指数函数图像及性质的应用
高中新教材数学必修件时指数函数的图象与性质
对称变换规律
01
指数函数$y=a^x$（$a>0$，$aneq 1$）的图像关于 原点对称。即当$x$取相反数时，$y$也取相反数。
02
指数函数图像也关于直线$y=x$对称。即当函数形式为 $y=a^x$和$x=a^y$时，两个函数的图像关于直线 $y=x$对称。
03
对称变换不改变图像的形状和开口方向，只改变图像的 位置和对称轴。
当$0 < a < 1$时，指数函数的 图像在$x$轴上方，但随着$x$ 的增大，函数值逐渐减小，图像
向右下方延伸。
指数函数的图像都经过点$(0, 1)$。
指数函数性质总结
01
指数函数的值域为$(0, +infty)$。
02
指数函数在其定义域内是连续的。
03
指数函数在其定义域内是可导的，且导数等 于其自身乘以一个常数。
03
电磁辐射衰减
在通信和电磁学领域，指数函数可用于描述电磁辐射在传播过程中的衰
减。根据衰减常数和传播距离，可以计算信号强度的变化。
复合增长问题中指数函数应用
复利计算
在金融领域，指数函数用于计算 复利问题。通过给定本金、年利 率和存款期限，可以计算存款到
期时的本息总额。
连续增长模型
在经济学和生物学等领域，指数 函数可用于描述连续增长的模型 。通过分析历史数据，可以估算 出连续增长率，并预测未来某一
时刻的数量或规模。
化学反应动力学
在化学领域，指数函数用于描述 化学反应的动力学过程。通过分 析反应速率与反应物浓度的关系 ，可以了解反应的动力学特性和
反应机理。
05 典型例题解析与课堂互动环节
典型例题解析过程展示
01
指数,对数,幂函数的图像和性质
指数函数的图像是一条向上开口的曲线，通常表示为y=a^x（a>0，a≠1）。
指数函数的性质有：
1.在y 轴上的截距为1。
2.对于不同的指数函数，它们的图像形状是相同的，只有位置不同。
如果改变指数函数的
指数，则会改变函数的斜率，即函数图像会发生平移。
3.对于相同的指数函数，如果改变函数的系数，则会改变函数的尺度，即函数图像会发生
伸缩。
对数函数的图像是一条向右开口的曲线，通常表示为y=loga(x)（a>0，a≠1）。
对数函数的性质有：
1.在y 轴上的截距为0。
2.对于不同的对数函数，它们的图像形状是相同的，只有位置不同。
如果改变对数函数的
底数，则会改变函数的斜率，即函数图像会发生平移。
3.对于相同的对数函数，如果改变函数的系数，则会改变函数的尺度，即函数图像会发生
伸缩。
幂函数的图像可以是一条向上开口的曲线，也可以是一条向右开口的曲线，通常表示为y=x^n（n为常数）。
幂函数的性质有：
1.当n>0 时，幂函数的图像是一条向上开口的曲线。
2.当n<0 时，幂函数的图像是一条向右开口的曲线。
3.当n=0 时，幂函数的图像是一条水平直线。
4.幂函数的图像在y 轴上的截距为1。
5.对于不同的幂函数，它们的图像形状是相同的，只有位置不同。
如果改变幂函数的指数，
则会改变函数的斜率，即函数图像会发生平移。
6.对于相同的幂函数，如果改变函数的系数，则会改变函数的尺度，即函数图像会发生伸
缩。
《指数函数》公开课课件
目录
• 指数函数基本概念与性质 • 指数函数运算规则与技巧 • 指数函数在生活中的应用举例 • 指数函数在科学研究中的应用举例 • 指数函数图像变换与性质变化规律 • 指数函数与其他知识点联系与拓展
01
指数函数基本概念与 性质
指数函数定义及图像特征
指数函数定义
形如y=a^x（a>0且a≠1）的函 数称为指数函数。
乘法法则
$a^m times b^m = (a times b)^m$，不同底数 幂相乘，指数不变，底数 相乘。
除法法则
$frac{a^m}{b^m}
=
left(frac{a}{b}right)^m$
，不同底数幂相除，指数
不变，底数相除。
幂的乘方法则
$(a times b)^n = a^n times b^n$，不同底数幂 的乘方，将每个底数分别 乘方。
在医学领域，指数函数可用于预 测肿瘤生长速度、评估治疗效果
等。
化学反应速率计算与分析
反应速率方程
化学反应速率与反应物浓度之间的关系可用指数函数表示。
速率常数计算
通过实验数据，利用指数函数拟合反应速率曲线，计算速率常数 。
反应机理研究
指数函数可用于分析化学反应机理，揭示反应过程中的速率控制 步骤。
物理学中波动现象描述
人口增长模型建立与预测
指数增长模型
人口增长可以采用指数增长模型进行 描述，即人口数量按照一定比例增长 ，增长速度随时间推移而加快。
预测应用
人口预测对于城市规划、资源分配、 环境保护等方面具有重要意义，可以 为政府和企业提供决策依据。
模型建立
根据历史人口数据和增长率，可以建 立出人口增长的指数模型，并预测未 来人口数量。
指数函数及其图像与性质的应用
应用
学目标
1.巩固指数函数的图像与性质; 2.掌握指数函数的图像与性质的综合运用.
识梳理
一、指数函数的图像与性质
a (0,1)
y
a (1, )
y
图像
1 f(x)=ax O x
1 O
f(x)=ax x
定义域 值域 过定点 图像分布 x 0 时，
( , ) (0, )
O 1
x
1 O
2
x
A.
B.
C.
D.
题醉了
一、典型例题 1、指数函数图像的应用 【课堂练习】 函数 f(x)=2x -x 2 的图像大致是（ A ）
y y y y
O
x
O
x
O
x
O
x
A.
B.
C.
D.
题醉了
一、典型例题 1、指数函数图像的应用 说明 函数 f(x)=2x 与 g(x)=x 2 的图像大致是
3 2 1 –2 –1 O 3 y 2 1 –2 –1 O 1 2 x 1 2 x y 3 2 1 –1 O 3 y 2 1 –1 O 1 2 x 1 2 3x y
题醉了
一、典型例题 1、指数函数图像的应用 例题 2 函数 f(x)=ln|x-1| 的图像大致是（
y y y
B ）
y
-1 O
x
O
1
x
2 3 1 B. f( ) f( ) f( ) 3 2 3 3 2 1 D. f( ) f( ) f( ) 2 3 3
题醉了
一、典型例题 1、指数函数图像的应用 【课堂练习】 若直线 y=2a 与函数 f(x)=|ax -1|+1(a>0，且 a 1) 的图 像有两个公共点，则 a 的取值范围是
指数函数对数函数与幂函数指数函数的性质与图像
指数函数对数函数与幂函数指数函数的性质与图像xx年xx月xx日CATALOGUE 目录•指数函数的定义与性质•对数函数的定义与性质•幂函数的定义与性质•指数函数、对数函数与幂函数的比较•指数函数、对数函数与幂函数的应用案例•总结与展望01指数函数的定义与性质指数函数的定义02指数函数：y=f(x)=a^x03a>0时，函数图像过一三象限；a<0时，函数图像过二四象限。
指数函数的性质函数图像恒过(0,1)点值域：R a>1时，函数为单调递增函数；0<a<1时，函数为单调递减函数奇偶性：当a>0时，为奇函数；当a=0时，既不是奇函数也不是偶函数；当a<0时，为偶函数指数函数的图像图像恒过(0,1)点当a>1时，函数的增长速度随着x的增大而逐渐加快；当0<a<1时，函数的增长速度随着x的增大而逐渐减慢。
a>1时，函数为单调递增函数，图像位于一三象限；0<a<1时，函数为单调递减函数，图像位于二四象限。
当a>1时，函数的最大值无限趋近于正无穷大；当0<a<1时，函数的最小值无限趋近于0。
02对数函数的定义与性质1 2 3自然对数：以数学常数e为底数的对数，记作ln(x)。
常用对数：以10为底数的对数，记作lg(x)。
底数为任意正数的对数，记作log(x)。
对数的运算性质log(a*b)=log(a)+log(b)；log(a/b)=log(a)-log(b)；log(a^n)=nlog(a)。
对数恒等式log(a/b)=log(a)-log(b)；log(a^n)=nlog(a)。
对数的运算律如果a>0且a不等于1，M>0，N>0，那么log(a)(MN)=log(a)M +log(a)N；log(a)(M/N)=log(a)M -log(a)N；log(a)M^n=nlog(a)M。
•对数函数的图像与性质：图像与x轴交点为1，当x>1时，函数值大于0；当0<x<1时，函数值小于0。
指数函数的图像和性质
指数函数的图像和性质指数函数是数学中常见的一种函数类型，它的图像和性质在数学学习中具有重要的意义。
本文将从图像和性质两个方面，对指数函数进行详细的分析和说明。
一、指数函数的图像指数函数的一般形式为y=a^x，其中a为底数，x为指数。
在探究指数函数的图像时，我们可以固定底数a的值，观察指数x的变化对应的函数值y的变化。
1. 当底数a>1时，指数函数呈现增长趋势。
例如，当a=2时，指数函数y=2^x的图像是逐渐上升的曲线。
随着指数x的增大，函数值y呈现出迅速增长的特点。
这说明指数函数在底数大于1的情况下，随着指数的增加，函数值呈现指数级增长。
2. 当底数0<a<1时，指数函数呈现衰减趋势。
例如，当a=0.5时，指数函数y=0.5^x的图像是逐渐下降的曲线。
随着指数x的增大，函数值y呈现出逐渐趋近于0的特点。
这说明指数函数在底数小于1的情况下，随着指数的增加，函数值呈现指数级衰减。
3. 当底数a=1时，指数函数呈现恒定趋势。
无论指数x取任何值，函数值y始终等于1。
这说明指数函数在底数为1时，函数值不随指数的变化而变化。
通过观察指数函数的图像，我们可以发现指数函数具有明显的特点：底数大于1时，函数呈现增长趋势；底数小于1时，函数呈现衰减趋势；底数为1时，函数呈现恒定趋势。
二、指数函数的性质除了图像特点外，指数函数还具有一些重要的性质，这些性质在数学学习中有着广泛的应用。
1. 指数函数的定义域为实数集R，值域为正实数集R+。
这意味着指数函数在实数范围内都有定义，并且函数值始终为正数。
2. 指数函数的性质与底数a的大小有关。
当底数a>1时，函数呈现增长趋势；当底数0<a<1时，函数呈现衰减趋势；当底数a=1时，函数值始终为1。
3. 指数函数具有幂运算的性质。
即指数函数的乘法可以转化为指数的加法，指数函数的除法可以转化为指数的减法。
例如，对于指数函数y=a^x和y=b^x，它们的乘积可以表示为y=(ab)^x，它们的商可以表示为y=(a/b)^x。
指数函数的性质及应用
指数函数的性质及应用指数函数是高中数学中重要的一个函数，它在各个领域都有广泛的应用。
本文将从指数函数的性质和应用两个方面进行论述。
一、指数函数的性质1. 定义：指数函数是以指数为自变量，底数为常数的函数，一般表示为y = a^x，其中a为底数，x为指数，a>0且a≠1。
2. 单调性：指数函数的底数a>1时，函数递增；底数0<a<1时，函数递减。
3. 极限性质：当x趋向于无穷大时，指数函数a^x也趋向于无穷大；当x趋向于无穷小（x→-∞）时，0<a^x<1。
4. 对称性：指数函数y = a^x关于y轴对称，即f(-x) = 1/a^x。
5. 零点：当底数a>1时，指数函数无零点；当0<a<1时，指数函数有唯一的零点x = 0。
二、指数函数的应用1. 经济学中的应用：指数函数常用于描述经济增长、货币贬值等问题。
例如，GDP增长可以用指数函数来模拟，货币贬值可以用指数函数来表示。
2. 生物学中的应用：指数函数常用于描述生物种群的增长和衰减。
例如，人口增长、细菌繁殖、动物种群数量等可以用指数函数来描述。
3. 物理学中的应用：指数函数在物理学中也有广泛的应用。
例如，放射性物质的衰变过程、电容电路的充放电过程等都可以用指数函数来描述。
4. 金融学中的应用：指数函数常用于描述股票市场的涨跌情况。
例如，股票指数的变化、收益率的计算等都可以用指数函数来分析。
5. 工程学中的应用：指数函数在工程学中也有重要的应用。
例如，电路中的指数响应、信号的衰减等问题可以用指数函数来描述。
综上所述，指数函数具有单调性、极限性质、对称性和零点等性质，并且在经济学、生物学、物理学、金融学和工程学等领域都有广泛的应用。
深入理解和应用指数函数的性质，对于数学的学习和实际应用都具有重要意义。
因此，我们应该加深对指数函数的研究和理解，并将其灵活运用于各个领域，以推动科学技术的发展和社会进步。
高一数学必修教学课件第三章指数函数的图像和性质
对于形如$y = a^{bx}$的指数函数，可以通过伸缩基本指数函数的图像得到。具体地，当$b > 1$时，图像在纵 坐标方向上进行压缩，同时在横坐标方向上进行拉伸；当$0 < b < 1$时，图像在纵坐标方向上进行拉伸，同时 在横坐标方向上进行压缩。
图像特点总结与对比分析
指数函数图像特点
THANKS
感谢观看
阅读材料
推荐了一些与指数函数相 关的阅读材料，供学生课 后阅读，以拓宽视野。
下节课预习内容提示
下节课内容
简要介绍了下节课将要学 习的内容，包括指数函数 的运算性质和应用等。
预习要求
要求学生提前预习下节课 的内容，了解指数函数的 运算性质和应用场景，为 下节课的学习做好准备。
问题思考
提出了一些与下节课内容 相关的问题，引导学生进 行思考和预习。
解析
考察指数函数$y = 1.7^{x}$的单调性，由于底数大于1，函数在全体实数范围 内单调递增。因此，$1.7^{3} > 1.7^{2.5} > 1.7^{-1.5}$。
例题2
已知函数$f(x) = a^{x}(a > 0$且$a neq 1)$在区间$[-1,2]$上的最大值为4，最 小值为$m$，且函数$g(x) = (1 - 4m)sqrt{x}$在区间$[0, + infty)$上是单调函 数，求$a$和$m$的值。
明确任务要求
教师需要向学生明确任 务的要求，包括任务的 目标、完成时间、提交 方式等。
学生自主查阅资料及整理成果展示
1 2 3
学生自主查阅资料
学生可以利用图书馆、互联网等资源，自主查阅 与指数函数相关的资料，包括教材、参考书、学 术论文等。
数学人教A版必修第一册4.2.2指数函数的图像与性质课件
(2)所有图像都过(0,1)
之势;y =
1 x
和y
2
=
1 x
呈下降之势.
3
x
y
7
6
y = 3x
5
4
y=
不同点：
y = 2x 和y = 3x 的图像从左到右呈上升
()
1
3
()
1
2
x
3
2
y = 2x
1
–2 –1
O 1
–1
2 x
思考2：你认为是什么原因造成y = 2x 和y = 3x 的图像从
的大小是否有关？如有，底数的大小是如何影响函
数图像在第一象限内的分布呢？
y=
()
1
3
x
y
7
6
y = 3x
5
4
底数越大，其图像越在上方
y=
()
1
2
x
3
2
y = 2x
1
–2 –1
O 1
–1
2 x
探
究
新
知
思考4:你能根据对上述四个函数图像及其性质的分
析，填写下表吗？
0<a<1
图像
y
y
4
4
3
3
2
2
1
1
–2 –1 O 1
(2)判断该函数的奇偶性和单调性．
1
解：(1)根据题意，函数 = (2)|| + 的图象过原点，则
有0 = + ，则 = −，
又由 () 的图象无限接近直线 = −2 但又不与该直线相交，
则 = 2，又由 + = 0，则 = −2，
指数函数图像及其性质的应用高一数学系列
>1,0<2
3 5
<1，所以(1)
2 3
>2
3 5
.
3
3
(3)∵－1<x<0，∴0<－x<1.而 3>1，因此有 3－x>1，又 0<0.5<1，∴有 0<0.5－x<1，
∴3－x>0.5－x(－1<x<0).
变式 2．比较下列各组数中两个值的大小：
11 12 (1)0.2－1.5 和 0.2－1.7；(2) 4 3 和 4 3 ；(3)2－1.5 和 30.2.
1 3
x2
2
x
在(－∞，1]上递增，在[1，＋∞)上递减.∵u＝x2－2x＝(x－1)2－1≥－1，
1
11
∴y＝ 3 u，u∈[－1，＋∞)，∴0＜ 3 u≤ 3 －1＝3，∴原函数的值域为(0,3].
变式 1 求函数 y＝ 2x22x 的单调区间.
解 函数 y＝ 2x22x 的定义域是 R.
令 u＝－x2＋2x，则 y＝2u. 当 x∈(－∞，1]时，函数 u＝－x2＋2x 为增函数，函数 y＝2u是增函数，
.
ee
e
∵0＜x1＜x2，∴e x2 ＞e x1 ，∴e x2 －e x1 ＞0.
又 1－e x1+x2 ＜0，e x1+x2 ＞0，
∴f(x1)－f(x2)＜0，
∴f(x1)<f(x2).
即 f(x)在(0，＋∞)上是增函数.
所以函数 y＝ 2x22x 在(－∞，1]上是增函数.
当 x∈[1，＋∞)时，函数 u＝－x2＋2x 为减函数，函数 y＝2u是增函数，
所以函数 y＝ 2x22x 在[1，＋∞)上是减函数. 综上，函数 y＝ 2x22x 的单调减区间是[1，＋∞)，单调增区间是(－∞，1].
指数函数的图象与性质指数函数知识梳理指数函数运算法则公式
指数函数的图象与性质•指数函数y=a x（a＞0，且a≠1）的图象和性质：0<a<1 a>1 图像图像定义域R值域（0，+∞）恒过定点图像恒过定点（0,1），即当x等于0时，y=1单调性在（∞，+∞）上是减函数在（∞，+∞）上是增函数函数值的变化规律当x<0时，y>1 当x<0时，0<y<1当x=0时，y=1 当x=0时，y=1当x>0时，0<y<1 当x>0时，y>1•底数对指数函数的影响：①在同一坐标系内分别作函数的图象，易看出：当a>l时，底数越大，函数图象在第一象限越靠近y轴；同样地，当0<a<l时，底数越小，函数图象在第一象限越靠近x轴．②底数对函数值的影响如图．③当a>0，且a≠l时，函数与函数y=的图象关于y轴对称。
利用指数函数的性质比较大小：若底数相同而指数不同，用指数函数的单调性比较：若底数不同而指数相同，用作商法比较；若底数、指数均不同，借助中间量，同时要注意结合图象及特殊值，•指数函数图象的应用：函数的图象是直观地表示函数的一种方法．函数的很多性质，可以从图象上一览无余．数形结合就是几何与代数方法紧密结合的一种数学思想．指数函数的图象通过平移、翻转等变可得出一般函数的图象．利用指数函数的图象，可解决与指数函数有关的比较大小、研究单调性、方程解的个数、求值域或最值等问题．高中数学必修之指数函数知识梳理知识点1.理解有理指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算.2.了解指数函数模型的实际背景，理解指数函数的概念及其单调性，掌握指数函数图象通过的特殊点，会画底数为2,3,10，1/2，1/3的指数函数的图象.3体会指数函数是一类重要的函数模型．知识梳理1.根式的性质2．有理指数幂考点1：指数幂的运算[规律方法] 1.指数幂的运算，首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂，以便利用法则计算，但应注意：(1)必须同底数幂相乘，指数才能相加；(2)运算的先后顺序．2．当底数是负数时，先确定符号，再把底数化为正数．3．运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数．考点2：指数函数的图象及应用[规律方法]指数函数图象的画法(判断)及应用(1)画(判断)指数函数y＝ax(a＞0，a≠1)的图象，应抓住三个关键点：(1，a)，(0,1) ，【1，1/a】(2)与指数函数有关的函数的图象的研究，往往利用相应指数函数的图象，通过平移、对称变换得到其图象．(3)一些指数方程、不等式问题的求解，往往利用相应的指数型函数图象数形结合求解.[规律方法] 1.比较指数式的大小的方法是：(1)能化成同底数的先化成同底数幂，再利用单调性比较大小；(2)不能化成同底数的，一般引入“1”等中间量比较大小．2．解简单的指数方程或不等式可先利用幂的运算性质化为同底数幂，再利用单调性转化为一般不等式求解．3．探究指数型函数的性质与研究一般函数的定义域、单调性(区间)、奇偶性、最值(值域)等性质的方法一致．总结思想与方法1．根式与分数指数幂的实质是相同的，分数指数幂与根式可以互化，通常利用分数指数幂进行根式的化简运算．2．判断指数函数图象上底数大小的问题，可以先通过令x＝1得到底数的值再进行比较。
指数函数图象及性质应用
指数函数图象及性质应用指数函数是数学中的一种常见函数形式，其表达式为y = a^x，其中a是一个常数且大于0且不等于1，x可以是任意实数。
指数函数的图象具有如下几个特点：1. 定义域与值域: 指数函数的定义域是所有的实数x，而其值域则是大于0的所有实数。
2. 增长性: 当底数a大于1时，指数函数随着自变量x的增大而增大；当底数a 在0和1之间时，指数函数随着自变量x的增大而减小。
这表明指数函数的增长性取决于其底数a的大小。
3. 奇偶性: 当底数a为正数时，指数函数是奇函数；当底数a为负数时，指数函数是偶函数。
这是因为指数函数的自变量x发生变化时，函数值会发生对称变化。
4. 渐近线: 当x趋于负无穷时，指数函数的值趋于0；当x趋于正无穷时，指数函数的值趋于正无穷。
这意味着指数函数图象有两条渐近线：x轴和y轴。
5. 零点: 指数函数不存在实数零点，即该函数的值不会等于0。
这是因为指数函数的底数a不等于1，所以不可能存在x使得a^x=0。
指数函数在实际中有很多重要的应用。
以下是其中一些常见的应用：1. 经济与金融: 指数函数在经济学和金融学中广泛应用。
例如，人口增长模型可以使用指数函数来描述，其中底数a表示每年的人口增长率。
另外，指数函数还可以用于计算财富的增长，例如复利计算。
2. 自然科学: 指数函数在物理学、化学和生物学等自然科学领域中也有广泛的应用。
例如，放射性衰变过程可以使用指数函数来描述，其中底数a表示衰减的速率。
另外，指数函数还可以用于描述反应动力学和细胞生长等现象。
3. 电子技术: 指数函数在电子技术中起着重要的作用。
例如，放大器的电压增益可以使用指数函数来表示，其中底数a表示放大器的增益系数。
另外，电路中的充电和放电过程也可以使用指数函数来描述。
4. 计算机科学: 指数函数在计算机科学中有广泛的应用。
例如，指数函数可以用于表示算法的时间复杂度，其中底数a表示算法的增长速度。
另外，指数函数还可以用于表示数据结构的增长率，例如二叉树的高度。
指数函数图像及性质(一)
应用一
(1) 求使不等式 4 32 成立的 x 的集合；
x
(2) 已知 a a
4 5
2
，求数 a 的取值范围.
解： （１） 4 32, 即 2
x
x
2x
25 ．
5 因为 y=2 是 R 上的增函数，所以 2x＞5,即 x 2 5 x 满足 4 32 的 x 的集合是 ( , ) ； 化为同底 2 的指数幂 4 x （２）由于 2 ，则 y a 是减函数， 5
0.3
0.9
3.1
解：根据指数函数的性质，得：
1.70.3 1.70 1 且 0.93.1 0.90 1
从而有
3.2
3.2
1.7
0.3
0.9
3.1
3
3
2.8
2.8
2.6
2.6
2.4
2.4
2.2
2.2
2
2
1.8
fx = 1.7x
1.8
fx = 0.9x
1.6
1.6
1.4
1.4
0.8
0.1
0.8
0.2
1.8
fx = 0.8x
1.6
1.4
1.2
1
0.8
0.6
0.4
0.2
-1.5
-1
-0.5
0.5
1
应用一
比较下列各题中两个值的大小： (1) 30.8与30.7 方法总结： 对同底数幂大小的比较用的是指数函数的 单调性，必须要明确所给的两个值是哪个指数 函数的两个函数值；对不同底数幂的大小的比 较可以与中间值进行比较. (2) 0.75-0.1与0.750.1
指数函数的性质与图像公开课优质课件一等奖
本节课重点内容回顾
指数函数的性质 当$a>1$时，指数函数是增函数；
当$0<a<1$时，指数函数是减函数；
本节课重点内容回顾
指数函数的图像都经过点$(0,1)$；
指数函数的值域为$(0,+infty)$。
指数函数的图像：通过描点法可以绘制出指数函数的图像，其图像是一 条从点$(0,1)$出发的曲线。
指数函数在放射性物质衰变规律中的应用
解这个微分方程可以得到剩余放射性物质数量与时间之间的关系为N(t) = N0e^(-λt)，其中N0表示初始放射性物质数量。这个公式表明，剩余放射性物质 数量随时间呈指数衰减。
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求解指数方程和不等式方法探讨
求解指数方程方法
换元法
通过换元将指数方程转化为代数方程，然后 求解代数方程得到原方程的解。
指数函数在复利计算中的应用
当计息次数n趋于无穷大时，复利公式转化为连续复利公式：A = Pe^(rt)，其中e为自然对数的底数。此时，累 积金额与时间t之间的关系呈现指数函数的形式。
人口增长模型
人口增长模型
假设人口增长率保持不变，则人口数量与时间之间的关系可以用指数函数来描 述。即N(t) = N0e^(rt)，其中N(t)表示t时刻的人口数量，N0表示初始人口数 量，r表示人口增长率。
图像形状及位置
指数函数图像是一条从左下方 向右上方延伸的曲线，形状类 似于指数增长的曲线。
当底数大于1时，图像位于x轴 的上方，随着x的增大，y值也 无限增大；当底数小于1时，图 像位于x轴的下方，随着x的增 大，y值无限趋近于0。
指数函数的图像关于y轴对称， 即图像在y轴两侧具有对称性。
渐近线与拐点
指数函数的图像是一条从左下方向右 上方延伸的曲线，且一定会经过点 (0, 1)。
指数函数性质及图像
指数函数性质及图像指数函数定义为y=a^x(a>0,a1)，其中，x 为“指数”，a 为“底数”，y 为“值”。
指数函数可以用于描述一定规律的大小之间的变化关系。
从数学上讲，指数函数属于多项式函数中的特例，其特点是当变量 x加 1，函数值 y 会翻倍或减半，而不像多项式函数那样只会减少很小的数量，比如，当 x 从 0加到 1，y 会从 a^0加到 a^1。
指数函数的性质有如下几点：（1）变量 x指数函数中的未知数，而 a是指数函数中的常量；（2）当 a > 1，指数函数单调递增；当 a < 1，指数函数单调递减；当 a = 1，指数函数是线性函数；（3）任意两个底数不一样的指数函数互不相等，但两个有着相同底数的指数函数则相等；（4）指数函数可以增加或减少的极限是无穷大或无穷小；（5）指数函数是可导函数，其导数可以由变量 x决定，只有当x 为正数或0时其导数才有意义，如当 x 为正数时，其导数为 a^x * ln(a)；（6）对于指数函数而言，当其变量 x大时，其函数值 y 会越大，也就是说随着 x增大，y按照指数函数变化，而不像线性函数那样按照简单的等比数列变化。
二、指数函数的图像指数函数的图像只有在二维坐标系内才能看到，在二维坐标系内，指数函数的图像具有以下几个特点：（1）指数函数图像与底数 a正比，因此，当 a > 1，图像的斜率增大，而 a < 1，斜率减小；（2）指数函数的图像是一条弯曲的曲线；（3）指数函数的变量 x 与底数 a取值有关，当 a = 1，x值大小范围为所有实数；当 a > 1，x取值范围是所有正数；当 a < 1，x取值范围是所有负数；（4）指数函数的图像不会交叉，即，它的定义域和值域是相同的；（5）指数函数的图像没有不连续的部分，它表示的是一个连续的函数。
三、指数函数的应用指数函数的性质和图像有着广泛的应用，下面介绍几个比较常见的指数函数的应用：（1）指数函数在金融中有着重要的应用，例如，可以通过指数函数来计算投资利息、通货膨胀率等；（2）指数函数可以用来描述物理数据，例如压强温度曲线、热变形速度温度曲线等；（3）指数函数在社会学、政治科学和投票学中也有着广泛的用途，它可以帮助我们进行统计分析和预测社会变化；（4）指数函数也可以用来模拟电路中的电流电压曲线、正弦波等。
指数函数的性质与应用
指数函数的性质与应用指数函数作为数学中的一种重要函数，其性质与应用广泛存在于各个领域。
本文将探讨指数函数的基本性质，并通过具体的实际应用案例，展示其在数学、经济、物理等领域的实际应用。
1. 指数函数的定义与性质指数函数是以指数为自变量，底数为常数的函数。
一般表示为 f(x) = a^x，其中 a 为底数，x 为指数，a > 0，且a ≠ 1。
指数函数具有以下基本性质：（1）当指数 x 为整数时，指数函数表现为幂函数，即 f(x) = a^x。
（2）指数函数的定义域为全体实数。
（3）当底数 a > 1 时，函数呈增长趋势；当 0 < a < 1 时，函数呈衰减趋势。
（4）指数函数在 x 趋于无穷大时，取正无穷大或趋于零；在 x 趋于负无穷大时，取正数或趋于零。
（5）指数函数具有乘法性质，即 a^x * a^y = a^(x+y)。
2. 指数函数的应用2.1 数学领域在数学领域，指数函数广泛应用于研究数列、级数等。
例如在级数求和问题中，指数函数能够精确求解各项和的近似值，进而得到级数的性质和趋势。
此外，指数函数在微积分中也有广泛应用，特别是在研究变化速率和增长率等方面。
2.2 经济领域在经济领域，指数函数被广泛用于描述经济增长和消费模式。
例如在经济预测中，指数函数常被用来估计GDP、人口增长等指标。
同时，在复利计算中，指数函数的增长特性被应用于计算利息和投资回报率。
2.3 物理领域在物理领域，指数函数用于描述一些基本的自然现象。
例如在弹簧振动模型中，指数函数可以用来描述振幅的衰减；在放射性衰变中，指数函数可以用来描述放射性物质的衰减过程。
此外，指数函数还被应用于电路理论、流体力学等领域。
2.4 其他应用除了上述数学、经济、物理领域外，指数函数还在其他领域有着广泛的应用。
例如在计算机科学中，指数函数常用于算法的时间复杂度分析；在生态学中，指数函数用于描述生物种群的增长及其对环境的影响。
指数函数的图像及性质的应用
例4.讨论函数 的单调性,并求其值域.
任取x1,x2∈(-∞,1],且x1< x2 ,
∵f(x1)>0, f(x2)>0,
解:
则
复合函数的单调性
所以 f( x ) 在 (-∞,1]上为增函数.
又 x2 - 2x =(x -1)2 -1≥-1,
解：
例7.求证函数 是奇函数
证明：函数的定义域为R,
所以f(x)在R上是奇函数.
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02
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指数形式的复合函数的奇偶性
利用 f(0)= 0
1
解:若 f ( x ) 为奇函数,则 f(-x )=-f (x),
2
设a是实数, (2)试确定a的值,使f(x)为奇函数.
02
复合函数：
复合函数的单调性
内u=g(x)
增函数
减函数
增函数
减函数
外y=f(u)
增函数
减函数
减函数
增函数
复y=f[g(x)]
规律： 当内外函数的单调性相同时，其复合函数是增函数； 当内外函数的单调性不相同时，其复合函数是减函数 “同增异减”
增函数
增函数
减函数
减函数
“异”“同” 指内外函数单调性的异同
3
∴ a = 1.
4
变式练习
练习：
的定义域均为R
变式 1 、 函数 的单调增区间是
2、函数 的增区间为 ________. 值域为_________.
(－∞,1]
(0,81]
B
指数形式的复合函数的定义域与值域
2
O
x
y
7
6
5
4
3
2
指数函数的相关性质与应用
指数函数的相关性质与应用指数函数是高中数学中的一个重要内容，其在数学和实际问题中有着广泛的应用。
本文将介绍指数函数的性质和应用，并探讨其在不同领域中的作用。
一、指数函数的定义和基本性质指数函数是形如y = a^x的函数，其中a是底数，x是指数，y是函数值。
指数函数的基本性质包括：1. 底数为正数且不等于1时，函数图像是通过点(0,1)，单调递增或递减的曲线；2. 底数大于1时，函数图像是增长的曲线，底数介于0和1之间时，函数图像是下降的曲线；3. 底数为1时，函数为常函数，即y =1；4. 指数函数的图像存在水平渐近线y = 0，没有垂直渐近线。
二、指数函数的相关性质1.指数函数的反函数：指数函数是一一映射函数，所以反函数存在。
指数函数y=a^x的反函数为y=loga(x)，其中loga表示以a为底的对数。
2.幂函数与指数函数：幂函数是指数函数的特殊情况，即底数为正数且指数为有理数。
幂函数在定义域内和指数函数存在一一对应的关系。
3.指数法则：指数函数的运算法则有指数相加、指数相减、指数相乘和指数相除四种。
三、指数函数的应用指数函数在实际问题中有广泛的应用，如下所示：1.财务领域：指数函数可以用来描述利息计算、投资增长等问题。
利用指数函数，人们可以计算复利的收益和资产的增长情况。
2.生物学领域：指数函数可以用来描述生物种群的增长。
例如，当物种的出生率大于死亡率时，种群数量将以指数形式增长。
3.物理学领域：指数函数可以用来描述核衰变和放射性衰变过程。
放射性物质的衰变速度与时间的关系可以用指数函数来表示。
4.电子技术领域：指数函数可以用来描述电路中的电压和电流变化。
例如，在RC电路中，电容器充电或放电的过程可以用指数函数来描述。
5.医学领域：指数函数可以用来描述药物在人体内的衰减过程。
例如，某种药物在体内的含量随时间呈指数递减。
通过以上的介绍可见，指数函数在不同领域中有着重要的应用。
掌握指数函数的性质和应用可以帮助我们更好地理解数学和解决实际问题。
新课程人高中数学必修件指数函数的图象和性质
经济学中的指数函数
理解经济学中的指数函数如GDP增长 、消费者价格指数等，会用指数函数 进行经济分析和预测。
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指数函数在数学模型中应用
生物学中种群增长模型构建
指数增长模型
在理想条件下，种群数量会按照指数函数的形式增长，即种群数量随时间的变化率与种群数量成正比 。
逻辑斯谛增长模型
考虑到环境容纳量对种群增长的影响，种群数量增长会呈现先快后慢的趋势，最终趋于环境容纳量， 这种增长模式可以用逻辑斯谛方程来描述。
放射性衰变
放射性元素会自发地放出射线并转变为 另一种元素，这种现象称为放射性衰变 。
VS
衰变规律
放射性元素的衰变速度与其现有的数量成 正比，即衰变速度随时间的变化率与现有 的放射性元素数量成正比。这种规律可以 用指数函数来描述，即N=N0e^(-λt)， 其中N0是初始时刻的放射性元素数量，λ 是衰变常数，t是时间。
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高考考点梳理与备考建议
历年高考真题回顾及解析
回顾历年高考中指数函数图象和性质的考查方式及题型，如选择题、填空题、解答 题等。
分析高考真题中指数函数图象和性质的考点分布，如函数的定义域、值域、单调性 、奇偶性等。
解析高考真题中指数函数图象和性质的解题思路和方法，如利用函数图象判断函数 性质、利用函数性质求解函数问题等。
积的乘方与幂的积
区分积的乘方与幂的积的不同 点，避免运算错误。
复合指数函数简化策略分享
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分解复合函数
将复合指数函数分解为基本初 等函数，便于分析和求解。
换元法
通过换元将复杂的复合指数函 数转化为简单的函数形式，降
低解题难度。
利用已知函数性质
指数函数的图像与性质的应用
第2课时 指数函数的图像与性质的应用学习目标 1.进一步熟练掌握指数函数的图像、性质.2.能够利用指数函数的图像和性质比较大小、解不等式． 导语我们已经学习了指数函数的图像与性质，今天就探讨一下，利用这些知识去解决一些常见问题．一、指数函数图像的辨识例1 (1)已知函数f (x )＝ax ＋b 的图像如图所示，则函数g (x )＝a x ＋b 的图像可能是( )答案 B解析 由f (x )＝ax ＋b 的图像可得f (0)＝b <－1，f (1)＝a ＋b >0， 所以a >1，b <－1，故函数g (x )＝a x ＋b 为增函数，相对y ＝a x 向下平移大于1个单位，故B 符合．(2) (多选)已知实数a ，b 满足⎝⎛⎭⎫12a ＝⎝⎛⎭⎫13b ，给出下面几种关系，则其中可能成立的是( ) A ．0<a <b B ．0<b <a C ．a <b <0 D ．b ＝a答案 BCD解析 在同一坐标系中作出函数y ＝⎝⎛⎭⎫12x与函数y ＝⎝⎛⎭⎫13x 的图像，如图所示，若⎝⎛⎭⎫12a ＝⎝⎛⎭⎫13b>1，则a <b <0； 若⎝⎛⎭⎫12a ＝⎝⎛⎭⎫13b <1，则0<b <a ； 若⎝⎛⎭⎫12a ＝⎝⎛⎭⎫13b ＝1，则b ＝a ＝0.反思感悟 与指数函数相关的图像问题(1)熟记当底数a >1和0<a <1时，图像的大体形状． (2)注意图像平移问题：对于横坐标x 满足“左加右减”． (3)注意利用函数性质研究图像问题．跟踪训练1 (1)函数y ＝2x －1的图像一定不经过第________象限；若函数y ＝⎝⎛⎭⎫12x ＋b 的图像不经过第一象限，则实数b 的取值范围是________． 答案 二、四 (－∞，－1]解析 当x <0时，2x <1，y <0，在第三象限， 当x >0时，2x >1，y >0，在第一象限， 且当x ＝0时，y ＝0，故y ＝2x －1的图像一定不经过第二、四象限． 若函数y ＝⎝⎛⎭⎫12x ＋b 的图像不经过第一象限， 当x ∈[0，＋∞)时，y ＝⎝⎛⎭⎫12x ＋b ≤0， 又∵0<12<1，且x ∈[0，＋∞)，y ＝⎝⎛⎭⎫12x 是[0，＋∞)上的减函数， ∴0<⎝⎛⎭⎫12x ≤1，∴⎝⎛⎭⎫12x ＋b ≤1＋b ≤0， 解得b ≤－1.(2)已知直线y ＝2a 与函数y ＝|2x －2|的图像有两个公共点，求实数a 的取值范围．解 函数y ＝|2x －2|的图像如图中实线部分所示，要使直线y ＝2a 与该图像有两个公共点，则有0<2a <2，即0<a <1，故实数a 的取值范围为(0,1)．二、利用指数函数性质比较大小 例2 比较下列各组数的大小． (1)1.52.5与1.53.2； (2)56311⎛⎫⎪⎝⎭与56833⎛⎫⎪⎝⎭； (3)1.50.3与0.81.2.解 (1)∵函数y ＝1.5x 在R 上是增函数，2.5<3.2， ∴1.52.5<1.53.2.(2)指数函数y ＝⎝⎛⎭⎫311x 与y ＝⎝⎛⎭⎫833x 的图像(如图)，由图知56311⎛⎫⎪⎝⎭>56833⎛⎫ ⎪⎝⎭. (3)由指数函数的性质知1.50.3>1.50＝1， 而0.81.2<0.80＝1， ∴1.50.3>0.81.2.反思感悟 比较指数式大小的3种类型及处理方法跟踪训练2 比较下列各组数的大小： (1)0.8－0.1与1.250.2；(2)1.70.3与0.93.1；(3)a 0.5与a 0.6(a >0且a ≠1)． 解 (1)∵0<0.8<1， ∴y ＝0.8x 在R 上是减函数． ∵－0.2<－0.1，∴0.8－0.2>0.8－0.1， 而0.8－0.2＝⎝⎛⎭⎫45－0.2＝1.250.2， 即0.8－0.1<1.250.2.(2)∵1.70.3>1.70＝1,0.93.1<0.90＝1， ∴1.70.3>0.93.1.(3)a 0.5与a 0.6可看作指数函数y ＝a x 的两个函数值． 当0<a <1时，函数y ＝a x 在R 上是减函数． ∵0.5<0.6，∴a 0.5>a 0.6.当a >1时，函数y ＝a x 在R 上是增函数． ∵0.5<0.6，∴a 0.5<a 0.6.综上所述，当0<a <1时，a 0.5>a 0.6； 当a >1时，a 0.5<a 0.6.三、利用指数函数性质解不等式 例3 (1)不等式4x <42－3x的解集是________．答案 ⎝⎛⎭⎫－∞，12 解析 ∵4x <42－3x ，∴x <2－3x ，∴x <12.(2)解关于x 的不等式：a 2x ＋1≤a x －5(a >0且a ≠1)．解 ①当0<a <1时， ∵a 2x ＋1≤a x －5，∴2x ＋1≥x －5，解得x ≥－6. ②当a >1时，∵a 2x ＋1≤a x －5， ∴2x ＋1≤x －5，解得x ≤－6.综上所述，当0<a <1时，不等式的解集为{x |x ≥－6}； 当a >1时，不等式的解集为{x |x ≤－6}． 反思感悟 指数型不等式的解法(1)指数型不等式a f (x )>a g (x )(a >0且a ≠1)的解法： 当a >1时，f (x )>g (x )； 当0<a <1时，f (x )<g (x )．(2)如果不等式的形式不是同底指数式的形式，要首先进行变形将不等式两边的底数进行统一，此时常用到以下结论：1＝a 0(a >0且a ≠1)，a －x ＝⎝⎛⎭⎫1a x(a >0且a ≠1)等． 跟踪训练3 (1)已知不等式13≤3x <27，则x 的取值范围为( ) A ．－12≤x <3B.12≤x <3 C ．R D ．－12≤x <13答案 A解析 由题意可得123-≤3x <33，再根据函数y ＝3x 在R 上是增函数，可得－12≤x <3.(2)已知(a 2＋a ＋2)x >(a 2＋a ＋2)1－x ，则x 的取值范围是________． 答案 ⎝⎛⎭⎫12，＋∞ 解析 ∵a 2＋a ＋2＝⎝⎛⎭⎫a ＋122＋74>1， ∴(a 2＋a ＋2)x >(a 2＋a ＋2)1－x ⇔x >1－x ⇔x >12.∴x ∈⎝⎛⎭⎫12，＋∞.1．知识清单：(1)指数函数图像的应用． (2)利用指数函数性质比较大小． (3)利用指数函数性质解不等式．2．方法归纳：转化与化归、分类讨论、数形结合．3．常见误区：研究y ＝a f (x )型函数，易忽视讨论a >1还是0<a <1.1．(多选)下列判断正确的是( ) A ．2.52.5>2.53 B ．0.82<0.83 C ．π2>3πD ．0.90.3>0.90.5答案 CD解析 ∵y ＝πx 是增函数，且2>3， ∴π2>3π；∵y ＝0.9x 是减函数，且0.5>0.3， ∴0.90.3>0.90.5.故C ，D 正确．2．函数y ＝a x －1a(a >0且a ≠1)的图像可能是( )答案 D解析 当a >1时，y ＝a x －1a 为增函数，当x ＝0时，y ＝1－1a <1且y ＝1－1a >0，故A ，B 不符合．当0<a <1时，y ＝a x －1a 为减函数，当x ＝0时，y ＝1－1a <0，故C 不符合，D 符合．3．若a 3.1>a 3(a >0且a ≠1)，则实数a 的取值范围是________．答案 (1，＋∞)解析 因为3.1>3，且a 3.1>a 3， 所以函数y ＝a x 是增函数，所以a >1. 4．不等式225x >5x＋1的解集是________．答案 ⎝⎛⎭⎫－∞，－12∪(1，＋∞) 解析 由225x >5x ＋1得2x 2>x ＋1，解得x <－12或x >1.5．设0<a <1，则关于x 的不等式22232223x x x x a a >－＋＋－的解集为________．答案 (1，＋∞)解析 因为0<a <1，所以y ＝a x 在R 上是减函数， 又因为22232223x x x x aa>－＋＋－，所以2x 2－3x ＋2<2x 2＋2x －3，解得x >1.1．若2x ＋1<1，则x 的取值范围是( ) A ．(－1,1)B ．(－1，＋∞)C ．(0,1)∪(1，＋∞)D ．(－∞，－1)答案 D解析 ∵2x ＋1<1＝20，且y ＝2x 是增函数， ∴x ＋1<0，∴x <－1.2．已知函数f (x )＝(a 2－1)x ，若x >0时总有f (x )>1，则实数a 的取值范围是( ) A ．1<|a |<2 B ．|a |<2 C ．|a |>1D ．|a |> 2答案 D解析 由题意知a 2－1>1， 解得a 2>2， 即|a |> 2.3．函数①y ＝a x ；②y ＝b x ；③y ＝c x ；④y ＝d x 的图像如图所示，a ，b ，c ，d 分别是下列四个数：54，3，13，411中的一个，则a ，b ，c ，d 的值分别是( )A.54，3，13，411B.3，54，411，13C.411，13，3，54D.13，411，54， 3 答案 C解析 直线x ＝1与函数图像的交点的纵坐标从上到下依次为c ，d ，a ，b ，而3>54>411>13，所以a ，b ，c ，d 的值分别是411，13，3，54.4．函数y ＝a x (a >0且a ≠1)在[0,1]上的最大值与最小值的和为3，则函数y ＝2ax －1在[0,1]上的最大值是( ) A ．6 B ．1 C ．3 D.32答案 C解析 函数y ＝a x 在[0,1]上是单调的，最大值与最小值都在端点处取到，故有a 0＋a 1＝3，解得a ＝2，因此函数y ＝2ax －1＝4x －1在[0,1]上是增函数，当x ＝1时，y max ＝3. 5．在下列图像中，二次函数y ＝ax 2＋bx 及指数函数y ＝⎝⎛⎭⎫b a x的图像只可能是( )答案 A解析 根据指数函数的定义，可知a ，b 同号且不相等，∴－b2a <0，可排除B ，D ；由选项C中二次函数的图像，可知a －b >0，a <0，∴ba >1，∴指数函数y ＝⎝⎛⎭⎫b a x 单调递增，故C 不正确，排除C ，故选A.6．函数f (x )＝3x －3(1<x ≤5)的值域是________． 答案 ⎝⎛⎦⎤19，9 解析 因为1<x ≤5， 所以－2<x －3≤2.而函数y ＝3x 在(－2,2]上是增函数， 于是有19<f (x )≤32＝9，即所求函数的值域为⎝⎛⎦⎤19，9.7．已知a ＝0.80.7，b ＝0.80.9，c ＝1.20.8，则a ，b ，c 的大小关系是________．(用“>”连接) 答案 c >a >b解析 因为函数y ＝0.8x 是R 上的减函数， 所以a >b .又因为a ＝0.80.7<0.80＝1，c ＝1.20.8>1.20＝1， 所以c >a .故c >a >b .8．已知方程|2x －1|＝a 有两个不等实根，则实数a 的取值范围是________． 答案 (0,1)解析 函数y ＝|2x －1|＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －1，x ≥0，－2x＋1，x <0，其图像如图所示．方程|2x －1|＝a 有两个不等实根等价于直线y ＝a 与y ＝|2x －1|的图像有两个交点，所以由图可知0<a <1.9．已知a－5x<a x －7(a >0且a ≠1)，求x 的取值范围．解 当a >1时，∵a －5x <a x －7，∴－5x <x －7， 解得x >76；当0<a <1时，∵a －5x <a x －7，∴－5x >x －7， 解得x <76.综上所述，当a >1时，x 的取值范围是⎝⎛⎭⎫76，＋∞； 当0<a <1时，x 的取值范围是⎝⎛⎭⎫－∞，76. 10．若函数f (x )＝(k ＋3)a x ＋3－b (a >0且a ≠1)是指数函数． (1)求k ，b 的值；(2)求解不等式f (2x －7)>f (4x －3)．解 (1)∵f (x )＝(k ＋3)a x ＋3－b (a >0且a ≠1)是指数函数， ∴k ＋3＝1且3－b ＝0，解得k ＝－2且b ＝3. (2)由(1)得f (x )＝a x (a >0且a ≠1)， 因为f (2x －7)>f (4x －3)，所以a 2x －7>a 4x －3.①当a >1时，f (x )＝a x 单调递增，则不等式等价于2x －7>4x －3，解得x <－2； ②当0<a <1时，f (x )＝a x 单调递减，则不等式等价于2x －7<4x －3，解得x >－2. 综上，当a >1时，原不等式的解集为{x |x <－2}； 当0<a <1时，原不等式的解集为{x |x >－2}．11．已知函数f (x )＝a －x (a >0且a ≠1)，且f (－2)>f (－3)，则a 的取值范围是( ) A ．a >0 B ．a >1 C ．a <1 D ．0<a <1答案 D解析 因为－2>－3，f (－2)>f (－3)，又f (x )＝a －x ＝⎝⎛⎭⎫1a x ，所以⎝⎛⎭⎫1a －2>⎝⎛⎭⎫1a －3，所以1a>1，所以0<a <1. 12．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ －x ＋3a ，x <0，a x ，x ≥0(a >0且a ≠1)是R 上的减函数，则a 的取值范围是( ) A ．(0,1) B.⎣⎡⎭⎫13，1C.⎝⎛⎦⎤0，13 D.⎝⎛⎦⎤0，23答案 B解析 由单调性定义，得f (x )为减函数应满足⎩⎪⎨⎪⎧ 0<a <1，3a ≥a 0，即13≤a <1.13．设y 1＝40.9，y 2＝80.48，y 3＝⎝⎛⎭⎫12－1.5，则( )A ．y 3>y 1>y 2B ．y 2>y 1>y 3C ．y 1>y 2>y 3D ．y 1>y 3>y 2答案 D解析 40.9＝21.8,80.48＝21.44，⎝⎛⎭⎫12－1.5＝21.5，由于y ＝2x 在R 上是增函数，所以21.8>21.5>21.44，即y 1>y 3>y 2.14．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 2－x ，x ≤0，1，x >0，则满足f (x ＋1)<f (2x )的x 的取值范围是() A ．(－∞，－1] B ．(0，＋∞)C ．(－1,0)D ．(－∞，0)答案 D解析 函数f (x )的图像如图所示，观察图像可知会有⎩⎪⎨⎪⎧2x <0，2x <x ＋1， 解得x <0，所以满足f (x ＋1)<f (2x )的x 的取值范围是(－∞，0)．15．设x <0，且1<b x <a x ，则( )A ．0<b <a <1B ．0<a <b <1C ．1<b <aD ．1<a <b答案 B解析 ∵1<b x <a x ，x <0，∴0<a <1,0<b <1.又当x ＝－1时，1b <1a， 即b >a ，∴0<a <b <1.16．已知函数f (x )＝b ·a x (其中a ，b 为常量，且a >0，a ≠1)的图像经过点A (1,6)，B (3,24)．(1)求f (x )；(2)若不等式⎝⎛⎭⎫1a x ＋⎝⎛⎭⎫1b x －m ≥0在x ∈(－∞，1]上恒成立，求实数m 的取值范围．解 (1)把A (1,6)，B (3,24)代入f (x )＝b ·a x ，得 ⎩⎪⎨⎪⎧ 6＝ab ，24＝b ·a 3，结合a >0且a ≠1， 解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝3.∴f (x )＝3·2x .(2)要使⎝⎛⎭⎫12x ＋⎝⎛⎭⎫13x ≥m 在(－∞，1]上恒成立，只需保证函数y ＝⎝⎛⎭⎫12x ＋⎝⎛⎭⎫13x 在(－∞，1]上的最小值不小于m 即可．∵函数y ＝⎝⎛⎭⎫12x ＋⎝⎛⎭⎫13x 在(－∞，1]上为减函数，∴当x ＝1时，y ＝⎝⎛⎭⎫12x ＋⎝⎛⎭⎫13x 有最小值56. ∴只需m ≤56即可． ∴m 的取值范围为⎝⎛⎦⎤－∞，56.。
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2.1.2 指数函数图像及性质的应用
教学目标
能利用指数函数的图像及单调性比较指数式的大小、解简单的指数不等式。
教学重难点
能利用指数函数的图象与性质来解决一些问题
一、知识回顾
1、指数函数的定义
2、指数函数的图像及性质
二、典例与练习巩固
本节课主要从两方面讲述指数函数图像及性质的简单应用。
类型一：比较指数式的大小
例1、比较下列各题中两个值的大小：
① 1.72.5，1.73；
②0.8-0.1，0.8-0.2；
③ 1.70.3，0.93.1.
方法小结：
练习1：比较下列各组数的大小
① 1.9 -3 1.9-2
② 0.60.50.60.4
③ 1.50.5 0.92.5
练习2：已知下列不等式，比较m，n的大小。
（1）2m<2n（2）0.2m<0.2n
类型二：解简单指数不等式
例2：解下列关于x的不等式。
（1）0.32-x＜0.30.5 （2）2x+5≤16 练习3：（1）若3-x+1=27，求x的值。
（2）解关于x的不等式：2x≥4x+1
（3）解关于x 的不等式：a 3x-1≤a 2x-4(a>0且a ≠1)
方法小结：
三、课堂小结：
1：如何比较指数式的大小。
2：如何解指数型不等式。
四、课后练习
1.下列各式比较大小正确的是( )
A ．1.72.5＞1.73
B ．0.6－1＞0.62
C ．0.9－0.1＞0.9-0.2
D ．1.70.3＜0.93.1 2．设a ＝40.8，b ＝80.46，c ＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫12－1.2，则a ，b ，c 的大小关系为( ) A ．a ＞b ＞c B ．b ＞a ＞c
C ．c ＞a ＞b
D ．c ＞b ＞a 3．已知实数a ，b 满足等式2 017a ＝2 018b ，下列五个关系式：①0<b <a ；②a <b <0；③0<a <b ；④b <a <0；⑤a ＝b .其中不可能成立的关系式有( )
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
4.若52x+1=125，则x 的值为
6.解下列指数不等式：
（1）21327x +>
（2）a x+1＜a 5-3x (a ＞0,且a ≠1)
（3）(a 2+a+2)-5x >(a 2+a+2)x+7。