2013深圳一模数学文试题及答案

2013年深圳市高三年级第一次调研考试数学（文科）2013.2一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知i为虚数单位，则2-=(1)iA.2iB.2i- C.2 D.2-20．（本题满分14分）已知椭圆C 的中心为原点O ，焦点在x2，且点1,2（在该椭圆上． （1）求椭圆C 的方程；（2）如图，椭圆C 的长轴为AB ，设P 是椭圆上异于A 、B 的任意一点，PH x ⊥轴，H 为垂足，点Q 满足PQ H P =，直线AQ 与过点B 且垂直于x 轴的直线交于点M ，4BM BN =．求证：OQN ∠为锐角．（第20题图）21．（本小题满分14分）已知函数2ln , , 1x f x a x x a b a b a =+-- ∈>R （）（），e 是自然对数的底数． （1）试判断函数f x （）在区间0, +∞（）上的单调性； （2）当e a =，4b =时，求整数k 的值，使得函数f x （）在区间, 1k k +（）上存在零点； （3）若存在12, 1, 1x x ∈-[]，使得12||e 1f x f x -≥-（）（），试求a 的取值范围．2013年深圳市高三年级第一次调研考试数学（文科）答案及评分标准说明：一、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．二、对计算题当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 四、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分数．二、填空题：本大题每小题5分；第14、15两小题中选做一题，如果两题都做，以第14题的得分为最后得分)，满分20分．11．63. 12．[26]，. 13．53． 14．5． 15．三、解答题：本大题6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．16．（本小题满分12分）在平面直角坐标系xOy 中，2sin ,1M θ（ ），21,2cos N θ-（ ）（θ∈R ），且32OM ON ⋅=-.（1）求点,M N 的坐标；（2）若角,αβ的顶点都为坐标原点且始边都与x 轴的非负半轴重合，终边分别经过点,M N ，求t a n αβ+()的值.解：(1) 3,2O M O N ⋅=- 223sin 2cos ,2θθ∴-=- ………………….2分223sin 2(1sin ),2θθ∴--=-解得21sin 6θ=，25cos 6θ=所以1(,1)6M ，5(1,)3N - ………………….6分（2）由（1）可知1(,1)6M ，5(1,)3N -tan 6α∴=，5tan 3β=-……………………………….10分tan tan tan()1tan tan αβαβαβ+∴+=-⋅ 563516()3-=-⨯-1333=……………………………….12分【说明】 本小题主要考查了同角三角函数的关系、三角函数的定义、两角和正切公式，以及向量的有关知识.考查了运算能力． 17．（本小题满分12分）一次考试中，五名学生的数学、物理成绩如下表所示：（1）要从5名学生中选2人参加一项活动，求选中的学生中至少有一人的物理成绩高于90分的概率； （2）请在所给的直角坐标系中画出它们的散点图，并求这些数据的线性回归方程ˆy bx a =+．解：（1）从5名学生中任取2名学生的所有情况为:45(,)A A 、41(,)A A 、42(,)A A 、43(,)A A 、51(,)A A 、52(,)A A 、53(,)A A 、12(,)A A 、13(,)A A 、23(,)A A 共种情10况.………3分其中至少有一人物理成绩高于90分的情况有：45(,)A A 、41(,)A A 、42(,)A A 、43(,)A A 、51(,)A A 、52(,)A A 、53(,)A A 共7种情况，故上述抽取的5人中选2人，选中的学生的物理成绩至少有一人的成绩高于90分的概率7P 10=.…………………………………………5分（2）散点图如右所示. ……………………………………………6分可求得： x =59795939189++++=93，y =59392898987++++=90， ……………………………………………8分51()()30ii i xx y y =--=∑∑=-51i 2i)x x(=22222420)2()4(+++-+-=40，3040b ==0.75，a yb x =-=20.25， ……………………………………………11分故y 关于x 的线性回归方程是：ˆ0.7520.25yx =+. ……………………………………………12分 【说明】 本题主要考查了古典概型和线性回归方程等知识，考查了学生的数据处理能力和应用意识． 18．（本小题满分14分）如图甲，O ⊙的直径2AB =，圆上两点C D 、在直径AB 的两侧，使4C AB π∠=，3D AB π∠=．沿直径AB折起，使两个半圆所在的平面互相垂直（如图乙），F 为BC 的中点，E 为A O 的中点．根据图乙解答下列各题：（1）求三棱锥C B O D -的体积； （2）求证：C B D E ⊥；（3）在 BD 上是否存在一点G ，使得//F G 平面A C D ？若存在，试确定点G 的位置；若不存在，请说明理由．解:（1）C 为圆周上一点，且A B 为直径，90C ∴∠=︒,4C A B π∠= ,AC BC ∴=∵O 为A B 中点，C O A B ∴⊥，2,1AB CO =∴= .∵两个半圆所在平面AC B 与平面AD B 互相垂直且其交线为A B ， ∴C O ⊥平面ABD ，C O ∴⊥平面B O D . ∴C O 就是点C 到平面B O D 的距离，A BCOD·(第18题图甲)A BFO D·(第18题图乙)·E G在R t A B D ∆中，11112224BO D ABD S S ∆∆==⨯⨯⨯=，11133412C BOD BO D V S C O -∆∴=⋅=⨯=. ………………………………………4分（2）在A O D ∆中，60,,OAD OA OD ∠=︒=A O D ∴∆为正三角形，又E 为O A 的中点，D E A O ∴⊥，∵两个半圆所在平面AC B 与平面AD B 互相垂直且其交线为A B ， D E ∴⊥平面ABC .∴C B D E ⊥. ………………………………………9分 （3）存在，G 为 BD的中点.证明如下： 连接,,OG OF FG ， ∴O G B D ⊥，∵A B 为⊙O 的直径， ∴AD BD ⊥∴//O G A D ，O G ⊄平面A C D ，A D ⊂平面A C D ， ∴O G //平面A C D .在A B C ∆中，,O F 分别为,AB BC 的中点，//O F A C ∴，O F ⊄平面A C D ，//O F ∴平面A C D ，,OG OF O =∴平面//O F G 平面A C D ，又F G ⊂平面O FG ，//F G ∴平面A C D .………………………………………14分【说明】本题主要考察空间点、线、面位置关系，考查空间想象能力、运算能力和逻辑推理能力． 19．（本题满分14分）设{}n a 是公比大于1的等比数列，n S 为数列{}n a 的前n 项和．已知37S =，且23a 是13a +和34a +的等差中项．（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设111nn n n a b a a +=++()()，数列{}n b 的前n 项和为n T ，求证：12n T <．解：（1）由已知，得1231327(3)(4)3.2a a a a a a ++=⎧⎪⎨+++=⎪⎩，………………………………………3分解得22a =．设数列{}n a 的公比为q ，则12a q =，∴213122a a a q q q===，．由37S =，可知2227q q++=，∴22520q q -+=， 解得12122q q ==，．由题意，得12q q >∴=，． …………………………………………………5分 ∴11a =．故数列{}n a 的通项为12n n a -=． …………………………………………………7分(2)∵1(1)(1)nn n n a b a a +=++112(21)(21)n n n--=++1112121n n-=-++， …………11分∴n S 112231111111111121212121212121n n-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-++- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪++++++++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 111121n=-++11221n=-+12<.……………………………………………14分【说明】考查了等差数列、等比数列的概念及其性质，考查了数列求和的“裂项相消法”；考查了学生的运算能力和思维能力． 20．（本题满分14分）已知椭圆C 的中心为原点O ，焦点在x2，且点1,2（ 在该椭圆上．（1）求椭圆C 的方程；（2）如图，椭圆C 的长轴为AB ，设P 是椭圆上异于A 、B 的任意一点，PH x ⊥轴，H 为垂足，点Q 满足PQ H P=，直线AQ 与过点B 且垂直于x 轴的直线交于点M ，4BM BN=．求证：OQN ∠为锐角．（第20题图）20．解：（1）设椭圆C 的方程为22221,(0)x y a b ab+=>>，由题意可得2c e a==,又222c b a +=，∴224b a =. …………………………………………2分∵椭圆C经过(1,2，代入椭圆方程有2231414b b+=，解得21b =. …………………………………………5分 ∴24a =，故椭圆C 的方程为2214xy +=. …………………………………………6分（2）设()00,P x y 0(22)x -<<， …………………………………………7分 ∵()2,0A -， ∵PQ HP =， ∴()00,2Q x y ， ∴直线AQ 的方程为()00222y y x x =++． …………………………………………9分令2x =，得0082,2y M x ⎛⎫⎪+⎝⎭． ∵()2,0B ，4BM BN =，∴002,2y N x ⎛⎫ ⎪+⎝⎭． ∴()00,2Q O x y =--，00002(1)2,2y x Q N x x ⎛⎫-+=- ⎪+⎝⎭．∴()()2000000000002(1)4(1)2(2)222y x y x QO QN x x y x x x x -++⋅=--+-⋅=-+++ ∵220014x y +=，∴220044y x =-∴02QO QN x ⋅=- …………………………………………12分∵022x -<<，∴020QO QN x ⋅=-> ．又O 、Q 、N 不在同一条直线，∴OQN ∠为锐角. …………………………………………………14分【说明】本题主要考查椭圆的方程与性质、向量等基础知识，考查学生运算能力、推理论证以及分析问题、解决问题的能力．21．（本小题满分14分）已知函数2ln , , 1x f x a x x a b a b a =+-- ∈>R （）（），e 是自然对数的底数． （1）试判断函数f x （）在区间0, +∞（）上的单调性； （2）当e a =，4b =时，求整数k 的值，使得函数f x （）在区间, 1k k +（）上存在零点； （3）若存在12, 1, 1x x ∈-[]，使得12||e 1f x f x -≥-（）（），试求a 的取值范围．解：（1）()ln 2ln 2(1)ln x x f x a a x a x a a '=+-=+- …………………………1分由于1a >，故当(0,)x ∈+∞时，ln 0,10x a a >->，所以()0f x '>，…………2分故函数()f x 在(0,)+∞上单调递增 . …………………………………………3分（2）2()4x f x e x x =+--，'()21x f x e x ∴=+-，(0)0f '∴=， ……………………………………4分当0x >时，1x e >，()0f x '∴>，故()f x 是(0,)+∞上的增函数；同理，()f x 是(,0)-∞上的减函数. …………………………………5分2(0)30,(1)40,(2)20f f e f e =-<=-<=->，当2x >，()0f x >， 故当0x >时，函数()f x 的零点在(1,2)内，1k ∴=满足条件；211(0)30,(1)20,(2)20f f f e e =-<-=-<-=+>，当2x <-，()0f x >，故当0x <时，函数()f x 的零点在(2,1)--内，2k ∴=-满足条件.综上所述 1k =或2-. ………………………………………7分（3）2()ln x f x a x x a b =+--，因为存在12,[1,1]x x ∈-，使得12|()()|1f x f x e -≥-，所以当[1,1]x ∈-时，m a x m i n m a x |()()|()()1fx f x f x f x e -=-≥- …………………………8分()ln 2ln 2(1)ln x x f x a a x a x a a '=+-=+-，①当0x >时，由1a >，可知10x a ->，ln 0a >，∴()0f x '>；②当0x <时，由1a >，可知 10x a -<，ln 0a >，∴()0f x '<；③当0x =时，()0f x '=.∴()f x 在[1,0]-上递减，在[0,1]上递增，…………………………………11分∴当[1,1]x ∈-时，{}min max ()(0)1,()max (1),(1)f x f b f x f f ==-=-， 而11(1)(1)(1ln )(1ln )2ln f f a a b a b a a a a --=+---++-=--， 设1()2ln (0)g t t t t t =-->，因为22121()1(1)0g t t t t '=+-=-≥（当1t =时取等号）， ∴1()2ln g t t t t =--在(0,)t ∈+∞上单调递增，而(1)0g =，∴当1t >时，()0g t >，∴当1a >时，12ln 0a a a -->，∴(1)(1)f f >-，∴(1)(0)1f f e -≥-，∴ln 1a a e -≥-，即ln ln a a e e -≥-，设()ln (1)h a a a a =->，则11()10a h a a a -'=-=>.∴函数()ln (1)h a a a a =->在(1,)+∞上为增函数，∴a e ≥.即a 的取值范围是[),e +∞……………………………………14分【说明】本小题主要考查函数、导数、不等式证明等知识,通过运用导数知识解决函数、不等式问题,考查考生综合运用数学知识解决问题的能力，同时也考查函数与方程思想、化归与转化思想.。