大学微积分教材_第六章

3. 可积的充分条件：
闭区间[a, b] 上连续的函数必在[a, b] 是可积的； [a, b] 上有有限个间断点的有界函数在[a, b] 也可积.
4. 规定: b （1）当 a b 时， f ( x)dx 0 ； a
b
a
（2）当 b a 时， f ( x)dx f ( x)dx .
被
积
函
数
被
积
积
分
表 达 式
变 量
[a, b]： 积 分 区 间
说明：
b
1. f ( x)dx 是一个数值,它只与被积函数 f ( x) 与积 a 分区间 [a, b] 有关,而与积分变量用什么字母无关,如
b
b
b
a f ( x)dx a f (t)dt a f (u)du
2. 有界是可积的必要条件,无界函数一定不可积；

1
i1 n n
o
1x

1 n3
n
i2
i 1

1 n3

n(n
1)(2n 1) 6
，
n,

1 0
x2
dx

lim
n
Sn
1. 3
练习：
P6 习题 6.1 3.画图
3. 利用定积分的几何意义,说明下列等式:
1
(1) 0 2x dx 1;
y
2
y 2x
（2） 1 1 x2 dx ;
n 个 小 区 间[ xi1 , xi ]，
长 度 为xi xi xi1
ba
;
n
o a x1
在每个小区间[ xi1, xi ]
b xi1ixi xn1
x
上任取
一点
，
i
以 [ xi1, xi ]为底，f (i ) 为高的小矩形面积为
Ai f (i )xi
近似
曲边梯形面积的近似值为
若干个分点 a x0 x1 x2 xn1 xn b ， 把区间[a, b]平均分成 n 个小区间，各小区间的长度依次为
xi

xi

ba
xi1= n
，(i
1,2,
),
在各小区间上任取
一点 i (i [ xi1 , xi ])， 作和 S n f (i )xi ，
a
m 1 b f ( x)dx M ，
ba a
由闭区间上连续函数的介值定理知， [a, b] ,使
f ( ) 1
b f ( x)dx , 即
b
f ( x)dx f ( )(b a) .
ba a
a
积分中值公式的几何解释：
y
在区间[a, b]上至少存在一
dx a
( x) d
x
f (t)dt f ( x)
dx a
定理2(原函数存在定理)
如 果 f ( x) 在[a,b] 上 连 续 ， 则 积 分 上 限 的 函 数
x
( x) f (t)dt 就是 f ( x) 在[a, b] 上的一个原函数. a
注：任何连续函数都有原函数
b
a f ( x) dx .
例1 利用定义计算定积分 1 x2 dx . 0
解
将[0,1]n 等分，分点为xi

i ，(i n
1,2,
y
,n)
每个小区间的长度均为1 ，
1
n
取右端点i

i n
，(i

1,2,
,n
)
y x2
Sn

n i 1
f (i )xi

n

i
2
即f (c) 1
b
f ( x)dx
ba a
f (c) f (b)
f ( x)在c,b上连续，在a,b内可导，且f (c) f (b),
由Rolle定理，
至少存在一点 c,b a,b，使得f ( ) 0
练习：
P10 习题 6.2 3(2). 5(1)(3)(5).
i 1
如果无论在小区间[ xi1 , xi ]上点 i 怎样的取法，
若,
lim
n
n i1
f
(
i
)
b
n
a
存在，
我们称这个极限为函数 f ( x) 在区间[a, b]上的定积分，
记为
积分上限
积分和
b
f ( x)dx lim
a
n
n i 1
f
(
i
)
b
n
a
积分下限
ln(1 x)dx 的大小.
0
0
解 令 f ( x) x ln(1 x) ,
则 f ( x) 1 1 x 0 , 0 x 1， 1 x 1 x
于是 f ( x) 在 [0,1] 上单调增加,
f ( x) f (0) 0，x 0
x ln(1 x)，x 0 .
a
a
证 f (x) f (x) f (x) ,
b
b
b
a f ( x) dx a f ( x)dx a f ( x) dx ,
b
b
即 a f ( x)dx a f ( x) dx .
性质6（估值定理）
设 M 及m 分别是函数 f ( x) 在区间 [a,b]
上的最大值及最小值,则
b
m(b a) a f ( x)dx M (b a) .
y
M
oa
m
bx
性质7（定积分中值定理）
设 f ( x) 在[a, b] 上连续,则存在 [a, b] ,使
b
a f ( x)dx f ( )(b a) . 证 m(b a) b f ( x)dx M (b a) ，
个点 ，使得以区间[a,b]为
f ( )
底边，以曲线 y f ( x)
为曲边的曲边梯形的面积
等于同一底边而高为 f ( )
o a b x 的一个矩形的面积。
一般称 1
b
f ( x)dx 为连续函数f ( x) 在[a, b]
ba a
上的平均值.
例1
比较积分
1
xdx 与
1
定理1(微积分基本定理) 设函数 f ( x) 在[a, b] 上连续,
构作积分上限函数
y y= f(x)
( x) x f (t)dt ，x [a, b] a
G(x)
x
0a x
第三节 微积分基本公式
用定义求定积分实际上是行不通的,下面介绍 计算定积分的新方法.
定理1(微积分基本定理) 设函数 f ( x) 在[a, b] 上连续,
x x
x
lim a f (t)dt a f (t)dt
x0
x
x x
lim (t)dt
y
x x
( x) lim x
f (t)dt ,
x0
x
( x)
由积分中值定理得
o a x x x b x
（此性质可以推广到有限多个函数和的情况）
b
b
性质2 kf ( x)dx k f ( x)dx
a
a
性质1,2合称线性性质.
(k为常数)
b
c
b
性质3 a f ( x)dx a f ( x)dx c f ( x)dx
说明：不论a, b, c的相对位置如何, 上式总成立.
例如, a b c,
则
b
f ( x)dx
b
g( x)dx .
a
a
证 令 h( x) g( x) f ( x) 即可.
推论1 若 f (x) g(x), x [a, b] ,
则
b
f ( x)dx
b
g( x)dx .
a
a
推论2
b
b
f ( x)dx f ( x) dx
(a b)
第三节 微积分基本公式
用定义求定积分实际上是行不通的,下面介绍 计算定积分的新方法.
定理1(微积分基本定理) 设函数 f ( x) 在[a, b] 上连续,
构作积分上限函数
y y= f(x)
( x) x f (t)dt ，x [a, b] a
G(x)
x
0a x
第三节 微积分基本公式
用定义求定积分实际上是行不通的,下面介绍 计算定积分的新方法.
n
A f (i )xi
i 1
求和
当分割无限加细,即n 时, 小区间的长度趋近于零.
曲边梯形面积为
n
A lim n i1
f
(
i
)
b
n
a
取极限
（1）分割 （2）近似 （3）求和 （4）极限
二、定积分的定义
定义 设函数 f ( x)在[a, b]上有界，在[a, b]中均匀插入
性质5 如果在区间 [a,b]上 f ( x) 0，
b
则 f ( x) dx 0 . (a b) a
n
证 f (i ) 0 ，Sn f (i )xi 0 ，
i 1
b
由极限的保号性,
a
f
( x)dx

lim
0
S
n

0
.
推论1 若 f (x) g(x), x [a, b] ,