6渐近法
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结构力学-渐近法和超静定影响线
M
18 / 57
第十二章 渐近法和超静定影响线
练习：用力矩分配法求图示结构弯矩图。
40 kN
q = 10 kN/m
A EI
4m
μ
MF
分 配 传 递
M
B
4m
EI C
6m
19 / 57
第十二章 渐近法和超静定影响线
例题：用力矩分配法求图示结构弯矩图(EI=常
数) 。q
结点 B A
1
C
B
1
C
2ql
l
Al
k
M1A 传递系数
∑ M 1i =
S1i S1k
M
= μ1i M
=
M
μ 1i
传递弯矩
k
M
C i1
=
C
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
1i
M
μ 1i
分配弯矩
9 / 57
第十二章 渐近法和超静定影响线 第二节 力矩分配法基本运算
注 意：
① 结点集中力偶M按指定方向为正。 ② 分配系数表示近端承担结点外力偶的比率，它等于该
杆近端的转动刚度与交与结点1的各杆转动刚度之和 的比值。 ③ 只有分配弯矩才能向远端传递。 ④ 分配弯矩是杆端转动时产生的近端弯矩，传递弯矩是 杆件近端转动时产生的远端弯矩。
10 / 57
第十二章 渐近法和超静定影响线 第二节 力矩分配法基本运算
2、单结点结构在跨间荷载作用下的计算
q
变形过程想象成两个阶段进行
B
1
C
固定+放松
A
q
R1P
• 固端弯矩引 B
1
起不平衡力
固定
C
矩R1P
结构力学-渐近法
4i14
M1 图
4
M 1Fj — —将不平衡力矩变号后, 按劲度系数大小的比例,
分配给各近端；
M 12 — —节点转动 Z 1 角产生的弯矩 分配弯矩 F M 12 — —固端弯矩
F M 14 M 14 M 14
F 同理： M 13 M 13 M 13
远端弯矩(传递弯矩)：
i1 l1
4P
1500
2500
C
B
5 P 3 E
2500
A
D
CB
BA 0.625, BC 0.375。 0.5, CD 0.5, DC 0.706, DE 0.294。
A
0.625 0.375 B
1500 -938 -562
0.5 0.5 C
-281 883 -301 -301 29 54 -42 -42
30kN/m B i=1
10m 0.5
160kN C
3m 0.5 +112.5
D i=1
5m
+250.0 -187.5
+32.0 -47.3 -47.3 +4.8 -2.4 -2.4 +0.3 -0.2 -0.2 +237.4 -237.4
B点一次分、传 0.0 C点一次分、传 B点二次分、传 0.0 C点二次分、传 B点三次分、传 0.0 C点第三次分配 最后弯矩 0.0
F
1
1
3 3
2 2
3i12 Z1=1 3i12 Z1=1 2i13 2i13 3
1
1 4i13
3
4i13
M1 图
4 4
i4i14 14
4i14
M1 图
4
M 1Fj — —将不平衡力矩变号后, 按劲度系数大小的比例,
分配给各近端；
M 12 — —节点转动 Z 1 角产生的弯矩 分配弯矩 F M 12 — —固端弯矩
F M 14 M 14 M 14
F 同理： M 13 M 13 M 13
远端弯矩(传递弯矩)：
i1 l1
4P
1500
2500
C
B
5 P 3 E
2500
A
D
CB
BA 0.625, BC 0.375。 0.5, CD 0.5, DC 0.706, DE 0.294。
A
0.625 0.375 B
1500 -938 -562
0.5 0.5 C
-281 883 -301 -301 29 54 -42 -42
30kN/m B i=1
10m 0.5
160kN C
3m 0.5 +112.5
D i=1
5m
+250.0 -187.5
+32.0 -47.3 -47.3 +4.8 -2.4 -2.4 +0.3 -0.2 -0.2 +237.4 -237.4
B点一次分、传 0.0 C点一次分、传 B点二次分、传 0.0 C点二次分、传 B点三次分、传 0.0 C点第三次分配 最后弯矩 0.0
F
1
1
3 3
2 2
3i12 Z1=1 3i12 Z1=1 2i13 2i13 3
1
1 4i13
3
4i13
M1 图
4 4
i4i14 14
4i14
结构力学 渐进法
EI=1 6m
D
iBC iCD
M F -60
1 2 S 4 BA 6 3 S 4 1 1 BC 4
1 6 2 1 8 4 1 6
B
分 14.7 配 与 传 1.5 递
0.2
Mij -43.6 43.6 A 21.9
0.3
92.6 -92.6 92.6 B
B
F
CB 0.445 CF 0.222 0.333 CD
单独使用时对连续梁和无结点线位移刚架的 计算特别方便。
一、基本概念
（1）转动刚度（S）： 使杆端发生单位转角时需要施加的杆端弯矩。 SAB=4i
A B
SAB=3i
1
A B
1
SAB=i
A B
SAB=0
A
B
1
SAB=4i SAB与杆的i（材料的性质、横截面 的形状和尺寸、杆长）及远端支承 有关， 而与近端支承无关。
F 21 2
A
q 12kN / m
M1
1
M2
2
B
28.6
50
6.1
100
-28.6 -57.1 -42.9
21.4
-9.2 -12.2
1.8 1.8
-6.1
6.1 3.5 2.6
放松结点1(结点2固定):
S12 4i S1 A 3i 12 0.571 1 A 0.429
… … ...
41.3
-41.3
0
2 3 0.4 BA 2 1 3 0.6 BC 1 S 4 1 CB 4 S 3 1 1 CD 6 2
渐近方法 —函数的展开
§ 2.2 渐近展开
§ 2 渐近方法
六、 幂函数的展式
wn (z) (z z0 )n, n 0,1, 2, , 在D 中，
若当z → z0,对每一个N 有：
N
f (z) an (z z0 )n o[(z z0 )n ]
N
n0
则： an (z z0 )n 是D中，z z0 时，f (z)
§ 2 渐近方法
3) 量级小于
若x x0时，f (x) / g(x) 0，则记f (x) o(g(x))
例： x 0, tan(x3) o(x2 ),
x , 对n 0, xn o(ex )
f (x) O(1) 的意义是说 f (x)有界，而 f (x) o(1) 的意义是 说f (x)趋于零。
且 f (z) 存在于相同的区域，当 z 时，有
f (z) nbn z(n1) n 1
则 an bn , n 1, 2,
对于解析函数 f (z) ，若在区域 D {z ||z|r , arg z }
当 z 时有 f (z)
an z n
则在
D {z ||z|r ,
n0
1 arg z 1 }
所以：
wk1(z)(ak1 hk / wk1)wk1 gk o(wk )
又因为：
lim
z z0
hk
/ wk1
0,且ak1
0,
故存在一个 z0 的 邻域使z在其中时：
ak1 hk / wk1 0
§ 2.2 渐近展开
§ 2 渐近方法
所以 wk1 o(wk ) 。由此，各个 ak 都由这种方式定义得
也可以说若存在任一 0 ，定义域D内点x0总有一的邻域
V存在，使得所有 x V ，满足
渐近法有力矩分配法
附加刚臂,即相当于在B结点作用一个反向的不平衡力矩(-MB)，求 出各杆端的分配弯矩及传递弯矩MC，叠加各杆端弯矩即得原连续 梁各杆端的最后弯矩。连续梁的M、FS图及支座反力则不难求出。 用力矩分配法作题时,不必绘图9-3(b)、(c)所示图,而是按一定的格 式进行计算,即可十分清晰地说明整个计算过程,举例如下。
§9-2 力矩分配法的基本原理
力矩分配法对连续梁和无结点线位移刚架的计算特别方 便，下面先介绍几个常用的名词。 1．转动刚度(也称为劲度系数)S
(a)
SAB=4i
A A=1
l 远端固定SAB=4i
(d)
A=1
A
MAB=4i=SAB
MAB=2i
B
MAB=2i
B
(b)
SAB=3i
A A=1
MAB=0
4．力矩分配法的基本原理 以图9-3(a)为例进行说明:
（1）设想在B结点加上一个刚臂阻止B结点转动如图9-3(b)所示。 此时只有AB跨受荷载作用产生变形,相应的杆端弯矩MFAB、 MFAB即 为固端弯矩、,附加刚臂的反力矩可取B结点为隔离体而得：
ΣMB=0
,M B
MF, BA
MB是汇交于B结点各杆端固端弯矩代数和,
A
S AD M S
AD M
A
式中AB、AC、 AD称为分配系数,就相当于把结点力矩M按各杆转
动刚度的大小比例分配给各杆的近端,所得的近端弯矩称为分配弯 矩，用M表示。其中汇交于A结点各杆端分配系数之和为1,即
1 。
Aj
AB
AC
AD
远端杆端弯矩MBA=MAB/2、MCA=-MAC、MDA=0，是由分配弯矩乘 传递系数而得,即为传递弯矩。
结构力学之渐近法
工程实例分析
结合具体工程实例，阐述地下工程开挖支护方案选择的实际应用，包括 地质条件分析、支护方案设计与施工等。
05
渐近法优缺点及改进方向
优点总结
高效性
渐近法通过逐步逼近真实解的方 式，可以在相对较少的计算步骤 内得到较为精确的结果，从而提 高计算效率。
适用性广
渐近法可以应用于多种类型的结 构力学问题，如线性、非线性、 静力、动力等问题，具有较强的 通用性。
渐近法将与其他数值方法相结 合，形成更加完善的结构力学 分析方法体系，以满足不断增 长的工程需求。
针对渐近法的研究将不断深入 ，探索其在结构力学中的更多 应用可能性，推动结构力学学 科的发展。
THANK YOU
感谢聆听
计算精度受限于步长选择
渐近法的计算精度与步长选择密切相关，步长过大可能导致计算结 果不准确，步长过小则可能增加计算量。
改进方向探讨
01
02
03
04
改进初始值选择方法
通过引入更先进的初始值选择 算法，如全局优化算法、智能 算法等，提高初始值选择的准 确性和效率。
加强模型验证和修正
在采用渐近法进行结构力学计 算前，应对所使用的模型进行 充分的验证和修正，确保模型 的准确性和稳定性。
奇异积分与近边界效应处理
针对边界元法中出现的奇异积分和近边界效应问题，采用相应的数 学方法进行处理，如坐标变换、特殊函数展开等。
04
工程实例分析与讨论
桥梁结构承载能力评估
桥梁结构类型与特点
工程实例分析
简要介绍桥梁的主要结构类型，如梁 桥、拱桥、悬索桥等，并分析其受力 特点和适用场景。
结合具体工程实例，阐述桥梁结构承 载能力评估的实际应用，包括评估流 程、关键步骤和注意事项等。
结合具体工程实例，阐述地下工程开挖支护方案选择的实际应用，包括 地质条件分析、支护方案设计与施工等。
05
渐近法优缺点及改进方向
优点总结
高效性
渐近法通过逐步逼近真实解的方 式，可以在相对较少的计算步骤 内得到较为精确的结果，从而提 高计算效率。
适用性广
渐近法可以应用于多种类型的结 构力学问题，如线性、非线性、 静力、动力等问题，具有较强的 通用性。
渐近法将与其他数值方法相结 合，形成更加完善的结构力学 分析方法体系，以满足不断增 长的工程需求。
针对渐近法的研究将不断深入 ，探索其在结构力学中的更多 应用可能性，推动结构力学学 科的发展。
THANK YOU
感谢聆听
计算精度受限于步长选择
渐近法的计算精度与步长选择密切相关，步长过大可能导致计算结 果不准确，步长过小则可能增加计算量。
改进方向探讨
01
02
03
04
改进初始值选择方法
通过引入更先进的初始值选择 算法，如全局优化算法、智能 算法等，提高初始值选择的准 确性和效率。
加强模型验证和修正
在采用渐近法进行结构力学计 算前，应对所使用的模型进行 充分的验证和修正，确保模型 的准确性和稳定性。
奇异积分与近边界效应处理
针对边界元法中出现的奇异积分和近边界效应问题，采用相应的数 学方法进行处理，如坐标变换、特殊函数展开等。
04
工程实例分析与讨论
桥梁结构承载能力评估
桥梁结构类型与特点
工程实例分析
简要介绍桥梁的主要结构类型，如梁 桥、拱桥、悬索桥等，并分析其受力 特点和适用场景。
结合具体工程实例，阐述桥梁结构承 载能力评估的实际应用，包括评估流 程、关键步骤和注意事项等。
结构力学09第九章渐近法
MB11kN.m
9 B -8
例9-1-2 讨论悬臂端的处理。
200kN
20kN/m
30kN
A
EI B
EI C D
a)
3m
3m
6m
2m
解： 切除CD段，则BC杆的C端有顺时针方向
的力矩60kN.m，该力矩在BC杆产生固端弯 矩，见图 b）。
200kN
20kN/m 60KN.m 30kN
A
EI B
3m
B
C
32.13
158.56 M图（ kN.m ）
例题9-1-1 作图示刚架 M 图。
解：
10kN.m
12kN
6kN/m
1）求分配系数 i E I
4
A
D I (i) B I (i)
S BA 3i SBD 4i
(2i) 2I
4m
SBC23i6i
BA
3 13
0.231
C
2m 2m
4m
BC
6 13
分配法进行计算，见图 c）。
解： i E I
6
1）求分配系数
SBA 4i
BA
4 7
0.571
SBC 3i
BC
3 7
0.429
2）求固端弯矩
M A FB1 82006150kN.m MB FA1 82006150kN.m
MB FC1 8206290kN.m
结点B约束力矩为： 结点B分配力矩为：
SBA35i15i S BC 3i
BA
5 6
BC
1 6
2）结点C处的分配系数是为了解决固端弯矩 的求解问题。
3）上面的计算过程等同于下图所示的处理方
渐近法——力矩分配法的基本概念
作业： 8－１，8－４
qL2 8
mB
1 8
qL2
4 56
qL2m
＝
＋
1 M (qL2 )
28
整个过程没有求解位移
q C
i
L
3 56
qL2
2 56
qL2
L
三、力矩分配法的一般概念
（1） 转动刚度
转动刚度表示杆端对转动的抵抗能力，在数值上 等于使杆端产生单位转角（无线位移）时所需施加的 力矩。用符号S表示。
转动刚度只取决于远端支承条件及杆件的线刚度。
第八章 渐近法
§8-1 力矩分配法的基本概念
一、力矩分配法的特点与适用条件 1. 力矩分配法与无剪力分配法是求解超静定结构
的有效方法，是在位移法基础上发展起来的渐近法。
2. 渐进法的特点
3. 力矩分配法适合求解 连续梁与无侧移刚架
4. 力矩分配法顾名思意是对结构进行力矩分配,
因此研究对象是各杆端的 杆端弯矩。
100kN.m
A EI
10m
B EI C
5m
例5: 作图示梁的弯矩图
100kN.m
A EI
10m
B EI C
5m
0.6 0.4
问：固端力矩＝？ 最终杆端力矩＝？
例6: 用力矩分配法计算图示刚架
100kN
40kN/m
A i
Bi
C
2i
4m
D
2m 2m
4m
46
58 74
100
80
16
M图（ kN.m ） 8
二、力矩分配法的解题思路 例1：用位移法求解图示刚架 (1) 加约束,固定结点B
mB
C
递归方程解的渐近阶的求法
递归方程解的渐近阶的求法递归算法在最坏情况下的时间复杂性渐近阶的分析，都转化为求相应的一个递归方程的解的渐近阶。
因此，求递归方程的解的渐近阶是对递归算法进行分析的关键步骤。
递归方程的形式多种多样，求其解的渐近阶的方法也多种多样。
这里只介绍比较实用的五种方法。
1.代入法这个方法的基本步骤是先推测递归方程的显式解，然后用数学归纳法证明这一推测的正确性。
那么，显式解的渐近阶即为所求。
2.迭代法这个方法的基本步骤是通过反复迭代，将递归方程的右端变换成一个级数，然后求级数的和，再估计和的渐近阶；或者，不求级数的和而直接估计级数的渐近阶，从而达到对递归方程解的渐近阶的估计。
3.套用公式法这个方法针对形如：T (n)=aT (n / b)+f (n) 的递归方程，给出三种情况下方程解的渐近阶的三个相应估计公式供套用。
4.差分方程法有些递归方程可以看成一个差分方程，因而可以用解差分方程(初值问题)的方法来解递归方程。
然后对得到的解作渐近阶的估计。
5.母函数法这是一个有广泛适用性的方法。
它不仅可以用来求解线性常系数高阶齐次和非齐次的递归方程，而且可以用来求解线性变系数高阶齐次和非齐次的递归方程，甚至可以用来求解非线性递归方程。
方法的基本思想是设定递归方程解的母函数，努力建立一个关于母函数的可解方程，将其解出，然后返回递归方程的解。
本章将逐一地介绍上述五种方法，并分别举例加以说明。
本来，递归方程都带有初始条件，为了简明起见，我们在下面的讨论中略去这些初始条件。
递归方程组解的渐进阶的求法——代入法用这个办法既可估计上界也可估计下界。
如前面所指出，方法的关键步骤在于预先对解答作出推测，然后用数学归纳法证明推测的正确性。
例如，我们要估计T(n)的上界，T(n)满足递归方程：其中是地板(floors)函数的记号，表示不大于n的最大整数。
我们推测T(n)=O(n log n)，即推测存在正的常数C和自然数n0，使得当n≥n0时有：T(n)≤Cn log n事实上，取n0=22=4，并取那么，当n0≤n≤2n0时，成立。
渐近法
第九章渐近法
§9—1概述 §9—2力矩分配法的原理
§9—3用力矩分配法计算连续梁和无侧移刚架 §9—4无剪力分配法 §9—5剪力分配法
1
§9—1概述
计算超静定结构，力法或位移法要解算联立方程，当未知量较 多时，工作量大。为简化计算，自1930年以来，陆续出现了各 种渐进法。如弯矩分配法，剪力分配法，迭代法等。
3）将不平衡弯矩(固端弯矩之和)反号后，按分配系数、传
递系数进行分配、传递。
4）将各杆的固端弯矩、分配弯矩、传递弯矩相加，即得
各杆的最后弯矩。
10
例9—1 解：
试用力矩分配法作刚架的弯矩图。
30kN/m A C 50kN 2EI D
32.2
60
(1)计算各杆端分配系数 B EI =0.445 AB= AB AC=0.333 (a) =0.222 AC= AD 4m (2)计算固端弯矩 AD据表 = (10—1） qL2 BA = B -40 12 +7.8 qL2 + 12 = -32.2 3PL (3)进行力矩的分配和传递 = + 8 结点A的不平衡力矩为 PL = 8 (4)计算杆端最后弯矩并作矩图。
绘出结构的
图（见图c)， 计算系数为：
r11= 4i12+3i13+i14 =S12+S13+S14
=∑S1j
汇交于结点1的各杆端转动刚度的总和
2
4i12 2i12 3i13
1 3
Z1 1
4
i14
解典型方程得
M1图
Z1=
然后可按叠加法M= 弯矩。
(c)
计算各杆端的最后弯
6
结点1的各近端弯矩为： M12= M13= M14=
§9—1概述 §9—2力矩分配法的原理
§9—3用力矩分配法计算连续梁和无侧移刚架 §9—4无剪力分配法 §9—5剪力分配法
1
§9—1概述
计算超静定结构，力法或位移法要解算联立方程，当未知量较 多时，工作量大。为简化计算，自1930年以来，陆续出现了各 种渐进法。如弯矩分配法，剪力分配法，迭代法等。
3）将不平衡弯矩(固端弯矩之和)反号后，按分配系数、传
递系数进行分配、传递。
4）将各杆的固端弯矩、分配弯矩、传递弯矩相加，即得
各杆的最后弯矩。
10
例9—1 解：
试用力矩分配法作刚架的弯矩图。
30kN/m A C 50kN 2EI D
32.2
60
(1)计算各杆端分配系数 B EI =0.445 AB= AB AC=0.333 (a) =0.222 AC= AD 4m (2)计算固端弯矩 AD据表 = (10—1） qL2 BA = B -40 12 +7.8 qL2 + 12 = -32.2 3PL (3)进行力矩的分配和传递 = + 8 结点A的不平衡力矩为 PL = 8 (4)计算杆端最后弯矩并作矩图。
绘出结构的
图（见图c)， 计算系数为：
r11= 4i12+3i13+i14 =S12+S13+S14
=∑S1j
汇交于结点1的各杆端转动刚度的总和
2
4i12 2i12 3i13
1 3
Z1 1
4
i14
解典型方程得
M1图
Z1=
然后可按叠加法M= 弯矩。
(c)
计算各杆端的最后弯
6
结点1的各近端弯矩为： M12= M13= M14=
结构力学第八章渐近法及其他算法概述)
20 62 8
90kN m
200kN 60 20kN/m
MB= MBA+ MBC= 60kN m
（2）放松结点B，即加-60进行分配
A -150
A -17.2 A -150
B
150
-90
-60 0.571 0.429
-34.3 B -25.7
0.571 0.429 150 B -90
=
+
0
C 设i =EI/l 计算转动刚度：
7.5 7.5 1.58 －1.508.75
3.75 －1.50
0.37 0.38 M图（kN.m)
0.19
0.79
－ 0.04 0.79－0.08
0.02 0.02
M －7.11 7.11
2.36
C CH 0.2
－0.75 －0.03
－0.78
E
CE
CH
0.4
－1.50 － 0.75 －0.08 － 0.04 －1.58 －0.79
F
例3. 带悬臂杆件的结构的力矩分配法。
A
EI=常数
B
C
50kN D
1m
5m
1m
A
EI=常数
B
50kN·m C
50kN D
1m
5m
1m
5/6 1/6
25
50
-20.8 -4.2
-20.8 +20.8
+50
M
A
B
M/2
例4.用力矩分配法计算，作M图。 2kN/m
取EI=5
A ↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
独立使用时只适用于解算无侧移（无独立结点线位 移）的结构。
渐进法
——比例系数μAj MAj＝μAjM ——加于A点的M按μAj分配到各杆A端
分配系数
Aj
S
A
S Aj
—— 表示杆Aj的转动刚度 在交于A点各杆的转动刚度之和中所占比例 关系式： Aj＝ AB＋ AC＋ AD＋ AE＝1
A
（4）固端弯矩MF（同位移法,表8－1）
2、基本运算（单结点力矩分配）
力学过程 a)受载结构的实际受力、变形（θB、θC） b)B、C加约束，各杆隔离（独立受力、变形） 阻止结点B、C转动→MB、MC （荷载作用产生的不平衡力矩） c)放松B，（C仍约束）即加反向力矩（－MB） B结点单结点力矩分配、传递 → MC‘（结点C不平衡力矩） d)约束B，（在 c）状态基础上）放松C， 即加反向力矩 －(MC＋MC') C结点单结点力矩分配、传递 → MB‘（结点B不平衡力矩） e)约束c，（在 d)状态基础上）放松B，… …
（悬－铰）
题9－13～15（对称性）
*题9－16（简捷计算）
8/3
8
1
4 8
2
8
0.8
3.2
4
4
【例9－3】对称结构，取半跨。 （无剪力）ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ动支座
§9－5无剪力分配法
无侧移刚架 ——力矩分配法 特殊的有侧移刚架 ——无剪力分配法 无剪力分配法概念： 1.基本原理 与力矩分配法相同——i、s、μ、c、MF。 2.应用条件： 刚架中除两端无相对线位移的杆件外， 其余杆件都是剪力定杆件。
剪力分配法（反弯点法） ——侧移刚度
[例]图示刚架，横梁刚度∞，作用水平结点力 柱端滑动杆——抗剪刚度 Q → r= 12i/l2 （Δ=1，侧移刚度） 位移法解：
第七章 渐近法与近似法
表6.1求得，即
Fa2b 120 22 3 M 2 57.6kN m 2 l 5 2 2 Fab 120 2 3 F M BA 2 86.4kN m 2 l 5 ql2 20 42 F M AD 40kN m 8 8 R F M DA 0
3i12Z1
C μ M 21 M 12 C12 0
4 2 4i13Z1 1 i14Z1 i14Z1
1 μ C μ M 31 M 13C13 M 13 2 C μ μ M 41 M 14 C14 M 14
C μ M ki Cik M ik
3 2i13Z1
基本运算中杆端弯矩的计算方法归纳为:当集中力 偶 M 作用于结点 1 时 , 按分配系数分配给各杆的近 端即为分配弯矩；分配弯矩乘以传递系数即为远 端的传递弯矩。
【例7.3】 试用力矩分配法计算图7.6(a)所示连续梁 ， 绘制弯矩图和剪力图，并求支座反力。
A 4m F B i=1 4m i=1 8m C q=20kN/m i=1 8m D
图7.6
分配系数
A －80.00
-31.42
0.5 80.00
B
0.5 45.68
0.571
C
0.429 －160.00
BC
3 1 4 1 4 1 0.57 3 1 4 1
2）计算各杆端的固端弯矩。由表6.1得
F M AB 0 2 ql 1 F M BA 30 62 kN m 135kN m 8 8 Fl 80 6 F M BC kN m 60 kN m 8 8 Fl F M CB 60 kN m 8
二、单结点力矩分配法
1) 固定结点。先在本来是发生角位移的刚结点i处假 想加入附加刚臂，使其不能转动，计算汇交于i点各
渐近方法—函数的展开
渐近方法—函数的展开
1.引言
渐近方法是分析数学中一种重要的方法，用来研究函数的极限特性以及它的极限行为。
渐近方法把一个函数展开成一系列有限的项，每一项上的指数小于给定的数。
这种展开可以帮助我们解决无限次操作的问题：比如，分数指数函数的极限、积分的收敛性、积分的复杂操作的计算等等。
2.渐近方法
渐近方法，又称函数展开，是一种计算极限值的方法。
它的基本思想是将函数展开成一系列多项式的形式，每一项的指数小于给定的数，这样可以把求函数极限变成求有限项的和的极限。
渐近方法用来求函数的极限，已经得到了广泛的应用。
可以用渐近方法来求解积分函数的极限，也可以用它来求解分数指数函数的极限，以及其他复杂的函数极限。
渐近方法也可以用来计算复杂的积分，因为它可以把无限次积分展开成有限项的形式，就可以用简单的操作来计算出结果。
3.渐近展开的应用
渐近展开的应用非常广泛，它把复杂的函数拆分成多个多项式，这样就可以显著的缩短计算过程，从而加快计算速度。
渐近展开也用于估计函数的局部性质，用来解决复杂的微积分问题，比如积分的收敛性、函数极限的计算、分数指数函数的极限等等。
第九章 渐进法
第九章 渐进法
(successive appoximation method)
渐进法又称为力矩分配法是基于位 移法的逐步逼近精确解的近似方法。 从数学上说，是一种异步迭代法。 力矩分配法单独使用时只能用于无 侧移（线位移）的结构。
力矩分配法基本思想
以图示具体例子加以说明 按位移法求解时，可得下页所示结果
解: 3 EI S BA = 3 × = EI 10 10 EI S BC = 5 0.3 EI μ BA = = 0.6 (0.3 + 0.2) EI 0.2 EI μ BC = = 0.4 (0.3 + 0.2) EI
100kN .m
A
100kN .m
EI
B
EI
C
10m
5m
100
50
μ
M F − 100
M
A
EI1 l1
C
EI 2 l2
B
r11 = 4i1 + 3i2
R1P = − M
M
i1 = EI1 / l1 i2 = EI 2 / l 2 B A C l2 l1
Z 1 = M /( 4i1 + 3i2 )
M CA = M × 4i1 /( 4i1 + 3i2 ) M CB = M × 3i2 /( 4i1 + 3i2 ) M AC = M CA × 2i1 / 4i1
M
例3
20kN / m 40kN .m
求不平衡力矩
A
EI
B
EI
C
6m
20kN / m
4m
40kN .m
60
A
60
B
40kN.m
u MB
(successive appoximation method)
渐进法又称为力矩分配法是基于位 移法的逐步逼近精确解的近似方法。 从数学上说，是一种异步迭代法。 力矩分配法单独使用时只能用于无 侧移（线位移）的结构。
力矩分配法基本思想
以图示具体例子加以说明 按位移法求解时，可得下页所示结果
解: 3 EI S BA = 3 × = EI 10 10 EI S BC = 5 0.3 EI μ BA = = 0.6 (0.3 + 0.2) EI 0.2 EI μ BC = = 0.4 (0.3 + 0.2) EI
100kN .m
A
100kN .m
EI
B
EI
C
10m
5m
100
50
μ
M F − 100
M
A
EI1 l1
C
EI 2 l2
B
r11 = 4i1 + 3i2
R1P = − M
M
i1 = EI1 / l1 i2 = EI 2 / l 2 B A C l2 l1
Z 1 = M /( 4i1 + 3i2 )
M CA = M × 4i1 /( 4i1 + 3i2 ) M CB = M × 3i2 /( 4i1 + 3i2 ) M AC = M CA × 2i1 / 4i1
M
例3
20kN / m 40kN .m
求不平衡力矩
A
EI
B
EI
C
6m
20kN / m
4m
40kN .m
60
A
60
B
40kN.m
u MB
渐近法
A
EI
B
EI
3m
3m
6m
（1）B点加约束
MAB=
200 8
6
150kN
m
C
MBA= 150kN m
MBC=
20 62 8
90kN m
200kN 60 20kN/m
MB= MBA+ MBC= 60kN m
（2）放松结点B，即加-60进行分配
A -150
A -17.2 A -150
6m
FP 2=8 k N
1
A
6m
(a
FP 1 =1 0 k N
F P2=8kN
1
A
60kNm 1 14kNm
28kNm MA=63kNm
A
21kNm
解：计算结点力矩MA：
1）计算固端弯矩：参照图(b)
FP 1=1 0 k N
FP 2=8 k N
-9kNm
1
A
(b) M图F
M
F A1
1 8
68
表示杆端对转动的抵抗能力。 在数值上 = 仅使杆端发生单位转动时需在杆端施加的力矩。
SAB=4i
SAB=3i
1
1
SAB=i
1
SAB=0
SAB与杆的i（材料的性质、横截面的形状和尺寸、杆长）及
远端支承有关， 而与近端支承无关。
2019/11/30
25
二、分配系数 设A点有力矩M，求MAB、MAC和MAD SAB = 4i
A
A
MBA = 2 iAB A
远端 B
CAB
M BA M AB
求递归方程渐近界的常用方法
递归方程解的渐近阶的求法递归算法在最坏情况下的时间复杂性渐近阶的分析，都转化为求相应的一个递归方程的解的渐近阶。
因此，求递归方程的解的渐近阶是对递归算法进行分析的关键步骤。
递归方程的形式多种多样，求其解的渐近阶的方法也多种多样。
这里只介绍比较实用的五种方法。
1.代入法这个方法的基本步骤是先推测递归方程的显式解，然后用数学归纳法证明这一推测的正确性。
那么，显式解的渐近阶即为所求。
2.迭代法这个方法的基本步骤是通过反复迭代，将递归方程的右端变换成一个级数，然后求级数的和，再估计和的渐近阶；或者，不求级数的和而直接估计级数的渐近阶，从而达到对递归方程解的渐近阶的估计。
3.套用公式法这个方法针对形如：T (n)=aT (n / b)+f (n) 的递归方程，给出三种情况下方程解的渐近阶的三个相应估计公式供套用。
4.差分方程法有些递归方程可以看成一个差分方程，因而可以用解差分方程(初值问题)的方法来解递归方程。
然后对得到的解作渐近阶的估计。
5.母函数法这是一个有广泛适用性的方法。
它不仅可以用来求解线性常系数高阶齐次和非齐次的递归方程，而且可以用来求解线性变系数高阶齐次和非齐次的递归方程，甚至可以用来求解非线性递归方程。
方法的基本思想是设定递归方程解的母函数，努力建立一个关于母函数的可解方程，将其解出，然后返回递归方程的解。
本章将逐一地介绍上述五种方法，并分别举例加以说明。
本来，递归方程都带有初始条件，为了简明起见，我们在下面的讨论中略去这些初始条件。
递归方程组解的渐进阶的求法——代入法用这个办法既可估计上界也可估计下界。
如前面所指出，方法的关键步骤在于预先对解答作出推测，然后用数学归纳法证明推测的正确性。
例如，我们要估计T(n)的上界，T(n)满足递归方程：其中是地板(floors)函数的记号，表示不大于n的最大整数。
我们推测T(n)=O(n log n)，即推测存在正的常数C和自然数n0，使得当n≥n0时有：T(n)≤Cn log n (6.2)事实上，取n0=22=4，并取那么，当n0≤n≤2n0时，(6.2)成立。
渐近方法 —函数的展开
f ( z) a0 w0 ( z) a1w1 ( z) an wn ( z) o[wn ( z))] z z0
那么称此为 f ( x) 在 z 0 点的渐近展式。记为
f ( z ) an wn ( z ) z z0
n
注意：渐近展式与函数的级数展式不同：对确定的z值，渐近 展式的项数无限增多时，所得级数一般是发散的，但若满足 渐近展式的定义式，则当 z z0 时，取确定的项数n会得到 对函数非常好的近似。
n 1 n n
N
是
z z0
时，
f ( z ) 的一个直到N项的渐近展开式。
§ 2.2 渐近展开 证明： 首先证明
§ 2 渐近方法
wn ( z)
k n 1
是一个渐近序列。由
ak
的定义得
f ( z ) an wn ( z ) g k ( z ) o(wk ) f ( z ) an wn ( z ) ak 1wk 1 ( z ) hk ( z ) ak 1wk 1 ( z ) o(wk 1 )
N
n 0
是D中， z z0 时， f ( z ) 的一个渐近
N
幂级数展式，记为
f ( z ) an ( z z0 ) n
n 0
z z0
其中一种重要的特殊情形是在D中，当 z0 时，如果
an f ( z ) n o( z n ) n 0 z
N
则在D中，当 z 时 f ( z ) ~
§ 2.3 渐近展式的运算 推论2： 对 arg z ，当
§ 2 渐近方法
z
时有
f ( z ) an z n
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1 2
锁住结点1、2：lock joint 1、2
P 1 2
1 2 0
1 1 2 0
放松结点1 ：relax joint 1
1
1<
'
P
1
2
重新锁住1结点，放松2结点：
lock joint 1 again, relax joint 2
1
1
P '< 2
'
2
2
2 2
然后再依次放松1、2结点，进行第二、 三…轮计算。 relax joint 1、2 one by one, calculate by the second、third turn… 最后：finally
远端弯矩：far-end moment
M 21 0 M 31 ( M 1Fj
F C F C13 u13 ( M 1Fj ) M 31 M 31 M 31 C ( M 31 — —将各近端弯矩以传递系数的比例传递到各远端） distribute every near-end moment to every far-end by the ratio of carry-out coefficient
刚度系数、分配系数、传递系数
stiffness 、distribution 、carry-out coefficient
符号规定：
sign stipulation
与位移法一致
identical to displacement method
单结点力矩分配法基本原理： basic principle of moment distribution method 加刚臂——去刚臂——叠加 add rigid arm ——remove rigid arm —— superposition
结构力学
Structural mechanics
渐 近 法
successive approximation method
渐近法 Chapter 11 successive approximation method §6-1 引言 foreword
力矩分配法 moment distribution method
relax joint, distribute bending moment, carry-out bending moment
二、计算步骤：calculation steps 例(e.g.) EI
AB
3 S AB 1 4 S AB S AC S AD ( 2 3 1 ) EI 2 4 4 4
① 不组成求解方程 not form equation ②生动形象，重复步骤，易于手算
vivid, repeated step, easy to manual calculation
§11-2 力矩分配法的基本原理 basic principle of moment distribution method 一、基本概念 basic concept
1 ， 2
' 1 ' 2
二、举例说明example 例1 计算分配系数：calculate distribution coefficient
3i 4i 4i 4i 3 7 4 7 23 0.5 21 10 0.5 12 4i 3i 4i 3i 4i 4i 4i 4i
1 1 P
Z1 R1P r11 M 1 j
F M Z1 M 1 M P
S
1J
于是得(so)
S12 令(let ) 12 ——分配系数 distribution coefficient S1 j
S12 F M12 ( ) S12 M ( M1Fj ) M12 S1 j S1 j
§11-3 力矩分配法计算连续梁和无侧移刚架
一、计算步骤的形象化介绍
calculate beam and rigid frame without sidesway with moment distribution method visualized introduction of calculation step P 2 1
— 节点转动 Z 角产生的弯矩 分配弯矩distribution moment 1
moment of Z1 angle when joint rotates
F M 12 — 固端弯矩 fix-end moment
同理(as same as)：
F M 13 M 13 M 13 F M 14 M 14 M 14
15KN/m i=1 1 200KN 2 i=1 3 i=1
分配 和 传递 Distri bute and transf er
-80
0.5 80 30 ← 60 17 ← 2 -31 ← 33 3 176
0.5 -200 60 -66 33 -5 2 -176
4/7 200 → 30 ← -131 → 17 ← -10 106
1、劲度系数(转动刚度)S:stiffness coefficient(rotation stiffness) ——近端（转动端）仅发生单位转角时，引起的近 端杆端弯矩。Bar-end moment of near end when only unit
angle of rotation appears in near end (rotating end)
S
F ) S13 C13 M B1
1j
同理(as same as)：
C F M 41 M 41 M 41
归纳:conclusion
①固定节点，各杆端有固端弯矩，有节点不平衡力矩。 fix joint, every bar has fix-end bending moment and ②放松节点，分配弯矩，传递弯矩。 unbalance moment of 固端弯矩，有节点不平衡力矩。 ①固定节点，各杆端有joint ②放松节点，分配弯矩，传递弯矩。
远 端 约 束
far-end restriction
S
C 0.5 0 -1
固
fix
定
4i
铰
滑
slip
支
动
hinge
3i
i
3、节点不平衡力矩：unbalance moment of joint
R1P M 1Fj
j 1 n
(刚臂反力矩)
4、分配系数：distribution coefficient 1 j S1 j
5、分配弯矩：distribution moment M 1 j c 6、传递弯矩：carry-out moment M i1
S
j 1
n
1j
(Couple M acted at joint A is distributed to near end of each member by distribution coefficient, and far-end moment is equal to that near-end moment multiplies carry-over coefficient)
3/7
-99 -7 -106
先放松结点不平 衡力矩的绝对值 大的结点——加 快收敛。 firstly relax the joint whose absolute value of unbalance moment is biggest.
F 12
M1Fj
令 ( 12
近端弯矩可写为：near-end moment write as
M
M
M
12
12
( M F ) M F M M F 12 12
12 1j 12 F 1j
— 将不平衡力矩变号后按劲度系数大小的比例分配给各近端
reverse the unbalance moment and distribute to every near-end by the proportion of stiffness coefficient
F 结点A不平衡力矩为： M AJ 40 75 35
计算步骤
Hale Waihona Puke 结点BAD
杆端
1 求各杆分 配系数 2 求固端弯 矩 3 力矩分配 与传递 4 计算最后 杆端弯矩
BA
AB
1/2 40 35/2 57.5
AC
1/6 0 35/6 5.8
AD
1/3 -75 35/3 -63.3
DA
MF
/
A
A
A
i
B
M AB 4 S AB 4i
A
A
i
B B
S AB 3i
A
i
S AB i
2、传递系数C：carry-over coefficient
——当近端有转角时，远端弯距与近端弯距的比值。
the ratio of far-end moment and near-end moment when near end has angle of rotation M BA C AB M AB
0 0 0
/
-25 -35/3 -36.7
M (M C )
总结：conclusion
应用条件： 只有角位移的刚架和连续梁
application condition rigid frame and beam only with angular displacement
三概念：
three concepts
渐近法
Successive approximation method
锁住结点1、2：lock joint 1、2
P 1 2
1 2 0
1 1 2 0
放松结点1 ：relax joint 1
1
1<
'
P
1
2
重新锁住1结点，放松2结点：
lock joint 1 again, relax joint 2
1
1
P '< 2
'
2
2
2 2
然后再依次放松1、2结点，进行第二、 三…轮计算。 relax joint 1、2 one by one, calculate by the second、third turn… 最后：finally
远端弯矩：far-end moment
M 21 0 M 31 ( M 1Fj
F C F C13 u13 ( M 1Fj ) M 31 M 31 M 31 C ( M 31 — —将各近端弯矩以传递系数的比例传递到各远端） distribute every near-end moment to every far-end by the ratio of carry-out coefficient
刚度系数、分配系数、传递系数
stiffness 、distribution 、carry-out coefficient
符号规定：
sign stipulation
与位移法一致
identical to displacement method
单结点力矩分配法基本原理： basic principle of moment distribution method 加刚臂——去刚臂——叠加 add rigid arm ——remove rigid arm —— superposition
结构力学
Structural mechanics
渐 近 法
successive approximation method
渐近法 Chapter 11 successive approximation method §6-1 引言 foreword
力矩分配法 moment distribution method
relax joint, distribute bending moment, carry-out bending moment
二、计算步骤：calculation steps 例(e.g.) EI
AB
3 S AB 1 4 S AB S AC S AD ( 2 3 1 ) EI 2 4 4 4
① 不组成求解方程 not form equation ②生动形象，重复步骤，易于手算
vivid, repeated step, easy to manual calculation
§11-2 力矩分配法的基本原理 basic principle of moment distribution method 一、基本概念 basic concept
1 ， 2
' 1 ' 2
二、举例说明example 例1 计算分配系数：calculate distribution coefficient
3i 4i 4i 4i 3 7 4 7 23 0.5 21 10 0.5 12 4i 3i 4i 3i 4i 4i 4i 4i
1 1 P
Z1 R1P r11 M 1 j
F M Z1 M 1 M P
S
1J
于是得(so)
S12 令(let ) 12 ——分配系数 distribution coefficient S1 j
S12 F M12 ( ) S12 M ( M1Fj ) M12 S1 j S1 j
§11-3 力矩分配法计算连续梁和无侧移刚架
一、计算步骤的形象化介绍
calculate beam and rigid frame without sidesway with moment distribution method visualized introduction of calculation step P 2 1
— 节点转动 Z 角产生的弯矩 分配弯矩distribution moment 1
moment of Z1 angle when joint rotates
F M 12 — 固端弯矩 fix-end moment
同理(as same as)：
F M 13 M 13 M 13 F M 14 M 14 M 14
15KN/m i=1 1 200KN 2 i=1 3 i=1
分配 和 传递 Distri bute and transf er
-80
0.5 80 30 ← 60 17 ← 2 -31 ← 33 3 176
0.5 -200 60 -66 33 -5 2 -176
4/7 200 → 30 ← -131 → 17 ← -10 106
1、劲度系数(转动刚度)S:stiffness coefficient(rotation stiffness) ——近端（转动端）仅发生单位转角时，引起的近 端杆端弯矩。Bar-end moment of near end when only unit
angle of rotation appears in near end (rotating end)
S
F ) S13 C13 M B1
1j
同理(as same as)：
C F M 41 M 41 M 41
归纳:conclusion
①固定节点，各杆端有固端弯矩，有节点不平衡力矩。 fix joint, every bar has fix-end bending moment and ②放松节点，分配弯矩，传递弯矩。 unbalance moment of 固端弯矩，有节点不平衡力矩。 ①固定节点，各杆端有joint ②放松节点，分配弯矩，传递弯矩。
远 端 约 束
far-end restriction
S
C 0.5 0 -1
固
fix
定
4i
铰
滑
slip
支
动
hinge
3i
i
3、节点不平衡力矩：unbalance moment of joint
R1P M 1Fj
j 1 n
(刚臂反力矩)
4、分配系数：distribution coefficient 1 j S1 j
5、分配弯矩：distribution moment M 1 j c 6、传递弯矩：carry-out moment M i1
S
j 1
n
1j
(Couple M acted at joint A is distributed to near end of each member by distribution coefficient, and far-end moment is equal to that near-end moment multiplies carry-over coefficient)
3/7
-99 -7 -106
先放松结点不平 衡力矩的绝对值 大的结点——加 快收敛。 firstly relax the joint whose absolute value of unbalance moment is biggest.
F 12
M1Fj
令 ( 12
近端弯矩可写为：near-end moment write as
M
M
M
12
12
( M F ) M F M M F 12 12
12 1j 12 F 1j
— 将不平衡力矩变号后按劲度系数大小的比例分配给各近端
reverse the unbalance moment and distribute to every near-end by the proportion of stiffness coefficient
F 结点A不平衡力矩为： M AJ 40 75 35
计算步骤
Hale Waihona Puke 结点BAD
杆端
1 求各杆分 配系数 2 求固端弯 矩 3 力矩分配 与传递 4 计算最后 杆端弯矩
BA
AB
1/2 40 35/2 57.5
AC
1/6 0 35/6 5.8
AD
1/3 -75 35/3 -63.3
DA
MF
/
A
A
A
i
B
M AB 4 S AB 4i
A
A
i
B B
S AB 3i
A
i
S AB i
2、传递系数C：carry-over coefficient
——当近端有转角时，远端弯距与近端弯距的比值。
the ratio of far-end moment and near-end moment when near end has angle of rotation M BA C AB M AB
0 0 0
/
-25 -35/3 -36.7
M (M C )
总结：conclusion
应用条件： 只有角位移的刚架和连续梁
application condition rigid frame and beam only with angular displacement
三概念：
three concepts
渐近法
Successive approximation method