2019高考数学离散型随机变量解答题考点预测
2019年高考数学真题考点48 离散型随机变量及其分布列、离散型随机变量的均值与方差
考点48 离散型随机变量及其分布列、离散型随机变量的均值与方差一、选择题1.(2019·浙江高考·T7)设0<a<1,则当a在(0,1)内增大时()A.D(X)增大B.D(X)减小C.D(X)先增大后减小D.D(X)先减小后增大【命题意图】本题主要考查离散型随机变量均值与方差的计算.【解析】选D.由表可以求得E(X)=0×+a×+1×=+a,E(X2)=0×+a2×+1×=+a2,所以由D(X)=E(X2)-()=+a2-=a2-a+=-+,所以当a在(0,1)内增大时,D(X)先减小后增大.二、解答题2.(2019·全国卷Ⅰ理科·T21)为治疗某种疾病,研制了甲、乙两种新药,希望知道哪种新药更有效,为此进行动物试验.试验方案如下:每一轮选取两组白鼠对药效进行对比试验.对于两组白鼠,当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多4只时,就停止试验,并认为治愈只数多的药更有效.为了方便描述问题,约定:对于每轮试验,若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得1分,乙药得-1分;若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈则乙药得1分,甲药得-1分;若都治愈或都未治愈则两种药均得0分.甲、乙两种药的治愈率分别记为α和β,一轮试验中甲药的得分记为X.(1)求X的分布列.(2)若甲药、乙药在试验开始时都赋予4分,p i(i=0,1,…,8)表示“甲药的累计得分为i时,最终认为甲药比乙药更有效”的概率,则p0=0,p8=1,p i=ap i-1+bp1+cp i+1(i=1,2,…,7),其中a=P(X=-1),b=P(X=0),c=P(X=1).假设α=0.5,β=0.8.①证明:{p i+1-p i}(i=0,1,2,…,7)为等比数列;②求p4,并根据p4的值解释这种试验方案的合理性.【解题指南】(1)首先确定X所有可能的取值,再计算出每个取值对应的概率,从而可得分布列;(2)①求解出a,b,c的取值,可得p i=0.4p i-1+0.5p i+0.1p i+1(i=1,2,…,7),从而整理出符合等比数列定义的形式,问题得证;②列出证得的等比数列的通项公式,采用累加的方式,结合p8和p0的值可求得p1;再次利用累加法可求出p4.【解析】X的所有可能取值为-1,0,1.P(X=-1)=(1-α)β,P(X=0)=αβ+(1-α)(1-β),P(X=1)=α(1-β),所以X的分布列为(2)①由(1)得a=0.4,b=0.5,c=0.1.因此p i=0.4p i-1+0.5p i+0.1p i+1,故0.1(p i+1-p i)=0.4(p i-p i-1),即p i +1-p i =4(p i -p i -1).又因为p 1-p 0=p 1≠0,所以{p i +1-p i }(i =0,1,2,…,7)为公比为4,首项为p 1的等比数列. ②由①可得p 8=p 8-p 7+p 7-p 6+…+p 1-p 0+p 0=(p 8-p 7)+(p 7-p 6)+…+(p 1-p 0)=-p 1. 由于p 8=1,故p 1=-,所以p 4=(p 4-p 3)+(p 3-p 2)+(p 2-p 1)+(p 1-p 0)=-p 1=.p 4表示最终认为甲药更有效的概率,由计算结果可以看出,在甲药治愈率为0.5,乙药治愈率为0.8时,认为甲药更有效的概率为p 4=≈0.003 9,此时得出错误结论的概率非常小,说明这种试验方案合理.3.(2019·北京高考理科·T17)改革开放以来,人们的支付方式发生了巨大转变.近年来,移动支付已成为主要支付方式之一.为了解某校学生上个月A ,B 两种移动支付方式的使用情况,从全校学生中随机抽取了100人,发现样本中A ,B 两种支付方式都不使用的有5人,样本中仅使用A 和仅使用(1)从全校学生中随机抽取1人,估计该学生上个月A ,B 两种支付方式都使用的概率.(2)从样本仅使用A 和仅使用B 的学生中各随机抽取1人,以X 表示这2人中上个月支付金额大于1 000元的人数,求X 的分布列和数学期望.(3)已知上个月样本学生的支付方式在本月没有变化.现从样本仅使用A 的学生中,随机抽查3人,发现他们本月的支付金额都大于2 000元.根据抽查结果,能否认为样本仅使用A 的学生中本月支付金额大于2 000元的人数有变化?说明理由.【命题意图】考查统计与概率知识中的古典概型,事件的运算,以及数学期望的计算,解决实际问题,意在考查学生的实际应用能力、逻辑推理能力,体现了数学抽象、数学建模、数学运算、数据分析的数学素养. 【解析】(1)由已知,仅使用A 的有18+9+3=30(人),仅使用B 的有10+14+1=25(人), 都不使用的有5人,所以都使用的有100-30-25-5=40(人),所以估计该学生上个月A ,B 两种支付方式都使用的概率为 =. (2)X 的所有可能取值为0,1,2,P (X =0)=P (“这2人中上个月支付金额都不大于1 000元”)= × = × =, P (X =1)=P (“这2人中仅有1人上个月支付金额大于1 000元”)= × + × =,P (X =2)=P (“这2人中上个月支付金额都大于1 000元”)= × =,所以X 的分布列为E (X )=0×+1×+2×=1.(3)参考答案1:不能认为样本中仅使用A 的学生中本月支付金额大于2 000元的人数有变化.若人数没有变化,则样本中仅使用A的学生有30人,支付金额大于2 000的有3人,随机抽取3人,支付金额大于2 000元的概率为=,虽然此事件是小概率事件,但也有发生的可能性.这体现了概率的随机性.参考答案2:可以认为样本中仅使用A的学生中本月支付金额大于2 000元的人数有变化.若人数没有变化,则样本中仅使用A的学生有30人,支付金额大于2 000元的有3人,随机抽取3人,支付金额大于2 000元的概率为=,此事件是小概率事件,发生的可能性很小,所以认为有变化.4.(2019·北京高考文科·T17)改革开放以来,人们的支付方式发生了巨大转变.近年来,移动支付已成为主要支付方式之一.为了解某校学生上个月A,B两种移动支付方式的使用情况,从全校所有的1 000名学生中随机抽取了100人,发现样本中A,B两种支付方式都不使用的有5人,(1)估计该校学生中上个月A,B两种支付方式都使用的人数.(2)从样本仅使用B的学生中随机抽取1人,求该学生上个月支付金额大于2 000元的概率.(3)已知上个月样本学生的支付方式在本月没有变化.现从样本仅使用B的学生中随机抽查1人,发现他本月的支付金额大于2 000元.结合(2)的结果,能否认为样本仅使用B的学生中本月支付金额大于2 000元的人数有变化?说明理由.【解析】(1)由已知,样本中,仅使用A的有27+3=30(人),仅使用B的有24+1=25(人),都不使用的有5人,所以都使用的有100-30-25-5=40(人),所以估计该校学生中上个月A,B两种支付方式都使用的人数为1 000×=400(人).(2)样本中仅使用B的有25人,其中支付金额大于2 000元的有1人,所以该学生上个月支付金额大于2 000元的概率为.(3)参考答案1:不能认为样本仅使用B的学生中本月支付金额大于2 000元的人数有变化.若人数没有变化,则样本中仅使用B的学生有25人,支付金额大于2 000元的有1人,由(2)知,随机抽取1人,支付金额大于2 000元的概率为,虽然此事件是小概率事件,但也有发生的可能性.这体现了概率的随机性.参考答案2:可以认为样本仅使用B的学生中本月支付金额大于2 000元的人数有变化.若人数没有变化,则样本中仅使用B的学生有25人,支付金额大于2 000元的有1人,由(2)知,随机抽取1人,支付金额大于2 000元的概率为,此事件发生的可能性很小,所以认为有变化.5.(2019·天津高考理科·T16)设甲、乙两位同学上学期间,每天7:30之前到校的概率均为.假定甲、乙两位同学到校情况互不影响,且任一同学每天到校情况相互独立.(1)用X表示甲同学上学期间的三天中7:30之前到校的天数,求随机变量X的分布列和数学期望.(2)设M为事件“上学期间的三天中,甲同学在7:30之前到校的天数比乙同学在7:30之前到校的天数恰好多2”,求事件M发生的概率.【命题意图】本题主要考查离散型随机变量的分布列与数学期望,互斥事件和相互独立事件的概率计算公式等基础知识.考查运用概率知识解决简单实际问题的能力.【解析】(1)因为甲同学上学期间的三天中到校情况相互独立,且每天7:30之前到校的概率均为,故X~B,,从而P(X=k)=-,k=0,1,2,3.所以,随机变量X的分布列为随机变量X的数学期望E(X)=3×=2.(2)设乙同学上学期间的三天中7:30之前到校的天数为Y,则Y~B,,且M={X=3,Y=1}∪{X=2,Y=0}.由题意知事件{X=3,Y=1}与{X=2,Y=0}互斥,且事件与,事件与均相互独立,从而由(1)知P(M)=P({X=3,Y=1}∪{X=2,Y=0})=P(X=3,Y=1)+P(X=2,Y=0)=P(X=3)P(Y=1)+P(X=2)P(Y=0)=×+×=.【方法技巧】求解离散型随机变量的数学期望的一般步骤第一步是“判断取值”,即判断随机变量的所有可能取值,以及取每个值所表示的意义;第二步是“探求概率”,即利用排列组合,枚举法,概率公式(常见的有古典概型公式、几何概率公式、互斥事件的概率和公式、独立事件的概率公式,以及对立事件的概率公式等),求出随机变量取每个值时的概率;第三步是“写分布列”,即按规范形式写出分布列,并注意用分布列的性质检验所求的分布列或某事件的概率是否正确;第四步是“求期望值”,一般利用离散型随机变量的数学期望的定义求期望的值,对于有些实际问题中的随机变量,如果能够断定它服从某常见的典型分布(如二项分布B~(n,p)),则此随机变量的期望可直接利用这种典型分布的期望公式(E(X)=np)求得.因此,应熟记常见的典型分布的期望公式,可加快解题速度.6.(2019·江苏高考·T23)在平面直角坐标系xOy中,设点集A n={(0,0),(1,0),(2,0),…,(n,0)},B n=(,),(,)},{(,),(,),(2,2),…,(n,2)},n∈N*.令M n=A n∪B n∪C n.从集合M n中任取两个不同的点,用随机变量X表示它们之间的距离.(1)当n=1时,求X的概率分布.(2)对给定的正整数n(n≥3),求概率P(X≤n)(用n表示).【命题意图】本小题主要考查计数原理、古典概型、随机变量及其概率分布等基础知识,考查逻辑思维能力和推理论证能力.【解析】(1)当n=1时,X的所有可能取值是1,,2,.X的概率分布为P(X=1)==,P(X=)==,P(X=2)==,P(X=)==.(2)设A(a,b)和B(c,d)是从M n中取出的两个点.因为P(X≤n)=1-P(X>n),所以仅需考虑X>n的情况.①若b=d,则AB≤n,不存在X>n的取法;②若b=0,d=1,则AB=(-)≤,所以X>n当且仅当AB=,此时a=0,c=n或a=n,c=0,有2种取法;③若b=0,d=2,则AB=(-)≤,因为当n≥3时,(-)≤n,所以X>n当且仅当AB=,此时a=0,c=n 或a=n,c=0,有2种取法;④若b=1,d=2,则AB=(-)≤,所以X>n当且仅当AB=,此时a=0,c=n或a=n,c=0,有2种取法.综上,当X>n时,X的所有可能取值是和,且P(X=)=,P(X=)=.因此,P(X≤n)=1-P(X=)-P(X=)=1-.。
2019年高考数学大一轮复习 热点聚焦与扩展 专题65 离散型随机变量分布列与数字特征
备战2019年高考数学大一轮复习 热点聚焦与扩展 专题65 离散型随机变量分布列与数字特征纵观近几年的高考试题，离散型随机变量的分布列及其数字特征是高考命题的热点.往往以实际问题为背景考查离散型随机变量的数字特征在实际问题中的应用．考查数据处理能力以及分析问题解决问题的能力.有时概率统计问题一同考查.难度控制在中等．本专题在分析研究近几年高考题及各地模拟题的基础上，举例说明. （一）离散型随机变量分布列：1、随机变量：对于一项随机试验，会有多个可能产生的试验结果，则通过确定一个对应关系，使得每一个试验结果与一个确定的数相对应，在这种对应关系下，数字随着每次试验结果的变化而变化，将这种变化用一个变量进行表示，称这个变量为随机变量（1）事件的量化：将试验中的每个事件用一个数来进行表示，从而用“数”即可表示事件.例如：在扔硬币的试验中，用1表示正面朝上，用0表示反面朝上，则提到1，即代表正面向上的事件.将事件量化后，便可进行该试验的数字分析（计算期望与方差），同时也可以简洁的表示事件 （2）量化的事件之间通常互为互斥事件（3）随机变量：如果将事件量化后的数构成一个数集，则可将随机变量理解为这个集合的代表元素.它可以取到数集中每一个数，且每取到一个数时，就代表试验的一个结果.例如：在上面扔硬币的试验中，设向上的结果为ξ，则“1ξ=”代表“正面向上”，0ξ=”代表“反面向上”， （4）随机变量的记法：随机变量通常用,,,,X Y ξη等表示（5）随机变量的概率：记()i P X x =为X 取i x 所代表事件发生的概率2、离散型随机变量：所有取值可以一一列出的随机变量，称为离散型随机变量，离散型随机变量的取值集合可以是有限集，也可以是无限集3、分布列：一般地，若离散型随机变量X 可能取得不同值为12,,,,,i n x x x x ，X 取每一个值()1,2,,i x i n =的概率()i i P X x p ==，以表格的形式表示如下：称该表格为离散型随机变量X 的分布列，分布列概率具有的性质为：（1）0,1,2,,i p i n ≥=（2）121n p p p +++=，此性质的作用如下：① 对于随机变量分布列，概率和为1，有助于检查所求概率是否正确② 若在随机变量取值中有一个复杂情况，可以考虑利用概率和为1的特征，求出其他较为简单情况的概率，利用间接法求出该复杂情况的概率 （二）常见的分布：1、如何分辨随机变量分布列是否符合特殊分布：（1）随机变量的取值：随机变量的取值要与特殊分布中的取值完全一致.（2）每个特殊的分布都有一个试验背景，在满足（1）的前提下可通过该试验的特征判断是否符合某分布 2、常见的分布（1）两点分布：一项试验有两个结果，其中事件A 发生的概率为p ，令1,X ⎧=⎨⎩事件发生0，事件未发生，则X 的分布列为：则称X 符合两点分布（也称伯努利分布），其中()1p P X ==称为成功概率（2）超几何分布：在含有M 个特殊元素的N 个元素中，不放回的任取n 件，其中含有特殊元素的个数记为X ，则有(),0,1,2,,k n kM N MnNC C P X k k m C --===，其中{}min ,m M n =,,,,n N M N n M N N *≤≤∈即：则称随机变量X 服从超几何分布，记为(),,XH N M n（3）二项分布：在n 次独立重复试验中，事件A 发生的概率为p ，设在n 次试验中事件A 发生的次数为随机变量X ，则有()()1,0,1,2,n kkkn P X k C p p k n -==-= ，即：则称随机变量X 符合二项分布，记为(),X B n p（三）数字特征——期望与方差1、期望：已知离散性随机变量ξ的分布列为：则称1122n n p p p ξξξ+++的值为ξ的期望，记为E ξ（1）期望反映了随机变量取值的平均水平，换句话说，是做了n 次这样的试验，每次试验随机变量会取一个值（即结果所对应的数），将这些数进行统计，并计算平均数，当n 足够大时，平均数无限接近一个确定的数，这个数即为该随机变量的期望.例如：连续投篮三次，设投进篮的次数为随机变量X ，那么将这种连续三次投篮的试验重复做很多次（比如410次），统计每次试验中X 的取值1210000,,,X X X ，则这10000个值的代数平均数将很接近期望EX（2）期望的运算法则：若两个随机变量,ξη存在线性对应关系：a b ξη=+，则有()E Ea b aE b ξηη=+=+① a b ξη=+是指随机变量取值存在对应关系，且具备对应关系的一组(),ηξ代表事件的概率相同：若η的分布列为：则a b ξη=+的分布列为：② 这个公式体现出通过随机变量的线性关系，可得期望之间的联系.在某些直接求期望的题目中，若所求期望的随机变量不符合特殊分布，但与一个特殊分布的随机变量间存在这样的关系，那么在计算期望时，便可借助这个特殊分布的随机变量计算出期望 2、方差：已知离散性随机变量ξ的分布列为：且记随机变量ξ的期望为E ξ，用D ξ表示ξ的方差，则有：()()()2221122n n D p E p E p E ξξξξξξξ=-+-++-（1）方差体现了随机变量取值的分散程度，与期望的理解类似，是指做了n 次这样的试验，每次试验随机变量会取一个值（即结果所对应的数），将这些数进行统计.方差大说明这些数分布的比较分散，方差小说明这些数分布的较为集中（集中在期望值周围）（2）在计算方差时，除了可以用定义式之外，还可以用以下等式进行计算：设随机变量为ξ ，则()()22D E E ξξξ=-（3）方差的运算法则：若两个随机变量,ξη存在线性对应关系：a b ξη=+，则有：()2D D a b a D ξηη=+=3、常见分布的期望与方差：（1）两点分布：则(),1EX p DX p p ==- （2）二项分布：若(),X B n p ，则(),1EX np DX np p ==-（3）超几何分布：若(),,XH N M n ，则()()()2,1nM N M N n MEX n DX N N N --=⋅=- 注：通常随机变量的期望和方差是通过分布列计算得出，如果题目中跳过求分布列直接问期望（或方差），则可先观察该随机变量是否符合特殊的分布，或是与符合特殊分布的另一随机变量存在线性对应关系.从而跳过分布列中概率的计算，直接利用公式得到期望（或方差）【经典例题】例1.【2018年浙江卷】设0<p <1，随机变量ξ的分布列是则当p 在（0，1）内增大时， A. D （ξ）减小 B. D （ξ）增大C. D （ξ）先减小后增大D. D （ξ）先增大后减小 【答案】D例2.【2018年全国卷Ⅲ理】某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为，各成员的支付方式相互独立，设为该群体的10位成员中使用移动支付的人数，，，则A. 0.7B. 0.6C. 0.4D. 0.3 【答案】B例3.【2017浙江，8】已知随机变量i ξ满足P （i ξ=1）=p i ，P （i ξ=0）=1—p i ，i=1，2． 若0<p 1<p 2<12，则A ．1E()ξ<2E()ξ，1D()ξ<2D()ξB ．1E()ξ<2E()ξ，1D()ξ>2D()ξC ．1E()ξ>2E()ξ，1D()ξ<2D()ξD ．1E()ξ>2E()ξ，1D()ξ>2D()ξ【答案】A 【解析】【考点】两点分布【名师点睛】求离散型随机变量的分布列，首先要根据具体情况确定X的取值情况，然后利用排列，组合与概率知识求出X取各个值时的概率．对于服从某些特殊分布的随机变量，其分布列可以直接应用公式给出，其中超几何分布描述的是不放回抽样问题，随机变量为抽到的某类个体的个数．由已知本题随机变量iξ服从两点分布，由两点分布均值与方差公式可得A正确．例4.【2017课标II，理13】一批产品的二等品率为0.02，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取100次，X表示抽到的二等品件数，则D X= .【答案】1.96例5.【2017天津，理16】从甲地到乙地要经过3个十字路口，设各路口信号灯工作相互独立，且在各路口遇到红灯的概率分别为111 ,, 234.（Ⅰ）设X表示一辆车从甲地到乙地遇到红灯的个数，求随机变量X的分布列和数学期望；（Ⅱ）若有2辆车独立地从甲地到乙地，求这2辆车共遇到1个红灯的概率.【答案】 (1)1312(2)1148所以，随机变量X 的分布列为随机变量X 的数学期望()012342442412E X =⨯+⨯+⨯+⨯=.例6.【2017课标1，理19】为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取16个零件，并测量其尺寸（单位：cm ）．根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布2(,)N μσ． （1）假设生产状态正常，记X 表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在(3,3)μσμσ-+之外的零件数，求(1)P X ≥及X 的数学期望；（2）一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在(3,3)μσμσ-+之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查． （ⅰ）试说明上述监控生产过程方法的合理性； （ⅱ）下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸：经计算得161116i i x x ==∑，其中i x 为抽取的第i 个零件的尺寸，1,2,,16i =⋅⋅⋅．用样本平均数x 作为μ的估计值ˆμ，用样本标准差s 作为σ的估计值ˆσ，利用估计值判断是否需对当天的生产过程进行检查？剔除ˆˆˆˆ(3,3)μσμσ-+之外的数据，用剩下的数据估计μ和σ（精确到0.01）． 附：若随机变量Z 服从正态分布2(,)N μσ，则(33)0.997 4P Z μσμσ-<<+=，160.997 40.959 2=0.09≈．【解析】【考点】正态分布，随机变量的期望和方差.【名师点睛】数学期望是离散型随机变量中重要的数学概念，反应随机变量取值的平均水平.求解离散型随机变量的分布列、数学期望时，首先要分清事件的构成与性质，确定离散型随机变量的所有取值，然后根据概率类型选择公式，计算每个变量取每个值的概率，列出对应的分布列，最后求出数学期望.正态分布是一种重要的分布，之前考过一次，尤其是正态分布的3 原则.例7.【2017山东，理18】（本小题满分12分）在心理学研究中，常采用对比试验的方法评价不同心理暗示对人的影响，具体方法如下：将参加试验的志愿者随机分成两组，一组接受甲种心理暗示，另一组接受乙种心理暗示，通过对比这两组志愿者接受心理暗示后的结果来评价两种心理暗示的作用，现有6名男志愿者A1，A2，A3，A4，A5，A6和4名女志愿者B1，B2，B3，B4，从中随机抽取5人接受甲种心理暗示，另5人接受乙种心理暗示.（I）求接受甲种心理暗示的志愿者中包含A1但不包含1B的频率.（II）用X表示接受乙种心理暗示的女志愿者人数，求X的分布列与数学期望EX.【答案】（I）5.(II)X的分布列为X 的数学期望是2EX =.【解析】试题分析：（I ）记接受甲种心理暗示的志愿者中包含1A 但不包含1B 的事件为M ，计算即得 (II)由题意知X 可取的值为：0,1,2,3,4.利用超几何分布概率计算公式 得X 的分布列为进一步计算X 的数学期望.因此X 的分布列为X 的数学期望是0(0)1(1)2(2)3(3)4(4)EX P X P X P X P X P X =⨯=+⨯=+⨯=+⨯=+⨯==151051 01234 2.4221212142⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=【考点】1.古典概型.2.随机变量的分布列与数学期望.3.超几何分布.【名师点睛】本题主要考查古典概型的概率公式和超几何分布概率计算公式、随机变量的分布列和数学期望.解答本题，首先要准确确定所研究对象的基本事件空间、基本事件个数，利用超几何分布的概率公式.本题属中等难度的题目，计算量不是很大，能很好的考查考生数学应用意识、基本运算求解能力等.例8.【2018年理数天津卷】已知某单位甲、乙、丙三个部门的员工人数分别为24，16，16.现采用分层抽样的方法从中抽取7人，进行睡眠时间的调查.（I）应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取多少人？（II）若抽出的7人中有4人睡眠不足，3人睡眠充足，现从这7人中随机抽取3人做进一步的身体检查. （i）用X表示抽取的3人中睡眠不足的员工人数，求随机变量X的分布列与数学期望；（ii）设A为事件“抽取的3人中，既有睡眠充足的员工，也有睡眠不足的员工”，求事件A发生的概率. 【答案】（Ⅰ）从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取3人，2人，2人．（Ⅱ）（i）答案见解析；（ii）．详解：（Ⅰ）由已知，甲、乙、丙三个部门的员工人数之比为3∶2∶2，由于采用分层抽样的方法从中抽取7人，因此应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取3人，2人，2人．（Ⅱ）（i）随机变量X的所有可能取值为0，1，2，3．P（X=k）=（k=0，1，2，3）．所以，随机变量X的分布列为随机变量X的数学期望．（ii）设事件B为“抽取的3人中，睡眠充足的员工有1人，睡眠不足的员工有2人”；类个体的个数．超几何分布的特征是：①考查对象分两类；②已知各类对象的个数；③从中抽取若干个个体，考查某类个体个数X的概率分布，超几何分布主要用于抽检产品、摸不同类别的小球等概率模型，其实质是古典概型．进行分层抽样的相关计算时，常利用以下关系式巧解：(1)；(2)总体中某两层的个体数之比＝样本中这两层抽取的个体数之比．例9.【2018年北京卷理】电影公司随机收集了电影的有关数据，经分类整理得到下表：好评率是指：一类电影中获得好评的部数与该类电影的部数的比值．假设所有电影是否获得好评相互独立．（Ⅰ）从电影公司收集的电影中随机选取1部，求这部电影是获得好评的第四类电影的概率；（Ⅱ）从第四类电影和第五类电影中各随机选取1部，估计恰有1部获得好评的概率；k类电影得到人们喜欢，k类电影没有得到人们喜欢（k=1，2，3，4，5，6）．写出方差，，【答案】(1) 概率为0.025(2) 概率估计为0.35【解析】分析：(1)先根据频数计算是第四类电影的频率，再乘以第四类电影好评率得所求概率，(2) 恰有1部获得好评为第四类电影获得好评第五类电影没获得好评和第四类电影没获得好评第五类电影获得好评这两个互斥事件，先利用独立事件概率乘法公式分别求两个互斥事件的概率，再相加得结果，0-1，即得点睛：互斥事件概率加法公式：若A,B互斥，则P(A+B)=P(A)+P(B)，独立事件概率乘法公式:若A,B相互独立，则P(AB)=P(A)P(B).例10.【2018年新课标I卷理】某工厂的某种产品成箱包装，每箱200件，每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验，如检验出不合格品，则更换为合格品．检验时，先从这箱产品中任取20件作检验，再根据是否为不合格品相互独立．（1）记20件产品中恰有2的最大值点（2）现对一箱产品检验了20件，结果恰有2件不合格品，以（1的检验费用为2元，若有不合格品进入用户手中，则工厂要对每件不合格品支付25元的赔偿费用．（i（ii）以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据，是否该对这箱余下的所有产品作检验？【答案】】.(2) （i）490.（ii）应该对余下的产品作检验.【解析】分析：(1)(2)i）的时候,先求件数对应的期望，之后应用变量之间的关系，求得赔偿费用的期望；在解（ii）的时候，就通过比较两个期望的大小，得到结果.》详解：（1）20件产品中恰有2因此（ii）如果对余下的产品作检验，则这一箱产品所需要的检验费为400元..点睛：该题考查的是有关随机变量的问题，在解题的过程中，一是需要明确独立重复试验成功次数对应的概率公式，再者就是对其用函数的思想来研究，应用导数求得其最小值点，在做第二问的时候，需要明确离散型随机变量的可取值以及对应的概率，应用期望公式求得结果，再有就是通过期望的大小关系得到结论.【精选精练】1．【2018，方差为，方差记为）【答案】B【解析】分析：首先利用离散型随机变量的期望和方程的计算公式，结合题中所给的条件，列出相应的式的值，进而得到正确的选项.B.2．已知随机变量服从正态分布）D.【答案】CC.3．【浙江省金华市浦江县2018年高考适应性考试】袋中装有5个大小相同的球，其中有2个白球，2个黑球，1个红球，现从袋中每次取出1）【答案】A【解析】分析：X的可能取值为2，3，求出对应的概率，由此能求出随机变量X的数字期望E（X）．详解：袋中装有5个大小相同的球，其中有2个白球，2个黑球，1个红球，现从袋中每次取出1球，取后不放回，直到取到有两种不同颜色的球时即终止，用X表示终止取球时所需的取球次数，则X的可能取值为2，3，，X的数字期望E（X A4．【2018届安徽亳州市涡阳一中高三最后一卷】2018年元旦期间，某高速公路收费站的三个高速收费口每（单位：辆）均服从正态分布能正常工作，则这个收费口每天至少有一个超过700辆的概率为（）【答案】C点睛：本题主要考查正态分布的性质与实际应用，属于中档题.有关正态分布的应用题考查知识点较为清晰，只要掌握以下两点，问题就能迎刃而解：（1）仔细阅读，将实际问题与正态分布“挂起钩来”；（2）熟练掌握正态分布的性质，特别是状态曲线的对称性以及各个区间概率之间的关系.5．【腾远2018【答案】6.【2018届江西师范大学附属中学三模】某地十万余考生的成绩近似地服从正态分布，从中随机地抽取了一批考生的成绩，将其分成6组：作出频率分布直方图，如图所示：（1）用每组区间的中点值代表该组的数据，估算这批考生的平均成绩和标准差（精确到个位）；（2）以这批考生成绩的平均值和标准差作为正态分布的均值和标准差，设成绩超过93分的为“优”，现在从总体中随机抽取50，是估算【答案】（1（2【解析】分析: (1)直接利用平均数和标准差公式求解.(2)先最后求学期望．详解：（1）根据题意，计算平均数为点睛：（1）本题主要考查频率分布直方图中平均数和标准差的计算，考查正态分布和随机变量的数学期望的计算，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力和计算能力.(2)解答本题的关键有两点，其一是能利用.7．【四川省成都市2018年高考模拟试卷（一）处，上班的企业在班的路线有三条路程几乎相等的线路供选择:环城南路经过医院的路口中间.(1)为了减少开车在路口因遇到红灯而堵车的次数，这位工人应该选择哪条行驶路线?(2) 对于(1)所选择的路线，求其堵车次数的方差.【答案】(1) 2详解：（1）设这位工人选择行驶路线1、2；1、2、3，由于，由于，8．【陕西省咸阳市2018年高考5月信息专递】今年4月某天我市一高中组织高一年级学生开展了“百里远足”活动，受到了社会的普遍赞誉．本次远足活动结束后，该校体育课外兴趣小组在高一某班进行了对“本次远足活动高一同学们的表现”的满意度调查（结果只有“满意”和“不满意”两种），按分层抽样从被调查的学生中随机抽取了11人，具体调查结果如下表：（Ⅰ）若该班女生人数比男生人数多4人，求该班男生人数和女生人数；（Ⅱ）求在该班随机抽取一名学生由以上统计数据估计该生持满意态度的概率；（Ⅲ）若从该班抽出的11名学生中任选2人进行追踪，记选中的2人中对“本次远足活动高一年级学生表.【答案】（123）见解析【解析】分析：（Ⅰ）样本中男生比例为，从而班级中男生比例为4就可以求出班级的男生数和女生数.服从参数为故的分布列为：9．【2018届【衡水金卷】四省第三次大联考】2018年6月14日，第二十一届世界杯足球赛将在俄罗斯拉开帷幕.某地方体育台组织球迷对德国、西班牙、阿根廷、巴西四支热门球队进行竞猜，每位球迷可从四支球队中选出一支球队，现有三人参与竞猜.（1）若三人中每个人可以选择任何一支球队，且选择每个球队都是等可能的，求四支球队中恰好有两支球队有人选择的概率；（2.【答案】(2)答案见解析.【解析】分析：（1）由题意结合古典概型计算公式可知满足（2）由题知，，,10.【2018届云南省玉溪市适应性训练】某中药种植基地有两处种植区的药材需在下周一、下周二两天内采摘完毕，基地员工一天可以完成一处种植区的采摘.由于下雨会影响药材品质，基地收益如下表所示：万元万元万元万元若基地额外聘请工人，可在周一当天完成全部采摘任务..额.（Ⅱ）该基地是否应该外聘工人，请说明理由.【答案】(1)分布列见解析，14.4万元.(2)时，是否外聘工人均可以.理由见解析.详解：.，外聘工人：成本恰为元时，是否外聘工人均可以.11．【2018届河北省武邑中学四模】从某校高三的学生中随机抽取了100名学生，统计了某次数学模考考试成绩如表：（1）请在频率分布表中的①、②位置上填上相应的数据，并在给定的坐标系中作出这些数据的频率分布直方图，再根据频率分布直方图估计这100名学生的平均成绩；（2）从这100名学生中，采用分层抽样的方法已抽取了 20名同学参加“希望杯数学竞赛”，现需要选取其中3名同学代表高三年级到外校交流，记这3名学生中“期中考试成绩低于120分布列和数学期望.【答案】（1）见解析；（2）见解析详解：（1频率分布表为:频率分布直方图为:.12.【2018届湖北省黄冈中学5月三模】随着电商的快速发展，快递业突飞猛进，到目前，中国拥有世界上最大的快递市场.某快递公司收取快递费的标准是：重量不超过10元；重量超过在收费105元.该公司将最近承揽的100件包裹的重量统计如下：公司对近60天，每天揽件数量统计如下表：以上数据已做近似处理，并将频率视为概率.（1）计算该公司未来5天内恰有2天揽件数在101~300之间的概率；（2）①估计该公司对每件包裹收取的快递费的平均值；②根据以往的经验，公司将快递费的三分之一作为前台工作人员的工资和公司利润，其余的用作其他费用.目前前台有工作人员3人，每人每天揽件不超过150件，日工资100元.公司正在考虑是否将前台工作人员裁减1人，试计算裁员前后公司每日利润的数学期望，若你是决策者，是否裁减工作人员1人？【答案】（12）①平均值可估计为15元. ②公司不应将前台工作人员裁员1人.详解：（1）样本中包裹件数在101~300之间的天数为36，频率显然未来5天中，包裹件数在101~300（2）①样本中快递费用及包裹件数如下表：若裁员1人，则每天可揽件的上限为300件，公司每日揽件数情况如下：④“求期望”，一般利用离散型随机变量的数学期望的定义求期望．对于某些实际问题中的随机变量，如果能够断定它服从某常见的典型分布，则此随机变量的期望可直接利用这种典型分布的期望公式求得．因此，应熟记常见的典型分布的期望公式，可加快解题速度。
离散型随机变量的均值与方差易错点 2019高考绝密资料
离散型随机变量的均值与方差易错点主标题：离散型随机变量的均值与方差易错点副标题：从考点分析离散型随机变量的均值与方差易错点，为学生备考提供简洁有效的备考策略。
关键词：离散型随机变量，均值，方差，易错点难度：3重要程度：4内容：【易错点】1．离散型随机变量的均值与方差(1)期望是算术平均数概念的推广，与概率无关．(×)(2)(教材习题改编)在篮球比赛中，罚球命中1次得1分，不中得0分．如果某运动员罚球命中的概率为0.7，那么他罚球1次的得分X的均值是0.7，方差是0.21.(√)2．均值与方差的性质(3)随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值偏离均值的平均程度，方差或标准差越小，则偏离均值的平均程度越小．(√)(4)已知X的分布列为设Y＝2X＋3，则E(Y)的值为73.(√)(5)设等差数列x1，x2，x3，…，x19的公差为1，若随机变量X等可能地取值x1，x2，x3，…，x19，则方差D(X)＝30.(√)[剖析]1．对均值(或数学期望)的理解(1)期望是算术平均值概念的推广，是概率意义下的平均，如(1)．(2)E(X)是一个实数，由X的分布列唯一确定，即X作为随机变量是可变的，而E(X)是不变的，它描述X取值的平均状态．(3)公式E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋x n p n直接给出了E(X)的求法，即随机变量取值与相应概率值分别相乘后相加，由此可知，求E(X)的关键在于写出随机变量的分布列．2．方差的意义D(X)表示随机变量X对E(X)的平均偏离程度，D(X)越大表明平均偏离程度越大，说明X的取值越分散，反之，D(X)越小，X的取值越集中．在E(X)附近，统计中常用D(X)来描述X的分散程度，如(5).【典例】(2015·石家庄调研)根据以往的经验，某工程施工期间的降水量X(单位：mm)对工期的影响如下表：0.3,0.7,0.9，求：(1)工程延误天数Y的均值与方差；(2)在降水量X至少是300的条件下，工期延误不超过6天的概率．[错解](1)由条件和概率的加法有：P(X<300)＝0.3，P(300≤X＜700)＝P(X<700)－P(X<300)＝0.7－0.3＝0.4，P(700≤X＜900)＝P(X<900)－P(X<700)＝0.9－0.7＝0.2，P(X≥900)＝1－P(X<900)＝1－0.9＝0.1.所以Y的分布列为：于是，E(Y)＝0×0.3＋2D(Y)＝(0－3)2×0.3＋(2－3)2×0.4＋(6－3)2×0.2＋(10－3)2×0.1＝9.8.故工期延误天数Y的均值为3，方差为9.8.(2)由(1)知，在降水量X至少是300 mm条件下，工期不超过6天的概率为P＝P(Y＝2)＋P(Y＝6)＝0.4＋0.2＝0.6.[错因]第(2)问中，在降水量X至少是300 mm的条件下，这一条件说明是在延误工期的条件下，求工期延误不超过6天的概率，错解中没有在这条件下求概率．[正解](1)同上述解法．(2)由概率加法，得P(X≥300)＝1－P(X<300)＝0.7，又P(300≤X<900)＝P(X<900)－P(X<300)＝0.9－0.3＝0.6.由条件概率，得P(Y≤6|X≥300)＝P(X<900|X≥300)＝P(300≤X<900)P(X≥300)＝0.60.7＝67.故在降水量X至少是300 mm的条件下，工期延误不超过6天的概率是6 7.[注意](1)求某事件概率，首先理解题意，分清概率模型，恰当选择概率计算公式，本题是条件概率，应利用条件概率公式计算．(2)解决均值和方差问题时，认真计算，正确利用均值和方差公式，避免失误．导数在研究函数中的应用主标题：导数在研究函数中的应用备考策略副标题：通过考点分析高考命题方向，把握高考规律，为学生备考复习打通快速通道。
高考数学总复习-离散型随机变量的期望值和方差高频考点知识讲解及测试题
12.2 离散型随机变量的期望值和方差一、知识梳理1.期望：若离散型随机变量ξ，当ξ=x i 的概率为P （ξ=x i ）=P i （i =1，2，…，n ，…），则称E ξ=∑x i p i 为ξ的数学期望，反映了ξ的平均值.期望是算术平均值概念的推广，是概率意义下的平均.E ξ由ξ的分布列唯一确定.2.方差：称D ξ=∑（x i －E ξ）2p i 为随机变量ξ的均方差，简称方差.ξD 叫标准差，反映了ξ的离散程度.3.性质：（1）E （a ξ+b ）=aE ξ+b ，D （a ξ+b ）=a 2D ξ（a 、b 为常数）.（2）二项分布的期望与方差：若ξ～B （n ，p ），则E ξ=np ，D ξ=npq （q =1－p ）. D ξ表示ξ对E ξ的平均偏离程度，D ξ越大表示平均偏离程度越大，说明ξ的取值越分散.二、例题剖析【例1】 设ξ是一个离散型随机变量，其分布列如下表，试求E ξ、D ξ. ξ－1 0 1 P 21 1－2q q 2拓展提高既要会由分布列求E ξ、D ξ，也要会由E ξ、D ξ求分布列，进行逆向思维.如：若ξ是离散型随机变量，P （ξ=x 1）=53，P （ξ=x 2）=52，且x 1<x 2，又知E ξ=57，D ξ=256.求ξ的分布列.解：依题意ξ只取2个值x 1与x 2，于是有E ξ=53x 1+52x 2=57， D ξ=53x 12+52x 22－E ξ2=256. 从而得方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+=+.1123,723222121x x x x 【例2】 人寿保险中（某一年龄段），在一年的保险期内，每个被保险人需交纳保费a 元，被保险人意外死亡则保险公司赔付3万元，出现非意外死亡则赔付1万元.经统计此年龄段一年内意外死亡的概率是p 1，非意外死亡的概率为p 2，则a 需满足什么条件，保险公司才可能盈利?【例3】 把4个球随机地投入4个盒子中去，设ξ表示空盒子的个数，求E ξ、D ξ. 特别提示求投球的方法数时，要把每个球看成不一样的.ξ=2时，此时有两种情况：①有2个空盒子，每个盒子投2个球；②1个盒子投3个球，另1个盒子投1个球.【例4】 若随机变量A 在一次试验中发生的概率为p （0<p <1），用随机变量ξ表示A 在1次试验中发生的次数.（1）求方差D ξ的最大值；（2）求ξξE D 12-的最大值. 【例5】 袋中装有一些大小相同的球，其中有号数为1的球1个，号数为2的球2个，号数为3的球3个，…，号数为n 的球n 个.从袋中任取一球，其号数作为随机变量ξ，求ξ的概率分布和期望.【例6】某地最近出台一项机动车驾照考试规定；每位考试者一年之内最多有4次参加考试的机会，一旦某次考试通过，使可领取驾照，不再参加以后的考试，否则就一直考到第4次为止。
2019高考数学考点突破——随机变量及其分布(理科专用)离散型随机变量及其分布列 Word版含解析
离散型随机变量及其分布列【考点梳理】．离散型随机变量随着试验结果变化而变化的变量称为随机变量，所有取值可以一一列出的随机变量，称为离散型随机变量.．离散型随机变量的分布列及性质()一般地，若离散型随机变量可能取的不同值为，，…，，…，，取每一个值(＝，，…，)的概率(＝)＝，则表称为离散型随机变量的概率分布列.()离散型随机变量的分布列的性质：①≥(＝，，…，)；②＋＋…＋＝.．常见离散型随机变量的分布列()两点分布：若随机变量服从两点分布，其分布列为，其中＝(＝)称为成功概率.()超几何分布：在含有件次品的件产品中，任取件，其中恰有件次品，则(＝)＝)，＝，，，…，，其中＝{，}，且≤，≤，，，∈*，称随机变量服从超几何分布.【考点突破】考点一、离散型随机变量分布列的性质【例】()设是一个离散型随机变量，其分布列为：则的值为( )．．±．－．＋()离散型随机变量的概率分布规律为(＝)＝(＝，，，)，其中是常数，则的值为( )．．．．[答案]()()[解析]()由分布列的性质知(\\(－≥，≥，,()＋－＋＝，))∴＝－.()由×＝，知＝.∴＝.故＝(＝)＋(＝)＝×＋×＝.【类题通法】分布列性质的两个作用()利用分布列中各事件概率之和为可求参数的值及检查分布列的正确性.()随机变量所取的值分别对应的事件是两两互斥的，利用这一点可以求随机变量在某个范围内的概率.【对点训练】．设随机变量的分布列如下：则为( )．．．．[答案][解析]由分布列的性质，＋＋＋＋＝，∴＝－＝.．已知随机变量的分布列为：(＝)＝，＝，，…，则(<≤)＝.[答案][解析]∵(＝)＝，＝，，…，∴(<≤)＝(＝)＋(＝)＝＋＝＋＝.考点二、超几何分布的应用【例】某外语学校的一个社团中有名同学，其中人只会法语，人只会英语，人既会法语又会英语，现选派人到法国的学校交流访问.()在选派的人中恰有人会法语的概率；()在选派的人中既会法语又会英语的人数的分布列.[解析]()设事件：选派的三人中恰有人会法语，则()＝)＝.。
离散型随机变量的均值与方差(4类必考点)(北师大版2019选择性必修第一册)(解析版)
专题6.3 离散型随机变量的均值与方差【基础知识梳理】 (1)【考点1：求离散型随机变量的均值】 (1)【考点2：均值的性质】 (7)【考点3：求离散型随机变量的方差】 (11)【考点4：方差的性质】 (16)【基础知识梳理】1．离散型随机变量的均值与方差若离散型随机变量X的分布列为X x1x2…x i…x nP p1p2…p i…p n(1)称E(X)＝x1p1＋x2p2i i n n量取值的平均水平．(2)称D(X)＝(x i－E(X))2p i为随机变量X的方差，它刻画了随机变量X与其均值E(X)的平均偏离程度，其算术平方根D(X)为随机变量X的标准差．2．均值与方差的性质(1)E(aX＋b)＝aE(X)＋b；(2)D(aX＋b)＝a2D(X)(a，b为常数)．[方法技巧]求离散型随机变量的均值与方差的步骤(1)找出随机变量X的所有可能取值x i(i＝1,2，3，…，n)；(2)求出各取值的概率P(X＝x i)＝p i；(3)列成表格并用分布列的性质检验所求的分布列或某事件的概率是否正确；(4)利用公式求均值或方差.【考点1：求离散型随机变量的均值】【知识点：求离散型随机变量的均值】1．（2023·河南平顶山·校联考模拟预测）甲、乙两人进行围棋比赛，两人共比赛两局，每局比赛甲赢的概率为0.6，两人平局的概率为0.1，设每局的胜方得3分，负方得−1分，若该局为平局，则两人各得2分．(1)求甲、乙各赢一局的概率；(2)记两局结束后甲的最后得分为X，求X的数学期望．【答案】(1)0.36(2)3.4【分析】（1）由题可知比赛乙赢的概率为0.3，甲、乙各赢一局相当于甲赢第一局乙赢第二局或乙赢第一局甲赢第二局.据此可得答案；（2）依次写出对局情况及相应概率，后可计算期望.【详解】（1）依题意可得每局比赛乙赢的概率为0.3，甲、乙各赢一局相当于甲赢第一局乙赢第二局或乙赢第一局甲赢第二局，故甲、乙各赢一局的概P=2×0.6×0.3=0.36．（2）若甲赢两局，得分6分，P(X=6)=0.62=0.36；若甲一赢一平，得分5分，P(X=5)=2×0.6×0.1=0.12；若甲平两局，得分4分，P(X=4)=0.12=0.01；若甲一赢一输，得分2分，P(X=2)=2×0.6×0.3=0.36；若甲一平一输，得分1分，P(X=1)=2×0.3×0.1=0.06；若甲输两局，得分−2，P(X=−2)=0.32=0.09.故E(X)=6×0.36+5×0.12+4×0.01+2×0.36+1×0.06−2×0.09=3.42．（2023·四川·校联考一模）甲袋中装有大小相同的红球2个，白球2个：乙袋中装有与甲袋中相同大小的红球3个，白球4个．先从甲袋中取出1个球投入乙袋中，然后从乙袋中取出3个小球．(1)求从乙袋中取出的3个小球中仅有1个红球的概率；(2)记从乙袋中取出的3个小球中白球个数为随机变量ξ，求ξ的分布列和数学期望．【答案】(1)2756.(2)分布列见解析，数学期望E(ξ)=189112【分析】（1）分“从甲袋中取出1红球投入乙袋”和“从甲袋中取出1白球投入乙袋” 两个类型，利用组合数和古典概型公式。
考点34 离散型随机变量的概率-2019年江苏高考数学五年真题与三年模拟试题考点分类解读(原卷版)
1
考点34 离散型随机变量的概率
1、会求离散型随机变量的概率；
2、了解超几何分布及其导出过程，并能进行简单运用；
3、理解N 次独立重复试验的模型及二项分布，并能解决一些简单的实际应用；
4、理解离散型随机变量的均值与方差，会根据离散型随机变量的概率分布求出期望与方差；
概率是这几年高考的一个重要内容，求简单的随机变量的概率分布以及由此求期望与方差，在江苏高考中难度适中。
2
1、随机变量及时描述随机事件的数学模型，也是随机现象的思想方法，它的引入使我们能够运用分析的方法研究概率问题。
2、超几何分布、二项分布，n 次独立重复试验是概率分布中十分重要的概率模型，学会概率首先应正确理解和把握这几个重要的模型。
3、在考查随机变量的概率分布、数学期望与方差时往往与排列、组合相结合，因此要掌握排列组合灯相关知识。
1、 (2018年江苏卷) 已知一个口袋中有m 个白球，n 个黑球(,*,2m n n ∈N ≥)，这些球除颜色外全部相同．现
将口袋中的球随机地逐个取出，并放入如图所示的编号为1,2,3,,m n +L 的抽屉内，其中第k 次取出的球放入编号为k 的抽屉(1,2,3,,)k m n =+L ．
（1）试求编号为2的抽屉内放的是黑球的概率p ；
（2）随机变量X 表示最后一个取出的黑球所在抽屉编号的倒数，()E X 是X 的数学期望，证明：
()
()(1)
n
E X m n n <
+-．
2、(2014年江苏卷) 盒子中共有9个球，其中有4个红球，3个黄球和2个绿球，这些球除颜色外完全相同．。
2019高考数学考点突破——随机变量及其分布(理科专用)离散型随机变量的均值与方差 Word版含解析
离散型随机变量的均值与方差【考点梳理】．离散型随机变量的均值与方差若离散型随机变量的分布列为()均值称()＝＋＋…＋＋…＋为随机变量的均值或数学期望，它反映了离散型随机变量取值的平均水平.()方差称()＝)(－())为随机变量的方差，它刻画了随机变量与其均值()的平均偏离程度，其算术平方根为随机变量的标准差.．均值与方差的性质()(＋)＝()＋.()(＋)＝()(，为常数).．两点分布与二项分布的均值、方差()若服从两点分布，则()＝，()＝(－).()若～(，)，则()＝，()＝(－).【考点突破】考点一、离散型随机变量的均值与方差【例】一家面包房根据以往某种面包的销售记录，绘制了日销售量的频率分布直方图，如图所示.将日销售量落入各组的频率视为概率，并假设每天的销售量相互独立.()求在未来连续天里，有连续天的日销售量都不低于个且另天的日销售量低于个的概率；()用表示在未来天里日销售量不低于个的天数，求随机变量的分布列、数学期望()及方差().[解析]()设表示事件“日销售量不低于个”，表示事件“日销售量低于个”，表示事件“在未来连续天里，有连续天的日销售量都不低于个且另天的日销售量低于个”，因此()＝(＋＋)×＝，()＝×＝，()＝×××＝.()可能取的值为，，，，相应的概率为(＝)＝·(－)＝，(＝)＝·(－)＝，(＝)＝·(－)＝，(＝)＝·＝.分布列为因为～(，)，所以数学期望()＝×＝，方差()＝××(－)＝.【类题通法】．均值与方差的一般计算步骤()理解的意义，写出的所有可能取的值；()求取各个值的概率，写出分布列；()根据分布列，由均值的定义求出均值()，进一步由公式()＝)＝()－(())求出()．．以特殊分布(两点分布、二项分布、超几何分布)为背景的均值与方差的计算()先根据随机变量的特点判断出随机变量服从什么特殊分布；()可以根据特殊分布的概率公式列出分布列，根据计算公式计算出均值和方差；也可以直接应用离散型随机变量服从特殊分布时的均值与方差公式来计算；若＝ξ＋不服从特殊分布，但ξ服从特殊分布，可利用有关性质公式及(ξ)，(ξ)求均值和方差．【对点训练】。
2019版高考数学第10章计数原理概率随机变量及其分布6第6讲离散型随机变量及其分布列教案理
第6讲 离散型随机变量及其分布列1．离散型随机变量 (1)随机变量特点：随着试验结果的变化而变化的变量． 表示：常用字母X ，Y ，ξ，η，…表示． (2)离散型随机变量的特点 所有取值可以一一列举出来． 2．离散型随机变量的分布列(1)定义：若离散型随机变量X 可能取的不同值为x 1，x 2，…，x i ，…，x n ，X 取每一个值x i (i ＝1，2，…，n )的概率P (X ＝x i )＝p i ，则下表P (X ＝x i )＝p i ，i ＝1，2，…，n 表示X 的分布列．(2)性质：①p i ≥0(i ＝1，2，…，n )；②∑ni ＝1p i ＝1. 3．常见的两类特殊分布列 (1)两点分布若随机变量X 服从两点分布，则其分布列为＝P (X ＝1)称为成功概率．(2)超几何分布一般地，在含有M 件次品的N 件产品中，任取n 件，其中恰有X 件次品，则P (X ＝k )＝C k M C n －kN －MC n N，k ＝0，1，2，…，m ，即：如果随机变量X 的分布列具有上表的形式，则称随机变量X 服从超几何分布．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)随机变量和函数都是一种映射，随机变量把随机试验的结果映射为实数．( ) (2)抛掷均匀硬币一次，出现正面的次数是随机变量．( ) (3)离散型随机变量的各个可能值表示的事件是彼此互斥的．( )(4)离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和．( )(5)从4名男演员和3名女演员中选出4人，其中女演员的人数X 服从超几何分布．( )(6)由下表给出的随机变量X 的分布列服从两点分布．( )(教材习题改编)设随机变量X 的分布列如下表所示，则p4的值是( )A.1B.2C.14D.18解析：选D.由分布列的性质，得12＋14＋18＋p 4＝1，所以p 4＝18.设某项试验的成功率是失败率的2倍，用随机变量X 去描述1次试验的成功次数，则P (X ＝0)等于( )A ．0 B.12 C.13D.23解析：选C.设X 的分布列为即“X ＝0”表示试验失败，“X ＝1”表示试验成功．由p ＋2p ＝1，得p ＝3，故应选C.设随机变量X 的分布列为P (X ＝k )＝k15，k ＝1，2，3，4，5，则P ⎝ ⎛⎭⎪⎫12<X <52＝解析：P ⎝ ⎛⎭⎪⎫12<X <52＝P (X ＝1)＋P (X ＝2)＝115＋215＝15. 答案：15在含有3件次品的10件产品中任取4件，则取到次品数X 的分布列为________．解析：由题意知，X 服从超几何分布，其中N ＝10，M ＝3，n ＝4，所以分布列为P (X ＝k )＝C k 3·C 4－k7C 410，k ＝0，1，2，3. 答案：P (X ＝k )＝C k3·C 4－k7C 410，k ＝0，1，2，3离散型随机变量的分布列的性质[典例引领]设离散型随机变量X 的分布列为(2)P (1＜X ≤4)．【解】 由分布列的性质知： 0．2＋0.1＋0.1＋0.3＋m ＝1， 解得m ＝0.3. (1)2X ＋1的分布列：在本例条件下，求|X －1|的分布列． 解：|X －1|的分布列：离散型随机变量分布列的性质的应用(1)利用分布列中各概率之和为1可求参数的值，此时要注意检验，以保证每个概率值(2)若X 为随机变量，则2X ＋1仍然为随机变量，求其分布列时可先求出相应的随机变量的值，再根据对应的概率写出分布列．设随机变量X 等可能地取1，2，3，…，n ，若P (X ＜4)＝0.3，则n 的值为( )A ．3B ．4C ．10D ．不确定解析：选C.“X ＜4”的含义为X ＝1，2，3，所以P (X ＜4)＝3n＝0.3，所以n ＝10.离散型随机变量的分布列(高频考点)离散型随机变量的分布列是高考命题的热点，多以解答题的形式出现，试题难度不大，多为容易题或中档题．高考对离散型随机变量分布列的考查有以下三个命题角度：(1)用频率代替概率的离散型随机变量的分布列； (2)古典概型的离散型随机变量的分布列；(3)与独立事件(或独立重复试验)有关的分布列的求法．(下一讲内容)[典例引领]角度一 用频率代替概率的离散型随机变量的 分布列某商店试销某种商品20天，获得如下数据：件，当天营业结束后检查存货，若发现存量少于2件，则当天进货补充至3件，否则不进货，将频率视为概率．(1)求当天商店不进货的概率；(2)记X 为第二天开始营业时该商品的件数，求X 的分布列． 【解】 (1)P (当天商店不进货)＝P (当天商品销售量为0件)＋P (当天商品销售量为1件)＝120＋520＝310.(2)由题意知，X 的可能取值为2，3.P (X ＝2)＝P (当天商品销售量为1件)＝520＝14；P (X ＝3)＝P (当天商品销售量为0件)＋P (当天商品销售量为2件)＋P (当天商品销售量为3件)＝120＋920＋520＝34.所以X 的分布列为(2017·高考山东卷节选)在心理学研究中，常采用对比试验的方法评价不同心理暗示对人的影响，具体方法如下：将参加试验的志愿者随机分成两组，一组接受甲种心理暗示，另一组接受乙种心理暗示，通过对比这两组志愿者接受心理暗示后的结果来评价两种心理暗示的作用．现有6名男志愿者A 1，A 2，A 3，A 4，A 5，A 6和4名女志愿者B 1，B 2，B 3，B 4，从中随机抽取5人接受甲种心理暗示，另5人接受乙种心理暗示．(1)求接受甲种心理暗示的志愿者中包含A 1但不包含B 1的概率； (2)用X 表示接受乙种心理暗示的女志愿者人数，求X 的分布列．【解】 (1)记接受甲种心理暗示的志愿者中包含A 1但不包含B 1的事件为M ， 则P (M )＝C 48C 510＝518.(2)由题意知X 可取的值为：0，1，2，3，4，则 P (X ＝0)＝C 56C 510＝142，P (X ＝1)＝C 46C 14C 510＝521，P (X ＝2)＝C 36C 24C 510＝1021，P (X ＝3)＝C 26C 34C 510＝521，P (X ＝4)＝C 16C 44C 510＝142.因此X 的分布列为离散型随机变量分布列的求解步骤(1)明取值：明确随机变量的可能取值有哪些，且每一个取值所表示的意义． (2)求概率：要弄清楚随机变量的概率类型，利用相关公式求出变量所对应的概率． (3)画表格：按规范要求形式写出分布列．(4)做检验：利用分布列的性质检验分布列是否正确．[提醒] 求随机变量某一范围内取值的概率，要注意它在这个范围内的概率等于这个范围内各概率值的和．某校校庆，各届校友纷至沓来，某班共来了n 位校友(n >8且n ∈N *)，其中女校友6位，组委会对这n 位校友登记制作了一份校友名单，现随机从中选出2位校友代表，若选出的2位校友是一男一女，则称为“最佳组合”．(1)若随机选出的2位校友代表为“最佳组合”的概率不小于12，求n 的最大值；(2)当n ＝12时，设选出的2位校友代表中女校友人数为X ，求X 的分布列． 解：(1)由题意可知，所选2人为“最佳组合”的概率为C 1n －6C 16C 2n ＝12（n －6）n （n －1），则12（n －6）n （n －1）≥12，化简得n 2－25n ＋144≤0，解得9≤n ≤16， 故n 的最大值为16.(2)由题意得，X 的可能取值为0，1，2，则P (X ＝0)＝C 26C 212＝522，P (X ＝1)＝C 16C 16C 212＝611，P (X ＝2)＝C 26C 212＝522，X 的分布列为超几何分布[典例引领]一个袋中有大小相同的黑球和白球共10个．已知从袋中任意摸出2个球，至少得到1个白球的概率是79.(1)求白球的个数；(2)从袋中任意摸出3个球，记得到白球的个数为X ，求随机变量X 的分布列． 【解】 (1)记“从袋中任意摸出2个球，至少得到1个白球”为事件A ， 设袋中白球的个数为x ，则P (A )＝1－C 210－x C 210＝79，得到x ＝5.故白球有5个．(2)X 服从超几何分布，其中N ＝10，M ＝5，n ＝3， P (X ＝k )＝C k 5C 3－k5C 310，k ＝0，1，2，3.于是可得其分布列为超几何分布的特点(1)对于服从某些特殊分布的随机变量，其分布列可直接应用公式给出；(2)超几何分布描述的是不放回抽样问题，随机变量为抽到的某类个体的个数，随机变量取值的概率实质上是古典概型．[通关练习]1．从装有3个白球、4个红球的箱子中，随机取出了3个球，恰好是2个白球、1个红球的概率是( )A.435 B.635C.1235D.36343解析：选 C.如果将白球视为合格品，红球视为不合格品，则这是一个超几何分布问题，故所求概率为P ＝C 23C 14C 37＝1235.2．第二十八届亚洲男篮锦标赛在长沙举行，为了做好亚锦赛期间的接待服务工作，长沙大学学生实践活动中心从8名学生会干部(其中男生5名，女生3名)中选3名参加亚锦赛的志愿者服务活动．若所选3名学生中的女生人数为X ，求X 的分布列．解：因为8名学生会干部中有5名男生，3名女生，所以X 的分布列服从超几何分布．X 的所有可能取值为0，1，2，3，其中P (X ＝i )＝C i 3C 3－i5C 38(i ＝0，1，2，3)．由公式可得P (X ＝0)＝C 03C 35C 38＝528，P (X ＝1)＝C 13C 25C 38＝1528，P (X ＝2)＝C 23C 15C 38＝1556，P (X ＝3)＝C 33C 05C 38＝156.所以X 的分布列为对于随机变量X 的研究，需要了解随机变量取哪些值以及取这些值或取某一个集合内的值的概率，对于离散型随机变量，它的分布正是指出了随机变量X 的取值范围以及取这些值的概率．求离散型随机变量的分布列，首先要根据具体情况确定X 的取值情况，然后利用排列、组合与概率知识求出X 取各个值的概率．易错防范(1)确定离散型随机变量的取值时，易忽视各个可能取值表示的事件是彼此互斥的． (2)对于分布列易忽视其性质p 1＋p 2＋…＋p n ＝1及p i ≥0(i ＝1，2，…，n )，其作用可用于检验所求离散型随机变量的分布列是否正确．1．设随机变量X 的概率分布列如下表所示：若F (x )＝P A.13 B.16 C.12D.56解析：选D.由分布列的性质，得a ＋13＋16＝1，所以a ＝12.而x ∈[1，2)，所以F (x )＝P (X ≤x )＝12＋13＝56.2．在15个村庄中有7个村庄交通不方便，现从中任意选10个村庄，用X 表示这10个村庄中交通不方便的村庄数，则下列概率中等于C 47C 68C 1015的是( )A ．P (X ＝2)B ．P (X ≤2)C ．P (X ＝4)D ．P (X ≤4)解析：选C.X 服从超几何分布，P (X ＝k )＝C k 7C 10－k8C 1015，故k ＝4，故选C.3．抛掷2颗骰子，所得点数之和X 是一个随机变量，则P (X ≤4)＝________． 解析：抛掷2颗骰子有36个基本事件，其中X ＝2对应(1，1)；X ＝3对应(1，2)，(2，1)；X ＝4对应(1，3)，(2，2)，(3，1)．所以P (X ≤4)＝P (X ＝2)＋P (X ＝3)＋P (X ＝4)＝136＋236＋336＝16.答案：164．已知随机变量ξ只能取三个值：x 1，x 2，x 3，其概率依次成等差数列，则公差d 的取值范围是________．解析：设ξ取x 1，x 2，x 3时的概率分别为a －d ，a ，a ＋d ，则(a －d )＋a ＋(a ＋d )＝1，所以a ＝13，由⎩⎪⎨⎪⎧13－d ≥0，13＋d ≥0，得－13≤d ≤13.答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤－13，135．抛掷一枚质地均匀的硬币3次． (1)写出正面向上次数X 的分布列； (2)求至少出现两次正面向上的概率． 解：(1)X 的可能取值为0，1，2，3. P (X ＝0)＝C 0323＝18；P (X ＝1)＝C 1323＝38；P (X ＝2)＝C 2323＝38；P (X ＝3)＝C 3323＝18.所以X 的分布列为(2)P (X ≥2)＝P (X ＝2)＋P (X ＝3)＝38＋18＝12.6．(2018·惠州市第三次调研考试)某大学志愿者协会有6名男同学，4名女同学．在这10名同学中，3名同学来自数学学院，其余7名同学来自物理、化学等其他互不相同的七个学院．现从这10名同学中随机选取3名同学，到希望小学进行支教活动(每位同学被选到的可能性相同)．(1)求选出的3名同学是来自互不相同学院的概率；(2)设X 为选出的3名同学中女同学的人数，求随机变量X 的分布列．解：(1)设“选出的3名同学是来自互不相同的学院”为事件A ，则P (A )＝C 13·C 27＋C 03·C 37C 310＝4960. 所以选出的3名同学是来自互不相同学院的概率为4960.(2)随机变量X 的所有可能值为0，1，2，3. P (X ＝k )＝C k4·C 3－k6C 310(k ＝0，1，2，3)． 所以随机变量X 的分布列是7.将所得数据整理后，画出了频率分布直方图如图所示，已知次数在[100，110)间的频数为7，次数在110以下(不含110)视为不达标，次数在[110，130)间的视为达标，次数在130以上视为优秀．(1)求此次抽样的样本总数为多少人？(2)在样本中，随机抽取一人调查，则抽中不达标学生、达标学生、优秀学生的概率分别是多少？(3)将抽样的样本频率视为总体概率，若优秀成绩记为15分，达标成绩记为10分，不达标成绩记为5分，现在从该校高一学生中随机抽取2人，他们的分值和记为X ，求X 的分布列．解：(1)设样本总数为n ，由频率分布直方图可知：次数在[100，110)间的频率为：0.014×10＝0.14， 所以7n＝0.14，解得n ＝50.(2)记抽中不达标学生的事件为C ，抽中达标学生的事件为B ，抽中优秀学生的事件为A .P(C)＝0.006×10＋0.014×10＝0.20；P(B)＝0.028×10＋0.022×10＝0.50；P(A)＝1－P(B)－P(C)＝0.30.(3)在高一学生中随机抽取2名学生的成绩和X＝10，15，20，25，30.P(X＝10)＝0.2×0.2＝0.04；P(X＝15)＝2×0.2×0.5＝0.2；P(X＝20)＝0.52＋2×0.2×0.3＝0.37；P(X＝25)＝2×0.3×0.5＝0.3；P(X＝30)＝0.32＝0.09.X的分布列为1．(2018·广东省五校协作体第一次诊断考试)下图是某市11月1日至14日的空气质量指数趋势图，空气质量指数(AQI)小于100表示空气质量优良，空气质量指数大于200表示空气重度污染，某人随机选择11月1日至12日中的某一天到达该市，并停留3天．(1)求此人到达当日空气重度污染的概率；(2)设ξ是此人停留期间空气重度污染的天数，求ξ的分布列．解：设A i表示事件“此人于11月i日到达该市”(i＝1，2，…，12)．依题意知，P(A i)＝112，且A i∩A j＝∅(i≠j)．(1)设B为事件“此人到达当日空气重度污染”，则B＝A1∪A2∪A3∪A7∪A12，所以P(B)＝P(A1∪A2∪A3∪A7∪A12)＝P(A1)＋P(A2)＋P(A3)＋P(A7)＋P(A12)＝5 12 .即此人到达当日空气重度污染的概率为5 12 .(2)由题意可知，ξ的所有可能取值为0，1，2，3，P(ξ＝0)＝P(A4∪A8∪A9)＝P(A4)＋P(A8)＋P(A9)＝312＝14，P(ξ＝2)＝P(A2∪A11)＝P(A2)＋P(A11)＝212＝16，P(ξ＝3)＝P(A1∪A12)＝P(A1)＋P(A12)＝212＝16，P (ξ＝1)＝1－P (ξ＝0)－P (ξ＝2)－P (ξ＝3)＝1－14－16－16＝512.所以ξ的分布列为2.要因素之一，因此在生活中我们应该提倡低碳生活，少开私家车，尽量选择绿色出行的方式，为预防雾霾出一份力．为此，很多城市实施了机动车尾号限行，我市某报社为了解市区公众对“车辆限行”的态度，随机抽查了50人，将调查结果进行整理后制成下表：查，求恰有2人不赞成的概率；(2)在(1)的条件下，令选中的4人中不赞成“车辆限行”的人数为ξ，求随机变量ξ的分布列．解：(1)由表知，年龄在[15，25)内的有5人，不赞成的有1人，年龄在[25，35)内的有10人，不赞成的有4人，恰有2人不赞成的概率为P ＝C 14C 25·C 14·C 16C 210＋C 24C 25·C 24C 210＝410×2445＋610×645＝2275. (2)ξ的所有可能取值为0，1，2，3. P (ξ＝0)＝C 24C 25·C 26C 210＝610×1545＝1575，P (ξ＝1)＝C 14C 25·C 26C 210＋C 24C 25·C 14·C 16C 210＝410×1545＋610×2445＝3475，P (ξ＝2)＝2275，P (ξ＝3)＝C 14C 25·C 24C 210＝410×645＝475，所以ξ的分布列是。
精品三年高考(2019)高考数学试题分项版解析 专题28 离散性随机变量与期望 理(含解析)
专题28 离散性随机变量与期望考纲解读明方向与方差的求解方法.3.分布列、期望及方差均为高考的必考内容.本节在高考中一般以解答题形式出现,分值约为12概率求法,能用二项分布解决实际问题.3.了解正态分布与正态曲线的概念,掌握正态曲线的性质.4.独立事件的概率及正态分布均为近几年高考的热点.本节在高考中一般以选择题、解答题形式出现,难度为易或中等,分值约为5分或12分.2018年高考全景展示1.【2018年浙江卷】设0<p<1，随机变量ξ的分布列是则当p在（0，1）内增大时，A. D（ξ）减小B. D（ξ）增大C. D（ξ）先减小后增大D. D（ξ）先增大后减小【答案】D【解析】分析:先求数学期望，再求方差，最后根据方差函数确定单调性.详解：，，，∴先增后减,因此选D.点睛：2．【2018年全国卷Ⅲ理】某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为，各成员的支付方式相互独立，设为该群体的10位成员中使用移动支付的人数，，，则A. 0.7B. 0.6C. 0.4D. 0.3【答案】B点睛：本题主要考查二项分布相关知识，属于中档题。
3．【2018年理数天津卷】已知某单位甲、乙、丙三个部门的员工人数分别为24，16，16.现采用分层抽样的方法从中抽取7人，进行睡眠时间的调查.（I）应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取多少人？（II）若抽出的7人中有4人睡眠不足，3人睡眠充足，现从这7人中随机抽取3人做进一步的身体检查.（i）用X表示抽取的3人中睡眠不足的员工人数，求随机变量X的分布列与数学期望；（ii）设A为事件“抽取的3人中，既有睡眠充足的员工，也有睡眠不足的员工”，求事件A发生的概率.【答案】（Ⅰ）从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取3人，2人，2人．（Ⅱ）（i）答案见解析；（ii）．详解：（Ⅰ）由已知，甲、乙、丙三个部门的员工人数之比为3∶2∶2，由于采用分层抽样的方法从中抽取7人，因此应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取3人，2人，2人．（Ⅱ）（i）随机变量X的所有可能取值为0，1，2，3．P（X=k）=（k=0，1，2，3）．所以，随机变量X的分布列为随机变量X的数学期望．（ii）设事件B为“抽取的3人中，睡眠充足的员工有1人，睡眠不足的员工有2人”；事件C为“抽取的3人中，睡眠充足的员工有2人，睡眠不足的员工有1人”，则A=B∪C，且B与C互斥，由（i）知，P(B)=P(X=2)，P(C)=P(X=1)，故P(A)=P(B∪C)=P(X=2)+P(X=1)=．所以，事件A发生的概率为．点睛：本题主要在考查超几何分布和分层抽样.超几何分布描述的是不放回抽样问题，随机变量为抽到的某类个体的个数．超几何分布的特征是：①考查对象分两类；②已知各类对象的个数；③从中抽取若干个个体，考查某类个体个数X的概率分布，超几何分布主要用于抽检产品、摸不同类别的小球等概率模型，其实质是古典概型．进行分层抽样的相关计算时，常利用以下关系式巧解：(1) ；(2)总体中某两层的个体数之比＝样本中这两层抽取的个体数之比．4．【2018年理北京卷】电影公司随机收集了电影的有关数据，经分类整理得到下表：部数好评率是指：一类电影中获得好评的部数与该类电影的部数的比值．假设所有电影是否获得好评相互独立．（Ⅰ）从电影公司收集的电影中随机选取1部，求这部电影是获得好评的第四类电影的概率；（Ⅱ）从第四类电影和第五类电影中各随机选取1部，估计恰有1部获得好评的概率；（Ⅲ）假设每类电影得到人们喜欢的概率与表格中该类电影的好评率相等，用“”表示第k类电影得到人们喜欢，“”表示第k类电影没有得到人们喜欢（k=1，2，3，4，5，6）．写出方差，，，，，的大小关系．【答案】(1) 概率为0.025(2) 概率估计为0.35(3) >>=>>【解析】分析：(1)先根据频数计算是第四类电影的频率，再乘以第四类电影好评率得所求概率，(2) 恰有1部获得好评为第四类电影获得好评第五类电影没获得好评和第四类电影没获得好评第五类电影获得好评这两个互斥事件，先利用独立事件概率乘法公式分别求两个互斥事件的概率，再相加得结果，(3) 服从0-1分布，因此，即得>>=>>．详解：解：（Ⅰ）由题意知，样本中电影的总部数是140+50+300+200+800+510=2000，第四类电影中获得好评的电影部数是200×0.25=50．故所求概率为．点睛：互斥事件概率加法公式：若A,B互斥，则P(A+B)=P(A)+P(B)，独立事件概率乘法公式:若A,B相互独立，则P(AB)=P(A)P(B).5．【2018年理新课标I卷】某工厂的某种产品成箱包装，每箱200件，每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验，如检验出不合格品，则更换为合格品．检验时，先从这箱产品中任取20件作检验，再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验，设每件产品为不合格品的概率都为，且各件产品是否为不合格品相互独立．（1）记20件产品中恰有2件不合格品的概率为,求的最大值点．（2）现对一箱产品检验了20件，结果恰有2件不合格品，以（1）中确定的作为的值．已知每件产品的检验费用为2元，若有不合格品进入用户手中，则工厂要对每件不合格品支付25元的赔偿费用．（i）若不对该箱余下的产品作检验，这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为，求;（ii ）以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据，是否该对这箱余下的所有产品作检验？ 【答案】(1).(2) （i ）490.（ii ）应该对余下的产品作检验.详解：（1）20件产品中恰有2件不合格品的概率为.因此.令，得.当时，；当时，.所以的最大值点为. （2）由（1）知，.（i ）令表示余下的180件产品中的不合格品件数，依题意知，，即.所以.（ii ）如果对余下的产品作检验，则这一箱产品所需要的检验费为400元. 由于，故应该对余下的产品作检验.点睛：该题考查的是有关随机变量的问题，在解题的过程中，一是需要明确独立重复试验成功次数对应的概率公式，再者就是对其用函数的思想来研究，应用导数求得其最小值点，在做第二问的时候，需要明确离散型随机变量的可取值以及对应的概率，应用期望公式求得结果，再有就是通过期望的大小关系得到结论.2017年高考全景展示1.【2017浙江，8】已知随机变量i ξ满足P （i ξ=1）=p i ，P （i ξ=0）=1—p i ，i =1，2． 若0<p 1<p 2<12，则 A ．1E()ξ<2E()ξ，1D()ξ<2D()ξ B ．1E()ξ<2E()ξ，1D()ξ>2D()ξ C ．1E()ξ>2E()ξ，1D()ξ<2D()ξD ．1E()ξ>2E()ξ，1D()ξ>2D()ξ【答案】A 【解析】 试题分析：112212(),(),()()E p E p E E ξξξξ==∴<111222121212()(1),()(1),()()()(1)0D p p D p p D D p p p p ξξξξ=-=-∴-=---<，选A ．【考点】 两点分布【名师点睛】求离散型随机变量的分布列，首先要根据具体情况确定X 的取值情况，然后利用排列，组合与概率知识求出X 取各个值时的概率．对于服从某些特殊分布的随机变量，其分布列可以直接应用公式给出，其中超几何分布描述的是不放回抽样问题，随机变量为抽到的某类个体的个数．由已知本题随机变量i ξ服从两点分布，由两点分布均值与方差公式可得A 正确．2.【2017课标II ，理13】一批产品的二等品率为0.02，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取100次，X 表示抽到的二等品件数，则D X = 。
2019届高考数学(浙江版)一轮配套讲义：12.3离散型随机变量及其分布
§ 12.3 失散型随机变量及其散布考纲解读考点考纲内容要求浙江省五年高考统计201320142015201620171. 失散型1. 理解取有限个值的失散型随机变量及其散布列的观点 , 认识散布列对于随机变量19(1),刻画随机现象的重要性 .理解8,2 分及其散布 7 分2. 理解两点散布和超几何散布的意列义 , 并能进行简单的应用 .2. 失散型 理解取有限个值的失散型随机变量的随机变量 均值、方差的观点 , 能计算简单失散型 理解19(2), 9,5 分8,2 分的均值与 随机变量的均值、 方差 , 并能解决一些 7 分12,4 分方差实质问题 .剖析解读1. 随机变量及其散布是概率统计部分的重要内容 , 是高中数学的骨干知识 , 也是高考的热门 .2. 主要考察随机变量散布列的性质及运算求解能力 .3. 考察一般以解答题形式出现 , 以随机变量散布列为载体 , 综共计数原理、古典概型、等可能事件等考 查学生剖析问题、解决问题的能力及运算求解能力 .4. 估计 2019 年高考试题中 , 对随机变量及其散布的考察必不行少.五年高考考点一失散型随机变量及其散布列1.(2017 100 次 ,X课标全国Ⅱ理 ,13,5 分 ) 一批产品的二等品率为 表示抽到的二等品件数 ,则 DX= .0.02,从这批产品中每次随机取一件, 有放回地抽取答案1.962.(2013 浙江 ,19,14 分 ) 设袋子中装有 个黄球得 2 分 , 拿出一个蓝球得 3 分 .a 个红球 ,b 个黄球 ,c 个蓝球 , 且规定: 拿出一个红球得 1 分 , 拿出一(1) 当 a=3,b=2,c=1 时 , 从该袋子中任取 ( 有放回 , 且每球取到的时机均等 )2 个球 , 记随机变量 ξ 为拿出此 2 球所得分数之和 , 求ξ 的散布列 ;(2) 从该袋子中任取 ( 每球取到的时机均等 )1 个球 , 记随机变量 η 为拿出此球所得分数 . 若 E η = ,D η = , 求 a ∶ b ∶ c. 分析(1) 由题意得 ξ =2,3,4,5,6.故 P( ξ =2)== , P( ξ =3)== ,P( ξ =4)== ,P( ξ =5)== , P( ξ =6)== .所以 ξ 的散布列为ξ23456P(2)由题意知η 的散布列为η12 3P所以 E( η )= + + = ,D(η )= ·+ ·+ ·= ,化简得解得 a=3c,b=2c, 故 a∶ b∶ c=3∶ 2∶ 1.3.(2017 课标全国Ⅲ理 ,18,12 分 ) 某商场计划按月订购一种酸奶, 每日进货量同样 , 进货成本每瓶 4 元 , 售价每瓶 6 元 , 未售出的酸奶降价办理, 以每瓶 2 元的价钱当天所有办理完 . 依据早年销售经验 , 每日需求量与当天最高气温 ( 单位 : ℃) 相关 . 假如最高气温不低于25, 需求量为 500 瓶 ; 假如最高气温位于区间 [20,25), 需求量为 300 瓶 ; 假如最高气温低于20, 需求量为200 瓶 . 为了确立六月份的订购计划, 统计了前三年六月份各天的最高气温数据 , 得下边的频数散布表 :最高气 [10,15 [15,20[20,25) [25,30) [30,35) [35,40) 温) )天数 2 16 36 25 7 4以最高气温位于各区间的频次取代最高气温位于该区间的概率.(1)求六月份这类酸奶一天的需求量X(单位 : 瓶) 的散布列 ;n( 单位 : 瓶 ) 为多少(2) 设六月份一天销售这类酸奶的收益为Y( 单位 : 元 ). 当六月份这类酸奶一天的进货量时 ,Y 的数学希望达到最大值?分析此题考察随机变量的散布列, 数学希望 .(1)由题意知 ,X 所有可能取值为 200,300,500, 由表格数据知P(X=200)==0.2,P(X=300)==0.4,P(X=500)= =0.4.所以 X 的散布列为X 200 300 500P 0.2 0.4 0.4(2)由题意知 , 这类酸奶一天的需求量至多为500 瓶, 起码为 200 瓶 , 所以只要考虑 200≤ n≤ 500.当 300≤ n≤ 500 时 ,若最高气温不低于25, 则 Y=6n-4n=2n;若最高气温位于区间[20,25),则Y=6×300+2(n-300)-4n=1200-2n;若最高气温低于20, 则 Y=6×200+2(n-200)-4n=800-2n.所以 EY=2n× 0.4+(1200-2n)× 0.4+(800-2n)×0.2=640-0.4n.当 200≤ n<300 时 ,若最高气温不低于20, 则 Y=6n-4n=2n;若最高气温低于20, 则 Y=6×200+2(n-200)-4n=800-2n.所以 EY=2n× (0.4+0.4)+(800-2n) × 0.2=160+1.2n.所以 n=300 时 ,Y 的数学希望达到最大值 , 最大值为520 元.4.(2017 天津理 ,16,13 分 ) 从甲地到乙地要经过 3 个十字路口 , 设各路口信号灯工作互相独立, 且在各路口碰到红灯的概率分别为, , .(1) 记 X 表示一辆车从甲地到乙地碰到红灯的个数, 求随机变量 X 的散布列和数学希望 ;(2) 如有 2 辆车独立地从甲地到乙地, 求这 2 辆车共碰到 1 个红灯的概率 .分析本小题主要考察失散型随机变量的散布列与数学希望, 事件的互相独立性, 互斥事件的概率加法公式等基础知识 . 考察运用概率知识解决简单实质问题的能力.(1) 随机变量 X 的所有可能取值为0,1,2,3.P(X=0)= ××= ,P(X=1)= × 1- × 1- + 1- ××1- + ×× = ,P(X=2)= ××+××+××= ,P(X=3)= ××= .所以 , 随机变量 X 的散布列为X 0 12 3P随机变量X的数学希望E(X)=0 × +1×+2× +3×=.(2)设 Y 表示第一辆车碰到红灯的个数 ,Z 表示第二辆车碰到红灯的个数 , 则所求事件的概率为P(Y+Z=1)=P(Y=0,Z=1)+P(Y=1,Z=0)=P(Y=0)P(Z=1)+P(Y=1)P(Z=0)=×+×= .所以 , 这 2 辆车共碰到 1 个红灯的概率为.5.(2017山东理,18,12分)在心理学研究中, 常采纳对照试验的方法评论不一样心理示意对人的影响, 详细方法以下 : 将参加试验的志愿者随机分红两组, 一组接受甲种心理示意, 另一组接受乙种心理示意, 经过对照这两组志愿者接受心理示意后的结果来评论两种心理示意的作用. 现有 6 名男志愿者A1,A2,A3 ,A4,A 5,A 6和 4 名女志愿者B1,B 2,B 3,B 4, 从中随机抽取 5 人接受甲种心理示意, 另 5 人接受乙种心理示意.(1)求接受甲种心理示意的志愿者中包括A1但不包括 B1的概率 ;(2) 用 X 表示接受乙种心理示意的女志愿者人数, 求 X 的散布列与数学希望EX.分析此题考察失散型随机变量的散布列, 希望 .(1)记接受甲种心理示意的志愿者中包括A1但不包括 B1的事件为 M,则 P(M)= = .(2) 由题意知X 可取的值为0,1,2,3,4,则P(X=0)==,P(X=1)==,P(X=2)==,P(X=3)==,P(X=4)==.所以 X 的散布列为X 0 1 2 3 4PX 的数学希望是EX=0× P(X=0)+1 × P(X=1)+2 × P(X=2)+3 × P(X=3)+4 × P(X=4)=0+1 ×+2×+3×+4×=2.6.(2016 轮活动中山东 ,19,12分)甲、乙两人构成“星队”参加猜成语活动, 假如两人都猜对, 则“星队”得 3 分 ; 假如只有一人猜对, 每轮活动由甲、乙各猜一个成语 . 在一 ,则“星队”得 1 分 ; 假如两人都没猜对,则“星队”得0 分 . 已知甲每轮猜对的概率是, 乙每轮猜对的概率是; 每轮活动中甲、乙猜对与否互不影响 , 各轮结果亦互不影响. 假定“星队”参加两轮活动, 求 :(1)“星队”起码猜对 3 个成语的概率 ;(2)“星队”两轮得分之和 X 的散布列和数学希望 E(X).分析(1) 记事件 A: “甲第一轮猜对”, 记事件 B: “乙第一轮猜对”D: “乙第二轮猜对”, 记事件 E: “‘星队’起码猜对 3 个成语” ., 记事件C:“甲第二轮猜对”, 记事件由题意 ,E=ABCD+ BCD+A CD+ABD+ABC ,由事件的独立性与互斥性, 得P(E)=P(ABCD)+P( BCD)+P(A CD)+P(AB D)+P(ABC )=P(A)P(B)P(C)P(D)+P()P(B)P(C)P(D)+P(A)· P()P(C)P(D)+P(A)P(B)P()P(D)+P(A)P(B)P(C)·P() =×××+2×=.所以“星队”起码猜对 3 个成语的概率为.(2)由题意 , 随机变量 X 可能的取值为 0,1,2,3,4,6.由事件的独立性与互斥性 , 得P(X=0)= ×××= ,P(X=1)=2 ×= = ,P(X=2)= ×××+×××+×××+×××= ,P(X=3)= ×××+×××= = ,P(X=4)=2 ×= = ,P(X=6)= ×××= = .可得随机变量X 的散布列为X 0 1 2 3 4 6P所以数学希望E(X)=0 ×+1×+2×+3×+4×+6× =.7.(2015 重庆 ,17,13 分 ) 端午节吃粽子是我国的传统风俗 . 设一盘中装有 10 个粽子 , 此中豆沙粽 2 个 , 肉粽 3 个 , 白粽 5 个 , 这三种粽子的外观完整同样 . 从中随意选用 3 个 .(1)求三种粽子各取到 1 个的概率 ;(2)设 X 表示取到的豆沙粽个数 , 求 X 的散布列与数学希望 .分析(1) 令 A 表示事件“三种粽子各取到 1 个” , 则由古典概型的概率计算公式有P(A)== .(2)X 的所有可能取值为0,1,2,且P(X=0)== ,P(X=1)==,P(X=2)==.综上知 ,X 的散布列为X01 2P故 E(X)=0 × +1× +2× = .8.(2015 四川 ,17,12 分 ) 某市 A,B 两所中学的学生组队参加争辩赛 ,A 中学介绍了 3 名男生、 2 名女生 ,B 中学介绍了3 名男生、 4 名女生 , 两校所介绍的学生一同参加集训 . 因为集训后队员水平相当 , 从参加集训的男生中随机抽取 3 人、女生中随机抽取 3 人构成代表队 .(1)求 A 中学起码有 1 名学生当选代表队的概率 ;(2) 某场竞赛前 , 从代表队的 6 名队员中随机抽取 4 人参赛 , 设 X 表示参赛的男生人数, 求 X 的散布列和数学希望 .分析(1) 由题意 , 参加集训的男、女生各有 6 名 .参赛学生全从 B 中学抽取 ( 等价于 A 中学没有学生当选代表队) 的概率为=.所以 ,A 中学起码有 1 名学生当选代表队的概率为1-=.(2)依据题意 ,X 的可能取值为 1,2,3.P(X=1)== ,P(X=2)== ,P(X=3)== .所以 X 的散布列为X12 3P所以 ,X 的数学希望为E(X)=1 × P(X=1)+2 ×P(X=2)+3 × P(X=3)=1×+2×+3×=2.9.(2015湖北,20,12分)某厂用鲜牛奶在某台设施上生产A,B 两种奶制品 , 生产 1 吨 A 产品需鲜牛奶 2 吨 , 使用设施 1 小时 , 赢利 1000 元 ; 生产 1 吨 B 产品需鲜牛奶 1.5 吨 , 使用设施 1.5 小时 , 赢利 1200 元 . 要求每天 B 产品的产量不超出 A 产品产量的 2 倍, 设施每日生产A,B 两种产品时间之和不超出12 小时 . 假定每日可获取的鲜牛奶数目W(单位 : 吨 ) 是一个随机变量, 其散布列为W 1215 18P 0.30.5 0.2该厂每日依据获取的鲜牛奶数目安排生产, 使其赢利最大, 所以每日的最大赢利Z( 单位 : 元 ) 是一个随机变量 .(1) 求 Z 的散布列和均值 ;(2) 若每日可获取的鲜牛奶数目互相独立, 求 3 天中起码有 1 天的最大赢利超出10000 元的概率 .分析 (1) 设每日 A,B 两种产品的生产数目分别为x 吨 ,y 吨 , 相应的赢利为 z 元, 则有①目标函数为z=1000x+1200y.当 W=12时 , ①表示的平面地区如图1, 三个极点分别为A(0,0),B(2.4,4.8),C(6,0).当 z=1000x+1200y 变形为 y=- x+ ,当 x=2.4,y=4.8 时 , 直线 l:y=- x+ 在 y 轴上的截距最大 ,最大赢利 Z=z =2.4 × 1000+4.8 ×1200=8160.max当 W=15时 , ①表示的平面地区如图2, 三个极点分别为A(0,0),B(3,6),C(7.5,0).将 z=1000x+1200y 变形为 y=- x+ ,当 x=3,y=6 时 , 直线 l:y=- x+ 在 y 轴上的截距最大 ,最大赢利Z=z max=3× 1000+6× 1200=10200.当 W=18时 , ①表示的平面地区如图 3,四个极点分别为 A(0,0),B(3,6),C(6,4),D(9,0).将 z=1000x+1200y 变形为 y=- x+ ,当 x=6,y=4 时 , 直线 l:y=- x+ 在 y 轴上的截距最大 ,最大赢利 Z=z max=6× 1000+4× 1200=10800.故最大赢利 Z 的散布列为Z 8160 10200 10800P 0.3 0.5 0.2所以 ,E(Z)=8160 × 0.3+10200 × 0.5+10800 × 0.2=9708. (2) 由 (1) 知, 一天最大赢利超出 10000 元的概率p 1 =P(Z>10000)=0.5+0.2=0.7,33由二项散布 ,3 天中起码有1 天最大赢利超出 10000 元的概率为 p=1-(1-p ) =1-0.3=0.973.110.(2015 陕西 ,19,12 分 ) 设某校新、老校区之间开车单程所需时间为 T,T 只与道路通畅状况相关, 对其容量为 100 的样本进行统计 , 结果以下 :T(分钟 ) 25 30 35 40频数(次) 20 30 40 10(1) 求 T 的散布列与数学希望 ET; (2) 刘教授驾车从老校区出发 , 前去新校区作一个 50 分钟的讲座 , 结束后立刻返回老校区 , 求刘教授从走开老校区到返回老校区共用时间不超出 120 分钟的概率 . 分析 (1) 由统计结果可得T 的频次散布为T(分钟 ) 25 3035 40频次 0.20.30.40.1以频次估计概率得 T 的散布列为T 25 30 35 40P0.2 0.3 0.4 0.1进而 ET=25× 0.2+30 × 0.3+35 × 0.4+40 × 0.1=32( 分钟 ).(2) 设 T 1,T 2 分别表示往、返所需时间 ,T 1,T 2 的取值互相独立 , 且与 T 的散布列同样 .设事件 A 表示“刘教授共用时间不超出120 分钟” , 因为讲座时间为 50 分钟 , 所以事件 A 对应于“刘教授 在路程中的时间不超出 70 分钟” .解法一 :P(A)=P(T 1+T 2≤ 70)=P(T 1=25,T 2≤ 45)+P(T 1=30,T 2≤ 40)+P(T 1=35,T 2≤ 35)+P(T 1=40,T 2≤ 30) =0.2 × 1+0.3 × 1+0.4 × 0.9+0.1 × 0.5=0.91.解法二 :P( )=P(T+T >70)=P(T =35,T =40)+P(T =40,T =35)+P(T1=40,T =40)121 2 1 22=0.4 × 0.1+0.1 × 0.4+0.1 × 0.1=0.09. 故 P(A)=1-P( )=0.91.11.(2014 天津 ,16,13 分 ) 某大学志愿者协会有 6 名男同学 ,4 名女同学 . 在这 10 名同学中 ,3 名同学来自数学学院 , 其余 7 名同学来自物理、化学等其余互不同样的七个学院 . 现从这 10 名同学中随机选用 3 名同学 , 到希望小学进行支教活动 ( 每位同学被选到的可能性同样 ).(1) 求选出的 3 名同学是来自互不同样学院的概率 ;(2) 设 X 为选出的 3 名同学中女同学的人数 , 求随机变量 X 的散布列和数学希望 . 分析 (1) 设“选出的 3 名同学是来自互不同样的学院”为事件 A, 则P(A)= = .所以选出的 3 名同学是来自互不同样的学院的概率为.(2) 随机变量 X 的所有可能取值为 0,1,2,3.P(X=k)= (k=0,1,2,3).所以随机变量 X 的散布列是X 0123P随机变量 X 的数学希望 E(X)=0 × +1× +2× +3× = .12.(2014江西,21,14分)随机将1,2, ,,2n(n ∈ N* ,n ≥ 2) 这 2n 个连续正整数分红A,B组最小数为a1, 最大数为a2;B 组最小数为b1, 最大数为b2. 记ξ =a2-a 1, η =b2-b 1.两组, 每组n 个数 .A(1)当 n=3 时 , 求ξ的散布列和数学希望 ;(2)令 C 表示事件“ξ与η的取值恰巧相等” , 求事件 C 发生的概率 P(C);(3)对 (2) 中的事件 C, 表示 C 的对峙事件 , 判断 P(C) 和 P( ) 的大小关系 , 并说明原因 .分析(1) 当 n=3 时 , ξ的所有可能取值为2,3,4,5.将 6 个正整数均匀分红A,B 两组 , 不一样的分组方法共有=20 种 , 所以ξ的散布列为ξ 2 3 4 5PEξ =2×+3×+4×+5×= .(2) ξ和η恰巧相等的所有可能取值为n-1,n,n+1, ,,2n-2.又ξ和η恰巧相等且等于n-1 时 , 不一样的分组方法有 2 种;ξ和η恰巧相等且等于n 时 , 不一样的分组方法有2 种 ;ξ 和η 恰巧相等且等于n+k(k=1,2, ,,n-2)(n ≥3) 时 , 不一样的分组方法有2 种 ,所以当 n=2 时 ,P(C)= = ,当 n≥ 3 时 ,P(C)= .(3) 由 (2) 知当 n=2 时,P( )= , 所以 P(C)>P(而当 n≥ 3 时 ,P(C)<P( ). 原因以下 :),P(C)<P( ) 等价于 42+ < . ①用数学概括法来证明:1°当n=3 时 , ①式左侧=4× (2+ )=4 ×(2+2)=16, ①式右侧= =20, 所以①式建立. 2°假定 n=m(m≥ 3) 时①式建立 , 即 4 2+<建立,那么,当n=m+1时,左侧 =42+=4 2++4<+4=+=<= ·< =右侧 ,即当综合n=m+1时①式也建立.1° ,2°得 ,, 都有 P(C)<P() 建立 . 对于n≥ 3的所有正整数13.(2014湖北,20,12分)计划在某水库建一座至多安装 3 台发电机的水电站. 过去 50 年的水文资料显示, 水库年入流量X( 年入流量 : 一年内上游来水与库区降水之和, 单位 : 亿立方米 ) 都在 40 以上 . 此中 , 不足 80 的．．．．．年份有 10 年 , 不低于 80 且不超出120 的年份有 35 年 , 超出 120 的年份有 5 年 . 将年入流量在以上三段的频率作为相应段的概率, 并假定各年的年入流量互相独立.(1) 求将来 4 年中 , 至多有 1 年的年入流量超出120 的概率 ;．．(2)水电站希望安装的发电机尽可能运转, 但每年发电机最多可运转台数受年入流量X 限制 , 并有以下关系 :年入流量 X 40<X<80 80≤ X≤X>120 120发电机最多可运转1 2 3台数若某台发电机运转, 则该台年收益为5000 万元 ; 若某台发电机未运转, 则该台年损失800 万元 . 欲使水电站年总收益的均值达到最大, 应安装发电机多少台 ?分析 (1) 依题意 ,p =P(40<X<80)= =0.2,p2 =P(80≤ X≤ 120)= =0.7,p =P(X>120)= =0.1.1 3由二项散布知 , 在将来 4 年中至多有1 年的年入流量超出120 的概率为 p= (1-p 3) 4+ (1-p 3) 3p3=+4××=0.9477.(2)记水电站年总收益为 Y( 单位 : 万元 ).(i)安装 1 台发电机的情况 .因为水库年入流量总大于40, 故一台发电机运转的概率为1, 对应的年收益Y=5000,E(Y)=5000 ×1=5000. (ii)安装 2 台发电机的情况 .依题意知 , 当 40<X<80 时 , 一台发电机运转, 此时 Y=5000-800=4200, 所以 P(Y=4200)=P(40<X<80)=p 1=0.2; 当X≥ 80 时 , 两台发电机运转, 此时 Y=5000× 2=10000, 所以 P(Y=10000)=P(X ≥ 80)=p 2+p3=0.8, 由此得 Y 的散布列以下 :Y 4200 10000P 0.2 0.8所以 ,E(Y)=4200 × 0.2+10000 × 0.8=8840.(iii)安装 3 台发电机的情况 .依题意 , 当 40<X<80 时 , 一台发电机运转 , 此时 Y=5000-1600=3400, 所以 P(Y=3400)=P(40<X<80)=p 1 =0.2; 当80≤ X≤ 120 时 , 两台发电机运转 , 此时 Y=5000× 2-800=9200, 所以 P(Y=9200)=P(80 ≤ X≤ 120)=p 2 =0.7; 当X>120 时 , 三台发电机运转 , 此时 Y=5000× 3=15000, 所以 P(Y=15000)=P(X>120)=p 3=0.1, 由此得 Y 的散布列以下 :Y 3400 9200 15000P 0.2 0.7 0.1所以 ,E(Y)=3400 × 0.2+9200 × 0.7+15000 × 0.1=8620.综上 , 欲使水电站年总收益的均值达到最大, 应安装发电机 2 台 .教师用书专用 (14 — 24)14.(2013 广东 ,4,5 分 ) 已知失散型随机变量X 的散布列为X 1 2 3P则 X 的数学希望E(X)=()A. B.2 C. D.3答案 A15.(2015 湖南 ,18,12 分 ) 某商场举行有奖促销活动 , 顾客购置必定金额的商品后即可抽奖 . 每次抽奖都是从装有 4 个红球、 6 个白球的甲箱和装有 5 个红球、 5 个白球的乙箱中 , 各随机摸出 1 个球 . 在摸出的 2 个球中 , 若都是红球 , 则获一等奖 ; 若只有 1 个红球 , 则获二等奖 ; 若没有红球 , 则不获奖 .(1) 求顾客抽奖 1 次能获奖的概率 ;(2) 若某顾客有 3 次抽奖时机 , 记该顾客在 3 次抽奖中获一等奖的次数为X, 求 X 的散布列和数学希望 .分析 (1) 记事件 A1={ 从甲箱中摸出的 1 个球是红球 },A ={ 从乙箱中摸出的 1 个球是红球 },2B1 ={ 顾客抽奖1 次获一等奖 },B ={ 顾客抽奖 1 次获二等奖 },2C={顾客抽奖 1 次能获奖 }. 由题意 ,A 与 A 互相独立 ,A1 与A互斥,B1与 B 互斥, 且 B=AA,B =A + A ,C=B +B.1 2 2 2 1 1 2 2 1 2 1 2 因为 P(A )= = ,P(A )= = ,1 2所以 P(B1)=P(A 1A2)=P(A 1)P(A 2)= × = ,P(B2)=P(A 1 + A2)=P(A 1 )+P( A2)=P(A1)P( )+P( )P(A 2)=P(A1)[1-P(A 2 )]+[1-P(A 1)]P(A 2)= ×+ × = .故所求概率为 P(C)=P(B1 +B )=P(B )+P(B )= + = .2 1 2(2) 顾客抽奖 3 次可视为 3 次独立重复试验 , 由 (1) 知 , 顾客抽奖 1 次获一等奖的概率为,所以 X~B. 于是 P(X=0)= = ,P(X=1)= = ,P(X=2)= = ,P(X=3)= = .故 X 的散布列为X 0 12 3PX 的数学希望为 E(X)=0 ×+1×+2×+3×=.16.(2014 重庆 ,18,13 分 ) 一盒中装有9 张各写有一个数字的卡片, 此中 4 张卡片上的数字是1,3 张卡片上的数字是2,2 张卡片上的数字是 3. 从盒中任取 3 张卡片 .(1) 求所取 3 张卡片上的数字完整同样的概率;(2)X 表示所取 3 张卡片上的数字的中位数, 求 X的散布列与数学希望 .( 注 : 若三个数 a,b,c 知足 a≤b≤ c, 则称 b 为这三个数的中位数)分析(1) 由古典概型中的概率计算公式知所求概率为P==.(2)X 的所有可能值为1,2,3, 且P(X=1)== ,P(X=2)==,P(X=3)==,故 X 的散布列为X 1 2 3P进而 E(X)=1 ×+2×+3×=.17.(2014山东,18,12分)乒乓球台面被球网分开成甲、乙两部分,如图,甲上有两个不订交的地区A,B, 乙被区分为两个不订交的地区C,D, 某次测试要求队员接到落点在甲上的来球后向乙回球. 规定 : 回球一次 , 落点在 C 上记 3 分 , 在 D 上记 1 分 , 其余状况记0 分. 对落点在 A 上的来球 , 队员小明回球的落点在 C 上的概率为, 在 D 上的概率为; 对落点在 B 上的来球 , 小明回球的落点在 C 上的概率为, 在 D上的概率为. 假定共有两次来球且落在A,B 上各一次 , 小明的两次回球互不影响. 求 :(1) 小明两次回球的落点中恰有一次的落点在乙上的概率;(2)两次回球结束后 , 小明得分之和ξ的散布列与数学希望 .分析(1) 记 A i 为事件“小明对落点在 A 上的来球回球的得分为i 分” (i=0,1,3),则 P(A3)= ,P(A 1)= ,P(A 0)=1- - = .记 B i为事件“小明对落点在 B 上的来球回球的得分为 i 分” (i=0,1,3),则 P(B3)= ,P(B 1)= ,P(B 0)=1- - = .记 D 为事件“小明两次回球的落点中恰有 1 次的落点在乙上” .由题意 ,D=A B +AB +A B +A B ,3 0 1 0 0 1 0 3由事件的独立性和互斥性, 得P(D)=P(A 3B0+A1B0+A0B1+A0B3)=P(A B )+P(A B )+P(A B )+P(A B )3 0 1 0 0 1 0 3=P(A3)P(B 0)+P(A 1)P(B 0)+P(A 0)P(B 1)+P(A 0 )P(B 3)=×+×+×+ × = ,所以小明两次回球的落点中恰有 1 次的落点在乙上的概率为.(2)由题意 , 随机变量ξ可能的取值为 0,1,2,3,4,6,由事件的独立性和互斥性 , 得P( ξ =0)=P(A 0B0)=× =,P( ξ =1)=P(A 1B0+A0B1)=P(A 1B0)+P(A 0B1)= × + × = ,P( ξ =2)=P(A 1B1)=×= ,P( ξ =3)=P(A 3B0+A0B3)=P(A 3B0)+P(A 0B3)= × + ×= ,P( ξ =4)=P(A 3B1+A1B3)=P(A 3B1)+P(A 1B3)= × + ×= ,P( ξ =6)=P(A 3B3)= ×= .可得随机变量ξ 的散布列为ξ01 2 3 4 6P所以数学希望 Eξ =0× +1× +2× +3×+4× +6× = .18.(2013 课标全国Ⅰ ,19,12 分) 一批产品需要进行质量查验, 查验方案是 : 先从这批产品中任取 4 件作查验 , 这 4 件产品中优良品的件数记为n. 假如 n=3, 再从这批产品中任取 4 件作查验 , 若都为优良品 , 则这批产品经过查验 ; 假如 n=4, 再从这批产品中任取 1 件作查验 , 若为优良品 , 则这批产品经过查验; 其余状况下 , 这批产品都不可以经过查验 .假定这批产品的优良品率为50%,即拿出的每件产品是优良品的概率都为, 且各件产品能否为优良品互相独立 .(1) 求这批产品经过查验的概率;(2) 已知每件产品的查验花费为100 元 , 且抽取的每件产品都需要查验, 对这批产品作质量查验所需的花费记为 X( 单位 : 元 ), 求 X 的散布列及数学希望 .分析(1) 设第一次拿出的 4 件产品中恰有 3 件优良品为事件 A , 第一次拿出的 4 件产品所有是优良品为事件1A2 , 第二次拿出的 4 件产品都是优良品为事件B1, 第二次拿出的 1 件产品是优良品为事件B2 , 这批产品经过检验为事件 A, 依题意有 A=(A1B1) ∪ (A2B2), 且 A1B1与 A2B2 互斥, 所以P(A)=P(A 1B1)+P(A 2B2)=P(A 1)P(B 1|A 1)+P(A 2)P(B 2|A 2)= × + × = .(2)X 可能的取值为 400,500,800, 而且P(X=400)=1- - = ,P(X=500)= ,P(X=800)= .所以 X 的散布列为X 400 500 800PEX=400×+500×+800×=506.25.19.(2013北京,16,13分)下列图是某市 3 月 1 日至 14 日的空气质量指数趋向图空气质量优秀, 空气质量指数大于200 表示空气重度污染. 某人随机选择 3 月. 空气质量指数小于100 表示1 日至 3 月 13 日中的某一天抵达该市 , 并逗留 2天.(1) 求这人抵达当天空气重度污染的概率;(2) 设 X 是这人逗留时期空气质量优秀的天数, 求 X 的散布列与数学希望 ;(3) 由图判断从哪天开始连续三天的空气质量指数方差最大.( 结论不要求证明 )分析设 A 表示事件“这人于 3 月 i 日抵达该市” (i=1,2, , ,13).i依据题意 ,P(A )= , 且 A ∩ A =? (i ≠ j).i i j(1) 设 B 为事件“这人抵达当天空气重度污染”, 则 B=A5∪ A8. 所以 P(B)=P(A 5∪ A8)=P(A 5)+P(A 8)= .(2)由题意可知 ,X 的所有可能取值为 0,1,2, 且P(X=1)=P(A 3∪ A6∪ A7∪ A11)=P(A3)+P(A 6)+P(A 7)+P(A 11)=,P(X=2)=P(A 1∪ A2∪ A12∪ A13)=P(A1)+P(A 2)+P(A 12)+P(A 13)=,P(X=0)=1-P(X=1)-P(X=2)=.所以 X 的散布列为X 0 1 2P故 X 的希望 EX=0×+1× +2× = .(3)从3 月 5 日开始连续三天的空气质量指数方差最大.20.(2013 福建 ,16,13 分 ) 某联欢晚会举行抽奖活动, 举办方设置了甲、乙两种抽奖方案, 方案甲的中奖率为,中奖能够获取 2 分 ; 方案乙的中奖率为 , 中奖能够获取 3 分 ; 未中奖则不得分 . 每人有且只有一次抽奖机会 , 每次抽奖中奖与否互不影响, 晚会结束后凭分数兑换奖品.(1) 若小明选择方案甲抽奖, 小红选择方案乙抽奖, 记他们的累计得分为X, 求X≤ 3 的概率;(2)若小明、小红两人都选择方案甲或都选择方案乙进行抽奖 , 问 : 他们选择何种方案抽奖, 累计得分的数学希望较大?分析解法一:(1) 由已知得, 小明中奖的概率为, 小红中奖的概率为, 且两人中奖与否互不影响.记“这则事件2 人的累计得分A 的对峙事件为“X≤ 3”的事件为X=5” ,A,因为P(X=5)= ×= , 所以P(A)=1-P(X=5)= , 即这 2 人的累计得分X≤3 的概率为.(2) 设小明、小红都选择方案甲抽奖中奖次数为X1, 都选择方案乙抽奖中奖次数为X2,抽奖累计得分的数学希望为E(2X1), 选择方案乙抽奖累计得分的数学希望为E(3X2).则这两人选择方案甲由已知可得 ,X 1~B,X 2~B,所以 E(X1)=2 × = ,E(X 2)=2 × = ,进而 E(2X 1)=2E(X 1)= ,E(3X 2)=3E(X 2)= .因为 E(2X 1)>E(3X 2),所以他们都选择方案甲进行抽奖时, 累计得分的数学希望较大 .解法二 :(1) 由已知得 , 小明中奖的概率为, 小红中奖的概率为, 且两人中奖与否互不影响 .记“这 2 人的累计得分 X≤ 3”的事件为A, 则事件 A 包括“ X=0”“ X=2”“ X=3”三个两两互斥的事件, 因为 P(X=0)= ×= ,P(X=2)= ×= ,P(X=3)= ×= ,所以P(A)=P(X=0)+P(X=2)+P(X=3)=,即这 2 人的累计得分X≤ 3 的概率为.(2) 设小明、小红都选择方案甲所获取的累计得分为X1, 都选择方案乙所获取的累计得分为X2, 则X1,X 2 的分布列以下:X1 0 2 4PX2 0 3 6P所以E(X1)=0 ×+2×+4×= ,E(X 2)=0 ×+3×+6×= .因为 E(X1)>E(X 2), 所以他们都选择方案甲进行抽奖时21.(2013山东,19,12分)甲、乙两支排球队进行竞赛, 累计得分的数学希望较大., 商定先胜 3 局者获取竞赛的成功, 竞赛随即结束. 除第五局甲队获胜的概率是外 , 其余每局竞赛甲队获胜的概率都是. 假定各局竞赛结果互相独立.(1)分别求甲队以 3∶ 0,3 ∶ 1,3 ∶ 2 成功的概率 ;(2) 若竞赛结果为3∶ 0 或 3∶1, 则成功方得 3 分、对方得0 分 ; 若竞赛结果为得 1 分 . 求乙队得分X 的散布列及数学希望.分析(1) 记“甲队以3∶ 0 成功”为事件A1, “甲队以3∶ 1 成功”为事件A2, 3∶ 2, 则成功方得 2 分、对方“甲队以3∶ 2 成功”为事件A3 ,由题意 , 各局竞赛结果互相独立,故 P(A1)== ,P(A2)= = ,P(A3)= ×= .所以 , 甲队以 3∶ 0 成功、以3∶1 成功的概率都为设“乙队以3∶ 2 成功”为事件 4, 以3∶2 成功的概率为.由题意 , 各局竞赛结果互相独立, 所以P(A4)=××=.由题意 , 随机变量X的所有可能的取值为0,1,2,3.依据事件的互斥性得P(X=0)=P(A 1+A2)=P(A 1)+P(A 2)=.又 P(X=1)=P(A )= ,3P(X=2)=P(A 4)= ,P(X=3)=1-P(X=0)-P(X=1)-P(X=2)= ,故 X 的散布列为X 0 1 2 3P所以 EX=0×+1×+2×+3×= .22.(2013陕西,19,12分)在一场娱乐晚会上, 有 5 位民间歌手 (1 至 5 号 ) 登台演唱 , 由现场数百名观众投票选出最受欢迎歌手. 各位观众须相互独立地在选票上选 3 名歌手 , 此中观众甲是 1 号歌手的歌迷, 他必选 1 号 , 不选 2 号 , 另在 3 至 5 号中随机选 2 名 . 观众乙和丙对 5 位歌手的演唱没有独爱 , 所以在 1 至 5 号中随机选3名歌手.(1)求观众甲选中 3 号歌手且观众乙未选中 3 号歌手的概率 ;(2)X 表示 3 号歌手获取观众甲、乙、丙的票数之和, 求 X 的散布列及数学希望.分析(1) 设 A 表示事件“观众甲选中 3 号歌手” ,B 表示事件“观众乙选中 3 号歌手” ,则 P(A)= = ,P(B)= = .∵事件 A与 B 互相独立 ,∴观众甲选中 3 号歌手且观众乙未选中 3 号歌手的概率为P(A )=P(A) ·P( )=P(A) ·[1-P(B)]=×= ..(2) 设 C 表示事件“观众丙选中 3 号歌手” ,则 P(C)= = ,∵ X 可能的取值为0,1,2,3,且取这些值的概率分别为P(X=0)=P()=××=,P(X=1)=P(A)+P( B )+P(C)=××+××+××= ,P(X=2)=P(AB )+P(A C)+P( BC)=××+××+××=,P(X=3)=P(ABC)=× × =,∴ X 的散布列为X 0 1 2 3P∴ X 的数学希望EX=0×+1×+2×+3×==.23.(2013江西,18,12分)小波以游戏方式决定是参加学校合唱团仍是参加学校排球队. 游戏规则为 : 以 O为起点 , 再从 A1,A 2,A 3,A 4,A 5,A 6,A 7,A 8( 如图 ) 这 8 个点中任取两点分别为终点获取两个向量, 记这两个向量的数量积为 X. 若 X=0 就参加学校合唱团, 不然就参加学校排球队.(1) 求小波参加学校合唱团的概率;(2) 求 X 的散布列和数学希望.分析(1) 从 8 个点中任取两点为向量终点的不一样取法共有=28 种 ,X=0 时 , 两向量夹角为直角共有8 种情形 ,所以小波参加学校合唱团的概率为P(X=0)= = .(2) 两向量数目积X的所有可能取值为 -2,-1,0,1,X=-2 时, 有 2 种情况 ;X=1 时 , 有 8 种情况 ;X=-1 时,有 10 种情况 .所以 X 的散布列为X -2 -1 0 1PEX=(-2) ×+(-1) ×+0× +1× =-.24.(2013辽宁,19,12分)现有10道题,此中6道甲类题,4道乙类题,张同学从中任取 3 道题解答 . (1)求张同学起码取到 1 道乙类题的概率 ;(2) 已知所取的 3 道题中有 2 道甲类题 ,1 道乙类题 . 设张同学答对每道甲类题的概率都是, 答对每道乙类题的概率都是, 且各题答对与否互相独立. 用 X 表示张同学答对题的个数, 求 X 的散布列和数学希望.分析(1) 设事件 A=“张同学所取的 3 道题起码有 1 道乙类题” , 则有“=张同学所取的3 道题都是甲类题” .因为 P( )== , 所以 P(A)=1-P( )= .(6分)(2)X 所有的可能取值为0,1,2,3.P(X=0)= ···=;P(X=1)= ···+··=;P(X=2)= · · · +· · = ;P(X=3)=··· = .所以 X 的散布列为X 0123P(10 分)所以 E(X)=0 ×+1×+2×+3×=2.(12分 )考点二失散型随机变量的均值与方差1.(2017浙江 ,8,4 分) 已知随机变量 ξ 知足 P( ξ =1)=p i ,P( ξ =0)=1-p ,i=1,2.若 0<p <p < , 则()iiii12A.E( ξ )<E( ξ ),D( ξ )<D( ξ)1212B.E( ξ 1)<E( ξ 2),D( ξ 1)>D( ξ 2)C.E( ξ )>E( ξ ),D( ξ )<D( ξ)1212D.E( ξ 1)>E( ξ 2),D( ξ 1)>D( ξ 2)答案 A2.(2014 浙江 ,9,5 分 ) 已知甲盒中仅有 1 个球且为红球 , 乙盒中有 m 个红球和 n 个蓝球 (m ≥3,n ≥ 3), 从乙盒 中随机抽取 i(i=1,2) 个球放入甲盒中 .(a) 放入 i 个球后 , 甲盒中含有红球的个数记为 ξ i (i=1,2);(b) 放入 i 个球后 , 从甲盒中取1 个球是红球的概率记为 p i (i=1,2).则 ( )A.p >p ,E( ξ )<E( ξ )B.p<p ,E( ξ 1 )>E( ξ )1212 1 22)C.p >p ,E( ξ )>E( ξ )D.p<p ,E( ξ1)<E( ξ121212 2答案 A3.(2014 浙江 ,12,4 分 ) 随机变量 ξ 的取值为 0,1,2. 若 P(ξ =0)= ,E( ξ )=1, 则 D(ξ )= .答案4.(2016 四川 ,12,5 分 ) 同时投掷两枚质地均匀的硬币, 当起码有一枚硬币正面向上时, 就说此次试验成功 ,则在 2 次试验中成功次数 X 的均值是 .答案5.(2015 天津 ,16,13 分 ) 为推进乒乓球运动的发展 , 某乒乓球竞赛同意不一样协会的运动员组队参加. 现有来自甲协会的运动员3 名 , 此中种子选手 2 名; 乙协会的运动员 5 名, 此中种子选手 3 名 . 从这 8 名运动员中随 机选择4 人参加竞赛 .(1) 设 A 为事件“选出的 4 人中恰有 2 名种子选手 , 且这 2 名种子选手来自同一个协会” , 求事件 A 发生的概率 ;(2) 设 X 为选出的 4 人中种子选手的人数 , 求随机变量 X 的散布列和数学希望 . 分析 (1) 由已知 , 有P(A)= = .所以 , 事件 A 发生的概率为.(2) 随机变量 X 的所有可能取值为 1,2,3,4.。
2019年高考数学(理)一轮复习精品资料专题58离散型随机变量及分布列(押题专练)含解析
2019年高考数学（理）一轮复习精品资料1．若随机变量η的分布列如下：则当P (η<x )＝0.8时，实数x 的取值范围是( ) A ．x ≤2 B ．1≤x ≤2 C ．1<x ≤2 D ．1<x <2答案 C2．从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛，设随机变量ξ表示所选3人中女生的人数，则P (ξ≤1)等于( ) A.15 B.25 C.35 D.45答案 D解析 P (ξ≤1)＝1－P (ξ＝2)＝1－C 14C 22C 36＝45.3．设X 是一个离散型随机变量，其分布列为则q 等于( )A ．1 B.32±336 C.32－336 D.32＋336答案 C解析 ∵13＋2－3q ＋q 2＝1，∴q 2－3q ＋43＝0，解得q ＝32±336.又由题意知0<q 2<23，∴q ＝32－336.4．一只袋内装有m 个白球，n －m 个黑球，连续不放回地从袋中取球，直到取出黑球为止，设此时取出了X 个白球，下列概率等于n －m2mA 3n的是( )A ．P (X ＝3)B ．P (X ≥2)C ．P (X ≤3)D ．P (X ＝2) 答案 D解析 由超几何分布知P (X ＝2)＝n －m2mA 3n.5．从装有3个白球、4个红球的箱子中，随机取出了3个球，恰好是2个白球、1个红球的概率是( ) A.435 B.635 C.1235 D.36343 答案 C解析 如果将白球视为合格品，红球视为不合格品，则这是一个超几何分布问题，故所求概率为P ＝C 23C 14C 37＝1235.6．某班级在2018年国庆节晚会上安排了迎国庆演讲节目，共有6名选手依次演讲，则选手甲不在第一个也不在最后一个演讲的概率为( )A.16B.13C.12D.23 答案 D7．口袋中有5只球，编号为1,2,3,4,5，从中任取3只球，以X 表示取出的球的最大号码，则X 的分布列为______________________． 答案解析 X 的取值为3,4,5.又P (X ＝3)＝1C 35＝0.1，P (X ＝4)＝C 23C 35＝0.3，P (X ＝5)＝C 24C 35＝0.6.所以X 的分布列为8.袋中有4只红球，3只黑球，从袋中任取4只球，取到1只红球得1分，取到1只黑球得3分，设得分为随机变量ξ，则P (ξ≤6)＝________. 答案1335解析 P (ξ≤6)＝P (取到3只红球1只黑球)＋P (取到4只红球)＝C 34C 13C 47＋C 44C 47＝1335.9．随机变量X 的分布列如下：其中a ，b ，c 成等差数列，则P (|X |＝1)＝________，公差d 的取值范围是________． 答案 23 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－13，1310．在一个口袋中装有黑、白两个球，从中随机取一球，记下它的颜色，然后放回，再取一球，又记下它的颜色，则这两次取出白球数η的分布列为______________．答案解析 ∵η的所有可能值为0,1,2.P (η＝0)＝C 11C 11C 12C 12＝14，P (η＝1)＝C 11C 11×2C 12C 12＝12，P (η＝2)＝C 11C 11C 12C 12＝14.∴η的分布列为11．设ξ为随机变量，从棱长为1的正方体的12条棱中任取两条，当两条棱相交时，ξ＝0；当两条棱平行时，ξ的值为两条棱之间的距离；当两条棱异面时，ξ＝1，则随机变量ξ的分布列是________． 答案解析 ξ的可能取值为0,1， 2. P (ξ＝0)＝8C 23C 212＝411，P (ξ＝2)＝6C 212＝111.P (ξ＝1)＝1－P (ξ＝0)－P (ξ＝2)＝1－411－111＝611.12.为推动乒乓球运动的发展，某乒乓球比赛允许不同协会的运动员组队参加．现有来自甲协会的运动员3名，其中种子选手2名；乙协会的运动员5名，其中种子选手3名．从这8名运动员中随机选择4人参加比赛． (1)设A 为事件“选出的4人中恰有2 名种子选手，且这2名种子选手来自同一个协会”，求事件A 发生的概率； (2)设X 为选出的4人中种子选手的人数，求随机变量X 的分布列．13．某高校一专业在一次自主招生中，对20名已经选拔入围的学生进行语言表达能力和逻辑思维能力测试，结果如下表：由于部分数据丢失，只知道从这20名参加测试的学生中随机抽取一人，抽到语言表达能力优秀或逻辑思维能力优秀的学生的概率为25.(1)从参加测试的语言表达能力良好的学生中任意抽取2名，求其中至少有一名逻辑思维能力优秀的学生的概率； (2)从参加测试的20名学生中任意抽取2名，设语言表达能力优秀或逻辑思维能力优秀的学生人数为X ，求随机变量X 的分布列．(2)随机变量X 服从超几何分布，X 的可能取值为0,1,2.∵在20名学生中，语言表达能力优秀或逻辑思维能力优秀的学生共有8名， ∴P (X ＝0)＝C 212C 220＝3395，P (X ＝1)＝C 18C 112C 220＝4895，P (X ＝2)＝C 28C 220＝1495，∴X 的分布列为14．为检测某产品的质量，现抽取5件产品，测量产品中微量元素x ，y 的含量(单位：毫克)，测量数据如下：如果产品中的微量元素x ，y 满足x ≥175且y ≥75时，该产品为优等品．现从上述5件产品中随机抽取2件，则抽取的2件产品中优等品数X 的分布列为____________． 答案X 0 1 2 P0.30.60.115.某校校庆，各届校友纷至沓来，某班共来了n 位校友(n >8，且n ∈N *)，其中女校友6位，组委会对这n 位校友登记制作了一份校友名单，现随机从中选出2位校友代表，若选出的2位校友是一男一女，则称为“最佳组合”． (1)若随机选出的2位校友代表为“最佳组合”的概率不小于12，求n 的最大值；(2)当n ＝12时，设选出的2位校友代表中女校友人数为X ，求随机变量X 的分布列． 解 (1)由题意可知，所选2人为“最佳组合”的概率为 C 1n －6C 16C 2n ＝n －n n －，则n －n n －≥12. 化简得n 2－25n ＋144≤0， 解得9≤n ≤16， 故n 的最大值为16.(2)由题意可得，X 的可能取值为0,1,2. 则P (X ＝0)＝C 26C 212＝522，P (X ＝1)＝C 16C 16C 212＝611， P (X ＝2)＝C 26C 212＝522，所以X 的分布列为16．盒内有大小相同的9个球，其中2个红色球，3个白色球，4个黑色球．规定取出1个红色球得1分，取出1个白色球得0分，取出1个黑色球得－1分．现从盒内任取3个球． (1)求取出的3个球中至少有1个红色球的概率； (2)求取出的3个球得分之和恰为1分的概率；(3)设ξ为取出的3个球中白色球的个数，求ξ的分布列． 解 (1)P ＝1－C 37C 39＝712.(2)记“取出1个红色球，2个白色球”为事件B ，“取出2个红色球，1个黑色球”为事件C ，则P (B ＋C )＝P (B )＋P (C )＝C 12C 23C 39＋C 22C 14C 39＝542.。
【助力高考】2019年高考数学专题复习第68讲《离散型随机变量及其分布列》(含详细答案和教师用书)
♦♦♦学生用书（后跟详细参考答案和教师用书）♦♦♦把握命题趋势，提高复习效率，提升解题能力，打造高考高分！【助力高考】2019年高考备战数学专题复习精品资料第十二章 概率、随机变量及其分步第68讲 离散型随机变量及其分布列★★★核心知识回顾★★★知识点一、离散型随机变量的分布列(1)随着试验结果变化而 叫做随机变量．所有取值可以 的随机变量叫做离散型随机变量．(2)一般地，若离散型随机变量X 可能取的不同值为x 1，x 2，…，x i ，…，x n ，X 取每一个值x i (i ＝1,2，…，n )的概率P (X ＝x i )＝p i ，则称表为离散型随机变量X 的概率分布列，简称为 ① ； ② .离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的 ． 知识点二、两点分布 如果随机变量X 的分布列为其中0<p <1，则称离散型随机变量服从 ． 其中p ＝P (X ＝1)称为成功概率． 知识点三、超几何分布一般地，设有N 件产品，其中有M (M ≤N )件次品．从中任取n (n ≤N )件产品，用X 表示取出的n 件产品中次品的件数，那么P (X ＝k )＝C k M C n －k N －MC nN(k ＝0,1,2，…，m )．即其中m ＝min{M ，如果一个随机变量X 的分布列具有上表的形式，则称随机变量X 服从超几何分布．★★★高考典例剖析★★★考点一、离散型随机变量的分布列的性质例1： 离散型随机变量X 的概率分布规律为P (X ＝n )＝an (n ＋1)(n ＝1,2,3,4)，其中a 是常数，则P ⎝⎛⎭⎫12<X <52的值为( ) A.23 B.34 C.45 D.56 答案 D解析 ∵P (X ＝n )＝a n (n ＋1)(n ＝1,2,3,4)，∴a 2＋a 6＋a 12＋a 20＝1，∴a ＝54， ∴P ⎝⎛⎭⎫12<X <52＝P (X ＝1)＋P (X ＝2) ＝54×12＋54×16＝56.1．设离散型随机变量X 的分布列为求2X ＋1的分布列．2．设离散型随机变量X 的分布列为求随机变量η＝|X －1|3. 设离散型随机变量X 的分布列为求随机变量η＝X 2知识点二、离散型随机变量的分布列的求法 命题点1 与排列、组合有关的分布列的求法例2： (2017·山东改编)在心理学研究中，常采用对比试验的方法评价不同心理暗示对人的影响，具体方法如下：将参加试验的志愿者随机分成两组，一组接受甲种心理暗示，另一组接受乙种心理暗示，通过对比这两组志愿者接受心理暗示后的结果来评价两种心理暗示的作用．现有6名男志愿者A 1，A 2，A 3，A 4，A 5，A 6和4名女志愿者B 1，B 2，B 3，B 4，从中随机抽取5人接受甲种心理暗示，另5人接受乙种心理暗示． (1)求接受甲种心理暗示的志愿者中包含A 1但不包含B 1的概率； (2)用X 表示接受乙种心理暗示的女志愿者人数，求X 的分布列． 解 (1)记接受甲种心理暗示的志愿者中包含A 1但不包含B 1的事件为M ， 则P (M )＝C 48C 510＝518.(2)由题意知，X 可取的值为0,1,2,3,4，则 P (X ＝0)＝C 56C 510＝142，P (X ＝1)＝C 46C 14C 510＝521，P (X ＝2)＝C 36C 24C 510＝1021，P (X ＝3)＝C 26C 34C 510＝521，P (X ＝4)＝C 16C 44C 510＝142.因此X 的分布列为命题点2 与互斥事件有关的分布列的求法例3： 已知2件次品和3件正品混放在一起，现需要通过检测将其区分，每次随机检测一件产品，检测后不放回，直到检测出2件次品或者检测出3件正品时检测结束． (1)求第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品的概率；(2)已知每检测一件产品需要费用100元，设X 表示直到检测出2件次品或者检测出3件正品时所需要的检测费用(单位：元)，求X 的分布列．解 (1)记“第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品”为事件A ，则P (A )＝A 12A 13A 25＝310.(2)X 的可能取值为200,300,400. P (X ＝200)＝A 22A 25＝110，P (X ＝300)＝A 33＋C 12C 13A 22A 35＝310， P (X ＝400)＝1－P (X ＝200)－P (X ＝300) ＝1－110－310＝35.故X 的分布列为命题点3 与独立事件(或独立重复试验)有关的分布列的求法例4： 设某人有5发子弹，他向某一目标射击时，每发子弹命中目标的概率为23.若他连续两发命中或连续两发不中则停止射击，否则将子弹打完． (1)求他前两发子弹只命中一发的概率； (2)求他所耗用的子弹数X 的分布列．解 记“第k 发子弹命中目标”为事件A k ，则A 1，A 2，A 3，A 4，A 5相互独立，且P (A k )＝23，P (A k )＝13，k ＝1,2,3,4,5.(1)方法一 他前两发子弹只命中一发的概率为 P (A 1A 2)＋P (A 1A 2)＝P (A 1)P (A 2)＋P (A 1)P (A 2) ＝23×13＋13×23＝49. 方法二 由独立重复试验的概率计算公式知，他前两发子弹只命中一发的概率为P ＝C 12×23×13＝49. (2)X 的所有可能值为2,3,4,5. P (X ＝2)＝P (A 1A 2)＋P (A 1 A 2) ＝23×23＋13×13＝59， P (X ＝3)＝P (A 1A 2 A 3)＋P (A 1A 2A 3) ＝23×⎝⎛⎭⎫132＋13×⎝⎛⎭⎫232＝29，P (X ＝4)＝P (A 1A 2A 3A 4)＋P (A 1A 2A 3 A 4) ＝⎝⎛⎭⎫233×13＋⎝⎛⎭⎫133×23＝1081，P (X ＝5)＝P (A 1A 2A 3A 4)＋P (A 1A 2A 3A 4) ＝⎝⎛⎭⎫232×⎝⎛⎭⎫132＋⎝⎛⎭⎫132×⎝⎛⎭⎫232＝881. 故X 的分布列为4．(2017·湖北部分重点中学联考)连续抛掷同一颗均匀的骰子，令第i 次得到的点数为a i ，若存在正整数k ，使a 1＋a 2＋…＋a k ＝6，则称k 为你的幸运数字． (1)求你的幸运数字为3的概率；(2)若k ＝1，则你的得分为6分；若k ＝2，则你的得分为4分；若k ＝3，则你的得分为2分；若抛掷三次还没找到你的幸运数字，则记0分，求得分ξ的分布列． 考点三、超几何分布例5： (2018·济南模拟)某外语学校的一个社团中有7名同学，其中2人只会法语，2人只会英语，3人既会法语又会英语，现选派3人到法国的学校交流访问．求： (1)在选派的3人中恰有2人会法语的概率；(2)在选派的3人中既会法语又会英语的人数X 的分布列． 解 (1)设事件A ：选派的3人中恰有2人会法语，则P (A )＝C 25C 12C 37＝47.(2)依题意知，X 服从超几何分布，X 的可能取值为0,1,2,3，P (X ＝0)＝C 34C 37＝435，P (X ＝1)＝C 24C 13C 37＝1835，P (X ＝2)＝C 14C 23C 37＝1235，P (X ＝3)＝C 33C 37＝135，∴X 的分布列为5． PM2.5是指悬浮在空气中的空气动力学当量直径小于或等于2.5微米的可入肺颗粒物．根据现行国家标准GB3095－2012，PM2.5日均值在35微克/立方米以下空气质量为一级；在35微克/立方米～75微克/立方米之间空气质量为二级；在75微克/立方米以上空气质量为超标．从某自然保护区2017年全年每天的PM2.5监测数据中随机地抽取10天的数据作为样本，监测值频数如下表所示：(1)概率；(2)从这10天的数据中任取3天数据，记ξ表示抽到PM2.5监测数据超标的天数，求ξ的分布列．6． 某射手有5发子弹，射击一次命中的概率为0.9.如果命中就停止射击，否则一直到子弹用尽，求耗用子弹数ξ的分布列．★★★知能达标演练★★★一、选择题1．设随机变量X 的分布列如下：则p 为( ) A.16 B.13 C.14D.112 2．袋中有3个白球、5个黑球，从中任取2个，可以作为随机变量的是( ) A ．至少取到1个白球 B ．至多取到1个白球 C ．取到白球的个数3．(2017·武汉江夏区模拟)若随机变量η的分布列如下：则当P (η<x )＝0.8时，实数x 的取值范围是( ) A ．x ≤2 B ．1≤x ≤2 C ．1<x ≤2D ．1<x <24．(2017·邯郸模拟)从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛，设随机变量ξ表示所选3人中女生的人数，则P (ξ≤1)等于( )A.15B.25C.35D.455．设X 是一个离散型随机变量，其分布列为则q 等于( ) A ．1 B.32±336 C.32－336D.32＋336 6．一只袋内装有m 个白球，n －m 个黑球，连续不放回地从袋中取球，直到取出黑球为止，设此时取出了X 个白球，下列概率等于(n －m )A 2mA 3n 的是( ) A ．P (X ＝3) B ．P (X ≥2) C ．P (X ≤3)D ．P (X ＝2)7．从装有3个白球、4个红球的箱子中，随机取出了3个球，恰好是2个白球、1个红球的概率是( )A.435B.635C.1235D.363438．某班级在2017年国庆节晚会上安排了迎国庆演讲节目，共有6名选手依次演讲，则选手甲不在第一个也不在最后一个演讲的概率为( ) A.16 B.13 C.12 D.23二、填空题9．有一批产品共12件，其中次品3件，每次从中任取一件，在取到合格品之前取出的次品数X 的所有可能取值是____________． 10．设随机变量X 的分布列为则P (|X －3|＝1)＝________.11．随机变量X 等可能取值1,2,3，…，n ，如果P (X <4)＝0.3，则n ＝________.12．一盒中有12个乒乓球，其中9个新的、3个旧的，从盒中任取3个球来用，用完后装回盒中，此时盒中旧球个数X 是一个随机变量，则P (X ＝4)的值为______．13．口袋中有5只球，编号为1,2,3,4,5，从中任取3只球，以X 表示取出的球的最大号码，则X 的分布列为______________________．14.袋中有4只红球，3只黑球，从袋中任取4只球，取到1只红球得1分，取到1只黑球得3分，设得分为随机变量ξ，则P (ξ≤6)＝________. 15．随机变量X 的分布列如下：其中a ，b ，c 成等差数列，则P (|X |＝1)＝________，公差d 的取值范围是________． 16．在一个口袋中装有黑、白两个球，从中随机取一球，记下它的颜色，然后放回，再取一球，又记下它的颜色，则这两次取出白球数η的分布列为________________________________________________________________________． 17．(2017·石家庄调研)为检测某产品的质量，现抽取5件产品，测量产品中微量元素x ，y 的含量(单位：毫克)，测量数据如下：如果产品中的微量元素x ，y 满足x ≥175且y ≥75时，该产品为优等品．现从上述5件产品中随机抽取2件，则抽取的2件产品中优等品数X 的分布列为____________．18．设ξ为随机变量，从棱长为1的正方体的12条棱中任取两条，当两条棱相交时，ξ＝0；当两条棱平行时，ξ的值为两条棱之间的距离；当两条棱异面时，ξ＝1，则随机变量ξ的分布列是________． 三、解答题19.(2017·长春模拟)某校校庆，各届校友纷至沓来，某班共来了n 位校友(n >8，且n ∈N *)，其中女校友6位，组委会对这n 位校友登记制作了一份校友名单，现随机从中选出2位校友代表，若选出的2位校友是一男一女，则称为“最佳组合”．(1)若随机选出的2位校友代表为“最佳组合”的概率不小于12，求n 的最大值；(2)当n ＝12时，设选出的2位校友代表中女校友人数为X ，求随机变量X 的分布列．20.为推动乒乓球运动的发展，某乒乓球比赛允许不同协会的运动员组队参加．现有来自甲协会的运动员3名，其中种子选手2名；乙协会的运动员5名，其中种子选手3名．从这8名运动员中随机选择4人参加比赛．(1)设A 为事件“选出的4人中恰有2 名种子选手，且这2名种子选手来自同一个协会”，求事件A 发生的概率；(2)设X 为选出的4人中种子选手的人数，求随机变量X 的分布列．21．(2017·成都诊断)某高校一专业在一次自主招生中，对20名已经选拔入围的学生进行语言表达能力和逻辑思维能力测试，结果如下表：由于部分数据丢失，只知道从这20名参加测试的学生中随机抽取一人，抽到语言表达能力优秀或逻辑思维能力优秀的学生的概率为25.(1)从参加测试的语言表达能力良好的学生中任意抽取2名，求其中至少有一名逻辑思维能力优秀的学生的概率；(2)从参加测试的20名学生中任意抽取2名，设语言表达能力优秀或逻辑思维能力优秀的学生人数为X ，求随机变量X 的分布列．22．盒内有大小相同的9个球，其中2个红色球，3个白色球，4个黑色球．规定取出1个红色球得1分，取出1个白色球得0分，取出1个黑色球得－1分．现从盒内任取3个球． (1)求取出的3个球中至少有1个红色球的概率； (2)求取出的3个球得分之和恰为1分的概率；(3)设ξ为取出的3个球中白色球的个数，求ξ的分布列．♦♦♦详细参考答案♦♦♦把握命题趋势，提高复习效率，提升解题能力，打造高考高分！【助力高考】2019年高考备战数学专题复习精品资料第十二章 概率、随机变量及其分步第68讲 离散型随机变量及其分布列★★★核心知识回顾★★★知识点一、离散型随机变量的分布列(1)随着试验结果变化而变化的变量叫做随机变量．所有取值可以一一列出的随机变量叫做离散型随机变量．(2)一般地，若离散型随机变量X 可能取的不同值为x 1，x 2，…，x i ，…，x n ，X 取每一个值x i (i ＝1,2，…，n )的概率P (X ＝x i )＝p i ，则称表为离散型随机变量X 的概率分布列，简称为X 的分布列，具有如下性质： ①p i ≥0，i ＝1,2，…，n ； ②p 1＋p 2＋…＋p i ＋…＋p n ＝1.离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和． 知识点二、两点分布 如果随机变量X 的分布列为其中0<p <1，则称离散型随机变量X 服从两点分布． 其中p ＝P (X ＝1)称为成功概率． 知识点三、超几何分布一般地，设有N 件产品，其中有M (M ≤N )件次品．从中任取n (n ≤N )件产品，用X 表示取出的n 件产品中次品的件数，那么P (X ＝k )＝C k M C n －k N －MC nN(k ＝0,1,2，…，m )．即其中m＝min{M，n}，且n≤N，M≤N，n，M，N∈N*.如果一个随机变量X的分布列具有上表的形式，则称随机变量X服从超几何分布．★★★高考典例剖析★★★考点一、离散型随机变量的分布列的性质♦♦♦跟踪训练♦♦♦1．解由分布列的性质知，0．2＋0.1＋0.1＋0.3＋m＝1，得m＝0.3.列表为从而2X＋1的分布列为2．解由题2知m∴P(η＝1)＝P(X＝0)＋P(X＝2)＝0.2＋0.1＝0.3，P(η＝0)＝P(X＝1)＝0.1，P(η＝2)＝P(X＝3)＝0.3，P(η＝3)＝P(X＝4)＝0.3.故η＝|X－1|的分布列为3. 解依题意知η的值为0,1,4,9,16.列表为从而η＝X2的分布列为知识点二、离散型随机变量的分布列的求法 ♦♦♦跟踪训练♦♦♦4．解 (1)设“连续抛掷3次骰子，和为6”为事件A ，则它包含事件A 1，A 2，A 3，其中A 1：三次恰好均为2；A 2：三次中恰好为1,2,3各一次；A 3：三次中有两次均为1，一次为4. A 1，A 2，A 3为互斥事件，则P (A )＝P (A 1)＋P (A 2)＋P (A 3)＝C 33⎝⎛⎭⎫163＋C 13·16·C 12·16·C 11·16＋C 23⎝⎛⎭⎫162·16＝5108. (2)由已知得ξ的可能取值为6,4,2,0，P (ξ＝6)＝16，P (ξ＝4)＝⎝⎛⎭⎫162＋2×C 12×16×16＝536， P (ξ＝2)＝5108，P (ξ＝0)＝1－16－536－5108＝3554.故ξ的分布列为考点三、超几何分布 ♦♦♦跟踪训练♦♦♦5．解 (1)记“从10天的PM2.5日均值监测数据中，随机抽出3天，恰有一天空气质量达到一级”为事件A ，则P (A )＝C 13C 27C 310＝2140.(2)依据条件知，ξ服从超几何分布，其中N ＝10，M ＝3，n ＝3，且随机变量ξ的可能取值为0,1,2,3.P (ξ＝k )＝C k 3·C 3－k7C 310(k ＝0,1,2,3)．∴P (ξ＝0)＝C 03C 37C 310＝724，P (ξ＝1)＝C 13C 27C 310＝2140，P (ξ＝2)＝C 23C 17C 310＝740，P (ξ＝3)＝C 33C 07C 310＝1120.故ξ的分布列为6． 解 由题意知ξP (ξ＝1)＝0.9，P (ξ＝2)＝0.1×0.9＝0.09， P (ξ＝3)＝0.1×0.1×0.9＝0.009， P (ξ＝4)＝0.13×0.9＝0.000 9， P (ξ＝5)＝0.14＝0.000 1. ∴ξ的分布列为★★★知能达标演练★★★一、选择题 1．答案 C解析 由分布列的性质知，112＋16＋13＋16＋p ＝1， ∴p ＝1－34＝14.2．答案 C解析 选项A ，B 表述的都是随机事件；选项D 是确定的值2，并不随机；选项C 是随机变量，可能取值为0,1,2. 3．答案 C解析 由离散型随机变量的分布列知P (η<－1)＝0.1，P (η<0)＝0.3，P (η<1)＝0.5，P (η<2)＝0.8，则当P (η<x )＝0.8时，实数x 的取值范围是1<x ≤2. 4．答案 D解析 P (ξ≤1)＝1－P (ξ＝2)＝1－C 14C 22C 36＝45.5．答案 C解析 ∵13＋2－3q ＋q 2＝1，∴q 2－3q ＋43＝0，解得q ＝32±336.又由题意知0<q 2<23，∴q ＝32－336. 6．答案 D解析 由超几何分布知P (X ＝2)＝(n －m )A 2mA 3n . 7．答案 C解析 如果将白球视为合格品，红球视为不合格品，则这是一个超几何分布问题，故所求概率为P ＝C 23C 14C 37＝1235.8．答案 D解析 6名选手依次演讲有A 66种方法，选手甲不在第一个也不在最后一个演讲的安排方法有4A 55，所以6名选手依次演讲，则选手甲不在第一个也不在最后一个演讲的概率为4A 55A 66＝23.二、填空题 9．答案 0,1,2,3解析 因为次品共有3件，所以在取到合格品之前取到次品数为0,1,2,3. 10．答案512解析 由13＋m ＋14＋16＝1，解得m ＝14，P (|X －3|＝1)＝P (X ＝2)＋P (X ＝4) ＝14＋16＝512. 11．答案 10解析 由P (X <4)＝P (X ＝1)＋P (X ＝2)＋P (X ＝3) ＝1n ＋1n ＋1n ＝3n ＝0.3， 得n ＝10. 12．答案27220解析 由题意知取出的3个球必为2个旧球、1个新球，故P (X ＝4)＝C 23C 19C 312＝27220.13．答案解析 X 的取值为3,4,5.又P (X ＝3)＝1C 35＝0.1，P (X ＝4)＝C 23C 35＝0.3，P (X ＝5)＝C 24C 35＝0.6.所以X 的分布列为14.答案1335解析 P (ξ≤6)＝P (取到3只红球1只黑球)＋P (取到4只红球)＝C 34C 13C 47＋C 44C 47＝1335.15．答案 23 ⎣⎡⎦⎤－13，13 解析 ∵a ，b ，c 成等差数列，∴2b ＝a ＋c . 又a ＋b ＋c ＝1，∴b ＝13，∴P (|X |＝1)＝a ＋c ＝23.又a ＝13－d ，c ＝13＋d ，根据分布列的性质，得0≤13－d ≤23，0≤13＋d ≤23，∴－13≤d ≤13.16．答案解析 ∵η的所有可能值为0,1,2.P (η＝0)＝C 11C 11C 12C 12＝14，P (η＝1)＝C 11C 11×2C 12C 12＝12，P (η＝2)＝C 11C 11C 12C 12＝14.∴η的分布列为17．答案解析 5件抽测品中有2件优等品，则X 的可能取值为0,1,2. P (X ＝0)＝C 23C 25＝0.3，P (X ＝1)＝C 13C 12C 25＝0.6，P (X ＝2)＝C 22C 25＝0.1.∴优等品数X 的分布列为18．答案解析 ξ的可能取值为0,1， 2. P (ξ＝0)＝8C 23C 212＝411，P (ξ＝2)＝6C 212＝111.P (ξ＝1)＝1－P (ξ＝0)－P (ξ＝2)＝1－411－111＝611.三、解答题19.解 (1)由题意可知，所选2人为“最佳组合”的概率为C 1n －6C 16C 2n ＝12(n －6)n (n －1)， 则12(n －6)n (n －1)≥12. 化简得n 2－25n ＋144≤0， 解得9≤n ≤16， 故n 的最大值为16.(2)由题意可得，X 的可能取值为0,1,2. 则P (X ＝0)＝C 26C 212＝522，P (X ＝1)＝C 16C 16C 212＝611，P (X ＝2)＝C 26C 212＝522，所以X 的分布列为20.解 (1)由已知，有P (A )＝C 22C 23＋C 23C 23C 48＝635. 所以，事件A 发生的概率为635. (2)随机变量X 服从超几何分布，X 的所有可能取值为1,2,3,4.P (X ＝k )＝C k 5C 4－k 3C 48(k ＝1,2,3,4)． P (X ＝1)＝C 15C 33C 48＝114，P (X ＝2)＝C 25C 23C 48＝37，P (X ＝3)＝C 35C 13C 48＝37，P (X ＝4)＝C 45C 03C 48＝114.所以，随机变量X 的分布列为21．解 (1)用A 表示“从这20名参加测试的学生中随机抽取一人，抽到语言表达能力优秀或逻辑思维能力优秀的学生”，∵语言表达能力优秀或逻辑思维能力优秀的学生共有(6＋n )名，∴P (A )＝6＋n 20＝25，解得n ＝2，∴m ＝4，用B 表示“从参加测试的语言表达能力良好的学生中任意抽取2名，其中至少有一名逻辑思维能力优秀的学生”，∴P (B )＝1－C 26C 29＝712.(2)随机变量X 服从超几何分布，X 的可能取值为0,1,2.∵在20名学生中，语言表达能力优秀或逻辑思维能力优秀的学生共有8名， ∴P (X ＝0)＝C 212C 220＝3395，P (X ＝1)＝C 18C 112C 220＝4895，P (X ＝2)＝C 28C 220＝1495，∴X 的分布列为22．解 (1)P ＝1－C 37C 39＝712.(2)记“取出1个红色球，2个白色球”为事件B ，“取出2个红色球，1个黑色球”为事件C ，则P (B ＋C )＝P (B )＋P (C )＝C 12C 23C 39＋C 22C 14C 39＝542.(3)ξ可能的取值为0,1,2,3，ξ服从超几何分布，所以P (ξ＝k )＝C k 3C 3－k6C 39，k ＝0,1,2,3. 故P (ξ＝0)＝C 36C 39＝521，P (ξ＝1)＝C 13C 26C 39＝1528，P (ξ＝2)＝C 23C 16C 39＝314，P (ξ＝3)＝C 33C 39＝184.所以ξ的分布列为♦♦♦教师用书♦♦♦把握命题趋势，提高复习效率，提升解题能力，打造高考高分！【助力高考】2019年高考备战数学专题复习精品资料第十二章 概率、随机变量及其分步第68讲 离散型随机变量及其分布列★★★核心知识回顾★★★知识点一、离散型随机变量的分布列(1)随着试验结果变化而变化的变量叫做随机变量．所有取值可以一一列出的随机变量叫做离散型随机变量．(2)一般地，若离散型随机变量X 可能取的不同值为x 1，x 2，…，x i ，…，x n ，X 取每一个值x i (i ＝1,2，…，n )的概率P (X ＝x i )＝p i ，则称表为离散型随机变量X 的概率分布列，简称为X 的分布列，具有如下性质： ①p i ≥0，i ＝1,2，…，n ； ②p 1＋p 2＋…＋p i ＋…＋p n ＝1.离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和． 知识点二、两点分布 如果随机变量X 的分布列为其中0<p <1，则称离散型随机变量X 服从两点分布． 其中p ＝P (X ＝1)称为成功概率． 知识点三、超几何分布一般地，设有N 件产品，其中有M (M ≤N )件次品．从中任取n (n ≤N )件产品，用X 表示取出的n 件产品中次品的件数，那么P (X ＝k )＝C k M C n －k N －MC nN(k ＝0,1,2，…，m )．即其中m ＝min{M ，n }，且n ≤N ，M ≤N ，n ，M ，N ∈N *.如果一个随机变量X 的分布列具有上表的形式，则称随机变量X 服从超几何分布．★★★高考典例剖析★★★考点一、离散型随机变量的分布列的性质例1： 离散型随机变量X 的概率分布规律为P (X ＝n )＝an (n ＋1)(n ＝1,2,3,4)，其中a 是常数，则P ⎝⎛⎭⎫12<X <52的值为( ) A.23 B.34 C.45 D.56 答案 D解析 ∵P (X ＝n )＝a n (n ＋1)(n ＝1,2,3,4)，∴a 2＋a 6＋a 12＋a 20＝1，∴a ＝54， ∴P ⎝⎛⎭⎫12<X <52＝P (X ＝1)＋P (X ＝2) ＝54×12＋54×16＝56.1．设离散型随机变量X 的分布列为求2X ＋1的分布列． 解 由分布列的性质知，0．2＋0.1＋0.1＋0.3＋m ＝1，得m ＝0.3. 列表为从而2X＋1的分布列为2求随机变量η＝|X－1|的分布列．解由题2知m＝0.3，列表为∴P(η＝1)＝P(X＝0)＋P(X＝2)＝0.2＋0.1＝0.3，P(η＝0)＝P(X＝1)＝0.1，P(η＝2)＝P(X＝3)＝0.3，P(η＝3)＝P(X＝4)＝0.3.故η＝|X－1|的分布列为3. 设离散型随机变量X的分布列为求随机变量η＝X2的分布列．解依题意知η的值为0,1,4,9,16.列表为从而η＝X2的分布列为知识点二、离散型随机变量的分布列的求法 命题点1 与排列、组合有关的分布列的求法例2： (2017·山东改编)在心理学研究中，常采用对比试验的方法评价不同心理暗示对人的影响，具体方法如下：将参加试验的志愿者随机分成两组，一组接受甲种心理暗示，另一组接受乙种心理暗示，通过对比这两组志愿者接受心理暗示后的结果来评价两种心理暗示的作用．现有6名男志愿者A 1，A 2，A 3，A 4，A 5，A 6和4名女志愿者B 1，B 2，B 3，B 4，从中随机抽取5人接受甲种心理暗示，另5人接受乙种心理暗示． (1)求接受甲种心理暗示的志愿者中包含A 1但不包含B 1的概率； (2)用X 表示接受乙种心理暗示的女志愿者人数，求X 的分布列． 解 (1)记接受甲种心理暗示的志愿者中包含A 1但不包含B 1的事件为M ， 则P (M )＝C 48C 510＝518.(2)由题意知，X 可取的值为0,1,2,3,4，则 P (X ＝0)＝C 56C 510＝142，P (X ＝1)＝C 46C 14C 510＝521，P (X ＝2)＝C 36C 24C 510＝1021，P (X ＝3)＝C 26C 34C 510＝521，P (X ＝4)＝C 16C 44C 510＝142.因此X 的分布列为命题点2 与互斥事件有关的分布列的求法例3： 已知2件次品和3件正品混放在一起，现需要通过检测将其区分，每次随机检测一件产品，检测后不放回，直到检测出2件次品或者检测出3件正品时检测结束． (1)求第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品的概率；(2)已知每检测一件产品需要费用100元，设X 表示直到检测出2件次品或者检测出3件正品时所需要的检测费用(单位：元)，求X 的分布列．解 (1)记“第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品”为事件A ，则P (A )＝A 12A 13A 25＝310. (2)X 的可能取值为200,300,400. P (X ＝200)＝A 22A 25＝110，P (X ＝300)＝A 33＋C 12C 13A 22A 35＝310， P (X ＝400)＝1－P (X ＝200)－P (X ＝300) ＝1－110－310＝35.故X 的分布列为命题点3 与独立事件(或独立重复试验)有关的分布列的求法例4： 设某人有5发子弹，他向某一目标射击时，每发子弹命中目标的概率为23.若他连续两发命中或连续两发不中则停止射击，否则将子弹打完． (1)求他前两发子弹只命中一发的概率； (2)求他所耗用的子弹数X 的分布列．解 记“第k 发子弹命中目标”为事件A k ，则A 1，A 2，A 3，A 4，A 5相互独立，且P (A k )＝23，P (A k )＝13，k ＝1,2,3,4,5.(1)方法一 他前两发子弹只命中一发的概率为 P (A 1A 2)＋P (A 1A 2)＝P (A 1)P (A 2)＋P (A 1)P (A 2) ＝23×13＋13×23＝49. 方法二 由独立重复试验的概率计算公式知，他前两发子弹只命中一发的概率为P ＝C 12×23×13＝49. (2)X 的所有可能值为2,3,4,5. P (X ＝2)＝P (A 1A 2)＋P (A 1 A 2) ＝23×23＋13×13＝59， P (X ＝3)＝P (A 1A 2 A 3)＋P (A 1A 2A 3)＝23×⎝⎛⎭⎫132＋13×⎝⎛⎭⎫232＝29， P (X ＝4)＝P (A 1A 2A 3A 4)＋P (A 1A 2A 3 A 4) ＝⎝⎛⎭⎫233×13＋⎝⎛⎭⎫133×23＝1081，P (X ＝5)＝P (A 1A 2A 3A 4)＋P (A 1A 2A 3A 4) ＝⎝⎛⎭⎫232×⎝⎛⎭⎫132＋⎝⎛⎭⎫132×⎝⎛⎭⎫232＝881. 故X 的分布列为4．(2017·湖北部分重点中学联考)连续抛掷同一颗均匀的骰子，令第i 次得到的点数为a i ，若存在正整数k ，使a 1＋a 2＋…＋a k ＝6，则称k 为你的幸运数字． (1)求你的幸运数字为3的概率；(2)若k ＝1，则你的得分为6分；若k ＝2，则你的得分为4分；若k ＝3，则你的得分为2分；若抛掷三次还没找到你的幸运数字，则记0分，求得分ξ的分布列．解 (1)设“连续抛掷3次骰子，和为6”为事件A ，则它包含事件A 1，A 2，A 3，其中A 1：三次恰好均为2；A 2：三次中恰好为1,2,3各一次；A 3：三次中有两次均为1，一次为4. A 1，A 2，A 3为互斥事件，则P (A )＝P (A 1)＋P (A 2)＋P (A 3)＝C 33⎝⎛⎭⎫163＋C 13·16·C 12·16·C 11·16＋C 23⎝⎛⎭⎫162·16＝5108. (2)由已知得ξ的可能取值为6,4,2,0，P (ξ＝6)＝16，P (ξ＝4)＝⎝⎛⎭⎫162＋2×C 12×16×16＝536，P (ξ＝2)＝5108，P (ξ＝0)＝1－16－536－5108＝3554.故ξ的分布列为考点三、超几何分布例5： (2018·济南模拟)某外语学校的一个社团中有7名同学，其中2人只会法语，2人只会英语，3人既会法语又会英语，现选派3人到法国的学校交流访问．求： (1)在选派的3人中恰有2人会法语的概率；(2)在选派的3人中既会法语又会英语的人数X 的分布列． 解 (1)设事件A ：选派的3人中恰有2人会法语，则P (A )＝C 25C 12C 37＝47.(2)依题意知，X 服从超几何分布，X 的可能取值为0,1,2,3， P (X ＝0)＝C 34C 37＝435，P (X ＝1)＝C 24C 13C 37＝1835，P (X ＝2)＝C 14C 23C 37＝1235，P (X ＝3)＝C 33C 37＝135，∴X的分布列为♦♦♦跟踪训练♦♦♦5． PM2.5是指悬浮在空气中的空气动力学当量直径小于或等于2.5微米的可入肺颗粒物．根据现行国家标准GB3095－2012，PM2.5日均值在35微克/立方米以下空气质量为一级；在35微克/立方米～75微克/立方米之间空气质量为二级；在75微克/立方米以上空气质量为超标．从某自然保护区2017年全年每天的PM2.5监测数据中随机地抽取10天的数据作为样本，监测值频数如下表所示：(1)从这10天的PM2.5日均值监测数据中，随机抽出3天，求恰有一天空气质量达到一级的概率；(2)从这10天的数据中任取3天数据，记ξ表示抽到PM2.5监测数据超标的天数，求ξ的分布列．解 (1)记“从10天的PM2.5日均值监测数据中，随机抽出3天，恰有一天空气质量达到一级”为事件A ，则P (A )＝C 13C 27C 310＝2140.(2)依据条件知，ξ服从超几何分布，其中N ＝10，M ＝3，n ＝3，且随机变量ξ的可能取值为0,1,2,3.P (ξ＝k )＝C k 3·C 3－k7C 310(k ＝0,1,2,3)．∴P (ξ＝0)＝C 03C 37C 310＝724，P (ξ＝1)＝C 13C 27C 310＝2140，P (ξ＝2)＝C 23C 17C 310＝740，P (ξ＝3)＝C 33C 07C 310＝1120.故ξ的分布列为6． 某射手有5用尽，求耗用子弹数ξ的分布列．解 由题意知ξ的取值为1,2,3,4,5， P (ξ＝1)＝0.9，P (ξ＝2)＝0.1×0.9＝0.09， P (ξ＝3)＝0.1×0.1×0.9＝0.009， P (ξ＝4)＝0.13×0.9＝0.000 9， P (ξ＝5)＝0.14＝0.000 1. ∴ξ的分布列为★★★知能达标演练★★★一、选择题1．设随机变量X 的分布列如下：则p 为( ) A.16 B.13 C.14 D.112 答案 C解析 由分布列的性质知，112＋16＋13＋16＋p ＝1， ∴p ＝1－34＝14.2．袋中有3个白球、5个黑球，从中任取2个，可以作为随机变量的是( ) A ．至少取到1个白球B ．至多取到1个白球C ．取到白球的个数D ．取到的球的个数 答案 C解析 选项A ，B 表述的都是随机事件；选项D 是确定的值2，并不随机；选项C 是随机变量，可能取值为0,1,2.3．(2017·武汉江夏区模拟)若随机变量η的分布列如下：则当P (η<x )＝0.8时，实数x 的取值范围是( ) A ．x ≤2 B ．1≤x ≤2 C ．1<x ≤2 D ．1<x <2答案 C解析 由离散型随机变量的分布列知P (η<－1)＝0.1，P (η<0)＝0.3，P (η<1)＝0.5，P (η<2)＝0.8，则当P (η<x )＝0.8时，实数x 的取值范围是1<x ≤2.4．(2017·邯郸模拟)从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛，设随机变量ξ表示所选3人中女生的人数，则P (ξ≤1)等于( ) A.15 B.25 C.35 D.45答案 D解析 P (ξ≤1)＝1－P (ξ＝2)＝1－C 14C 22C 36＝45.5．设X 是一个离散型随机变量，其分布列为则q 等于( ) A ．1 B.32±336 C.32－336 D.32＋336 答案 C解析 ∵13＋2－3q ＋q 2＝1，∴q 2－3q ＋43＝0，解得q ＝32±336.又由题意知0<q 2<23，∴q ＝32－336. 6．一只袋内装有m 个白球，n －m 个黑球，连续不放回地从袋中取球，直到取出黑球为止，设此时取出了X 个白球，下列概率等于(n －m )A 2mA 3n 的是( ) A ．P (X ＝3) B ．P (X ≥2) C ．P (X ≤3) D ．P (X ＝2)答案 D解析 由超几何分布知P (X ＝2)＝(n －m )A 2mA 3n. 7．从装有3个白球、4个红球的箱子中，随机取出了3个球，恰好是2个白球、1个红球的概率是( )A.435B.635C.1235D.36343 答案 C解析 如果将白球视为合格品，红球视为不合格品，则这是一个超几何分布问题，故所求概率为P ＝C 23C 14C 37＝1235.8．某班级在2017年国庆节晚会上安排了迎国庆演讲节目，共有6名选手依次演讲，则选手甲不在第一个也不在最后一个演讲的概率为( ) A.16 B.13 C.12 D.23答案 D解析 6名选手依次演讲有A 66种方法，选手甲不在第一个也不在最后一个演讲的安排方法有4A 55，所以6名选手依次演讲，则选手甲不在第一个也不在最后一个演讲的概率为4A 55A 66＝23.二、填空题9．有一批产品共12件，其中次品3件，每次从中任取一件，在取到合格品之前取出的次品数X 的所有可能取值是____________． 答案 0,1,2,3解析 因为次品共有3件，所以在取到合格品之前取到次品数为0,1,2,3. 10．设随机变量X 的分布列为则P (|X －3|＝1)＝________. 答案512解析 由13＋m ＋14＋16＝1，解得m ＝14，P (|X －3|＝1)＝P (X ＝2)＋P (X ＝4) ＝14＋16＝512. 11．随机变量X 等可能取值1,2,3，…，n ，如果P (X <4)＝0.3，则n ＝________. 答案 10解析 由P (X <4)＝P (X ＝1)＋P (X ＝2)＋P (X ＝3) ＝1n ＋1n ＋1n ＝3n ＝0.3， 得n ＝10.12．一盒中有12个乒乓球，其中9个新的、3个旧的，从盒中任取3个球来用，用完后装回盒中，此时盒中旧球个数X 是一个随机变量，则P (X ＝4)的值为______． 答案27220解析 由题意知取出的3个球必为2个旧球、1个新球，故P (X ＝4)＝C 23C 19C 312＝27220.13．口袋中有5只球，编号为1,2,3,4,5，从中任取3只球，以X 表示取出的球的最大号码，则X 的分布列为______________________． 答案解析 X 的取值为3,4,5.又P (X ＝3)＝1C 35＝0.1，P (X ＝4)＝C 23C 35＝0.3，P (X ＝5)＝C 24C 35＝0.6.所以X 的分布列为14.袋中有4只红球，3只黑球，从袋中任取4只球，取到1只红球得1分，取到1只黑球得3分，设得分为随机变量ξ，则P (ξ≤6)＝________. 答案1335解析 P (ξ≤6)＝P (取到3只红球1只黑球)＋P (取到4只红球)＝C 34C 13C 47＋C 44C 47＝1335.15．随机变量X 的分布列如下：其中a ，b ，c 成等差数列，则P (|X |＝1)＝________，公差d 的取值范围是________． 答案 23 ⎣⎡⎦⎤－13，13 解析 ∵a ，b ，c 成等差数列，∴2b ＝a ＋c . 又a ＋b ＋c ＝1，∴b ＝13，∴P (|X |＝1)＝a ＋c ＝23.又a ＝13－d ，c ＝13＋d ，根据分布列的性质，得0≤13－d ≤23，0≤13＋d ≤23，∴－13≤d ≤13.16．在一个口袋中装有黑、白两个球，从中随机取一球，记下它的颜色，然后放回，再取一球，又记下它的颜色，则这两次取出白球数η的分布列为________________________________________________________________________． 答案解析 ∵η的所有可能值为0,1,2.P (η＝0)＝C 11C 11C 12C 12＝14，P (η＝1)＝C 11C 11×2C 12C 12＝12，P (η＝2)＝C 11C 11C 12C 12＝14.∴η的分布列为17．(2017·石家庄调研)x ，y 的含量(单位：毫克)，测量数据如下：如果产品中的微量元素x ，y 满足x ≥175且y ≥75时，该产品为优等品．现从上述5件产品中随机抽取2件，则抽取的2件产品中优等品数X 的分布列为____________． 答案解析 5件抽测品中有2件优等品，则X 的可能取值为0,1,2. P (X ＝0)＝C 23C 25＝0.3，P (X ＝1)＝C 13C 12C 25＝0.6，P (X ＝2)＝C 22C 25＝0.1.∴优等品数X 的分布列为18．设ξ为随机变量，从棱长为1的正方体的12条棱中任取两条，当两条棱相交时，ξ＝0；当两条棱平行时，ξ的值为两条棱之间的距离；当两条棱异面时，ξ＝1，则随机变量ξ的分布列是________． 答案。
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2019高考数学离散型随机变量解答题考点预测上海南汇中学 王海平在高考中，离散型随机变量的期望与方差试题的出题背景大多数源于课本上，有时也依赖于历年的高考真题、资料中的典型题例为背景，涉及主要问题有：产品检验问题、射击、投篮问题选题、选课，做题，考试问题、试验，游戏，竞赛，研究性问题、旅游，交通问题、摸球球问题、取卡片，数字和入座问题、信息，投资，路线等问题。
属于基础题或中档题的层面。
高考中一定要尽量拿满分。
一、 考题预测离散型随机变量的期望与方差涉及到的试题背景有：产品检验问题、射击、投篮问题选题、选课，做题，考试问题、试验，游戏，竞赛，研究性问题、旅游，交通问题、摸球球问题、取卡片，数字和入座问题、信息，投资，路线等问题。
从近几年高考试题看，离散型随机变量的期望与方差问题还综合函数、方程、数列、不等式、导数、线性规划等知识主要考查能力。
二、 复习建议1．学习概率与统计的关键是弄清分布列,期望和方差在统计中的作用. 离散型随机变量的分布列的作用是：（1）可以了解随机变量的所有可能取值； （2）可以了解随机变量的所有取值的概率；（3）可以计算随机变量在某一范围内取值的概率。
2．离散型随机变量的分布列从整体上全面描述了随机变量的统计规律。
3．离散型随机变量的数学期望刻画的是离散型随机变量所取的平均值，是描述随机变量集中趋势的一个特征数。
4．离散型随机变量的方差表示了离散型随机变量所取的值相对于期望的集中与分散程度。
三、 知识点回顾1．离散型随机变量的期望：（1）若离散型随机变量ξ的概率分布为则称ΛΛ++++=n n p x p x p x E 2211ξ为ξ的数学期望（平均值、均值） 简称为期望。
① 期望反映了离散型随机变量的平均水平。
② ξE 是一个实数，由ξ的分布列唯一确定。
③ 随机变量ξ是可变的，可取不同值。
④ ξE 是不变的，它描述ξ取值的平均状态。
（2）期望的性质：① C C E =)(为常数）C ( ② b aE b a E +=+ξξ)( 为常数）b a ,(③ 若),(~p n B ξ，则np E =ξ （二项分布）④ 若),(~p k g ξ，则pE 1=ξ （几何分布） 2．离散型随机变量的方差（1）离散型随机变量的方差：设离散型随机变量ξ可能取的值为,,,,,21ΛΛn x x x 且这些值的概率分别为ΛΛ,,,,,321n p p p p 则称+-+-=222121)()(p E x p E x D εεε…+-+n n p E x 2)(ε…；为ξ 的方差。
① 反映随机变量取值的稳定与波动。
② 反映随机变量取值的集中与离散的程度。
③ ξD 是一个实数，由ξ的分布列唯一确定。
④ ξD 越小，ξ取值越集中，ξD 越大，ξ取值越分散。
⑤ ξD 的算术平均数ξD 叫做随机变量ξ的标准差，记作σξ。
注：在实际中经常用期望来比较两个类似事件的水平，当水平相近时，再用方差比较两个类似事件的稳定程度。
（2）方差的性质：① 0)(=C D 为常数）C (② ξξD a b a D 2)(=+ 为常数）b a ,(③ 若),(~p n B ξ，则npq D =ξ p q -=1其中 （二项分布）④ 若),(~p k g ξ，则2pqD =ξ p q -=1其中 （几何分布） ⑤ 22)(ξξξE E D -=四、 考点预测 考点1：比赛类问题例1.两个排球队进行比赛采用五局三胜的规则，即先胜三局的队获胜，比赛到此也就结束，假设按原定队员组合，较强队每局取胜的概率为0.6，若前四局出现2比2的平局情况，较强队就换人重新组合队员，则其在决赛局中获胜的概率为0.7，设比赛结束时的局数为ξ.（Ⅰ）求ξ的概率分布； （Ⅱ）求E ξ.分析及解:（Ⅰ）ξ=3，4，5.,2800.04.06.0)3(33=+==ξP,3744.04.04.06.06.06.0)4(213223=⋅⋅⋅+⋅⋅==C C P ξ,3456.03.04.06.04.06.0)5(22242224=⋅⋅⋅+⋅⋅==C C P ξξ的概率分布为（Ⅱ）E ξ=3×0.2800+4×0.3744+5×0.3456=4.0656.考点2：射击类问题例2.甲、乙两人玩投篮游戏，规则如下：两人轮流投篮，每人至多投2次，甲先投，若有人投中即停止投篮，结束游戏，已知甲每次投中的概率为41，乙每次投中的概率为.31求： （1）乙投篮次数不超过1次的概率；（2）记甲、乙两人投篮次数和为ξ，求ξ的分布列和数学期望. 分析及解记“甲投篮投中”为事件A ，“乙投篮投中”为事件B 。
解法一“乙投篮次数不超过1次”包括三种情况：一种是甲第1次投篮投中，另一种是甲第1次投篮未投中而乙第1次投篮投中，再一种是甲、乙第1次投篮均未投中而甲第2次投篮投中，所求的概率是P = P （A+)A B A B A ⋅⋅+⋅=)()()(A B A P B A P A P ⋅⋅+⋅+)()()()()()(A P B P A P B P A P A P ⋅⋅+⋅+=.85413243314341=⨯⨯+⨯+=答：乙投篮次数不超过1次的概率为85解法二：“乙投篮次数不超过1次”的对立事件是“乙投篮2次”，所以，所求的概率是)(1A B A P P ⋅⋅-= =)()()(1A P B P A P ⋅⋅-854332431=⨯⨯-= 答：乙投篮次数不超过1次的概率为85（2）甲、乙投篮总次数ξ的取值1，2，3，4，81413243)()()()()3(413143)()()()2(41)()1(=⨯⨯=⋅⋅=⋅⋅===⨯=⋅=⋅=====A P B P A P A B A P P B P A P B A P P A P P ξξξ83433243)()()()()4(=⨯⨯=⋅⋅=⋅⋅==A P B P A P A B A P P ξ甲、乙投篮次数总和ξ的分布列为 ξ 1 2 3 4 P41 41 81 83 甲、乙投篮总次数ξ的数学期望为821834813412411=⨯+⨯+⨯+⨯=ξE答：甲、乙投篮次数总和ξ的数学期望为.821 考点3：选课类问题例3.甲乙两人独立解某一道数学题，已知该题被甲独立解出的概率为0.6，被甲或乙解出的概率为0.92。
求：（1）求该题被乙独立解出的概率。
（2）求解出该题的人数ξ的数学期望和方差。
分析及解（1）记甲、乙分别解出此题的事件记为A 、B.设甲独立解出此题的概率为P 1，乙独立解出此题的概率为P 2. 则P （A ）=P 1=0.6，P （B ）=P 2P （A+B ）=1－P （B A ⋅）=1－(1－P 1)(1－P 2)=P 1+P 2－P 1+P 2=0.92 ∴0.6+P 2－0.6P 2=0.92 则 0.4P 2=0.32即P 2=0.8.（2）P （ξ=0）=P （A ）·P （B ）=0.4×0.2=0.08P(ξ=1)=P(A)P(B )+P(A )P(B)=0.6×0.2+0.4×0.8=0.44P(ξ=2)=P(A)·P(B)=0.6×0.8=0.482·0.44+(2－1.4)2·0.48 =0.1568+0.0704+0.1728=0.4∴解出该题的人数ξ的数学期望为1.4，方差为0.4。
例4.某大学开设甲、乙、丙三门选修课，学生是否选修哪门课互不影响. 已知某学生只选修甲的概率为0.08，只选修甲和乙的概率是0.12，至少选修一门的概率是0.88，用ξ表示该学生选修的课程门数和没有选修的课程门数的乘积.（Ⅰ）记“函数x x x f ξ+=2)(为R 上的偶函数”为事件A ，求事件A 的概率； （Ⅱ）求ξ的分布列和数学期望.分析及解：设该学生选修甲、乙、丙的概率分别为x 、y 、z依题意得⎪⎩⎪⎨⎧===⎪⎩⎪⎨⎧=----=-=--5.06.04.0,88.0)1)(1)(1(1,12.0)1(,08.0)1)(1(z y x z y x z xy z y x 解得（I ） 若函数x x x f ξ+=2)(为R 上的偶函数，则ξ=0当ξ=0时，表示该学生选修三门功课或三门功课都没选.)1)(1)(1()0()(z y x xyz P A P ---+===∴ξ=0.4×0.5×0.6+（1－0.4）（1－0.5）（1－0.6）=0.24∴事件A 的概率为0.24（II ）依题意知ξ=0.2则ξ的分布列为∴ξ的数学期望为E ξ=0×0.24+2×0.76=1.52考点4：交通类问题例5.春节期间，小王用私家车送4位朋友到三个旅游景点去游玩，每位朋友在每一个景点下车的概率均为31，用ξ表示4位朋友在第三个景点下车的人数，求： （Ⅰ）随机变量ξ的分布列；（Ⅱ）随机变量ξ的期望.解法一：（I ）ξ的所有可能值为0，1，2，3，4，由等可能性事件的概率公式得,81832)3(,27832)2(,813232)1(,8116)32()0(434422443144=⋅===⋅====⋅=====C P C P C P P ξξξξ811)31()4(4===ξP从而ξ的分布列为（II ）由（I ）得ξ的期望为 .348114818327828132181160=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=ξE解法二：（I ）考察一位朋友是否在第三个景点下车为一次试验，这是4次独立重复试验..4,3,2,1,0,)32()31()(),31,4(~44===-k C k P B kk k ξξ即有故解法三：（II ）由对称性与等可能性，在三个景点任意一个景点下车的人数同分布，故期望值相等。
.34,43==ξξE E 从而即考点5：数字类问题例6.在一个盒子里放有6张卡片，上面标有数字1，2，3，4，5，6，现在从盒子里每次任意取出一张卡片，取两片.（I ）若每次取出后不再放回，求取到的两张卡片上数字之积大于12的概率；（II ）在每次取出后再放回和每次取出后不再放回这两种取法中，得到的两张卡片上的最大数字的期望值是否相等？请说明理由.分析及解：（I ）取到的两张卡片上数字之积大于12的事件为3，4，5，6四个数中取出两个，且应除去3，4两个数字。
故所求事件概率3112624=-=C C P . （II ）若每次取出后不再放回，则得到的两张卡片上的数字中最大数字随机变量ξ，ξ=2，3，4，5，6..31415561545153415231512.155)6(,154)5(,153)4(,152)3(,1511)2(261526142613261226=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=∴===============∴ξξξξξξE C C P C C P C C P C C P C P若每次取出后再放回，则得到的两张卡片上的数字中最大数字是随机变量，η，η=1，2，3，4，5，6..3616136116369536743653363236113611)6(,369)5(,367)4(,365)3(,363)2(,361)1(=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=∴============∴ηηηηηηηE P P P P P P ∴在每次取出后再放回和每次取出后不再取回这两种取法中，得到的两张卡上的数字中最大数字的期望值不相等.考点6：信息类问题例7.如图，A 、B 两点由5条连线并联，它们在单位时间内能通过的最大信息量依次为2，3，4，3，2，现记从中任取三条线且在单位时间内都通过的最大信息总量为ξ. （Ⅰ）写出最大信息总量ξ的分布列； （Ⅱ）求最大信息总量ξ的数学期望. 分析及解（1）由已知，ξ的取值为7，8，9，10.,51)7(351222===C C C P ξΘ ,103)8(3512221122=+==C C C C C P ξ ,52)9(35111212===C C C C P ξ .101)10(351122===C C C P ξ ξ∴的概率分布列为（2）.4.8542101019528103751)(==⨯+⨯+⨯+⨯=ξE。