函数概念及解析式

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04 函数的概念、定义域及解析式(考点+解析)

1．函数的概念：设A 、B 是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数f (x )和它对应，那么就称f ：A →B 为从集合A 到集合B 的一个函数。

记作：y =f (x )，x ∈A 。

注意：（1）“y =f (x )”是函数符号，可以用任意的字母表示，如“y =g(x )”；（2）函数符号“y =f (x )”中的f (x )表示与x 对应的函数值，一个数，而不是f 乘x 。

2．构成函数的三要素：定义域、对应关系和值域3．两个函数的相等：定义域和对应法则为函数的两个基本条件，当且仅当两个函数的定义域和对应法则都分别相同时，这两个函数才是同一个函数。

4．区间（1）区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间；（2）无穷区间；（3）区间的数轴表示5．映射的概念一般地，设A 、B 是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法则f ，使对于集合A 中的任意一个元素x ，在集合B 中都有唯一确定的元素y 与之对应，那么就称对应f ：A →B 为从集合A 到集合B 的一个映射。

记作“f ：A →B ”。

6．常用的函数表示法（1）解析法：就是把两个变量的函数关系，用一个等式来表示，这个等式叫做函数的解析表达式，简称解析式；（2）列表法：就是列出表格来表示两个变量的函数关系；（3）图象法：就是用函数图象表示两个变量之间的关系) A .f (x )＝ln x 2，g (x )＝2ln x B ．f (x )＝x ，g (x )＝x 2C ．f (x )＝1－x 2，g (x )＝1－|x |，x ∈【－1,1】D ．f (x )＝log a a x (a >0且a ≠1)，g (x )＝3x 3【分析】对于两个函数y ＝f (x )和y ＝g (x )，当且仅当它们的定义域、值域、对应法则都相同时，y ＝f (x )和y ＝g (x )才表示同一函数．若两个函数表示同一函数，则它们的图象完全相同，反之亦然．【解析】 A 定义域不同，B 值域不同，C 对应法则不同，故选D.【拓展练习】1．下列各组函数是同一函数的是（）①32)(x x f -=与x x x g 2)(-=， ②x x f =)(与2)(x x g =，③0)(x x f =与1)(=x g ，④12)(2--=x x x f 与12)(2--=t t t g A.①② B.①③ C.②④ D.①④ 【解析】：①定义域不同 ③定义域不同0)(x x f = k 中0≠x ②④中两个函数定义域，解析式，值域相同，是相同函数答案：C【例2】(RJA1第22页题改编)以下给出的对应是不是从集合A 到集合B 的映射？(1)A ＝R ，B ＝R ，f ：x →y ＝11+x ；(2)A ＝{x |x ≥0}，B ＝R ，f ：x →y 2＝x ； (3)A ＝{α|0°≤α≤180°}，B ＝{x |0≤x ≤1}．f ：求余弦；(4)A ＝{平面α内的矩形}，B ＝{平面α内的圆}，f ：作矩形的外接圆．【分析】应该这样思考，什么是映射？映射这个概念应满足什么要求？然后作出判断．【解析】 (1)当x ＝－1时，y 值不存在，所以不是映射．(2)不是映射，如A 中元素x ＝1时，在f 作用下，B 中有两个元素±1，不具备惟一性．(3)不是映射，例如当α＝180°时，在B 中没有元素与之对应．(4)由于平面内每一个矩形只有一个外接要点梳理考点剖析相同函数判断问题判断是否是映射问题第4讲函数的概念、定义域及解析式圆与之对应，所以这个对应是从集合A 到B 的一个映射．【点评】欲判断对应f ：A →B 是否是从A 到B 的映射，必须做两点工作： ①明确A 、B 中的元素．②根据对应判断A 中的每个元素是否在B 中能找到惟一确定的对应元素．【拓展练习】2.已知A ＝{1，－1}，映射f ：A →A ，则对于x ∈A ，下列关系中一定错误的是( )A ．f (x )＝xB ．f (x )＝－1C ．f (x )＝x 2D ．f (x )＝x ＋2【解析】对于对应法则：f (x )＝x ＋2，当x ＝1时，x ＋2＝3∉A ＝{1，－1}；而对应法则f (x )＝x ，f (x )＝－1，f (x )＝x 2能使“若x ∈A ，则f (x )∈A ”成立，故选D.【例3】(2015全国1文12)设函数()y f x =的图像与2x a y +=的图像关于直线y x =-对称，且(2)(4)1f f -+-=，则a =( )（A ） 1- （B ）1 （C ）2 （D ）4【解析】设(,)x y 是函数()y f x =的图像上任意一点，它关于直线y x =-对称为（,y x --），由已知知（,y x --）在函数2x a y +=的图像上，∴2y a x -+-=，解得2log ()y x a =--+，即2()log ()f x x a=--+，∴22(2)(4)log 2log 41f f a a -+-=-+-+=，解得2a =，故选C.【考点】函数对称；对数的定义与运算【名师点睛】对已知两个函数的关系及其中一个函数关系式解另一个函数问题，常用相关点转移法求解，即再所求函数上任取一点，根据题中条件找出该点的相关点，代入已知函数解析式，即可得出所求函数的解析式.【拓展练习】3.(2015全国1文10)已知函数1222,1()log (1),1x x f x x x -⎧-≤=⎨-+>⎩ ，且()3f a =-，则(6)f a -=（）（A ）74- （B ）54- （C ）34- （D ）14-【解析】∵()3f a =-，∴当1a ≤时，1()223a f a -=-=-，则121a -=-，此等式显然不成立，当1a >时，2log (1)3a -+=-，解得7a =，∴(6)f a -=(1)f -=117224---=-，故选A.【名师点睛】对分段函数求值问题，先根据题中条件确定自变量的范围，确定代入得函数解析式，再代入求解，若不能确定，则需要分类讨论；若是已知函数值求自变量，先根据函数值确定自变量所在的区间，若不能确定，则分类讨论，化为混合组求解. 4.(2016·山东文9)已知函数f (x )的定义域为R .当x ＜0时，f (x )＝x 3－1；当－1≤x ≤1时，f (－x )＝－f (x )，当x ＞12时，f 12x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭＝f 12x ⎛⎫- ⎪⎝⎭.则f (6)＝( )A.－2B.－1C.0D.2【解析】当x ＞12时，f 12x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭＝f 12x ⎛⎫- ⎪⎝⎭.，即f (x )＝f (x ＋1)，∴T ＝1，∴f (6)＝f (1).当x ＜0时，f (x )＝x 3－1且－1≤x ≤1，f (－x )＝－f (x )，∴f (6)＝f (1)＝－f (－1)－[(－1)3－1]＝2，故选D.【例4】(2015湖北文6)函数256()4||lg3x x f x x x -+--的定义域为（）A ．(2,3)B ．(2,4]C ．(2,3)(3,4]D ．(1,3)(3,6]- 【解析】由函数()y f x =的表达式可知，函数()f x 的定义域应满足条件：2564||0,03x x x x -+-≥>-，解之得44≤≤-x ,2>x 且3≠x ，即函数()f x 的定义域为(2,3)(3,4]，故应选C .【考点定位】本题考查函数的定义域，涉及根式、绝对值、对数和分式、交集等内容.【名师点睛】本题看似是求函数的定义域，实质上是将根式、绝对值、对数和分式、交集等知识联系在一起，重点考查学生思维能力的全面性和缜密性，凸显了知识之间的联系性、综合性，能较好的考查学生的计算能力和思维的全面性. 【拓展练习】 5.(2014·山东文3) 函数f (x )＝1log 2x －1的定义域为( )A ．(0，2)B ．(0，2]C ．(2，＋∞)D ．[2，＋∞)【解析】若函数f (x )有意义，则log 2x －1＞0，∴log 2x ＞1，∴x ＞2. C求函数解析式函数的定义域6.(2014山东理)函数f (x )＝1log 122-）（x 的定义域为( )A.⎪⎭⎫⎝⎛210， B ．(2，＋∞) C.⎪⎭⎫ ⎝⎛210，∪(2，＋∞) D.⎥⎦⎤⎝⎛210，∪[2，＋∞)【解析】 (log 2x )2－1>0，即log 2x >1或log 2x <－1，解得x >2或0<x <12，故所求的定义域是⎪⎭⎫⎝⎛210，∪(2，＋∞)． 7.(2016全国2文10）. 下列函数中，其定义域和值域分别与函数y=10lg x 的定义域和值域相同的是（A ）y =x （B ）y =lg x （C ）y =2x （D）y =【解析】lg 10x y x ==，定义域与值域均为()0,+∞，只有D 满足，故选D ．8.(2014江西理) 函数f (x )＝ln(x 2－x )的定义域为( )A ．(0,1)B ．[0,1]C ．(－∞，0)∪(1，＋∞)D ．(－∞，0]∪[1，＋∞)【解析】由题意可得x 2－x >0，解得x >1或x <0，所以所求函数的定义域为(－∞，0)∪(1，＋∞)． 9.(2015重庆文3)函数22(x)log (x 2x 3)f 的定义域是（）(A) [3,1] (B) (3,1)(C)(,3][1,)-∞-+∞(D) (,3)(1,)-∞-+∞ 【解析】由0)1)(3(0322>-+⇒>-+x x x x 解得3-<x 或1>x ，故选D.【考点定位】函数的定义域与二次不等式. 【名师点睛】本题考查对数函数的定义域与一元二次不等式式的解法，由对数的真数大于零得不等式求解.本题属于基础题，注意不等式只能是大于零不能等于零..【例】已知221)1(xx x x f +=+ ,求)1(-x f .【错解】由已知得 2)1()1(2-+=+xx x x f , ∴2)(2-=x x f∴122)1()1(22--=--=-x x x x f . 【错解分析】在使用直接配凑法或换元法求函数解析式时,没有考虑定义域的变化而致错.也就是说在采用换元法求函数解析式时一定要保持等价变换【正解】由已知得2)1()1(2-+=+x x x x f ,但xx 1+≥2,则2)(2-=x x f (|x |≥2),从而122)1()1(22--=--=-x x x x f (x ≥3或x ≤-1).1．(2013·安徽文14)定义在R 上的函数f (x )满足f (x ＋1)＝2f (x )．若当0≤x ≤1时，f (x )＝x (1－x )，则当－1≤x ≤0时，f (x )＝________.【解析】当－1≤x ≤0时，0≤x ＋1≤1，由已知f (x )＝12f (x ＋1)＝－12x (x ＋1)．【点评】本题主要考查函数解析式的求法，意在考查考生对函数解析式的理解，以及对抽象函数的化归与转化能力．2．a 、b 为实数，集合M ＝{ba ，1}，N ＝{a,0}，f 是M 到N 的映射，f (x )＝x ，则a ＋b 的值为( )A ．－1B ．0C ．1D ．±1【解析】 ∵f (x )＝x ，∴f (1)＝1＝a ，若f (ba )＝1，则有ba ＝1，与集合元素的互异性矛盾，∴f (ba )＝0，∴b ＝0，∴a ＋b ＝1.3.(2013·安徽文11) 函数y ＝1ln(1+)x+________．【解析】实数x 满足11+x>0且21x －≥0.不等式11+x >0，即1x x+>0，解得x >0或x <－1；不等式21x －≥0的解为－1≤x ≤1.故所求函数的定义域是(0，1]．4.函数()f x 对于任意实数x 满足条件()()12f x f x +=，若()15,f =-则()()5f f =___；【解析】：由()()12f x f x +=得()()14()2f x f x f x +==+，所以(5)(1)5f f ==-，则()()5(5)11(1)(12)5f f f f f =-=-==--+。

1.第一讲：函数的概念、解析式、定义域和值域

1.第一讲：函数的概念、解析式、定义域和值域D第一讲函数的概念、解析式、定义域和值域一、引言1．本节的地位：函数是整个高中数学的重点，而函数的概念、解析式、定义域和值域又是研究函数的基本出发点，对于研究函数的性质和图象有着极其重要的作用，也是每年高考试卷必考的内容之一，因此本讲内容在高考中占据十分重要的地位．2．考纲要求：了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域；能根据不同需要选择恰当的方法表示函数；能运用求值域的常用方法解决实际问题和最优问题．3．考情分析：涉及本讲内容的问题仍将出现在2010年高考试题中，函数的概念要求较低，以函数解析式、定义域的考查为主，题型以选择题和填空题为主．二、考点梳理1．函数的概念：设A，B是非空的数集，如果按某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数()f x和它对应，那么就称据函数的定义：“集合M中的任一元素，在对应法则f作用下，在集合N中都有唯一元素与之对应．”由此逐一进行判断即可．解：对于图A：M中属于(]1,2的元素，在N中没有象，不符合定义；对于图B：符合M到N的函数关系；对于图C：M中有一部分的元素的象不属于集合N，因此它不表示M到N的函数关系；对于图D：其象不唯一，因此也不表示M到N 的函数关系．由上分析可知，应选B．归纳小结：（1）该题考查了函数概念，函数概念的本质是两个集合之间的对应关系，因此在求解该题时要从定义出发，注意集合M中元素的任意性和集合N中元素的唯一性，将这种对应关系与图象结合起来．（2）在问题的解决过程中，将图形语言与代数语言有效地结合并合理转化，因此要注意培养数形结合的数学思想，提高数学转化能力和抽象思维能力．例2 已知下列几组函数，其中表示同一函数的有（）A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个①()()2,f x x g x x ==②()()33,f x x g x x == ③()()21,11x f x g x x x -==-+； ④()()211,1f x x x g x x =-+=-⑤()221f x x x =--，()221g t t t =--．分析：根据函数的定义可以判定，两个函数相同，则它们的对应法则、定义域、值域都相同，因此要从函数的三要素角度进行观察、对比．解：①中()g x x =，两个函数的解析式不同；②中()g x x =，所以与()f x 表示同一函数；③中()f x 定义域为{}1x x ≠-，而()g x 的定义域为R ；④中()f x 定义域为{}1x x ≥，而()g x 的定义域为{}11x x x ≥≤-或；⑤两个函数的解析式、定义域相同，所以表示同一函数．所以选择C ．归纳小结：（1）实际上判断两个函数是否为同一函数，只需看函数的两个要素：定义域和对应法则．只有当两个函数的定义域与对应法则都分别相同时，这两个函数才是同一函数．（2）该题仍涉及的考点是函数概念．在解决问题的过程中注意对概念和定义的灵活运用，不断提高数学知识的应用和转化能力．（3）第⑤小题易错判断成它们是不同的函数，原因是对函数的概念理解不透．在函数的定义域及对应法则f 不变的条件下，自变量变换字母，以至变换成其他字母的表达式，这对于函数本身并无影响，比如()21f x x=+，()21f t t =+，()()2111f u u +=++，都可视为同一函数．例 3 ①已知两个函数()()()2,0,0x x f x x x ⎧≥⎪=⎨-<⎪⎩，()()()21,0,0x xg x x x ⎧>⎪=⎨⎪<⎩当0x <时,求()f g x ⎡⎤⎣⎦及()g f x ⎡⎤⎣⎦的解析式；分析：由于函数()f g x ⎡⎤⎣⎦和()g f x ⎡⎤⎣⎦中的变元成为()g x 和()f x ，所以只需要进行代换即可．解：∵0x <，∴()()()2224f g x f x x x ===⎡⎤⎣⎦，()()1g f x g x x=-=-⎡⎤⎣⎦． ②已知45)1(2+-=+x x x f ，求()f x 的解析式；分析：f 的作用下变元是1x +，因此只需把1x +看成是整体，通过配凑的方式把解析式中的变元转化为1x +的形式，或仍将x 视为变元，通过换元得到关于x 的解析式．解法一：∵()()22(1)5417110f x x x x x +=-+=+-++，∴()2710f x x x =-+．解法二：令1x t +=，则1x t =-，∴()()()221514710f t t t t t =---+=-+．∴()2710f x x x =-+．③已知()1210x f x f x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，求()f x 的解析式．解：由()1210xf x f x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭． ① 可得()11210xf f x x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭． ②由①②解得()121101033x xf x =⋅-⋅．归纳小结：（1）该题主要考查了函数的解析式的求解方法，能灵活地根据题目条件选择恰当地方法得到函数的解析式，其中涉及多种数学思想，如函数与方程的思想、分类讨论思想等，注重对分析问题和解决问题能力的考查．（2）根据已知条件求函数的解析式常用待定系数法、换元法、配方法、赋值法、解方程组法等．①当所求函数的解析式的形式已知（如二次函数、指数函数等）常用待定系数法．②已知()f g x ⎡⎤⎣⎦的表达式，求()f x 的表达式，常用配方法或换元法．③由简单的函数方程求函数的表达式，常用赋值法及解方程组法．例4（2007年安徽卷）如图所示中的图象所表示的函数的解析式为（）A ．()3|1|022y x x =-≤≤B ．()33|1|0222y x x =--≤≤ C ．()3|1|022y x x =--≤≤ D ．()1|1|02y x x =--≤≤分析：本题是由图形判断函数的解析式，由于图象在定义域[][]0,1,1,2都是线段，因此其解析式都是一次函数型，利用待定系数法，分别求出各定义域上的解析式即可．另外在图象上给出了三个特殊点()()30,0,1,,2,02⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以还可以考虑特殊值法．解：由图象可知，当01x ≤≤时，32y x =；当12x ≤≤时，332y x =-； ∴331,0222y x x =--≤≤．∴应选B．另解：（特殊值法）分别代入0,1x x==进行验证，只有选项B符合条件．归纳小结：（1）本题考查了函数解析式与图象之间的关系，和分段函数解析式的表达形式，考查了数形结合思想和灵活解题能力．（２）根据图象求函数解析式或判断函数性质，要注意在不同的函数自变量的取值范围内采用恰当的方法求出函数解析式．如果所求结果能用一个解析式综合，则应写成一个解析式的形式，否则应采用分段函数形式．（３）特殊值法的使用可以简化计算过程，降低难度，因此要注意使用．例5（2008湖北卷）已知函数2()962f bx x x=-+,其中x R∈,,a b为常数，则=++,2()2f x x x a方程()0f ax b+=的解集为．分析：利用待定系数法确定a，b的值，确定方程()0f ax b +=形式，从而求解．解：∵2()2f x xx a =++， ∴22()2f bx b x bx a =++．∵2()962f bx x x =-+，∴2,3a b ==-． ∴()()()22()232322324850f ax b f x x x x x +=-=-+-+=-+=． ∵644200∆=-⨯<，∴方程()0f ax b +=的解集为∅．归纳小结：（1）本题考查了函数的待定系数法求函数的解析式、二次方程的解法的知识点，考查计算和推理能力．（2）运用待定系数法求含参数解析式中，要注意恒等代数式两边对应系数相等，从而确定参数．例6（2008湖北卷）函数221()ln(3234)f x x x x x x =-+--+的定义域为（）A ．(,4][2,)-∞-+∞ B ．(4,0)(0.1)- C ．[4,0)(0,1]－ D ．[4,0)(0,1)-分析：由于函数的解析式已经明确，并且没有特殊标明定义域，所以定义域为使函数解析式有意义的自变量的取值范围．解：2222320340323400x x x x x x x x x ⎧-+≥⎪--+≥⎪⎨-+--+>⎪≠⎩，可解得函数定义域为[4,0)(0,1)-．归纳小结：（１）本题考查了函数定义域的意义和基本解法，考查了分析问题和解决问题的能力．2232340x x x x -+--+>对特殊点1x =的验证，考查了思维的全面性．（２）若已知函数解析式，且没有特别要求定义域，则函数的定义域是使函数解析式有意义的自变量的取值范围．当()f x 是整式时，定义域是全体实数；当()f x 是分式函数时，定义域是使分母不为零的一切实数；当()f x 是偶次根式时，定义域是使被开方式为非负实数的集合；当()f x 是对数函数时，满足真数大于零；当对数或指数函数的底数中含参数时，底数须大于零且不等于1；在tan y x =中()2x k k Z ππ≠+∈；在cot y x =中()x k k Z π≠∈；零指数幂的底数不能为零．注意：在实际问题中，函数的定义域要受到实际意义的限制．例7 设函数()y f x =的定义域为[]0,1，求函数()()()()0F x f x a f x a a =++->的定义域．分析：该题已知函数()y f x =的定义域，求含有参数的解析式的定义域，显然要对a 进行分类讨论．由于函数()f x 是抽象函数，所以在求函数()f x a +和()f x a -的定义域时，把握在f 的作用下，括号里的变元范围相同．在分别求出()f x a +和()f x a -定义域的基础上，求()F x 的定义域是根据a 的范围求出的交集．解：由01,01,x a x a ≤+≤⎧⎨≤-≤⎩ 得1,1.a x a a x a -≤≤-⎧⎨≤≤+⎩∵0a >，∴,11a a a a -<-<+．（1）当1a a -=，即12a =时，12x =；（2）当1a a ->，即12a <时，1a x a ≤≤-． ∴当102a <≤时，()F x 的定义域为[],1a a -．归纳小结：（1）该题考查了抽象函数定义域，体现了对分类讨论思想和逆向思维能力的考查．（2）求复合函数的定义域：若已知()f g x ⎡⎤⎣⎦的定义域为(),x a b ∈，求()f x 的定义域只需利用a x b <<，求出()g x 的范围，而()g x 的范围就是()f x 的定义域；若已知()f x 的定义域为(),x a b ∈，求()f g x ⎡⎤⎣⎦的定义域，只需由()a g x b <<，求出x 的范围，即为()f g x ⎡⎤⎣⎦的定义域．在某些情况下，也可以先求出函数的解析式，由解析式求出()f g x ⎡⎤⎣⎦的定义域．求运算型解析式的定义域：当()f x 是由有限个基本初等函数的四则运算而合成的函数时，则其定义域一般是各基本初等函数的定义域的交集．例8（2007年北京卷）已知函数()()x g x f ,分别由下表给出：则()[]1g f 的值；满足()[]()[]x f g x g f >的x 的值．分析：本题中的函数()()x g x f ,由列表法进行表示，只需将x 进行逐个验证即可．解：∵()13g =，∴()()131f g f ==⎡⎤⎣⎦；当1x =时，()()131f g f ==⎡⎤⎣⎦，()()113g f g ==⎡⎤⎣⎦；当2x =时，()()223f g f ==⎡⎤⎣⎦，()()231g f g ==⎡⎤⎣⎦；当3x =时，()()311f g f ==⎡⎤⎣⎦，()()313g f g ==⎡⎤⎣⎦．所以2x =．归纳小结：（1）本题考查了函数概念、表达形式、函数值等知识，考查了转化、化归思想和分析问题和解决问题的能力．（2）函数表达形式有解析式法、图象法和列表法．其中列表法就是列出表格来表示两个变量的函数关系．其优点是不需要计算就可以直接看出与自变量的值相对应的函数值．因此在解决本题时只需把x 的值逐个代入验证即可．例9（2008江西卷）若函数()y f x =的值域是1[,3]2，则函数1()()()F x f x f x =+的值域是（） A ．1[,3]2 B ．10[2,]3 C ．510[,]23D ．10[3,]3解：∵()0f x >， ∴1()()2()F x f x f x =+≥．当且仅当()2f x =号．当()12f x =时，5()2F x =；当()3f x =时，()103F x =．所以()F x 的值域为10[2,]3，选B ．归纳小结:(1)本题考查了函数的值域、均值不等式等基本知识，还考查了函数与不等式的转化与整合的数学思想和计算、推理能力．（2）求函数值域的方法比较多，常见的主要有：①直接法；②反函数法；③配方法；④分离常数法；⑤不等式法；⑥换元法；⑦判别式法；⑧数形结合法；⑨导数法等．本题从函数形式及()f x 的值域可以判断出使用不等式法确定()F x 的最小值，再比较连续函数()F x 在闭区间上的端点值中的较大值，从而判断出所求值域．例10(2007浙江卷)设()⎩⎨⎧<≥=1,1,2x x x x x f ，()x g 是二次函数，若()[]x g f 的值域是[)+∞,0，则()x g 的值域是（）A ．(][)+∞-∞-,11, B ．(][)+∞-∞-,01, C ．[)+∞,0 D ．[)+∞,1解：由函数()f x 解析式可知当(][),10,x ∈-∞-+∞时，()0f x ≥，所以()[]x g f 的值域是[)+∞,0时，()(][),10,g x ∈-∞-+∞．因为()g x 是二次函数，结合选项，判断选C ．归纳小结：（１）本题考查了复合函数的值域与分段函数、二次函数的知识，考查了二次函数的图象与值域的判断方法，考查了数形结合思想．（２）本题在求解过程中要注意结合选项合理地进行取舍．（３）求函数值域没有固定的方法和解题模式，要熟悉几种常见的求值域的方法，在问题解决过程中选择最优解法．例11（2009年海南卷）用{}min ,,a b c 表示,,a b c 三个数中的最小值．设(){}()min 2,2,100xf x x x x =+-≥，则()f x 的最大值为（）A ．4B ．5C ．6D ．7分析：利用作差法比较难以解决本题，因此可以结合图象解决问题．解：画出2xy =，2y x =+，10y x =-的图象，如右图，观察图象可知，当02x ≤≤时，()2xf x =，当23x ≤≤时，()2f x x =+，当4x >时，()10f x x =-．所以()f x 的最大值在4x =时取得为6，故选C ．归纳小结：（1）本题主要考查了初等函数的图象与函数值的大小比较，考查数形结合思想和转化思想，考查了识图和用图的能力和知识迁移能力．（2）利用图象解决函数的最大值和最小值是一种常见的考题形式，要熟记几种基本函数的图象与性质．（3）本题是有一定创新意义的问题，抓住问题的定义，转化为绘制()f x 的图象成为解题关键．例12 定义在*N 上的函数()f x 满足()11f =，且()()()1,21,f n n f n f n n ⎧⎪+=⎨⎪⎩为偶数,为奇数,则()22______f =．分析：本题考查了抽象分段函数求函数值的问题．如果直接求解，则未知条件较多，因此从题目条件入手，对n 分类讨论，找到()f n 与()1f n +的关系成为解题关键．解：由()()()1,21,f n n f n f n n ⎧⎪+=⎨⎪⎩为偶数,为奇数,得：当n 为偶数时，()()112f n f n +=；当n 为奇数时，()()1f n f n +=．所以()()()()()()()()()()()21203222211201921f f f f f f f f f f f ==⋅⋅⋅⋅⋅⋅ ()()()()()()1021193112018221024f f f f f f ⎛⎫=⋅⋅⋅⋅== ⎪⎝⎭．归纳小结：（1）本题考查了求分段函数和抽象函数的函数的知识和方法，考查了数形结合思想，以及根据条件分析问题、灵活解题的能力．（2）对于抽象函数的问题的解决，要根据问题和条件灵活地进行变形，合理地推理分析是关键．四、本专题总结1．要深化对函数概念的理解，从函数三要素（定义域、值域与对应法则）整体上去把握函数概念．在函数三要素中，定义域是灵魂，对应法则是函数的核心，因值域可由定义域和对应法则确定，所以两个函数当且仅当二者均相同时才表示同一个函数，而值域相同是两函数为同一函数的必要非充分条件．2．求函数解析式的方法主要有：待定系数法、换元法、配方法、函数方程法、赋值法等．已知函数为某类基本初等函数时用待定系数法，已知复合函数的问题时用换元法或配方法，抽象型函数问题一般用赋值法或函数方程法．3．求函数定义域的常见题型及求法：（1）已知函数的解析式求其定义域，只要使解析式有意义即可．（2）已知()f g x⎡⎤⎣⎦的定义域为A，求()f x的定义域，实质上求()g x在A上的值域；已知函数()f x的定义域为A，求函数()f g x⎡⎤⎣⎦的定义域，实质上使()g x A∈，解不等式即可．（3）涉及实际问题的定义域问题必须考虑问题的实际意义．（4）当解析式中含有参数时，需对参数进行讨论．4．定义域问题经常作为基本条件出现在试题中，具有一定的隐蔽性．所以在解决函数问题时，必须树立起“定义域优先”的观点．。

函数解析式、定义域、值域

解：当m=0时，函数的定义域为R；当m≠0时，mx2-6mx+8+m≥0是二次不等式,其对一切实数x都成立
的充要条件是
m 0

(6m)2

4m(m

8)

0
0
m
1
综上可知0≤m≤1。注:不少同学容易忽略m=0的情况,希望通过此例解决问
题。
例4 已知函数 f (x) kx 7 kx 2 4kx 3
三：换元法
• 通过代数换元法或者三角函数换元法, 把无理函数化为代数函数来求函数值域的方法 (关注新元的取值范围).
• 例3 求函数 y=x- x-1 的值域:
注：换元法是一种非常重工的数学解题方法，它可以使复杂问题简单化，但是在解题的过程中一定要注意换元后新元的取值范围。
3、求下列函数的值：
是：由a≤x≤b，求g(x)的值域，即所求f(x)的定义域。例2 已知f(2x+1)的定义域为［1,2］,求f(x)的定义域。
解：因为1≤x≤2, 2≤2x≤4,
3≤2x+1≤5. 即函数f(x)的定义域是{x|3≤x≤5}。
(3)已知f(2x-1)的定义域是[0,1],求f(3x)的定义域。解:因为0≤x≤1,0≤2x≤2,-1≤2x-1≤1.
所以函数f(3x)的定义域是-1≤3x≤1即 {x|-1/3≤x≤1/3}。
例3 已知函数 y mx 2 6mx m 8
的定义域为R求实数m的取值范围。
分析：函数的定义域为R，表明mx2-6mx+8+m≥0，使一切x∈R 都成立，由x2项的系数是m，所以应分m=0或m≠0进行讨论。
不小于零。 4.零的零次幂没有意义,即f(x)=x0，x≠0。

2.1函数的解析式及定义域与值域

科目数学年级高三备课人高三数学组第课时 2.1函数的解析式及定义域与值域考纲定位理解函数的概念；掌握简单函数的定义域的求法；掌握求解析式的常用方法.疑难提示 1、要注意区间的正确表示，特别是分清开区间与闭区间的区别；2、简单函数的定义域和值域的求法；3、对符号()y f x =的理解及解析式的求法.【考点整合】1、函数的概念设A 、B 是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f ，使对于集合A 中的，在集合B 中都有的数()f x 和它对应，那么就称:f A B →为从集合A 到集合B 的一个函数，其中x 的取值范围A 叫函数的，叫函数的值域，值域是的子集.2、函数的三要素：为函数的三要素.两函数相同，当且仅当3、函数的表示法有，和 .4、映射的概念设A 、B 是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应关系f ，使对于集合A 中的，在集合B 中都有的元素y 和它对应，那么就称:f A B →为从集合A 到集合B 的一个映射.5、函数定义域的求法：6、基本初等函数的值域：(一次函数、二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、三角函数)【真题演练】1、(2011 浙江)设函数20()0x x f x x x -≤⎧=⎨>⎩若()4f a =，则实数a =（）A.-4或-2B.-4或2C.-2或4D.-2或22、(2012 江西)下列函数中，与函数31y x=定义域相同的函数是（） A.1sin y x = B.ln x y x = C.x y xe = D.sin x y x= 3、(2012 江西)设函数211()lg 1x x f x x x ⎧+≤=⎨>⎩若((10))f f =（） A.lg101 B.2 C.1 D.04、(2012 安徽)下列函数中，不满足(2)2()f x f x =的是（）A.()||f x x =B.()||f x x x =-C.()1f x x =+D.()f x x =-5、(2012 江苏)函数6()12log f x x =-的定义域为6、(2010 江苏)已知函数210()10x x f x x ⎧+≥=⎨<⎩，则满足不等式2(1)(2)f x f x ->的x 的取值范围是【经典例题】一、函数的定义域：例1、(1)函数(1)y x x x =-+的定义域为； (2)函数02lg(2)(1)12x y x x x -=+-+-的定义域为；(3)已知函数()y f x =的定义域是[0，4]，则2(1)(3)y f x f x x =++-的定义域是变式训练：1、若函数(1)y f x =+的定义域是[-2，3），则(21)y f x =-的定义域是2、若函数1()x f x e x m=-+的定义域是R ，则实数m 的取值范围是二、函数的值域例2、分别求下列函数的值域(1)1y x =+ (2)22y x x =-+ (3)22([0,3])y x x x =-+∈ (4)213x y x +=- (5) (6)21y x x =+-变式训练：求下列函数的值域(1)246([1,5))y x x x =-+∈ (2)(0)cx d y a ax b+=≠+其中 (3)21y x x =-- (4)22225(12)1x x y x x x ++=≤≤++三、函数的解析式例3、(1)已知二次函数()f x 的最小值为4，且(2)(0)6f f ==，求()f x 的解析式(2)已知2(1)f x x x +=+,求()f x 的解析式；(3)已知2()()32f x f x x +-=+，求()f x 的解析式(4)已知函数2y x x =+与函数()y g x =的图象关于点(-2,3)对称，求()g x 的解析式(5)设()f x 是R 上的函数,且满足(0)1f =,并且对任意实数,x y 都有()()(21)f x y f x y x y -=--+，求()f x 的解析式变式训练：(1)已知2211()f x x x x +=+，求()f x ；(2)已知12()()3f x f x x+=，求()f x ；【作业】《胜券在握》P4页第1、2题；【上本作业】《胜券在握》P4页第3、4、5题.。

函数的定义域与解析式

1 x<－1或x>0， 1＋x>0，解析 (2)要使函数有意义，需即 2 －1≤x≤1， 1－x ≥0，解得 0<x≤1，所以定义域为(0,1]．
2．已知函数 f(x)的定义域是[－1,1]，求 f(log2x)的定义域．
解：∵函数 f(x)的定义域是[ －1,1] ，∴－1≤log2x≤1， 1 1 ∴ ≤x≤2.故 f(log2x)的定义域为 2，2. 2
三、函数的表示方法
表示函数的常用方法有：解析法、列表法和图象法．
四、分段函数 1．若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数． 2．分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集域等于各段函数的值域的但它表示的是一个函数．并集，其值
第二章函数、导数及其应用
一、函数与映射的概念
二、函数的有关概念 1．函数的定义域、值域在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量， x的取值范围A 叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合
{f(x)|x∈A}叫做函数的值域．显然，值域是集合B的子集． 2．函数的三要素：定义域、值域和对应关系．
函数的值域
[例 2] 求下列函数的值域： 1 (1)f(x)＝； (2)f(x)＝x－ 1－2x； 2＋ x－ x2 (3)f(x)＝log3 x＋logx 3－1.
12 9 9 [听课记录] (1)(配方法)由于 2＋x－x ＝－(x－ ) ＋ ≤ ，此时有三种 2 4 4 1 9 1 9 情况，若－(x－ )2＋＜0，则 y＜0；若－(x－ )2＋＝0，则 y 无意义； 2 4 2 4 1 9 9 1 4 若 0＜－(x－ )2＋ ≤ ，则 y＝ ≥ . 2 4 4 1 9 9 －x－ 2＋ 2 4 4 ∴函数的值域为(－∞，0)∪[ ，＋∞)． 9

函数的概念、定义域及解析式

函数的概念、定义域及解析式函数的概念、定义域及解析式一．课题：函数的概念及解析式二．教学目标：了解映射的概念,在此基础上加深对函数概念的理解；能根据函数的三要素判断两个函数是否为同一函数；理解分段函数的意义．三．教学重点：函数是一种特殊的映射,而映射是一种特殊的对应；函数的三要素中对应法则是核心，定义域是灵魂．四．教学过程：（一）主要知识：1．对应、映射、像和原像、一一映射的定义；映射----设A、B是两个非空集合，如果按照某种对应法则f，对于集合A 中的任意一个元素X，在集合B中都有唯一确定的元素Y与之对应，那么这样的对应关系叫做从集合A到集合B的映射。

记作f:A→B.其中X叫做Y的原象，Y叫做X的象。

映射是特殊的对应，只能一对一或多对一，不能一对多。

一一映射-----在集合A到集合B的映射中，若集合B中的任意一个元素在集合A中都有唯一的元素与之对应，那么就说这样的映射叫做从集合A到集合B的一一映射。

2．函数的概念函数的传统定义和近代定义；传统定义-------如果在某变化过程中有两个变量X、Y，对于X在某个范围内的每一个确定的值，按照某个对应法则f，Y都江堰市有唯一的值和它对应，那么Y就是X的函数。

记为Y=f（X）近代定义-----函数是由一个非空数集另一个非空数集的映射。

（或如果A、B 都是非空的数集，那么从A到B的映射f：A→B叫做A到B的函数。

原象的集合Ａ叫做函数的定义域，象的集合Ｃ叫做函数的值域）。

函数是特殊的映射，只能是从非空数集到非空数集的映射。

3．函数的三要素及表示法．函数的三要素-----定义域、值域、对应法则。

（是判断两个是否为同一函数的依据）由于值域可由定义域和对应法则唯一确定，故也可说函数只有两要素，即判两个函数是否为同一函数可用定义域和对应法则来判断。

函数的表示法通常有：解析法、列表法、图象法。

4，函数的解析式：函数的解析式是指用运算符号和等号把数和表示数的字母连结而成的式子。

高一数学讲义-函数的解析式、定义域和值域

配方得 f (x) (x 2)2 4(x 0, 4) ．利用二次函数的相关知识得 f (x) 0, 4，从而得出所求函数的值域为 y 0, 2．
技巧提示：配方法能解决与二次函数有关的函数的值域问题．
本题可以直接配方，得 y 2 x 2 4x ＝ 2 4 (x 2)2 ，
然后经分析得所求函数的值域为 y 0, 2 ，因此，有时直接分析也能得到函数的值域．
技巧提示：函数 y f (x) 的定义域为 0,2，意思是 f 只能对 0,2中的数作用，也就是对 0,2中的数
f 才有意义．函数 f (ln x) 要有意义，必须 f 对 ln x 能作用，所以必须 0 ln x 2 ．
又例:已知函数 f (x) mx 2 mx 1 的定义域是全体实数，则 m 的取值范围是（）
三、典型例题精讲
1
【例 1】如果 f (x 1) x2 5x 4 ，那么 f (x) ＝
.
解析：方法一（配凑法）∵ f (x 1) x2 5x 4 ＝ (x 1 1)2 5(x 1 1) 4 ，
∴ f (x) ＝ (x 1)2 5(x 1) 4 ＝ x 2 7 x 10 ．
方法二（换元法）设 x 1 t ，则 x t 1，于是 f (t) (t 1)2 5(t 1) 4 ＝ t 2 7t 10 ，
即 f (x) ＝ x 2 7 x 10 ．技巧提示：（1）凑配法：若已知 f (g(x)) 的表达式，需求 f (x) 的表达式，可把 g ( x) 看成一个整体，把右边变为由 g (x) 组成的式子，再将 g (x) 统一换为 x ，求出 f (x) 的表达式．
∴ f (x) ＝ x2 x 1.
方法二：令 x ＝0，得 f ( y) f (0) y( y 1) 1 y 2 y ( y)2 ( y) 1，

函数的概念与性质(公式、定理、结论图表)

第三章函数的概念与性质（公式、定理、结论图表）1．函数的概念定义一般地，设A，B是非空的实数集，如果对于集合A中的任意一个数x按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数三要素对应关系y＝f(x)，x∈A定义域自变量x的取值范围值域与x的值相对应的y的函数值的集合{f(x)|x∈A}(2)f(x)与f(a)有何区别与联系？提示：(1)这种看法不对．符号y＝f(x)是“y是x的函数”的数学表示，应理解为x是自变量，它是关系所施加的对象；f是对应关系，它可以是一个或几个解析式，可以是图象、表格，也可以是文字描述；y是自变量的函数，当x 允许取某一具体值时，相应的y值为与该自变量值对应的函数值．y＝f(x)仅仅是函数符号，不表示“y等于f与x的乘积”．在研究函数时，除用符号f(x)外，还常用g(x)，F(x)，G(x)等来表示函数．(2)f(x)与f(a)的区别与联系：f(a)表示当x＝a时，函数f(x)的值，是一个常量，而f(x)是自变量x 的函数，一般情况下，它是一个变量，f (a )是f (x )的一个特殊值，如一次函数f (x )＝3x ＋4，当x ＝8时，f (8)＝3×8＋4＝28是一个常数．2．区间及有关概念 (1)一般区间的表示设a ，b ∈R ，且a <b ，规定如下：定义名称符号数轴表示{x |a ≤x ≤b } 闭区间 [a ，b ] {x |a <x <b } 开区间 (a ，b ) {x |a ≤x <b } 半开半闭区间 [a ，b ) {x |a <x ≤b } 半开半闭区间(a ，b ](2)特殊区间的表示定义 R{x |x ≥a } {x |x ＞a } {x |x ≤a } {x |x ＜a } 符号(－∞，＋∞)[a ，＋∞)(a ，＋∞)(－∞，a ](－∞，a )思考2：(1)区间是数集的另一种表示方法，那么任何数集都能用区间表示吗？ (2)“∞”是数吗？如何正确使用“∞”？提示：(1)不是任何数集都能用区间表示，如集合{0}就不能用区间表示．(2)“∞”读作“无穷大”，是一个符号，不是数．以“－∞”或“＋∞”作为区间一端时，这一端必须是小括号． 3.函数的表示法思考：任何一个函数都可以用解析法、列表法、图表法三种形式表示吗？提示：不一定．并不是所有的函数都可以用解析式表示，不仅如此，图象法也不适用于所有函数，如D (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧0，x ∈Q ，1，x ∈∁R Q .列表法虽在理论上适用于所有函数，但对于自变量有无数个取值的情况，列表法只能表示函数的一个概况或片段． 4.分段函数如果函数y ＝f (x )，x ∈A ，根据自变量x 在A 中不同的取值范围，有着不同的对应关系，则称这样的函数为分段函数．思考：分段函数是一个函数还是几个函数？提示：分段函数是一个函数，而不是几个函数． 5．增函数与减函数的定义条件一般地，设函数f (x )的定义域为I ，区间D ⊆I ：如果∀x 1，x 2∈D ，当x 1＜x 2时都有f (x 1)＜f (x 2)都有f (x 1)＞f (x 2)结论那么就说函数f (x )在区间D 上是增函数那么就说函数f (x )在区间D 上是减函数图示12提示：定义中的x 1，x 2有以下3个特征：(1)任意性，即“任意取x 1，x 2”中“任意”二字绝不能去掉，证明时不能以特殊代替一般； (2)有大小，通常规定x 1<x 2； (3)属于同一个单调区间． 2．函数的单调性与单调区间如果函数y ＝f (x )在区间D 上单调递增或单调递减，那么就说函数y ＝f (x )在这一区间具有(严格的)单调性，区间D 叫做y ＝f (x )的单调区间．思考2：函数y ＝1x 在定义域上是减函数吗？提示：不是．y ＝1x在(－∞，0)上递减，在(0，＋∞)上也递减，但不能说y ＝1x在(－∞，0)∪(0，＋∞)上递减．6.函数最大值与最小值最大值最小值条件设函数y ＝f (x )的定义域为I ，如果存在实数M 满足：∀x ∈I ，都有f (x )≤Mf (x )≥M∃x 0∈I ，使得f (x 0)＝M结论 M 是函数y ＝f (x )的最大值 M 是函数y ＝f (x )的最小值几何意义f (x )图象上最高点的纵坐标f (x )图象上最低点的纵坐标提示：不一定，只有定义域内存在一点x 0，使f (x 0)＝M 时，M 才是函数的最大值，否则不是．7.函数的奇偶性奇偶性偶函数奇函数条件设函数f (x )的定义域为I ，如果∀x ∈I ，都有－x ∈I结论 f (－x )＝f (x )f (－x )＝－f (x )图象特点关于y 轴对称关于原点对称思考：具有奇偶性的函数，其定义域有何特点？提示：定义域关于原点对称． 8．幂函数的概念一般地，函数y ＝x α叫做幂函数，其中x 是自变量，α是常数． 9．幂函数的图象在同一平面直角坐标系中，画出幂函数y ＝x ，y ＝x 2，y ＝x 3，y ＝x 12，y ＝x －1的图象如图所示：10．幂函数的性质y ＝xy ＝x 2y ＝x 3y ＝x 12 y ＝x －1定义域 R R R [0，＋∞) {x |x ≠0} 值域 R [0，＋∞)R [0，＋∞) {y |y ≠0} 奇偶性奇偶奇非奇非偶奇单调性增函数x ∈[0，＋∞)时，增函数x ∈(－∞，0]时，减函数增函数增函数x ∈(0，＋∞)时，减函数x ∈(－∞，0)时，减函数函数模型函数解析式一次函数模型 f (x )＝ax ＋b (a ，b 为常数，a ≠0) 二次函数模型f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ，b ，c 为常数，a ≠0)分段函数模型f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧f 1(x )，x ∈D 1f 2(x )，x ∈D 2……f n (x ) ，x ∈Dn<解题方法与技巧>1．判断对应关系是否为函数的2个条件 (1)A ，B 必须是非空实数集．(2)A 中任意一元素在B 中有且只有一个元素与之对应．对应关系是“一对一”或“多对一”的是函数关系，“一对多”的不是函数关系． 2．判断函数相等的方法(1)先看定义域，若定义域不同，则不相等；(2)若定义域相同，再化简函数的解析式，看对应关系是否相同．典例1：(1)下列各组函数是同一函数的是( ) ①f (x )＝－2x 3与g (x )＝x －2x ； ②f (x )＝x 与g (x )＝x 2； ③f (x )＝x 0与g (x )＝1x0；④f (x )＝x 2－2x －1与g (t )＝t 2－2t －1. A ．①② B ．①③ C ．③④D ．①④(2)判断下列对应是不是从集合A 到集合B 的函数．①A ＝N ，B ＝N *，对应法则f ：对集合A 中的元素取绝对值与B 中元素对应； ②A ＝{－1,1,2，－2}，B ＝{1,4}，对应法则f ：x →y ＝x 2，x ∈A ，y ∈B ； ③A ＝{－1,1,2，－2}，B ＝{1,2,4}，对应法则f ：x →y ＝x 2，x ∈A ，y ∈B ； ④A ＝{三角形}，B ＝{x |x >0}，对应法则f ：对A 中元素求面积与B 中元素对应．(1)C [①f (x )＝－2x 3＝|x |－2x 与g (x )＝x －2x 的对应法则和值域不同，故不是同一函数． ②g (x )＝x 2＝|x |与f (x )＝x 的对应法则和值域不同，故不是同一函数． ③f (x )＝x 0与g (x )＝1x0都可化为y ＝1且定义域是{x |x ≠0}，故是同一函数．④f (x )＝x 2－2x －1与g (t )＝t 2－2t －1的定义域都是R ，对应法则也相同，而与用什么字母表示无关，故是同一函数．由上可知是同一函数的是③④.故选C.](2)[解] ①对于A 中的元素0，在f 的作用下得0，但0不属于B ，即A 中的元素0在B 中没有元素与之对应，所以不是函数．②对于A 中的元素±1，在f 的作用下与B 中的1对应，A 中的元素±2，在f 的作用下与B 中的4对应，所以满足A 中的任一元素与B 中唯一元素对应，是“多对一”的对应，故是函数．③对于A 中的任一元素，在对应关系f 的作用下，B 中都有唯一的元素与之对应，如±1对应1，±2对应4，所以是函数．④集合A 不是数集，故不是函数．] 3.函数求值的方法(1)已知f (x )的表达式时，只需用a 替换表达式中的x 即得f (a )的值. (2)求f (g (a ))的值应遵循由里往外的原则. 典例2：设f (x )＝2x 2＋2，g (x )＝1x ＋2， (1)求f (2)，f (a ＋3)，g (a )＋g (0)(a ≠－2)，g (f (2))． (2)求g (f (x ))．[思路点拨] (1)直接把变量的取值代入相应函数解析式，求值即可； (2)把f (x )直接代入g (x )中便可得到g (f (x ))． [解] (1)因为f (x )＝2x 2＋2，所以f (2)＝2×22＋2＝10，f (a ＋3)＝2(a ＋3)2＋2＝2a 2＋12a ＋20.因为g (x )＝1x ＋2，所以g (a )＋g (0)＝1a ＋2＋10＋2＝1a ＋2＋12(a ≠－2)． g (f (2))＝g (10)＝110＋2＝112. (2)g (f (x ))＝1f (x )＋2＝12x 2＋2＋2＝12x 2＋4.4.求函数定义域的常用方法(1)若f (x )是分式，则应考虑使分母不为零. (2)若f (x )是偶次根式，则被开方数大于或等于零.(3)若f (x )是指数幂，则函数的定义域是使幂运算有意义的实数集合. (4)若f (x )是由几个式子构成的，则函数的定义域是几个部分定义域的交集. (5)若f (x )是实际问题的解析式，则应符合实际问题，使实际问题有意义. 典例3：1．已知函数的解析式，求其定义域时，能否可以对其先化简再求定义域？提示：不可以．如f (x )＝x ＋1x 2－1.倘若先化简，则f (x )＝1x －1，从而定义域与原函数不等价． 2．若函数y ＝f (x ＋1)的定义域是[1,2]，这里的“[1,2]”是指谁的取值范围？函数y ＝f (x )的定义域是什么？提示：[1,2]是自变量x 的取值范围．函数y ＝f (x )的定义域是x ＋1的范围[2,3]． 5.分段函数求函数值的方法：(1)确定要求值的自变量属于哪一段区间．(2)代入该段的解析式求值，直到求出值为止．当出现f (f (x 0))的形式时，应从内到外依次求值． 6.．已知函数值求字母取值的步骤：(1)先对字母的取值范围分类讨论． (2)然后代入不同的解析式中． (3)通过解方程求出字母的值．(4)检验所求的值是否在所讨论的区间内．提醒：求某条件下自变量的值时，先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后相应求出自变量的值，切记代入检验．典例4：求下列函数的定义域： (1)f (x )＝2＋3x －2； (2)f (x )＝(x －1)0＋2x ＋1； (3)f (x )＝3－x ·x －1； (4)f (x )＝(x ＋1)2x ＋1－1－x .[思路点拨] 要求函数的定义域，只需分母不为0，偶次方根中被开方数大于等于0即可． [解] (1)当且仅当x －2≠0，即x ≠2时，函数f (x )＝2＋3x －2有意义，所以这个函数的定义域为{x |x ≠2}．(2)函数有意义，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧x －1≠0，2x ＋1≥0，x ＋1≠0，解得x >－1且x ≠1，所以这个函数的定义域为{x |x >－1且x ≠1}．(3)函数有意义，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧3－x ≥0，x －1≥0，解得1≤x ≤3，所以这个函数的定义域为{x |1≤x ≤3}．(4)要使函数有意义，自变量x 的取值必须满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1≠0，1－x ≥0，解得x ≤1且x ≠－1，即函数定义域为{x |x ≤1且x ≠－1}．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x ≤－2，x 2＋2x ，－2<x <2，2x －1，x ≥2.(1)求f (－5)，f (－3)，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52的值；(2)若f (a )＝3，求实数a 的值．[解] (1)由－5∈(－∞，－2]，－3∈(－2,2)，－52∈(－∞，－2]，知f (－5)＝－5＋1＝－4，f (－3)＝(－3)2＋2×(－3)＝3－2 3.∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＝－52＋1＝－32，而－2<－32<2，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－322＋2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＝94－3＝－34.(2)当a ≤－2时，a ＋1＝3，即a ＝2>－2，不合题意，舍去．当－2<a <2时，a 2＋2a ＝3，即a 2＋2a －3＝0. ∴(a －1)(a ＋3)＝0，解得a ＝1或a ＝－3.∵1∈(－2,2)，－3∉(－2,2)， ∴a ＝1符合题意．当a ≥2时，2a －1＝3，即a ＝2符合题意．综上可得，当f (a )＝3时，a ＝1或a ＝2. 7.利用定义证明函数单调性的步骤(1)取值：设x 1，x 2是该区间内的任意两个值，且x 1<x 2.(2)作差变形：作差f (x 1)－f (x 2)，并通过因式分解、通分、配方、有理化等手段，转化为易判断正负的式子.(3)定号：确定f (x 1)－f (x 2)的符号.(4)结论：根据f (x 1)－f (x 2)的符号及定义判断单调性.提醒：作差变形是证明单调性的关键，且变形的结果是几个因式乘积的形式. 典例5：证明函数f (x )＝x ＋1x在(0,1)上是减函数．[思路点拨] 设元0<x 1<x 2<1―→作差：f (x 1)－f (x 2) ――→变形判号：f (x 1)>f (x 2)――→结论减函数[证明] 设x 1，x 2是区间(0,1)上的任意两个实数，且x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋1x 1－⎝⎛⎭⎪⎫x 2＋1x2＝(x 1－x 2)＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 1－1x 2＝(x 1－x 2)＋x 2－x 1x 1x 2＝(x 1－x 2)⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1x 1x 2＝(x 1－x 2)(－1＋x 1x 2)x 1x 2∵0<x 1<x 2<1，∴x 1－x 2<0,0<x 1x 2<1，则－1＋x 1x 2<0， ∴(x 1－x 2)(－1＋x 1x 2)x 1x 2>0，即f (x 1)>f (x 2)，∴f (x )＝x ＋1x在(0,1)上是减函数．8.函数单调性的应用(1)函数单调性定义的“双向性”：利用定义可以判断、证明函数的单调性，反过来，若已知函数的单调性可以确定函数中参数的取值范围.(2)若一个函数在区间[a ，b ]上是单调的，则此函数在这一单调区间内的任意子集上也是单调的. 典例6：(1)若函数f (x )＝－x 2－2(a ＋1)x ＋3在区间(－∞，3]上是增函数，则实数a 的取值范围是________．(2)已知函数y ＝f (x )是(－∞，＋∞)上的增函数，且f (2x －3)>f (5x －6)，则实数x 的取值范围为________．[思路点拨] (1)分析f (x )的对称轴与区间的关系――→数形结合建立关于a 的不等式――→求a 的范围 (2)f (2x －3)>f (5x －6)――――――――――――――――→f (x )在(－∞，＋∞)上是增函数建立关于x 的不等式――→ 求x 的范围 (1)(－∞，－4] (2)(－∞，1) [(1)∵f (x )＝－x 2－2(a ＋1)x ＋3的开口向下，要使f (x )在(－∞，3]上是增函数，只需－(a ＋1)≥3，即a ≤－4. ∴实数a 的取值范围为(－∞，－4]．(2)∵f (x )在(－∞，＋∞)上是增函数，且f (2x －3)>f (5x －6)， ∴2x －3>5x －6，即x <1.∴实数x 的取值范围为(－∞，1)．]9．利用单调性求函数的最大(小)值的一般步骤 (1)判断函数的单调性． (2)利用单调性求出最大(小)值． 2．函数的最大(小)值与单调性的关系(1)若函数f (x )在区间[a ，b ]上是增(减)函数，则f (x )在区间[a ，b ]上的最小(大)值是f (a )，最大(小)值是f (b )．(2)若函数f (x )在区间[a ，b ]上是增(减)函数，在区间[b ，c ]上是减(增)函数，则f (x )在区间[a ，c ]上的最大(小)值是f (b )，最小(大)值是f (a )与f (c )中较小(大)的一个．提醒：(1)求最值勿忘求定义域．(2)闭区间上的最值，不判断单调性而直接将两端点值代入是最容易出现的错误，求解时一定注意．典例7：已知函数f (x )＝2x ＋1x ＋1.(1)判断函数在区间(－1，＋∞)上的单调性，并用定义证明你的结论； (2)求该函数在区间[2,4]上的最大值和最小值．[解] (1)f (x )在(－1，＋∞)上为增函数，证明如下：任取－1<x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝2x 1＋1x 1＋1－2x 2＋1x 2＋1＝x 1－x 2(x 1＋1)(x 2＋1)，因为－1<x 1<x 2⇒x 1＋1>0，x 2＋1>0，x 1－x 2<0，所以f (x 1)－f (x 2)<0⇒f (x 1)<f (x 2)，所以f (x )在(－1，＋∞)上为增函数． (2)由(1)知f (x )在[2,4]上单调递增，所以f (x )的最小值为f (2)＝2×2＋12＋1＝53，最大值f (4)＝2×4＋14＋1＝95.10.解实际应用题的四个步骤(1)审题：解读实际问题，找出已知条件、未知条件，确定自变量和因变量的条件关系. (2)建模：建立数学模型，列出函数关系式.(3)求解：分析函数性质，利用数学知识探究问题解法(一定注意自变量的取值范围). (4)回归：数学问题回归实际问题，写出答案.典例8：一个工厂生产某种产品每年需要固定投资100万元，此外每生产1件该产品还需要增加投资1万元，年产量为x (x ∈N *)件．当x ≤20时，年销售总收入为(33x －x 2)万元；当x >20时，年销售总收入为260万元．记该工厂生产并销售这种产品所得的年利润为y 万元．(年利润＝年销售总收入－年总投资) (1)求y (万元)与x (件)的函数关系式；(2)当该工厂的年产量为多少件时，所得年利润最大？最大年利润是多少？[解] (1)当0<x ≤20时，y ＝(33x －x 2)－x －100＝－x 2＋32x －100；当x >20时，y ＝260－100－x ＝160－x .故y ＝⎩⎪⎨⎪⎧ －x 2＋32x －100，0<x ≤20，160－x ，x >20(x ∈N *)． (2)当0<x ≤20时，y ＝－x 2＋32x －100＝－(x －16)2＋156，x ＝16时，y max ＝156.而当x >20时，160－x <140，故x ＝16时取得最大年利润，最大年利润为156万元．即当该工厂年产量为16件时，取得最大年利润为156万元．11.巧用奇、偶函数的图象求解问题(1)依据：奇函数⇔图象关于原点对称，偶函数⇔图象关于y 轴对称.(2)求解：根据奇、偶函数图象的对称性可以解决诸如求函数值或画出奇偶函数图象的问题.典例9：已知奇函数f (x )的定义域为[－5,5]，且在区间[0,5]上的图象如图所示．(1)画出在区间[－5,0]上的图象；(2)写出使f (x )<0的x 的取值集合．[解] (1)因为函数f (x )是奇函数，所以y ＝f (x )在[－5,5]上的图象关于原点对称．由y ＝f (x )在[0,5]上的图象，可知它在[－5,0]上的图象，如图所示． (2)由图象知，使函数值y <0的x 的取值集合为(－2，0)∪(2,5)．12.比较大小的求解策略,看自变量是否在同一单调区间上.(1)在同一单调区间上，直接利用函数的单调性比较大小；(2)不在同一单调区间上，需利用函数的奇偶性把自变量转化到同一单调区间上，然后利用单调性比较大小.典例10：函数y ＝f (x )在[0,2]上单调递增，且函数f (x ＋2)是偶函数，则下列结论成立的是( ) A ．f (1)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫72 B ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫72<f (1)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52 C ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫72<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52<f (1) D ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52<f (1)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫72 [思路点拨] y ＝f (x ＋2)是偶函数―→f (x )的图象关于x ＝2对称――→[0，2]上递增比较大小B [∵函数f (x ＋2)是偶函数，∴函数f (x )的图象关于直线x ＝2对称，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫72＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，又f (x )在[0,2]上单调递增，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12<f (1)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，即f ⎝ ⎛⎭⎪⎫72<f (1)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52.] 13.判断一个函数是否为幂函数的方法判断一个函数是否为幂函数的依据是该函数是否为y ＝x α(α为常数)的形式，即函数的解析式为一个幂的形式，且需满足：(1)指数为常数；(2)底数为自变量；(3)系数为1.典例11：(1)在函数y ＝1x2，y ＝2x 2，y ＝x 2＋x ，y ＝1中，幂函数的个数为( ) A ．0B ．1C ．2D ．3(2)若函数f (x )是幂函数，且满足f (4)＝3f (2)，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12的值等于________． (1)B (2)13 [(1)∵y ＝1x2＝x －2，∴是幂函数； y ＝2x 2由于出现系数2，因此不是幂函数；y ＝x 2＋x 是两项和的形式，不是幂函数；y ＝1＝x 0(x ≠0)，可以看出，常函数y ＝1的图象比幂函数y ＝x 0的图象多了一个点(0,1)，所以常函数y ＝1不是幂函数．(2)设f (x )＝x α，∵f (4)＝3f (2)，∴4α＝3×2α，解得α＝log 23，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12log 23＝13.] 14.解决幂函数图象问题应把握的两个原则(1)依据图象高低判断幂指数大小，相关结论为：在(0，1)上，指数越大，幂函数图象越靠近x 轴(简记为指大图低)；在(1，＋∞)上，指数越大，幂函数图象越远离x 轴(简记为指大图高).(2)依据图象确定幂指数α与0，1的大小关系，即根据幂函数在第一象限内的图象(类似于y ＝x －1或y ＝x 12或y ＝x 3)来判断.典例12：点(2，2)与点⎝⎛⎭⎪⎫－2，－12分别在幂函数f (x )，g (x )的图象上，问当x 为何值时，有： (1)f (x )>g (x )；(2)f (x )＝g (x )；(3)f (x )<g (x )．[解] 设f (x )＝x α，g (x )＝x β.∵(2)α＝2，(－2)β＝－12， ∴α＝2，β＝－1，∴f (x )＝x 2，g (x )＝x －1.分别作出它们的图象，如图所示．由图象知，(1)当x∈(－∞，0)∪(1，＋∞)时，f(x)>g(x)；(2)当x＝1时，f(x)＝g(x)；(3)当x∈(0,1)时，f(x)<g(x)．。

函数的基本概念—函数定义、解析式(教师版)

函数（1）——函数的基本概念一、基础知识 (一)、函数的有关概念（1）函数的定义：设A 、B 是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个数x ，在集合B 中都有唯一的元素y 和它对应，那么就称f ：A →B 为从集合A 到集合B 的一个函数．记作： y =f (x )，x ∈A ．其中，x 叫做自变量，x 的取值范围A 叫做函数的定义域；与x 的值相对应的y 值叫做函数值，函数值的集合{f (x )| x ∈A }叫做函数的值域．（强调：①任意性；②唯一性）。

（2）函数的定义域、值域在函数y ＝f(x)，x ∈A 中，x 叫做自变量， A 叫做函数的定义域；与x 的值相对应的y 值叫做函数值，叫做函数的值域．（3）函数的三要素：、和。

（4）．函数的表示方法表示函数的常用方法有：、和（二）．相等函数如果两个函数的相同，并且完全一致，则这两个函数为相等函数．三、分段函数若函数在其定义域的不同子集上，因不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数．分段函数的定义域等于各段函数的定义域的，其值域等于各段函数的值域的，分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数．二、例题分析（一）函数的概念：例题1、以下各组函数表示同一函数的是（ C ）A . f (x )＝x ·x ＋1，g (x )＝x (x ＋1)； B. f (x )＝x 2－4x －2，g (x )＝x ＋2；C. f (x )＝x 2－2x －1，g (t )＝t 2－2t －1；D. f (n )＝2n －1(n ∈Z )，g (n )＝2n ＋1(n ∈Z )．例题2、下各组函数表示同一函数的是（ D ）A ．f (x )＝x 与g (x )＝(x )2B ．f (x )＝|x |与g (x )＝3x 3C ．f (x )＝x |x |与g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2 (x >0)－x 2 (x <0) D ．f (x )＝x 2－1x －1与g (t )＝t ＋1(t ≠1)例题3．下列说法中正确的为( A )A ．y ＝f (x )与y ＝f (t )表示同一个函数B ．y ＝f (x )与y ＝f (x ＋1)不可能是同一函数C ．f (x )＝1与f (x )＝x 0表示同一函数D ．定义域和值域都相同的两个函数是同一个函数例题4．图中(1)(2)(3)(4)四个图象各表示两个变量x ，y 的对应关系，其中表示y 是x 的函数关系的有_(1)(3)___．例题5.下列各图中，不能是函数f (x )图象的是( C )（二）求函数的解析式例题1．根据下列条件，求函数()f x 的解析式：⑴已知)12fx x x =+()f x ；⑵已知()f x 是一次函数，且()98f f x x =+⎡⎤⎣⎦，求()f x ；⑶已知()()3225f x f x x +-=+，求()f x ．解：⑴设1t x 1x t =-，∴()()()221211f t t t t =-+-=-， ∵11t x ,∴()()2 1 1f x x x=-．⑵设()() 0f x ax b a =+≠，则()()()2f f x af x b a ax b b a x ab b =+=++=++⎡⎤⎣⎦，由 298a x ab b x ++=+ 得2339248a a a b b ab b ==-⎧=⎧⎧⇒⎨⎨⎨==-+=⎩⎩⎩或．∴()()3234f x x f x x =+=--或．⑶在()()3225f x f x x +-=+ ①中，以x -换x 得()()3225f x f x x -+=-+ ② 由①，②消去()f x -得()21f x x =+．例题2．已知函数 ()f x 满足2211f x x x x ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭．（1）()f x 的解析式；⑵求()f x 的定义域、值域．解析（1）本题若采用换元法，令1t x x=+，则难以用t 来表示出x ，注意到2112f x x x x ⎛⎫⎛⎫+=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，从而()22f x x =-.（2）为确定函数的定义域，必须求出1t x x=+的值域，可考虑用判别式法：由1t x x=+，得：210x tx -+=．由240t ∆=-，得22t t -或， ∴()f x 的定义域是(][),22,-∞-+∞，又24x ，∴()222f x x =-，即值域为[)2,+∞．例题3．设f(x)是R 上的函数，且满足f(0)=1，并且对任意实数x,y 有f(x-y)=f(x)-y(2x-y+1)，求f(x)的表达式。

函数的概念、定义域、解析式

函数的概念、定义域、函数相等、解析式求法一、函数概念1.设A 、B 是非空集合，如果按照某种确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个数x ，在集合B 中都有唯一的数)(x f 和它对应，那么就称B A f →:为集合A 到集合B 的一个函数，记作A x x f y ∈=),(。

其中x 叫作自变量，自变量的取值范围（数集A ）叫作定义域。

与x 对应的y 叫作因变量，}|)({A x x f y ∈=叫作函数的值域。

2.一个函数的构成要素为：定义域、对应关系、值域。

如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，则称这两个函数相等。

3.函数三种表示方法：解析法、图像法、列表法。

具体函数定义域的求法：（1）分母不能为零。

（2）偶次方根的被开方数不小于零。

（3）零次方时底数不能为零。

（4）对数函数真数大于零。

4.抽象函数定义域的求法：（1）定义域指的是x 的取值范围。

（2）括号内的范围相同。

①已知)(x f 的定义域，求复合函数)]([x g f 的定义域。

若)(x f 的定义域为),(b a x ∈，求出)]([x g f 中b x g a <<)(的x 的范围，即为)]([x g f 的定义域。

②已知复合函数)]([x g f 的定义域，求)(x f 的定义域。

若)]([x g f 的定义域为),(b a x ∈，则由b x a <<确定)(x g 的值域，即为)(x f 的定义域。

③已知复合函数)]([x g f 的定义域，求)]([x h f 的定义域。

可由)]([x g f 的定义域（x 所对应的范围）求得)(x g 的值域，再由)(x g 的值域就是)(x h 的值域，从而求得)(x h 中x 所对应的范围，即为)]([x h f 的定义域。

5.函数解析式的求法（1）直接代入法（2）换元法（配凑法）（3）待定系数法（4）方程组法题型一求具体函数的定义域例题1 求下列函数的定义域，并用区间表示。

函数解析式

2
解：令x = 0，y = − x
函数解析式的概念：一.函数解析式的概念：函数解析式的概念
把两个变量的函数关系，用一个等式来两个变量的函数关系，用一个等式来的函数关系等式表示，这个等式就叫做函数的解析式等式就叫做表示，这个等式就叫做函数的解析式求函数解析式相当于求两个变量之间的对求函数解析式相当于求两个变量之间的对应关系，即求对应法则应关系，即求对应法则
4.赋值法（应用于抽象函数）赋值法（应用于抽象函数）赋值法
例如：已知等式f ( x − y ) = f ( x) − y (2 x − y + 1)对一切实数x，y都成立，且f (0) = 1，求f ( x).
则f (0 − (− x)) = f (0) − (− x) [ 2 × 0 − (− x) + 1] 整理得，f ( x) = x + x + 1
（）若f (x)是二次函数，且f (0) = 1 f (x +1) − f (x) = 2x，求f (x) 2 ，
解：设f ( x) = ax + bx + c(a ≠ 0) ∵ f (0) = 1∴ c = 1 又 ∵ f ( x + 1) − f ( x) = 2 x
2
即：a( x + 1) + b( x + 1) + c − (ax + bx + c) = 2 x ∴ (2a − 2) x + (a + b) = 0
二.确定函数解析式的常见方法确定函数解析式的常见方法
1.配凑法配凑法
例如：（1）已知f (x +1) = 2x + 3，求f (x) （2）已知f (3x +1) = 9x − 6x + 5，求f (x)

函数解析式的定义

函数解析式的定义函数解析式的定义函数是数学中一个非常重要的概念，它可以将一个或多个输入值映射到一个输出值。

在数学中，我们通常用函数解析式来表示一个函数。

本文将详细介绍函数解析式的定义及其相关概念。

一、什么是函数解析式？函数解析式是指用符号表示法来描述一个函数的公式或表达式。

它由自变量、因变量以及运算符和常数构成。

例如，y = f(x) 就是一个典型的函数解析式，其中 y 表示因变量，x 表示自变量，f(x) 表示对自变量x 进行一系列运算后得到的结果。

二、如何表示函数解析式？在数学中，我们通常使用字母和符号来表示一个函数。

例如，y = f(x) 中的 y 和 x 分别代表因变量和自变量。

而 f(x) 则表示对自变量 x 进行一系列运算后得到的结果。

在定义一个函数时，我们需要明确该函数所接受的输入（即自变量）和输出（即因变量）以及它们之间的关系。

这些信息可以通过符号来表示，例如：- 定义一个简单线性方程：y = ax + b- 定义一个三次多项式：y = ax^3 + bx^2 + cx + d- 定义一个正弦函数：y = sin(x)三、函数解析式的基本要素在理解函数解析式时，有一些基本概念和要素需要掌握。

1. 自变量自变量是指作为输入的变量，通常用 x 表示。

在函数解析式中，自变量是可以取任意值的，但也可能受到某些限制。

2. 因变量因变量是指作为输出的变量，通常用 y 表示。

在函数解析式中，因变量的值由自变量和一系列运算决定。

3. 运算符和常数在函数解析式中，我们可以使用各种运算符和常数来对自变量进行运算。

例如，加减乘除、幂运算、三角函数等等。

而常数则表示一个固定的值，不会随着自变量的改变而改变。

四、如何确定一个函数的定义域和值域？在定义一个函数时，我们需要明确该函数所接受的输入（即自变量）和输出（即因变量）以及它们之间的关系。

这些信息可以通过符号来表示，并且可以根据这些信息来确定该函数的定义域和值域。

1.2.1函数的概念

1.2.1
函数的概念
问题提出
• 1.在初中我们学习了哪几种基本函数？其函数解析式分别是什么？一次函数：y kx b (k 0) ； 2 二次函数： y ax bx c (a 0) ；
k y (k 0) 反比例函数： x
2.初中对函数概念是怎样定义的？在一个变化过程中，如果有两个变量x与y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说x是自变量，y是x的函数.
A、1个 B、2个 C、3个 D、4个
例3、给出四个命题：
①定义域相同，值域相同的两个函数相等。
②若函数的定义域只含有一个元素，则值域也只有一个元素 ③因f(x)=5(x∈R),这个函数值不随x的变化范围而变化，所以f(0)=5也成立 ④定义域和对应关系确定后，函数值也就确定了正确有( C )
S（106km2）
30 26 25 20 15 10 5 0 1979 1981 1983 1985 1987 1989 1991 1993 1995 1997 1999 2001
t（年
• 思考1：根据曲线分析，时间t的变化范围是什么？臭氧层空洞面积S的变化范围是什么？试用集合表示？ A＝{t|1979≤t≤2001}；B＝{s|0≤s≤26} 思考2：时间变量t与臭氧层空洞面积S之间的对应关系是否为函数？若是，其自变量是什么？
知识探究（四）
思考1：从集合与对应的观点分析，上述三个实例中变量之间的关系都可以怎样描述？
对于数集A中的每一个x，按照某种对应关系f，在数集B中都有唯一确定的y 和它对应，记作 f：A→B.
思考2：上述三个实例中变量之间的关系都是函数，那么从集合与对应的观点分析，函数还可以怎样定义？

函数的概念(定义域,值域,解析式)

讲解新课：一．函数定义及函数三要素1．函数的概念：设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数。

记作：y=f(x)，x∈A。

其中，x 叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)| x∈A }叫做函数的值域。

注意：（1）“y=f(x)”是函数符号，可以用任意的字母表示，如“y=g(x)”；（2）函数符号“y=f(x)”中的f(x)表示与x对应的函数值，一个数，而不是f乘x2．构成函数的三要素：定义域、对应关系和值域（1）解决一切函数问题必须认真确定该函数的定义域，函数的定义域包含三种形式：①自然型：指函数的解析式有意义的自变量x的取值范围（如：分式函数的分母不为零，偶次根式函数的被开方数为非负数，对数函数的真数为正数，等等）；②限制型：指命题的条件或人为对自变量x的限制，这是函数学习中重点，往往也是难点，因为有时这种限制比较隐蔽，容易犯错误；③实际型：解决函数的综合问题与应用问题时，应认真考察自变量x的实际意义。

（2）求函数的值域是比较困难的数学问题，中学数学要求能用初等方法求一些简单函数的值域问题①配方法（将函数转化为二次函数）；②判别式法（将函数转化为二次方程）；③不等式法（运用不等式的各种性质）；④函数法（运用基本函数性质，或抓住函数的单调性、函数图象等）。

3．两个函数的相等：函数的定义含有三个要素，即定义域A、值域C和对应法则f。

当函数的定义域及从定义域到值域的对应法则确定之后，函数的值域也就随之确定。

因此，定义域和对应法则为函数的两个基本条件，当且仅当两个函数的定义域和对应法则都分别相同时，这两个函数才是同一个函数。

4．区间（1）区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间；（2）无穷区间；（3）区间的数轴表示5．映射的概念一般地，设A、B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法则f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么就称对应f：A→B为从集合A到集合B的一个映射。

函数的概念,三要素的求法(整理版)

"Pocket" members 1037, find there ar e 640 "lost" party members are not conta cted 148 "Pocket" party members a nd impl ementati on of orga nizati onal rel ationshi ps. E ducational manageme nt of party member s into t he Orga nizati on, t here is a l ot of work to do. Weak a nd lax party continued re organization as a n importa nt task, finish perfe ct organization, with a g ood team, Good system. Spe cial highlight s of grass -roots party organizations, to be dealt wit h first in pl ace, furt her educati on, r eorganization, transformation and educati onal i nteracti on. In short, thr oug h soli d and effective w ork initiatives函数的概念,三要素的求法一、函数的概念：1．函数的概念：函数概念：设A 、B 是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数f (x )和它对应，那么就称f ：A →B 为从集合A 到集合B 的一个函数记作：y = f (x )，x ∈A .其中，x 叫做自变量，x 的取值范围A 叫做函数的定义域；与x 的值相对应的y 值叫做函数值，函数值的集合{f (x ) | x ∈A }叫做函数的值域. 显然，值域是集合B 的子集.（2）函数的表示方法1．解析式：把常量和表示自变量的字母用一系列运算符号连接起来，得到的式子叫做解析式. 2．列表法：列出表格来表示两个变量之间的对应关系.3．图象法：用图象表示两个变量之间的对应关系.（3）典型例题：1. 函数y = f (x )表示（） A ．y 等于f 与x 的乘积 B ．f (x )一定是解析式 C ．y 是x 的函数 D ．对于不同的x ，y 值也不同2.下列各图中，可表示函数y =f (x )的图象的只可能是A B C D3. 下列四种说法中，不正确的是（）A ．函数值域中每一个数都有定义域中的一个数与之对应B ．函数的定义域和值域一定是无限集合C ．定义域和对应关系确定后，函数的值域也就确定了D ．若函数的定义域只含有一个元素，则值域也只含有一个元素4. 已知f (x ) = x 2 + 4x + 5，则f (2) = __ ，f (–1) = __ .5. 已知f (x ) = x 2 (x ∈R )，表明的“对应关系”是______，它是____→_____的函数.x y o x y o x y o xy o"Pocket" members 1037, find there ar e 640 "lost" party members are not conta cted 148 "Pocket" party members a nd impl ementati on of orga nizati onal rel ationshi ps. E ducational manageme nt of party member s into t he Orga nizati on, t here is a l ot of work to do. Weak a nd lax party continued re organization as a n importa nt task, finish perfe ct organization, with a g ood team, Good system. Spe cial highlight s of grass-roots party organizations, to be dealt wit h first in pl ace, furt her educati on, r eorganization, transformation and educati onal i nteracti on. In short, thr oug h soli d and effective w ork initiatives2.映射映射的定义：设A，B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有惟一确定的元素y与之对应，那么这样的对应(包括集合A，B以及A到B的对应法则f)叫做集合A到集合B的映射，记作f:A→B.其中与A中的元素a对应的B中的元素b叫做a的象，a叫做b的原象.看下面的例子：设A，B分别是两个集合，为简明起见，设A，B分别是两个有限集说明：（2）（3）（4）这三个对应的共同特点是：对于左边集合A中的任何一个元素，在右边集合B中都有唯一的元素和它对应①“A到B”：映射是有方向的，A到B的映射与B到A的映射往往不是同一个映射,A到B是求平方，B到A则是开平方，因此映射是有序的；②“任一”：就是说对集合A中任何一个元素，集合B中都有元素和它对应，这是映射的存在性；③“唯一”：对于集合A中的任何一个元素，集合B中都是唯一的元素和它对应，这是映射的唯一性；④“在集合B中”：也就是说A中元素的象必在集合B中，这是映射的封闭性.指出：根据定义，（2）（3）（4）这三个对应都是集合A到集合B的映射；注意到其中（2）（4）是一对一，（3）是多对一一对一，多对一是映射但一对多显然不是映射辨析：①任意性：映射中的两个集合A,B可以是数集、点集或由图形组成的集合等；②有序性：映射是有方向的，A到B的映射与B到A的映射往往不是同一个映射；③存在性：映射中集合A的每一个元素在集合B中都有它的象；"Pocket" members 1037, find there ar e 640 "lost" party members are not conta cted 148 "Pocket" party members a nd impl ementati on of orga nizati onal rel ationshi ps. E ducational manageme nt of party member s into t he Orga nizati on, t here is a l ot of work to do. 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In short, thr oug h soli d and effective w ork initiatives④唯一性：映射中集合A的任一元素在集合B中的象是唯一的；⑤封闭性：映射中集合A的任一元素的象都必须是B中的元素，不要求B中的每一个元素都有原象，即A中元素的象集是B的子集.映射三要素：集合A、B以及对应法则f，缺一不可；映射观点下的函数概念如果A，B都是非空的数集，那么A到B的映射f：A→B就叫做A到B的函数，记作y=f(x)，其中x∈A，y ∈B.原象的集合A叫做函数y=f(x)的定义域，象的集合C（C B）叫做函数y=f(x)的值域.函数符号y=f(x)表示“y是x的函数”，有时简记作函数f(x).例以下给出的对应是不是从集合A到B的映射？（1）集合A = {P | P是数轴上的点}，集合B = R，对应关系f：数轴上的点与它所代表的实数对应；（2）集合A = {P | P是平面直角坐标系中的点，集合B = {(x | y) | x∈R，y∈R}，对应关系f：平面直角坐标系中的点与它的坐标对应；（3）集合A = {x | x是三角形}，集合B = {x | x是圆}，对应关系f：每一个三角形都对应它的内切圆；（4）集合A = {x | x是新华中学的班级}，集合B = {x | x是新华中学的学生}，对应关系f：每一个班级都对应班里的学生.（1）按照建立数轴的方法可知，数轴上的任意一个点，都有惟一的实数与之对应，所以这个对应f：A→B是从集合A到B的一个映射.（2）按照建立平面直角坐标系的方法可知，平面直角坐标系中的任意一个点，都有惟一的一个实数对与之对应，所以这个对应f：A→B是从集合A到B的一个映射.（3）由于每一个三角形只有一个内切圆与之对应，所以这个对应f：A→B是从集合A到B的一个映射.（4）新华中学的每一个班级里的学生都不止一个，即与一个班级对应的学生不止一个，所以这个对应f：A→B 不是从集合A到B的一上映射.1.图1-2-2-21(1),(2),(3),(4)用箭头所标明的A中元素与B中元素的对应法则,是不是映射？图1-2-2-21“一对一”或“多对一”的对应,即集合A中的任意一个元素,在集合B中都有唯一确定的元素与之对应."Pocket" members 1037, find there ar e 640 "lost" party members are not conta cted 148 "Pocket" party members a nd impl ementati on of orga nizati onal rel ationshi ps. 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In short, thr oug h soli d and effective w ork initiatives例1，已知下列集合A 到B 的对应，请判断哪些是A 到B 的映射？并说明理由：⑴ A=N ，B=Z ，对应法则：“取相反数”；⑵A={-1，0，2}，B={-1，0，1/2}，对应法则：“取倒数”； ⑶A={1，2，3，4，5}，B=R ，对应法则：“求平方根”； ⑷A={α|00≤α≤900}，B={x|0≤x ≤1}，对应法则：“取正弦”.二、函数的三要素——定义域、值域、对应法则（a ）函数定义的理解.由函数的定义可知，一个函数的构成要素为：定义域、对应关系和值域. 由于值域是由定义域和对应关系决定的，所以，如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，我们就称这两个函数相等.(b) 区间的概念（1）不等式a ≤x ≤b ，用闭区间[a ，b ]表示；（2）不等式a ＜x ＜b ，用开区间(a , b )表示；（3）不等式a ≤x ＜b (或a ＜x ≤b )用半开半闭区间[a ，b ](或(a ，b ])表示；（4）x ≥a ，x ＞a ，x ≤b ，x ＜b 分别表示为[a ，+∞)，(a , +∞)，(–∞, b ]，(–∞, b ).1.定义域的求法：例1：列函数中哪个与函数y = x 相等？（1）1()2f x x =-；（2）()32f x x =+；（3）1()12f x x x=++-.（4）3212+=x y（5）1||142-+-=x x y（6）||13x x x y +-=求函数的定义域的类型：一、含分式的函数在求含分式的函数的定义域时，要注意两点：（1）分式的分母一定不能为0；（2）绝对不能先化简后求函数定义域。

函数的概念解析式及定义域

得0＜m＜34，因此m的取值范围是[0，34)．
【点评】(1)1.函数定义域：函数y＝f(x)(x∈A)是一种特殊的映射f：A→B(A、B是非空数集)，其原象集A就是函数的定义域．
2．求函数定义域时，一般遵循以下原则： ①f(x)是整式时，定义域是全体实数．②f(x)是分式函数时，定义域是使分母不为零的一切实数．
【解析】(1)因为对任意x∈R，有 f(f(x)－x2＋x)＝f(x)－x2＋x，所以f(f(2)－22＋2)＝f(2)－22＋2. 又由f(2)＝3，得f(3－22＋2)＝3－22＋2，即f(1)＝1. 若f(0)＝a，则f(a－02＋0)＝a－02＋0，即f(a)＝a.
(2)因为对任意x∈R，
4．给定k∈N*，设函数f：N*→N*满足：对任意的大于k的正整数n：f(n)
＝n－k，设k＝1，则其中一个函数f在n＝1处的函数值
为
．
a(a为正整数)
【解析】∵f(n)在 n>1 时的解析式是 f(n)＝n－1. 根据给出的函数值必须是正整数，可得只要 f(1)的值为正整数即可．
a(a为正整数)(n 1)
(5)会运用函数图象理解和研究函数的性质．
2．指数函数 (1)了解指数函数模型的实际背景． (2)理解有理数指数幂的含义，了解实数幂的意义，掌握幂的运算． (3)理解指数函数的概念，理解指数函数的单调性，掌握指数函数图象通过的特殊点． (4)知道指数函数是一类重要的函数模型．
3．对数函数 (1)理解对数函数的概念以及运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数；了解对数在简化运算中的作用． (2)理解对数函数的单调性，掌握对数函数图象通过的特殊点． (3)知道对数函数是一类重要的函数模型． (4)了解指数函数y＝ax与对数函数y＝logax互为反函数(a>0，a≠1)．

函数解析式公式

函数解析式公式的应用一、函数解析式公式的概念函数解析式公式是指用符号和公式表示函数的方式，通常用于数学、物理、化学、工程等领域的科学计算中。

在数学中，函数解析式公式通常表示为 f(x) =... 的形式，其中 f(x) 表示一个函数，x 表示函数的自变量，... 表示函数的表达式。

二、函数解析式公式的应用场景函数解析式公式在科学计算中有着广泛的应用，以下是一些常见的应用场景:1. 求函数的极值：通过求导数并令其等于零，可以求得函数的极值点，进而求得函数的最大值或最小值。

2. 求函数的积分：通过积分公式，可以求得函数的面积、体积等物理量的值。

3. 求函数的周期：通过函数解析式公式，可以求得函数的周期，进而分析函数的周期性。

4. 求函数的对称性：通过函数解析式公式，可以求得函数的对称轴或对称中心，进而分析函数的对称性。

5. 求函数的导数和斜率：通过函数解析式公式，可以求得函数的导数和斜率，进而分析函数的变化趋势和切线方程。

三、函数解析式公式的实际使用方法使用函数解析式公式需要一定的数学基础和技巧，以下是一些常用的使用方法:1. 熟悉常见函数的解析式公式：常见的函数包括正弦函数、余弦函数、指数函数、对数函数、三角函数等，需要熟悉它们的解析式公式和基本性质。

2. 掌握求导的方法：求导是使用函数解析式公式的重要方法之一，需要掌握求导的规则和技巧。

3. 掌握积分的方法：积分是使用函数解析式公式的另一个重要方法，需要掌握积分的基本公式和变量替换法等技巧。

4. 熟悉函数的周期性和对称性：熟悉函数的周期性和对称性可以帮助我们更好地理解和分析函数的性质。

5. 熟练运用函数解析式公式解决实际问题：在实际问题中，需要根据问题的特点选择合适的函数解析式公式，并进行求解。