高三数学一轮复习课时作业9：第6讲双曲线

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高考数学一轮复习课时作业9.6 双曲线理苏教版

第6讲双曲线基础巩固题组 (建议用时：40分钟)一、填空题1．(2014·四川卷)双曲线x 24－y 2＝1的离心率等于________．解析由双曲线方程x 24－y 2＝1，知a 2＝4，b 2＝1，c 2＝a 2＋b 2＝5，∴e ＝c a ＝52.答案522．(2014·北京卷)设双曲线C 的两个焦点为(－2，0)，(2，0)，一个顶点是(1,0)，则C 的方程为________．解析由双曲线的焦点坐标知c ＝2，且焦点在x 轴上，由顶点坐标知a ＝1，由c 2＝a 2＋b 2，得b 2＝1.所以双曲线C 的方程为x 2－y 2＝1. 答案 x 2－y 2＝13．(2015·苏、锡、常、镇四市调研)已知双曲线x 2m －y 28＝1的离心率为3，则实数m 的值为________．解析由x 2m －y 28＝1表示双曲线得m ＞0，所以离心率e ＝m ＋8m＝3，解得m ＝4. 答案 44．(2015·镇江模拟)已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的一个焦点为F ，一条渐近线为l ，若过点F 与直线l 平行的直线为y ＝3x －23，则a ＋b ＝________.解析在直线y ＝3x －23中，令y ＝0，故x ＝2，所以a 2＋b 2＝4 ①；又b a＝ 3 ②，联立①②，解得a ＝1，b ＝3，所以a ＋b ＝1＋ 3. 答案 1＋ 35．(2014·大纲全国卷改编)双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的离心率为2，焦点到渐近线的距离为3，则C 的焦距等于________．解析由已知，得e ＝c a ＝2，所以a ＝12c ，故b ＝c 2－a 2＝32c ，从而双曲线的渐近线方程为y ＝±ba x ＝±3x ，由焦点到渐近线的距离为3，得3c2＝3，解得c ＝2，故2c ＝4. 答案 46．设F 1，F 2是双曲线x 2－y 224＝1的两个焦点，P 是双曲线上的一点，且3PF 1＝4PF 2，则△PF 1F 2的面积等于________．解析由⎩⎪⎨⎪⎧PF 1－PF 2＝2，3PF 1＝4PF 2，可解得⎩⎪⎨⎪⎧PF 1＝8，PF 2＝6.又由F 1F 2＝10可得△PF 1F 2是直角三角形，则S △PF 1F 2＝12PF 1×PF 2＝24.答案 247．(2014·重庆卷改编)设F 1，F 2分别为双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点，双曲线上存在一点P 使得(PF 1－PF 2)2＝b 2－3ab ，则该双曲线的离心率为________．解析根据双曲线的定义，得|PF 1－PF 2|＝2a .又(PF 1－PF 2)2＝b 2－3ab ，所以4a 2＝b 2－3ab ，即(a ＋b )(4a －b )＝0.又a ＋b ≠0，所以b ＝4a ，所以e ＝ca＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a2＝1＋42＝17. 答案178．已知双曲线x 2m －y 23m ＝1的一个焦点是(0,2)，椭圆y 2n －x 2m＝1的焦距等于4，则n ＝________.解析因为双曲线的焦点(0,2)，所以焦点在y 轴上，所以双曲线的方程为y 2－3m －x 2－m ＝1，即a 2＝－3m ，b 2＝－m ，所以c 2＝－3m －m ＝－4m ＝4，解得m ＝－1.所以椭圆方程为y 2n＋x 2＝1，且n ＞0，椭圆的焦距为4，所以c 2＝n －1＝4或1－n ＝4，解得n ＝5或－3(舍去)．答案 5 二、解答题9．已知椭圆D ：x 250＋y 225＝1与圆M ：x 2＋(y －5)2＝9，双曲线G 与椭圆D 有相同焦点，它的两条渐近线恰好与圆M 相切，求双曲线G 的方程．解椭圆D 的两个焦点为F 1(－5,0)，F 2(5,0)，因而双曲线中心在原点，焦点在x 轴上，且c ＝5.设双曲线G 的方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)，∴渐近线方程为bx ±ay ＝0且a 2＋b 2＝25，又圆心M (0,5)到两条渐近线的距离为r ＝3. ∴|5a |b 2＋a 2＝3，得a ＝3，b ＝4，∴双曲线G 的方程为x 29－y 216＝1.10．已知双曲线y 2a 2－x 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线方程为2x ＋y ＝0，且顶点到渐近线的距离为255.(1)求此双曲线的方程；(2)设P 为双曲线上一点，A ，B 两点在双曲线的渐近线上，且分别位于第一、二象限，若AP →＝PB →，求△AOB 的面积．解 (1)依题意得⎩⎪⎨⎪⎧a b ＝2，|2×0＋a |5＝255，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝1，故双曲线的方程为y 24－x 2＝1. (2)由(1)知双曲线的渐近线方程为y ＝±2x ，设A (m,2m )，B (－n,2n )，其中m ＞0，n ＞0，由AP →＝PB →得点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫m －n 2，m ＋n .将点P 的坐标代入y 24－x 2＝1，整理得mn ＝1.设∠AOB ＝2θ，∵tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－θ＝2，则tan θ＝12，从而sin 2θ＝45.又OA ＝5m ，OB ＝5n ，∴S △AOB ＝12OA ·OB sin 2θ＝2mn ＝2.能力提升题组 (建议用时：25分钟)1．(2014·江西卷改编)过双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1的右顶点作x 轴的垂线，与C 的一条渐近线相交于点A .若以C 的右焦点为圆心、半径为4的圆经过A ，O 两点(O 为坐标原点)，则双曲线C 的方程为________．解析由双曲线方程知右顶点为(a,0)，不妨设其中一条渐近线方程为y ＝bax ，因此可设点A 的坐标为(a ，b )．设右焦点为F (c,0)，由已知可知c ＝4，且AF ＝4，即(c －a )2＋b 2＝16，所以有(c －a )2＋b 2＝c 2，又c 2＝a 2＋b 2，则c ＝2a ，即a ＝c2＝2，所以b 2＝c 2－a 2＝42－22＝12.故双曲线的方程为x 24－y 212＝1.答案x 24－y 212＝1 2．(2015·苏北四市模拟)已知点F 是双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左焦点，点E 是该双曲线的右顶点，过F 且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A ，B 两点，若△ABE 是锐角三角形，则该双曲线的离心率e 的取值范围是________．解析由题意易知点F 的坐标为(－c,0)，A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－c ，b 2a ，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－c ，－b 2a ，E (a,0)，因为△ABE 是锐角三角形，所以EA →·EB →>0，即EA →·EB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－c －a ，b 2a ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－c －a ，－b 2a >0，整理得3e 2＋2e >e 4，∴e (e 3－3e －3＋1)<0， ∴e (e ＋1)2(e －2)<0，解得e ∈(0,2)，又e >1， ∴e ∈(1,2)．答案 (1,2)3．(2015·盐城模拟)若圆x 2＋y 2＝r 2过双曲线x 2a 2－y 2b2＝1的右焦点F ，且圆与双曲线的渐近线在第一、四象限的交点分别为A ，B ，当四边形OAFB 为菱形时，双曲线的离心率为________．解析由四边形OAFB 是菱形可得OA ＝AF ，又OA ＝OF ＝c ，则△AOF 是边长为c 的等边三角形，所以渐近线OA 的倾斜角是60°，即ba＝3，又因为b 2＝c 2－a 2＝3a 2，c ＝2a ，所以所求的离心率e ＝c a＝2. 答案 24．(2015·上海八校联考)已知点F 1，F 2为双曲线C ：x 2－y 2b2＝1(b ＞0)的左、右焦点，过F 2作垂直于x 轴的直线，在x 轴上方交双曲线C 于点M ，∠MF 1F 2＝30°. (1)求双曲线C 的方程；(2)过双曲线C 上任意一点P 作该双曲线两条渐近线的垂线，垂足分别为P 1，P 2，求PP 1→·PP 2→的值．解 (1)设F 2，M 的坐标分别为(1＋b 2，0)，(1＋b 2，y 0)，因为点M 在双曲线C 上，所以1＋b 2－y 20b2＝1，即y 0＝±b 2，所以MF 2＝b 2，在Rt △MF 2F 1中，∠MF 1F 2＝30°，MF 2＝b 2，所以MF 1＝2b 2，由双曲线的定义可知MF 1－MF 2＝b 2＝2，故双曲线C 的方程为x 2－y 22＝1.(2)由条件可知两条渐近线分别为l 1：2x －y ＝0，l 2：2x ＋y ＝0. 设双曲线C 上的点P (x 0，y 0)，两条渐近线的夹角为θ，则点P 到两条渐近线的距离分别为PP 1＝|2x 0－y 0|3，PP 2＝|2x 0＋y 0|3，cos θ＝13，因为P (x 0，y 0)在双曲线C ：x 2－y 22＝1上，所以2x 20－y 20＝2，所以PP 1→·PP 2→＝|2x 0－y 0|3·|2x 0＋y 0|3·cos θ＝|2x 20－y 20|3·13＝29.。

高三数学一轮复习课件9.6 双曲线

长等于虚轴长的2倍,点A(5,0)在线段PQ上,则△PQF的周长
为
.
答案: (1)B (2)44
考点1
考点2
考点3
-20-
解析: (1)由题意知a=1,b=1,c=2,
故|F1F2|=22. 在△PF1F2中,由余弦定理得 |PF1|2+|PF2|2-2|PF1||PF2|cos 60°
=|F1F2|2=8,
A(0, 2 ),则△APF周长的最小值为
.
思考如何灵活运用双曲线的定义求方程或者解焦点三角形?
答案: (1)x2-��8��2=1(x≤-1) (2)34 (3)12 6
考点1
考点2
考点3
-16-
解析: (1)如图所示,设动圆M与圆C1及圆C2分别外切于A和B. 根据两圆外切的条件,得|MC1|-|AC1|=|MA|,|MC2|-|BC2|=|MB|. 因为|MA|=|MB|,
考点1
考点2
考点3
-19-
对点训练1(1)已知F1,F2分别为双曲线C:x2-y2=1的左、右焦点,点 P在双曲线C上,且∠F1PF2=60°,则|PF1|·|PF2|等于( )
A.2 B.4 C.6 D.8
(2)已知F为双曲线C:
��2 9
−
1��62=1的左焦点,P,Q为C上的点.若PQ的
()
(4)等轴双曲线的离心率等于 2,且渐近线互相垂直. ( )
(5)若双曲线��22 − ��22=1(a>0,b>0)与��22 − ��22=1(a>0,b>0)的离心
率分别是 e1,e2,则��1��12 + ��1��22=1.

高三数学一轮复习9.6 双曲线课件

1 解析由题意知 a ＝1，b ＝－m， 1 则 a＝1， b＝－m. 1 1 ∴ －m＝2，解得 m＝－4.
2 2
x2 y2 2．双曲线方程：＋＝1，那么 k 的取 |k|－2 5－k 值范围是 (－2,2)∪(5，＋∞) ．
解析
由题意知(|k|－2)(5－k)<0，
解得－2<k<2 或 k>5.
x2 y2 思维启迪：设双曲线方程为a2－b2＝1，求双曲线方程，即求 a、b，为此需要关于 a、b 的两个方程，由题意易得关于 a、b 的两个方程．
x 2 y2 解方法一 (1)设双曲线的方程为a2－b2＝1， b 4 a＝3， 9 2 2 由题意，得解得 a ＝， b ＝4. 2 2 4 － 3 3 2 －2 2 b ＝1， a x2 y2 故所求双曲线的方程为 9 － 4 ＝1. 4 x2 y2 (2)设双曲线方程为a2－b2＝1. 由题意易求 c＝2 5. 3 2 2 4 又双曲线过点(3 2，2)，∴ a2 －b2＝1. 又∵a2＋b2＝(2 5)2，∴a2＝12，b2＝8. x2 y2 故所求双曲线的方程为12－ 8 ＝1.
性质
渐近线离心率性质实虚轴
b y＝± ax
a y＝± bx
c e＝a， e∈(1，＋∞)，其中 c＝ a2＋b2 线段 A1A2 叫做双曲线的实轴，它的长|A1A2|＝2a；线段 B1B2 叫做双曲线的虚轴，它的长|B1B2|＝2b；a 叫做双曲线的实半轴长， b 叫做双曲线的虚半轴长
答案 5 6
探究提高
在圆锥曲线的问题中，充分应用定
义来解决问题可以使解答过程简化．本题从双曲线的方程中可以确定 A、C 就是双曲线的焦点，从而根据双曲线的定义可以确定△ABC 的三边的关系，再巧妙应用正弦定理就可以轻松求解．

2022届高考数学一轮复习课时作业双曲线

双曲线1．(2019·浙江高考)渐近线方程为x±y＝0的双曲线的离心率是()A．22B．1C． 2 D．22．已知双曲线的方程为y24－x29＝1，则下列关于双曲线说法正确的是()A．虚轴长为4 B．焦距为2 5C．离心率为13 3D．渐近线方程为2x±3y＝03．(多选)(2020·山东青岛二中期中)若方程x25－t＋y2t－1＝1所表示的曲线为C，则下面四个命题中正确的是()A．若1＜t＜5，则C为椭圆B．若t＜1，则C为双曲线C．若C为双曲线，则焦距为4D．若C为焦点在y轴上的椭圆，则3＜t＜54．(2020·全国卷Ⅰ)设F1，F2是双曲线C：x2－y23＝1的两个焦点，O为坐标原点，点P在C上且|OP|＝2，则△PF1F2的面积为()A．72B．3C．52D．25．已知双曲线C：x2a2－y216＝1(a＞0)的一条渐近线方程为4x＋3y＝0，F1，F2分别是双曲线C的左、右焦点，点P在双曲线C上，且|PF1|＝7，则|PF2|＝() A．1 B．13C．17 D．1或136．(2020·西安模拟)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的顶点到其一条渐近线的距离为1，焦点到其一条渐近线的距离为2，则其一条渐近线的倾斜角为( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．120°7．(多选)已知双曲线E 过点(3，2)，(6，11)，则( ) A ．E 的方程为x 23－y 2＝1B ．直线x －2y －1＝0与E 有且仅有一个公共点C ．曲线y ＝ln(x －1)过E 的一个焦点D ．E 的离心率为 38．(多选)(2020·山东滨州期末)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点分别为F 1(－5,0)，F 2(5,0)，则能使双曲线C 的方程为x 216－y 29＝1的条件是( )A ．双曲线的离心率为54 B ．双曲线过点⎝ ⎛⎭⎪⎫5，94C ．双曲线的渐近线方程为3x ±4y ＝0D ．双曲线的实轴长为49．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线为2x ＋y ＝0，一个焦点为(5，0)，则a ＝________；b ＝________.10．(2020·南宁模拟)已知双曲线E ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)．若矩形ABCD 的四个顶点在E 上，AB ，CD 的中点为E 的两个焦点，且2|AB |＝3|BC |，则E 的离心率是________．11．已知焦点在x 轴上的双曲线x 28－m ＋y 24－m ＝1，它的焦点到渐近线的距离的取值范围是________．12．已知椭圆x 24＋y 2m ＝1与双曲线x 2－y 2n ＝1的离心率分别为e 1，e 2，且有公共的焦点F 1，F 2，则4e 21－e 22＝________，若P 为两曲线的一个交点，则|PF 1|·|PF 2|＝________.能力提高1．(2019·全国卷Ⅰ)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线与C 的两条渐近线分别交于A ，B 两点．若F 1A →＝AB →，F 1B →·F 2B →＝0，则C 的离心率为________．2．(2020·黄冈模拟)双曲线C 的渐近线方程为y ＝±33x ，一个焦点为F (0，－8)，则该双曲线的标准方程为______．已知点A (－6,0)，若点P 为C 上一动点，且P 点在x 轴上方，当点P 的位置变化时，△P AF 的周长的最小值为________．双曲线1．(2019·浙江高考)渐近线方程为x±y＝0的双曲线的离心率是()A．22B．1C． 2 D．2C[根据渐近线方程为x±y＝0的双曲线，可得a＝b，所以c＝2a，则该双曲线的离心率为e＝ca＝2，故选C.]2．已知双曲线的方程为y24－x29＝1，则下列关于双曲线说法正确的是()A．虚轴长为4 B．焦距为2 5C．离心率为13 3D．渐近线方程为2x±3y＝0D[由题意知，双曲线y24－x29＝1的焦点在y轴上，且a2＝4，b2＝9，故c2＝13，所以选项A，B均不对；离心率e＝ca＝132，故选项C不对；由双曲线的渐近线知选项D正确．故选D.]3．(多选)(2020·山东青岛二中期中)若方程x25－t＋y2t－1＝1所表示的曲线为C，则下面四个命题中正确的是() A．若1＜t＜5，则C为椭圆B．若t＜1，则C为双曲线C ．若C 为双曲线，则焦距为4D ．若C 为焦点在y 轴上的椭圆，则3＜t＜5BD [对于A ，当t ＝3时，方程x 2＋y 2＝2表示圆，所以A 不正确；对于B ，当t ＜1时，5－t ＞0，t －1＜0，此时曲线C 是焦点在x 轴上的双曲线，所以B 正确；对于C ，当t ＝0时，方程x 25－y 21＝1表示双曲线，此时双曲线的焦距为26，所以C 不正确；对于D ，当方程x 25－t ＋y 2t －1＝1表示焦点在y 轴上的椭圆时，满足⎩⎨⎧5－t ＞0，t －1＞0，5－t ＜t －1，解得3＜t ＜5，所以D 正确．]4．(2020·全国卷Ⅰ)设F 1，F 2是双曲线C ：x 2－y 23＝1的两个焦点，O 为坐标原点，点P 在C 上且|OP |＝2，则△PF 1F 2的面积为( )A ．72B ．3C ．52D ．2B [法一：设F 1，F 2分别为双曲线C 的左、右焦点，则由题意可知F 1(－2,0)，F 2(2,0)，又|OP |＝2，所以|OP |＝|OF 1|＝|OF 2|，所以△PF 1F 2是直角三角形，所以|PF 1|2＋|PF 2|2＝|F 1F 2|2＝16.不妨令点P 在双曲线C 的右支上，则有|PF 1|－|PF 2|＝2，两边平方，得|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1|·|PF 2|＝4，又|PF 1|2＋|PF 2|2＝16，所以|PF 1|·|PF 2|＝6，则S △PF 1F 2＝12|PF 1|·|PF 2|＝12×6＝3，故选B.法二：设F 1，F 2分别为双曲线C 的左、右焦点，则由题意可知F 1(－2,0)，F 2(2,0)，又|OP |＝2，所以|OP |＝|OF 1|＝|OF 2|，所以△PF 1F 2是直角三角形，所以S △PF 1F 2＝b 2tan θ2＝3tan 45 °＝3(其中θ＝∠F 1PF 2)，故选B.]5．已知双曲线C ：x 2a 2－y 216＝1(a ＞0)的一条渐近线方程为4x ＋3y ＝0，F 1，F 2分别是双曲线C 的左、右焦点，点P 在双曲线C 上，且|PF 1|＝7，则|PF 2|＝( )A ．1B ．13C ．17D ．1或13B [由题意知双曲线x 2a 2－y 216＝1(a ＞0)的一条渐近线方程为4x ＋3y ＝0，可得4a ＝43，解得a ＝3，所以c ＝a 2＋b 2＝5.又由F 1，F 2分别是双曲线C 的左、右焦点，点P 在双曲线上，且|PF 1|＝7，可得点P 在双曲线的左支上，所以|PF 2|－|PF 1|＝6，可得|PF 2|＝13.故选B.]6．(2020·西安模拟)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的顶点到其一条渐近线的距离为1，焦点到其一条渐近线的距离为2，则其一条渐近线的倾斜角为( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．120°B [设双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的右顶点A (a,0)，右焦点F 2(c,0)到渐近线y ＝b a x 的距离分别为1和2，则有⎩⎪⎨⎪⎧aba 2＋b 2＝1，bca 2＋b2＝2，即a c ＝22.则b 2a 2＝c 2－a 2a 2＝c 2a 2－1＝2－1＝1，即ba ＝1. 设渐近线y ＝b a x 的倾斜角为θ，则tan θ＝ba ＝1. 所以θ＝45°，故选B.]7．(多选)已知双曲线E 过点(3，2)，(6，11)，则( ) A ．E 的方程为x 23－y 2＝1B ．直线x －2y －1＝0与E 有且仅有一个公共点C ．曲线y ＝ln(x －1)过E 的一个焦点D ．E 的离心率为 3ABC [设双曲线E 的方程为mx 2＋ny 2＝1(mn ＜0)，因为双曲线E 过点(3，2)，(6，11)，所以⎩⎨⎧9m ＋2n ＝1，36m ＋11n ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝13，n ＝－1，故双曲线E 的方程为x 23－y 2＝1，选项A 正确；联立直线与双曲线的方程，得⎩⎪⎨⎪⎧x －2y －1＝0，x 23－y 2＝1，消去x得y 2－22y ＋2＝0，Δ＝0，故选项B 正确；E 的一个焦点为点(2,0)，易知该点在曲线y ＝ln(x －1)上，故C 正确；因为a ＝3，c ＝2，所以双曲线E 的离心率e ＝233，选项D 错误．故选ABC.]8．(多选)(2020·山东滨州期末)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点分别为F 1(－5,0)，F 2(5,0)，则能使双曲线C 的方程为x 216－y 29＝1的条件是( )A ．双曲线的离心率为54 B ．双曲线过点⎝ ⎛⎭⎪⎫5，94C ．双曲线的渐近线方程为3x ±4y ＝0D ．双曲线的实轴长为4ABC [由题意可得焦点在x 轴上，且c ＝5.A 选项，若双曲线的离心率为54，则a ＝4，所以b 2＝c 2－a 2＝9，此时双曲线的方程为x 216－y 29＝1，故A 正确；B 选项，若双曲线过点⎝ ⎛⎭⎪⎫5，94，则⎩⎪⎨⎪⎧25a 2－8116b 2＝1，a 2＋b 2＝25，得⎩⎨⎧a 2＝16，b 2＝9，此时双曲线的方程为x 216－y 29＝1，故B 正确；C 选项，若双曲线的渐近线方程为3x ±4y ＝0，可设双曲线的方程为x 216－y 29＝m (m ＞0)，所以c 2＝16m ＋9m ＝25，解得m ＝1，此时双曲线的方程为x 216－y 29＝1，故C 正确；D 选项，若双曲线的实轴长为4，则a ＝2，所以b 2＝c 2－a 2＝21，此时双曲线的方程为x 24－y 221＝1，故D 错误．故选ABC.]9．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线为2x ＋y ＝0，一个焦点为(5，0)，则a ＝________；b ＝________.1 2 [由2x ＋y ＝0，得y ＝－2x ，所以ba ＝2. 又c ＝5，a 2＋b 2＝c 2，解得a ＝1，b ＝2.]10．(2020·南宁模拟)已知双曲线E ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)．若矩形ABCD 的四个顶点在E 上，AB ，CD 的中点为E 的两个焦点，且2|AB |＝3|BC |，则E 的离心率是________．2 [由已知得|AB |＝|CD |＝2b 2a ，|BC |＝|AD |＝|F 1F 2|＝2c .因为2|AB |＝3|BC |，所以4b 2a ＝6c ，又b 2＝c 2－a 2，所以2e 2－3e －2＝0，解得e ＝2，或e ＝－12(舍去)．]11．已知焦点在x 轴上的双曲线x 28－m ＋y 24－m ＝1，它的焦点到渐近线的距离的取值范围是________．(0,2) [对于焦点在x 轴上的双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，它的焦点(c,0)到渐近线bx －ay ＝0的距离为|bc |b 2＋a 2＝b .双曲线x 28－m ＋y 24－m ＝1，即x 28－m －y 2m －4＝1，其焦点在x 轴上，则⎩⎨⎧8－m >0，m －4>0，解得4<m <8，则焦点到渐近线的距离d ＝m －4∈(0,2)．]12．已知椭圆x 24＋y 2m ＝1与双曲线x 2－y 2n ＝1的离心率分别为e 1，e 2，且有公共的焦点F 1，F 2，则4e 21－e 22＝________，若P 为两曲线的一个交点，则|PF 1|·|PF 2|＝________.0 3 [由题意得椭圆的半焦距满足c 21＝4－m ，双曲线的半焦距满足c 22＝1＋n ，又因为两曲线有相同的焦点，所以4－m ＝1＋n ，即m ＋n ＝3，则4e 21－e 22＝4×4－m4－(1＋n )＝3－(m ＋n )＝0.不妨设F 1，F 2分别为两曲线的左、右焦点，点P 为两曲线在第一象限的交点，则⎩⎨⎧|PF 1|＋|PF 2|＝4，|PF 1|－|PF 2|＝2. 解得⎩⎨⎧|PF 1|＝3，|PF 2|＝1，则|PF 1|·|PF 2|＝3.]能力提高1．(2019·全国卷Ⅰ)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线与C 的两条渐近线分别交于A ，B 两点．若F 1A →＝AB →，F 1B →·F 2B →＝0，则C 的离心率为________．2 [如图，由F 1A →＝AB →，得F 1A ＝AB .又OF 1＝OF 2，所以OA 是三角形F 1F 2B 的中位线，即BF 2∥OA ， BF 2＝2OA .由F 1B →·F 2B →＝0，得F 1B ⊥F 2B ，OA ⊥F 1A ，则OB ＝OF 1，所以∠AOB ＝∠AOF 1，又OA 与OB 都是渐近线，得∠BOF 2＝∠AOF 1，又∠BOF 2＋∠AOB ＋∠AOF 1＝180°，得∠BOF 2＝∠AOF 1＝∠BOA ＝60°，又渐近线OB 的斜率为ba ＝tan 60°＝3，所以该双曲线的离心率为e ＝c a ＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2＝1＋(3)2＝2.]2．(2020·黄冈模拟)双曲线C 的渐近线方程为y ＝±33x ，一个焦点为F (0，－8)，则该双曲线的标准方程为______．已知点A (－6,0)，若点P 为C 上一动点，且P 点在x 轴上方，当点P 的位置变化时，△P AF 的周长的最小值为________．y 216－x 248＝1 28 [∵双曲线C 的渐近线方程为y ＝±33x ，一个焦点为F (0，－8)，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 2b 2＝13，a 2＋b 2＝8，解得a ＝4，b ＝4 3.∴双曲线的标准方程为y 216－x 248＝1.设双曲线的上焦点为F ′(0,8)，则|PF |＝|PF ′|＋8， △P AF 的周长为|PF |＋|P A |＋|AF |＝|PF ′|＋|P A |＋|AF |＋8.当P 点在第二象限，且A ，P ，F ′共线时，|PF ′|＋|P A |最小，最小值为|AF ′|＝10.而|AF |＝10，故△P AF 的周长的最小值为10＋10＋8＝28.]。

数学一轮复习第九章解析几何9.6双曲线学案理

9。

6双曲线必备知识预案自诊知识梳理1.双曲线的定义平面内与两个定点F1,F2的等于非零常数(小于|F1F2｜）的点的轨迹叫作双曲线。

这两个定点叫作,两焦点间的距离叫作.集合P=｛M|||MF1｜-｜MF2||=2a},|F1F2｜=2c，其中a〉0,c>0,且a,c为常数.（1）若a c，则点M的轨迹是双曲线；(2）若a c，则点M的轨迹是两条射线;（3）若a c，则点M不存在.2.标准方程(1)中心在坐标原点，焦点在x轴上的双曲线的标准方程为x2 x2−x2x2=1（a>0,b〉0);(2）中心在坐标原点,焦点在y轴上的双曲线的标准方程为x2 x2−x2x2=1(a>0，b>0）。

3。

双曲线的性质标准方程x2a2−y2b2=1（a〉0，b〉0)y2a2−x2b2=1(a〉0,b〉0）图形续表标准方程x2a2−y2b2=1（a>0，b〉0)y2a2−x2b2=1（a>0，b〉0)性质范围x≥a或x≤-a，y∈Ry≤—a或y≥a,x∈R 对称性对称轴：,对称中心:顶点A1，A2A1,A2渐近线y=±xxx y=±xxx离心率e=xx,e∈(1，+∞）a,b，c的关系c2=实虚轴线段A1A2叫作双曲线的实轴,它的长|A1A2|=;线段B1B2叫作双曲线的虚轴，它的长|B1B2｜=；a叫作双曲线的实半轴长,b叫作双曲线的虚半轴长1.过双曲线x2a2−y2b2=1(a>0，b〉0）上一点M(x0，y0）的切线方程为x0xa2−y0yb2=1.2.双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b〉0)的左、右焦点分别为F1,F2,点P（x0，y0）为双曲线上任意一点,且不与点F1，F2共线,∠F1PF2=θ，则△F1PF2的面积为b2xxxθ2。

3。

若点P（x0,y0）在双曲线x2a2−y2b2=1(a〉0,b〉0)内，则被点P所平分的中点弦的方程为x0xa2−y0yb2=x02a2−y02b2。

2020届高考理科数学一轮复习第9章第6节双曲线含答案

第六节双曲线1．双曲线的定义平面内与两个定点F 1，F 2的距离的差的绝对值等于非零❶常数(小于|F 1F 2|)❷的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．集合P ＝{M |||MF 1|－|MF 2||＝2a }，|F 1F 2|＝2c ，其中a ，c 为常数且a ＞0，c ＞0. 2．双曲线的标准方程和几何性质若将双曲线的定义中的“差的绝对值等于常数”中的“绝对值”去掉，则点的集合是双曲线的一支，具体是左支还是右支视情况而定．设双曲线上的点M 到两焦点F 1，F 2的距离之差的绝对值为2a ，则0＜2a ＜|F 1F 2|，这一条件不能忽略．①若2a ＝|F 1F 2|，则点M 的轨迹是分别以F 1，F 2为端点的两条射线； ②若2a ＞|F 1F 2|，则点M 的轨迹不存在；③若2a ＝0，则点M 的轨迹是线段F 1F 2的垂直平分线.[熟记常用结论]1．双曲线的焦点到其渐近线的距离为b .2．若P 是双曲线右支上一点，F 1，F 2分别为双曲线的左、右焦点，则|PF 1|min ＝a ＋c ，|PF 2|min＝c －a .3．同支的焦点弦中最短的为通径(过焦点且垂直于长轴的弦)，其长为2b 2a ；异支的弦中最短的为实轴，其长为2a .4．若P 是双曲线上不同于实轴两端点的任意一点，F 1，F 2分别为双曲线的左、右焦点，则S △PF 1F 2＝b 2tan θ2，其中θ为∠F 1PF 2.5．若P 是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)右支上不同于实轴端点的任意一点，F 1，F 2分别为双曲线的左、右焦点，I 为△PF 1F 2内切圆的圆心，则圆心I 的横坐标为定值a .6．等轴双曲线(1)定义：中心在原点，以坐标轴为对称轴，实半轴长与虚半轴长相等的双曲线叫做等轴双曲线．(2)性质：①a ＝b ；②e ＝2；③渐近线互相垂直；④等轴双曲线上任意一点到中心的距离是它到两焦点距离的等比中项．7．共轭双曲线(1)定义：如果一条双曲线的实轴和虚轴分别是另一条双曲线的虚轴和实轴，那么这两条双曲线互为共轭双曲线．(2)性质：①它们有共同的渐近线；②它们的四个焦点共圆；③它们的离心率的倒数的平方和等于1.[小题查验基础]一、判断题(对的打“√”，错的打“×”)(1)平面内到点F 1(0,4)，F 2(0，－4)距离之差的绝对值等于8的点的轨迹是双曲线．( ) (2)方程x 2m －y 2n ＝1(mn ＞0)表示焦点在x 轴上的双曲线．( )(3)双曲线方程x 2m 2－y 2n 2＝λ(m ＞0，n ＞0，λ≠0)的渐近线方程是x 2m 2－y 2n 2＝0，即x m ±yn ＝0.( ) (4)若双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)与x 2b 2－y 2a 2＝1(a ＞0，b ＞0)的离心率分别是e 1，e 2，则1e 21＋1e22＝1.()答案：(1)×(2)×(3)√(4)√二、选填题1．双曲线2x2－y2＝8的实轴长是()A．2B．2 2C．4 D．4 2解析：选C双曲线2x2－y2＝8的标准方程为x24－y28＝1，故实轴长为4.2．若双曲线方程为x2－2y2＝1，则它的右焦点坐标为()A.⎝⎛⎭⎫22，0B.⎝⎛⎭⎫52，0C.⎝⎛⎭⎫62，0D．(3，0)解析：选C∵原方程可化为x21－y212＝1，∴a2＝1，b2＝12，∴c2＝a2＋b2＝32，∴右焦点坐标为⎝⎛⎭⎫62，0.3．若方程x22＋m－y2m＋1＝1表示双曲线，则m的取值范围是________.解析：因为方程x22＋m－y2m＋1＝1表示双曲线，所以(2＋m)(m＋1)＞0，即m＞－1或m＜－2.答案：(－∞，－2)∪(－1，＋∞)4．若双曲线x2－y2m＝1的离心率为3，则实数m＝________.解析：由已知可得a＝1，c＝1＋m，所以e＝ca＝1＋m＝3，解得m＝2.答案：25．双曲线C的焦点分别为(－6,0)，(6,0)，且经过点(－5,2)，则该双曲线的标准方程为____________________．解析：由题意得2a＝|(－5＋6)2＋22－(－5－6)2＋22|＝45，所以a＝25，又c＝6，所以b2＝c2－a2＝36－20＝16，所以双曲线的标准方程为x 220－y 216＝1.答案：x 220－y 216＝1考点一双曲线的标准方程[基础自学过关][题组练透]1．(2019·绵阳联考)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的渐近线方程为y ＝±34x ，且其右焦点为(5,0)，则双曲线C 的标准方程为( )A.x 29－y 216＝1 B.x 216－y 29＝1 C.x 23－y 24＝1 D.x 24－y 23＝1 解析：选B 由题意得b a ＝34，c 2＝a 2＋b 2＝25，所以a ＝4，b ＝3，所以所求双曲线的标准方程为x 216－y 29＝1.2．与椭圆x 24＋y 2＝1共焦点且过点P (2,1)的双曲线标准方程是( )A.x 24－y 2＝1 B.x 22－y 2＝1 C.x 23－y 23＝1 D ．x 2－y 22＝1解析：选B 法一：椭圆x 24＋y 2＝1的焦点坐标是(±3，0)．设双曲线标准方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)，因为双曲线过点P (2,1)，所以4a 2－1b2＝1，又a 2＋b 2＝3，解得a 2＝2，b 2＝1，所以所求双曲线标准方程是x 22－y 2＝1.法二：设所求双曲线标准方程为x 24－λ＋y 21－λ＝1(1＜λ＜4)，将点P (2,1)的坐标代入可得44－λ＋11－λ＝1，解得λ＝2(λ＝－2舍去)，所以所求双曲线标准方程为x 22－y 2＝1.3．过双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的右顶点作x 轴的垂线，与C 的一条渐近线相交于点A .若以C 的右焦点F 为圆心、半径为4的圆经过A ，O 两点(O 为坐标原点)，则双曲线C 的标准方程为( )A.x 24－y 212＝1 B.x 27－y 29＝1 C.x 28－y 28＝1 D.x 212－y 24＝1 解析：选A 因为渐近线y ＝ba x 与直线x ＝a 交于点A (a ，b )，c ＝4且(4－a )2＋b 2＝4，解得a 2＝4，b 2＝12，因此双曲线的标准方程为x 24－y 212＝1.4．经过点P (3,27)，Q (－62，7)的双曲线的标准方程为____________．解析：设双曲线方程为mx 2＋ny 2＝1(mn ＜0)，因为所求双曲线经过点P (3,27)，Q (－62，7)，所以⎩⎪⎨⎪⎧9m ＋28n ＝1，72m ＋49n ＝1，解得⎩⎨⎧m ＝－175，n ＝125.故所求双曲线标准方程为y 225－x 275＝1.答案：y 225－x 275＝15．焦点在x 轴上，焦距为10，且与双曲线y 24－x 2＝1有相同渐近线的双曲线的标准方程是________________．解析：设所求双曲线的标准方程为y 24－x 2＝－λ(λ＞0)，即x 2λ－y 24λ＝1，则有4λ＋λ＝25，解得λ＝5，所以所求双曲线的标准方程为x 25－y 220＝1.答案：x 25－y 220＝1[名师微点]求双曲线标准方程的2种方法(1)待定系数法：设出双曲线方程的标准形式，根据已知条件，列出参数a ，b ，c 的方程并求出a ，b ，c 的值．与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1有相同渐近线时，可设所求双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝λ(λ≠0)．(2)定义法：依定义得出距离之差的等量关系式，求出a 的值，由定点位置确定c 的值． [提醒] 求双曲线的标准方程时，若焦点位置不确定，要注意分类讨论．也可以设双曲线方程为mx 2＋ny 2＝1(mn ＜0)求解．(如第4题)考点二双曲线的定义及其应用 [师生共研过关][典例精析](1)已知圆C 1：(x ＋3)2＋y 2＝1和圆C 2：(x －3)2＋y 2＝9，动圆M 同时与圆C 1及圆C 2相外切，则动圆圆心M 的轨迹方程为____________________．(2)已知F 1，F 2为双曲线C ：x 2－y 2＝2的左、右焦点，点P 在C 上，|PF 1|＝2|PF 2|，则cos ∠F 1PF 2＝________.(3)已知F 是双曲线x 24－y 212＝1的左焦点，A (1,4)，P 是双曲线右支上的一动点，则|PF |＋|PA |的最小值为________．[解析] (1)如图所示，设动圆M 与圆C 1及圆C 2分别外切于点A 和点B ，根据两圆外切的充要条件，得|MC 1|－|AC 1|＝|MA |， |MC 2|－|BC 2|＝|MB |. 因为|MA |＝|MB |，所以|MC 2|－|MC 1|＝|BC 2|－|AC 1|＝3－1＝2＜6.这表明动点M 到两定点C 2，C 1的距离的差是常数2且小于|C 1C 2|.根据双曲线的定义知，动点M 的轨迹为双曲线的左支(点M 到C 2的距离大，到C 1的距离小)，且a ＝1，c ＝3，则b 2＝8，设点M 的坐标为(x ，y )，则其轨迹方程为x 2－y 28＝1(x ≤－1)．(2)∵由双曲线的定义有|PF 1|－|PF 2|＝2a ＝22， |PF 1|＝2|PF 2|，∴|PF 1|＝42，|PF 2|＝22，则cos ∠F 1PF 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22|PF 1|·|PF 2|＝(42)2＋(22)2－422×42×22＝34.(3)因为F 是双曲线x 24－y 212＝1的左焦点，所以F (－4,0)，设其右焦点为H (4,0)，则由双曲线的定义可得|PF |＋|PA |＝2a ＋|PH |＋|PA |≥2a ＋|AH |＝4＋(4－1)2＋(0－4)2＝4＋5＝9.[答案] (1)x 2－y 28＝1(x ≤－1) (2)34(3)9[解题技法]双曲线定义的应用策略(1)根据动点与两定点的距离的差判断动点的轨迹是否为双曲线．(2)利用双曲线的定义解决与双曲线的焦点有关的问题，如最值问题、距离问题．(3)利用双曲线的定义解决问题时应注意三点：①距离之差的绝对值；②2a ＜|F 1F 2|；③焦点所在坐标轴的位置．[过关训练]1．(2019·唐山模拟)已知F 1，F 2是双曲线x 24－y 2＝1的两个焦点，P 在双曲线上，且满足∠F 1PF 2＝90°，则△F 1PF 2的面积为( )A ．1 B.52C ．2D. 5解析：选A 不妨设|PF 1|＝m ，|PF 2|＝n ，则由双曲线的定义可知||PF 1|－|PF 2||＝|m －n |＝4.又因为∠F 1PF 2＝90°，所以|PF 1|2＋|PF 2|2＝(2c )2＝20，即m 2＋n 2＝20.又||PF 1|－|PF 2||2＝|m －n |2＝16，所以mn ＝2.所以△F 1PF 2的面积为S ＝12mn ＝1，故选A.2．已知△ABC 的顶点A (－5,0)，B (5,0)，△ABC 内切圆的圆心在直线x ＝2上，则顶点C 的轨迹方程是( )A.x 24－y 221＝1(x ＞2) B.y 24－x 221＝1(y ＞2) C.x 221－y 24＝1 D.y 24－x 22＝1解析：选A 如图，△ABC 与内切圆的切点分别为G ，E ，F . |AG |＝|AE |＝7，|BF |＝|BG |＝3，|CE |＝|CF |，所以|CA |－|CB |＝7－3＝4.根据双曲线定义，所求轨迹是以A ，B 为焦点，实轴长为4的双曲线的右支，方程为x 24－y 221＝1(x ＞2)．考点三双曲线的几何性质[全析考法过关][考法全析]考法(一) 求双曲线的离心率(或范围)[例1] (1)已知点F 是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左焦点，点E 是该双曲线的右顶点，过F 作垂直于x 轴的直线与双曲线交于A ，B 两点，若△ABE 是锐角三角形，则该双曲线的离心率e 的取值范围是( )A ．(1，＋∞)B ．(1,2)C ．(2,1＋2)D ．(1,1＋2)(2)设双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左焦点为F ，直线4x －3y ＋20＝0过点F 且与双曲线C 在第二象限的交点为P ，O 为原点，|OP |＝|OF |，则双曲线C 的离心率为( )A ．5 B. 5 C.53D.54[解析] (1)若△ABE 是锐角三角形，只需∠AEF ＜45°，在Rt △AFE 中，|AF |＝b 2a ，|FE |＝a ＋c ，则b 2a ＜a ＋c ，即b 2＜a 2＋ac ，即2a 2－c 2＋ac ＞0，则e 2－e －2＜0，解得－1＜e ＜2，又e ＞1，则1＜e ＜2，故选B.(2)根据直线4x －3y ＋20＝0与x 轴的交点F 为(－5,0)，可知半焦距c ＝5，设双曲线C 的右焦点为F 2，连接PF 2，根据|OF 2|＝|OF |且|OP |＝|OF |可得，△PFF 2为直角三角形，如图，过点O 作OA 垂直于直线4x －3y ＋20＝0，垂足为A ，则易知OA 为△PFF 2的中位线，又原点O 到直线4x －3y ＋20＝0的距离d ＝4，所以|PF 2|＝2d ＝8，|PF |＝|FF 2|2－|PF 2|2＝6，故结合双曲线的定义可知|PF 2|－|PF |＝2a ＝2，所以a ＝1，故e ＝ca＝5.[答案] (1)B (2)A考法(二) 求双曲线的渐近线[例2] (2019·武汉调研)已知双曲线C ：x 2m 2－y 2n 2＝1(m ＞0，n ＞0)的离心率与椭圆x 225＋y 216＝1的离心率互为倒数，则双曲线C 的渐近线方程为( )A ．4x ±3y ＝0B ．3x ±4y ＝0C ．4x ±3y ＝0或3x ±4y ＝0D ．4x ±5y ＝0或5x ±4y ＝0[解析] 由题意知，椭圆中a 2＝25，b 2＝16，∴椭圆的离心率e ＝ 1－b 2a 2＝35， ∴双曲线的离心率为 1＋n 2m 2＝53，∴n m ＝43，∴双曲线的渐近线方程为y ＝±n m x ＝±43x ，即4x ±3y ＝0.故选A.[答案] A考法(三) 求双曲线的方程[例3] 已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左焦点为F ，离心率为 2.若经过F 和P (0,4)两点的直线平行于双曲线的一条渐近线，则双曲线的方程为( )A.x 24－y 24＝1 B.x 28－y 28＝1C.x 24－y 28＝1 D.x 28－y 24＝1 [解析] 由离心率为2，可知a ＝b ，c ＝2a ，所以F (－2a ,0)，由题意知k PF ＝4－00－(－2a )＝42a ＝1，所以2a ＝4，解得a ＝22，所以双曲线的方程为x 28－y 28＝1.[答案] B[规律探求][过关训练]1．(2018·全国卷Ⅱ)双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的离心率为3，则其渐近线方程为( )A ．y ＝±2xB ．y ＝±3xC ．y ＝±22xD ．y ＝±32x解析：选A ∵e ＝ca ＝a 2＋b 2a ＝3， ∴a 2＋b 2＝3a 2，∴b ＝2a . ∴渐近线方程为y ＝±2x .2．(2018·全国卷Ⅲ)设F 1，F 2是双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点，O 是坐标原点．过F 2作C 的一条渐近线的垂线，垂足为P .若|PF 1|＝6|OP |，则C 的离心率为( )A. 5B.2C. 3D. 2解析：选C 不妨设一条渐近线的方程为y ＝ba x ，则F 2到y ＝ba x 的距离d ＝|bc |a 2＋b 2＝b . 在Rt △F 2PO 中，|F 2O |＝c ，所以|PO |＝a ，所以|PF 1|＝6a ，又|F 1O |＝c ，所以在△F 1PO 与Rt △F 2PO 中，根据余弦定理得cos ∠POF 1＝a 2＋c 2－(6a )22ac ＝－cos ∠POF 2＝－ac ，即3a 2＋c 2－(6a )2＝0，得3a 2＝c 2，所以e ＝ca＝ 3.3．已知M (x 0，y 0)是双曲线C ：x 22－y 2＝1上的一点，F 1，F 2是双曲线C 的两个焦点．若MF 1―→·MF 2―→＜0，则y 0的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫－33，33 B.⎝⎛⎭⎫－36，36 C.⎝⎛⎭⎫－223，223D.⎝⎛⎭⎫－233，233解析：选A 由题意知a ＝2，b ＝1，c ＝3，设F 1(－3，0)，F 2(3，0)，则MF 1―→＝(－3－x 0，－y 0)， MF 2―→＝(3－x 0，－y 0)． ∵MF 1―→·MF 2―→＜0，∴(－3－x 0)(3－x 0)＋y 20＜0，即x 20－3＋y 20＜0.∵点M (x 0，y 0)在双曲线C 上， ∴x 202－y 20＝1，即x 20＝2＋2y 20， ∴2＋2y 20－3＋y 20＜0，∴－33＜y 0＜33.。

高考数学一轮复习统考第9章平面解析几何第6讲双曲线课时作业(含解析)北师大版-北师大版高三全

双曲线课时作业1．双曲线x 236－m 2－y 2m2＝1(0<m <3)的焦距为()A ．6B ．12C ．36D ．236－2m 2答案 B解析 c 2＝36－m 2＋m 2＝36，∴c ＝6.双曲线的焦距为12. 2．双曲线8kx 2－ky 2＝8的一个焦点是(0,3)，则k 的值是() A ．1 B ．－1 C ．653D ．－63答案 B解析 ∵双曲线8kx 2－ky 2＝8，焦点在y 轴上，∴双曲线的标准方程为y 2－8k －x 2－1k＝1，又c ＝3，∴－8k －1k＝9，解得k ＝－1.3．(2019·某某永州模拟)焦点是(0，±2)，且与双曲线x 23－y 23＝1有相同的渐近线的双曲线的方程是()A ．x 2－y 23＝1B ．y 2－x 23＝1C ．x 2－y 2＝2 D ．y 2－x 2＝2答案 D解析由已知，双曲线焦点在y 轴上，且为等轴双曲线，故选D ．4．(2019·某某凌源联考)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的顶点(a,0)到渐近线y＝b a x 的距离为b2，则双曲线C 的离心率是() A ．2 B ．3 C ．4 D ．5答案 A解析因为顶点(a,0)到渐近线y ＝bax 的距离d ＝ab a 2＋b2＝b 2，所以a c ＝12，所以e ＝ca ＝2.故选A ．5．(2019·某某滕州月考)已知双曲线x 225－y 29＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，若双曲线的左支上有一点M 到右焦点F 2的距离为18，N 是MF 2的中点，O 为坐标原点，则|NO |等于()A ．23B ．1C ．2D ．4答案 D解析由双曲线x 225－y 29＝1，知a ＝5，由双曲线定义，得|MF 2|－|MF 1|＝2a ＝10，得|MF 1|＝8，所以|NO |＝12|MF 1|＝4.6．虚轴长为2，离心率e ＝3的双曲线的两焦点为F 1，F 2，过F 1作直线交双曲线的一支于A ，B 两点，且|AB |＝8，则△ABF 2的周长为()A ．3B ．16＋ 2C ．12＋ 2D ．24答案 B解析由于2b ＝2，e ＝c a＝3，∴b ＝1，c ＝3a ， ∴9a 2＝a 2＋1，∴a ＝24. 由双曲线的定义知，|AF 2|－|AF 1|＝2a ＝22，① |BF 2|－|BF 1|＝22，② 由①＋②，得|AF 2|＋|BF 2|－(|AF 1|＋|BF 1|)＝2，又|AF 1|＋|BF 1|＝|AB |＝8， ∴|AF 2|＋|BF 2|＝8＋2，则△ABF 2的周长为16＋2，故选B ．7．(2019·全国卷Ⅲ)已知F 是双曲线C ：x 24－y 25＝1的一个焦点，点P 在C 上，O 为坐标原点．若|OP |＝|OF |，则△OPF 的面积为()A ．32B ．52C ．72D ．92答案 B解析由F 是双曲线x 24－y 25＝1的一个焦点，知|OF |＝3，所以|OP |＝|OF |＝3.不妨设点P在第一象限，P (x 0，y 0)，x 0>0，y 0>0，则⎩⎪⎨⎪⎧x 20＋y 20＝3，x 204－y 205＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 20＝569，y 20＝259，所以P ⎝⎛⎭⎪⎫2143，53，所以S △OPF ＝12|OF |·y 0＝12×3×53＝52.故选B ．8．过双曲线x 2a 2－y 23＝1(a >0)的右焦点F 作直线l 与双曲线交于A ，B 两点，使得|AB |＝6，若这样的直线有且只有两条，则a 的取值X 围是()A ．(0,1]∪(3，＋∞)B ．(0,1)∪(3，＋∞)C ．(0,1)D ．(3，＋∞)答案 B解析若A ，B 在同一支上，则有|AB |min ＝2b 2a ＝6a；若A ，B 不在同一支上，则|AB |min ＝2a .依题意，得6a 与2a 不可能同时等于6，所以⎩⎪⎨⎪⎧2a >6，6a <6或⎩⎪⎨⎪⎧2a <6，6a>6，解得a >3或0<a <1，故选B ．9．已知点P 在曲线C 1：x 216－y 29＝1上，点Q 在曲线C 2：(x －5)2＋y 2＝1上，点R 在曲线C 3：(x ＋5)2＋y 2＝1上，则|PQ |－|PR |的最大值是()A ．6B ．8C ．10D ．12答案 C解析由题意可知点C 3，C 2分别是双曲线C 1：x 216－y 29＝1的左、右焦点，点P 在双曲线的左支上，则|PC 2|－|PC 3|＝8.|PQ |max ＝|PC 2|＋1，|PR |min ＝|PC 3|－1，所以|PQ |－|PR |的最大值为(|PC 2|＋1)－(|PC 3|－1)＝|PC 2|－|PC 3|＋2＝8＋2＝10.故选C ．10．(2019·某某豫南、豫北联考)已知直线y ＝x ＋1与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)交于A ，B 两点，且线段AB 的中点M 的横坐标为1，则该双曲线的离心率为()A ． 2B ． 3C ．2D ． 5答案 B解析由题意得M (1,2)．设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，分别代入双曲线方程，两式相减并整理得y 21－y 22x 21－x 22＝b 2a2＝k AB ·k OM ＝2.∴b 2＝2a 2，即c 2－a 2＝2a 2，∴e ＝ 3.故选B ．11．(2020·某某某某联考)已知双曲线x 24－y 22＝1的右焦点F ，P 为双曲线左支上一点，点A (0，2)，则△APF 的周长的最小值为()A ．4＋ 2B ．4(1＋2)C ．2(2＋6)D ．6＋3 2答案 B解析双曲线x 24－y 22＝1的右焦点为F (6，0)，设其左焦点为F ′.△APF 的周长l ＝|AF |＋|AP |＋|PF |＝|AF |＋|AP |＋2a ＋|PF ′|，要使△APF 周长最小，只需|AP |＋|PF ′|最小．如图，当A ，P ，F ′三点共线时l 取到最小值，且l min ＝2|AF |＋2a ＝4(1＋2)．故选B ．12．(2018·全国卷Ⅲ)设F 1，F 2是双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点，O 是坐标原点．过F 2作C 的一条渐近线的垂线，垂足为P .若|PF 1|＝6|OP |，则C 的离心率为()A ． 5B ．2C ． 3D ． 2答案 C解析由题可知|PF 2|＝b ，|OF 2|＝c ，∴|PO |＝a . 在Rt △POF 2中，cos ∠PF 2O ＝|PF 2||OF 2|＝bc， ∵在△PF 1F 2中，cos ∠PF 2O ＝|PF 2|2＋|F 1F 2|2－|PF 1|22|PF 2||F 1F 2|＝bc，∴b 2＋4c 2－(6a )22b ·2c ＝b c⇒c 2＝3a 2，∴e ＝ 3.故选C ．13．已知双曲线过点(4，3)，且渐近线方程为y ＝±12x ，则该双曲线的标准方程为________．答案x 24－y 2＝1解析根据渐近线方程为x ±2y ＝0，可设双曲线方程为x 2－4y 2＝λ(λ≠0)．因为双曲线过点(4，3)，所以42－4×(3)2＝λ，即λ＝4.故双曲线的标准方程为x 24－y 2＝1.14．已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过点F 2作与x 轴垂直的直线与双曲线一个交点为P ，且∠PF 1F 2＝π6，则双曲线的渐近线方程为________．答案 y ＝±2x解析根据已知可得，|PF 2|＝b 2a 且|PF 1|＝2b 2a ，故2b 2a －b 2a ＝2a ，所以b 2a 2＝2，ba＝2，双曲线的渐近线方程为y ＝±2x .15．(2019·全国卷Ⅰ)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线与C 的两条渐近线分别交于A ，B 两点．若＝，·＝0，则C 的离心率为________．答案 2解析解法一：由＝，得A 为F 1B 的中点．又O 为F 1F 2的中点，∴OA ∥BF 2. 又·＝0，∴∠F 1BF 2＝90°. ∴|OF 2|＝|OB |，∴∠OBF 2＝∠OF 2B ．又∠F 1OA ＝∠BOF 2，∠F 1OA ＝∠OF 2B ， ∴∠BOF 2＝∠OF 2B ＝∠OBF 2， ∴△OBF 2为等边三角形．如图1所示，∵点B 在直线y ＝－bax 上，∴－b a ＝－3，∴离心率e ＝c a＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a2＝2.解法二：∵·＝0，∴∠F 1BF 2＝90°.在Rt △F 1BF 2中，O 为F 1F 2的中点，∴|OF 2|＝|OB |＝c . 如图2，作BH ⊥x 轴于H ，由l 1为双曲线的渐近线，可得|BH ||OH |＝b a ，且|BH |2＋|OH |2＝|OB |2＝c 2，∴|BH |＝b ，|OH |＝a ，∴B (a ，－b )，F 2(c,0)．又＝，∴A 为F 1B 的中点． ∴OA ∥F 2B ，∴b a ＝bc －a，∴c ＝2a ，∴离心率e ＝c a＝2.16．(2020·某某摸底)已知F 1，F 2分别为双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点，且|F 1F 2|＝2b2a，P 为双曲线C 右支上一点，I 为△PF 1F 2的内心，若S △IPF 1＝S △IPF 2＋λS △IF 1F 2成立，则双曲线的离心率为________，λ的值为________．答案5＋125－12解析由F 1，F 2分别为双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点，且|F 1F 2|＝2b2a，可得2c ＝2b 2a ＝2c 2－2a 2a ，化简得e 2－e －1＝0.∴e >1，∴e ＝1＋52.设△PF 1F 2的内切圆半径为r ，由双曲线的定义得|PF 1|－|PF 2|＝2a ，|F 1F 2|＝2c ，S △IPF 1＝12|PF 1|·r ，S △IPF 2＝12|PF 2|·r ，S △IF 1F 2＝12·2c ·r ＝cr ，由S △IPF 1＝S △IPF 2＋λS △IF 1F 2得，12|PF 1|·r ＝12·|PF 2|·r＋λcr ，故λ＝|PF 1|－|PF 2|2c ＝a c ＝11＋52＝5－12.17．(2019·某某崇明模拟)已知点F 1，F 2为双曲线C ：x 2－y 2b2＝1的左、右焦点，过F 2作垂直于x 轴的直线，在x 轴上方交双曲线C 于点M ，∠MF 1F 2＝30°.(1)求双曲线C 的方程；(2)过双曲线C 上任意一点P 作该双曲线两条渐近线的垂线，垂足分别为P 1，P 2，求·的值．解 (1)设F 2，M 的坐标分别为(1＋b 2，0)，(1＋b 2，y 0)(y 0>0)，因为点M 在双曲线C 上，所以1＋b 2－y 20b2＝1，则y 0＝b 2，所以|MF 2|＝b 2.在Rt △MF 2F 1中，∠MF 1F 2＝30°，|MF 2|＝b 2，所以|MF 1|＝2b 2.由双曲线的定义可知，|MF 1|－|MF 2|＝b 2＝2，故双曲线C 的方程为x 2－y 22＝1.(2)由条件可知，两条渐近线分别为l 1：2x －y ＝0，l 2：2x ＋y ＝0.设双曲线C 上的点P (x 0，y 0)，两条渐近线的夹角为θ，由题意知cos θ＝13.则点P 到两条渐近线的距离分别为 |PP 1|＝|2x 0－y 0|3，|PP 2|＝|2x 0＋y 0|3.因为P (x 0，y 0)在双曲线C ：x 2－y 22＝1上，所以2x 20－y 20＝2.所以·＝|2x 0－y 0|3·|2x 0＋y 0|3·cos θ＝|2x 20－y 20|3·13＝29.18．已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的右焦点为F (c,0)．(1)若双曲线的一条渐近线方程为y ＝x 且c ＝2，求双曲线的方程；(2)以原点O 为圆心，c 为半径作圆，该圆与双曲线在第一象限的交点为A ，过A 作圆的切线，斜率为－3，求双曲线的离心率．解 (1)∵双曲线的渐近线为y ＝±b ax ，∴a ＝b ， ∴c 2＝a 2＋b 2＝2a 2＝4，∴a 2＝b 2＝2， ∴双曲线方程为x 22－y 22＝1.(2)设点A 的坐标为(x 0，y 0)，∴直线AO 的斜率满足y 0x 0·(－3)＝－1， ∴x 0＝3y 0，①依题意，圆的方程为x 2＋y 2＝c 2，将①代入圆的方程，得3y 20＋y 20＝c 2，即y 0＝12c ，∴x 0＝32c ，∴点A 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫32c ，c 2，将其代入双曲线方程，得34c 2a 2－14c 2b 2＝1，即34b 2c2－14a 2c 2＝a 2b 2.② 又a 2＋b 2＝c 2，∴将b 2＝c 2－a 2代入②式，整理得34c 4－2a 2c 2＋a 4＝0，∴3⎝ ⎛⎭⎪⎫c a 4－8⎝ ⎛⎭⎪⎫c a 2＋4＝0，∴(3e 2－2)(e 2－2)＝0. ∵e >1，∴e ＝2，∴双曲线的离心率为 2.19．(2019·某某模拟)已知点M (－2,0)，N (2,0)，动点P 满足条件|PM |－|PN |＝22，记动点P 的轨迹为W .(1)求W 的方程；(2)若A 和B 是W 上的不同两点，O 是坐标原点，求·的最小值．解 (1)由|PM |－|PN |＝22知动点P 的轨迹是以M ，N 为焦点的双曲线的右支，半实轴长a ＝ 2.又焦距2c ＝4，所以半虚轴长b ＝c 2－a 2＝ 2. 所以W 的方程为x 22－y 22＝1(x ≥2)．(2)设A ，B 的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)．当AB ⊥x 轴时，x 1＝x 2，y 1＝－y 2，从而·＝x 1x 2＋y 1y 2＝x 21－y 21＝2.当AB 与x 轴不垂直时，设直线AB 的方程为y ＝kx ＋m (k ≠±1)，与W 的方程联立，消去y 得(1－k 2)x 2－2kmx －m 2－2＝0，则x 1＋x 2＝2km 1－k 2，x 1x 2＝m 2＋2k 2－1，所以·＝x 1x 2＋y 1y 2 ＝x 1x 2＋(kx 1＋m )(kx 2＋m ) ＝(1＋k 2)x 1x 2＋km (x 1＋x 2)＋m 2＝(1＋k 2)(m 2＋2)k 2－1＋2k 2m 21－k2＋m 2＝2k 2＋2k 2－1＝2＋4k 2－1. 又因为x 1x 2>0，所以k 2－1>0.所以·>2. 综上所述，当AB ⊥x 轴时，·取得最小值2.20．已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为(2,0)，右顶点为(3，0)． (1)求双曲线C 的方程；(2)若直线y ＝kx ＋m (k ≠0，m ≠0)与双曲线C 交于不同的两点M ，N ，且线段MN 的垂直平分线过点A (0，－1)，某某数m 的取值X 围．解 (1)设双曲线方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)．由已知，得a ＝3，c ＝2.由a 2＋b 2＝c 2，得b 2＝1. 故双曲线C 的方程为x 23－y 2＝1.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 23－y 2＝1，得(1－3k 2)x 2－6kmx －3m 2－3＝0.∵直线与双曲线有两个不同的交点，∴⎩⎪⎨⎪⎧1－3k 2≠0，Δ＝12(m 2＋1－3k 2)>0，可得m 2>3k 2－1且k 2≠13.①设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，线段MN 的中点为B (x 0，y 0)．则x 1＋x 2＝6km 1－3k 2，x 0＝x 1＋x 22＝3km1－3k2，y 0＝kx 0＋m ＝m1－3k2.由题意，知AB ⊥MN ，∴k AB ＝m1－3k 2＋13km 1－3k2＝－1k(k ≠0，m ≠0)，整理得3k 2＝4m ＋1.②将②代入①，得m 2－4m >0，∴m <0或m >4. 又3k 2＝4m ＋1>0(k ≠0)，∴m >－14，又k 2≠13，∴m ≠0，∴m 的取值X 围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，0∪(4，＋∞)．。

高三数学一轮复习第九章平面解析几何第六节双曲线夯基提能作业本文

第六节双曲线A组基础题组1.(2016安徽安庆二模)双曲线C:-=1(a>0,b>0)的一条渐近线方程为y=2x,则双曲线C的离心率是( )A. B. C.2 D.2.若实数k满足0<k<5,则曲线-=1与曲线-=1的( )A.实半轴长相等B.虚半轴长相等C.离心率相等D.焦距相等3.已知双曲线C:-=1(a>0,b>0)的离心率为,则C的渐近线方程为( )A.y=±xB.y=±xC.y=±xD.y=±x4.(2016天津,4,5分)已知双曲线-=1(a>0,b>0)的焦距为2,且双曲线的一条渐近线与直线2x+y=0垂直,则双曲线的方程为( )A.-y2=1B.x2-=1C.-=1D.-=15.(2016课标全国Ⅱ,11,5分)已知F1,F2是双曲线E:-=1的左,右焦点,点M在E上,MF1与x轴垂直,sin∠MF2F1=,则E的离心率为( )A. B. C. D.26.设双曲线-=1(a>0,b>0)的右焦点是F,左,右顶点分别是A1,A2,过F作A1A2的垂线与双曲线交于B,C 两点.若A1B⊥A2C,则该双曲线的渐近线的斜率为( )A.±B.±C.±1D.±7.(2016北京,12,5分)已知双曲线-=1(a>0,b>0)的一条渐近线为2x+y=0,一个焦点为(,0),则a= ;b= .8.设F1、F2分别是双曲线x2-=1的左、右焦点,A是双曲线上在第一象限内的点,若|AF2|=2且∠F1AF2=45°,延长AF2交双曲线右支于点B,则△F1AB的面积等于.9.中心在原点,焦点在x轴上的椭圆与双曲线有共同的焦点F1,F2,且|F1F2|=2,椭圆的长半轴长与双曲线实半轴长之差为4,离心率之比为3∶7.(1)求椭圆和双曲线的方程;(2)若P为该椭圆与双曲线的一个交点,求cos∠F1PF2的值.10.已知双曲线的中心在原点,左、右焦点F1、F2在坐标轴上,离心率为,且过点(4,-).(1)求双曲线的方程;(2)若点M(3,m)在双曲线上,求证:²=0;(3)在(2)的条件下,求△F1MF2的面积.B组提升题组11.(2016课标全国Ⅰ,5,5分)已知方程-=1表示双曲线,且该双曲线两焦点间的距离为4,则n的取值范围是( )A.(-1,3)B.(-1,)C.(0,3)D.(0,)12.(2016江南十校联考(一))已知l是双曲线C:-=1的一条渐近线,P是l上的一点,F1,F2分别是C的左,右焦点,若²=0,则点P到x轴的距离为( )A. B. C.2 D.13.已知双曲线-=1与直线y=2x有交点,则双曲线离心率的取值范围为( )A.(1,)B.(1,]C.(,+∞)D.[,+∞)14.(2015课标Ⅰ,16,5分)已知F是双曲线C:x2-=1的右焦点,P是C的左支上一点,A(0,6).当△APF 周长最小时,该三角形的面积为.15.(2016浙江,13,4分)设双曲线x2-=1的左、右焦点分别为F1、F2.若点P在双曲线上,且△F1PF2为锐角三角形,则|PF1|+|PF2|的取值范围是.16.设A,B分别为双曲线-=1(a>0,b>0)的左,右顶点,双曲线的实轴长为4,焦点到渐近线的距离为.(1)求双曲线的方程;(2)已知直线y=x-2与双曲线的右支交于M,N两点,且在双曲线的右支上存在点D,使+=t,求t的值及点D的坐标.答案全解全析A组基础题组1.A 由双曲线C:-=1(a>0,b>0)的一条渐近线方程为y=2x,可得=2,∴e===.故选A.2.D 若0<k<5,则5-k>0,16-k>0,故方程-=1表示焦点在x轴上的双曲线,且实半轴的长为4,虚半轴的长为,焦距2c=2,离心率e=;方程-=1表示焦点在x轴上的双曲线,实半轴的长为,虚半轴的长为,焦距2c=2,离心率e=.可知两曲线的焦距相等.故选D.3.C 由双曲线的离心率e==可知=,而双曲线-=1(a>0,b>0)的渐近线方程为y=±x,故选C.4.A 由题意可得解得a=2,b=1,所以双曲线的方程为-y2=1,故选A.5.A 解法一:由MF1⊥x轴,可得M或M,∴|MF1|=.由sin∠MF2F1=,可得cos∠MF2F1==,又tan∠MF2F1==,∴=,∴b2=ac,∵c2=a2+b2⇒b2=c2-a2,∴c2-a2-ac=0⇒e2-e-1=0,∴e= (舍负).故选A.解法二:由MF1⊥x轴,得M或M,∴|MF1|=,由双曲线的定义可得|MF2|=2a+|MF1|=2a+,又sin∠MF2F1===⇒a2=b2⇒a=b,∴e==.故选A.6.C 不妨令B在x轴上方,因为BC过右焦点F(c,0),且垂直于A1A2,即x轴,所以可求得B,C两点的坐标分别为,,又A1,A2的坐标分别为(-a,0),(a,0),所以=,=,因为A1B⊥A2C,所以²=0,即(c+a)(c-a)-²=0,即c2-a2-=0,所以b2-=0,故=1,即=1,又双曲线的渐近线的斜率为±,故该双曲线的渐近线的斜率为±1.故选C.7.答案1;2解析由题可知双曲线焦点在x轴上,故渐近线方程为y=±x,又一条渐近线为2x+y=0,即y=-2x,∴=2,即b=2a.又∵该双曲线的一个焦点为(,0),∴c=.由a2+b2=c2可得a2+(2a)2=5,解得a=1,b=2.8.答案 4解析由题意可得|AF2|=2,|AF1|=4,则|AB|=|AF2|+|BF2|=2+|BF2|=|BF1|.又∠F1AF2=45°,所以△ABF1是以AF1为斜边的等腰直角三角形,所以其面积为³4³2=4. 9.解析(1)设椭圆的方程为+=1,双曲线的方程为-=1,则解得a=7,m=3,∴b=6,n=2.∴椭圆的方程为+=1,双曲线的方程为-=1.(2)不妨令F1、F2分别为左、右焦点,P是第一象限的一个交点,则|PF1|+|PF2|=14,|PF1|-|PF2|=6,所以|PF1|=10,|PF2|=4,又|F1F2|=2,∴cos∠F1PF2===.10.解析(1)∵e=,∴可设双曲线的方程为x2-y2=λ(λ≠0).∵双曲线过点(4,-),∴16-10=λ,即λ=6,∴双曲线的方程为x2-y2=6.(2)证法一:由(1)可知,双曲线中a=b=,∴c=2,∴F1(-2,0),F2(2,0),∴=,=,∴²==-.∵点M(3,m)在双曲线上,∴9-m2=6,m2=3,故²=-1,∴MF1⊥MF2,即²=0.证法二:由证法一知=(-3-2,-m),=(2-3,-m),∴²=(3+2)³(3-2)+m2=-3+m2,∵点M在双曲线上,∴9-m2=6,即m2-3=0,∴²=0.(3)△F1MF2的底|F1F2|=4,由(2)知m=±.∴△F1MF2的高h=|m|=,∴=6.B组提升题组11.A ∵原方程表示双曲线,且焦距为4,∴①或②由①得m2=1,n∈(-1,3).②无解.故选A.12.C 由题意知F1(-,0),F2(,0),不妨取l的方程为y=x,设点P(x0,x0),由²=(--x0,-x0)²(-x0,-x0)=3-6=0,得x0=±,故点P到x轴的距离为|x0|=2,故选C.13.C 双曲线的一条渐近线方程为y=x,由题意得>2,∴e==>=.14.答案12解析由已知得双曲线的右焦点F(3,0).设双曲线的左焦点为F',则F'(-3,0).由双曲线的定义及已知得|PF|=2a+|PF'|=2+|PF'|.△APF的周长最小,即|PA|+|PF|最小.|PA|+|PF|=|PA|+2+|PF'|≥|AF'|+2=17,即当A、P、F'三点共线时,△APF的周长最小.设P点坐标为(x0,y0),y0>0,由得+6y0-96=0,所以y0=2或y0=-8(舍去).所以当△APF的周长最小时,该三角形的面积S=³6³6-³6³2=12.15.答案(2,8)解析△PF1F2为锐角三角形,不妨设P在第一象限,P点在P1与P2之间运动(如图).当P在P1点处时,∠F1P1F2=90°,=|F1F2|²||=|P1F1|²|P1F2|.由|P1F1|2+|P1F2|2=|F1F2|2,|P1F1|-|P1F2|=2,得|P1F1|²|P1F2|=6,此时|PF1|+|PF2|=2.当P在P2点处时,∠P2F2F1=90°,∴=2,易知=3,此时|PF1|+|PF2|=2|PF2|+2=8,∴当△PF1F2为锐角三角形时,|PF1|+|PF2|∈(2,8).16.解析(1)由题意知a=2,∴一条渐近线方程为y=x,即bx-2y=0,∴=,∴b2=3,∴双曲线的方程为-=1.(2)设M(x1,y1),N(x2,y2),D(x0,y0),∵+=t,∴x1+x2=tx0,y1+y2=ty0,将直线方程代入双曲线方程得x2-16x+84=0,则x1+x2=16,所以y1+y2=12,∵点D在双曲线的右支上,∴解得∴t=4,点D的坐标为(4,3).。

高考数学一轮总复习第九章平面解析几何第六节双曲线课件

cm,则|AD|=(
A.12 10 cm
B.6 38 cm
C.38 cm
D.6 37 cm
)
答案 (1)B
(2)D
解析(1)由题可知 a2=3-m,b2=m,所以 c= 3.
1
因为|OP|=2|F1F2|,所以
PF1⊥PF2.
又∠PF1F2=30°,所以|PF1|=3,|PF2|= 3,
所以由双曲线的定义可知|PF1|-|PF2|=3- 3=2 3-,解得
3 3
m= 2 .故选
B.
(2)以双曲线的对称中心为坐标原点,建立平面直角坐标系xOy,如图所示.
因为双曲线的离心率为2,
2
所以可设双曲线的方程为 2

依题意可得 2a=30,则
−
2
=1(a>0).
2
3
2
a=15,即双曲线的方程为152
因为|AB|=36 cm,所以 A 的纵坐标为 18.
1 2
)
2.(多选)已知双曲线
2
C:12
−
A.实轴长是虚轴长的 2 倍
B.焦距为 8
C.离心率为 3
D.渐近线方程为 x± 3y=0
2
=1,下列对双曲线
4
C 的判断正确的是(
)
答案 BD
解析由双曲线
2
C:12
−
2
=1,可得
4
a2=12,b2=4,则 c2=a2+b2=16,
所以 a=2 3,b=2,c=4.所以选项 A 不正确,选项 B 正确;
当2a>|F1F2|时,动点的轨迹不存在;
当2a=0时,动点的轨迹是线段F1F2的中垂线.

2020版高考数学一轮复习第九章平面解析几何第6讲双曲线教案理(含解析)新人教A版(最新整理)

第6讲双曲线基础知识整合1．双曲线的概念平面内与两个定点F1，F2（|F1F2｜＝2c>0）的距离的差的绝对值为常数(小于|F1F2｜且不等于零)的点的轨迹叫做错误!双曲线．这两个定点叫做双曲线的错误!焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的错误!焦距．集合P＝{M|｜｜MF1|－|MF2｜｜＝2a}，|F1F2｜＝2c,其中a，c为常数且a〉0，c>0:（1）当错误!a〈c时，M点的轨迹是双曲线；(2）当错误!a＝c时，M点的轨迹是两条错误!射线；（3)当错误!a>c时,M点不存在．2．双曲线的标准方程和几何性质续表a,b,c的关系，错误!c2＝a2＋b2(c〉a>0,c〉b>0）双曲线中的几个常用结论（1）焦点到渐近线的距离为b.(2)实轴长和虚轴长相等的双曲线叫做等轴双曲线．（3）双曲线为等轴双曲线⇔双曲线的离心率e＝错误!⇔双曲线的两条渐近线互相垂直(位置关系）．(4)过双曲线的一个焦点且与实轴垂直的弦的长为错误!.（5)双曲线的离心率公式可表示为e＝错误!。

1．（2018·浙江高考）双曲线错误!－y2＝1的焦点坐标是( ）A．（－错误!，0),(错误!,0) B．（－2，0），（2，0)C．（0，－错误!），(0，错误!）D．（0，－2)，(0，2）答案 B解析因为双曲线方程为错误!－y 2＝1，所以焦点坐标可设为(±c,0)，因为c 2＝a 2＋b 2＝3＋1＝4,c ＝2,所以焦点坐标为(±2,0）,选B 。

2．(2019·宁夏模拟)设P 是双曲线错误!－错误!＝1上一点,F 1,F 2分别是双曲线的左、右焦点，若｜PF 1|＝9，则|PF 2｜等于( ）A ．1B ．17C ．1或17D ．以上均不对答案 B解析根据双曲线的定义得||PF 1|－|PF 2|｜＝8⇒｜PF 2｜＝1或17.又|PF 2|≥c －a ＝2，故|PF 2|＝17，故选B 。

高三数学一轮复习课时作业4：§9.6 双曲线

§9.6 双曲线A 组专项基础训练(时间：45分钟)1．(2013·北京)若双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的离心率为3，则其渐近线方程为( ) A ．y ＝±2xB ．y ＝±2xC ．y ＝±12x D ．y ＝±22x 答案 B解析由e ＝3，知c ＝3a ，得b ＝2a .∴渐近线方程为y ＝±b ax ，y ＝±2x . 2．(2013·湖北)已知0<θ<π4，则双曲线C 1：x 2sin 2θ－y 2cos 2θ＝1与C 2：y 2cos 2θ－x 2sin 2θ＝1的( ) A ．实轴长相等B ．虚轴长相等C ．离心率相等D ．焦距相等答案 D解析双曲线C 1、C 2的焦距均为2sin 2θ＋cos 2θ＝2. 3．设直线l 过双曲线C 的一个焦点，且与C 的一条对称轴垂直，l 与C 交于A ，B 两点，|AB |为C 的实轴长的2倍，则C 的离心率为( )A. 2B. 3 C ．2 D ．3答案 B解析设双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，由于直线l 过双曲线的焦点且与对称轴垂直，因此直线l 的方程为：x ＝c 或x ＝－c ，代入x 2a 2－y 2b 2＝1得y 2＝b 2(c 2a 2－1)＝b 4a 2，∴y ＝±b 2a，故|AB |＝2b 2a ，依题意2b 2a＝4a ， ∴b 2a 2＝2，∴c 2－a 2a 2＝e 2－1＝2，∴e ＝ 3. 4．(2014·江西)过双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1的右顶点作x 轴的垂线，与C 的一条渐近线相交于点A .若以C 的右焦点为圆心、半径为4的圆经过A ，O 两点(O 为坐标原点)，则双曲线C 的方程为( )A.x 24－y 212＝1 B.x 27－y 29＝1 C.x 28－y 28＝1 D.x 212－y 24＝1 答案 A 解析由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝a ，y ＝－b a x ，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ，y ＝－b ，∴A (a ，－b )．由题意知右焦点到原点的距离为c ＝4， ∴(a －4)2＋(－b )2＝4，即(a －4)2＋b 2＝16.而a 2＋b 2＝16，∴a ＝2，b ＝2 3.∴双曲线C 的方程为x 24－y 212＝1. 5．已知点F 是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左焦点，点E 是该双曲线的右顶点，过F 且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A 、B 两点，若△ABE 是锐角三角形，则该双曲线的离心率e 的取值范围是( )A ．(1，＋∞)B ．(1,2)C ．(1,1＋2)D ．(2,1＋2)答案 B解析由题意易知点F 的坐标为(－c,0)，A (－c ，b 2a )，B (－c ，－b 2a)，E (a,0)， ∵△ABE 是锐角三角形，∴EA →·EB →>0，即EA →·EB →＝(－c －a ，b 2a )·(－c －a ，－b 2a)>0，整理得3e 2＋2e >e 4，∴e (e 3－3e －3＋1)<0，∴e (e ＋1)2(e －2)<0，解得e ∈(0,2)，又e >1，∴e ∈(1,2)，故选B.6．(2014·北京)设双曲线C 经过点(2,2)，且与y 24－x 2＝1具有相同渐近线，则C 的方程为________；渐近线方程为________．答案 x 23－y 212＝1 y ＝±2x 解析设双曲线C 的方程为y 24－x 2＝λ (λ≠0)，将点(2,2)代入上式，得λ＝－3，∴C 的方程为x 23－y 212＝1，其渐近线方程为y ＝±2x .7．(2014·浙江)设直线x －3y ＋m ＝0(m ≠0)与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的两条渐近线分别交于点A ，B .若点P (m,0)满足|P A |＝|PB |，则该双曲线的离心率是________．答案 52解析双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的渐近线方程为y ＝±b ax . 由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝b a x ，x －3y ＋m ＝0得A (am 3b －a ，bm 3b －a )，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－b a x ，x －3y ＋m ＝0得B (－am a ＋3b ，bm a ＋3b )，所以AB 的中点C 的坐标为(a 2m 9b 2－a 2，3b 2m 9b 2－a 2)．设直线l ：x －3y ＋m ＝0(m ≠0)，因为|P A |＝|PB |，所以PC ⊥l ，所以k PC ＝－3，化简得a 2＝4b 2.在双曲线中，c 2＝a 2＋b 2＝5b 2，所以e ＝c a ＝52. 8．(2013·湖南)设F 1，F 2是双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的两个焦点，P 是C 上一点，若|PF 1|＋|PF 2|＝6a 且△PF 1F 2的最小内角为30°，则双曲线C 的离心率为________．答案 3解析不妨设|PF 1|>|PF 2|，则|PF 1|－|PF 2|＝2a ，又∵|PF 1|＋|PF 2|＝6a ，∴|PF 1|＝4a ，|PF 2|＝2a .又在△PF 1F 2中，∠PF 1F 2＝30°，由正弦定理得，∠PF 2F 1＝90°，∴|F 1F 2|＝23a ，∴双曲线C 的离心率e ＝23a 2a＝ 3. 9．已知双曲线的中心在原点，焦点F 1，F 2在坐标轴上，离心率为2，且过点(4，－10)．(1)求双曲线方程；(2)若点M (3，m )在双曲线上，求证：点M 在以F 1F 2为直径的圆上；(3)在(2)的条件下求△F 1MF 2的面积． (1)解 ∵离心率e ＝2，∴双曲线为等轴双曲线，可设其方程为x 2－y 2＝λ(λ≠0)，则由点(4，－10)在双曲线上，可得λ＝42－(－10)2＝6，∴双曲线方程为x 2－y 2＝6.(2)证明 ∵点M (3，m )在双曲线上，∴32－m 2＝6，∴m 2＝3，又双曲线x 2－y 2＝6的焦点为F 1(－23，0)，F 2(23，0)，∴MF 1→·MF 2→＝(－23－3，－m )·(23－3，－m )＝(－3)2－(23)2＋m 2＝9－12＋3＝0，∴MF 1⊥MF 2，∴点M 在以F 1F 2为直径的圆上．(3)解 S △F 1MF 2＝12×43×|m |＝6. 10．已知椭圆C 1的方程为x 24＋y 2＝1，双曲线C 2的左、右焦点分别是C 1的左、右顶点，而C 2的左、右顶点分别是C 1的左、右焦点．(1)求双曲线C 2的方程；(2)若直线l ：y ＝kx ＋2与双曲线C 2恒有两个不同的交点A 和B ，且OA →·OB →>2(其中O 为原点)，求k 的取值范围．解 (1)设双曲线C 2的方程为x 2a 2－y 2b 2＝1 (a >0，b >0)，则a 2＝3，c 2＝4，再由a 2＋b 2＝c 2，得b 2＝1.故C 2的方程为x 23－y 2＝1. (2)将y ＝kx ＋2代入x 23－y 2＝1，得(1－3k 2)x 2－62kx －9＝0.由直线l 与双曲线C 2交于不同的两点，得⎩⎪⎨⎪⎧1－3k 2≠0，Δ＝(－62k )2＋36(1－3k 2)＝36(1－k 2)>0， ∴k 2≠13且k 2<1.① 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝62k 1－3k 2，x 1x 2＝－91－3k 2. ∴x 1x 2＋y 1y 2＝x 1x 2＋(kx 1＋2)(kx 2＋2)＝(k 2＋1)x 1x 2＋2k (x 1＋x 2)＋2＝3k 2＋73k 2－1. 又∵OA →·OB →>2，得x 1x 2＋y 1y 2>2， ∴3k 2＋73k 2－1>2，即－3k 2＋93k 2－1>0，解得13<k 2<3.② 由①②得13<k 2<1，故k 的取值范围为⎝⎛⎭⎫－1，－33∪⎝⎛⎭⎫33，1. B 组专项能力提升(时间：25分钟)11．已知F 1，F 2是双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的两焦点，以线段F 1F 2为边作正三角形MF 1F 2，若边MF 1的中点P 在双曲线上，则双曲线的离心率是( )A ．4＋2 3 B.3－1 C.3＋12 D.3＋1答案 D解析因为MF 1的中点P 在双曲线上，|PF 2|－|PF 1|＝2a ，△MF 1F 2为正三角形，边长都是2c ，所以3c －c ＝2a ，所以e ＝c a ＝23－1＝3＋1，故选D. 12．(2013·重庆)设双曲线C 的中心为点O ，若有且只有一对相交于点O 、所成的角为60°的直线A 1B 1和A 2B 2，使|A 1B 1|＝|A 2B 2|，其中A 1、B 1和A 2、B 2分别是这对直线与双曲线C 的交点，则该双曲线的离心率的取值范围是( )A.⎝⎛⎦⎤233，2 B.⎣⎡⎭⎫233，2 C.⎝⎛⎭⎫233，＋∞ D.⎣⎡⎭⎫233，＋∞ 答案 A解析由双曲线的对称性知，满足题意的这一对直线也关于x 轴(或y 轴)对称．又由题意知有且只有一对这样的直线，故该双曲线在第一象限的渐近线的倾斜角范围是大于30°且小于等于60°，即tan 30°<b a ≤tan 60°，∴13<b 2a 2≤3.又e 2＝(c a )2＝c 2a 2＝1＋b 2a 2，∴43<e 2≤4， ∴233<e ≤2，故选A. 13．设过双曲线x 2－y 2＝9左焦点F 1的直线交双曲线的左支于点P ，Q ，F 2为双曲线的右焦点．若|PQ |＝7，则△F 2PQ 的周长为( )A ．19B ．26C ．43D ．50答案 B解析如图，由双曲线的定义可得 ⎩⎪⎨⎪⎧|PF 2|－|PF 1|＝2a ，|QF 2|－|QF 1|＝2a ，将两式相加得|PF 2|＋|QF 2|－|PQ |＝4a ，∴△F 2PQ 的周长为|PF 2|＋|QF 2|＋|PQ |＝4a ＋|PQ |＋|PQ |＝4×3＋2×7＝26.14．(2013·辽宁)已知F 为双曲线C ：x 29－y 216＝1的左焦点，P ，Q 为C 上的点．若PQ 的长等于虚轴长的2倍，点A (5，0)在线段PQ 上，则△PQF 的周长为________．答案 44解析由双曲线C 的方程，知a ＝3，b ＝4，c ＝5，∴点A (5,0)是双曲线C 的右焦点，且|PQ |＝|QA |＋|P A |＝4b ＝16，由双曲线定义，得|PF |－|P A |＝6，|QF |－|QA |＝6.∴|PF |＋|QF |＝12＋|P A |＋|QA |＝28，因此△PQF 的周长为|PF |＋|QF |＋|PQ |＝28＋16＝44.15．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1 (a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，点P 在双曲线的右支上，且|PF 1|＝4|PF 2|，则此双曲线的离心率e 的最大值为________．答案 53解析由定义，知|PF 1|－|PF 2|＝2a .又|PF 1|＝4|PF 2|，∴|PF 1|＝83a ，|PF 2|＝23a . 在△PF 1F 2中，由余弦定理，得cos ∠F 1PF 2＝649a 2＋49a 2－4c 22·83a ·23a ＝178－98e 2. 要求e 的最大值，即求cos ∠F 1PF 2的最小值，∴当cos ∠F 1PF 2＝－1时，得e ＝53，即e 的最大值为53. 16．已知离心率为45的椭圆的中心在原点，焦点在x 轴上，双曲线以椭圆的长轴为实轴，短轴为虚轴，且焦距为234.(1)求椭圆及双曲线的方程；(2)设椭圆的左、右顶点分别为A 、B ，在第二象限内取双曲线上一点P ，连接BP 交椭圆于点M ，连接P A 并延长交椭圆于点N ，若BM →＝MP →，求四边形ANBM 的面积．解 (1)设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，则根据题意知双曲线的方程为x 2a 2－y 2b 2＝1，且满足⎩⎨⎧ a 2－b 2a ＝45，2a 2＋b 2＝234，解方程组得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝25，b 2＝9. ∴椭圆的方程为x 225＋y 29＝1，双曲线的方程为x 225－y 29＝1. (2)由(1)得A (－5,0)，B (5,0)，|AB |＝10，设M (x 0，y 0)，则由BM →＝MP →得M 为BP 的中点，所以P 点坐标为(2x 0－5,2y 0)．将M 、P 坐标代入椭圆和双曲线方程，得⎩⎪⎨⎪⎧ x 2025＋y 209＝1，(2x 0－5)225－4y 209＝1，消去y 0，得2x 20－5x 0－25＝0. 解之，得x 0＝－52或x 0＝5(舍去)．∴y 0＝332. 由此可得M (－52，332)，∴P (－10,33)．当P 为(－10,33)时，直线P A 的方程是y ＝33－10＋5(x ＋5)，即y ＝－335(x ＋5)，代入x 225＋y 29＝1，得2x 2＋15x ＋25＝0.∴x ＝－52或－5(舍去)， ∴x N ＝－52，x N ＝x M ，MN ⊥x 轴． ∴S 四边形ANBM ＝2S △AMB ＝2×12×10×332＝15 3.。

2022高考数学文人教A版一轮复习学案：9.6 双曲线【含解析】

9.6双曲线必备知识预案自诊知识梳理1.双曲线的定义平面内与两个定点F1,F2的等于非零常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线.这两个定点叫做,两焦点间的距离叫做.集合P={M|||MF1|-|MF2||=2a},|F1F2|=2c,其中a>0,c>0,且a,c为常数.(1)若a c,则点M的轨迹是双曲线;(2)若a c,则点M的轨迹是两条射线;(3)若a c,则点M不存在.2.标准方程(1)中心在坐标原点,焦点在x轴上的双曲线的标准方程为x 2a2−y2b2=1(a>0,b>0);(2)中心在坐标原点,焦点在y轴上的双曲线的标准方程为y 2a2−x2b2=1(a>0,b>0).3.双曲线的性质续表1.过双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a>0,b>0)上一点M (x 0,y 0)的切线方程为x 0x a 2−y 0y b 2=1.2.双曲线x 2a2−y 2b 2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F 1,F 2,点P (x 0,y 0)为双曲线上任意一点,且不与点F 1,F 2共线,∠F 1PF 2=θ,则△F 1PF 2的面积为b 2tanθ2.3.若点P (x 0,y 0)在双曲线x 2a2−y 2b2=1(a>0,b>0)内,则被点P 所平分的中点弦的方程为x 0x a 2−y 0y b 2=x 02a2−y 02b 2.4.双曲线中点弦的斜率公式设点M (x 0,y 0)为双曲线x 2a 2−y 2b2=1(a>0,b>0)的弦AB (不平行y 轴)的中点,则k AB ·k OM =b 2a2,即k AB =b 2x 0a 2y 0.5.双曲线的焦半径公式双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a>0,b>0)的焦点为F 1(-c ,0),F 2(c ,0),当点M (x 0,y 0)在双曲线右支上时,|MF 1|=ex 0+a ,|MF 2|=ex 0-a ;当点M (x 0,y 0)在双曲线左支上时,|MF 1|=-ex 0-a ,|MF 2|=-ex 0+a. 6.若P 是双曲线右支上一点,F 1,F 2分别为双曲线的左、右焦点,则|PF 1|min =a+c ,|PF 2|min =c-a. 7.双曲线的同支的焦点弦中最短的为通径(过焦点且垂直于实轴所在直线的弦),其长为2b 2a;异支的弦中最短的为实轴,其长为2a.考点自诊1.判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”.(1)平面内到点F 1(0,4),F 2(0,-4)距离之差的绝对值等于8的点的轨迹是双曲线. ( ) (2)双曲线x 2m 2−y 2n 2=λ(m>0,n>0,λ≠0)的渐近线方程是x 2m 2−y 2n 2=0,即x m ±yn=0. ( ) (3)关于x ,y 的方程x 2−y 2=1(mn>0)表示焦点在x 轴上的双曲线.( )(4)与双曲线x 2m−y 2n =1(其中mn>0)共渐近线的双曲线方程可设为x 2m−y 2n =λ(λ≠0).( )(5)若双曲线x 2a2−y2b2=1(a>0,b>0)与x2b2−y2a2=1(a>0,b>0)的离心率分别是e1,e2,则1e12+1e22=1.()2.(2020山东济南期末)方程x 2m-2+y2m+3=1表示双曲线的一个充分不必要条件是()A.-3<m<0B.-3<m<2C.-3<m<4D.-1<m<33.(2020山东菏泽一模,5)已知双曲线x 25−y2a=1的一条渐近线上存在一点到x轴的距离与到原点O的距离之比为23,则实数a的值为()A.2B.4C.6D.84.(2020上海期末)已知双曲线的渐近线方程为y=±12x,且过点A(4,√2),则此双曲线的方程为.5.(2020全国3,文14)设双曲线C:x 2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的一条渐近线为y=√2x,则C的离心率为.关键能力学案突破考点双曲线的定义【例1】(1)(2020全国1,文11)设F1,F2是双曲线C:x2-y 23=1的两个焦点,O为坐标原点,点P在C上且|OP|=2,则△PF1F2的面积为()A.72B.3 C.52D.2(2)已知点F2为双曲线C:x 22−y2b2=1(a>0,b>0)的右焦点,直线y=kx交双曲线C于A,B两点,若∠AF2B=2π3,S△AF2B=2√3,则双曲线C的虚轴长为.?解题心得双曲线定义的应用主要有两个方面:一是判定平面内动点轨迹是否为双曲线,进而求出曲线方程;二是在“焦点三角形”中,常利用正弦定理、余弦定理,结合||PF1|-|PF2||=2a,运用平方的方法,建立与|PF1|·|PF2|的联系.对点训练1(1)已知(x-2)2+y2=9的圆心为C.过点M(-2,0)且与x轴不重合的直线l交圆C 于A,B两点,点A在点M与点B之间.过点M作直线AC的平行线交直线BC于点P,则点P 的轨迹为()A.圆的一部分B.椭圆的一部分C.双曲线的一部分D.抛物线的一部分(2)(2020河北廊坊省级示范学校联考)设F 1,F 2分别为双曲线C :x 22−y 2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点,过点F 1的直线交双曲线C 的左支于A ,B 两点,且|AF 2|=3,|BF 2|=5,|AB|=4,则△BF 1F 2的面积为 .考点双曲线的标准方程【例2】(1)已知动圆M 与圆C 1:(x+4)2+y 2=2外切,与圆C 2:(x-4)2+y 2=2内切,则动圆圆心M 的轨迹方程为( )A.x 22−y 214=1(x ≥√2) B.x 22−y 214=1(x ≤-√2) C.x 2+y 2=1(x ≥√2) D.x 2+y 2=1(x ≤-√2)(2)(2020云南大理月考)已知双曲线x 2a 2−y 2b2=1(a>0,b>0)的两条渐近线均与圆C :x 2212=0相切,且双曲线的右焦点为圆C 的圆心,则双曲线的方程为 .?解题心得1.待定系数法:设出双曲线方程的标准形式,根据已知条件,列出参数a ,b ,c 的方程并求出a ,b ,c 的值.与双曲线x 2a 2−y 2b2=1有相同渐近线时,可设所求双曲线方程为x 2a 2−y 2b2=λ(λ≠0).2.定义法:依定义得出距离之差的等量关系式,求出a 的值,由定点位置确定c 的值. 对点训练2(1)已知双曲线x 2a 2−y 2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F 1,F 2,过点F 2且斜率为247的直线与双曲线在第一象限的交点为A ,若(F 2F 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +F 2A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )·F 1A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,则双曲线的标准方程可能为( )A.x 24−y 23=1B.x 23−y 24=1C.x 216−y 29=1D.x 29−y 216=1(2)已知双曲线x 2a 2−y 2b2=1(a>0,b>0)的离心率为32,过右焦点F 作渐近线的垂线,垂足为M ,若△FOM 的面积为√5,其中O 为坐标原点,则双曲线的标准方程为( )A.x 2-4y 25=1B.x 22−2y 25=1C.x 24−y 25=1D.x 216−y 220=1考点双曲线的几何性质(多考向探究)考向1 求双曲线的渐近线方程【例3】(2020福建厦门一模)已知双曲线C :x 22−y 2b2=1(a>0,b>0)的一个焦点为F ,点A ,B是双曲线C 的一条渐近线上关于原点对称的两点,以AB 为直径的圆过点F 且交双曲线C 的左支于M ,N 两点,若|MN|=2,△ABF 的面积为8,则双曲线C 的渐近线方程为( )A.y=±√3xB.y=±√33x C.y=±2xD.y=±12x解题心得求双曲线的渐近线方程的方法依据题设条件,求出双曲线方程x 2a 2−y 2b2=1(a>0,b>0)中a ,b 的值或a 与b 的比值,进而得出双曲线的渐近线方程.对点训练3(1)(2020山东德州高三第二次模拟)已知椭圆x 2a 2+y 2b2=1(a>b>0)与双曲线x 2a 2−y 2b2=12的焦点相同,则双曲线渐近线方程为( ) A.y=±√33xB.y=±√3xC.y=±√22xD.y=±√2x(2)椭圆Γ:x 2a 2+y 2b2=1(a>b>0)与双曲线Ω:x 2m 2−y 2n 2=1(m>0,n>0)焦点相同,F 为左焦点,曲线Γ与Ω在第一象限、第三象限的交点分别为A ,B ,且∠AFB=2π3,则当这两条曲线的离心率之积最小时,双曲线的一条渐近线的方程是( )A.x-2y=0B.2x+y=0C.x-√2y=0D.√2x+y=0考向2 求双曲线的离心率【例4】(2020福建福州三模,理16)已知梯形ABCD 满足AB ∥CD ,∠BAD=45°,以A ,D 为焦点的双曲线Γ经过B ,C 两点.若|CD|=7|AB|,则Γ的离心率为 .解题心得求双曲线离心率的值或取值范围的方法(1)求a ,b ,c 的值,由e=c a=√1+b2a2直接求出e.(2)列出含有a ,b ,c 的齐次方程(或不等式),借助b 2=c 2-a 2消去b ,然后转化为关于e 的方程(或不等式)求解.对点训练4(1)(2020山东潍坊二模,8)已知O为坐标原点,双曲线C :x 2a2−y 2b2=1(a>0,b>0)的右焦点为F ,过点F 且与x 轴垂直的直线与双曲线C 的一条渐近线交于点A (点A 在第一象限),点B 在双曲线C 的渐近线上,且BF ∥OA.若AB⃗⃗⃗⃗⃗ ·OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,则双曲线C 的离心率为( ) A.2√3B.√2C.√3D.2(2)(2020山东济宁三模,16)设双曲线C:x 22−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,|F1F2|=2c,过F2作x轴的垂线,与双曲线在第一象限的交点为A,点Q坐标为(c,3a2),且满足|F2Q|>|F2A|.若在双曲线C的右支上存在点P使得|PF1|+|PQ|<76|F1F2|成立,则双曲线的离心率的取值范围是.考点双曲线与圆的综合问题【例5】已知点P为双曲线C:x 2a2−y2b2=1(a>0,b>0)上一点,F1,F2为双曲线C的左、右焦点,若|PF1|=|F1F2|,且直线PF2与以双曲线C的实轴为直径的圆相切,则双曲线C的渐近线方程为()A.y=±43xB.y=±34xC.y=±35xD.y=±53x?解题心得解答双曲线与圆的综合问题一般要画出几何图形,多借助圆的几何性质,挖掘出隐含条件,如垂直关系、线段或角的等量关系等.对点训练5(2019全国2,理11)设F为双曲线C:x 2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的右焦点,O为坐标原点,以OF为直径的圆与圆x2+y2=a2交于P,Q两点.若|PQ|=|OF|,则C的离心率为() √2√3√51.双曲线中的参数a,b,c三者之间的关系为a2+b2=c2.2.与双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)有公共渐近线的双曲线的方程可设为x2a2−y2b2=λ(λ≠0).3.已知双曲线的标准方程求双曲线的渐近线方程时,只要令双曲线的标准方程中的“1”为“0”就得到两渐近线方程,即方程x 2a2−y2b2=0就是双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的两条渐近线方程.4.双曲线中的焦点三角形的面积公式为S△PF1F2=b2tanθ2.(其中P为双曲线上任意一点,但不能与点F1,F2共线,F1,F2是双曲线的左、右焦点,θ为∠F1PF2的大小)1.双曲线的标准方程的两种形式的区分要结合x2,y2前系数的正负.2.关于双曲线离心率的取值范围问题,不要忘记双曲线离心率的取值范围是(1,+∞).3.双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的渐近线方程是y=±bax,y2a2−x2b2=1(a>0,b>0)的渐近线方程是y=±abx.4.若利用弦长公式计算,在设直线斜率时要注意说明斜率不存在的情况.5.当直线与双曲线交于一点时,不一定相切,例如:当直线与双曲线的渐近线平行时,直线与双曲线相交于一点,但不是相切;反之,当直线与双曲线相切时,直线与双曲线仅有一个交点.9.6双曲线必备知识·预案自诊知识梳理1.距离的差的绝对值双曲线的焦点双曲线的焦距(1)2a<|F1F2|(2)2a=|F1F2| (3)2a>|F1F2|3.坐标轴原点(-a,0)(a,0)(0,-a)(0,a)a2+b22a2b考点自诊1.(1)×(2)√(3)×(4)√(5)√2.A方程x 2m-2+y2m+3=1表示双曲线,则有(m-2)(m+3)<0,解得-3<m<2.由题意,所给集合必须是{m|-3<m<2}的非空真子集,只有A符合条件.3.B由题意,双曲线的一条渐近线的斜率为√22=√5.由双曲线x25−y2a=1,得实半轴长为√5,虚半轴长为√a.故√a√5=√5,解得a=4.4.x 28−y22=1双曲线的渐近线方程为y=±12x,可设双曲线方程为4y2-x2=m.双曲线经过点A(4,√2),可得8-16=m,m=-8.故所求双曲线方程为x28−y22=1.5.√3由题意得ba=√2,即b=√2a.所以c 2=a 2+b 2=3a 2,即c=√3a ,所以e=ca =√3.关键能力·学案突破例1(1)B (2)2√2 (1)由题意知a=1,b=√3,c=2.不妨设F 1,F 2分别为双曲线C 的左、右焦点,则F 1(-2,0),F 2(2,0).因为|OP|=2,所以点P 在以O 为圆心,F 1F 2为直径的圆上,故PF 1⊥PF 2,则|PF 1|2+|PF 2|2=(2c )2=16.由双曲线的定义可知||PF 1|-|PF 2||=2a=2,所以|PF 1|2+|PF 2|2-2|PF 1|·|PF 2|=4,所以|PF 1|·|PF 2|=6,所以△PF 1F 2的面积为12|PF 1|·|PF 2|=3.(2)设双曲线C 的左焦点为F 1,连接AF 1,BF 1,由对称性可知四边形AF 1BF 2为平行四边形,因为∠AF 2B=2π3,S △AF 2B =2√3,所以S △AF 1F 2=2√3,∠F 1AF 2=π3.设|AF 1|=r 1,|AF 2|=r 2,则4c 2=r 12+r 22-2r 1r 2cos π3,又|r 1-r 2|=2a ,故r 1r 2=4b 2.又S △AF 1F 2=12r 1r 2sin π3=2√3,所以b 2=2,所以该双曲线的虚轴长为2√2.对点训练1(1)C (2)92 (1)圆(x-2)2+y 2=9的圆心为C (2,0),半径为R=3.如图,∵|CB|=|CA|=R=3,∴∠CBA=∠CAB.∵AC ∥MP , ∴∠CAB=∠PMA , ∴∠CBA=∠PMA ,∴|PM|=|PB|=|PC|+|BC|,∴|PM|-|PC|=|BC|=3(定值),且3<|MC|.∴点P 的轨迹是双曲线的一部分,故选C. (2)因为|AF 2|=3,|BF 2|=5,|AF 2|-|AF 1|=2a ,|BF 2|-|BF 1|=2a ,所以|AF 2|+|BF 2|-|AB|=3+5-4=4=4a ,所以a=1,所以|BF 1|=3. 又|AF 2|2+|AB|2=|BF 2|2,所以∠F 2AB=90°,所以S △BF 1F 2=12|BF 1||AF 2|=12×3×3=92. 例2(1)A (2)x 212−y 24=1 (1)设动圆M 的半径为r ,由题意可得|MC 1|=r+√2,|MC 2|=r-√2,|C 1C 2|=8,所以|MC 1|-|MC 2|=2√2<|C 1C 2|,所以由双曲线的定义可知动点M 在以C 1(-4,0),C 2(4,0)为焦点,实轴长为2√2的双曲线的右支上,所以a=√2,c=4,所以b 2=16-2=14,故动圆圆心M的轨迹方程为x 22−y 214=1(x ≥√2). (2)圆C 的标准方程为(x-4)2+y 2=4,圆心C (4,0),半径为2. 双曲线的渐近线方程为y=±ba x ,由题意4b a√1+(b a)=2,解得b a =√33.又双曲线的右焦点为圆C 的圆心,所以√a 2+b 2=4.联立{ba=√33,√a 2+b 2=4,解得{b =2,a =2√3.故双曲线的方程为x 212−y 24=1.对点训练2(1)D (2)C (1)由(F 2F 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +F 2A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )·F 1A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,可知(F 2F 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +F 2A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )·(F 2A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −F 2F 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=0,即|F 2A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |2-|F 2F 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |2=0,所以|F 2A|=|F 1F 2|=2c.又AF 2的斜率为247,所以cos ∠AF 2F 1=-725.在△AF 1F 2中,由余弦定理得|AF 1|=165c.由双曲线的定义得165c-2c=2a ,即ca =53,所以a ∶b=3∶4.所以此双曲线的标准方程可能为x 29−y 216=1.故选D .(2)由题意可得e=c=3,可得b=√c 22-1=√5,设F (c ,0),渐近线为y=bx ,可得F 到渐近线的距离为|MF|=√a 2+b =b ,由勾股定理可得|OM|=√|OF |2-|MF |2=√c 2-b 2=a ,因为△FOM 的面积为√5,所以12ab=√5,又a 2+b 2=c 2,联立{ ca =32,12ab =√5,a 2+b 2=c 2,解得b=√5,a=2,c=3,所以双曲线的方程为x 24−y 25=1,故选C.例3B 不妨设点A ,B 在直线y=ba x 上,点F (c ,0),则设点A (x 0,ba x 0),B -x 0,-ba x 0.因为以AB为直径的圆过点F ,所以AF ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥BF ⃗⃗⃗⃗⃗ ,所以AF ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BF ⃗⃗⃗⃗⃗ =c 2-x 02−b 2a 2x 02=c 2-c 2a 2x 02=0,所以x 0=±a.所以S △ABF =12·c·|2ba x 0|=bc=8.由{x 2+y 2=c 2,x 2a2-y 2b2=1,得y=±b 2c , 则|MN|=2b 2c =2,即b 2=c.所以b=2,c=4,所以a=222√3.所以双曲线C 的渐近线方程为y=±√33x.故选B .对点训练3(1)A (2)C(1)由椭圆x 2a 2+y 2b2=1(a>b>0)与双曲线x 2a 2−y 2b 2=12,即x 2a22−y 2b22=1的焦点相同,可得a 2-b2=a 22+b 22, 即a 2=3b 2,所以ba =√33.所以双曲线的渐近线方程为y=±√33x.故选A . (2)设双曲线的右焦点为F 1,由题意点A 与点B 关于原点对称,因此|AF 1|=|BF|,又∠AFB=2π3,所以∠FAF 1=π3.由椭圆与双曲线定义可得|AF|+|AF 1|=2a ,|AF|-|AF 1|=2m ,所以|AF|=a+m ,|AF 1|=a-m ,根据余弦定理可得|FF 1|2=|AF|2+|AF 1|2-2|AF||AF 1|cos ∠FAF 1,即4c 2=(a+m )2+(a-m )2-2(a+m )(a-m )cos π3,化简得4c 2=3m 2+a 2≥2√3m 2·a 2=2√3ma ,当且仅当3m 2=a 2①时,取等号.所以离心率乘积为ca ·cm =c 2am ≥√32,由a 2-b 2=m 2+n 2,所以4c 2-3m 2-b 2=m 2+n 2,所以b 2=3n 2②,再将①②代入a 2-b 2=m 2+n 2可得m 2=2n 2,所以双曲线的渐近线方程为x-√2y=0或x+√2y=0,故选C. 例43√24(方法1)如图所示,以AD 的中点O 为原点,以AD 为x 轴,建立平面直角坐标系.设点C 关于点O 对称的点为C',由对称性知,B ,A ,C'三点共线.设Γ的方程为x 2a 2−y 2b 2=1(a>0,b>0),A (-c ,0),B (x 1,y 1),C'(x 2,y 2),则直线BC'的方程为y=x+c.由{y =x +c ,x 2a 2-y 2b2=1得(b 2-a 2)y 2-2b 2cy+b 4=0,所以Δ=4b 4c 2-4b 4(b 2-a 2)>0,y 1+y 2=2b 2cb 2-a 2,y 1y 2=b 4b 2-a 2.因为|CD|=7|AB|,所以|y 2|=7|y 1|. 因为y 1,y 2异号,所以y 2=-7y 1. 由{y 2=-7y 1,y 1+y 2=2b 2c b 2-a2,解得{y 1=-b 2c3(b 2-a 2),y 2=7b 2c3(b 2-a 2),代入y 1y 2=b 4b 2-a 2,得-7c 2=9(b 2-a 2),因为b 2=c 2-a 2,所以9a 2=8c 2.所以Γ的离心率e=ca =3√24.(方法2)如图,连接AC ,BD.设该双曲线的焦距AD=2c ,实轴长为2a ,则|BD|-|AB|=|AC|-|CD|=2a. 设AB=m ,则CD=7m ,BD=2a+m ,AC=2a+7m. 依题意,∠BAD=45°,∠ADC=135°,在△ABD 中,由余弦定理及题设得(2a+m )2=m 2+4c 2-2√2mc ,在△ACD 中,由余弦定理及题设得(2a+7m )2=49m 2+4c 2+14√2mc , 整理得√2(c 2-a 2)=m (√2a+c ),√2(c 2-a 2)=7m (√2a-c ), 两式相除得1=√2a+c7(√2a -c ),即6√2a=8c ,故Γ的离心率e=ca =3√24. 对点训练4(1)A (2)(3,√10) (1)如图所示,设双曲线的焦距为2c ,渐近线方程为y=±bax ,则点F (c ,0),A (c ,bca ). 设点B (x 0,-bx 0a).∵BF ∥OA , ∴k OA =k BF ,即ba=-bx 0a x 0-c,解得x 0=c 2,∴B (c 2,-bc2a).∴AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-c 2,-3bc2a),OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(c 2,-bc2a ).又AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,∴-c 24+3b2c24a 2=0,即a 2=3b 2.∵c 2=a 2+b 2,∴a 2=3(c 2-a 2),即3c 2=4a 2,∴离心率e=ca =2√33.故选A.(2)将x=c 代入双曲线的方程,得y=±b √c 2a 2-1=±b 2a ,所以A (c ,b2a ). 又因为|F 2Q|>|F 2A|,所以3a2>b 2a, 所以(b a )2<32,所以e=ca=√1+(b a)2<√1+32=√102.因为|PF 1|+|PQ|=2a+|PF 2|+|PQ|≥2a+|F 2Q|,又在双曲线C 的右支上存在点P 使得|PF 1|+|PQ|<76|F 1F 2|成立,所以有2a+|F 2Q|<76|F 1F 2|,即2a+32a<76×2c ,解得e>32.又因为e>1,所以3<e<√10.例5A 如图.由已知得|PF 1|=|F 1F 2|=2c.因为直线PF 2与以双曲线C 的实轴为直径的圆相切,设切点为M ,所以|OM|=a ,OM ⊥PF 2,所以|MF 2|=√c 2-a 2=b.由双曲线的定义可得|PF 2|-|PF 1|=2a ,所以|PF 2|=2a+2c ,所以cos ∠OF 2M=bc=(2c )2+(2a+2c )2-(2c )22×2c×(2a+2c ),整理得c=2b-a.又c 2=a 2+b 2,解得b a=43.所以双曲线C 的渐近线方程为y=±43x.故选A . 对点训练5A 如图,设PQ 与x 轴交于点A ,由对称性可知PQ ⊥x 轴.∵|PQ|=|OF|=c ,∴|PA|=c2.∴PA 为以OF 为直径的圆的半径,A 为圆心,∴|OA|=c 2.∴Pc 2,c 2.又点P 在圆x 2+y 2=a 2上,∴c 24+c 24=a 2,即c 22=a 2,∴e 2=c 2a 2=2,∴e=√2.故选A .。

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基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、选择题1.(2015·广东卷)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1的离心率e ＝54，且其右焦点为F 2(5，0)，则双曲线C 的方程为( ) A.x 24－y 23＝1 B.x 29－y 216＝1 C.x 216－y 29＝1 D.x 23－y 24＝1 解析因为所求双曲线的右焦点为F 2(5，0)且离心率为e ＝c a ＝54，所以c ＝5，a ＝4，b 2＝c 2－a 2＝9，所以所求双曲线方程为x 216－y 29＝1，故选C.答案 C2.(2016·南昌模拟)若双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线倾斜角为π6，则双曲线C 的离心率为( ) A.2或 3B.233C.2或233 D.2解析由题意b a ＝33，∴b 2a 2＝c 2－a 2a 2＝13，e ＝233，故选B. 答案 B3.(2015·天津卷)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线过点(2，3) ，且双曲线的一个焦点在抛物线y 2＝47x 的准线上，则双曲线的方程为( ) A.x 221－y 228＝1 B.x 228－y 221＝1 C.x 23－y 24＝1 D.x 24－y 23＝1解析双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的渐近线方程为y ＝±ba x ，又渐近线过点(2，3)，所以2ba ＝3，即2b ＝3a ，①抛物线y 2＝47x 的准线方程为x ＝－7，由已知，得a 2＋b 2＝7，即a 2＋b 2＝7，②联立①②解得a 2＝4，b 2＝3，所求双曲线的方程为x 24－y 23＝1，选D. 答案 D4.(2015·全国Ⅰ卷)已知M (x 0，y 0)是双曲线C ：x 22－y 2＝1上的一点，F 1，F 2是C 的两个焦点，若MF 1→·MF 2→<0，则y 0的取值范围是( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－33，33B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－36，36C.⎝⎛⎭⎪⎫－223，223 D.⎝⎛⎭⎪⎫－233，233 解析由题意知a ＝2，b ＝1，c ＝3，不妨设F 1(－3，0)，F 2(3，0)，所以MF 1→＝(－3－x 0，－y 0)，MF 2→＝(3－x 0，－y 0).∵MF 1→·MF 2→＝x 20－3＋y 20＝3y 20－1＜0，所以－33<y 0<33.故选A. 答案 A5.如图，F 1，F 2是椭圆C 1：x 24＋y 2＝1与双曲线C 2的公共焦点，A ，B 分别是C 1，C 2在第二、四象限的公共点.若四边形AF 1BF 2为矩形，则C 2的离心率是( )A. 2B. 3C.32D.62解析 |F 1F 2|＝2 3.设双曲线的方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0). ∵|AF 2|＋|AF 1|＝4，|AF 2|－|AF 1|＝2a ， ∴|AF 2|＝2＋a ，|AF 1|＝2－a . 在Rt △F 1AF 2中，∠F 1AF 2＝90°， ∴|AF 1|2＋|AF 2|2＝|F 1F 2|2，即(2－a )2＋(2＋a )2＝(23)2，∴a ＝2，∴e ＝c a ＝32＝62.故选D.答案 D 二、填空题6.已知F 为双曲线C ：x 29－y 216＝1的左焦点，P ，Q 为C 上的点.若PQ 的长等于虚轴长的2倍，点A (5，0)在线段PQ 上，则△PQF 的周长为________. 解析由x 29－y 216＝1，得a ＝3，b ＝4，c ＝5. ∴|PQ |＝4b ＝16>2a .又∵A (5，0)在线段PQ 上，∴P ，Q 在双曲线的右支上，且PQ 所在直线过双曲线的右焦点，由双曲线定义知⎩⎪⎨⎪⎧|PF |－|P A |＝2a ＝6，|QF |－|QA |＝2a ＝6，∴|PF |＋|QF |＝28.∴△PQF 的周长是|PF |＋|QF |＋|PQ |＝28＋16＝44. 答案 447.已知F 1，F 2是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的两焦点，以线段F 1F 2为边作正三角形MF 1F 2，若边MF 1的中点P 在双曲线上，则双曲线的离心率是________. 解析因为MF 1的中点P 在双曲线上，|PF 2|－|PF 1|＝2a ，△MF 1F 2为正三角形，边长都是2c ，所以3c －c ＝2a ，所以e ＝ca ＝23－1＝3＋1. 答案3＋18.过双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的右焦点作一条与其渐近线平行的直线，交C 于点P .若点P 的横坐标为2a ，则C 的离心率为________. 解析如图，F 1，F 2为双曲线C 的左，右焦点，将点P 的横坐标2a 代入x 2a 2－y 2b 2＝1中，得y 2＝3b 2，不妨令点P 的坐标为(2a ，－3b )，此时kPF 2＝3b c －2a ＝ba ，得到c ＝(2＋3)a ，即双曲线C 的离心率e ＝ca ＝2＋ 3. 答案 2＋ 3 三、解答题9.(2016·江南十校联考)已知双曲线的中心在原点，焦点F 1，F 2在坐标轴上，离心率为2，且过点P (4，－10). (1)求双曲线的方程；(2)若点M (3，m )在双曲线上，求证：MF 1→·MF 2→＝0. (1)解 ∵e ＝2，∴可设双曲线的方程为x 2－y 2＝λ(λ≠0).∵双曲线过点(4，－10)，∴16－10＝λ，即λ＝6. ∴双曲线的方程为x 2－y 2＝6.(2)证明法一由(1)可知，a ＝b ＝6， ∴c ＝23，∴F 1(－23，0)，F 2(23，0)， ∴kMF 1＝m 3＋23，kMF 2＝m3－23，kMF 1·kMF 2＝m 29－12＝－m 23.∵点M (3，m )在双曲线上，∴9－m 2＝6，m 2＝3，故kMF 1·kMF 2＝－1，∴MF 1⊥MF 2.∴MF 1→·MF 2→＝0.法二由(1)可知，a ＝b ＝6，∴c ＝23， ∴F 1(－23，0)，F 2(23，0)，MF 1→＝(－23－3，－m )，MF 2→＝(23－3，－m )，∴MF 1→·MF 2→＝(3＋23)×(3－23)＋m 2＝－3＋m 2， ∵点M (3，0)在双曲线上，∴9－m 2＝6，即m 2－3＝0， ∴MF 1→·MF 2→＝0. 10.已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为(2，0)，实轴长为2 3. (1)求双曲线C 的方程；(2)若直线l ：y ＝kx ＋2与双曲线C 左支交于A 、B 两点，求k 的取值范围； (3)在(2)的条件下，线段AB 的垂直平分线l 0与y 轴交于M (0，m )，求m 的取值范围.解 (1)设双曲线C 的方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0). 由已知得：a ＝3，c ＝2，再由a 2＋b 2＝c 2，得b 2＝1， ∴双曲线C 的方程为x 23－y 2＝1.(2)设A (x A ，y A )、B (x B ，y B )，将y ＝kx ＋2代入x 23－y 2＝1，得(1－3k 2)x 2－62kx －9＝0.由题意知⎩⎪⎨⎪⎧1－3k 2≠0，Δ＝36（1－k 2）>0，x A＋x B＝62k1－3k2<0，x A x B＝－91－3k2>0，解得33<k <1.∴当33<k <1时，l 与双曲线左支有两个交点. (3)由(2)得：x A ＋x B ＝62k1－3k 2，∴y A ＋y B ＝(kx A ＋2)＋(kx B ＋2) ＝k (x A ＋x B )＋22＝221－3k 2. ∴AB 的中点P 的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫32k 1－3k 2，21－3k 2.设直线l 0的方程为：y ＝－1k x ＋m ，将P 点坐标代入直线l 0的方程，得m ＝421－3k 2. ∵33<k <1，∴－2<1－3k 2<0.∴m <－2 2. ∴m 的取值范围为(－∞，－22).能力提升题组 (建议用时：20分钟)11.(2016·柳州、北海、钦州三市联考)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)与抛物线y 2＝8x 有一个公共的焦点F ，且两曲线的一个交点为P ，若|PF |＝5，则双曲线的渐近线方程为( ) A.x ±2y ＝0 B.2x ±y ＝0C.x ±3y ＝0D.3x ±y ＝0解析抛物线y 2＝8x 的焦点坐标为(2，0)，准线方程为直线x ＝－2，∵双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)与抛物线y 2＝8x 有一个公共的焦点F ，则双曲线的半焦距c ＝2，∴a 2＋b 2＝4①，又∵|PF |＝5，∴点P 的横坐标为3，代入抛物线y 2＝8x 得y ＝±26，则P (3，±26)，∵点P 在双曲线上，则有9a 2－24b 2＝1②，联立①②，解得a ＝1，b ＝3，∴双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的渐近线方程为y ＝±3x . 答案 D12.(2016·太原二模)已知F 1，F 2分别是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点，过F 1的直线l 与双曲线的左右两支分别交于点A ，B ，若|AB |＝|AF 2|，∠F 1AF 2＝90°，则双曲线的离心率为( ) A.6＋32B.6＋ 3C.5＋222D.5＋2 2解析 ∵|AB |＝|AF 2|，∠F 1AF 2＝90°，∴|BF 2|＝2|AF 2|.又由双曲线的定义知|BF 1|－|BF 2|＝2a ，∴|AF 1|＋|AB |－2|AF 2|＝2a ，即|AF 1|＋(1－2)·|AF 2|＝2a .又|AF 2|－|AF 1|＝2a ，∴|AF 2|＝2(2＋2)a ，|AF 1|＝2(1＋2)a .在Rt △AF 1F 2中，|AF 1|2＋|AF 2|2＝|F 1F 2|2，即『2(2＋2)a 』2＋『2(1＋2)a 』2＝(2c )2，∴c 2a 2＝9＋62，∴e ＝9＋62＝6＋ 3.故选B.答案 B13.(2014·浙江卷)设直线x －3y ＋m ＝0(m ≠0)与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的两条渐近线分别交于点A ，B .若点P (m ，0)满足|P A |＝|PB |，则该双曲线的离心率是________.解析由⎩⎨⎧x －3y ＋m ＝0，y ＝b a x ，得点A 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫am3b －a ，bm 3b －a ，由⎩⎨⎧x －3y ＋m ＝0，y ＝－b ax ，得点B 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－am 3b ＋a ，bm 3b ＋a ，则AB 的中点C 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2m9b 2－a 2，3b 2m 9b 2－a 2，而k AB ＝13，由|P A |＝|PB |，可得AB 的中点C 与点P 连线的斜率为－3，即k CP ＝3b 2m 9b 2－a 2a 2m 9b 2－a 2－m＝－3，化简得⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2＝14，所以双曲线的离心率e ＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2＝1＋14＝52.答案 5214.(2016·兰州诊断)已知曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线的方程为y＝3x ，右焦点F 到直线x ＝a 2c 的距离为32. (1)求双曲线C 的方程；(2)斜率为1且在y 轴上的截距大于0的直线l 与双曲线C 相交于B 、D 两点，已知A (1，0)，若DF→·BF →＝1，证明：过A 、B 、D 三点的圆与x 轴相切.(1)解依题意有b a ＝3，c －a 2c ＝32，∵a 2＋b 2＝c 2，∴c ＝2a ，∴a ＝1，c ＝2，∴b 2＝3， ∴双曲线C 的方程为x 2－y 23＝1.(2)证明设直线l 的方程为y ＝x ＋m (m ＞0)， B (x 1，x 1＋m )，D (x 2，x 2＋m )，BD 的中点为M ，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋m ，x 2－y 23＝1得2x 2－2mx －m 2－3＝0， ∴x 1＋x 2＝m ，x 1x 2＝－m 2＋32，又DF →·BF →＝1，即(2－x 1)(2－x 2)＋(x 1＋m )(x 2＋m )＝1， ∴m ＝0(舍)或m ＝2，∴x 1＋x 2＝2，x 1x 2＝－72，M 点的横坐标为x 1＋x 22＝1，∵DA →·BA →＝(1－x 1)(1－x 2)＋(x 1＋2)(x 2＋2)＝5＋2x 1x 2＋x 1＋x 2＝5－7＋2＝0， ∴AD ⊥AB ，∴过A 、B 、D 三点的圆以点M 为圆心，BD 为直径， ∵点M 的横坐标为1，∴MA ⊥ x 轴. ∴过A 、B 、D 三点的圆与x 轴相切.。