切割角定理

合集下载

选讲:与圆有关的比例线段(切割线定理)

选讲:与圆有关的比例线段(切割线定理)

O A G
D F
∵∠DFE=∠EFA(公共角), ∴ △DFE∽△EFA.
∴EF2 =FG2 ,即FG=EF.
例3 如图,两圆相交于A、B两点,P 为两圆公共弦AB上任意一点,从P引 两圆的切线PC、PD,求证:PC=PD. 证明:由切割线定理可得: PC2=PA∙PB, PD2=PA∙PB. ∴PC2=PD2. 即PC=PD.
选讲部分
与圆有关的比例线段 ----切割线定 理
复习回顾
圆周角定理:圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心 角的一半. 圆心角定理:圆心角的度数等于它所对弧的度数. 推论1:在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等; 反之,相等的圆周角所对的弧也相等. 推论2:半圆(或直径)所对的圆周角是直角;反之,9 0°的圆周角所对的弦是直径. 弦切角定理:弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角.
使割线PA绕P点 运动到切线的位 置,是否还有 PA∙PB=PC∙PD?
C D P
O A(B)
如图,已知点P为⊙O外一点,PA切⊙O于点A,割线PCD 交 ⊙O于C、D. 求证:PA2=PC∙PD.
A
P
O
C
证明:连接AC、AD, ∵PA切⊙O于点A,∴∠D= ∠PAC. 又 ∠P=∠P, ∴ △PAC∽ △ PDA. ∴ PA :PD=PC :PA. ∴PA2= PC∙PD.
与圆有关的比例线段
T A B O C D P
一、下面我们首先沿用从特殊到一般的思路,讨论与圆 有关的相交弦的问题. 探究1: 如图1,AB是⊙O的直径,CD⊥AB,AB与CD相交于P,
线段PA、PB、PC、PD之间有什么关系?
证明:连接AD、BC.
D
图1
则由圆周角定理的推论可得:∠A=∠C. ∴Rt△APD∽Rt△CPB.

圆切线长定理弦切角定理切割线定理相交弦定理

圆切线长定理弦切角定理切割线定理相交弦定理

切线长定理、弦切角定理、切割线定理、相交弦定理以及与圆有关的比例线段学习目标1.切线长概念切线长是在经过圆外一点的圆的切线上,这点和切点之间的线段的长度,“切线长”是切线上一条线段的长,具有数量的特征,而“切线”是一条直线,它不可以度量长度;2.切线长定理对于切线长定理,应明确1若已知圆的两条切线相交,则切线长相等;2若已知两条切线平行,则圆上两个切点的连线为直径;3经过圆外一点引圆的两条切线,连结两个切点可得到一个等腰三角形;4经过圆外一点引圆的两条切线,切线的夹角与过切点的两个半径的夹角互补;5圆外一点与圆心的连线,平分过这点向圆引的两条切线所夹的角;3.弦切角:顶点在圆上,一边和圆相交,另一边和圆相切的角;直线AB切⊙O于P,PC、PD为弦,图中几个弦切角呢四个4.弦切角定理:弦切角等于其所夹的弧所对的圆周角;5.弄清和圆有关的角:圆周角,圆心角,弦切角,圆内角,圆外角;6.遇到圆的切线,可联想“角”弦切角,“线”切线的性质定理及切线长定理;7.与圆有关的比例线段定理图形已知结论证法相交弦定理⊙O中,AB、CD为弦,交于P.PA·PB=PC·PD. 连结AC、BD,证:△APC∽△DPB.相交弦定理的推论⊙O中,AB为直径,CD⊥AB于P.PC2=PA·PB. 用相交弦定理.切割线定理⊙O中,PT切⊙O于T,割线PB交⊙O于APT2=PA·PB连结TA、TB,证:△PTB∽△PAT切割线定理推论PB、PD为⊙O的两条割线,交⊙O于A、CPA·PB=PC·PD过P作PT切⊙O于T,用两次切割线定理圆幂定理⊙O中,割线PB交⊙O于A,CD为弦P'C·P'D=r2-OP'2PA·PB=OP2-r2r为⊙O的半径延长P'O交⊙O于M,延长OP'交⊙O于N,用相交弦定理证;过P作切线用切割线定理勾股定理证8.圆幂定理:过一定点P向⊙O作任一直线,交⊙O于两点,则自定点P到两交点的两条线段之积为常数||R 为圆半径,因为叫做点对于⊙O的幂,所以将上述定理统称为圆幂定理;。

高二数学圆知识点

高二数学圆知识点

高二数学圆知识点一、圆的定义和性质圆是平面上所有到一个固定点距离相等的点的轨迹。

它有以下性质:1. 圆心:固定点叫做圆心,用字母O表示。

2. 半径:任意一条由圆心O到圆上任意一点A的线段叫做半径,用字母r表示。

3. 直径:由圆心O的两个端点确定的经过圆心的线段叫做直径,它的长度等于半径的两倍。

4. 弦:圆上任意两点的连线叫做弦。

5. 弧:两点间的弧是连接这两点的圆上的部分。

圆上除了直径之外的弦所对应的弧叫做圆弧。

圆弧可以用弧所对应的弦的两个端点来表示,如∠AOB所表示的圆弧所对应的弦是弦AB。

6. 弧长:圆弧的长度叫做弧长,用字母L表示。

7. 圆周率:π,是一个无理数,约等于3.14159。

二、圆的元素关系1. 圆心角:圆心角是一个角,顶点是圆心,两边是从圆心到圆弧上的两条弧的切线,圆心角通常用α、β、θ等字母表示。

2. 圆心角的度数:圆心角所对的圆弧的度数等于圆心角的两倍。

3. 弧度制:圆心角所对的圆弧的弧长和半径的比值叫做弧度制,用字母θ表示。

弧度制的换算公式是:θ(弧度)= L(弧长)/ r(半径)。

4. 圆内角和定理:如果一个三角形的一个顶点在圆上,那么这个三角形的其他两个顶点的对应角的和等于180度。

5. 弧与切线的关系:从圆外一点引圆的切线,切点和该点连接圆心所得的弧是切线所对应的弧。

该弧的切线与圆半径的夹角等于90度。

6. 弧所对圆心角相等的弧:两条相交的弧所对的圆心角相等。

三、圆的重要定理1. 切线定理:如果直线与圆相切,那么切点和直线连接圆心所得的线段垂直于直线。

2. 切线与半径的关系:垂直于半径的线段是一个圆的切线。

3. 弦切角定理:一个弦与切线的夹角等于弦所对的弧所对应的圆心角。

4. 垂径定理:半径垂直于弦,当且仅当该半径平分该弦。

5. 弦长定理:如果两根弦的弦长相等,则它们所对的圆内角相等。

6. 切割定理:如果一根弦平分了另一根弦,那么它们所对的弧要么相等,要么互补。

7. 环内切线定理:过一个点只能作两条切线,当且仅当这个点在两圆的圆心连线上。

弦切角定理圆幂定理之割线相交弦切割线定理

弦切角定理圆幂定理之割线相交弦切割线定理

弦切角定理及其应用极点在圆上,一边和圆订交,另一边和圆相切的角叫做弦切角。

(弦切角就是切线与弦所夹的角)弦切角定义图1如右图所示,直线 PT 切圆 O 于点 C,BC 、AC 为圆 O 的弦,∠TCB 、∠ TCA 、∠PCA 、∠PCB 都为弦切角。

弦切角定理弦切角定理:弦切角的度数等于它所夹的弧的圆心角的度数的一半.如上图,∠ PCA=1/2 ∠ COA= ∠ CBA弦切角定理证明:证明一:设圆心为O,连结 OC, OB, 。

∵∠ TCB=90 ° -∠ OCB∵∠ BOC=180 ° -2 ∠ OCB∴,∠ BOC=2 ∠ TCB(定理:弦切角的度数等于它所夹的弧所对的圆心角的度数的一半)∵∠ BOC=2 ∠CAB (同一弧所对的圆心角等于圆周角的两倍)∴∠ TCB= ∠ CAB (定理:弦切角的度数等于它所夹的弧的圆周角)证明已知: AC 是⊙ O 的弦, AB 是⊙ O 的切线, A 为切点,弧是弦切角∠BAC 所夹的弧.求证:(弦切角定理)证明:分三种状况:(1)圆心 O 在∠ BAC 的一边 AC 上∵ AC 为直径, AB 切⊙ O 于 A ,∴弧 CmA= 弧 CA∵为半圆 ,∴∠ CAB=90= 弦 CA 所对的圆周角( 2)圆心 O 在∠ BAC 的内部 . (B点应在A点左边)过 A 作直径 AD 交⊙ O 于 D,若在优弧 m 所对的劣弧上有一点 E那么,连结 EC 、ED 、 EA则有:∠ CED= ∠CAD 、∠ DEA= ∠DAB∴ ∠ CEA= ∠CAB∴ (弦切角定理)( 3)圆心 O 在∠ BAC 的外面 ,过 A 作直径 AD 交⊙ O 于 D那么∠ CDA+ ∠CAD= ∠ CAB+ ∠ CAD=90 °∴∠ CDA= ∠ CAB∴(弦切角定理)3弦切角推论推论内容若两弦切角所夹的弧相等,则这两个弦切角也相等应用举例例1:如图,在⊙ O 中,⊙ O 的切线 AC 、 BC 交与点C ,求证:∠ CAB= ∠ CBA 。

弦切角定理 证明-概念解析以及定义

弦切角定理 证明-概念解析以及定义

弦切角定理证明-概述说明以及解释1.引言1.1 概述弦切角定理是几何学中一个重要的定理,被广泛应用于圆的相关问题中。

根据该定理,如果一个弦切割了一个圆,并且与该圆的切线相交于切点,那么与这个弦相对的角与这个切线相交的角是相等的。

这个定理基于圆的几何性质而推导得出,它不仅具有理论的重要性,还被大量应用于解决实际问题。

无论是在数理推导中,还是在物理、工程等实际应用中,弦切角定理都被广泛运用。

本文将会系统地介绍弦切角定理的定义、证明要点和应用。

在正文部分,我们将详细阐述定理的定义,解释证明该定理所需的关键要点,并通过推理和几何演绎来证明这一定理的正确性。

同时,我们也将结合实际问题,展示弦切角定理在实际中的应用。

结论部分将对弦切角定理的意义进行总结,并回顾全文的主要内容。

通过阅读本文,读者将能够深入了解弦切角定理的定义、证明过程,并能够灵活运用该定理解决与圆相关的问题。

同时,本文也为读者展示了弦切角定理在实际中的重要性和应用价值。

在接下来的章节中,我们将逐步介绍弦切角定理的定义、证明要点以及其在实际问题中的应用。

希望读者通过对本文的阅读和理解,能够对弦切角定理有一个全面而深入的认识,从而在解决相关问题时能够能够灵活运用并取得理想的结果。

1.2 文章结构文章结构部分的内容可以按照以下方式编写:在本文中,我将探讨弦切角定理的证明。

本文分为引言、正文和结论三部分。

引言部分将对弦切角定理进行概述,介绍其定义、重要性和应用领域。

然后我会详细说明本文的结构以及每个部分的内容。

正文部分将详细介绍弦切角定理的证明。

首先,我将给出弦切角定理的定义,并解释其背后的数学原理。

然后,我会重点讨论证明该定理所需的关键要点。

第一要点将涉及到几何图形的构建和性质推导,第二要点将涉及到角度关系的推理和推导。

通过详细的推导和证明过程,读者将能够全面理解弦切角定理的证明方法。

结论部分将归纳总结弦切角定理的应用和意义。

我将讨论该定理在几何学中的实际应用,以及它对其他几何定理的推导和应用的重要性。

初中几何证明口诀

初中几何证明口诀

初中几何证明口诀在初中几何中,证明是学习的重要内容之一、通过证明,可以巩固和提高自己对几何知识的理解和应用能力。

以下是一些常用的初中几何证明口诀:1.三角形的内角和定理:三角形内角和为180度。

可以通过绘制平行线、共线线段等方法证明。

2.外角定理:三角形的外角等于其余两个内角的和。

可以通过绘制平行线等方法证明。

3.垂直角定理:垂直角相等。

可以通过绘制平行线、共线线段等方法证明。

4.同位角定理:同位角相等。

可以通过平行线等方法证明。

5.三角形的相似性定理:相似三角形的对应角相等,对应边成比例。

可以通过AA、SSS、SAS等方法证明。

6.圆周角定理:圆周角是圆心角的两倍。

可以通过绘制弧、使用同位角等方法证明。

7.弦切角定理:弦切角等于其对应的弧的一半。

可以通过绘制切线、弧等方法证明。

8.正方形的特性:正方形的四条边相等,四个角为直角。

可以通过对角线等方法证明。

9.等腰三角形的特性:等腰三角形的两边相等,两个底角相等。

可以通过绘制高线等方法证明。

10.平行四边形的特性:平行四边形的对边相互平行,对角线相互平分。

可以通过角平分线等方法证明。

11.三角形的中线定理:三角形的三个中线交于一点,且这点距离三个顶点的距离是各边长的一半。

可以通过线段等方法证明。

12.直角三角形的勾股定理:直角三角形的两个直角边的平方和等于斜边的平方。

可以通过平行四边形等方法证明。

13.外切圆定理:三角形的外接圆的圆心是三个顶点的垂直平分线的交点。

可以通过角平分线、圆心角等方法证明。

14.圆的切线定理:切线与半径垂直。

可以通过绘制切线、使用垂直角等方法证明。

15.纵横切割定理:两条平行线被一条截线切割,那么两个内角和为180度。

可以通过平行线等方法证明。

这些口诀可以帮助初中生记住一些重要的初中几何证明定理,并引导他们学习如何使用特定的几何性质进行证明。

同时,更重要的是理解定理的证明过程,培养逻辑思维能力和几何推理能力。

1_25与圆有关的比例线段(切割线定理)讲解

1_25与圆有关的比例线段(切割线定理)讲解

如图,已知点P为⊙O外一点,割线PBA、PDC分别交
⊙O于A、B和C、D. 求证:PA∙PB=PC∙PD.
C D
O B
A
证法2:连接AC、BD,
P
∵四边形ABDC为⊙O 的内 接四边形, ∴∠PDB= ∠A,
又 ∠P=∠P,
∴ △PBD∽ △ PCA.
∴ PD :PA=PB :PC.
∴ PA∙PB=PC∙PD.
例5 如图,AB、AC是⊙O的切线,ADE 是⊙O的割线,连接CD、BD 、BE 、CE.
B E
问题1:由上述条件能推出哪些结论?A
探究1:由已知条件可知∠ACD=∠AEC,
D O
图1
而∠CAD=∠EAC, ∴△ADC∽△ACE. ……(1) C
∴ CD:CE=AC:AE, ∴CD•AE=AC•CE. ………(2)
代数、几何等知识的联系及应用
C
A
D O
B
A
C′
C DB
说明了“射影定理”是“相交弦定理”和“切割线定理”的 特例!
例1 如图,圆内的两条弦AB、CD相交于圆内一点P, 已知PA=PB=4,PC=PD/4.求CD的长.
解:设CD=x,则PD=4/5x,PC=1/5x.
C
B
由相交弦定理,得PA∙PB=PC∙PD, A P
∴4×4=1/5x•4/5x,解得x=10.
B3
A2 P
解:(1)由切割线定理,得 PC ∙ PD=PA ∙ PB
m
C
∵AB=3, PA=2,∴PB=AB+PA=5.
O
4
设PC=m, ∵CD=4 , PD=PC+CD=m+4.
∴m(m+4)=2×5

圆的割线定理证明过程

圆的割线定理证明过程

圆的割线定理证明过程
圆的割线定理,也被称为切割线定理或切线切割定理,描述了一个割线和其所截取圆上弧的关系。

这个定理可以表述为:一个割线通过圆上的两点,其所截取的弧等于这两点之间的圆周角的一半。

设在圆上有两点A和B,割线AB截取的弧为CD(圆上其他点的名称),则有以下证明过程:
1.连接圆心:从割线的两个端点A和B引出一条线段,连接到
圆的圆心O。

2.垂直关系:证明AO和BO是割线的两条半径。

在圆上,半径
与切线垂直。

因此,AO和BO垂直于割线AB。

3.角的性质:利用垂直交角相等的性质,得知∠AOB是一个直
角。

4.割线和弦的关系:利用割线截取弧等于所截取圆周角的一半的
性质,可以得到角∠ACB(或∠CDB)是∠AOB的一半。

5.等腰三角形:由于AO和BO是半径,所以三角形AOB是一
个等腰三角形。

6.弧的性质:由于等腰三角形的底边AB对应于弧CD,所以弧
CD等于弧CB。

这样,就证明了割线AB截取的弧CD等于割线所截取圆周角∠AOB的一半。

这个过程可以根据具体的情况稍作变化,但核心思想是利用垂直交角相等和等腰三角形的性质。

弦定理公式大全

弦定理公式大全

1.弦分线段定理(二弦定理):在一个圆中,两条弦AB、CD相交于点E,则有:
AE × EB = CE × ED。

2.弦切定理(切割定理):在一个圆中,一条切线与外一条弦相交于点A,则有:
AE × EB = CE²(其中CE为切线,AE、EB为弦)。

3.弦切角定理:在一个圆中,一条切线与一条弦的夹角等于该弦所对的圆周角的一
半。

4.弦心角定理:在一个圆中,弦所对的圆周角等于其所对的弦心角的一半。

5.弦的垂直定理:在圆的内部,若弦AB与直径CD垂直相交于点E,则有:AE ×
EB = CE × ED = CE²。

这些是一些常用的弦定理公式,可以用于在圆形几何问题中进行推导和计算。

它们能够帮助我们研究和解决与圆相关的几何问题。

在使用这些定理时,记得根据具体情况选择适用的公式,并注意理解公式的含义和使用条件。

切割线定理·中考培优必不可少

切割线定理·中考培优必不可少

切割线定理切割线定理:从圆外一点引圆的切线和割线,切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。

是圆幂定理的之一。

切割线定理示意图几何语言:∵PT切⊙O于点T,PDC是⊙O的割线∴PT²=PD·PC(切割线定理)[1]推论:从圆外一点引圆的两条割线,这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等几何语言:∵PT是⊙O切线,PBA、PDC是⊙O的割线∴PD·PC=PA·PB(切割线定理推论)(割线定理)由上可知:PT²=PA·PB=PC·PD弦切角定理顶点在圆上,一边和圆相交,另一边和圆相切的角叫做弦切角。

如图所示,,线段PT所在的直线切圆O于点C,BC、AC为圆O的弦,∠TCB、∠TCA、∠PCA、∠PCB都为弦切角。

上图弦切角定理:弦切角的度数等于它所夹的弧的圆心角度数的一半。

等于它所夹的弧的圆周角度数。

定理:以三角形任意一条边为邻边,在三角形外部作一个角等于该边的对角,那么所作角的另一边与三角形外接圆相切,切点为所作角的顶点。

几何描述:设△ABP的外接圆为⊙O,在△ABP外部作∠BAC=∠BPA,则AC切⊙O 于A。

注意定理的描述,所作角必须在三角形的外部,且该角与三角形有公共的边。

该定理的等价描述为:角的度数等于所夹弧所对圆周角的角为弦切角。

几何描述:设直线AC与圆相交于A,AB是圆的一条弦,P是圆上与A,B不重合的点。

若∠BAC=∠BPA,则∠BAC是弦切角,即AC与圆相切于A。

推论:若两弦切角所夹的弧相等,则这两个弦切角也相等。

例1:如图,在⊙O中,⊙O的切线AC、BC交于点C,求证:∠CAB=∠CBA。

解:∵AC、BC是⊙O的两条切线,∴AC=BC(切线长定理)。

∴∠CAB=∠CBA。

(等腰三角形“等边对等角”)。

例2:如图,AD是ΔABC中∠BAC的平分线,经过点A的圆与BC相切于点D,与AB,AC分别相交于E,F.求证:EF//BC.证明:连接DF∵AD是∠BAC的平分线∴∠BAD=∠CAD∵∠EFD=∠BAD∴∠EFD=∠CAD∵⊙O切BC于D∴∠FDC=∠CAD∴∠EFD=∠FDC∴EF∥BC例3:如图,ΔABC内接于⊙O,AB是⊙O直径,CD⊥AB于D,MN切⊙O于C,求证:AC平分∠MCD,BC平分∠NCD. 证明:∵AB是⊙O直径∴∠ACB=90∵CD⊥AB∴∠A+∠B=∠A+∠DCA∴∠ACD=∠B,∵MN切⊙O于C∴∠MCA=∠B,∴∠MCA=∠ACD,即AC平分∠MCD,同理:BC平分∠NCD。

初三数学三角形内切圆弦切角定理相交弦定理切割线定理例题解析浙江试题

初三数学三角形内切圆弦切角定理相交弦定理切割线定理例题解析浙江试题

卜人入州八九几市潮王学校初三数学三角形内切圆弦切角定理相交弦定理切割线定理例题解析一.本周教学内容三角形内切圆弦切角定理相交弦定理切割线定理二.教学目的掌握三角形内切圆的有关概念,作图;掌握弦切角定理并会运用弦切角定理进展有关的证明和计算;掌握相交弦定理和切割线定理进展有关的证明计算。

三.重、难点重点:弦切角定理、相交弦定理、切割线定理的证明及其应用难点:弦切角定理的分类证明;节例1的教学[例1]ABC ∆的内切圆半径为3=r ,D 、E 、F 为切点,︒=∠60ABC ,BC=8,310=∆ABC S ,求AB 、AC 的长。

解:连OD 、OB ∵BC 、BA 是⊙O 的切线∴BC OD ⊥,︒=∠=∠3021ABC OBD 又∵3==r OD OD BD OBD =∠cot ∴BD=OD 330cot =︒ ∴5=-=BD BC DC∴由切线长定理得3==BD BE ,5==CD CF 设x AF AE ==∵AOC AOB BOC ABCS S S S ∆∆∆∆++=r AC r AB r BC ⋅+⋅+⋅=212121 ∴310338=+x ∴2=x 故5=AB 7=AC精析:在三角形的内切圆问题中,常用以下几点:〔1〕分解成切线长定理〔2〕ABC ABCC r S ∆∆⋅⋅=21 〔3〕ABC Rt ∆中2c b a r -+=[例2]AB 是⊙O 的直径,过B 作⊙O 的切线BC ,OC 交⊙O 于E ,AE 的延长线交BC 于D 。

〔1〕求证:CB CD CE⋅=2〔2〕假设cm BC AB 2==求CE 、CD 的长。

证:〔1〕连BE CED ∆⇒∽CECD CB CE CBE =⇒∆CB CD CE ⋅=⇒2 〔2〕在OBC Rt ∆中,121===AB OE OB ,2=BC ∴5=OC ∴15-=-=OE OC CE 由CB CD CE ⋅=2 得5325262-=-==CB CE CD 精析:弦切角定理沟通了弦切角,圆心角,圆周角,弧的度数四者之间的关系。

线段与角的度量

线段与角的度量

线段与角的度量线段与角是几何学中的重要概念,它们的度量方法是我们学习几何的基础。

在本文中,我们将探讨线段的度量和角的度量,并介绍一些相关的概念和定理。

一、线段的度量在线段的度量中,我们常用长度来表示线段的大小。

长度是指从线段的一个端点到另一个端点的距离。

为了方便起见,我们通常使用单位长度来度量线段,如厘米、米等。

线段的度量有以下几个特点:1. 两个等长的线段具有相等的度量。

2. 线段度量的加法和减法满足数学中的加法和减法规则。

3. 线段度量可用于解决实际问题,比如计算周长、面积等。

二、角的度量角是由两条射线共享一个公共端点形成的图形,我们用它来描述物体之间的相对位置和方向。

角的度量通常用弧度或度数来表示。

1. 弧度制弧度制是一种角度度量方式,它以线段的弧长与半径的比值来表示角的大小。

其中,弧度是单位长度为半径的圆弧所对应的角度大小,符号常用rad表示。

一周的角度为360°,对应的弧度为2π rad。

2. 度数制度数制是我们常用的度量方式,它将一周的角度平均分为360等份,每份为1°。

我们可以使用直尺或量角器来度量角的大小。

三、相关定理和概念1. 同位角同位角是指两条平行线被一条截线所切割形成的对应角,它们的度数相等。

2. 全角全角是指平面内一条射线绕着一个固定端点旋转一周所成的角,它的度数为360°或2π rad。

3. 余角余角是指与给定角相加等于全角的角。

结语通过本文,我们了解了线段和角的度量方法,以及相关的定理和概念。

线段和角的度量在几何学中起着重要的作用,它们不仅可以用来描述实际问题,还可以应用于解决各种几何推理和证明问题。

因此,掌握线段和角的度量方法对于学习和应用几何知识具有重要意义。

数学立体几何八大定理

数学立体几何八大定理

数学立体几何八大定理
1. 柿子定理:一个作为平面多边形底面的凸多面体的侧面积等
于这个凸多面体表面积的一半加上这个多面体面数目乘以它的底面积。

2. 欧拉定理:一个简单凸多面体的面数、顶点数和边数满足公式:面
数+顶点数=边数+2。

3. 狄利克雷定理:如果一个立体角的每个边界面都可以划分成互不相
交有限个平凡的平面角,则这个立体角为平凡的。

一个立体角被称为
平凡的,当且仅当它可以被划分成三角形。

4. 菲赫斯定理:一个多面体的每条棱所在的平面相交于一点(称为多
面体的菲赫斯点)。

5. 球冠切割定理:一个球的表面可以被三个平面分割成球冠。

6. 萨公定理:任何一个超过120度的立体角可以被切割成平凡的立体角。

7. 凸多面体的交角定理:凸多面体中任意两个面交角的余角的总和等
于360度。

8. 柯西・切比雪夫定理:如果两个凸多面体的交集不为空,则它们的
交界面至少有一点。

弦切角 相交弦 切割线定理

弦切角 相交弦 切割线定理
A B
.
P C 0
D
m
A P
顶点在圆上,一边与圆相交,另一边 与圆相切的角叫做弦切角。
下面五个图中的∠BAC是不是弦切角?
C B A C C A
×
B
×
C
B
A
×
B
B C
×
A
A

从数学的角度看,弦切角能分成三大类 C C C .O .O .O P P P B B A A B D A D BAC为直角, BAC为锐角,BAPT是切线,T是切点, PA是割线 , 点A和B是它与⊙o的交点。 2 求证:PT =PA · PB 切割线定理:从圆外一点引圆的切线和割线,切线长是 这点到割线与圆交点的两条线段长的比例 2 中项。 即 PT =PA· PB
T 1
证明: 连结TA,TB P ∠ 1= ∠ B ∠ P= ∠ P
圆心在AC上。 圆心在角外。 圆心在角内。
上图中BAC所夹的弧分别是:半圆 、劣弧、优弧。
现在分别作出他们所对 的圆周角APC, 如上图
猜想:弦切角BAC与圆周角APC的关系
︵ 已知:AC是⊙O的弦,AB是⊙O的切线, AmC ︵ 是弦切角∠BAC所夹的弧,∠P是AmC所对的 圆周角。求证:∠BAC=∠P ( 1 ) 圆心O在∠BAC的外部
我们曾经学习过的有关于圆的角PAB
A
点A运动到圆上
O(A) B P 使 PA 与 圆 相 A切 O B PA 绕 A 旋 转 O B
A与圆心O重合
PAB为圆心角
P
PAB为圆周角
P
此时PAB是什么角?
∠PAB的顶点及两边与圆的位置关系是怎样? 顶点在圆上一边与圆相 交,另一边与圆相切的 角叫做弦切角 B

完整版弦切角定理圆幂定理之割线相交弦切割线定理

完整版弦切角定理圆幂定理之割线相交弦切割线定理

弦切角定理及其应用顶点在圆上,一边和圆相交,另一边和圆相切的角叫做弦切角。

(弦切角就是切线与弦所夹的角)弦切角定义1图如右图所示,直线PT切圆O于点C,BC、AC为圆O的弦,∠TCB、∠TCA、∠PCA、∠PCB都为弦切角。

弦切角定理弦切角定理:弦切角的度数等于它所夹的弧的圆心角的度数的一半.如上图,∠PCA=1/2∠COA=∠CBA弦切角定理证明:证明一:设圆心为O,连接OC,OB,。

∵∠TCB=90°-∠OCB∵∠BOC=180°-2∠OCB∴,∠BOC=2∠TCB(定理:弦切角的度数等于它所夹的弧所对的圆心角的度数的一半)∵∠BOC=2∠CAB(同一弧所对的圆心角等于圆周角的两倍)的度数等于它所夹的弧的圆周角)弦切角:定理(CAB∠TCB=∴∠.AC是⊙O的弦,AB是⊙O的切线,A证明已知:为切点,弧是弦切角∠BAC所夹的弧.求证:(弦切角定理)证明:分三种情况:(1)圆心O在∠BAC的一边AC上∵AC为直径,AB切⊙O于A,∴弧CmA=弧CA∵为半圆,∴∠CAB=90=弦CA所对的圆周角(2)圆心O在∠BAC的内部. ()点左侧A点应在B D, 于交⊙过A作直径ADOE 所对的劣弧上有一点若在优弧mEA那么,连接、、EDECDAB ∠CADCED=∠、∠DEA=则有:∠CAB CEA= ∠∠∴∴(弦切角定理), O3()圆心在∠BAC的外部D于ADA过作直径交⊙O CAD=CDA+ 那么∠∠∠°CAD=90∠CAB+CAB∠CDA=∴∠.∴(弦切角定理)弦切角推论3推论内容若两弦切角所夹的弧相等,则这两个弦切角也相等应用举例例1:如图,在⊙O中,⊙O的切线AC、BC交与点C,求证:∠CAB=∠CBA。

解:⊙O的切线AC、BC交与点C,∴AC=BC(切线长定理)。

∴∠CAB=∠CBA。

(等腰三角形“等边对等角”)。

例2:如图,AD是ΔABC中∠BAC的平分线,经过点A的⊙O与BC切于点D,与AB,AC 分别相交于E,F. 求证:EF//BC.证明:连接DFAD是∠BAC的平分线∠BAD=∠DAC ∠EFD=∠BAD ∠EFD=∠DAC⊙O切BC于D ,∠FDC=∠DAC ∠EFD=∠FDCEF∥BC例3:如图,ΔABC内接于⊙O,AB是⊙O直径,CD⊥AB于D,MN切⊙O于C,求证:AC 平分∠MCD,BC平分∠NCD.证明:∵AB是⊙O直径∴∠ACB=90,B∠ACD=∴∠AB ⊥CD∵.∴∠MCA=∠切⊙OB于C ,∵MN∴∠MCA=∠ACD,即AC平分∠MCD,同理:BC平分∠NCD。

切割角定理

切割角定理

顶点在圆上,一边和圆相交,另一边和圆相切的角叫做弦切角∴∠PCA=∠PBC(∠PCA为弦切角)编辑本段弦切角定理弦切角定理:弦切角的度数等于它所夹的弧的圆心角的度数的一半. (弦切角就是切线与弦所夹的角)弦切角定理证明证明:设圆心为O,连接OC,OB,OA。

过点A作TP的平行线交BC于D,则∠TCB=∠CDA∵∠TCB=90-∠OCD∵∠BOC=180-2∠OCD更清楚的∴,∠BOC=2∠TCB(弦切角的度数等于它所夹的弧的圆心角的度数的一半)∵∠BOC=2∠CAB∴∠TCB=∠CAB(弦切角的度数等于它所夹的弧的圆周角)证明已知:AC是⊙O的弦,AB是⊙O的切线,A为切点,弧是弦切角∠BAC 所夹的弧.求证:.(弦切角定理)证明:分三种情况:(1)圆心O在∠BAC的一边AC上∵AC为直径,AB切⊙O于A,∴弧CmA=弧CA∵为半圆,∴∠CAB=90=弦CA所对的圆周角B点应在A点左侧(2)圆心O在∠BAC的内部.过A作直径AD交⊙O于D,若在优弧m所对的劣弧上有一点E那么,连接EC、ED、EA则有:∠CED=∠CAD、∠DEA=∠DAB∴ ∠CEA=∠CAB∴ (弦切角定理)(3)圆心O在∠BAC的外部,过A作直径AD交⊙O于D那么∠CDA+∠CAD=∠CAB+∠CAD=90∴∠CDA=∠CAB∴(弦切角定理)编辑本段推论内容若两弦切角所夹的弧相等,则这两个弦切角也相等应用举例例1:如图,在中,∠C=90,以AB为弦的⊙O与AC相切于点A,∠CBA=60° , AB=a 求BC长.解:连结OA,OB.∵在中, ∠C=90∴∠BAC=30°∵ (弦切角定理)∴∠AOB=60°又∵AO=BO∴为等边三角形∴A O=AB=BO=2BC∴BC=1/2a例2:如图,AD是ΔABC中∠BAC的平分线,经过点A的⊙O与BC切于点D,与AB,AC分别相交于E,F.求证:EF∥BC.证明:连DF.AD是∠BAC的平分线∠BAD=∠DAC∠EFD=∠BAD∠EFD=∠DAC⊙O切BC于D ∠FDC=∠DAC∠EFD=∠FDCEF∥BC例3:如图,ΔABC内接于⊙O,AB是⊙O直径,CD⊥AB于D,MN切⊙O于C,求证:AC平分∠MCD,BC平分∠NCD.证明:∵AB是⊙O直径∴∠ACB=90∵CD⊥AB∴∠ACD=∠B,∵MN切⊙O于C∴∠MCA=∠B,∴∠MCA=∠ACD,即AC平分∠MCD,同理:BC平分∠NCD.。

三角形的几何定理

三角形的几何定理

三角形的几何定理
1. 三角形内角和定理:任意三角形的内角和等于180度。

2. 三角形外角定理:三角形的一个外角等于其不相邻的两个内角的和。

3. 等腰三角形定理:一个三角形的两个角相等,则对应的两边也相等。

4. 等边三角形定理:一个三角形的三个角均相等,则三条边也相等。

5. 直角三角形定理:一个三角形中,若一个角为90度,则另外两个
角为锐角或钝角。

6. 锐角三角形定理:一个三角形中的三个内角均小于90度。

7. 钝角三角形定理:一个三角形中的一个内角大于90度。

8. 三角形的角平分线定理:三角形内一条角的角平分线将对应的边分
成的两条线段的比等于与这条角对应的两个内角的正弦比。

9. 正弦定理:一个三角形中,任意一边的长度与其对应的角的正弦值
成正比。

10. 余弦定理:一个三角形中,任意一边的平方等于其他两边的平方
和减去这两边的乘积与对应的角的余弦值的两倍的乘积。

圆锥斜切角正弦定理及其应用

圆锥斜切角正弦定理及其应用

圆锥斜切角正弦定理及其应用
圆锥斜切角正弦定理及其应用
圆锥斜切角正弦定理是几何学中一个经典的定理,此定理描述了圆锥体斜切面两点间的正弦值与圆锥弧上正切线段长度之间的关系。

圆锥斜切角正弦定理可以用来解决各种测量问题,比如计算圆锥的体积,计算距离平面多少,以及计算不同斜角藩篱上的定点之间的距离。

圆锥斜切角正弦定理可以应用于机械制造领域,比如圆筒形零件的生产,这里有一个假定,零件的表面不能有裂纹,只有满足这个条件,这个零部件才能够被定义为合格品。

圆锥斜切角正弦定理可以用来计算采用不同斜角取样点到平面的准确距离,这样就可以让制造过程的细节能够得以控制。

圆锥斜切角正弦定理的另一个应用是工程学学科,有时候需要在各种杂乱的地面找到适合建设的桩子,这时就需要圆锥斜切角正弦定理来计算出与地面平行的桩的距离,从而便于更好地实施工程。

总之,圆锥斜切角正弦定理是应用广泛的几何定理,其应用已被证明可以极大地提升零部件制造和工程实施的效率。

我们期待在此定理的指引下,实现出更加优质的技术成果。

初中数学 什么是同旁内角的性质和定理

初中数学 什么是同旁内角的性质和定理

初中数学什么是同旁内角的性质和定理在初中数学中,同旁内角是指两条平行线被一条截线所切割形成的内角。

在本篇文章中,我们将详细介绍同旁内角的性质和定理。

1. 同旁内角的性质:- 同旁内角性质1:同旁内角是相等的。

具体来说,如果两条平行线被一条截线所切割,那么同旁内角的度数是相等的。

也就是说,同旁内角的度数相等。

- 同旁内角性质2:同旁内角是补角。

具体来说,如果两条平行线被一条截线所切割,那么同旁内角中的一个角与其相对角的度数之和等于180度。

换句话说,同旁内角中的一个角是一个角的补角,则另一个角也是该角的补角。

2. 同旁内角的定理:- 同旁内角定理1:如果两条平行线被一条截线所切割,那么同旁内角是相等的。

换句话说,如果两条平行线被一条截线所切割,那么同旁内角的度数是相等的。

- 同旁内角定理2:如果两条平行线被一条截线所切割,那么同旁内角是补角。

换句话说,如果两条平行线被一条截线所切割,那么同旁内角中的一个角与其相对角的度数之和等于180度。

同旁内角的性质和定理的应用:1. 利用同旁内角定理求解角度:通过已知同旁内角的性质和定理,可以求解各种与同旁内角相关的角度问题,如计算同旁内角的度数、证明两个角是同旁内角等。

2. 判断平行线与截线的关系:通过观察同旁内角的性质和定理,可以判断给定的线段之间是否平行,或者给定的角度是否为同旁内角。

3. 证明定理和推导结论:同旁内角的定理是证明定理和推导结论的重要工具,可以帮助我们进行推理和论证。

4. 解决几何问题:同旁内角的性质和定理在解决几何问题中起着重要的作用,如证明三角形内角和为180度、证明平行四边形等。

综上所述,同旁内角的性质和定理是初中数学中的重要概念,它们在解决各种与角度相关的问题时起着重要的作用。

理解同旁内角的性质和定理,对于初中数学的学习和应用都具有重要的意义。

几何中的角度关系

几何中的角度关系

几何中的角度关系几何是研究形状、大小、位置之间关系的数学分支,而角度是几何中重要的概念之一。

角度关系则是指不同角度之间的特定关系。

本文将探讨几何中的角度关系,介绍其定义、性质和应用。

一、角度的定义和表示方法角度是指由两条射线或线段共同确定的图形部分。

标准的角度表示方法是使用大写字母表示角的顶点,小写字母表示边上任意一点。

例如,角ABC表示以点B为顶点的角。

角的大小通常用度数(°)或弧度(rad)来表示。

二、角度关系的基本概念1. 相等角:如果两个角的度数或弧度数相等,则它们是相等角。

相等角具有相同的大小,可以通过角度的基本运算来证明它们相等。

2. 互补角:若两个角的和等于90°,则它们是互补角。

例如,当一个角为30°时,与之互补的角为60°。

3. 余补角:若两个角的和等于180°,则它们是余补角。

例如,当一个角为45°时,与之余补的角为135°。

4. 对顶角:当两个角共享一个顶点且边形成一条直线时,它们被称为对顶角。

对顶角是相等的。

5. 锐角:角度小于90°的角被称为锐角。

6. 直角:角度等于90°的角被称为直角。

7. 钝角:角度大于90°但小于180°的角被称为钝角。

三、角度关系的性质和定理1. 角平分线定理:若一条射线将一个角分为两个相等的角,则这条射线被称为该角的角平分线。

2. 垂直角定理:垂直交叉直线所形成的4个角相互之间是相等的。

3. 同位角定理:当一条直线与两条平行线相交时,同位角相等。

4. 内错角定理:当两条平行线被一条截线切割时,内错角之和等于补角。

5. 同旁内角定理:当两条平行线被一条截线切割时,同旁内角相等。

四、角度关系的应用角度关系在几何中有广泛的应用,以下为几个常见的应用场景:1. 三角形:角度关系在三角形的内角和外角研究中起着重要作用。

例如,三角形的内角和等于180°,外角等于内错角之和。

  1. 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性,平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
  2. 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
  3. 3、如文档侵犯您的权益,请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间:9:00-18:30)。

顶点在圆上,一边和圆相交,另一边和圆相切的角叫做弦切角
∴∠PCA=∠PBC(∠PCA为弦切角)
编辑本段
弦切角定理
弦切角定理:弦切角的度数等于它所夹的弧的圆心角的度数的一半. (弦切角就是切线与弦所夹的角)弦切角定理证明
证明:设圆心为O,连接OC,OB,OA。

过点A作TP的平行线交BC于D,则∠TCB=∠CDA
∵∠TCB=90-∠OCD
∵∠BOC=180-2∠OCD
更清楚的
∴,∠BOC=2∠TCB(弦切角的度数等于它所夹的弧的圆心角的度数的一半)∵∠BOC=2∠CAB
∴∠TCB=∠CAB(弦切角的度数等于它所夹的弧的圆周角)
证明已知:AC是⊙O的弦,AB是⊙O的切线,A为切点,弧是弦切角∠BAC 所夹的弧.
求证:.(弦切角定理)
证明:分三种情况:
(1)圆心O在∠BAC的一边AC上
∵AC为直径,AB切⊙O于A,
∴弧CmA=弧CA
∵为半圆,
∴∠CAB=90=弦CA所对的圆周角
B点应在A点左侧(2)圆心O在∠BAC的内部.
过A作直径AD交⊙O于D,
若在优弧m所对的劣弧上有一点E
那么,连接EC、ED、EA
则有:∠CED=∠CAD、∠DEA=∠DAB
∴ ∠CEA=∠CAB
∴ (弦切角定理)
(3)圆心O在∠BAC的外部,
过A作直径AD交⊙O于D
那么∠CDA+∠CAD=∠CAB+∠CAD=90
∴∠CDA=∠CAB
∴(弦切角定理)
编辑本段
推论内容
若两弦切角所夹的弧相等,则这两个弦切角也相等
应用举例
例1:如图,在中,∠C=90,以AB为弦的⊙O与AC相切于点A,∠CBA=60° , AB=a 求BC长.
解:连结OA,OB.
∵在中, ∠C=90
∴∠BAC=30°
∵ (弦切角定理)
∴∠AOB=60°
又∵AO=BO
∴为等边三角形
∴A O=AB=BO=2BC
∴BC=1/2a
例2:如图,AD是ΔABC中∠BAC的平分线,经过点A的⊙O与BC切于点D,与AB,AC分别相交于E,F.
求证:EF∥BC.
证明:连DF.
AD是∠BAC的平分线∠BAD=∠DAC
∠EFD=∠BAD
∠EFD=∠DAC
⊙O切BC于D ∠FDC=∠DAC
∠EFD=∠FDC
EF∥BC
例3:如图,ΔABC内接于⊙O,AB是⊙O直径,CD⊥AB于D,MN切⊙O于C,求证:AC平分∠MCD,BC平分∠NCD.
证明:∵AB是⊙O直径
∴∠ACB=90
∵CD⊥AB
∴∠ACD=∠B,
∵MN切⊙O于C
∴∠MCA=∠B,
∴∠MCA=∠ACD,
即AC平分∠MCD,
同理:BC平分∠NCD.。

相关文档
最新文档