福建省高考数学试卷(理科)电子教案

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2019年福建省高考理科数学试卷及答案【word版】

2019年福建高考数学试题（理）一.选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.复数(32)z i i =-的共轭复数z 等于（）.23A i -- .23B i -+ .23C i - .23D i +2.某空间几何体的正视图是三角形，则该几何体不可能是（）.A 圆柱 .B 圆锥 .C 四面体 .D 三棱柱3.等差数列{}n a 的前n 项和n S ，若132,12a S ==，则6a =( ).8A .10B .12C .14D4.若函数log (0,1)a y x a a =>≠且的图像如右图所示，则下列函数图像正确的是（）5.阅读右图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的S 得值等于（）.18A .20B .21C .40D6.直线:1l y kx =+与圆22:1O x y +=相交于,A B 两点，则"1"k =是“ABC ∆的面积为12”的（） .A 充分而不必要条件 .B 必要而不充分条件.C 充分必要条件 .D 既不充分又不必要条件7.已知函数()⎩⎨⎧≤>+=0,cos 0,12x x x x x f 则下列结论正确的是（）A.()x f 是偶函数B. ()x f 是增函数C.()x f 是周期函数D.()x f 的值域为[)+∞-,18.在下列向量组中，可以把向量()2,3=a 表示出来的是（）A.)2,1(),0,0(21==e e B .)2,5(),2,1(21-=-=e eC.)10,6(),5,3(21==e eD.)3,2(),3,2(21-=-=e e9.设Q P ,分别为()2622=-+y x 和椭圆11022=+y x 上的点，则Q P ,两点间的最大距离是（） A.25 B.246+ C.27+ D.26 10.用a 代表红球，b 代表蓝球，c 代表黑球，由加法原理及乘法原理，从1个红球和1个篮球中取出若干个球的所有取法可由()()b a ++11的展开式ab b a +++1表示出来，如：“1”表示一个球都不取、“a ”表示取出一个红球，面“ab ”用表示把红球和篮球都取出来.以此类推，下列各式中，其展开式可用来表示从5个无区别的红球、5个有区别的黑球中取出若干个球，且所有的篮球都取出或都不取出的所有取法的是A. ()()()555432111c b a a a a a +++++++B.()()()554325111c b b b b b a +++++++ C. ()()()554325111c b b b b b a +++++++ D.()()()543255111c c c c c b a +++++++ 二、填空题11、若变量y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≤-+≤+-008201x y x y x 则y x z +=3的最小值为________12、在ABC ∆中，3,2,60==︒=BC AC A ,则ABC ∆等于_________13、要制作一个容器为43m ，高为m 1的无盖长方形容器，已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是_______（单位：元）14.如图，在边长为e （e 为自然对数的底数）的正方形中随机撒一粒黄豆，则他落到阴影部分的概率为______.15.若集合},4,3,2,1{},,,{=d c b a 且下列四个关系：①1=a ；②1≠b ；③2=c ；④4≠d 有且只有一个是正确的，则符合条件的有序数组),,,(d c b a 的个数是_________.三．解答题：本大题共6小题，共80分.16.（本小题满分13分）已知函数1()cos (sin cos )2f x x x x =+-. （1）若02πα<<，且2sin 2α=，求()f α的值；（2）求函数()f x 的最小正周期及单调递增区间.17.（本小题满分12分）在平行四边形ABCD 中，1AB BD CD ===，,AB BCD CD BD ⊥⊥.将ABD ∆沿BD 折起，使得平面ABD ⊥平面BCD ，如图.（1）求证：CD ⊥CD ；（2）若M 为AD 中点，求直线AD 与平面MBC 所成角的正弦值.18.（本小题满分13分）为回馈顾客，某商场拟通过摸球兑奖的方式对1000位顾客进行奖励，规定：每位顾客从一个装有4个标有面值的球的袋中一次性随机摸出2个球，球上所标的面值之和为该顾客所获的奖励额.（1）若袋中所装的4个球中有1个所标的面值为50元，其余3个均为10元，求①顾客所获的奖励额为60元的概率②顾客所获的奖励额的分布列及数学期望;（2）商场对奖励总额的预算是60000元，并规定袋中的4个球只能由标有面值10元和50元的两种球组成，或标有面值20元和40元的两种球组成.为了使顾客得到的奖励总额尽可能符合商场的预算且每位顾客所获的奖励额相对均衡，请对袋中的4个球的面值给出一个合适的设计，并说明理由.19.（本小题满分13分）已知双曲线)0,0(1:2222>>=-b a by a x E 的两条渐近线分别为x y l x y l 2:,2:21-==. （1）求双曲线E 的离心率；（2）如图，O 为坐标原点，动直线l 分别交直线21,l l 于B A ,两点（B A ,分别在第一，四象限），且OAB ∆的面积恒为8，试探究：是否存在总与直线l 有且只有一个公共点的双曲线E ？若存在，求出双曲线E 的方程；若不存在，说明理由。

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2019年福建高考数学试题（理）一.选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.复数(32)z i i =-的共轭复数z 等于（）.23A i -- .23B i -+ .23C i - .23D i +2.某空间几何体的正视图是三角形，则该几何体不可能是（）.A 圆柱 .B 圆锥 .C 四面体 .D 三棱柱3.等差数列{}n a 的前n 项和n S ，若132,12a S ==，则6a =( ).8A .10B .12C .14D4.若函数log (0,1)a y x a a =>≠且的图像如右图所示，则下列函数图像正确的是（）5.阅读右图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的S 得值等于（）.18A .20B .21C .40D6.直线:1l y kx =+与圆22:1O x y +=相交于,A B 两点，则"1"k =是“ABC ∆的面积为12”的（） .A 充分而不必要条件 .B 必要而不充分条件.C 充分必要条件 .D 既不充分又不必要条件7.已知函数()⎩⎨⎧≤>+=0,cos 0,12x x x x x f 则下列结论正确的是（）A.()x f 是偶函数B. ()x f 是增函数C.()x f 是周期函数D.()x f 的值域为[)+∞-,18.在下列向量组中，可以把向量()2,3=表示出来的是（）A.)2,1(),0,0(21==e e B .)2,5(),2,1(21-=-=e eC.)10,6(),5,3(21==e eD.)3,2(),3,2(21-=-=e e9.设Q P ,分别为()2622=-+y x 和椭圆11022=+y x 上的点，则Q P ,两点间的最大距离是（） A.25 B.246+ C.27+ D.26 10.用a 代表红球，b 代表蓝球，c 代表黑球，由加法原理及乘法原理，从1个红球和1个篮球中取出若干个球的所有取法可由()()b a ++11的展开式ab b a +++1表示出来，如：“1”表示一个球都不取、“a ”表示取出一个红球，面“ab ”用表示把红球和篮球都取出来.以此类推，下列各式中，其展开式可用来表示从5个无区别的红球、5个有区别的黑球中取出若干个球，且所有的篮球都取出或都不取出的所有取法的是A. ()()()555432111c b a a a a a +++++++B.()()()554325111c b b b b b a +++++++ C. ()()()554325111c b b b b b a +++++++ D.()()()543255111c c c c c b a +++++++ 二、填空题11、若变量y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≤-+≤+-008201x y x y x 则y x z +=3的最小值为________12、在ABC ∆中，3,2,60==︒=BC AC A ,则ABC ∆等于_________13、要制作一个容器为43m ，高为m 1的无盖长方形容器，已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是_______（单位：元）14.如图，在边长为e （e 为自然对数的底数）的正方形中随机撒一粒黄豆，则他落到阴影部分的概率为______.15.若集合},4,3,2,1{},,,{=d c b a 且下列四个关系：①1=a ；②1≠b ；③2=c ；④4≠d 有且只有一个是正确的，则符合条件的有序数组),,,(d c b a 的个数是_________.三．解答题：本大题共6小题，共80分.16.（本小题满分13分）已知函数1()cos (sin cos )2f x x x x =+-. （1）若02πα<<，且2sin 2α=，求()f α的值；（2）求函数()f x 的最小正周期及单调递增区间.17.（本小题满分12分）在平行四边形ABCD 中，1AB BD CD ===，,AB BCD CD BD ⊥⊥.将ABD ∆沿BD 折起，使得平面ABD ⊥平面BCD ，如图.（1）求证：CD ⊥CD ；（2）若M 为AD 中点，求直线AD 与平面MBC 所成角的正弦值.18.（本小题满分13分）为回馈顾客，某商场拟通过摸球兑奖的方式对1000位顾客进行奖励，规定：每位顾客从一个装有4个标有面值的球的袋中一次性随机摸出2个球，球上所标的面值之和为该顾客所获的奖励额.（1）若袋中所装的4个球中有1个所标的面值为50元，其余3个均为10元，求①顾客所获的奖励额为60元的概率②顾客所获的奖励额的分布列及数学期望;（2）商场对奖励总额的预算是60000元，并规定袋中的4个球只能由标有面值10元和50元的两种球组成，或标有面值20元和40元的两种球组成.为了使顾客得到的奖励总额尽可能符合商场的预算且每位顾客所获的奖励额相对均衡，请对袋中的4个球的面值给出一个合适的设计，并说明理由.19.（本小题满分13分）已知双曲线)0,0(1:2222>>=-b a by a x E 的两条渐近线分别为x y l x y l 2:,2:21-==. （1）求双曲线E 的离心率；（2）如图，O 为坐标原点，动直线l 分别交直线21,l l 于B A ,两点（B A ,分别在第一，四象限），且OAB ∆的面积恒为8，试探究：是否存在总与直线l 有且只有一个公共点的双曲线E ？若存在，求出双曲线E 的方程；若不存在，说明理由。

高考福建理科数学试题及答案word解析版

2015年普通高等学校招生全国统一考试（福建卷）数学（理科）第Ⅰ卷（选择题共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．（1）【2015年福建，理1，5分】若集合{}234i,i ,i ,i A =（i 是虚数单位），{}1,1B =-，则A B 等于（）（A ）{}1- （B ）{}1 （C ）{}1,1- （D ）φ 【答案】C【解析】由已知得{}i,1,i,1A =--，故{}1,1AB =-，故选C ．（2）【2015年福建，理2，5分】下列函数为奇函数的是（）（A ）y x = （B ）sin y x = （C ）cos y x = （D ）x x y e e -=- 【答案】D【解析】函数y x =是非奇非偶函数；sin y x =和cos y x =是偶函数；x x y e e -=-是奇函数，故选D ．（3）【2015年福建，理3，5分】若双曲线22:1916x y E -=的左、右焦点分别为12,F F ，点P 在双曲线E 上，且13PF =，则2PF 等于（）（A ）11（B ）9 （C ）5 （D ）3【答案】B 【解析】由双曲线定义得1226PF PF a -==，即2326PF a -==，解得29PF =，故选B ．（4）【2015年福建，理4，5分】为了解某社区居民的家庭年收入所年支出的关系，随机调查了该社区5户家庭，收入x （万元） 8.2 8.6 10.0 11.3 11.9 支出y （万元） 6.2 7.5 8.0 8.5 9.8根据上表可得回归直线方程ˆˆˆy bx a =+，其中ˆˆˆ0.76,b a y bx ==-，据此估计，该社区一户收入为15万元家庭年支出为（）（A ）11.4万元（B ）11.8万元（C ）12.0万元（D ）12.2万元【答案】B【解析】由已知得8.28.610.011.311.9105x ++++==（万元）， 6.27.58.08.59.885y ++++==（万元），故80.76100.4a =-⨯=，所以回归直线方程为0.760.4y x =+，当社区一户收入为15万元家庭年支出为0.76150.411.8y =⨯+=（万元），故选B ．（5）【2015年福建，理5，5分】若变量,x y 满足约束条件200220x y x y x y +≥⎧⎪-≤⎨⎪-+≥⎩，则2z x y =-的最小值等于（）（A ）52- （B ）2- （C ）32- （D ）2【答案】A 【解析】画出可行域，如图所示，目标函数变形为2y x z =-，当z 最小时，直线2y x z =-的纵截距最大，故将直线2y x =经过可行域，尽可能向上移到过点11,2B ⎛⎫- ⎪⎝⎭时，z 取到最小值，最小值为()152122z =⨯--=-，故选A ．（6）【2015年福建，理6，5分】阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出的结果为（）（A ）2 （B ）1 （C ）0 （D ）-1【答案】C【解析】程序在执行过程中,S i 的值依次为：0,1S i ==；0,2S i ==；1,3S i =-=；1,4S i =-=；0,5S i ==；0,6S i ==，程序结束，输出0S =，故选C ．（7）【2015年福建，理7，5分】若,l m 是两条不同的直线，m 垂直于平面α，则“l m ⊥”是“//l α”的（）（A ）充分而不必要条件（B ）必要而不充分条件（C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】若l m ⊥，因为m 垂直于平面α，则//l α或l α⊂，若//l α，又m 垂直于平面α，则l m ⊥，所以“l m ⊥”是“//l α”的必要不充分条件，故选B ．（8）【2015年福建，理8，5分】若,a b 是函数()()20,0f x x px q p q =-+>>的两个不同的零点，且,,2a b -这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则p q +的值等于（）（A ）6 （B ）7 （C ）8 （D ）9 【答案】D【解析】由韦达定理得a b p +=，a b q ⋅=，则0,0a b >>，当,,2a b -适当排序后成等比数列时，2-必为等比中项，故4a b q ⋅==，4b a=．当适当排序后成等差数列时，2-必不是等差中项，当a 是等差中项时，422a a =-，解得1,4a b ==；当4a 是等差中项时，82a a =-，解得4,1a b ==，综上所述，5a b p +==，所以9p q +=，故选D ．（9）【2015年福建，理9，5分】已知1,,AB AC AB AC t t⊥==，若点p 是ABC ∆所在平面内一点，且4AB ACAP AB AC=+，则PB PC ⋅的最大值等于（）（A ）13 （B ）15 （C ）19 （D ）21【答案】A【解析】以A 为坐标原点，建立平面直角坐标系，如图所示，则1,0B t ⎛⎫⎪⎝⎭，()0,C t ，AP =即()1,4P ，所以11,4PB t ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，()1,4PC t =--，因此111416174PB PC t t t t ⎛⎫⋅=--+=-+ ⎪⎝⎭，因为144t t +≥=，所以当14t t =，即12t =时取等号，PB PC ⋅的最大值等于13，故选A ．（10）【2015年福建，理10，5分】若定义在R 上的函数()f x 满足()01f =-，其导函数()f x '满足()1f x k '>>，则下列结论中一定错误的是（）（A ）11f k k ⎛⎫< ⎪⎝⎭ （B ）111f k k ⎛⎫> ⎪-⎝⎭ （C ）1111f k k ⎛⎫< ⎪--⎝⎭ （D ）111k f k k ⎛⎫>⎪--⎝⎭【答案】C【解析】由已知条件，构造函数()()g x f x kx =-，则()()0g x f x k ''=->，故函数()g x 在R 上单调递增，且101k >-，故()101g g k ⎛⎫> ⎪-⎝⎭，所以1111k f k k ⎛⎫->- ⎪--⎝⎭，1111f k k ⎛⎫>⎪--⎝⎭，所以结论中一定错误的是C ，选项D 不确定；构造函数()()h x f x x =-，则()()10h x f x ''=->，所以函数()h x 在R 上单调递增，且10k >，所以()10h h k ⎛⎫> ⎪⎝⎭，即111f k k ⎛⎫->- ⎪⎝⎭，111f k k⎛⎫>- ⎪⎝⎭，选项A ，B 无法判断，故选C ．第Ⅱ卷（非选择题共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分．把答案填在答题卡的相应位置．（11）【2015年福建，理11，5分】()52x +的展开式中，2x 的系数等于（用数字填写答案）．【答案】80【解析】()52x +的展开式中2x 项为2325280C x =，所以2x 的系数等于80．（12）【2015年福建，理12，5分】若锐角ABC ∆的面积为103，且5AB =，8AC =，则BC 等于．【答案】7【解析】由已知得ABC ∆的面积为1sin 20sin 1032AB AC A A ⋅==，所以3sin A =，0,2A π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以3A π=．由余弦定理得2222cos 49BC AB AC AB AC A =+-⋅=，7BC =．（13）【2015年福建，理13，5分】如图，点A 的坐标为()1,0，点C 的坐标为()2,4，函数()2f x x =，若在矩形ABCD 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率等．【答案】512【解析】由已知得阴影部分面积为221754433x dx -=-=⎰．所以此点取自阴影部分的概率等于553412=．（14）【2015年福建，理14，5分】若函数()6,23log ,2a x x f x x x -+≤⎧=⎨+>⎩（0a >且1a ≠）的值域是[)4,+∞，则实数a 的取值范围是．【答案】(]1,2【解析】当2x ≤，故64x -+≥，要使得函数()f x 的值域为[)4,+∞，只需()()13log 2a f x x x =+>的值域包含于[)4,+∞，故1a >，所以()13log 2a f x >+，所以3log 24a +≥，解得12a <≤，所以实数a 取值范围是(]1,2．（15）【2015年福建，理15，5分】一个二元码是由0和1组成的数字串()*12n x x x n N ∈，其中()1,2,,k x k n = 称为第k 位码元，二元码是通信中常用的码，但在通信过程中有时会发生码元错误（即码元由0变为1，或者由1变为0），已知某种二元码127x x x 的码元满足如下校验方程组：456723671357000x x x x x x x x x x x x ⊕⊕⊕=⎧⎪⊕⊕⊕=⎨⎪⊕⊕⊕=⎩，其中运算⊕定义为：000,011,101,110⊕=⊕=⊕=⊕=，其中运算⊕定义为：000,011,101,110⊕=⊕=⊕=⊕=．现已知一个这种二元码在通信过程中仅在第k 位发生码元错误后变成了1101101，那么利用上述校验方程组可判定k 等于 __．【答案】5【解析】由题意得相同数字经过运算后为0，不同数字运算后为1．由45670x x x x ⊕⊕⊕=可判断后4个数字出错；由23670x x x x ⊕⊕⊕=可判断后2个数字没错，即出错的是第4个或第5个；由13570x x x x ⊕⊕⊕=可判断出错的是第5个，综上，第5位发生码元错误．三、解答题：本大题共6题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．（16）【2015年福建，理16，13分】某银行规定，一张银行卡若在一天内出现3次密码尝试错误，该银行卡将被锁定，小王到银行取钱时，发现自己忘记了银行卡的密码，但是可以确定该银行卡的正确密码是他常用的6个密码之一，小王决定从中不重复地随机选择1个进行尝试．若密码正确，则结束尝试；否则继续尝试，直至该银行卡被锁定．（1）求当天小王的该银行卡被锁定的概率；（2）设当天小王用该银行卡尝试密码次数为X ，求X 的分布列和数学期望．解：（1）设“当天小王的该银行卡被锁定”的事件为A ，则543()654P A =⨯⨯12=．（2）依题意得，X 所有可能的取值是1，2，3，又1511542(1),(2),(3)16656653P X P X P X ====⨯===⨯⨯=所以X 1 2 3所以()1236632E X =⨯+⨯+⨯=．（17）【2015年福建，理17，13分】如图，在几何体ABCDE 中，四边形ABCD 是矩形，AB ⊥平面BEG ，BE EC ⊥，2AB BE EC ===，G ，F 分别是线段BE ，DC 的中点．（1）求证：//GF 平面ADE ；（2）求平面AEF 与平面BEC 所成锐二面角的余弦值．解：解法一：（1）如图，取AE 的中点H ，连接HG ，HD ，又G 是BE 中点，所以//GH AB ，且12GH AB =，又F 是CD 中点，所以12DF CD =，由四边形ABCD 是矩形得，//AB CD ，AB CD =所以//GH DF ．且GH DF =，从而四边形HGFD 是平行四边形，所以//GF DH ，又DH ⊂平面ADE ，GF ⊄平面ADE ，所以//GF 平面ADE ．（2）如图，在平面BEG 内，过点B 作//BQ EC ，因为BE CE ⊥，所以BQ BE ⊥，因为AB ⊥平面BEC ，所以AB BE ⊥，AB BQ ⊥，以B 为原点，分别以,,BE BQ BA 的方向为x 轴， y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系，则()()()()0,0,2,0,0,0,2,0,0,2,2,1A B E F ，因为AB ⊥平面BEC ，所以()0,0,2BA =为平面BEC 的法向量，设(,,)nx y z 为平面AEF 的法向量，又()2,0,2AE =-，()2,2,1AF =-，由00n AE n AF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩得220220x z x y z -=⎧⎨+-=⎩，取2z 得()2,1,2n =-．从而42cos ,323||||n BA n BA n BA ⋅===⨯⋅，所以平面AEF 与平面BEC 所成锐二面角的余弦值为23．解法二：（1）如图，取AB 中点M ，连接,MG MF ，又G 是BE 的中点，可知//GM AE ，又AE ⊂平面,ADE GM ⊄平面ADE ，所以//GM 平面ADE ．在矩形ABCD 中，由M ，F 分别是AB ，CD 的中点得//MF AD ，又AD ⊂平面,ADE MF ⊄平面ADE ，所以//MF 平面ADE ，又因为,GM MF M GM =⊂平面,GMF MF ⊂平面GMF ，所以平面//GMF 平面ADF ，因为GF ⊂平面GMF ，所以//GF 平面ADE ．（2）同解法一．（18）【2015年福建，理18，13分】已知椭圆E ：22221(a 0)x y b a b过点(0,2），且离心率为2e ．（1）求椭圆E 的方程；（2）设直线():1l x my m R =-∈交椭圆E 于A ，B 两点，判断点9,04G ⎛⎫- ⎪⎝⎭与以线段AB为直径的圆的位置关系，并说明理由．解：解法一：（1）由已知得222222b ca abc ⎧=⎪⎪=⎨⎪⎪=+⎩解得222a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩，所以椭圆E 的方程为22142x y ．（2）设点11(,)A x y ，22(,)B x y ，AB 中点为00(,)H x y ．由221142x my x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，得22(2)230m y my +--=，所以1222+=2m y y m ，1223=2y y m ，从而0222y m =+．所以222222200000095525||()()(1)44216GH x y my y m y my =++=++=+++．故222012||525||(1)4216AB GH my m y y -=+++222253(1)25-2(2)216m m m m +=+++2217216(2)m m +=+0>所以||||2AB GH >，故9(4G -,0)在以AB 为直径的圆外．解法二：（1）同解法一．（2）设点11()A x y ，22(,)B x y ，则119(,)4GA x y =+，229(,)4GB x y =+．由221142x my x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，得22(2)230m y my +--=，所以12222m y y m +=+，12232y y m =+．从而121299()()44GA GB x x y y ⋅=+++121255()()44my my y y =+++21212525(1)()416m y y m y y =++++所以cos ,0GA GB >，又,GA GB 不共线，所以AGB ∠为锐角．故点9(4G -,0)在以AB 为直径的圆外．（19）【2015年福建，理19，13分】已知函数()f x 的图像是由函数()cos g x x 的图像经如下变换得到：先将()g x 图像上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变），再将所得到的图像向右平移2π个单位长度．（1）求函数()f x 的解析式，并求其图像的对称轴方程；（2）已知关于x 的方程()()f x g x m +=在[]0,2π内有两个不同的解α，β；（i ）求实数m 的取值范围；（ii ）证明：22cos()15m αβ-=-．解：解法一：（1）将()cos g x x 的图像上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变）得到2cos y x 的图像，再将2cos y x =的图像向右平移2π个单位长度后得到2cos(-)2y x π=的图像，故()2sin f x x =，从而函数()2sin f x x =图像的对称轴方程为()2x k k Z ππ=+∈．（2）（i ）()()2sin cos f x g x x x +=+)x x =+)x ϕ=+（其中sin ϕϕ==）依题意，sin()x ϕ+=在区间[0,2]π内有两个不同的解,αβ当且仅当1<，故m 的取值范围是(．（ii ）因为,αβ)x m ϕ+=在[0,2]π内的两个不同的解，所以sin()αϕ+=sin()βϕ+，当1m ≤2()2παβϕ+=-，即2()αβπβϕ-=-+；当1m <<时，32()2παβϕ+=-，即32()αβπβϕ-=-+，所以cos )cos2()αββϕ-=-+(22sin ()1βϕ=+-21=-2215m =-．解法二：（1）同解法一．（2）（i ）同解法一．（ii ）因为α，β)x m ϕ+=在区间[0,2)π内的两个不同的解，所以sin()αϕ+，sin()βϕ+，当1m ≤2()2παβϕ+=-，即2()αβπβϕ+=-+；当1m <时，32()2παβϕ+=-，即32()αβπβϕ+=-+，所以cos )cos()αββϕ+=-+(于是cos()cos[()()]αβαϕβϕ-=+-+cos()cos()sin()sin()αϕβϕαϕβϕ=+++++2cos ()sin()sin()βϕαϕβϕ=++++22[1]=--+2215m =-．（20）【2015年福建，理20，14分】已知函数()()ln 1f x x =+，()()g x kx k R =∈．（1）证明：当0x 时，()f x x <；（2）证明：当1k 时，存在00x ，使得对任意的()0,x t ∈恒有()()f x g x >；（3）确定k 的所以可能取值，使得存在0t ，对任意的()0,x t ∈，恒有2|()()|f x g x x ．解：解法一：（1）令()()ln(1),[0,)F x f x x x x x =-=+-∈+∞，则有1()111xF x x x -'=-=++，当(0,)x ∈+∞时，()0F x '<，所以()F x 在[0,)+∞上单调递减，故当0x >时，()(0)0F x F <=，即当0x >时，()f x x <．（2）令()()()ln(1),[0,)G x f x g x x kx x =-=+-∈+∞，则有1(1)()11kx k G x k x x -+-'=-=++，当0k ≤时，()0G x '>，故()G x 在[0,)+∞单调递增，()(0)0G x G >=，故对任意正实数0x 均满足题意当01k <<时，令()0G x '=，得1110k x k k -==->，取011x k=-，对任意0(0,)x x ∈，有()0G x '>，从而()G x 在[0,)+∞单调递增，所以()(0)0G x G >=，即()()f x g x >．综上，当1k <时，总存在00x >，使得对任意0(0,)x x ∈，恒有()()f x g x >．（3）当1k >时，由（1）知，对于(0,),()()x g x x f x ∀∈+∞>>，故()()g x f x >．|()()|()()ln(1)f x g x g x f x kx x -=-=-+令2()ln(1),[0,)M x kx x x x =-+-∈+∞，则有212(2)1()211x k x k M x k x x x -+-+-'=--=++故当x ∈时，()0M x '>，()M x 在上单调递增，故()(0)0M x M >=，即2|()()|f x g x x ->．所以满足题意的t 不存在，当1k <时，由（2）知，存在00x >，使得当0(0,)x x ∈时，()()f x g x -，此时|()()|()()ln(1)f x g x f x g x x kx -=-=+-，令2()ln(1),[0,)N x x kx x x =+--∈+∞，则有212(2)1()211x k x kN x k x x x --++-'=--=++，当x ∈时，()0N x '>，()N x 在上单调递增，故()(0)0N x N >=，即2()()f x g x x ->．记0x 1x ，则当1(0,)x x ∈时，恒有2|()()|f x g x x ->，故满足题意的t 不存在．当1k =时，由（1）知，当0x >时，|()()|()()ln(1)f x g x g x f x x x -=-=-+，令2()ln(1),[0,)H x x x x x =-+-∈+∞，则有212()1211x xH x x x x --'=--=++，当0x >时，()0H x '<，所以()H x 在[0,)+∞上单调递减，故()(0)0H x H <=，故当0x >时，恒有2|()()|f x g x x -<，此时，任意正实数t 均满足题意，综上，1k =．解法二：（1）解法一．（2）解法二．（3）当1k >时，由（1）知，对于(0,),()()x g x x f x ∀∈+∞>>，故|()()|()()ln(1)(1)f x g x g x f x kx x kx x k x -=-=-+>-=-，令2(1)k x x ->，解得01x k <<-．从而得到，当1k >时，对于(0,1)x k ∈-，恒有2|()()|f x g x x ->，故满足题意的t 不存在．当1k <时，取112k k +=，从而11k k <<，由（2）知，存在00x >，使得01(0,),()()x x f x k x kx g x ∈>>=，此时11|()()|()()()2k f x g x f x g x k k x x --=->-=，令212k x x ->，解得102kx -<<，2()()f x g x x ->，记0x 与12k-的较小者为1x ，当1(0,)x x ∈时，恒有2|()()|f x g x x ->，故满足题意的t 不存在．当1k =时，由（1）知，0,|()()|()()ln(1)x f x g x f x g x x x >-=-=-+，令2()ln(1),[0,)M x x x x x =-+-∈+∞，则有212()1211x xM x x x x --'=--=++，当0x >时，()0M x '<，所以()M x 在[0,)+∞上单调递减，故()(0)0M x M <=．故当0x >时，恒有2|()()|f x g x x -<，此时，任意正实数t 均满足题意，综上，1k =．本题设有三个选考题，每题7分，请考生任选2题作答．满分14分，如果多做，则按所做的前两题计分，作答时，先用2B 铅笔在答题卡上所选题目对应题号右边的方框涂黑，并将所选题号填入括号中．（21）【2015年福建，理21（1），7分】（选修4-2：矩阵与变换）已知矩阵2111,4301⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭A Β．（1）求A 的逆矩阵1-A ；（2）求矩阵C ，使得=AC B ．解：（1）因为||23142=⨯-⨯=A ，所以131312222422122--⎛⎫⎛⎫ ⎪-⎪==⎪ ⎪- ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭⎝⎭A ．（2）由=ACB 得11()AC A B ，故1313112==222012123-⎛⎫⎛⎫-⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭---⎝⎭⎝⎭C A B ．（21）【2015年福建，理21（2），7分】（选修4-4：坐标系与参数方程）在平面直角坐标系xoy 中，圆C 的参数方程为13cos 23sin x ty t =+⎧⎨=-+⎩（t 为参数）．在极坐标系（与平面直角坐标系xoy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴非负半轴为极轴）中，直线lsin()()4m m R πθ-=∈．（1）求圆C 的普通方程及直线l 的直角坐标方程；（2）设圆心C 到直线l 的距离等于2，求m 的值．解：（1）消去参数t ，得到圆C 的普通方程为22(1)(2)9x y -++=sin()4m πθ-=，得sin cos 0m ρθρθ--=，所以直线l 的直角坐标方程为0x y m -+=．（2）依题意，圆心C 到直线l 的距离等于22=，解得3m =-±（21）【2015年福建，理21（3），7分】（选修4-5：不等式选讲）已知0a >，0b >，0c >，函数()f x x a x b c =++-+的最小值为4．（1）求a b c 的值；（2）求2221149a b c 的最小值．解：（1）因为()|||||()()|||f x x a x b c x a x b c a b c =++++≥+-++=++，当且仅当a x b -≤≤时，等号成立．又0,0a b ，所以||a b a b +=+，所以()f x 的最小值为a b c ++，又已知()f x 的最小值为4，所以4a b c ++=．（2）由（1）知4a b c ++=，由柯西不等式得2222211()(491)(231)()164923a ba b c c a b c ++++≥⨯+⨯+⨯=++=，即222118()497a b c ++≥，当且仅当1132231b ac ==，即8182,,777a b c ===时等号成立，故2221149a b c ++的最小值为87．。

2019年福建高考试题(理数,word解析版)word资料12页

2019年普通高等学校招生全国统一考试（福建卷）数学（理科）【整理】佛山市三水区华侨中学骆方祥（lbylfx @sina ）第I 卷（选择题共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 若复数z 满足i zi -=1，则z 等于（）A ．i --1B ．i -1C ．i +-1D ．i +1 考点：复数的运算。

难度：易。

分析：本题考查的知识点为复数的计算，直接套用复数运算公式即可。

解答：iiz -=1 2. 等差数列}{n a 中，7,10451==+a a a ，则数列}{n a 的公差为（）A ．1B ．2C ．3D ．4 考点：等差数列的定义。

难度：易。

分析：本题考查的知识点为复等差数列的通项公式d n a a n )1(1-+=。

解答：273104211=⇒⎩⎨⎧=+=+d d a d a 。

3. 下列命题中，真命题是（）A ．0,00≤∈∃x eR x B ．22,x R x x >∈∀C ．0=+b a 的充要条件是1-=baD ．1,1>>b a 是1>ab 的充分条件考点：逻辑。

难度：易。

分析：本题考查的知识点为复逻辑中的充要条件的判定。

解答：A 中，,R x ∈∀0>xe。

B 中，22,4,2x x x x===∃，22,x x x<∃。

C 中，⎩⎨⎧≠=+00b b a 的充要条件是1-=b a。

D 中，1,1>>b a 可以得到1>ab ，当1>ab 时，不一定可以得到1,1>>b a 。

4. 一个几何体的三视图形状都相同，大小均相等，那么这个几何体不可以是（）A ．球B ．三棱锥C ．正方体D ．圆柱考点：空间几何体的三视图。

难度：易。

分析：本题考查的知识点为空间几何体的三视图，直接画出即可。

解答：圆的正视图（主视图）、侧视图（左视图）和俯视图均为圆；三棱锥的正视图（主视图）、侧视图（左视图）和俯视图可以为全等的三角形；正方体的正视图（主视图）、侧视图（左视图）和俯视图均为正方形；圆柱的正视图（主视图）、侧视图（左视图）为矩形，俯视图为圆。

2021年福建省高考数学试卷(理科)答案与解析

2021年福建省高考数学试卷(理科)答案与解析2021年福建省高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每个题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．1．（5分）（2021?福建）复数z=（3��2i）i的共轭复数等于（） 2+3i A．��2��3i B．��2+3i C． 2��3i D．考点：复数代数形式的乘除运算．专题：数系的扩充和复数．分析：直接由复数代数形式的乘法运算化简z，则其共轭可求．解答：解：∵z=（3��2i）i=2+3i，∴．故选：C．点评：本题考查了复数代数形式的乘法运算，考查了复数的基本概念，是基础题． 2．（5分）（2021?福建）某空间几何体的正视图是三角形，则该几何体不可能是（） A．圆柱 B．圆锥C．四面体 D．三棱柱考点：由三视图还原实物图．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：直接从几何体的三视图：正视图和侧视图或俯视图判断几何体的形状，即可．解答：解：圆柱的正视图为矩形，故选：A 点评：本题考查简单几何体的三视图，考查逻辑推理能力和空间想象力，是基础题． 3．（5分）（2021?福建）等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1=2，S3=12，则a6等于（） 8 10 12 14A．B． C． D．考点：等差数列的前n项和．专题：等差数列与等比数列．分析：由等差数列的性质和已知可得a2，进而可得公差，可得a6 解答：解：由题意可得S3=a1+a2+a3=3a2=12，解得a2=4，∴公差d=a2��a1=4��2=2，∴a6=a1+5d=2+5×2=12，故选：C．点评：本题考查等差数列的通项公式和求和公式，属基础题． 4．（5分）（2021?福建）若函数y=logax（a＞0，且a≠1）的图象如图所示，则下列函数图象正确的是（）1A．B． C． D．考点：对数函数的图像与性质．专题：函数的性质及应用．分析：由题意可得a=3，由基本初等函数的图象和性质逐个选项验证即可．解答：解：由题意可知图象过（3，1），故有1=loga3，解得a=3，选项A，y=a=3=3��x��x单调递减，故错误；选项B，y=x，由幂函数的知识可知正确； 33选项C，y=（��x）=��x，其图象应与B关于x轴对称，故错误；选项D，y=loga（��x）=log3（��x），当x=��3时，y=1，但图象明显当x=��3时，y=��1，故错误．故选：B．点评：本题考查对数函数的图象和性质，涉及幂函数的图象，属基础题． 5．（5分）（2021?福建）阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的S的值等于（）18 A．20 B． 21 C． 240 D．考点：循环结构．专题：计算题；算法和程序框图． 12n分析：算法的功能是求S=2+2+…+2+1+2+…+n的值，计算满足条件的S值，可得答案． 12n解答：解：由程序框图知：算法的功能是求S=2+2+…+2+1+2+…+n的值，12123∵S=2+2+1+2=2+4+1+2=9＜15，S=2+2+2+1+2+3=2+4+8+1+2+3=20≥15．∴输出S=20．故选：B．点评：本题考查了直到型循环结构的程序框图，根据框图的流程判断算法的功能是解题的关键． 6．（5分）（2021?福建）直线l：y=kx+1与圆O：x+y=1相交于A，B 两点，则“k=1”是“△OAB的面积为”的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件充分必要条件 C．D．既不充分又不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断；直线与圆相交的性质．专题：直线与圆；简易逻辑．分析：根据直线和圆相交的性质，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可得到结论． 22解答：解：若直线l：y=kx+1与圆O：x+y=1相交于A，B 两点， 22则圆心到直线距离d=，|AB|=2，若k=1，则|AB|=即充分性成立．，d=，则△OAB的面积为×=成立，若△OAB的面积为，则S=解得k=±1，则k=1不成立，即必要性不成立．故“k=1”是“△OAB的面积为”的充分不必要条件．=×2×==，故选：A．点评：本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用三角形的面积公式，以及半径半弦之间的关系是解决本题的关键． 7．（5分）（2021?福建）已知函数f（x）= A．f（x）是偶函数 f（x）是周期函数 C．考点：余弦函数的单调性．，则下列结论正确的是（）B． f（x）是增函数 D． f（x）的值域为[��1，+∞） 3专题：函数的性质及应用．分析：由三角函数和二次函数的性质，分别对各个选项判断即可．解答：解：由解析式可知当x≤0时，f（x）=cosx为周期函数，当x＞0时，f（x）=x+1，为二次函数的一部分，故f（x）不是单调函数，不是周期函数，也不具备奇偶性，故可排除A、B、C，对于D，当x≤0时，函数的值域为[��1，1]，当x ＞0时，函数的值域为值域为（1，+∞），故函数f（x）的值域为[��1，+∞），故正确．故选：D 点评：本题考查分段函数的性质，涉及三角函数的性质，属基础题． 8．（5分）（2021?福建）在下列向量组中，可以把向量=（3，2）表示出来的是（） A． C．=（0，0），=（3，5），=（1，2） =（6，10） B． D． =（��1，2），=（2，��3），=（5，��2） =（��2，3） 2 考点：平面向量的基本定理及其意义．专题：平面向量及应用．分析：根据向量的坐标运算，，计算判别即可．解答：解：根据，选项A：（3，2）=λ（0，0）+μ（1，2），则 3=μ，2=2μ，无解，故选项A不能；选项B：（3，2）=λ（��1，2）+μ（5，��2），则3=��λ+5μ，2=2λ��2μ，解得，λ=2，μ=1，故选项B能．选项C：（3，2）=λ（3，5）+μ（6，10），则3=3λ+6μ，2=5λ+10μ，无解，故选项C不能．选项D：（3，2）=λ（2，��3）+μ（��2，3），则3=2λ��2μ，2=��3λ+3μ，无解，故选项D不能．故选：B．点评：本题主要考查了向量的坐标运算，根据列出方程解方程是关键，属于基础题． 9．（5分）（2021?福建）设P，Q分别为圆x+（y��6）=2和椭圆Q两点间的最大距离是（） A．B． 5 + 考点：椭圆的简单性质；圆的标准方程．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程． 22+y=1上的点，则P，2C． 7+ D． 6 4分析：求出椭圆上的点与圆心的最大距离，加上半径，即可得出P，Q两点间的最大距离．解答：解：设椭圆上的点为（x，y），则22∵圆x+（y��6）=2的圆心为（0，6），半径为，∴椭圆上的点（x，y）到圆心（0，6）的距离为==≤5，∴P，Q两点间的最大距离是5+=6．故选：D．点评：本题考查椭圆、圆的方程，考查学生分析解决问题的能力，属于基础题． 10．（5分）（2021?福建）用a代表红球，b代表蓝球，c代表黑球，由加法原理及乘法原理，从1个红球和1个蓝球中取出若干个球的所有取法可由（1+a）（1+b）的展开式1+a+b+ab表示出来，如：“1”表示一个球都不取、“a”表示取出一个红球，而“ab”则表示把红球和蓝球都取出来．以此类推，下列各式中，其展开式可用来表示从5个无区别的红球、5个无区别的蓝球、5个有区别的黑球中取出若干个球，且所有的蓝球都取出或都不取出的所有取法的是（） 23455523455A．B．（1+a5）（1+a+a+a+a+a）（1+b）（1+c）（1+b+b+b+b+b）（1+c） 552345（1+a）5（1+b+b2+b3+b4+b5）C． 1+a5）（1+c） D．（（1+b）（1+c+c+c+c+c）考点：归纳推理；进行简单的合情推理．专题：推理和证明．分析：根据“1+a+b+ab表示出来，如：“1”表示一个球都不取、“a”表示取出一个红球，而“ab”则表示把红球和蓝球都取出来”，分别取红球蓝球黑球，根据分步计数原理，分三步，每一步取一种球，问题得以解决．解答：解：从5个无区别的红球中取出若干个球，可以1个球都不取、或取1个、2个、32345个、4个、5个球，共6种情况，则其所有取法为1+a+a+a+a+a；从5个无区别的5蓝球中取出若干个球，由所有的蓝球都取出或都不取出，得其所有取法为1+b；从5个有区别的黑球中取出若干个球，可以1个球都不取、或取1个、2个、3个、4个、5个球，共6种情况，则其所有取法为1+c+c+2c+233c+454c=（1+c），根据5555分步乘法计数原理得，适合要求的所有取法是（1+a+a+a+a+a）（1+b）（1+c）．故选：A．点评：本题主要考查了分步计数原理和归纳推理，合理的利用题目中所给的实例，要遵循其规律，属于中档题．二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分．把答案填在答题卡的相应位置11．（4分）（2021?福建）若变量 x，y满足约束条件，则z=3x+y的最小值为 1 ．考点：简单线性规划． 5感谢您的阅读，祝您生活愉快。

福建高考数学理科卷带详解

2009年普通高等学校招生全国统一考试（福建卷）数学（理工农医类）一. 选择题：本小题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 函数()sin cos f x x x =最小值是 ( )A ．1-B ． 12-C ． 12D ．1 【测量目标】二倍角，三角函数的值域．【考查方式】给出三角函数解析式，利用二倍角公式化简求解．【难易程度】容易【参考答案】B 【试题解析】∵1()sin 22f x x =∴min 1()2f x =-．故选B. 2．已知全集U =R ，集合2{|20}A x x x =->，则U A ð等于 ( )A ．{}02x x 剟B ．{}02x x <<C ．{0x x <或}2x >D ．{0x x …或}2x …【测量目标】集合的基本运算（补集）．【考查方式】给出集合，求其补集．【难易程度】容易【参考答案】A 【试题解析】∵计算可得{0A x x =<或}2x >∴}{02U A x x =剟ð．故选A.3．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且36S =，14a =，则公差d 等于 ( )A ．1B ．53C ．2-D ．3 【测量目标】等差数列的通项公式，等差数列的前n 项和，等差数列的性质．【考查方式】给出数列首项与前三项的和，根据等差数列通项公式与前n 项和求解公差．【难易程度】容易【参考答案】C 【试题解析】∵31336()2S a a ==+且3112, 4a a d a =+=， 2d ∴=-．故选C ．4． π2π2(1cos )x dx -+⎰等于 ( )A ．πB ． 2C ． π2-D ． π2+【测量目标】微积分基本定理求定积分．【考查方式】给出定积分，利用微积分基本定理求解．【难易程度】容易【参考答案】D 【试题解析】∵原式πππππ2sin (sin )[sin()]π2π22222x x =+=+--+-=+-．故选D 5．下列函数()f x 中，满足“对任意1x ，2x (0,)∈+∞，当1x <2x 时，都有1()f x >2()f x的是 ( )A ．()f x =1xB ． ()f x =2(1)x -C ．()f x =e xD ()ln(1)f x x =+ 【测量目标】函数单调性的判断．【考查方式】分析四个函数关系式，判断单调递减的函数．【难易程度】容易【参考答案】A【试题解析】依题意可得函数应在(0,)x ∈+∞上单调递减，故由选项可得A 正确．6．阅读右图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的结果是 ( )第6题图A ．2B ．4C ． 8D ．16【测量目标】循环结构的程序框图．【考查方式】给出循环结构的程序框图，根据程序框图求结果．【难易程度】容易【参考答案】C【试题解析】由算法程序图可知，在n =4前均执行“否”命令，故n =2×4=8．故选C ．7．设m ，n 是平面α内的两条不同直线，1l ，2l 是平面β内的两条相交直线，则αβ∥的一个充分而不必要条件是 ( )A ．m β∥且l α∥B ． 1m l ∥且2n l ∥C ． m β∥且n β∥D ． m β∥且2n l ∥【测量目标】充分、必要条件，线线、线面平行的判定．【考查方式】给出两直线平行，判断其充分不必要条件．【难易程度】中等【参考答案】B【试题解析】若1212,,,,,m l n l m n αλλβ⊂⊂∥∥，则可得αβ∥．若αβ∥则存在1221,,m l n l λλ∥∥8．已知某运动员每次投篮命中的概率低于40%．现采用随机模拟的方法估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率：先由计算器算出0到9之间取整数值的随机数，指定1，2，3，4表示命中，5，6，7，8，9，0表示不命中；再以每三个随机数为一组，代表三次投篮的结果．经随机模拟产生了20组随机数：907 966 191 925 271 932 812 458 569 683431 257 393 027 556 488 730 113 537 989据此估计，该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为 ( )A ．0.35B ．0.25C ．0.20D ．0.15【测量目标】随机事件与概率．【考查方式】给出随机数，求其概率．【难易程度】容易【参考答案】B 【试题解析】由随机数可估算出每次投篮命中的概率242605p ≈=则三次投篮命中两次为223C (1)P P ⨯⨯-≈0．25故选B9．设a b c ，，为同一平面内具有相同起点的任意三个非零向量，且满足a 与b 不共线，⊥a c ，=a c ，则b c 的值一定等于 ( )A ．以a ，b 为两边的三角形面积B ．以b ，c 为两边的三角形面积C ．以a ，b 为邻边的平行四边形的面积D ．以b ，c 为邻边的平行四边形的面积【测量目标】平面向量的数量积运算，三角形面积．【考查方式】通过对平面向量的数量积的运算转化成三角形的面积．【难易程度】容易【参考答案】C 【试题解析】依题意可得cos(,)sin(,)S ===b c b c b c b a a c ，故选C ． 10．函数2()(0)f x ax bx c a =++≠的图象关于直线2b x a =-对称．据此可推测，对任意的非零实数a ，b ，c ，m ，n ，p ，关于x 的方程[]2()()0m f x nf x p ++=的解集都不可能是 ( )A ． {}1,2B ．{}1,4C ．{}1,2,3,4D ．{}1,4,16,64【测量目标】函数的定义域．【考查方式】利用特例法带入求解得出结果．【难易程度】中等【试题答案】D【试题解析】本题用特例法解决简洁快速，对方程2[()]()0m f x nf x p ++=中,,m n p 分别赋值求出()f x 代入()0f x =求出检验即得．第二卷（非选择题共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分．把答案填在答题卡的相应位置．11．若2i 1ia b =+-（i 为虚数单位，,a b ∈R ）则a b +=_________ 【测量目标】复数代数形式的四则运算．【考查方式】给出复数表达式，进行四则运算，求出实部与虚部．【难易程度】容易【参考答案】2【试题解析】由22(1i)i 1i 1i (1i)(1i)a b +=+⇒=+--+，所以1,1,a b ==故2a b +=． 12．某校开展“爱我海西、爱我家乡”摄影比赛，9位评委为参赛作品A 给出的分数如茎叶图所示．记分员在去掉一个最高分和一个最低分后，算的平均分为91，复核员在复核时，发现有一个数字（茎叶图中的x ）无法看清．若记分员计算无误，则数字x 应该是___________第12题图【测量目标】茎叶图．【考查方式】给出茎叶图，求其平均数，逆向求解x ．【难易程度】容易【参考答案】1【试题解析】观察茎叶图，可知8889899293909291949119x x +++++++++=⇒=． 13．过抛物线22(0)y px p =>的焦点F 作倾斜角为45的直线交抛物线于A 、B 两点，若线段AB 的长为8，则p =____________．【测量目标】抛物线的简单几何性质，直线与抛物线的位置关系．【考查方式】联立直线与抛物线的方程，根据抛物线上焦半径的长度求出p 的值．【难易程度】中等【参考答案】2 【试题解析】由题意可知过焦点的直线方程为2p y x =-，联立有22223042y px p x px p y x ⎧=⎪⇒-+=⎨=-⎪⎩，又222(11)(3)4824p AB p p =+-⨯=⇒=． 14．若曲线3()ln f x ax x =+存在垂直于y 轴的切线，则实数a 取值范围是_____________．【测量目标】导数的几何意义．【考查方式】给出函数解析式，根据导数的几何意义，求解参数a 的取值范围．【难易程度】容易【参考答案】(,0)-∞ 【试题解析】由题意可知21()2f x ax x '=+，又因为存在垂直于y 轴的切线，所以231120(0)(,0)2ax a x a x x+=⇒=->⇒∈-∞． 15．五位同学围成一圈依序循环报数，规定：①第一位同学首次报出的数为1，第二位同学首次报出的数也为1，之后每位同学所报出的数都是前两位同学所报出的数之和；②若报出的数为3的倍数，则报该数的同学需拍手一次已知甲同学第一个报数，当五位同学依序循环报到第100个数时，甲同学拍手的总次数为________．【测量目标】已知递推关系求通项．【考查方式】根据实际问题列出递推关系，由递推关系得出第100次的拍手总数．【难易程度】中等【参考答案】5【试题解析】由题意可设第n 次报数，第1n +次报数，第2n +次报数分别为n a ，1n a +，2n a +，所以有12n n n a a a +++=，又121,1,a a ==由此可得在报到第100个数时，甲同学拍手5次．三、解答题16．（13分）从集合{}1,2,3,4,5的所有非空子集．．．．中，等可能地取出一个． (1)记性质r ：集合中的所有元素之和为10，求所取出的非空子集满足性质r 的概率；(2)记所取出的非空子集的元素个数为ξ，求ξ的分布列和数学期望E ξ【测量目标】组合，古典概型，离散型随机变量的分布列与期望．【考查方式】给出事件，算出总体事件数与所求事件数，根据古典概型求解；列出ξ的取值，分别算出概率求解．【难易程度】容易【试题解析】（1）记“所取出的非空子集满足性质r ”为事件A ．基本事件总数n =123555C C C +++4555C C +=31（步骤1）事件A 包含的基本事件是{1，4，5}、{2，3，5}、{1，2，3，4}，（步骤2）事件A 包含的基本事件数m =3，（步骤3）所以3()31m P A n ==．（步骤4）（2）依题意，ξ的所有可能取值为1，2，3，4，5 又15C 5(1)3131P ξ===， 25C 10(2)3131P ξ===， 35C 10(3)3131P ξ===， 45C 5(4)3131P ξ===， 55C 1(5)3131P ξ===．（步骤5）故ξ的分布列为：（步骤6） ξ1 2 3 4 5 P 531 1031 1031 531131 从而E 1ξ=⨯531+21031⨯+31031⨯+4531⨯+51803131⨯=．（步骤7） 17．（13分）如图，四边形ABCD 是边长为1的正方形，MD ⊥平面ABCD ， NB ⊥ABCD ，且MD =NB =1，E 为BC 的中点．（1）求异面直线NE 与AM 所成角的余弦值（2）在线段AN 上是否存在点S ，使得ES ⊥平面AMN ？若存在，求线段A S 的长；若不存在，请说明理由第17题图【测量目标】异面直线所成的角，线面垂直的判定，空间直角坐标系，空间向量及其运算．【考查方式】建立适当空间直角坐标系，应用空间向量的知识求异面直线所成角的余弦值和找出垂线并求线段长．【难易程度】中等【试题解析】（1）在如图，以D 为坐标原点，建立空间直角坐标D xyz -．（步骤1）依题意，得1(0,0,0),(1,0,0),(0,0,1),(0,1,0),(1,1,0),(1,1,1),(,1,0)2D A M C B NE ． 1(,0,1),(1,0,1)2NE AM ∴=--=-（步骤2） 10cos ,10NE AMNE AM NE AM <>==-⨯，所以异面直线NE 与AM 所成角的余弦值为1010．（步骤3）（2）假设在线段AN 上存在点S ，使得ES ⊥平面AMN ．（步骤4） (0,1,1)AN =，可设(0,,)AS AN λλλ==，又11(,1,0),(,1,)22EA ES EA AS λλ=-∴=+=-．（步骤5）由ES ⊥平面AMN ，得0,0ES AM ES AN ⎧∙=⎪⎨∙=⎪⎩即10,2(1)0λλλ⎧-+=⎪⎨⎪-+=⎩故12λ=，此时112(0,,),222AS AS ==．（步骤6）经检验，当22AS =时，ES ⊥平面AMN ．（步骤7）故线段AN 上存在点S ，使得ES ⊥平面AMN ，此时22AS =．（步骤8）第17题图18．（本小题满分13分）如图，某市在长为8km 的道路OP 的一侧修建一条运动赛道，赛道的前一部分为曲线段OSM ，该曲线段为函数sin (0,0)y A x A ωω=>>，[0,4]x ∈的图象，且图象的最高点为S (3，23)；赛道的后一部分为折线段MNP ，为保证参赛运动员的安全，限定120MNP ∠=（1）求A ，ω的值和M ，P 两点间的距离；（2）应如何设计，才能使折线段赛道MNP 最长？第18题图【测量目标】三角函数的图象、周期性、最值，求函数解析式，两点之间的距离，正弦定理，基本不等式．【考查方式】给出三角函数的部分图象与折线图象的复合图象，找出有用的信息求解析式，并求两点之间的距离；由三角函数的最值或利用基本不等式求解．【难易程度】较难【试题解析】解法一（1）依题意，有23A =，34T =，（步骤1）又2πT ω=，π6ω∴=．π23sin 6y x ∴=．（步骤2）当4x =时，2π23sin 33y ∴==．(4,3)M ∴．（步骤3）又(8,3)P ，22435MP ∴=+=．（步骤4）（2）在MNP △中，120MNP ∠=，5MP =，设∠PMN =θ，则060θ<<（步骤5）由正弦定理得sin120sin sin(60)MP NP MN θθ==-， 103sin 3NP θ∴=，103sin(60)3MN θ∴=-．（步骤6）故10310310313sin sin(60)(sin cos )33322NP MN θθθθ+=+-=+103sin(60)3θ=+．（步骤7） 060θ∴<<，∴当30θ=时，折线段赛道MNP 最长．亦即，将∠PMN 设计为30时，折线段道MNP 最长．（步骤8）第18题图解法二：（1）同解法一．（2）在MNP △中，120MNP ∠=，MP =5，由余弦定理得2222cos MN NP MN NP MNP MP +-∠=，即2225MN NP MN NP ++=，故22()25()2MN NP MN NP MN NP ++-=…．（步骤5）从而23()254MN NP +…，即1033MN NP +…．（步骤6）当且仅当MN NP =时，折线段道MNP 最长．（步骤7）注：本题第（Ⅱ）问答案及其呈现方式均不唯一，除了解法一、解法二给出的两种设计方式，还可以设计为：①123943(26N ++，）；②123943(26N --，）；③点N 在线段MP 的垂直平分线上等．19、（本小题满分13分）已知A ，B 分别为曲线C ： 2221(0,0)x y y a a+=>…与x 轴的左、右两个交点，直线l 过点B ，且与x 轴垂直，S 为l 上异于点B 的一点，连结AS 交曲线C 于点T ．（1）若曲线C 为半圆，点T 为圆弧AB 的三等分点，试求出点S 的坐标；（2）如图，点M 是以SB 为直径的圆与线段TB 的交点，试问：是否存在a ，使得O ，M ，S 三点共线？若存在，求出a 的值，若不存在，请说明理由．第19题图【测量目标】圆锥曲线中的定点问题、探索性问题．【考查方式】给出椭圆、圆、直线的图象，判断之间的关系，分类讨论探索发现得出结果．【难易程度】较难【试题解析】解法一：（1）当曲线C 为半圆时，1,a =如图，由点T 为圆弧AB 的三等分点得60BOT ∠=或120．（步骤1）①当60BOT ∠=时，30SAE ∠=．又AB =2，故在SAE △中，有tan 30,(,);SB AB S t 2323==∴33（步骤2） ②当120BOT ∠=时，同理可求得点S 的坐标为(1,23)，（步骤3）综上，23(1,)3S 或(1,23)S ．（步骤4）（2）假设存在(0)a a >，使得O ，M ，S 三点共线．由于点M 在以SB 为直线的圆上，故BT OS ⊥．（步骤5）显然，直线AS 的斜率k 存在且k >0，可设直线AS 的方程为()y k x a =+．由2221()x y a y k x a ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩得，22222422(1)20a k x a k x a k a +++-=．设点32222(,),(),1T T T a k a T x y x a a k-∴-=+ 故32221T a a k x a k -=+，从而222()1T T ak y k x a a k=+=+．亦即3222222(,).11a a k ak T a k a k -++ 32222222(,0),(,)11a k ak B a BT a k a k-∴=++．由()x a y k x a =⎧⎨=+⎩得(,2),(,2).S a ak OS a ak ∴=由BT OS ⊥，可得4222222401a k a k BT OS a k-+==+即4222240a k a k -+=． 0,0,2k a a >>∴=．经检验，当2a =时，O ，M ，S 三点共线．故存在2a =，使得O ，M ，S 三点共线．解法二:（1）同解法一．（2）假设存在a ，使得O ，M ，S 三点共线．由于点M 在以SO 为直径的圆上，故SM BT ⊥．显然，直线AS 的斜率k 存在且k >0，可设直线AS 的方程为()y k x a =+．由2221()x y a y k x a ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩得22222222(1)20a b x a k x a k a +++-=．设点(,)T T T x y ，则有42222().1T a k a x a a k --=+ 故3222T a a k x a a k -=+，从而222()1T T ak y k x a a k=+=+，亦即2322222(,)11a a k ak T a k a k -++． 21(,0),T BT T y B a k x a a k∴==--，故2SM k a k =．由,()x a y k x a =⎧⎨=+⎩，得(,2)S a ak ，所直线SM 的方程为22()y ak a k x a -=-． O ，S ，M 三点共线当且仅当O 在直线SM 上，即22()ak a k a =-． 0,0,2a k a >>∴=．故存在2a =，使得O ，M ，S 三点共线．20、（本小题满分14分）已知函数321()3f x x ax bx =++，且(1)0f '-= （1）试用含a 的代数式表示b ，并求()f x 的单调区间；（2）令1a =-，设函数()f x 在1212,()x x x x <处取得极值，记点M (1x ，1()f x )，N (2x ，2()f x )，P (,()m f m )，12x m x <<，请仔细观察曲线()f x 在点P 处的切线与线段MP 的位置变化趋势，并解释以下问题：（I ）若对任意的12(,)m x x ∈，线段MP 与曲线f (x )均有异于M ，P 的公共点，试确定t 的最小值，并证明你的结论；（II ）若存在点Q(n ，f (n ))， x n m <…，使得线段PQ 与曲线f (x )有异于P 、Q 的公共点，请直接写出m 的取值范围（不必给出求解过程）【测量目标】利用导数求函数单调区间、极值，导数的几何意义，函数零点的应用．【考查方式】给出含参的三次函数的解析式及在1x =-处的导数值，利用导数求解其单调性；利用导数判断单调区间，应用函数零点求取值范围．【难易程度】较难【试题解析】解法一:（1）依题意，得2()2f x x ax b '=++，由(1)120f a b '-=-+=，得21b a =-．从而321()(21)3f x x ax a x =++-，故()(1)(21)f x x x a '=++-．令()0f x '=，得1x =-或12x a =-，①当a >1时， 121a -<-，当x 变化时，()f x '与()f x 的变化情况如下表： x (,12)a -∞-(12,1)a -- (1,)-+∞ ()f x ' +－ + ()f x单调递增单调递减单调递增由此得，函数()f x 的单调增区间为(,12)a -∞-和(1,)-+∞，单调减区间为(12,1)a --． ②当1a =时，121a -=-此时有()0f x '>恒成立，且仅在1x =-处()0f x '=，故函数()f x 的单调增区间为R③当1a <时，121a ->-同理可得，函数()f x 的单调增区间为(,1)-∞-和(12,)a -+∞，单调减区间为(1,12)a --综上所述，当1a >时，函数()f x 的单调增区间为(,12)a -∞-和(1,)-+∞，单调减区间为(12,1)a --；当1a =时，函数()f x 的单调增区间为R ；当1a <时，函数()f x 的单调增区间为(,1)-∞-和(12,)a -+∞，单调减区间为(1,12)a --．（2）由1a =-得321()33f x x x x =--．令2()230f x x x '=--=，得121,3x x =-=由（1）得()f x 增区间为(,1)-∞-和(3,)+∞，单调减区间为(1,3)-，所以函数()f x 在处121,3x x =-=取得极值，故M （51,3-），N （3,9-）．（I ）观察()f x 的图象，有如下现象：①当m 从1-（不含1-）变化到3时，线段MP 的斜率与曲线()f x 在点P 处切线的斜率()f x 之差()MP k f m '-的值由正连续变为负．②线段MP 与曲线是否有异于H ，P 的公共点与()MP k f m '-的m 正负有着密切的关联； ③()MP k f m '-对应的位置可能是临界点，故推测：满足()MP k f m '-的m 就是所求的t 最小值，下面给出证明并确定的t 最小值．曲线()f x 在点(,())P m f m 处的切线斜率2()23f m m m '=--，线段MP 的斜率2453MP m m k --=．当()0MP k f m '-=时，解得1m =-或2m =直线MP 的方程为2245433m m m m y x ---=+，令22454()()()33m m m m g x f x x ---=-+，当2m =时，2()2g x x x '=-在(1,2)-上只有一个零点0x =，可判断()f x 函数在(1,0)-上单调递增，在(0,2)上单调递减，又(1)(2)0g g -==，所以()g x 在(1,2)-上没有零点，即线段MP 与曲线()f x 没有异于M ，P 的公共点．当(]2,3m ∈时，24(0)03m m g -=->，2(2)(2)0g m =--<．所以存在(]0,2m ∈使得()0g δ=即当(]2,3,m ∈时MP 与曲线()f x 有异于M ，P 的公共点．综上，t 的最小值为2．（II ）类似（I ）于中的观察，可得m 的取值范围为(]2,3解法二：（1）同解法一．（2）由1a =-得321()33f x x x x =---，令2()230f x x x '=--=，得121,3x x =-= 由（1）得的()f x 单调增区间为(,1)-∞-和(3,)+∞，单调减区间为(1,3)-，所以函数在处取得极值．故M (51,3-)，N (3,9-) （I ）直线MP 的方程为22454.33m m m m y x ---=+ 由223245433133m m m m y x y x x x ⎧---=+⎪⎪⎨⎪=--⎪⎩得32223(44)40x x m m x m m ---+-+=线段MP 与曲线()f x 有异于M ，P 的公共点等价于上述方程在(1,)m -上有根，即函数 3222()3(44)4g x x x m m x m m =---+-+在(1,)m -上有零点．因为函数()g x 为三次函数，所以()g x 至多有三个零点，两个极值点．又(1)()0g g m -==．因此， ()g x 在(1,)m -上有零点等价于()g x 在(1,)m -内恰有一个极大值点和一个极小值点，即22()36(44)0(1,)g x x x m m m '=---+=在内有两不相等的实数根．等价于2222236124403(1)6(44)036(44)01m m m m m m m m m ⎧∆+-+⎪-+--+>⎪⎨---+>⎪⎪>⎩＝（）＞，即15,21,1m m m m -<<⎧⎪><-⎨⎪>⎩或解得25m << 又因为13m -<…，所以m 的取值范围为(2，3)（II ）从而满足题设条件的t 的最小值为2．21、本题（1）、（2）、（3）三个选答题，每小题7分，请考生任选2题作答，满分14分，如果多做，则按所做的前两题计分．作答时，先用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑，并将所选题号填入括号中，（1）（本小题满分7分）选修4—4：矩阵与变换已知矩阵M 2311-⎛⎫ ⎪-⎝⎭所对应的线性变换把点A (x ，y)变成点A (13，5)，试求M 的逆矩阵及点A 的坐标．（2）（本小题满分7分）选修4—4：坐标系与参数方程已知直线:34120l x y +-=与圆C ：12cos 22sin x y θθ=-+⎧⎨=+⎩(θ为参数 )试判断他们的公共点个数．（3）（本小题满分7分）选修4—5：不等式选讲解不等式211x x -<+．【测量目标】矩阵与行列式初步，坐标系与参数方程，不等式选讲．【考查方式】给出矩阵进行变换求逆矩阵；给出直线方程与圆的参数方程判断交点个数；给出不等式求解．【难易程度】中等【试题解析】（1）由 2 3,1 1-⎛⎫= ⎪-⎝⎭M 得1=M ，故1 1 3,1 2--⎛⎫= ⎪-⎝⎭M 从而由 2 3131 15x y -⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭得 1 3131133521 25113253x y --⨯+⨯⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪--⨯+⨯-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭故2,3x y =⎧⎨=-⎩，即(2,3)A -为所求．（2）圆的方程可化为22(1)(2)4x y ++-=．其圆心为(1,2)C -，半径为2，22381272534d -+-==+＜，有两交点．（3）当x <0时，原不等式可化为211x x -+<-+，解得0x >又0,x x <∴不存在；当102x <…时，原不等式可化为211x x -+<+，解得0x >．又110,022x x <∴<<…；当11,222x x ∴<厔综上，原不等式的解集为{}02x x <<．。

高考福建理科数学试题及答案word解析版

2013年普通高等学校招生全国统一考试（福建卷）数学（理科)第Ⅰ卷（选择题共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．（1）【2013年福建,理1，5分】已知复数的共轭复数（为虚数单位)，则在复平面内对应的点位于( ）（A）第一象限(B）第二象限（C)第三象限（D）第四象限【答案】D【解析】的共轭复数，则，对应点的坐标为，故选D．（2）【2013年福建，理2，5分】已知集合，，则“”是“”的（)（A）充分而不必要条件（B）必要而不充分条件(C)充分必要条件（D）既不充分也不必要条件【答案】A【解析】,，或3．因此是充分不必要条件，故选A．（3)【2013年福建,理3,5分】双曲线的顶点到其渐近线的距离等于（）（A）（B）(C）（D)【答案】C【解析】的顶点坐标为，渐近线为，即．带入点到直线距离公式=，故选C．（4)【2013年福建，理4，5分】某校从高一年级学生中随机抽取部分学生，将他们的模块测试成绩分为6组：，，，，，加以统计,得到如图所示的频率分布直方图，已知高一年级共有学生600名，据此估计，该模块测试成绩不少于60分的学生人数为（）（A)588 （B)480 （C）450 （D）120【答案】B【解析】由图知道60分以上人员的频率为后4项频率的和，由图知道，故分数在60以上的人数为人，故选B．（5）【2013年福建，理5，5分】满足，且关于的方程有实数解的有序数对的个数为（）（A）14 (B）13 （C)12 (D）10【答案】B【解析】方程有实数解，分析讨论①当时，很显然为垂直于轴的直线方程，有解．此时可以取4个值．故有4种有序数对；②当时，需要，即．显然有3个实数对不满足题意，分别为,,．共有中实数对，故答案应为，故选B．（6)【2013年福建,理6，5分】阅读如图所示的程序框图，若输入的，则该算法的功能是( ）（A）计算数列的前10项和（B）计算数列的前9项和(C)计算数列的前10项和（D）计算数列的前9项和【答案】A【解析】第一循环：，第二条：第三条:…．．第九循环：．第十循环：，输出．根据选项，,故为数列的前10项和，故选A．（7)【2013年福建,理7,5分】在四边形中，，，则四边形的面积为（）（A) （B）（C）5 （D)10【答案】C【解析】由题意，容易得到．设对角线交于点，则四边形面积等于四个三角形面积之和即．容易算出，则算出，故选C．（8）【2013年福建,理8，5分】设函数的定义域为，是的极大值点，以下结论一定正确的是（）（A)（B)是的极小值点（C)是的极小值点（D）是的极小值点【答案】D【解析】A．，错误．是的极大值点，并不是最大值点；B．是的极小值点．错误．相当于关于轴的对称图像，故应是的极大值点;C．是的极小值点．错误．相当于关于轴的对称图像，故应是的极小值点．跟没有关系．D．是的极小值点．正确．相当于先关于轴的对象，再关于轴的对称图像．故D正确，故选D．（9）【2013年福建，理9，5分】已知等比数列的公比为，记,则以下结论一定正确的是（）（A）数列为等差数列，公差为（B）数列为等比数列,公比为（C）数列为等比数列,公比为（D）数列为等比数列，公比为【答案】C【解析】等比数列的公比为,同理可得，，，，数列为等比数列,，故选C．（10）【2013年福建，理10，5分】设,是的两个非空子集,如果存在一个从到的函数满足：（ⅰ）；（ⅱ）对任意，当时，恒有，那么称这两个集合“保序同构”．以下集合对不是“保序同构”的是（）（A)，（B)，（C），（D），【答案】D【解析】根据题意可知,令,则A选项正确；令,则B选项正确；令，则C选项正确，故选D．第Ⅱ卷(非选择题共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分．把答案填在答题卡的相应位置．（11）【2013年福建，理11，4分】利用计算机产生0～1之间的均匀随机数，则时间“”发生的概率为．【答案】【解析】，产生0~1之间的均匀随机数．（12）【2013年福建，理12，4分】已知某一多面体内接于一个简单组合体，如果该组合体的正视图．测试图．俯视图均如图所示，且图中的四边形是边长为2的正方形，则该球的表面积是．【答案】【解析】由图可知，图形为一个球中间是内接一个棱长为2的正方体，．(13)【2013年福建，理13，5分】如图中，已知点在边上，,，，,则的长为．【答案】【解析】根据余弦定理可得,．(14）【2013年福建，理14，4分】椭圆的左．右焦点分别为，，焦距为，若直线与椭圆的一个交点满足，则该椭圆的离心率等于．【答案】【解析】由直线方程直线与轴的夹角，且过点即由椭圆的第一定义可得．(15）【2013年福建，理15，4分】当，时，有如下表达式：，两边同时积分得：．从而得到如下等式：．请根据以下材料所蕴含的数学思想方法计算：_．【答案】【解析】由两边同时积分得:从而得到如下等式:．三、解答题：本大题共6题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．（16）【2013年福建,理16，13分】某联欢晚会举行抽奖活动，举办方设置了甲．乙两种抽奖方案,方案甲的中奖率为，中将可以获得2分；方案乙的中奖率为，中将可以得3分；未中奖则不得分．每人有且只有一次抽奖机会,每次抽奖中将与否互不影响，晚会结束后凭分数兑换奖品．(1)若小明选择方案甲抽奖，小红选择方案乙抽奖，记他们的累计得分为，求的概率;(2）若小明．小红两人都选择方案甲或方案乙进行抽奖,问：他们选择何种方案抽奖,累计的得分的数学期望较大？解：（1）由已知得：小明中奖的概率为,小红中奖的概率为，两人中奖与否互不影响，记“这2人的累计得分”的事件为A，则A事件的对立事件为“”，,,这两人的累计得分的概率为．(2）设小明．小红都选择方案甲抽奖中奖的次数为，都选择方案乙抽奖中奖的次数为,则这两人选择方案甲抽奖累计得分的数学期望为，选择方案乙抽奖累计得分的数学期望为由已知：，，，,,，，他们都在选择方案甲进行抽奖时，累计得分的数学期望最大．(17)【2013年福建,理17，13分】已知函数．(1）当时，求曲线在点处的切线方程；（2)求函数的极值．解：函数的定义域为，．（1）当时，，，，在点处的切线方程为，即．（2）由可知：①当时，，函数为上的增函数，函数无极值；②当时，由,解得；时，,时，，在得极小值,且极小值为，无极大值．综上：当时，函数无极值当时，函数在处取得极小值，无极大值．（18)【2013年福建，理18,13分】如图，在正方形中，为坐标原点，点的坐标为，点的坐标为．分别将线段和十等分，分点分别记为和，连结,过做轴的垂线与交于点．（1)求证：点都在同一条抛物线上，并求该抛物线的方程；(2）过点做直线与抛物线交于不同的两点，若与的面积比为,求直线的方程．解:（1）依题意，过且与轴垂直的直线方程为，，直线的方程为设坐标为,由得：，即,都在同一条抛物线上,且抛物线方程为．(2）依题意：直线的斜率存在，设直线的方程为，由，得，此时,直线与抛物线恒有两个不同的交点．设：，则,，，又，分别带入，解得直线的方程为，即或．（19)【2013年福建，理19，13分】如图，在四棱柱中，侧棱底面,，，，，,．（1）求证:平面;（2）若直线与平面所成角的正弦值为，求的值；(3）现将与四棱柱形状和大小完全相同的两个四棱柱拼接成一个新的棱柱，规定:若拼接成的新的四棱柱形状和大小完全相同，则视为同一种拼接方案．问：共有几种不同的方案?在这些拼接成的新四棱柱中,记其中最小的表面积为,写出的表达式(直接写出答案,不必要说明理由)．解：(1）取中点，连接，,，四边形为平行四边形，且，在中，,，即，又，所以，平面，平面,,又,平面．(2）以为原点,的方向为轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，，，，所以,,，设平面的法向量，则由，得，取，得，设与平面所成角为，则,解得．故所求的值为1．（3）共有种不同的方案．（20）【2013年福建，理20，14分】已知函数的周期为,图像的一个对称中心为，将函数图像上的所有点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变),在将所得图像向右平移个单位长度后得到函数的图像．(1）求函数与的解析式；（2）是否存在，使得按照某种顺序成等差数列?若存在，请确定的个数；若不存在,说明理由；（3)求实数与正整数，使得在内恰有2013个零点．解:（1)由函数的周期为，，得,又曲线的一个对称中心为,故，得,所以,将函数图象上所有点的横坐标伸长到原来的倍(纵坐标不变)后可得的图象，再将的图象向右平移个单位长度后得到函数．（2）当时,,,所以，问题转化为方程在内是否有解，设，则，因为,所以，在内单调递增又，,且函数的图象连续不断，故可知函数在内存在唯一零点，即存在唯一的满足题意．（3）解法一：依题意,,令，当，即时，，从而不是方程的解，所以方程等价于关于的方程，,现研究时方程解的情况．令，,则问题转化为研究直线与曲线在的交点情况，,令，得或．当且趋近于时,趋向于;当且趋近于时，趋向于,故当时，直线与曲线在内有无交点，在内有个交点；当时，直线与曲线在内有个交点，在内无交点；当时，直线与曲线在内有个交点，在内有个交点由函数的周期性，可知当时，直线与曲线在内总有偶数个交点，从而不存在正整数，使得直线与曲线在内恰有2013个交点;当时，直线与曲线在内有3个交点，由周期性，，，综上，当,时,函数在内恰有2013个零点．解法二：依题意,．现研究函数在上的零点的情况．设,，则函数的图象是开口向下的抛物线，又，,．当时，函数有一个零点(另一个零点，舍去）,在上有两个零点，，且，；当时,函数有一个零点（另一个零点，舍去）,在上有两个零点，，且，；当时，函数有一个零点，另一个零点，在和分别有两个零点．由正弦函数的周期性，可知当时，函数在内总有偶数个零点，从而不存在正整数满足题意．当时,函数有一个零点,另一个零点;当时，函数有一个零点，另一个零点，从而当或时，函数在有3个零点．由正弦函数的周期性，，所以依题意得．综上，当，或，时，在内恰有个零点．本题设有三个选考题,每题7分，请考生任选2题作答．满分14分,如果多做，则按所做的前两题计分，作答时,先用2B铅笔在答题卡上所选题目对应题号右边的方框涂黑，并将所选题号填入括号中．（21）【2013年福建，理21（1）,7分】（选修4—2:矩阵与变换)已知直线在矩阵对应的变换作用下变为直线．（1）求实数的值；（2)若点在直线上,且，求点的坐标．解：（1）设直线上任意一点在矩阵对应的变换作用下的像是由，得,又点在上，所以,即,依题意，解得．（2）由，得，解得,又点在直线上，所以故点的坐标为．（21)【2013年福建，理21（2），7分】（选修4—4：坐标系与参数方程）在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立坐标系．已知点的极坐标为，直线的极坐标方程为，且点在直线上．（1）求的值及直线的直角坐标方程；(2)圆的参数方程为,（为参数)，试判断直线与圆的位置关系．解：(1)由点在直线上,可得，所以直线的方程可化为，从而直线的直角坐标方程为．(2）由已知得圆的直角坐标方程为,所以圆心为，半径，以为圆心到直线的距离，所以直线与圆相交．（21）【2013年福建，理21（2)，7分】（选修4-5：不等式选讲）设不等式的解集为,且,．（1)求的值；(2）求函数的最小值．解:（1）因为,且，所以，且，解得，又因为，所以．（2）因为,当且仅当,即时取得等号,所以的最小值为3．。

2019年福建省高考(理科)数学试题及答案(Word解析版)

2019年福建省高考（理科）数学试题及答案（Word 解析版）一、选择题1．已知复数z 的共轭复数12z i =+（i 为虚数单位），则z 在复平面内对应的点位于（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】D【解析】z 的共轭复数12z i =+，则12z i =-，对应点的坐标为(1,2)-，故答案为D ． 2．已知集合{}1,A a =,{}1,2,3B =,则“3a =”是“A B ⊆”的（） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】3,a A B =⇒⊆2A B a ⊆⇒=，或3．因此是充分不必要条件．3．双曲线2214x y -=的顶点到其渐近线的距离等于（） A ．25 B ．45 C．5 D．5【答案】C【解析】 2214x y -=的顶点坐标为(2,0)±，渐近线为2204x y -=，即20x y ±=．带入点到直线距离公式d ==． 4．某校从高一年级学生中随机抽取部分学生，将他们块测试成绩分为6组：[40,50), [50,60), [60,70), [70,80),[80,90), [90,100)加以统计，得到如图所示的频率分布直方图，已知高一年级共有学生600名，据此估计，块测试成绩不少于60分的学生人数为（）A ．588B ．480C ．450D ．120【答案】B 【解析】由图知道60分以上人员的频率为后4项频率的和，由图知道(0.030.0250.0150.01)*100.8P =+++= 故分数在60以上的人数为600*0．8=480人．5．满足{},1,0,1,2a b ∈-，且关于x 的方程220ax x b ++=有实数解的有序数对(,)a b 的个数为（）A ．14B ．13C ．12D ．10 【答案】B【解析】方程220ax x b ++=有实数解，分析讨论①当0a =时，很显然为垂直于x 轴的直线方程，有解．此时b 可以取4个值．故有4种有序数对 ②当0a ≠时，需要440ab ∆=-≥，即1ab ≤．显然有3个实数对不满足题意，分别为（1,2），（2,1），（2,2）． (,)a b 共有4*4=16中实数对，故答案应为16-3=13． 6．阅读如图所示的程序框图，若输入的10k =，则该算法的功能是（）A ．计算数列{}12n -的前10项和B ．计算数列{}12n -的前9项和C ．计算数列{}21n -的前10项和D ．计算数列{}21n-的前9项和【答案】C【解析】第一循环：1,2S i ==，10i <第二条：3,3,10S i i ==<第三条：7,4,10S i i ==< …．．第九循环：921,10,10S i i =-==．第十循环：1021,11,10S i i =-=>，输出S ．根据选项，101(12)12S -=-，故为数列12n -的前10项和．故答案A ．7．在四边形ABCD 中，(1,2)AC =，(4,2)BD =-，则四边形的面积为（）A．．5 D ．10 【答案】C【解析】由题意，容易得到AC BD ⊥．设对角线交于O 点，则四边形面积等于四个三角形面积之和即S=11(****)(*)22AO DO AO BO CO DO CO BO AC BD +++=．容易算出AC BD ==，则算出S=5．故答案C8．设函数()f x 的定义域为R ，00(0)x x ≠是()f x 的极大值点，以下结论一定正确的是（）A ．0,()()x R f x f x ∀∈≤B ．0x -是()f x -的极小值点C ．0x -是()f x -的极小值点D ．0x -是()f x --的极小值点【答案】D【解析】A ．0,()()x R f x f x ∀∈≤，错误．00(0)x x ≠是()f x 的极大值点，并不是最大值点．B ．0x -是()f x -的极小值点．错误．()f x -相当于()f x 关于y 轴的对称图像，故0x -应是()f x -的极大值点C ．0x -是()f x -的极小值点．错误．()f x -相当于()f x 关于x 轴的对称图像，故0x 应是()f x -的极小值点．跟0x -没有关系．D ．0x -是()f x --的极小值点．正确．()f x --相当于()f x 先关于y 轴的对象，再关于x 轴的对称图像．故D正确9．已知等比数列{}n a 的公比为q ，记(1)1(1)2(1)...,n m n m n m n m b a a a -+-+-+=+++*(1)1(1)2(1)...(,),n m n m n m n m c a a a m n N -+-+-+=∙∙∙∈则以下结论一定正确的是（）A ．数列{}n b 为等差数列，公差为mq B ．数列{}n b 为等比数列，公比为2mq C ．数列{}n c 为等比数列，公比为2m q D ．数列{}n c 为等比数列，公比为mm q【答案】C【解析】等比数列{}n a 的公比为q,同理可得2222222,m m m mm m m a a a a a a ++++=∙=∙112...m c a a a =∙∙∙,212...,m m m m c a a a +++=∙∙∙321222...,m m m m c a a a +++=∙∙∙2213c c c ∴=∙∴数列{}n c 为等比数列，2221212211212............mm m m m m m m m ma a a a a a q c q q c a a a a a a +++∙∙∙∙∙∙∙====∙∙∙∙∙∙故选C 10．设S ，T ，是R 的两个非空子集，如果存在一个从S 到T 的函数()y f x =满足：(){()|};()i T f x x S ii =∈对任意12,,x x S ∈当12x x <时，恒有12()()f x f x <，那么称这两个集合“保序同构”．以下集合对不是“保序同构”的是（）A ．*,A NB N == B ．{|13},{|8010}A x x B x x x =-≤≤==-<≤或C ．{|01},A x x B R =<<=D ．,A Z B Q == 【答案】D【解析】根据题意可知，令()1f x x =-，则A 选项正确；令55(13)()228(1)x x f x x ⎧+-<≤⎪=⎨⎪-=-⎩，则B 选项正确；令1()tan ()2f x x π=-，则C 选项正确；故答案为D ．二．填空题11．利用计算机产生0~1之间的均匀随机数a ，则时间“310a ->”发生的概率为________ 【答案】23【解析】13103a a ->∴>a 产生0~1之间的均匀随机数1(,1)3a ∴∈112313p -∴==12．已知某一多面体内接于一个简单组合体，如果该组合体的正视图．测试图．俯视图均如图所示，且图中的四边形是边长为2的正方形，则该球的表面积是_______________【答案】12π【解析】由图可知，图形为一个球中间是内接一个棱长为2的正方体，22323412R S R ππ⨯∴====球表13．如图ABC ∆中，已知点D 在BC 边上，AD ⊥AC ，22sin 32,33BAC AB AD ∠===则BD 的长为_______________3【解析】22sin sin()cos 23BAC BAD BAD π∠=∠+=∠=∴根据余弦定理可得222cos 2AB AD BD BAD AB AD+-∠=∙ 22222(32)332323BD BD +-==⨯⨯14．椭圆2222:1(0)x y a b a bΓ+=>>的左．右焦点分别为12,F F ，焦距为2c ，若直线3()y x c =+与椭圆Γ的一个交点M 满足12212MF F MF F ∠=∠，则该椭圆的离心率等于__________31【解析】由直线方程3()y x c =+⇒直线与x 轴的夹角12233MF F ππ∠=或，且过点1-F （c,0）12212MF F MF F ∠=∠∴122123MF F MF F π∠=∠=即12F M F M ⊥12RT F MF ∴∆在中，12122,,F F c FM c F M ==∴由椭圆的第一定义可得21c a c a =∴==15．当,1x R x ∈<时，有如下表达式:211.......1nx x x x+++++=- 两边同时积分得：111112222220000011.......1ndx xdx x dx x dx dx x+++++=-⎰⎰⎰⎰⎰ 从而得到如下等式：23111111111()()...()...ln 2.2223212n n +⨯+⨯+⨯++⨯+=+ 请根据以下材料所蕴含的数学思想方法，计算：122311111111()()...()_____2223212nn n n n n n C C C C +⨯+⨯+⨯++⨯=+ 【答案】113[()1]12n n +-+ 【解析】由01221......(1)n nn n n n n C C x C x C x x +++++=+两边同时积分得：111112222220001......(1).nn n n n n C dx C xdx C x dx C x dx x dx +++++=+⎰⎰⎰⎰⎰从而得到如下等式：122311*********()()...()[()1]222321212n n n n n n nn n C C C C ++⨯+⨯+⨯++⨯=-++ 三．解答题16．（本小题满分13分）某联欢晚会举行抽奖活动，举办方设置了甲．乙两种抽奖方案，方案甲的中奖率为23，中将可以获得2分；方案乙的中奖率为25，中将可以得3分；未中奖则不得分．每人有且只有一次抽奖机会，每次抽奖中将与否互不影响，晚会结束后凭分数兑换奖品．（1）若小明选择方案甲抽奖，小红选择方案乙抽奖，记他们的累计得分为,X Y ，求3X ≤的概率；（2）若小明．小红两人都选择方案甲或方案乙进行抽奖，问：他们选择何种方案抽奖，累计的得分的数学期望较大？本小题主要考查古典概型．离散型随机变量的分布列．数学期望等基础知识，考查数据处理能力．运算求解能力．应用意识，考查必然和或然思想，满分13分．解：（Ⅰ）由已知得：小明中奖的概率为23，小红中奖的概率为25，两人中奖与否互不影响，记“这2人的累计得分3≤X ”的事件为A ，则A 事件的对立事件为“5=X ”，224(5)3515==⨯=P X ，11()1(5)15∴=-==P A P X∴这两人的累计得分3≤X 的概率为1115．（Ⅱ）设小明．小红都选择方案甲抽奖中奖的次数为1X ，都选择方案乙抽奖中奖的次数为2X ，则这两人选择方案甲抽奖累计得分的数学期望为1(2)E X ，选择方案乙抽奖累计得分的数学期望为2(3)E X 由已知：12~(2,)3X B ，22~(2,)5X B124()233∴=⨯=E X ，224()255=⨯=E X118(2)2()3∴==E X E X ，2212(3)3()5==E X E X12(2)(3)>E X E X∴他们都在选择方案甲进行抽奖时，累计得分的数学期望最大．17．（本小题满分13分）已知函数()ln ()f x x a x a R =-∈（1）当2a =时，求曲线()y f x =在点(1,(1))A f 处的切线方程；（2）求函数()f x 的极值．本小题主要考查函数．函数的导数．不等式等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想．分类与整合思想，数形结合思想．化归与转化思想．满分13分．解：函数()f x 的定义域为(0,)+∞，()1'=-a f x x ．（Ⅰ）当2=a 时，()2ln =-f x x x ，2()1(0)'=->f x x x，(1)1,(1)1'∴==-f f ，()∴=y f x 在点(1,(1))A f 处的切线方程为1(1)-=--y x ，即20+-=x y ．（Ⅱ）由()1,0-'=-=>a x af x x x x可知： ①当0≤a 时，()0'>f x ，函数()f x 为(0,)+∞上的增函数，函数()f x 无极值； ②当0>a 时，由()0'=f x ，解得=x a ；(0,)∈x a 时，()0'<f x ，(,)∈+∞x a 时，()0'>f x()∴f x 在=x a 处取得极小值，且极小值为()ln =-f a a a a ，无极大值．综上：当0≤a 时，函数()f x 无极值当0>a 时，函数()f x 在=x a 处取得极小值ln -a a a ，无极大值．18．（本小题满分13分）如图，在正方形OABC 中，O 为坐标原点，点A 的坐标为(10,0)，点C 的坐标为(0,10)．分别将线段OA 和AB 十等分，分点分别记为129,,....A A A 和129,,....B B B ，连结i OB ，过i A 做x 轴的垂线与i OB 交于点*(,19)i P i N i ∈≤≤．（1）求证：点*(,19)i P i N i ∈≤≤都在同一条抛物线上，并求该抛物线E 的方程；（2）过点C 做直线l 与抛物线E 交于不同的两点,M N ，若OCM ∆与OCN ∆的面积比为4:1，求直线l 的方程．本小题主要考查抛物线的性质．直线与抛物线的位置关系等基础知识，考查运算求解能力．推理论证能力，考查化归与转化思想，数形结合思想．函数与方程思想．满分13分．解：（Ⅰ）依题意，过*(,19)∈≤≤i A i N i 且与x 轴垂直的直线方程为=x i(10,)i B i ，∴直线i OB 的方程为10=iy x 设i P 坐标为(,)x y ，由10=⎧⎪⎨=⎪⎩x iiy x 得：2110=y x ，即210=x y ， ∴*(,19)∈≤≤iP i N i 都在同一条抛物线上，且抛物线E 方程为210=x y （Ⅱ）依题意：直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为10=+y kx 由21010=+⎧⎨=⎩y kx x y得2101000--=x kx 此时2100+4000∆=>k ，直线l 与抛物线E 恒有两个不同的交点,M N设：1122(,)(,)M x y N x y ，则121210100+=⎧⎨⋅=-⎩x x kx x4∆∆=OCM OCN S S ∴124=x x又120⋅<x x ，∴124=-x x分别带入21010=+⎧⎨=⎩y kx x y，解得32=±k 直线l 的方程为3+102=±y x ，即32200-+=x y 或3+2200-=x y19．（本小题满分13分）如图，在四棱柱1111ABCD A B C D -中，侧棱1AA ABCD ⊥底面，//AB DC ，11AA =，3AB k =，4AD k =，5BC k =，6DC k =(0)k >．（1）求证：11;CD ADD A ⊥平面（2）若直线1AA 与平面1AB C 所成角的正弦值为67，求k 的值；（3）现将与四棱柱1111ABCD A B C D -形状和大小完全相同的两个四棱柱拼接成一个新的棱柱，规定：若拼接成的新的四棱柱形状和大小完全相同，则视为同一种拼接方案．问：共有几种不同的方案？在这些拼接成的新四棱柱中，记其中最小的表面积为()f k ，写出()f k 的表达式（直接写出答案，不必要说明理由）本小题主要考查直线与直线．直线与平面的位置关系．柱体的概念及表面积等基础知识，考查空间想象能力．推理论证能力．运算求解能力，考查数形结合思想．分类与整合思想．化归与转化思想，满分13分．解：（Ⅰ）取CD 中点E ，连接BE //AB DE Q ，3AB DE k == ∴四边形ABED 为平行四边形 //BE AD ∴且4BE AD k ==在BCE V 中，4,3,5BE k CE k BC k ===Q222BE CE BC ∴+=90BEC ∴∠=︒,即BE CD ⊥，又//BE AD Q ，所以CD AD ⊥ 1AA ⊥Q 平面ABCD ，CD ⊂平面ABCD1AA CD ∴⊥，又1AA AD A =I ， CD ∴⊥平面11ADD A（Ⅱ）以D 为原点，1,,DA DC DD u u u r u u u r u u u r的方向为,,x y z 轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系(4,0,0)A k ，(0,6,0)C k ，1(4,3,1)B k k ，1(4,0,1)A k所以(4,6,0)AC k k =-u u u r ，1(0,3,1)AB k =u u u r ，1(0,0,1)AA =u u u r 设平面1AB C 的法向量(,,)n x y z =，则由10AC n AB n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩uuu r uuu r得46030kx ky ky z -+=⎧⎨+=⎩取2y =，得(3,2,6)n k =- 设1AA 与平面1AB C 所成角为θ，则111,sin |cos ,|||||AA nAA n AA n θ=〈〉=⋅uuu ruuu r uuu r67==，解得1k =．故所求k 的值为1 （Ⅲ）共有种不同的方案2257226,018()53636,18k k k f k k k k ⎧+<≤⎪⎪=⎨⎪+>⎪⎩20．（本小题满分14分）已知函数()sin()(0,0)f x x ωϕωϕπ=+><<的周期为π，图像的一个对称中心为(,0)4π，将函数()f x 图像上的所有点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），在将所得图像向右平移2π个单位长度后得到函数()g x 的图像．（1）求函数()f x 与()g x 的解析式；（2）是否存在0(,)64x ππ∈，使得0000(),(),()()f x g x f x g x 按照某种顺序成等差数列？若存在，请确定0x 的个数；若不存在，说明理由．（3）求实数a 与正整数n ，使得()()()F x f x ag x =+在(0,)n π内恰有2018个零点．本小题主要考查同角三角函数的基本关系．三角恒等变换．三角函数的图像与性质．函数．函数的导数．函数的零点．不等式等基础知识，考查运算求解能力．抽象概括能力，考查函数与方程思想，数形结合思想，分类与整合思想．化归与转化思想，满分14分．解：（Ⅰ）由函数()sin()f x x ωϕ=+的周期为π，0ω>，得2ω= 又曲线()y f x =的一个对称中心为(,0)4π，(0,)ϕπ∈故()sin(2)044f ππϕ=⨯+=，得2πϕ=，所以()cos 2f x x =将函数()f x 图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）后可得cos y x =的图象，再将cos y x =的图象向右平移2π个单位长度后得到函数()sin g x x =（Ⅱ）当(,)64x ππ∈时，1sin 22x <<，10cos 22x <<所以sin cos 2sin cos 2x x x x >>问题转化为方程2cos 2sin sin cos 2x x x x =+在(,)64ππ内是否有解设()sin sin cos 22cos 2G x x x x x =+-，(,)64x ππ∈则()cos cos cos 22sin 2(2sin )G x x x x x x '=++-因为(,)64x ππ∈，所以()0G x '>，()G x 在(,)64ππ内单调递增又1()064G π=-<，()042G π=>且函数()G x 的图象连续不断，故可知函数()G x 在(,)64ππ内存在唯一零点0x ，即存在唯一的0(,)64x ππ∈满足题意（Ⅲ）依题意，()sin cos 2F x a x x =+，令()sin cos 20F x a x x =+=当sin 0x =，即()x k k Z π=∈时，cos 21x =，从而()x k k Z π=∈不是方程()0F x =的解，所以方程()0F x =等价于关于x 的方程cos 2sin xa x=-，()x k k Z π≠∈ 现研究(0,)(,2)x πππ∈U 时方程解的情况令cos 2()sin xh x x=-，(0,)(,2)x πππ∈U 则问题转化为研究直线y a =与曲线()y h x =在(0,)(,2)x πππ∈U 的交点情况22cos (2sin 1)()sin x x h x x+'=，令()0h x '=，得2x π=或32x π= 当x 变化时，()h x 和()h x '变化情况如下表当x π<且x 趋近于π时，()h x 趋向于-∞ 当x π>且x 趋近于π时，()h x 趋向于+∞ 当2x π<且x 趋近于2π时，()h x 趋向于+∞故当1a >时，直线y a =与曲线()y h x =在(0,)π内有无交点，在(,2)ππ内有2个交点；当1a <-时，直线y a =与曲线()y h x =在(0,)π内有2个交点，在(,2)ππ内无交点；当11a -<<时，直线y a =与曲线()y h x =在(0,)π内有2个交点，在(,2)ππ内有2个交点由函数()h x 的周期性，可知当1a ≠±时，直线y a =与曲线()y h x =在(0,)n π内总有偶数个交点，从而不存在正整数n ，使得直线y a =与曲线()y h x =在(0,)n π内恰有2013个交点；当1a =±时，直线y a =与曲线()y h x =在(0,)(,2)πππU 内有3个交点，由周期性，20133671=⨯，所以67121342n =⨯= 综上，当1a =±，1342n =时，函数()()()F x f x ag x =+在(0,)n π内恰有2013个零点21．（本题满分14分）（1）（本小题满分7分）矩阵与变换已知直线:1l ax y +=在矩阵1201A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦对应的变换作用下变为直线':1l x by +=．（1）求实数,a b 的值；（2）若点00(,)p x y 在直线l 上，且0000x x A y y ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，求点p 的坐标．本小题主要考查矩阵．矩阵与变换等基础知识，考查运算求解能力．考查化归与转化思想．满分7分．解：解：（Ⅰ）设直线:1l ax y +=上任意一点(,)M x y 在矩阵A 对应的变换作用下的像是(,)M x y '''由12201x x x y y y y '+⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎪ ⎪'⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，得2x x y y y '=+⎧⎨'=⎩ 又点(,)M x y '''在l '上，所以1x by ''+=，即(2)1x b y ++=依题意121a b =⎧⎨+=⎩，解得11a b =⎧⎨=-⎩（Ⅱ）由0000x x A y y ⎛⎫⎛⎫=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，得000002x x y y y =+⎧⎨=⎩解得00y = 又点00(,)P x y 在直线l 上，所以01x = 故点P 的坐标为(1,0)（2）（本小题满分7分）坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立坐标系．已知点A的极坐标为)4π，直线l 的极坐标方程为cos()4a πρθ-=，且点A 在直线l 上．（1）求a 的值及直线l 的直角坐标方程；（2）圆c 的参数方程为1cos sin x y αα=+⎧⎨=⎩，（α为参数），试判断直线l 与圆的位置关系．本小题主要考查极坐标与直角坐标的互化．圆的参数方程等基础知识．考查运算求解能力，考查化归与转化思想，满分7分．解：（Ⅰ）由点)4A π在直线cos()4a πρθ-=上，可得a =所以直线l 的方程可化为cos sin 2ρθρθ+= 从而直线l 的直角坐标方程为20x y +-=（Ⅱ）由已知得圆C 的直角坐标方程为22(1)1x y -+= 所以圆心为(1,0)，半径1r =以为圆心到直线的距离12d =<，所以直线与圆相交（3）（本小题满分7分）不等式选讲设不等式*2()x a a N -<∈的解集为A ，且32A ∈，12A ∉．（1）求a 的值；（2）求函数()2f x x a x =++-的最小值．本小题主要考查绝对猪不等式等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想，满分7分．解：（Ⅰ）因为32A ∈，且12A ∉，所以322a -<，且122a -≥ 解得1322a <≤，又因为*a N ∈，所以1a = （Ⅱ）因为|1||2||(1)(2)|3x x x x ++-≥+--=当且仅当(1)(2)0x x +-≤，即12x -≤≤时取得等号，所以()f x 的最小值为3。

高考理科数学（福建卷）全解析

【福建高考试题解析】（理科数学）一、选择题： 1、【答案】A【命题意图】本题考查学生对于三角两角差公式的运用以及常见三角函数值的记忆。

βαβαβαsin cos cos sin )sin(-=-，2130sin =。

【解析】2130sin 13sin 43cos 13cos 43sin ==-2、【答案】D【命题意图】本题考查学生对抛物线焦点的识记以及原方程的求解。

px y 22=的焦点为)0,2(pF ，求解圆方程时，确定了圆心与半径就好做了。

【解析】抛物线的焦点为)0,1(F ，又圆过原点，所以1=R ，方程为021)1(2222=+-⇔=+-y x x y x 。

3、【答案】A【命题意图】本题考查学生对等差数列公式、求和公式的掌握程度，以及一元二次方程最值问题的求解。

d n n na S d n a a n n 2)1(,)1(11-+=-+=。

【解析】由61199164-=+-=+=+a a a a a ，得到59=a ，从而2=d ，所以n n n n n S n 12)1(112-=-+-=，因此当n S 取得最小值时，6=n . 4、【答案】C【命题意图】本题从分段函数的角度出发，考查了学生对基本初等函数的掌握程度。

【解析】⎪⎩⎪⎨⎧>≤-+=0,ln 0,4)1()(22x ex x x x f ，绘制出图像大致为所以零点个数为2。

5、【答案】C 【命题意图】本题考查学生对程序框图的理解。

选材较为简单，只需要考生能从上到下一步步列出就可以正确作答。

【解析】s =0→i =1→a =2→2=s →2=i →8=a →10=s →3=i →24=a → 34=s →i =4→输出i =4，选择C 6、【答案】D【命题意图】本题考查考生对立体几何体的理解程度、空间想像能力。

灵活，全面地考查了考生对知识的理解。

【解析】若FG 不平行于EH ，则FG 与EH 相交，焦点必然在B 1C 1上，而EH 平行于xye 2-4 -3B 1C 1，矛盾，所以FG 平行于EH ；由⊥EH 面11ABB A ，得到EF EH ⊥，可以得到四边形EFGH 为矩形，将Ω从正面看过去，就知道是一个五棱柱，C 正确；D 没能正确理解棱台与这个图形。

2019年福建省高考理科数学试卷及答案【word版】

2013年福建省高考数学试卷理科教师版

2013年福建省高考数学试卷（理科）一、选择题：本题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目的要求的.1．（5分）（2013?福建）已知复数z的共轭复数（i为虚数单位），则z在复平面内对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【分析】求出复数z，复数z的对应点的坐标，即可得到选项．【解答】解：因为复数z的共轭复数，所以z=1﹣2i，对应的点的坐标为（1，﹣2）．z在复平面内对应的点位于第四象限．故选：D．2．（5分）（2013?福建）已知集合A={1，a}，B={1，2，3}，则“a=3”是“A?B “的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件D．充分必要条件．既不充分也不必要条件C【分析】先有a=3成立判断是否能推出A?B成立，反之判断“A?B”成立是否能推出a=3成立；利用充要条件的题意得到结论．【解答】解：当a=3时，A={1，3}所以A?B，即a=3能推出A?B；反之当A?B时，所以a=3或a=2，所以A?B成立，推不出a=3故“a=3”是“A?B”的充分不必要条件故选：A．的顶点到渐近线的距离等于（）双曲线3．（5分）（2013?福建）．C．．．ABD，利，0），渐近线2的顶点（由对称性可取双曲线【分析】用点到直线的距离公式即可得到顶点到渐近线的距离．，，渐近线02的顶点（，）解：由对称性可取双曲线【解答】．d=则顶点到渐近线的距离故选：C．4．（5分）（2013?福建）某校从高一年级学生中随机抽取部分学生，将他们的模块测试成绩分成6组：[40，50），[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]加以统计，得到如图所示的频率分布直方图．已知高一年级共有学生600名，据此估计，该模块测试成绩不少于60分的学生人数为（）120D．C．450A．588B．480频率×=60成绩不低于分的频率，然后根据频数【分析】根据频率分布直方图，总数可求出所求．解：根据频率分布直方图，【解答】=0.8．10×（0.005+0.015）成绩不低于60（分）的频率为1﹣可估计该校高一利用样本估计总体的思想，由于该校高一年级共有学生600人，人．0.8=480600×年级模块测试成绩不低于60（分）的人数为．B故选：2b=02x的方程ax++，0，12}，且关于x∈分）5．（5（2013?福建）满足a，b{﹣1，）有实数解的有序数对的个数为（10D．C．12A．14B．132a）当有实数根，所以分两种情况：（ax1+2x+b=0【分析】由于关于x的方程，由此即可求出00时，方程为一元二次方程，那么它的判别式大于或等于≠，此时一定有解．b=02x+2）当a=0时，方程为（a的取值范围；，此时一定有解；+b=0）当a=0时，方程为2x【解答】解：（1）四种．2（0，）（，00），0，1，（），﹣；即（，，，﹣此时b=101201，时，方程为一元二次方程，0≠（2）当a4ab≥﹣∴△=40，∴ab≤1．所以a=﹣1，1，2，此时a，b的对数为（﹣1，0），（﹣1，2），（﹣1，﹣1），（﹣1，1），（1，﹣1），（1，0），（1，1），（2，﹣1），（2，0），共9种，2+2x+b=0的方程ax有实数解的有序数对的个数为13种，关于x故选：B．6．（5分）（2013?福建）阅读如图所示的程序框图，若输入的k=10，则该算法的功能是（）1n﹣项和的前10}A．计算数列{21n﹣项和的前9{B．计算数列2}n项和101}的前C．计算数列{2﹣n项和91}D．计算数列{2的前﹣从赋值框给出的两个变量的值开始，逐渐分析写出程序运行的每一步，【分析】便可得到程序框图表示的算法的功能．赋值，iS和循环变量【解答】解：框图首先给累加变量；i=1S=0，；+1=20=1，i=1S=1判断i＞10不成立，执行+2×；+1=3i=2×1=1+2，S=1i判断＞10不成立，执行+22；1=4+22=1212S=110i判断＞不成立，执行+×（+）++，i=3…29，i=10+1=112；+…+2判断i＞10不成立，执行S=1+2+29．2+…+2+2+判断i＞10成立，输出S=1算法结束．n1﹣}的前10故则该算法的功能是计算数列{2项和．故选：A．，则2）=（﹣4，ABCD中，=（1，2），7．（5分）（2013?福建）在四边形）该四边形的面积为（10D．C．A．B．5【分析】通过向量的数量积判断四边形的形状，然后求解四边形的面积即可．，，，，，=0因为在四边形解：ABCD中，【解答】，的对角线互相垂直，又所以四边形ABCD，==5．该四边形的面积：故选：C．8．（5分）（2013?福建）设函数f（x）的定义域为R，x（x≠0）是f（x）的极00大值点，以下结论一定正确的是（）A．?x∈R，f（x）≤f（x）0B．﹣x是f（﹣x）的极小值点0C．﹣x是﹣f（x）的极小值点0D．﹣x是﹣f（﹣x）的极小值点0【分析】A项，x（x≠0）是f（x）的极大值点，不一定是最大值点，故不正确；00B项，f（﹣x）是把f（x）的图象关于y轴对称，因此，﹣x是f（﹣x）的极大0值点；C项，﹣f（x）是把f（x）的图象关于x轴对称，因此，x是﹣f（x）的极小值0点；D项，﹣f（﹣x）是把f（x）的图象分别关于x轴、y轴做对称，因此﹣x是﹣f0（﹣x）的极小值点．【解答】解：对于A项，x（x≠0）是f（x）的极大值点，不一定是最大值点，00因此不能满足在整个定义域上值最大，故A错误；对于B项，f（﹣x）是把f（x）的图象关于y轴对称，因此，﹣x是f（﹣x）的0极大值点，故B错误；对于C项，﹣f（x）是把f（x）的图象关于x轴对称，因此，x是﹣f（x）的极0小值点，故C错误；对于D项，﹣f（﹣x）是把f（x）的图象分别关于x轴、y轴做对称，因此﹣x0是﹣f（﹣x）的极小值点，故D正确．故选：D．9．（5分）（2013?福建）已知等比数列{a}的公比为q，记b=a+a m1n1nnnm1）（﹣）+（﹣*），∈N则以下结，（m，n?a+…+a，c=a?…?a m1m12nmnmn1m12nmn1+﹣+﹣（）+（）++﹣）（）（﹣论一定正确的是（）m q为等差数列，公差为b}A．数列{n2m q为等比数列，公比为b}B．数列{n}为等比数列，公比为C．数列{c n为等比数列，公比为．数列{c}D n b时，，当q=1=mab①=ma，【分析】nnn1mn1m（（+﹣）=ma=b，此时是常数列，可判断A，B两个选项nmn1m1）﹣﹣（）+q，利用等比数列的通项公式可得a}的公比为②由于等比数列{n，得出=，即可判断出C，D两个选项．，当q=1时，b=ma，b【解答】解：①=ma m1mnnn1+（）﹣=ma=b，此时是常数列，选项A不正确，选项B正确；nn1n1mm）﹣﹣（）+（，q当≠1时，=，选项B，此时不正确，，不是常数，故选项A不正确，=﹣又bb nn1+，}a②∵等比数列{的公比为，∴q n，∴=，故∴===C正确D不正确．综上可知：只有C正确．故选：C．10．（5分）（2013?福建）设S，T是R的两个非空子集，如果存在一个从S到T 的函数y=f（x）满足：（i）T={f（x）|x∈S}；（ii）对任意x，x∈S，当x＜112x时，恒有f（x）＜f（x），那么称这两个集合“保序同构”，以下集合对不是212“保序同构”的是（）*，B=N．A=NAB．A={x|﹣1≤x≤3}，B={x|x=﹣8或0＜x≤10}C．A={x|0＜x＜1}，B=RD．A=Z，B=Q【分析】利用题目给出的“保序同构”的概念，对每一个选项中给出的两个集合，利用所学知识，找出能够使两个集合满足题目所给出的条件的函数，即B是函数的值域，且函数为定义域上的增函数．排除掉是“保序同构”的，即可得到要选择的答案．**，满足：（i）B={﹣1，x∈Nf【解答】解：对于A=N，存在函数，B=Nf（x）=x （x）|x∈A}；（ii）对任意x，x∈A，当x＜x时，恒有f（x）＜f（x），所212112以选项A是“保序同构”；对于A={x|﹣1≤x≤3}，B={x|x=﹣8或0＜x≤10}，存在函数，，满足：，＜（i）B={f（x）|x∈A}；（ii）对任意x，x∈A，当x＜x时，恒有f（x）＜f（x），221211所以选项B是“保序同构”；对于A={x|0＜x＜1}，B=R，存在函数f（x）=tan（），满足：（i）B={f（x）|x∈A}；（ii）对任意x，x∈A，当x＜x时，恒有f（x）＜f（x），所以选项C是“保序同构”；212211前三个选项中的集合对是“保序同构”，由排除法可知，不是“保序同构”的只有D．故选：D．二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分．把答案填写在答题卡的相应位置.11．（4分）（2013?福建）利用计算机产生0～1之间的均匀随机数a，则事件“3a ﹣1＞0”发生的概率为．【分析】本题考查的知识点是几何概型的意义，关键是要找出（0，1）上产生随机数a所对应图形的长度，及事件“3a﹣1＞0”对应的图形的长度，并将其代入几何概型计算公式，进行求解．【解答】解：3a﹣1＞0即a＞，．P==1＞0”发生的概率为﹣则事件“3a．故答案为：12．（4分）（2013?福建）已知某一多面体内接于球构成一个简单组合体，如果该组合体的正视图、俯视图、均如图所示，且图中的四边形是边长为2的正方形，则该球的表面积是12π．，求出球的2【分析】由三视图可知，组合体是球内接正方体，正方体的棱长为半径，然后求出球的表面积即可．，解：由三视图可知，组合体是球内接正方体，正方体的棱长为2【解答】，r=，球的直径就是正方体的体对角线的长，所以2r=2．4πr=12π所以球的表面积为：．故答案为：12πsin，⊥AC在BC边上，AD（4分）（2013?福建）如图，在△ABC中，已知点D13．，则BD的长为AB=3，，∠BAC=AD=3，代入并90°BAC=∠BAD+BAD+∠DAC，∠DAC=90°，得到∠【分析】由∠BAC=∠，ABABD中，由，求出cos∠BAD的值，在三角形利用诱导公式化简sin∠BAC 的长．BD∠BAD的值，利用余弦定理即可求出AD及cos，AC，∴∠DAC=90°AD【解答】解：∵⊥，BAD+90°∠BAD+∠DAC=∠∴∠BAC=，∠BAD=90°（∠BAD+）=cos∴sin∠BAC=sin，，ABD中，AB=3AD=3在△222，24=39∠BDBAD=18=AB++AD﹣﹣2AB?AD?cos根据余弦定理得：．则BD=故答案为：，0）的左右焦点分别为F=1（a＞b＞414．（分）（2013?福建）椭圆Γ：1∠=2满足∠的一个交点MMFF F，焦距为2c，若直线y=与椭圆Γ212．FMF，则该椭圆的离心率等于12．又直线α=60°可知斜率为，可得直线的倾斜角由直线【分析】，进而MF=2FMFMΓ与椭圆的一个交点满足∠∠，可得F1221．．设|MF|=m，|MF|=n，利用勾股定理、椭圆的定义及其边角关系可得12即可．，c，解出a解：如图所示，【解答】．，∴α=60°有关系=tanα可知倾斜角α与斜率由直线．，∴F又椭圆Γ的一个交点满足∠MFF=2∠MF，∴1212．，解得，则设|MF|=m，|MF|=n12．∴该椭圆的离心率e=．故答案为n2…=++…+1时，有如下表达式：1+x+xx∈15．（4分）（2013?福建）当xR，|x|＜n2+dx dx+…+dxxdx+xx两边同时积分得：+…=dx132n+…=ln2++×（））+×（）+…+从而得到如下等式：1××（请根据以上材料所蕴含的数学思想方法，计算：1n23．+）+×（）…+×+（×）+=×（nn22n01，两边同时积分整x）=（+xC1x++…C+xC【分析】根据二项式定理得C+nnnn 理后，整理即可得到结论．nnn0122，x）x=（1+【解答】解：二项式定理得C+Cx+Cx+…+C nnnnnn2n210）1x+x+CC对+xC+…C=（+x nnnn两边同时积分得：从式：到如下等而得=．故答案为：三、解答题：本大题共5小题，共80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.16．（13分）（2013?福建）某联欢晚会举行抽奖活动，举办方设置了甲、乙两种抽奖方案，方案甲的中奖率为，中奖可以获得2分；方案乙的中奖率为，中奖可以获得3分；未中奖则不得分．每人有且只有一次抽奖机会，每次抽奖中奖与否互不影响，晚会结束后凭分数兑换奖品．（1）若小明选择方案甲抽奖，小红选择方案乙抽奖，记他们的累计得分为x，求x≤3的概率；（2）若小明、小红两人都选择方案甲或都选择方案乙进行抽奖，问：他们选择何种方案抽奖，累计得分的数学期望较大？【分析】（1）记“他们的累计得分X≤3”的事事件为A，则事件A的对立事件是“X=5”，由题意知，小明中奖的概率为，小红中奖的概率为，且两人抽奖中奖与否互不影响，先根据相互独立事件的乘法公式求出对立事件的概率，再利用对立事件的概率公式即可求出他们的累计得分x≤3的概率．（2）设小明、小红两人都选择甲方案抽奖中奖次数为X，甲小明、小红两人都1选择方案乙抽奖中奖次数为X，则这两人都选择甲方案抽奖累计得分的数学2期望为E（2X），都选择乙方案抽奖累计得分的数学期望为E（3X）．根据题21意知X～B（2，），X～B（2，），利用贝努利概率的期望公式计算即可得21出E（2X）＞E（3X），从而得出答案．21【解答】解：（1）由题意知，小明中奖的概率为，小红中奖的概率为，且两人抽奖中奖与否互不影响，记“他们的累计得分X≤3”的事件为A，则事件A的对立事件是“X=5”，，∴P（A）=1﹣P（X=5）因为P（X=5）==；即他们的累计得分x≤3的概率为．（2）设小明、小红两人都选择甲方案抽奖中奖次数为X，1小明、小红两人都选择方案乙抽奖中奖次数为X，则这两人都选择甲方案抽奖累2计得分的数学期望为E（2X）1都选择乙方案抽奖累计得分的数学期望为E（3X）2由已知可得，X～B（2，），X～B（2，），21∴E（X）=2×=，E（X）=2×=，21从而E（2X）=2E（X）=，E（3X）=3E（X）=，2211由于E（2X）＞E（3X），21∴他们选择甲方案抽奖，累计得分的数学期望较大．17．（13分）（2013?福建）已知函数f（x）=x﹣alnx（a∈R）（1）当a=2时，求曲线y=f（x）在点A（1，f（1））处的切线方程；（2）求函数f（x）的极值．【分析】（1）把a=2代入原函数解析式中，求出函数在x=1时的导数值，直接利用直线方程的点斜式写直线方程；（2）求出函数的导函数，由导函数可知，当a≤0时，f′（x）＞0，函数在定义域（0，+∝）上单调递增，函数无极值，当a＞0时，求出导函数的零点，由导函数的零点对定义域分段，利用原函数的单调性得到函数的极值．．，∞）【解答】解：函数f（x）的定义域为（0，+＞，=x﹣2lnx，时，（1）当a=2f（x）因而f（1）=1，f′（1）=﹣1，所以曲线y=f（x）在点A（1，f（1））处的切线方程为y﹣1=﹣（x﹣1），即x+y﹣2=0，x＞0（2）由知：）无x（f∞）上的增函数，函数+，0）为（x（f，函数0）＞x（f′时，0≤a①当．极值；②当a＞0时，由f′（x）=0，解得x=a．又当x∈（0，a）时，f′（x）＜0，当x∈（a，+∞）时，f′（x）＞0．从而函数f（x）在x=a处取得极小值，且极小值为f（a）=a﹣alna，无极大值．综上，当a≤0时，函数f（x）无极值；当a＞0时，函数f（x）在x=a处取得极小值a﹣alna，无极大值．18．（13分）（2013?福建）如图，在正方形OABC中，O为坐标原点，点A的坐标为（10，0），点C的坐标为（0，10），分别将线段OA和AB十等分，分点分别记为A，A，…，A和B，B，…，B，连接OB，过A作x轴的垂线与ii221919，．OB，交于点i，都在同一条抛物线上，并求抛物线E的方1）求证：点（程；（2）过点C作直线l与抛物线E交于不同的两点M，N，若△OCM与△OCN的面积之比为4：1，求直线l的方程．，，轴垂直的直线方程为x=i且与x求出过【分析】（I）由题意，联立方程．，即的方程为即可得到直线的坐标为B（10，i），OB ii满足的方程；可得到P i，与抛物线的方程联立得到一元二次方+10l的方程为y=kx （II）由题意，设直线．即||x，可得S=S|x|=4程，利用根与系数的关系，及利用面积公式2OCNOCM1△△，进而得到直线方程．k．联立即可得到x=﹣4x21，轴垂直的直线方程为x）证明：由题意，过（【解答】I且与x=i，B的坐标为（10，i），i．OB的方程为∴直线i2，解得，即），由x=10y．设P（x，y i2，x的方程为都在同一条抛物线上，抛物线E=10y∴点．（II）由题意，设直线l的方程为y=kx+10，2消去y得到联立x﹣10kx﹣100=0，此时△＞0，直线与抛物线恒有两个不同的交点，设为M（x，y），N（x，y），则x+x=10k，xx=﹣100，21212112∵S=4S，∴|x|=4|x|．∴x=﹣4x．221OCMOCN1△△，解得联立．．即为3x+2y﹣20=0或3x﹣2y+20=0．∴直线l的方程为19．（13分）（2013?福建）如图，在四棱柱ABCD﹣ABCD中，侧棱AA⊥底面11111ABCD，AB∥DC，AA=1，AB=3k，AD=4k，BC=5k，DC=6k，（k＞0）1（1）求证：CD⊥平面ADDA11（2）若直线AA与平面ABC所成角的正弦值为，求k的值11（3）现将与四棱柱ABCD﹣ABCD形状和大小完全相同的两个四棱柱拼成一个1111新的四棱柱，规定：若拼成的新四棱柱形状和大小完全相同，则视为同一种拼接方案，问共有几种不同的拼接方案？在这些拼接成的新四棱柱中，记其中最小的表面积为f（k），写出f（k）的解析式．（直接写出答案，不必说明理由）是平行四边形，再ABED，可证明四边形BE，连接E得中点DC）取1（【分析】．利用勾股定理的逆定理可得BE⊥CD，即CD⊥AD，又侧棱AA⊥底面ABCD，1可得AA⊥DC，利用线面垂直的判定定理即可证明．（2）通过建立空间直角1坐标系，求出平面的法向量与斜线的方向向量的夹角即可得出；（3）由题意可与左右平面ADDA，BCCB，上或下面ABCD，ABCD拼接得到方案11111111新四棱柱共有此4种不同方案．写出每一方案下的表面积，通过比较即可得出f（k）．【解答】（1）证明：取DC的中点E，连接BE，∵AB∥ED，AB=ED=3k，∴四边形ABED是平行四边形，222222，∴∠=BCBEC=90°，3k）=（BE5k+EC）=（4k）+（∴∴BE∥AD，且BE=AD=4k，∴BE⊥CD，又∵BE∥AD，∴CD⊥AD．∵侧棱AA⊥底面ABCD，∴AA⊥CD，11∵AA∩AD=A，∴CD⊥平面ADDA．111轴的正方向建立空z的方向为x，y，2）解：以D为坐标原点，、、（间直角坐标系，（则A4k，11，，，，，，．，，（0，6k，0），B（4k，．0，1）13k，），A（4k，C0，0），∴，z），则取y=2，=设平面ABC的一个法向量为（x，y，1，，．．∴x=3﹣6k，z=则平面ABC所成角为θ，设AA与则11＜，＞===，解得k=1，故所求k=1．（3）由题意可与左右平面ADDA，BCCB，上或下面ABCD，ABCD拼接得到11111111方案新四棱柱共有此4种不同方案．，＜写出每一方案下的表面积，通过比较即可得出f（k）=，＞）的π＜φ＜0，0＞w（）φ+wx（=sin）x（f福建）已知函数2013?（分）14（．20．周期为π，图象的一个对称中心为（，0），将函数f（x）图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再将得到的图象向右平移个单位长度后得到函数g（x）的图象．（1）求函数f（x）与g（x）的解析式，）按照某种顺g（x，f（x））），使得f（x，g（x）（2）是否存在x∈（00000的个数，若不存在，说明理由；x序成等差数列？若存在，请确定02013）在（0，nπ）内恰有x）=f（x）+ag（x，使得（3）求实数a与正整数nF（个零点．）利用三角函数的图象变换可求得g（x，【分析】（1）依题意，可求得ω=2，φ==sinx；?sinx＞cos2x＞sinxcos2x，＜时，＜sinx＜，0＜cosx∈（2）依题意，当x（，）问题转化为方程2cos2x=sinx+sinxcos2x在（，）内是否有解．通过G′（x）＞0，可知G（x）在（，）内单调递增，而G（）＜0，G（）＞0，从而可得答案；（3）依题意，F（x）=asinx+cos2x，令F（x）=asinx+cos2x=0，方程F（x）=0等，x≠kπ（k∈Z）价于关于x的方程a=﹣．问题转化为研究直线y=a与曲线y=h（x），x∈（0，π）∪（π，2π）的交点情况．通过其导数，列表分析即可求得答案．【解答】解：（1）∵函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）的周期为π，∴ω==2，，，φ∈（0，π），又曲线y=f（x）的一个对称中心为．=cos2x（x））=0，得φ=，所以fφ（f故（）=sin2×+将函数f（x）图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）后可得y=cosx的图象，的图象，﹣）x=cosxg的图象向右平移再将y=cosx个单位长度后得到函数（）（∴g（x）=sinx．，＜0＜cos2x∈（，）时，＜sinx＜，（2）当x，＞sinxcos2x∴sinx＞cos2x）内是否有解．在（，问题转化为方程2cos2x=sinx+sinxcos2x，）﹣2cos2x，x∈（，设G（x）=sinx+sinxcos2x则G′（x）=cosx+cosxcos2x+2sin2x（2﹣sinx），∵x∈（，），∴G′（x）＞0，G（x）在（，）内单调递增，又G（）=﹣＜0，G（）=＞0，且G（x）的图象连续不断，故可知函数G（x）在（，）内存在唯一零点x，即存在唯一零点x∈（，）满足题00意．（3）依题意，F（x）=asinx+cos2x，令F（x）=asinx+cos2x=0，当sinx=0，即x=kπ（k∈Z）时，cos2x=1，从而x=kπ（k∈Z）不是方程F（x）=0的解，．）k∈Z﹣，x≠kπ（的方程∴方程F（x）=0等价于关于xa=的解的情况．）时方程a=﹣π）∪（π，2π现研究x∈（0，，2π），π）∪（π，h（x）=﹣，x∈（0令）的交点情2ππ）∪（π，xy=h（x），∈（0，则问题转化为研究直线y=a与曲线况．，或x=）=0，得x==h′（x），令h′（x当x＞0且x趋近于0时，h（x）趋向于﹣∞，当x＜π且x趋近于π时，h（x）趋向于﹣∞，当x＞π且x趋近于π时，h（x）趋向于+∞，当x＜2π且x趋近于2π时，h（x）趋向于+∞，故当a＞1时，直线y=a与曲线y=h（x）在（0，π）内无交点，在（π，2π）内有2个交点；当a＜﹣1时，直线y=a与曲线y=h（x）在（0，π）内有2个交点，在（π，2π）内无交点；当﹣1＜a＜1时，直线y=a与曲线y=h（x）在（0，π）内有2个交点，在（π，2π）内有2个交点；由函数h（x）的周期性，可知当a≠±1时，直线y=a与曲线y=h（x）在（0，n π）内总有偶数个交点，从而不存在正整数n，使得直线y=a与曲线y=h（x）在（0，nπ）内恰有2013个零点；又当a=1或a=﹣1时，直线y=a与曲线y=h（x）在（0，π）∪（π，2π）内有3个交点，由周期性，2013=3×671，∴依题意得n=671×2=1342．综上，当a=1，n=1342，或a=﹣1，n=1342时，函数F（x）=f（x）+ag（x）在（0，nπ）内恰有2013个零点．本题设有（21）、（22）、（23）三个选考题，每题7分，请考生任选2题作答，满分14分.如果多做，则按所做的前两题计分.21．（7分）（2013?福建）选修4﹣2：矩阵与变换对应的变换作用下变为直线l′：x+by=1y=1在矩阵+已知直线l：ax（I）求实数a，b的值，求点P的坐标．）在直线l上，且y（（II）若点Px，00【分析】（I）任取直线l：ax+y=1上一点M（x，y），经矩阵A变换后点为M′（x′，y′），利用矩阵乘法得出坐标之间的关系，求出直线l′的方程，从而建立关于a，b的方程，即可求得实数a，b的值；得，从而解得y的值，又点P（x（II）由，y）在000直线l上，即可求出点P的坐标．【解答】解：（I）任取直线l：ax+y=1上一点M（x，y），，=，则有）x′，y′A经矩阵变换后点为M′（可得，又点M′（x′，y′）在直线l′上，∴x+（b+2）y=1，，解得可得得，从而y（II）由=0，0又点P（x，y）在直线l上，∴x=1，000∴点P的坐标为（1，0）．22．（7分）（2013?福建）选修4﹣4：坐标系与参数方程在直角坐标系中，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已，直线l的极坐标方程为，且点A，的极坐标为知点A在直线l上．（Ⅰ）求a的值及直线l的直角坐标方程；为参数，试判断直线l与圆C的位置的参数方程为C（Ⅱ）圆关系．【分析】（Ⅰ）根据点A在直线l上，将点的极坐标代入直线的极坐标方程即可得出a值，再利用极坐标转化成直角坐标的转换公式求出直线l的直角坐标方程；（Ⅱ）欲判断直线l和圆C的位置关系，只需求圆心到直线的距离与半径进行比较即可，根据点到线的距离公式求出圆心到直线的距离然后与半径比较．在直线l上，得，∴a=，，A（Ⅰ）点【解答】解：故直线l的方程可化为：ρsinθ+ρcosθ=2，得直线l的直角坐标方程为x+y﹣2=0；22=1y1）+﹣，得圆（Ⅱ）消去参数αC的普通方程为（x，＜1d=lC圆心到直线的距离所以直线l和⊙C相交．*，，且（a∈NA）的解集为（23．2013?福建）设不等式|x﹣2|＜a（Ⅰ）求a的值（Ⅱ）求函数f（x）=|x+a|+|x﹣2|的最小值．，，推出关于a的绝对值不等式，结合a为整数（Ⅰ）利用【分析】直接求a的值．（Ⅱ）利用a的值化简函数f（x），利用绝对值三角不等式求出|x+1|+|x﹣2|的最小值．，，（Ⅰ）因为解：【解答】＜且，所以＜解得，*，所以a的值为1a∈N．因为（Ⅱ）由（Ⅰ）可知函数f（x）=|x+1|+|x﹣2|≥|（x+1）﹣（x﹣2）|=3，当且仅当（x+1）（x﹣2）≥0，即x≥2或x≤﹣1时取等，所以函数f（x）的最小值为3．。

2020年普通高等学校招生全国统一考试数学理试题(福建卷,含答案)

2020年普通高等学校招生全国统一考试数学理试题（福建卷，含答案）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷第3至6页。

第Ⅱ卷第21题为选考题，其他题为必考题。

满分150分。

注意事项： 1. 答题前，考生务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的准考证号、姓名。

考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号，姓名”与考生本人准考证号，姓名是否一致。

2. 第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，第Ⅱ卷用0.5毫米黑色签字笔在答题卡上书写作答，在试题卷上作答，答案无效。

3. 考试结束，考生必须将试题卷和答题卡一并交回。

参考公式：样本数据x 1,x 2,…，x a 的标准差锥体体积公式13V Sh =其中x 为样本平均数其中S 为底面面积，h 为高柱体体积公式球的表面积，体积公式 V=Sh 2344,3S R V R ππ==其中S 为底面面积，h 为高其中R 为球的半径第Ⅰ卷（选择题共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. i 是虚数单位，若集合S=}{1.0.1-，则A.i S ∈B.2i S ∈ C. 3i S ∈ D.2S i∈ 2.若a ∈R ，则a=2是（a-1）（a-2）=0的A.充分而不必要条件 B 必要而不充分条件C.充要条件 C.既不充分又不必要条件 3.若tan α=3，则2sin 2cos aα的值等于 A.2 B.3 C.4 D.64.如图，矩形ABCD 中，点E 为边CD 的中点，若在矩形ABCD 内部随机取一个点Q ，则点Q 取自△ABE 内部的概率等于A.14B.13 C.12 D.235.10⎰（e 2+2x ）dx 等于A.1B.e-1C.eD.e+16.(1+2x)3的展开式中，x 2的系数等于A.80B.40C.20D.107.设圆锥曲线r 的两个焦点分别为F 1，F 2，若曲线r 上存在点P 满足1122::PF F F PF =4:3:2，则曲线r 的离心率等于A.1322或B.23或2C.12或2 D.2332或 8.已知O 是坐标原点，点A （-1,1）若点M （x,y ）为平面区域，上的一个动点，则OA u u u r ·的取值范围是A.[-1.0]B.[0.1]C.[0.2]D.[-1.2]9.对于函数f （x ）=asinx+bx+c(其中，a,b ∈R,c ∈Z),选取a,b,c 的一组值计算f （1）和f （-1），所得出的正确结果一定不可能．．．．．是 A.4和6 B.3和1 C.2和4 D.1和210.已知函数f(x)=e+x ，对于曲线y=f （x ）上横坐标成等差数列的三个点A,B,C ，给出以下判断：①△ABC 一定是钝角三角形 ②△ABC 可能是直角三角形 ③△ABC 可能是等腰三角形 ④△ABC 不可能是等腰三角形其中，正确的判断是A.①③B.①④C. ②③D.②④2020年普通高等学校招生全国统一考试（福建卷）数学(理工农医类)注意事项：用0.5毫米黑色签字笔在答题卡上书写答案，在试题卷上作答，答案无效。

数学高考真题试卷讲解教案设计

数学高考真题试卷讲解教案设计教案标题：数学高考真题试卷讲解教案设计教学目标：1. 通过对数学高考真题试卷的讲解，帮助学生深入理解高考数学考试的题型和要求。

2. 引导学生掌握解题的基本方法和技巧，提高解题能力。

3. 培养学生的数学思维能力和问题解决能力。

教学内容：1. 真题试卷讲解：选择数学高考真题试卷中的若干典型题目进行详细讲解，包括解题思路、解题步骤、解题技巧等。

2. 解题训练：针对每个题型，设计一些类似的练习题，让学生进行解题练习，巩固所学知识和技能。

教学步骤：一、导入（5分钟）1. 引入数学高考的重要性和对学生未来发展的影响。

2. 提问学生对高考数学的认识和理解。

二、真题讲解（30分钟）1. 选择数学高考真题试卷中的一道典型题目进行讲解，包括题目背景、解题思路、解题步骤等。

2. 引导学生思考解题的关键点和技巧。

3. 学生跟随讲解过程，逐步理解解题方法。

三、解题训练（25分钟）1. 设计一些类似的练习题，让学生进行解题练习。

2. 学生独立完成练习题，教师巡视指导，及时纠正错误。

3. 学生互相交流解题思路和方法，促进彼此之间的学习和进步。

四、总结（10分钟）1. 教师对本节课的教学内容进行总结，强调解题的基本方法和技巧。

2. 学生对本节课的学习进行反思和总结，提出问题和困惑。

教学资源：1. 数学高考真题试卷2. 解题训练练习题3. 教师讲解用的PPT或白板笔记教学评估：1. 教师观察学生在解题训练中的表现，评估学生的解题能力和掌握程度。

2. 学生之间的互相交流和合作，评估学生的学习态度和团队合作能力。

3. 学生的课后作业完成情况，评估学生对本节课内容的理解和掌握程度。

教学延伸：1. 鼓励学生自主学习，多做高考真题，提高解题能力。

2. 提供更多的解题技巧和策略，帮助学生更好地应对高考数学考试。

3. 组织模拟考试，让学生在实际考试环境中进行练习和测试。

高考数学试卷试题讲解教案

课时：2课时教学目标：1. 让学生了解高考数学试卷的题型、难度和考察范围。

2. 培养学生分析问题、解决问题的能力。

3. 提高学生的数学思维和应试技巧。

教学重点：1. 高考数学试卷的题型和考察范围。

2. 分析解题思路和方法。

教学难点：1. 复杂题型的解题思路。

2. 应试技巧的掌握。

教学过程：第一课时一、导入1. 回顾高考数学试卷的基本情况，包括题型、难度和考察范围。

2. 引导学生关注高考数学试卷中的重点题型和考察知识点。

二、讲解试题1. 选择一道典型的高考数学试题进行讲解，让学生了解试题的结构和考察目的。

2. 分析试题的解题思路和方法，让学生掌握解题技巧。

三、课堂练习1. 让学生独立完成一道类似的题目，巩固所学知识。

2. 针对学生的完成情况进行点评和指导。

四、总结1. 总结本节课所学内容，强调重点题型和解题技巧。

2. 布置课后作业，让学生巩固所学知识。

第二课时一、复习导入1. 回顾上一节课所讲解的高考数学试题，引导学生回顾解题思路和方法。

2. 强调重点题型和解题技巧。

二、讲解试题1. 选择一道复杂的高考数学试题进行讲解，让学生了解解题思路和方法。

2. 分析试题中的关键步骤，引导学生掌握解题技巧。

三、课堂练习1. 让学生独立完成一道类似的题目，巩固所学知识。

2. 针对学生的完成情况进行点评和指导。

四、应试技巧讲解1. 讲解高考数学试卷的应试技巧，如时间分配、审题技巧等。

2. 引导学生进行模拟考试，提高应试能力。

五、总结1. 总结本节课所学内容，强调重点题型、解题技巧和应试技巧。

2. 布置课后作业，让学生巩固所学知识。

教学反思：1. 关注学生的学习情况，及时调整教学策略。

2. 注重培养学生的数学思维和应试能力。

3. 提高课堂效率，让学生在有限的时间内掌握更多知识。

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2014年福建省高考数学试卷(理科)2014年福建省高考数学试卷（理科）一、1．复数z=（3﹣2i）i的共轭复数等于（）A．﹣2﹣3i B．﹣2+3i C．2﹣3i D．2+3i2．某空间几何体的正视图是三角形，则该几何体不可能是（）A．圆柱B．圆锥C．四面体D．三棱柱3．等差数列{a n}的前n项和为S n，若a1=2，S3=12，则a6等于（）A．8B．10 C．12D．144．若函数y=log a x （a＞0，且a≠1）的图象如图所示，则下列函数图象正确的是（）A．B．C．D．5．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的S的值等于（）A．18 B．20 C．21 D．406．直线l：y=kx+1与圆O：x2+y2=1相交于A，B 两点，则“k=1”是“△OAB的面积为”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分又不必要条件7．已知函数f（x）=，则下列结论正确的是（）A．f（x）是偶函数B．f（x）是增函数C．f（x）是周期函数D．f（x）的值域为[﹣1，+∞）8．在下列向量组中，可以把向量=（3，2）表示出来的是（）A．=（0，0），=（1，2）B．=（﹣1，2），=（5，﹣2）C．=（3，5），=（6，10）D．=（2，﹣3），=（﹣2，3）9．设P，Q分别为圆x2+（y﹣6）2=2和椭圆+y2=1上的点，则P，Q两点间的最大距离是（）A．5B．+C．7+D．610．用a代表红球，b代表蓝球，c代表黑球，由加法原理及乘法原理，从1个红球和1个蓝球中取出若干个球的所有取法可由（1+a）（1+b）的展开式1+a+b+ab表示出来，如：“1”表示一个球都不取、“a”表示取出一个红球，而“ab”则表示把红球和蓝球都取出来．以此类推，下列各式中，其展开式可用来表示从5个无区别的红球、5个无区别的蓝球、5个有区别的黑球中取出若干个球，且所有的蓝球都取出或都不取出的所有取法的是（）A．（1+a+a2+a3+a4+a5）（1+b5）（1+c）5B．（1+a5）（1+b+b2+b3+b4+b5）（1+c）5C．（1+a）5（1+b+b2+b3+b4+b5）（1+c5）D．（1+a5）（1+b）5（1+c+c2+c3+c4+c5）二、11．若变量 x，y满足约束条件，则z=3x+y的最小值为_________．12．在△ABC中，A=60°，AC=4，BC=2，则△ABC的面积等于_________．13．要制作一个容器为4m3，高为1m的无盖长方形容器，已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是_________（单位：元）14．如图，在边长为e（e为自然对数的底数）的正方形中随机撒一粒黄豆，则它落到阴影部分的概率为_________．15．（4分）（2014•福建）若集合{a，b，c，d}={1，2，3，4}，且下列四个关系：①a=1；②b≠1；③c=2；④d≠4有且只有一个是正确的，则符合条件的有序数组（a，b，c，d）的个数是_________．三、16．（13分）已知函数f（x）=cosx（sinx+cosx）﹣．（1）若0＜α＜，且sinα=，求f（α）的值；（2）求函数f（x）的最小正周期及单调递增区间．17．（13分）（2014•福建）在平面四边形ABCD中，AB=BD=CD=1，AB⊥BD，CD⊥BD，将△ABD沿BD折起，使得平面ABD⊥平面BCD，如图．（1）求证：AB⊥CD；（2）若M为AD中点，求直线AD与平面MBC所成角的正弦值．18．（13分）（2014•福建）为回馈顾客，某商场拟通过摸球兑奖的方式对1000位顾客进行奖励，规定：每位顾客从一个装有4个标有面值的球的袋中一次性随机摸出2个球，球上所标的面值之和为该顾客所获的奖励额．（1）若袋中所装的4个球中有1个所标的面值为50元，其余3个均为10元，求：①顾客所获的奖励额为60元的概率；②顾客所获的奖励额的分布列及数学期望；（2）商场对奖励总额的预算是60000元，并规定袋中的4个球只能由标有面值10元和50元的两种球组成，或标有面值20元和40元的两种球组成．为了使顾客得到的奖励总额尽可能符合商场的预算且每位顾客所获的奖励额相对均衡，请对袋中的4个球的面值给出一个合适的设计，并说明理由．19．（13分）（2014•福建）已知双曲线E：﹣=1（a＞0，b＞0）的两条渐近线分别为l1：y=2x，l2：y=﹣2x．（1）求双曲线E的离心率；（2）如图，O为坐标原点，动直线l分别交直线l1，l2于A，B两点（A，B分别在第一、第四象限），且△OAB 的面积恒为8，试探究：是否存在总与直线l有且只有一个公共点的双曲线E？若存在，求出双曲线E的方程，若不存在，说明理由．20．（14分）（2014•福建）已知函数f（x）=e x﹣ax（a为常数）的图象与y轴交于点A，曲线y=f（x）在点A 处的切线斜率为﹣1．（1）求a的值及函数f（x）的极值；（2）证明：当x＞0时，x2＜e x；（3）证明：对任意给定的正数c，总存在x0，使得当x∈（x0，+∞）时，恒有x＜ce x．参考答案与试题解析4．（5分）（2014•福建）若函数y=log a x（a＞0，且a≠1）的图象如图所示，则下列函数图象正确的是（）A．B ．C．D．解答：解：由题意可知图象过（3，1），故有1=log a3，解得a=3，选项A，y=a﹣x=3﹣x=单调递减，故错误；选项B，y=x3，由幂函数的知识可知正确；选项C，y=（﹣x）3=﹣x3，其图象应与B关于x轴对称，故错误；选项D，y=log a（﹣x）=log3（﹣x），当x=﹣3时，y=1，但图象明显当x=﹣3时，y=﹣1，故错误．故选：B．点评：本题考查对数函数的图象和性质，涉及幂函数的图象，属基础题．5．（5分）（2014•福建）阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的S的值等于（）解答：解：由程序框图知：算法的功能是求S=21+22+…+2n+1+2+…+n的值，∵S=21+22+1+2=2+4+1+2=9＜15，S=21+22+23+1+2+3=2+4+8+1+2+3=20≥15．∴输出S=20．故选：B．点评：本题考查了直到型循环结构的程序框图，根据框图的流程判断算法的功能是解题的关键．6．（5分）（2014•福建）直线l：y=kx+1与圆O：x2+y2=1相交于A，B 两点，则“k=1”是“△OAB的面积为”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分又不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：直线与圆；简易逻辑．分析：根据直线和圆相交的性质，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可得到结论．解答：解：若直线l：y=kx+1与圆O：x2+y2=1相交于A，B 两点，则圆心到直线距离d=，|AB|=2，若k=1，则|AB|=，d=，则△OAB的面积为×=成立，即充分性成立．若△OAB的面积为，则S==×2×==，解得k=±1，则k=1不成立，即必要性不成立．故“k=1”是“△OAB的面积为”的充分不必要条件．故选：A．点评：本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用三角形的面积公式，以及半径半弦之间的关系是解决本题的关键．7．（5分）（2014•福建）已知函数f（x）=，则下列结论正确的是（）A．f（x）是偶函数B．f（x）是增函数C．f（x）是周期函数D．f（x）的值域为[﹣1，+∞）考点：余弦函数的单调性．专题：函数的性质及应用．分析：由三角函数和二次函数的性质，分别对各个选项判断即可．解答：解：由解析式可知当x≤0时，f（x）=cosx为周期函数，当x＞0时，f（x）=x2+1，为二次函数的一部分，故f（x）不是单调函数，不是周期函数，也不具备奇偶性，故可排除A、B、C，对于D，当x≤0时，函数的值域为[﹣1，1]，当x＞0时，函数的值域为值域为（1，+∞），故函数f（x）的值域为[﹣1，+∞），故正确．故选：D点评：本题考查分段函数的性质，涉及三角函数的性质，属基础题．8．（5分）（2014•福建）在下列向量组中，可以把向量=（3，2）表示出来的是（）A．=（0，0），=（1，2）B．=（﹣1，2），=（5，﹣2）C．=（3，5），=（6，10）D．=（2，﹣3），=（﹣2，3）考点：平面向量的基本定理及其意义．专题：平面向量及应用．分析：根据向里的坐标运算，，计算判别即可．解答：解：根据，选项A：（3，2）=λ（0，0）+μ（1，2），则 3=μ，2=2μ，无解，故选项A不能；选项B：（3，2）=λ（﹣1，2）+μ（5，﹣2），则3=﹣λ+5μ，2=2λ﹣2μ，解得，λ=2，μ=1，故选项B 能．选项C：（3，2）=λ（3，5）+μ（6，10），则3=3λ+6μ，2=5λ+10μ，无解，故选项C不能．选项D：（3，2）=λ（2，﹣3）+μ（﹣2，3），则3=2λ﹣2μ，2=﹣3λ+3μ，无解，故选项D不能．故选：B．点评：本题主要考查了向量的坐标运算，根据列出方程解方程是关键，属于基础题．9．（5分）（2014•福建）设P，Q分别为圆x2+（y﹣6）2=2和椭圆+y2=1上的点，则P，Q两点间的最大距离是（）A．5B．+C．7+D．6考点：椭圆的简单性质；圆的标准方程．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：求出椭圆上的点与圆心的最大距离，加上半径，即可得出P，Q两点间的最大距离．解答：解：设椭圆上的点为（x，y），则∵圆x2+（y﹣6）2=2的圆心为（0，6），半径为，∴椭圆上的点与圆心的距离为=≤5，∴P，Q两点间的最大距离是5+=6．故选：D．点评：本题考查椭圆、圆的方程，考查学生分析解决问题的能力，属于基础题．10．（5分）（2014•福建）用a代表红球，b代表蓝球，c代表黑球，由加法原理及乘法原理，从1个红球和1个蓝球中取出若干个球的所有取法可由（1+a）（1+b）的展开式1+a+b+ab表示出来，如：“1”表示一个球都不取、“a”表示取出一个红球，而“ab”则表示把红球和蓝球都取出来．以此类推，下列各式中，其展开式可用来表示从5个无区别的红球、5个无区别的蓝球、5个有区别的黑球中取出若干个球，且所有的蓝球都取出或都不取出的所有取法的是（）A．（1+a+a2+a3+a4+a5）（1+b5）（1+c）5B．（1+a5）（1+b+b2+b3+b4+b5）（1+c）5C．（1+a）5（1+b+b2+b3+b4+b5）（1+c5）D．（1+a5）（1+b）5（1+c+c2+c3+c4+c5）考点：归纳推理；进行简单的合情推理．专题：推理和证明．分析：根据“1+a+b+ab表示出来，如：“1”表示一个球都不取、“a”表示取出一个红球，而“ab”则表示把红球和蓝球都取出来”，分别取红球蓝球黑球，根据分步计数原理，分三步，每一步取一种球，问题得以解决．解答：解：所有的蓝球都取出或都不取出的所有取法中，与取红球的个数和黑球的个数无关，而红球篮球是无区别，黑球是有区别的，根据分布计数原理，第一步取红球，红球的取法有（1+a+a2+a3+a4+a5），第二步取蓝球，有（1+b5），第三步取黑球，有（1+c）5，所以所有的蓝球都取出或都不取出的所有取法有（1+a+a2+a3+a4+a5）（1+b5）（1+c）5，故选：A．点评：本题主要考查了分步计数原理和归纳推理，合理的利用题目中所给的实例，要遵循其规律，属于中档题．二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分．把答案填在答题卡的相应位置11．（4分）（2014•福建）若变量 x，y满足约束条件，则z=3x+y的最小值为1．考点：简单线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即可求z的最小值．解答：解：作出不等式对应的平面区域如图，由z=3x+y，得y=﹣3x+z，平移直线y=﹣3x+z，由图象可知当直线y=﹣3x+z，经过点A（0，1）时，直线y=﹣3x+z的截距最小，此时z最小．此时z的最小值为z=0×3+1=1，故答案为：1点评：本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法．12．（4分）（2014•福建）在△ABC中，A=60°，AC=4，BC=2，则△ABC的面积等于2．考点：正弦定理．专题：解三角形．分析：利用三角形中的正弦定理求出角B，再利用三角形的面积公式求出△ABC的面积．解答：解：∵△ABC中，A=60°，AC=4，BC=2，由正弦定理得：，∴，解得sinB=1，∴B=90°，C=30°，∴△ABC的面积=．故答案为：．点评：本题着重考查了给出三角形的两边和其中一边的对角，求它的面积．正余弦定理、解直角三角形、三角形的面积公式等知识，属于基础题．13．（4分）（2014•福建）要制作一个容器为4m3，高为1m的无盖长方形容器，已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是160（单位：元）考点：棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积．专题：不等式的解法及应用．分析：此题首先需要由实际问题向数学问题转化，设池底长和宽分别为a，b，成本为y，建立函数关系式，然后利用基本不等式求出最值即可求出所求．解答：解：设池底长和宽分别为a，b，成本为y，则∵长方形容器的容器为4m3，高为1m，故底面面积S=ab=4，y=20S+10[2（a+b）]=20（a+b）+80，∵a+b≥2=4，故当a=b=2时，y取最小值160，即该容器的最低总造价是160元，故答案为：160点评：本题以棱柱的体积为载体，考查了基本不等式，难度不大，属于基础题．14．（4分）（2014•福建）如图，在边长为e（e为自然对数的底数）的正方形中随机撒一粒黄豆，则它落到阴影部分的概率为．考点：几何概型．专题：综合题；概率与统计．分析：利用定积分计算阴影部分的面积，利用几何概型的概率公式求出概率．解答：解：由题意，y=lnx与y=e x关于y=x对称，∴阴影部分的面积为2（e﹣e x）dx=2（ex﹣e x）=2，∵边长为e（e为自然对数的底数）的正方形的面积为e2，∴落到阴影部分的概率为．故答案为：．点评：本题考查几何概型，几何概型的概率的值是通过长度、面积、和体积的比值得到．15．（4分）（2014•福建）若集合{a，b，c，d}={1，2，3，4}，且下列四个关系：①a=1；②b≠1；③c=2；④d≠4有且只有一个是正确的，则符合条件的有序数组（a，b，c，d）的个数是6．考点：集合的相等．专题：计算题；集合．分析：利用集合的相等关系，结合①a=1；②b≠1；③c=2；④d≠4有且只有一个是正确的，即可得出结论．解答：解：由题意，a=2时，b=1，c=4，d=3；b=3，c=1，d=4；a=3时，b=1，c=4，d=2；b=1，c=2，d=4；b=2，c=1，d=4；a=4时，b=1，c=3，d=2；∴符合条件的有序数组（a，b，c，d）的个数是6个．点评：本题考查集合的相等关系，考查分类讨论的数学思想，正确分类是关键．三、解答题：本大题共5小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤16．（13分）（2014•福建）已知函数f（x）=cosx（sinx+cosx）﹣．（1）若0＜α＜，且sinα=，求f（α）的值；（2）求函数f（x）的最小正周期及单调递增区间．考点：三角函数中的恒等变换应用；三角函数的周期性及其求法．专题：三角函数的图像与性质．分析：（1）利用同角三角函数关系求得cosα的值，分别代入函数解析式即可求得f（α）的值．（2）利用两角和公式和二倍角公式对函数解析式进行恒等变换，进而利用三角函数性质和周期公式求得函数最小正周期和单调增区间．解答：解：（1）∵0＜α＜，且sinα=，∴cosα=，∴f（α）=cosα（sinα+cosα）﹣，=×（+）﹣=．（2）f（x）=cosx（sinx+cosx）﹣．=sinxcosx+cos2x﹣=sin2x+cos2x=sin（2x+），∴T==π，由2kπ﹣≤2x+≤2kπ+，k∈Z，得kπ﹣≤x≤kπ+，k∈Z，∴f（x）的单调递增区间为[kπ﹣，kπ+]，k∈Z．点评：本题主要考查了三角函数恒等变换的应用．考查了学生对基础知识的综合运用．17．（13分）（2014•福建）在平面四边形ABCD中，AB=BD=CD=1，AB⊥BD，CD⊥BD，将△ABD沿BD折起，使得平面ABD⊥平面BCD，如图．（1）求证：AB⊥CD；（2）若M为AD中点，求直线AD与平面MBC所成角的正弦值．考点：直线与平面所成的角；空间中直线与直线之间的位置关系．专题：空间角．分析：（1）利用面面垂直的性质定理即可得出；（2）建立如图所示的空间直角坐标系．设直线AD与平面MBC所成角为θ，利用线面角的计算公式sinθ=|cos|=即可得出．解答：（1）证明：∵平面ABD⊥平面BCD，平面ABD∩平面BCD=BD，AB⊂平面ABD，AB⊥BD，∴AB⊥平面BCD，又CD⊂平面BCD，∴AB⊥CD．（2）解：建立如图所示的空间直角坐标系．∵AB=BD=CD=1，AB⊥BD，CD⊥BD，∴B（0，0，0），C（1，1，0），A（0，0，1），D（0，1，0），M．∴=（0，1，﹣1），=（1，1，0），=．设平面BCM的法向量=（x，y，z），则，令y=﹣1，则x=1，z=1．∴=（1，﹣1，1）．设直线AD与平面MBC所成角为θ．则sinθ=|cos|===．点评：本题综合考查了面面垂直的性质定理、线面角的计算公式sinθ=|cos|=，考查了推理能力和空间想象能力，属于中档题．18．（13分）（2014•福建）为回馈顾客，某商场拟通过摸球兑奖的方式对1000位顾客进行奖励，规定：每位顾客从一个装有4个标有面值的球的袋中一次性随机摸出2个球，球上所标的面值之和为该顾客所获的奖励额．（1）若袋中所装的4个球中有1个所标的面值为50元，其余3个均为10元，求：①顾客所获的奖励额为60元的概率；②顾客所获的奖励额的分布列及数学期望；（2）商场对奖励总额的预算是60000元，并规定袋中的4个球只能由标有面值10元和50元的两种球组成，或标有面值20元和40元的两种球组成．为了使顾客得到的奖励总额尽可能符合商场的预算且每位顾客所获的奖励额相对均衡，请对袋中的4个球的面值给出一个合适的设计，并说明理由．考点：离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列．专题：概率与统计．分析：（1）根据古典概型的概率计算公式计算顾客所获的奖励额为60元的概率，依题意得X得所有可能取值为20，60，分别求出P（X=60），P（X=20），画出顾客所获的奖励额的分布列求出数学期望；（2）先讨论，寻找期望为60元的方案，找到（10，10，50，50），（20，20，40，40）两种方案，分别求出数学期望和方差，然后做比较，问题得以解决．解答：解：（1）设顾客所获取的奖励额为X，①依题意，得P（X=60）=，即顾客所获得奖励额为60元的概率为，②依题意得X得所有可能取值为20，60，P（X=60）=，P（X=20）=，即X的分布列为X 60 20P所以这位顾客所获的奖励额的数学期望为E（X）=20×+60×=40（2）根据商场的预算，每个顾客的平均奖励额为60元，所以先寻找期望为60元的可能方案．对于面值由10元和50元组成的情况，如果选择（10，10，10，50）的方案，因为60元是面值之和的最大值，所以数学期望不可能为60元，如果选择（50，50，50，10）的方案，因为60元是面值之和的最小值，所以数学期望也不可能为60元，因此可能的方案是（10，10，50，50）记为方案1，对于面值由20元和40元的组成的情况，同理可排除（20，20，20，40）和（40，40，40，20）的方案，所以可能的方案是（20，20，40，40），记为方案2，以下是对这两个方案的分析：对于方案1，即方案（10，10，50，50）设顾客所获取的奖励额为X1，则X1的分布列为X160 20 100PX1的数学期望为E（X1）=．X1的方差D（X1）==，对于方案2，即方案（20，20，40，40）设顾客所获取的奖励额为X2，则X2的分布列为X240 20 80PX2的数学期望为E（X2）==60，X2的方差D（X2）=差D（X1）=．由于两种方案的奖励额的数学期望都符合要求，但方案2奖励额的方差比方案1小，所以应该选择方案2．点评：本题主要考查了古典概型、离散型随机变量的分布列、数学期望、方差等基础知识，考查了数据处理能力，运算求解能力，应用意识，考查了必然与或然思想与整合思想．19．（13分）（2014•福建）已知双曲线E：﹣=1（a＞0，b＞0）的两条渐近线分别为l1：y=2x，l2：y=﹣2x．（1）求双曲线E的离心率；（2）如图，O为坐标原点，动直线l分别交直线l1，l2于A，B两点（A，B分别在第一、第四象限），且△OAB 的面积恒为8，试探究：是否存在总与直线l有且只有一个公共点的双曲线E？若存在，求出双曲线E的方程，若不存在，说明理由．考点：直线与圆锥曲线的综合问题．专题：压轴题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（1）依题意，可知=2，易知c=a，从而可求双曲线E的离心率；（2）由（1）知，双曲线E的方程为﹣=1，设直线l与x轴相交于点C，分l⊥x轴与直线l不与x 轴垂直讨论，当l⊥x轴时，易求双曲线E的方程为﹣=1．当直线l不与x轴垂直时，设直线l的方程为y=kx+m，与双曲线E的方程联立，利用由S△OAB=|OC|•|y1﹣y2|=8可证得：双曲线E的方程为﹣=1，从而可得答案．解答：解：（1）因为双曲线E的渐近线分别为l1：y=2x，l2：y=﹣2x，所以=2．所以=2．故c=a，从而双曲线E的离心率e==．（2）由（1）知，双曲线E的方程为﹣=1．设直线l与x轴相交于点C，当l⊥x轴时，若直线l与双曲线E有且只有一个公共点，则|OC|=a，|AB|=8，所以|OC|•|AB|=8，因此a•4a=8，解得a=2，此时双曲线E的方程为﹣=1．以下证明：当直线l不与x轴垂直时，双曲线双曲线E的方程为﹣=1也满足条件．设直线l的方程为y=kx+m，依题意，得k＞2或k＜﹣2；则C（﹣，0），记A（x1，y1），B（x2，y2），由得y1=，同理得y2=，由S△OAB=|OC|•|y1﹣y2|得：|﹣|•|﹣|=8，即m2=4|4﹣k2|=4（k2﹣4）．因为4﹣k2＜0，所以△=4k2m2+4（4﹣k2）（m2+16）=﹣16（4k2﹣m2﹣16），又因为m2=4（k2﹣4），所以△=0，即直线l与双曲线E有且只有一个公共点．因此，存在总与直线l有且只有一个公共点的双曲线E，且E的方程为﹣=1．点评：本题考查双曲线的方程与性质、直线与圆锥曲线的位置关系等基础知识，考查抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力，考查特殊与一般思想、数形结合思想、分类讨论思想、函数与方程思想．20．（14分）（2014•福建）已知函数f（x）=e x﹣ax（a为常数）的图象与y轴交于点A，曲线y=f（x）在点A 处的切线斜率为﹣1．（1）求a的值及函数f（x）的极值；（2）证明：当x＞0时，x2＜e x；（3）证明：对任意给定的正数c，总存在x0，使得当x∈（x0，+∞）时，恒有x＜ce x．考点：导数在最大值、最小值问题中的应用；利用导数研究函数的单调性．专题：等差数列与等比数列．分析：（1）利用导数的几何意义求得a，再利用导数法求得函数的极值；（2）构造函数g（x）=e x﹣x2，利用导数求得函数的最小值，即可得出结论；（3）利用（2）的结论，令x0=，则e x＞x2＞x，即x＜ce x．即得结论成立．解答：解：（1）由f（x）=e x﹣ax得f′（x）=e x﹣a．又f′（0）=1﹣a=﹣1，∴a=2，∴f（x）=e x﹣2x，f′（x）=e x﹣2．由f′（x）=0得x=ln2，当x＜ln2时，f′（x）＜0，f（x）单调递减；当x＞ln2时，f′（x）＞0，f（x）单调递增；∴当x=ln2时，f（x）有极小值为f（ln2）=e ln2﹣2ln2=2﹣ln4．f（x）无极大值．（2）令g（x）=e x﹣x2，则g′（x）=e x﹣2x，由（1）得，g′（x）=f（x）≥f（ln2）=e ln2﹣2ln2=2﹣ln4＞0，即g′（x）＞0，∴当x＞0时，g（x）＞g（0）＞0，即x2＜e x；（3）对任意给定的正数c，总存在x0=＞0．当x∈（x0，+∞）时，由（2）得e x＞x2＞x，即x＜ce x．∴对任意给定的正数c，总存在x0，使得当x∈（x0，+∞）时，恒有x＜ce x．点评：本题主要考查基本初等函数的导数、导数的运算及导数的应用、全称量词、存在量词等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力、抽象概括能力，考查函数与方程思想、有限与无限思想、划归与转化思想、分类与整合思想、特殊与一般思想．属难题．21．（7分）（2014•福建）已知矩阵A的逆矩阵A﹣1=（）．（1）求矩阵A；（2）求矩阵A﹣1的特征值以及属于每个特征值的一个特征向量．考点：特征向量的定义．专题：计算题；矩阵和变换．分析：（1）利用AA﹣1=E，建立方程组，即可求矩阵A；（2）先根据特征值的定义列出特征多项式，令f（λ）=0解方程可得特征值，再由特征值列出方程组即可解得相应的特征向量．解答：解：（1）设A=，则由AA﹣1=E得=，解得a=，b=﹣，c=﹣，d=，所以A=；（2）矩阵A﹣1的特征多项式为f（λ）==（λ﹣2）2﹣1，令f（λ）=（λ﹣2）2﹣1=0，可求得特征值为λ1=1，λ2=3，设λ1=1对应的一个特征向量为α=，则由λ1α=Mα，得x+y=0得x=﹣y，可令x=1，则y=﹣1，所以矩阵M的一个特征值λ1=1对应的一个特征向量为，同理可得矩阵M的一个特征值λ2=3对应的一个特征向量为．点评：本题考查逆变换与逆矩阵，考查矩阵特征值与特征向量的计算等基础知识，属于基础题．五、选修4-4：极坐标与参数方程22．（7分）（2014•福建）已知直线l的参数方程为（t为参数），圆C的参数方程为（θ为常数）．（1）求直线l和圆C的普通方程；（2）若直线l与圆C有公共点，求实数a的取值范围．考点：圆的参数方程；直线的参数方程．专题：选作题；坐标系和参数方程．分析：（1）消去参数，把直线与圆的参数方程化为普通方程；（2）求出圆心到直线的距离d，再根据直线l与圆C有公共点⇔d≤r即可求出．解答：解：（1）直线l的参数方程为，消去t可得2x﹣y﹣2a=0；圆C的参数方程为，两式平方相加可得x2+y2=16；（2）圆心C（0，0），半径r=4．由点到直线的距离公式可得圆心C（0，0）到直线L的距离d=．∵直线L与圆C有公共点，∴d≤4，即≤4，解得﹣2≤a≤2．点评：熟练掌握点到直线的距离公式和直线与圆有公共点的充要条件是解题的关键．六、选修4-5：不等式选讲23．（2014•福建）已知定义在R上的函数f（x）=|x+1|+|x﹣2|的最小值为a．（1）求a的值；（2）若p，q，r为正实数，且p+q+r=a，求证：p2+q2+r2≥3．考点：二维形式的柯西不等式；绝对值不等式的解法．专题：计算题；证明题；不等式的解法及应用．分析：（1）由绝对值不等式|a|+|b|≥|a﹣b|，当且仅当ab≤0，取等号；（2）由柯西不等式：（a2+b2+c2）（d2+e2+f2）≥（ad+be+cf）2，即可证得．解答：（1）解：∵|x+1|+|x﹣2|≥|（x+1）﹣（x﹣2）|=3，当且仅当﹣1≤x≤2时，等号成立，∴f（x）的最小值为3，即a=3；（2）证明：由（1）知，p+q+r=3，又p，q，r为正实数，∴由柯西不等式得，（p2+q2+r2）（12+12+12）≥（p×1+q×1+r×1）2=（p+q+r）2=32=9，即p2+q2+r2≥3．点评：本题主要考查绝对值不等式、柯西不等式等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想．。