最新北师大版八年级上学期数学《期末考试卷》附答案

2021年北师大版数学八年级上学期期末测试学校________ 班级________ 姓名________ 成绩________一、选择题(每小题3分，共30分)1.9的算术平方根是( )A. ±3B. ﹣3C. 3D. ±812.在平面直角坐标系中，点P (–2，–3)在( )A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限3.以下列三个数据为三角形的三边，其中能构成直角三角形的是( )A. 2，3，4B. 4，5，6C. 5，12，13D. 5，6，74.已知a ，b ，c 均为实数，若a ＞b ，c ≠0．下列结论不一定正确的是( )A. a +c ＞b +cB. a 2＞abC. 22a b c c >D. c ﹣a ＜c ﹣b5.对于函数y ＝﹣2x +1，下列结论正确的是( )A. 它的图象必经过点(﹣1，3)B. 它的图象经过第一、二、三象限C. 当12x >时，y ＞0 D. y 值随x 值的增大而增大 6.已知21x y =⎧⎨=⎩ 是方程组 121ax y x by +=-⎧⎨-=⎩ 的解，则a+b 的值为 ( ) A. 2 B. -2 C. 4 D. -47.若x ＝37﹣4，则x 的取值范围是( )A. 2＜x ＜3B. 3＜x ＜4C. 4＜x ＜5D. 5＜x ＜68.下面四条直线，可能是一次函数y ＝kx ﹣k (k ≠0)图象是( )A. B.C. D.9.下列命题是真命题的是( )A. 中位数就是一组数据中最中间的一个数B. 计算两组数的方差，得S 甲2＝0.39，S 乙2＝0.25，则甲组数据比乙组数据波动小C. 一组数据的众数可以不唯一D. 一组数据的标准差就是这组数据的方差的平方根10.在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AB ＝10cm ，AB 边上的高为4cm ，则Rt △ABC 的周长为( )cm ．A. 24B. 65C. 35+10D. 65+10二、填空题(每小题4分，共16分) 11.3-的相反数是_____，8的立方根是_____． 12.已知点A(﹣1，a)，B(2，b )在函数y=﹣3x+4的图象上，则a 与b 的大小关系是_____．13.如图所示的圆柱体中底面圆的半径是2π，高为3，若一只小虫从A 点出发沿着圆柱体的侧面爬行到C 点，则小虫爬行的最短路程是___．(结果保留根号)14.如图，已知函数y=ax+b 和y=cx+d 的图象交于点M ，则根据图象可知，关于x ，y 的二元一次方程组{y ax by cx d =+=+的解为______．三、解答题(共54分)15.计算下列各题：(138272-+(2)132715)3|53|3--÷+- 16.计算题：(1)解方程组：3213410x y x y -=⎧⎨+=⎩． (2)解不等式组4125102(23)3(1)12x x x x -≥-⎧⎨--+≥-⎩(并把解集在数轴上表示出来)．17.已知；如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠BAD，∠ADC的平分线AE、DF分别与线段BC相交于点E、F，AE与DF相交于点G，求证：AE⊥DF．18.某中学10月份召开了校运动会，需要购买奖品进行表彰，学校工作人员到某商场标价购买了甲种商品25件，乙种商品26件，共花费了2800元；回学校后发现少买了2件甲商品和1件乙种商品，于是马上到该商场花了170元把少买的商品买回．(1)分别求出甲、乙两种商品的标价．(2)若元旦前，学校准备为全校教职工购买甲、乙两种商品作为慰问品，需要购买甲、乙两种商品共200件，请求出总费用w(元)与甲种商品a(件)之间的函数关系式(不需要求出自变量取值范围)19.为了提高学生阅读能力，我区某校倡议八年级学生利用双休日加强课外阅读，为了解同学们阅读的情况，学校随机抽查了部分同学周末阅读时间，并且得到数据绘制了不完整的统计图，根据图中信息回答下列问题：(1)将条形统计图补充完整；被调查的学生周末阅读时间众数是小时，中位数是小时；(2)计算被调查学生阅读时间的平均数；(3)该校八年级共有500人，试估计周末阅读时间不低于1.5小时的人数．20.如图，已知直线AB：y＝﹣x+4与直线AC交于点A，与x轴交于点B，且直线AC过点C(﹣2，0)和点D(0，1)，连接BD．(1)求直线AC的解析式；(2)求交点A的坐标，并求出△ABD的面积；(3)在x轴上是否存在一点P，使得AP+PD的值最小？若存在，求出点P；若不存在，请说明理由．四、填空题(每小题4分，共20分)21.函数31xyx+=-中，自变量x的取值范围是_____．22.将一张长方形纸片按图中方式折叠，若∠2＝65°，则∠1的度数为_____．23.若x＝2﹣1，则x3+x2﹣3x+2019的值为____．24.如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣12x+6分别与x轴，y轴交于点B，C且与直线y＝12x交于点A，点D是直线OA上的点，当△ACD为直角三角形时，则点D的坐标为___．25.把自然数按如图的次序排列在直角坐标系中，每个点坐标就对应着一个自然数，例如点(0，0)对应的自然数是1，点(1，2)对应的自然数是14，那么点(1，4)对应的自然数是____；点(n，n)对应的自然数是____.五、解答题(共30分)26.已知A ，B 两地相距120km ，甲，乙两人分别从两地出发相向而行，甲先出发，中途加油休息一段时间，然后以原来的速度继续前进，两人离A 地的距离y (km )与甲出发时间x (h )的关系式如图所示，请结合图象解答下列问题：(1)甲行驶过程中的速度是多少km /h ，途中休息的时间为多少h ．(2)求甲加油后y 与x 的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围；(3)甲出发多少小时两人恰好相距10km ？27.已知△ABC 是等边三角形，点D 是直线AB 上一点，延长CB 到点E ，使BE ＝AD ，连接DE ，DC ，(1)若点D 在线段AB 上，且AB ＝6，AD ＝2(如图①)，求证：DE ＝DC ；并求出此时CD 的长；(2)若点D 在线段AB 的延长线上，(如图②)，此时是否仍有DE ＝DC ？请证明你的结论；(3)在(2)的条件下，连接AE ，若23AB AD ，求CD ：AE 的值．28.如图，已知长方形OABC 的顶点O 在坐标原点，A 、C 分别在x 、y 轴的正半轴上，顶点B(8，6)，直线y ＝﹣x+b 经过点A 交BC 于D 、交y 轴于点M ，点P 是AD 的中点，直线OP 交AB 于点E(1)求点D 的坐标及直线OP 的解析式；(2)求△ODP 的面积，并在直线AD 上找一点N ，使△AEN 的面积等于△ODP 的面积，请求出点N 的坐标.(3)在x 轴上有一点T(t ，0)(5＜t ＜8)，过点T 作x 轴的垂线，分别交直线OE 、AD 于点F 、G ，在线段AE 上是否存在一点Q ，使得△FGQ 为等腰直角三角形，若存在，请求出点Q 的坐标及相应的t 的值；若不存在，请说明理由.答案与解析一、选择题(每小题3分，共30分)1.9的算术平方根是( )A. ±3B. ﹣3C. 3D. ±81【答案】C【解析】【分析】如果一个非负数x的平方等于a，那么x是a的算术平方根，根据此定义即可求出结果．【详解】解：∵32＝9，∴9算术平方根为3．故选C．【点睛】本题考查算术平方根，解题的关键是正确区别算术平方根与平方根的定义．2.在平面直角坐标系中，点P(–2，–3)在()A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】C【解析】【分析】应先判断出点P的横纵坐标的符号，进而判断其所在的象限．【详解】解：∵点P的横坐标-2＜0，纵坐标为-3＜0，∴点P(-2，-3)在第三象限．故选：C．【点睛】本题主要考查了平面直角坐标系中各个象限的点的坐标的符号特点．四个象限的符号特点分别是：第一象限(+，+)；第二象限(-，+)；第三象限(-，-)；第四象限(+，-)．3.以下列三个数据为三角形的三边，其中能构成直角三角形的是( )A. 2，3，4B. 4，5，6C. 5，12，13D. 5，6，7【答案】C【解析】【分析】根据勾股定理的逆定理：如果三角形有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形判定即可．【详解】解：A 、22+32≠42，故不能构成直角三角形；B 、42+52≠62，故不能构成直角三角形；C 、52+122＝132，故能构成直角三角形；D 、52+62≠72，故不能构成直角三角形．故选C ．【点睛】本题考查勾股定理的逆定理，在应用勾股定理的逆定理时，应先认真分析所给边的大小关系，确定最大边后，再验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系，进而作出判断．4.已知a ，b ，c 均为实数，若a ＞b ，c ≠0．下列结论不一定正确的是( )A. a +c ＞b +cB. a 2＞abC. 22a b c c >D. c ﹣a ＜c ﹣b【答案】B【解析】【分析】依据不等式的基本性质进行判断，即可得到答案．【详解】解：∵a ＞b ，c ≠0，∴﹣a ＜﹣b ，∴a +c ＞b +c ，故A 选项正确； 22a b c c＞ ，故C 选项正确； c ﹣a ＜c ﹣b ，故D 选项正确；又∵a 的符号不确定，∴a 2＞ab 不一定成立．故选B ．【点睛】本题考查不等式的性质，在不等式的两边都乘以(或除以)同一个负数时，一定要改变不等号的方向；当不等式的两边要乘以(或除以)含有字母的数时，一定要对字母是否大于0进行分类讨论． 5.对于函数y ＝﹣2x +1，下列结论正确的是( )A. 它的图象必经过点(﹣1，3)B. 它的图象经过第一、二、三象限C. 当12x >时，y ＞0 D. y 值随x 值的增大而增大【答案】A【解析】【分析】根据一次函数图象上点的坐标特征和一次函数的性质依次判断，可得解．【详解】解：当x＝﹣1时，y＝3，故A选项正确，∵函数y＝-2x+1图象经过第一、二、四象限，y随x的增大而减小，∴B、D选项错误，∵y＞0，∴﹣2x+1＞0∴x＜12，∴C选项错误．故选A．【点睛】本题考查一次函数图象上点的坐标特征，一次函数的性质，熟练掌握一次函数的性质是解题的关键．6.已知21xy=⎧⎨=⎩是方程组121ax yx by+=-⎧⎨-=⎩的解，则a+b的值为()A. 2B. -2C. 4D. -4 【答案】B【解析】【详解】∵2{1xy==是方程组1{20ax yx by+=--=①②的解∴将2{1xy==代入①，得a+2=−1，∴a=−3.把2{1xy==代入②，得2−2b=0，∴b=1.∴a+b=−3+1=−2.故选B.7.若x﹣4，则x取值范围是()A. 2＜x＜3B. 3＜x＜4C. 4＜x＜5D. 5＜x＜6 【答案】A【解析】【分析】根据36＜37＜49，则有6＜7，即可得到x的取值范围．【详解】∵36＜37＜49，∴6＜37＜7，∴2＜37﹣4＜3，故x的取值范围是2＜x＜3．故选A．【点睛】本题考查了估算无理数的大小：利用完全平方数和算术平方根对无理数的大小进行估算．8.下面四条直线，可能是一次函数y＝kx﹣k(k≠0)的图象是( )A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据一次函数的性质，利用分类讨论的方法可以判断哪个选项中的图象符合要求．【详解】解：∵一次函数y＝kx﹣k(k≠0)，∴当k＞0时，函数图象在第一、三、四象限，故选项A错误，选项D正确，当k＜0时，函数图象在第一、二、四象限，故选项B、C错误，故选D．【点睛】本题考查一次函数的图象，解题的关键是明确题意，利用一次函数的性质解答．9.下列命题是真命题的是( )A. 中位数就是一组数据中最中间的一个数B. 计算两组数的方差，得S甲2＝0.39，S乙2＝0.25，则甲组数据比乙组数据波动小C. 一组数据的众数可以不唯一D. 一组数据的标准差就是这组数据的方差的平方根【答案】C【解析】【分析】直接利用方差的意义以及众数的定义和中位数的意义分别分析得出答案．【详解】解：A、中位数就是一组数据中最中间的一个数或着是中间两个数的平均数，故错误；B、计算两组数的方差，所S甲2＝0.39，S乙2＝0.25，则甲组数据比乙组数据波动大；故错误；C、一组数据的众数可以不唯一，故正确；D 、一组数据的标准差就是这组数据的方差的算术平方根，故错误．故选C ．【点睛】本题考查中位数的意义以及众数和方差，正确把握相关定义是解题的关键．10.在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AB ＝10cm ，AB 边上的高为4cm ，则Rt △ABC 的周长为( )cm ．A. 24B. 65C. 35+10D. 65+10【答案】D【解析】【分析】根据勾股定理、三角形的面积公式求出22AC BC +和2AC BC ⋅⋅，根据完全平方公式求出AC BC +，根据三角形的周长公式计算即可. 【详解】由勾股定理得，222100AC BC AB +==，由三角形的面积公式可知，112022AC BC AB CD ⋅⋅=⋅⋅=， ∴280AC BC ⋅⋅=，则()2222180AC BC AC BC AC BC +=++⋅⋅=，解得，65AC BC += ∴Rt ABC 的周长6510AC BC AB =++=.故选D .【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，如果直角三角形的两条直角边长分别是a 、b ，斜边长为c ，那么222+=a b c .二、填空题(每小题4分，共16分)11.3_____，8的立方根是_____．【答案】(1).33；(2). 2．【解析】【分析】直接利用相反数以及立方根的性质计算得出答案．【详解】解：﹣3的相反数是：3；8的立方根是：2．故答案为3；2．【点睛】本题考查相反数的性质以及立方根，正确把握相关性质是解题的关键．12.已知点A(﹣1，a)，B(2，b)在函数y=﹣3x+4的图象上，则a与b的大小关系是_____．【答案】a＞b【解析】试题解析：∵点A(-1，a)，B(2，b)在函数y=-3x+4的图象上，∴a=3+4=7，b=-6+4=-2，∵7＞-2，∴a＞b．故答案为a＞b．13.如图所示的圆柱体中底面圆的半径是2，高为3，若一只小虫从A点出发沿着圆柱体的侧面爬行到C点，则小虫爬行的最短路程是___．(结果保留根号)13【解析】【分析】先将侧面展开，再根据两点之间线段最短，由勾股定理可得出．【详解】解：圆柱的侧面展开图是一个矩形，此矩形的长等于圆柱底面周长，C是边的中点，矩形的宽等于圆柱的高．∵AB ＝π•2π＝2，CB ＝3． ∴AC ＝22AB BC =13+ ．故答案为13 ．【点睛】本题考查平面展开图最短路径问题，此矩形的长等于圆柱底面周长，矩形的宽等于圆柱的高．本题就是把圆柱的侧面展开成矩形，“化曲面为平面”，用勾股定理解决．14.如图，已知函数y=ax+b 和y=cx+d 的图象交于点M ，则根据图象可知，关于x ，y 的二元一次方程组{y ax by cx d =+=+的解为______．【答案】23x y =-⎧⎨=⎩ 【解析】由图可知：直线y=ax+b 和直线y=cx+d 的交点坐标为(-2，3)；因此方程组23y ax b x y cx d y =+=-⎧⎧⎨⎨=+=⎩⎩的解为： 三、解答题(共54分)15.计算下列各题：(138272-+(2)132715)3|53|3--÷+-【答案】(1)2﹣3；(2)﹣．【解析】【分析】(1)直接利用算术平方根以及立方根的性质分别化简得出答案；(2)直接利用二次根式的性质分别化简得出答案．【详解】解：(1＝﹣＝2﹣3；(2)3÷﹣(＝﹣故答案为(1﹣3；(2)﹣【点睛】本题考查二次根式的混合运算，正确化简二次根式是解题的关键．16.计算题：(1)解方程组：3213 410x yx y-=⎧⎨+=⎩．(2)解不等式组4125102(23)3(1)12x xx x-≥-⎧⎨--+≥-⎩(并把解集在数轴上表示出来)．【答案】(1)32xy=⎧⎨=-⎩；(2)﹣3≤x≤﹣2，将不等式组的解集表示在数轴上见解析.【解析】【分析】(1)利用加减消元法求解可得；(2)分别解出两个不等式的解集，再根据“大小小大中间找”确定不等式组的解集即可．【详解】解：(1)3213410x yx y-=⎧⎨+=⎩①②，②×2得：8x+2y＝20 ③，①+③，得：11x＝33，解得x＝3，将x＝3代入②，得：12+y＝10，解得y＝﹣2，所以方程组的解为32xy=⎧⎨=-⎩；(2)解不等式4x﹣12≥5x﹣10，得：x≤﹣2，解不等式2(2x﹣3)﹣3(x+1)≥﹣12，得：x≥﹣3，则不等式组的解集为﹣3≤x≤﹣2，将不等式组的解集表示在数轴上如下：故答案为(1)32xy=⎧⎨=-⎩；(2)﹣3≤x≤﹣2，将不等式组的解集表示在数轴上见解析.【点睛】本题考查二元一次方程组，一元一次不等式(组)的解法，解题的关键是掌握不等式组解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到．17.已知；如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠BAD，∠ADC的平分线AE、DF分别与线段BC相交于点E、F，AE与DF相交于点G，求证：AE⊥DF．【答案】证明见解析.【解析】【分析】已知AB∥DC，根据平行线的性质得到∠BAD+∠ADC＝180°；再根据角平分线的定义，证得∠DAE+∠ADF＝90°，即可得到∠AGD＝90°，由此结论得证．【详解】证明：∵AB∥DC，∴∠BAD+∠ADC＝180°．∵AE，DF分别是∠BAD，∠ADC的平分线，∴∠DAE＝∠BAE＝12∠BAD，∠ADF＝∠CDF＝12∠ADC．∴∠DAE+∠ADF＝12∠BAD+12∠ADC＝90°．∴∠AGD＝90°．∴AE⊥DF．【点睛】本题考查了平行线的性质以及角平分线的定义的运用．熟练运用平行线的性质是解决问题的关键．18.某中学10月份召开了校运动会，需要购买奖品进行表彰，学校工作人员到某商场标价购买了甲种商品25件，乙种商品26件，共花费了2800元；回学校后发现少买了2件甲商品和1件乙种商品，于是马上到该商场花了170元把少买的商品买回．(1)分别求出甲、乙两种商品的标价．(2)若元旦前，学校准备为全校教职工购买甲、乙两种商品作为慰问品，需要购买甲、乙两种商品共200件，请求出总费用w(元)与甲种商品a(件)之间的函数关系式(不需要求出自变量取值范围)【答案】(1)甲种商品的标价为每件60元，乙种商品的标价为每件50元；(2)w＝10a+10000．【解析】【分析】(1)设甲种商品的标价为每件x元，根据买2件甲商品和1件乙种商品花了170元，可得乙种商品的标价为每件(170-2x)元，再根据买了甲种商品25件，乙种商品26件，共花费了2800元列出方程，求解即可；(2)根据总费用=甲种商品的单价×甲种商品的数量+乙种商品的单价×乙种商品的数量列式即可．【详解】解：(1)设甲种商品的标价为每件x元，则乙种商品的标价为每件(170﹣2x)元，根据题意得，25x+26(170﹣2x)＝2800，解得x＝60，则170﹣2×60＝50．答：甲种商品的标价为每件60元，乙种商品的标价为每件50元；(2)由题意，可得w＝60a+50(200﹣a)，化简得，w＝10a+10000．故答案为(1)甲种商品的标价为每件60元，乙种商品的标价为每件50元；(2)w＝10a+10000．【点睛】本题考查一次函数的应用，一元一次方程的应用，正确求出甲、乙两种商品的单价是解题的关键．19.为了提高学生阅读能力，我区某校倡议八年级学生利用双休日加强课外阅读，为了解同学们阅读的情况，学校随机抽查了部分同学周末阅读时间，并且得到数据绘制了不完整的统计图，根据图中信息回答下列问题：(1)将条形统计图补充完整；被调查的学生周末阅读时间众数是小时，中位数是小时；(2)计算被调查学生阅读时间的平均数；(3)该校八年级共有500人，试估计周末阅读时间不低于1.5小时的人数．【答案】(1)补全的条形统计图如图所示，见解析，被调查的学生周末阅读时间的众数是1.5小时，中位数是1.5小时；(2)所有被调查学生阅读时间的平均数为1.32小时；(3)估计周末阅读时间不低于1.5小时的人数为290人．【解析】【分析】(1)根据统计图可以求得本次调查的学生数，从而可以求得阅读时间1.5小时的学生数，进而可以将条形统计图补充完整；由补全的条形统计图可以得到抽查的学生周末阅读时间的众数、中位数．(2)根据补全的条形统计图可以求得所有被调查学生阅读时间的平均数．(3)用总人数乘以样本中周末阅读时间不低于1.5小时的人数占总人数的比例即可得．【详解】解：(1)由题意可得，本次调查的学生数为：30÷30%＝100，阅读时间1.5小时的学生数为：100﹣12﹣30﹣18＝40，补全的条形统计图如图所示，由补全的条形统计图可知，被调查的学生周末阅读时间众数是1.5小时，中位数是1.5小时，故答案为1.5，1.5；(2)所有被调查学生阅读时间的平均数为：1100×(12×0.5+30×1+40×1.5+18×2)＝1.32小时，即所有被调查同学的平均阅读时间为1.32小时．(3)估计周末阅读时间不低于1.5小时的人数为500×40+18100＝290(人)．故答案为(1)补全的条形统计图如图所示，见解析，被调查的学生周末阅读时间的众数是1.5小时，中位数是1.5小时；(2)所有被调查学生阅读时间的平均数为1.32小时；(3)估计周末阅读时间不低于1.5小时的人数为290人．【点睛】本题考查条形统计图、扇形统计图、加权平均数、中位数、众数，解题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答问题．20.如图，已知直线AB：y＝﹣x+4与直线AC交于点A，与x轴交于点B，且直线AC过点C(﹣2，0)和点D(0，1)，连接BD．(1)求直线AC的解析式；(2)求交点A的坐标，并求出△ABD的面积；(3)在x轴上是否存在一点P，使得AP+PD的值最小？若存在，求出点P；若不存在，请说明理由．【答案】(1)y＝12x+1；(2)点A坐标为(2，2)，S△ABD＝3；(3)点P坐标为(23，0).【解析】【分析】(1)利用待定系数法求AC解析式；(2)将直线AB，AC解析式组成方程组，可求点A坐标，根据S△ADB=S△BEO-S△ADE-S△BDO，可求△ABD的面积；(3)作点D(0，1)关于x轴的对称点D'(0，-1)，先求出直线AD'的解析式，即可求直线AD'与x轴的交点P 的坐标．【详解】解：(1)设直线AC解析式为：y＝kx+b，根据题意得：0=21k bb-+⎧⎨=⎩∴k＝12，b＝1∴直线AC解析式为：y＝12x+1(2)根据题意得：1124 y xy x⎧=+⎪⎨⎪=-+⎩解得：22 xy=⎧⎨=⎩∴点A坐标为(2，2)如图，设直线AB与y轴交点为E，∵直线AB与x轴交于点B，与y轴交于点E，∴点B(4，0)，点E(0，4)∴OB＝4，OE＝4，∵DO＝1，∴DE＝3，∵S△ADB＝S△BEO﹣S△ADE﹣S△BDO，∴S△ADB＝111443214222⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯＝3，(3)如图，作点D(0，1)关于x轴的对称点D'(0，﹣1)，∵AP+DP＝AP+PD'，∴当点P在AD'上时，AP+DP的值最小，连接AD'交x轴于点P，设直线AD'的解析式为：y＝mx+n，根据题意得：122nm n=-⎧⎨=+⎩解得：321 mn⎧=⎪⎨⎪=-⎩∴直线AD'的解析式为：y＝32x﹣1当y＝0时，x＝2 3∴点P坐标为(23，0)故答案为(1)y＝12x+1；(2)点A坐标为(2，2)，S△ABD＝3；(3)点P坐标为(23，0).【点睛】本题是一次函数综合题，考查用待定系数法求出一次函数的解析式，解方程组，最短路径等知识点，利用数形结合思想解决问题是解题的关键．四、填空题(每小题4分，共20分)21.函数31xyx+=-中，自变量x的取值范围是_____．【答案】x≥﹣3且x≠1【解析】【分析】根据被开方数大于等于0，分母不等于0列式计算即可得解．【详解】由题意得，x＋3≥0且x−1≠0，解得x≥−3且x≠1．故答案为x≥−3且x≠1．【点睛】本题考查了函数自变量的范围，一般从三个方面考虑：(1)当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；(2)当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；(3)当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．22.将一张长方形纸片按图中方式折叠，若∠2＝65°，则∠1的度数为_____．【答案】50°【解析】【分析】由平行线的性质以及折叠的性质，可得∠2＝∠BDG＝65°，再根据三角形内角和定理以及对顶角的性质，即可得到∠1的度数．【详解】解：如图，延长CD至G，∵AB∥CD，∴∠2＝∠BDG＝65°，由折叠可得，∠BDE＝∠BDG＝65°，∴△BDE中，∠BED＝180°﹣65°×2＝50°，∴∠1＝∠BED＝50°，故答案为50°．【点睛】本题考查平行线的性质，解题时注意：两直线平行，内错角相等．23.若x2﹣1，则x3+x2﹣3x+2019的值为____．【答案】2018．【解析】【分析】先根据x的值计算出x2的值，再代入原式=x•x2+x2-3x+2019，根据二次根式的混合运算顺序和运算法则计算可得．【详解】解：∵x＝2﹣1，∴x2＝(2﹣1)2＝2﹣22+1＝3﹣22，则原式＝x•x2+x2﹣3x+2019＝(2﹣1)×(3﹣22)+3﹣22﹣3(2﹣1)+2019＝32﹣4﹣3+22+3﹣22﹣32+3+2019＝2018．故答案为2018．【点睛】本题考查二次根式的混合运算，解题的关键是熟练掌握二次根式的混合运算顺序和运算法则．24.如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣12x+6分别与x轴，y轴交于点B，C且与直线y＝12x交于点A，点D是直线OA上的点，当△ACD为直角三角形时，则点D的坐标为___．【答案】(125，65)或(﹣4，﹣2)．【解析】【分析】解方程或方程组得到A(6，3)，B(12，0)，C(0，6)，①当∠ADC=90°，得到CD⊥OA，设直线CD的解析式为：y=-2x+b，求得直线CD的解析式为：y=-2x+6，解方程组得到D(125，65)，②当∠ACD=90°，得到DC⊥BC，设直线CD的解析式为：y=2x+a，把C(0，6)代入得，a=6，求得直线CD的解析式为：y=2x+6，解方程组得到D(-4，-2)．详解】解：(1)直线y＝﹣12x+6，当x＝0时，y＝6，当y＝0时，x＝12，则B(12，0)，C(0，6)，解方程组：16212y xy x⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩得：6{3xy==，则A(6，3)，故A(6，3)，B(12，0)，C(0，6)，∵△ACD直角三角形，∴①当∠ADC＝90°，∴CD⊥OA，∴设直线CD的解析式为：y＝﹣2x+b，把C(0，6)代入得，b＝6，∴直线CD的解析式为：y＝﹣2x+6，解2612y xy x=-+⎧⎪⎨=⎪⎩得12565xy⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴D(125，65)，②当∠ACD＝90°，∴DC⊥BC，∴设直线CD的解析式为：y＝2x+a，把C(0，6)代入得，a＝6，∴直线CD的解析式为：y＝2x+6，解2612y xy x=+⎧⎪⎨=⎪⎩得，4{2xy=-=-，∴D(﹣4，﹣2)，综上所述：点D的坐标为(125，65)或(﹣4，﹣2)．故答案为(125，65)或(﹣4，﹣2)．【点睛】本题考查两条直线相交或平行问题，直角三角形的性质，待定系数法求函数的解析式，正确的理解题意是解题的关键．25.把自然数按如图的次序排列在直角坐标系中，每个点坐标就对应着一个自然数，例如点(0，0)对应的自然数是1，点(1，2)对应的自然数是14，那么点(1，4)对应的自然数是____；点(n，n)对应的自然数是____.【答案】(1). 60，(2). 4n2﹣2n+1．【解析】【分析】观察图的结构，发现这些数是围成多层正方形，所有奇数的平方数都在第四象限的角平分线上．依此先确定(n，n)坐标的数，再根据图的结构求得坐标(n，n)．【详解】解：观察图的结构，发现这些数是围成多层正方形，从内到外每条边数依次+2，所有正方形内自然数个数即(每边自然数个数的平方数)都在第四象限的角平分线上(正方形右下角)．其规律为(n，﹣n)表示的数为(2n+1)2，而且每条边上有2n+1个数，点(1，4)在第四层正方形边上，该层每边有2×4+1＝9个数，右下角(4，﹣4)表示的数是81，所以点(1，4)表示的是第四层从左下角开始顺时针(从81倒数)第21个数，即为81﹣8﹣8﹣5＝60，点(n，﹣n)在第n层正方形边上，该层每边有2n+1个数，右下角(n，﹣n)表示的数是(2n+1)2，点(n，n)是正方形右上角的数，是从左下角开始顺时针(从(2n+1)2倒数)第6n个数，即为(2n+1)2﹣6n＝4n2﹣2n+1．故答案为60，4n2﹣2n+1．【点睛】本题考查点的坐标，找到所有奇数的平方数所在位置是解题的关键．五、解答题(共30分)26.已知A ，B 两地相距120km ，甲，乙两人分别从两地出发相向而行，甲先出发，中途加油休息一段时间，然后以原来的速度继续前进，两人离A 地的距离y (km )与甲出发时间x (h )的关系式如图所示，请结合图象解答下列问题：(1)甲行驶过程中的速度是多少km /h ，途中休息的时间为多少h ．(2)求甲加油后y 与x 的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围；(3)甲出发多少小时两人恰好相距10km ？【答案】(1)甲的速度为60 km /h ；休息了0.5h ；(2)y ＝﹣60x +150(1.5≤x ≤2.5)；(3)甲出发1.8小时或2小时两车相距10km ．【解析】【分析】 (1)由图象可知，甲在前1小时走了60千米，计算速度即可；由于甲的速度未改变，故走完全程不休息需要2小时，而图象可知用了2.5小时，相减即可求出休息时间；(2)设甲加油后y=kx+b ，将图象上两点(1.5，60)和(2.5，0)代入即可求出解析式；(3)先算出乙路程y 1和x 的关系式，再根据|y-y 1|=10列出方程计算即可．【详解】解：(1)根据甲的图象可知前1小时走了120﹣60千米，故甲的速度为60 km /h ；甲走120千米需要2小时，而他到达终点的时间是2.5小时，故休息了0.5h ．故答案为60；0.5．(2)设甲加油后y ＝kx +b ，将(1.5，60)和(2.5，0)代入解析式，1.5602.50k b k b +=⎧⎨+=⎩ ，解得60150k b =-⎧⎨=⎩． 故y ＝﹣60x +150(1.5≤x ≤2.5)．(3)设乙路程y 1＝k 1x +1b ，将(1，0)和(4，120)代入111104120k b k b +=⎧⎨+=⎩ ，解得114040k b =⎧⎨=-⎩ ． 故y 1＝40x ﹣40．当x ＝1.5时，y 1＝40×1.5﹣40＝20，此时两车相距60﹣20＝40千米． 故相距10km 时间段为1.5h ～2.5小时之间．依题意得，|(﹣60x +150)﹣(40x ﹣40)|＝10解得，x ＝1.8或2故甲出发1.8小时或2小时两车相距10km ．故答案为(1)甲的速度为60 km /h ；休息了0.5h ；(2)y ＝﹣60x +150(1.5≤x ≤2.5)；(3)甲出发1.8小时或2小时两车相距10km ．【点睛】本题考查了一次函数的应用，用待定系数法求出解析式，行程问题中路程、速度与时间关系的应用，理解题意，从函数图象中获取有关信息是解题的关键．27.已知△ABC 是等边三角形，点D 是直线AB 上一点，延长CB 到点E ，使BE ＝AD ，连接DE ，DC ，(1)若点D 在线段AB 上，且AB ＝6，AD ＝2(如图①)，求证：DE ＝DC ；并求出此时CD 的长；(2)若点D 在线段AB 的延长线上，(如图②)，此时是否仍有DE ＝DC ？请证明你的结论；(3)在(2)的条件下，连接AE ，若23AB AD =，求CD ：AE 的值． 【答案】(1)见解析，CD ＝7；(2)DE ＝DC ，理由见解析；(3)CD ：AE 133． 【解析】【分析】 (1)过点D 作DF ∥BC 交AC 于点F ，作DM ⊥BC 于点M ，由题意可证△ADF 是等边三角形，可得AD=AF=DF=2=BE ，可得∠DBE=∠DFC=120°，CF=DB=4，可证△DBE ≌△CFD ，可得DE=CD ，由勾股定理可求CD 的长；(2)过点D 作DF ∥BC 交AC 的延长线于点F ，由题意可证△ADF 是等边三角形，可得AD=DF=AF ，由“SAS”可证△EBD ≌△DFC ，可得DE=DC ；(3)过点C作CH⊥AB于点H，过点A作AN⊥BC于点N，设AB=2x，AD=3x，由等边三角形的性质可得BC=AC=2x，DF=BE=3x，BD=AD-AB=x，BN=BH=x，AN=3x=CH，由勾股定理可求CD，AE的长，即可求CD：AE的值．【详解】解：(1)过点D作DF∥BC交AC于点F，作DM⊥BC于点M，∵△ABC是等边三角形∴∠ABC＝∠ACB＝∠A＝60°，AB＝AC＝BC＝6，∴∠DBE＝120°∵DF∥BC∴∠ADF＝∠ABC＝60°，∠AFD＝∠ACB＝60°∴△ADF是等边三角形，∠DFC＝120°∴AD＝AF＝DF＝2，∴BD＝AB﹣AD＝4＝AC﹣AF＝CF∵BE＝AD＝DF＝2，∠DBE＝∠DFC＝120°，CF＝DB∴△DBE≌△CFD(SAS)∴DE＝DC又∵DM⊥BC∴CM＝EM＝12EC＝12(BE+BC)＝4∵在Rt△DBM中，BD＝4，∠DBM＝60°∴BM＝2，DM3BM＝3∴CD22DM MC＝7；(2)DE＝DC理由如下：过点D作DF∥BC交AC的延长线于点F，。