高考数学经典题题精选----三角函数解答题精选

三角函数解答题精选

1. 求函数y=sinx+cosx+1的最值及取得最值时相应x 的值.

解：由y=sinx +cosx +1

得y=2sin(x+4

π

)+1……………………2分 ∴y max =2+1………………4分 y min =－2+1……………………………6分 由x+4π=2k π+2

π

得x=2k π+4π(k ∈Z) 即x=2k π+4

π

(k ∈Z)时，y 取最大值2+1 (9)

分 由x+

4π=2k π－2

π 即x=2k π－43π时y 取最小值1－2……………………12分

2. 已知函数.2

3

21)3

(,2)0(,cos sin cos 2)(2

+=

=+=π

f f x x b x a x f 且 （1）求f (x )的最大值与最小值； （2）若απα求),2,0(,0)(∈=a f 的值.

解：（1）由f (0)=2a =2, 得a =1 ,2,4

3

21)3

(=+=

b b a f 得π

…………（3分） ∴f (x )=2cos 2x +2sin x cos x =sin2x +cos2x +1=1)4

2sin(2++

π

x …………（5分）

∴f (x )的最大值是12+，最小值是21-.………………（6分） （2）∵,2

2)42sin(01)42sin(2,0)(-=+⇒=++

=παπ

αα得f .……（8分） ).12(4

743232

),2,0()

10(,2

4

,4

524

24

24

2分或或或分或或 παπαπαπ

απαπ

παπ

παπ

ππ

απ

ππ

α===

=

∴∈∈+

=-

=∴∈+

=+

-

=+

∴Z k k k Z k k k

3. 已知函数)0.(2

3

cos 3cos sin )(2

>++-⋅=a b a x a x x a x f （1）R x ∈，写出函数的单调递减区间；

（2）设)(],2

,

0[x f x π

∈的最小值是－2，是大值是3，求实数b a ,的值.

解：（1）b x x x a x f ++

-⋅=)2

3

cos 3cos (sin )(2

b x x a +++⨯-⨯=)2

3

22c o s 132s i n 21

(=b x a +-⋅)32sin(π…………4分

)(,,0x f R x a ∈> 的递减区间是)](12

11

,125[Z k k k ∈++

ππππ…………6分

（2）]3

2,

3[32],0[2]2,0[π

ππππ-∈-∴∈∴∈x x x ………………………7分

]1,2

3

[)32sin(-∈-∴πx ………………………………………………………9分

∴函数)(x f 的最小值是22

3

-=+-b a ……………………………………10分

最大值3=

+b a ………11分 解得23,2-==b a ……12分

4. 求函数)6

cos(

sin sin 2

x x x y -+=π

的周期和单调增区间．

解 )s i n 6

s i n c o s 6(c o s s i n s i n

2

x x x x y ππ++= x x x cos sin 23sin 232+=x x 2sin 43)2cos 1(43+-= )2cos 432sin 43(43x x -+=)3

2sin(2343π++=x ． …… 6分 ∴ 函数的周期 ππ

==2

2T ． ……………… 8分 当 22ππ-k ≤32π+x ≤22ππ+k ，即 125ππ-k ≤x ≤12

π

π+k (k ∈Z ) 时函数

单调增加，即函数的增区间是 [125ππ-k ，12

π

π+k ] (k ∈Z )．…… 12分

5. 已知函数2

3

5cos 35cos sin 5)(2

+

-=x x x x f （Ⅰ）求f(x)的最小正周期； （Ⅱ）求f(x)的递增区间. 解：（Ⅰ）2

3

5cos 35cos sin 5)(2

+

-=x x x x f

)3

sin 2cos 3cos 2(sin 52cos 352sin 25

23522cos 1352sin 25π

π

x x x x x x -=-=++-=

)3

2sin(5π

-

=x …………………………4分

∴最小正周期T=

ππ

=2

2 ……………………………………6分 （Ⅱ）由题意，解不等式ππ

π

ππ

k x k 22

3

222

+≤

-

≤+-

……………………8分

得 )(12

512

Z k k x k ∈+≤

≤+-

ππ

ππ

)(x f ∴的递增区间是)](12

5,

12

[Z k k k ∈++-

ππ

ππ

………………12分 6. 已知函数)(,2cos sin 8cos 23)(42x f x

x

x x f 求--=

的定义域，判断它的奇偶性，并求其值域.

解：x

x

x x x x x f 2cos sin 8sin 212cos sin 8)sin 1(23)(4242-+=---=

)

9.()(),()(,)()

7}.(,4

2,|{,4

2,22,02cos )

4(.1sin 42cos )

sin 21)(sin 41(222分是偶函数且的定义域关于原点对称因为分且所以函数的定义域为解得得由分x f x f x f x f z k k x R x x z

k k x k x x x x

x x ∴=-∈+≠∈∈+≠+≠≠+=-+=π

ππ

πππ )

12(}.3,51|{)(,4

2,1sin 4)(2分且的值域为且又≠≤≤∴∈+≠

+=y y y x f z k k x x x f π

π

7. 已知函数.,12sin sin 2)(2

R x x x x f ∈-+=

（1）求)(x f 的最小正周期及)(x f 取得最大值时x 的集合； （2）在给定的坐标系中画出函数)(x f 在],0[π上的图象.