圆的轴对称性(1)
圆的对称性及周长计算
圆的对称性及周长计算一、圆的对称性【知识点一】圆是轴对称图形。
（1）轴对称图形：如果一个图形沿着一条直线对折，直线两旁的部分能够完全重合，则这个图形叫做轴对称图形。
这条直线就是它的对称轴。
（2）圆是轴对称图形，直径所在的直线是圆的对称轴。
【知识点二】圆的对称轴的画法。
（1）圆的对称轴的画法：把圆的直径两端无限延长，就得到圆的对称轴。
（2）圆有无数条对称轴，所以圆以圆心为旋转点旋转任意角度都与自身重合。
半圆只有一条对称轴。
【知识点三】根据对称轴画出给定图形的轴对称图形。
画指定图形的轴对称图形，应根据轴对称图形的性质，找到原图形的关键点或关键线段。
圆是曲线图形，它的关键点就是圆心，关键线段就是直径和半径。
画指定图形的轴对称图形的方法：（1）找出所给图形的关键点或关键线段，圆的关键点为圆心，关键线段为半径或直径。
（2）画出关键点或关键线段的对应点和对应线段。
（3）圆应以对应点为圆心，对应半径为半径画圆，圆以外图形应连结对应点和对应线段。
误区警示：（1）圆的直径是圆的对称轴，圆有无数条直径，圆有无数条对称轴。
这种说法完全正确。
（2）判断：在同一平面内，任意两个圆都成轴对称。
（√）练一练：1、画出下面图形的另一半。
2、两个大小不同的圆可以组成六种图形，请找出每个图形的对称轴，并说一说它们的对称轴有什么共同特点。
3、判断。
（1）只有圆是轴对称图形。
（ ）（2）圆有无数条对称轴。
（ ）二、圆的周长（1） 圆的周长与直径有关，直径越长，周长越长。
（2） 任意一个圆的周长与它的直径的比是一个固定的数，我们把它叫做圆周率。
用字母π表示。
在小学阶段，如果不做特殊要求，π一般取3.14。
（3）=⇒=⨯圆的周长圆周率圆的周长直径圆周率直径圆的周长计算公式：直径×圆周率 或 半径×2×圆周率。
如果用字母C 表示圆的周长，r 表示半径，d 表示直径。
圆的周长字母公式为：C=πd 或C=2πr.（4）圆的周长的变化与该圆半径、直径的关系：① 如果圆的半径、直径扩大若干倍，它的周长也扩大若干倍。
圆的认识(二)知识点总结
圆的认识(二)知识点总结一、圆的对称性。
1. 轴对称性。
- 圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条经过圆心的直线。
圆有无数条对称轴。
- 例如，我们可以将一个圆形纸片沿着任意一条通过圆心的直线对折，对折后的两部分都能完全重合，这就体现了圆的轴对称性。
2. 中心对称性。
- 圆也是中心对称图形，对称中心为圆心。
- 把一个圆绕着圆心旋转任意一个角度后，都能与原来的图形重合。
在圆形的转盘游戏中，转盘绕着圆心旋转后，其位置虽然改变了，但形状和大小不变，这就是圆的中心对称性的体现。
二、弧、弦、圆心角的关系。
1. 定义。
- 圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角。
例如在圆O中，∠ AOB的顶点O 是圆心，所以∠ AOB是圆心角。
- 弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。
弧用符号“⌒”表示，以A、B为端点的弧记作overset{frown}{AB}。
- 弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦。
经过圆心的弦叫做直径，直径是圆内最长的弦。
例如在圆O中，线段AB是弦，若AB经过圆心O，则AB是直径。
2. 关系定理。
- 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等。
- 例如，在圆O中，如果∠ AOB=∠ COD，那么overset{frown}{AB}=overset{frown}{CD}，AB = CD。
3. 推论。
- 在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦相等。
- 在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弧相等。
三、圆周角。
1. 定义。
- 顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角。
例如在圆O中，∠ACB的顶点C在圆上，且AC、BC都与圆相交，所以∠ ACB是圆周角。
2. 圆周角定理。
- 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。
- 例如，在圆O中，弧overset{frown}{AB}所对的圆周角∠ ACB和圆心角∠ AOB，则∠ ACB=(1)/(2)∠ AOB。
圆对称性1
拓展： 如图，AB是⊙O的弦 ①CD是直径；② CD⊥AB ； ⌒ ⌒ ③CD平分AB； ④ AC=BC ⑤ AD=BD
⌒ ⌒
D C
A
O
M
●
B
在以上五元素中，由其二即可得其余三.
例.如右图所示，一条排水管截面是圆形， 圆心为O，半径为10分米，若水宽AB=16分米， 求水深. 变式1.如果没有图形，求水深.
B
O
●
D
（1）此图是轴对称图形吗？如果是，其对 称轴是什么？ （2）你能发现图中有哪些等量关系？说一 说你的理由。
C
问题2： 如图，AB是⊙O的一条弦， CD交AB于M，且CD平分AB，
CD ⊥ AB
∟
A
M
B
O
●
AC=BC
⌒ ⌒
⌒ ⌒
D
AD=BD
垂直于弦 直径平分弦 平分弧 ∵ CD为⊙O的直径， 垂径定理的逆定理： AM=BM 平分弦(不是直径 )的直径 垂直于弦，并且平分弦所对的 ∴ CD⊥AB ， ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ 弧.，点P是⊙O内一点，过点P的最 长弦为10，最短弦为8，,则OP的长是 3 D 4 _____. B 过点P的整数弦有____条.
●
O A
●
P
C
练习 3.若AB、CD是⊙O的两条弦，AB∥CD， AB=8cm，CD=6cm，⊙O的直径为10求两弦之 间的距离. Q
C
D
O
A C
O A O C
● ●
B
A
C D
D
∟
B
变式2.如右图所示，一条排水管截面是圆 形，圆心为O，水深为4分米，若水宽AB=16 分米，求半径长.
O A
●
3.2 圆的对称性(第一课时)
①④
①⑤ ②③ ②④ ②⑤
②③⑤
②③④ ①④⑤ ①③⑤ ①③④
③④
③⑤ ④⑤
①②⑤
①②④ ①②③
练习：在⊙O中，OC垂直于弦AB， AB = 8，OA = 5， 则AC = 4 ，OC = 3 。
O
5 3 4 ┏
A
C
8
B
例2、如图，AB是⊙O的一条弦，点C为弦AB 的中点，OC = 3，AB = 8，求OA的长。
●
想一想P88 2
圆的对称性
驶向胜利 的彼岸
圆是轴对称图形. 圆的对称轴是任意一条经过圆心的直线,它有无 数条对称轴. 可利用折叠的方法即可解决上述问题. 圆也是中心对称图形.
●
O
它的对称中心就是圆心.
用旋转的方法即可解决这个 问题.
读一读P88 3
圆的相关概念
圆上任意两点间的部分叫做圆弧,简称弧. 以A,B两点为端点的弧.记作 ⌒ ,读作“弧 AB AB”. 连接圆上任意两点间的线段叫做弦(如弦AB).
●
O
∴当圆沿着直径CD对折时,点A与点B ⌒ ⌒ 重合, ⌒ ⌒ AC和BC重合, AD和BD重合.
D
⌒ ⌒ ⌒ ∴AC =BC, AD =BD.
⌒
想一想 P90 6
垂径定理
驶向胜利 的彼岸
定理 垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所的两条弧.
C
A
M└
●
如图∵ CD是直径, CD⊥AB, B
O
∴AM=BM,
B
独立作业P91 16
挑战自我
驶向胜利 的彼岸
P94:习题3.2
2题祝你成功!试一试P93 15挑战自我画一画
3.1圆的对称性
C
D
自主学习：
1、圆是轴对称图形吗？ • 圆是轴对称图形.
如果是,它的对称轴是什么?你能找到多 少条对称轴？
圆的对称轴是任意一条经过 ●O
圆心的直线,它有无数条对称轴. 你是用什么方法找到对称轴的? 利用折叠的方法即可解决上述问题.
自主学习：
2、按下面的步骤做一做： 1）拿出一张圆形纸片，把这个圆对折， 使圆的两半部分重合． 2）得到一条折痕CD． 3）在⊙O上任取一点A，过点A作CD折痕的垂线，得到新的折
D
A
B
E
A
O
O
CE
O
A
E
B
B
C
A
C D
O
E
C
D
AE
B
D
O
BA
E
B
C
探究二：垂径定理的应用
例１：如图，以△OAB的顶点O为圆心的⊙O交 AB于点C、D，且AC=BD。
求证：OA＝OB。
探究二：垂径定理的应用
例2：如图，已知在⊙O A 中，弦AB的长为8厘米， 圆心O到AB的距离为3厘 米，求⊙O的半径。
圆的相关概念
• 圆上任意两点间的部分叫做圆弧,简称弧.
以A,B两点为端点的弧.记作 A⌒B,读作“弧 AB”小. 于半圆的弧叫做劣弧,如记作 A⌒B (用两个字母).
大于半圆的弧叫做优弧,如记作 A⌒DB
(用三个字母).
B
连接圆上任意两点间的线段叫做弦
(如弦AB).
A
●O
经过圆心的弦叫做直径(如直径AC).
你说、我说、大家说：
当堂达标：
1.在⊙O中，若CD ⊥AB于M，AB为直径， A
则下A列、结A⌒C论=不A⌒D正确的B、是B（⌒C=CB⌒）D
3.1圆的对称性
探究一：垂径定理的三种语言
定理 垂直于弦的直径平分弦以及弦所对的两条弧.
C
A B O
M└
●
∵ CD是直径, CD⊥AB, ∴ AM=BM,
⌒ ⌒ ⌒ ⌒ AC = BC, AD = BD. ③直径平分弦 结论 ④平分弦所对的劣弧 ⑤平分弦所对的优弧
D
条件
①一条直径 ②垂直于弦
垂 直 直 径
C
半 径
OC OB BC 10 8 6
2 2 2 2
8
C
10 8
答:截面圆心O到水面的距离为6.
D
想一想:排水管中水最深多少?
解决求赵州桥拱半径的问题
例2、赵州桥的主桥是圆弧形,它的跨 度(弧所对的弦的长)为37.4m, 拱高 (弧的中点到弦的距离)为7.2m，你能 求出赵州桥主桥拱的半径吗？
解：连结OA． ∵OM⊥AB， 1 ∴ AM AB
AM OA 2 OM 2 3
∴AB＝2AM＝6(cm)．
2、 如图，已知在⊙O中，弦AB的长
为8厘米，圆心O到AB的距离为3厘米， 求⊙O的半径。
A
E
. O
B
题后小结：
1．作圆心到弦的距离和连 半径是圆中常见的辅助线；
8
C D
10
C
经过圆心的弦叫做直径(如直径AC).
D
观察并回答
（1）两条直径AB、CD，CD平分AB吗？ （2）若把直径AB向下平移，变成非直径的弦， 弦AB是否一定被直径CD平分？
C B
B C
O
O
A
思考：当非直径的弦AB与直径CD有什么位置关系 时，弦AB有可能被直径CD平分？
D
A
3.2圆的轴对称性(1)
C
E B
O
D
CD平分弦AB 条件
结论 CD平分弧A B
CD平分弧ADB
Hale Waihona Puke 分一条弧成相等的两条弧的点,叫做这条弧的中点.
⌒ 如图，AB是AB所对的弦，AB的垂直平分线DG ⌒ 交AB于点D，交AB于点G，给出下列结论： ⌒ ⌒ ① DG⊥AB ②AG=BD ③BD=AD ①②③ 其中正确的是________（只需填写序号）
A
C 1 3D O
3
B
4、已知：如图在⊙O中，弦AB//CD。 ⌒ ⌒ 求证：AC=BD
O A C B D
定理的推论2
如果圆的两条弦互相平行,那么这两条弦所夹的弧相等吗?
这两条弦在圆中位置有两种情况:
1.两条弦在圆心的同侧
2.两条弦在圆心的两侧
A O B D
A C
●
O D
B C
●
垂径定理的推论2 圆的两条平行弦所夹的弧相等.
5、已知：圆O的半径为5cm，弦AB∥CD， AB=6cm，CD=8cm。求AB与CD间的距离。
C E
D
O E C A F B D A
O F B
变式：已知⊙O的半径为15cm，弦PQ∥MN，且 PQ=18cm，MN=24cm，求以平行弦为底的梯形的面 积。
6、过已知⊙O内的一点A作弦,使A是该弦 的中点,然后作出弦所对的两条弧的中点 E
O C D
A
B
1、已知⊙O的半径为13cm，一条弦的弦心距为5cm， 求 这条弦的长. 想一想：在同一个圆中，两条弦 的长短与它们所对应的弦心距之
B 13
A
D 5
.
圆的轴对称性(教案)
圆的轴对称性教学目标：1. 让学生理解圆的轴对称性的概念。
2. 使学生掌握圆的轴对称性的性质和特点。
3. 培养学生的观察能力、思维能力和动手能力。
教学重点：1. 圆的轴对称性的概念。
2. 圆的轴对称性的性质和特点。
教学难点：1. 圆的轴对称性的性质和特点的理解和应用。
教学准备：1. 圆规、直尺、剪刀、彩笔等绘图工具。
2. 圆形教具和实物。
教学过程：一、导入（5分钟）1. 向学生介绍圆的轴对称性的概念。
2. 引导学生思考圆的轴对称性在实际生活中的应用。
二、新课（15分钟）1. 讲解圆的轴对称性的性质和特点。
2. 通过示例和练习，让学生理解和掌握圆的轴对称性的性质和特点。
三、课堂练习（10分钟）1. 让学生利用圆的轴对称性，剪出一个对称的图案。
2. 让学生观察和分析生活中常见的对称图案，并说明其轴对称性。
四、拓展（5分钟）1. 引导学生思考圆的轴对称性与其他几何图形的轴对称性的联系和区别。
2. 让学生举例说明圆的轴对称性在其他学科领域的应用。
1. 回顾本节课所学的内容，让学生巩固圆的轴对称性的概念和性质。
2. 鼓励学生在日常生活中发现和欣赏圆的轴对称性的美。
教学反思：本节课通过讲解、练习和拓展，使学生了解了圆的轴对称性的概念和性质，并能够应用到实际生活中。
在课堂练习环节，学生通过动手操作，进一步巩固了对称性的理解。
在拓展环节，学生思考了圆的轴对称性与其他几何图形的轴对称性的联系和区别，提高了思维能力。
总体来说，本节课达到了预期的教学目标。
六、案例分析（10分钟）1. 提供几个含有圆的轴对称性的案例，如圆形桌面、圆形门把手等。
2. 让学生分析这些案例中圆的轴对称性的应用和作用。
七、实践操作（15分钟）1. 让学生利用圆的轴对称性，设计一个对称的图案或艺术品。
2. 学生可以利用彩笔、剪刀、纸张等材料，发挥创造力，完成自己的设计作品。
八、课堂讨论（10分钟）1. 让学生展示自己的设计作品，并分享设计思路和感受。
圆的对称性(1)
3．垂径定理和勾股定理相结合，构造 直角三角形，可解决弦长、半径、弦 心距等计算问题．
2020/2/6
[例一心]段)如，圆右其弧图中(所即C示D图=，中60一C0⌒m条D，，公点E路为O的是C⌒转DC⌒上弯D的一处圆点是， 且OE⊥CD，垂足为F，EF=90 m．求 这段弯路的半径．
想一想：
1、如下图示，AB是⊙O的弦(不是直径)，作一条平 分AB的直径CD，交AB于点M．同学们利用圆纸片 动手做一做，然后回答：
4．将纸打开，新的折痕与圆交于另一点B，如图.
问题：（1）右图是轴对称图形吗？
如果是，其对称轴是什么？
（2）你能发现图中有哪些等量关系？
2020/2/6
说一说你的理由。
总结得出垂径定理：
垂直于弦的直径平分这条弦，并且 平分弦所对的弧。
推理格式：如图所示
∵∴CAMD⊥=BAMB，，A⌒CDD=为⌒B⊙D，O的A⌒C直=径B⌒C.
2．弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦。 如图, 弦AB，弦CD
3．直径：经过圆心的弦叫直径。
如图,直径CD
2020/2/6
做一做：按下面的步骤做一做
1．在一张纸上任意画一个⊙O，沿圆周将圆剪下， 把这个圆对折，使圆的两半部分重合．
2．得到一条折痕CD．
3．在⊙O上任取一点A，过点A作CD折痕 的垂线， 得到新的折痕，其中，点M是两条折痕的交点，即 垂足．
（1）此图是轴对称图形吗?如果是，其对称轴是什么 ?
（2）你能发现图中有哪些等量关系？说一说你的理 2.由总。结得出垂径定理的逆定理：平分弦（不是直 径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧。
推理格式：如图所示
3[1].2圆的对称性课件
![3[1].2圆的对称性课件](https://img.taocdn.com/s3/m/28e5dd72f46527d3240ce014.png)
如图，一条公路的转弯处是一段圆弧 ⌒ ⌒ (即图中 CD ，点o是 CD 的圆 心)，其 ⌒ 上一点，且 中CD=600m,E为 CD OE⊥CD ，垂足为F，EF=90m,求这段 C 弯路的半径。
E F O D
1.在⊙O中，若CD ⊥AB于M，AB为直径，A 则下列结论不正确的是（ ） C C M└ ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ B、BC=BD A、AC=AD O C、AM=OM D、CM=DM
下列图形是否具备垂径定理的条件？
C
c
C
C
A
O A D E B
D O
B
O
O A E B
A E D B
A 如图，已知在⊙O中，
E
B
弦AB的长为8厘米，圆心 O到AB的距离为3厘米， 求⊙O的半径。
1 1 则AE＝BE＝ AB＝ ×8＝4厘米 2 2
. O
解：连结OA。过O作OE⊥AB，垂足为E
在Rt△AOE中，OE=3厘米，根据勾股定理 OA＝ AE 2 OE 2 3 2 4 2 5 厘米 ∴⊙O的半径为5厘米。 若E为弦AB上一动点，则OE取值范围是_______。
AB
⌒ 大于半圆的弧叫做优弧,如记作 ADB (用三个字母).
B A
连接圆上任意两点间的线段叫做弦 (如弦AB).
●
O
C
经过圆心的弦叫做直径(如直径AC).
D
探求不断
如图,CD是直径, AB弦, CD⊥AB,垂足为M 。 你能发现图中有哪些等量关系？ 请你说说它们相等的理由。 ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ AM=BM，AC=BC，AD=BD
A
┗
●
B 小明发现图中有:
O
圆的对称性
圆的对
称性
圆的轴对称性（圆是轴对称图形） 圆的中心对称性（圆是中心对称图形)
（一）圆的对称性
（1）圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条过圆心的பைடு நூலகம்
直线 （2）圆是中心对称图形，对称中心为圆心.
（2）若旋转角度不是180°，而是旋转任意角度，则旋 转过后的图形能与原图形重合吗？
O B
α
A
∴ ∠AOB＝∠BOC＝∠AOC.
2.如图，AB是⊙O 的直径，
BC =
CD
=
DE
，
∠COD=35°，求∠AOE 的度数． 【解析】
E D
C
A
∵ BC = CD
B
=
DE
O
·
BOC= COD= DOE=35
AOE 180 3 35
75 .
圆的轴对称性（圆是轴对称图形） 圆的对称性 圆的中心对称性（圆是中心对称图形） 证明圆弧相等：（1）定义 （2）圆心角、弧、弦之间的关系
∵A1B2∥O102，
∴
O1 C1 = O2 C2 .
A1O1B1 A 2O2 B2 .
1. 如图，在⊙O中， AB =
求证：∠AOB=∠BOC=∠AOC.
证明： ∵
AB =
AC
,∠ACB=60°，
A
O
·
C
AC ∴ AB=AC，
B
△ABC是等腰三角形.
又∠ACB=60°， ∴△ABC是等边三角形， AB=BC=CA.
M,N，且AM=BN.求证：CD=EF.
证明：连接OA，OB，设分别与 CD，EF交于点F，G
F G
∵A为 CD 中点，B为 EF 中点 ∴OA⊥CD，OB⊥EF.
27.1.2圆的对称性(1)
2.在同一个圆（或等圆）中，如果弧相等，那么所 对的圆心角_相__等__、所对的弦__相__等__， 所对的弦
的弦心距_相__等__。
倍 3.在同一个圆（或等圆）中，如果弦相等，那么所
速 课 时 学 练
对的圆心角_相__等__、所对的弧_相__等___,所对的弦的
弦心距_相__等__。
以上三句话如没有在
O
倍
速C
课
时
学 练
N
D
圆是轴对称图形，
经过圆心的 每一条直线都是 它的对称轴。
B
M
A
D 或： 任意一条
直径所在的直线
都是圆的对称轴。
O
任意一条直径都是
倍 速C
圆的对称轴（
）
课 时
B
学
练
N
探究一：
将图中的扇形AOB绕点O逆时针旋转 某个角度。在得到的图形中，同学们可 以通过比较前后两个图形，发现有何关 系？
倍 速 课 时 学 练
C
B O
你会做吗？
如图，在⊙O中，AC=BD，
1 45 ,求∠2的度数。
解：∵ AC=BD （已知）
∴ AC-BC=BD-BC （等式的性质）
倍 速
∴ AB=CD
图 23.1.5
课
时 学
∴∠1=∠2=45°（在同圆中，相等的弧
练
所对的圆心角相等）
例1: 已知:如图,A,B,C,D是⊙O上的点， ∠1=∠2。 求证：AC=BD
的弦心距中，有一组量相等，
倍 那么它们所对应的其余各组量
速 课
也分别相等．
时
学
练
∵把圆心角等分成360份,则每一份的圆心 角是1º.同时整个圆也被分成了360份. 则每一份这样的弧叫做1º的弧.
圆的轴对称性(1)
第3课时圆的轴对称性（1）【知识要点】1．圆是轴对称图形，每一条直径所在的直线都是对称轴．2．垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧．3．分一条弧成相等的两条弧的点，叫做这条弧的中点4．圆心到圆的一条弦的距离叫做弦心距．在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对应的弦心距也相等；反之，如果两条弦的弦心距相等，那么这两条弦也相等．5．圆的两条平行弦所夹的弧相等．课内同步精练●A组基础练习1．圆是轴对称图形，它的对称轴有A．一条 B 两条C．一条D．无数条2. 如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点M, AM = 2，BM = 8.则CD的长为（）A . 4B , 5C . 8D . 163. 已知⊙O的半径为R , 弦AB的长也是R，则∠AOB的度数是.4. 已知⊙O中，O C⊥弦AB于点C, AB=8, OC=3，则⊙O的半径长等于.5. 在半径为5cm的⊙O中，有长5cm的弦AB，计算(l)点到AB的距离；(2)∠AOB的度数．●B组提高训练6. 如图，同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C、D．已知AB= 4，CD=2，圆心O到AB的距离OE=1.则大、小两．圆的半径之比为( )A. 3 : 2 B．3:2C．5:2 D.．5:37. 从圆上点所作的互相垂直的两弦．它们和圆心的距离分别为6cm和10cm，则此两弦的长分别为.8. ⊙O中弦AB⊥CD于点E, AB被CD分成5cm 和13cm两段，则圆心到CD的距离为.9. 一条弦把圆的一条直径分成2cm和6cm两部分，若弦与直径所成的角为300，则圆心到弦的距离为.10.如图⊙O的直径为10，弦AB=8，P是弦AB上的一个动点，那么OP长的取值范围是.11. 已知AB如图．用直尺和圆规求作这条弧的四等分点．课外拓展练习●A组基础练习1. 下列说法正确的是（）A.直径是圆的对称轴B.经过圆心的直线是圆的对称轴C.与圆相交的直线是圆的对称轴D.与半径垂直的直线是圆的对称轴2. 在直径为10cm的⊙O中，有长为5cm 的弦AB，则O到AB的距离等于（)A. 53cmB. 515cmC.534cm D.532cm3. 在半径为4cm 的图中，垂直平分一条半径的弦长等于（）A.3cmB.23cmC. 43cmD. 83cm4. 已知：如图，有一圆弧形拱桥，拱的跨度AB=16cm，拱高CD=4cm，那么拱形的半径是cm.5. 如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为P，若AP:PB=1:4, CD=8，则AB=＿.6. 已知⊙O的半径为10cm，弦MN//EF，且MN =12cm, EP=16cm，则弦MN和EF之间的距离为.7. 已知⊙O的半径为5cm，过⊙O内一点P的最短的弦长为8cm，则OP= .8. 如图，已知AB是⊙O的直径，CD是弦，AE⊥CD，垂足为E, BF⊥CD，垂足为F，且AE=3cm，BF=5cm．若⊙O的半径为5cm，求CD的长.●B组提高训练9．如图，AB是⊙O的直径，CD是弦．若AB = 10cm, CD = 8cm, 那么A , B 两点到直线CD的距离之和为( )A. 12cmB. 10cmC.8cmD.6cm10. 如图，⊙O的直径为10cm，弦AB为8cm , P是弦AB上一点，若OP的长是整数，则满足条件的点P有（ )A. 2 个B. 3 个C. 4 个D. 5 个11.已知圆的两弦AB,CD的长是方程x2-42x+432=0的两根，且AB//CD，又知两弦之间的距离为3，则圆的半径长是（ )A.12B.15C.12或15D.2112.如图，在⊙O中，AB是直径，CD是弦，CE⊥CD于点C，交AB于点E, DF⊥CD于点D，交AB于点F．求证：AE=BF.13.如图，直线AD交⊙O于点B、D, ⊙O的半径为10cm, AO=16cm，∠A=300，OC⊥AD于点C，求 BC, AB, AD的长，。
5.2圆的对称性(1)
5
学生踊跃发言，气氛 生认识到原来
（2）我们采用的是什么方法来研究中 热闹
生活中处处有
心对称图形的呢？
数学，从而激
（3）出示投影片 1（轮子转动）
学生想象儿时的摩天 发学生学习数
二、探索活动：
轮
学的兴趣。
活动一：尝试与交流
师：请同学们拿出课前准备好的两张透明
白纸，并出示投影片 2
（1）分别作半径都为 5 ㎝的⊙O、⊙O'；
苏教版九年级数学上册第五章第二节第一课时教学设计
5.2 圆的对称性（1）
江苏省赣榆县初级中学 陈庆霞 邮编：222100
一、教材简解：
本节内容是学生在小学学过的一些圆的知识及学习本册教材第五章第一节
圆的有关概念的基础上，进一步探索和圆有关的性质。本究过程中通过师生动手
n 度的圆心角
n 度的弧
关键：将顶点在圆心的周角分成 360 份，
每一份的圆心角是 1º的角，于是，整个圆
也被等分成 360 份。我们把 1º的圆心角所
对的弧叫做 1º的弧。
【板书二】
（二）、弧的大小：
圆心角的度数与它所对的弧的度数相等。
注意：1.圆心角的度数与它所对的弧的度
数相等，不是角与弧相等；
分组讨论后，学生板 演，教师加以讲评， 及时纠正一些解题规 范。
学生解答，并板演， 教师点评。
拓宽学生的知 识面，让学生 对圆心角与弧 有进一步的了 解。同时又培 养了学生用类 比的思想去解 决一些问题。
3.2圆的对称性(1)
D海旺中学2012-2013学年九年级数学（下）学案§3.2 圆的对称性（第一课时）九（ ）班 姓名： 编制：蓝小燕 审核：蓝福隆学习目标:1、 经历探索圆的对称性及相关性质的过程．2、 理解圆的对称性及相关知识．3、 理解并掌握垂径定理．学习重点: 垂径定理及其应用． 学习难点: 垂径定理及其应用．学习过程：一、知识点1：圆的轴对称性【做一做1】（1）圆是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？你能找到多少条对称轴？（2）你使用什么方法解决上述问题的？定理：圆是 图形，其对称轴是任意一条 的直线二、知识点2：圆的几个概念1、圆上任意两点间的部分叫做 ，简称 弧AB 记作AB2、大于半圆的弧叫做 ，小于半圆的弧叫做 优弧DCA劣弧AB 3、连接圆上任意两点的线段叫做弦，经过圆心的弦叫做直径注意：直径是弦，但弦不一定是直径；半圆是弧，但弧不一定是半圆；半圆既不是 劣弧，也不是优弧。
三、知识点3：垂径定理【做一做2】如图，AB 是⊙O 的一条弦，作直径CD ，使CD ⊥AB 于M 。
1、左图是轴对称图形吗？如果是，其对称轴是什么？2、你能发现图中有哪些等量关系？说一说你的理由.⌒⌒ ⌒垂径定理：垂直于弦的直径 这条弦，并且 弦所对的如图，在⊙O 中，直径CD ⊥弦AB ，垂足为M ，（1） 图中相等的线段有 ，相等的劣弧有 ； （2） 若AB = 10，则AM = ，BC = 5，则AC = 。
例1 如图，AB 是⊙O 的一条弦，OC ⊥AB 于点C ，OA = 5，AB = 8，求OC 的长。
【举一反三1】如图，AB 是⊙O 的一条弦，OC ⊥AB 于点C ，OA = 10，OC = 6，求AB 的长。
例2 如图，两个圆都以点O 为圆心，小圆的弦CD 与大圆的弦AB 在同一条直线上。
你认为AC 与BD 的大小有什么关系？为什么？【举一反三2】．（2012•南通）如图，⊙O 的半径为17cm ，弦AB ∥CD ，AB=30cm ，CD=16cm ，圆心O 位于AB ，CD 的上方，求AB 和CD 的距离．⌒ ⌒例3 如图，一条公路的转弯处是一段圆弧（即图中CD ，点O 是CD 的圆心），其中CD =600m ，E 为CD上一点，且OE ⊥CD ，垂足为F ，EF = 90m 。
最新青岛版九年级数学上册精品课件3.1圆的对称性(1)
它的对称轴．
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讲授新课
圆的对称轴
说一说
（• 1单）• 击圆第此二是处级轴编对辑称母图版形文吗本？样如式果是，它的对称轴是什 么？你能• 第找三到级多少条对称轴？
（2）你是•怎第么四• 级第得五级出结论的？ 用折叠的方法
●O
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圆的对称性： 圆是轴对称图形，每一条直 径所在的直线都是它的对称 轴.
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• 第二级3.1圆的对称性（1） • 第三级 • 第四级 • 第五级
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学习目标
• 单击此处编辑母版文本样式 1.进• 一第二步级认识圆，了解圆是轴对称图形. 2.理解• 垂第•直三第级于四级弦的直径的性质和推论，并能应用
DB
• 第四级
• 第五级
M D B
.O
N
解决有关弦的问题，经常是过圆心作弦的弦心 距，或作垂直于弦的直径，连结半径等辅助线，为 应用垂径定理创造条件.
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垂径定理的实际应用
试•一单试击：此根处据编刚辑刚母所版学文，本你样能式利用垂径定理求出引入 中赵•州第桥二主级桥拱半径的问题吗?
两个半圆重合，点A与点B重合，AE与 A E
B
BE重合，AC⌒和BC⌒,AD⌒与BD⌒重合．
D
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归纳总结
垂径定理
垂• 单直击于此弦处的编直辑径母平版分文弦本以样及式弦所对的两条弧.
• 第二级
推导格• 第式三：级
圆的轴对称性(教案)
教案：圆的轴对称性教学目标：1. 让学生理解圆的轴对称性的概念。
2. 培养学生运用圆的轴对称性解决实际问题的能力。
3. 培养学生对圆的轴对称性的兴趣和好奇心。
教学重点：1. 圆的轴对称性的概念。
2. 圆的轴对称性的性质和应用。
教学难点：1. 圆的轴对称性的概念的理解。
2. 圆的轴对称性的性质的证明和应用。
教学准备：1. 教学课件或黑板。
2. 圆规和直尺。
3. 圆形教具。
教学过程：一、导入（5分钟）1. 引导学生观察教室里的轴对称图形，如门窗、桌子等。
2. 提问：同学们，你们知道什么是轴对称性吗？3. 总结：轴对称性是指图形可以沿着某条直线对折，对折后的两部分完全重合。
二、探究圆的轴对称性（15分钟）1. 提问：圆有没有轴对称性呢？如果有，又是怎样的呢？2. 学生分组讨论，并尝试画出圆的轴对称线。
3. 邀请几组学生分享他们的发现。
4. 总结：圆的轴对称线就是圆的直径，圆可以沿着任意直径对折，对折后的两部分完全重合。
三、圆的轴对称性的性质（15分钟）1. 提问：同学们，你们能找出圆的轴对称性的一些性质吗？2. 学生分组讨论，并尝试总结圆的轴对称性的性质。
3. 邀请几组学生分享他们的发现。
4. 总结：a. 圆的轴对称线是圆的直径。
b. 圆的轴对称线将圆分成两个半圆，两个半圆的面积相等。
c. 圆的轴对称线上的任意一点到圆心的距离等于对称线另一侧对应点到圆心的距离。
四、圆的轴对称性的应用（10分钟）1. 提问：同学们，你们能用圆的轴对称性解决一些实际问题吗？2. 学生分组讨论，并尝试解决实际问题。
3. 邀请几组学生分享他们的解题过程和答案。
4. 总结：圆的轴对称性可以应用于解决一些几何问题和实际问题，如计算圆的面积、画对称图形等。
五、总结与反思（5分钟）1. 提问：同学们，你们觉得圆的轴对称性有什么意义呢？2. 学生分享他们的思考和感悟。
3. 总结：圆的轴对称性是圆的一种重要性质，它可以帮助我们更好地理解和应用圆。
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E
B
O
２.请你用命题的形式表述你的结论. 垂直于弦的直径平分这条弦， 并且平分弦所对的弧．
垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧．
３.请你对上述命题写出已知，求证，并给出证明． 解 已知：如图，ＣＤ是⊙O的直径，ＡＢ是⊙O的一 条弦，ＣＤ⊥AB，且交ＡＢ于点Ｅ． ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ 求证： EA=EB， AC= BC， AD=BD． 证明：连结ＯＡ，ＯＢ A 如果把⊙O沿着直径ＣＤ对折， 那么被ＣＤ分成的两个半圆互 C D 相重合 E O ∵∠OEA=∠OEB=Rt∠ B ∴线段EA与线段EB重合 思考：你能利用等腰 ∴点A与点B重合，弧AC和弧BC重合， 三角形的性质，说明 弧AD和弧BD重合． ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ ∴ EA=EB， AC= BC， AD=BD． OC平分AB吗？
三 概括性质（垂径定理：垂直于弦的直 径平分这条弦，并且平分弦所对的弧．）１. Nhomakorabea径垂直于弦
（条件）
直径平分弦
直径平分弦所对的弧 （结论）
垂径定理的几何语言叙述:
⌒ ⌒ ⌒ ⌒
∵CD为直径，CD⊥AB（或OC⊥AB）
∴ EA=EB， AC=BC， AD=BD． 2.分一条弧成相等的两条弧的点,
A C D
OC OB BC 10 8 6
2 2 2 2
8
C
10 8
答:截面圆心O到水面的距离为6.
D
圆心到圆的一条弦的距离叫做弦心距.
例如,上图中,OC的长就是弦AB的弦心距.
题后小结：
1．作弦心距和半径是圆中 常见的辅助线； 2 ．半径（r)、半弦、弦心 距(d)组成的直角三角形是研 究与圆有关问题的主要思路， 它们之间的关系：
(A)6cm (B)8cm (C)10cm (D)12cm
O P
8
10 6
２.在直径为２０厘米的球形油槽内装入一些油后，截面如 图所示，如果油面宽是１６厘米，求油槽中油的最大深度．
⌒ 解： 过Ｏ作ＯＥ⊥ＣＤ于点Ｅ，延长ＯＥ交ＣＤ于点Ｆ，
连结ＯＤ． 因为ＯＥ⊥ＣＤ，
1 D C 又OD 20 10 厘米 2 Ｆ 2 2 在Rt ODE中，OE= OD DE （厘米） 6
d A
O
．
C
r
B
弦长AB 2 r 2 d 2 .
想一想：
在同一个圆中，两条弦的长短与它们所对应的
弦心距之间有什么关系？
D C
.
B
答:在同一个圆中， 弦心距越长,所对应的弦就越短;
A
O
弦心距越短,所对应的弦就越长.
１、已知⊙O的半径为10cm，点P是⊙O内一点，且
OP=8，则过点P的所有弦中，最短的弦是（ D ）
C
O
D
结论： 圆是轴对称图形，每一条直径所在的直线都是对称轴。 强调：
（1）圆的对称轴是直线，不能说每一条直径都是圆的对称轴 （2）圆的对称轴有无数条
判断：任意一条直径都是圆的对称轴（
X）
二
合作学习
１.在刚才操作的基础上,再作一条和直径CD垂直的弦 AB,AB与CD相交于点E,然后沿着直径CD所在的直线把纸 折叠,你发现哪些点、线互相重合?如果把能够重合的圆 弧叫做相等的圆弧(等弧),有哪些圆弧相等？ 解：点A与点B重合，ＡＥ与ＢＥ重合， ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ AC＝BC，AD＝BD．
创设情境,引入新课
复习提问: （１）什么是轴对称图形
如果一个图形沿着一条直线对折，两侧的图形能 完全重合，这个图形就是轴对称图形。
（２）正三角形是轴对称性图形吗？ 是 有几条对称轴？ ３ （３）圆是否为轴对称图形？如果是，它的 对称轴是什么？你能找到多少条对称轴？
合作交流,探究新知
一自主探究 在白纸上任意作一个圆和这个圆的任意一条直径CD, 然后沿着直径所在的直线把纸折叠,你发现了什么?
所以油槽中油的最大深度ＥＦ＝１０－６＝４（厘米）
1 所以CE DE CD 8(厘米) 2
O
Ｅ
3、已知：如图，⊙O 中， AB为 弦，OC ⊥AB OC交AB 于D ，AB = 6cm ，CD = 1cm. 求⊙O 的半径.
A
C 1 3D O
3
B
C
A D
O A D E B
B
A
O D C B
A E B C
D
１.如图，过已知⊙O内的一点A作弦,使A是该弦 的中点,然后作出弦所对的两条弧的中点． E
BC就是所要求的弦 点D,E就是所要求的弦 所对的两条弧的中点.
O
C
A
B
D
例2：一条排水管的截面如图所示。已知排水管的半
径OB=10，水面宽AB=16。求截面圆心O到水面的距离。
想一想:排水管中水最深多少? 解:作OC⊥AB于C, 由垂径定理得: AC=BC=1/2AB=0.5×16=8 由勾股定理得:
弦长AB 2 r 2 d 2 .
O
C
A
O C B
C D O
B
A
师生共同总结：
１．本节课主要内容：（1）圆的轴对称性；（2）垂径定理．
2．垂径定理的应用：（1）作图；（2）计算和证明．
3．解题的主要方法： （1）画弦心距和半径是圆中常见的辅助线； （2）半径（r)、半弦、弦心距(d)组成的直角三角形 是研究与圆有关问题的主要思路，它们之间的关系：
叫做这条弧的中点.
E B
O
例如,点C是AB的中点,点D是ADB的中点.
⌒
⌒
例1 已知AB，如图，用直尺和圆规求作这条弧的 中点．(先介绍弧中点概念）
⌒
⌒ 分析:要平分AB,只要画垂直于弦AB的直径.而这
条直径应在弦AB的垂直平分线上.因此画AB的 ⌒ 垂直平分线就能把AB平分.
作法： ⒈ 连结AB. ⒉ 作AB的垂直平分线 CD，交弧AB于点E. 点E就是所求弧AB的中点．