概率论34节两个随机变量的函数的分布
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概率论 两个随机变量的函数的分布
i 0 k
P{Y y j }P{ X zk y j }
j 0
k
k 0,1, 2
14
例1若X1和X 2相互独立，它们分别服从 参数为1和2的泊松分布，求Y X1 X 2 的分布列。
解 P(Y k ) P( X1 X 2 k )
P ( X 1 i, X 2 k i )
或 f Z ( z ) f X ( z y ) fY ( y )dy f ( z ) f ( z ) X Y z (4)
记作
称之为函数 f X ( z) 与 f Y ( z)的卷积。
21
例2 设两个独立的随机变量 X 与Y 都服从 标准正态分布,求 Z=X+Y 的概率密度.
i 0 k
P( X 1 i ) P( X 2 k i )
i 0
k
15
i 0
k
1i
i!
e1
k i !
2k i
e2 e(1 2 )
i 0
k
1i 2k i
(k i)! i !
( 1 2 ) e ( 1 2 ) k i i k i e k Ck 12 (1 2 ) k! i 0 k!
P( Z k ) P( X i, Y k i),
P( X i) P(Y k i),
i 0 k
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱi 0
k
C p (1 p) C p (1 p)
C
i 0 k n1 n2 i n1 i n1 i k i n2 k i
k
n2 k i
22
1 e 2
P{Y y j }P{ X zk y j }
j 0
k
k 0,1, 2
14
例1若X1和X 2相互独立，它们分别服从 参数为1和2的泊松分布，求Y X1 X 2 的分布列。
解 P(Y k ) P( X1 X 2 k )
P ( X 1 i, X 2 k i )
或 f Z ( z ) f X ( z y ) fY ( y )dy f ( z ) f ( z ) X Y z (4)
记作
称之为函数 f X ( z) 与 f Y ( z)的卷积。
21
例2 设两个独立的随机变量 X 与Y 都服从 标准正态分布,求 Z=X+Y 的概率密度.
i 0 k
P( X 1 i ) P( X 2 k i )
i 0
k
15
i 0
k
1i
i!
e1
k i !
2k i
e2 e(1 2 )
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k
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(k i)! i !
( 1 2 ) e ( 1 2 ) k i i k i e k Ck 12 (1 2 ) k! i 0 k!
P( Z k ) P( X i, Y k i),
P( X i) P(Y k i),
i 0 k
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱi 0
k
C p (1 p) C p (1 p)
C
i 0 k n1 n2 i n1 i n1 i k i n2 k i
k
n2 k i
22
1 e 2
两个随机变量的函数的分布
例2 设X,Y是相互独立的服从标准正态分布N(0, 1)的 随机变量。求Z=X +Y的概率密度。
解 由于
fX (x) = fY ( y) =
1
-x2
e2
2
1
- y2
e2
2
- < x < - - < y < +
因此,由卷积公式有
fZ (z) = + fX (x) fY (z - x)dx = 1
变量代换, 令x=u-y,得
z
FZ (z) =
[
-
-
f (u - y, y)du]dy
z
= [ f (u - y, y)dy]du - -
交换积分次序
z
FZ (z) =
[ f (u - y, y)dy]du
- -
由概率密度与分布函数的关系, 即得Z=X+Y 的概率密度为:
由
fY ( y)
=
βe- βy , y 0, y
0, 0;
1 - βe-βy , y 0,
FY
(
y)
=
0,
y 0.
Fmin (z) = 1 - [1 - FX (z)][1 - FY (z)]
1 - e-(α+ β)z , z 0,
=
0,
z 0.
于是Z=min (X，Y )的概率密度为
fZ (z) = - fX (z - y) fY ( y)dy
fZ (z) = - fX (x) fY (z - x)dx
这两个公式称为卷积公式,记作fX * fY ,即
+
两个随机变量的函数的分布40页PPT
两个随机变量的函数的分布
51、山气日夕佳，飞鸟相与还。 52、木欣欣以向荣，泉涓涓而始流。
53、富贵非吾愿，帝乡不可期。 54、雄发指危冠，猛气冲长缨。 55、土地平旷，屋舍俨然，有良田美 池桑竹 之属， 阡陌交 通，鸡 犬相闻 。
61、奢侈是舒适的，否则就不是奢侈 。——CocoCha nel 62、少而好学，如日出之阳；壮而好学 ，如日 中之光 ；志而 好学， 如炳烛 之光。 ——刘 向 63、三军可夺帅也，匹夫不可夺志也。 ——孔 丘 64、人生就是学校。在那里，与其说好 的教师 是幸福 ，不如 说好的 教师是 不幸。 ——海 贝尔 65、接受挑战，就可以享受胜利的喜悦 。——杰纳勒
51、山气日夕佳，飞鸟相与还。 52、木欣欣以向荣，泉涓涓而始流。
53、富贵非吾愿，帝乡不可期。 54、雄发指危冠，猛气冲长缨。 55、土地平旷，屋舍俨然，有良田美 池桑竹 之属， 阡陌交 通，鸡 犬相闻 。
61、奢侈是舒适的，否则就不是奢侈 。——CocoCha nel 62、少而好学，如日出之阳；壮而好学 ，如日 中之光 ；志而 好学， 如炳烛 之光。 ——刘 向 63、三军可夺帅也，匹夫不可夺志也。 ——孔 丘 64、人生就是学校。在那里，与其说好 的教师 是幸福 ，不如 说好的 教师是 不幸。 ——海 贝尔 65、接受挑战，就可以享受胜利的喜悦 。——杰纳勒
两个随机变量的函数的分布
如果对于所有x1 < x2，都有f(x1) < f(x2)，则函数f(x)在其定义 域内单调递增。
单调递减
如果对于所有x1 < x2，都有f(x1) > f(x2)，则函数f(x)在其定义 域内单调递减。
有界性
有上界
如果存在一个实数M，使得对于所有x 属于定义域，都有f(x) <= M，则称 函数f(x)有上界。
两个随机变量的函数的实际 应用
金融领域
金融风险评估
在金融领域中，两个随机变量的函数可以用于评估投资组合的风险。例如，通过计算两 个资产收益率的协方差矩阵，可以了解不同资产之间的相关性，从而制定风险管理策略。
期权定价
在期权定价模型中，标的资产的价格通常被视为一个随机变量。通过引入另一个随机变 量，如无风险利率或波动率，可以构建更复杂的期权定价模型，如二叉树模型和蒙特卡
幂函数
若$X$是随机变量，$n$是自然数，则$X^n$的期望是 $E(X^n)=nE(X)$。
方差的计算
1 2 3
线性函数
若$X$是随机变量，$a$和$b$是常数，则 $aX+b$的方差是$D(aX+b)=a^2D(X)$。
乘积函数
若$X$和$Y$是随机变量，则$X times Y$的方差 是$D(X times Y)=D(X) times D(Y)+[E(X)E(Y)]^2$。
04
CHAPTER
两个随机变量的函数的图像 和性质
图像的绘制
直方图
通过将数据分组并在每个组上绘制矩 形来绘制直方图，矩形的面积等于该 组的频数，高度等于组的中位数。
折线图
散点图
将两个随机变量在坐标系上标出，并 绘制点来表示它们的值。
单调递减
如果对于所有x1 < x2，都有f(x1) > f(x2)，则函数f(x)在其定义 域内单调递减。
有界性
有上界
如果存在一个实数M，使得对于所有x 属于定义域，都有f(x) <= M，则称 函数f(x)有上界。
两个随机变量的函数的实际 应用
金融领域
金融风险评估
在金融领域中，两个随机变量的函数可以用于评估投资组合的风险。例如，通过计算两 个资产收益率的协方差矩阵，可以了解不同资产之间的相关性，从而制定风险管理策略。
期权定价
在期权定价模型中，标的资产的价格通常被视为一个随机变量。通过引入另一个随机变 量，如无风险利率或波动率，可以构建更复杂的期权定价模型，如二叉树模型和蒙特卡
幂函数
若$X$是随机变量，$n$是自然数，则$X^n$的期望是 $E(X^n)=nE(X)$。
方差的计算
1 2 3
线性函数
若$X$是随机变量，$a$和$b$是常数，则 $aX+b$的方差是$D(aX+b)=a^2D(X)$。
乘积函数
若$X$和$Y$是随机变量，则$X times Y$的方差 是$D(X times Y)=D(X) times D(Y)+[E(X)E(Y)]^2$。
04
CHAPTER
两个随机变量的函数的图像 和性质
图像的绘制
直方图
通过将数据分组并在每个组上绘制矩 形来绘制直方图，矩形的面积等于该 组的频数，高度等于组的中位数。
折线图
散点图
将两个随机变量在坐标系上标出，并 绘制点来表示它们的值。
两个随机变量的函数的分布
+∞ −∞
fZ (z) = ∫ fZV (z, v)dv =
∫
+∞
−∞
f (zv, v) | v | dv
Hale Waihona Puke 例5 已知( X, Y ) 的联合分布函数为 −x −y −( x+ y ) , x > 0, y > 0 ⎧1− e − e + e F(x, y) = ⎨ 0, 其他 ⎩ 求Z = X / Y 的 p.d.f. 解
r i =0
i=0,1,2,… j=0,1,2,…
P ( Z = r ) = ∑ P ( X = i,Y = r − i )
由卷积公式
P ( Z = r ) = ∑ P ( X = i,Y = r − i )
= ∑e
i =0
r
i =0 r
-λ1
i λ1
i!
⋅e
r
-λ2
r λ2-i
(r - i)!
e − ( λ1 + λ2 ) = r!
§3.4
两个随机变量的函数的分布
在第二章中，我们讨论了一维随机函数的分 布，现在我们进一步讨论: 当随机变量X1, X2, …,Xn的联合分布已知时， 如何求出它们的函数 Y=g(X1, X2, …,Xn), i=1,2,…,m 的分布? 我们先讨论两个随机变量的函数的分布问题， 然后将其推广到多个随机变量的情形.
⎧e , x > 0, 1 − FX ( x) = ⎨ x≤0 ⎩ 1,
i
−λx
⎧nλe , x > 0 f X ( x) = ⎨ x≤0 ⎩ 0,
− nλx
(2) X = max{ X 1 , X 2 ,
FX ( x ) = ∏ FX ( x )
fZ (z) = ∫ fZV (z, v)dv =
∫
+∞
−∞
f (zv, v) | v | dv
Hale Waihona Puke 例5 已知( X, Y ) 的联合分布函数为 −x −y −( x+ y ) , x > 0, y > 0 ⎧1− e − e + e F(x, y) = ⎨ 0, 其他 ⎩ 求Z = X / Y 的 p.d.f. 解
r i =0
i=0,1,2,… j=0,1,2,…
P ( Z = r ) = ∑ P ( X = i,Y = r − i )
由卷积公式
P ( Z = r ) = ∑ P ( X = i,Y = r − i )
= ∑e
i =0
r
i =0 r
-λ1
i λ1
i!
⋅e
r
-λ2
r λ2-i
(r - i)!
e − ( λ1 + λ2 ) = r!
§3.4
两个随机变量的函数的分布
在第二章中，我们讨论了一维随机函数的分 布，现在我们进一步讨论: 当随机变量X1, X2, …,Xn的联合分布已知时， 如何求出它们的函数 Y=g(X1, X2, …,Xn), i=1,2,…,m 的分布? 我们先讨论两个随机变量的函数的分布问题， 然后将其推广到多个随机变量的情形.
⎧e , x > 0, 1 − FX ( x) = ⎨ x≤0 ⎩ 1,
i
−λx
⎧nλe , x > 0 f X ( x) = ⎨ x≤0 ⎩ 0,
− nλx
(2) X = max{ X 1 , X 2 ,
FX ( x ) = ∏ FX ( x )
两个随机变量的函数的分布-m
如果两个随机变量相互独立，那么它们的积的分布可以通过乘积概率质量 函数计算。
如果两个随机变量不是独立的，那么它们的积的分布可能需要使用联合概 率质量函数进行计算。
应用
金融领域
在金融领域中，两个随机变量的函数的分布可以用于计算投资组合的风险和回报。例如，股票价格的两个随机变量的 函数的分布可以用于计算股票的波动率和相关性。
1. 深入研究两个随机变量的函数的分布-m的性质，探索更多有趣的性质和结论 。
03
2. 将两个随机变量的函数的分布-m的理论应用于实际问题中，为解决实际问题 提供新的思路和方法。
展望
3. 进一步拓展两个随机变量的函数的分布-m的理论，与其他相关理论进行交叉研究，以期取得更多 的创新成果。
实际应用前景：两个随机变量的函数的分布-m的理论不仅在理论上具有重要意义，在实际应用中也具 有广阔的前景。例如，在金融、通信、物理等领域中，都可以利用两个随机变量的函数的分布-m的理 论进行建模和分析。未来，随着科技的不断发展，这一理论的应用前景将更加广阔。
THANKS FOR WATCHING
感谢您的观看
03 两个随机变量的函数的期 望和方差
联合期望和方差
联合期望
E[g(X,Y)]，其中g(X,Y)是两个随机变 量X和Y的函数。
联合方差
D[g(X,Y)]，衡量g(X,Y)的取值与其期望 的偏离程度。
条件期望和方差
条件期望
E[g(X,Y)|X=x]或E[g(X,Y)|Y=y]，即在给定X或Y的条件下， g(X,Y)的期望。
独立性
01
如果两个随机变量X和Y相互独立，那么它们的函数也具有独立 性。
02
独立性意味着一个随机变量的取值不会影响到另一个随机变量
如果两个随机变量不是独立的，那么它们的积的分布可能需要使用联合概 率质量函数进行计算。
应用
金融领域
在金融领域中，两个随机变量的函数的分布可以用于计算投资组合的风险和回报。例如，股票价格的两个随机变量的 函数的分布可以用于计算股票的波动率和相关性。
1. 深入研究两个随机变量的函数的分布-m的性质，探索更多有趣的性质和结论 。
03
2. 将两个随机变量的函数的分布-m的理论应用于实际问题中，为解决实际问题 提供新的思路和方法。
展望
3. 进一步拓展两个随机变量的函数的分布-m的理论，与其他相关理论进行交叉研究，以期取得更多 的创新成果。
实际应用前景：两个随机变量的函数的分布-m的理论不仅在理论上具有重要意义，在实际应用中也具 有广阔的前景。例如，在金融、通信、物理等领域中，都可以利用两个随机变量的函数的分布-m的理 论进行建模和分析。未来，随着科技的不断发展，这一理论的应用前景将更加广阔。
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03 两个随机变量的函数的期 望和方差
联合期望和方差
联合期望
E[g(X,Y)]，其中g(X,Y)是两个随机变 量X和Y的函数。
联合方差
D[g(X,Y)]，衡量g(X,Y)的取值与其期望 的偏离程度。
条件期望和方差
条件期望
E[g(X,Y)|X=x]或E[g(X,Y)|Y=y]，即在给定X或Y的条件下， g(X,Y)的期望。
独立性
01
如果两个随机变量X和Y相互独立，那么它们的函数也具有独立 性。
02
独立性意味着一个随机变量的取值不会影响到另一个随机变量
概率论3-4节两个随机变量的函数的分布-优质课件
第3.4节 两个随机变量的函数的分布
一、问题的引入 二、离散型随机变量函数的分布 三、连续型随机变量函数的分布 四、小结
一、问题的引入
有一大群人,令 X 和 Y 分别表示一个人的 年龄和体重, Z 表示该人的血压,并且已知Z 与 X , Y 的函数关系Z f ( X ,Y ), 如何通过X ,Y 的 分布确定Z 的分布.
1113 22 22 22 22 .
故Z max(X ,Y ) Z 0
1
的分布律为
1
3
P
4
4
三、连续型随机变量函数的分布
1. Z=X+Y 的分布
设( X ,Y )的概率密度为p(x, y), 则Z X Y
的分布函数为
FZ (z) P{Z z} p(x, y) d x d y x yz
解 由于 pX ( x)
1
x2
e 2 , x ,
2
pY ( y)
1
y2
e 2,
2
y ,
由公式
pZ (z) pX (x) pY (z x) d x.
得
pZ (z)
1
x2 ( z x )2
e 2e 2 dx
1
1
3
1
12 12 12
1 2 3
概率 1
12
2
1
12 12
2
0
12
132
12 12 12
0 等价于
2 12 12 2 12 12 12
( X ,Y )
(1,2)
(1,1) (1,0)
1 2
,2
一、问题的引入 二、离散型随机变量函数的分布 三、连续型随机变量函数的分布 四、小结
一、问题的引入
有一大群人,令 X 和 Y 分别表示一个人的 年龄和体重, Z 表示该人的血压,并且已知Z 与 X , Y 的函数关系Z f ( X ,Y ), 如何通过X ,Y 的 分布确定Z 的分布.
1113 22 22 22 22 .
故Z max(X ,Y ) Z 0
1
的分布律为
1
3
P
4
4
三、连续型随机变量函数的分布
1. Z=X+Y 的分布
设( X ,Y )的概率密度为p(x, y), 则Z X Y
的分布函数为
FZ (z) P{Z z} p(x, y) d x d y x yz
解 由于 pX ( x)
1
x2
e 2 , x ,
2
pY ( y)
1
y2
e 2,
2
y ,
由公式
pZ (z) pX (x) pY (z x) d x.
得
pZ (z)
1
x2 ( z x )2
e 2e 2 dx
1
1
3
1
12 12 12
1 2 3
概率 1
12
2
1
12 12
2
0
12
132
12 12 12
0 等价于
2 12 12 2 12 12 12
( X ,Y )
(1,2)
(1,1) (1,0)
1 2
,2
§3.3 两个随机变量函数的分布
§3.3 两个随机变量函数的分布在实际问题中，有些随机变量往往是两个或两个以上随机变量的函数. 例如，医学上考察某地区40岁以上的人群，用X 和Y 分别表示一个人的年龄和体重，Z 表示这个人的血压，并且已知Z 与X ，Y 的函数关系式),(Y X g Z = 我们希望通过),(Y X 的分布来确定Z 的分布. 在本节中，我们重点讨论两种特殊的函数关系: （1）Y X Z +=(2) },m ax{Y X Z =和},m in{Y X Z =，其中X 与Y 相互独立. 一、 离散型随机变量的函数的分布设),(Y X 是二维离散型随机变量,其概率分布为),2,1,(},{ ====j i p y Y x X P ijj i ，又),(y x g 是一个二元函数, 则(,)Z g X Y =也是一个一维离散型随机变量, 设),(Y X g Z =的所有可能取值为 ,2,1,=k z k , 则Z 的概率分布为(,){}{(,)}i j kk k ij g x y z P Z z P g X Y z P =====∑,,2,1 =k其中(,)i j kij g x y z P =∑是指若有一些(),i j x y 都使(,)i j k g x y z =，则将这些(),i j x y 对应的概率相加。
例1 设随机变量),(Y X 的概率分布如下表求（1）Z X Y =+的概率分布；（2）Z XY =的概率分布 解 由),(Y X 的概率分布可得把Z 值相同项对应的概率值合并得（1）Z X Y =+的概率分布为（2）Z XY =的概率分布例2 :若X 和Y 相互独立,且分别服从参数为21,λλ的泊松分布,求Y X Z +=的分布律.解:因,X Y 所有可能取值为012，，，，故Y X Z +=,X Y 所有可能取值为012，，，，事件{}{}Z n X Y n ==+=可以写成互不相容的事件{}X k Y n k ==-，(0,1,2,,)k n =之和，由,X Y 相互独立，所以有{}P Z n ={}P X Y n =+={}0nk P X k Y n k ====-∑，{}{}0n k P X k P Y n k ====-∑()1212!!kn k nk ee k n k λλλλ---==⋅-∑()()121201!!nk n kk ek n k λλλλ-+-==⋅-∑()()12120!!!!nk n kk e n n k n k λλλλ-+-==⋅-∑()1212!nk k n k nk e C n λλλλ-+-==⋅⋅∑()()1212!n en λλλλ-+=+()012n =，，，这表明Y X Z +=服从参数为12λλ+的泊松分布。
两个随机变量的函数的分布-资料41页PPT
两个随机变量的函数的分布-资料
51、没有哪个社会可以制订一部永远 适用的 宪法， 甚源于人的自卫本能。——英 格索尔
53、人们通常会发现，法律就是这样 一种的 网，触 犯法律 的人， 小的可 以穿网 而过， 大的可 以破网 而出， 只有中 等的才 会坠入 网中。 ——申 斯通 54、法律就是法律它是一座雄伟的大 夏，庇 护着我 们大家 ；它的 每一块 砖石都 垒在另 一块砖 石上。 ——高 尔斯华 绥 55、今天的法律未必明天仍是法律。 ——罗·伯顿
55、 为 中 华 之 崛起而 读书。 ——周 恩来
谢谢！
51、 天 下 之 事 常成 于困约 ，而败 于奢靡 。——陆 游 52、 生 命 不 等 于是呼 吸，生 命是活 动。——卢 梭
53、 伟 大 的 事 业，需 要决心 ，能力 ，组织 和责任 感。 ——易 卜 生 54、 唯 书 籍 不 朽。——乔 特
51、没有哪个社会可以制订一部永远 适用的 宪法， 甚源于人的自卫本能。——英 格索尔
53、人们通常会发现，法律就是这样 一种的 网，触 犯法律 的人， 小的可 以穿网 而过， 大的可 以破网 而出， 只有中 等的才 会坠入 网中。 ——申 斯通 54、法律就是法律它是一座雄伟的大 夏，庇 护着我 们大家 ；它的 每一块 砖石都 垒在另 一块砖 石上。 ——高 尔斯华 绥 55、今天的法律未必明天仍是法律。 ——罗·伯顿
55、 为 中 华 之 崛起而 读书。 ——周 恩来
谢谢！
51、 天 下 之 事 常成 于困约 ，而败 于奢靡 。——陆 游 52、 生 命 不 等 于是呼 吸，生 命是活 动。——卢 梭
53、 伟 大 的 事 业，需 要决心 ，能力 ，组织 和责任 感。 ——易 卜 生 54、 唯 书 籍 不 朽。——乔 特
两个随机变量的函数及其分布
主题简介
两个随机变量的函数及其分布是概率 论和统计学中的重要概念，主要研究 两个随机变量之间的关系及其变化规 律。
在实际应用中，许多问题都需要考虑 两个或多个随机变量的相互作用，例 如金融市场的相关性分析、生物统计 学中的遗传学研究等。
目的和重要性
目的
探讨两个随机变量之间的函数关系，分析其分布特性，为实 际问题提供理论依据和解决方案。
险和收益的平衡。
信用风险评估
03
利用两个随机变量的函数分布，可以对借款人的信用风险进行
评估，如评估贷款违约的概率。
在机器学习中的应用
特征工程
通过将两个随机变量的函数分布作为特征，可以提高机器学习模 型的性能，如将图像的边缘检测结果作为特征用于图像分类。
聚类分析
基于两个随机变量的函数分布，可以对数据进行聚类分析， 如K-means聚类算法中利用距离度量进行聚类。
预测与决策
基于两个随机变量的函数分布，可以对未来数据进行预测，并据此 做出决策，如利用时间序列数据进行趋势预测。
在金融风险管理中的应用
风险评估
01
通过分析两个随机变量的函数分布，可以对金融风险进行评估，
如计算根据两个随机变量的函数分布，可以优化投资组合，以实现风
理论意义
完善概率论和统计学的理论体系，促进学科发展。
实际应用
为相关领域的研究和实践提供有效的分析工具和方法，如金 融市场预测、医学诊断等。
PART 02
两个随机变量的独立性
REPORTING
WENKU DESIGN
独立性的定义
两个随机变量X和Y是独立的，如果它 们的联合概率分布与各自的概率分布 相乘得到的概率分布相同。
降维处理
2.6.2两个随机变量函数的分布
那么要问，若我们需要求Y=min(X1,X2) 的分布，应如何分析？
留作课下思考
我们介绍了如何求r.v函数的分布.但有时我 们无法精确求出此分布.
例如，想求两个独立连续型r.v 之和X+Y的 分布函数. X的分布函数为F，Y的分布函数为G， 在理论上，可以求得：
P (X Y t)P (X Y t|X x )f(x ) dx G(tx)f(x)dx
1 z2 (xz)2
e 4 e 2 dx
2
令t x z ,得 2
1 z2
fZ(z)2e 4
et2d x
1 z2 e4
1
z2
e4
1
e . 2(z22)2
2
2
2 2
即有：若X和Y 独立,具有相同的分布 N(0,1),则Z=X+Y服从正态分布N(0,2).
若X和Y 独立, X ~ N (1 ,1 2 )Y ,~ N (2 ,2 2 ),
解一: P(Y=n)= P(max(X1,X2)=n)
记1-p=q
=P(X1=n, X2≤n)+P( X2 =n, X1 <n)
n
n1
pqn1 pqk1 pqn1 pqk1
k1
p2qn1 1 qn 1 q
k1
p2qn1 1qn1 1q
pnq 1(2qnqn1)
n=1,2,…
解二: P(Y=n)=P(Y≤n)-P(Y≤n-1)
r!
r r! i i0i!(r-i)!1
r-i 2
e(12)
r!
(1
2)r,
r =0,1，…
即Z服从参数为 1 2 的泊松分布.
例3 设X和Y相互独立，X~B(n1,p),Y~B(n2,p),求 Z=X+Y 的分布.
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为确定积分限,先找出使被积函数不为0的区域
0 x1 0 z x 1
0 x1 z 1 x z
也即
pZ ( z ) p X ( x ) pY ( z x )dx
为确定积分限,先找出使被积函数不为0的区域 0 x 1 0 x 1 也即 z 1 x z 0 z x 1 如图示: 于是 z dx z , 0 z 1 0 1 pZ ( z ) z 1 dx 2 z , 1 z 2 0, 其它
PX
PY
求随机变量 Z=X+Y 的分布律. 解 因为 X 与 Y 相互独立, 所以 P{ X xi ,Y y j } P{ X xi }P{Y y j }, Y 2 4 X 得 0.12 1 0.18 3 0.42 0.28
X 1 3
Y
P
2 4 0.18 0.12 0.42 0.28
X 0
Y
0
1
1
1 22 1 22
1 22 1 22
1 P{max( X ,Y ) 0} P {0,0} 2 , 2 P{max( X ,Y ) 1} P {1,0} P {0,1} P {1,1} 1 1 1 3 2 2 2 2. 2 2 2 2 1 故Z max( X ,Y ) Z 0 1 3 的分布律为 P 4 4
αe αx , x 0, f X ( x) x 0, 0,
βe βy , y 0, fY ( y ) y 0, 0,
其中 α 0, β 0 且 α β . 试分别就以上三种联 接方式写出 L 的寿命 Z 的概率密度.
解 (i)串联情况
二、离散型随机变量函数的分布
例1 设随机变量 ( X ,Y ) 的分布律为
X
Y
2
1 12 2 12 2 12
1
1 12 1 12
0
3 12 0
1
1 2 3
0
2 12
求 (1) X Y , (2) X Y 的分布律.
解
X
Y
2
1 12 2 12 2 12
1
1 12 1 12
0
3 12 0
z
p( x, y) d x] d y
x
z
[ p(u y, y) d u] d y
[ p(u y, y) d y] d u.
由此可得概率密度函数为
pZ ( z ) p( z y, y) d y.
由于X 与Y 对称, pZ ( z ) p( x , z x ) d x . 当 X, Y 独立时, pZ ( z )也可表示为
X Y 3
P
1 12
2
1 12
1
3 12
3 2
2 12
1 2
1 12
1
2 12
3
2 12
X Y
P
0
1 12
1
4 12
5 2
2 12
3 2
1 12
5
2 12
3
2 12
结论
若二维离散型随机变量 的联合分布律为
P{ X xi ,Y y j } pij , i , j 1,2,
此时
将
10 x , 0 x 10, p( x) 50 其它. 0,
2.极值分布
设 X ,Y 是两个相互独立的随机 变量, 它们 的分布函数分别为FX ( x ) 和 FY ( y ),
令M max( X , Y )及N min( X , Y )
令M max( X , Y )及N min( X , Y )
则随机变量函数 Z f ( X , Y )的分布律为
P{ Z zk } P{ f ( X , Y ) zk }
z k f ( xi , y j )
pij k 1,2,.
例2 设两个独立的随机变量X 与Y 的分布律为
X
1 0.3
3 0.7
Y
2 0.6
4 0.4
pZ ( z ) p X ( z y) pY ( y) d y,
或
pZ ( z ) p X ( x) pY ( z x) d x.
例4 设两个独立的随机变量 X 与Y 都服从标准正 态分布,求 Z=X+Y 的概率密度.
解 由于 pX ( x )
1 2
y2 2
1
2 0 12 1 1 3 2 1 2 2 概率 12 12 12 12 12 12 12 1 1 ( X ,Y ) ( 1,2) ( 1,1) ( 1,0) ,2 ,1 ( 3,2) ( 3,0) 2 2
1 2 3
等价于
概率
1 12
1 12
由于当 L1 , L2 中有一个损坏时 , 系统 L 就停止工作,
所以这时 L 的寿命为
Z min( X ,Y ).
αe αx , x 0, 1 e αx , x 0, 由 f X ( x) FX ( x ) x 0, x 0, 0, 0,
1 [1 P{ X z }] [1 P{Y z }]
1 [1 FX ( z )][1 FY ( z )].
故有
Fmax ( z ) FX ( z )FY ( z ),
Fmin ( z ) 1 [1 FX ( z )][1 FY ( z )].
0 0.5
1 0.5
试求 : Z max( X ,Y ) 的分布律. 解 因为X与Y相互独立, 所以 P{ X i ,Y j } P{ X i }P{Y j }, Y 0 1 X 于是 0 1 22 1 22 1 22 1 22 1
P{max( X ,Y ) i }
P { X i ,Y i } P { X i ,Y i }
x
x 10
xz
x z 10
O
10
20
z
0 x 10, 当 0 z x 10,
0 x 10, 即 时, z 10 x z ,
pR ( z ) p( x) p( z x) d x 中被积函数不为零.
z p ( x ) p ( z x ) d x, 0 z 10, 0 10 pR ( z ) p( x) p( z x) d x, 10 z 20, (1) z 10 其它. 0,
例2.25 已知X ~ Exp( ), Y ~ Exp( ), 0, 0, X 与Y 相互独立, 求Z min( X , Y )的分布密度. 解 由题设知 FX ( x) e u du 1 e x ( x 0)
0 x
FY ( y ) e v dv 1 e y ( y 0)
一、问题的引入
有一大群人 ,令 X 和 Y 分 别表 示一 个 人的 年龄和体重 , Z 表示该人的血压 , 并 且 已 知Z 与 X , Y 的 函 数 关 系Z f ( X , Y ), 如 何 通 过X , Y 的 分 布 确 定Z 的 分 布 .
为了解决类似的问题,下面
我们讨论两个随机变量函数的分布.
则有 Fmax ( z ) P{ M z } P { X z ,Y z }
P { X z }P {Y z } FX ( z )FY ( z ).
Fmin ( z ) P{ N z } 1 P { N z }
1 P { X z ,Y z } 1 P { X z } P {Y z }
e
x2 2
, x ,
1 pY ( y) e 2
, y ,
由公式
pZ ( z) p X ( x) pY ( z x) d x.
1 得 pZ ( z ) e 2
x2 2
e
( z x )2 2
dx
1 e 2
三、连续型随机变量函数的分布 1. Z=X+Y 的分布
设 ( X , Y )的概率密度为 p( x, y),则Z X Y 的分布函数为 FZ ( z ) P{ Z z }
x y z
p( x, y) d x d y
O
y
x u y
[
z y
x y z
0
y
则Z的分布函数为 FZ ( z ) 1 [1 FX ( z )][1 FY ( z )] 1 e ( ) z ( z 0) 则 PZ ( z ) ( )e ( ) z ( z 0) 说明Z ~ Exp ( ).
测量了5次 , 得到的观 例2 对某种电子装置的输出 察值为X 1 , X 2 , X 3 , X 4 , X 5 , 设它们是相互独立的随 机变量, 且都服从同一分布: 1 e , z 0, F (z) 其它. 0, 试求 : max( X 1 , X 2 , X 3 , X 4 , X 5 ) 4 的概率.
z t x 2
z2 4
e
z 2 x 2
dx
1 e 2
z2 4
e
t 2
dt
1 2
e
z2 4
.
即 Z 服从 N (0,2) 分布.
0 x1 0 z x 1
0 x1 z 1 x z
也即
pZ ( z ) p X ( x ) pY ( z x )dx
为确定积分限,先找出使被积函数不为0的区域 0 x 1 0 x 1 也即 z 1 x z 0 z x 1 如图示: 于是 z dx z , 0 z 1 0 1 pZ ( z ) z 1 dx 2 z , 1 z 2 0, 其它
PX
PY
求随机变量 Z=X+Y 的分布律. 解 因为 X 与 Y 相互独立, 所以 P{ X xi ,Y y j } P{ X xi }P{Y y j }, Y 2 4 X 得 0.12 1 0.18 3 0.42 0.28
X 1 3
Y
P
2 4 0.18 0.12 0.42 0.28
X 0
Y
0
1
1
1 22 1 22
1 22 1 22
1 P{max( X ,Y ) 0} P {0,0} 2 , 2 P{max( X ,Y ) 1} P {1,0} P {0,1} P {1,1} 1 1 1 3 2 2 2 2. 2 2 2 2 1 故Z max( X ,Y ) Z 0 1 3 的分布律为 P 4 4
αe αx , x 0, f X ( x) x 0, 0,
βe βy , y 0, fY ( y ) y 0, 0,
其中 α 0, β 0 且 α β . 试分别就以上三种联 接方式写出 L 的寿命 Z 的概率密度.
解 (i)串联情况
二、离散型随机变量函数的分布
例1 设随机变量 ( X ,Y ) 的分布律为
X
Y
2
1 12 2 12 2 12
1
1 12 1 12
0
3 12 0
1
1 2 3
0
2 12
求 (1) X Y , (2) X Y 的分布律.
解
X
Y
2
1 12 2 12 2 12
1
1 12 1 12
0
3 12 0
z
p( x, y) d x] d y
x
z
[ p(u y, y) d u] d y
[ p(u y, y) d y] d u.
由此可得概率密度函数为
pZ ( z ) p( z y, y) d y.
由于X 与Y 对称, pZ ( z ) p( x , z x ) d x . 当 X, Y 独立时, pZ ( z )也可表示为
X Y 3
P
1 12
2
1 12
1
3 12
3 2
2 12
1 2
1 12
1
2 12
3
2 12
X Y
P
0
1 12
1
4 12
5 2
2 12
3 2
1 12
5
2 12
3
2 12
结论
若二维离散型随机变量 的联合分布律为
P{ X xi ,Y y j } pij , i , j 1,2,
此时
将
10 x , 0 x 10, p( x) 50 其它. 0,
2.极值分布
设 X ,Y 是两个相互独立的随机 变量, 它们 的分布函数分别为FX ( x ) 和 FY ( y ),
令M max( X , Y )及N min( X , Y )
令M max( X , Y )及N min( X , Y )
则随机变量函数 Z f ( X , Y )的分布律为
P{ Z zk } P{ f ( X , Y ) zk }
z k f ( xi , y j )
pij k 1,2,.
例2 设两个独立的随机变量X 与Y 的分布律为
X
1 0.3
3 0.7
Y
2 0.6
4 0.4
pZ ( z ) p X ( z y) pY ( y) d y,
或
pZ ( z ) p X ( x) pY ( z x) d x.
例4 设两个独立的随机变量 X 与Y 都服从标准正 态分布,求 Z=X+Y 的概率密度.
解 由于 pX ( x )
1 2
y2 2
1
2 0 12 1 1 3 2 1 2 2 概率 12 12 12 12 12 12 12 1 1 ( X ,Y ) ( 1,2) ( 1,1) ( 1,0) ,2 ,1 ( 3,2) ( 3,0) 2 2
1 2 3
等价于
概率
1 12
1 12
由于当 L1 , L2 中有一个损坏时 , 系统 L 就停止工作,
所以这时 L 的寿命为
Z min( X ,Y ).
αe αx , x 0, 1 e αx , x 0, 由 f X ( x) FX ( x ) x 0, x 0, 0, 0,
1 [1 P{ X z }] [1 P{Y z }]
1 [1 FX ( z )][1 FY ( z )].
故有
Fmax ( z ) FX ( z )FY ( z ),
Fmin ( z ) 1 [1 FX ( z )][1 FY ( z )].
0 0.5
1 0.5
试求 : Z max( X ,Y ) 的分布律. 解 因为X与Y相互独立, 所以 P{ X i ,Y j } P{ X i }P{Y j }, Y 0 1 X 于是 0 1 22 1 22 1 22 1 22 1
P{max( X ,Y ) i }
P { X i ,Y i } P { X i ,Y i }
x
x 10
xz
x z 10
O
10
20
z
0 x 10, 当 0 z x 10,
0 x 10, 即 时, z 10 x z ,
pR ( z ) p( x) p( z x) d x 中被积函数不为零.
z p ( x ) p ( z x ) d x, 0 z 10, 0 10 pR ( z ) p( x) p( z x) d x, 10 z 20, (1) z 10 其它. 0,
例2.25 已知X ~ Exp( ), Y ~ Exp( ), 0, 0, X 与Y 相互独立, 求Z min( X , Y )的分布密度. 解 由题设知 FX ( x) e u du 1 e x ( x 0)
0 x
FY ( y ) e v dv 1 e y ( y 0)
一、问题的引入
有一大群人 ,令 X 和 Y 分 别表 示一 个 人的 年龄和体重 , Z 表示该人的血压 , 并 且 已 知Z 与 X , Y 的 函 数 关 系Z f ( X , Y ), 如 何 通 过X , Y 的 分 布 确 定Z 的 分 布 .
为了解决类似的问题,下面
我们讨论两个随机变量函数的分布.
则有 Fmax ( z ) P{ M z } P { X z ,Y z }
P { X z }P {Y z } FX ( z )FY ( z ).
Fmin ( z ) P{ N z } 1 P { N z }
1 P { X z ,Y z } 1 P { X z } P {Y z }
e
x2 2
, x ,
1 pY ( y) e 2
, y ,
由公式
pZ ( z) p X ( x) pY ( z x) d x.
1 得 pZ ( z ) e 2
x2 2
e
( z x )2 2
dx
1 e 2
三、连续型随机变量函数的分布 1. Z=X+Y 的分布
设 ( X , Y )的概率密度为 p( x, y),则Z X Y 的分布函数为 FZ ( z ) P{ Z z }
x y z
p( x, y) d x d y
O
y
x u y
[
z y
x y z
0
y
则Z的分布函数为 FZ ( z ) 1 [1 FX ( z )][1 FY ( z )] 1 e ( ) z ( z 0) 则 PZ ( z ) ( )e ( ) z ( z 0) 说明Z ~ Exp ( ).
测量了5次 , 得到的观 例2 对某种电子装置的输出 察值为X 1 , X 2 , X 3 , X 4 , X 5 , 设它们是相互独立的随 机变量, 且都服从同一分布: 1 e , z 0, F (z) 其它. 0, 试求 : max( X 1 , X 2 , X 3 , X 4 , X 5 ) 4 的概率.
z t x 2
z2 4
e
z 2 x 2
dx
1 e 2
z2 4
e
t 2
dt
1 2
e
z2 4
.
即 Z 服从 N (0,2) 分布.