专题复习-“隐形圆”问题 - 无答案

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“隐形圆”问题
一、问题概述
江苏省高考考试说明中圆的方程是 C 级知识点，每年都考，但有些时候，在条件中没 有直接给出圆方面的信息，而是隐藏在题目中的，要通过分析和转化，发现圆（或圆的方程）， 从而最终可以利用圆的知识来求解，我们称这类问题为“隐形圆”问题．
二、求解策略
如何发现隐形圆（或圆的方程）是关键，常见的有以下策略．
策略一 利用圆的定义（到定点的距离等于定长的点的轨迹）确定隐形圆
例 1（1）如果圆(x －2a )2＋(y －a －3)2＝4 上总存在两个点到原点的距离为 1，则实数 a 的取
值范围是
．
（2）（2016 年南京二模）已知圆 O ：x 2＋y 2＝1，圆 M ：(x －a )2＋(y －a ＋4)2＝ 1．若圆 M 上 存在点 P ，过点 P 作圆 O 的两条切线，切点为 A ，B ，使得∠APB ＝ 60°，则 a 的取值范 围为 ．
（3）（2017 年苏北四市一模）已知 A 、B 是圆 C : x 2 + y 2 = 1 上的动点， AB P 是圆
C : (x - 3）2
+ ( y - 4)2= 1 上的动点，则 PA + PB 的取值范围是
（4）若对任意α∈R ，直线 l ：x cos α＋y sin α＝2sin(α＋ π
)＋4 与圆 C ：(x －m )2＋(y )2
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＝1 均无公共点，则实数 m 的取值范围是
例 2（2017 年南通市一模）在平面直角坐标系 xOy 中，已知 B ，C 为圆 x 2 + y 2 = 4 上两点， 点 A (1，1) ，且
AB ⊥AC ，则线段 BC 的长的取值范围为 ．
B
M
C
A
变式 1 （2014 年常州高三期末卷）在平面直角坐标系 xOy 中，已知圆 O : x 2 + y 2 = 16 ，点
P (1, 2) ，M 、N 为圆 O 上两个不同的点，且 PM ⋅ PN = 0 ，若 PQ = PM + PN ，则 PQ 的
最小值为 ．
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2
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变式 2
已知圆 C 1 ： x + y = 9 ，圆 C 2 ： x + y = 4 ，定点
P (1, 0) ，动点 A , B 分别在圆 C 1 和圆 C 2 上，满足 ∠APB = 90 ，
则线段 AB 的取值范围 ．
变式 3 已知向量 a 、b 、c 满足 a = 3, b = 2, c = 1, (a - c ) ⋅ (b - c ) = 0 ，则 a - b 范围
为 ．
心，
策略二 动点 P 对两定点 A 、B 张角是 900 （ k PA ⋅ k PB = -1 ，或 PA ⋅ PB = 0）确定隐形圆
例 3 （1）（2014 年北京卷）已知圆 C ： (x - 3)2 + ( y - 4)2 = 1 和两点 A (-m , 0) ， B (m , 0) ，
若圆上存在点 P ，使得 ∠APB = 90 ，则 m 的取值范围是
．
（2）（海安 2016 届高三上期末）在平面直角坐标系 xOy 中，已知点 P (−1，0) ，
Q (2 ，1) ，直线 l ：ax + by + c = 0 其中实数 a ，b ，c 成等差数列，若点 P 在直线 l 上
的射影为 H ，则线段 QH 的取值范围是 ．
（3）（通州区 2017 届高三下开学初检测）设 m ∈ R ，直线 l = 0 与直线
l 2 ： mx - y - 2m - 4 = 0 交于点 P (x 0 , y 0 ) ，则 x 0 2 + y 2 + 2x 0 的取值范围
是
．
变式 （2017 年南京二模）在平面直角坐标系 xOy 中，直线 l 1：kx －y ＋2＝0 与
直线 l 2： x ＋ky －2＝0 相交于点 P ，则当实数 k 变化时，点 P 到直线 x －y －4＝0 的距
离的最大值为
．
策略三 两定点 A 、B ，动点 P 满足 PA ⋅ PB = λ 确定隐形圆
例 4 （1）（2017 年南通密卷 3）已知点 A (2, 3) ，点 B (6, -3)
，点 P 在直线 3x - 4 y + 3 = 0 上，
若满足等式 AP ⋅ BP + 2λ = 0 的点
P 有两个，则实数 λ 的取值范围是 ．
（2）（2016 年盐城三模）已知线段 AB 的长为 2，动点 C 满足 CA ⋅ C B = λ （
λ 为常数），
且点 C 总不在以点 B 为圆 1 2
为半径的圆内，
则负数 λ 的最大值是 .
策略四 两定点 A 、B ，动点 P 满足
PA 2 + PB 2 是定值确定隐形圆
例 5 （1）在平面直角坐标系 xOy 中，已知圆 C ：(x －a )2＋(y －a ＋2)2＝1，点 A (0，2)，若
圆 C 上存在点 M ，满足 MA 2＋MO 2＝10，则实数 a 的取值范围是 ．
（2）（2017 年南京、盐城一模）在 ∆ABC 中，A ，B ，C 所对的边分别为
a ,
b ,
c ，若
a 2 +
b 2 + 2
c 2 = 8 ，则 ∆ABC 面积的最大值为
．
策略五两定点A、B，动点P 满足PA
=λ(λ> 0, λ≠ 1) 确定隐形圆（阿波罗尼斯圆）PB
例7（2017 年南通二模）一缉私艇巡航至距领海边界线l（一条南北方向的直线）3.8 海里的
A 处，发现在其北偏东30°方向相距4 海里的
B 处有一走私船正欲逃跑，缉私艇立即追
击．已知缉私艇的最大航速是走私船最大航速的3 倍．假设缉私艇和走私船均按直线方向以最大航速航行．
（1）若走私船沿正东方向逃离，试确定缉私艇的追击方向，使得用最短时间在领海内拦截
成功；（参考数据：sin17 °≈≈ 5.7446 ）
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（2）问：无论走私船沿何方向逃跑，缉私艇是否总能在领海内成功拦截？并说明理由．
北
A
60
图乙．
策略六由圆周角的性质确定隐形圆
例8 （1）已知a,b,c 分别为∆ABC 的三个内角A, B, C 的对边，a = 2 ，
(a+b)(sin A-sin B)=(c-b)sin C 则∆ABC 面积的最大值为．
（2）（2017 年常州一模）在△ABC 中，∠C＝45o，O 是△ABC 的外心，若OC =mOA +nOB (m，n∈R)，则m＋n 的取值范围是．
三、同步练习
1．已知直线l : x -2y+m = 0 上存在点M 满足与两点A(-2, 0) , B(2, 0) 连线的斜率之积为-1 ，则实数m 的取值范围是
2．(2016 年泰州一模)已知实数a，b，c 满足a2 +b2 =c2 ，c ≠ 0 ，则
b
a - 2c
的取值范围
为．
3．已知θ,t∈R ，则(cosθ-t - 2)2 + (sinθ-t + 2)2 的取值范围是．
4．已知圆C :(x- 3)2 +(y - 4)2 =1和两点A(-m, 0), B(m, 0) (m > 0) ．若圆C 上存在点P，使得PA ⋅PB =1，则m 的取值范围是．
7．（2016 年无锡一模）已知圆C : ( x- 2)2 +y2 = 4 ，线段EF 在直线l : y =x +1 上运动，点P 为线段EF 上任意一点，若圆C 上存在两点A、B，使得PA ⋅PB ≤0 ，则线段EF 长度的最大值是．
8．如图，已知点A(－1,0)与点B(1,0)，C 是圆x2＋y2＝1 上的
动点(与点A,B 不重合)，连接BC 并延长至D，使得|CD|
＝|BC|，则线段PD 的取值范围．
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9．在平面直角坐标系 xOy 中，已知点 A ( - t ，0)(t > 0) ， B (t ，0) ，点 C 满足 AC ⋅ BC = 8 ，
且点 C 到直线 l ： 3x - 4y + 24 = 0 的最小距离为 9 ，则实数 t 的值是
．
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10．（2013 年江苏卷第 17 题改编）在平面直角坐标系 xOy 中，已知点 O (0, 0) ， A (0, 3) 如果
圆 C : ( x - a )2 + ( y - 2a + 4)2 = 1 上总存在点 M 使得 MA = 2MO ，则圆心C 的横坐标 a 的 取值范围是 ．
11．已知向量 a 、b 、c 满足 a = b = a ⋅ b = 3 ，若 (c - 2a )(2 b -3c ) =0 ，则 b - c 的最大
值是
．
12．设点 A , B 是圆 x 2 + y 2 = 4 上的两点，点 C (1, 0) ，如果 ∠ACB = 90 ，则线段 AB 长度的取
值范围为
．
13．在 ∆ABC 中，BC ＝ 2AC ＝1，以 AB 为边作等腰直角三角形 ABD (B 为直角顶点，C 、
D 两点在直线 AB 的两侧)．当∠C 变化时，线段 CD 长的最大值为
．
14．（2016 年南通三模）在平面直角坐标系 xOy 中，圆 C : ( x - 1)2 + y 2
= 2 ，
圆 C : ( x - m )2
+ ( y + m )2
= m 2
，若圆 C 上存在点
P 满足：过点 P 向圆
作两条切线 1 2
C 1
PA 、PB ，切点为 A 、B ， ∆ABP 的面积为 1，则正数 m 的取值范围是
．。