2021高考数学(理)题型分类精编《第10章 圆锥曲线-3 抛物线及其性质》(含历年部分真题)

第3节 抛物线及其性质题型120 抛物线的定义与标准方程1.（2013浙江理15）设F 为抛物线x y C 4:2=的焦点，过点)0,1(-P 的直线l 交抛物线C于两点B A ,，点Q 为线段AB 的中点，若2||=FQ ，则直线的斜率等于________. 2.(2013全国新课标卷理11）设抛物线()2:30C y px p =≥的焦点为F ，点M 在C 上，5MF =，若以MF 为直径的圆过点()02，，则C 的方程为（ ）.A. 24y x =或28y x = B. 22y x =或28y x = C. 24y x =或216y x = D. 22y x =或216y x =3.（2013山东理11） 抛物线()211:02C y x p p=>的焦点与双曲线22:13x C y -=的右焦点的连线交1C 于第一象限的点M ，若1C 在点M 处的切线平行于2C 的一条渐近线，则p =（ ）.4.(2013天津理5）已知双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的两条渐近线与抛物线22(0)px p y =>的准线分别交于A ，B 两点，O 为坐标原点．若双曲线的离心率为2，AOB △ 则p =（ ）.A ．1B ．32C ．2D ．3 5.（2014 湖南理 15）如图所示，正方形ABCD 和正方形DEFG 的边长分别为(),a b a b <，原点O 为AD 的中点，抛物线22y px=()0p >经过C ，F 两点，则ba=________.6.（2015陕西理14）若抛物线22(0)y px p =>的准线经过双曲线221x y -=的一个焦点，则p =________．6．解析 221x y -=的焦点坐标为()，抛物线22(0)y px p =>准线方程为2p x =-，所以2pp -== 命题意图 考查双曲线、抛物线的基本概念.7.（2016全国乙理10）以抛物线的顶点为圆心的圆交于，两点，交的准线于，两点.已知， ，则的焦点到准线的距离为（ ）.A. B. C. D. 7. B 分析 以开口向右的抛物线为例来解答，其他开口同理.解析 设抛物线为，圆的方程为，如图所示.设，，点在抛物线上，所以，得，C C A B C DE ||AB=DE =C 2468()220y px p =>222x y r +=(0A x 2p D ⎛-⎝(0A x 22y px =082px =04x p=AB ==①联立①②，解得，即.则的焦点到准线的距离为4 .故选B.8.（2016浙江理9）若抛物线上的点到焦点的距离为，则到轴的距离是_______．8. 解析 由题意知，该抛物线的焦点，准线为.因为抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离，所以，所以点到轴的距离为9.9.（2017北京理18（1））已知抛物线22C y px =：过点()11P ，.过点102⎛⎫ ⎪⎝⎭，作直线l 与抛物线C 交于不同的两点M ，N ，过点M 作x 轴的垂线分别与直线OP ，ON 交于点A ，B ，其中O 为原点.（1）求抛物线C 的方程，并求其焦点坐标和准线方程； 9.解析 （1）由抛物线2:2C y px =过点()1,1P ，得12p =.所以抛物线C 的方程为2y x =，抛物线C 的焦点坐标为1,04⎛⎫⎪⎝⎭，准线方程为14x =-.10.（2017全国2卷理科16）已知F 是抛物线2:8C y x =的焦点，M 是C 上一点，FM 的延长线交y 轴于点N ．若M 为FN 的中点，则FN = ．10．解析 由28y x =，得4p =，焦点为()20F ，，准线:2l x =-.如图所示，由M 为FN 的中点，故易知线段BM 为梯形AFNC 的中位线.因为2CN =，4AF =，所以3MB =.又由抛物线的定义知MB MF =，且MN MF =，所以6NF NM MF =+=.DE ==②216p =4p =C 24y x =M 10M y 9()1,01x =-()00,M x y ()00110,9x x --==得My题型121 与抛物线有关的距离和最值问题1.（2014 新课标1理10）已知抛物线C ： 28y x =的焦点为F ，准线为l ，P 是l 上一点，Q 是直线PF 与C 的一个交点，若4FP FQ =，则QF =（ ）.A.72 B. 3 C. 52D. 2 2.（2017全国1卷理科10）已知F 为抛物线24C y x =：的焦点，过点F 作两条互相垂直的直线1l ，2l ，直线1l 与C 交于A ，B 两点，直线2l 与C 交于D ，E 两点，则AB DE +的最小值为（ ）.A ．16B ．14C ．12D ．10 2. 解析 解法一：设直线1l 的斜率为k ，则直线2l 的斜率为1k-，设()11,A x y ， ()22,B x y ，()33,D x y ，()44,E x y ，直线()11l k x =-，直线()21:1l y x k=--.联立 ()241y x y k x ⎧=⎪⎨=-⎪⎩，消去y 整理得()2222240k x k x k -++=， 所以2122224424k AB x x p k k+=++=+=+，同理 22342124441k DE x x p k k+=++==+，从而22184+16AB DE k k ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，当且仅 当1k =±时等号成立.故选A.解法二：设AB 的倾斜角为θ，抛物线的准焦距为p ．作1AK 垂直准线于点1K ，2AK 垂直x 轴于点2K ，如图所示.易知11cos 22AF GF AK AK AF p p GP pθ⎧⎪⋅+=⎪⎪=⎨⎪⎛⎫⎪=--= ⎪⎪⎝⎭⎩（几何关系）（抛物线定义），所以cos AF p AF θ⋅+=， 即1cos p AF θ=-，同理1cos p BF θ=+，所以22221cos sin p pAB θθ==-.又DE 与AB 垂直，即DE 的倾斜角为π2θ+，2222πcos sin 2p pDE θθ==⎛⎫+ ⎪⎝⎭. 而24y x =，即2p =，所以22112sin cos AB DE p θθ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭2222sin cos 4sin cos θθθθ+=224sin cos θθ=241sin 24θ== 21616sin 2θ≥，当π4θ=时取等号，即AB DE +的最小值为16.故选A.题型122 抛物线中三角形、四边形的面积问题1.（2014 新课标2理10）设F 为抛物线2:3C y x =的焦点，过F 且倾斜角为°30的直线交于C 于,A B 两点，O 为坐标原点，则OAB △的面积为（ ）.B. C.6332D.94 2.（2014 四川理 10）已知F 是抛物线2y x =的焦点，点A ，B 在该抛物线上且位于x 轴的两侧，2OA OB ⋅=（其中O 为坐标原点），则ABO △与AFO △面积之和的最小值是（ ）.A ．2B ．3 C．8D3.（2015浙江理5）如图，设抛物线24y x =的焦点为F ，不经过焦点的直线上有三个不 同的点,,A B C ，其中点,A B 在抛物线上，点C 在y 轴上，则BCF △与ACF △的面积之 比是（ ）． A.11BF AF -- B.2211BF AF --C. 11BF AF ++ D. 2211BF AF ++3. 解析 依题意，11BCF B ACF A BC BF S x S AC x AF -===-△△．故选A ．4.（2016天津理14）设抛物线（为参数，）的焦点为，准线为.过抛物线上一点作的垂线，垂足为 .设，与相交于点 .若，且的面积为的值为_________.4.解析 抛物线的普通方程为，，.又，则.由抛物线的定义得，所以，则.由，得， 所以即5.（2016上海理20）有一块正方形菜地，所在直线是一条小河，收货的蔬菜可送到点或河边运走．于是，菜地分为两个区域和，其中中的蔬菜运到河边较近，中的蔬菜运到点较近，而菜地内和的分界线上的点到河边与到点的距离相等，现建立平面直角坐标系，其中原点为的中点，点的坐标为，如图所示．（1）求菜地内的分界线的方程；（2）菜农从蔬菜运量估计出面积是面积的两倍，由此得到面积的“经验值”为．设是上纵坐标为的点，请计算以为一边，另一边过点的矩形的面积，及五边形的面积，并判断哪一个更接近于面积的经验值．5.解析 （1）不妨设设分界线上任一点为，依题意222x pt y pt ⎧=⎨=⎩t 0p >F l A l B 7,02p C ⎛⎫⎪⎝⎭AFBC E 2CF AF =ACE △p 22y px =,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭7322p CF p p =-=2CF AF =32AF p =32AB p =A x p =||A y //CF AB 2EF CFEA AF==2CEF CEA S S ==△△ACF AEC CFE S S S =+=△△△132p ⨯=p =EFGH EH F 1S 2S 1S 2S F 1S 2S C F O EF F ()1,0C 1S 2S 1S 83M C 1EH M EOMGH 1S (),x y 1x +=化简得．（2）因为，所以，设以为一边，另一边过点的矩形的面积为，则， 设五边形面积为，过作交于点，则， 因为，， 所以五边形的面积更接近的面积．6.（2018上海20）设常数2t >，在平面直角坐标系xOy 中，已知点()2,0F ，直线:l x t =，曲线τ：()280,0y x x t y =，l 与x 轴交于点A ，与τ交于点B ，P 、Q分别是曲线τ与线段AB 上的动点. （1）用t 为表示点B 到点F 的距离；（2）设3t =，2FQ =，线段OQ 的中点在直线FP 上，求AQP △的面积；（3）设8t =，是否存在以FP 、FQ 为邻边的矩形FPEQ ，使得点E 在τ上？若存在，求点P 的坐标；若不存在，说明理由.6.解析 （1）由题意可知，点B 的横坐标为t ，点F 为抛物线τ的焦点.由抛物线性质可知准线为2x =-，所以点B 到焦点F 的距离为点B 到准线的距离2BF t =+. （2）当3t =时，因为()2,0F ，2FQ =，则1AF =，所以AQ ==，即点Q的坐标为(，所以OQ的中点为32⎛ ⎝⎭.因为线段OQ 的中点在直线FP 上，所以直线FP的方程为)2y x =-，联立)228y x y x ⎧=-⎪⎨=⎪⎩，解得23P x =或6P x =（舍去）. 所以()11233223AQP P S AQ x ⎛⎫=⨯⨯-=-= ⎪⎝⎭△.（2）存在.y =()01x 1M y =2144MM y x ==EH M 3S 3122154S ⎛⎫⨯+=⎪⎝⎭=EOMGH 4S M 1MM HE ⊥HE 1M 114EOMM M MGH S S S =+梯形梯形151511=1+1++2124244⎛⎫⎛⎫⨯⨯⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭13851326S S -=-=411181143126S S -=-=<EOMGH 1S设点200,8y P y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则00220081628PF y yk y y ==--，因为四边形FPEQ 为矩形，所以200168FQy k y -=，则直线FQ 的方程为()2001628y y x y -=-，当8x =时，22000016483684y y y y y --=⨯=，所以点Q 的坐标为2004838,4y y ⎛⎫- ⎪⎝⎭.因为FP FQ FE +=，故点E 的坐标为22000486,84y y y ⎛⎫++ ⎪⎝⎭. 又因为点E 在曲线τ上，所以222000488648y y y ⎛⎫⎛⎫+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得20165y =，因为00y，所以05y =. 故点P的坐标为25⎛ ⎝⎭.7.（2018浙江21）如图，已知点P 是y 轴左侧(不含y 轴)一点，抛物线C ：y 2=4x 上存在不同的两点A ，B 满足PA ，PB 的中点均在C 上．（Ⅰ）设AB 中点为M ，证明：PM 垂直于y 轴； （Ⅱ）若P 是半椭圆x 2+=1(x <0)上的动点，求△P AB 面积的取值范围． 7.本题主要考查椭圆、抛物线的几何性质，直线与抛物线的位置关系等基础知识，同时考查运算求解能力和综合应用能力.满分15分.解析（Ⅰ）设，，．24y 00(,)P x y 2111(,)4A y y 2221(,)4B y y因为，的中点在抛物线上，所以，为方程即的两个不同的实数根． 所以，即1202y y y +=，点M 的纵坐标等于点P 的纵坐标. 因此，垂直于轴．（Ⅱ）由（Ⅰ）可知 所以，． 因此，的面积． 因为()220001104y x x +=-<≤，所以．因此，面积的取值范围是⎡⎢⎣⎦．题型（附） 抛物线（线性规划）1.（2013江苏9）抛物线2x y =在1=x 处的切线与两坐标轴围成三角形区域为D （包含 三角形内部和边界）.若点),(y x P 是区域D 内的任意一点，则y x 2+的取值范围是 .PA PB 1y 2y 202014()422y x y y ++=⋅22000280y y y x y -+-=1202y y y +=PM y 120212002,8,y y y y y x y +=⎧⎪⎨=-⎪⎩2221200013||()384PM y y x y x =+-=-12||y y -=PAB△32212001||||4)24PABS PM y y y x =⋅-=-△2200004444[4,5]y x x x -=--+∈PAB △。