初三数学全能竞赛数学考试试题
九年级数学竞赛题(含答案)
初三数学竞赛题（含答案）（全卷满分120分考试时间90分）姓名_________班级________指导教师_________ 得分_________一 .单项选择题（每题6分，共30分）1.22016－22017＝( )A.-22016B.-2C. 22016D.22.若关于x 的多项式x 2-6x+m 2是一个完全平方式，则m=( ) A. 3 B. ±3 C. 9 D. ±93.圆锥的侧面展开是圆心角为90°的扇形，则圆锥的母线与底面半径之比为（） A . 6:1 （B ）. 4:1 （C ）.3:1 （D ）.2:14.如图，在矩形ABCD 中，AB=10，BC=5，点E 、F 分别在AB 、CD 上，将矩形ABCD 沿EF 折叠，使点A 、D 分别落在矩形AB CD 外部的点A 1、D 1处，则阴影部分图形的周长为（） A.15 B.20 C.25 D.305.如图，矩形ABCD 中，AB AD 2=，E 是AD 边上一点，AD nDE 1=（n 为大于2的整数），连接BE ，作BE 的垂直平分线分别交AD 、BC 于点F ，G ，FG 与BE 的交点为O ，连接BF和EG .记四边形BFEG 的面积为1S ，矩形ABCD 的面积为2S ，当301721=S S 时，n = （ ）A.3B. 4C.6D.8第4题图第5题图二 .填空题（每题6分，共30分）6.已知2cos 2β+3sin β-3=0,则锐角β＝________. 7.化简：324324--+＝________8.（1+2+3+…+99）（2+3+4+…+100）－（1+2+3+…+100）（2+3+4+…99）＝________. 9.已知关于x 的分式方程111=--++x kx k x 的解为负数，则k 的取值范围是_______. 10.如图，点A 1，A 2依次在的图象上，点B 1，B 2依次在x 轴的正半轴上，若ΔA 1OB 1 ,ΔA 2B 1B 2均 为等边三角形，则点B 2的坐标为 ． 三．解答题（每题20分，共60分）11.为了迎接“十•一”小长假的购物高峰．某运动品牌专卖店准备购进甲、乙两种运动鞋．其中甲、乙两种运动鞋的进价和售价如下表：已知：用3000元购进甲种运动鞋的数量与用2400元购进乙种运动鞋的数量相同．（1）求m 的值；（2）要使购进的甲、乙两种运动鞋共200双的总利润（利润=售价﹣进价）不少于21700元，且不超过22300元，问该专卖店有几种进货方案？（3）在（2）的条件下，专卖店准备对甲种运动鞋进行优惠促销活动，决定对甲种运动鞋每双优惠a （50＜a ＜70）元出售，乙种运动鞋价格不变．那么该专卖店要获得最大利润应如何进货？BCAD12. 如图，抛物线y=x2－2x+c的顶点A在直线l：y=x－5上．（1）求抛物线顶点A的坐标；（2）设抛物线与y轴交于点B，与x轴交于点C．D（C点在D点的左侧），试判断△ABD的形状；（3）在直线l上是否存在一点P，使以点P、A．B．D为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．13.如图，在△ABC中，已知AB=AC=5，BC=6，且△ABC≌△DEF，将△DEF与△ABC重合在一起，△ABC不动，△ABC不动，△DEF运动，并满足：点E在边BC上沿B到C的方向运动，且DE、始终经过点A，EF与AC交于M点．（1）求证：△ABE∽△ECM；（2）探究：在△DEF运动过程中，重叠部分能否构成等腰三角形？若能，求出BE的长；若不能，请说明理由；（3）当线段AM最短时，求重叠部分的面积．数学竞赛答案1.A2.B3.D4. D5. C6.3007.28.1009. k＞1/2, 且k≠1 10.(26,0)11. 解：（1）依题意得，=，整理得，3000（m﹣20）=2400m，解得m=100，经检验，m=100是原分式方程的解，所以，m=100；（2）设购进甲种运动鞋x双，则乙种运动鞋（200﹣x）双，根据题意得，，解不等式①得，x≥95，解不等式②得，x≤105，所以，不等式组的解集是95≤x≤105，∵x是正整数，105﹣95+1=11，∴共有11种方案；（3）设总利润为W，则W=（140﹣a）x+80（200﹣x）=（60﹣a）x+16000（95≤x≤105），①当50＜a＜60时，60﹣a＞0，W随x的增大而增大，所以，当x=105时，W有最大值，即此时应购进甲种运动鞋105双，购进乙种运动鞋95双；②当a=60时，60﹣a=0，W=16000，（2）中所有方案获利都一样；③当60＜a＜70时，60﹣a＜0，W随x的增大而减小，所以，当x=95时，W有最大值，12. 解：（1）∵顶点A的横坐标为x==1，且顶点A在y=x－5上，∴当x=1时，y=1－5=－4，∴A（1，－4）．（2）△ABD是直角三角形．将A（1，－4）代入y=x2－2x+c，可得，1－2+c=－4，∴c=－3，∴y=x2－2x－3，∴B（0，－3）当y=0时，x2－2x－3=0，x1=－1，x2=3∴C（－1，0），D（3，0），BD2=OB2+OD2=18，AB2=（4－3）2+12=2，AD2=（3－1）2+42=20，BD2+AB2=AD2，∴∠ABD=90°，即△ABD是直角三角形．（3）存在．由题意知：直线y=x－5交y轴于点A（0，－5），交x轴于点F（5，0）∴OE=OF=5，又∵OB=OD=3∴△OEF与△OBD都是等腰直角三角形∴BD∥l，即PA∥BD则构成平行四边形只能是PADB或PABD，如图，过点P作y轴的垂线，过点A作x轴的垂线并交于点C设P（x1，x1－5），则G（1，x1－5）则PC=|1－x1|，AG=|5－x1－4|=|1－x1|PA=BD=3由勾股定理得：（1－x1）2+（1－x1）2=18，x12－2x1－8=0，x1=－2，4∴P（－2，－7），P（4，－1）存在点P（－2，－7）或P（4，－1）使以点A．B．D．P为顶点的四边形是平行四边形．第12题图第13题图S△AEM =．13.（1）证明：∵AB=AC，∴∠B=∠C，∵△ABC≌△DEF，∴∠AEF=∠B，又∵∠AEF+∠CEM=∠AEC=∠B+∠BAE，∴∠CEM=∠BAE，∴△ABE∽△ECM；（2）解：∵∠AEF=∠B=∠C，且∠AME＞∠C，∴∠AME＞∠AEF，∴AE≠AM；当AE=EM时，则△ABE≌△ECM，∴CE=AB=5，∴BE=BC－EC=6－5=1，当AM=EM时，则∠MAE=∠MEA，∴∠MAE+∠BAE=∠MEA+∠CEM，即∠CAB=∠CEA，又∵∠C=∠C，∴△CAE∽△CBA，∴，∴CE =，∴BE=6－=；（3）解：设BE=x，又∵△ABE∽△ECM，∴，即：，∴CM=－+x=－（x－3）2+，∴AM=－5－CM ═（x－3）2+，∴当x=3时，AM 最短为，又∵当BE=x =3=BC时，∴点E为BC的中点，∴AE⊥BC，∴AE ==4，此时，EF⊥AC，∴EM ==，。
全能竞赛九年级数学试卷
全能竞赛九年级数学试卷2018．1温馨提示：请仔细审题，细心答题，相信你一定会有出色的表现！作业时间为120分钟，答案请写在答题纸上，作业结束答题纸上交，作业题自行保管。
参考公式：①二次函数2y ax bx c =++图像的顶点坐标是24,24b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭； ②圆锥的侧面积是rl π，其中r 是圆锥底面圆的半径，l 是圆锥的母线长。
一、选择题（本题有10小题，每小题4分，共40分。
请选出各题中一个符合题意的正确选项，不选、多选、错选，均不给分）1、冬季的一天，室内温度是8℃，室外温度是－2℃，则室内外温度相差（ ▲ ） A 、4℃B 、6℃C 、10℃D 、16℃2、不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ▲ ）3、小芸所在学习小组的同学们，响应“为祖国争光，为奥运添彩”的号召，主动到附近的7个社区帮助爷爷、奶奶们学习英语日常用语。
他们记录的各社区参加其中一次活动的人数如下：33，32，32，31，28，26，32，那么这组数据的众数和中位数分别是（ ▲ ） A 、32，31 B 、32，32 C 、3，31 D 、3，324、若圆锥的侧面展开图是一个弧长为36π的扇形，则这个圆锥的底面半径是（ ▲ ） A 、36B 、18C 、9D 、65、某足球评论员预测：“6月13日进行的世界杯小组赛意大利队对加纳队的比赛，意大利队有80%的机会获胜”。
与“有80%的机会获胜”意思最接近的是（ ▲ ） A 、意大利队肯定会赢这场比赛B 、意大利队肯定会输这场比赛C 、假如这两支球队进行10场比赛，意大利队会赢8场左右D 10场比赛，意大利队恰好会赢8场 6x 的取值范围为（ ▲ ） A 、x ＞2B 、x ≥2C 、x ≥0D 、x ＜27、水平放置的正方体的六个面分别用“前面、后面、上面、下面、左面、右面”表示，如图是一个正方体的表面展开图，若图中“2”在正方体的前面，则这个正方体的后面是（ ▲ ） A 、0B 、7C 、快D 、乐8、小明和小亮口袋里面都放有五张不同的2008年北京奥运会福娃纪念卡，小明从口袋里摸出一张福娃是贝贝，小亮从口袋里摸出一张福娃也是贝贝的概率是（ ▲ ） 1x -＜1x ≥－179、自2006年1月1日起，某市全面推行农村合作医疗，农民每年每人只要拿出10元就可以享某人住院后得到保险公司报销金额是805元，那么此人住院的医疗费是（ ▲ ） A 、3 220元 B 、4 183.33元 C 、4 350元 D 、4 500元10、如图，正方形OABC 、ADEF 的顶点A 、D 、C 在坐标轴上，点F 在AB 上，点B 、E 在函数1y x=（x ＞0）的图像上，则点E 的坐标是（ ▲ ）A 、⎝⎭B 、⎝⎭C 、11,22⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭D 、3322⎛+ ⎝⎭二、填空题（本题有6小题，每小题5分，共30分） 11、计算()235a a ÷的结果是 ▲ 。
数学竞赛试题及答案初中
数学竞赛试题及答案初中试题一：代数问题题目：如果\( a \)和\( b \)是两个连续的自然数，且\( a^2 + b^2= 45 \)，求\( a \)和\( b \)的值。
解答：设\( a \)为较小的自然数，那么\( b = a + 1 \)。
根据题意，我们有：\[ a^2 + (a + 1)^2 = 45 \]\[ a^2 + a^2 + 2a + 1 = 45 \]\[ 2a^2 + 2a - 44 = 0 \]\[ a^2 + a - 22 = 0 \]分解因式得：\[ (a + 11)(a - 2) = 0 \]因此，\( a = -11 \)或\( a = 2 \)。
由于\( a \)是自然数，所以\( a = 2 \)，\( b = 3 \)。
试题二：几何问题题目：在一个直角三角形中，直角边的长度分别为3厘米和4厘米，求斜边的长度。
解答：根据勾股定理，直角三角形的斜边\( c \)可以通过以下公式计算：\[ c = \sqrt{a^2 + b^2} \]其中\( a \)和\( b \)是直角边的长度。
代入数值：\[ c = \sqrt{3^2 + 4^2} \]\[ c = \sqrt{9 + 16} \]\[ c = \sqrt{25} \]\[ c = 5 \]所以斜边的长度是5厘米。
试题三：数列问题题目：一个等差数列的前三项分别是2，5，8，求这个数列的第10项。
解答：等差数列的通项公式是：\[ a_n = a_1 + (n - 1)d \]其中\( a_n \)是第\( n \)项，\( a_1 \)是首项，\( d \)是公差。
已知首项\( a_1 = 2 \)，公差\( d = 5 - 2 = 3 \)。
代入公式求第10项：\[ a_{10} = 2 + (10 - 1) \times 3 \]\[ a_{10} = 2 + 9 \times 3 \]\[ a_{10} = 2 + 27 \]\[ a_{10} = 29 \]所以这个数列的第10项是29。
九年级数学竞赛初赛试卷【含答案】
九年级数学竞赛初赛试卷【含答案】专业课原理概述部分一、选择题（每题1分，共5分）1. 若一个正方形的边长为a，则它的对角线长为（）。
A. a/2B. a√2C. 2aD. a²2. 下列哪个数是无理数？（）A. √9B. √16C. √3D. √13. 若函数f(x) = 2x + 3，则f(-1)的值为（）。
A. 1B. 2C. 3D. 54. 下列哪个图形不是正多边形？（）A. 等边三角形B. 等腰梯形C. 正方形D. 正五边形5. 若一个圆的半径为r，则它的周长为（）。
A. 2rB. 2πrC. πr²D. r²/2二、判断题（每题1分，共5分）1. 两个负数相乘的结果一定是正数。
（）2. 任何数乘以0都等于0。
（）3. 对角线相等的四边形一定是矩形。
（）4. 一元二次方程ax² + bx + c = 0（a≠0）的解可以用公式x = [-b ± √(b² 4ac)] / 2a求得。
（）5. 任何数都有倒数。
（）三、填空题（每题1分，共5分）1. 若一个三角形的两个内角分别为30°和60°，则第三个内角的度数为______°。
2. 若2x 5 = 0，则x的值为______。
3. 若一个圆的直径为10cm，则它的面积为______cm²。
4. 若一个等差数列的首项为3，公差为2，则第5项的值为______。
5. 若sinθ = 1/2，且θ是锐角，则θ的度数为______°。
四、简答题（每题2分，共10分）1. 请简述勾股定理的内容。
2. 请简述一元一次方程的求解方法。
3. 请简述等差数列的定义及通项公式。
4. 请简述平行四边形的性质。
5. 请简述圆的周长和面积的计算公式。
五、应用题（每题2分，共10分）1. 已知一个长方形的长是宽的2倍，且长方形的周长是24cm，求长方形的长和宽。
2024全国初中数学竞赛试题
1、已知直角三角形的两条直角边长度分别为3和4，则斜边上的高为：A. 2.4B. 1.2C. 5D. 不能确定（答案）A2、若a、b、c为三角形的三边长，且满足a² + b² + c² + 50 = 10a + 6b + 8c，则此三角形为：A. 直角三角形B. 等腰三角形C. 等边三角形D. 不能确定（答案）A3、解方程组 { x + 2y = 5, 3x - 4y = -2 } 时，若先消去y，则得到的方程是：A. 5x = 14B. 5x = 10C. 7x = 16D. 7x = 22（答案）B4、在平行四边形ABCD中，若∠A : ∠B = 2 : 3，则∠C的度数为：A. 60°B. 90°C. 120°D. 不能确定（答案）C5、已知 |x| = 5，y = 3，则x - y等于：A. 8或-2B. 2或-8C. -2或8D. -8或2（答案）D6、若关于x的一元二次方程x² - (k - 1)x - k = 0有两个相等的实数根，则k的值为：A. -3B. 3C. -1D. 1（答案）D7、在圆O中，弦AB的长度等于半径OA，则∠AOB的度数为：A. 30°B. 60°C. 120°D. 30°或150°（答案）B8、若a > b > 0，c < d < 0，则一定有：A. a² > b²B. c² > d²C. a/d > b/cD. a/d < b/c（答案）A9、已知一次函数y = kx + b的图像经过点(2, 3)和(-1, -3)，则它的图像不经过：A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限（答案）C10、在△ABC中，若∠A = 60°，∠B = 45°，则∠C的度数为：A. 45°B. 60°C. 75°D. 90°（答案）C。
初中九年级数学竞赛试题
初中九年级数学竞赛试题一、选择题（每题5分，共30分）1. 若关于公式的一元二次方程公式的常数项为公式，则公式的值等于（）A. 公式B. 公式C. 公式或公式D. 公式解析：对于一元二次方程公式，常数项公式。
因为常数项为公式，所以公式。
分解因式得公式，解得公式或公式。
又因为方程是一元二次方程，二次项系数公式，即公式。
所以公式，答案为B。
2. 抛物线公式与公式轴的交点坐标为（）A. 公式和公式B. 公式和公式C. 公式和公式D. 公式和公式解析：要求抛物线与公式轴的交点，令公式，即公式。
分解因式得公式。
解得公式或公式。
所以交点坐标为公式和公式，答案为A。
3. 已知反比例函数公式的图象经过点公式，则这个函数的图象位于（）A. 第一、三象限B. 第二、三象限C. 第二、四象限D. 第三、四象限解析：因为反比例函数公式的图象经过点公式，把公式代入公式得公式。
因为公式，所以函数图象位于第二、四象限，答案为C。
二、填空题（每题5分，共30分）1. 方程公式的两个根是等腰三角形的底和腰，则这个等腰三角形的周长为______。
解析：解方程公式，分解因式得公式，解得公式或公式。
当底为公式，腰为公式时，满足三角形三边关系（公式），此时周长为公式。
当底为公式，腰为公式时，公式，不满足三角形三边关系，舍去。
所以周长为公式。
2. 若公式，公式，则公式______。
解析：根据完全平方公式公式。
已知公式，公式，则公式。
三、解答题（每题20分，共40分）1. 已知二次函数公式的图象经过点公式，公式，公式。
(1)求二次函数的表达式。
(2)设该二次函数的对称轴与公式轴交于点公式，连接公式，求公式的面积。
解析：(1)因为二次函数公式的图象经过点公式，公式，公式。
把公式，公式，公式分别代入公式得：公式将公式代入公式由公式得公式，将其代入公式得：公式公式公式，解得公式。
把公式代入公式得公式。
所以二次函数的表达式为公式。
(2)对于二次函数公式，对称轴为公式，所以公式。
初三数学竞赛试卷带答案
一、选择题（每题5分，共20分）1. 下列数中，不是有理数的是（）A. -√2B. 0.5C. 3D. 2/32. 若a，b是方程x^2 - 4x + 3 = 0的两个根，则a + b的值为（）A. 4B. -4C. 3D. 13. 下列函数中，是奇函数的是（）A. y = x^2B. y = 2xC. y = |x|D. y = x^34. 在直角坐标系中，点A（2，3）关于原点对称的点的坐标是（）A.（-2，-3）B.（2，-3）C.（-2，3）D.（3，-2）5. 若等差数列{an}的前n项和为Sn，且S5 = 50，S9 = 90，则公差d为（）A. 2C. 4D. 5二、填空题（每题5分，共20分）6. 若一个数的平方等于它本身，则这个数是_______。
7. 二项式定理中，(x + y)^n展开式中，x的系数是_______。
8. 在△ABC中，若∠A = 60°，∠B = 45°，则∠C = _______。
9. 若x^2 - 5x + 6 = 0，则x^2 - 5x的值为_______。
10. 一个等腰三角形的底边长为8，腰长为10，则这个三角形的周长为_______。
三、解答题（每题10分，共30分）11. 解方程：3x^2 - 5x + 2 = 0。
12. 已知函数y = 2x - 3，求证：对于任意实数x1，x2，都有y1 + y2 ≥ 2y。
13. 在△ABC中，AB = AC，点D是边BC上的一点，且BD = DC。
若∠ADB = 40°，求∠A的度数。
答案一、选择题1. A2. A3. D4. A5. A二、填空题6. 07. C_n^1 x^(n-1) y9. -510. 28三、解答题11. 解：分解因式得 (3x - 2)(x - 1) = 0，所以 x = 2/3 或 x = 1。
12. 证明：设x1 < x2，则y1 = 2x1 - 3，y2 = 2x2 - 3。
初三数学竟赛试题及答案
初三数学竟赛试题及答案初三数学竞赛试题及答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 下列哪个数是无理数？A. 2B. πC. 0.5D. √42. 一个数的立方等于它本身，这个数是：A. 0B. 1C. -1D. 0, 1, -13. 如果一个三角形的两边长分别为3和4，第三边长x满足的条件是：A. 1 < x < 7B. 0 < x < 7C. 1 < x < 5D. 0 < x < 54. 一个圆的直径是10cm，那么它的半径是：A. 5cmB. 10cmC. 20cmD. 15cm5. 一个数的相反数是它本身，这个数是：A. 0B. 1C. -1D. 任意数6. 一个数的绝对值是它本身，这个数是：A. 0B. 正数C. 负数D. 0或正数7. 一个数的倒数是它本身，这个数是：A. 1B. -1C. 0D. 1或-18. 一个数的平方根是它本身，这个数是：A. 0B. 1C. -1D. 0, 1, -19. 一个数的立方根是它本身，这个数是：A. 0B. 1C. -1D. 0, 1, -110. 一个数的平方是它本身，这个数是：A. 0B. 1C. -1D. 0, 1二、填空题（每题4分，共20分）11. 如果一个数的平方是25，那么这个数是______。
12. 一个数的绝对值是5，那么这个数是______。
13. 一个数的倒数是1/2，那么这个数是______。
14. 一个数的平方根是3，那么这个数是______。
15. 一个数的立方根是2，那么这个数是______。
三、解答题（每题10分，共50分）16. 计算：(3+2√2)(3-2√2)。
17. 证明：对于任意实数a和b，(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2。
18. 已知一个等腰三角形的两边长分别为5和8，求第三边的长度。
19. 一个圆的面积是π，求这个圆的半径。
20. 解方程：x^2 - 5x + 6 = 0。
九年级数学竞赛题
九年级数学竞赛题一、代数部分1. 一元二次方程竞赛题题目：已知关于公式的一元二次方程公式有两个实数根公式和公式。
（1）求实数公式的取值范围；（2）当公式时，求公式的值。
解析：（1）对于一元二次方程公式，判别式公式。
在方程公式中，公式，公式，公式，因为方程有两个实数根，所以公式。
展开公式得公式，即公式，解得公式。
（2）由公式可得公式。
根据韦达定理，在一元二次方程公式中，公式，公式。
对于方程公式，公式，公式。
当公式时，即公式，解得公式，但公式不满足公式（由（1）得），舍去。
当公式时，即公式，那么公式，由（1）中公式，解得公式。
2. 二次函数竞赛题题目：二次函数公式的图象经过点公式，且与公式轴交点的横坐标分别为公式、公式，其中公式，公式，求公式的取值范围。
解析：因为二次函数公式的图象经过点公式，所以公式，则公式。
二次函数与公式轴交点的横坐标是方程公式的根，由韦达定理公式，公式。
设公式，因为公式，公式，当公式时，公式；当公式时，公式；当公式时，公式。
将公式代入公式，公式中：由公式得公式，化简得公式，即公式。
由公式得公式，化简得公式，即公式，公式。
所以公式，则公式，解得公式。
二、几何部分1. 圆的竞赛题题目：在公式中，弦公式与弦公式相交于点公式，公式、公式分别是弦公式、公式的中点，连接公式、公式，若公式，公式的半径为公式。
（1）求证：公式是等边三角形；（2）求公式的长（用公式表示）。
解析：（1）连接公式、公式。
因为公式、公式分别是弦公式、公式的中点，根据垂径定理，公式，公式。
在四边形公式中，公式，公式，根据四边形内角和为公式，可得公式。
又因为公式（半径），公式、公式分别是弦公式、公式的中点，所以公式，公式。
在公式中，公式，公式（同圆中，弦心距相等则弦相等的一半也相等），所以公式是等边三角形。
（2）设公式与公式交于点公式，公式与公式交于点公式。
在公式中，公式，公式，公式，则公式。
同理，在公式中，公式。
因为公式是等边三角形，公式，在公式中，公式，公式，则公式，所以公式。
初三数学竞赛试题及参考答案
全国初中数学竞赛试题参考答案一、选择题（共5小题，每小题6分，满分30分。
以下每道小题均给出了代号为A ，B ，C ，D 的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的. 请将正确选项的代号填入题后的括号里。
不填、多填或错填得零分）1、方程组⎩⎨⎧=+=+6||12||y x y x 的解的个数为（ ）A 、1B 、 2C 、3D 、4答案：A解析：若0≥x ，则⎩⎨⎧=+=+6||12y x y x ，于是6||-=-y y ，显然不可能若0 x ，则⎩⎨⎧=+=+-6||12y x y x于是18||=+y y ，解得9=y ，进而求得3-=x 所以，原方程组的解为⎩⎨⎧=-=93y x ，只有1个解． 故选（A ）．2、口袋中有20个球，其中白球9个，红球5个，黑球6个．现从中任取10个球，使得白球不少于2个但不多于8个，红球不少于2个，黑球不多于3个，那么上述取法的种数是（ ）A 、 14B 、 16C 、18D 、20答案：B解析：用枚举法：红球个数 白球个数 黑球个数 种 数5 2，3，4，5 3，2，1，0 4 4 3，4，5，6 3，2，1，0 4 3 4，5，6，7 3，2，1，0 4 2 5，6，7，8 3，2，1，0 4 所以，共16种． 故选（B ）．3、已知ABC ∆为锐角三角形，⊙O 经过点B ，C ，且与边AB ，AC 分别相交于点D ，E ． 若⊙O 的半径与ADE ∆的外接圆的半径相等，则⊙O 一定经过ABC ∆的（ ）A 、内心B 、外心C 、重心D 、垂心 答案：B解析： 如图，连接BE∵ABC ∆为锐角三角形 ∴BAC ∠，ABE ∠均为锐角又∵⊙O 的半径与ADE ∆的外接圆的半径相等，且DE 为两圆的公共弦 ∴ABE BAC ∠=∠∴BAC ABE BAC BEC ∠=∠+∠=∠2 若ABC ∆的外心为1O 则BAC C BO ∠=∠21∴⊙O 一定过ABC ∆的外心 故选（B ）． 4、已知三个关于x 的一元二次方程02=++c bx ax ，02=++a cx bx ，02=++b ax cx 恰有一个公共实数根，则abc ca b bc a 222++的值为（ ）A 、0B 、1C 、2D 、3 答案：D解析：设0x 是它们的一个公共实数根，则02=++c bx ax ，02=++a cx bx ，02=++b ax cx把上面三个式子相加，并整理得()()01020=++++x x c b a因为0432112002+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=++x x x所以0=++c b a于是()()33333333222=+-=+-+=++=++abcb a ab abc b a b a abc c b a ab c ca b bc a 故选（D ）．5、方程256323+-=++y y x x x 的整数解（x ，y ）的个数是（ ）A 、0B 、1C 、3D 、无穷多 答案：A解析：原方程可化为()()()()()2113212++-=++++y y y x x x x x因为三个连续整数的乘积是3的倍数，所以上式左边是3的倍数，而右边除以3余2，这是不可能的。
初中数学全国竞赛真题试卷
一、选择题（本大题共20小题，每小题5分，共100分）1. 已知实数a、b满足a+b=1，则a²+b²的最小值为（）A. 0B. 1C. 2D. 32. 在△ABC中，∠A=60°，∠B=45°，则∠C的度数为（）A. 75°B. 120°C. 135°D. 150°3. 若等差数列{an}的前三项分别为1，-2，3，则该数列的公差为（）A. 1B. -1C. 2D. -24. 已知函数f(x)=x²-2x+1，则f(x)的最小值为（）A. 0B. 1C. 2D. 35. 若x，y满足x²+y²=1，则x²+y²的最大值为（）A. 1B. 2C. 3D. 46. 已知正方体的对角线长为a，则该正方体的体积为（）A. a²B. 2a²C. 3a²D. 4a²7. 在等腰三角形ABC中，AB=AC，∠BAC=30°，则底边BC的长度为（）A. √3B. 2√3C. 3√3D. 4√38. 已知等比数列{an}的前三项分别为2，6，18，则该数列的公比为（）A. 1B. 2C. 3D. 69. 若函数f(x)=ax²+bx+c在x=1时的导数值为2，则a+b+c的值为（）A. 2B. 3C. 4D. 510. 在直角坐标系中，点A(2,3)，点B(-1,-2)，则线段AB的中点坐标为（）A. (1,1)B. (1,2)C. (2,1)D. (2,2)11. 已知等差数列{an}的前n项和为Sn，公差为d，首项为a₁，则Sn的表达式为（）A. Sn = n(a₁+an)/2B. Sn = n(a₁+an)/2 + d/2C. Sn = n(a₁+an)/2 - d/2D. Sn = n(a₁+an)/2 d12. 在等腰三角形ABC中，AB=AC，∠BAC=30°，则∠B的度数为（）A. 30°B. 45°C. 60°D. 90°13. 已知函数f(x)=x³-3x²+4x，则f(x)的零点个数为（）A. 1B. 2C. 3D. 414. 若x，y满足x²+y²=4，则x+y的最大值为（）A. 2B. 4C. 6D. 815. 在直角坐标系中，点P(3,4)，点Q(6,2)，则线段PQ的中点坐标为（）A. (4,3)B. (5,3)C. (5,4)D. (6,5)16. 已知等比数列{an}的前三项分别为1，-2，4，则该数列的公比为（）A. -1B. 2C. -2D. 1/217. 若函数f(x)=ax²+bx+c在x=0时的导数值为0，则a+b+c的值为（）A. 0B. 1C. 2D. 318. 在直角坐标系中，点A(1,2)，点B(3,4)，则线段AB的斜率为（）A. 1B. 2C. 3D. 419. 已知等差数列{an}的前n项和为Sn，公差为d，首项为a₁，则Sn²的表达式为（）A. S n² = n²(a₁+an)²/4B. Sn² = n²(a₁+an)²/2C. Sn² = n²(a₁+an)²D. Sn² = n(a₁+an)²/220. 在等腰三角形ABC中，AB=AC，∠BAC=60°，则底边BC的长度为（）A. √3B. 2√3C. 3√3D. 4√3二、填空题（本大题共5小题，每小题10分，共50分）21. 已知函数f(x)=ax²+bx+c，若f(1)=2，f(2)=5，则a+b+c的值为______。
初中数学全国竞赛试题及答案
初中数学全国竞赛试题及答案一、选择题（每题2分，共10分）1. 下列哪个数是最小的正整数？A. 0B. 1C. -1D. 22. 如果一个数的平方等于16，那么这个数是：A. 4B. ±4C. 16D. ±163. 一个直角三角形的两条直角边分别为3和4，那么斜边的长度是：A. 5B. 6C. 7D. 84. 将一个圆分成四个相等的扇形，每个扇形的圆心角是多少度？A. 45°B. 60°C. 90°D. 120°5. 一个数的立方等于-8，这个数是：A. -2B. 2C. -8D. 8二、填空题（每题2分，共10分）6. 一个数的平方根等于它本身，这个数是______。
7. 如果一个数的绝对值等于5，那么这个数可以是______。
8. 一个数的倒数是1/4，那么这个数是______。
9. 一个数的平方是25，这个数可以是______。
10. 一个数的立方根是2，那么这个数是______。
三、解答题（每题10分，共30分）11. 已知一个长方体的长、宽、高分别是a、b、c，求长方体的体积。
12. 一个圆的半径是r，求圆的面积。
13. 已知一个等腰三角形的两个腰长为a，底边长为b，求三角形的面积。
四、证明题（每题15分，共30分）14. 证明：直角三角形的斜边的平方等于两直角边的平方和。
15. 证明：如果一个角的余弦值等于1/2，那么这个角是60°。
五、应用题（每题20分，共20分）16. 某工厂生产一种零件，每个零件的成本是5元，售价是10元。
如果工厂想要获得10000元的利润，需要生产和销售多少个这种零件？初中数学全国竞赛试题答案一、选择题1. B2. B3. A4. C5. A二、填空题6. 0或17. ±58. 49. ±510. 8三、解答题11. 长方体的体积 = 长× 宽× 高= a × b × c。
竞赛试卷初三数学
一、选择题（每题5分，共30分）1. 已知等差数列{an}中，a1=2，d=3，则a10=（）A. 31B. 28C. 25D. 232. 已知等比数列{bn}中，b1=1，q=2，则b4=（）A. 16B. 8C. 4D. 23. 在△ABC中，∠A=60°，∠B=45°，则sinC=（）A. $$ \frac { \sqrt {6}}{4}$$B. $$ \frac { \sqrt {2}}{2}$$C.$$ \frac { \sqrt {3}}{2}$$ D. $$ \frac { \sqrt {6}}{3}$$4. 已知二次函数y=ax^2+bx+c（a≠0）的图像与x轴有两个交点，若a>0，b<0，则该函数的图像开口（）A. 向上B. 向下C. 向左D. 向右5. 已知函数y=2x-1在定义域内单调递增，则函数y=2x^2-1在定义域内（）A. 单调递增B. 单调递减C. 先增后减D. 先减后增二、填空题（每题5分，共25分）6. 若等差数列{an}中，a1=3，d=-2，则第10项a10=__________。
7. 若等比数列{bn}中，b1=2，q=3，则第5项b5=__________。
8. 在△ABC中，∠A=30°，∠B=75°，则sinC=__________。
9. 已知函数y=2x-1在定义域内单调递增，则函数y=2x^2-1在定义域内__________。
10. 若二次函数y=ax^2+bx+c（a≠0）的图像与x轴有两个交点，且a>0，b<0，则该函数的图像开口__________。
三、解答题（共45分）11. （15分）已知等差数列{an}中，a1=3，d=2，求证：对于任意正整数n，an+1-an=2。
12. （15分）已知等比数列{bn}中，b1=1，q=2，求证：对于任意正整数n，bn+1=2bn。
初三数学竞赛试题试卷
一、选择题（每题5分，共25分）1. 下列各数中，绝对值最小的是：A. -3B. -2C. 0D. 22. 已知a、b、c是等差数列，且a+b+c=0，则下列哪个选项一定成立？A. a=0B. b=0C. c=0D. a+b+c=03. 在直角坐标系中，点A（2，3），点B（-1，-4），则线段AB的中点坐标是：A. （1，-1）B. （1，2）C. （0，2）D. （0，1）4. 已知函数f(x)=x^2-4x+4，则f(2)的值为：A. 0B. 2C. 4D. 65. 在三角形ABC中，角A、角B、角C的对边分别为a、b、c，且a=5，b=8，c=10，则角C的度数是：A. 30°B. 45°C. 60°D. 90°二、填空题（每题5分，共25分）6. 若一个等差数列的前三项分别为2，5，8，则这个数列的公差是______。
7. 已知函数f(x)=3x-2，若f(x)的值域为[1，5]，则x的取值范围是______。
8. 在直角坐标系中，点P（3，4）关于原点的对称点坐标是______。
9. 已知二次函数y=x^2-4x+4，其顶点坐标是______。
10. 在等腰三角形ABC中，若AB=AC，且AB=8，则底边BC的长度是______。
三、解答题（每题20分，共60分）11. （解答题）已知数列{an}的前三项分别为1，4，7，且满足an+1=2an+3，求：（1）数列{an}的通项公式；（2）数列{an}的前n项和Sn。
12. （解答题）在直角坐标系中，已知点A（1，2），点B（3，5），点C（x，y），若△ABC的面积为6，求点C的坐标。
13. （解答题）已知函数f(x)=ax^2+bx+c，若f(1)=2，f(2)=6，且函数的图像开口向上，求函数f(x)的解析式。
初三数学竞赛选拔试题(含答案)
初三数学竞赛选拔试题(含答案)初三数学竞赛选拔试题(含答案)一、选择题1. 若 3x + 2 = 17，则 x 的值是A. 5B. 7C. 9D. 112. 在一个几何图形中，有一个正方形，边长为 x 厘米，另有一个等腰直角三角形，直角边的长为 y 厘米。
已知正方形的面积是等腰直角三角形面积的 20 倍，下列等式成立的是A. x² = 20y²B. x² + y² = 20C. 20x² = y²D. x + y = 203. 若 a² - b² = 15 且 a + b = 5，则 a 的值是A. 10B. 5C. 3D. -104. 某校参加比赛的男女生比例为 5:3 ，男生比女生多 48 人，那么该校一共有多少学生？A. 320B. 480C. 800D. 9605. 以下各数中，最小的是A. -0.5B. -1/2C. -50%D. 1/-2二、填空题6. 将 120 分钟化为小时的形式，填入空白：____小时。
7. 三个角相加是 180°，如果有两个角是 50°和 80°，那么第三个角的度数是____°。
8. 分数 7/10 是小数____。
9. 甲、乙两地相距 150 公里，有两辆车同时相向而行，如果两车速度一样，则若干小时后两车相遇，填入空白：____小时。
10. （-a） ×（-a） ×（-a） ×（-a） ×（-a） ×（-a）表示的结果是____。
三、解答题11. 某衣服打对折后价格为 420 元，原价是多少元？12. 小丽拥有一些小球，其中有红球、蓝球和绿球。
红球比蓝球的 3 倍多 2 个，蓝球比绿球的 2 倍少 4 个。
如果小丽总共有 51 个球，求小丽拥有的绿球数量。
13. 若 a + b = 5 ，a - b = 3 ，求 a 和 b 的值。
全国初中数学竞赛试题及答案大全
全国初中数学竞赛试题及答案大全试题一：代数基础题目：若\( a \), \( b \), \( c \)为实数，且满足\( a + b + c = 3 \)，\( ab + ac + bc = 1 \)，求\( a^2 + b^2 + c^2 \)的值。
解答：根据已知条件，我们可以使用配方法来求解。
首先，我们知道\( (a + b + c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2(ab + ac + bc) \)。
将已知条件代入，得到\( 3^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2 \times 1 \)。
简化后，我们得到\( a^2 + b^2 + c^2 = 9 - 2 = 7 \)。
试题二：几何问题题目：在直角三角形ABC中，∠A=90°，AB=6，AC=8，求斜边BC的长度。
解答：根据勾股定理，直角三角形的斜边BC的平方等于两直角边的平方和，即\( BC^2 = AB^2 + AC^2 \)。
代入已知数值，得到\( BC^2 = 6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100 \)。
因此，\( BC = \sqrt{100} = 10 \)。
试题三：数列问题题目：一个等差数列的首项是2，公差是3，求第10项的值。
解答：等差数列的第n项可以通过公式\( a_n = a_1 + (n - 1)d \)来计算，其中\( a_1 \)是首项，d是公差，n是项数。
将已知条件代入公式，得到\( a_{10} = 2 + (10 - 1) \times 3 = 2 + 9 \times 3 = 29 \)。
试题四：概率问题题目：一个袋子里有5个红球和3个蓝球，随机取出2个球，求取出的两个球颜色相同的概率。
解答：首先计算总的可能情况，即从8个球中取2个球的组合数，用组合公式C(8,2)计算。
然后计算取出两个红球或两个蓝球的情况。
两个红球的情况有C(5,2)种，两个蓝球的情况有C(3,2)种。
初三竞赛数学试题
初三竞赛数学试题一、选择题（每题3分，共15分）1. 若\( a \)和\( b \)是正整数，且\( a^2 + b^2 = 2023 \)，求\( a \)和\( b \)的所有可能值。
A. 44, 1B. 45, 0C. 46, 1D. 47, 22. 一个圆的半径为4，圆心到直线的距离为3，求圆与直线的位置关系。
A. 相切B. 相交C. 相离D. 无法确定3. 若\( x \)和\( y \)满足方程\( x^2 - 5xy + 6y^2 = 0 \)，求\( \frac{x}{y} \)的值。
A. 2B. 3C. 1或6D. 无解4. 下列哪个数列不是等差数列？A. 2, 5, 8, 11B. 1, 3, 5, 7C. 3, 5, 7, 9D. 2, 4, 8, 165. 一个正方体的体积是27立方厘米，求其表面积。
A. 54平方厘米B. 108平方厘米C. 216平方厘米D. 324平方厘米二、填空题（每题4分，共20分）6. 若\( \frac{1}{a} + \frac{1}{b} = \frac{5}{6} \)，且\( a \)和\( b \)是正整数，求\( a \)和\( b \)的值。
7. 一个等腰三角形的底边长为10厘米，高为6厘米，求其周长。
8. 一个数列的前三项是2, 5, 11，且每一项都是前两项的和，求第20项。
9. 若\( \sqrt{3x + 4} + 2 = 9 \)，求\( x \)的值。
10. 一个圆的周长是44厘米，求其半径。
三、解答题（每题10分，共30分）11. 证明：对于任意正整数\( n \)，\( 1^3 + 2^3 + ... + n^3 = \frac{n^2(n+1)^2}{4} \)。
12. 一个长方体的长、宽、高分别是\( a \)、\( b \)和\( c \)，若\( a + b + c = 24 \)厘米，且体积是\( 288 \)立方厘米，求\( a \)、\( b \)和\( c \)的值。
初中数学学科竞赛试卷答案
一、选择题（每题3分，共30分）1. 若x^2 - 5x + 6 = 0，则x的值为（）A. 2或3B. 1或4C. 1或2D. 3或4答案：A2. 下列哪个数不是有理数？（）A. 0.5B. √2C. -3D. 1/2答案：B3. 若a、b是实数，且a + b = 0，则下列哪个结论一定成立？（）A. a^2 = b^2B. ab = 0C. a = 0D. b = 0答案：A4. 已知a、b、c是三角形的三边，且a = 3，b = 4，则c的取值范围是（）A. 1 < c < 7B. 2 < c < 6C. 3 < c < 7答案：A5. 下列哪个图形的对称轴最多？（）A. 等腰三角形B. 正方形C. 圆D. 长方形答案：C6. 已知a、b、c是三角形的三边，且a = 5，b = 6，则c的取值范围是（）A. 1 < c < 11B. 2 < c < 10C. 3 < c < 11D. 4 < c < 10答案：C7. 下列哪个数是负数？（）A. -√9B. √16C. 0D. -4答案：D8. 若a、b、c是三角形的三边，且a = 2，b = 3，则c的取值范围是（）A. 1 < c < 5B. 2 < c < 4D. 4 < c < 6答案：A9. 下列哪个数是整数？（）A. √25B. -√4C. 0.25D. 1/2答案：A10. 若a、b、c是三角形的三边，且a = 5，b = 8，则c的取值范围是（）A. 3 < c < 13B. 4 < c < 12C. 5 < c < 13D. 6 < c < 12答案：C二、填空题（每题5分，共20分）11. 若a、b、c是三角形的三边，且a = 3，b = 4，则c的取值范围是（）答案：1 < c < 712. 下列哪个数不是有理数？（）答案：√213. 若a、b、c是三角形的三边，且a = 2，b = 3，则c的取值范围是（）答案：1 < c < 514. 下列哪个图形的对称轴最多？（）答案：圆15. 若a、b、c是三角形的三边，且a = 5，b = 8，则c的取值范围是（）答案：3 < c < 13三、解答题（每题10分，共30分）16. 已知a、b、c是三角形的三边，且a = 3，b = 4，c = 5，求三角形的面积。
(完整word版)九年级数学竞赛及答案
同顺序的取法的种数有（）B . 6 种C . 10 种D . 12 种、填空题(本大题共 6个小题，每小题 5分，共30 分)2014年吉安县桐坪中学数学竞赛九年级试题（刘书文）（本卷满分120分，考试时间120分钟） 、选择题（本大题共 6个小题，每小题 5分，共30分） 1.从长度是2cm ，2cm ， 4cm , 4cm 的四条线段中任意选三条线段，这 三条线段能够组成等腰三角形的概率是（ ） B. C. D. 1 （第2题图）2.如图，M 是厶ABC 的边BC 的中点，AN 平分/ BAC , AN 丄BN 于 N ,且 AB=10, BC=15, MN=3，则△ ABC 的周长为（ ） A . 38 B . 39 C . 40 D. 41 23.已知 xy =1，且有 5x 22011x 9 =0 , 9y 22011y • 5 =0 ,则-的值等于( y 5 9 2011A .—B .C .D . 9 5 54.已知直角三角形的一直角边长是 4,以这个直角三角形的三边 为直径作三个半圆（如图所示），已知两个月牙形（带斜线的阴 影图形）的面积之和是10，那么以下四个整数中，最接近图 中两个弓形（带点的阴影图形）面积之和的是（ ）)A . 6B. 7C . 8D . 95. 如图，Rt A ABC 中，AB 丄AC , AB=3, AC=4 , P 是 BC 边上一点， 作 PE 丄 AB 于 E , PD 丄 AC 于 D ，设 BP = x ,贝U PD+PE =（）x x 7 12x 12x 2 A. -3 B. 4C. -D.5525256. 计算机中的堆栈是一些连续的存储单元，在每个堆栈中数据的存入、取 出按照“先进后出”的原则，如图，堆栈（1）中的2个连续存储单元已依次存入数据b , a ，取出数据的顺序是 a , b ;堆栈（2）的3个 连续存储单元已依次存入数据 e , d , c ，取出数据的顺序是 c , d ,ne ，现在要从这两个堆栈中取出5个数据（每次取出 1个数据），则不7•若x2— 2x —1 —4=0，则满足该方程的所有根之和为&如图，等边三角形ABC中，D，E分别为AB, BC边上的两个动点，且总使AD=BE ,FGAE与CD交于点F , AG丄CD于点G ,贝UAF4 2. 22a -3xa +2 2 mt[9.已知a2 -a -^0，且一- ，贝V x=_________ •a3+2xa2—a 310•元旦期间，甲、乙两人到特价商店购买商品，已知两人购买商品的件数相同，且每件商品的单价只有8元和9元两种.若两人购买商品一共花费了172元，则其中单价为9元的商品有 ______________ 件.11 •如图，已知电线杆AB直立于地面上，它的影子恰好照在土坡的坡面CD和地面BC上，如果CD 与地面成45°，/ A=60o, CD=4m, BC= (4. 6 - 2、2) m，则电线杆AB 的长为 ________________ m.三、解答题(本大题共4个小题，共60分)13. (本题满分10分) 已知平行四边形ABCD的两边AB, AD的长是关于x的pm 1方程：X2—mx+ —=0的两个实数根，2 4(1) 当m为何值的，四边形ABCD是菱形？求出这时菱形的边长；(2) 当AB=2时，平行四边形ABCD的周长是多少?14 (本题满分10分)•如图所示，不透明圆锥 DEC 放在水平面上，在A 处灯光照射下形成影子，设BP 过圆锥底面的圆心，已知圆锥的高为(1) 求/ B 的度数；15.(本题满分20分)如图，将 OA = 6, AB = 4的矩形OABC 放置在平面直角坐标系中， 动点M , N以每秒1个单位的速度分别从点 A , C 同时出发，其中点M 沿AO 向终点O 运动，点N 沿CB 向终点B 运动，当两个动点运动了 t 秒时，过点 N 作NP 丄BC ,交OB 于点P ,连接MP .点 B 的坐标为 _____________ ;用含 t 的式子表示点 P 的坐标为 _________________ ; 记厶OMP 的面积为S,求S 与t 的函数关系式(0 < t < 6);并求t 为何值时，S 有 最大值？ 试探究：当S 有最大值时，在y 轴上是否存在点 T ,使直线MT 把厶ONC 分割成 三角形和四边形两部分，且三角形的面积是△ ONC 面积的1 ?若存在，求出点 T2 ..3 m ，底面半径为 2 m , BE=4 m. (1) (2) (3)的坐标；若不存在，请说明理由16.(本题满分20分)(1)请在图①中作出两条直线，使它们将圆面四等分；(2)如图21②，M是正方形ABCD内一定点，请在图21②中作出两条直线(要求其中一M),使它们将正方形ABCD的面积四等分，并说明理由.条直线必须过点(3)如图③，在四边形ABCD中，AB// CD , AB+CD=BC,点P是AD的中点，如果AB=a, CD=b,且b>a,那么在边BC上是否存在一点Q,使PQ所在直线将四边形ABCD的面积分成相等的两部分？若存在，求出BQ的长；若不存在，说明理由.2013年九年级试卷 参考答案5 分，共 30 分）1 —6 C D B A DAC— 16 1 7. 2 - 6 ； 8. A :； B : ； 9. 4 ； 10. 12； 11. 62 ；5211（亍-1） （-；,-1）. 2 2 三、解答题：（每题20分，共60分） 13.解：（1）v 四边形 ABCD 为菱形, ••• AB=AD.m 1又T △ =m 2— 4 （ ~ — 4 ） =m 2— 2m+1=（m — 1）2. .••当（m — 1）2=0，即卩m=1时，四边形 ABCD 是菱形.1 1 1 _2 _________________ ____________________=0 得 X — X+ =0 ,• X 1=X 2=.44 21•菱形ABCD 的边长为-.m 1m 1（1） 把 x=2 代入 x 2 — mx+ —=0 得 4— 2m+— =0,2 4 2455 m 1 5解得 m=.把 m= 代入 x 2 — mx+ ~ —： =0 得 x 2— ? x+1=0,、选择题（每小题 、填空题（每小题 5分，共30分）：12.m 把 m=1 代入 x 2— mx+ —2•••四边形ABCD 为平行四边形V•平行四边形ABCD 的周长为2 点拨：把平行四边形的边长与一元二次方程的根相联系，那么平行四边形的性质和一元二 次方程根的性质都要掌握•首先平行四边形变为菱形，各边相等，那么一元二次方程就有两 个相等的实数根•对于（2）就是已知一元二次方程的一根再求另一根 22.解：（1）圆锥的高DO=2 3 m.在 Rt △ DOB 中，OB=BE+EO=4+2=6（m ）. 二 BD 2=BO 2+DO 2=62+（2 .3）2=48. ••• BD=4 3 m,则 BD=2DO.•••/ B=30° .(2)过A 作AF 丄BP 于F.•••/ ACP= / B+Z BAC=2 / B , •••/ B=Z BAC=30° .• AC=BC=BE+EC=8(m).在 Rt △ ACF 中，Z CAF=90°—Z ACP=90° - 2Z B=30• CF= AC=4(m).• AF=.AC 2-CF 2 = .82-42 =4 3 (m). 故光源A 距水平面的高度为 4 3 m.点拨：投影问题在本题中转化为在直角三角形中求角度和边长的问题，通过作高，构造直 角三角形，应用直角三角形中边、角之间的关系去求值.214. ............................................................................................................................................... 解：(1) (6, 4); ( t,_t ).(其中写对 B 点得 1 分) .......................................31 2(2) - SA OMP = X OM X — t ,2 31 211S = X( 6 -1 )X — t = t 2+2t = (t ~3)2 3 (0 < t <6 ).解得 1 1X 1=2,X 2=22 3 3 3•••当t =3时，S有最大值. ............................ 8分(3)存在.由(2)得：当S有最大值时，点M、N的坐标分别为：M ( 3, 0), N ( 3, 4), 则直线ON的函数关系式为:设点T的坐标为（0, b）,则直线MT的函数关系式为:3b4 b 4b 4 b4 !x解方程组 y 得x 龙3jy = _b x b yI 3 I. •直线ON 与MT 的交点R 的坐标为(3b 4b ). 4 +b'4 +b• .1 . 1 -S A OCN = X 4 X 3 = 6,.. S A ORT = OCN = 2 . • 2 3一、 当点T 在点O 、C 之间时，分割出的三角形是△ OR 1T 1, 二、 如图，作 R 1D 1丄y 轴，D 1为垂足， 则 S A O R 1T1= 1?RD 1?OT = 1 ? 3b ?b = 2. 2 2 4+b• 3b 2 -4b -16=0, b = 2 2 13 .• b 1 = 2 2 13 , b ? = 2-2 13(不合题意，舍去) 3 3 3 此时点T 1的坐标为(0, 2 213) ........ .................... 3 ② 当点T 在OC 的延长线上时，分割出的三角形是△ R 2NE , 3b —12 •••点E 的纵坐标为4，•由①得点E 的横坐标为 --- b 作R 2D 2丄CN 交CN 于点D 2,贝U1 13b -12 4b 96S^ R 2NE = ?EN?D 2= ?(3 ) ? (4 ): 2 2 b 4 +b b(4 +b) ••• b 2 4b -48=0, b=彳 16 448 = 2 13 _2. 10分15分2 --b r 2.13 -2 , b 2 = -2*3-2 (不合题意，舍去). •此时点T 2的坐标为(0, 2,13-2 ). 2*2用),T 2 (0, 2/13-2 )符合条件.…20分 3综上所述，在y 轴上存在点「(0 15 (1)如答图3①.答图3(3) 如答图3②理由如下： •••点O 是正方形 ABCD 的对角线的交点，•••点O 是正方形 ABCD 的对称中心，• AP=CQ ,EB=DF ，在△ AOP 和厶 EOB 中，•••/ AOP=90° -Z AOE ,/ BOE=90° -Z AOE ,•••/AOP= Z BOE ,v OA=OB ,Z OAP=Z EBO=45°, •••△ AOP ◎△ BOE ,• AP=BE=DF=CQ , 设O到正方形ABCD 一边的距离为d ,1 1 12 (AP+AE ) d=2 ( BE+BQ ) d=㊁(CQ+CF )边形BEOQ= S 四边形CQOF =S 四边形DPOF ,•直线EF 、OM 将正方形ABCD 面积四等分;答图4（3）存在，当BQ = CD=b 时，PQ 将四边形ABCD 的面积二等分.理由如下：如答图 4,延长BA 至点E ,使AE=b ，延长CD 至点F ,使DF =a ，连接EF. • BE // CF , BE=CF , •四边形BCFE 为平行四边形， ■/ BC=BE=a+b ,•平行四边形 BCFE 为菱形•连接BF 交AD 于点M , 则厶 MAB ◎△ MDF , • AM = DM.即点P 、M 重合••••点P 是菱形EBCF 对角线的交点， 在 BC 上截取 BQ=CD = b ，贝U CQ=AB=a.设点P 到菱形EBCF 一边的距离为d.连接CP ,即 S 四边形ABQP =S 四边形PQCD .•当BQ=b 时，直线PQ 将四边形ABCD 的面积分成相等的两部分d=2(PD + DF ) d ,• S 四边形 AEOP =S 四--& ABP +S ^QBP = 2(AB+BQ)d= (CQ+CD)d=S ^CQP +S ^oDP ,。
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初三数学全能竞赛数学试题
（满分120分，答题时间120分钟）
一、选择题（本题共8小题，每小题5分，满分40．每小题均给出了代号为A 、B 、C 、D 的
四个结论，其中只有一个是正确的，请将正确答案的代号填在题后的括号内）
1．在a 2
的空格中，任意填上“+”或“—”，在所得到的代数式中，能构成完
全平方式的概率是 …………………………………………… …………【 】
A ．1
B ．21
C ．31
D ．4
1 2．将量角器按如图所示的方式放置在三角形纸板上，使点C 在半
圆上．点A 、B 的读数分别为86°、30°，则∠ACB 的大小为【 】
A ．15︒
B ．28︒
C ．29︒
D ．
34︒
3．如图，边长为1的正三角形和边长为2的正方形在同一水平线上，正三角形沿水平线自
左向右匀速穿过正方形。
下图反映了这个运动的全过程，设正三角形的运动时间为t ，正三
角形与正方形的重叠部分面积为s ，则s 与t 的函数图象大致为 【 】
4．若m
x 11-=是方程022=+-m mx 的根，则m x -的值为 ………【 】 A ．0 B ．1 C ．－1 D ．2 5．二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 的抛物线图像经过第二、三、四象限，则【 】
A ．000<>>c b a ，，
B ．000<<<c b a ，，
C ．000≤<c b ＜a ，，
D ．000≥>>c b a ，，
6．内角的度数为整数的正n 边形的个数是 ………………………………【 】
A ．24
B ．22
C ．20
D ．18
7．已知2007，2008，2009，2010这四个数，其中可能成为整系数一元二次方程
)0(02≠=++a c bx ax 根的判别式的值的有………………………………【 】
A．0 个 B．1 个 C．2个 D．3个
8．一种胸花图案的制作过程如图1～图3，图1中每个圆的半径均为1. 将图1绕点O逆时针旋转60︒得到图2，再将图2绕点O逆时针旋转30︒得到图3，则图3中实线的长为
【】
图1 图2 图3
A．π B．2π C．3π D．4π
二、填空题（本题共8小题，每小题8分，共40分）
9．如图是44
⨯正方形网格，请在其中选取一个白色的单位正
方形并涂黑，使图中黑色部分成为一个中心对称图形。
10．已知n
189是整数，那么正整数n的最小值是。
11．已知实数x满足0
12
)
(4
)
(2
2
2=
-
-
-
-x
x
x
x，则代数式1
2+
-x
x的值为。
12．已知7的小数部分为m ，则
1
1
+
m
= 。
13．若方程组
⎩
⎨
⎧
+
=
-
-
=
+
4
3
3
2
3
5
k
y
x
k
y
x
的解为
⎩
⎨
⎧
=
=
,
,
b
y
a
x
且|
|k＜3，则b
a-的取值范围是。
14．如图，点A、B、C、D在一次函数2
y x m
=-+的图象上，它们的
横坐标依次为-1、1、2，分别过这些点作x轴与y轴的垂线，则图中
阴影部分的面积之和是。
15．已知函数2
2)2
(2a
x
a
x
y+
+
+
=的图象与x轴有两个交点，
且都在x轴的负半轴上，则a的取值范围是。
16．如图所示，△ABC的三个顶点的坐标分别为A(－1，3)、
B(－2，－2)、C(4，－2)，则△ABC外接圆半径的
第14题图
三、 解答题（本题共4小题，满分40分）
17．（本题满分10分）
已知：x 和y 都是整数，且满足 xy + x+ y = 71, x 2y + xy 2= 880, 求 x 2 + y 2
的值
18．（本题满分10分）
圣路易斯拱门是座雄伟壮观的抛物线形建筑物.拱门的地面宽度为200米，两侧距地面高150米处各有一个观光窗，两窗的水平距离为100米，求拱门的最大高度.
19．（本题满分10分）
如图， AB 是⊙O 的直径，⊙O 的半径是2， CD 是⊙O 上一条可以移动的弦，CD 交AB 于点E ，
且∠AEC=45°. 求（CE ）2 +（ED ）2 的 值。
B A
D
20．（本题满分10分）
已知：抛物线2
y ax bx c =++与x 轴交于点(2,0)A -、(8,0)B ，与y 轴交于点)4,0(-C .直线y x m =+与抛物线交于点D 、E （D 在E 的左侧），与抛物线的对称轴交于点F . ⑴ 求抛物线的解析式
⑵ 当2m =时，求DCF ∠的大小；
⑶ 若在直线y x m =+下方的抛物线上存在点P ，使得45DPF ∠=︒，且满足条件的点P 只有两个，则m 的值为 .（第（3）问不要求写解答过程）
备用图
参考答案及评分标准
一、选择题（每小题5分，共40分）
1．B 2．B 3．B 4．C 5．C 6．B 7. C 8. D
二、填空题（每小题5分，共40分）
9．涂黑最下一排第二个
10．21
11. 7
12.
61-
7
13．－1＜b
a ＜5
14. 3
15．a＞－1且a≠0
10．13
三、解答题（每小题10分，共40分）
17．（本题满分10分）
．解：
18. 解：解法一：如图所示建立平面直角坐标系. --------------------1分
此时，抛物线与x 轴的交点为C (100,0)-，D (100,0).
设这条抛物线的解析式为(100)(100)y a x x =-+.--------------------3分 ∵ 抛物线经过点B (50,150)，
可得 150(50100)(50100)a =-+ .
解得 50
1-=a . ∴ 抛物线的解析式为)100)(100(501+--
=x x y . 当0x =时，200y =.----------------------9分
∴ 拱门的最大高度为200米. --------------------------10分
解法二：如图所示建立平面直角坐标系. -----------------------1分 设这条抛物线的解析式为2
ax y =.-------------2分
设拱门的最大高度为h 米，则抛物线经过点).,100(),150,50(h D h B -+-
可得 22100,150
50.h a h a ⎧-=⎪⎨-+=⎪⎩ 解得,.
200501⎪⎩⎪⎨⎧=-=h a .---------------------9分
∴ 拱门的最大高度为200米.--------------------10分
19.
20. 解：（1）依题意，设抛物线的解析式为(2)(8)y a x x =+-.
∵ 抛物线与y 轴交于点)4,0(-C ，
∴ 4(02)(08)a -=+-.
解得 14
a =. ∴ 抛物线的解析式为1(2)(8)4y x x =
+-，即213442y x x =--.-------------4分 （2）由（1）可得抛物线的对称轴为3x =.
∵ 2m =，
∴ 直线的解析式为2y x =+.
∵ 直线2y x =+与抛物线交于点D 、E ，与抛物线
的对称轴交于点F ，
∴ F 、D 两点的坐标分别为(3,5),(2,0)F D -.
设抛物线的对称轴与x 轴的交点为M .
可得 5.CM FM MD ===
∴ F 、D 、C 三点在以M 为圆心，半径为5的圆上. --------------------7分 ∴ DCF ∠=︒=∠452
1DMF .---------------------8分 （3） 54
m =-
.-------------------------------------------10分。