概率与 B 发生A 不发生的概率相同，则事件 A 发生的概率P(A)是( B .18 八2 1 C.3 解析：选D.由题意, 2 D.2 1 P(A) P (B)= 9，P(A) P(B)= P(A) - P(B) • P(B)=y ,(1 - y )= 9y = x (1-y ).1-9， 设 P(A) = x ， (1-x ) 则$I ( 1-x )1 - x - y + xy =石, X= y ,••• x 2-2x + 1 = 9,1 1•-x -1 = - 3，或 x -1 = 3(舍去), 2• x = 3,故选 D.32•甲、乙两队进行排球决赛，现在的情形是甲队只要再赢一局就得冠军，乙队需要再 赢两局才能得冠军•若两队胜每局的概率相同，则甲队获得冠军的概率为 3 B.3 1A.2 C.| D .3 解析：选D.由甲、乙两队每局获胜的概率相同，知甲每局获胜的概率为 1 1，甲要获得冠 军有两种情况：第一种情况是再打一局甲赢，甲获胜概率为 1 -;第二种情况是再打两局，第 111 113一局甲输，第二局甲赢•则其概率为(1 -2)X -=故甲获得冠军的概率为2+ 4=4.3.甲、乙两人参加环保知识竞赛，在 10道备选试题中，甲能答对其中的 6道题，乙能 答对其中的8道题.现规定每次考试都从备选题中随机抽出 3题进行测试，至少答对2题为 合格•则甲、乙两人至少有一人考试合格的概率为 ____________ •解析：设甲、乙两人考试合格的事件分别为 A 、B ,事件A 、B 相互独立.P(A)=c 6c i + C (5 2 C ；0 =3,c 8c ；+ C 3 14 P(B)=C ；0=15所以甲、乙两人考试均不合格的概率为P(AB) = P(A)P(B) = 1-2 1 -希=454 •在一线路中并联着 3个自动控制的常开开关，只要其中有 就能正常工作•假定在某段时间内每个开关能够闭合的概率都是 正常工作的概率是 __________ •解析：由题意，分别记这段时间内开关 J A , J B , J C 能够闭合为事件 A , B , C •这段时间 内3个开关是否能够闭合相互之间没有影响. 根据相互独立事件的概率乘法公式，这段时间内3个开关都不能闭合的概率是P(A — B — C — ) = P(A — )P(B — )P(C —) =[1 — P(A)][1 — P(B)][1 — P(C)] =(1 — 0.7)(1 — 0.7)(1 — 0.7)= 0.027.所以这段时间内至少有 1个开关能够闭合，即使线路能正常工作的概率是 1 — P(A —B—C — ) = 1— 0.027 = 0.973.答案：0.9735•某同学参加科普知识竞赛，需回答三个问题，竞赛规则规定：答对第一、二、三个 问题分别得100分、100分、200分，答错得零分•假设这名同学答对第一、二、三个问题 的概率分别为0.8、0.7、0.6，且各题答对与否相互之间没有影响.(1) 求这名同学得300分的概率； (2) 求这名同学至少得 300分的概率.解：记"这名同学答对第i 个问题”为事件A i (i = 1, 2, 3)，则P(A 1)= 0.8, P(A 2)= 0.7, P(A 3) = 0.6, A 1 , A 2, A 3相互独立.(1)这名同学得300分的概率 P 1= P(A 1A 2 — A 3) + P(A 1 — A 2A 3)=P(A 1)P(A 2 — )P(A 3) + P(A 1 — )P(A 2)P(A 3)=0.8X 0.3 X 0.6+ 0.2 X 0.7X 0.6 = 0.228.⑵这名同学至少得300分的概率P 2= P 1 + P(A 1A 2A 3) = 0.228+ P(A 1)P(A 2)P(A 3)=0.228+ 0.8 X 0.7X 0.6 = 0.564.6. (2015石家庄高二检测)某公司招聘员工，指定三门考试课程，有两种考试方案： 方案一：考故甲、乙两人至少有一人考试合格的概率 P = 1 — P(A B)=45 44 45.答案: 44451个开关能够闭合，线路 0.7,则在这段时间内线路三门课程至少有两门及格为考试通过；方案二：在三门课程中，随机选取两门，这两门都及格为考试通过.假设某应聘者对三门指定课程考试及格的概率分别为0.5, 0.6, 0.9,且三门课程考试是否及格相互之间没有影响.(1) 求该应聘者用方案一通过的概率；(2) 求该应聘者用方案二通过的概率.解：记“应聘者对三门考试及格的事件”分别为A, B, C.P(A) = 0.5, P(B) = 0.6, P(C) = 0.9.(1) 该应聘者用方案一通过的概率是P i= P(AB C)+ P(A BC)+ P(A BC) + P(ABC)=0.5X 0.6 X 0.1 + 0.5X 0.6 X 0.9 + 0.5X 0.4X 0.9 + 0.5 X 0.6 X 0.9 = 0.03 + 0.27 + 0.18 + 0.27= 0.75.(2) 应聘者用方案二通过的概率1 1 1P2= §P(AB)+ §P(BC)+ §P(AC)1=3(0.5 X 0.6 + 0.6X 0.9 + 0.5X 0.9)1=-X 1.29= 0.43.3。
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1 P(AB) 1 (1 0.05)(1 0.05) 0.0975
[题后感悟]
(1)求相互独立事件同时发生的概率的步骤 是： ①首先确定各事件之间是相互独立的； ②确定这些事件可以同时发生； ③求出每个事件的概率，再求积． (2)使用相互独立事件同时发生的概率计算 公式时，要掌握公式的适用条件： 各个事件相互独立；同时发生．
甲
注意5：互斥事件和相互独立事件两个概念的区 别： 互斥事件 相互独立事件
概 念
符
不可能同时发生的 两个事件叫做互斥 事件.
如果事件A（或B）是否发生对事 件B（或A）发生的概率没有影响， 这样的两个事件叫做相互独立事 件
号
互斥事件A、B中 相互独立事件A、B同时 有一个发生， 发生, 记作:A∪B(或A+B) 记作:AB
思考与探究
思考1：三张奖券有一张可以中奖。现由三 名同学依次无放回地抽取，问：最后一名去 抽的同学的中奖概率是否会受到第一位同学 是否中奖的影响吗？ 设A为事件“第一位同学没有中奖”。
B表示事件“最后一名同学中奖”.
n ( AB ) P ( AB ) 1 P( B A) n( A) P( A) 2
分析：两个事件相互独立
例题解析
（1）“都抽到某一指定号码”； 解: (1)记“第一次抽奖抽到某一指定号码” 为事件A， “第二次抽奖抽到某一指定号码” 为事件B，则“两次抽奖都抽到某一指定号码” 就是事件AB。
由于两次的抽奖结果是互不影响的,因此A和B 相互独立.于是由独立性可得,两次抽奖都抽到 某一指定号码的概率为 P(AB)=P(A)P(B)=0.05×0.05=0.0025
P(A)+P(Ā)=1
复习回顾
(4).条件概率的概念
设事件A和事件B，且P(A)>0,在已知事件A发 生的条件下事件B发生的概率，叫做条件概率。 记作P(B |A).
(5).条件概率计算公式:
n( AB) P( AB) P( B | A) n( A) P( A)
注意条件：必须 P(A)>0
12 25
(D)
14 25
练习3.某产品的制作需三道工序，设这三道工 序出现次品的概率分别是P1,P2,P3.假设三道工 序互不影响，则制作出来的产品是正品的概率 是 (1－P1) (1－P2) (1－P3) .
小结反思
互斥事件
相互独立事件
概 念
符
不可能同时发生的 两个事件叫做互斥 事件.
如果事件A（或B）是否发生对事 件B（或A）发生的概率没有影响， 这样的两个事件叫做相互独立事 件
高二数学 选修2-3
2.2.2事件的相互 独立性（一）
复习回顾
①什么叫做互斥事件？什么叫做对立事件？
不可能同时发生的两个事件叫做互斥事件；如果两个互斥 事件有一个发生时另一个必不发生，这样的两个互斥事件 叫对立事件.
②两个互斥事件A、B有一个发生的概率公式是 什么？ P(A+B)=P(A)+P(B) ③若A与A为对立事件，则P（A）与P（A）关 系如何？
P=0.2×0.3＝0.06
（2）甲、乙两地都不下雨的概率；
P=(1-0.2)×(1-0.3)=0.56
（3）其中至少有一方下雨的概率.
P=1-0.56=0.44
练习
练习2、若甲以10发8中，乙以10发7中的命 中率打靶，两人各射击一次，则他们都中靶 的概率是( D )
(A)
3 5
(B)
3 4
(C)
相互独立的概念的理解
注意3：必然事件与不可能事件与任何一个事 件都相互独立。
P() 0, P() 1 P(A) 0 P() P( A), P(A) P( A) P() P( A)
注意4：如果事件A与B相互独立, 那么A与B, A与B, A与B, 也都相互独立
A与B是相互独立事件. 填空： [探究3]：甲坛子里有3个白球,2个黑球,乙
运用（二）求相互独立事件概率 例1、某商场推出两次开奖活动，凡购买一定价值 的商品可以获得一张奖券。奖券上有一个兑奖号码， 可以分别参加两次抽奖方式相同的兑奖活动。如果 两次兑奖活动的中奖概率都为0.05，求两次抽奖中 以下事件的概率： （1）“都抽到中奖号码”； （2）“恰有一次抽到中奖号码”； （3）“至少有一次抽到中奖号码”。
又∵ P(AB)= P(A)P(B|A)
1 P(B|A)= = P(B) 3
∴ P(AB)= P(A)P(B)
一、相互独立的概念
设A，B为两个事件，如果
P( AB) P( A) P( B)
则称事件A与事件B相互独立。
注意：1、相互独立即 A发生与否不影响B发生的概率 B发生与否不影响A发生的概率
定性判断 独立事件
相互独立的概念的理解
注意2：相互独立事件同时发生的概率公 式： P( AB) P( A) P( B) 即两个相互独立事件同时发生的概率， 等于每个事件的概率的积。 定量判断
独立事件
推广：如果事件 A1 ， A2 ， …An 相互独立，那么 这n个事件同时发生的概率 等于每个事件发生的概率的积.即： P(A1· A2·…·An)= P(A1)· P(A2)·…·P(An)
答:事件A的发生会影响事件B发生的概率
思考与探究
思考1：三张奖券有一张可以中奖。现由三 名同学依次有放回地抽取，问：最后一名去 抽的同学的中奖概率会受到第一位同学是否 中奖的影响吗？ 设A为事件“第一位同学没有中奖”。
B表 示 事 件 “最 后 一 名 同 学 中 奖 ” .
事件A的发生不会影响事件B发生的概率。
练一练:已知A、B、C相互独立，试用数学 符号语言表示下列关系 ① A、B、C同时发生概率； ② A、B、C都不发生的概率； ③ A、B、C中恰有一个发生的概率； ④ A、B、C中恰有两个发生的概率； ⑤A、B 、C中至少有一个发生的概率； (1)A发生且B发生且C发生
P( A B C )
从甲坛子里摸出 ,得到黑球 事件 A是指 坛子里有 2______________________; 个白球 ,2个黑球1 ,个球 设从甲坛子里 摸出一个球 ,从乙坛子里摸出 得出白球叫做事件 从乙坛子 事件 B是指______________________; 1个球A, ,得到黑球 里摸出 个球 ,得到白球叫做事件 A 与B是1 _____________ 事件； B, 相互独立 如果事件A与B相互独立 乙 , 相互独立 A与B是_____________ 事件； 那么A与 B, A与B, A与 B A与B是____________ 相互独立 __事件. 也都相互独立
计算 P(A∪B)=P(A)+P(B) 公式
P（AB）= P(A)P(B)
互斥事件不是独立事件，独立事件也不是互斥事件
运用（一）判断各事件的关系
（1）运动员甲射击一次，射中9环与射中8环； 互斥
（2）甲乙两运动员各射击一次，甲射中9环与 乙射中8环； 相互独立
(3)已知 P ( A ) 0.6, P ( B ) 0.6, P ( AB ) 0.24 则事件 A与 B
(2)A不发生且B不发生且C不发生
P( A B C )
练一练:已知A、B、C相互独立，试用数学 符号语言表示下列关系 ① A、B、C同时发生概率； ② A、B、C都不发生的概率； ③ A、B、C中恰有一个发生的概率； ④ A、B、C中恰有两个发生的概率； ⑤A、B 、C中至少有一个发生的概率；
例题解析
（2）“恰有一次抽到某一指定号码”；
解: “两次抽奖恰有一次抽到某一指定号码” 可以用(AB)(AB) 表示。由于事件 A B 与 AB 互斥，根据概率加法公式和相互独立事件的 定义，所求的概率为：
P(AB) P(AB) P(A)P( B) P(A )P(B) 0.05(1 0.05)(1 0.05) 0绩合 格”与“乙的成绩优秀” 相互独立
试一试
判断事件A, B 是否为互斥, 互独事件?
1.篮球比赛 “罚球二次” . 事件A表示“ 第1球罚中”, 事件B表示“第2球罚中”. A与B为互独事件
2.袋中有4个白球, 3个黑球, 从袋中依此取2球. 事件A:“取出的是白球”.事件B:“取出的是黑球” ( 不放回抽取) A与B为非互独也非互斥事件 3.袋中有4个白球, 3个黑球, 从袋中依此取2球. 事件A为“取出的是白球”.事件B为“取出的是白 A与B为互独事件 球”. ( 放回抽取) 判断两个事件相互独立的方法 1.定量判断:P(AB)=P(A)P(B) 2.定性判断:A发生与否不影响B发生的概率 B发生与否不影响A发生的概率
(3) P ( A B C ) P ( A B C ) P ( A B C )
(4) P ( A B C ) P ( A B C ) P ( A B C )
( 5 )1 P ( A B C )
练习1、在一段时间内，甲地下雨的概率是0.2，乙地下雨 的概率是0.3，假定在这段时间内两地是否下雨相互 之间没有影响，计算在这段时间内： （1）甲、乙两地都下雨的概率；
号
计算 公式
互斥事件A、B中 相互独立事件A、B同时 有一个发生， 发生 , :AB 记作 记作:A∪B(或A+B) P(A∪B)=P(A)+P(B) P（AB）= P(A)P(B)
例题解析
（3）“至少有一次抽到某一指定号码”； 解: “两次抽奖至少有一次抽到某一指定号码” 可以用 (AB)(AB)(AB)表示。由于事件AB, AB 与 A B 两两互斥，根据概率加法公式和相互独立 事件的定义，所求的概率为：
P(AB) P(AB) P(AB) 0.0025 0.095 0.0975