三角函数对偶式
三角函数公式 典型应用
三角函数公式典型应用引言三角函数是数学中常见的函数类型，它们在许多领域和行业中都有典型的应用。
本文将介绍三角函数的公式及其在几个典型应用中的具体应用情况。
三角函数公式正弦函数正弦函数（sin）是一个周期函数，其定义域是实数集，值域是[-1, 1]。
正弦函数的公式如下：$$\sin(x) = \frac{opposite}{hypotenuse}$$余弦函数余弦函数（cos）也是一个周期函数，其定义域是实数集，值域是[-1, 1]。
余弦函数的公式如下：$$\cos(x) = \frac{adjacent}{hypotenuse}$$正切函数正切函数（tan）是一个周期函数，其定义域是除了其奇数倍的$\frac{\pi}{2}$的实数集外的所有实数，值域是整个实数集。
正切函数的公式如下：$$\tan(x) = \frac{opposite}{adjacent}$$典型应用几何学三角函数在几何学中有广泛应用。
例如，在解决三角形的各种问题时，我们可以利用正弦定理和余弦定理来计算三角形的边长和角度。
三角函数还可以帮助我们计算三角形的面积和高度。
物理学三角函数在物理学中也有重要的应用。
例如，在力学中，我们经常需要计算物体在斜面上的运动，这时可以利用三角函数来计算物体在斜面上的分解力和加速度。
此外，波动和振动等物理现象的描述也使用了三角函数的概念。
工程学三角函数在工程学中也是必不可少的。
例如，在测量和定位方面，三角函数被广泛应用于测量角度和距离。
在电路分析中，三角函数可以帮助我们分析和计算交流电流的相位和幅值。
结论三角函数的公式和应用广泛存在于几何学、物理学和工程学等多个领域。
熟练掌握三角函数公式和它们在不同应用中的具体应用情况，对于解决实际问题和深入理解数学的应用是非常重要的。
参考文献:。
三角函数的公式总结
三角函数的公式总结对于学习和应用三角函数的同学而言，熟练掌握三角函数的公式是非常重要的。
本文将对常见的三角函数公式进行总结，帮助读者更好地理解和运用三角函数。
1. 正弦函数的公式正弦函数是三角函数中最基本，也是最常用的函数之一。
其公式如下：sinθ = 对边/斜边在直角三角形中，正弦函数的定义为：一个角的正弦值等于该角的对边与斜边之比。
2. 余弦函数的公式余弦函数是正弦函数的互补函数，也是常用的三角函数之一。
其公式如下：cosθ = 邻边/斜边在直角三角形中，余弦函数的定义为：一个角的余弦值等于该角的邻边与斜边之比。
3. 正切函数的公式正切函数是另一个常用的三角函数，其公式如下：tanθ = 对边/邻边在直角三角形中，正切函数的定义为：一个角的正切值等于该角的对边与邻边之比。
4. 三角函数的基本关系式在学习三角函数时，有一些基本的关系式需要掌握：(1) 余弦与正弦的关系：cosθ = sin(90° - θ)(2) 正切与余切的关系：tanθ = 1/cotθ(3) 正弦与余切的关系：sinθ = 1/cscθ(4) 余弦与正切的关系：cosθ = 1/secθ(5) 三角函数的平方和关系：sin^2θ + cos^2θ = 1(6) 三角函数的商和关系：tanθ = sinθ/cosθ = 1/cotθ5. 三角函数的和差化积公式和差化积公式是三角函数中的重要公式，可将两个三角函数的和、差转化为一个三角函数的乘积：(1) 正弦的和差化积公式：sin(A ± B) = sinAcosB ± cosAsinB(2) 余弦的和差化积公式：cos(A ± B) = cosAcosB ∓ sinAsinB(3) 正切的和差化积公式：tan(A ± B) = (tanA ± tanB) / (1 ∓ tanAtanB)6. 三角函数的倍角公式倍角公式是用来计算两倍角度函数的公式，常用的倍角公式有：(1) 正弦的倍角公式：sin(2θ) = 2sinθcosθ(2) 余弦的倍角公式：cos(2θ) = cos^2θ - sin^2θ(3) 正切的倍角公式：tan(2θ) = 2tanθ / (1 - tan^2θ)7. 三角函数的半角公式半角公式是用来计算半角函数的公式，常用的半角公式有：(1) 正弦的半角公式：sin(θ/2) = √[(1 - cosθ)/2](2) 余弦的半角公式：cos(θ/2) = √[(1 + cosθ)/2](3) 正切的半角公式：tan(θ/2) = sinθ / (1 + cosθ)通过掌握以上公式，我们可以更加灵活地运用三角函数在数学、物理等领域中进行计算和分析。
三角函数公式(最全)
5 、幂级数
c0+c1x+c2x2+...+cnxn+...=
∑cnxn (n=0.. ∞)
c0+c1(x-a)+c2(x-a)2+...+cn(x-a)n+...=
90 ° -(60 ° -a)]sin[-90
° +(60 ° +a)] =-4cosacos(6
a)[-cos(60
° +a)] =4cosacos(60
° -a)cos(60
上述两式相比可得： tan3a=tana · tan(60 ° +a)
· tan(60 ° -a)
6、四倍角公式
sin4a=-4*[cosa*sina*(2*sina^2-1)] cos4a=1+(-8*cosa^2+8*cosa^4) tan4a=(4*tana-4*tana^3)/(1-6*tana^2+tana^4)
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三角函数公式
一、定义公式
锐角三角函数 任意角三角函数
正弦（ sin ） 余弦（ cos ） 正切（ tan 或 tg ） 余切（ cot 或 ctg ） 正割（ sec ） 余割（ csc） 正弦（ sin ） 余弦（ cos ） 正切（ tan 或 tg ） 余切（ cot 或 ctg ） 正割（ sec ） 余割（ csc）
在任意△ ABC 中，角 A 、 B 、 C 所对的边长分别为 a 、 b 、 c ， 三角形 外接圆的半径为 R．则有：
三角函数的解析式与性质
三角函数的解析式与性质三角函数是数学中重要的基础概念之一，它在各个学科中都有着广泛的应用。
本文将探讨三角函数的解析式及其性质，帮助读者更好地理解和应用这一概念。
一、正弦函数（sin）正弦函数是三角函数中最为基本的函数之一，它的解析式为：y =sin(x)，其中x为自变量，y为函数值。
正弦函数的性质如下：1. 周期性：正弦函数的周期为2π，即在[0,2π]范围内，函数图像呈现出一次完整的周期，然后不断重复。
2. 奇偶性：正弦函数是奇函数，即对任意x，有sin(-x) = -sin(x)。
3. 值域：正弦函数的值域为[-1, 1]，即函数的取值范围在[-1, 1]之间。
二、余弦函数（cos）余弦函数是与正弦函数密切相关的函数，它的解析式为：y = cos(x)，其中x为自变量，y为函数值。
余弦函数的性质如下：1. 周期性：余弦函数的周期也是2π，与正弦函数相同。
2. 奇偶性：余弦函数是偶函数，即对任意x，有cos(-x) = cos(x)。
3. 值域：余弦函数的值域同样为[-1, 1]。
三、正切函数（tan）正切函数是另一个重要的三角函数，它的解析式为：y = tan(x)，其中x为自变量，y为函数值。
正切函数的性质如下：1. 周期性：正切函数的周期为π，即在[0,π]范围内，函数图像呈现出一次完整的周期。
2. 奇偶性：正切函数是奇函数，即对任意x，有tan(-x) = -tan(x)。
3. 值域：正切函数的值域为整个实数集，即函数的取值范围为(-∞,+∞)。
四、其他三角函数与性质除了正弦函数、余弦函数和正切函数外，还有一些其他常用的三角函数，如余切函数（cot）、正割函数（sec）和余割函数（csc）等。
它们的解析式和性质如下：1. 余切函数（cot）：y = cot(x)，其中x为自变量，y为函数值。
余切函数的周期为π，奇偶性与正切函数相同，值域为整个实数集。
2. 正割函数（sec）：y = sec(x)，其中x为自变量，y为函数值。
三角函数与反三角函数的基本公式与性质
三角函数与反三角函数的基本公式与性质三角函数与反三角函数是高等数学中重要的概念，它们在许多数学和科学领域的计算中起着重要作用。
本文将介绍三角函数与反三角函数的基本公式与性质，以帮助读者更好地理解和应用这些概念。
I. 三角函数的基本公式与性质1. 正弦函数（sin）正弦函数是三角函数中的一种，用于描述一个角的对边与斜边的比值。
它的基本公式如下：sinθ = 对边 / 斜边，其中θ为角度，sinθ为对应角度的正弦值。
正弦函数的性质如下：（1）定义域：由于斜边为斜边上的点与圆心的连线，所以定义域为实数集。
（2）值域：正弦函数的值域为[-1, 1]。
（3）周期性：正弦函数的周期为2π，即sin(θ+2π) = sinθ。
（4）奇偶性：正弦函数是奇函数，即sin(-θ) = -sinθ。
2. 余弦函数（cos）余弦函数也是描述角的函数之一，用于表示一个角的邻边与斜边的比值。
它的基本公式为：cosθ = 邻边 / 斜边，其中θ为角度，cosθ为对应角度的余弦值。
余弦函数的性质如下：（1）定义域：与正弦函数相同，定义域为实数集。
（2）值域：余弦函数的值域也为[-1, 1]。
（3）周期性：余弦函数同样具有周期性，即cos(θ+2π) = cosθ。
（4）偶函数：余弦函数是偶函数，即cos(-θ) = cosθ。
3. 正切函数（tan）正切函数用于表示一个角的对边与邻边的比值。
它的基本公式为：tanθ = 对边 / 邻边，其中θ为角度，tanθ为对应角度的正切值。
正切函数的性质如下：（1）定义域：由于邻边不为0，所以定义域为实数集中除去点π/2 + kπ（k为整数）的集合。
（2）值域：正切函数的值域为整个实数集R。
（3）周期性：正切函数的周期为π，即tan(θ+π) = tanθ。
（4）奇函数：正切函数是奇函数，即tan(-θ) = -tanθ。
II. 反三角函数的基本公式与性质1. 反正弦函数（arcsin）反正弦函数是正弦函数的反函数，用于求解一个角的度数。
三角函数与反三角函数公式大全
三角函数与反三角函数公式大全三角函数和反三角函数是高中数学中的重要内容，也是数学和物理学中广泛应用的数学工具。
下面我们将介绍一些常用的三角函数和反三角函数的公式。
1. 正弦函数（sin）和余弦函数（cos）的关系：sin^2x + cos^2x = 12. 正切函数（tan）与正弦函数（sin）和余弦函数（cos）的关系：tanx = sinx / cosx3. 余切函数（cot）和正弦函数（sin）和余弦函数（cos）的关系：cotx = cosx / sinx4. 正弦函数（sin）和余弦函数（cos）的周期性：sin(x + 2π) = sinxcos(x + 2π) = cosx5. 正弦函数（sin）和余弦函数（cos）的奇偶性：sin(-x) = -sinxcos(-x) = cosx6. 正切函数（tan）和余切函数（cot）的奇偶性：tan(-x) = -tanxcot(-x) = -cotx7. 正弦函数（sin）和余弦函数（cos）的对称性：sin(π - x) = sinxcos(π - x) = -cosx8. 正切函数（tan）和余切函数（cot）的对称性：tan(π - x) = -tanxcot(π - x) = -cotx9. 正弦函数（sin）和余弦函数（cos）的双角和差公式：sin(x ± y) = sinxcosy ± cosxsinycos(x ± y) = cosxcosy ∓ sinxsiny10. 正切函数（tan）和余切函数（cot）的双角和差公式：tan(x ± y) = (tanx ± tany) / (1 ∓ tanxtany)cot(x ± y) = (cotxcoty ∓1) / (coty ± cotx)11. 正弦函数（sin）和余弦函数（cos）的和差化积公式：sinx + siny = 2sin[(x + y) / 2]cos[(x - y) / 2]sinx - siny = 2sin[(x - y) / 2]cos[(x + y) / 2]cosx + cosy = 2cos[(x + y) / 2]cos[(x - y) / 2]cosx - cosy = -2sin[(x + y) / 2]sin[(x - y) / 2] 12. 正切函数（tan）和余切函数（cot）的和差化积公式：tanx + tany = (tanx + tany) / (1 - tanxtany)tanx - tany = (tanx - tany) / (1 + tanxtany)cotx + coty = (cotx + coty) / (cotxcoty - 1)cotx - coty = (cotx - coty) / (cotxcoty + 1)13. 正弦函数（sin）和余弦函数（cos）的倍角公式：sin2x = 2sinxcosxcos2x = cos^2x - sin^2x = 2cos^2x - 1 = 1 - 2sin^2x14. 正弦函数（sin）和余弦函数（cos）的半角公式：sin(x/2) = ±√[(1 - cosx) / 2]cos(x/2) = ±√[(1 + cosx) / 2]15. 反正弦函数（arcsin）和反余弦函数（arccos）的范围：-π/2 ≤ arcsinx ≤ π/20 ≤ arccosx ≤ π16. 反正弦函数（arcsin）和反余弦函数（arccos）的负值关系：arcsin(-x) = -arcsinxarccos(-x) = π - arccosx17. 反正弦函数（arcsin）和反余弦函数（arccos）的和、差关系：arcsin(x) ± arccos(x) = π/2这些公式是三角函数和反三角函数的基本关系，掌握它们对于理解和解决三角函数相关的问题非常重要。
三角函数对偶式
三角函数对偶式
三角函数是数学中一个非常重要的概念,它在各个领域都有广泛的应用,如物理学、工程学、计算机科学等等。
三角函数的研究不仅仅是理论上的,也有很多的实际应用,因此深入理解三角函数的性质和应用也是非常有意义的。
三角函数的对偶式是三角函数研究中非常重要的一部分。
它可以帮助我们深入理解三角函数的性质和变化规律,也可以让我们更好地研究一些重要的数学问题。
三角函数的对偶式是什么意思呢?它指的是对于一个三角函数f(x),它的对偶函数f(x)的值也被称为f(x)的诱导函数。
诱导函数是指通过一些运算,从f(x)中“诱导”出来的一个新的函数,它与f(x)具有同样的性质和值。
那么,三角函数的对偶式有什么重要的应用呢?可以帮助我们更好地研究三角函数的性质和变化规律。
例如,如果我们想要研究sin(x)的性质和变化规律,我们可以通过对sin(x)求导来得到它的导函数,
然后通过对导函数进行一些运算,就可以得到sin(x)的对偶函数。
通过这样的方式,我们可以更深入地研究sin(x)的性质和变化规律。
另外,三角函数的对偶式还可以帮助我们解决一些重要的数学问题。
例如,如果我们想要解决一个关于cos(x)的方程,我们可以通过对cos(x)求导来得到它的导函数,然后通过对导函数进行一些运算,就可以得到cos(x)的对偶函数。
通过这样的方式,我们可以更深入地研究cos(x)的性质和变化规律,从而更好地理解它的重要性。
最后,三角函数的对偶式在实际应用中也非常有用。
通过深入研究三角函数的对偶式,我们可以更好地理解三角函数的性质和应用,从而更好地利用它们来解决实际问题。
三角函数对偶式的原理
三角函数对偶式的原理
三角函数的对偶式原理是指在两个函数式相等的情况下，它们对应的对偶式也相等。
具体来说，如果两个三角函数式在形式上完全相同，只是其中的变量和符号相反，那么这两个函数式就被认为是互为对偶式。
例如，在三角函数中，正弦和余弦是互为对偶的关系，它们的定义域和值域都是相同的，只是符号不同。
因此，如果两个正弦函数式相等，那么它们对应的余弦对偶式也相等。
同样地，如果两个余弦函数式相等，那么它们对应的正弦对偶式也相等。
这个原理在三角函数的计算、化简和证明中非常有用。
通过对偶式原理，可以将复杂的三角函数式化简为更简单的形式，或者将一些看似无法解决的三角函数问题转化为易于解决的问题。
以上内容仅供参考，如需更专业的解释，可以请教数学专业的老师或查阅相关书籍。
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常用的三角函数公式大全
常用的三角函数公式大全1. 正弦函数（sine function）：表示一个角的对边与斜边之比。
a. 定义：sin(A) = a / cb. 倒数关系：sin(90° - A) = cos(A)c. 余角关系：sin(A) = cos(90° - A)d. 倍角公式：sin(2A) = 2sin(A)cos(A)e. 和差公式：sin(A + B) = sin(A)cos(B) + cos(A)sin(B)f. 差化积公式：sin(A - B) = sin(A)cos(B) - cos(A)sin(B)2. 余弦函数（cosine function）：表示一个角的邻边与斜边之比。
a. 定义：cos(A) = b / cb. 倒数关系：cos(90° - A) = sin(A)c. 余角关系：cos(A) = sin(90° - A)d. 倍角公式：cos(2A) = cos^2(A) - sin^2(A)e. 和差公式：cos(A + B) = cos(A)cos(B) - sin(A)sin(B)f. 差化积公式：cos(A - B) = cos(A)cos(B) + sin(A)sin(B)3. 正切函数（tangent function）：表示一个角的对边与邻边之比。
a. 定义：tan(A) = a / b = sin(A) / cos(A)b. 倒数关系：tan(90° - A) = 1 / tan(A)c. 余角关系：tan(A) = 1 / tan(90° - A)d. 倍角公式：tan(2A) = 2tan(A) / (1 - tan^2(A))e. 和差公式：tan(A + B) = (tan(A) + tan(B)) / (1 -tan(A)tan(B))f. 差化积公式：tan(A - B) = (tan(A) - tan(B)) / (1 +tan(A)tan(B))4. 余切函数（cotangent function）：表示一个角的邻边与对边之比。
三角中对偶式的常规解法
三角中对偶式的常规解法何为对偶式：在三角学上，如果把某个三角式中的角的位置转化为同角互余的弦值，那么得到的式子叫原式的对偶式。
这两个式子互为对偶式。
在化简求值或证明一些三角问题时。
如果能灵活的运用对偶的数学思想，合理的构造出对偶式，并对原式和对偶式进行和、差或积的计算，则可以使问题得到巧妙的解决。
例1化简cos72°cos36°方法一：原式=2sin36°cos36°cos72°2sin36°=2sin72°cos72°4sin36°=sin144°4sin36°=14方法二：令x=cos72°cos36°y=sin72°cos36°xy=sin36°cos36°sin72°cos72°xy=14sin72°sin144°把y=sin72°sin36°Qxsin72°sin36°=14sin72°sin144°x=14∴cos72°cos36°=14例2：求cosπ15cos2π15cos3π15cos4π15cos5π15cos6π15cos7π15的值。
方法一：cos5π15=cosπ3=12cosπ15cos2π15cos4π15cos7π15=-cosπ15cos2π15cos4π15cos8π15=-124sinπ152sinπ15cosπ15cos2π15cos4π15cos8π15=-sin16π1524sinπ15=124cos3π15cos6π15=cosπ5cos2π5=22sinπ5cosπ5cos2π522sinπ5=sin4π524sinπ5=122∴原式＝124·12·122＝1128方法二：令x=cosπ15cos2π15cos3π15cos4π15cos5π15cos6π15cos7π15y=sinπ15sin2π15sin3π15sin4π15sin5π15sin6π15sin7π15则27· xy=sin2π15sin4π15sin6π15sin8π15sin10π15sin12π15sin14π15=sin2π15sin4π15sin6π15sin7π15 sin5π15sin3π15sinπ15=y即：27·xy=yQy≠0∴x=127即原式=127=1128例3求sin10°sin30°sin50°sin70°的值。
高中数学第三章三角恒等变换3.1同角三角函数的基本关系互余对偶_“灵动”的运算技巧素材
互余对偶——“灵动”的构造技巧数学中的对偶法就是指在数学解题过程中，合理地构造形式相似、具有某种对称关系的一对对偶关系式，并通过对这对对偶关系式进行适当的和、差、积等运算，达到解决数学问题的目的．在数学解题的过程中，恰当地使用对偶法，往往能使问题得到巧妙的解决，收到事半功倍的效果．三角中的正弦与余弦是两个对称元素，它们具有如下恒等关系式：①22sin cos 1αα+=；②22cos sin cos2ααα-=；③sin cos 4πααα⎛⎫±=± ⎪⎝⎭； ④()sin cos cos sin sin αβαβαβ±=±；⑤()cos cos sin sin cos αβαβαβ±=． 如此，利用互余函数构造对偶式、借用配对思想可以轻松完成有关三角题的解答．下面我们通过实例来介绍构造对偶关系式以及如何对所构造的对偶关系式进行合理的运算处理．1．构造对偶式——求积例1．求32coscos cos 777πππ⋅⋅的值． 解：令32cos cos cos 777M πππ=⋅⋅， 构造对偶式32sin sin sin 777N πππ=⋅⋅ 16421321sin sin sin sin sin sin 877787778M N N ππππππ∴⋅=⋅⋅=⋅⋅= 又0N ≠ 18M ∴=． 点评：这个对偶式构造得好！它的到来一下子使问题冰消雪融了．解法自然、朴素，过程简洁，运算轻松！例2．求sin10sin30sin50sin70︒⋅︒⋅︒⋅︒的值．解：令sin10sin30sin50sin70M =︒⋅︒⋅︒⋅︒构造对偶式cos10cos30cos50cos70N =︒⋅︒⋅︒⋅︒则sin10cos10sin30cos30sin50cos50sin70cos70M N ⋅=︒⋅︒⋅︒⋅︒⋅︒⋅︒⋅︒⋅︒1111sin 20sin60sin100sin1402222=︒⋅︒⋅︒⋅︒ 11cos70cos30cos10cos501616N =︒⋅︒⋅︒⋅︒= 0N ≠ 116M ∴=． 点评：解题时巧妙构思，对其构造了“意料之中”的对偶式，化新为旧，等价转化，完成对难点的突破，以达化解问题之目的．2．构造对偶式——求和例3．求35cos coscos 777πππ++的值． 解：35cos cos cos 777M πππ=++ 构造对偶式35sin sin sin 777N πππ=++ 则 1216110468sin sin sin sin sin sin 272727777M N ππππππ⋅=+++++ 1351sin sin sin 27772N πππ⎛⎫=++= ⎪⎝⎭ 0N ≠ 12M ∴= 点评：灵活地选取解题方法，对其构造了“意想不到”的对偶式，最后借助简单的三角公式完成了解答，充分体现了解题机智．3．构造对偶式——化简求值例4．求22sin 10cos 40sin10cos40︒+︒+︒⋅︒的值．解：令22sin 10cos 40sin10cos40M =︒+︒+︒⋅︒构造对偶式22cos 10sin 40cos10sin 40N =︒+︒+︒⋅︒，则2sin10cos40cos10sin402sin50M N +=+︒︒+︒︒=+︒cos20cos80sin10cos40cos10sin40M N -=-︒+︒+︒︒-︒︒12sin50sin30sin30sin502=-︒︒-︒=--︒ 2sin 501sin 502M N M N +=+︒⎧⎪∴⎨-=--︒⎪⎩ 34M ∴=． 点评：这是一道比较典型的三角求值题．通过对题目结构特征的观察，由目标导向，构造对偶式，从而独辟蹊径，出奇制胜．这类试题在各类考试中深受命题者青睐：变题1．求22cos 73cos 47cos73cos47︒+︒+︒⋅︒的值．变题2．求22cos 10cos 50sin 40sin80︒+︒-︒⋅︒的值．变题3．求22sin 20cos 8020cos80︒+︒+︒⋅︒的值．变题4．求22sin 20cos 50sin 20cos50︒+︒+︒⋅︒的值．4．构造对偶式——求范围例5．若1sin cos 2αβ=，求cos sin αβ的取值范围． 解：1sin cos 2αβ= ① 令cos sin x αβ= ② 则 ①×② 得11sin 2sin 242x αβ=． 由sin2α-1≤≤1，sin 2β-1≤≤1，1122x ∴-≤≤ 点评：利用现成的对偶式、假借三角公式，使问题本身变得简单、便易，如此处理，可谓“胜似闲庭信步”，岂不妙哉！例6．若cos cos 1αβ+=，求sin sin αβ+的范围．解：cos cos 1αβ+= ① 令sin sin x αβ+= ②则两式平方和则()212cos 11x αβ+-+=+，()22cos 1x αβ∴-=-，由()22cos 2αβ--≤≤可知：213x -≤≤，于是x5．构造对偶式——求同角的三角函数值例7．若02πθ<<，且3sin 4cos 5θθ+=，求tan θ的值．解法一：构造对偶式3cos 4sin x θθ+=，则3sin 4cos 53cos 4sin x θθθθ+=⎧⎨+=⎩ ()()415sin 17203cos 27x xθθ⎧-=⎪⎪∴⎨-⎪=⎪⎩再由22sin cos 1θθ+=，得245x =代入()()12，后两式相除可得 3tan 4θ=． 解法二：构造对偶式3sin 4cos y θθ-=，则3sin 4cos 53sin 4cos y θθθθ+=⎧⎨-=⎩， 5sin 65cos 8y yθθ+⎧=⎪⎪∴⎨-⎪=⎪⎩， 再由22sin cos 1θθ+=，得75y =- 3tan 4θ∴=． 点评：这种构造法灵巧、富有创意，有助于培养学生的创新思维和创造能力．6．构造对偶式——解方程例8．已知0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，解方程222cos cos 2cos 31x x x ++=． 解：若令222cos cos 2cos 3M x x x =++构造对偶式222sin sin 2sin 3N x x x =++，则3M N += ①2cos2cos4cos62cos cos32cos 31M N x x x x x x -=++=+-()2cos3cos cos314cos cos2cos31x x x x x x =+-=-∴ 4cos cos2cos31M N x x x -=- ②①+②，得()1cos cos2cos3224x x x A =-，又 1A = cos cos2cos30x x x ∴= cos 0x ∴=或cos20x =或cos30x = 又0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，6x π∴=或4x π=或2x π=． 点评：通过构造对偶式，创设了cos cos2cos30x x x =这一美妙而又能打开局面的有利条件，可谓“高招”！“明月松间照，清泉石上流”，好一幅绝妙的对偶，让人感到美不胜收．在数学解题过程中，如果我们能恰当地运用对偶关系，不仅能提高解题速度，同样也会给人带来美的享受．它别开生面、独具“风味”，能在纷繁的困惑中求得简捷的解法，给人一种赏心悦目的感觉． 希望同学们在解题的过程中多注意归纳和总结拓展自己的解题路径，提高发散思维能力，最终达到提高解题能力的目的．。
三角函数对偶式求值
类似例一、已知cosα﹣cosβ=，sinα﹣sinβ=，则cos（α﹣β）=．分析：对已知条件cosα﹣cosβ=，sinα﹣sinβ=两边平方再相加即可得到答案．解答：解：∵（cosα﹣cosβ）2=，（sinα﹣sinβ）2=．两式相加，得2﹣2cos（α﹣β）=．∴cos（α﹣β）=．故答案为：点评：本题主要考查两角和与差的余弦公式．例二、已知，，则tanαtanβ=．分析：利用两角和与差的余弦函数展开，求出cosαcosβ=，sinαsinβ=，然后求出tanαtanβ的值．解答：解：∵cos（=，∴cosαcosβ+sinαsinβ=，①∵cos（α+β）=，∴cosαcosβ﹣sinαsinβ=，②从①②两式中解得：cosαcosβ=，sinαsinβ=，两式相除得∴tanαtanβ=．故答案为：．点评：本题主要考查两角和与差的余弦函数、同角公式等，应用公式要抓住公式结构特征，掌握运算、化简的方法和技能．好题、若，则sinβcosα的取值范围是[﹣]．分析：由sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ=+sinβcosα，sin（α﹣β）=sinαcosβ﹣cosαsinβ=﹣sinβcosα，sin（α+β）sin（α﹣β）∈[﹣1，1]，知﹣1+sinβcosα≤1，由此能导出sinβcosα．解答：解：sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ=+sinβcosαsin（α﹣β）=sinαcosβ﹣cosαsinβ=﹣sinβcosαsin（α+β）sin（α﹣β）∈[﹣1，1]﹣1+sinβcosα≤1﹣≤sinβcosα，﹣1﹣sinβcosα≤1﹣sinβcosα，sinβcosα，所以sinβcosα．故答案为：[﹣]．点评：本题考查两角和与差的正弦函数，解题时要认真审题，仔细解答，注意三角函数的恒等变换．好题、已知sinαcosβ=，则cosαsinβ的取值范围是[﹣，]．分析：可设所求cosαsinβ=x，与已知的等式sinαcosβ=相乘，利用二倍角的正弦函数公式的逆运算化简为sin2α•sin2β=2x后，根据三角函数的值域的范围得到关于x的不等式，求出解集即可得到cosαsinβ的范围解答：解：设x=cosα•sinβ，sinα•cosβ•cosα•sinβ=x，即sin2α•sin2β=2x．练习（1）已知锐角α、β、γ满足sinα+sinγ=sinβ,cosα-cosγ=cosβ,求α-β的值.解:∵sinα-sinβ=-sinγ,①cosα-cosβ=cosγ,②①2+②2得cos(α-β)=, ∵si nβ-sinα=sinγ＞0,∴sinβ＞sinα.∴α＜β.∴-＜α-β＜0. ∴α-β=-.类似练习1已知α、β、γ∈(0,),sinα+sinγ=sinβ,cosβ+cosγ=cosα,求β-α的值.解：由已知,得sinγ=sinβ-sinα,cosγ=cosα-cosβ.平方相加得(sinβ-sinα)2+(cosα-cosβ)2=1.∴-2cos(β-α)=-1. ∴cos(β-α)=. ∴β-α=±. ∵sinγ=sinβ-sinα＞0, ∴β＞α.∴β-α=.类似练习1、已知α，β，γ∈（0，），且sinα+sinγ=sinβ，cosβ+cosγ=cosα，则α﹣β的值等于（）分析：把已知的两等式分别移项，使关于γ的三角函数移项到等式右边，根据α，β，γ的范围得到β大于α，然后把化简后的两等式两边分别平方后，相加并利用同角三角函数间的基本关系及两角差的余弦函数公式化简后，得到cos（α﹣β）的值，根据α与β的范围及β大于α，得到α﹣β小于0，利用特殊角的三角函数值即可求出α﹣β的值．解答：解：sinβ﹣sinα=sinγ＞0，cosα﹣cosβ=cosγ＞0，则（sinβ﹣sinα）2+（cosα﹣cosβ）2=1，且β＞α，即cos（α﹣β）=（0＜α＜β＜），则α﹣β=﹣．点评：此题考查学生灵活运用同角三角函数间的基本关系及两角差的余弦函数公式化简求值，是一道基础题．学生做题时应根据已知条件判断出β＞α，进而得到α﹣β的值为负数．类似练习1、已知α、β、γ∈（0，），sinα+sinγ=sinβ，cosβ+cosγ=cosα，求β﹣α的值．分析：由已知首先消去γ的正余函数，再利用和差化积公式进一步化简，求出β﹣α．解答：解：由已知，得sinγ=sinβ﹣sinα，cosγ=cosα﹣cosβ．平方相加得（sinβ﹣sinα）2+（cosα﹣cosβ）2=1．∴﹣2cos（β﹣α）=﹣1．∴cos（β﹣α）=．∴β﹣α=±．∵sinγ=sinβ﹣sinα＞0，∴β＞α．∴β﹣α=．点评：本题极易求出β﹣α=±，如不注意隐含条件sinγ＞0，则产生增根．因此求值问题要注意分析隐含条件．好题；（2004•湖北）已知6sin2α+sinαcosα﹣2cos2α=0，，求的值．分析：先对6sin2α+sinαcosα﹣2cos2α=0进行因式分解得到sinα、cosα的关系，再根据α的范围求出tanα的值，将用两角和与差的正弦公式展开后再利用二倍角公式整理，将tanα的值代入和得到最后答案．解答：解：由已知得：（3sinα+2cosα）（2sinα﹣cosα）=0⇔3sinα+2cosα=0或2sinα﹣cosα=0由已知条件可知cosα≠0，所以α≠，即．于是tanα＜0，∴tanα=﹣．===将tanα=﹣代入上式得=﹣．即为所求．点评：本小题考三角函数的基本公式以及三角函数式的恒等变形等基础知识和基本运算技能．练习（2）、若sinαcosβ=，求cosαsinβ的取值范围．分析：本题考查的知识点是三角函数的定义，及倍角公式，由sinαcosβ+cosαsinβ=sin（α+β）=+cosαsinβ，sinαcosβ﹣cosαsinβ=sin（α﹣β）=﹣cosαsinβ，结合正弦函数的值域为[﹣1，1]，解不等式组即可得到cosαsinβ的取值范围．解答：解：∵sinαcosβ+cosαsinβ=sin（α+β）=+cosαsinβ，∴﹣1≤+cosαsinβ≤1即﹣≤cosαsinβ≤∵sinαcosβ﹣cosαsinβ=sin（α﹣β）=﹣cosαsinβ，∴﹣1≤﹣cosαsinβ≤1即﹣≤cosαsinβ≤∴﹣≤cosαsinβ≤∴cosαsinβ的取值范围为[﹣，]．点评：观察题目中已知与未知的量，并根据它们的关系选择计算sinαcosβ+cosαsinβ=sin（α+β）=+cosαsinβ，sinαcosβ﹣cosαsinβ=sin（α﹣β）=﹣cosαsinβ，是解决本题的关键，要求大家熟练掌握三角函数的相关公式．好题、（理）若，，则=或．．分析：通过已知条件求出cos（α﹣β），cos（α+β）推出tαn（α+β），利用二倍角公式求出的值．解答：解：①，②，①2+②2得sin2α+sin2β+cos2α+cos2β+2sinαsinβ+2cosαcosβ=，即2+2cos（α﹣β）=，∴cos（α﹣β）=﹣1=﹣，①2﹣②2得﹣sin2α﹣sin2β+cos2α+cos2β﹣2sinαsinβ+2cosαcosβ=，即cos2α+cos2β+2cos（α+β）=，和差化积公式cos2α+cos2β=2cos（α+β）cos（α﹣β）=﹣cos（α+β），∴2cos（α+β）﹣cos（α+β）=cos（α+β）=，∴cos（α+β）=∴sin（α+β）=∴tαn（α+β）=；所以tαn（α+β）==．解得：=或．故答案为：或．点评：本题是中档题，考查三角函数的化简求值，同角三角函数的基本关系式，考查计算能力，转化思想的应用．。
三角函数公式及反三角函数公式整理版_
同角三角函数的基本关系式 倒数关系: tanα ·cotα＝1 sinα ·cscα＝1 cosα ·secα＝1 商的关系： 平方关系： sin2α＋cos2α＝1 1＋tan2α＝sec2α 1＋cot2α＝csc2α
sin sec tan con csc con csc cot sin sec
sinsinsin2coscos2sintan2cotcot2tansin2coscos2sintan2cotcot2tan两角和与差的三角函数公式sinsincoscostan1tan半角的正弦余弦和正切公式coscossinsincoscostantancotcotsinsincoscostantancotcottantansin32coscos32sintan32cotcot32tansin32coscos32sintan32cotcot32tan万能公式cotcotsin2sincos2costan2tancot2cotsin2ksincos2kcostan2ktancot2kcot其中kzsinsinsincoscoscoscoscoscoscossinsincossinsinsintantantantantantantan1tan22tan1tan2sin2221tan1tan22cos22tan21tantan2三角函数的降幂公式二倍角的正弦余弦和正切公式sin22cos22tan1tan三角函数的和差化积公式三倍角的正弦余弦和正切公式sin33cos33tan13tan三角函数的积化和差公式121212sin2sincoscossin2222cos112sin2tan233sin4cos4sin3costan32tan3sinsincoscossinsincoscos2sin2cos2cos2sincossincossin22222222sincossinsincossinsinsincoscossincos12coscoscos化asinbcos为一个角的一个三角函数的形式辅助角的三角函数的公式三角函数的反函数是多值函数
2022届高三数学一轮复习三角函数之三角公式的化简与求值 题型方法归纳
高考数学专题—三角函数（三角公式的化简与求值）高中阶段三角函数公式主要包括：同角三角公式、诱导公式、两角和差公式、二倍角公式、和差化积与积化和差关系式。
（1）同角三角公式—主要用于正弦、余弦、正切之间的计算与推导（2）诱导公式—将角的三角函数值推广到全体实数（3）两角和差与二倍角公式—研究不同角度之间的公式一、三角函数求值与化简必会的三种方法（常用）(1)弦切互化法:主要利用公式tan α=;形如,asin2x+bsin xcos x+ccos2x等类型可进行弦化切；(2)“1”的灵活代换法:1=sin2θ+cos2θ=(sinθ+cosθ)2-2sinθcosθ=tan等；(3)和积转换法:利用(sinθ±cosθ)2=1±2sinθcosθ,(sinθ+cosθ)2+(sinθ-cosθ)2=2的关系进行变形、转化.例1、【2020年高考全国Ⅰ卷理数】已知，且，则A．B．C．D．【答案】A【解析】，得， 即，解得或（舍去），又.故选：A ． 例2、cos 150−sin 150cos 150+sin 150=A,−√3 B,0 C√3 D,√33法一：利用两角和差公式，求出cos 150，sin 150因为cos 150=cos (450−300)=cos 450cos 30°−sin 450sin 300=√6+√24同理可得sin 150=√6−√24所以cos 15o −sin 150cos 150+sin 150=√6+√24−√6−√24√6+√24+√6−√24=√33故选D法二:利用利用同角的正弦与余弦平方和为1，求解。
因为sin 150>0，cos 150>0 所以令cos 150−sin 150cos 150+sin 150=t (t >0)t 2=cos 2150−2cos 150sin 150+sin 2150cos 2150+2cos 150sin 15°+sin 215°=1−sin 3001+sin 300=13故选D法三：利用平方差公式，将非特殊角转化为特殊角。
三角函数公式应用大全
三角函数公式应用大全一、常见三角函数公式：1.三角函数的基本关系：- 正弦函数：sinθ = 对边 / 斜边- 余弦函数：cosθ = 邻边 / 斜边- 正切函数：tanθ = 对边 / 邻边2.三角函数的相互关系：- 余切函数：cotθ = 1 / tanθ- 割函数：secθ = 1 / cosθ- 约束函数：cscθ = 1 / sinθ3.三角函数的基本性质：-三角函数的周期性：sin(θ + 2πn) = sinθcos(θ + 2πn) = cosθtan(θ + πn) = tanθ-三角函数的奇偶性：sin(-θ) = -sinθcos(-θ) = cosθtan(-θ) = -tanθ4.三角函数的和差公式：-正弦函数的和差公式：sin(A ± B) = sinAcosB ± cosAsinB-余弦函数的和差公式：cos(A ± B) = cosAcosB ∓ sinAsinB-正切函数的和差公式：tan(A ± B) = (tanA ± tanB) / (1 ∓ tanAtanB)5.三角函数的倍角公式：-正弦函数的倍角公式：sin2θ = 2sinθcosθ-余弦函数的倍角公式：cos2θ = cos²θ - sin²θ-正切函数的倍角公式：tan2θ = 2tanθ / (1 - tan²θ)二、三角函数的应用：1.角度的计算：通过使用正弦、余弦、正切等三角函数公式，可以计算出给定角度的各个三角函数值。
2.三角函数的图像：三角函数的图像是平面直角坐标系中的曲线，可以通过画出各个三角函数的图像来了解它们的性质和特点。
3.角度的转换：通过使用三角函数的基本关系和公式，可以在弧度和角度之间互相转换。
4.三角恒等式的证明：利用三角函数公式，可以证明一些三角恒等式，如正弦定理、余弦定理以及二次三角恒等式等。
高中数学构造对偶式的八种途径
2构造对偶式的八种途径在数学解题过程中,合理地构造形式相似，具有某种对称关系的一对对偶关系式，并通过对这对对偶关系式进行适当的和,差,积等运算，往往能使问题得到巧妙的解决，收到事半功倍的效果.下面通过实例来谈谈构造对偶式的八种途径.一． 和差对偶对于表达式，我们可构造表达式作为它的对偶关系式. 例１若，且，求的值.解析：构造对偶式：则得再由，得：.点评：这种构造对偶式的方法灵巧，富有创意，有助于培养学生的创新思维和创造能力. 例２已知：，且，求证：. 解：则有：又，故，即原不等式成立.点评：这个对偶式构造得好！它的到来一下子使问题冰消融了.解法自然，朴素，过程简洁，运算轻松！，再由原方程联立可解得：()()u x v x ±()()u x v x 02πθ<<3sin 4cos 5θθ+=tan θ3sin 4cos yθθ-=3sin 4cos 5,3sin 4cos y θθθθ+=⎧⎨-=⎩5sin 65cos 8y yθθ+⎧=⎪⎪∴⎨-⎪=⎪⎩22sincos 1θθ+=73,tan 54y θ=-∴=,,,a b c d R ∈22221a b c d +++≤444444()()()()()()6a b a c a d b c b d c d +++++++++++≤444444444444()()()()()():()()()()()()M a b a c a d b c b d c d N a b a c a d b c b d c d =+++++++++++=-+-+-+-+-+-设,构造对偶式4444222222222222222226(222222)6()6M Na b c d a b a c a d b c b d c d a b c d +=+++++++++=+++≤0N ≥6M ≤10+=a -=10,(1)210,(2)a a +=-=那么得： 得：，即，代入（３）中得：，整理得：， 解得：.二． 互倒对偶互倒对偶是指针对式子的结构，通过对式中的某些元素取倒数来构造对偶式的方法. 例４若，求证：.解：设,构造对偶式：，则而，故，即.例５设为互不相等的正整数，求证：. 解：设Ｍ＝，构造对偶式：则 又为互不相等的正整数，所以，因此. 点评：解题时巧妙构思，对其构造了“意料之中”的对偶式，化新为旧，等价转化，完成对难点的突破，以达化解问题这目的.例６已知对任意总有，求函数的22(1)(2)+221242(100),(3)2x a +=+22(1)(2)-1610x a =85x a =22164242(100)225x x +=+29425x =103x =±,,(0,1)x y z ∈1113111x y y z z x++≥-+-+-+111111M x y y z z x=++-+-+-+(1)(1)(1)N x y y z z x =-++-++-+1111(1)(1)(1)11112226M N x y y z z x x y y z z x y z+=+-+++-+++-++-+-+-+-+≥++=3N =3M ≥1113111x y y z z x++≥-+-+-+123,,,,n a a a a 32122211112323n a a a a n n ++++≥+++32122223n a a a a n ++++ 12111n N a a a =+++212212111111(()()1232n na a M N a a a a n n +=++++++≥+++ 123,,,,n a a a a 111123N n≤+++ 111123M n≥+++ (,0)(0,)x ∈-∞⋃+∞1()2(0f x f x x++=()y f x =解析式.解析：因 ①用替代上式中的，构造对偶式： ② 由①－②×２得：故.三． 共轭对偶共轭对偶是反映利用共轭根式或共轭复数来构造对偶式的方法. 例７已知，解方程：.解析：由 ① 构造对偶式： ② 由①－②得，代入②得，故或.例８若，已知且，证明：为纯虚数. 解：设Ｍ＝，则，构造对偶式：Ｎ＝则Ｍ＋Ｎ＝＋＝０（因为）又（因为）∴为纯虚数. 例９已知：，且∵∴，即原不等式成立.四． 倒序对偶倒序对偶是指针对式子的结构，通过和式或积式进行倒序构造对偶式的方法. 例１０求和：1()2()0f x f x x++=1x x 11(2()0f f x x x++=12()4(0f x x f x x+--=22()3x xf x x-=z c ∈313z z iz i ⋅-=+313z z iz i ⋅-=+313z z iz i ⋅+=-2z z =--(1)(13)0z z i ++-=1z =-13z i =-+z c ∈1z =1z ≠±11z z -+11z z -+11(11z z M z z --==++11z z -+11z z -+11z z -+21z z z ⋅==101z z -≠+1z ≠±11z z -+0,0a b >>1a b +=+≤+-2224()48M M N a b ≤+=++=M ≤12341234nn n n n nS C C C C nC =+++++解析：观察和式联想到，故首先在和式右边添上一项，则 ① 构造对偶式： ② 即②亦为： ③ 由①＋③得：∴∴∴点评：利用现成的对偶式，使问题本身变得简单，便易，如此处理，可谓“胜似闲庭信步”，岂不妙哉！例１１正项等比数列中，试用Ｓ，Ｔ表示.∵∴ 解析：传统解法都用表示Ｓ，Ｔ及Ｑ，然后通过和找到Ｓ，Ｔ，Ｑ的等量关系，这种解法虽思路正确，但运算繁琐，加之在用等比数列求和公式时还要讨论和两种情形，如此解题会陷入漫漫无期的运算之中，很少有人能够到达终点.其实，观察和式子与积式特征不妨采取“本末倒置”构造倒序对偶序式一试.由题意知： ① 构造倒序对偶式： ②由①×②得：，即再来看： ③ 构造倒序对偶式： ④ 即③＋④得：，*,0,k n kn nC C k n n N -=≤≤∈00nC ⋅012012nn n n n S C C C nC =⋅++++ 0120(1)(2)0n n n n S nC n C n C C =+-+-+ 012012nn n n n S C C C nC =⋅++++ 011n nn n n nnC nC nC nC -++++ 0110112()n n n nn n n n n n n n S nC nC nC nC n C C C C --=++++=++++ 22nS n =⋅2n S n =⋅{}n a 123123,n n T a a a a S a a a a =⋅⋅⋅⋅=++++ 12111nQ a a a =+++ 1,a q 1a q 1q =1q ≠123n T a a a a =⋅⋅⋅⋅ 121n n n T a a a a --=⋅⋅⋅⋅ 2212111()()()()n n n n T a a a a a a a a -=⋅⋅⋅⋅⋅⋅=⋅ 21()n n T a a =⋅12111n Q a a a =+++ 11111n n Q a a a -=+++ 12211111112(()()n n n Q a a a a a a -=++++++即. 由等比数列性质可知，右边的分母均为，故即，∴又 ∴.五． 定值对偶定值对偶是指能利用和，差，积，商等运算产生定值，并借此构造出对偶式的方法.例１２已知函数.，则Ｓ＝ .解析： 发现定值：.那么 ① 构造对偶式： ②由①＋②得：∴２Ｓ＝７，即. 六． 奇偶数对偶奇偶数对偶指利用整数的分类中奇数与偶数的对称性构造对偶式的方法.例１３求证：122112212n n nn n n a a a a a a Q a a a a a a --+++=+++⋅⋅⋅ 1n a a ⋅12111()()()2n n n na a a a a a Q a a -++++++=⋅ 122n S Q a a =1nSQ a a =21nn a a T =2nS Q T==22()1x f x x =+111()(((1)(2)(3)(4)432f f f f f f f ++++++22222221()11()()111111()x x x f x f x x x x x+=+=+=++++1()(1f x f x+=111()(((1)(2)(3)(4)432S f f f f f f f =++++++111(4)(3)(2)(1)(()()234S f f f f f f f =++++++1112[()(4)][()(3)][()(2)]2(1)432111[(2)()][(3)([(4)(234S f f f f f f f f f f f f f =++++++++++++72S =135212462n n-⨯⨯⨯<解：设，构造对偶式：. 由于因此，从而故.例１４求证：证明：待证不等式的左边为：. 令：构造两个对偶式：∵∴∴故原不等式成立.点评：灵活地选取解题方法，对其构造了“意想不到”的对偶式，从而完成了解答，充分体现了解题技巧. 七． 轮换对偶轮换对偶是指针对式子的结构，通过轮换字母而构造对偶式的方法.例１５求证：对任意实数，都有不等式成立. 证明：设构造对偶式，则，即而，∴，即.当且仅当时等号成立.135212462n M n -=⨯⨯⨯246235721nN n =⨯⨯⨯+ 1234212,,,,2345221n n n n -<<<+ M N <2121M M N n <⋅=+M <11(11)(1)(1432n +++>- 112531(11)(1)(1)4321432n n n -+++=⨯⨯⨯-- 25311432n M n -=⨯⨯⨯- 3634731,2531363n n N P n n+=⨯⨯⨯=⨯⨯⨯- 23456731331,,12345632313n n n n n n-+>>>>>>-- 325313634731()()()1432253136331M M N P n n n n n n n >⋅⋅-+=⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯--=+ M >.1,1a b >>22811a b b a +≥--2211a b M b a =+--2211b a N b a =+--22222()()011(1)(1)a b b a a b a b M N b a b a --+--=+=≥----M N ≥1111114(1)(1)42281111N b a b a b a b a =+++++=+-++-+≥++=----8M N ≥≥8M ≥2a b ==例１６设，求证：. 证明：设，构造对偶式：，∴. 又，即，∴. 八． 互余对偶三角中的正弦与余弦是两个对称元素，利用互余函数构造对偶式，借用配对思想可以轻松完成有关三角题的解答.例１７已知，解方程：解析：若令，构造对偶式：则： ① ∴ ②由①＋②得：，又 ∴∴∴或或.点评：通过构造对偶式，创设了这一美妙而又能打开书局面的有利条件，可谓“高招”！例１８求的值. 解析：令，构造对偶式：，则,,a b c R +∈2222a b c a b ca b b c c a ++++≥+++222a b c M a b b c c a =+++++222b c a N a b b c c a =+++++222222222a b b c c a a b b c c aM N a b c a b b c c a +++++++=++≥++=+++++0M N -=2a b cM N ++=≥2222a b c a b ca b b c c a ++++≥+++[0,]2x π∈222cos cos 2cos 31x x x ++=222cos cos 2cos 3M x x x =++222sin sin 2sin 3N x x x=++3M N +=2cos 2cos 4cos 62cos cos32cos 312cos3(cos cos3)14cos cos 2cos31M N x x x x x x x x x x x x -=++=+-=+-=-4cos cos 2cos31M N x x x -=-1cos cos 2cos3(22)4x x x M =-1M =cos cos 2cos30x x x =cos 0cos 20cos30,[0,]2x x x x π===∈或或6x π=4x π=2x π=cos cos 2cos30x x x =22sin 10cos 40sin10cos 40++22sin 10cos 40sin10cos 40M =++22cos 10sin 40cos10sin 40N =++∴∴点评：这是一道比较典型的三角求值题.通过对题目结构特征的观察，由目标导向，构造对偶式，从而独辟蹊径，出奇制胜.在数学解题过程中，如果我们恰当地构造对偶关系式，不仅能提高解题速度，而且能收到以简驭繁，简缩思维，拓宽思路的功效，同时还让人萌生一种“春雨断桥人不渡，小舟撑出绿阴来”的美妙感觉，对于激发学生学习数学的兴趣也是大有裨益.2sin104010sin 402sin 502080sin104010sin 4012sin 50sin 30sin 30sin 502M N cos cos M N cos cos cos cos +=++=+-=-++-=--=--2sin 501sin 502M N M N ⎧+=+⎪⎨-=--⎪⎩34M =。
三角函数表示方法
三角函数表示方法
x
三角函数表示法是表示和求解三角函数的常用方法，它的主要内容包括三角函数的正弦值、余弦值、正切值以及其他关系式。
三角函数正弦值：
正弦值的函数表达式是 y=sin x，其中x是数值，y是正弦值。
三角函数余弦值：
余弦值的函数表达式是 y=cos x，其中x是数值，y是余弦值。
三角函数正切值：
正切值的函数表达式是 y=tan x，其中x是数值，y是正切值。
三角函数其他关系式：
1. 反正弦函数关系式：y =arcsin x，其中x是数值，y是反正弦值。
2. 反余弦函数关系式：y =arccos x，其中x是数值，y是反余弦值。
3. 反正切函数关系式：y =arctan x，其中x是数值，y是反正切值。