二次根式的性质导学案
人教版八年级数学下册导学案16.1.2二次根式的性质
“学展练”魅力课堂八年级数学（下）导学案
组名：姓名日期: 编制：审核：审批：八年级数学组编号：课题：16.1.2二次根式的性质课时：第1 课时
一、学习主题：1、经历二次根式的性质的发现过程，体验归纳、猜想的思想方法；
2、了解并掌握二次根式的性质，会运用其进行有关计算。
二、【定向导学·互动展示】
练的环节（时间：15分钟训练方式：安静、独立、自主完成）分数：一、基础题
1．下列各式中，正确的是()
A.（－4）2＝－4B．－42＝－4
C.（±4）2＝±4
D.42＝±4
二、发展题
2、计算：
（1）()23= （2）()223=
（2）23.0= （4）
2
7
1
⎪
⎭
⎫
⎝
⎛
-=
（5）()2π-
-= （6）2
10-=
三、提高题
3、二次根式性质的综合应用
已知实数a，b在数轴上的位置如图所示，化简：（a＋1）2＋2（b－1）2－|a－b|. 解：
【教师寄语】新课堂，我展示，我快乐，我成功………今天你展示了吗！！！。
八年级下册：16.1二次根式及其性质导学案
学习主题：16.1二次根式及其性质（1）导学案 班级 姓名 学习目标： 1、能说出二次根式的意义及其性质，会判断二次根式和利用性质计算求值。
2、通过学生的自主学习，体会二次根式性质的应用，提高自学能力。
学习重点：二次根式的意义和性质 学习过程： 一、复习巩固
a 表示 ，a 的取值 ，根指数是
二、新课探究:
（1）定义：
叫做二次根式，a 0，（a 0）
练习1判断下列式子中，哪些是二次根式？哪些不是二次根式？说出理由 7， 12+m ， 33， 1-x ， 6-， π-3
例1 实数x 在什么范围内取值，下列各式表示二次根式？
（1）32+x （2）x 23-
（2）二次根式的性质
填一填：
（1）2表示 ，=2)2(
（2）3表示 ，=2)3(
（3）5表示 ，=2)5(
a （a ≥0）表示 ，=2)(a （a ≥0）
归纳二次根式性质： ，
语言描述： 例2 计算
（1）2)32( （2）2)7.0(- （3）2)66
1(- （4）222)(b a +
例3 在实数范围内分解因式
（1）32-x （2）x x 63-
三、巩固提升
1、实数a 在什么范围内，下列各式有意义
（1）a a
-4 （2）a a
-2 （3）a a -++12
（4）124--x x
2、计算求值
（1）2)25.051(- （2）2)26(- （3）2
)2112(
3.在实数范围内分解因式
（1）364-x （2）732-x
四、课堂小结
1、二次根式的性质：
2、当a 0， ___)(2a
五、反思与收获。
12.5.1二次根式及其性质 导学案
学习主题：12.5二次根式及其性质（1）导学案
班级 姓名
学习目标：
1、能说出二次根式的意义及其性质，会判断二次根式和利用性质计算求值。
2、通过学生的自主学习，体会二次根式性质的应用，提高自学能力。
学习重点：二次根式的意义和性质
学习过程：
一、复习巩固
a 表示 ，a 的取值 ，根指数是
二、新课探究:
（1）定义：
叫做二次根式，，（a 0）
练习1判断下列式子中，哪些是二次根式？哪些不是二次根式？说出理由
7， 12+m ， 33， 1-x ， 6-， π-3
例1 实数x 在什么范围内取值，下列各式表示二次根式？ （1）32+x （2）x 23-
（2）二次根式的性质
填一填： （1）2表示 ，=2
)2( （2）3表示 ，=2)3( （3）5表示 ，=2)5(
a （a ≥0）表示 ，=2)(a （a ≥0）
归纳二次根式性质： ，
语言描述： 例2 计算 （1）2)32( （2）2)7.0(- （3）2)66
1(-
（4）222)(b a +
例3 在实数范围内分解因式
（1）32-x （2）x x 63-
三、巩固提升
1、实数a 在什么范围内，下列各式有意义
（1）a a
-4 （2）a a
-2 （3）a a -++12
（4）124--x x
2、计算求值
（1）2)25.051(- （2）2)26(- （3）2
)2112(
3.在实数范围内分解因式
（1）364-x （2）732-x
四、课堂小结
1、二次根式的性质：
2、当a 0， ___)(2a
五、反思与收获。
1.二次根式的概念及性质导学案
二次根式的概念及性质
学习目标：理解二次根式的概念及性质
一、二次根式的概念
1. 温故知新：（1）七年级我们学习是过哪些开方运算？用式子如何表示？
（2）算术平方根有哪些概念？什么性质？
2.概念：形如的式子，叫二次根式，其实二次根式就是以前我们大家学习
的运算，其中叫根号，叫被开方数。
二次根式的根指数是
3.创造性练习：请你写出一个二次根式？
二、二次根式的判断
1.练习判定下列式子哪些是二次根式？哪些不是？为什么？
3④√a2+4⑤√3−π⑥√a+3⑦√x2
①√−15②√4③√6
2.知识总结
判断二次根式要注意三个问题：
（1）根号为二次根号；
（3）被开方数为非负数；
（3）看化简前不看化简后
3.提高练习：
（1）下列各式是二次根式的是
3③√a2+1④√−m2−1⑤√a(a≥0)
①√−7②√−a
（2）下列各式是二次根式的是（）
A √−4
B √x−1
C D
（3）下列各式一定是二次根式的是（）
A． B． C． D．
三、二次根式的性质
二次根式具有
一是；二是
四、二次根式有意义的条件
二次根式有意义的条件为
五、三种非负数
1.常见的三种非负数是：①②③
2.非负数的性质：
如果几个非负数的和为0，那么这几个非负数的里面通通为0
六、二次根式计算的三个不能
二次根式计算的三个不能：
（1）被开方数不能含有可以继续开方的因数或因式
（2）开方数不能含有小数或分数
（3）分母不能含有根号。
第2课时 二次根式的性质(导学案)
16.1 二次根式第2课时 二次根式的性质一、新课导入1.导入课题我们知道二次根式a 中a ≥0，那么二次根式a 还有哪些性质呢？今天我们学习“二次根式的性质”(板书课题). 2.学习目标（1）知道a ≥0(a ≥0)，会用非负数的性质解题. （2）会用公式()2a =a(a ≥0)进行计算.（3）知道形如2a 的化简方法及结果. 3.学习重、难点 重点：a ≥0(a ≥0)，()2a =a(a ≥0).难点：运用公式()2a =a(a ≥0)和2a =a(a ≥0)进行计算化简.二、分层学习第一层学习 1.自学指导（1）自学内容：探究：a (a ≥0)及a (a ≥0)中a 的值的特点. （2）自学时间：5分钟.（3）自学方法：围绕探究提纲进行演算归纳. （4）探究提纲：①当a>0时，a 是什么数？当a=0时，a 是什么数？当a 有意义时，a 是什么数？②从①中我们可以探究得出：当a ≥0时，a 是 非负数 ，即a ≥ 0. ③从a (a ≥0)所表示的数值特点，你知道还有哪些式子的值具有这种特性？ ④已知()0112=++-y x ,求x ，y 的值.(x=1,y=-1)2.自学：学生参照探究提纲进行自学.3.助学（1）师助生：①明了学情：了解学生在探究中存在的认识偏差和困惑.②差异指导：引导学生分析a 表示的数值特点，归纳已学过的非负数及其和为0时所满足的条件.（2）生助生：学生相互交流、帮助. 4.强化（1）当a ≥0时，a ≥0，即a 的值为非负数.（2）回顾所学过的三类非负数：①一个数的偶次幂；②一个数的绝对值；③a (a ≥0).（3）非负数的性质：若x +2y +|z|=0，则x=y=z=0.（4）练习：已知01=+++y x x ,求x ，y 的值.答案：x=-1,y=1.第二层学习1.自学指导（1）自学内容：探究()2a (a ≥0)的结果.（2）自学时间：8分钟.（3）自学方法：通过回顾算术平方根的意义，归纳()2a (a ≥0)的结果.（4）探究提纲：①∵3的算术平方根是3，∴()23 = 3 .②∵32的算术平方根是32，∴232⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛= 32. ③∵非负数a 的算术平方根是a ，∴()2a (a ≥0)= a .④∵()222b a ab =，∴(()2223=⨯= 18 .⑤计算 ：答案：3； 18； 25； 21. ⑥由①—⑤的探讨，归纳得出：一般地，()2a = a (a ≥0).2.自学：学生可结合探究提纲进行自学.3.助学（1）师助生：①明了学情：关注学生对()2a (a ≥0)的值的理解.②差异指导：指导学生应用()2a (a ≥0)的结果进行计算.（2）生助生：相互交流帮助，矫正错误，归纳正确结论.4.强化 （1）强调()2a =a(a ≥0)及其应用.（2）强调公式()2ab =22b a 和 2⎪⎭⎫ ⎝⎛b a =22ba 在二次根式计算中的运用.（3）展示本节所学知识点和数学思想方法. 第三层学习1.自学指导（1）自学内容：探究：当a ≥0时，2a 等于什么？若a 的值无限定，2a 又等于什么？（2）自学时间：5分钟.（3）自学方法：结合探究提纲动手尝试2a (a ≥0)和2a 的化简，结果有何不同？ （4）探究提纲：①==4222 ；==⎪⎭⎫⎝⎛4121221；==36.06.02 0.6 ；由此可以看出：当a ≥0时，2a = a 。
鲁教版初中数学八年级下册《二次根式的性质(第2课时)》导学案
7.2 二次根式的性质（第二课时）【学习目标】1．熟记二次根式的性质，并能利用性质进行有关的计算和化简．2．综合已经掌握二次根式的性质，培养学生运用二次根式的性质进行二次根式化简的能力，提高运算能力．【温故互查】1．一般地，形如__________的式子叫做二次根式，其中a 叫做 ．式子__________也看做二次根式.2．一般地，=ab _______)0,0(≥≥b a也就是说，积的算术平方根等于________________.3．计算下列各式: (1)259⨯ (2) 216a(3)2)1(9+x (4) 52y x【问题导学】阅读教科书P 37至P 38的内容，标注你认为是重点的内容，并完成下列题目．1．你会计算下列各式吗？（1）=94____________; =94_________; (2)=2516 _________; =2516_________. (3)76与76相等吗？为什么？ 2．观察上面得到的运算结果，你发现了什么规律？ 一般地，=ba _______)0,0(>≥b a也就是说，商的算术平方根等于________________.3．你会化简下列各式吗？（1）253 （2【自学检测】1．如何化去21根号内的分母？2．化去下列各式根号内的分母：（1）52 （23．被开方数都不含______，并且被开方数中不含能_________________________，像这样的二次根式叫做最简二次根式.一个二次根式如果不是最简二次根式，那么可以利用______________，把它化成最简二次根式.4．把下列各式化成最简二次根式：（1）xy x（2）354b（3）445 （4）2221)27(⎪⎭⎫ ⎝⎛+【巩固训练】1. 化简：（1）41 （2）252 （3）224a b（4）239b a （5）222)(yx y x + （6）2925xy2. 化去下列各式根号内的分母:（1）31（2）a b（3）412 （4）22)(25n m m +自学检测答案：1． 22222222212122===⨯⨯= 2．（1）510（2）xx 3．分母，开得尽方的因数或因式，二次根式的性质4．（1）xy （2）b b 63（3）523（4）225 巩固训练答案：1．（1）21 （2）52（3）a b 2 （4）b a a 3 （5）xyy x + （6）x y 35 2．(1)33 (2) a ab (3) 23 (4) nm m +5。
八年级数学下册16.1 第2课时 二次根式的性质精品导学案
第十六章二次根式16.1 二次根式第2课时二次根式的性质学习目标：1.经历二次根式的性质的发现过程，体验归纳、猜想的思想方法；2.会运用二次根式的两个性质进行化简计算.重点：掌握二次根式的两个性质：()()220,a a a a a=≥=.难点：会利用二次根式的性质解题.一、知识回顾1.二次根式的概念是什么？我们上节课学了它的哪些性质？2.使式子()2a有意义的条件是_______________.一、要点探究探究点1：()()2a a≥的性质活动1如图是一块具有民族风的正方形方巾，面积为a，求它的边长，并用所求得的边长表示出面积，你发现了什么？活动2 为了验证活动1的结论是否具有广泛性，下面根据算术平方根及平方的意义填空，你又发现了什么？a(a≥0) 算术平方根a平方运算()2a课堂探究自主学习教学备注学生在课前完成自主学习部分配套PPT讲授1.情景引入（见幻灯片3-4）2.探究点1新知讲授（见幻灯片5-11）2413...____________________...____________________...要点归纳：一般地，2a =(a ____0),即一个非负数的算术平方根的平方等于例1(教材P3例2变式题)计算：22(1);(2).⎛ ⎝例2 在实数范围内分解因式：242(1)3;(2)4 4.x y y --+计算：22(1)()(2)(). ；探究点2议一议:下面根据算术平方根的意义填空，你有什么发现？1.计算：=24 ;=22.0 ;=2)54( ; =220 .观察其结果与根号内幂底数的关系，归纳得到：当=>2,0a a 时 .2.计算：=-2)4( ;=-2)2.0( ;=-2)54( ;=-2)20( .观察其结果与根号内幂底数的关系，归纳得到：当=<2,0a a 时 .3.计算：=20 ;当==2,0aa时 .要点归纳：将上面得到的结论综合起来，得到二次根式的又一条非常重要的性质：()()()2____0____=0____0.aa a aa⎧⎪==⎨⎪⎩＞，，＜即任意一个数的平方的算术平方根等于它本身的绝对值.典例精析例3 (教材P4例3变式题)化简：2(1)10;-2(2)(3.14).-π方法总结:利用2a a=化简求值时，先应确定a的正负，再化简.例4 实数a、b在数轴上的对应点如图所示，请你化简:()222.a b a b-+-【变式题】实数a、b在数轴上的对应点如图所示，化简：2244a ab b a b+++-.方法总结:利用数轴和二次根式的性质进行化简，关键是要要根据a,b的大小讨论绝对值内式子的符号.例5已知a、b、c是△AB C的三边长，化简：()()()222.a b c b c a c b a++-+-+--分析：针对训练1.计算：22(1)(-2)(2)(-1.2).；教学备注配套PPT讲授3.探究点2新知讲授（见幻灯片12-21）利用三角形三边关三边长均为正数，a+b＞c两边之和大于第三边，b+c-a＞0，c-b-a＜02.请同学们快速分辨下列各题的对错：()()()()()()()()2222(1)22(2)22(3)22(4)22-=--=--=---=-探究点3：代数式的定义用基本运算符号（包括加、减、乘、除、乘方和开方）把_______或____________连接起来的式子，我们称这样的式子为代数式.典例精析例6 （1）一条河的水流速度是2.5 km/h，船在静水中的速度是v km/h，用代数式表示船在这条河中顺水行驶和逆水行驶时的速度；（2）如图，小语要制作一个长与宽之比为5:3的长方形贺卡，若面积为S，用代数式表示出它的长.方法总结:列代数式的要点：①要抓住关键词语，明确它们的意义以及它们之间的关系，如和、差、积、商及大、小、多、少、倍、分、倒数、相反数等；②理清语句层次明确运算顺序；③牢记一些概念和公式．针对训练1.在下列各式中，不是代数式的是（）A.7B.3＞2C.2xD.2223x y+2.如图是一圆形挂钟，正面面积为S，用代数式表示出钟的半径为__________.二、课堂小结二次根式的性质内容性质1 一个非负数的算术平方根的平方等于它_______.即()()20.a a a=≥性质2 一个数的平方的算术平方根等于它的______.即教学备注配套PPT讲授4.探究点3新知讲授（见幻灯片22-25）5.课堂小结（见幻灯片30）()()20.a aa aa a≥⎧⎪==⎨-⎪⎩，＜1.化简16得（）A. ±4B. ±2C. 4D.-42.当1<x<3时，2(3)3xx--的值为（）A.3B.-3C.1D.-13.下列式子是代数式的有 ( )①a2+b2 ; ②ab; ③13; ④x=2; ⑤3×（4－5）;⑥x－1≤0; ⑦10x+5y=15 ; ⑧.acb+A.3个B.4个C.5个D.6个4.化简：（1）9＝_______ ; （2）2(4)-＝_______;（3）()27______-=; （4）()281______=.5. 实数a在数轴上的位置如图所示，化简22(1)a a-+-的结果是_________.6.利用a＝2()a（a≥0），把下列非负数分别写成一个非负数的平方的形式：(1) 9；(2)5；(3)2.5；(4)0.25；(5)12；(6)0 .能力提升7.(1)已知a为实数，求代数式2242a a a+---+的值.(2)已知a为实数，求代数式249a a a+--+-的值.当堂检测教学备注配套PPT讲授6.当堂检测（见幻灯片26-29）。
人教版八年级下册16.1二次根式的性质导学案
数学（学科）导学案
课题16.1 二次根式的性质学案编号01使用时间班级姓名
学习目标
1.经历二次根式的性质的发现过程，体验归纳、猜想的思想方法；
2.会运用二次根式的两个性质进行化简计算.
重
难
点
重点经历二次根式的性质的发现过程，体验归纳、猜想的思想方法.
难点会运用二次根式的两个性质进行化简计算
一、自主学习
回顾思考：表示，a 的取值范围是.
1. 用基本运算符号（包括加、减、乘、除、乘方和开方）把或连接起来的式子，我们称这样的式子为代数式.
2. 你能列举一些你学过的代数式吗？
练一练：在下列式子中，是代数式的有_个，分别是.
π-3，a≠0
二、合作探究
探究1：用学过的方法完成下列式子的计算.
思考
归纳总结：
的性质：
一般地，＝.即一个的算术平方根的平方等于 .................
例题精讲
例
练一练
探究2：
1、计算
2、计算
3、对比发现
归纳总结
的性质：
即任意一个数的平方的算术平方根等于.
概念辨析：如何区分与？
例题精讲
（1）
练习
三、能力提升
1、实数a 在数轴上的对应点如图所示，请你化简:
a
-1 0 1
2、已知，则x 的取值范围是.
五、中考链接
已知a、b、c 是△ABC 的三边长，化简：
老师我不会
老师我想说。
九年级上导学案 Microsoft Word 文档
第21章二次根式第1课时——二次根式的概念一、教学目标：1、了解什么是二次根式、理解二次根式有意义的条件和基本性质2、了解二次根式的性质，能化简二次根式3、会进行简单二次根式的化简二、教学重点：化简二次根式教学难点：理解二次根式有意义的条件和基本性质三、教学过程：（一）复习导入1、9的平方根是，9的算术平方根是2、2=2=2=（二）讲授新课1、二次根式的概念：若0a>时，a的算术平方根表示为若0a=时，a的算术平方根表示为若0a<时，a的算术平方根由此，我们可以得到：（a 0）；2=（a 0）a≥0）的式子叫做二次根式2、二次根式有意义例1：当x有意义？解：∵1x- 0∴x∴当x时，二次根式3?=填一填：==⎽⎽⎽⎽⎽==⎽⎽⎽⎽⎽==⎽⎽⎽⎽⎽==⎽⎽⎽⎽⎽==⎽⎽⎽⎽⎽==⎽⎽⎽⎽⎽……=做一做：1==（0x≥）2==4、二次根式的化简：===（填＞、＜或＝）=（0b≥）a≥，0化简，使被开方数不含完全平方的因数（1==3试一试：====（2解：（三）课堂练习1、计算（1）2=（2）2=（3= （4=（5= （6）=（7）2=（8）2=（9）2=（10=（11=（12=2、当x为何值时，下列二次根式有意义？（1（2解：∵1x+ 0∴x∴当x时，二次根式（3（43、化简：（1=（2=（3=（4=（5=（6=（7=（8=（9=（10）= 4、当x为何值时，下列二次根式有意义？（1（2（3（45、计算下列各式，并将所得的结果化简：（1（2解：原式==6、小明说2x-7、已知23x<<3（四）课堂小结这节课我们学了什么？有什么收获？还有什么疑问吗？（五）作业（六）反思第2课时——二次根式的乘除法一、教学目标：理解二次根式乘除法法则，会进行简单的二次根式的乘除运算二、教学重点：掌握二次根式乘除法法则教学难点：二次根式的乘除运算三、教学过程：（一）复习导入1、计算===2、当x时，3、化简= = = == = = =（二）讲授新课1、二次根式的乘法：=（0a≥，0b≥）得出二次根式乘法法则：=（0a≥，0b≥）计算下列各式，并将所得的结果化简：（1（22、二次根式的除法：计算：= = = =，= (0,0)a b≥>= == (0,0)a b≥>（要求分母中不含二次根式，并且二次根式中不含分母）== 1=（三）课堂练习1、化简：（1= （2=（3= （4=（5= （6=（7= （8= 2、计算下列各式，并将所得的结果（1（2（3）10254⨯ 解：原式=（4）()32276-⨯ （5（6（7（8 （9（10 （11 （123、计算下列各式，并将所得的结果（1）b a 10253⨯ （2）246y x x +（3）()221+c ab （4（四）课堂小结这节课我们学了什么？有什么收获？还有什么疑问吗？（五）作业（六）反思第3课时——二次根式的加减法（1）一、教学目标：理解什么是同类二次根式和二次根式的加减法法则，会进行简单的二次根式的加减运算二、教学重点：同类二次根式和二次根式的加减法法则教学难点：进行简单的二次根式的加减运算三、教学过程：（一）讲授新课1、计算：（1）32a a -= （2）222212x x x -+=试一试：（1）= （4）=像-和-叫做同类二次根式练一练：计算解：原式=2、思考计算：解：先将各二次根式化简：===∴原式=归纳：二次根式相加减，先把各个二次根式 ，再将同类二次根式（三）课堂练习1、下列各组里的二次根式是二次根式的有 （写编号）（1）（2（3（42、下列二次根式中，与是同类二次根式的有3、下列各组里的二次根式是同类二次根式的有（1）（2、3（3）2mn2mn（434yx2725xy4、计算：（1）352542（2）33 233解：（3）53375（4）27532712（53272182（650213（7）5242323-（81263-5、用一根铁丝做成一个正方形，使它恰好能嵌入一个直径为20cm的圆中（如图），求这根铁丝的长度（结果精确到0.1cm）621a+7是同类二次根式，试写出三个a的可能取值（四）课堂小结这节课我们学了什么？有什么收获？还有什么疑问吗？（五）作业（六）反思第4课时——二次根式的加减法（2）一、教学目标：进一步巩固二次根式的加减法法则，会进行简单的二次根式的加减乘除混合运算二、教学重点、难点：进行简单的二次根式的加减乘除混合运算三、教学过程：（一）讲授新课探索：计算：（1）（2a+b）·3ª= （2）(1)(1)+-=a a（3）()()+-=x y x y试一试：（1）1)3⨯= （2）1)=（3）=计算：解：原式=（二）课堂练习1、下列各组里的二次根式是同类二次根式的是（1（2（3），（32．-是同类二次根式的3,有_______ ___．4．计算二次根式__________．5是同类二次根式的是（）A．①和② B．②和③ C．①和④ D．③和④6、计算：（1）（2）(0)a≥（3）（4）（5）(1（6）)(2323+-（7）21)（8）7、计算：（1（22解：8、 2.236，求-）的值．（结果精确到0.01）9、．先化简，再求值．（(4-，其中x=32，y=27．（四）课堂小结这节课我们学了什么？有什么收获？还有什么疑问吗？（五）作业（六）反思二次根式——单元测试班级 姓名 成绩一、选择题（每题3分，共30分）1 ）A ．3B ．－3C ．3±D ．92、下列计算正确的是（ ）A ====3是同类二次根式的是（ ）A B 14、下列计算错误．．的是（ ）A ．=B ．= C ．=D ．3= 5． 下列式子一定是二次根式的是（ ）A ．2--xB ．xC ．22+xD ．22-x6．若b b -=-3)3(2，则（ ）A ．b>3B ．b<3C ．b ≥3D ．b ≤37．若x<0，则xx x 2-的结果是（ ） A ．0 B ．—2 C ．0或—2 D ．282(2)0n +=，则2m n +的值为（ ）。
16.1 第2课时 二次根式的性质(导学案)
16.1 第2课时 二次根式的性质（导学案）教材：P3——P4学习目标：1.经历二次根式的性质的发现过程，体验归纳、猜想的思想方法；2.会运用二次根式的两个性质进行化简计算. 重点：掌握二次根式的两个性质：()20a a a =≥=.难点：会利用二次根式的性质解题. 一、知识回顾1.二次根式的概念是什么？我们上节课学了它的哪些性质？2.使式子2有意义的条件是_______________.二、要点1探究 活动1、计算(1) 2)4(= (2)（√0）2= （3）2)5.0( = （4）2)31(=（0≥a ）例1(教材P3例2变式题)计算：22(1);(2).⎛ ⎝例2 在实数范围内分解因式：242(1)3;(2)4 4.x y y --+计算：22(1)()(2)(). ；三、要点2探究 活动1、计算：________)(2=a（1）=24 =22.0 =2)54(=220 观察其结果与根号内幂底数的关系，归纳得到：当a ﹥0时，=2a（2） =-2)4( =-2)2.0( =-2)54(=-2)20( 观察其结果与根号内幂底数的关系，归纳得到：当a<0时，=2a （3）=20 归纳得到：当a=0时，=2a活动2.归纳总结将上面做题过程中得到的结论综合起来，得到二次根式的非常重要的性质：性质一：一般地，2a =(a ____0),即一个非负数的算术平方根的平方等于_________.()()()____0____=0____0.a a a a ⎧⎪==⎨⎪⎩＞，，＜即任意一个数的平方的算术平方根等于它本身的绝对值.例3 (教材P4例3变式题)化简：例4 实数a 、b 在数轴上的对应点如图所示，请你化简-+【变式题】实数a 、b a b +-.方法总结:利用数轴和二次根式的性质进行化简，关键是要要根据a ,b 的大小讨论绝对值内式子的符号. 例5 已知a 、b 、c 是△AB C分析：针对训练1.计算：22(1)(-2)(2)(-1.2).；2.请同学们快速分辨下列各题的对错：()()()()()()()()2222(1)22(2)22(3)22(4)22-=--=--=---=-四、要点3探究：代数式的定义用基本运算符号（包括加、减、乘、除、乘方和开方）把_______或____________连接起来的式子，我们称这样的式子为代数式.典例精析例6 （1）一条河的水流速度是2.5 km/h，船在静水中的速度是v km/h，用代数式表示船在这条河中顺水行驶和逆水行驶时的速度；（2）如图，小语要制作一个长与宽之比为5:3的长方形贺卡，若面积为S，用代数式表示出它的长.方法总结:列代数式的要点：①要抓住关键词语，明确它们的意义以及它们之间的关系，如和、差、积、商及大、小、多、少、倍、分、倒数、相反数等；②理清语句层次明确运算顺序；③牢记一些概念和公式．针对训练1.在下列各式中，不是代数式的是（）A.7B.3＞2C.2xD.2223x y+2.如图是一圆形挂钟，正面面积为S，用代数式表示出钟的半径为__________.五、课堂小结利用三角形三三边长均为正数，a+b＞c两边之和大于第三边，b+c-a＞0，c-b-a＜0六、当堂检测1.（ ）A . ±4B .±2 C . 4 D .-42.当1<x <3）A.3B.-3C.1D.-1 3.下列式子是代数式的有 ( )①a 2+b 2;; ③13; ④x =2; ⑤3×（4－5）;⑥x －1≤0; ⑦10x +5y =15 ; .c A .3个 B .4个 C .5个 D .6个 4.化简：（1＝_______ ; （2_______; （3______=; （4）2______=.5. 实数a 在数轴上的位置如图所示，化简2a -+_________.。
二次根式的性质导学案
1.2 二次根式的性质（1）班级__________________ 姓名__________________〖学习目标〗1．经历二次根式的性质：()()02≥=a a a 、 2(0)-(0)a a a a a a ≥⎧==⎨<⎩的发现过程，体验归纳、猜想的思想方法； 2．了解二次根式的上述两个性质；3．会运用上述两个性质进行有关计算。
〖学习重点与难点〗 重点：二次根式性质：()()02≥=a a a 、 2(0)-(0)a a a a a a ≥⎧==⎨<⎩。
难点：2(0)-(0)a a a a a a ≥⎧==⎨<⎩我们较难理解，是本节学习的难点。
一、预习导学（把握时间，独立完成）1．完成以下填空：，______22=()；_____72=；_____212=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛()()。
0_____2≥=m m小结（二次根式的基本性质1）：一般地，二次根式有下面的性质：()=2a _______（a ≥0），即：一个非负数的算术平方根的平方，仍等于这个非负数。
二、继续探究（合作学习，相互帮助），______22= 2=________； ，）（______312= 31=________； ，______02= 0=________； =_______， 5-=________。
请比较左右两边的式子，议一议：2a 与a 有什么关系？ 当a ≥0，______2=a ；当a ＜0时，______2=a 。
小结（二次根式的基本性质2）：三、例题精讲（和老师一起共同完成）四、巩固练习（一起参与讨论，发挥你的解题能力，共同完成）1.判断下列各式是否成立。
2． 3.2)5(-的平方根是( ) A.5 B. -5 C.±5 D.±54.下列命题中，错误．．的是（ ） A ．如果2x =5，则x=5；B ．若a （a ≥0）为有理数，则a 是它的算术平方根；C ．化简2(3)π-的结果是π-3；D ．在直角三角形中，若两条直角边分别是5，25，那么斜边长为5。
初中数学_二次根式的性质教学设计学情分析教材分析课后反思
一、学习目标1、掌握二次根式的基本性质：)0(2≥a)a，并能灵=a≥a(a和)0(0≥活应用；2、掌握二次根式的基本性质：a2，能利用上述性质对二次根式a=进行化简.ab3、掌握二次根式的性质： = ba并能化解一些二次根式二、学习重点、难点重点：掌握二次根式的三个基本性质．利用二次根式的性质进行化简难点：综合运用性质解决生活的问题三、学习过程（一）知识回顾：1．二次根式概念)0a≥a(0≥2、二次根式基本性质1)0aa)=a(2≥(牛刀小试1、已知，求x＋y的值130x y2、已知求x+y 的值。
3、若x 、y 都是实数，且 时，求代数式5x — 6y 值。
4、二、合作学习 请比较左右两边的式子，议一论与∣a ∣有什么关系？当0≥a 时 = 当a<0时 =性质二：一般地,二次根式有下面的性质:___,___,___,===()02922=++-y x x 11331+---=x x y ()()()()(()222221______,2______,3________,4________,5________.===⎛=-= ⎝|2|___;|5|___;|0|___.=-==2a 2a 2a总结规律1:从运算顺序来看,2.从取值范围来看,3.从运算结果来看: 例题1=2)2)(1(=-2)2)(2(=-2)2()3(=-2)2()4(=22)5(=--2)2()6(_______)3)(2(______)1()1(22=-=-______)4()4(______)311()3(22=-=2.数a 在数轴上的位置如图, 课内练习1三、探索发现：性质三：火眼金睛 _____.=22)7()7()1(--22)13()11)(2(-+-.____94_____,94)1(=⨯=⨯_____4925______,4925)2(=⨯=⨯._____32______,32)3(=⨯=⨯)0,0(≥≥⨯=⨯b a b a b a :.2化简下列各二次根式例题=⨯259=300=-⨯-=-⨯-2418)24()18()1(312四、提高引申2.实数a 、b 、c 在数轴上的位置如图所示，化简五、小结 二次根式的性质及它们的应用:1、)0()(2≥=a a a ⎪⎩⎪⎨⎧<-=>==0a a 0a 00a a 2 a a 平方在外面，直接去括号 平方在里面，加上绝度值，分类来讨论2、性质三：注意这个二次根式的存在条件；性质的逆运用。
初中数学 导学案：二次根式的性质
《二次根式的性质》导学案第一课时学习目标：1、 会用 ，的性质，化简二次根式。
2、 通过二次根式性质的运用，初步掌握分类讨论的思想方法。
学习重点：, 的性质。
学习难点：例2的化简一、预习：1. 是 的算术平方根，因此2(3)= ，2、填空：2(5)= ，23()5= ，2(8)= ，2(0)= ， 由此可得2()(0)a a ≥= .3、填空：，______22= =________；=_______, =________；，______02= =________；，）（______312= 31=________。
请比较左右两边的式子，议一议：与有什么关系？当a ≥0，。
时，；当_____0______22=〈=a a a4. 阅读教科书中的本节内容后回答：请比较与2a的异同点.5、预习后，你或许有些疑问，请写在下面的空白处：二、梳理a=二次根式的性质：（1）2（2）=个性反思：通过本节课的学习，你一定有很多感想和收获，请写在下面的空白处：三、达标1.下列各式正确的是( )A. 2(3=-B. 23=-C. 3=D. 23-=-2.化简：（1=，（2），（3=，（42=，（5=，（6= .3.3x=-，则x的取值范围是 .4. 计算：(1((2 2-5.如图，实数a,b在数轴上的位置，6. 在实数范围内分解因式：()212x-()223x-+四、挑战1.已知,,a b c 是△ABC 的三条边长，化简2.化简：2-3.给出题目：“先化简，再求值：1a 15a =.”甲的解答是：111121491055a a a a a a a +=+=+-=-=-=.乙的解答是：111115a a a a a a +=+=+-==.你认为谁的解答是正确的，请说明理由.五、攀登到两个数a,b，使,a b m ab n+==，使得22m+==，那么)a b==>解：这里7,12m n==，由于4+3=7,4×3=12即22+==2===。
9.1二次根式的性质(3)导学案
青岛版八下 9.1二次根式和它的性质（第3课时）一、学习目标1.理解商的算术平方根的性质的归纳推理过程，提高学生的符号意识和推理能力。
2.会识别最简二次根式，会进行二次根式的化简二、学习要点对最简二次根式的理解与化简二次根式三、导学过程【知识回顾】：（1）形如 的式子，叫做二次根式。
（2）2= ，条件是 。
= 。
（3= ，条件为 。
【独学】 核心内容：商的算术平方根1.阅读课本115-116页交流与发现，总结商的算术平方根法则？ （b a b a （a ≥0，b ＞0））课堂小结：商的算术平方根，等于 。
2.对比积的算术平方根法则，有什么异同？3.计算下面的算式，并观察各算式的特点，比较计算的结果，你会有什么发现？(1)94=___ ， 94=____ ； 94____94 (2)1625=___， 1625=____ ； 1625____1625 结论：数学表达式：b a= b a (a ≥0,b>0)4.看课本116 页例5，观察各被开方数的分母有的特点和化简后的二次根式有什么特征。
完成下列题目：971 21965y x 22936ab【对学】核心内容：化去根号内的分母的两种方法1.课本116-117页例6，如果被开方数的分母不是完全平方数时，应怎样化简，就可将根号内的分母化去？根据例6，寻求解决的方法。
请用另一种解法做下题：a51 2.把根号内的分母化掉有几种方法？你掌握了几种？3.化去下列各式根号里的分母：312 a 32 a b 52 5.0【群学】核心内容：最简二次根式化简课本117页内容，回答1.什么样的二次根式叫做最简二次根式？请举例说明。
2. 课堂小结：最简二次根式：① ，并且② ， 这样的二次根式叫做最简二次根式。
（背诵）3.下列根式中，哪些是最简二次根式？14； 72；a 253； 11 ； 31； xy ； b a +2 ； )3b a +（4.思考：例7怎样将二次根式化成最简二次根式？（1号讲解）5.把上题中不是最简二次根式的化成最简二次根式.【展示】根据题目的难易程度，学生分层次展示上述问题。
二次根式的性质导学案
二次根式的性质姓名__________学号____________学习目标：1.记住二次根式的性质和代数式的概念；2.能灵活运用二次根式的性质进行计算和化简有关问题。
活动一，温故知新1.形如的式子叫做二次根式；2.使式子2(5)x --有意义的未知数x 有（ ）个．A ．0B ．1C ．2D ．无数3.若3x -+3x -有意义，则2x -=_______． 活动二，探究新知探究.(一)二次根式的性质1当时，表示a 的，因此0（填“”）;当时，表示的算数平方根，因此0即 ：a ≥0 是一个____________。
探究（二）二次根式的性质2：1.根据算术平方根的意义填空：（1）（2）（3）（4） 722=_______于是我发现二次根式的性质2： 即：（a ）2=（a ≥0） 2、由公式)0()(2≥=a a a ，我们可以得到公式a=2)(a ,利用此公式可以把任意一个非负数写成一个数的平方的形式。
试一试：(1)把下列非负数写成一个数的平方的形式：5 0.2 0.35(2)在实数范围内因式分解72-x 4a 2-11探究（三）二次根式的性质3⑴计算：=24=22.0=2)54(=220 观察其结果与根号内幂底数的关系，归纳得到： 当=>a a ,0时 ⑵计算：=-2)4(=-2)2.0(=-2)54(=-2)20( 观察其结果与根号内幂底数的关系，归纳得到：当=<a a ,0时。
⑶计算：=20；当==a a ,0时综上所述，我知道二次根式的性质3： 即：⎪⎩⎪⎨⎧<=>==0)(a _____0)a ( _____0)a ( ____ 2 a a 代数式：代数式是用基本运算符号（基本运算符号包括、、、、、）把和连接起来的式子。
活动三，运用新知1.计算：（2 （22（x ≥0 ）222.化简（1（2（3）2)14.3(π-（4）)3()3(2≥-a a活动四，巩固练习1.在实数范围内分解下列因式:（1）x 2-3 （2）x 4-4 (3) 2x 2-32.计算（123）2)45(（4）2)32(-（5）()232+x （x ＜-2）活动五。
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=________； =_______, =________；
二、自主学习
二次根式的性质
由学生学习得出：
性质1： ，
性质2：
注意：性质 （是分类讨论的思想方法。）
一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值，而不是等于这个数，需注意的是 不是等于 ，而是等于 ，再根据 的正、负确定最后的结果。
相应练习：
1．已知 ，则 的结果是_____________。
2．已知 满足 ，那么 的值为（）
A．2004 B．2005 C．2006 D．2007
3．a≥0时， 、 、- ，比较它们的结果，下面四个选项中正确的是（）．
A． = ≥- B． > >-
C． < <- ．- > =
4.判断下列各式是否成立
1．我们把形如的式子叫做二次根式，你能举出一些例子吗？
注意：
①二次根式都含有二次根号 ；
②在二次根式中，被开方数 必须满足 ，当 时，根式无意义；
③在二次根式中， 可以是一个数也可以是一个代数式；
④二次根式 是 的算术平方根，所以 。
2．阅读课本相关内容，理解二次根式的性质的两个公式，完成下面问题：
课题：二次根式的性质
授课教师：祝向奎
学科组长：
教研组长：
学习目标：
理解二次根式的概念．理解 （a≥0）是一个非负数，（ ）2=a（a≥0）， =a（a≥0）．
学习重难点：
1．二次根式 （a≥0）的内涵．
2． （a≥0）是一个非负数；
3．（ ）2＝a（a≥0）； =a（a≥0）及其运用．
学习过程：
一、课前预习
三、合作探究
例1：计算：
（1） （2）
例2：化简
四、分层训练
1．当x是多少时， +x2在实数范围内有意义？
2．若 + 有意义，则 =_______．
3．若│1995-a│+ =a，求a-19952的值．
4．若-3≤x≤2时，试化简│x-2│+ + 。
课
后
反
思