(江苏专用)高考数学专题6数列40数列的概念及其表示理
数列的概念和表示方法
数列的概念和表示方法数列是数学中重要的概念之一。
它由一系列按照一定规律排列的数字组成，这些数字依次排列，每一个数字称为数列的项。
数列的概念和表示方法有着广泛的应用，能够帮助我们解决很多实际问题。
一、数列的概念数列是按照一定规则排列的数字序列。
数列中的每个数字称为该数列的项。
数列可以无限延伸，也可以中断。
数列中的规律可以通过一定的公式或递推关系进行表示。
数列是数学研究以及实际问题解决中的重要工具。
二、数列的表示方法1. 通项公式通项公式是用代数表达式来表示数列中任意一项与该项所在位置之间的关系。
通项公式通常依赖于数列的项数或项号。
例如，斐波那契数列的通项公式为Fn = Fn-1 + Fn-2，其中n为项号，Fn表示第n项的值。
2. 递推公式递推公式是通过已知的一些项来推导出数列中的其他项的公式。
递推公式是数列的项之间的关系表达式。
例如，等差数列的递推公式为an = a1 + (n-1)d，其中an表示第n项的值，a1为首项的值，d为公差。
3. 图形表示数列也可以通过图形表示来展示其规律。
可以使用折线图、柱状图等方式将数列中的项与其对应的位置进行关联，从而更直观地观察数列的规律。
三、数列的应用数列的概念和表示方法在实际问题的解决中有着广泛的应用。
1. 自然科学中常常涉及到一些指数、级数等数列的求和问题。
例如天体物理学中的一些数学模型，对宇宙星系中星体的数量进行估算，可以使用数列求和的方法。
2. 经济学中，通过构建数列模型可以研究经济发展的趋势，并对经济指标进行预测和分析，从而指导经济政策的制定。
3. 在工程领域，数列的应用也非常广泛，如电子电路中的信号处理、图像处理等领域都离不开数列分析与处理。
4. 生活中的一些规律也可以通过数列进行描述，如雨滴的滴落、植物的生长等，都可以用数列来表示和研究。
总结：数列作为数学中的一个重要概念，有着广泛的应用领域。
通过数列的概念和表示方法，我们可以更好地理解和分析规律性的事件和现象。
高三数学必背知识点：数列的概念与简单表示法_知识点总结
高三数学必背知识点：数列的概念与简单表示法_知识点总结学习是一个边学新知识边巩固的过程，对学知识一定要多加计划，这样才能进步。
因此，为大家整理了高三数学必背知识点，供大家参考。
【数列的概念与简单表示法知识点】1.数列的定义按一定次序排列的一列数叫做数列，数列中的每一个数都叫做数列的项.(1)从数列定义可以看出，数列的数是按一定次序排列的，如果组成数列的数相同而排列次序不同，那么它们就不是同一数列，例如数列1，2，3，4，5与数列5，4，3，2，1是不同的数列.(2)在数列的定义中并没有规定数列中的数必须不同，因此，在同一数列中可以出现多个相同的数字，如：-1的1次幂，2次幂，3次幂，4次幂，…构成数列：-1，1，-1，1，…. (4)数列的项与它的项数是不同的，数列的项是指这个数列中的某一个确定的数，是一个函数值，也就是相当于f(n)，而项数是指这个数在数列中的位置序号，它是自变量的值，相当于f(n)中的n.(5)次序对于数列来讲是十分重要的，有几个相同的数，由于它们的排列次序不同，构成的数列就不是一个相同的数列，显然数列与数集有本质的区别.如：2，3，4，5，6这5个数按不同的次序排列时，就会得到不同的数列，而{2，3，4，5，6}中元素不论按怎样的次序排列都是同一个集合.2.数列的分类(1)根据数列的项数多少可以对数列进行分类，分为有穷数列和无穷数列.在写数列时，对于有穷数列，要把末项写出，例如数列1，3，5，7，9，…，2n-1表示有穷数列，如果把数列写成1，3，5，7，9，…或1，3，5，7，9，…，2n-1，…，它就表示无穷数列.(2)按照项与项之间的大小关系或数列的增减性可以分为以下几类：递增数列、递减数列、摆动数列、常数列.3.数列的通项公式数列是按一定次序排列的一列数，其内涵的本质属性是确定这一列数的规律，这个规律通常是用式子f(n)来表示的，这两个通项公式形式上虽然不同，但表示同一个数列，正像每个函数关系不都能用解析式表达出来一样，也不是每个数列都能写出它的通项公式;有的数列虽然有通项公式，但在形式上，又不一定是唯一的，仅仅知道一个数列前面的有限项，无其他说明，数列是不能确定的，通项公式更非唯一.如：数列1，2，3，4，…，由公式写出的后续项就不一样了，因此，通项公式的归纳不仅要看它的前几项，更要依据数列的构成规律，多观察分析，真正找到数列的内在规律，由数列前几项写出其通项公式，没有通用的方法可循.再强调对于数列通项公式的理解注意以下几点：(1)数列的通项公式实际上是一个以正整数集N*或它的有限子集{1，2，…，n}为定义域的函数的表达式.(2)如果知道了数列的通项公式，那么依次用1，2，3，…去替代公式中的n就可以求出这个数列的各项;同时，用数列的通项公式也可判断某数是否是某数列中的一项，如果是的话，是第几项.(3)如所有的函数关系不一定都有解析式一样，并不是所有的数列都有通项公式.如2的不足近似值，精确到1，0.1，0.01，0.001，0.000 1，…所构成的数列1，1.4，1.41，1.414，1.414 2，…就没有通项公式.(4)有的数列的通项公式，形式上不一定是唯一的，正如举例中的：(5)有些数列，只给出它的前几项，并没有给出它的构成规律，那么仅由前面几项归纳出的数列通项公式并不唯一.4.数列的图象对于数列4，5，6，7，8，9，10每一项的序号与这一项有下面的对应关系：序号：1 2 3 4 5 6 7项：4 5 6 7 8 9 10这就是说，上面可以看成是一个序号集合到另一个数的集合的映射.因此，从映射、函数的观点看，数列可以看作是一个定义域为正整集N*(或它的有限子集{1，2，3，…，n})的函数，当自变量从小到大依次取值时，对应的一列函数值.这里的函数是一种特殊的函数，它的自变量只能取正整数.由于数列的项是函数值，序号是自变量，数列的通项公式也就是相应函数和解析式.数列是一种特殊的函数，数列是可以用图象直观地表示的.数列用图象来表示，可以以序号为横坐标，相应的项为纵坐标，描点画图来表示一个数列，在画图时，为方便起见，在平面直角坐标系两条坐标轴上取的单位长度可以不同，从数列的图象表示可以直观地看出数列的变化情况，但不精确.把数列与函数比较，数列是特殊的函数，特殊在定义域是正整数集或由以1为首的有限连续正整数组成的集合，其图象是无限个或有限个孤立的点.5.递推数列一堆钢管，共堆放了七层，自上而下各层的钢管数构成一个数列：4，5，6，7，8，9，10.①数列①还可以用如下方法给出：自上而下第一层的钢管数是4，以下每一层的钢管数都比上层的钢管数多1。
苏教版江苏专版版高考数学一轮复习第六章数列第一节数列的概念及其简单表示法教案理解析版
１．数列的有关概念概念含义数列按照一定顺序排列的一列数数列的项数列中的每一个数数列的通项数列{a n}的第n项a n通项公式数列{a n}的第n项a n与n之间的关系能用公式a n＝f（n）表示，这个公式叫做数列的通项公式前n项和数列{a n}中，S n＝a１＋a２＋…＋a n叫做数列的前n项和２．数列的表示方法列表法列表格表示n与a n的对应关系图象法把点（n，a n）画在平面直角坐标系中公式法通项公式把数列的通项使用公式表示的方法递推公式使用初始值a１和a n＋１＝f（a n）或a１，a２和a n＋１＝f（a n，a n—１）等表示数列的方法３．a n与S n的关系若数列{a n}的前n项和为S n，则a n＝错误!４．数列的分类[小题体验]１．数列—１，错误!，—错误!，错误!，…的一个通项公式是________．解析：—１＝—错误!，数列１,４,9,１6，…对应通项n２，数列１,３,５,7，…对应通项２n—１，数列—１,１，—１,１，…对应通项（—１）n，故a n＝（—１）n·错误!.答案：a n＝（—１）n·错误!２．已知数列错误!满足a n＝４a n—１＋３，且a１＝0，则a５＝________.解析：a２＝４a１＋３＝３，a３＝４a２＋３＝１５，a４＝４a３＋３＝6３，a５＝４a４＋３＝２５５．答案：２５５３．数列{a n}的通项公式为a n＝—n２＋9n，则该数列第________项最大．答案：４或５４．若数列错误!的前n项和S n＝n２＋３n，则错误!＝________.解析：∵数列错误!的前n项和S n＝n２＋３n，∴a１＋a２＋a３＝S３＝３２＋３×３＝１8，∵a４＋a５＋a6＝S6—S３＝３6，∴错误!＝２．答案：２１．易混项与项数的概念，数列的项是指数列中某一确定的数，而项数是指数列的项对应的位置序号．２．在利用数列的前n项和求通项时，往往容易忽略先求出a１，而是直接把数列的通项公式写成a n ＝S n—S n—１的形式，但它只适用于n≥２的情形．[小题纠偏]１．已知数列{a n}的前n项和S n＝２n—３，则数列{a n}的通项公式是________________．解析：当n＝１时，a１＝S１＝２—３＝—１，当n≥２时，a n＝S n—S n—１＝（２n—３）—（２n—１—３）＝２n—２n—１＝２n—１.又a１＝—１不适合上式，故a n＝错误!答案：a n＝错误!２．若数列错误!的前n项和S n＝错误!a n＋错误!，则错误!的通项公式a n＝________.解析：由S n＝错误!a n＋错误!得，当n≥２时，S n—１＝错误!a n—１＋错误!，两式相减，得a n＝错误!a n—错误!a n—１，∴当n≥２时，a n＝—２a n—１，即错误!＝—２．又n＝１时，S１＝a１＝错误!a１＋错误!，a１＝１，∴数列{a n}是以１为首项，—２为公比的等比数列，∴a n＝（—２）n—１.答案：（—２）n—１错误!错误![题组练透]１．若a n＝n２＋λn＋３（其中λ为实常数），n∈N*，且数列错误!为单调递增数列，则实数λ的取值范围是________．解析：法一：（函数观点）因为错误!为单调递增数列，所以a n＋１＞a n，即（n＋１）２＋λ（n＋１）＋３＞n２＋λn＋３，化简为λ＞—２n—１对一切n∈N*都成立，所以λ＞—３．故实数λ的取值范围是（—３，＋∞）．法二：（数形结合法）因为错误!为单调递增数列，所以a１＜a２，要保证a１＜a２成立，二次函数f（x）＝x２＋λx＋３的对称轴x＝—错误!应位于１和２中点的左侧，即—错误!＜错误!，亦即λ＞—３，故实数λ的取值范围是（—３，＋∞）．答案：（—３，＋∞）２．已知数列{a n}的通项公式a n＝（n＋１）0．9n，求n为何值时，a n取得最大值．解：因为a１＝２×0．9＝１．8，a２＝３×0．8１＝２．４３，所以a１＜a２，所以a１不是数列{a n}中的最大项．设第n项a n的值最大，则错误!即错误!解得错误!所以当n为8或9时，a n取得最大值．[谨记通法]求数列中最大或最小项的２种方法（１）单调性法：可以借助于函数的单调性来研究数列的最值问题．有时可利用作差或作商比较法来探究数列的单调性．（２）不等式组法：若满足错误!则a n为数列{a n}中的最大项；若满足错误!则a n为数列{a n}中的最小项．错误!错误![典例引领]已知下面数列{a n}的前n项和S n，求{a n}的通项公式．（１）S n＝２n２—３n；（２）S n＝３n＋b.解：（１）a１＝S１＝２—３＝—１，当n≥２时，a n＝S n—S n—１＝（２n２—３n）—[２（n—１）２—３（n—１）]＝４n—５，由于a１也适合此等式，所以a n＝４n—５．（２）a１＝S１＝３＋b，当n≥２时，a n＝S n—S n—１＝（３n＋b）—（３n—１＋b）＝２·３n—１.当b＝—１时，a１适合此等式．当b≠—１时，a１不适合此等式．所以当b＝—１时，a n＝２·３n—１；当b≠—１时，a n＝错误![由题悟法]已知S n求a n的３个步骤（１）先利用a１＝S１求出a１；（２）用n—１替换S n中的n得到一个新的关系，利用a n＝S n—S n—１（n≥２）便可求出当n≥２时a n的表达式；（３）对n＝１时的结果进行检验，看是否符合n≥２时a n的表达式，如果符合，则可以把数列的通项公式合写；如果不符合，则应该分n＝１与n≥２两段来写．[即时应用]已知数列{a n}的前n项和为S n.（１）若S n＝（—１）n＋１·n，求a５＋a6及a n；（２）若S n＝３n＋２n＋１，求a n.解：（１）a５＋a6＝S6—S４＝（—6）—（—４）＝—２，当n＝１时，a１＝S１＝１；当n≥２时，a n＝S n—S n—１＝（—１）n＋１·n—（—１）n·（n—１）＝（—１）n＋１·[n＋（n—１）]＝（—１）n＋１·（２n—１），又a１也适合此式，所以a n＝（—１）n＋１·（２n—１）．（２）因为当n＝１时，a１＝S１＝6；当n≥２时，a n＝S n—S n—１＝（３n＋２n＋１）—[３n—１＋２（n—１）＋１]＝２·３n—１＋２，由于a１不适合此式，所以a n＝错误!错误!错误![锁定考向]递推公式和通项公式是数列的两种表示方法，它们都可以确定数列中的任意一项，只是由递推公式确定数列中的项时，不如通项公式直接．常见的命题角度有：（１）形如a n＋１＝a n f（n），求a n；（２）形如a n＋１＝a n＋f（n），求a n；（３）形如a n＋１＝Aa n＋B（A≠0且A≠１），求a n.[题点全练]角度一：形如a n＋１＝a n f（n），求a n１．已知a１＝２，a n＋１＝２n a n，则数列{a n}的通项公式a n＝________.解析：∵a n＋１＝２n a n，∴错误!＝２n，当n≥２时，a n＝错误!·错误!·…·错误!·a１＝２n—１·２n—２·…·２·２＝２错误!.又a１＝１也符合上式，∴a n＝２错误!.答案：２错误!角度二：形如a n＋１＝a n＋f（n），求a n２．已知a１＝１，a n＝a n—１＋错误!（n≥２，n∈N*），求数列{a n}的通项公式．解：由a n＝a n—１＋错误!（n≥２），得a n—a n—１＝错误!—错误!（n≥２）．则a２—a１＝１—错误!，a３—a２＝错误!—错误!，…，a n—a n—１＝错误!—错误!.将上述n—１个式子累加，得a n＝２—错误!.当n ＝１时，a１＝１也满足，故a n＝２—错误!（n∈N*）．角度三：形如a n＋１＝Aa n＋B（A≠0且A≠１），求a n３．已知数列{a n}满足a１＝１，a n＋１＝３a n＋２，求数列{a n}的通项公式．解：因为a n＋１＝３a n＋２，所以a n＋１＋１＝３（a n＋１），所以错误!＝３，所以数列{a n＋１}为等比数列，公比q＝３，又a１＋１＝２，所以a n＋１＝２·３n—１，所以a n＝２·３n—１—１（n∈N*）．[通法在握]典型的递推数列及处理方法[演练冲关]根据下列条件，求数列{a n}的通项公式．（１）满足a１＝１，a n＝３n—１＋a n—１（n≥２）；（２）满足a１＝１，a n＝错误!·a n—１（n≥２）．解：（１）由a１＝１，a n—a n—１＝３n—１（n≥２），得a１＝１，a２—a１＝３，a３—a２＝３２，…，a n—１—a n—２＝３n—２，a n—a n—１＝３n—１，以上等式两边分别相加得a n＝１＋３＋３２＋…＋３n—１＝错误!.当n＝１时，a１＝１也适合，∴a n＝错误!.（２）a n＝错误!·a n—１（n≥２），a n—１＝错误!·a n—２，…，a２＝错误!a１.以上（n—１）个式子相乘得a n＝a１·错误!·错误!·…·错误!＝错误!＝错误!.当n＝１时也满足此等式，∴a n＝错误!.一抓基础，多练小题做到眼疾手快１．（２0１8·南通期末）已知数列错误!的前４项为１，—错误!，错误!，—错误!，则数列错误!的一个通项公式为______________．解析：根据题意，数列错误!的前４项为１，—错误!，错误!，—错误!，则a１＝（—１）１＋１×错误!＝１，a２＝（—１）２＋１×错误!＝—错误!，a３＝（—１）３＋１×错误!＝错误!，a４＝（—１）４＋１·错误!＝—错误!，以此类推可得：a n＝（—１）n＋１·错误!.答案：a n＝（—１）n＋１·错误!２．（２0１8·盐城二模）已知数列错误!的前n项和为S n，a１＝１，a n＋１＝２S n（n∈N*），则数列{a n}的通项公式a n＝________________.解析：当n≥２时，a n＝２S n—１，∴a n＋１—a n＝２S n—２S n—１＝２a n，即a n＋１＝３a n，∵a２＝２a１＝２，∴a n＝２·３n—２，n≥２．当n＝１时，a１＝１，∴数列错误!的通项公式为a n＝错误!答案：a n＝错误!３．（２0１8·苏州期中）已知数列错误!的通项公式为a n＝５n＋１，数列错误!的通项公式为b n＝n２，若将数列错误!，错误!中相同的项按从小到大的顺序排列后看作数列错误!，则c6的值为________．解析：∵数列错误!的通项公式为a n＝５n＋１，∴数列中数据符合平方的数有：１6,３6,8１,１２１,１96,２５6．∵数列错误!的通项公式为b n＝n２，当n＝４,6,9,１１,１４,１6时符合上面各个数．∴数列错误!，错误!中相同的项按从小到大的顺序排列后看作数列错误!，c6的值为２５6．答案：２５6４．（２0１9·南通第一中学测试）已知数列{a n}对任意的p，q∈N*，满足a p＋q＝a p＋a q且a２＝6，则a１0＝________.解析：a４＝a２＋a２＝１２，a6＝a４＋a２＝１8，a１0＝a6＋a４＝３0．答案：３0５．数列{a n}的前n项和为S n，若S n＋S n—１＝２n—１（n≥２），且S２＝３，则a１＋a３的值为________．解析：因为S n＋S n—１＝２n—１（n≥２），令n＝２，得S２＋S１＝３，由S２＝３得a１＝S１＝0，令n＝３，得S３＋S２＝５，所以S３＝２，则a３＝S３—S２＝—１，所以a１＋a３＝0＋（—１）＝—１．答案：—１6．（２0１8·无锡期末）对于数列{a n}，定义数列{b n}满足b n＝a n＋１—a n（n∈N*），且b n＋１—b n＝１（n∈N*），a３＝１，a４＝—１，则a１＝________.解析：因为b３＝a４—a３＝—１—１＝—２，所以b２＝a３—a２＝b３—１＝—３，所以b１＝a２—a＝b２—１＝—４，三式相加可得a４—a１＝—9，所以a１＝a４＋9＝8．１答案：8二保高考，全练题型做到高考达标１．数列{a n}满足a n＋a n＋１＝错误!（n∈N*），a２＝２，则通项公式a n＝________.解析：因为a n＋a n＋１＝错误!，a２＝２，所以a１＝—错误!，a３＝—错误!，a４＝２，所以a n＝错误!答案：错误!２．（２0１8·启东中学调研）已知数列{a n}满足a１＝２，a n＋１＝错误!（n∈N*），则连乘积a１a２a３…a ２0１7a２0１8＝________.解析：因为a１＝２，a n＋１＝错误!，所以a２＝—３，a３＝—错误!，a４＝错误!，a５＝２，所以数列{a n}的周期为４，且a１a２a３a４＝１，所以a１a２a３…a２0１7a２0１8＝a２0１7·a２0１8＝a１·a２＝—6．答案：—6３．（２0１9·苏州模拟）在数列错误!中，若a４＝１，a１２＝５，且任意连续三项的和都是１５，则a＝________.２0１8解析：∵任意连续三项的和都是１５，∴a n＋a n＋１＋a n＋２＝１５，同时a n＋１＋a n＋２＋a n＋３＝１５，则a n＋a n＋１＋a n＋２＝a n＋１＋a n＋２＋a n＋３，即a n＋３＝a n，即数列是周期为３的周期数列，则由a４＝１，a１２＝５，得a４＝a１＝１，a１２＝a9＝a6＝a３＝５，则由a１＋a２＋a３＝１５，得a２＝9，∴a２0１8＝a67２×３＋２＝a２＝9．答案：9４．（２0１8·常州期中）已知数列错误!的通项公式a n＝错误!，则错误!中的最大项的值是________．解析：a n＝错误!＝错误!≤错误!＝错误!，当且仅当n＝6时取等号，则错误!中的最大项的值为错误!.答案：错误!５．已知数列{a n}的通项公式为a n＝（—１）n·２n＋１，该数列的项排成一个数阵（如图），则该数阵中的第１0行第３个数为________．a１a２a３a４a５a6……解析：由题意可得该数阵中的第１0行第３个数为数列{a n}的第１＋２＋３＋…＋9＋３＝错误!＋３＝４8项，而a４8＝（—１）４8×96＋１＝97，故该数阵中的第１0行第３个数为97．答案：976．（２0１8·常州第一中学检测）已知{a n}满足a n＋１＝a n＋２n，且a１＝３３，则错误!的最小值为________．解析：由已知条件可知，当n≥２时，a n＝a１＋（a２—a１）＋（a３—a２）＋…＋（a n—a n—１）＝３３＋２＋４＋…＋２（n—１）＝n２—n＋３３，又n＝１时，a１＝３３满足此式．所以a n＝n２—n＋３３，n∈N*，所以错误!＝n＋错误!—１．令f（n）＝n＋错误!—１，则f（n）在[１,５]上为减函数，在[6，＋∞）上为增函数，又f（５）＝错误!，f（6）＝错误!，则f（５）＞f（6），故f（n）＝错误!的最小值为错误!.答案：错误!7．在数列{a n}中，a１＝１，a n＝错误!a n—１（n≥２，n∈N*），则a n＝________.解析：由题意知错误!＝错误!＝错误!，所以a n＝a１×错误!×错误!×…×错误!＝１×错误!×错误!×…×错误!＝错误!＝错误!＝错误!.答案：错误!8．数列{a n}定义如下：a１＝１，当n≥２时，a n＝错误!若a n＝错误!，则n＝________.解析：因为a１＝１，所以a２＝１＋a１＝２，a３＝错误!＝错误!，a４＝１＋a２＝３，a５＝错误!＝错误!，a6＝１＋a３＝错误!，a7＝错误!＝错误!，a8＝１＋a４＝４，a9＝错误!＝错误!，所以n＝9．答案：99．已知S n为正项数列{a n}的前n项和，且满足S n＝错误!a错误!＋错误!a n（n∈N*）．（１）求a１，a２，a３，a４的值；（２）求数列{a n}的通项公式．解：（１）由S n＝错误!a错误!＋错误!a n（n∈N*），可得a１＝错误!a错误!＋错误!a１，解得a１＝１；S２＝a１＋a２＝错误!a错误!＋错误!a２，解得a２＝２；同理，a３＝３，a４＝４．（２）S n＝错误!a错误!＋错误!a n，１当n≥２时，S n—１＝错误!a错误!＋错误!a n—１，２１—２得（a n—a n—１—１）（a n＋a n—１）＝0．由于a n＋a n—１≠0，所以a n—a n—１＝１，又由（１）知a１＝１，故数列{a n}是首项为１，公差为１的等差数列，故a n＝n.１0．已知{a n}是公差为d的等差数列，它的前n项和为S n，S４＝２S２＋４，在数列{b n}中，b n＝错误!.（１）求公差d的值；（２）若a１＝—错误!，求数列{b n}中的最大项和最小项的值；（３）若对任意的n∈N*，都有b n≤b8成立，求a１的取值范围．解：（１）因为S４＝２S２＋４，所以４a１＋错误!d＝２（２a１＋d）＋４，解得d＝１．（２）因为a１＝—错误!，所以数列{a n}的通项公式为a n＝—错误!＋（n—１）×１＝n—错误!，所以b n＝错误!＝１＋错误!＝１＋错误!.因为函数f（x）＝１＋错误!在错误!和错误!上分别是单调减函数，所以b３＜b２＜b１＜１，当n≥４时，１＜b n≤b４，所以数列{b n}中的最大项是b４＝３，最小项是b３＝—１．（３）由b n＝１＋错误!，得b n＝１＋错误!.又函数f（x）＝１＋错误!在（—∞，１—a１）和（１—a１，＋∞）上分别是单调减函数，且x＜１—a１时，y＜１；当x＞１—a１时，y＞１．因为对任意的n∈N*，都有b n≤b8，所以7＜１—a１＜8，所以—7＜a１＜—6，所以a１的取值范围是（—7，—6）．三上台阶，自主选做志在冲刺名校１．（２0１8·通州期末）在我国古代数学著作《孙子算经》中，卷下第二十六题是：今有物，不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？满足题意的答案可以用数列表示，该数列的通项公式可以表示为a n＝________.解析：本题的意思是一个数用３除余２，用7除也余２，所以用３与7的最小公倍数２１除也余２，而用２１除余２的数我们首先就会想到２３，而２３恰好被５除余３，即最小的一个数为２３，同时这个数相差又是３,５,7的最小公倍数，即３×５×7＝１0５，所以该数列的通项公式可以表示为a n＝１0５n＋２３．答案：１0５n＋２３２．数列{a n}的通项公式为a n＝n＋错误!，若对任意的n∈N*都有a n≥a５，则实数b的取值范围为________．解析：由题意可得b＞0，因为对所有n∈N*，不等式a n≥a５恒成立，所以错误!即错误!解得２0≤b≤３0，经验证，数列在（１,４）上递减，在（５，＋∞）上递增，或在（１,５）上递减，在（6，＋∞）上递增，符合题意．所以b∈[２0,３0]．答案：[２0,３0]３．已知二次函数f（x）＝x２—ax＋a（a＞0，x∈R），有且只有一个零点，数列{a n}的前n项和S n ＝f（n）（n∈N*）．（１）求数列{a n}的通项公式；（２）设c n＝１—错误!（n∈N*），定义所有满足c m·c m＋１＜0的正整数m的个数，称为这个数列{c n}的变号数，求数列{c n}的变号数．解：（１）依题意，Δ＝a２—４a＝0，所以a＝0或a＝４．又由a＞0得a＝４，所以f（x）＝x２—４x＋４．所以S n＝n２—４n＋４．当n＝１时，a１＝S１＝１—４＋４＝１；当n≥２时，a n＝S n—S n—１＝２n—５．所以a n＝错误!（２）由题意得c n＝错误!由c n＝１—错误!可知，当n≥５时，恒有c n＞0．又c１＝—３，c２＝５，c３＝—３，c４＝—错误!，c５＝错误!，c6＝错误!，即c１·c２＜0，c２·c３＜0，c４·c５＜0，所以数列{c n}的变号数为３．。
高考数学数列知识点归纳
高考数学中的数列知识点主要包括以下内容：
1. 数列的定义与性质：
-数列的概念：数列是按照一定规律排列的数的集合。
-项数与前n项和：第n项表示数列中的第n个数，前n项和表示数列前n项的和。
-通项公式与递推公式：通项公式是指可以通过给定的项数n来直接计算某一项的公式，递推公式则是通过前一项或前几项来计算下一项的公式。
2. 常见数列：
-等差数列：数列中的每个数都与其前一个数之差相等。
-等比数列：数列中的每个数都与其前一个数之比相等。
-斐波那契数列：数列中的每个数都是前两个数之和，即第三项开始满足an = an-1 + an-2。
3. 数列的性质和运算：
-数列的有界性：数列可以是有界的（上有界、下有界）、无界的或发散的。
-数列的单调性：数列可以是递增的、递减的或保持不变。
-数列的极限：数列可能有极限（有限或无穷）或不存在极限。
4. 数列的求和：
-等差数列的求和公式：利用等差数列的性质，可以得到等差数列前n项和的通用公式。
-等比数列的求和公式：利用等比数列的性质，可以得到等比数列前n项和的通用公式。
5. 数列的应用：
-常见问题的建模与解决：通过将实际问题转化为数列的形式，利用数列的性质和公式来解决问题。
以上是高考数学中与数列相关的主要知识点。
掌握这些知识点，能够帮助学生在解答数列相关题目时更加熟练和准确。
需要注意的是，除了理论知识，还需要进行大量的练习和实践，以提高对数列概念的理解和应用能力。
高考数学知识点：数列的概念与简单表示法
高考数学知识点：数列的概念与简单表示法1500字数列是指按照一定规律排列的数字集合。
在高考数学中，数列是一个重要的知识点，它不仅会在选择题和填空题中出现，还会涉及到解答题的证明和计算。
本文将从数列的概念、简单表示法、常见数列以及数列的应用等方面，详细介绍高考数学数列知识点。
一、数列的概念数列中的数字按照一定的顺序排列，每个数字依次被称为数列的项。
一般来说，数列用字母表示，如a₁, a₂, a₃, ...，其中a₁表示数列的第一项，a₂表示数列的第二项，以此类推。
数列中的项可以是整数、分数或者实数，也可以是变量。
数列可以分为等差数列和等比数列两种。
等差数列是指相邻的两项之差都是一常数的数列，等差数列的通项公式一般为an = a₁ + (n-1)d，其中a₁表示首项，d表示公差，n表示项数。
等比数列是指相邻的两项之比都是一常数的数列，等比数列的通项公式一般为an = a₁ * r^(n-1)，其中a₁表示首项，r表示公比，n表示项数。
二、数列的简单表示法在高考数学中，常见的数列表示法有两种：通项公式和递推公式。
通项公式是指通过数列的第n项表示数列的任意一项，递推公式是指通过数列的前一项表示数列的后一项。
以等差数列为例，该数列的递推公式为an = an-1 + d，表示每一项都是前一项与公差之和。
而通项公式为an = a₁ + (n-1)d，表示数列的任意一项可以通过项数和公差计算得出。
另外，数列也可以通过数列的前几项给出，例如{1, 2, 3, ...}表示自然数列，{2, 4, 6, ...}表示偶数列。
这种表示法在高考数学中较少使用，但在解答题时可能会用到。
三、常见数列在高考数学中，有一些常见的数列被广泛应用。
这些数列包括等差数列、等比数列、等差数列的前n项和、等比数列的前n项和、斐波那契数列等等。
1. 等差数列：等差数列是指相邻的两项之差都是一常数的数列。
例如{1, 3, 5, 7, ...}是一个公差为2的等差数列。
高三数列知识点江苏数学
高三数列知识点江苏数学在高三的数学学习中，数列是一个重要而基础的知识点。
掌握好数列的性质、求和公式及其应用是解决数学问题的关键。
本文将通过对江苏数学高考题的分析，总结高三数列知识点，帮助同学们更好地应对数学考试。
一、数列的定义与性质数列是数学中一系列按照特定顺序排列的数的集合。
常见的数列有等差数列、等比数列和斐波那契数列等。
不同的数列具有不同的特点和性质，下面我们来逐一介绍。
1. 等差数列等差数列是指数列中的相邻两项之差为常数的数列。
设等差数列的首项为a，公差为d，则第n项可表示为an = a + (n-1)d。
等差数列的前n项和Sn可由求和公式表示为Sn = n/2 [2a+(n-1)d]。
2. 等比数列等比数列是指数列中的相邻两项之比为常数的数列。
设等比数列的首项为a，公比为q，则第n项可表示为an = a * q^(n-1)。
等比数列的前n项和Sn可由求和公式表示为Sn = a * (1-q^n) / (1-q)。
3. 斐波那契数列斐波那契数列是指数列中的每一项都是前两项之和的数列。
设斐波那契数列的第一项为F1，第二项为F2，则后续项可通过迭代公式F(n) = F(n-1) + F(n-2)计算得到。
二、数列的求和公式求和公式是数列应用中的重要工具，能够快速计算出数列的前n项和，节省计算时间。
下面我们来介绍常用的数列求和公式。
1. 等差数列的求和公式已知等差数列的首项a，末项an和项数n，可以通过以下公式计算数列的前n项和：Sn = n/2 [a + an] = n/2 [2a + (n-1)d]2. 等比数列的求和公式已知等比数列的首项a，公比q和项数n，可以通过以下公式计算数列的前n项和：Sn = a * (1-q^n) / (1-q)三、数列应用题解析数列在实际问题中的应用广泛，下面我们通过江苏数学高考题来解析数列的应用。
【例题】已知数列{an}满足a1=1，对于n>1，an=(n-1)/n，则数列{an}的前n项和Sn的值是多少？解析：根据题意可得数列{an}为等比数列，首项为a1=1，公比为q=(n-2)/(n-1)。
高考数列知识点归纳
高考数列知识点归纳数列在高考数学中是一个非常重要的知识点，它涉及到高等数学中的重要理论和应用。
掌握数列的相关概念和性质，对于考生来说是非常关键的。
本文将对高考数列知识点进行归纳总结，帮助考生更好地备考和应对考试。
一、数列的基本概念1. 数列的定义：数列是一列按照一定规律排列的数的集合，通常用{an}表示，其中an代表数列的第n个项。
2. 等差数列：如果一个数列中任意两个相邻项的差值都相等，那么这个数列就是等差数列。
等差数列可以由首项a1和公差d来确定。
3. 等比数列：如果一个数列中任意两个相邻项的比值都相等，那么这个数列就是等比数列。
等比数列可以由首项a1和公比r来确定。
二、数列的通项公式1. 等差数列的通项公式：对于等差数列{an}，其通项公式可以表示为an = a1 + (n-1)d，其中a1为首项，d为公差。
2. 等比数列的通项公式：对于等比数列{an}，其通项公式可以表示为an = a1 * r^(n-1)，其中a1为首项，r为公比。
三、数列的基本性质1. 等差数列的性质：a) 前n项和公式：Sn = (n/2)(a1 + an)，其中Sn为前n项和。
b) 通项和公式：Sn = (n/2)(a1 + a1 + (n-1)d) = (n/2)(2a1 + (n-1)d)。
c) 项数公式：n = (an - a1)/d + 1。
d) 等差数列的和公式是高考中经常考察的一个知识点，考生应熟练掌握。
2. 等比数列的性质：a) 前n项和公式：Sn = a1 * (1 - r^n)/(1 - r)，其中Sn为前n项和。
b) 无穷项和公式：当0 < r < 1时，Sn趋近于a1/(1 - r)，即S =a1/(1 - r)。
c) 项数公式：n = loga(an/a1) / loga(r)。
四、数列的应用1. 判断数列的性质：考生在解决应用题时，常常需要判断数列是等差数列还是等比数列，需要根据题目中给出的条件来进行判断。
高三数学《数列的概念与简单表示法》知识点总结
高三数学《数列的概念与简单表示法》知识
点总结
．数列的定义、分类与通项公式
数列的定义：
①数列：按照一定顺序排列的一列数．
②数列的项：数列中的每一个数．
数列的分类：
分类标准类型满足条
项数有穷数列项数有限
无穷数列项数无限
项与项间的大小关系递增数列an＋1>an其中
n∈N*
递减数列an＋1<an
常数列an＋1＝an数列的通项公式：
如果数列{an}的第n项与序号n之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式．．数列的递推公式
如果已知数列{an}的首项，且任一项an与它的前一项an－1间的关系可用一个公式来表示，那么这个公式叫数列的递推公式．
．对数列概念的理解
数列是按一定“顺序”排列的一列数，一个数列不仅与构成它的“数”有关，而且还与这些“数”的排列顺序有关，这有别于集合中元素的无序性．因此，若组成两个数列的数相同而排列次序不同，那么它们就是不同的两个数列．数列中的数可以重复出现，而集合中的元素不能重复出现，这也是数列与数集的区别．
．数列的函数特征
数列是一个定义域为正整数集N*的特殊函数，数列的通项公式也就是相应的函数解析式，即f＝an．。
数列的概念重要知识点讲解 Microsoft Word 文档
数列的概念重要知识点讲解一、知识梳理：1、数列的概念：数列是按一定次序排成的一列数。
数列中的每一个数都叫做这个数列的项。
数列是一个定义域为正整数集N*（或它的有限子集｛1,2，3，…，n ｝）的特殊函数，如果数列{}a n 的第n 项a n 与n 之间的关系可以用一个公式来表示，则这个公式就叫做这个数列的通项公式。
数列的通项公式也就是相应函数的解析式。
2、递推关系式：已知数列{}a n 的第一项（或前几项），且任何一项a n 与它的前一项a n 1-（前n 项）间的关系可以用一个式子来表示，则这个式子就叫数列的递推关系式。
3、数列的前n 项和： a a a a s n n ++++=...321.已知s n 求a n 的方法（只有一种）：即利用公式 a n =⎪⎩⎪⎨⎧≥=--)2(,)1(,11n n s s s n n 注意：一定不要忘记对n 取值的讨论！最后，还应检验当n=1的情况是否符合当n ≥2的关系式，从而决定能否将其合并。
二、巩固练习：1．下列四个数中，哪一个是数列{)1(+n n }中的一项 （ A ）（A ）380 （B ）39 （C ）35 （D ）232．在数列}{n a 中，11++=n n a n ，且9=n S ，则=n 99 ．3． 若数列{}n a 满足：1.2,111===+n a a a n n ，2，3….则=+++n a a a 21 . 解：数列{}n a 满足：111,2, 1n n a a a n +===，2，3…，该数列为公比为2的等比数列，∴=+++n a a a 21212121n n -=--. 4.已知*2()156n n a n N n =∈+，则在数列{}n a 的最大项为______________（答：125）； 5.数列}{n a 的通项为1+=bn an a n ，其中b a ,均为正数，则n a 与1+n a 的大小关系为_________（答：n a <1+n a ）；6.已知数列{}n a 中，2n a n n λ=+，且{}n a 是递增数列，求实数λ的取值范围___________（答：3λ>-）；7.给定函数)(x f y =的图象在下列图中，并且对任意)1,0(1∈a ，由关系式)(1n n a f a =+得到的数列}{n a 满足)(*1N n a a n n ∈>+，则该函数的图象是 （ ）（答：A ）A B C D8．数列{}n a 的前n 项和记为()11,1,211n n n S a a S n +==+≥ （Ⅰ）求{}n a 的通项公式；（Ⅱ）等差数列{}n b 的各项为正，其前n 项和为n T ，且315T =，又112233,,a b a b a b +++成等比数列，求n T解：（Ⅰ）由121n n a S +=+可得()1212n n a S n -=+≥，两式相减得()112,32n n n n n a a a a a n ++-==≥又21213a S =+= ∴213a a = 故{}n a 是首项为1，公比为3得等比数列 ∴13n n a -=（Ⅱ）设{}n b 的公差为d 由315T =得，可得12315b b b ++=，可得25b =故可设135,5b d b d =-=+又1231,3,9a a a ===由题意可得()()()2515953d d -+++=+解得122,10d d ==∵等差数列{}n b 的各项为正，∴0d >∴2d =∴()213222n n n T n n n -=+⨯=+。
高考数学复习、高中数学 数列的概念及简单表示法附答案解析
{ ) 规律方法 数列的通项 an 与前 n 项和 Sn 的关系是 an＝
S1，n＝1， Sn－Sn－1，n ≥
2.n－1，则 n＝1 的情况可并入 n≥2 时的通项 an；②当 n＝
1 时，a1 若不适合 Sn－Sn－1，则用分段函数的形式表示.
易错警示 在利用数列的前 n 项和求通项时，往往容易忽略先求出 a1，而是直
有穷数列 无穷数列
项数有限 项数无限
项与项 间的大 小关系
递增数列 递减数列 常数列
摆动数列
an＋1____an an＋1_____an
其中 n∈N*
an＋1＝an
从第二项起，有些项大于它的前一项，有
些项小于它的前一项的数列
3.数列的表示法
数列有三种表示法，它们分别是______、图象法和______.
(－1)n 2.在数列{an}中，a1＝1，an＝1＋ an－1 (n≥2)，则 a5 等于( )
3
5
8
2
A.
B.
C.
D.
2
3
5
3
3.根据下面的图形及相应的点数，写出点数构成的数列的一个通项公式 an＝
_______.
4. (2013 新课标Ⅰ卷)
若数列{
an
}的前
n
项和为
Sn＝
2 3
an
1 3
，则数列{
(1)将数列视为函数 f(x)当 x∈N*时所对应的一列函数值，根据 f(x)的类型作 出相应的函数图象，或利用求函数最值的方法，求出 f(x)的最值，进而求出数列 的最大(小)项；
(2)通过通项公式 an 研究数列的单调性，利用Error!(n≥2)确定最大项，利用 Error!(n≥2)确定最小项．
高考数学数列知识点归纳
高考数学数列知识点归纳在高考数学中，数列是一个重要的概念，无论是在选择题还是解答题中，数列都是经常出现的考点之一。
为了帮助同学们更好地复习和应对高考数学考试，下面将对数列的相关知识点进行归纳和总结。
一、数列的基本概念和性质1. 数列的定义：数列是按一定顺序排列的一列数，根据数的规律可以分为等差数列、等比数列等。
2. 数列的通项公式和递推公式：通项公式表示数列中任意一项的公式；递推公式表示数列中每一项与其前一项之间的关系。
3. 数列的前n项和公式：前n项和公式是指数列前n项的和，对于等差数列和等比数列，都有相应的求和公式。
二、等差数列的相关知识点1. 等差数列的通项公式：对于等差数列an，其通项公式为an = a1 + (n-1)d，其中a1为首项，d为公差。
2. 等差数列的前n项和公式：对于等差数列an，其前n项和Sn = (a1 + an) * n / 2。
三、等比数列的相关知识点1. 等比数列的通项公式：对于等比数列an，其通项公式为an = a1 * q^(n-1)，其中a1为首项，q为公比。
2. 等比数列的前n项和公式：对于等比数列an，其前n项和Sn = a1(1 - q^n) / (1 - q)，其中q不等于1。
四、数列的应用题1. 求等差数列或等比数列的未知项：通过数列的已知项和数列的性质，可以求解等差数列或等比数列中的未知项。
2. 求等差数列或等比数列的和：通过数列的已知项和数列的性质，可以求解等差数列或等比数列的前n项和。
五、数列的题型分类1. 判断题：根据数列的定义、性质和公式，判断给定的数列是等差数列还是等比数列。
2. 填空题：根据数列的定义和给定的条件，填写数列中的未知项或求数列的和。
3. 选择题：根据数列的定义、性质和公式，选择与给定数列相应的特征或关系。
总而言之，在高考数学中，数列是一个必须掌握的知识点，它既有一定的规律性，又有一定的计算性。
在复习数列的过程中，同学们应该牢记数列的定义、通项公式、递推公式和前n项和公式，并通过大量的练习题加深对数列的理解和运用能力。
高考数学数列知识点
高考数学数列知识点数列是高中数学中重要的概念之一，也是高考数学考试中常见的题型。
理解和掌握数列的相关知识点对于正确解答相关数列题目至关重要。
下面将介绍数列的概念、分类以及相关性质。
一、数列的概念数列是由一列有序的数按照一定规律排列形成的序列。
通常用字母a1、a2、a3...表示数列的各个项，其中a1为首项，ai为第i 项。
二、数列的分类1. 等差数列等差数列是指数列中相邻两项之间的差值恒定的数列。
如果首项为a1，公差为d，n为项数，则等差数列的通项公式为an = a1 + (n-1)d。
常见的等差数列有算术数列。
2. 等比数列等比数列是指数列中相邻两项之间的比值恒定的数列。
如果首项为a1，公比为q，n为项数，则等比数列的通项公式为an = a1 * q^(n-1)。
常见的等比数列有几何数列。
3. 递推数列递推数列是指数列中每一项都是前一项的函数关系确定的。
递推数列的通项公式一般无法直接确定，需要根据已知条件进行求解。
三、数列相关性质1. 通项公式对于给定的数列，如果能够找到一个公式，使得通过这个公式能够计算出数列中任意一项的值，则称这个公式为数列的通项公式。
2. 前n项和前n项和指数列前n项的和，记为Sn。
对于等差数列，前n项和的计算公式为Sn = (a1 + an) * n / 2；对于等比数列，前n项和的计算公式为Sn = a1 * (1-q^n) / (1-q)，其中q不等于1。
3. 通项公式的应用掌握数列的通项公式对于解题是非常重要的。
在高考数学中，常常需要通过数列的通项公式来推导、求解相关问题，如判断数列的性质、计算数列特定项的值等。
四、数列题型解题技巧1. 定义法通过观察数列的特点，找到数列的定义规律，据此给出数列的通项公式。
2. 递推法已知数列的前几项，通过数列的递推关系求解数列的通项公式。
3. 求和法利用数列的前n项和公式，计算数列的前n项和，从而求解相关问题。
4. 套公式法根据题目条件，将所给数列转化成已知的数列形式，从而应用已知数列的性质和公式求解。
高考数学二轮复习考点知识与解题方法讲解06 数列概念及通项公式
高考数学二轮复习考点知识与解题方法讲解考点06 数列概念及通项公式一、数列的概念及简单表示法1.数列的定义按照一定次序排列起来的一列数叫做数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项.2.数列的分类数列有三种表示法，它们分别是列表法、图象法和解析法.4.数列的通项公式(1)通项公式：如果数列{a n }的第n 项a n 与n 之间的关系可以用一个式子a n ＝f (n )来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式.(2)递推公式：如果已知数列{a n }的第1项(或前几项)，且从第二项(或某一项)开始的任一项a n 与它的前一项a n －1(或前几项)间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式. 5.数列求和的几种常用方法 (1)分组转化法把数列的每一项分成两项或几项，使其转化为几个等差、等比数列，再求解. (2)裂项相消法把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和. (3)错位相减法如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，这个数列的前n 项和可用错位相减法求解. (4)倒序相加法如果一个数列{a n }的前n 项中与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n 项和即可用倒序相加法求解.1.若数列{a n }的前n 项和为S n ，通项公式为a n ，则a n ＝⎩⎨⎧S 1，n ＝1，S n －S n －1，n ≥2.2.数列是按一定“次序”排列的一列数，一个数列不仅与构成它的“数”有关，而且还与这些“数”的排列顺序有关.3.易混项与项数的概念，数列的项是指数列中某一确定的数，而项数是指数列的项对应的位置序号.4.S n 与a n 关系问题的求解思路根据所求结果的不同要求，将问题向两个不同的方向转化． ①利用a n ＝S n －S n －1(n ≥2)转化为只含S n ，S n －1的关系式，再求解； ②利用S n －S n －1＝a n (n ≥2)转化为只含a n ，a n －1的关系式，再求解． 5.由递推关系式求通项公式的常用方法(1)已知a 1且a n －a n －1＝f (n )，可用“累加法”求a n ，即a n ＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋…＋(a 3－a 2)＋(a 2－a 1)＋a 1. (2)已知a 1且＝f (n )，可用“累乘法”求a n ，即a n ＝··…···a 1.(3)已知a 1且a n ＋1＝qa n ＋b ，则a n ＋1＋k ＝q (a n ＋k )(其中k 可由待定系数法确定)，可转化为等比数列{a n ＋k }． (4)形如a n ＋1＝(A ，B ，C 为常数)的数列，可通过两边同时取倒数的方法构造新数列求解．6.在利用裂项相消法求和时应注意：(1)在把通项裂开后，是否恰好等于相应的两项之差；(2)要注意正负项相消时消去了哪些项，保留了哪些项，切不可漏写未被消去的项，未被消去的项有前后对称的特点，实质上造成正负相消是此法的根源与目的． 7.用错位相减法求和时，应注意(1)要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形； (2)在写出“S n ”与“qS n ”的表达式时应特别注意n S 与n a 的关系1.（2023湖北省新高考）已知数列{}n a 的首项12a =，其前n 项和为n S ，若121n n S S +=+，则7a =__________． 【答案】96【分析】由题意易得121n n S S -=+(2)n ≥，两式相减可得数列{}n a 从第二项开始成等比数列，进而可得结果.【详解】因为121n n S S +=+，所以121n n S S -=+(2)n ≥， 两式相减得12n n a a +=，又因为12a =，122121S a a a =+=+，得23a =， 所以数列{}n a 从第二项开始成等比数列，因此其通项公式为22,1,{32,2,n n n a n -==⋅≥，所以573296a =⨯=，故答案为：96.由递推公式求通项1.（2023河南省顶级名校9月开学联考）若数列{}n b 满足：()12337212n n b b b b n ++++－＝，则数列{}n b 的通项公式为（）A ．21n b n =-B ．21n n b =-C ．121n n b =- D ．221nn b =- 【答案】D分析】利用整体相减的方法即可计算出数列{}n b 的通项公式【详解】由()12337212n n b b b b n ++++－＝①得，当1n >时()11231372122n n b b b b n --+-＋++－＝②由①-②得()221221nn n n b b -=⇒=- 当1n =时1212b =⨯=也满足上式 故选：D2.（2023辽宁省盘锦市高级中学9月月考）已知数列{}n a 满足11a =，213a =，且112n n n a a a +-=1n n a a ++1n n a a --112n n a a +-（n ≥2），则数列{}n a 的通项公式为_____________. 【答案】211n a n n =-+【分析】化简题设条件得到1111112n n n n a a a a +-⎛⎫⎛⎫---= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，得出数列111n n a a +⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是以2为首项，2为公差的等差数列，求得则1112n nn a a +-=，再利用叠加法，即可求解，得到答案.【详解】由题意，数列{}n a 满足11111122n n n n n n n n n a a a a a a a a a +-+-+-=+-（2n ≥）， 两侧同除11n n n a a a +-，可得111122n n na a a -+=+-，即1111112n n n n a a a a +-⎛⎫⎛⎫---= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以数列111n n a a +⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是以2为首项，2为公差的等差数列， 则1112(1)22n nn n a a +-=+-⨯=， 所以121321*********[24(22)]n n n n a a a a a a a a -⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-+-++-=+++- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭()()22221112n n n n +--=+=-+（2n ≥），当1n =时，11a =适合上式，所以211n n n a =-+，所以数列{}n a 的通项公式211n a n n =-+.故答案为：211n a n n =-+【点睛】关键点睛：本题主要考查了等差数列定义及通项公式，以及“叠加法”的应用，其中解答中熟记等差数列的定义和通项公式，合理利用“叠加法”求解是解答的关键.分组求和1.（2023湖北省武汉市部分学校9月质量检测）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足()*1n n S na n =-∈N .（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设数列()1n na ⎧⎫-⎪⎪⎨⎬⎪⎪⎩⎭的前n 项和为n T ，求2n T 的表达式.【答案】（1）()11n a n n =+；（2）222n n +【分析】（1）根据11,1,2n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩，即可求出数列{}n a 的通项公式；（2）利用分组求和法以及等差数列的前n 和公式即可求出结果. 【详解】（1）当1n =时，1111a S a ==-，即112a =， 当2n ≥时，()11111n n n n n a S S na n a --==--+--，即()()111n n n a n a -+=-，因此111n n a n a n --=+， 所以12211231123111132n n n n n n n a a a a n n n a a a a a a n n n --------=⋅⋅⋅⋅⋅=⨯⨯⨯⨯⨯+- ()11n a n n =+，经检验，1n =时成立，所以()11n a n n =+；（2）()()()()()21111nnnnn n n a n -=-+=-+，所以()()()()()()()222222211223344212122n n n n n T ⎡⎤⎡⎤=-+++-+++---+-++⎣⎦⎣⎦()()()22222212342121234212n n n n =-+-+---+-+-+---+()3741n n =+++-+()3412n n n +-⎡⎤⎣⎦=+222n n =+2.（2023安徽省江淮十校高三上学期第一次联考）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足11a =，12n S n t n ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭（t 为常数）．（1）求{}n a 的通项公式；（2）若()1(1)lg nn n n b a a +=-⋅，求数列{}n b 的前n 项和为n T ．【答案】（1）n a n =；（2）(1)lg(1)nn T n =-+．【分析】(1)令1n =,解得:12t =,再由-1n n n a S S =-,即可求出n a , (2)根据(1)的结论,再利用并项求和,即可求解.【详解】解：（1）令1n =，1112S a t ⎛⎫==+ ⎪⎝⎭，可得12t =，所以1122n S n n ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭2n ≥时，111(1)(1)22n S n n -⎡⎤=-+-⎢⎥⎣⎦，可得2211(1)22n a n n n ⎡⎤=--+=⎣⎦ 所以n a n =（2n ≥），又因为11a =满足上式，所以n a n =（2）因为()()11(1)lg (1)lg lg n nn n n n n b a a a a ++=-⋅=-+()()()()n 1223341lg lg lg lg lg lg (1)lg lg n n n T a a a a a a a a +=-+++-+++-+11(1)lg lg (1)lg(1)n n n a a n +=--=-+所以n (1)lg(1)nT n =-+裂项相消法求和1.（2023河南省部分名校高三上学期8月份摸底）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且233n n S a +=. （1）求证：数列{}n a 是等比数列；（2）求数列3321log log n n a a +⎧⎫⎨⎬⋅⎩⎭的前n 项和n T .答案】（1）证明见解析；（2）32342(1)(2)n n T n n +=-++. 【分析】（1）根据数列n a 与n S 的关系，消去n S ，即可证明数列{}n a 是等比数列；（2）根据（1）的结果，知33211log log (2)n n a a n n +=⋅+，再利用裂项相消法求和.【详解】解：（1）由233n n S a +=，得323n n a S =+，① 于是得11323n n a S ++=+，②②-①得11332n n n a a a ++-=， 即13n n a a +=，当1n =时，11132323a S a =+=+，即13a =， 所以数列{}n a 是以3为首项，3为公比的等比数列.（2）由（1）知3nn a =，所以33log lo 3g n n n a ==， 所以33211111log log (2)22n n a a n n n n +⎛⎫==- ⎪⋅++⎝⎭，所以11111111111232435112n T n n n n ⎛⎫=-+-+-++-+- ⎪-++⎝⎭11113231221242(1)(2)n n n n n +⎛⎫=+--=- ⎪++++⎝⎭. 错位相减求和1.（2021高三数学冲刺原创卷）已知{}n a 是首项为1的单调递增的等差数列，其中21a +，342a a +，5a 成等比数列．{}nb 的前n 项和为n S ，且12b a =，()11n n b S n *+=+∈N ． (1)求{}n a 的通项公式；(2)求数列{}n n a b ⋅的前n 项和n T ．【答案】(1)21n a n =-；(2)()17232n n T n +=+-⨯.【分析】(1)根据等比数列的性质及已知条件，求出等差数列的公差d ，再利用等差数列的通项公式即可求解；(2)根据数列的递推公式求出数列{}n b 的通项公式，再利用错位相减法及等比数列的求和公式即可求解．【详解】(1)因为{}n a 是首项为1的单调递增的等差数列，所以11a =， 设数列{}n a 的公差为d 且0d >， 则212a d +=+，345122a a d +=+， 514a d =+． 因为21a +，342a a +，5a 成等比数列， 所以()2342512a a a a +⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，即()()2512142d d d ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭， 解得2d =或29d =-（舍负），所以21n a n =-． (2)因为11n n b S +=+，① 所以()112n n b S n -=+≥，②由①-②得()()()11211n n n n n b b S S n b +--=+-=≥+， 所以()122n n b b n +=≥．因为123b a ==，211114b S b =+=+=， 所以{}n b 是从第二项开始的等比数列， 则数列{}n b 的通项公式为鈮由（Ⅰ）知则()()231133252232212n n n T n n -=⨯+⨯+⨯++-⨯+-⨯，③ ()()3412233252232212n n n T n n +=⨯+⨯+⨯++-⨯+-⨯，④③-④得()()34192222212n n n T n +-=+⨯+++--⨯()311229221212n n n ++-=+⨯--⨯-，所以()17232n n T n +=+-⨯．2.（2023河南省顶级名校高三上学期9月联考）已知数列{}n a 、{}n b 满足：121n n a a +=+且11a =，()2log 1n n b a =+．（1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式； （2）数列{}n c 满足：11n nnn b c b a -=，其中n *∈N ，若数列{}n c 的前n 项和为n H ，求n H ． 【答案】（1）21nn a =-；n b n =；（2）222n nn H +=-． 【分析】（1）由递推关系可构造等比数列{}1n a +，即可求出n a ，代入()2log 1n n b a =+化简即可得n b ； （2）由（1）可得12n n n n b nc a ==+，利用错位相减法求解即可. 【详解】（1）由121n n a a +=+，令()12n n a c a c ++=+，得1c =，{}1n a ∴+是以2为首项，以2为公比的等比数列．1122n n a -∴+=⋅，即21n n a =-．()2log 1n n b a n ∴=+=．（2）由题意知12n n n n b nc a ==+， 231232222n nn H ∴=++++① 234111231222222n n n n nH +-=+++++② ①-②得，231111111212222222n n n n n n H +++=++++-=-， 222n n n H +∴=-．1.（2020年新课标Ⅰ）数列{}n a 满足2(1)31nn n a a n ++-=-，前16项和为540，则1a =______________.【答案】7【分析】对n 为奇偶数分类讨论，分别得出奇数项、偶数项的递推关系，由奇数项递推公式将奇数项用1a 表示，由偶数项递推公式得出偶数项的和，建立1a 方程，求解即可得出结论.【详解】2(1)31nn n a a n ++-=-，当n 为奇数时，231n n a a n +=+-；当n 为偶数时，231n n a a n ++=-. 设数列{}n a 的前n 项和为n S ，16123416S a a a a a =+++++13515241416()()a a a a a a a a =+++++++111111(2)(10)(24)(44)(70)a a a a a a =++++++++++11(102)(140)(5172941)a a ++++++++ 118392928484540a a =++=+=， 17a ∴=. 故答案为：7.【点睛】本题考查数列的递推公式的应用，以及数列的并项求和，考查分类讨论思想和数学计算能力，属于较难题.2.（2020年新课标Ⅰ）设{}n a 是公比不为1的等比数列，1a 为2a ，3a 的等差中项． （1）求{}n a 的公比；（2）若11a =，求数列{}n na 的前n 项和．【答案】（1）2-；（2）1(13)(2)9nn n S -+-=. 【分析】（1）由已知结合等差中项关系，建立公比q 的方程，求解即可得出结论； （2）由（1）结合条件得出{}n a 的通项，根据{}n na 的通项公式特征，用错位相减法，即可求出结论.【详解】（1）设{}n a 的公比为q ，1a 为23,a a 的等差中项，212312,0,20a a a a q q =+≠∴+-=，1,2q q ≠∴=-；（2）设{}n na 的前n 项和为n S ，111,(2)n n a a -==-，21112(2)3(2)(2)n n S n -=⨯+⨯-+⨯-++-，①23121(2)2(2)3(2)(1)(2)(2)n n n S n n --=⨯-+⨯-+⨯-+--+-，②①-②得，2131(2)(2)(2)(2)n n n S n -=+-+-++---1(2)1(13)(2)(2)1(2)3n n n n n ---+-=--=--， 1(13)(2)9nn n S -+-∴=. 【点睛】本题考查等比数列通项公式基本量的计算、等差中项的性质，以及错位相减法求和，考查计算求解能力，属于基础题.3.（2021年全国高考乙卷）记n S 为数列{}n a 的前n 项和，n b 为数列{}n S 的前n 项积，已知212n nS b +=． （1）证明：数列{}n b 是等差数列; （2）求{}n a 的通项公式．【答案】（1）证明见解析；（2）()3,121,21n n a n n n ⎧=⎪⎪=⎨⎪-≥+⎪⎩. 【分析】（1）由已知212n n S b +=得221n nn b S b =-,且0n b ≠，取1n =,得132b =,由题意得1212222212121n n n b b b b b b b ⋅⋅⋅⋅=---,消积得到项的递推关系111221n n n nb b b b +++=-,进而证明数列{}n b 是等差数列;（2）由（1）可得n b 的表达式,由此得到n S 的表达式,然后利用和与项的关系求得()3,121,21n n a n n n ⎧=⎪⎪=⎨⎪-≥+⎪⎩. 【详解】（1）[方法一]：由已知212n n S b +=得221n nn b S b =-,且0n b ≠，12n b ≠, 取1n =,由11S b =得132b =, 由于n b 为数列{}n S 的前n 项积， 所以1212222212121n n n b b b b b b b ⋅⋅⋅⋅=---, 所以1121121222212121n n n b b b b b b b +++⋅⋅⋅⋅=---， 所以111221n n n nb bb b +++=-,由于10n b +≠ 所以12121n n b b +=-，即112n n b b +-=,其中*n N ∈ 所以数列{}n b 是以132b =为首项，以12d =为公差等差数列; [方法二]【最优解】： 由已知条件知1231-⋅=⋅⋅⋅⋅n n n b S S S S S ①于是11231(2)--=⋅⋅⋅⋅≥n n b S S S S n ．②由①②得1nn n b S b-=．③又212n nS b +=，④ 由③④得112n n b b --=． 令1n =，由11S b =，得132b =．所以数列{}n b 是以32为首项，12为公差的等差数列．[方法三]： 由212n nS b +=，得22=-nn n S b S ，且0n S ≠，0n b ≠，1n S ≠．又因为111--=⋅⋅=⋅n n n n n b S S S S b ，所以1122-==-n n n n b b S S ，所以()1111(2)2222212---=-==≥---n n n n n n n S S b b n S S S ．在212n n S b +=中，当1n =时，1132==b S ． 故数列{}n b 是以32为首项，12为公差的等差数列．[方法四]：数学归纳法 由已知212n n S b +=，得221n n n b S b =-，132b =，22b =，352=b ，猜想数列{}n b 是以32为首项，12为公差的等差数列，且112nb n =+． 下面用数学归纳法证明． 当1n =时显然成立． 假设当n k =时成立，即121,21+=+=+k k k b k S k ． 那么当1n k =+时，11112++⎛⎫==+ ⎪⎝⎭k k k b b S k 331(1)1222k k k k ++⋅==+++． 综上，猜想对任意的n ∈N 都成立．即数列{}n b 是以32为首项，12为公差的等差数列．（2）由（1）可得，数列{}n b 是以132b =为首项，以12d =为公差的等差数列， ()3111222n n b n ∴=+-⨯=+, 22211n n n b nS b n+==-+, 当n =1时，1132a S ==, 当n ≥2时,()121111n n n n n a S S n n n n -++=-=-=-++,显然对于n =1不成立, ∴()3,121,21n n a n n n ⎧=⎪⎪=⎨⎪-≥+⎪⎩. 【整体点评】（1）方法一从212n nS b +=得221n n n b S b =-，然后利用n b 的定义，得到数列{}n b 的递推关系，进而替换相除消项得到相邻两项的关系，从而证得结论； 方法二先从n b 的定义，替换相除得到1n n n b S b -=，再结合212n n S b +=得到112n n b b --=，从而证得结论，为最优解；方法三由212n n S b +=，得22=-n n n S b S ，由n b 的定义得1122-==-n n n n b b S S ，进而作差证得结论；方法四利用归纳猜想得到数列112n b n =+，然后利用数学归纳法证得结论． （2）由（1）的结论得到112n b n =+，求得n S 的表达式,然后利用和与项的关系求得{}n a 的通项公式；一、单选题1．（2023·浙江嘉兴·二模）已知数列{}n a 满足11a =，()*14,2n n a a n N n -⎫=+∈≥，n S 为数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和，则（ ）A ．20227833S << B ．2022723S <<C ．2022523S <<D ．2022513S <<【答案】D【分析】先判断出1n n a a ->，通过放缩得到1n a ⎛⎫<，再通过分析法23<，结合裂项相消即可证得202253S <， 又由1n n a a ->证得2022111S a >=即可.【详解】当*n N ∈，2n ≥时，因为140n n a a -⎫-=>，所以1n n a a ->，又因为1n a ⎛⎫= 且111n n n a a --=-，()12413n a -=<+，15833n a -+，即证， 即证116492580n n n a a a--<++，即证111649362580n n n a a a ---⎫+<++，即证11169420n n a a --⎫<++令2t ，即证21129412n t t a -<++，当2t ≥，11n a -≥时，不等式恒成立.因此，1n a ⎛⎫=23⎛⎫<， 所以20221220221111123S a a a a =++⋅⋅⋅+<+⎛⎫525333=-<， 又因为202212320221111111S a a a a a =+++⋅⋅⋅+>=， 故选：D.23<，又由放缩得到1n a ⎛⎫<=，进而通过裂项相消证得202253S <，最后由1n n a a ->证得2022111S a >=即可. 2．（2023·全国·模拟预测）已知数列{}n a 满足()202112022nn a n ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则当n a 取得最大值时n 的值为（ ） A ．2020 B ．2024 C ．2023 D ．2023【答案】A【分析】利用作商法可得()12020120221n n a n a n +-=++，讨论n 的取值判断1n naa +与1的大小关系，即可得n a 最大时n 的值. 【详解】 ∵()()()120212202012022120221n n n a na n n ++-==+++， ∴当2020n >时，11n na a +<；当2020n <时，11120201n n n n a an a a ++>=⇒=，，∴根据选项，当2020n =时，n a 取得最大值. 故选：A ． 二、多选题3．（2023·湖北·黄冈中学模拟预测）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且1n n S a +=对于*n N ∀∈恒成立，若定义(1)nn S S =，()()(1)12nk k ni i S S k -==≥∑，则以下说法正确的是（ ）A ．{}n a 是等差数列B ．()232122nnn n S -+=-C ．()()()121A 1!k k k n k nnS S k +++--=+D ．存在n 使得()202120222022!nn S = 【答案】BC【分析】利用退位相减法可得数列的通项及n S 即可判断A 选项，按照给出的定义求出()3n S 即可判断B 选项，数学归纳法和累加法即可判断C 、D 选项. 【详解】当1n =时，1112a S ==，当2n ≥时，由1n n S a +=，得111n n S a --+=，故10n n n a a a -+-=，即112n n a a -=，所以数列{}n a 为等比数列，首项112a =，公比12q =，故12nn a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，A 选项错误；则11122111212nnn S ⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣⎦==- ⎪⎝⎭-，所以()1112n n n S S ⎛⎫==- ⎪⎝⎭， ()()()()()221111121111111112222n nnn n ni S S S S S n =⎛⎫⎛⎫⎛⎫==+++=-+-++-=-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑()()()223210111112101112222222nnnnn ni n nn n S S n =+--+⎛⎫⎛⎫==+++++-+=+-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑，B 选项正确；当1k =时，()()2231A 22!n n nn n S S --==，假设当k m =时，()()()12111A C 1!m m m m n m nnnm S S m ++++-+--==+成立，当1k m =+时，由()()()()()()()111111211k k k k k kk n n n n n S S S S S S S -------=++++=+可得()()()()()()()()()()()3+132+13+121111m m m m m m m m m m n n n n n n n n n n S S S S S S S S S S +++++-----=+-+=-+-()()3+11111C m m m n n n m S S ++--+-=-+，则()()()()3+13+1111222C m m m m m n n n n n m S S S S +++----+--=-+，()()()()3+13+1122333C m m m m m n n n n n m S S S S +++----+--=-+，L ，()()()()3+13+1133222C m m m m m m S S S S ++++-=-+，()()()()3+13+1122111C m m m m m m S S S S ++++-=-+，将上式相加可得()()()()3+13+11111111221C C C C m m m m m m m m n n m m n m n m S S S S +++++++++-+--=-+++++，又()()()11111kk S S S -==，则()()3+1110m mS S +-=，故()()3+11111211112212221C C C C C C C C m m m m m m m m m m n n m m n m n m m m n m n m S S ++++++++++++-+-+++-+--=++++=++++()()()()11211211123321A A CCCCC2!11!m m n m m m m m m n mm m n m n m n mm m +++++-+++++++++-+-+=++++===+++⎡⎤⎣⎦，即1k m =+时也成立， 故()()()121A 1!k k k n k nnS S k +++--=+，C选项正确；D 选项，当1n =时，由()()()111111122022!k k S S S -===>知不成立， 当2n ≥时，由C 选项知：()()()1212111A C C 1!k k k k n n k nnn k n k S S k +++-+-+-+--===+，则()()11222C C k k k n n n n k n k S S +--+-+--== ，()()21233C C k k k n n n n k n k S S ---+-+--==，L ，()()423211C C n n n n n S S -++-==，()()3122C C n nn n n S S --==，上式相加得()()()()21212222121CCCCk k n n n n nnnn nn n k n k S S S S ++----++-+-+=+++++，又由上知，()()21111122nnn nS S n n ⎛⎫⎛⎫+=-++-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则()()21222212222121121C C C C C C C C C k k n n n n n n n n n n n n n n k n k n n n n k n k S S n ++---------++-+-++-+-+=++++=++++122211121C C C C C n n n n n n n n k n k n k -----+++-+-+=+++=，可得()()()()20222021120212020202020202019C C 2021!n n n n n n n nS S -+++++===，又由()()()()111,0k k k n n n n S S S S --=+>可得()()1k k n n S S ->，()()()()()2022202120222020201922021!n n n n n nS S S +++=<，即()()()20212021202120222020201922021!22021!20222021!2022!nn n nn n n S ++>>>=⨯⨯⨯，D 选项错误；故选：BC.【点睛】本题关键在于C 、D 选项的判断，C 选项通过数学归纳法和累加法以及组合数的性质即可求解；D 选项借助C 选项的结论，通过累加法以及组合数的性质进行判断即可.三、填空题4．（2023·辽宁葫芦岛·一模）已知数列{}n a ，11a =，对于任意正整数m ，n ，都满足m n m n a a a mn +=++，则122021111a a a ++⋅⋅⋅+=______． 【答案】20211011【分析】令1m =,得11n n a a n +-=+，用累加法求出()1211=211n a n n n n ⎛⎫=- ⎪++⎝⎭，由此利用裂项相消求和求出122021111a a a ++⋅⋅⋅+的值.【详解】令1m =，得111n n n a a a n a n +=++=++，所以11n n a a n +-=+，则1n n a a n --=，121n n a a n ---=-，……，323a a -=，212a a -=，所以当2n ≥时，()()()()12132111232n n n n n a a a a a a a a n -+=+-+-++-=++++=， 又11a =满足上式，所以()12n n n a +=所以()1211=211na n n n n ⎛⎫=- ⎪++⎝⎭，122021111111111202121212232021202220221011a a a ⎛⎫⎛⎫++⋅⋅⋅+=-+-++-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 故答案为：20211011. 5．（2023·江西景德镇·三模（理））已知数列{}n a 和正项数列{}n b ，其中π,π2n a ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，且满足2cos 1n n n b a b =-，数列{}sin n n b a 的前n 项和为n S ，记n n S c n=，满足1421n n c c +-=．对于某个给定1a 或1b 的值，则下列结论中：①1b ⎤∈⎥⎣⎦；②2b =；③若12b ∈⎣⎭，则数列{}n c 单调递增；④若11,12c ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，则数列{}sin n n b a 从第二项起单调递增．其中正确命题的序号为______． 【答案】①②③【分析】求得1b 的范围判断①；求得2b 的值判断②；判定出数列{}n c 单调性判断③；由数列{}sin n n b a 第三项小于第二项否定④.【详解】由2cos 1n n n b a b =-，可知2cos 10nn n b b a --=，则21cos n n n b a b -=，又π,π2n a ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦则2110n n b b --≤≤，解之得n b ⎤∈⎥⎣⎦.则①判断正确； 由1421n n c c +-=，可得21421c c -=，则21221sin 2S S b a -==，则221sin 2a b =又由2cos 1n n n b a b =-，可知2222cos 10b b a --=，则22221cos b a b -= 则由222222222211cos sin 12b a a b b ⎛⎫⎛⎫-+=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则2212b =或2252b =（舍）则2b =或2b =. 则②判断正确；由2cos 1n n nb a b =-，可知2111cos 10b b a --=，则21111111cos b a b b b -==-若1b ∈⎣⎭，则1111cos 1,a b b ⎡=-∈-⎢⎣⎭， 又π,π2n a ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则13π,π4a ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，则1sin 2a ⎡∈⎢⎣⎭，则1111sin 0,2c b a ⎡⎫=∈⎪⎢⎣⎭ 由1421n n c c +-=，可得1114()222n n c c +⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，则11111222n n c c -⎛⎫⎛⎫=-⋅+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭又1111111sin 02122S c b a -=-=-<，则数列{}n c 单调递增. 则③判断正确；由nn Sc n =，可得11111222n n n S nc c n n -⎛⎫⎛⎫-⋅+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭== 由1111sin b a S c ==，2221111111sin 2()22222b a S S c c ⎡⎤=-=-⋅+⨯-=⎢⎥⎣⎦，333211*********sin 3()32()224222248b a S S c c c ⎡⎤⎡⎤=-=-⋅+⨯--⋅+⨯=-+⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦则当11,12c ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，33221115111sin sin ()048242b a b ac c -=-+-=-<，即数列{}sin n n b a 的第三项小于第二项.则数列{}sin n n b a 从第二项起单调递增的说法判断错误. 故答案为：①②③ 四、解答题6．（2023·重庆八中模拟预测）已知n S 是公差不为零的等差数列{}n a 的前n 项和，36S =，2319a a a =⋅.(1)求数列{}n a 的通项公式； (2)设数列()()24141nn n a b n n +=-∈-N ，数列化{}n b 的前2n 项和为2n T ，若2112022nT +<，求正整数n 的最小值. 【答案】(1)*,N n a n n =∈(2)505【分析】（1）设等差数列的公差为,0d d ≠.由题意，列方程组求1,a d ，即求通项公式； （2）求得2411(1)(1)212141nn n n b n n n ⎛⎫=-=-+ ⎪-+-⎝⎭，由裂项相消法求2n T ，解不等式可得n 的最小值. (1)公差d 不为零的等差数列{}n a ，由2319a a a =⋅， ()()211182a a d a d +=+，解得1a d =. 又31336S a d =+=，可得11a d ==，所以数列{}n a 是以1为首项和公差的等差数列， 所以*,N n a n n =∈.(2)解：由（1）可知()()241111412121nn n n b n n n ⎛⎫=-=-+ ⎪--+⎝⎭， 211111111113355743414141n T n n n n ∴=--++--+--++---+1141n =-++， 2111412020n T n +=<+，20194n ∴> 所以n 的最小值为505.7．（2023·福建·模拟预测）设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知1132n n n S S a +++=-，且11a =.(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)已知数列{}n c 是等差数列，且11c a =，32c S =，设n n n b a c =⋅，求数列{}n b 的前n 项和n T . 【答案】(1)12n n a -=(2)()121nn T n =-⋅+【分析】（1）根据11,1,2n nn S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩，作差得到()122n n a a n +=≥，即可得到{}n a 是以1为首项，2为公比的等比数列，从而得到通项公式；（2）首先求出{}n c 的通项公式，即可得到12n n b n -=⋅，利用错位相减法求和即可； (1)解：因为1132n n n S S a +++=-，所以()1322n n n S S a n -+=-≥， 两式相减，可得()11332n n n n a a a a n +++=-≥，整理得()122n n a a n +=≥， ∵1n =时，1221222232232242a S a a a a a a +=-⇒+=-⇒=⇒=，∴212a a =， 所以公比2q =，即数列{}n a 是以1为首项，2为公比的等比数列，所以12n n a -=； (2)解：易知111c a ==，323c S ==，所以公差3112d -==， 所以n c n =，所以12n n n n b a c n -=⋅=⋅，因为01211222322n n T n -=⋅+⋅+⋅++⋅，则()12312122232122n n n T n n -=⋅+⋅+⋅++-⋅+⋅，两式相减可得()()011122222212112nnn nn n T n n n --=⋅-+++=⋅-=-⋅+-.即()121nn T n =-⋅+8．（2023·江苏·海安高级中学二模）已知数列{}n a 前n 项积为n T ，且*1()n n a T n +=∈N ．(1)求证：数列11n a ⎧⎫⎨⎬-⎩⎭为等差数列；(2)设22212n n S T T T =++⋅⋅⋅+，求证：112n n S a +>-．【分析】（1）由已知得1n n T a =-，111(2)n n T a n --=-≥，两式相除整理得1111(2)11n n n a a --=≥--，从而可证得结论， （2）由（1）可得1n n a n =+，再利用累乘法求11n T n =+，从而2221222211123(1)n n S T T T n =+++=++++，然后利用放缩法可证得结论 (1)因为1n n a T +=，所以1112n n T a a =-∴=， 所以111(2)n n T a n --=-≥， 两式相除，得11(2)1n n n a a n a --=≥-，整理为112n n a a -=-， 再整理得，1111(2)11n n n a a --=≥--． 所以数列11n a ⎧⎫⎨⎬-⎩⎭为以2为首项，公差为1的等差数列．(2)因为1n n a T +=，所以1111,221a a==-， 由（1）知，1211nn a =+--，故1n na n =+，所以121212311n n n T a a a n n =⋅⋅⋅⋅⋅⋅=⨯⨯⋅⋅⋅⨯=++． 所以2221222211123(1)n n S T T T n =+++=++++ 111111*********(1)(2)23341222n n n n n >++=-+-++-=-⨯⨯+++++． 又因为11111122222n n a n n ++-=-=-++，所以112n n S a +>-．9．（2023·广东广州·二模）问题：已知*n ∈N ，数列{}n a 的前n 项和为n S ，是否存在数列{}n a ，满足111,1n n S a a +=≥+，__________﹖若存在．求通项公式n a ﹔若不存在，说明理由．在①1n a +=﹔②()12n n a S n n -=+≥；③121n n a a n +=+-这三个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．【答案】选①：1,188,2n n a n n =⎧=⎨-≥⎩；选②：121n n a +=-；选③：2n n a n =-【分析】选①：利用n a 与n S 的关系得到关于n S 的递推公式，再由递推公式求n S ，然后可得通项n a ；选②：利用n a 与n S 的关系得到递推公式，然后构造等比数列可求通项；选③：根据递推公式构造等比数列可解.【详解】选①：11n n n a S S ++==-=1111,1n n S a a a +==-≥0>2=，即是以2为公差，1为首项的等差数列21n -，即2(21)n S n ∴=-当2n ≥时，221(21)(23)88n n n a S S n n n -=-=---=-显然，1n =时，上式不成立，所以1,188,2n n a n n =⎧=⎨-≥⎩.选②：当2n ≥时，1n n a S n -=+，即1n n S a n -=- 所以11(1)()n n n n n a S S a n a n -+=-=-+-- 整理得112(1)n n a a ++=+ 又2123a S =+=，214a +=所以{1}n a +从第二项起，是以2为公比，4为首项的等比数列∴当2n ≥时，211422n n n a -++=⋅=，即121n n a +=-显然，1n =时，上式成立，所以121n n a +=- 选③：121n n a a n +=+-112()n n a n a n +∴++=+又112a +={}n a n ∴+是以2为公比和首项的等比数列2n n a n ∴+=，即2n n a n ∴=-。
高考数学复习数列的概念与简单表示法
高考数学复习数列的概念与简单表示法如何搞好温习，是一项教学技术。
只需同窗们扎扎实实搞好温习，置信大家的学习才干一定会在原有基础上失掉提高。
查字典数学网为大家带来数列的概念与复杂表示法，供大家参考!1.数列的概念及分类(1)数列的概念及分类①数列：依照一定顺序陈列的一列数称为数列;②项：数列中每一个数叫做这个数列的项，排在第一位的项通常也叫首项;③表示：数列的普通方式可以写成a1，a2，a3，…，an，简记为{an}。
另外还有列表法、图像法，以及递推公式法。
④数列表示方法的优缺陷表示方法优点缺陷通项公式法便于求出数列中恣意的一项，也有利于数列性质的研讨。
一些数列的通项公式表述困难。
列表法内容详细、方法复杂。
要确切表示一个无量数列或项数比拟多的有穷数列时比拟困难。
图像法能直观笼统地表示进项随序号的变化而变化的趋向。
数列项数较多的时分用图像表示困难。
递推公式法可以提醒数列的一些性质，如前后几项之间的关系。
不容易了解数列的全貌，计算也不方便。
(2)数列的分类①依照项数可以分为有穷数列和无量数列;②按每一项随序号的变化来分类，可以分为递增数列、递减数列、常数列、还有摆动数列。
2.数列的通项公式(1)数列与函数的关系①数列可以看成以正整数集N*(或它的有限子集{1,2，…，n})为定义域的函数an=f(n)。
②关于函数y=f(x)，假设f(i)(i=1,2,3，…)有意义，那么我们可以失掉一个数列f(1),f(2),f(3),…,f(n),…. (2)数列的通项公式假设数列{an}的第n项与序号n之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式。
①数列的通项公式也就是相应的函数解析式，即an=f(n);②并非一切的数列都有通项公式;③假设一个数列可以写出通项公式，它的方式能够不独一。
3.如何依据数列的前几项写出一个通项公式(1)先找出每一项中哪些是变化的，哪些是不变的，再探求各项中变化局部与序号间的关系。
苏教版数列知识点总结
苏教版数列知识点总结一、数列的概念和表示方法1.1 数列的定义数列是由一系列按照一定顺序排列的数所组成的。
数列中的每一个数称为数列的项，用a1、a2、a3、……表示，其中a1表示数列的第一个项，a2表示数列的第二个项，以此类推。
1.2 数列的表示方法数列可以用各种不同的方式来表示，常见的表示方法有以下几种：（1）显式表示法：用一个通项公式来表示数列的每一项，常用的形式有an=f(n)，其中f(n)是关于n的表达式。
（2）递推表示法：用第一项和通项的关系式来递推地表示数列的每一项，递推表示法的形式可以是an=an-1+d，an=an-1*r等。
（3）列表表示法：直接列出数列的各个项，并用逗号分隔开来表示，如1, 2, 3,……。
1.3 数列的分类数列可以根据其性质和特点进行分类，常见的数列分类有等差数列、等比数列、等差数列、等比数列和等差数列等，后续将对这些数列进行详细的介绍。
二、等差数列2.1 等差数列的定义等差数列又称公差数列，它是一个数列，其中每一项与它的前一项之差保持不变。
即对于等差数列{an}，有an=an-1+d，其中d为常数，称为等差数列的公差。
2.2 等差数列的通项公式对于等差数列{an}，其通项公式为an=a1+(n-1)d，其中a1为第一项，d为公差，n为项数。
2.3 等差数列的性质等差数列具有一些特殊的性质，如：（1）等差数列的任意三项可以构成一个等差数列。
（2）等差数列的前n项和公式为Sn=n(a1+an)/2。
（3）等差数列的前n项和与它们的和的关系式为Sn=S(n-1)+an。
三、等比数列3.1 等比数列的定义等比数列是一个数列，其中每一项与它的前一项的比值保持不变。
即对于等比数列{an}，有an=an-1*r，其中r为常数，称为等比数列的公比。
3.2 等比数列的通项公式对于等比数列{an}，其通项公式为an=a1*r^(n-1)，其中a1为第一项，r为公比，n为项数。
高考数学 专题6 数列 40 数列的概念及表示 文
【步步高】（江苏专用）2017版高考数学专题6 数列 40 数列的概念及表示 文训练目标 (1)数列的概念与性质；(2)数列的前n 项和S n 与a n 的关系. 训练题型(1)由数列的前几项写数列的通项公式；(2)递推数列问题；(3)由S n 求a n 的问题.解题策略(1)由数列前几项写通项公式时，可将各项适当变形，观察各项与项数之间的关系；(2)数列是特殊的函数，其自变量只能取正整数，可从函数观点研究数列；(3)a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1，n ＝1，S n －S n －1，n ≥2.1．已知数列3，7，11，15，…，则53是数列的第________项． 2．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝2n 2＋n，则数列{a n }的第5项为________． 3．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝2n 2－3n ＋1，那么这个数列的通项公式a n ＝________. 4．(2015·洛阳一模)设a n ＝－2n 2＋29n ＋3，则数列{a n }的最大项是________． 5．(2015·深圳五校联考)已知数列{a n }满足a 1＝3，a n ＋1＝5a n －133a n －7，则a 2 016＝________.6．(2015·合肥一模)已知a n ＝n －7n －52，设a m 为数列{a n }的最大项，则m ＝________.7．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝1＋－1n ＋12，则该数列的前4项依次为________．8．(2015·安徽江南十校联考)在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝a n ＋ln(1＋1n)，则a n ＝________.9．(2015·安庆教学检测)根据下面5个图形及相应点的个数的变化规律，猜测第n 个图中有________个点．10．若a 1＝1，a n ＋1＝a n3a n ＋1，则给出的数列{a n }的第4项是________． 11．(2015·张家界统考)已知数列{a n }的通项公式为a n ＝(n ＋2)(78)n，则当a n 取得最大值时，n ＝________.12．(2015·石家庄灵寿一中月考)数列{a n }满足：a 1＋3a 2＋5a 3＋…＋(2n －1)·a n ＝(n －1)·3n ＋1＋3(n ∈N *)，则数列{a n }的通项公式a n ＝________.13．已知数列{a n }满足：a n ≤a n ＋1，a n ＝n 2＋λn ，n ∈N *，则实数λ的最小值是________．14．(2015·天津一中月考)已知{a n }的前n 项和为S n ，且满足log 2(S n ＋1)＝n ＋1，则a n ＝________.答案解析1．19 2.1153.⎩⎪⎨⎪⎧0， n ＝1，4n －5， n ≥24．108 5．2解析 由于a 1＝3，a n ＋1＝5a n －133a n －7，所以a 2＝5×3－133×3－7＝1，a 3＝5×1－133×1－7＝2，a 4＝5×2－133×2－7＝3，所以数列{a n }是周期为3的周期数列， 所以a 2 016＝a 672×3＝a 3＝2. 6．8解析 设函数f (x )＝x －7x －52＝1＋52－7x －52，作出函数f (x )的图象(图略)可得，当x ＝8时，函数取得最大值，故a 8是数列{a n }的最大项，故m ＝8. 7．1,0,1,0解析 当n 分别等于1,2,3,4时，a 1＝1，a 2＝0，a 3＝1，a 4＝0. 8．2＋ln n解析 ∵a n ＋1＝a n ＋ln (1＋1n )＝a n ＋ln n ＋1n＝a n ＋ln (n ＋1)－ln n ，∴a 2＝a 1＋ln 2，a 3＝a 2＋ln 3－ln 2，…，a n ＝a n －1＋ln n －ln(n －1)， 将上面n －1个式子左右两边分别相加，得a n ＝a 1＋ln 2＋(ln 3－ln 2)＋(ln 4－ln 3)＋…＋[ln n －ln(n －1)]＝a 1＋ln n ＝2＋lnn .9．n 2－n ＋1解析 观察题图中5个图形点的个数分别为1,1×2＋1,2×3＋1,3×4＋1,4×5＋1，故第n个图中点的个数为(n －1)×n ＋1＝n 2－n ＋1. 10.110解析 a 2＝a 13a 1＋1＝13＋1＝14，a 3＝a 23a 2＋1＝1434＋1＝17，a 4＝a 33a 3＋1＝1737＋1＝110. 11．5或6解析 当a n 取得最大值时，有⎩⎪⎨⎪⎧a n ≥a n －1，a n ≥a n ＋1，∴⎩⎪⎨⎪⎧n ＋278n≥n ＋178n －1，n ＋278n ≥n ＋378n ＋1.解得⎩⎪⎨⎪⎧n ≤6，n ≥5.∴n ＝5或6.12．3n解析 a 1＋3a 2＋5a 3＋…＋(2n －3) g a n －1＋(2n －1) g a n ＝(n －1) g 3n ＋1＋3，把n 换成n －1，得a 1＋3a 2＋5a 3＋…＋(2n －3)g a n －1＝(n －2) g 3n＋3，两式相减得a n ＝3n. 13．－3解析 a n ≤a n ＋1⇔n 2＋λn ≤(n ＋1)2＋λ(n ＋1)⇔λ≥－(2n ＋1)，n ∈N *⇔λ≥－3，所以λ的最小值是－3.14.⎩⎪⎨⎪⎧3，n ＝1，2n，n ≥2解析 由已知条件可得S n ＋1＝2n ＋1，则S n ＝2n ＋1－1.当n ＝1时，a 1＝S 1＝3； 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n ＋1－1－2n ＋1＝2n，n ＝1时不适合此式，故a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧3，n ＝1，2n，n ≥2.。
高考数学一轮复习 第七章 数列 第40课 数列的概念及其
第40课 数列的概念及其表示1．数列的定义按照一定顺序排列的一列数就称为数列．数列中的每一个数叫做这个数列的项． 2. 数列的分类 3. 数列的通项公式如果数列}{n a 的第n 项n a 与n 之间的函数关系可以用一个公式()n a f n = 来表示，这个公式()n a f n =就叫做这个数列的通项公式．4．数列}{n a 的前n 项和n S 与通项n a 的关系 11,1,2n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩．典例剖析考点1 由数列前几项探索数列的通项公式 【例1】已知数列的前4项，写出它的通项公式： （1）1，12-，13，14-，…； （2）2，0，2，0，…； （3）815241,,,,579--…； （4）9，99，999，9999，…． 【解析】（1）1(1)n n a n+-=； （2）1(1)1n n a +=-+；(3) (2)a (1)21nn n n n +=-+ （4）101nn a =-．【变式】数列112，425，9310，16417，…，的一个通项公式是【解析】221n n a n n =++考点2 数列的周期性问题【例2】(2)已知数列{}n a 满足10a =，*1()n a n ∈=N ＋，则 2 014a = ( )A．0 B．解析：选A由题意知10a=，201a===+，3a===，4a===…，故该数列的周期为3.又2 01436711⨯＝＋，∴2 014367111a a a⨯===＋.故选A.练习：(2014·宝鸡检测)已知数列{}n a满足11a=，23a=，11()·2n n na a a n=≥＋－，则2 013a的值等于( )A．3 B．1 C.13D． 2 0133解析：选A 由已知得a n＋1＝a na n－1，a n＋3＝a n＋2a n＋1＝a n＋1a n÷a n＋1＝1a n，故a n＋6＝1a n＋3＝a n，所以，该数列是周期为6的数列，所以a2 013＝a3＝3.故选A.考点3 利用nS与na的关系求通项公式【例3】数列{}na的前n项和2nS an bn=+，若13a=，25a=．（1）求数列{}na的前n项和nS；（2）求数列{}na的通项公式；（3）设1nnbS=，数列{}nb的前n项和为nT，求证：724nT<．【解析】（1）由113S a==，得3a b+=；由2128S a a=+=，得428a b+=．∴324a ba b+=⎧⎨+=⎩，解得12ab=⎧⎨=⎩，∴22nS n n=+．（2）当2n≥时，2212[(1)2(1)]21n n na S S n n n n n-=-=+--+-=+．由于12113a⨯+==．∴21()na n n N*=+∈．（3）11111[](2)22nnbS n n n n===-++．∴数列{}nb的前n项和121n n nT b b b b -=++++L 111111111111111111()()()()()()2352462572221122n n n n n n =-+-+-++-+-+---++L 111111()()234212n n =+-+++ ． 7111()024212n T n n ∴-=-+<++，即724n T <【变式】数列}{n a 的前n 项和为n S ，且满足1)1(log 2+=+n S n ，求数列{}n a 的通项公式．【解析】由1)1(log 2+=+n S n ，得121-=+n n S ，当1=n 时，311==S a ．当2≥n 时，n n n n n n S S a 22211=-=-=+-，∵1132a =≠，∴3,12,2n nn a n =⎧=⎨≥⎩．第40课 数列的概念及其表示的课后作业1．数列3,5,9,17,33,…的通项公式n a 等于（ ） A ．2nB ．21n+C ．21n-D ．41n-【答案】B2．设数列{}n a 的前n 项和2n S n =，则8a 的值为（ ）A ．15B ． 16C ．49D ．64 【答案】A【解析】887644915a S S =-=-=．3．数列{}n a 的通项公式为n n a n 2832-=，则数列{}n a 各项中最小项是（ ）A ．第4项B ．第5项C ．第6项D ．第7项 【答案】B4.已知数列{}n a 中，11a =，22a =，20n n a a ++=对于任意的n N *∈都成立，那么2015a 的值为（ ）A ．1B ．2C ．1-D ．2-解：由已知，得2n n a a +=-对于任意的n N *∈都成立，所以11a =，22a =，311a a =-=-，422a a =-=-，531a a =-=，……，从而数列{}n a 的周期为4T = 201445032=⨯+Q ，201531a a ==-，所以选C5．数列{}n a 的通项公式cos 2n n a n π=，其前n 项和为n S ，则2014S =（ ） A ．1006 B ．2012 C ．503 D ．1008-【答案】A【解析】∵函数x y 2cosπ=的周期是4，∴数列}{n a 的每相邻四项之和是一个常数2，∴20142012201320142012201322013cos 2014cos100742S S a a ππ=++=⨯++ 100620141008=-=-．故选A ．6. 在数列－1,0，19，18，…，n －2n 2，…中，0.08是它的第______项．解析：10 令n －2n 2＝0.08，得2n 2－25n ＋50＝0，即(2n －5)(n －10)＝0.解得n ＝10或n ＝52(舍去)．∴a 10＝0.08.即0.08是该数列的第10项．7. 已知数列{}n a 的前n 项和29n S n n =-，则其通项n a =；若它的第k 项满足58k a <<，则k = ．【答案】210n -，88. (2013·海口质检)如图是同样规格的黑、白两色正方形瓷砖铺设的若干图案，则按此规律第23个图案中需用黑色瓷砖________块．解析：用a n 表示第n 个图的黑色瓷砖块数，则a 1＝12，a 2＝16，a 3＝20，…，由此可得{a n }是以12为首项，以4为公差的等差数列．∴a 23＝a 1＋(23－1)×4＝12＋22×4＝100. 答案：1009. （2014届年惠州二模）如图，在三棱锥V ABC -中，VC ⊥底面ABC , ,AC BC D ⊥为AB 的中点,AC BC VC a ===.（1）求证：AB ⊥平面VCD ； （2）求点C 到平面VAB 的距离。
(江苏专用)高考数学大一轮复习 第六章 数列 6.1 数列的概念与简单表示法教师用书 文 苏教版-苏
6.1 数列的概念与简单表示法1.数列的定义按照一定次序排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项. 2.数列的分类分类原则 类型 满足条件 按项数分类有穷数列项数有限 无穷数列 项数无限按项与项间的大小关系分类递增数列 a n ＋1 > a n 其中n ∈N *递减数列a n ＋1 < a n 常数列a n ＋1＝a n摆动数列从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列3.数列的表示法数列有三种表示法，它们分别是列表法、图象法和解析法. 4.数列的通项公式如果数列{a n }的第n 项与序号n 之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式.【知识拓展】1.若数列{a n }的前n 项和为S n ，通项公式为a n ，则a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1， n ＝1，S n －S n －1， n ≥2.2.在数列{a n }中，若a n 最大，则⎩⎪⎨⎪⎧a n ≥a n －1，a n ≥a n ＋1.若a n 最小，则⎩⎪⎨⎪⎧a n ≤a n －1，a n ≤a n ＋1.3.数列与函数的关系数列是一种特殊的函数，即数列是一个定义在非零自然数集或其子集上的函数，当自变量依次从小到大取值时所对应的一列函数值，就是数列.【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)所有数列的第n 项都能使用公式表达.( × )(2)根据数列的前几项归纳出数列的通项公式可能不止一个.( √ ) (3)1,1,1,1，…，不能构成一个数列.( × )(4)任何一个数列不是递增数列，就是递减数列.( × )(5)如果数列{a n }的前n 项和为S n ，则对∀n ∈N *，都有a n ＋1＝S n ＋1－S n .( √ )1.(教材改编)下列有四种说法，其中正确的说法是.(填序号) ①数列a ，a ，a ，…是无穷数列；②数列0，－1，－2，－3，…不一定是递减数列；③数列{f (n )}可以看作是一个定义域为正整数N *或它的有限子集{1,2，…，n }的函数值； ④已知数列{a n }，则数列{a n ＋1－a n }也是一个数列. 答案 ①②④解析 题中①④显然正确；对于②，数列只给出前四项，后面的项是不确定的，所以不一定是递减数列；对于③，数列可以看作是一个定义域为正整数N *或它的有限子集{1,2，…，n }的函数，当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值，所以③不正确. 2.(教材改编)数列1,2，7，10，13，…中的第26项为. 答案 219解析 ∵a 1＝1＝1，a 2＝2＝4，a 3＝7，a 4＝10，a 5＝13，∴a n ＝3n －2，∴a 26＝3×26－2＝76＝219.3.(教材改编)在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＝1＋－1na n －1(n ≥2)，则a 5＝.答案 23解析 a 2＝1＋－12a 1＝2， a 3＝1＋－13a 2＝1＋－12＝12， a 4＝1＋1a 3＝3，a 5＝1＋－1a 4＝23. 4.(教材改编)已知数列{a n }中，a 1＝12，a n ＋1＝1－1a n (n ≥2)，则a 16＝.答案 12解析 由题意知a 2＝1－1a 1＝－1，a 3＝1－1a 2＝2，a 4＝1－1a 3＝12，∴此数列是以3为周期的周期数列，a 16＝a 3×5＋1＝a 1＝12.5.已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2＋1，则a n ＝.答案 ⎩⎪⎨⎪⎧2，n ＝1，2n －1，n ≥2解析 当n ＝1时，a 1＝S 1＝2， 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n 2＋1－[(n －1)2＋1]＝2n －1，故a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2，n ＝1，2n －1，n ≥2.题型一 由数列的前几项求数列的通项公式例1 (1)(2016·某某模拟)数列1,3,6,10，…的通项公式是. (2)数列{a n }的前4项是32，1，710，917，则这个数列的通项公式是a n ＝.答案 (1)a n ＝n n ＋12 (2)2n ＋1n 2＋1解析 (1)观察数列1,3,6,10，…可以发现1＝1， 3＝1＋2， 6＝1＋2＋3， 10＝1＋2＋3＋4， …第n 项为1＋2＋3＋4＋…＋n ＝n n ＋12.∴a n ＝n n ＋12.(2)数列{a n }的前4项可变形为2×1＋112＋1，2×2＋122＋1，2×3＋132＋1，2×4＋142＋1，故a n ＝2n ＋1n 2＋1.思维升华 由前几项归纳数列通项的常用方法及具体策略(1)常用方法：观察(观察规律)、比较(比较已知数列)、归纳、转化(转化为特殊数列)、联想(联想常见的数列)等方法.(2)具体策略：①分式中分子、分母的特征；②相邻项的变化特征；③拆项后的特征；④各项的符号特征和绝对值特征；⑤化异为同，对于分式还可以考虑对分子、分母各个击破，或寻找分子、分母之间的关系；⑥对于符号交替出现的情况，可用(－1)k 或(－1)k ＋1，k ∈N *处理.根据数列的前几项，写出下列各数列的一个通项公式.(1)－1,7，－13,19，…； (2)0.8,0.88,0.888，…；(3)12，14，－58，1316，－2932，6164，…. 解 (1)数列中各项的符号可通过(－1)n表示，从第2项起，每一项的绝对值总比它的前一项的绝对值大6，故通项公式为a n ＝(－1)n(6n －5). (2)数列变为89⎝ ⎛⎭⎪⎫1－110，89⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1102，89⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1103，…，故a n ＝89⎝⎛⎭⎪⎫1－110n .(3)各项的分母分别为21,22,23,24，…，易看出第2,3,4项的绝对值的分子分别比分母小3. 因此把第1项变为－2－32，原数列化为－21－321，22－322，－23－323，24－324，…，故a n ＝(－1)n 2n －32n .题型二 由a n 与S n 的关系求通项公式例2 (1)(2016·某某模拟)若数列{a n }的前n 项和S n ＝23a n ＋13，则{a n }的通项公式a n ＝.答案 (－2)n －1解析 由S n ＝23a n ＋13，得当n ≥2时，S n －1＝23a n －1＋13，两式相减，整理得a n ＝－2a n －1，又当n＝1时，S 1＝a 1＝23a 1＋13，∴a 1＝1，∴{a n }是首项为1，公比为－2的等比数列，故a n ＝(－2)n－1.(2)已知下列数列{a n }的前n 项和S n ，求{a n }的通项公式. ①S n ＝2n 2－3n ；②S n ＝3n＋b . 解 ①a 1＝S 1＝2－3＝－1， 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(2n 2－3n )－[2(n －1)2－3(n －1)]＝4n －5， 由于a 1也适合此等式，∴a n ＝4n －5. ②a 1＝S 1＝3＋b ，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(3n＋b )－(3n －1＋b )＝2·3n －1.当b ＝－1时，a 1适合此等式； 当b ≠－1时，a 1不适合此等式. ∴当b ＝－1时，a n ＝2·3n －1；当b ≠－1时，a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧3＋b ，n ＝1，2·3n －1，n ≥2.思维升华 已知S n ，求a n 的步骤 (1)当n ＝1时，a 1＝S 1； (2)当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1；(3)对n ＝1时的情况进行检验，若适合n ≥2的通项则可以合并；若不适合则写成分段函数形式.(1)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝2n－3，则数列{a n }的通项公式为.(2)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2－9n ，则其通项a n ＝；若它的第k 项满足5<a k <8，则k ＝.答案 (1)a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧－1，n ＝1，2n －1，n ≥2 (2)2n －10 8解析 (1)当n ＝1时，a 1＝S 1＝－1； 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n －1，∴a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧－1，n ＝1，2n －1，n ≥2.(2)∵a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1，n ＝1，S n －S n －1，n ≥2，∴a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧－8，n ＝1，2n －10，n ≥2.又∵－8也适合a n ＝2n －10，∴a n ＝2n －10，n ∈N *. 由5<2k －10<8，∴7.5<k <9，∴k ＝8. 题型三 由数列的递推关系求通项公式 例3 根据下列条件，确定数列{a n }的通项公式. (1)a 1＝2，a n ＋1＝a n ＋ln(1＋1n)；(2)a 1＝1，a n ＋1＝2na n ； (3)a 1＝1，a n ＋1＝3a n ＋2. 解 (1)∵a n ＋1＝a n ＋ln(1＋1n)，∴a n －a n －1＝ln(1＋1n －1)＝ln n n －1(n ≥2)， ∴a n ＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋…＋(a 2－a 1)＋a 1 ＝lnnn －1＋ln n －1n －2＋…＋ln 32＋ln 2＋2 ＝2＋ln(nn －1.n －1n －2 (3)2·2) ＝2＋ln n (n ≥2).又a 1＝2适合上式，故a n ＝2＋ln n (n ∈N *). (2)∵a n ＋1＝2na n ，∴a n a n －1＝2n －1(n ≥2)， ∴a n ＝a n a n －1·a n －1a n －2·…·a 2a 1·a 1 ＝2n －1·2n －2·…·2·1＝21＋2＋3＋…＋(n －1)＝(1)22.n n -又a 1＝1适合上式，故a n ＝(1)22.n n -(3)∵a n ＋1＝3a n ＋2，∴a n ＋1＋1＝3(a n ＋1)，又a 1＝1，∴a 1＋1＝2，故数列{a n ＋1}是首项为2，公比为3的等比数列， ∴a n ＋1＝2·3n －1，故a n ＝2·3n －1－1.思维升华 已知数列的递推关系求通项公式的典型方法 (1)当出现a n ＝a n －1＋m 时，构造等差数列. (2)当出现a n ＝xa n －1＋y 时，构造等比数列. (3)当出现a n ＝a n －1＋f (n )时，用累加法求解. (4)当出现a na n －1＝f (n )时，用累乘法求解. (1)已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＝n －1n·a n －1(n ≥2且n ∈N *)，则a n ＝. (2)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝2a n －1(n ∈N *)，则a 5＝. 答案 (1)1n(2)16解析 (1)∵a n ＝n －1na n －1 (n ≥2)， ∴a n －1＝n －2n －1a n －2，…，a 2＝12a 1. 以上(n －1)个式子相乘得 a n ＝a 1·12·23·…·n －1n ＝a 1n ＝1n .当n ＝1时也满足此等式，∴a n ＝1n.(2)当n ＝1时，S 1＝2a 1－1，∴a 1＝1. 当n ≥2时，S n －1＝2a n －1－1，∴a n ＝S n －S n －1＝2a n －2a n －1，∴a n ＝2a n －1. ∴{a n }是等比数列且a 1＝1，q ＝2， 故a 5＝a 1×q 4＝24＝16. 题型四 数列的性质 命题点1 数列的单调性 例4 已知a n ＝n －1n ＋1，那么数列{a n }是数列.(填“递减”“递增”或“常”) 答案 递增 解析 a n ＝1－2n ＋1，将a n 看作关于n 的函数，n ∈N *，易知{a n }是递增数列. 命题点2 数列的周期性例5 数列{a n }满足a n ＋1＝11－a n，a 8＝2，则a 1＝. 答案 12解析 ∵a n ＋1＝11－a n，∴a n ＋1＝11－a n ＝11－11－a n －1＝1－a n －11－a n －1－1＝1－a n －1－a n －1＝1－1a n －1＝1－111－a n －2＝1－(1－a n －2)＝a n －2，n ≥3， ∴周期T ＝(n ＋1)－(n －2)＝3. ∴a 8＝a 3×2＋2＝a 2＝2. 而a 2＝11－a 1，∴a 1＝12. 命题点3 数列的最值 例6 若数列{a n }的通项a n ＝nn 2＋90，则数列{a n }中的最大项的值是.答案119解析 令f (x )＝x ＋90x(x >0)，运用基本不等式得f (x )≥290，当且仅当x ＝310时等号成立.因为a n ＝1n ＋90n ，所以1n ＋90n≤1290，由于n ∈N *，不难发现当n ＝9或n ＝10时，a n ＝119最大.思维升华 (1)解决数列的单调性问题可用以下三种方法①用作差比较法，根据a n ＋1－a n 的符号判断数列{a n }是递增数列、递减数列还是常数列. ②用作商比较法，根据a n ＋1a n(a n ＞0或a n ＜0)与1的大小关系进行判断. ③结合相应函数的图象直观判断. (2)解决数列周期性问题的方法先根据已知条件求出数列的前几项，确定数列的周期，再根据周期性求值. (3)数列的最值可以利用数列的单调性或求函数最值的思想求解.(1)(2016·某某模拟)若数列{a n }满足a n ＋1＝⎩⎪⎨⎪⎧2a n，0≤a n≤12，2a n－1，12＜a n＜1，a 1＝35，则数列的第2 015项为.(2)设a n ＝－3n 2＋15n －18，则数列{a n }中的最大项的值是. 答案 (1)25(2)0解析 (1)由已知可得，a 2＝2×35－1＝15，a 3＝2×15＝25， a 4＝2×25＝45， a 5＝2×45－1＝35，∴{a n }为周期数列且T ＝4， ∴a 2 015＝a 503×4＋3＝a 3＝25.(2)∵a n ＝－3⎝ ⎛⎭⎪⎫n －522＋34，由二次函数性质，得当n ＝2或3时，a n 最大，最大值为0.12.解决数列问题的函数思想典例 (1)数列{a n }的通项公式是a n ＝(n ＋1)·(1011)n，则此数列的最大项是第项.(2)若a n ＝n 2＋kn ＋4且对于n ∈N *，都有a n ＋1>a n 成立，则实数k 的取值X 围是.思想方法指导 (1)可以将数列看成定义域为正整数集上的函数；(2)数列的最值可以根据单调性进行分析. 解析 (1)∵a n ＋1－a n＝(n ＋2)(1011)n ＋1－(n ＋1)(1011)n＝(1011)n ×9－n11， 当n <9时，a n ＋1－a n >0，即a n ＋1>a n ； 当n ＝9时，a n ＋1－a n ＝0，即a n ＋1＝a n ；当n >9时，a n ＋1－a n <0，即a n ＋1<a n ，∴该数列中有最大项，且最大项为第9、10项. (2)由a n ＋1>a n 知该数列是一个递增数列， 又因为通项公式a n ＝n 2＋kn ＋4， 所以(n ＋1)2＋k (n ＋1)＋4>n 2＋kn ＋4， 即k >－1－2n ，又n ∈N *， 所以k >－3.答案 (1)9或10 (2)(－3，＋∞)1.数列23，－45，67，－89，…的第10项是.答案 －2021解析 所给数列呈现分数形式，且正负相间，求通项公式时，我们可以把每一部分进行分解：符号、分母、分子.很容易归纳出数列{a n }的通项公式a n ＝(－1)n ＋1·2n 2n ＋1，故a 10＝－2021. 2.(2016·某某模拟)已知函数y ＝f (x )的定义域为R .当x <0，f (x )>1，且对任意的实数x ，y ∈R ，等式f (x )f (y )＝f (x ＋y )恒成立.若数列{a n }满足a 1＝f (0)，且f (a n ＋1)＝1f －2－a n(n ∈N *)，则a 2 015的值为. 答案 4 029解析 根据题意，不妨设f (x )＝(12)x，则a 1＝f (0)＝1，∵f (a n ＋1)＝1f－2－a n，∴a n ＋1＝a n ＋2，∴数列{a n }是以1为首项，2为公差的等差数列，∴a n ＝2n －1，∴a 2 015＝4 029.3.(2016·某某月考)已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝⎩⎪⎨⎪⎧2a n n 为正奇数，a n ＋1n 为正偶数，则其前6项之和为. 答案 33解析 a 2＝2a 1＝2，a 3＝a 2＋1＝3，a 4＝2a 3＝6，a 5＝a 4＋1＝7，a 6＝2a 5＝14，所以前6项和S 6＝1＋2＋3＋6＋7＋14＝33.4.若数列{a n }满足a 1＝2，a 2＝3，a n ＝a n －1a n －2(n ≥3且n ∈N *)，则a 2 018＝. 答案 3 解析 由已知a 3＝a 2a 1＝32，a 4＝a 3a 2＝12， a 5＝a 4a 3＝13，a 6＝a 5a 4＝23， a 7＝a 6a 5＝2，a 8＝a 7a 6＝3， ∴数列{a n }具有周期性，T ＝6，∴a 2 018＝a 336×6＋2＝a 2＝3.5.数列{a n }满足a n ＋a n ＋1＝12(n ∈N *)，a 2＝2，S n 是数列{a n }的前n 项和，则S 21＝. 答案 72解析 ∵a n ＋a n ＋1＝12，a 2＝2， ∴a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧ －32，n 为奇数，2，n 为偶数.∴S 21＝11×⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＋10×2＝72. 6.已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝2n 2－1，则a 3＝.答案 10解析 a 3＝S 3－S 2＝2×32－1－(2×22－1)＝10.7.数列{a n }中，已知a 1＝1，a 2＝2，a n ＋1＝a n ＋a n ＋2(n ∈N *)，则a 7＝. 答案 1解析 由已知a n ＋1＝a n ＋a n ＋2，a 1＝1，a 2＝2，能够计算出a 3＝1，a 4＝－1，a 5＝－2，a 6＝－1，a 7＝1.8.已知数列{a n }的前n 项和为S n ，S n ＝2a n －n ，则a n ＝.答案 2n －1解析 当n ＝1时，S 1＝a 1＝2a 1－1，得a 1＝1，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2a n －n －2a n －1＋(n －1)，即a n ＝2a n －1＋1，∴a n ＋1＝2(a n －1＋1)，∴数列{a n ＋1}是首项为a 1＋1＝2，公比为2的等比数列，∴a n ＋1＝2·2n －1＝2n ，∴a n ＝2n －1.9.(2016·某某期末)对于数列{a n }，定义数列{b n }满足b n ＝a n ＋1－a n (n ∈N *)，且b n ＋1－b n ＝1(n ∈N *)，a 3＝1，a 4＝－1，则a 1＝.答案 8解析 因为b 3＝a 4－a 3＝－1－1＝－2，所以b 2＝a 3－a 2＝b 3－1＝－3，所以b 1＝a 2－a 1＝b 2－1＝－4，三式相加可得a 4－a 1＝－9，所以a 1＝a 4＋9＝8.10.在一个数列中，如果∀n ∈N *，都有a n a n ＋1a n ＋2＝k (k 为常数)，那么这个数列叫做等积数列，k 叫做这个数列的公积.已知数列{a n }是等积数列，且a 1＝1，a 2＝2，公积为8，则a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 12＝.答案 28解析 依题意得数列{a n }是周期为3的数列，且a 1＝1，a 2＝2，a 3＝4，因此a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 12＝4(a 1＋a 2＋a 3)＝4×(1＋2＋4)＝28.11.已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2＋1，数列{b n }满足b n ＝2a n ＋1，且前n 项和为T n ，设＝T 2n ＋1－T n .(1)求数列{b n }的通项公式；(2)判断数列{}的增减性.解 (1)∵a 1＝2，a n ＝S n －S n －1＝2n －1(n ≥2).∴b n ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 23n ＝1，1n n ≥2.(2)∵＝b n ＋1＋b n ＋2＋…＋b 2n ＋1＝1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n ＋1， ∴＋1－＝12n ＋2＋12n ＋3－1n ＋1＝12n ＋3－12n ＋2＝－12n ＋32n ＋2<0，∴{}是递减数列.12.已知S n 为正项数列{a n }的前n 项和，且满足S n ＝12a 2n ＋12a n (n ∈N *). (1)求a 1，a 2，a 3，a 4的值；(2)求数列{a n }的通项公式.解 (1)由S n ＝12a 2n ＋12a n (n ∈N *)可得 a 1＝12a 21＋12a 1，解得a 1＝1，S 2＝a 1＋a 2＝12a 22＋12a 2，解得a 2＝2，同理，a 3＝3，a 4＝4. (2)S n ＝a n 2＋12a 2n ，① 当n ≥2时，S n －1＝a n －12＋12a 2n －1，② ①－②得(a n －a n －1－1)(a n ＋a n －1)＝0. 由于a n ＋a n －1≠0，所以a n －a n －1＝1， 又由(1)知a 1＝1，故数列{a n }为首项为1，公差为1的等差数列，故a n ＝n .13.已知数列{a n }中，a n ＝1＋1a ＋2n －1(n ∈N *，a ∈R 且a ≠0). (1)若a ＝－7，求数列{a n }中的最大项和最小项的值；(2)若对任意的n ∈N *，都有a n ≤a 6成立，求a 的取值X 围. 解 (1)∵a n ＝1＋1a ＋2n －1(n ∈N *，a ∈R 且a ≠0)， 又a ＝－7，∴a n ＝1＋12n －9(n ∈N *). 结合函数f (x )＝1＋12x －9的单调性， 可知1＞a 1＞a 2＞a 3＞a 4，a 5＞a 6＞a 7＞…＞a n ＞1(n ∈N *). ∴数列{a n }中的最大项为a 5＝2，最小项为a 4＝0.(2)a n ＝1＋1a ＋2n －1＝1＋12n －2－a 2， 已知对任意的n ∈N *，都有a n ≤a 6成立，结合函数f (x )＝1＋12x －2－a 2的单调性， 可知5＜2－a 2＜6，即－10＜a ＜－8.。
高考数学一轮复习 第七章 数列 第40课 数列的概念及其表示 文(含解析)
第40课 数列的概念及其表示1．数列的定义按照一定顺序排列的一列数就称为数列．数列中的每一个数叫做这个数列的项． 2. 数列的分类 3. 数列的通项公式如果数列}{n a 的第n 项n a 与n 之间的函数关系可以用一个公式()n a f n = 来表示，这个公式()n a f n =就叫做这个数列的通项公式．4．数列}{n a 的前n 项和n S 与通项n a 的关系 11,1,2n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩．典例剖析考点1 由数列前几项探索数列的通项公式 【例1】已知数列的前4项，写出它的通项公式： （1）1，12-，13，14-，…； （2）2，0，2，0，…； （3）815241,,,,579--…； （4）9，99，999，9999，…． 【解析】（1）1(1)n n a n+-=； （2）1(1)1n n a +=-+；(3) (2)a (1)21nn n n n +=-+ （4）101n n a =-．【变式】数列112，425，9310，16417，…，的一个通项公式是【解析】221n n a n n =++考点2 数列的周期性问题【例2】(2)已知数列{}n a 满足10a =，*1()n a n ∈=N ＋，则 2 014a = ( )A．0 B．D.2解析：选A由题意知10a=，2a===，3a===，4a===…，故该数列的周期为3.又2 01436711⨯＝＋，∴2 014367111a a a⨯===＋.故选A.练习：(2014·宝鸡检测)已知数列{}n a满足11a=，23a=，11()·2n n na a a n=≥＋－，则2 013a的值等于( )A．3 B．1 C.13D． 2 0133解析：选A 由已知得a n＋1＝a na n－1，a n＋3＝a n＋2a n＋1＝a n＋1a n÷a n＋1＝1a n，故a n＋6＝1a n＋3＝a n，所以，该数列是周期为6的数列，所以a2 013＝a3＝3.故选A.考点3 利用nS与na的关系求通项公式【例3】数列{}na的前n项和2nS an bn=+，若13a=，25a=．（1）求数列{}na的前n项和nS；（2）求数列{}na的通项公式；（3）设1nnbS=，数列{}nb的前n项和为nT，求证：724nT<．【解析】（1）由113S a==，得3a b+=；由2128S a a=+=，得428a b+=．∴324a ba b+=⎧⎨+=⎩，解得12ab=⎧⎨=⎩，∴22nS n n=+．（2）当2n≥时，2212[(1)2(1)]21n n na S S n n n n n-=-=+--+-=+．由于12113a⨯+==．∴21()na n n N*=+∈．（3）11111[](2)22nnbS n n n n===-++．∴数列{}nb的前n项和121n n nT b b b b -=++++111111111111111111()()()()()()2352462572221122n n n n n n =-+-+-++-+-+---++ 111111()()234212n n =+-+++ ． 7111()024212n T n n ∴-=-+<++，即724n T < 【变式】数列}{n a 的前n 项和为n S ，且满足1)1(log 2+=+n S n ，求数列{}n a 的通项公式． 【解析】由1)1(log 2+=+n S n ，得121-=+n n S ， 当1=n 时，311==S a ．当2≥n 时，n n n n n n S S a 22211=-=-=+-，∵1132a =≠，∴3,12,2n nn a n =⎧=⎨≥⎩．第40课 数列的概念及其表示的课后作业1．数列3,5,9,17,33,…的通项公式n a 等于（ ） A ．2nB ．21n+C ．21n-D ．41n-【答案】B2．设数列{}n a 的前n 项和2n S n =，则8a 的值为（ ）A ．15B ． 16C ．49D ．64 【答案】A【解析】887644915a S S =-=-=．3．数列{}n a 的通项公式为n n a n 2832-=，则数列{}n a 各项中最小项是（ ） A ．第4项 B ．第5项 C ．第6项 D ．第7项 【答案】B4.已知数列{}n a 中，11a =，22a =，20n n a a ++=对于任意的n N *∈都成立，那么2015a 的值为（ ）A ．1B ．2C ．1-D ．2-解：由已知，得2n n a a +=-对于任意的n N *∈都成立，所以11a =，22a =，311a a =-=-，422a a =-=-，531a a =-=，……，从而数列{}n a 的周期为4T =201445032=⨯+ ，201531a a ==-，所以选C5．数列{}n a 的通项公式cos 2n n a n π=，其前n 项和为n S ，则2014S =（ ） A ．1006 B ．2012 C ．503 D ．1008-【答案】A【解析】∵函数x y 2cosπ=的周期是4，∴数列}{n a 的每相邻四项之和是一个常数2，∴20142012201320142012201322013cos 2014cos100742S S a a ππ=++=⨯++ 100620141008=-=-．故选A ．6. 在数列－1,0，19，18，…，n －2n 2，…中，0.08是它的第______项．解析：10 令n －2n 2＝0.08，得2n 2－25n ＋50＝0，即(2n －5)(n －10)＝0.解得n ＝10或n ＝52(舍去)．∴a 10＝0.08.即0.08是该数列的第10项． 7. 已知数列{}n a 的前n 项和29n S n n =-，则其通项n a =；若它的第k 项满足58k a <<，则k = ．【答案】210n -，88. (2013·海口质检)如图是同样规格的黑、白两色正方形瓷砖铺设的若干图案，则按此规律第23个图案中需用黑色瓷砖________块．解析：用a n 表示第n 个图的黑色瓷砖块数，则a 1＝12，a 2＝16，a 3＝20，…，由此可得{a n }是以12为首项，以4为公差的等差数列．∴a 23＝a 1＋(23－1)×4＝12＋22×4＝100. 答案：1009. （2014届年惠州二模）如图，在三棱锥V ABC -中，VC ⊥底面ABC , ,AC BC D ⊥为AB 的中点,AC BC VC a ===.（1）求证：AB ⊥平面VCD ； （2）求点C 到平面VAB 的距离。
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【步步高】（江苏专用）2017版高考数学 专题6 数列 40 数列的概
念及其表示 理
(1)由数列前几项写通项公式时，可将各项适当变形，观察各项与项数之间的关
系；(2)数列是特殊的函数，其自变量只能取正整数，可从函数观点研究数列；
(3)a n ＝⎩⎪⎨
⎪⎧
S 1，n ＝1
，
S n －S n －1，
n ≥2.
2．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝
2
n 2＋n
，则数列{a n }的第5项为________． 3．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝2n 2
－3n ＋1，那么这个数列的通项公式a n ＝________. 4．(2015·洛阳一模)设a n ＝－2n 2
＋29n ＋3，则数列{a n }的最大项是________． 5．(2015·深圳五校联考)已知数列{a n }满足a 1＝3，a n ＋1＝5a n －13
3a n －7，则a 2 016＝________.
6．(2015·合肥一模)已知a n ＝
n －7
n －52
，设a m 为数列{a n }的最大项，则m ＝________.
7．已知数列12，23，34，4
5，…，那么0.94,0.96,0.98,0.99中属于该数列中某一项值的应当有
________个．
8．(2015·安徽江南十校联考)在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝a n ＋ln(1＋1
n
)，则a n ＝________.
9．(2015·安庆教学检测)根据下面5个图形及相应点的个数的变化规律，猜测第n 个图中有________个点．
10．若a 1＝1，a n ＋1＝
a n
3a n ＋1
，则给出的数列{a n }的第4项是________． 11．(2015·张家界统考)已知数列{a n }的通项公式为a n ＝(n ＋2)(78
)n
，则当a n 取得最大值时，
n ＝________.
12．(2015·石家庄灵寿一中月考)数列{a n }满足：a 1＋3a 2＋5a 3＋…＋(2n －1)·a n ＝(n －1)·3
n ＋1
＋3(n ∈N *
)，则数列{a n }的通项公式a n ＝________.
13．已知数列{a n }满足：a n ≤a n ＋1，a n ＝n 2
＋λn ，n ∈N *
，则实数λ的最小值是________． 14．(2015·安徽江淮十校联考)已知函数f (x )是定义在(0，＋∞)上的单调函数，且对任意的正数x ，y 都有f (x ·y )＝f (x )＋f (y )，若数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足f (S n ＋2)－f (a n )＝f (3)(n ∈N *
)，则a n ＝________.
答案解析
1．19
解析 观察知数列的通项公式为a n ＝4n －1，令53＝4k －1得k ＝19. 2.115 解析 a 5＝
225＋5＝1
15
. 3.⎩
⎪⎨
⎪⎧
0， n ＝1，4n －5， n ≥2
解析 当n ＝1时，a 1＝S 1＝0，
当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n 2－3n ＋1－2(n －1)2
＋3(n －1)－1＝4n －5，
∴a n ＝⎩⎪⎨
⎪⎧
0， n ＝1，4n －5， n ≥2.
4．108
解析 因为a n ＝－2n 2＋29n ＋3＝－2(n －294)2＋8658，n ∈N *
，所以当n ＝7时，a n 取得最大值
108. 5．2
解析 由于a 1＝3，a n ＋1＝5a n －13
3a n －7
，
所以a 2＝5×3－133×3－7＝1，a 3＝5×1－133×1－7＝2，a 4＝5×2－13
3×2－7＝3，
所以数列{a n }是周期为3的周期数列， 所以a 2 016＝a 672×3＝a 3＝2. 6．8
解析 设函数f (x )＝
x －7
x －52
＝1＋
52－7
x －52
，
作出函数f (x )的图象(图略)可得，
当x ＝8时，函数取得最大值，故a 8是数列{a n }的最大项，故m ＝8. 7．3
解析 数列12，23，34，4
5
，…的通项公式为
a n ＝n n ＋1，0.94＝94100＝4750，0.96＝96100＝2425
，
0．98＝98100＝4950，0.99＝99100，2425，4950，99100都在数列{n n ＋1}中，故有3个．
8．2＋ln n
解析 ∵a n ＋1＝a n ＋ln(1＋1n )＝a n ＋ln n ＋1
n
＝a n ＋ln(n ＋1)－ln n ，
∴a 2＝a 1＋ln 2，a 3＝a 2＋ln 3－ln 2，…，a n ＝a n －1＋ln n －ln(n －1)， 将上面n －1个式子左右两边分别相加，
得a n ＝a 1＋ln 2＋(ln 3－ln 2)＋(ln 4－ln 3)＋…＋[ln n －ln(n －1)]＝a 1＋ln n ＝2＋ln
n .
9．n 2
－n ＋1
解析 观察题图中5个图形点的个数分别为1,1×2＋1,2×3＋1,3×4＋1,4×5＋1，故第n 个图中点的个数为(n －1)×n ＋1＝n 2
－n ＋1.
10.110
解析 a 2＝
a 13a 1＋1＝13＋1＝14，a 3＝a 2
3a 2＋1＝143
4＋1＝17，a 4＝a 33a 3＋1＝17
37
＋1＝1
10. 11．5或6
解析 当a n 取得最大值时，有⎩⎪⎨
⎪⎧
a n ≥a n －1，
a n ≥a n ＋1，
∴⎩
⎪⎨⎪
⎧
n ＋27
8n
≥n ＋178n －1
，n ＋2
78
n ≥n ＋3
78
n ＋1
.
解得⎩⎪⎨
⎪⎧
n ≤6，n ≥5.
∴n ＝5或6.
12．3n
解析 a 1＋3a 2＋5a 3＋…＋(2n －3)·a n －1＋(2n －1)·a n ＝(n －1)·3
n ＋1
＋3，把n 换成n －1，
得a 1＋3a 2＋5a 3＋…＋(2n －3)·a n －1＝(n －2)·3n
＋3，两式相减得a n ＝3n
. 13．－3
解析 a n ≤a n ＋1⇔n 2
＋λn ≤(n ＋1)2
＋λ(n ＋1)⇔λ≥－(2n ＋1)，n ∈N *
⇔λ≥－3，
所以λ的最小值是－3. 14．(32
)n －1
解析 由题意知f (S n ＋2)＝f (a n )＋f (3)(n ∈N *
)，∴S n ＋2＝3a n ，S n －1＋2＝3a n －1(n ≥2)， 两式相减得2a n ＝3a n －1(n ≥2)．又n ＝1时，S 1＋2＝3a 1＝a 1＋2，∴a 1＝1， ∴数列{a n }是首项为1，公比为32的等比数列，∴a n ＝(32)n －1
.。