2016-2017学年高中数学第3章统计案例章末分层突破学案北师大版选修2-3资料

合集下载

高中数学第3章统计案例章末复习课学案北师大版选修2_3

第3章统计案例【例1】下表是一位母亲给儿子作的成长记录：(2)如果年龄(3周岁～16周岁之间)相差5岁，其身高有多大差异？ (3)如果身高相差20 cm ，其年龄相差多少？[解] (1)设年龄为x ，身高为y ，则x ＝114(3＋4＋…＋15＋16)＝9.5，y ＝114(90.8＋97.6＋…＋167.5＋173.0)≈131.985 7，∑14i ＝1x 2i ＝1 491，∑14i ＝1y 2i ＝252 958.2，∑14i ＝1x i y i ＝18 990.6，14x y ≈17 554.1， ∴∑14i ＝1x 2i －14(x )2＝227.5，∑14i ＝1y 2i －14(y )2≈9 075.05， ∑14i ＝1x i y i －14x y ＝1 436.5，∴r ＝∑14i ＝1x i y i －14x y∑14i ＝1x 2i －14(x )2∑14i ＝1y 2i －14(y )2＝1 436.5227.5×9 075.05≈0.999 7.因此，年龄和身高之间具有较强的线性相关关系．(2)由(1)得b ＝∑14i ＝1x i y i －14x y∑14i ＝1x 2i －14(x )2＝1 436.5227.5≈6.314， a ＝y －b x ＝131.985 7－6.314×9.5≈72，∴x 与y 的线性回归方程为y ＝6.314x ＋72.因此，如果年龄相差5岁，那么身高相差6.314×5＝31.57(cm)． (3)如果身高相差20 cm ，年龄相差206.314≈3.168≈3(岁)．解决回归分析问题的一般步骤(1)画散点图.根据已知数据画出散点图.(2)判断变量的相关性并求回归方程.通过观察散点图，直观感知两个变量是否具有相关关系；在此基础上，利用最小二乘法求回归系数，然后写出回归方程.(3)实际应用.依据求得的回归方程解决实际问题.1．某运动员训练次数与运动成绩之间的数据关系如下：(2)求出回归直线方程；(3)计算相关系数并进行相关性检验； (4)试预测该运动员训练47次及55次的成绩．[解] (1)作出该运动员训练次数x 与成绩y 之间的散点图，如图所示，由散点图可知，它们之间具有线性相关关系．(2)列表计算：由上表可求得x ＝39.25，y ＝40.875，∑i ＝18x 2i ＝12 656， ∑i ＝18y 2i ＝13 731，∑i ＝18x i y i ＝13 180，∴b ＝∑i ＝18x i y i －8x y∑i ＝18x 2i －8x 2≈1.041 5，a ＝y －b x ＝－0.003 88，∴回归直线方程为y ＝1.041 5x －0.003 88.(3)计算相关系数r ＝0.992 7，因此运动员的成绩和训练次数两个变量有较强的相关关系． (4)由上述分析可知，我们可用回归直线方程y ＝1.041 5x －0.003 88作为该运动员成绩的预报值．将x ＝47和x ＝55分别代入该方程可得y ≈49和y ≈57.故预测该运动员训练47次和55次的成绩分别为49和57.黄烟中，经过药物处理的黄烟有25株发生青花病，60株没有发生青花病；未经过药物处理的有185株发生青花病，200株没有发生青花病．试推断经过药物处理跟发生青花病是否有关系．[解] 由已知得到下表：根据2×2列联表中的数据，可以求得χ2＝470×(25×200－185×60)2210×260×85×385≈9.788.因为χ2＞6.6.35，所以我们有99%的把握认为经过药物处理跟发生青花病是有关系的．独立性检验问题的基本步骤 (1)找相关数据，作列联表. (2)求统计量χ2.(3)判断可能性，注意与临界值做比较，得出事件有关的可信度.2．某学校高三年级有学生1 000名，经调查研究，其中750名同学经常参加体育锻炼(称为A 类同学)，另外250名同学不经常参加体育锻炼(称为B 类同学)．现用分层抽样方法(按A 类、B 类分两层)从该年级的学生中共抽查100名同学，如果以身高达165 cm 作为达标的标准，对抽取的100名学生，得到以下列联表：体育锻炼与身高达标2×2列联表(2)请问体育锻炼与身高达标是否有关系(χ2值精确到0.01)?参考公式：χ2＝n (ad －bc )2(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d ).[解] (1)χ2＝100×(40×15－35×10)275×25×50×50≈1.33＜2.706，所以没有充分的理由说明体育锻炼与身高达标有关系．。

高中数学第三章统计案例章末小结知识整合与阶段检测教学案北师大版选修2_334

第三章统计事例知识整合与阶段检测[ 对应学生用书P42]一、回归剖析1．线性回归剖析对于一组拥有线性有关关系的数据( x1，y1) ， ( x2，y2) ，， ( x n，y n) ，其线性回归直线方程为y＝ a＋bx，n nx i－ xy i－ y x i y i－ n x · yi ＝ 1i ＝1此中 b＝＝，n nx i－ x222x i－ n xi ＝ 1i ＝ 1a＝ y － b x .2．有关系数nx i－ x y i－ yi ＝ 1r ＝n nx i－ x2·y i－ y2i ＝ 1i ＝1nx i y i－ n x · yi ＝ 1＝，n n222－ n y2x i－ n x ·y ii ＝1i ＝ 1| r | 值越大，有关性越高，| r | 值越靠近0，线性有关程度越低．二、独立性查验独立性查验的一般步骤(1)列出 2×2列联表；(2) 代入公式计算2n ad－ bc 2χ ＝a＋c a＋ b b＋d c＋d；(3)依据χ 2的值的大小作出判断．对应阶段质量检测三见 8开试卷(时间 90分钟，满分120 分)一、选择题 ( 本大题共10 小题，每题 5 分，共50 分．在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项切合题目要求的)1． ( 全国新课标 ) 在一组样本数据 ( x1，y1) ， ( x2，y2) ，， ( x n，y n)( n≥2，x1，x2，，x不全相等 ) 的散点图中，若全部样本点( x，y)( i＝1,2 ，，n) 都在直线y＝2x＋ 1上，则n i i1这组样本数据的样真有关系数为()A．－ 1B． 01C. 2D． 1分析：由于全部的点都在直线上，因此它就是确立的函数关系，因此有关系数为 1.答案： D2．已知x与y之间的一组数据：x0123y1357则 y 与 x 的线性回归方程y＝ a＋ bx 必过点()A． (2,2)B． (1.5,0)C． (1,2)D． (1.5,4)分析：线性回归方程y＝a＋ bx 必过点－－( x，y ) ．答案： D3．以下现象的有关程度最高的是()A．某商铺的员工人数与商品销售额之间的有关系数为0.87 B．流通花费率与商业收益之间的有关系数为－0.94C．商品销售额与商业收益之间的有关系数为0.51D．商品销售额与流通花费率之间的有关系数为－0.81分析： | r | 越靠近 1，有关程度越高．答案： B4．已知某车间加工部件的个数x 与所花销时间 y(h)之间的线性回归方程为y＝0.01 x ＋0.5 ，则加工 600 个部件大概需要 ()A． 6.5 h B． 5.5 hC． 3.5 h D． 0.5 h分析：当 x ＝600， y＝600×0.01＋0.5＝6.5(h)．答案： A5．设两个变量x和y之间拥有线性有关关系，它们的有关系数是r ，y 对于 x 的回归直线的斜率是 b，纵轴上的截距是 a，那么必有()A．b与r的符号同样 B ．a与r的符号同样C．b与r的符号相反 D ．a与r的符号相反分析：由于 >0 时，两变量正有关，此时，r >0；<0 时，两变量负有关，此时r<0.b b答案： A6．以下对于线性回归的判断，正确的个数是()①若散点图中的全部点都在一条直线邻近，则这条直线的方程为回归方程②散点图中的绝大部分点都线性有关，个别特别点不影响线性回归，如图中的，，C 点A B③已知线性回归方程为 y＝－0.81＋0.50 x，则 x＝25时， y 的预计值为11.69④线性回归方程的意义是它反应了样本整体的变化趋向A． 0B． 1C． 2D． 3分析：由最小二乘法获取的方程才是线性回归方程，故①错，将x＝25代入 y＝－0.81＋0.50 x，得y＝ 11.69 ，故③正确，②④也正确．答案： D7．某观察团对全国 10 大城市的员工人均薪资水平x( 千元 ) 与居民人均花费水平y( 千元 )进行统计检查， y 与 x 拥有有关关系，回归方程为 y＝0.66 x＋1.562.若某城市居民人均花费水平为 7.675千元，预计该城市人均花费额占人均薪资收入的百分比为() A． 83%B． 72%C． 67%D． 66%7.675 － 1.562分析：当 y ＝ 7.675 时， x ＝≈9.262 ，0.667.6759.262 ×100%≈83%.应选A.答案： A8．两个有关变量知足以下关系：x 101520 25 30y1 003 1 005 1 0101 0111 014则两变量的回归方程为 ()A ． y ＝0.56 x ＋ 997.4B ． y ＝ 0.63 x － 231.2C ． y ＝0.56 x ＋ 501.4D ． y ＝ 60.4 x ＋ 400.7分析：回归直线经过样本中心点 (20,1 008.6)，经查验只有选项A 切合题意．应选 A.答案： A9．若线性回归方程中的回归系数 b ＝ 0 时，则有关系数为 ()A ． r ＝1B ． r ＝－ 1C ． r ＝0D ．没法确立n －－x i y i －n x yi ＝1n－－分析：当 b ＝ 0 时，＝ 0，即＝ 0，nx i y i － n x y－ 2i ＝ 12x i － n xi ＝1n－－x i y i － n x yi ＝1∴ r ＝＝0.n－ n－ 22 22x i － n xy i － n yi ＝ 1i ＝ 1答案： C10．某工厂为展望某种产品的回收率y ，需要研究它和原料有效成分含量x 之间的有关8888关系，现取了 8 组察看值．计算知x i ＝ 52， y i ＝ 228， x 2x i y i ＝1 849 ，则 yi ＝ 478，i ＝ 1i ＝1i ＝ 1i ＝1对 x 的线性回归方程是 ()A ． y ＝11.47 ＋ 2.62 xB ． y ＝－ 11.47 ＋ 2.62 xC ． y ＝2.62 ＋ 11.47 xD ． y ＝ 11.47 － 2.62 x分析：由已知条件得－－x ＝6.5， y ＝28.5.8－－x i y i－ n x yi ＝ 1－－由 b＝， a＝ y－ b x ，8－2－ n 2x i xi ＝ 1计算得 b≈2.62， a≈11.47，因此 y＝11.47＋2.62 x.答案： A二、填空题 ( 本大题共 4 小题，每题 5 分，共 20 分，请把正确的答案填在题中的横线上)11．为了判断高中三年级学生选修文科能否与性别有关，现随机抽取50 名学生，获取以下 2×2列联表：理科文科男1310女720－2依据表中数据，获取χ2＝≈4.844. 则有 ________的掌握，则23×27×20×30以为选修文科与性别有关系．分析：∵χ2＝ 4.844>3.841 ，∴起码有 95%的掌握以为能否选修文科与性别有关．答案： 95%12．已知变量x，y拥有线性有关关系，测得( x，y) 的一组数据以下：(0,1)， (1,2)，(2,4) ， (3,5)，其回归方程为y＝1.4 x＋a，则 a 的值是________．分析：0＋1＋2＋31＋2＋4＋5x ＝＝ 1.5 ，y＝4＝ 3 ，∴这组数据的样本中心点是4(1.5,3) ，把样本中心点代入回归直线方程y ＝ 1.4x＋，∴ 3＝1.4 ×1.5 ＋，∴＝ 0.9.a a a答案： 0.913．已知拥有有关关系的两个随机变量的一组观察数据的散点图散布在函数y＝3e2x＋1的图像邻近，则可经过变换获取的线性回归方程为________________ ．分析：由 y＝3e2x＋1，得ln y＝ln(3e2x＋1)，即 ln y＝ ln 3 ＋ 2x＋ 1.令 u＝ln y， v＝ x，则线性回归方程为u＝1＋ln 3＋2v.答案： y＝1＋ln 3＋2x14．有甲、乙两个班级进行同一门课程的考试，依据学生考试成绩优异和不优异统计成绩后，获取以下的列联表．班级与成绩列联表优异不优异总计甲班103545乙班73845总计177390由上表供给的数据可知，学生的成绩与班级之间________．( 填“有关系”或“没有关系”)分析：由公式，得－2χ 2＝≈0.653.17×73×45×45由于 0.653<2.706.因此我们没有原因说成绩与班级有关系．答案：没有关系三、解答题 ( 本大题共 4 小题，共 50 分．解答时应写出必需的文字说明、证明过程或演算步骤 )15． ( 本小题满分12 分) 在国家未实行西部开发战略前，一新闻单位在应届大学毕业生中随机抽取 1 000 人问卷，只有 80 人志愿加入西部建设．而国家实行西部开发战略后，随机抽取 1 200 名应届大学毕业生问卷，有 400 人志愿加入国家西部建设．依据以上数据成立一个2×2的列联表．解： 2×2的列联表以下：志愿者非志愿者总计开发战略宣布前80920 1 000开发战略宣布后400800 1 200总计480 1 720n＝2 20016． ( 本小题满分12 分) 某农科所对冬天日夜温差大小与某反季节大豆新品种抽芽多少之间的关系进行剖析研究，他们分别记录了 12 月 1 日至 12 月 5 日的每日日夜温差与实验室每日100 颗种子中的抽芽数，获取以下资料：日期12月1日12月2日12月3日12月4日12月5日温差 x(℃)101113128抽芽数 y(颗)2325302616该农科所确立的研究方案：先从这 5 组数据中选用 3 组数据求线性回归方程，剩下的2组数据用于回归方程查验．(1)若选用12月1日和12月5日这两日的数据进行查验，请依据12月 2日至 12月 4日的数据，求出y 对于 x 的线性回归方程 y＝ bx＋a；(2)若由线性回归方程获取的预计数据与所选出的查验数据的偏差均不超出 2 颗，则认为获取的线性回归方程是靠谱的，试问 (1) 中所获取的线性回归方程能否靠谱？若靠谱，请展望温差为 14℃时的抽芽数．33解：(1) 由数据，求得x＝ 12，y＝ 27. 故x i y i＝977，3x · y ＝972，2x i＝434,3 xi ＝ 1i ＝ 12＝ 432，由公式，求得＝5，＝y －b x＝－ 3.b2a5因此 y 对于 x 的线性回归方程为y＝2x－3.5(2)当 x＝10时， y＝×10－3＝22，|22－23|＜2；25当 x＝8时， y＝2×8－3＝17，|17－16|＜2.因此获取的线性回归方程是靠谱的．5当 x＝14时，有 y＝2x－3＝35－3＝32，因此展望温差为 14 ℃时的抽芽数约为 32 颗．17． ( 本小题满分12 分) 某些行为在运动员的竞赛之间常常被给予很强的神奇色彩，如有种说法以为，在进入某乒乓球场竞赛前先迈入左脚的球员就会博得竞赛的成功．某记者为此追踪了某有名乒乓球运动员在该球场中的308 场竞赛，获取数据以下表：输赢状况胜负总计先迈脚状况先迈入左脚17827205先迈入右脚8419103总计26246308据此资料，你能得出什么结论？解：依据公式可得，2n ad－ bc 2χ ＝c＋ d a＋ c b＋ da＋ b－2＝≈1.502.205×103×262×46由于 1.502<2.706，因此我们以为先迈入左脚与否跟竞赛的输赢是没关的．18．( 本小题满分14 分 ) 在某次试验中，有两个试验数据x， y，统计的结果以下边的表格 1.x12345y23445表格 1(1)在给出的坐标系中画出数据 ( x，y) 的散点图．(2)补全表格 2，而后依据表格 2 的内容和公式序号x y x2xy112122234633491244416165552525∑表格 2nx i y i－ n x yi＝1b＝，a＝y－b x.n22x i－n xi＝1①求出 y 对 x 的回归直线方程y＝ a＋ bx 中回归系数a，b；②预计当 x 为10时 y 的值是多少．解： (1) 数据 ( x，y) 的散点图以下图：(2)表格以下：序号x y x2xy112122234633491244416165552525∑15185561计算得 x ＝3， y ＝ 3.6 ，5x i y i－5x yi ＝161－5×3×3.6b＝5＝55－5×32＝0.7，2x2x i－5i＝1a＝ y － b x ＝3.6－0.7×3＝1.5，因此 y＝ a＋ bx＝1.5＋0.7 x，当 x 为10时， y＝8.5.。

【创新设计】-高中数学第三章统计案例章末质量评估北师大版选修2-3

章末质量评估(三)(时间：100分钟满分：120分)一、选择题(每小题5分，共50分) 1．下列结论正确的是( )．①函数关系是一种确定性关系； ②相关关系是一种非确定性关系；③回归分析是对具有函数关系的两个变量进行统计分析的一种方法； ④回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种常用方法． A ．①②④ B ．①②③ C ．②③④D ．①②③④ 解析回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种方法，故③不正确．答案 A2．两个相关变量满足如下关系( )．A ．y ＝0.56x ＋997.4B ．y ＝0.63x －231.2C ．y ＝50.2x ＋501.4D ．y ＝60.4x ＋400.7解析利用公式b ＝∑i ＝15x i y i －5x y∑i ＝15x 2i －5x 2≈0.56，a ＝y －b x ≈997.4.∴线性回归方程为y ＝0.56x ＋997.4. 答案 A3．如果有95%的把握说事件A 和B 有关系，那么具体计算出的数据( )．A ．χ2＞3.841 B ．χ2＜3.841 C ．χ2＞6.635D ．χ2＜6.635解析由独立性判断的方法可知，如果有95%的把握，则χ2＞3.841. 答案 A4．若事件E 与F 相互独立，且P (E )＝P (F )＝14，则P (E ∩F )的值等于( )．A ．0 B.116C.14D.12解析 P (E ∩F )＝P (E )·P (F )＝14×14＝116.答案 B5．分类变量X 和Y 的列联表如下：( )．A ．ad －bc 越小，说明X 与Y 关系越弱B ．ad －bc 越大，说明X 与Y 关系越强C ．(ad －bc )2越大，说明X 与Y 关系越强 D ．(ad －bc )2越接近于0，说明X 与Y 关系越强解析因为χ2＝n ad －bc 2a ＋ba ＋cb ＋dc ＋d，当(ad －bc )2越大时，χ2越大，说明X 与Y 关系越强．答案 C6．一位母亲记录了她儿子3到9岁的身高，建立了她儿子身高与年龄的回归模型y ＝73.93＋7.19x (单位：cm)，她用这个模型预测儿子10岁时的身高，则下面的叙述正确的是( )．A ．她儿子10岁时的身高一定是145.83 cmB ．她儿子10岁时的身高一定是145.83 cm 以上C ．她儿子10岁时的身高在145.83 cm 左右D ．她儿子10岁时的身高一定是145.83 cm 以下解析用线性回归方程预测的值不是精确值而是估计值．答案 C7．考察人的高血压病是否与食盐摄入量有关，对某地区人群进行跟踪调查，得到以下数据：A．99% B．95% C．90% D．无充分依据解析χ2＝－2254×1 379×60×1 573≈80.155，∵80.155＞6.635，∴有99%的把握认为人的高血压病与食盐摄入量有关．答案 A8．下列说法中错误的是( )．A．如果变量x与y之间存在着线性相关关系，则我们根据实验数据得到的点(x i，y i)(i ＝1,2，…，n)将散布在某一条直线的附近B．如果两个变量x与y之间不存在线性关系，那么根据它们的一组数据(x i，y i)(i＝1,2，…，n)不能写出一个线性方程C．设x，y是具有相关关系的两个变量，且x关于y的线性回归方程为y＝bx＋a，b 叫做回归系数D．为使求出的线性回归方程有意义，可用统计假设检验的方法来判断变量y与x之间是否存在线性相关关系解析如果两个变量x、y之间不存在线性关系，仍能套用线性回归系数公式，求得b、a，从而写出一个线性方程，不过此方程不能称为线性回归方程．答案 B9．如图所示，在这5组数据中，去掉哪组数据后，剩下的4组数据的线性相关系数最大( )．A．A(1,3) B．B(2,4)C ．C (4,5)D ．D (3,10)解析从散点图容易观察，去掉D (3,10)后，其余点大致在一条直线附近．答案 D10．设两个独立事件A 和B 都不发生的概率为19，A 发生B 不发生的概率与B 发生A 不发生的概率相同，则事件A 发生的概率P (A )是( )．A.29B.118C.13D.23解析 ∵P (A B )＝19，即P (A )·P (B )＝19.P (A B )＝P (B A )，即P (A )·P (B )＝P (B )·P (A )， P (A )(1－P (B ))＝P (B )(1－P (A ))，P (A )＝P (B )．∴P (A )＝P (B )，又P (A )·P (B )＝19，∴P (A )＝13，∴P (A )＝23.答案 D二、填空题(每小题5分，共30分)11．已知一个线性回归方程为y ＝1.5x ＋45，x i ∈{}1，7，5，13，19，则y＝________.解析因为x ＝15×(1＋7＋5＋13＋19)＝9，且y ＝1.5x ＋45，所以y ＝1.5×9＋45＝58.5. 答案 58.512．若由一个2×2列联表中的数据计算得χ2≈4.013，那么有________的把握认为两个变量间有关系．解析由χ2≈4.013＞3.841，故有95%的把握认为两个变量间有关系．答案 95%13．抛掷红、蓝两颗骰子，若已知蓝骰子的点数为3或6时，则两骰子点数之和大于8的概率为________．解析设蓝骰子的点数为3或6时的事件为A ，两骰子点数之和大于8的事件为B . 则：P (A )＝13，P (A ∩B )＝1036＝518，∴P (B |A )＝P A ∩BP A ＝51813＝56.答案 5614．某大学在研究性别与职称(分正教授、副教授)之间是否有关系，你认为应该收集的数据是________．解析本题研究的两个变量是性别与职称．因此收集的数据应分别是男、女正、副教授人数．答案男正教授人数，男副教授人数，女正教授人数，女副教授人数 15．某天上午李明要参加奥运志愿者活动，为了准时起床，他用甲、乙两个闹钟叫醒自己．假设甲闹钟准时响的概率是0.80，乙闹钟准时响的概率是0.90，则两个闹钟至少有一个准时响的概率是________．解析两个闹钟至少有一个准时响有三种情况：甲准时响而乙没准时响，其概率为0.80×(1－0.90)＝0.08；乙准时响而甲没准时响，其概率是(1－0.80)×0.90＝0.18；甲、乙都准时响，其概率为0.80×0.90＝0.72，故两个闹钟至少有一个准时响的概率为：0.08＋0.18＋0.72＝0.98. 答案 0.9816．某化工厂为预测某产品的回收率y ，需研究它和原料有效成份含量之间的相关关系，现取了8对观察值，计算得：∑i ＝18x i ＝52，∑i ＝18y i ＝228，∑i ＝18x 2i ＝478，∑i ＝18x i y i ＝1 849，则y 与x 的线性回归方程是________．答案 y ＝11.47＋2.62x 三、解答题(每小题10分，共40分)17．假定某企业的某种产品产量与单位成本数据如下：(1)(2)指出产量每增加1 000件时，单位成本下降多少；(3)假定产量为6 000件时，单位成本是多少？单位成本为70元时，产量应为多少？解 (1)∑i ＝16x i ＝21，∑i ＝16y i ＝426，∑i ＝16x 2i ＝79，∑i ＝16y 2i ＝30 268，∑i ＝16x i y i ＝1 481，x ＝3.5，y ＝71，b ＝∑i ＝16x i y i －6x y∑i ＝16x 2i －6x 2＝1 481－6×3.5×7179－6×3.52＝－105.5＝－1.818， a ＝y －b x ＝71＋1.818×3.5＝77.363，∴回归方程为y ＝77.363－1.818x .r ＝∑i ＝16x i y i －6xy∑i ＝16x 2i －6x2∑i ＝16y 2－6i y 2＝1 481－6×3.5×7179－6×3.5230 268－6×712＝－105.5×22＝－1011＝－0.91.(2)产量每增加1 000件时单位成本下降1.818元． (3)当x ＝6时，y ＝66.455元．18．为调查某地区老年人是否需要志愿者提供帮助，用简单随机抽样方法从该地区调查了500位老年人，结果如下：(2)能否有99%的把握认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关？ (3)根据(2)的结论，能否提出更好的调查方法来估计该地区的老年人中，需要志愿者提供帮助的老年人的比例？说明理由．附：χ2＝a ＋bc ＋d a ＋cb ＋d解 (1)调查的500位老年人中有70位需要志愿者提供帮助，因此在该地区老年人中，需要帮助的老年人的比例的估计值为70500×100%＝14%.(2)χ2＝－2200×300×70×430≈9.967，因为9.967＞6.635，所以有99%的把握认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关．(3)根据(2)的结论可知，该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关，并且从样本数据能够看出该地区男性老年人与女性老年人中需要帮助的比例有明显差异，因此在调查时，先确定该地区老年人中男女的比例，再把老年人分成男女两层，并且采用分层抽样方法比简单随机抽样方法更好．19．某班主任对全班50名学生学习积极性和对待班级工作的态度进行了调查，统计数据如下表所示：少？抽到不太主动参加班级工作且学习积极性一般的学生的概率是多少？(2)试运用独立性检验的思想方法分析：学生的学习积极性与对待班级工作的态度是否有关系？说明理由．解 (1)随机抽查这个班的一名学生，有50种不同的抽查方法，由于积极参加班级工作的学生有18＋6＝24人，所以有24种不同的抽法，因此由古典概型的计算公式可得抽到积极参加班级工作的学生的概率是P 1＝2450＝1225，又因为不太主动参加班级工作且学习积极性一般的学生有19人，所以抽到不太主动参加班级工作且学习积极性一般的学生的概率是P 2＝1950.(2)由χ2统计量的计算公式得χ2＝－224×26×25×25≈11.538，由于11.538＞6.635，所以我们有99.9%的把握认为“学生的学习积极性与对待班级工作的态度有关系”．20．下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量x (吨)与相应的生产能耗y (吨标准煤)的几组对照数据.(1)(2)请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y 关于x 的线性回归方程y ＝a ＋bx ； (3)已知该厂技改前100吨甲产品的生产能耗为90吨标准煤．试根据(2)求出的线性回归方程，预测生产100吨甲产品的生产能耗比技改前降低多少吨标准煤？ (参考数值：3×2.5＋4×3＋5×4＋6×4.5＝66.5) 解 (1)由题设所给数据，可得散点图如图．(2)由对照数据，计算得∑i ＝14x 2i ＝86，x ＝3＋4＋5＋64＝4.5，y ＝2.5＋3＋4＋4.54＝3.5，已知∑i ＝14x i y i ＝66.5，所以，由最小二乘法确定的回归方程的系数为b ＝∑i ＝14x i y i －4x·y∑i ＝14x 2i －4x 2＝66.5－4×4.5×3.586－4×4.52＝0.7. a ＝y －b x ＝3.5－0.7×4.5＝0.35.因此，所求的线性回归方程为y ＝0.35＋0.7x .(3)由(2)的回归方程及技改前生产100吨甲产品的生产能耗，能降低的生产能耗为90－(0.35＋0.7×100)＝19.65(吨标准煤)．。

高中数学第三章统计案例教案北师大版选修23

第三章统计案例§1回归分析1．1 回归分析(教师用书独具)●三维目标1．知识与技能(1)了解回归分析的基本思想，会对两个变量进行回归分析．(2)明确建立回归模型的基本步骤，并对具体问题进行回归分析．(3)会解决实际问题．2．过程与方法(1)通过实际问题去理解回归分析的必要性，明确回归分析的基本思想．(2)从散点图中的点的分布上，发现直接求回归直线方程存在明显不足，从中引导学生去发现解决问题的新思路——进行回归分析．3．情感、态度与价值观(1)培养学生用整体的观点和互相联系的观点，来分析问题．(2)进一步加强数学的应用意识，培养学生学好数学、用好数学的信心．(3)加强与现实生活中的联系，以科学的态度评价两个变量的相关关系．●重点难点重点：掌握回归分析的步骤、相关系数、建立回归模型的步骤；体会有些非线性模型通过变换，可以转化为线性回归模型；在解决实际问题的过程中寻找更好的建型方法．难点：求线性回归方程的系数a，b；相关系数；选择不同的模型建模．回归分析主要是研究两个变量间的关系，是在必修三的基础上学习，教材的1.1回归分析是复习必修三的内容，为了使建立回归方程有意义，提出了相关系数，这与回归直线中b的系数有关联，教师可通过实例，让学生了解相关系数的大小与线性相关的关系；在现实中又有一种非线性的相关性，如何解决引导学生转化为线性关系，主要通过数形结合思想、函数思想，使问题化归为线性关系，教学中可通过提醒、猜想、练习等方法，使学生掌握本节的重点内容．(教师用书独具)●教学建议建议本节课用3课时讲解完成．教学中通过组织学生自己动手操作计算、观察、分析、交流、讨论、归纳让他们在探究学习中经历知识形成的全过程，从而形成“自主探究、合作交流”的数学学习方法．教师在课堂上可以用计算机软件进行参数的估计、相关系数的计数，让学生掌握利用计算器进行线性回归方程的求解和评价．●教学流程第1课时以实际问题作为课题引入．⇒回顾建立回归直线方程的基本步骤．⇒通过实例巩固、体验线性回归直线方程的求法及应用．⇒第2课时提出新问题，如何用其他方法刻画变量之间的线性相关．⇒师生共同探究，得出相关系的概念及相关系数的大小与线性相关之间的关系．⇒通过例题，巩固验证相关系数刻画变量之间的线性相关的特点．⇒第3课时引导学生探究如果不是线性回归模型，如何估计参数，能否利用线性回归模型．⇒对数据进行分析变换后，对新数据建立线性模型．⇒转化为原来变量模型，得出结论，总结建模思想，补充拓展．⇒课堂小结并完成当堂双基达标，巩固本节所学知识.课标解读 1.通过实例掌握回归分析的基本思想方法．2．利用最小二乘法会求线性回归直线方程，并能用线性回归直线方程进行预报.变量之间的相关关系【问题导思】1．正方形的面积S 与其边长a 是什么关系？圆的周长l 与半径r 是什么关系？【提示】 ∵S ＝a 2，l ＝2πr ， ∴它们都是确定的函数关系．2．父亲的身高与儿子的身高之间有何关系？耕种深度与水稻产量之间有何关系？【提示】非确定关系．1．变量之间有一定的联系，但不能完全用函数来表达．如人的体重y 与身高x .一般来说，身高越高，体重越重，但不能用一个函数来严格地表示身高与体重之间的关系．相关关系是非确定性关系，因变量的取值具有一定的随机性．2．在考虑两个变量的关系时，为了对变量之间的关系有一个大致的了解，人们通常将变量所对应的点描出来，这些点就组成了变量之间的一个图，通常把这种图叫作变量之间的散点图．线性回归方程【问题导思】1．确定线性回归方程，只需得出哪两个量？【提示】确定线性回归直线方程，只需确定a ，b 两个量即可．2．在线性回归方程y ＝a ＋bx 中，当一次项系数b 为正数时，说明两个变量有何相关关系？在散点图上如何反映？【提示】说明两个变量正相关，在散点图上自左向右看这些点呈上升趋势．假设样本点为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )，设线性回归方程为y ＝a ＋bx ，要使这n 个点与直线y ＝a ＋bx 的“距离”平方之和最小，即使得Q (a ，b )＝(y 1－a －bx 1)2＋(y 2－a －bx 2)2＋…＋(y n －a －bx n )2达到最小，a ，b 需满足b ＝∑nb ＝1x i y i －n x y∑ni ＝1x 2i －n x2，a ＝y －b x .由数据求线性回归方程已知x ，y 之间一组数据：x 0 1 2 3 y1357(1)分别计算：x 、y 、x 1y 1＋…＋x 4y 4，x 21＋x 22＋…＋x 24； (2)求出线性回归方程y ＝bx ＋a .【思路探究】可利用表格的数直接计算，然后把这些结果代入线性回归方程系数公式，分别求得a ，b ，再求出线性回归方程．【自主解答】 (1)x ＝0＋1＋2＋34＝1.5，y ＝1＋3＋5＋74＝4，x 1y 1＋…＋x 4y 4＝0×1＋1×3＋2×5＋3×7＝34，x 21＋x 22＋…＋x 24＝02＋12＋22＋32＝14；(2)b ＝x 1y 1＋x 2y 2＋x 3y 3＋x 4y 4－4x yx 21＋x 22＋x 23＋x 24－4x 2＝34－4×1.5×414－4×1.52＝2；a ＝y －b x ＝4－2×1.5＝1.故y ＝2x ＋1.答：(1)所求的值分别为：1.5,4,34,14； (2)所求的线性回归方程是：y ＝2x ＋1.求线性回归方程的步骤：(1)列表求出x ，y ，∑ni ＝1x 2i ，∑ni ＝1x i y i ；(2)利用公式b ＝∑ni ＝1x i y i －n x y∑ni ＝1x 2i －n x2，a ＝y －b x ，求出b ，a ；(3)写出线性回归方程．观察两相关量得如下数据：x －1 －2 －3 －4 －5 5 3 4 2 1 y－9－7－5－3－115379求两变量间的回归方程．【解】列表i 12345678910 x i－1－2－3－4－55342 1 y i－9－7－5－3－115379 x2i1491625259164 1 x i y i9141512551512149由此可得x＝0，y＝0，∑10i＝1x2i＝110，∑10i＝1x i y i＝110，b＝∑10i＝1x i y i－10x y∑10 i＝1x2i－10x2＝110－10×0110－10×0＝1，a＝y－b x＝0，∴所求回归方程为y＝x.求实际问题的回归方程某企业想通过做广告来提高自己的知名度，经预测可知本企业产品的广告费支出x 与销售额y(单位：百万元)之间有如下对应数据：x 24568y 3040605070(1)判断y与x是否具有线性相关关系；(2)求回归直线方程．【思路探究】先画出散点图，即可判断y与x是否具有相关关系，如果y与x具有相关关系可将有关数据代入公式求得回归直线方程．【自主解答】(1)散点图如图所示：根据散点图可知，所给的数据点都在一条直线的附近，所以y与x具有线性相关关系．(2)列出下表，并且科学地的进行有关计算．i 1234 5x i24568y i3040605070x i y i60160300300560x＝5，y＝50，∑5 i＝1x2i＝145，∑5i＝1y2i＝135 000，∑5i＝1x i y i＝1 380于是可得，b＝∑5i＝1x i y i－5x y∑5 i＝1x2i－5x2＝1 380－5×5×50145－5×52＝6.5，a＝y－b x＝50－6.5×5＝17.5，于是所求的回归直线方程是y＝6.5x＋17.5.对一级数据进行线性回归分析时，应先画出其散点图，看其是否呈直线形，再依系数a、b的计算公式，算出a、b.由于计算量较大，所以在计算时应借助技术手段，认真细致，谨防计算中产生错误．某医院用光电比色计检验尿汞时，得尿汞含量(毫克/升)与消光系数如下表：汞含量x 2 4 6 8 10 消光系数y64138205285360(1)作散点图；(2)如果y 与x 之间具有线性相关关系，求线性回归方程．【解】 (1)散点图如图．(2)由散点图可知，y 与x 呈相关关系，设线性回归方程为：y ＝bx ＋a .经计算：得x ＝6，y ＝210.4，∑5i ＝1x 2i ＝220，∑5i ＝1x i y i ＝7 790.∴b ＝7 790－5×6×210.4220－5×62＝36.95， a ＝210.4－36.95×6＝－11.3.∴线性回归方程为y ＝36.95x －11.3.利用回归直线方程进行统计某商场经营一批进价是30元/台的小商品，在市场试验中发现，此商品的销售单价x (x 取整数)元与日销售量y 台之间有如下关系：x 35 40 45 50 y 56 41 28 11(1)画出散点图，并判断y 与x 是否具有线性相关关系； (2)求日销售量y 对销售单价x 的线性回归方程；(3)设经营此商品的日销售利润为P 元，根据(2)写出P 关于x 的函数关系式，并预测当销售单价x 为多少元时，才能获得最大日销售利润．【思路探究】两个变量呈现近似的线性关系，可通过公式计算出其线性回归方程，并根据方程求出其预测值．【自主解答】 (1)散点图如图所示，从图中可以看出这些点大致分布在一条直线附近，因此两个变量线性相关．(2)∵x ＝14×(35＋40＋45＋50)＝42.5，y ＝14×(56＋41＋28＋11)＝34，∑4i＝1x i y i＝35×56＋40×41＋45×28＋50×11＝5 410，∑4i＝1x2i＝352＋402＋452＋502＝7 350，∴b＝∑4i＝1x i y i－4x·y∑4 i＝1x2i－4x2＝5 410－4×42.5×347 350－4×42.52＝－370125＝－2.96.∴a＝y－b x＝34－(－2.96)×42.5＝159.8.∴y＝－2.96x＋159.8.(3)依题意有P＝(－2.96x＋159.8)(x－30)＝－2.96x2＋248.6x－4 794，∴当x＝248.62×2.96≈42时，P有最大值，约为426，即预测销售单价为42元时，能获得最大日销售利润．1．b＝－2.96是斜率的估计值，说明单价每增加一个单位，日销售量就减少2.96. 2．借助于回归方程对实际问题的估计值是个近似值，不是一个准确值．假设关于某设备的使用年限x 和所支出的维修费y (万元)有如下的统计资料：x 2 3 4 5 6 y2.23.85.56.57.0若由资料可知y 对x 呈线性相关关系． (1)求线性回归方程；(2)估计使用年限为10年时，维修费用是多少万元？【解】 (1)列表如下：ix iy ix 2ix i y i1 2 2.2 4 4.4 2 3 3.8 9 11.4 3 4 5.5 16 22.0 4 5 6.5 25 32.5 5 6 7.0 36 42.0 ∑202590112.3由此可得：x ＝4，y ＝5.进而可以求得b ＝∑5i ＝1x i y i －5x y∑5i ＝1x 2i －5x2＝1.23，a ＝y －b x ＝0.08.∴线性回归方程为y ＝0.08＋1.23x .(2)当x ＝10时，y ＝0.08＋1.23×10＝12.38(万元)，即估计使用10年时维修费用是12.38万元.数形结合思想在回归分析中的应用(12分)下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量x(吨标准煤)与相应的生产能耗y(吨标准煤)的几组对照数据．x 345 6y 2.534 4.5(1)请画出上表数据的散点图；(2)请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程y＝bx＋a；(3)已知该厂技改前100吨甲产品的生产能耗为90吨标准煤．试根据(2)求出的线性回归方程，预测生产100吨甲产品的生产能耗比技改前降低多少吨标准煤？(参考数值：3×2.5＋4×3＋5×4＋6×4.5＝66.5)【思路点拨】(1)可直接由表格提供的点，列出散点图；(2)可利用线性回归方程中a，b公式直接求解；(3)直接用方程来估计所求值．【规范解答】(1)图形如图所示．3分(2)x ＝3＋4＋5＋64＝4.5；y ＝2.5＋3＋4＋4.54＝3.5；∑4i ＝1x i y i ＝3×2.5＋4×3＋5×4＋6×4.5＝66.5.∑4i ＝1x 2i ＝32＋42＋52＋62＝86. 6分∴b ＝∑4i ＝1x i y i －4x ·y ∑4i ＝1x 2i －4x2＝66.5－4×4.5×3.586－4×4.52＝0.7， 8分 a ＝y －b x ＝3.5－0.7×4.5＝0.35. 9分∴y ＝0.7x ＋0.35. 10分 (3)现在生产100吨甲产品用煤y ＝0.7×100＋0.35＝70.35，∴降低90－70.35＝19.65吨标准煤. 12分线性回归方程的应用(1)描述两变量间的依存关系；(2)利用回归方程可进行预测；(3)利用回归方程还可以进行统计控制．1．作回归分析要有实际意义．2．回归分析前，最好先做出散点图．3．应用回归分析预测时，最好先作出散点图．1．下列说法正确的是( )A．任何两个变量都具有相关关系B．球的体积与该球的半径具有相关关系C．农作物的产量与施化肥量之间是一种确定性的关系D．某商品的生产量与该商品的销售价格之间是一种非确定性的关系【解析】两个变量之间的关系有两种，即函数关系与相关关系，故A错误．B中球的体积与该球的半径是函数关系．C中农作物的产量与施化肥量之间不是严格的函数关系，但是具有相关关系，因而是非确定性的关系．D中商品的生产量还和市场需求有关，故商品的生产量与该商品的销售价格之间是非确定性的关系．故选D.【答案】 D2．一位母亲记录了儿子3岁～9岁的身高(数据略)，由此建立的身高y(单位：cm)与年龄x(单位：岁)的回归模型为y＝7.19x＋73.93.用这个模型预测这个孩子10岁时的身高，则下列叙述正确的是( )A．身高一定是145.83 cmB．身高在145.83 cm以上C．身高在145.83 cm以下D．身高在145.83 cm左右【解析】x＝10时，y＝7.19×10＋73.93＝145.83，但这是预测值而不是精确值，所以只能选D.【答案】 D3．在一次实验中，测得(x，y)的四组值分别是A(1,2)，B(2,3)，C(3,4)，D(4,5)，则y与x之间的线性回归方程为________．【解析】通过检验A，B，C，D四点共线，都在直线y＝x＋1上．【答案】y＝x＋14．已知一个回归直线方程为y＝1.5x＋45，x∈{1,7,5,13,19}，求y.【解】由已知可知：x＝1＋7＋5＋13＋195＝9.又∵回归直线过点(x，y)，∴y ＝1.5x ＋45，即y ＝1.5×9＋45＝58.5.一、选择题1．对具有线性相关关系的两个变量建立的线性回归方程y ＝a ＋bx 中，回归系数b ( ) A ．可以小于0 B ．只能大于0 C ．可能等于0D ．只能小于0【解析】 b 可能大于0，也可能小于0，但当b ＝0时，x ，y 不具有线性相关关系．【答案】 A2．下列两个变量间的关系不是函数关系的是( ) A ．正方体的棱长与体积 B ．角的弧度数与它的正弦值C ．单产为常数时，土地面积与粮食总产量D ．日照时间与水稻亩产量【解析】 ∵A 、B 、C 都可以得出一个函数关系式，而D 不能写出确定的函数关系式，它只是一个不确定关系．【答案】 D3．某产品的广告费用x 与销售额y 的统计数据如下表：广告费用x (万元) 4 2 3 5 销售额y (万元)49263954根据上表可得回归方程y ＝bx ＋a 中的b 为9.4，据此模型预报广告费用为6万元时销售额为( ) A ．63.36万元 B ．65.5万元 C ．67.7万元D ．72.0万元【解析】 x ＝4＋2＋3＋54＝3.5，y ＝49＋26＋39＋544＝42，∴a＝y－b x＝42－9.4×3.5＝9.1，∴回归方程为y＝9.4x＋9.1，∴当x＝6时，y＝9.4×6＋9.1＝65.5，故选B.【答案】 B4．由一组样本数据(x1，y1)，(x2，y2)，…，(x n，y n)得到回归直线方程y＝bx＋a，那么下列说法中不正确的是( ) A．直线y＝bx＋a必经过点(x，y)B．直线y＝bx＋a至少经过点(x1，y1)(x2，y2)，…，(x n，b n)中的一个点C．直线y＝bx＋a的斜率为∑ni＝1x i y i－n x·y∑ni＝1x2i－n x2D．直线y＝bx＋a的纵截距为y－b x【解析】回归直线可以不经过任何一个点．其中A：由a＝y－b x代入回归直线方程y＝bx＋y－a x，即y＝b(x－x)＋y过点(x，y)．∴B错误．【答案】 B5．已知两个变量x和y之间具有线性相关性，甲、乙两个同学各自独立地做了10次和15次试验，并且利用线性回归的方法求得回归直线分别为l1和l2，已知两个人在试验中发现对变量x的观测数据的平均数都为s，对变量y的观测数据的平均数都是t，则下列说法正确的是( )A．l1与l2一定有公共点(s，t)B．l1与l2相交，但交点一定不是(s，t)C．l1与l2必定平行D．l1与l2必定重合【解析】由于回归直线y＝bx＋a恒过(x，y)点，又两人对变量x的观测数据的平均值为s，对变量y的观测数据的平均值为t，所以l1和l2恒过点(s，t)．【答案】 A二、填空题6．从某大学随机选取8名女大学生，其身高x(cm)和体重y(kg)的线性回归方程为y＝0.849x－85.712，则身高172 cm的女大学生，由线性回归方程可以预测其体重约为________．【解析】将x＝172代入线性回归方程y＝0.849x－85.712，有y＝0.849×172－85.712＝60.316(kg)．【答案】60.316 kg7．面对竞争日益激烈的消费市场，众多商家不断扩大自己的销售市场，以降低生产成本．某白酒酿造企业市场部对该企业9月份的产品销量(单位：千箱)与单位成本的资料进行线性回归分析，结果如下：x＝72，y＝71，∑6i＝1x2i＝79，∑6i＝1x i y i＝1 481.b ＝1 481－6×72×7179－6×722≈－1.818 2，a ＝71－(－1.818 2)×72≈77.36，则销量每增加1 000箱，单位成本下降________元．【解析】由上表可得，y ＝－1.818 2x ＋77.36，销量每增加1千箱，则单位成本下降1.818 2元．【答案】 1.818 28．调查了某地若干户家庭的年收入x (单位：万元)和年饮食支出y (单位：万元)，调查显示年收入x 与年饮食支出y 具有线性相关关系，并由调查数据得到y 对x 的回归直线方程：y ＝0.254x ＋0.321.由回归直线方程可知，家庭年收入每增加1万元，年饮食支出平均增加________万元．【解析】由题意知[0.254(x ＋1)＋0.321]－(0.254x ＋0.321)＝0.254. 【答案】 0.254 三、解答题9．某电脑公司有6名产品推销员，其工作年限与年推销金额数据如下表：推销员编号 1 2 3 4 5 工作年限x /年 3 5 6 7 9 推销金额y /万元23345(1)求年推销金额y 关于工作年限x 的线性回归方程；(2)若第6名推销员的工作年限为11年，试估计他的年推销金额．【解】 (1)设所求的线性回归方程为y ＝bx ＋a ，则b ＝∑i ＝15x i －xy i －y∑i ＝15x i －x2＝1020＝0.5， a ＝y －b x ＝0.4.所以年推销金额y 关于工作年限x 的线性回归方程为y ＝0.5x ＋0.4. (2)当x ＝11时，y ＝0.5x ＋0.4＝0.5×11＋0.4 ＝5.9(万元)．所以可以估计第6名推销员的年推销金额为5.9万元．10．一种机器可以按各种不同速度运转，其生产物件中有一些含有缺点，每小时生产有缺点物件的多少随机器运转速度而变化，用x 表示转速(单位：转/秒)，用y 表示每小时生产的有缺点物件个数．现观测得到(x ，y )的4组值为(8,5)，(12,8)，(14,9)，(16,11)．(1)假设y 与x 之间存在线性相关关系，求y 与x 之间的线性回归方程．(2)若实际生产中所容许的每小时最大有缺点物件数为10，则机器的速度不得超过多少转/秒？(精确到1) 【解】 (1)设回归方程为y ＝a ＋bx ，则x ＝8＋12＋14＋164＝12.5，y ＝5＋8＋9＋114＝8.25， ∑4i ＝1x 2i ＝660，∑4i ＝1x i y i ＝438，b ＝∑4i ＝1x i y i －4x y∑4i ＝1x 2i －4x2＝438－4×12.5×8.25660－4×12.52≈0.73， a ＝y －b x ＝8.25－0.73×12.5＝－0.875，所以所求回归方程为y ＝－0.875＋0.73x .(2)由y ≤10，即－0.875＋0.73x ≤10，得x ≤10.8750.73≈15，即机器速度不得超过15转/秒．11．高二(3)班学生每周用于数学学习的时间x (单位：小时)与数学成绩y (单位：分)之间有如下数据：x 24 15 23 19 16 11 20 16 17 13 y92799789644783687159若某同学每周用于数学学习的时间为18小时，试预测该同学的数学成绩．【解】显然学习时间与学习成绩间具有相关关系，可以列出下表，并用科学计算器进行计算．i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 x i 24 15 23 19 16 11 20 16 17 13 y i 927997896447 83687159 x i y i2 208 1 185 2 231 1 691 1 024 5171 660 1 088 1 207767∑10i ＝1x 2i＝3 182，∑10i ＝1x i y i＝13 578于是可得b ＝∑10i ＝1x i y i －10x y∑10i ＝1x 2i －10x2＝545.4154.4≈3.53，a＝y－b x＝74.9－3.53×17.4≈13.5.因此可求得回归直线方程为y＝3.53x＋13.5.当x＝18时，y＝3.53×18＋13.5≈77.故该同学预计可得77分左右.(教师用书独具)在一段时间内，某种商品的价格x(万元)和需求量y(t)之间的一组数据如下表所示：价格x 1.4 1.6 1.82 2.2需求量y 121075 3(1)画出散点图；(2)求出y对x的回归直线方程；(3)如价格定为1.9万元，预测需求量大约是多少．(精确到0.01 t)【思路探究】先根据所给数据画出散点图，判断y与x是否具有线性相关关系，在此基础上利用回归方程系数的有关公式，求出相应的系数，然后结合函数知识预测需求量．【自主解答】(1)散点图如图所示．(2)采用列表的方法计算a与回归系数b.序号x i y i x2i x i y i1 1.412 1.9616.82 1.610 2.56163 1.87 3.2412.64 25 4 105 2.2 3 4.84 6.6Σ9 37 16.6 62x＝15×9＝1.8，y＝15×37＝7.4，b＝62－5×1.8×7.416.6－5×1.82＝－11.5，a＝7.4＋11.5×1.8＝28.1.所以y对x的回归直线方程为y＝a＋bx＝28.1－11.5x.(3)当x＝1.9时，y＝28.1－11.5×1.9＝6.25，所以价格定为1.9万元时，需求量大约是6.25 t.解答本类题目的关键首先应先通过散点图来分析两变量间的关系是否相关，然后再利用求回归方程的公式求解回归方程，在此基础上，借助回归方程对实际问题进行预测．已知10只狗的血球体积x(单位：mm3)及红血球数y(单位：百万)的测量值如下：x 45424648423558403950y 6.53 6.309.257.50 6.99 5.909.49 6.20 6.557.72(1)画出散点图；(2)求出y对x的回归线性方程；(3)若血球体积为49 mm3，预测红血球数大约是多少？【解】(1)散点图如图(2)设线性回归方程为y ＝bx ＋a ，由表中数据代入公式，得b ＝∑i ＝110x i y i －10x y∑i ＝110x 2i －10x2≈0.16，a ＝y －b x ≈0.12.所以所求线性回归方程为y ＝0.16x ＋0.12. (3)把x ＝49代入线性回归方程得：y ＝0.16×49＋0.12≈7.96(百万)，计算结果表明，当血球体积为49 mm 3时，红血球数大约为7.96百万．拓展阅读GDDS 和SDDS随着世界经济一体化的加快，各国间的交流与合作越来越频繁，为加强国际组织对各国经济运行状况的监督，国际社会在各领域纷纷建立了国际通行标准，其中国际货币基金组织(简称IMF)制定的数据公布通用系统(简称GDDS)和数据公布特殊标准(简称SDDS)．GDDS 的主要内容和要求：在统计范围内，它将国民经济活动划分为5大经济部门，对每一部门各选定一组能够反映其活动实绩和政策以及可以帮助理解经济发展和结构变化的最为重要的数据．系统提出了五大部门综合框架和相关的数据类别和指标编制、公布的目标．选定的数据类别和指标中规定为主要部分．SDDS 将国民经济活动划分为4大经济部门．选定的数据类别分为：必须的、受鼓励的和“视相关程度”三类．必须的数据类别包括：综合统计框架、跟踪性数据、与部门有关的其他数据.IMF 为什么制定GDDS 和SDDS 呢？进入20世纪90年代以来，世界一些地区金融危机频繁爆发.1994年墨西哥的金融危机、1997年东南亚金融危机都导致国际金融市场剧烈动荡．两次金融危机给IMF 一个深刻的教训，也对其职能提出了挑战，在总结经验教训的基础上，IMF 认为，在新的国际经济、金融形势下，必须制定统一的数据发布标准，使各成员国按照统一程序提供全面、准确的经济金融信息，从而可以有效及时地对各国的经济进行正确的分析预测，从宏观上来作出调控，减少金融危机的发生和影响．1．2 相关系数课标解读 1.了解两个随机变量间的线性相关系数r ，并能利用公式求出相关系数r ；了解正相关、负相关、不相关的概念． 2．能利用相关系数r 判断两个随机变量间线性相关程度的大小，从而判断回归直线拟合的效果.相关系数【问题导思】1．有什么办法判断两个变量是否具有线性相关关系？【提示】作出散点图，看这些点是否在某一直线的附近，计算线性相关系数． 2．线性相关系数与最小误差有何关系？【提示】 Q (误差)＝l yy (1－r 2)．3．相关系数r 的绝对值的大小对相关性有何影响？【提示】 |r |越大，变量之间的相关程度越高；|r |越小，变量间线性相关程度越低；当r ＝0时，两个变量线性不相关．4．r 的正负对相关性的影响．【提示】 r >0，b ＝l xyl xx>0两变量正相关； r <0，b ＝l xyl xx<0，两变量负相关．1．判断两个变量之间的线性相关关系的方法有： (1)计算线性相关系数r . (2)画散点图．2．假设两个随机变量的数据分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )，则变量间线性相关系数r 的计算公式为r ＝l xyl xx l yy＝∑ni＝1x i－x y i－y∑ni＝1x i－x2i＝1ny i－y2＝∑ni＝1x i y i－n x y∑ni＝1x2i－n x2∑ni＝1y2i－n y2相关系数及其应用维尼纶纤维的耐热水性能的好坏可以用指标“缩醛化度”y来衡量，这个指标越高，耐热水性能就越好，而甲醛浓度是影响“缩醛化度”的重要因素，在生产中常用甲醛浓度x(克/升)去控制这一指标，为此必须找出它们之间的关系，现安排一批试验，获得如下表数据．甲醛浓度18202224262830(克/升)缩醛化度26.8628.3528.7528.8729.7530.0030.36(克分子%)求相关系数r.【思路探究】可直接利用相关系数r的公式直接计算．【自主解答】列表如下：i x i y i x2i x i y i y2i11826.86324483.48721.459 622028.35400567803.722 532228.75484632.5826.562 542428.87576692.88833.476 952629.75676773.5885.062 562830.0078484090073030.36900910.80921.729 6∑168202.94 4 144 4 900.16 5 892.013 6 x＝24，y＝28.99，r＝∑7i＝1x i y i－7x y∑7i＝1x2i－7x2∑7i＝1y2i－7y2＝4 900.16－7×24×28.994 144－7×242×5 892.013 6－7×28.992≈0.94.当相关系数|r|越接近1时，两个变量的线性相关程度越高，当相关系数|r|越接近0时，两个变量的线性相关程度越低．下列是小麦产量与施化肥量的一组观测数据：施化肥量15202530354045小麦产量320330360410460470480 判断施化肥量与水稻产量是否有相关关系．【解】i x i y i x2i y2i x i y i115320225102 400 4 800220330400108 900 6 600325360625129 6009 000430410900168 10012 300535460 1 225211 60016 100640470 1 600220 90018 800745480 2 025230 40021 600∑210 2 8307 000 1 171 90089 200∴r＝∑i＝17x i y i－7x y∑i＝17x2i－7x2∑i＝17y2i－7y2＝4 300700×27 771.43≈0.975.由于r＝0.975>0，因此施化肥量和水稻产量近似成线性正相关关系．线性回归分析的综合应用“阿曼德匹萨”是一个制作和外卖意大利匹萨的餐饮连锁店，其主要客户群是在校大学生，为研究各店铺的销售额与店铺附近地区大学生人数的关系，随机抽取十个分店的样本，得到数据如下：店铺编号区内大学生数(万人)季度销售额(万元)1 0.2 5.8 2 0.6 10.53 0.8 8.84 0.8 11.85 1.2 11.76 1.6 13.7 7 2 15.78 2 16.9 9 2.2 14.9 10 2.620.2(1)试对区内大学生人数与店铺的销售额的关系进行相关性检验；(2)试根据这些数据建立回归模型，然后再进一步根据回归方程预测一个区内大学生人数1万人店铺的季度销售额； (3)若店铺的季度销售额低于10万元则亏损，试求建店区内大学生人数至少约多少人？【思路探究】先根据表中的数据作相关检验，然后判断是否具有相关关系，再根据所给的数据解出线性回归方程，最后进行预测．【自主解答】 (1)根据数据我们对区内大学生人数x 与店铺季度销售额y 作相关检验．根据数据可知：x ＝110(0.2＋0.6＋…＋2.6)＝1.4；y ＝110(5.8＋10.5＋…＋20.2)＝13，∑10i ＝1x 2i －10x 2＝5.68，∑10i ＝1x i y i －10x y ＝28.4，∑10i ＝1y 2i －10y 2＝157.3，因此r ＝28.45.68×157.3≈0.95；|r |接近1，因此有把握认为区内大学生人数x 与店铺季度销售额y 具有线性相关关系，求y 对x 的回归直线方程有意义．(2)回归系数b ＝28.45.68＝5，a ＝13－5×1.4＝6.因此回归直线方程是y＝bx＋a＝5x＋6.当x＝1时，y＝5×1＋6＝11，即区内大学生人数1万元店铺的季度销售额约11万元．(3)由回归直线方程是y＝5x＋6.令y≥10，解得x≥0.8，所以当建店区内大学生人数至少8 000人时才适合建店．进行相关性检验主要有两种常用方法，一是作散点图，观察所给的数据点是否在一条直线的附近，作散点图的优点是既直观又方便，是解决相关性检验问题比较常用的方法；缺点是作图总是存在误差，有时很难判断这些点是不是分布在一条直线的附近．二是利用样本相关系数对其进行相关性检验，优点是判断准确，缺点是计算繁琐，但可以借助计算器进行处理．在我国某地的一个县城，近期发现了好几个癌症村．政府部门十分震惊，马上组成调查组调查病因，经调查发现致癌的罪魁祸首是水源中的金属砷，它们来自附近的几家化工厂，化工厂排出的废水中含有金属砷，废水污染了水源，人食用了这种水就会致癌．下面就是调查组对几个癌症村水源中的砷超标的倍数和患癌症的人数统计的数据：砷超标的倍数x 34 5.5 4.2 5.86 3.5患癌症人数y 15202824354434(1)画出表中数据的散点图； (2)求y 对x 的回归方程；(3)若一个村的水源中砷超标的倍数为7，试估计这个村的患癌症的人数．【解】 (1)散点图如图所示：(2)观察散点图，可知x 、y 成线性相关关系．计算得x ＝327，y ＝2007，根据求b 公式代入数据计算得b ≈6.065，a ＝2007－6.065×327≈0.846. 所以患癌症人数y 对水源中砷超标的倍数x 的回归直线方程为y ＝6.065x ＋0.846.(3)根据上面求得的回归直线方程，当水源中砷超标的倍数为7时，y ＝6.065×7＋0.846＝43.301. 即该村患癌症的人数约为43人．对误差的大小与变量相关关系的理解有误对两个变量y和x进行回归分析，得到一组样本数据：(x1，y1)，(x2，y2)，…，(x n，y n)，则下列说法中不正确的是( )A．由样本数据得到的回归方程y＝bx＋a必过样本点的中心(x，y)B．在回归分析中，误差Q越小，变量之间的线性相关程度越高C．相关系数r越小，说明变量之间的线性相关程度越小D．在散点图中，若n个点在一条直线上，说明变量之间的相关性强【错解】 B【错因分析】对误差Q与变量间的相关关系理解错误．【防范措施】正确理解回归方程、相关系数r、误差Q、散点图等概念是解决概念题的基础．【正解】∵误差Q越小，|r|越大，变量之间的线性相关程度越高，而相关系数r的范围为－1≤r≤1，∴C错误．【答案】 C1．相关系数是用来刻画两个变量相关关系的强与弱的．2．相关系数的计算公式r＝∑ni＝1x i－x y i－y∑ni＝1x i－x2∑ni＝1y i－y2＝∑ni＝1x i y i－n x y∑ni＝1x2i－n x2∑ni＝1y2i－n y21．在对变量y和x进行线性相关检验时，已知n是观测值组数，r是相关系数，且已知：①n＝7，r＝0.953 3；②n＝15，r＝0.301 2；③n＝17，r＝0.499 1；④n＝3，r＝0.9950.则变量y和x具有较高线性相关程度的是( )A．①和②B．①和④C．②和④D．③和④【解析】相关系数r的绝对值越大，变量x，y的线性相关程度越高，故选B.【答案】 B2．对相关系数r，下列说法正确的是( )A．|r|越大，相关程度越大B．|r|越小，相关程度越大C．|r|越大，相关程度越小，|r|越小，相关程度越大D．|r|≤1且|r|越接近于1，相关程度越大，|r|越接近0，相关程度越小【解析】由两个变量相关系数公式。

北京市2016-2017学年高中数学北师大版选修1-2学案：章末分层突破3 Word版含解析

章末分层突破[自我校对]①合情推理②间接证明③归纳推理④综合法________________________________________________________________ ________________________________________________________________ ________________________________________________________________ ________________________________________________________________ ________________________________________________________________合情推理1.归纳推理的特点及一般步骤2．类比推理的特点及一般步骤(1)观察式子：1＋122<32，1＋122＋132<53，1＋122＋132＋142<74，…，由此可归纳出的式子为( )A ．1＋122＋132＋…＋1n 2<12n －1B ．1＋122＋132＋…＋1n 2<12n ＋1C ．1＋122＋132＋…＋1n 2<2n －1n D ．1＋122＋132＋…＋1n 2<2n2n ＋1(2)两点等分单位圆时，有相应正确关系为sin α＋sin(π＋α)＝0；三点等分单位圆时，有相应正确关系为sin α＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋2π3＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋4π3＝0，由此可以推知，四点等分单位圆时的相应正确关系为__________．【精彩点拨】 (1)观察各式特点，找准相关点，归纳即得． (2)观察各角的正弦值之间的关系得出结论．【规范解答】 (1)由各式特点，可得1＋122＋132＋…＋1n 2<2n －1n .故选C. (2)用两点等分单位圆时，关系为sin α＋sin(π＋α)＝0，两个角的正弦值之和为0，且第一个角为α，第二个角与第一个角的差为(π＋α)－α＝π，用三点等分单位圆时，关系为sin α＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋2π3＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋4π3＝0，此时三个角的正弦值之和为0，且第一个角为α，第二个角与第一个角的差与第三个角与第二个角的差相等，即有⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋4π3－⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋2π3＝⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋2π3－α＝2π3.依此类推，可得当四点等分单位圆时，为四个角正弦值之和为0，且第一个角为α，第二个角为2π4＋α＝π2＋α，第三个角为π2＋α＋2π4＝π＋α，第四个角为π＋α＋2π4＝3π2＋α，即其关系为sin α＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π2＋sin(α＋π)＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋3π2＝0.【答案】 (1)C (2)sin α＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π2＋sin(α＋π)＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋3π2＝0[再练一题]1．已知函数y ＝sin 4x ＋cos 4x (x ∈R )的值域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1，则(1)函数y ＝sin 6 x ＋cos 6x (x ∈R )的值域是__________；(2)类比上述结论，函数y ＝sin 2n x ＋cos 2n x (n ∈N ＋)的值域是__________．【解析】 (1)y ＝sin 6x ＋cos 6x ＝(sin 2x ＋cos 2x )(sin 4x －sin 2 x cos 2 x ＋cos 4 x )＝sin 4x －sin 2x cos 2 x ＋cos 4x ＝(sin 2 x ＋cos 2 x )2－3sin 2x cos 2x ＝1－34sin 2(2x )＝1－38(1－cos 4x )＝58＋38cos 4x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，1.(2)由类比可知，y ＝sin 2n x ＋cos 2n x 的值域是[21－n,1]．【答案】 (1)⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，1 (2)[21－n,1]综合法与分析法1.综合法和分析法是直接证明中最基本的两种证明方法，也是解决数学问题的常用的方法，综合法是由因导果的思维方式，而分析法的思路恰恰相反，它是执果索因的思维方式．2．分析法和综合法是两种思路相反的推理方法．分析法是倒溯，综合法是顺推，二者各有优缺点．分析法容易探路，且探路与表述合一，缺点是表述易错；综合法条理清晰，易于表述，因此对于难题常把二者交互运用，互补优缺，形成分析综合法，其逻辑基础是充分条件与必要条件．设a >0，b >0，a ＋b ＝1，求证：1a ＋1b ＋1ab ≥8.试用综合法和分析法分别证明．【精彩点拨】 (1)综合法：根据a ＋b ＝1，分别求1a ＋1b 与1ab 的最小值． (2)分析法：把1ab 变形为a ＋b ab ＝1a ＋1b 求证．【规范解答】法一：(综合法) ∵a >0，b >0，a ＋b ＝1，∴1＝a ＋b ≥2ab ，ab ≤12，ab ≤14，∴1ab ≥4. 又1a ＋1b ＝(a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＝2＋b a ＋a b ≥4，∴1a ＋1b ＋1ab ≥8⎝ ⎛⎭⎪⎫当且仅当a ＝b ＝12时等号成立.法二：(分析法) ∵a >0，b >0，a ＋b ＝1，要证1a ＋1b ＋1ab ≥8，只要证⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＋a ＋bab ≥8，只要证⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1b ＋1a ≥8，即证1a ＋1b ≥4.也就是证a ＋b a ＋a ＋bb ≥4. 即证b a ＋ab ≥2，由基本不等式可知，当a >0，b >0时， b a ＋ab ≥2成立，所以原不等式成立． [再练一题]2．(1)已知a ，b ，c 为互不相等的非负数．求证：a2＋b2＋c2>abc(a＋b＋c)．(2)用分析法证明：2cos(α－β)－sin(2α－β)sin α＝sin βsin α.【解】(1)因为a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，a2＋c2≥2ac，又因为a，b，c为互不相等的非负数，所以上面三个式子中都不能取“＝”，所以a2＋b2＋c2>ab＋bc＋ac，因为ab＋bc≥2ab2c，bc＋ac≥2abc2，ab＋ac≥2a2bc，又a，b，c为互不相等的非负数，所以ab＋bc＋ac>abc(a＋b＋c)，所以a2＋b2＋c2>abc(a＋b＋c)．(2)要证原等式成立，只需证：2cos(α－β)sin α－sin(2α－β)＝sin β，①因为①左边＝2cos(α－β)sin α－sin[(α－β)＋α]＝2cos(α－β)sin α－sin(α－β)cos α－cos(α－β)sin α＝cos(α－β)sin α－sin(α－β)cos α＝sin β＝右边，所以①成立，即原等式成立.反证法反证法是间接证明的一种基本方法，用反证法证明时，假定原结论的对立面为真，从反设和已知条件出发，经过一系列正确的逻辑推理，得出矛盾结果，断定反设不成立，从而肯定结论．反证法的思路：反设→归谬→结论．设{a n}是公比为q的等比数列．(1)推导{a n}的前n项和公式；(2)设q≠1，证明：数列{a n＋1}不是等比数列．【精彩点拨】(1)利用等比数列的概念及通项公式推导前n项和公式；(2)利用反证法证明要证的结论．【规范解答】(1)设{a n}的前n项和为S n，当q＝1时，S n＝a1＋a1＋…＋a1＝na1；当q≠1时，S n＝a1＋a1q＋a1q2＋…＋a1q n－1，①qS n＝a1q＋a1q2＋…＋a1q n，②①－②得，(1－q)S n＝a1－a1q n，∴S n＝a1(1－q n)1－q，∴S n＝⎩⎪⎨⎪⎧na1，q＝1，a1(1－q n)1－q，q≠1.(2)证明：假设{a n＋1}是等比数列，则对任意的k∈N＋，(a k＋1＋1)2＝(a k＋1)(a k＋2＋1)，a2k＋1＋2a k＋1＋1＝a k a k＋2＋a k＋a k＋2＋1，a21q2k＋2a1q k＝a1q k－1·a1q k＋1＋a1q k－1＋a1q k＋1，∵a1≠0，∴2q k＝q k－1＋q k＋1.∵q≠0，∴q2－2q＋1＝0，∴q＝1，这与已知矛盾．∴假设不成立，故{a n＋1}不是等比数列．[再练一题]3．已知二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0)的图像与x轴有两个不同的交点，若f(c)＝0，且0<x<c时，f(x)>0.(1)证明：1a 是f (x )＝0的一个根； (2)试比较1a 与c 的大小．【解】 (1)证明：∵f (x )的图像与x 轴有两个不同的交点， ∴f (x )＝0有两个不等实根x 1，x 2. ∵f (c )＝0，∴x 1＝c 是f (x )＝0的根．又x 1x 2＝ca ， ∴x 2＝1a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ≠c ，∴1a 是f (x )＝0的一个根． (2)假设1a <c ，又1a >0，由0<x <c 时，f (x )>0，知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a >0与f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＝0矛盾，∴1a ≥c ，又∵1a ≠c ， ∴1a >c .数学归纳法1.关注点一：用数学归纳法证明等式问题是数学归纳法的常见题型，其关键点在于“先看项”，弄清等式两边的构成规律，等式两边各有多少项，初始值n 0是多少．2．关注点二：由n ＝k 到n ＝k ＋1时，除等式两边变化的项外还要利用n ＝k 时的式子，即利用假设，正确写出归纳证明的步骤，从而使问题得以证明．已知正数数列{a n }(n ∈N ＋)中，前n 项和为S n ，且2S n ＝a n ＋1a n，用数学归纳法证明：a n ＝n －n －1.【规范解答】 (1)当n ＝1时，a 1＝S 1＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1＋1a 1，所以a 21＝1(a n >0)，所以a 1＝1，又1－0＝1，所以n ＝1时，结论成立．(2)假设n ＝k (k ≥1，k ∈N ＋)时，结论成立，即a k ＝k －k －1.当n ＝k ＋1时，a k ＋1＝S k ＋1－S k ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫a k ＋1＋1a k ＋1－12⎝ ⎛⎭⎪⎫a k ＋1a k ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫a k ＋1＋1a k ＋1－12⎝ ⎛⎭⎪⎫k －k －1＋1k －k －1 ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫a k ＋1＋1a k ＋1－k ，所以a 2k ＋1＋2ka k ＋1－1＝0，解得a k ＋1＝k ＋1－k (a n >0)，所以n ＝k ＋1时，结论成立．由(1)(2)可知，对n ∈N ＋都有a n ＝n －n －1.[再练一题]4．设数列{a n }的前n 项和S n ＝n (a n ＋1)2(n ∈N ＋)，a 2＝2. (1)求{a n }的前三项a 1，a 2，a 3； (2)猜想{a n }的通项公式，并证明．【解】 (1)由S n ＝n (a n ＋1)2，得a 1＝1，又由a 2＝2，得a 3＝3.(2)猜想：a n ＝n .证明如下：①当n ＝1时，猜想成立． ②假设当n ＝k (k ≥2)时，猜想成立，即a k ＝k ，那么当n ＝k ＋1时，a k ＋1＝S k ＋1－S k＝(k ＋1)(a k ＋1＋1)2－k (a k ＋1)2＝(k ＋1)(a k ＋1＋1)2－k (k ＋1)2.所以a k ＋1＝k 2k －1－1k －1＝k ＋1，所以当n ＝k ＋1时，猜想也成立．根据①②知，对任意n ∈N ＋，都有a n ＝n .转化与化归思想转化与化归是数学思想方法的灵魂．在本章中，合情推理与演绎推理体现的是一般与特殊的转化；数学归纳法体现的是一般与特殊、有限与无限的转化；反证法体现的是对立与统一的转化．设二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)中的a ，b ，c 都为整数，已知f (0)，f (1)均为奇数，求证：方程f (x )＝0无整数根．【精彩点拨】假设方程f (x )＝0有整数根k ，结合f (0)，f (1)均为奇数推出矛盾．【规范解答】假设方程f (x )＝0有一个整数根k ，则ak 2＋bk ＋c ＝0，∵f (0)＝c ，f (1)＝a ＋b ＋c 都为奇数， ∴a ＋b 必为偶数，ak 2＋bk 为奇数．当k 为偶数时，令k ＝2n (n ∈Z )，则ak 2＋bk ＝4n 2a ＋2nb ＝2n (2na ＋b )必为偶数，与ak 2＋bk 为奇数矛盾；当k 为奇数时，令k ＝2n ＋1(n ∈Z )，则ak 2＋bk ＝(2n ＋1)·(2na ＋a ＋b )为一奇数与一偶数乘积，必为偶数，也与ak 2＋bk 为奇数矛盾．综上可知，方程f (x )＝0无整数根．[再练一题]5．用数学归纳法证明：当n为正奇数时，x n＋y n能被x＋y整除．【证明】设n＝2m－1，m∈N＋，则x n＋y n＝x2m－1＋y2m－1.要证明原命题成立，只需证明x2m－1＋y2m－1能被x＋y整除(m∈N＋)．(1)当m＝1时，x2m－1＋y2m－1＝x＋y能被x＋y整除．(2)假设当m＝k(k∈N＋)时命题成立，即x2k－1＋y2k－1能被x＋y整除，那么当m＝k＋1时，x2(k＋1)－1＋y2(k＋1)－1＝x2k＋2－1＋y2k＋2－1＝x2k－1x2－x2k－1y2＋y2k－1y2＋x2k－1y2＝x2k－1(x2－y2)＋y2(x2k－1＋y2k－1)＝x2k－1(x－y)(x＋y)＋y2(x2k－1＋y2k－1)．因为x2k－1(x－y)(x＋y)与y2(x2k－1＋y2k－1)均能被x＋y整除，所以当m＝k＋1时，命题成立．由(1)(2)知，原命题成立．1．(2016·北京高考)某学校运动会的立定跳远和30秒跳绳两个单项比赛分成预赛和决赛两个阶段．下表为10名学生的预赛成绩，其中有三个数据模糊.30秒跳绳决赛的有6人，则()A．2号学生进入30秒跳绳决赛B．5号学生进入30秒跳绳决赛C．8号学生进入30秒跳绳决赛D．9号学生进入30秒跳绳决赛【解析】由题意可知1到8号学生进入了立定跳远决赛．由于同时进入立定跳远决赛和30秒跳绳决赛的有6人，因此1到8号同学中有且只有6人进入两项决赛，分类讨论如下：(1)当a<60时，a－1<59，此时2号和8号不能入选，即入选的只有1,3,4,5,6,7号；(2)当a＝60时，a－1＝59，此时2号和4号同时入选或同时都不入选，均不符合题意；(3)当a＝61时，a－1＝60，此时8号和4号不能入选，即入选的只有1,2,3,5,6,7号；(4)当a＝62或63时，相应的a－1＝61或62，此时8号和4号不能入选，即入选的只有1,2,3,5,6,7号；(5)当a≥64时，此时a－1≥63，不符合题意．综上可知1,3,5,6,7号学生一定进入30秒跳绳决赛．【答案】 B2．(2016·全国卷Ⅱ)有三张卡片，分别写有1和2,1和3,2和3.甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是2”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是1”，丙说：“我的卡片上的数字之和不是5”，则甲的卡片上的数字是________．【解析】根据丙的说法及乙看了丙的卡片后的说法进行推理．由丙说“我的卡片上的数字之和不是5”，可推知丙的卡片上的数字是1和2或1和3.又根据乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是1”可知，乙的卡片不含1，所以乙的卡片上的数字为2和3.再根据甲的说法“我与乙的卡片上相同的数字不是2”可知，甲的卡片上的数字是1和3.【答案】 1和33．(2015·福建高考)一个二元码是由0和1组成的数字串x 1x 2…x n (n ∈N ＋)，其中x k (k ＝1,2，…，n )称为第k 位码元．二元码是通信中常用的码，但在通信过程中有时会发生码元错误(即码元由0变为1，或者由1变为0)．已知某种二元码x 1x 2…x 7的码元满足如下校验方程组：⎩⎨⎧x 4⊕x 5⊕x 6⊕x 7＝0，x 2⊕x 3⊕x 6⊕x 7＝0，x 1⊕x 3⊕x 5⊕x 7＝0，其中运算⊕定义为：0⊕0＝0,0⊕1＝1,1⊕0＝1,1⊕1＝0.现已知一个这种二元码在通信过程中仅在第k 位发生码元错误后变成了1101101，那么利用上述校验方程组可判定k 等于________．【解析】因为x 2⊕x 3⊕x 6⊕x 7＝0，所以x 2，x 3，x 6，x 7都正确．又因为x 4⊕x 5⊕x 6⊕x 7＝1，x 1⊕x 3⊕x 5⊕x 7＝1，故x 1和x 4都错误，或仅x 5错误．因为条件中要求仅在第k 位发生码元错误，故只有x 5错误．【答案】 54．(2015·湖南高考)设a >0，b >0，且a ＋b ＝1a ＋1b .证明：【导学号：67720022】 (1)a ＋b ≥2；(2)a 2＋a <2与b 2＋b <2不可能同时成立．【证明】由a ＋b ＝1a ＋1b ＝a ＋bab ，a >0，b >0，得ab ＝1.(1)由基本不等式及ab ＝1，有a ＋b ≥2ab ＝2，即a ＋b ≥2，当且仅当a ＝b ＝1时等号成立．(2)假设a 2＋a <2与b 2＋b <2同时成立，则由a 2＋a <2及a >0，得0<a <1；同理，0<b <1，从而ab <1，这与ab ＝1矛盾．故a 2＋a <2与b 2＋b <2不可能同时成立． 5．(2016·浙江高考)设函数f (x )＝x 3＋11＋x，x ∈[0,1]．证明： (1)f (x )≥1－x ＋x 2；(2)34<f (x )≤32. 【证明】 (1)因为1－x ＋x 2－x 3＝1－(－x )41－(－x )＝1－x 41＋x，由于x ∈[0,1]，有1－x 41＋x ≤1x ＋1，即1－x ＋x 2－x 3≤1x ＋1，所以f (x )≥1－x ＋x 2.(2)由0≤x ≤1得x 3≤x ，故f (x )＝x 3＋1x ＋1≤x ＋1x ＋1＝x ＋1x ＋1－32＋32＝(x －1)(2x ＋1)2(x ＋1)＋32≤32，所以f (x )≤32.由(1)得f (x )≥1－x ＋x 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34≥34，又因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝1924>34，所以f (x )>34.综上，34<f (x )≤32.单元综合测评(三) 推理与证明 (时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．下面四个推理不是合情推理的是( ) A ．由圆的性质类比推出球的有关性质B ．由直角三角形、等腰三角形、等边三角形的内角和都是180°，归纳出所有三角形的内角和都是180°C．某次考试张军的成绩是100分，由此推出全班同学的成绩都是100分D．蛇、海龟、蜥蜴是用肺呼吸的，蛇、海龟、蜥蜴是爬行动物，所以所有的爬行动物都是用肺呼吸的【解析】逐项分析可知，A项属于类比推理，B项和D项属于归纳推理，而C项中各个学生的成绩不能类比，不是合情推理．【答案】 C2．用反证法证明命题“若直线AB，CD是异面直线，则直线AC，BD也是异面直线”的过程归纳为以下三个步骤：①则A，B，C，D四点共面，所以AB，CD共面，这与AB，CD是异面直线矛盾；②所以假设错误，即直线AC，BD也是异面直线；③假设直线AC，BD是共面直线．则正确的序号顺序为()A．①②③B．③①②C．①③②D．②③①【解析】结合反证法的证明步骤可知，其正确步骤为③①②.【答案】 B3．下列推理是归纳推理的是()A．A，B为定点，动点P满足|P A|＋|PB|＝2a>|AB|，得P的轨迹为椭圆B．由a1＝1，a n＝3n－1，求出S1，S2，S3，猜想出数列的前n项和S n的表达式C．由圆x2＋y2＝r2的面积πr2，猜出椭圆x2a2＋y2b2＝1的面积S＝πabD．科学家利用鱼的沉浮原理制造潜艇【解析】由归纳推理的特点知，选B.【答案】 B4．用反证法证明“a，b，c中至少有一个大于0”，下列假设正确的是() A．假设a，b，c都小于0B．假设a，b，c都大于0C．假设a，b，c中都不大于0D．假设a，b，c中至多有一个大于0【解析】用反证法证明“a，b，c中至少有一个大于0”，应先假设要证命题的否定成立．而要证命题的否定为“假设a，b，c中都不大于0”，故选C.【答案】 C5．下面给出了四个类比推理．①a，b为实数，若a2＋b2＝0则a＝b＝0；类比推出：z1，z2为复数，若z21＋z22＝0，则z1＝z2＝0；②若数列{a n}是等差数列，b n＝1n(a1＋a2＋a3＋…＋a n)，则数列{b n}也是等差数列；类比推出：若数列{c n}是各项都为正数的等比数列，d n＝nc1c2c3…c n，则数列{d n}也是等比数列；③若a，b，c∈R，则(ab)c＝a(bc)；类比推出：若a，b，c为三个向量，则(a·b)·c＝a·(b·c)；④若圆的半径为a，则圆的面积为πa2；类比推出：若椭圆的长半轴长为a，短半轴长为b，则椭圆的面积为πab.上述四个推理中，结论正确的是()A．①②B．②③C．①④D．②④【解析】①在复数集C中，若z1，z2∈C，z21＋z22＝0，则可能z1＝1且z2＝i，故错误；②在类比等差数列性质推理等比数列性质时，一般思路有：由加法类比推理为乘法，由减法类比推理为除法，由算术平均数类比推理为几何平均数等，故正确；③由于向量的数量积运算结合律不成立，错误；④若圆的半径为a，则圆的面积为πa2；类比推出，若椭圆长半轴长为a，短半轴长为b，则椭圆面积为πab，正确．【答案】 D6．将平面向量的数量积运算与实数的乘法运算相类比，易得下列结论：①a·b＝b·a；②(a·b)·c＝a·(b·c)；③a·(b＋c)＝a·b＋a·c；④由a·b＝a·c(a≠0)可得b＝c.以上通过类比得到的结论正确的个数为()A．1B．2C．3 D．4【解析】平面向量的数量积的运算满足交换律和分配律，不满足结合律，故①③正确，②错误；由a·b＝a·c(a≠0)得a·(b－c)＝0，从而b－c＝0或a⊥(b －c)，故④错误．故选B.【答案】 B7．(2016·昌平模拟)已知{b n}为等比数列，b5＝2，则b1·b2·b3·b4·b5·b6·b7·b8·b9＝29.若{a n}为等差数列，a5＝2，则{a n}的类似结论为()A．a1a2a3…a9＝29B．a1＋a2＋a3＋…＋a9＝29C．a1a2a3…a9＝2×9D．a1＋a2＋a3＋…＋a9＝2×9【解析】根据等差、等比数列的特征知，a1＋a2＋…＋a9＝2×9.【答案】 D8．(2016·北京高考)袋中装有偶数个球，其中红球、黑球各占一半．甲、乙、丙是三个空盒．每次从袋中任意取出两个球，将其中一个球放入甲盒，如果这个球是红球，就将另一个球放入乙盒，否则就放入丙盒．重复上述过程，直到袋中所有球都被放入盒中，则()A．乙盒中黑球不多于丙盒中黑球B．乙盒中红球与丙盒中黑球一样多C．乙盒中红球不多于丙盒中红球D．乙盒中黑球与丙盒中红球一样多【解析】取两个球往盒子中放有4种情况：①红＋红，则乙盒中红球数加1；②黑＋黑，则丙盒中黑球数加1；③红＋黑(红球放入甲盒中)，则乙盒中黑球数加1；④黑＋红(黑球放入甲盒中)，则丙盒中红球数加1.因为红球和黑球个数一样多，所以①和②的情况一样多，③和④的情况完全随机．③和④对B选项中的乙盒中的红球数与丙盒中的黑球数没有任何影响．①和②出现的次数是一样的，所以对B选项中的乙盒中的红球数与丙盒中的黑球数的影响次数一样．综上，选B.【答案】 B9．在等差数列{a n}中，若a10＝0，则有等式a1＋a2＋…＋a n＝a1＋a2＋…＋a19－n(n<19且n∈N＋)成立，类比上述性质，在等比数列{b n}中，若b11＝1，则有()A．b1·b2·…·b n＝b1·b2·…·b19－nB．b1·b2·…·b n＝b1·b2·…·b21－nC．b1＋b2＋…＋b n＝b1＋b2＋…＋b19－nD．b1＋b2＋…＋b n＝b1＋b2＋…＋b21－n【解析】令n＝10时，验证即知选B.【答案】 B10．将石子摆成如图1的梯形形状．称数列5,9,14,20，…为“梯形数”．根据图形的构成，此数列的第2 016项与5的差，即a2 016－5＝()图1A．2 018×2 014 B．2 018×2 013C．1 010×2 012 D．1 011×2 013【解析】a n－5表示第n个梯形有n－1层点，最上面一层为4个，最下面一层为n＋2个．∴a n －5＝(n －1)(n ＋6)2，∴a 2 016－5＝2 015×2 0222＝2 013×1 011. 【答案】 D11．在直角坐标系xOy 中，一个质点从A (a 1，a 2)出发沿图2中路线依次经过B (a 3，a 4)，C (a 5，a 6)，D (a 7，a 8)，…，按此规律一直运动下去，则a 2 015＋a 2 016＋a 2 017＝( )图2A ．1 006B ．1 007C ．1 008D ．1 009【解析】依题意a 1＝1，a 2＝1；a 3＝－1，a 4＝2；a 5＝2，a 6＝3；…，归纳可得a 1＋a 3＝1－1＝0，a 5＋a 7＝2－2＝0，…，进而可归纳得a 2 015＋a 2 017＝0，a 2＝1，a 4＝2，a 6＝3，…，进而可归纳得a 2 016＝12×2 016＝1 008，a 2 015＋a 2 016＋a 2 017＝1 008.故选C.【答案】 C12．有甲、乙、丙、丁四位歌手参加比赛，其中只有一位获奖，有人走访了四位歌手，甲说：“是乙或是丙获奖．”乙说：“甲、丙都未获奖．”丙说：“我获奖了．”丁说：“是乙获奖了．”四位歌手的话只有两句是对的，则获奖歌手是( )A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁【解析】【答案】 C二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在题中的横线上)13．已知圆的方程是x 2＋y 2＝r 2，则经过圆上一点M (x 0，y 0)的切线方程为x 0x ＋y 0y ＝r 2.类比上述性质，可以得到椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1类似的性质为__________．【解析】圆的性质中，经过圆上一点M (x 0，y 0)的切线方程就是将圆的方程中的一个x 与y 分别用M (x 0，y 0)的横坐标与纵坐标替换．故可得椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1类似的性质为：过椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1上一点P (x 0，y 0)的切线方程为x 0x a 2＋y 0yb 2＝1.【答案】经过椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1上一点P (x 0，y 0)的切线方程为x 0x a 2＋y 0yb 2＝1 14．观察下列等式： 13＝1， 13＋23＝9， 13＋23＋33＝36， 13＋23＋33＋43＝100， …照此规律，第n 个等式可为__________．【解析】依题意，注意到13＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤12×1×(1＋1)2,13＋23＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤12×2×(2＋1)2＝9,13＋23＋33＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤12×3×(3＋1)2＝36，…，照此规律，第n 个等式可为13＋23＋33＋…＋n 3＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤12n (n ＋1)2.【答案】 13＋23＋33＋…＋n 3＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤12n (n ＋1)215．(2016·东莞高二检测)当n ＝1时，有(a －b )(a ＋b )＝a 2－b 2，当n ＝2时，有(a －b )(a 2＋ab ＋b 2)＝a 3－b 3，当n ＝3时，有(a －b )(a 3＋a 2b ＋ab 2＋b 3)＝a 4－b 4，当n ∈N ＋时，你能得到的结论是__________．【解析】根据题意，由于当n ＝1时，有(a －b )(a ＋b )＝a 2－b 2，当n ＝2时，有(a －b )(a 2＋ab ＋b 2)＝a 3－b 3，当n ＝3时，有(a －b )(a 3＋a 2b ＋ab 2＋b 3)＝a 4－b 4，当n ∈N ＋时，左边第二个因式可知为a n ＋a n －1b ＋…＋ab n －1＋b n ，那么对应的表达式为(a －b )·(a n ＋a n －1b ＋…＋ab n －1＋b n )＝a n ＋1－b n ＋1.【答案】 (a －b )(a n ＋a n －1b ＋…＋ab n －1＋b n )＝a n ＋1－b n ＋116．如图3，如果一个凸多面体是n (n ∈N ＋)棱锥，那么这个凸多面体的所有顶点所确定的直线共有________条，这些直线共有f (n )对异面直线，则f (4)＝________，f (n )＝__________.(答案用数字或n 的解析式表示)图3【解析】所有顶点所确定的直线共有棱数＋底边数＋对角线数＝n ＋n ＋n (n －3)2＝n (n ＋1)2.从题图中能看出四棱锥中异面直线的对数为f (4)＝4×2＋4×12×2＝12，所以f(n)＝n(n－2)＋n(n－3)2·(n－2)＝n(n－1)(n－2)2.【答案】n(n＋1)212n(n－1)(n－2)2三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)用综合法或分析法证明：(1)如果a，b>0，则lg a＋b2≥lg a＋lg b2；(2)6＋10>23＋2.【证明】(1)当a，b>0时，有a＋b2≥ab，∴lg a＋b2≥lg ab，∴lg a＋b2≥12lg ab＝lg a＋lg b2.(2)要证6＋10>23＋2，只要证(6＋10)2>(23＋2)2，即260>248，这是显然成立的，所以，原不等式成立．18．(本小题满分12分)观察以下各等式：sin230°＋cos260°＋sin 30°cos 60°＝3 4，sin220°＋cos250°＋sin 20°cos 50°＝3 4，sin215°＋cos245°＋sin 15°cos 45°＝3 4.分析上述各式的共同特点，猜想出反映一般规律的等式，并对等式的正确性作出证明．【解】猜想：sin2α＋cos2(α＋30°)＋sin αcos(α＋30°)＝3 4.证明如下：sin 2α＋cos 2(α＋30°)＋sin αcos(α＋30°) ＝sin 2α＋⎝ ⎛⎭⎪⎫32cos α－12sin α2＋sin α⎝ ⎛⎭⎪⎫32cos α－12sin α＝sin 2α＋34cos 2α－32sin αcos α＋14sin 2α＋32sin α·cos α－12sin 2α ＝34sin 2α＋34cos 2α ＝34.19．(本小题满分12分)点P 为斜三棱柱ABC -A 1B 1C 1的侧棱BB 1上一点，PM ⊥BB 1交AA 1于点M ，PN ⊥BB 1交CC 1于点N .(1)求证：CC 1⊥MN ；(2)在任意△DEF 中有余弦定理：DE 2＝DF 2＋EF 2－2DF ·EF ·cos ∠DFE .扩展到空间类比三角形的余弦定理，写出斜三棱柱的三个侧面面积与其中两个侧面所成的二面角之间的关系式，并予以证明．【解】 (1)证明：因为PM ⊥BB 1，PN ⊥BB 1，又PM ∩PN ＝P ，所以BB 1⊥平面PMN ，所以BB 1⊥MN . 又CC 1∥BB 1，所以CC 1⊥MN .(2)在斜三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，有S 2ABB 1A 1＝S 2BCC 1B 1＋S 2ACC 1A 1－2SBCC 1B 1SACC 1A 1cos α.其中α为平面BCC 1B 1与平面ACC 1A 1所成的二面角．证明如下：因为CC 1⊥平面PMN ，所以上述的二面角的平面角为∠MNP .在△PMN中，因为PM2＝PN2＋MN2－2PN·MN cos∠MNP，所以PM2·CC21＝PN2·CC21＋MN2·CC21－2(PN·CC1)·(MN·CC1)cos∠MNP，由于SBCC1B1＝PN·CC1，SACC1A1＝MN·CC1，SABB1A1＝PM·BB1＝PM·CC1，所以S2ABB1A1＝S2BCC1B1＋S2ACC1A1－2SBCC1B1·SACC1A1·cos α.20．(本小题满分12分)(2014·江苏高考)如图4，在三棱锥P-ABC中，D，E，F分别为棱PC，AC，AB的中点．已知P A⊥AC，P A＝6，BC＝8，DF＝5.求证：图4(1)直线P A∥平面DEF；(2)平面BDE⊥平面ABC.【证明】(1)因为D，E分别为棱PC，AC的中点，所以DE∥P A.又因为P A平面DEF，DE平面DEF，所以直线P A∥平面DEF.(2)因为D，E，F分别为棱PC，AC，AB的中点，P A＝6，BC＝8，所以DE∥P A，DE＝12P A＝3，EF＝12BC＝4.又因为DF＝5，故DF2＝DE2＋EF2，所以∠DEF＝90°，即DE⊥EF.又P A⊥AC，DE∥P A，所以DE⊥AC.因为AC ∩EF ＝E ，AC 平面ABC ，EF 平面ABC ，所以DE ⊥平面ABC . 又DE 平面BDE ，所以平面BDE ⊥平面ABC .21．(本小题满分12分)在数列{a n }中，a 1＝1，a 2＝14，且a n ＋1＝(n －1)a n n －a n (n ≥2)．(1)求a 3，a 4，猜想a n 的表达式，并加以证明； (2)设b n ＝a n ·a n ＋1a n ＋a n ＋1，求证：对任意的n ∈N ＋，都有b 1＋b 2＋…＋b n <n 3.【解】 (1)容易求得：a 3＝17，a 4＝110.故可以猜想a n ＝13n －2，n ∈N ＋.下面利用数学归纳法加以证明： ①显然当n ＝1,2,3,4时，结论成立，②假设当n ＝k (k ≥4，k ∈N ＋)时，结论也成立，即 a k ＝13k －2.那么当n ＝k ＋1时，由题设与归纳假设可知：a k ＋1＝(k －1)a kk －a k＝(k －1)×13k －2k －13k －2 ＝k －13k 2－2k －1＝k －1(3k ＋1)(k －1)＝13k ＋1＝13(k ＋1)－2.即当n＝k＋1时，结论也成立，综上，对任意n∈N＋，a n＝13n－2成立．(2)证明：b n＝a n·a n＋1 a n＋a n＋1＝13n－2·13n＋1 13n－2＋13n＋1＝13n＋1＋3n－2＝13(3n＋1－3n－2)，所以b1＋b2＋…＋b n＝13[(4－1)＋(7－4)＋(10－7)＋…＋(3n＋1－3n－2)]＝13(3n＋1－1)，所以只需要证明13(3n＋1－1)<n3⇔3n＋1<3n＋1⇔3n＋1<3n＋23n＋1⇔0<23n(显然成立)，所以对任意的n∈N＋，都有b1＋b2＋…＋b n<n3.22．(本小题满分12分)(2014·湖南高考)已知函数f(x)＝x cos x－sin x＋1(x>0). 【导学号：67720022】(1)求f(x)的单调区间；(2)记x i为f(x)的从小到大的第i(i∈N*)个零点，证明：对一切n∈N*，有1x21＋1x22＋…＋1x2n<23.【解】(1)f′(x)＝cos x－x sin x－cos x＝－x sin x. 令f′(x)＝0，得x＝kπ(k∈N*)．当x∈(2kπ，(2k＋1)π)(k∈N)时，sin x>0，此时f ′(x )<0；当x ∈((2k ＋1)π，(2k ＋2)π)(k ∈N )时，sin x <0，此时f ′(x )>0.故f (x )的单调递减区间为(2k π，(2k ＋1)π)(k ∈N )，单调递增区间为((2k ＋1)π，(2k ＋2)π)(k ∈N )．(2)由(1)知，f (x )在区间(0，π)上单调递减．又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝0，故x 1＝π2.当n ∈N *时，因为f (n π)·f ((n ＋1)π)＝[(－1)n n π＋1]×[(－1)n ＋1(n ＋1)π＋1]<0，且函数f (x )的图像是连续不断的，所以f (x )在区间(n π，(n ＋1)π)内至少存在一个零点．又f (x )在区间(n π，(n ＋1)π)上是单调的，故 n π<x n ＋1<(n ＋1)π.因此，当n ＝1时，1x 21＝4π2<23；当n ＝2时，1x 21＋1x 22＜1π2(4＋1)＜23；当n ≥3时，1x 21＋1x 22＋…＋1x 2n <1π2⎣⎢⎡⎦⎥⎤4＋1＋122＋…＋1(n －1)2 <1π2⎣⎢⎡⎦⎥⎤5＋11×2＋…＋1(n －2)(n －1)＝ 1π2⎣⎢⎡⎦⎥⎤5＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －2－1n －1＝1π2⎝⎛⎭⎪⎫6－1n －1<6π2<23.综上所述，对一切n ∈N *，1x 21＋1x 22＋…＋1x 2n<23.。

高中数学第三章统计案例整合学案北师大版选修23

高中数学第三章统计案例整合学案北师大版选修2-3知识建构综合应用专题一确定回归直线方程的策略准确确定回归直线方程,有利于进一步加强数学应用意识,培养运用所学知识解决实际问题的能力,正确地求出回归直线方程是本节的重点,现介绍求回归直线方程的三种方法. 一、利用回归直线过定点确定回归直线方程回归直线方程y=a+bx 经过样本的中心(x,y)点,(x,y)称为样本点的中心,回归直线一定过此点.x -1 -2 -3 -4 -5 5 4 3 2 1 y-25= =x =2x+ =x+1 答案：B二、利用公式求a,b ，确定回归直线方程利用公式求回归直线方程时应注意以下几点:①求b 时利用公式b=2111)())((∑∑==---ni ini i x xy y x x,先求出x =n 1(x 1+x 2+x 3+…+x n ),y =n1(y 1+y 2+ y 3+…+y n ).再由a=y -b x 求a 的值,并写出回归直线方程.②线性回归方程中的截距a 和斜率b 都是通过样本估计而来,存在着误差,这种误差可能导致预报结果的偏差.③回归直线方程y=a+bx 中的b 表示x 每增加1个单位时y 的变化量,而a 表示y 不随x 的变化而变化的量.④可以利用回归直线方程y=a+bx 预报在x 取某一个值时y 的估计值. 学科学生 A B C D E 数学成绩（x ） 8876736663化学成绩（y ）7865716461（2）求化学成绩y 对数学成绩x 的回归直线方程. 解：（1）散点图略. (2) x =51×（88+76+73+66+63）=,y =51×(78+65+71+64+61)=. 所以b=251151)())((∑∑==---i i i ix xy y x x≈.a=y -b x =所以y 对x 的回归直线方程为y=+.三、先判定相关性，再求回归直线方程利用样本相关系数r 来判断两个变量之间是否有线性相关关系时，可以依据若|r|＞，我们认为有很强的线性相关关系，可以求回归直线方程,并可用求得的回归直线方程来预报变量的取值；若|r|＜,则认为两个变量之间的线性相关关系并不强,这时求回归直线方程没有太大的实际价值.【例3】10名同学在高一和高二的数学成绩如下表: x 74 71 72 68 76 73 67 70 65 74 y76757170767965776272其中x 为高一数学成绩，y 为高二数学成绩. (1)y 与x 是否具有相关关系;(2)如果y 与x 具有线性相关关系,求回归直线方程. 解：(1)由已知表格中的数据,求得x =71,y =,r=2101121011)()())((∑∑∑===----i i n i ii i y y x xy y x x≈.由于＞,所以y 与x 之间具有很强的线性相关关系. (2)y 与x 具有线性相关关系,设回归直线方程为: y=a+bx,则有b=∑∑==---1012101)())((i ii i ix xy y x x=,a=y -b x =所以y 关于x 的回归直线方程为y=专题二可线性化的回归分析一、曲线线性化的意义曲线的线性化是曲线拟合的重要手段之一，对于某些非线性的资料可以通过简单的变量替换使之线性化，这样就可以按最小二乘法原理求出变换后变量的线性回归方程，在实际工作中常利用该线性回归方程绘制资料的标准工作曲线，同时根据需要可将此线性回归方程还原成曲线回归方程，实现对曲线的拟合.二、常用的非线性函数(一)指数函数y=ae bx (1)对(1)式的两边取对数,得lny=lna+bx当b＞0时,y随着x的增大而增大;当b＜0时,y随着x的增大而减小.当以lny和x绘制的散点图呈直线趋势时,可考虑采用指数函数来描述y与x间的非线性关系,lna和b分别为截距与斜率.更一般的指数函数是y=ae bx+k,式中的k为一常量,往往未知,应用时可试用不同的值. (二)对数函数y=a+blnx(x＞0)当b＞0时，y随着x的增大而增大，先快后慢；当b＜0时，y随着x的增大而减小，先快后慢，当以y和lnx绘制的散点图呈直线趋势时，可考虑采用对数函数描述y与x间的非线性关系，式中a和b分别为截距与斜率.更一般的对数函数是y=a+bln(x+k),式中的k为一常量,往往未知.(三)幂函数y=ax b(a＞0，x＞0）（2）当b＞0时，y随着x的增大而增大；b＜0时，y随着x的增大而减小.对(2)式的两边取对数,得lny=lna+blnx,当以lny和lnx绘制的散点图呈直线趋势时,可考虑采用对数函数描述y与x间的非线性关系,式中lna和b分别为截距与斜率.更一般的幂函数是y=ax b+k,式中的k为一常量,往往未知.以上三种模型是我们在日常生活中常遇到的曲线模型,掌握这三种模型,有利于我们研究更多的曲线拟合与回归分析的问题.三、利用线性回归拟合曲线的一般步骤(一)绘制散点图一般根据资料性质结合专业知识便可确定资料的曲线类型,不能确定时,可在方格坐标纸上绘制散点图,根据散点的分布,选择接近的、合适的曲线类型.(二)进行变量替换y′=f(y),x′=g(x)使变换后的两个变量呈线性相关关系.(三)按最小二乘法原理求线性回归方程及进行方差分析.(四)将线性化方程转换为关于原始变量x,y的回归方程.【例1】经过调查得到8个厂家同种类型的产品年新增加投资额和年利润额的数据资料,如表(1)所示.厂家12345678 年新增投资额X（万元）46101115171820 年利润额Y（万元）6791017242326 lnY图(2)给出了年利润额Y与年新增加投资额x的散点图,从图中可以清楚地看出来,随着x的增大Y也有明显的增加的趋势,因此两者之间存在着相关关系,但是这种相关关系与其用一条直线来描述倒不如用曲线描述更加合适,因此Y与x之间更加倾向于被认为是一种非线性关系.回归方程也需要用一些非线性函数来刻画,比如图（2）年新增加投资额与年利润额数据的散点图图3 经过对数变换后的散点图Y=β0·e β1·x; ①或者Y=β0+β1·x 2②等等.图(3)给出的是变量lnY 与变量x 的散点图,从中可以看出这些点基本上是围绕一条直线波动,说明变量lnY 与x 之间近似是一种线性关系,从而也印证了回归方程取①形式的合理性.同时,图(3)也提示我们一种求解回归方程①的思路,即通过求解变量lnY 对x 的线性回归方程即可得到相应的①式所表示的Y 和x 的回归方程,即在图(3)中的回归直线同图(2)中的曲线(Ⅱ）是一致的.具体来说，首先对样本数据（x i ，Y i ），i=1，2，…，n 作对数变换 Z i =lnY i ，i=1，2，…，n ； ③ 然后利用最小二乘法求出变量Z 对x 的回归方程Z=a 0+a 1·x； ④即图（3）中的直线方程，则相应的形如①式的Y 对x 的回归方程是 Y=e z =e a0·e a1x； ⑤即β0=e a0，β1=a 1.利用表(1)中给出的数据,可以得到lnY 对x 的线性回归方程是 Z=+由此可得Y 对x 的回归方程是Y= 5·; ⑥如果采用形如②式的抛物线型回归方程,容易看出,令ω=x 2,②式就是表示了变量Y 对ω的线性回归方程:Y=β0+β1·ω； ⑦所以，对样本数据做变换ωi =x i 2（i=1，2，…，n ），利用（ωi ，Y i ）（i=1，2，…，n ）求解出⑦中的系数估计值β0、β1代入②式即得到Y 对x 的回归方程. 对表(1)中的数据计算结果为Y=+； ⑧ 专题三独立性检验的基本方法判断结论成立的可能性的一般步骤：（1）假设两个分类变量X 和Y 没有关系；（2）给定一个显著水平，查表给出临界值；（3）计算χ2=;))()()(()(2d b d c b a c a bc ad n ++++- （4）若χ2大于临界值，则认为x 与y 有关系，否则没有充分的理由说明这个结论不成立Y 1 Y 2 总计 X 1 a b a+b X 2 c d c+d 总计a+cb+da+b+c+d【例1】某大型企业人力资源部为了研究企业员工工作积极性和对待企业改革态度的关系，积极支持企业改革不太赞成企业改革合计工作积极 54 40 94 工作一般 32 63 95 合计86103189对于人力资源部的研究项目，根据上述数据能得出什么结论？分析：首先由已知条件确定a ，b ，c ，d ，n 的数值，再利用公式求出χ2的观测值，最后与临界值比较再下结论. 解：由题目中表的数据可知:a=54,b=40,c=32,d=63,a+b=94,c+d=95,a+c=86,b+d=103,n=189.代入公式得χ2=103869594)32406354(1892⨯⨯⨯⨯-+⨯≈.因为＞,所以有99%的把握认为员工“工作积极”与“积极支持企业改革”是有关的，可以认为企业的全体员工对待企业改革态度和工作积极性是有关的.【例2】在一次恶劣气候的飞行航程中调查男女乘客晕机的情况如下表所示,根据此资料您是否认为在恶劣气候飞行中男人比女人更容易晕机?晕机不晕机合计男人 24 31 55 女人 8 26 34 合计325789解：这是一个2×2列联表的独立性检验问题，根据列联表中的数据，得到χ2=57323455)8312624(892⨯⨯⨯⨯-⨯⨯≈.因为＞,所以有90%的把握认为此次飞行中晕机与否跟男女性别有关. 几点注意：(1)在列联表中注意各项的对应及有关值的确定,避免混乱. (2)若要判断X 与Y 有关时,先假设X 与Y 无关.(3)把计算出的χ2的值与相关的临界值作比较,确定出“X 与Y 有关系”的把握.科海观潮相关与相关系数一、什么是相关事物总是相互联系的，它们之间的关系多种多样，分析起来，大概有以下几种情况：（1）一种是因果关系，即一种现象是另一种现象的因，而另一种现象则是果.例如学习的努力程度是学习成绩好坏的因（至少是部分的因）；在一定刺激强度范围内，刺激强度经常是反应强度的因等.(2)第二种是共变关系,即表面看来有联系的两种事物都与第三种现象有关,这时两种事物之间的关系,便是共变关系.例如春天出生的婴儿与春天栽种的小树,就其高度而言,表面上看来都在增长,好像有关,其实,这二者都是受时间因素影响在发生变化,在它们本身之间并没有直接的关系.(3)第三种是相关关系,即两类现象在发展变化的方向与大小方面存在一定的关系,但不能确定这两类现象之间哪个是因,哪个是果;也有理由认为这两者并不同时受第三因素的影响,即不存在共变关系.具有相关关系的两种现象之间,关系是复杂的,甚至可能包含有暂时尚未认识的因果关系及其共变关系在内.例如,同一组学生的语文成绩与数学成绩的关系,即属于相关关系.统计学中所讲的相关是指具有相关关系的不同现象之间的关系程度.相关的情况有以下三种:一是两列变量变动方向相同,即一列变量变动时,另一列变量亦同时发生或大或小与前一列变量同方向的变动,这称为正相关.如身高与体重的关系,一般讲身长越长体重就越重.第二种相关情况是负相关,这时两列变量中若有一列变量变动时,另一列变量呈或大或小,但与前一列变量指向相反的变动.例如初学打字时练习次数越多,出现错误的量就越少等.第三处相关情况是零相关,即两列变量之间无关系.这种情况下,一列变量变动时,另一列变量作无规律的变动.如学习成绩优劣与身高之间的关系,就属零相关,即无相关关系,二者都是独立的随机变量.二、相关系数相关系数是两列变量间相关程度的数字表现形式,或者说是表示相关程度的指标,作为样本间相互关系程度的统计特征数,常用r表示,作为总体参数,一般用ρ表示,并且是指线性相关而言.相关系数的取值介于至+之间，常用小数形式表示.它只是一个比率,不代表相关的百分数，更不是相关量的相等单位的度量.相关系数的正负号,表示相关方向,正值表示正相关,负值表示负相关.相关系数取值的大小表示相关的程度.相关系数为0时,称零相关即毫无相关,为时,表示完全正相关,相关系数为时,为完全负相关.这二者都是完全相关.如果相关系数的绝对值在与0之间不同时，则表示关系程度不同.接近端一般为相关程度密切,接近0端一般为关系不够密切.(注意:若是非线性相关关系,而且直线相关计算r值可能很小,但不能说两变量关系不密切)关于这一点如何判定,尚需考虑计算相关系数时样本数目的多少.如果样本数目较少,受取样偶然因素的影响较大,很有可能本来无关的两类事物,却计算出较大的相关系数来.例如欲研究身高与学习有无关系,如果只选3、5个人,很可能遇到身材愈高学习愈好这一类偶然现象,这时虽然计算出的相关系数可能接近,但实际上这两类现象之间并无关系.究竟如何综合考虑样本数目大小,相关系数取值大小而判定相关是否密切这一问题,一般要经过统计检验后方能确定.相关系数不是等距的度量值,因此在比较相关程度时,只能说绝对值大者比绝对值小者相关更密切一些,如只能说相关系数r=的两列数值比相关系数r=的两列数值之间的关系程度更密切,而绝不能说前二者的密切程度是后二者密切程度的两倍.也不能说相关系数从到与从到所提高的程度一样多.存在相关关系,即相关系数取值较大的两类事物之间,不一定存在因果关系,这一点要从事物的本质方面进行分析,绝不可简单化.计算相关系数一般要求成对的数据,即若干个体中每个个体要有两种不同的观测值.例如每个学生(智力相同者)的算术和语文成绩;每个人的视反应和听反应时;每个学生的智力分数与学习成绩等等.任意两个个体之间的观测值不能求相关.计算相关的成对数据的数目,一般以30以上为宜.。

高中数学第三章统计案例疑难规律方法学案北师大选修2-3

第三章统计案例1 回归分析与独立性检验的理解与加深一、回归分析1．线性回归方程y ＝bx ＋a ，其中：b ＝∑ni ＝1x i －xy i －y∑n i ＝1 x i －x 2＝∑ni ＝1x i y i －n x y∑n i ＝1x 2i －n x2，a ＝y －b x .(注：b ＝∑ni ＝1x i y i －n x y∑n i ＝1x 2i －n x2主要方便计算，其中(x i ，y i )为样本数据，(x ，y )为样本点的中心)公式作用：通过刻画线性相关的两变量之间的关系，估计和分析数据的情况，解释一些实际问题，以及数据的变化趋势． 2．样本相关系数的具体计算公式：r ＝∑n i ＝1 x i －xy i －y∑ni ＝1x i －x 2∑ni ＝1y i －y2＝∑n i ＝1x i y i －n x y∑n i ＝1x 2i －n x 2∑ni ＝1y 2i －n y2公式作用：反映两个变量之间线性相关关系的强弱．当r 的绝对值接近1时，表明两个变量的线性相关性越强；当r 的绝对值接近0时，表明两个变量之间几乎不存在线性相关关系．公式联系：(1)由于分子与回归方程中的斜率b 的分子一样(这也给出了公式的内在联系以及公式的记法)，因此，当r >0时，两个变量正相关；当r <0时，两个变量负相关． (2)常配合散点图判断两个随机变量是否线性相关．散点图是从形上进行粗略地分析判断，这个判断是可行的、可靠的，也是进行线性回归分析的基础，否则回归方程失效；它形象直观地反映了数据点的分布情况．相关系数r 是从数上反映了两个随机变量是否具有线性相关关系，以及线性相关关系的强弱，它较精确地反映了数据点的分布情况，准确可靠．二、独立性检验(一)基础概念的梳理与理解1．分类变量：对于宗教信仰来说，其取值为信宗教信仰与不信宗教信仰两种．像这样的变量的不同“值”表示个体所属的不同类别的变量称为分类变量．例如性别变量其取值为男和女两种，吸烟变量其取值为吸烟与不吸烟两种．2．两个分类变量：是否吸烟与是否患肺癌，性别男和女与是否喜欢数学课程等等，这些关系是我们所关心的．3．2×2列联表：列出的两个分类变量A 和B ，它们的取值分别为{A 1，A 2}和{B 1，B 2}的样本频数表称为2×2列联表(如表1)．表1B AB 1 B 2 总计A 1 a b a ＋b A 2c d c ＋d 总计a ＋cb ＋da ＋b ＋c ＋d(二)独立性检验的基本思想从理论上说明两类分类变量是否有关，请同学们从中体会其思想方法． 1．基本思想与图形的联系假设两类分类变量是无关的，可知如下的比应差不多，即：aa ＋b ≈cc ＋d⇒|ad －bc |＝0.构造随机变量χ2＝n ad －bc 2a ＋bc ＋d a ＋cb ＋d(其中n ＝a ＋b ＋c ＋d )(此公式如何记忆，其特点是什么？结合2×2列联表理解) 显然所构造的随机变量与|ad －bc |的大小具有一致性． 2．独立性检验的思想方法如果χ2的值较大，说明其发生(无关系)的概率很小，此时不接受假设，也就是两分类变量是有关系的(称小概率事件发生)；如果χ2的值较小，此时接受假设，说明两分类变量是无关系的．其思想方法类似于数学上的反证法． 3．得到χ2的值常与以下几个临界值加以比较：如果χ2>2.706，就有90%的把握认为两分类变量A 和B 有关系；如果χ2>3.841，就有95%的把握认为两分类变量A 和B 有关系；如果χ2>6.635，就有99%的把握认为两分类变量A 和B 有关系；如果χ2≤2.706，就认为没有充分的证据说明变量A 和B 有关系．像这种利用随机变量χ2来确定在多大程度上可以认为“两个分类变量有关系”的方法称为两个分类变量的独立性检验.2 回归分析题目击破一、基本概念函数关系是一种确定关系，而相关关系是一种非确定关系，回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种常用方法．例1 下列变量之间的关系是相关关系的是________． (1)正方形的边长与面积之间的关系； (2)水稻产量与施肥量之间的关系； (3)人的身高与年龄之间的关系； (4)降雪量与交通事故发生率之间的关系．分析两变量之间的关系有两种：函数关系和带有随机性的相关关系．解析 (1)是函数关系；(2)不是严格的函数关系，但是具有相关性，因而是相关关系；(3)既不是函数关系，也不是相关关系，因为人的年龄达到一定时期身高就不发生明显变化了，因而它们不具有相关关系；(4)降雪量与交通事故发生率之间具有相关关系．答案 (2)(4)点评该例主要考查对变量相关关系概念的掌握．二、线性回归方程设x 与y 是具有相关关系的两个变量，且相应于n 个观测值的n 个点大致分布在一条直线的附近，这条直线就叫作回归直线．例2 假设关于某设备的使用年限x (年)和所支出的维修费用y (万元)有如下的统计资料：若由资料知y 对x 呈线性相关关系，试求： (1)回归方程y ＝a ＋bx ；(2)估计使用年限10年时，维修费用是多少？分析因为y 对x 呈线性相关关系，所以可以用线性相关的方法解决问题．解 (1)制表于是有b ＝112.3－5×4×590－5×42＝1.23，a＝y－b x＝5－1.23×4＝0.08.∴回归方程为y＝1.23x＋0.08.(2)当x＝10时，y＝1.23×10＋0.08＝12.38，即估计使用10年时维修费用约是12.38万元．点评已知y对x呈线性相关关系，无须进行相关性检验，否则，应首先进行相关性检验．三、非线性回归问题分析非线性回归问题的具体做法是：(1)若问题中已给出经验公式，这时可以将解释变量进行变换(换元)，将变量的非线性关系转化为线性关系，将问题化为线性回归分析问题来解决．(2)若问题中没有给出经验公式，需要我们画出已知数据的散点图，通过与各种函数(如指数函数、对数函数、幂函数等)的图像作比较，选择一种与这些散点拟合得最好的函数，然后采用适当的变量变换，将问题化为线性回归分析问题来解决．下面举例说明非线性回归分析问题的解法．例3 某地区对本地的企业进行了一次抽样调查，表中是这次抽查中所得到的各企业的人均资本x(单位：万元)与人均产值y(单位：万元)的数据：(1)设y与x之间具有近似关系y≈ax b (a，b为常数)，试根据表中数据估计a和b的值；(2)估计企业人均资本为16万元时的人均产值(精确到0.01)．解(1)在y≈ax b的两边取常用对数，可得lg y≈lg a＋b lg x，设lg y＝z，lg a＝A，lg x ＝X，则z≈A＋bX.相关数据计算如图所示．由公式(1)可得⎩⎪⎨⎪⎧A ＝－0.215 5，b ＝1.567 7，由lg a ＝－0.215 5，得a ≈0.608 8，即a ，b 的估计值分别为0.608 8和1.567 7. (2)由(1)知y ＝0.608 8x1.567 7.样本数据及回归曲线的图形如图所示．当x ＝16时，y ＝0.608 8×161.567 7≈47.01(万元)，故当企业人均资本为16万元时，人均产值约为47.01万元．3 巧解非线性回归问题如果题目所给样本点的分布不呈带状分布，即两个变量不呈线性关系，那么，就不能直接利用线性回归方程建立两个变量之间的关系，这时我们可以把散点图和已经学过的各种函数，如幂函数、指数函数、对数函数、二次函数等作比较，挑选出与这些散点拟合最好的函数，然后利用变量置换，把非线性回归方程问题转化为线性回归方程的问题来解决，这是解决此类问题的通法，体现了转化思想．一、案例分析例一个昆虫的某项指标和温度有关，现收集了7组数据如下表：温度x /℃ 2 3 4 5 6 7 8 某项指标y 5.7906.8108.19910.00112.19014.79017.801试建立某项指标y 关于温度x 的回归模型，并判断你所建立的回归模型的拟合效果．分析根据表中的数据画出散点图，再由图设出相应的回归模型．解画出散点图如图所示，样本点并没有分布在某个带状区域内，而是分布在某一条二次函数曲线y ＝Bx 2＋A 的周围．令X ＝x 2，则变换后的样本点应该分布在y ＝bX ＋a (b ＝B ，a ＝A )的周围．由已知数据可得变换后的样本数据表：X4 9 16 25 36 49 64 某项指标y 5.7906.8108.19910.00112.19014.79017.801计算得到线性回归方程为y ＝0.199 94X ＋4.999 03.用x 2替换X ，得某项指标y 关于温度x 的回归方程y ＝0.199 94x 2＋4.999 03. 计算得r ≈0.999 997，几乎为1，说明回归模型的拟合效果非常好．点评本题是非线性回归分析问题，解决这类问题应该先画出散点图，把它与我们所学过的函数图像相对照，选择一种跟这些样本点拟合的最好的函数，然后采用适当的变量变换转化为线性回归分析问题，使之得以解决．二、知识拓展常见的非线性函数转换方法：(1)幂型函数y ＝ax m(a 为正数，x ，y 取正值)解决方案：对y ＝ax m 两边取常用对数，有lg y ＝lg a ＋m lg x ，令u ＝lg y ，v ＝lg x ，则原式可变为u ＝mv ＋lg a ，其中m ，lg a 为常数，该式表示u ，v 的线性函数． (2)指数型函数y ＝c ·a x (a ，c >0，且a ≠1)解决方案：对y ＝ca x两边取常用对数，则有lg y ＝lg c ＋x lg a ，令u ＝lg y ，则原式可变为u ＝x lg a ＋lg c ，其中lg a 和lg c 为常数，该式表示u ，x 的线性函数．与幂函数不同的是x 保持不变，用y 的对数lg y 代替了y . (3)反比例函数y ＝k x(k >0)解决方案：令u ＝1x，则y ＝ku ，该式表示y ，u 的线性函数．(4)二次函数y ＝ax 2＋c解决方案：令u ＝x 2，则原函数可变为y ＝au ＋c ，该式表示y ，u 的线性函数． (5)对数型函数y ＝c log a x解决方案：令x ＝a u ，则原函数可变为y ＝cu ，该式表示y ，u 的线性函数.4 判断两个分类变量的关系本章的重点是用独立性检验的基本思想对两个分类变量作出明确的判断，下面通过典例剖析如何判断两个分类变量的关系．例某大型企业人力资源部为了研究企业员工工作积极性和对待企业改革态度的关系，随机抽取了189名员工进行调查，所得数据如下表所示：积极支持企业改革不太赞成企业改革合计工作积极544094工作一般326395合计86103189对于人力资源部的研究项目，根据上述数据能得出什么结论？分析首先由已知条件确定a、b、c、d、n的数值，再利用公式求出χ2的值，最后根据χ2值分析结果．解由题目中表的数据可知，χ2＝n ad－bc2a＋c a＋b c＋d b＋d＝189×54×63－40×32294×95×86×103≈10.759.因为10.759>6.635，所以有99%的把握说员工“工作积极”与“积极支持企业改革”有关，可以认为企业的全体员工对待企业改革的态度与其工作积极性是有关的．点评在列联表中注意事件的对应及有关值的确定，避免混乱；在判断两个分类变量的关系的可靠性时一般利用随机变量来确定；把计算出的χ2的值与临界值作比较，确定出“A与B 有关系”的把握．5 独立性检验思想的应用在日常生活中，经常会面临一些需要推断的问题．在对这些问题作出推断时，我们不能仅凭主观臆断作出结论，需要通过试验来收集数据，并依据独立性检验思想做出合理的推断．所谓独立性检验，就是根据采集样本的数据，利用公式计算χ2的值，比较与临界值的大小关系来判定事件A与B是否有关的问题．其基本步骤如下：(1)考察需抽样调查的背景问题，确定所涉及的变量是否为二值分类变量；(2)根据样本数据制作列联表；(3)计算统计量χ2，并查表分析．当χ2很大时，就认为两个变量有关系；否则就认为没有充分的证据显示两个变量有关系．下面举例说明独立性检验思想在解决实际问题中的应用．例为了调查患慢性气管炎是否与吸烟有关，调查了339名50岁以上的人，统计结果为：患慢性气管炎共有56人，患慢性气管炎且吸烟的有43人，未患慢性气管炎但吸烟的有162人．根据调查统计结果，分析患慢性气管炎与吸烟在多大程度上有关系？解根据所给样本数据得到如下2×2列联表：患慢性气管炎未患慢性气管炎总计吸烟 43 162 205 不吸烟 13 121 134 总计56283339由列联表可以粗略估计出：有吸烟者中，有20.98%的患慢性气管炎；在不吸烟者中，有9.70%的患慢性气管炎．两个比例的值相差较大，所以结论“患慢性气管炎与吸烟有关”成立的可能性较大．根据列联表中的数据，得到 χ2＝339×43×121－13×162256×283×205×134≈7.469>6.635.所以有99%的把握认为“患慢性气管炎与吸烟有关”．点评通过计算检验随机变量χ2，可以比较精确地给出这种判断的可靠程度．先收集数据，然后通过一些统计方法对数据进行科学的分析，这是我们用统计方法解决实际问题的基本策略．。

高中数学第三章统计案例章末归纳提升课件北师大版选修2-3

【思路点拨】 ∑xiyi－n x · y
i＝1 n n
对变量进行相关性检验，可用公式
2 2 2 ∑x2 － n x ∑ y － n y i i i＝1 i＝1
n
计算 r 的值，当|r|越接近于 1 时，
ห้องสมุดไป่ตู้
说明两个变量具有越强的线性相关关系．
【规范解答】 ∑y2 i ＝4 i＝1 842.4，
一个车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了 10 次试验，测得的数据如下：零件数 x(个) 加工时间 y(分钟) 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
62 68 75 81 89 95 102 108 115 122
(1)y 与 x 是否具有线性相关关系？ (2)如果 y 与 x 具有线性相关关系，求出线性回归方程．
可线性化的回归分析
曲线的线性化是曲线拟合的重要手段之一，对于某些非线性的资料可以通过简单的变量替换使之线性化，这样就可以按最小二乘法原理求出变换和变量的线性回归方程，同时根据需要可将此线性回归方程还原成曲线回归方程，实现对曲线的拟合．
常用的非线性函数曲线有：(1)幂函数曲线 y＝axb，作变换 u＝ln y，v＝ln x，c＝ln a，得线性函数 u＝c＋bv；(2)指数曲线 y＝aebx，作变换 u＝ln y， c＝ln a，得线性函数 u＝c＋bx； b 1 (3)倒指数曲线 y＝aex ，作变换 u＝ln y，c＝ln a，v＝ x，得线性函数 u＝c＋bv；(4)对数曲线 y＝a＋bln x，作变换 v＝ln x，得线性函数 y＝a＋bv.
经过调查得到 8 个厂家同种类型的产品年新增加投资额和年利润额的数据资料，如下表所示：八个厂家年新增投资额与年利润额数据资料 1 2 3 4 5 6 7 8 厂家年新增投资 4 6 10 11 15 17 18 20 额 x(万元) 年利润 6 7 9 10 17 24 23 26 额 Y(万元) ln Y 1.79 1.95 2.20 2.30 2.83 3.18 3.14 3.26 求 Y 对 x 的回归方程．

2016-2017学年高一数学北师大版选修2-2学案：第3章章末分层突破 Word版含解析

章末分层突破[自我校对]①单调性与极值②单调性③极值④导数⑤最大值、最小值问题(1)求函数的定义域，并求导；(2)研究导函数f′(x)的符号，解不等式f′(x)>0或f′(x)<0；(3)确定函数的单调性或单调区间.在求导这一环节中，往往要将导函数变形，其目的在于方便下一环节研究导函数的符号，常见的措施有化为基本初等函数、通分、因式分解等.求函数f(x)＝ln x－14(x－1)2－x的单调区间.【精彩点拨】按照求单调区间的步骤求解.【规范解答】函数的定义域为(0，＋∞).f ′(x )＝1x －12x －12＝－x 2－x ＋22x ＝－（x ＋2）（x －1）2x.令f ′(x )>0，得0<x <1，令f ′(x )<0，得x >1.∴f (x )的增区间为(0，1)，减区间为(1，＋∞). [再练一题]1.已知函数f (x )＝x 3－ax －1，讨论f (x )的单调区间. 【解】 f ′(x )＝3x 2－a .(1)当a ≤0时，f ′(x )≥0，所以f (x )在(－∞，＋∞)上为增函数. (2)当a >0时，令3x 2－a ＝0，得x ＝±3a3，当x >3a 3或x <－3a3时，f ′(x )>0；当－3a 3<x <3a3时，f ′(x )<0.因此f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－3a 3，⎝ ⎛⎭⎪⎫3a 3，＋∞上为增函数，f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－3a 3，3a 3上为减函数.综上可知，当a ≤0时，f (x )在R 上为增函数. 当a >0时，f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－3a 3，⎝ ⎛⎭⎪⎫3a 3，＋∞上为增函数，在⎝ ⎛⎭⎪⎫－3a 3，3a 3上为减函数.(1)确定函数f (x )的定义域； (2)解方程f ′(x )＝0的根；(3)检验f ′(x )＝0的根的两侧f ′(x )的符号. 若左正右负，则f (x )在此根处取得极大值；若左负右正，则f (x )在此根处取得极小值；否则，此根不是f (x )的极值点.对于求函数的最值问题，只需直接将极值与区间端点函数值比较即可.已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋b 的图像上一点P (1，0)，且在点P 处的切线与直线3x ＋y ＝0平行.(1)求函数f (x )的解析式；(2)求函数f (x )在区间[0，t ](0<t <3)上的最大值和最小值；(3)在(1)的结论下，关于x 的方程f (x )＝c 在区间[1，3]上恰有两个相异的实根，求实数c 的取值范围.【精彩点拨】 (1)由⎩⎪⎨⎪⎧f （1）＝0，f ′（1）＝－3，求出a ，b 即可.(2)对t 分0<t ≤2与2<t <3两种情况求最值.(3)构造函数g (x )＝f (x )－c 转化为g (x )在[1，3]上有实根求解.【规范解答】 (1)因为f ′(x )＝3x 2＋2ax ，曲线在P (1，0)处的切线斜率为f ′(1)＝3＋2a ，即3＋2a ＝－3，a ＝－3.又函数过(1，0)点，即－2＋b ＝0，b ＝2. 所以a ＝－3，b ＝2，f (x )＝x 3－3x 2＋2. (2)由f (x )＝x 3－3x 2＋2，得f ′(x )＝3x 2－6x . 由f ′(x )＝0，得x ＝0或x ＝2.①当0<t ≤2时，在区间(0，t )上f ′(x )<0，f (x )在[0，t ]上是减函数，所以f (x )max ＝f (0)＝2，f (x )min ＝f (t )＝t 3－3t 2＋2.②当2<t <3时，当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：单调递减单调递增f (x )min max f (t )－f (0)＝t 3－3t 2＝t 2(t －3)<0. 所以f (x )max ＝f (0)＝2.(3)令g (x )＝f (x )－c ＝x 3－3x 2＋2－c ， g ′(x )＝3x 2－6x ＝3x (x －2).在x ∈[1，2)上，g ′(x )<0；在x ∈(2，3]上，g ′(x )>0.要使g (x )＝0在[1，3]上恰有两个相异的实根，则⎩⎪⎨⎪⎧g （1）≥0，g （2）<0，g （3）≥0，解得－2<c ≤0.[再练一题]2.已知函数f (x )＝－x 3＋12x ＋m .(1)若x ∈R ，求函数f (x )的极大值与极小值之差； (2)若函数y ＝f (x )有三个零点，求m 的取值范围； (3)当x ∈[－1，3]时，f (x )的最小值为－2，求f (x )的最大值. 【解】 (1)f ′(x )＝－3x 2＋12. 当f ′(x )＝0时，x ＝－2或x ＝2. 当f ′(x )＞0时，－2＜x ＜2. 当f ′(x )＜0时，x ＜－2或x ＞2.∴f (x )在(－∞，－2)，(2，＋∞)上单调递减，在(－2，2)上单调递增. ∴f (x )极小值＝f (－2)＝－16＋m . f (x )极大值＝f (2)＝16＋m .∴f (x )极大值－f (x )极小值＝32.(2)由(1)知要使函数y ＝f (x )有三个零点，必须⎩⎪⎨⎪⎧f （x ）极小值＜0，f （x ）极大值＞0，即⎩⎪⎨⎪⎧－16＋m ＜0，16＋m ＞0，∴－16＜m ＜16.∴m 的取值范围为(－16，16).(3)当x ∈[－1，3]时，由(1)知f (x )在[－1，2)上单调递增，f (x )在[2，3]上单调递减，f (x )的最大值为f (2).又f (－1)＝－11＋m ，f (3)＝m ＋9， ∴f (－1)＜f (3)，∴在[－1，3]上f (x )的最小值为f (－1)＝－11＋m ， ∴－11＋m ＝－2，∴m ＝9.∴当x ∈[－1，3]时，f (x )的最大值为 f (2)＝(－2)3＋12×2＋9＝25.(1)求实际问题的最大(小)值时，一定要从问题的实际意义去考查，不符合实际意义的值应舍去.(2)在实际问题中，由f ′(x )＝0常常仅解到一个根，若能判断函数的最大(小)值在x 的变化区间内部得到，则这个根处的函数值就是所求的最大(小)值.请你设计一个包装盒，如图3-1所示，ABCD 是边长为60 cm 的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得A ，B ，C ，D 四个点重合于图中的点P ，正好形成一个正四棱柱形状包装盒，E ，F 在AB 上，是被切去的一个等腰直角三角形斜边的两个端点，设AE ＝FB ＝x(cm).图3-1(1)某广告商要求包装盒的侧面积S(cm2)最大，试问x应取何值？(2)某厂商要求包装盒的容积V(cm3)最大，试问x应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值.【精彩点拨】根据侧面积和体积公式建立侧面积和体积关于x的函数，利用配方法或导数法求出最值.【规范解答】设包装盒的高为h cm，底面边长为a cm.由已知得a＝2x，h＝60－2x2＝2(30－x)，0<x<30.(1)S＝4ah＝8x(30－x)＝－8(x－15)2＋1 800，所以当x＝15时，S取得最大值.(2)V＝a2h＝22(－x3＋30x2)，V′＝62x(20－x).由V′＝0，得x＝0(舍)或x＝20.当x∈(0，20)时，V′>0；当x∈(20，30)时，V′<0.所以当x＝20时，V取得极大值，也是最大值.此时ha ＝12，即包装盒的高与底面边长的比值为12.[再练一题]3.统计表明：某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量y(升)关于行驶速度x(千米/时)的函数解析式可以表示为y＝1128 000x3－380x＋8(0<x≤120).已知甲、乙两地相距100千米，当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少？最少为多少升？【解】当速度为x 千米/时时，汽车从甲地到乙地行驶了100x 小时，设耗油量为h (x )升，依题意得h (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1128 000x 3－380x ＋8×100x ＝11 280x 2＋800x －154(0<x ≤120).h ′(x )＝x 640－800x 2＝x 3－803640x 2(0<x ≤120)，令h ′(x )＝0，得x ＝80.因为x ∈(0，80)时，h ′(x )<0，h (x )是减函数； x ∈(80，120]时，h ′(x )>0，h (x )是增函数，所以当x ＝80时，h (x )取得极小值h (80)＝11.25(升). 因为h (x )在(0，120]上只有一个极小值，所以它是最小值.答：汽车以80千米/时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少，最少为11.25升.尽可能选择求导和判断导数符号都比较容易的函数，如果证明f (x )＞g (x )，x ∈(a ，b )，可转化为证明F (x )＝f (x )－g (x )与0的关系，若F ′(x )＞0，则函数F (x )在(a ，b )上是增函数.若F (a )≥0，则由增函数的定义，知当x ∈(a ，b )时，有F (x )＞F (a )≥0，即f (x )＞g (x )成立，同理可证明f (x )＜g (x )，x ∈(a ，b ).设函数f (x )＝2x 3＋3ax 2＋3bx ＋8c 在x ＝1及x ＝2时取得极值. (1)求a ，b 的值；(2)若对任意的x ∈[0，3]，都有f (x )<c 2成立，求c 的取值范围. 【精彩点拨】 (1)利用f ′(1)＝0，f ′(2)＝0，列方程组求解. (2)转化为求函数f (x )的最大值问题. 【规范解答】 (1)f ′(x )＝6x 2＋6ax ＋3b . 因为函数f (x )在x ＝1及x ＝2时取得极值，则有f ′(1)＝0，f ′(2)＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧6＋6a ＋3b ＝0，24＋12a ＋3b ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3，b ＝4.(2)由(1)可知，f (x )＝2x 3－9x 2＋12x ＋8c ，则f ′(x )＝6x 2－18x ＋12＝6(x －1)(x －2). 当x ∈[0，1)时，f ′(x )>0；当x ∈[1，2]时，f ′(x )<0；当x ∈(2，3]时，f ′(x )>0.所以当x ＝1时，f (x )取得极大值f (1)＝5＋8c ，当x ＝2时，f (x )取得极小值f (2)＝4＋8c ，又f (0)＝8c ，f (3)＝9＋8c .所以当x ∈[0，3]时，f (x )的最大值为f (3)＝9＋8c . 因为对于任意的x ∈[0，3]，有f (x )<c 2恒成立，所以9＋8c <c 2，解得c <－1或c >9. 故c 的取值范围为c <－1或c >9. [再练一题]4.(2016·山东威海一模)已知函数f (x )＝ln x －ax ＋bx ，对任意的x ∈(0，＋∞)，满足f (x )＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝0，其中a ，b 为常数.(1)若f (x )的图象在x ＝1处的切线经过点(0，－5)，求a 的值； (2)已知0<a <1，求证：f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 22>0.【解】 (1)在f (x )＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝0中，取x ＝1，得f (1)＝0，又f (1)＝ln 1－a ＋b ＝－a ＋b ，所以b ＝a . 从而f (x )＝ln x －ax ＋ax ，f ′(x )＝1x －a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1x 2，f ′(1)＝1－2a .又f ′(1)＝－5－f （1）0－1＝5，所以1－2a ＝5，a ＝－2.(2)证明：f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 22＝ln a 22－a 32＋2a＝2ln a ＋2a －a 32－ln 2. 令g (x )＝2ln x ＋2x －x 32－ln 2，则g ′(x )＝2x －2x 2－3x 22＝－3x 4＋4（x －1）2x 2.所以，x ∈(0，1)时， g ′(x )<0，g (x )单调递减，故x ∈(0，1)时，g (x )>g (1)＝2－12－ln 2>1－ln e ＝0. 所以0<a <1时， f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 22>0.1.(2015·全国卷Ⅱ)设函数f ′(x )是奇函数f (x )(x ∈R )的导函数，f (－1)＝0，当x >0时，xf ′(x )－f (x )<0，则使得f (x )>0成立的x 的取值范围是( )A.(－∞，－1)∪(0，1)B.(－1，0)∪(1，＋∞)C.(－∞，－1)∪(－1，0)D.(0，1)∪(1，＋∞)【解析】设y ＝g (x )＝f （x ）x (x ≠0)，则g ′(x )＝xf ′（x ）－f （x ）x 2，当x >0时，xf ′(x )－f (x )<0，∴g ′(x )<0，∴g (x )在(0，＋∞)上为减函数，且g (1)＝f (1)＝－f (－1)＝0. ∵f (x )为奇函数，∴g (x )为偶函数， ∴g (x )的图像的示意图如图所示.当x >0，g (x )>0时，f (x )>0，0<x <1，当x <0，g (x )<0时，f (x )>0，x <－1，∴使得f (x )>0成立的x 的取值范围是(－∞，－1)∪(0，1)，故选A.【答案】 A2.(2015·福建高考)若定义在R 上的函数f (x )满足f (0)＝－1，其导函数f ′(x )满足f ′(x )>k >1，则下列结论中一定错误的是( )A.f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1k <1kB.f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1k >1k －1C.f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1k －1<1k －1D.f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1k －1>k k －1【解析】令g (x )＝f (x )－kx ＋1，则g (0)＝f (0)＋1＝0， g ⎝ ⎛⎭⎪⎫1k －1＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1k －1－k ·1k －1＋1＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1k －1－1k －1. ∵g ′(x )＝f ′(x )－k >0，∴g (x )在[0，＋∞)上为增函数. 又∵k >1，∴1k －1>0，∴g ⎝⎛⎭⎪⎫1k －1>g (0)＝0，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1k －1－1k －1>0，即f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1k －1>1k －1. 【答案】 C3.(2015·全国卷Ⅰ)设函数f (x )＝e x (2x －1)－ax ＋a ，其中a ＜1，若存在唯一的整数x 0使得f (x 0)＜0，则a 的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－32e ，1B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－32e ，34 C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫32e ，34 D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫32e ，1 【解析】 ∵f (0)＝－1＋a <0，∴x 0＝0. 又∵x 0＝0是唯一的使f (x )<0的整数， ∴⎩⎪⎨⎪⎧f （－1）≥0，f （1）≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧e －1[2×（－1）－1]＋a ＋a ≥0，e （2×1－1）－a ＋a ≥0，解得a ≥32e . 又∵a ＜1，∴32e ≤a <1，经检验a ＝34，符合题意.故选D. 【答案】 D4.(2016·北京高考)设函数f (x )＝⎩⎨⎧x 3－3x ，x ≤a ，－2x ，x ＞a .(1)若a ＝0，则f (x )的最大值为________；(2)若f (x )无最大值，则实数a 的取值范围是________. 【解析】由当x ≤a 时，f ′(x )＝3x 2－3＝0，得x ＝±1. 如图是函数y ＝x 3－3x 与y ＝－2x 在没有限制条件时的图象.(1)若a ＝0，则f (x )max ＝f (－1)＝2. (2)当a ≥－1时，f (x )有最大值；当a <－1时，y ＝－2x 在x >a 时无最大值，且－2a >(x 3－3x )max ，所以a <－1.【答案】2a<－15.(2016·全国卷Ⅱ)(1)讨论函数f(x)＝x－2x＋2e x的单调性，并证明当x＞0时，(x－2)e x＋x＋2＞0.(2)证明：当a∈[0，1)时，函数g(x)＝e x－ax－ax2(x＞0)有最小值.设g(x)的最小值为h(a)，求函数h(a)的值域.【解】(1)f(x)的定义域为(－∞，－2)∪(－2，＋∞).f′(x)＝（x－1）（x＋2）e x－（x－2）e x（x＋2）2＝x2e x（x＋2）2≥0，当且仅当x＝0时，f′(x)＝0，所以f(x)在(－∞，－2)，(－2，＋∞)上单调递增.因此当x∈(0，＋∞)时，f(x)>f(0)＝－1.所以(x－2)e x>－(x＋2)，即(x－2)e x＋x＋2>0.(2)g′(x)＝（x－2）e x＋a（x＋2）x3＝x＋2x3(f(x)＋a).由(1)知，f(x)＋a单调递增.对任意a∈[0，1)，f(0)＋a＝a－1＜0，f(2)＋a＝a≥0.因此，存在唯一x a∈(0，2]，使得f(x a)＋a＝0，即g′(x a)＝0.当0<x<x a时，f(x)＋a<0，g′(x)<0，g(x)单调递减；当x>x a时，f(x)＋a>0，g′(x)>0，g(x)单调递增.因此g(x)在x＝x a处取得最小值，最小值为g(x a)＝e x a－a（x a＋1）x2a＝e x a＋f（x a）（x a＋1）x2a＝e x ax a＋2.于是h (a )＝e x a x a ＋2.由⎝ ⎛⎭⎪⎫e x x ＋2′＝（x ＋1）e x （x ＋2）2＞0，得y ＝e xx ＋2单调递增，所以，由x a ∈(0，2]，得 12＝e 00＋2＜h (a )＝e x a x a ＋2≤e 22＋2＝e 24.因为y ＝e xx ＋2单调递增，对任意λ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤12，e 24，存在唯一的x a ∈(0，2]，a ＝－f (x a )∈[0，1)，使得h (a )＝λ.所以h (a )的值域是⎝ ⎛⎦⎥⎤12，e 24.综上，当a ∈[0，1)时，g (x )有最小值h (a )，h (a )的值域是⎝ ⎛⎦⎥⎤12，e 24.章末综合测评(三) 导数应用(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.物体运动的方程为s ＝14t 4－3，则t ＝5时的瞬时速度为( ) A.5 B.25 C.125D.625【解析】 ∵v ＝s ′＝t 3，∴t ＝5时的瞬时速度为53＝125. 【答案】 C2.函数f (x )＝(x －3)e x 的单调递增区间是( ) A.(－∞，2) B.(0，3) C.(1，4)D.(2，＋∞)【解析】 f ′(x )＝(x －2)e x ，由f ′(x )>0，得x >2，所以函数f (x )的单调递增区间是(2，＋∞).【答案】 D3.函数f (x )＝ax 3＋x ＋1有极值的充要条件是( ) A.a ≥0 B.a >0 C.a ≤0D.a <0【解析】 f ′(x )＝3ax 2＋1，当a ＝0时，f ′(x )＝1>0，f (x )单调增加，无极值；当a ≠0时，只需Δ＝－12a >0，即a <0即可. 【答案】 D4.(2016·西安高二检测)函数f (x )的导函数f ′(x )的图像如图1所示，那么f (x )的图像最有可能的是( )图1A B C D【解析】数形结合可得在(－∞，－2)，(－1，＋∞)上，f ′(x )<0，f (x )是减函数；在(－2，－1)上，f ′(x )>0，f (x )是增函数，从而得出结论.【答案】 B5.若函数y ＝a (x 3－x )的递增区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－33，⎝ ⎛⎭⎪⎫33，＋∞，则a 的取值范围是( )A.a >0B.－1<a <0C.a >1D.0<a <1【解析】依题意得y ′＝a (3x 2－1)>0的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－33，⎝ ⎛⎭⎪⎫33，＋∞，∴a >0.【答案】 A6.若函数f (x )在R 上可导，且满足f (x )－xf ′(x )>0，则( ) A.3f (1)<f (3) B.3f (1)>f (3) C.3f (1)＝f (3)D.f (1)＝f (3)【解析】由于f (x )>xf ′(x )，⎝ ⎛⎭⎪⎫f （x ）x ′＝f ′（x ）x －f （x ）x 2<0恒成立，因此f （x ）x 在R 上是单调递减函数，∴f （3）3<f （1）1，即3f (1)>f (3)，故选B.【答案】 B7.若函数f (x )＝－x 3＋3x 2＋9x ＋a 在区间[－2，－1]上的最大值为2，则它在该区间上的最小值为( )A.－5B.7C.10D.－19【解析】 ∵f (x )′＝－3x 2＋6x ＋9＝－3(x ＋1)(x －3)，所以函数在[－2，－1]内单调递减，所以最大值为f (－2)＝2＋a ＝2， ∴a ＝0，最小值为f (－1)＝a －5＝－5. 【答案】 A8.函数y ＝12x －2sin x 的图像大致是( )【解析】因为y ′＝12－2cos x ，所以令y′＝12－2cos x>0，得cos x<14，此时原函数是增函数；令y′＝12－2cos x<0，得cos x>14，此时原函数是减函数，结合余弦函数图像，可得选项C正确.【答案】 C9.若f(x)＝－12x2＋b ln(x＋2)在(－1，＋∞)上是减函数，则b的取值范围是()【导学号：94210067】A.[－1，＋∞)B.(－1，＋∞)C.(－∞，－1]D.(－∞，－1)【解析】f′(x)＝－x＋bx＋2，由题意知f′(x)≤0在(－1，＋∞)上恒成立，即b≤x2＋2x在(－1，＋∞)上恒成立，即b≤(x＋1)2－1，则b≤－1，故选C.【答案】 C10.已知y＝f(x)是定义在R上的函数，且f(1)＝1，f′(x)>1，则f(x)>x的解集是()A.(0，1)B.(－1，0)∪(0，1)C.(1，＋∞)D.(－∞，－1)∪(1，＋∞)【解析】不等式f(x)>x可化为f(x)－x>0，设g(x)＝f(x)－x，则g′(x)＝f(x)′－1，由题意g′(x)＝f′(x)－1>0，∴函数g(x)在R上单调递增，又g(1)＝f(1)－1＝0，∴原不等式⇔g(x)>0⇔g(x)>g(1)，∴x>1，故选C.【答案】 C11.当x ∈[－2，1]时，不等式ax 3－x 2＋4x ＋3≥0恒成立，则实数a 的取值范围是( )A.[－5，－3]B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－6，－98 C.[－6，－2]D.[－4，－3]【解析】当x ＝0时，ax 3－x 2＋4x ＋3≥0变为3≥0恒成立，即a ∈R .当x ∈(0，1]时，ax 3≥x 2－4x －3，a ≥x 2－4x －3x 3，∴a ≥⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 2－4x －3x 3max . 设φ(x )＝x 2－4x －3x 3，φ′(x )＝（2x －4）x 3－（x 2－4x －3）3x 2x 6＝－x 2－8x －9x 4＝－（x －9）（x ＋1）x 4＞0，∴φ(x )在(0，1]上递增，φ(x )max ＝φ(1)＝－6. ∴a ≥－6.当x ∈[－2，0)时，a ≤x 2－4x －3x 3，∴a ≤⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 2－4x －3x 3min. 仍设φ(x )＝x 2－4x －3x 3，φ′(x )＝－（x －9）（x ＋1）x 4.当x ∈[－2，－1)时，φ′(x )＜0. 当x ∈(－1，0)时，φ′(x )＞0.∴当x ＝－1时，φ(x )有极小值，即为最小值.而φ(x )min ＝φ(－1)＝1＋4－3－1＝－2，∴a ≤－2.综上知－6≤a ≤－2. 【答案】 C12.已知函数f (x )＝x 2＋2x ＋a ln x ，若函数f (x )在(0，1)上单调，则实数a 的取值范围是( )A.a ≥0B.a <－4C.a ≥0或a ≤－4D.a >0或a <－4【解析】 f ′(x )＝2x ＋2＋ax ，x ∈(0，1)， ∵f (x )在(0，1)上单调，∴f ′(x )≥0或f ′(x )≤0在(0，1)上恒成立，∴2x ＋2＋a x ≥0或2x ＋2＋ax ≤0在(0，1)上恒成立，即a ≥－2x 2－2x 或a ≤－2x 2－2x 在(0，1)上恒成立.设g (x )＝－2x 2－2x ＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122＋12，则g (x )在(0，1)上单调递减，∴g (x )max ＝g (0)＝0，g (x )min ＝g (1)＝－4. ∴a ≥g (x )max ＝0或a ≤g (x )min ＝－4. 【答案】 C二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.将答案填在题中的横线上)13.(2016·天津高考)已知函数f (x )＝(2x ＋1)e x ，f ′(x )为f (x )的导函数，则f ′(0)的值为________.【解析】因为f (x )＝(2x ＋1)e x ，所以f ′(x )＝2e x ＋(2x ＋1)e x ＝(2x ＋3)e x ，所以f ′(0)＝3e 0＝3. 【答案】 314.函数f (x )＝12e x (sin x ＋cos x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的值域为________.【导学号：94210068】【解析】 ∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，f ′(x )＝e x cos x ≥0， ∴f (0)≤f (x )≤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，即12≤f (x )≤12e π2. 【答案】 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，12e π215.(2016·洛阳高二检测)已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋a 2，在x ＝1时有极值10，则a ＋b ＝________.【解析】 f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ，f ′(1)＝2a ＋b ＋3＝0，f (1)＝a 2＋a ＋b ＋1＝10，⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋b ＝－3，a 2＋a ＋b ＝9，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3，b ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4，b ＝－11，当a ＝－3时，x ＝1不是极值点，a ，b 的值分别为4，－11，∴a ＋b ＝－7.【答案】－716.周长为20 cm 的矩形，绕一条边旋转成一个圆柱，则圆柱体积的最大值为________cm 3.【解析】设矩形的长为x ，则宽为10－x (0<x <10)，由题意可知所求圆柱的体积V ＝πx 2(10－x )＝10πx 2－πx 3，∴V ′(x )＝20πx －3πx 2.由V ′(x )＝0，得x ＝0(舍去)，x ＝203，且当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，203时，V ′(x )>0，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫203，10时，V ′(x )<0，∴当x ＝203时，V (x )取得最大值为4 00027π cm 3. 【答案】4 00027π三、解答题(本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.(本小题满分10分)若函数f (x )＝x 3＋3ax 2＋3(a ＋2)x ＋3既有极大值又有极小值，求实数a 的取值范围.【解】 ∵f ′(x )＝3x 2＋6ax ＋3(a ＋2)，令3x 2＋6ax ＋3(a ＋2)＝0，即x 2＋2ax ＋a ＋2＝0，∵函数f (x )有极大值和极小值，∴方程x 2＋2ax ＋a ＋2＝0有两个不相等的实数根，即Δ＝4a 2－4a －8>0，解得a >2或a <－1.故实数a 的取值范围是(－∞，－1)∪(2，＋∞).18.(本小题满分12分)设函数f (x )＝x 3－3ax 2＋3bx 的图像与直线12x ＋y －1＝0相切于点(1，－11).(1)求a ，b 的值； (2)讨论函数f (x )的单调性.【解】 (1)求导得f ′(x )＝3x 2－6ax ＋3b .由于f (x )的图像与直线12x ＋y －1＝0相切于点(1，－11)，所以f (1)＝－11，f ′(1)＝－12，即⎩⎪⎨⎪⎧1－3a ＋3b ＝－11，3－6a ＋3b ＝－12，解得a ＝1，b ＝－3. (2)由a ＝1，b ＝－3得f ′(x )＝3x 2－6x －9＝3(x 2－2x －3) ＝3(x ＋1)(x －3).令f ′(x )>0，解得x <－1或x >3；又令f ′(x )<0，解得－1<x <3.故当x ∈(－∞，－1)和x ∈(3，＋∞)时，f (x )是增函数，当x ∈(－1，3)时，f (x )是减函数.19.(本小题满分12分)已知函数f (x )＝x 3＋12mx 2－2m 2x －4(m 为常数，且m >0)有极大值－52，求m 的值.【解】 ∵f ′(x )＝3x 2＋mx －2m 2 ＝(x ＋m )(3x －2m )，令f ′(x )＝0，则x ＝－m 或x ＝23m .当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：单调递增单调递减单调递增∴f (x )极大值＝f (－m )＝－m 3＋12m 3＋2m 3－4＝－52， ∴m ＝1.20.(本小题满分12分)证明：当x >0时，ln(x ＋1)>x －12x 2.【证明】设f (x )＝ln(x ＋1)－⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12x 2＝ln(x ＋1)－x ＋12x 2，函数的定义域是(－1，＋∞)，则f ′(x )＝1x ＋1－1＋x ＝x 2x ＋1.当x ∈(－1，＋∞)时，f ′(x )>0， ∴f (x )在(－1，＋∞)上是增函数.∴当x>0时，f(x)>f(0)＝0，即当x>0时，ln(x＋1)>x－12x2.21.(本小题满分12分)某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池(不计厚度).设该蓄水池的底面半径为r米，高为h米，体积为V立方米.假设建造成本仅与表面积有关，侧面的建造成本为100元/平方米，底面的建造成本为160元/平方米，该蓄水池的总建造成本为12 000π元(π为圆周率).(1)将V表示成r的函数V(r)，并求该函数的定义域；(2)讨论函数V(r)的单调性，并确定r和h为何值时该蓄水池的体积最大.【解】(1)因为蓄水池侧面的总成本为100·2πrh＝200πrh(元)，底面的总成本为160πr2元，所以蓄水池的总成本为(200πrh＋160πr2)元.又根据题意200πrh＋160πr2＝12 000π，所以h＝15r(300－4r2)，从而V(r)＝πr2h＝π5(300r－4r3).因为r>0，又由h>0可得0<r<53，故函数V(r)的定义域为(0，53).(2)因为V(r)＝π5(300r－4r3)(0<r<53)，所以V′(r)＝π5(300－12r2).令V′(r)＝0，解得r1＝5，r2＝－5(因为r2＝－5不在定义域内，舍去).当r∈(0，5)时，V′(r)>0，故V(r)在(0，5)上为增函数；当r∈(5，53)时，V′(r)<0，故V(r)在(5，53)上为减函数.由此可知，V(r)在r＝5处取得最大值，此时h＝8.即当r＝5，h＝8时，该蓄水池的体积最大.22.(本小题满分12分)(2016·全国卷Ⅰ)已知函数f(x)＝(x－2)e x＋a(x－1)2有两个零点.(1)求a 的取值范围；(2)设x 1，x 2是f (x )的两个零点，证明：x 1＋x 2＜2. 【解】 (1)f ′(x )＝(x －1)e x ＋2a (x －1)＝(x －1)(e x ＋2a ). ①设a ＝0，则f (x )＝(x －2)e x ，f (x )只有一个零点. ②设a ＞0，则当x ∈(－∞，1)时，f ′(x )＜0；当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )＞0，所以f (x )在(－∞，1)内单调递减，在(1，＋∞)内单调递增. 又f (1)＝－e ，f (2)＝a ，取b 满足b ＜0且b ＜ln a2，则f (b )＞a 2(b －2)＋a (b －1)2＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫b 2－32b ＞0，故f (x )存在两个零点.③设a ＜0，由f ′(x )＝0得x ＝1或x ＝ln(－2a ).若a ≥－e2，则ln(－2a )≤1，故当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )＞0，因此f (x )在(1，＋∞)内单调递增.又当x ≤1时，f (x )＜0，所以f (x )不存在两个零点. 若a ＜－e2，则ln(－2a )＞1，故当x ∈(1，ln(－2a )时，f ′(x )＜0；当x ∈(ln(－2a )，＋∞)时，f ′(x )＞0. 因此f (x )在(1，ln(－2a )内单调递减，在(ln(－2a )，＋∞)内单调递增.又当x ≤1时，f (x )＜0，所以f (x )不存在两个零点. 综上，a 的取值范围为(0，＋∞).(2)证明：不妨设x1＜x2，由(1)知，x1∈(－∞，1)，x2∈(1，＋∞)，2－x2∈(－∞，1)，f(x)在(－∞，1)内单调递减，所以x1＋x2＜2等价于f(x1)＞f(2－x2)，即f(2－x2)＜0.由于f(2－x2)＝－x2e2－x2＋a(x2－1)2，而f(x2)＝(x2－2)e x2＋a(x2－1)2＝0，所以f(2－x2)＝－x2e2－x2－(x2－2)e x2.设g(x)＝－x e2－x－(x－2)e x，则g′(x)＝(x－1)(e2－x－e x).所以当x＞1时，g′(x)＜0，而g(1)＝0，故当x＞1时，g(x)＜0.从而g(x2)＝f(2－x2)＜0，故x1＋x2＜2.。

高中数学第3章导数应用章末分层突破学案北师大版选修22

【课堂新坐标】2016-2017学年高中数学第3章导数应用章末分层突破学案北师大版选修2-2[自我校对]①单调性与极值 ②单调性 ③极值 ④导数 ⑤最大值、最小值问题利用导数研究函数的单调性(1)求函数的定义域，并求导；(2)研究导函数f ′(x )的符号，解不等式f ′(x )>0或f ′(x )<0； (3)确定函数的单调性或单调区间.在求导这一环节中，往往要将导函数变形，其目的在于方便下一环节研究导函数的符号，常见的措施有化为基本初等函数、通分、因式分解等.求函数f (x )＝ln x －14(x －1)2－x 的单调区间.【精彩点拨】按照求单调区间的步骤求解. 【规范解答】函数的定义域为(0，＋∞).f ′(x )＝1x －12x －12＝－x 2－x ＋22x ＝－（x ＋2）（x －1）2x .令f ′(x )>0，得0<x <1，令f ′(x )<0，得x >1.∴f (x )的增区间为(0，1)，减区间为(1，＋∞). [再练一题]1.已知函数f (x )＝x 3－ax －1，讨论f (x )的单调区间. 【解】 f ′(x )＝3x 2－a .(1)当a ≤0时，f ′(x )≥0，所以f (x )在(－∞，＋∞)上为增函数. (2)当a >0时，令3x 2－a ＝0，得x ＝±3a3，当x >3a 3或x <－3a 3时，f ′(x )>0；当－3a 3<x <3a 3时，f ′(x )<0. 因此f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－3a 3，⎝ ⎛⎭⎪⎫3a 3，＋∞上为增函数，f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－3a 3，3a 3上为减函数.综上可知，当a ≤0时，f (x )在R 上为增函数. 当a >0时，f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－3a 3，⎝ ⎛⎭⎪⎫3a 3，＋∞上为增函数，在⎝ ⎛⎭⎪⎫－3a 3，3a 3上为减函数. 利用导数研究函数的极值与最值(1)确定函数f (x )的定义域； (2)解方程f ′(x )＝0的根；(3)检验f ′(x )＝0的根的两侧f ′(x )的符号. 若左正右负，则f (x )在此根处取得极大值；若左负右正，则f (x )在此根处取得极小值；否则，此根不是f (x )的极值点.对于求函数的最值问题，只需直接将极值与区间端点函数值比较即可.已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋b 的图像上一点P (1，0)，且在点P 处的切线与直线3x ＋y ＝0平行.(1)求函数f (x )的解析式；(2)求函数f (x )在区间[0，t ](0<t <3)上的最大值和最小值；(3)在(1)的结论下，关于x 的方程f (x )＝c 在区间[1，3]上恰有两个相异的实根，求实数c 的取值范围.【精彩点拨】 (1)由⎩⎪⎨⎪⎧f （1）＝0，f ′（1）＝－3，求出a ，b 即可.(2)对t 分0<t ≤2与2<t <3两种情况求最值.(3)构造函数g (x )＝f (x )－c 转化为g (x )在[1，3]上有实根求解.【规范解答】 (1)因为f ′(x )＝3x 2＋2ax ，曲线在P (1，0)处的切线斜率为f ′(1)＝3＋2a ，即3＋2a ＝－3，a ＝－3.又函数过(1，0)点，即－2＋b ＝0，b ＝2. 所以a ＝－3，b ＝2，f (x )＝x 3－3x 2＋2. (2)由f (x )＝x 3－3x 2＋2，得f ′(x )＝3x 2－6x . 由f ′(x )＝0，得x ＝0或x ＝2.①当0<t ≤2时，在区间(0，t )上f ′(x )<0，f (x )在[0，t ]上是减函数，所以f (x )max＝f (0)＝2，f (x )min ＝f (t )＝t 3－3t 2＋2.②当2<t <3时，当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：单调递减单调递增min max f (t )－f (0)＝t 3－3t 2＝t 2(t －3)<0.所以f (x )max ＝f (0)＝2.(3)令g (x )＝f (x )－c ＝x 3－3x 2＋2－c ，g ′(x )＝3x 2－6x ＝3x (x －2).在x ∈[1，2)上，g ′(x )<0；在x ∈(2，3]上，g ′(x )>0.要使g (x )＝0在[1，3]上恰有两个相异的实根，则⎩⎪⎨⎪⎧g （1）≥0，g （2）<0，g （3）≥0，解得－2<c ≤0.[再练一题]2.已知函数f (x )＝－x 3＋12x ＋m .(1)若x ∈R ，求函数f (x )的极大值与极小值之差； (2)若函数y ＝f (x )有三个零点，求m 的取值范围；(3)当x ∈[－1，3]时，f (x )的最小值为－2，求f (x )的最大值. 【解】 (1)f ′(x )＝－3x 2＋12. 当f ′(x )＝0时，x ＝－2或x ＝2.当f ′(x )＞0时，－2＜x ＜2. 当f ′(x )＜0时，x ＜－2或x ＞2.∴f (x )在(－∞，－2)，(2，＋∞)上单调递减，在(－2，2)上单调递增. ∴f (x )极小值＝f (－2)＝－16＋m .f (x )极大值＝f (2)＝16＋m .∴f (x )极大值－f (x )极小值＝32.(2)由(1)知要使函数y ＝f (x )有三个零点，必须⎩⎪⎨⎪⎧f （x ）极小值＜0，f （x ）极大值＞0，即⎩⎪⎨⎪⎧－16＋m ＜0，16＋m ＞0，∴－16＜m ＜16.∴m 的取值范围为(－16，16).(3)当x ∈[－1，3]时，由(1)知f (x )在[－1，2)上单调递增，f (x )在[2，3]上单调递减，f (x )的最大值为f (2).又f (－1)＝－11＋m ，f (3)＝m ＋9， ∴f (－1)＜f (3)，∴在[－1，3]上f (x )的最小值为f (－1)＝－11＋m ， ∴－11＋m ＝－2，∴m ＝9.∴当x ∈[－1，3]时，f (x )的最大值为f (2)＝(－2)3＋12×2＋9＝25.导数的实际应用(1)求实际问题的最大(小)值时，一定要从问题的实际意义去考查，不符合实际意义的值应舍去.(2)在实际问题中，由f ′(x )＝0常常仅解到一个根，若能判断函数的最大(小)值在x 的变化区间内部得到，则这个根处的函数值就是所求的最大(小)值.请你设计一个包装盒，如图31所示，ABCD 是边长为60 cm 的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得A ，B ，C ，D 四个点重合于图中的点P ，正好形成一个正四棱柱形状包装盒，E ，F 在AB 上，是被切去的一个等腰直角三角形斜边的两个端点，设AE ＝FB ＝x (cm).图31(1)某广告商要求包装盒的侧面积S (cm 2)最大，试问x 应取何值？(2)某厂商要求包装盒的容积V (cm 3)最大，试问x 应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值.【精彩点拨】根据侧面积和体积公式建立侧面积和体积关于x 的函数，利用配方法或导数法求出最值.【规范解答】设包装盒的高为h cm ，底面边长为a cm. 由已知得a ＝2x ，h ＝60－2x 2＝2(30－x )，0<x <30.(1)S ＝4ah ＝8x (30－x )＝－8(x －15)2＋1 800，所以当x ＝15时，S 取得最大值.(2)V ＝a 2h ＝22(－x 3＋30x 2)，V ′＝62x (20－x ). 由V ′＝0，得x ＝0(舍)或x ＝20.当x ∈(0，20)时，V ′>0；当x ∈(20，30)时，V ′<0. 所以当x ＝20时，V 取得极大值，也是最大值.此时h a ＝12，即包装盒的高与底面边长的比值为12.[再练一题]3.统计表明：某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量y (升)关于行驶速度x (千米/时)的函数解析式可以表示为y ＝1128 000x 3－380x ＋8(0<x ≤120).已知甲、乙两地相距100千米，当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少？最少为多少升？【解】当速度为x 千米/时时，汽车从甲地到乙地行驶了100x小时，设耗油量为h (x )升，依题意得h (x )＝⎝⎛⎭⎪⎫1128 000x 3－380x ＋8×100x ＝11 280x 2＋800x －154(0<x ≤120).h ′(x )＝x640－800x 2＝x 3－803640x 2(0<x ≤120)，令h ′(x )＝0，得x ＝80.因为x ∈(0，80)时，h ′(x )<0，h (x )是减函数；x ∈(80，120]时，h ′(x )>0，h (x )是增函数，所以当x ＝80时，h (x )取得极小值h (80)＝11.25(升). 因为h (x )在(0，120]上只有一个极小值，所以它是最小值.答：汽车以80千米/时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少，最少为11.25升.函数与方程的思想尽可能选择求导和判断导数符号都比较容易的函数，如果证明f (x )＞g (x )，x ∈(a ，b )，可转化为证明F (x )＝f (x )－g (x )与0的关系，若F ′(x )＞0，则函数F (x )在(a ，b )上是增函数.若F (a )≥0，则由增函数的定义，知当x ∈(a ，b )时，有F (x )＞F (a )≥0，即f (x )＞g (x )成立，同理可证明f (x )＜g (x )，x ∈(a ，b ).设函数f (x )＝2x 3＋3ax 2＋3bx ＋8c 在x ＝1及x ＝2时取得极值. (1)求a ，b 的值；(2)若对任意的x ∈[0，3]，都有f (x )<c 2成立，求c 的取值范围. 【精彩点拨】 (1)利用f ′(1)＝0，f ′(2)＝0，列方程组求解. (2)转化为求函数f (x )的最大值问题. 【规范解答】 (1)f ′(x )＝6x 2＋6ax ＋3b . 因为函数f (x )在x ＝1及x ＝2时取得极值，则有f ′(1)＝0，f ′(2)＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧6＋6a ＋3b ＝0，24＋12a ＋3b ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3，b ＝4.(2)由(1)可知，f (x )＝2x 3－9x 2＋12x ＋8c ，则f ′(x )＝6x 2－18x ＋12＝6(x －1)(x －2). 当x ∈[0，1)时，f ′(x )>0；当x ∈[1，2]时，f ′(x )<0；当x ∈(2，3]时，f ′(x )>0.所以当x ＝1时，f (x )取得极大值f (1)＝5＋8c ，当x ＝2时，f (x )取得极小值f (2)＝4＋8c ，又f (0)＝8c ，f (3)＝9＋8c .所以当x ∈[0，3]时，f (x )的最大值为f (3)＝9＋8c . 因为对于任意的x ∈[0，3]，有f (x )<c 2恒成立，所以9＋8c <c 2，解得c <－1或c >9. 故c 的取值范围为c <－1或c >9. [再练一题]4.(2016·山东威海一模)已知函数f (x )＝ln x －ax ＋bx，对任意的x ∈(0，＋∞)，满足f (x )＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝0，其中a ，b 为常数.(1)若f (x )的图象在x ＝1处的切线经过点(0，－5)，求a 的值；(2)已知0<a <1，求证：f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 22>0. 【解】 (1)在f (x )＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x＝0中，取x ＝1，得f (1)＝0，又f (1)＝ln 1－a ＋b ＝－a ＋b ，所以b ＝a .从而f (x )＝ln x －ax ＋a x，f ′(x )＝1x －a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1x 2，f ′(1)＝1－2a .又f ′(1)＝－5－f （1）0－1＝5，所以1－2a ＝5，a ＝－2.(2)证明：f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 22＝ln a 22－a 32＋2a ＝2ln a ＋2a －a32－ln 2.令g (x )＝2ln x ＋2x －x32－ln 2，则g ′(x )＝2x －2x 2－3x 22＝－3x 4＋4（x －1）2x 2. 所以，x ∈(0，1)时，g ′(x )<0，g (x )单调递减，故x ∈(0，1)时，g (x )>g (1)＝2－12－ln 2>1－ln e ＝0.所以0<a <1时，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 22>0.1.(2015·全国卷Ⅱ)设函数f ′(x )是奇函数f (x )(x ∈R )的导函数，f (－1)＝0，当x >0时，xf ′(x )－f (x )<0，则使得f (x )>0成立的x 的取值范围是( )A.(－∞，－1)∪(0，1)B.(－1，0)∪(1，＋∞)C.(－∞，－1)∪(－1，0)D.(0，1)∪(1，＋∞) 【解析】设y ＝g (x )＝f （x ）x (x ≠0)，则g ′(x )＝xf ′（x ）－f （x ）x 2，当x >0时，xf ′(x )－f (x )<0，∴g ′(x )<0，∴g (x )在(0，＋∞)上为减函数，且g (1)＝f (1)＝－f (－1)＝0.∵f (x )为奇函数，∴g (x )为偶函数， ∴g (x )的图像的示意图如图所示. 当x >0，g (x )>0时，f (x )>0，0<x <1，当x <0，g (x )<0时，f (x )>0，x <－1，∴使得f (x )>0成立的x 的取值范围是(－∞，－1)∪(0，1)，故选A.【答案】 A2.(2015·福建高考)若定义在R 上的函数f (x )满足f (0)＝－1，其导函数f ′(x )满足f ′(x )>k >1，则下列结论中一定错误的是( )A.f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1k <1kB.f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1k >1k －1C.f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1k －1<1k －1D.f ⎝⎛⎭⎪⎫1k －1>k k －1【解析】令g (x )＝f (x )－kx ＋1，则g (0)＝f (0)＋1＝0，g ⎝⎛⎭⎪⎫1k －1＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1k －1－k ·1k －1＋1＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1k －1－1k －1.∵g ′(x )＝f ′(x )－k >0，∴g (x )在[0，＋∞)上为增函数. 又∵k >1，∴1k －1>0，∴g ⎝ ⎛⎭⎪⎫1k －1>g (0)＝0， ∴f ⎝⎛⎭⎪⎫1k －1－1k －1>0，即f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1k －1>1k －1.【答案】 C3.(2015·全国卷Ⅰ)设函数f (x )＝e x(2x －1)－ax ＋a ，其中a ＜1，若存在唯一的整数x 0使得f (x 0)＜0，则a 的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－32e ，1 B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－32e ，34C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫32e ，34D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫32e ，1 【解析】 ∵f (0)＝－1＋a <0，∴x 0＝0. 又∵x 0＝0是唯一的使f (x )<0的整数，∴⎩⎪⎨⎪⎧f （－1）≥0，f （1）≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧e －1[2×（－1）－1]＋a ＋a ≥0，e （2×1－1）－a ＋a ≥0，解得a ≥32e .又∵a ＜1，∴32e ≤a <1，经检验a ＝34，符合题意.故选D.【答案】 D4.(2016·北京高考)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 3－3x ，x ≤a ，－2x ，x ＞a .(1)若a ＝0，则f (x )的最大值为________；(2)若f (x )无最大值，则实数a 的取值范围是________. 【解析】由当x ≤a 时，f ′(x )＝3x 2－3＝0，得x ＝±1. 如图是函数y ＝x 3－3x 与y ＝－2x 在没有限制条件时的图象. (1)若a ＝0，则f (x )max ＝f (－1)＝2. (2)当a ≥－1时，f (x )有最大值；当a <－1时，y ＝－2x 在x >a 时无最大值，且－2a >(x 3－3x )max ，所以a <－1. 【答案】 2 a <－15.(2016·全国卷Ⅱ)(1)讨论函数f (x )＝x －2x ＋2e x 的单调性，并证明当x ＞0时，(x －2)e x＋x ＋2＞0.(2)证明：当a ∈[0，1)时，函数g (x )＝e x－ax －ax2(x ＞0)有最小值.设g (x )的最小值为h (a )，求函数h (a )的值域.【解】 (1)f (x )的定义域为(－∞，－2)∪(－2，＋∞). f ′(x )＝（x －1）（x ＋2）e x－（x －2）e x（x ＋2）2＝x 2ex（x ＋2）2≥0，当且仅当x ＝0时，f ′(x )＝0，所以f (x )在(－∞，－2)，(－2，＋∞)上单调递增. 因此当x ∈(0，＋∞)时，f (x )>f (0)＝－1. 所以(x －2)e x>－(x ＋2)，即(x －2)e x＋x ＋2>0. (2)g ′(x )＝（x －2）e x＋a （x ＋2）x 3＝x ＋2x3(f (x )＋a ). 由(1)知，f (x )＋a 单调递增.对任意a ∈[0，1)，f (0)＋a ＝a －1＜0，f (2)＋a ＝a ≥0. 因此，存在唯一x a ∈(0，2]，使得f (x a )＋a ＝0，即g ′(x a )＝0.当0<x <x a 时，f (x )＋a <0，g ′(x )<0，g (x )单调递减；当x >x a 时，f (x )＋a >0，g ′(x )>0，g (x )单调递增.因此g (x )在x ＝x a 处取得最小值，最小值为g (x a )＝e x a －a （x a ＋1）x 2a ＝e x a ＋f （x a ）（x a ＋1）x 2a＝e x ax a ＋2.于是h (a )＝e x ax a ＋2. 由⎝ ⎛⎭⎪⎫e xx ＋2′＝（x ＋1）e x（x ＋2）2＞0，得y ＝e xx ＋2单调递增，所以，由x a ∈(0，2]，得 12＝e 00＋2＜h (a )＝e x a x a ＋2≤e 22＋2＝e24. 因为y ＝e xx ＋2单调递增，对任意λ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤12，e 24，存在唯一的x a∈(0，2]，a ＝－f (x a )∈[0，1)，使得h (a )＝λ.所以h (a )的值域是⎝ ⎛⎦⎥⎤12，e 24.综上，当a ∈[0，1)时，g (x )有最小值h (a )，h (a )的值域是⎝ ⎛⎦⎥⎤12，e 24. 章末综合测评(三) 导数应用 (时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.物体运动的方程为s ＝14t 4－3，则t ＝5时的瞬时速度为( )A.5B.25C.125D.625【解析】 ∵v ＝s ′＝t 3，∴t ＝5时的瞬时速度为53＝125. 【答案】 C2.函数f (x )＝(x －3)e x的单调递增区间是( ) A.(－∞，2) B.(0，3) C.(1，4)D.(2，＋∞)【解析】 f ′(x )＝(x －2)e x，由f ′(x )>0，得x >2，所以函数f (x )的单调递增区间是(2，＋∞).【答案】 D3.函数f (x )＝ax 3＋x ＋1有极值的充要条件是( ) A.a ≥0 B.a >0 C.a ≤0D.a <0【解析】 f ′(x )＝3ax 2＋1，当a ＝0时，f ′(x )＝1>0，f (x )单调增加，无极值；当a ≠0时，只需Δ＝－12a >0，即a <0即可. 【答案】 D4.(2016·西安高二检测)函数f (x )的导函数f ′(x )的图像如图1所示，那么f (x )的图像最有可能的是( )图1A B C D【解析】数形结合可得在(－∞，－2)，(－1，＋∞)上，f ′(x )<0，f (x )是减函数；在(－2，－1)上，f ′(x )>0，f (x )是增函数，从而得出结论.【答案】 B5.若函数y ＝a (x 3－x )的递增区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－33，⎝ ⎛⎭⎪⎫33，＋∞，则a 的取值范围是( )A.a >0B.－1<a <0C.a >1D.0<a <1【解析】依题意得y ′＝a (3x 2－1)>0的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－33，⎝ ⎛⎭⎪⎫33，＋∞，∴a >0. 【答案】 A6.若函数f (x )在R 上可导，且满足f (x )－xf ′(x )>0，则( ) A.3f (1)<f (3) B.3f (1)>f (3) C.3f (1)＝f (3)D.f (1)＝f (3)【解析】由于f (x )>xf ′(x )，⎝ ⎛⎭⎪⎫f （x ）x ′＝f ′（x ）x －f （x ）x 2<0恒成立，因此f （x ）x 在R 上是单调递减函数，∴f （3）3<f （1）1，即3f (1)>f (3)，故选B.【答案】 B7.若函数f (x )＝－x 3＋3x 2＋9x ＋a 在区间[－2，－1]上的最大值为2，则它在该区间上的最小值为( )A.－5B.7C.10D.－19【解析】 ∵f (x )′＝－3x 2＋6x ＋9＝－3(x ＋1)(x －3)，所以函数在[－2，－1]内单调递减，所以最大值为f (－2)＝2＋a ＝2， ∴a ＝0，最小值为f (－1)＝a －5＝－5. 【答案】 A8.函数y ＝12x －2sin x 的图像大致是( )【解析】因为y ′＝12－2cos x ，所以令y ′＝12－2cos x >0，得cos x <14，此时原函数是增函数；令y ′＝12－2cos x <0，得cos x >14，此时原函数是减函数，结合余弦函数图像，可得选项C 正确.【答案】 C9.若f (x )＝－12x 2＋b ln(x ＋2)在(－1，＋∞)上是减函数，则b 的取值范围是( )【导学号：94210067】A.[－1，＋∞)B.(－1，＋∞)C.(－∞，－1]D.(－∞，－1)【解析】 f ′(x )＝－x ＋bx ＋2，由题意知f ′(x )≤0在(－1，＋∞)上恒成立，即b ≤x2＋2x 在(－1，＋∞)上恒成立，即b ≤(x ＋1)2－1，则b ≤－1，故选C.【答案】 C10.已知y ＝f (x )是定义在R 上的函数，且f (1)＝1，f ′(x )>1，则f (x )>x 的解集是( ) A.(0，1)B.(－1，0)∪(0，1)C.(1，＋∞)D.(－∞，－1)∪(1，＋∞)【解析】不等式f (x )>x 可化为f (x )－x >0，设g (x )＝f (x )－x ，则g ′(x )＝f (x )′－1，由题意g ′(x )＝f ′(x )－1>0，∴函数g (x )在R 上单调递增，又g (1)＝f (1)－1＝0， ∴原不等式⇔g (x )>0⇔g (x )>g (1)， ∴x >1，故选C. 【答案】 C11.当x ∈[－2，1]时，不等式ax 3－x 2＋4x ＋3≥0恒成立，则实数a 的取值范围是( ) A.[－5，－3] B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－6，－98C.[－6，－2]D.[－4，－3]【解析】当x ＝0时，ax 3－x 2＋4x ＋3≥0变为3≥0恒成立，即a ∈R .当x ∈(0，1]时，ax 3≥x 2－4x －3，a ≥x 2－4x －3x 3，∴a ≥⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 2－4x －3x 3max .设φ(x )＝x 2－4x －3x 3，φ′(x )＝（2x －4）x 3－（x 2－4x －3）3x2x6＝－x 2－8x －9x 4＝－（x －9）（x ＋1）x 4＞0， ∴φ(x )在(0，1]上递增，φ(x )max ＝φ(1)＝－6. ∴a ≥－6.当x ∈[－2，0)时，a ≤x 2－4x －3x 3，∴a ≤⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 2－4x －3x 3min. 仍设φ(x )＝x 2－4x －3x 3，φ′(x )＝－（x －9）（x ＋1）x 4. 当x ∈[－2，－1)时，φ′(x )＜0. 当x ∈(－1，0)时，φ′(x )＞0.∴当x ＝－1时，φ(x )有极小值，即为最小值. 而φ(x )min ＝φ(－1)＝1＋4－3－1＝－2，∴a ≤－2.综上知－6≤a ≤－2.【答案】 C12.已知函数f (x )＝x 2＋2x ＋a ln x ，若函数f (x )在(0，1)上单调，则实数a 的取值范围是( )A.a ≥0B.a <－4C.a ≥0或a ≤－4D.a >0或a <－4【解析】 f ′(x )＝2x ＋2＋a x，x ∈(0，1)， ∵f (x )在(0，1)上单调，∴f ′(x )≥0或f ′(x )≤0在(0，1)上恒成立， ∴2x ＋2＋a x ≥0或2x ＋2＋a x≤0在(0，1)上恒成立，即a ≥－2x 2－2x 或a ≤－2x 2－2x 在(0，1)上恒成立.设g (x )＝－2x 2－2x ＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122＋12，则g (x )在(0，1)上单调递减，∴g (x )max ＝g (0)＝0，g (x )min ＝g (1)＝－4. ∴a ≥g (x )max ＝0或a ≤g (x )min ＝－4. 【答案】 C二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.将答案填在题中的横线上) 13.(2016·天津高考)已知函数f (x )＝(2x ＋1)e x，f ′(x )为f (x )的导函数，则f ′(0)的值为________.【解析】因为f (x )＝(2x ＋1)e x，所以f ′(x )＝2e x ＋(2x ＋1)e x ＝(2x ＋3)e x，所以f ′(0)＝3e 0＝3. 【答案】 314.函数f (x )＝12e x (sin x ＋cos x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的值域为________.【导学号：94210068】【解析】 ∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，f ′(x )＝e x cos x ≥0，∴f (0)≤f (x )≤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，即12≤f (x )≤12e π2.【答案】 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，12e π215.(2016·洛阳高二检测)已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋a 2，在x ＝1时有极值10，则a ＋b ＝________.【解析】 f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ，f ′(1)＝2a ＋b ＋3＝0，f (1)＝a 2＋a ＋b ＋1＝10，⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋b ＝－3，a 2＋a ＋b ＝9，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3，b ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4，b ＝－11，当a ＝－3时，x ＝1不是极值点，a ，b 的值分别为4，－11，∴a ＋b ＝－7.【答案】－716.周长为20 cm 的矩形，绕一条边旋转成一个圆柱，则圆柱体积的最大值为________cm 3.【解析】设矩形的长为x ，则宽为10－x (0<x <10)，由题意可知所求圆柱的体积V ＝πx 2(10－x )＝10πx 2－πx 3，∴V ′(x )＝20πx －3πx 2.由V ′(x )＝0，得x ＝0(舍去)，x ＝203，且当x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，203时，V ′(x )>0，当x ∈⎝⎛⎭⎪⎫203，10时，V ′(x )<0， ∴当x ＝203时，V (x )取得最大值为4 00027π cm 3.【答案】4 00027π 三、解答题(本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17.(本小题满分10分)若函数f (x )＝x 3＋3ax 2＋3(a ＋2)x ＋3既有极大值又有极小值，求实数a 的取值范围.【解】 ∵f ′(x )＝3x 2＋6ax ＋3(a ＋2)，令3x 2＋6ax ＋3(a ＋2)＝0，即x 2＋2ax ＋a ＋2＝0，∵函数f (x )有极大值和极小值，∴方程x 2＋2ax ＋a ＋2＝0有两个不相等的实数根，即Δ＝4a 2－4a －8>0，解得a >2或a <－1.故实数a 的取值范围是(－∞，－1)∪(2，＋∞).18.(本小题满分12分)设函数f (x )＝x 3－3ax 2＋3bx 的图像与直线12x ＋y －1＝0相切于点(1，－11).(1)求a ，b 的值；(2)讨论函数f (x )的单调性.【解】 (1)求导得f ′(x )＝3x 2－6ax ＋3b .由于f (x )的图像与直线12x ＋y －1＝0相切于点(1，－11)，所以f (1)＝－11，f ′(1)＝－12，即⎩⎪⎨⎪⎧1－3a ＋3b ＝－11，3－6a ＋3b ＝－12，解得a ＝1，b ＝－3. (2)由a ＝1，b ＝－3得f ′(x )＝3x 2－6x －9＝3(x 2－2x －3)＝3(x ＋1)(x －3).令f ′(x )>0，解得x <－1或x >3；又令f ′(x )<0，解得－1<x <3.故当x ∈(－∞，－1)和x ∈(3，＋∞)时，f (x )是增函数，当x ∈(－1，3)时，f (x )是减函数.19.(本小题满分12分)已知函数f (x )＝x 3＋12mx 2－2m 2x －4(m 为常数，且m >0)有极大值－52，求m 的值. 【解】 ∵f ′(x )＝3x 2＋mx －2m 2＝(x ＋m )(3x －2m )，令f ′(x )＝0，则x ＝－m 或x ＝23m .当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：单调递增单调递减单调递增∴f (x )极大值＝f (－m )＝－m 3＋2m 3＋2m 3－4＝－2，∴m ＝1.20.(本小题满分12分)证明：当x >0时，ln(x ＋1)>x －12x 2.【证明】设f (x )＝ln(x ＋1)－⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12x 2＝ln(x ＋1)－x ＋12x 2，函数的定义域是(－1，＋∞)，则f ′(x )＝1x ＋1－1＋x ＝x2x ＋1.当x ∈(－1，＋∞)时，f ′(x )>0， ∴f (x )在(－1，＋∞)上是增函数. ∴当x >0时，f (x )>f (0)＝0，即当x >0时，ln(x ＋1)>x －12x 2.21.(本小题满分12分)某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池(不计厚度).设该蓄水池的底面半径为r 米，高为h 米，体积为V 立方米.假设建造成本仅与表面积有关，侧面的建造成本为100元/平方米，底面的建造成本为160元/平方米，该蓄水池的总建造成本为12 000π元(π为圆周率).(1)将V 表示成r 的函数V (r )，并求该函数的定义域；(2)讨论函数V (r )的单调性，并确定r 和h 为何值时该蓄水池的体积最大. 【解】 (1)因为蓄水池侧面的总成本为100·2πrh ＝200πrh (元)，底面的总成本为160πr 2元，所以蓄水池的总成本为(200πrh ＋160πr 2)元. 又根据题意200πrh ＋160πr 2＝12 000π，所以h ＝15r(300－4r 2)，从而V (r )＝πr 2h ＝π5(300r －4r 3).因为r >0，又由h >0可得0<r <53，故函数V (r )的定义域为(0，53). (2)因为V (r )＝π5(300r －4r 3)(0<r <53)，所以V ′(r )＝π5(300－12r 2).令V ′(r )＝0，解得r 1＝5，r 2＝－5(因为r 2＝－5不在定义域内，舍去). 当r ∈(0，5)时，V ′(r )>0，故V (r )在(0，5)上为增函数；当r ∈(5，53)时，V ′(r )<0，故V (r )在(5，53)上为减函数. 由此可知，V (r )在r ＝5处取得最大值，此时h ＝8. 即当r ＝5，h ＝8时，该蓄水池的体积最大.22.(本小题满分12分)(2016·全国卷Ⅰ)已知函数f (x )＝(x －2)e x＋a (x －1)2有两个零点.(1)求a 的取值范围；(2)设x 1，x 2是f (x )的两个零点，证明：x 1＋x 2＜2.【解】 (1)f ′(x )＝(x －1)e x ＋2a (x －1)＝(x －1)(e x＋2a ). ①设a ＝0，则f (x )＝(x －2)e x，f (x )只有一个零点. ②设a ＞0，则当x ∈(－∞，1)时，f ′(x )＜0；当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )＞0，所以f (x )在(－∞，1)内单调递减，在(1，＋∞)内单调递增. 又f (1)＝－e ，f (2)＝a ，取b 满足b ＜0且b ＜ln a2，则f (b )＞a 2(b －2)＋a (b －1)2＝a ⎝⎛⎭⎪⎫b 2－32b ＞0，故f (x )存在两个零点.③设a ＜0，由f ′(x )＝0得x ＝1或x ＝ln(－2a ).若a ≥－e2，则ln(－2a )≤1，故当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )＞0，因此f (x )在(1，＋∞)内单调递增.又当x ≤1时，f (x )＜0，所以f (x )不存在两个零点. 若a ＜－e2，则ln(－2a )＞1，故当x ∈(1，ln(－2a )时，f ′(x )＜0；当x ∈(ln(－2a )，＋∞)时，f ′(x )＞0. 因此f (x )在(1，ln(－2a )内单调递减，在(ln(－2a )，＋∞)内单调递增.又当x ≤1时，f (x )＜0，所以f (x )不存在两个零点. 综上，a 的取值范围为(0，＋∞).(2)证明：不妨设x 1＜x 2，由(1)知，x 1∈(－∞，1)，x 2∈(1，＋∞)，2－x 2∈(－∞，1)，f (x )在(－∞，1)内单调递减，所以x 1＋x 2＜2等价于f (x 1)＞f (2－x 2)，即f (2－x 2)＜0. 由于f (2－x 2)＝－x 2e2－x 2＋a (x 2－1)2，而f (x 2)＝(x 2－2)e x 2＋a (x 2－1)2＝0，所以f (2－x 2)＝－x 2e2－x 2－(x 2－2)e x 2. 设g (x )＝－x e2－x－(x －2)e x，则g ′(x )＝(x －1)(e 2－x－e x).所以当x ＞1时，g ′(x )＜0，而g (1)＝0，故当x ＞1时，g (x )＜0. 从而g (x 2)＝f (2－x 2)＜0，故x 1＋x 2＜2.。

高中数学第3章统计案例章末高效整合课件北师大版选修2_3

10
10
10
x ＝55，y ＝91.7，x2i ＝38 500，y2i ＝87 777，xiyi＝55 950
i＝1
i＝1
i＝1
10
xiyi－10 x y
i＝1
r＝
10
10
x2i －10 x 2y2i －10 y 2
i＝1
i＝1
＝ 38 5005－5 1905×0－55120×87557×779－1.170×91.72≈0.999 8， 0．999 8>0.75，故 y 与 x 具有线性相关关系．
解析： (1)列出下表，并用科学计算器进行计算. i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 xi 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 yi 62 68 75 81 89 95 102 108 115 122
1 2 3 4 5 7 8 10 12 xiyi 620 360 250 240 450 700 140 640 350 200
∧
附：若(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)为样本点，y＝bx＋a
为回归直线，则 x ＝
1 n
n
xi，
y
＝
1 n
n
yi，
i＝1
i＝1
n
n
xi－ x yi－ y xiyi－n x y
i＝1
i＝1
b＝
＝
，a＝ y －b x .
n
xi－ x 2
n
x2i －n x 2
④可以利用线性回归方程 y＝a＋bx 预报在 x 取某一个值时 y 的估计值．
(3)先判定相关性，再求线性回归方程利用样本相关系数 r 来判断两个变量之间是否有线性相关关系时，可以依据若|r|>0.75，我们认为有很强的线性相关关系，可以求线性回归方程，并可用求得的线性回归方程来预报变量的取值；若|r|<0.75，则认为两个变量之间的线性相关关系并不强，这时求线性回归方程没有太大的实际价值．

高中数学第3章统计案例 3.3 学业分层测评北师大版

【课堂新坐标】2016-2017学年高中数学第3章统计案例 3.3 学业分层测评北师大版选修2-3(建议用时：45分钟)学业达标]一、选择题1．已知P (B |A )＝13，P (A )＝25，则P (AB )等于( )A.56 B.910 C.215D.115【解析】由P (B |A )＝P AB P A 得P (AB )＝P (B |A )·P (A )＝13×25＝215.【答案】 C2．下列说法正确的是( ) A ．P (B |A )＜P (AB ) B ．P (B |A )＝P BP A是可能的C ．0＜P (B |A )＜1D ．P (A |A )＝0【解析】由条件概率公式P (B |A )＝P ABP A及0≤P (A )≤1知P (B |A )≥P (AB )，故A选项错误；当事件A 包含事件B 时，有P (AB )＝P (B )，此时P (B |A )＝P BP A，故B 选项正确，由于0≤P (B |A )≤1，P (A |A )＝1，故C ，D 选项错误．故选B.【答案】 B3．(2014·全国卷Ⅱ)某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是0.75，连续两天为优良的概率是0.6，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是( )A ．0.8B ．0.75C ．0.6D ．0.45【解析】已知连续两天为优良的概率是0.6，那么在前一天空气质量为优良的前提下，要求随后一天的空气质量为优良的概率，可根据条件概率公式，得P ＝0.60.75＝0.8.【答案】 A4．(2016·泉州期末)从1,2,3,4,5中任取两个不同的数，事件A 为“取到的两个数之和为偶数”，事件B 为“取到的两个数均为偶数”，则P (B |A )等于( )A.18B.14C.25D.12【解析】法一：P (A )＝C 23＋C 22C 25＝25，P (AB )＝C 22C 25＝110，P (B |A )＝P AB P A ＝14.法二：事件A 包含的基本事件数为C 23＋C 22＝4，在A 发生的条件下事件B 包含的基本事件为C 22＝1，因此P (B |A )＝14.【答案】 B5．抛掷两枚骰子，则在已知它们点数不同的情况下，至少有一枚出现6点的概率是( )A.13B.118C.16D.19【解析】设“至少有一枚出现6点”为事件A ，“两枚骰子的点数不同”为事件B ，则n (B )＝6×5＝30，n (AB )＝10，所以P (A |B )＝n AB n B ＝1030＝13.【答案】 A 二、填空题6．已知P (A )＝0.2，P (B )＝0.18，P (AB )＝0.12，则P (A |B )＝________，P (B |A )＝________. 【导学号：62690035】【解析】 P (A |B )＝P AB P B ＝0.120.18＝23；P (B |A )＝P AB P A ＝0.120.2＝35.【答案】 23 357．设A ，B 为两个事件，若事件A 和B 同时发生的概率为310，在事件A 发生的条件下，事件B 发生的概率为12，则事件A 发生的概率为________．【解析】由题意知，P (AB )＝310，P (B |A )＝12.由P (B |A )＝P AB P A ，得P (A )＝P AB P B |A ＝35.【答案】 358．有五瓶墨水，其中红色一瓶，蓝色、黑色各两瓶，某同学从中随机任取出两瓶，若取出的两瓶中有一瓶是蓝色，则另一瓶是红色或黑色的概率是________．【解析】设事件A 为“其中一瓶是蓝色”，事件B 为“另一瓶是红色”，事件C 为“另一瓶是黑色”，事件D 为“另一瓶是红色或黑色”，则D ＝B ∪C ，且B 与C 互斥，又P (A )＝C 12C 13＋C 22C 25＝710， P (AB )＝C 12·C 11C 25＝15，P (AC )＝C 12C 12C 25＝25，故P (D |A )＝P (B ∪C |A ) ＝P (B |A )＋P (C |A ) ＝P AB P A ＋P AC P A ＝67.【答案】 67三、解答题9．甲、乙两个袋子中，各放有大小、形状和个数相同的小球若干．每个袋子中标号为0的小球为1个，标号为1的2个，标号为2的n 个．从一个袋子中任取两个球，取到的标号都是2的概率是110.(1)求n 的值；(2)从甲袋中任取两个球，已知其中一个的标号是1的条件下，求另一个标号也是1的概率．【解】 (1)由题意得：C 2nC 2n ＋3＝n n －n ＋n ＋＝110，解得n ＝2. (2)记“其中一个标号是1”为事件A ，“另一个标号是1”为事件B ，所以P (B |A )＝n AB n A ＝C 22C 25－C 23＝17.10．任意向x 轴上(0,1)这一区间内掷一个点，问：(1)该点落在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫0，13内的概率是多少？(2)在(1)的条件下，求该点落在⎝ ⎛⎭⎪⎫15，1内的概率．【解】由题意知，任意向(0,1)这一区间内掷一点，该点落在(0,1)内哪个位置是等可能的，令A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |0＜x ＜13，由几何概率的计算公式可知．(1)P (A )＝131＝13.(2)令B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪15＜x ＜1，则AB ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |15＜x ＜13，P (AB )＝13－151＝215.故在A 的条件下B 发生的概率为 P (B |A )＝P ABP A ＝21513＝25.能力提升]1．一个家庭有两个小孩，假设生男生女是等可能的，已知这个家庭有一个是女孩的条件下，这时另一个也是女孩的概率是( )A.14B.23C.12D.13【解析】一个家庭中有两个小孩只有4种可能：(男，男)，(男，女)，(女，男)，(女，女)．记事件A 为“其中一个是女孩”，事件B 为“另一个是女孩”，则A ＝{(男，女)，(女，男)，(女，女)}，B ＝{(男，女)，(女，男)，(女，女)}，AB ＝{(女，女)}．于是可知P (A )＝34，P (AB )＝14.问题是求在事件A 发生的情况下，事件B 发生的概率，即求P (B |A )，由条件概率公式，得P (B |A )＝1434＝13.【答案】 D2．(2016·开封高二检测)将3颗骰子各掷一次，记事件A 表示“三个点数都不相同”，事件B 表示“至少出现一个3点”，则概率P (A |B )等于( )A.91216B.518C.6091 D.12【解析】事件B 发生的基本事件个数是n (B )＝6×6×6－5×5×5＝91，事件A ，B 同时发生的基本事件个数为n (AB )＝3×5×4＝60.所以P (A |B )＝n AB n B ＝6091.【答案】 C3．袋中有6个黄色的乒乓球，4个白色的乒乓球，做不放回抽样，每次抽取一球，取两次，则第二次才能取到黄球的概率为________. 【导学号：62690036】【解析】记“第一次取到白球”为事件A ，“第二次取到黄球”为事件B ，“第二次才取到黄球”为事件C ，所以P (C )＝P (AB )＝P (A )P (B |A )＝410×69＝415.【答案】4154．如图232，三行三列的方阵有9个数a ij (i ＝1,2,3，j ＝1,2,3)，从中任取三个数，已知取到a 22的条件下，求至少有两个数位于同行或同列的概率．⎝ ⎛⎭⎪⎫a 11 a 12 a 13a 21 a 22 a 23a31a 32 a 33图232【解】事件A ＝{任取的三个数中有a 22}，事件B ＝{三个数至少有两个数位于同行或同列}，则B ＝{三个数互不同行且不同列}，依题意得n (A )＝C 28＝28，n (A B )＝2，故P (B |A )＝n ABn A＝228＝114，则 P (B |A )＝1－P (B |A )＝1－114＝1314.即已知取到a 22的条件下，至少有两个数位于同行或同列的概率为1314.。

高中数学第三章统计案例章末分层突破学案苏教版选修2-3(2021年最新整理)

2016-2017学年高中数学第三章统计案例章末分层突破学案苏教版选修2-3编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2016-2017学年高中数学第三章统计案例章末分层突破学案苏教版选修2-3）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。

本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为2016-2017学年高中数学第三章统计案例章末分层突破学案苏教版选修2-3的全部内容。

第三章统计案例章末分层突破[自我校对]①错误!②3.841③6.635线性回归直线方程在回归直线方程错误!错误!错误!错误!,y平均增加的单位数．一般来说，当回归系数错误!〉0时，说明两个变量呈正相关关系，它的意义是：当x每增加一个单位时,y就平均增加b^个单位；当回归系数错误!〈0时，说明两个变量呈负相关关系，它的意义是:当x每增加一个单位时,y就平均减少|错误!|个单位．某地最近十年粮食需求量逐年上升，下表是部分统计数据：年份20082010201220142016需求量(万吨）236246257276286 (1错误!错误!错误!;（2)利用（1)中所求出的直线方程预测该地2018年的粮食需求量．【精彩点拨】正确利用求回归直线方程的步骤求解,注意数据计算的准确性．【规范解答】(1)由所给数据看出,把年份看作点的横坐标，对应的需求量看作点的纵坐标，画出散点图草图(图略),通过观察知这些点大致分布在一条直线附近,下面求回归直线方程,为此对数据预处理如下：年份—2012－4－2024需求量-257－21－1101929错误!错误!错误!＝错误!＝错误!＝6。

5，错误!＝错误!－错误!错误!＝3。

2，由上述计算结果，知所求回归直线方程为错误!－257＝错误!（x－2012）＋错误!＝6.5(x－2012)＋3。

高中数学第三章圆锥曲线与方程章末分层突破学案北师大版选修21

高中数学第三章圆锥曲线与方程章末分层突破学案北师大版选修21第三章圆锥曲线与方程[自我校对]①x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)②y 2a 2＋x 2b 2＝1(a ＞b ＞0)③(±a,0)(0，±b )或(0，±a )，(±b,0) ④2a ⑤2b ⑥(－c,0)，(c,0)⑦2c ⑧c a ⑨x 2a 2－y 2b 2＝1(a ，b ＞0)⑩y ＝±b a x ⑪y ＝±a bx⑫y 2＝±2px (p ＞0)⑬x 2＝±2py (p ＞0)⑭⎝ ⎛⎭⎪⎫±p2，0⑮y ＝±p2圆锥曲线的定义及应用圆锥曲线的定义是相应标准方程和几何性质的“源”，对于圆锥曲线的有关问题，要有运用圆锥曲线定义解题的意识，“回归定义”是一种重要的解题策略．如：(1)在求轨迹时，若所求轨迹符合某种圆锥曲线的定义，则根据圆锥曲线的方程，写出所求的轨迹方程；(2)涉及椭圆、双曲线上的点与两个焦点构成的三角形问题时，常用定义结合解三角形的知识来解决；(3)在求有关抛物线的最值问题时，常利用定义把到焦点的距离转化为到准线的距离，结合几何图形利用几何意义去解决．设F 1、F 2是椭圆x 29＋y 24＝1的两个焦点，P 为椭圆上的一点，已知P 、F 1、F 2是一个直角三角形的三个顶点，且|PF 1|＞|PF 2|，求|PF 1||PF 2|的值．【精彩点拨】要求|PF 1||PF 2|的值，可考虑利用椭圆的定义和△PF 1F 2为直角三角形的条件，求出|PF 1|和|PF 2|的值，但Rt △PF 1F 2的直角顶点不确定，故需要分类讨论．【自主解答】由题意知，a ＝3，b ＝2，则c 2＝a 2－b 2＝5，即c ＝5，由椭圆定义知|PF 1|＋|PF 2|＝6，|F 1F 2|＝2 5.(1)若∠PF 2F 1为直角，则|PF 1|2＝|F 1F 2|2＋|PF 2|2， |PF 1|2－|PF 2|2＝20，即⎩⎪⎨⎪⎧|PF 1|－|PF 2|＝103，|PF 1|＋|PF 2|＝6，解得|PF 1|＝143，|PF 2|＝43.所以|PF 1||PF 2|＝72. (2)若∠F 1PF 2为直角，则|F 1F 2|2＝|PF 1|2＋|PF 2|2.即20＝|PF 1|2＋(6－|PF 1|)2，解得|PF 1|＝4，|PF 2|＝2或|PF 1|＝2，|PF 2|＝4(舍去．) 所以|PF 1||PF 2|＝2.[再练一题]1．已知点M (－3,0)、N (3,0)、B (1,0)，动圆C 与直线MN 切于点B ，过点M 、N 与圆C 相切的两直线相交于点P ，则P 点的轨迹方程为( )A ．x 2－y 28＝1(x ＞1)B ．x 2－y 28＝1(x ＜－1)C ．x 2＋y 28＝1(x ＞0)D ．x 2－y 210＝1(x ＞1)【解析】设PM 、PN 与⊙C 分别切于点E 、F ，如图，则|PE |＝|PF |，|ME |＝|MB |，|NF |＝|NB |.从而|PM |－|PN |＝|ME |－|NF |＝|MB |－|NB |＝4－2＝2＜|MN |，∴P 点的轨迹是以M 、N 为焦点，实轴长为2的双曲线的右支(除去右顶点)．∴所求轨迹方程为x 2－y 28＝1(x ＞1)．【答案】 A圆锥曲线简单性质的应用有关圆锥曲线的焦点、离心率、渐近线等问题是考试中常见的问题，只要掌握基本公式和概念，并且充分理解题意，大都可以顺利求解．已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左焦点为F 1(－c,0)，A (－a,0)，B (0，b )是两个顶点，如果F 1到直线AB 的距离为b7，求椭圆的离心率e .【精彩点拨】求出直线AB 的方程，利用点到直线的距离，转化为离心率e 的方程求解．【自主解答】由A (－a,0)，B (0，b )，得直线AB 的斜率为k AB ＝b a，故AB 所在的直线方程为y －b ＝b ax ，即bx －ay ＋ab ＝0.又F 1(－c,0)，由点到直线的距离公式可得d ＝|－bc ＋ab |a 2＋b 2＝b7，∴7·(a －c )＝a 2＋b 2.又b 2＝a 2－c 2，整理，得8c 2－14ac ＋5a 2＝0，即8⎝ ⎛⎭⎪⎫c a 2－14c a＋5＝0，∴8e 2－14e ＋5＝0.∴e ＝12或e ＝54(舍去)．综上可知，椭圆的离心率e ＝12.[再练一题]2．已知椭圆x 23m 2＋y 25n 2＝1和双曲线x 22m 2－y 23n2＝1有公共的焦点，那么双曲线的渐近线方程是( )A ．x ＝±152yB ．y ＝±152xC ．x ＝±34y D ．y ＝±34x 【解析】由题意，3m 2－5n 2＝2m 2＋3n 2，∴m 2＝8n 2，令x 22m 2－y 23n 2＝0，y 2＝3n 22m 2x 2＝316x 2，∴y ＝±34x ，即双曲线的渐近线方程是y ＝±34x . 【答案】 D直线与圆锥曲线的位置关系1.直线与圆锥曲线的位置关系的判定：直线l ：f (x ，y )＝0和曲线C ：g (x ，y )＝0的公共点坐标是方程组⎩⎪⎨⎪⎧f x ，y ＝0，g x ，y ＝0的解，l 和C 的交点的个数等于方程组不同解的个数．这样就将l 和C 的交点问题转化为代数的问题研究，对于消元后的一元二次方程，必须讨论二次项系数和判别式Δ，若能数形结合，借助图形的几何性质则较为简便，尤其在双曲线中要注意渐近线的特殊性．2．弦长公式：(1)斜率为k 的直线被圆锥曲线截得弦AB ，若A 、B 两点坐标为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝1＋k2·[x 1＋x 22－4x 1x 2]或当k 存在且不为零时，|AB |＝1＋1k2|y 1－y 2|，(其中x 1＋x 2、x 1x 2(或y 1＋y 2、y 1y 2)根据根与系数的关系求得)．(2)抛物线y 2＝2px (p ＞0)过焦点F 的弦长|AB |＝x 1＋x 2＋p .已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率e ＝32，连接椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为4.(1)求椭圆的方程；(2)设直线l 与椭圆相交于不同的两点A ，B ，已知点A 的坐标为(－a,0)． ①若|AB |＝425，求直线l 的倾斜角；②若点Q (0，y 0)在线段AB 的垂直平分线上，且QA →·QB →＝4，求y 0的值．【精彩点拨】 (1)建立关于a ，b 的方程组求出a ，b ；(2)构造新方程，综合运用两点间的距离公式、平面向量等知识求解．【自主解答】 (1)由e ＝ca ＝32，得3a 2＝4c 2. 由c 2＝a 2－b 2，得a ＝2b .由题意，知12·2a ·2b ＝4，即ab ＝2.解方程组⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2b ，ab ＝2，得a ＝2，b ＝1.所以椭圆的方程为x 24＋y 2＝1.(2)由(1)知点A 的坐标是(－2,0)，设点B 的坐标为(x 1，y 1)，直线l 的斜率为k ，则直线l 的方程为y ＝k (x ＋2)．于是A ，B 两点的坐标满足方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k x ＋2，x 24＋y 2＝1，消去y 并整理，得(1＋4k 2)x 2＋16k 2x ＋(16k 2－4)＝0. 由－2x 1＝16k 2－41＋4k 2，得x 1＝2－8k 21＋4k 2，从而y 1＝4k1＋4k 2.所以|AB |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－2－2－8k 21＋4k 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫4k 1＋4k 22 ＝41＋k21＋4k2. ①由|AB |＝425，得41＋k 21＋4k 2＝425. 整理，得32k 4－9k 2－23＝0，即(k 2－1)(32k 2＋23)＝0，解得k ＝±1.所以直线l 的倾斜角为π4或3π4.②设线段AB 的中点为M ，则点M 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－8k 21＋4k 2，2k 1＋4k 2.以下分两种情况：a ．当k ＝0时，点B 的坐标是(2,0)，线段AB 的垂直平分线为y 轴，于是QA →＝(－2，－y 0)，QB →＝(2，－y 0)．由QA →·QB →＝4，得y 0＝±2 2.b ．当k ≠0时，线段AB 的垂直平分线方程为 y －2k 1＋4k 2＝－1k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋8k 21＋4k 2. 令x ＝0，解得y 0＝－6k 1＋4k 2.QA →＝(－2，－y 0)，QB →＝(x 1，y 1－y 0)， QA →·QB →＝－2x 1－y 0(y 1－y 0)＝16k 2－41＋4k 2＋6k 1＋4k 2⎝ ⎛⎭⎪⎫4k1＋4k 2＋6k 1＋4k 2 ＝416k 4＋15k 2－11＋4k22＝4，整理，得7k 2＝2，故k ＝±147. 所以y 0＝±2145.综上，y 0＝±22或y 0＝±2145.[再练一题]3．在抛物线y 2＝16x 内，通过点(2,1)且在此点被平分的弦所在的直线的方程是________．【解析】设所求直线与y 2＝16x 相交于点A 、B ，且A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，代入抛物线方程得y 21＝16x 1，y 22＝16x 2，两式相减，得(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝16(x 1－x 2)，即y 1－y 2x 1－x 2＝16y 1＋y 2，得k AB ＝8. 设直线方程为y ＝8x ＋b ，代入点(2,1)得b ＝－15；故所求直线方程为y ＝8x －15. 【答案】 8x －y －15＝0曲线方程的求法(1)直接法：建立适当的坐标系，设动点为(x ，y )，根据几何条件直接寻求x 、y 之间的关系式．(2)代入法：利用所求曲线上的动点与某一已知曲线上的动点的关系，把所求动点转换为已知动点．(3)定义法：如果所给几何条件正好符合圆、椭圆、双曲线、抛物线等曲线的定义，则可直接利用这些已知曲线的方程写出动点的轨迹方程．(4)参数法：当很难找到形成曲线的动点P (x ，y )的坐标x ，y 所满足的关系式时，借助第三个变量t ，建立t 和x ，t 和y 的关系式x ＝φ(t )，y ＝Φ(t )，再通过一些条件消掉t 就间接地找到了x 和y 所满足的方程，从而求出动点P (x ，y )所形成的曲线的普通方程，设直线y ＝ax ＋b 与双曲线3x 2－y 2＝1交于A ，B 两点，且以AB 为直径的圆过原点，求P (a ，b )的轨迹方程．【精彩点拨】求点P (a ，b )的轨迹方程，即探究a ，b 满足的关系式，通过条件“以AB 为直径的圆过原点”即可找出a ，b 满足的条件．【自主解答】联立方程组得：⎩⎪⎨⎪⎧y ＝ax ＋b ，3x 2－y 2＝1，消去y 得：(a 2－3)x 2＋2abx ＋b 2＋1＝0. ∵直线与双曲线交于A ，B 两点，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 2－3≠0，Δ>0解得：a 2<3.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－2ab a 2－3，x 1·x 2＝b 2＋1a 2－3.由OA →⊥OB →，得x 1x 2＋y 1y 2＝0.又y 1y 2＝(ax 1＋b )(ax 2＋b )＝a 2x 1x 2＋ab (x 1＋x 2)＋b 2，∴有b 2＋1a 2－3＋a 2·b 2＋1a 2－3－2a 2b 2a 2－3＋b 2＝0，化简得：a 2－2b 2＝－1.故P 点的轨迹方程为：2y 2－x 2＝1(x 2<3)． [再练一题]4．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为33，以原点为圆心、椭圆短半轴长为半径的圆与直线y ＝x ＋2相切．(1)求a 与b ；(2)设该椭圆的左、右焦点分别为F 1和F 2，直线l 1过F 2且与x 轴垂直，动直线l 2与y轴垂直，l 2交l 1于点P .求线段PF 1的垂直平分线与l 2的交点M 的轨迹方程，并指明曲线类型．【解】 (1)由e ＝ca ＝1－b 2a 2＝33，得b a ＝63. 又由原点到直线y ＝x ＋2的距离等于圆的半径，得b ＝2，a ＝ 3. (2)法一：由c ＝a 2－b 2＝1，得F 1(－1,0)，F 2(1,0)．设M (x ，y )，则P (1，y )．因为点M 在线段PF 1的垂直平分线上，所以|MF 1|＝|MP |，得(x ＋1)2＋y 2＝(x －1)2，即y 2＝－4x .所以此轨迹是抛物线．法二：因为点M 在线段PF 1的垂直平分线上，所以|MF 1|＝|MP |，即M 到F 1的距离等于M 到l 1的距离．此轨迹是以F 1(－1,0)为焦点、l 1：x ＝1为准线的抛物线，轨迹方程为y 2＝－4x .圆锥曲线中的最值与定值问题1.圆锥曲线中的最值问题(1)平面几何法：平面几何法求最值问题，主要是运用圆锥曲线的定义和平面几何知识求解．(2)目标函数法：建立目标函数来解与圆锥曲线有关的最值问题是常规方法，其关键是选取适当变量建立目标函数，然后运用求函数最值的方法确定最值．(3)判别式法：对二次曲线求最值，往往由条件建立二次方程，用判别式来求最值． 2．圆锥曲线中的定值问题圆锥曲线中的定值问题的证明可以运用函数的思想方法解决．其证明过程可总结为“变量——函数——定值”，具体操作为：变量——选择适当的量为变量；函数——把要证明为定值的量表示成上述变量的函数；定值——把得到的函数解析式化简，消去变量得到定值．如图31所示，过抛物线y 2＝2px 的顶点O 作两条互相垂直的弦交抛物线于A 、B 两点．图31(1)证明直线AB 过定点； (2)求△AOB 面积的最小值．【精彩点拨】 (1)利用AB ⊥x 轴发现定点再证明．(2)设直线AB 与x 轴交点M ，利用S △AOB ＝S △AOM ＋S △BOM ＝12|OM |(|y A |＋|y B |)求解．【自主解答】 (1)证明：当直线AB 的斜率不存在时，AB ⊥x 轴，又OA ⊥OB ，∴△AOB 为等腰直角三角形，设A (x 0，y 0)，则y 20＝2px 0，∴x 0＝2p ，直线AB 过点(2p,0)．当直线AB 的斜率存在时，设直线AB 的方程为y ＝k (x －a )，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．联立方程⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝2px ，y ＝k x －a ，消去x 得ky 2－2py －2pak ＝0，则y 1y 2＝－2pa .又OA ⊥OB . ∴y 1y 2＝－x 1x 2.由方程组消去y ，得k 2x 2－(2k 2a ＋2p )x ＋k 2a 2＝0，则x 1·x 2＝a 2.因此，a 2＝2pa .∴a ＝2p . 故直线AB 过定点(2p,0)．(2)由(1)知：AB 恒过定点M (2p,0)．∴S △AOB ＝S △AOM ＋S △BOM ＝12|OM |(|y 1|＋|y 2|)≥p (2|y 1y 2|)．又y 21＝2px 1，y 22＝2px 2，∴(y 1y 2)2＝4p 2x 1x 2.又∵y 1y 2＝－x 1x 2，于是|y 1y 2|＝4p 2.故S △AOB的最小值为4p 2.[再练一题]5．已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)，B 为椭圆短轴的一个顶点，过B 点作椭圆的弦BM ，求弦长的最大值．【解】设M (x ，y )，B (0，－b )，则有|BM |2＝x 2＋(y ＋b )2，由x 2a 2＋y 2b 2＝1，得x 2＝a 2b2(b 2－y 2)，代入上式得|BM |2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－a 2b 2y 2＋2by ＋a 2＋b 2＝b 2－a 2b 2⎝ ⎛⎭⎪⎫y －b 3a 2－b 22＋a 4c 2(－b ≤y ≤b )，由于a ＞b ＞0，b 2－a 2b 2＜0，b 3a 2－b 2＞0，所以当b 3a 2－b 2≤b ，即a 2≥2b 2时，|BM |2max＝a 4c2；当b 3a 2－b2＞b ，即a 2＜2b 2时，函数|BM |2＝f (y )在[－b ，b ]上单调递增，当y ＝b 时，|BM |2max ＝4b 2.所以当a ≥2b 时，弦长的最大值为|BM |max ＝a 2c；当a ＜2b 时，弦长的最大值为|BM |max ＝2b .数形结合思想解析几何的本质是用方程来研究平面几何，故既要考虑曲线的形，又要考虑表示曲线的数，利用数来解形的同时，要关注用形来助数．已知P (x 0，y 0)是椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)上的任意一点，F 1、F 2是焦点，求证：以PF 2为直径的圆必和以椭圆长轴为直径的圆相内切．【精彩点拨】根据椭圆的定义，结合图像中三角形中位线定理来解决问题．【自主解答】设以PF 2为直径的圆的圆心为A (如图所示)，半径为r . ∵F 1、F 2为焦点， ∴由椭圆定义知|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，|PF 2|＝2r ， ∴|PF 1|＋2r ＝2a ，即|PF 1|＝2(a －r )．连接OA ，由三角形中位线定理，知 |OA |＝12|PF 1|＝12×2(a －r )＝a －r .故以PF 2为直径的圆必和以长轴为直径的圆相内切． [再练一题]6．曲线x 2＋y 2＝4与曲线x 2＋y 29＝1的交点个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4【解析】画出图形，由图形知交点有4个．【答案】 D1．已知M (x 0，y 0)是双曲线C ：x 22－y 2＝1上的一点，F 1，F 2是C 的两个焦点，若MF 1→·MF 2→＜0，则y 0的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－33，33 B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－36，36 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－223，223D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－233，233【解析】由双曲线方程可求出F 1，F 2的坐标，再求出向量MF 1→，MF 2→，然后利用向量的数量积公式求解．由题意知a ＝2，b ＝1，c ＝3，∴F 1(－3，0)，F 2(3，0)，∴MF 1→＝(－3－x 0，－y 0)，MF 2→＝(3－x 0，－y 0)．∵MF 1→·MF 2→<0，∴(－3－x 0)(3－x 0)＋y 20<0，即x 20－3＋y 20<0.∵点M (x 0，y 0)在双曲线上，∴x 202－y 20＝1，即x 20＝2＋2y 20，∴2＋2y 20－3＋y 20<0，∴－33<y 0<33.故选A. 【答案】 A2．设O 为坐标原点，P 是以F 为焦点的抛物线y 2＝2px (p >0)上任意一点，M 是线段PF 上的点，且|PM |＝2|MF |，则直线OM 的斜率的最大值为( )A.33B ．23C.22D ．1【解析】如图所示，设P (x 0，y 0)(y 0>0)，则y 20＝2px 0，即x 0＝y 202p.设M (x ′，y ′)，由PM →＝2MF →，得⎩⎪⎨⎪⎧x ′－x 0＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2－x ′，y ′－y 0＝20－y ′，化简可得⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝p ＋x 03，y ′＝y3.∴直线OM 的斜率为k ＝y 03p ＋x 03＝y 0p ＋y 202p ＝2p 2p 2y 0＋y 0≤2p 22p 2＝22(当且仅当y 0＝2p 时取等号)．【答案】 C3．如图32，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为22，且右焦点F 到左准线l 的距离为3.图32(1)求椭圆的标准方程；(2)过F 的直线与椭圆交于A ，B 两点，线段AB 的垂直平分线分别交直线l 和AB 于点P ，C ，若PC ＝2AB ，求直线AB 的方程．【导学号：32550097】【解】 (1)由题意，得c a ＝22且c ＋a 2c＝3，解得a ＝2，c ＝1，则b ＝1，所以椭圆的标准方程为x 22＋y 2＝1. (2)当AB ⊥x 轴时，AB ＝2，又CP ＝3，不合题意．当AB 与x 轴不垂直时，设直线AB 的方程为y ＝k (x －1)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，将AB 的方程代入椭圆方程，得 (1＋2k 2)x 2－4k 2x ＋2(k 2－1)＝0，则x 1,2＝2k 2±21＋k21＋2k2，C 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2k 21＋2k 2，－k 1＋2k 2，且AB ＝x 2－x 12＋y 2－y 12＝1＋k2x 2－x 12＝221＋k 21＋2k2.若k ＝0，则线段AB 的垂直平分线为y 轴，与左准线平行，不合题意．从而k ≠0，故直线PC 的方程为 y ＋k1＋2k 2＝－1k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －2k 21＋2k 2，则P 点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，5k 2＋2k 1＋2k 2，从而PC ＝23k 2＋11＋k2|k |1＋2k2. 因为PC ＝2AB ，所以23k 2＋11＋k 2|k |1＋2k 2＝421＋k21＋2k2，解得k ＝±1.此时直线AB 的方程为y ＝x －1或y ＝－x ＋1.4．设椭圆E 的方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，点O 为坐标原点，点A 的坐标为(a,0)，点B的坐标为(0，b )，点M 在线段AB 上，满足|BM |＝2|MA |，直线OM 的斜率为510. (1)求E 的离心率e ；(2)设点C 的坐标为(0，－b )，N 为线段AC 的中点，点N 关于直线AB 的对称点的纵坐标为72，求E 的方程．【导学号：32550098】【解】 (1)由题设条件知，点M 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫23a ，13b ，又k OM ＝510，从而b 2a ＝510，进而得a ＝5b ，c ＝a 2－b 2＝2b ，故e ＝c a ＝255.(2)由题设条件和(1)的计算结果可得，直线AB 的方程为x5b ＋yb＝1，点N 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫52b ，－12b .设点N 关于直线AB 的对称点S 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1，72，则线段NS 的中点T 的坐标为 ⎝ ⎛⎭⎪⎫54b ＋x 12，－14b ＋74.又点T 在直线AB 上，且k NS ·k AB ＝－1，从而有⎩⎪⎨⎪⎧54b ＋x 125b ＋－14b ＋74b＝1，72＋12b x 1－52b ＝5，解得b ＝3.所以a ＝35，故椭圆E 的方程为x 245＋y 29＝1.5．如图33，设椭圆x 2a2＋y 2＝1(a >1)．图33(1)求直线y ＝kx ＋1被椭圆截得的线段长(用a ，k 表示)；(2)若任意以点A (0,1)为圆心的圆与椭圆至多有3个公共点，求椭圆离心率的取值范围．【解】 (1)设直线y ＝kx ＋1被椭圆截得的线段为AM ，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，x 2a2＋y 2＝1得(1＋a 2k 2)x 2＋2a 2kx ＝0，故x 1＝0，x 2＝－2a 2k 1＋a 2k2.因此|AM |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝2a 2|k |1＋a 2k2·1＋k 2. (2)假设圆与椭圆的公共点有4个，由对称性可设y 轴左侧的椭圆上有两个不同的点P ，Q ，满足|AP |＝|AQ |.记直线AP ，AQ 的斜率分别为k 1，k 2，且k 1，k 2>0，k 1≠k 2. 由(1)知，|AP |＝2a 2|k 1|1＋k 211＋a 2k 21， |AQ |＝2a 2|k 2|1＋k 221＋a 2k 22，故2a 2|k 1|1＋k 211＋a 2k 21＝2a 2|k 2|1＋k 221＋a 2k 22，所以(k 21－k 22)[1＋k 21＋k 22＋a 2(2－a 2)k 21k 22]＝0. 由于k 1≠k 2，k 1，k 2>0得 1＋k 21＋k 22＋a 2(2－a 2)k 21k 22＝0，因此⎝ ⎛⎭⎪⎫1k 21＋1⎝ ⎛⎭⎪⎫1k 22＋1＝1＋a 2(a 2－2)．①因为①式关于k 1，k 2的方程有解的充要条件是 1＋a 2(a 2－2)>1，所以a > 2.因此，任意以点A (0,1)为圆心的圆与椭圆至多有3个公共点的充要条件为1<a ≤ 2.由e ＝c a ＝a 2－1a ，得0<e ≤22.所求离心率的取值范围为0<e ≤22.。

1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

2016-2017学年高中数学第3章统计案例章末分层突破学案北师大版选修2-3[自我校对]①回归分析②独立性检验③相关系数④相互独立事件(1)散点图法，该法主要是用来直观地分析两变量间是否存在相关关系．(2)相关系数法，该法主要是从量上分析两个变量间相互联系的密切程度，|r|越接近于1，相关程度越大；|r|越接近于0，相关程度越小．下表是一位母亲给儿子作的成长记录：(2)如果年龄(3周岁～16周岁之间)相差5岁，其身高有多大差异？(3)如果身高相差20 cm ，其年龄相差多少？【精彩点拨】本例考查对两个变量进行回归分析．首先求出相关系数，根据相关系数的大小判断其是否线性相关，由此展开运算．【规范解答】 (1)设年龄为x ，身高为y ，则x ＝114(3＋4＋…＋15＋16)＝9.5，y ＝114(90.8＋97.6＋…＋167.5＋173.0)≈131.985 7，∑14i ＝1x 2i ＝1 491，∑14i ＝1y 2i ＝252 958.2，∑14i ＝1x i y i ＝18 990.6，14x y ≈17 554.1，∴∑14i ＝1x 2i －14(x )2＝227.5，∑14i ＝1y 2i －14(y )2≈9 075.05，∑14i ＝1x i y i －14x y ＝1 436.5，∴r ＝∑14i ＝1x i y i －14x y∑14i ＝1x 2i －14 x2∑14i ＝1y 2i －14 y2＝1 436.5227.5×9 075.05≈0.999 7.因此，年龄和身高之间具有较强的线性相关关系．(2)由(1)得b ＝∑14i ＝1x i y i －14x y∑14i ＝1x 2i －14 x2＝1 436.5227.5≈6.314， a ＝y －b x ＝131.985 7－6.314×9.5≈72，∴x 与y 的线性回归方程为y ＝6.314x ＋72.因此，如果年龄相差5岁，那么身高相差6.314×5＝31.57(cm)． (3)如果身高相差20 cm ，年龄相差206.314≈3.168≈3(岁)． [再练一题]1．某运动员训练次数与运动成绩之间的数据关系如下：(1)(2)求出回归直线方程；(3)计算相关系数并进行相关性检验； (4)试预测该运动员训练47次及55次的成绩．【解】 (1)作出该运动员训练次数x 与成绩y 之间的散点图，如图所示，由散点图可知，它们之间具有线性相关关系．(2)列表计算：由上表可求得x ＝39.25，y ＝40.875，∑i ＝18x 2i ＝12 656， ∑i ＝18y 2i ＝13 731，∑i ＝18x i y i ＝13 180，∴b ＝∑i ＝18x i y i －8x y∑i ＝18x 2i －8x 2≈1.041 5，a ＝y －b x ＝－0.003 88，∴回归直线方程为y ＝1.041 5x －0.003 88.(3)计算相关系数r ＝0.992 7，因此运动员的成绩和训练次数两个变量有较强的相关关系．(4)由上述分析可知，我们可用回归直线方程y ＝1.041 5x －0.003 88作为该运动员成绩的预报值．将x ＝47和x ＝55分别代入该方程可得y ≈49和y ≈57.故预测该运动员训练47次和55次的成绩分别为49和57.(1)找相关数据，作列联表． (2)求统计量χ2.(3)判断可能性，注意与临界值做比较，得出事件有关的可信度．考察黄烟经过药物处理跟发生青花病的关系，得到如下数据：在试验的470株黄烟中，经过药物处理的黄烟有25株发生青花病，60株没有发生青花病；未经过药物处理的有185株发生青花病，200株没有发生青花病．试推断经过药物处理跟发生青花病是否有关系．【精彩点拨】提出假设，根据2×2列联表求出χ2，从而进行判断．【规范解答】由已知得到下表：根据2×2列联表中的数据，可以求得χ2＝470× 25×200－185×602210×260×85×385≈9.788.因为χ2＞7.879，所以我们有99.5%的把握认为经过药物处理跟发生青花病是有关系的． [再练一题]2．某学校高三年级有学生1 000名，经调查研究，其中750名同学经常参加体育锻炼(称为A 类同学)，另外250名同学不经常参加体育锻炼(称为B 类同学)．现用分层抽样方法(按A 类、B 类分两层)从该年级的学生中共抽查100名同学，如果以身高达165 cm 作为达标的标准，对抽取的100名学生，得到以下列联表：体育锻炼与身高达标2×2列联表(2)请问体育锻炼与身高达标是否有关系(χ2值精确到0.01)?参考公式：χ2＝n ad －bc 2 a ＋b c ＋d a ＋c b ＋d.【解】 (1)χ2＝100× 40×15－35×10 275×25×50×50≈1.33＜2.706，所以没有充分的理由说明体育锻炼与身高达标有关系.1．(2015·湖北高考)已知变量x 和y 满足关系y ＝－0.1x ＋1，变量y 与z 正相关．下列结论中正确的是( )A ．x 与y 正相关，x 与z 负相关B ．x 与y 正相关，x 与z 正相关C ．x 与y 负相关，x 与z 负相关D ．x 与y 负相关，x 与z 正相关【解析】因为y ＝－0.1x ＋1的斜率小于0，故x 与y 负相关．因为y 与z 正相关，可设z ＝by ＋a ，b >0，则z ＝by ＋a ＝－0.1bx ＋b ＋a ，故x 与z 负相关．【答案】 C2．(2015·福建高考)为了解某社区居民的家庭年收入与年支出的关系，随机调查了该社区5户家庭，得到如下统计数据表：根据上表可得回归直线方程y ＝bx ＋a ，其中b ＝0.76，a ＝y －b x .据此估计，该社区一户年收入为15万元家庭的年支出为( )A ．11.4万元B ．11.8万元C ．12.0万元D ．12.2万元【解析】由题意知，x ＝8.2＋8.6＋10.0＋11.3＋11.95＝10，y ＝6.2＋7.5＋8.0＋8.5＋9.85＝8，∴a ＝8－0.76×10＝0.4，∴当x ＝15时，y ＝0.76×15＋0.4＝11.8(万元)．【答案】 B3．(2014·湖北高考)根据如下样本数据得到的回归方程为y ＝bx ＋a ，则( ) A ．a ＞0，b ＜0 B ．a ＞0，b ＞0 C ．a ＜0，b ＜0D ．a ＜0，b ＞0【解析】作出散点图如下：观察图象可知，回归直线y ^＝bx ＋a 的斜率b ＜0，当x ＝0时，y ^＝a ＞0.故a ＞0，b ＜0. 【答案】 A4．(2016·全国卷Ⅲ)如图31是我国2008年至2014年生活垃圾无害化处理量(单位：亿吨)的折线图．注：年份代码1～7分别对应年份2008～2014.图31(1)由折线图看出，可用线性回归模型拟合y 与t 的关系，请用相关系数加以说明； (2)建立y 关于t 的回归方程(系数精确到0.01)，预测2016年我国生活垃圾无害化处理量．附注：参考数据：∑ 7i ＝1y i ＝9.32，∑ 7i ＝1t i y i ＝40.17，∑ 7i ＝1y i －y 2＝0.55，7≈2.646.参考公式：相关系数r ＝∑ ni ＝1 t i －t y i －y∑ ni ＝1t i －t 2∑ ni ＝1y i －y2，回归方程y ^＝a ＋bt中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为b ＝∑ ni ＝1t i －t y i －y∑ ni ＝1t i －t2，a ＝y －－b t .【解】 (1)由折线图中的数据和附注中的参考数据得t ＝4，∑ 7i ＝1(t i －t )2＝28，∑ 7i ＝1y i －y 2＝0.55，∑ 7i ＝1(t i －t )(y i －y )＝∑ 7i ＝1t i y i －t ∑ 7i ＝1y i ＝40.17－4×9.32＝2.89，∴r ≈ 2.890.55×2×2.646≈0.99.因为y 与t 的相关系数近似为0.99，说明y 与t 的线性相关程度相当大，从而可以用线性回归模型拟合y 与t 的关系．(2)由y ＝9.327≈1.331及(1)得b ＝∑ 7i ＝1t i －t y i －y∑ 7i ＝1t i －t2＝2.8928≈0.103. a ＝y －b t ≈1.331－0.103×4≈0.92.所以y 关于t 的回归方程为y ^＝0.92＋0.10t .将2016年对应的t ＝9代入回归方程得y ^＝0.92＋0.10×9＝1.82. 所以预测2016年我国生活垃圾无害化处理量约为1.82亿吨．。

2016-2017学年高中数学第3章统计案例章末分层突破学案北师大版选修2-3资料

高中数学第3章统计案例章末复习课学案北师大版选修2_3

高中数学第三章统计案例章末小结知识整合与阶段检测教学案北师大版选修2_334

【创新设计】-高中数学 第三章 统计案例章末质量评估 北师大版选修2-3

高中数学 第三章 统计案例教案 北师大版选修23