【小初高学习]2017-2018学年高中数学 学业分层测评18(含解析)北师大版选修2-1
2017-2018学年高中数学 学业分层测评20(含解析)北师大版选修2-1
学业分层测评(二十)(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．若点P 到直线x ＝－1的距离比它到点(2,0)的距离小1，则点P 的轨迹是( ) A ．圆 B ．椭圆 C ．双曲线D ．抛物线【解析】 点P 到直线x ＝－1的距离比它到点(2,0)的距离小1，即点P 到直线x ＝－2的距离与它到点(2,0)的距离相等，符合抛物线的定义，故点P 的轨迹是抛物线．【答案】 D2．已知双曲线方程为x 2－y 24＝1，过P (1,0)的直线L 与双曲线只有一个公共点，则共有L ( )A ．4条B ．3条C ．2条D ．1条【解析】 因为双曲线方程为x 2－y 24＝1，所以P (1,0)是双曲线的右顶点，所以过P (1,0)并且和x 轴垂直的直线是双曲线的一条切线，与双曲线只有一个公共点，另外还有两条就是过P (1,0)分别和两条渐近线平行的直线，所以符合要求的共有3条．【答案】 B3．已知抛物线y 2＝2px (p ＞0)，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A ，B 两点，若线段AB 的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为( )A ．x ＝1B ．x ＝－1C ．x ＝2D ．x ＝－2【解析】 抛物线的焦点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0，所以过焦点且斜率为1的直线方程为y ＝x －p2，即x ＝y ＋p 2，将其代入y 2＝2px ＝2p ⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋p 2＝2py ＋p 2，所以y 2－2py －p 2＝0， 所以y 1＋y 22＝p ＝2，所以抛物线的方程为y 2＝4x ，准线方程为x ＝－1. 【答案】 B4．过双曲线2x 2－y 2＝2的右焦点作直线l 交双曲线于A ，B 两点，若|AB |＝4，则这样的直线l 的条数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4【解析】 由2x 2－y 2＝2得x 2－y 22＝1，∴a 2＝1，b 2＝2，当直线l 与两支相交时需|AB |≥2a＝2.由|AB |＝4可得直线l 有两条；当直线l 只与右支相交时，需|AB |≥2b2a＝4，由|AB |＝4可得直线l 只有1条．综上，符合题意的直线l 共有3条．【答案】 C5．设双曲线x 2a 2－y 2b2＝1的一条渐近线与抛物线y ＝x 2＋1只有一个公共点，则双曲线的离心率为( )A.54 B ．5 C.52D ． 5【解析】 设双曲线的渐近线方程为y ＝kx ，这条直线与抛物线y ＝x 2＋1相切，联立方程得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ，y ＝x 2＋1，整理得x 2－kx ＋1＝0，则Δ＝k 2－4＝0，解得k ＝±2，即ba＝2，故双曲线的离心率e ＝ca＝a 2＋b 2a 2＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a2＝ 5.【答案】 D 二、填空题6．直线y ＝x ＋4与双曲线x 2－y 2＝1的交点坐标为________．【解析】 联立方程组得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋4，x 2－y 2＝1，消去y 得x 2－(x ＋4)2＝1，则x ＝－178，代入y ＝x ＋4得y ＝158.故直线y ＝x ＋4与双曲线x 2－y 2＝1的交点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－178，158.【答案】 ⎝⎛⎭⎪⎫－178，1587．已知直线l 过点P (0,2)且与椭圆x 2＋2y 2＝2只有一个公共点，则直线l 的方程为____________．【导学号：32550096】【解析】 当直线l 斜率不存在时，方程为x ＝0，与椭圆x 2＋2y 2＝2有两个公共点，舍去；当直线l 斜率存在时，设方程为y ＝kx ＋2，代入椭圆方程得x 2＋2(kx ＋2)2＝2，整理得(2k 2＋1)x 2＋8kx ＋6＝0，由Δ＝64k 2－4×6×(2k 2＋1)＝0，解得k ＝±62. 【答案】 y ＝62x ＋2或y ＝－62x ＋2 8．已知抛物线y 2＝4x ，过点Q (4,0)的直线与抛物线相交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，则y 21＋y 22的最小值是________．【解析】 设直线AB的方程为ty ＝x －4(t ∈R )，由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4x ，ty ＝x －4，得x 2－(8＋4t 2)x＋16＝0，Δ＝(8＋4t 2)2－4×16＝64t 2＋16t 4≥0，∴x 1＋x 2＝8＋4t 2≥8，∴y 21＋y 22＝4(x 1＋x 2)≥32.【答案】 32 三、解答题9．已知双曲线C ：2x 2－y 2＝2与直线l 上一点P (1,2)．求直线l 的斜率k 为何值时，l 与C 分别有一个交点，两个交点，没有交点？【解】 设直线l 的方程为y －2＝k (x －1)，代入C 的方程，并整理得(2－k 2)x 2＋2(k 2－2k )x －k 2＋4k －6＝0，当k ＝±2时，方程组有唯一解． 当k ≠±2时，由Δ＝0，得k ＝32.所以当k ＝±2或k ＝32或k 不存在时，l 与C 只有一个交点．如图，当2＜k ＜32或k ＜－2或－2＜k ＜2时，l 与C 有两个交点．当k ＞32时，l 与C 无交点．10．已知椭圆x 23＋y 22＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1且倾斜角为45°的直线l 与椭圆相交于A ，B 两点．(1)求AB 的中点坐标； (2)求△ABF 2的周长与面积．【解】 (1)由x 23＋y 22＝1，知a ＝3，b ＝2，c ＝1.∴F 1(－1,0)，F 2(1,0)，∴l 的方程为y ＝x ＋1，联立⎩⎪⎨⎪⎧x 23＋y 22＝1，y ＝x ＋1，消去y 得5x 2＋6x －3＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，AB 中点M (x 0，y 0)，则x 1＋x 2＝－65，x 1x 2＝－35，x 0＝x 1＋x 22＝－35，y 0＝y 1＋y 22＝x 1＋1＋x 2＋12＝x 1＋x 22＋1＝25(或y 0＝x 0＋1＝－35＋1＝25)，∴中点坐标为M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－35，25. (2)由题意知，F 2到直线AB 的距离d ＝|1－0＋1|12＋12＝22＝2， |AB |＝1＋k 2l ·x 1＋x 22－4x 1x 2＝835， ∴S △ABF 2＝12|AB |d ＝12×835×2＝465，∴△ABF 2的周长＝4a ＝4 3.[能力提升]1．曲线x 2＋4y 2＝52与x 2＋y 2＝37的交点个数是( ) A ．4 B ．3 C ．2D ．1【解析】 将方程x 2＋4y 2＝52与x 2＋y 2＝37相减可得3y 2＝15，则y 有两个值，依据任何一个曲线方程可知y 的一个值对应两个x 值，因此，两曲线共有4个交点．【答案】 A2．(2014·全国卷Ⅱ)设F 为抛物线C ：y 2＝3x 的焦点，过F 且倾斜角为30°的直线交C 于A ，B 两点，O 为坐标原点，则△OAB 的面积为( )A.334 B ．938C.6332D ．94【解析】 由已知得F ⎝ ⎛⎭⎪⎫34，0，故直线AB 的方程为y ＝tan 30°·⎝ ⎛⎭⎪⎫x －34，即y ＝33x －34.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝33x －34 ①y 2＝3x ②将①代入②并整理得13x 2－72x ＋316＝0，∴x 1＋x 2＝212，∴线段|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝212＋32＝12.又原点(0,0)到直线AB 的距离为d ＝3413＋1＝38. ∴S △OAB ＝12|AB |d ＝12×12×38＝94.【答案】 D3．已知双曲线x 2－y 23＝1，过P (2,1)点作一直线交双曲线于A ，B 两点，并使P 为AB的中点，则直线AB 的斜率为________．【解析】 法一：显然直线AB 存在斜率， 设AB 斜率为k ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则AB 方程为y －1＝k (x －2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k x －＋1，x 2－y 23＝1，得(3－k 2)x 2＋(4k 2－2k )x －4k 2＋4k －4＝0， ∴x 1＋x 2＝2k －4k 23－k2＝4，∴k ＝6.法二：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝4，y 1＋y 2＝2，且x 21－y 213＝1，x 22－y 223＝1.两式相减得(x 1－x 2)(x 1＋x 2)＝y 1－y 2y 1＋y 23.显然x 1－x 2≠0， ∴y 1－y 2x 1－x 2＝x 1＋x 2y 1＋y 2＝6，即k AB ＝6.【答案】 64．已知点A (1,2)在椭圆x 216＋y 212＝1内，F 的坐标为(2,0)，在椭圆上求一点P 使|PA |＋2|PF |最小．【解】 ∵a 2＝16，b 2＝12，∴c 2＝4，c ＝2. ∴F 为椭圆的右焦点，并且离心率为24＝12.设P 到右准线l 的距离为d ，则|PF |＝12d ，d ＝2|PF |.∴|PA |＋2|PF |＝|PA |＋d .当P 点的纵坐标(横坐标大于零)与A 点的纵坐标相同时，|PA |＋d 最小，如图． 把y ＝2代入x 216＋y 212＝1，得x ＝463(负值舍去)，即P ⎝ ⎛⎭⎪⎫463，2为所求的点．。
2017_2018学年高中数学学业分层测评18含解析北师大版选修2_120171003210
学业分层测评(十八)(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题x2 y21．若点P(2,0)到双曲线－＝1的一条渐近线的距离为2，则双曲线的离心率为()a2 b2A. 2B．3C．2 2 D．2 3|2b| 【解析】双曲线的渐近线方程为bx±ay＝0，点P(2,0)到渐近线的距离为＝2，a2＋b2所以a2＝b2，所以双曲线的离心率为2，故选A.【答案】 Ay22．过双曲线x2－＝1的右焦点且与x轴垂直的直线，交该双曲线的两条渐近线于A，B 3两点，则|AB|＝()4 3A. B．23 3C．6 D．4 3【解析】设A，B两点的坐标分别为(x，y A)，(x，y B)，将x＝c＝2代入渐近线方程y＝y2± 3x得到y A，y B，进而求|AB|.由题意知，双曲线x2－＝1的渐近线方程为y＝±x，将x33＝c＝2代入得y＝±2 3，即A，B两点的坐标分别为(2,2 3)，(2，－2 3)，所以|AB|＝4 3.【答案】 D3．下列双曲线中，焦点在y轴上且渐近线方程为y＝±2x的是()y2 x2A．x2－＝1 B．－y2＝14 4y2 x2C. －x2＝1 D．y2－＝14 4【解析】由双曲线的性质利用排除法求解．由双曲线焦点在y轴上，排除选项A、B，选项C中双曲线的渐近线方程为y＝±2x，故选C.【答案】 C4．将离心率为e1的双曲线C1的实半轴长a和虚半轴长b(a≠b)同时增加m(m＞0)个单位长度，得到离心率为e2的双曲线C2，则()A．对任意的a，b，e1＞e2B．当a＞b时，e1＞e2；当a＜b时，e1＜e21C．对任意的a，b，e1＜e2D．当a＞b时，e1＜e2；当a＜b时，e1＞e2【解析】分别表示出e1和e2，利用作差法比较大小．a 2＋b2 b由题意e1＝＝2；双曲线C2的实半轴长为a＋m，虚半轴长为b＋m，1＋(a)a2a＋m2＋b＋m 2 b＋m1＋(a＋m)2离心率e2＝＝.a＋m2b＋m b m a－b因为－＝，且a＞0，b＞0，m＞0，a≠b，a＋m a a a＋mm a－b b＋m b所以当a＞b时，＞0，即＞.a a＋m a＋m ab＋m b又＞0，＞0，a＋m ab＋m b b＋m b 所以由不等式的性质依次可得(a＋m)2＞(a)2,1＋(a＋m)2＞1＋(a)2，所以b＋m b m a－b1＋(a＋m)2 1＋(a)＞2，即e2＞e1；同理，当a＜b时，＜0，可推得e2＜e1.综a a＋m上，当a＞b时，e1＜e2；当a＜b时，e1＞e2.【答案】 D5．设双曲线的一个焦点为F，虚轴的一个端点为B，如果直线FB与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为()A. 2 B．33＋1C. D．2 5＋1 2x2 y2【解析】设双曲线方程为－＝1(a＞0，b＞0)，不妨设一个焦点为F(c,0)，虚轴端a2 b2b b b b点为B(0，b)，则k FB＝－.又渐近线的斜率为±a，所以由直线垂直关系得(－c)·＝－1c ab(－显然不符合)，即b2＝ac，又c2－a2＝b2，所以c2－a2＝ac，两边同除以a2，整理得e2－e－a5＋1 1－51＝0，解得e＝或e＝(舍去)．2 2【答案】 D二、填空题x2 y26．过双曲线－＝1的左焦点F1的直线交双曲线的左支于M，N两点，F2为其右焦点，4 3则|MF2|＋|NF2|－|MN|的值为________．【解析】|MF2|＋|NF2|－|MN|＝|MF2|＋|NF2|－(|MF1|＋|NF1|)＝(|MF2|－|MF1|)＋2(|NF2|－|NF1|)＝2a＋2a＝4a＝8.【答案】8x2 y27．设F是双曲线C：－＝1的一个焦点．若C上存在点P, 使线段PF的中点恰为其虚a2 b2轴的一个端点，则C的离心率为__________．【解析】根据题意建立a，c间的联系，再利用离心率公式计算．不妨设F(－c,0)，PF的中点为(0，b)．由中点坐标公式可知P(c,2b)．又点P在双曲线上，c2 4b2 c2 c则－＝1，故＝5，即e＝＝ 5.a2 b2 a2 a【答案】 58．若双曲线x2－y2＝1右支上一点P(a，b)到直线y＝x的距离为3，则a＋b＝________.【导学号：32550089】【解析】由于点P(a，b)在右支上，所以a－b>0.|a－b|又∵＝3，∴a－b＝6，又∵a2－b2＝1，2a2－b2 1 6∴a＋b＝＝＝.a－b 6 6【答案】6 6三、解答题9．已知双曲线的方程是16x2－9y2＝144.(1)求双曲线的焦点坐标、离心率和渐近线方程；(2)设F1和F2是双曲线的左、右焦点，点P在双曲线上，且|PF1|·|PF2|＝32，求∠F1PF2的大小．x2 y2【解】(1)由16x2－9y2＝144得－＝1，9 16所以a＝3，b＝4，c＝5，5 4 所以焦点坐标F1(－5,0)，F2(5,0)，离心率e＝，渐近线方程为y＝±x.3 3(2)由双曲线的定义可知||PF1|－|PF2||＝6，|PF1|2＋|PF2|2－|F1F2|2cos ∠F1PF2＝2|PF1||PF2||PF1|－|PF2|2＋2|PF1||PF2|－|F1F2|2＝2|PF1||PF2|36＋64－100＝＝0，643∴∠F1PF2＝90°.10．已知双曲线的中心在原点，焦点F1，F2在坐标轴上，离心率为2，且过点P(4，－10)．(1)求双曲线方程；→→(2)若点M(3，m)在双曲线上，求证：MF1·MF2＝0；(3)在(2)的条件下，求△F1MF2的面积．【解】(1)∵e＝2，∴可设双曲线方程为x2－y2＝λ(λ≠0)．∵过点(4，－10)，∴16－10＝λ，即λ＝6.∴双曲线方程为x2－y2＝6.(2)证明：法一：由(1)可知，双曲线中a＝b＝6，∴c＝2 3，∴F 1(－2 3，0)，F2(2 3，0)，m m∴kMF1＝，kMF2＝，3＋2 3 3－2 3m2 m2kMF1·kMF2＝＝－.9－12 3∵点(3，m)在双曲线上，∴9－m2＝6，m2＝3，→→ 故kMF1·kMF2＝－1，∴MF1⊥MF2，∴MF1·MF2＝0.→法二：∵MF1＝(－3－2 3，－m)，→MF2＝(2 3－3，－m)，→→∴MF1·MF2＝(3＋2 3)×(3－2 3)＋m2＝－3＋m2.∵M点在双曲线上，∴9－m2＝6，即m2－3＝0，→→∴MF1·MF2＝0.(3)△F 1MF2的底|F1F2|＝4 3，△F1MF2的高h＝|m|＝3，∴S△F1MF2＝6.[能力提升]x2 y2 →→1．已知双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的焦点为F1，F2，且C上的点P满足PF1·PF2＝a2 b2→→0，|PF1|＝3，|PF2|＝4，则双曲线C的离心率为()105A. B．245C. D．52→→ 1 →→ 【解析】由双曲线的定义可得2a＝||PF2|－|PF1||＝1，所以a＝；因为PF1·PF2＝0，2→→→→ 5 c所以PF1⊥PF2，所以(2c)2＝|PF1|2＋|PF2|2＝25，解得c＝.所以此双曲线的离心率为e＝＝2 a5.故D正确．【答案】 Dx2 y22．已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的一条渐近线过点(2，3)，且双曲线的一个焦点在a2 b2抛物线y2＝4 7x的准线上，则双曲线的方程为()x2 y2 x2 y2A. －＝1 B．－＝121 28 28 21x2 y2 x2 y2C. －＝1 D．－＝13 4 4 3【解析】利用渐近线过已知点以及双曲线的一个焦点在抛物线的准线上，列出方程组求解．b b由双曲线的渐近线y＝x过点(2，3)，可得3＝×2.①a a由双曲线的焦点(－a2＋b2，0)在抛物线y2＝4 7x的准线x＝－7上，可得a2＋b2＝7.②x2 y2由①②解得a＝2，b＝3，所以双曲线的方程为－＝1.4 3【答案】 Dx2 y2 y2 x23．双曲线－＝1，－＝1的离心率分别为e 1，e2，则e1＋e2的最小值为________．a2 b2 b2 a2a2＋b2 a2＋b2 a2＋b2 a2＋b2 【解析】由已知得e 1＝，e2＝，则e1＋e2＝＋＝( )a2＋b2a b a b1 1 1(b)2ab＋≥·2＝2 2.a ab【答案】 2 2x2 y2 4 10 3 10 4．已知双曲线－b2＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点为F1、F2，点P( 5 )在双曲，a2 5→→线的右支上，且|PF1|＝3|PF2|，PF1·PF2＝0，求双曲线的标准方程．【解】∵|PF1|－|PF2|＝2a，|PF1|＝3|PF2|，∴|PF1|＝3a，|PF2|＝a.→ 3 104 10又PF1＝(－c－，－ 5 )，55→ 4 10 3 10＝，PF2 (c－，－5 )5→→4 10 3 10(5 )2－c2＋(5 )2＝0，∵PF1·＝PF2∴c2＝10.4 10 3 10 又|PF2|＝a，∴(c－5 )2＋(5 )2＝a2.∴a2＝4，∴b2＝c2－a2＝6.x2 y2故所求双曲线的标准方程为－＝1.4 66。
2017-2018学年高中数学北师大版 必修二学业分层测评：
章末分层突破[自我校对]①简单多面体②直观图③点与直线④直线与直线⑤确定平面⑥画相交平面的交线⑦球的表面积和体积从三视图可以看出，俯视图反映物体的长和宽，主视图反映它的长和高，左视图反映它的宽和高.某四棱锥的三视图如图1-1所示，该四棱锥最长棱的棱长为()【导学号：39292060】图1-1A.1B. 2C. 3D.2【精彩点拨】通过三视图得到几何体的结构，再利用三视图中的数据求解.【规范解答】根据三视图，可知几何体的直观图为如图所示的四棱锥V-ABCD，其中VB⊥平面ABCD，且底面ABCD是边长为1的正方形，VB＝1.所以四棱锥中最长棱为VD.连接BD，易知BD＝2，在Rt△VBD中，VD＝VB2＋BD2＝ 3.【答案】 C[再练一题]1.一个几何体的三视图如图1-2所示，其中左视图与俯视图均为半径是2的圆，则这个几何体的体积是________.图1-2【解析】 由三视图知该几何体是半径为2的球被截去四分之一后剩下的几何体，则该几何体的体积V ＝43×π×23×34＝8π.【答案】 8π1.2.证明线线平行的依据：(1)平面几何法(常用的有三角形中位线定理、平行线分线段成比例的逆定理、平行四边形的性质)；(2)公理4；(3)线面平行的性质定理；(4)面面平行的性质定理；(5)线面垂直的性质定理.3.证明线面平行的依据：(1)定义；(2)线面平行的判定定理；(3)面面平行的性质定理. 4.证明面面平行的依据：(1)定义；(2)面面平行的判定定理；(3)线面垂直的性质定理；(4)面面平行的传递性.如图1-3所示，斜三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，点D ，D 1分别为AC ，A 1C 1上的点.图1-3(1)当A 1D 1D 1C 1等于何值时，BC 1∥平面AB 1D 1?(2)若平面BC 1D ∥平面AB 1D 1，求ADDC 的值.【精彩点拨】 (1)先利用线面平行的性质，分析出BC 1∥平面AB 1D 1时，线线平行，得线段比，在解答时，可以利用已知A 1D 1D 1C 1的比，利用线面平行判定求解.(2)利用面面平行得到线线平行，得对应线段成比例，从而得到比值. 【规范解答】 (1)如图所示，取D 1为线段A 1C 1的中点，此时A 1D 1D 1C 1＝1.连接A 1B ，交AB 1于点O ，连接OD 1.由棱柱的性质知，四边形A 1ABB 1为平行四边形，所以点O 为A 1B 的中点.在△A 1BC 1中，点O ，D 1分别为A 1B ，A 1C 1的中点，所以OD 1∥BC 1.又因为OD 1平面AB 1D 1，BC 1⊆/平面AB 1D 1，所以BC 1∥平面AB 1D 1，所以当A 1D 1D 1C 1＝1时，BC 1∥平面AB 1D 1.(2)由平面BC 1D ∥平面AB 1D 1，且平面A 1BC 1∩平面BC 1D ＝BC 1，平面A 1BC 1∩平面AB 1D 1＝D 1O 得BC 1∥D 1O ，所以A 1D 1D 1C 1＝A 1O OB ，又由题可知A 1D 1D 1C 1＝DCAD ，A 1O OB ＝1，所以DC AD ＝1，即ADDC ＝1.[再练一题]2.如图1-4，在多面体ABCDEF 中，四边形ABCD 是正方形，AB ＝2EF ，EF ∥AB ，H 为BC 的中点，求证：FH ∥平面EDB .【导学号：39292061】图1-4【证明】 连接AC 交BD 于点G ，则G 为AC 的中点. 连接EG ，GH ， ∵H 为BC 的中点， ∴GH ═∥12AB . 又EF ═∥12AB ， ∴EF ═∥GH ，∴四边形EFHG 为平行四边形，∴EG ∥FH ，∵EG 平面EDB ，FH ⊆/平面EDB ， ∴FH ∥平面EDB .1.2.两条异面直线相互垂直的证明方法： (1)定义；(2)线面垂直的性质定理. 3.直线和平面垂直的证明方法： (1)线面垂直的判定定理； (2)面面垂直的性质定理.4.平面和平面相互垂直的证明方法： (1)定义；(2)面面垂直的判定定理.如图1-5，在四棱锥P -ABCD 中，AB ∥CD ，AB ⊥AD ，CD ＝2AB ，平面P AD ⊥底面ABCD，P A ⊥AD ，E 和F 分别是CD 和PC 的中点.求证：图1-5(1)P A⊥底面ABCD；(2)BE∥平面P AD；(3)平面BEF⊥平面PCD.【精彩点拨】(1)利用面面垂直性质定理可得P A⊥底面ABCD；(2)可证BE∥AD，从而得BE∥平面P AD；(3)利用面面垂直的判定定理证明.【规范解答】(1)因为平面P AD⊥底面ABCD，且P A⊥AD，所以P A⊥底面ABCD.(2)因为AB∥CD，CD＝2AB，E为CD的中点，所以AB∥DE，且AB＝DE，所以四边形ABED为平行四边形，所以BE∥AD.又因为BE⊆/平面P AD，AD平面P AD，所以BE∥平面P AD.(3)因为AB⊥AD，而且ABED为平行四边形，所以BE⊥CD，AD⊥CD.由(1)知P A⊥底面ABCD，所以P A⊥CD.又AD∩P A＝A，所以CD⊥平面P AD，所以CD⊥PD.因为E和F分别是CD和PC的中点，所以PD∥EF，所以CD⊥EF.又EF∩BE＝E，所以CD⊥平面BEF.又CD平面PCD，所以平面BEF⊥平面PCD.[再练一题]3.如图1-6，△ABC是边长为2的正三角形.若AE＝1，AE⊥平面ABC，平面BCD⊥平面ABC，BD＝CD，且BD⊥CD.求证：图1-6(1)AE ∥平面BCD ； (2)平面BDE ⊥平面CDE .【证明】 (1)取BC 的中点M ，连接DM ， 因为BD ＝CD ，且BD ⊥CD ，BC ＝2. 所以DM ＝1，DM ⊥BC . 又因为平面BCD ⊥平面ABC ， 所以DM ⊥平面ABC ，又AE ⊥平面ABC ，所以AE ∥DM .又因为AE ⊆/平面BCD ，DM 平面BCD ，所以AE ∥平面BCD . (2)由(1)已证AE ∥DM ，又AE ＝1，DM ＝1，所以四边形DMAE 是平行四边形， 所以DE ∥AM .连接AM ，易证AM ⊥BC ，因为平面BCD ⊥平面ABC ，所以AM ⊥平面BCD ， 所以DE ⊥平面BCD .又CD 平面BCD ，所以DE ⊥CD .因为BD ⊥CD ，BD ∩DE ＝D ，所以CD ⊥平面BDE . 因为CD 平面CDE ，所以平面BDE ⊥平面CDE .的思想，把一个平面图形折叠成一个几何体，再研究其性质，是考查空间想象能力的常用方法，所以几何体的折叠与展开是高考的一个热点.折叠与展开是互逆过程，在此过程中，要注意几何元素之间数量关系与位置关系是变化了，还是不变，这是解题的关键所在.如图1-7(1)，在直角梯形ABCD 中，AB ⊥AD ，AD ∥BC ，F 为AD 中点，E 在BC 上，且EF∥AB ，已知AB ＝AD ＝CE ＝2，现沿EF 把四边形CDFE 折起如图1-7(2)，使平面CDFE ⊥平面ABEF .图1-7(1)求证：AD∥平面BCE；(2)求证：AB⊥平面BCE；(3)求三棱锥C-ADE的体积.【精彩点拨】观察折叠前后的平面图形与立体图形，弄清折叠前后哪些元素间的位置关系及数量关系发生了变化，哪些没有发生变化，依据未变化的已知条件求解.【规范解答】(1)证明：由题意知，AF∥BE，DF∥CE，又∵AF⊆/平面BCE，BE平面BCE，∴AF∥平面BCE.同理可证DF∥平面BCE.又∵AF∩DF＝F，∴平面ADF∥平面BCE.又AD平面ADF，∴AD∥平面BCE.(2)证明：在直角梯形ABCD中，∵EF⊥BC，∴折起后，EF⊥EC，EF⊥EB.又∵EF∥AB，∴AB⊥EC，AB⊥EB，EC∩EB＝E，∴AB⊥平面BCE.(3)∵平面CDFE⊥平面ABEF，EF⊥AF，∴AF⊥平面CDFE，∴AF为三棱锥A-CDE的高，且AF＝1.又∵AB＝CE＝2，∴S△CDE ＝12×2×2＝2，∴V C -ADE ＝V A -CDE ＝13S △CDE ·AF ＝23. [再练一题]4.如图1-8所示，在平行四边形ABCD 中，已知AD ＝2AB ＝2a ，BD ＝3a ，AC ∩BD ＝E ，将其沿对角线BD 折成直二面角.求证：(1)AB ⊥平面BCD ； (2)平面ACD ⊥平面ABD .【导学号：39292062】图1-8【证明】 (1)在△ABD 中，AB ＝a ，AD ＝2a ，BD ＝3a ， ∴AB 2＋BD 2＝AD 2， ∴∠ABD ＝90°，AB ⊥BD . 又∵平面ABD ⊥平面BCD ，平面ABD ∩平面BCD ＝BD ，AB 平面ABD ， ∴AB ⊥平面BCD .(2)∵折叠前四边形ABCD 是平行四边形，且AB ⊥BD ， ∴CD ⊥BD .由(1)知AB ⊥平面BCD ，∴AB ⊥CD . ∵AB ∩BD ＝B ，∴CD ⊥平面ABD . 又∵CD 平面ACD ， ∴平面ACD ⊥平面ABD .系；所谓方程的思想，就是把函数解析式看成一个方程，将变量间的等量关系表达为方程或方程组，通过解方程或方程组，使问题得以解决.如图1-9所示，在棱长为1的正方体内有两个球相外切且又分别与正方体内切.(1)求两球半径之和；(2)球的半径为多少时，两球体积之和最小？图1-9【精彩点拨】此题的关键在于作截面，一个球在正方体内，一般应作对角面，而两个球的球心连线也应在正方体的体对角线上，故仍需作正方体的对角面，得如图(2)的截面图，在图(2)中，观察R与r和棱长间的关系即可.【规范解答】(1)如题图(2)，球心O1和O2在AC上，过O1，O2分别作AD，BC的垂线交于E，F.设⊙O1的半径为r，⊙O2的半径为R.则由AB＝1，AC＝3，得AO1＝3r，CO2＝3R.∴r＋R＋3(r＋R)＝3，∴R＋r＝33＋1＝3－32.(2)设两球体积之和为V，则V＝43π(R3＋r3)＝43π3－32[(R＋r)2－3rR]＝43π3－32⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫3－322－3R⎝⎛⎭⎪⎫3－32－R＝43π·3－32⎣⎢⎡⎦⎥⎤3R2－3(3－3)2R＋⎝⎛⎭⎪⎫3－322.当R＝3－34时，V有最小值，∴当R＝r＝3－34时，体积之和有最小值.[再练一题]5.已知一个圆锥的底面半径为R，高为h，在圆锥内部有一个高为x的内接圆柱.(1)画出圆锥及其内接圆柱的轴截面；(2)求圆柱的侧面积；(3)x为何值时，圆柱的侧面积最大？【解】 (1)圆锥及其内接圆柱的轴截面如图所示.(2)设所求的圆柱的底面半径为r ，它的侧面积S ＝2πr ·x ，因为r R ＝h －x h ，所以r ＝R －R h ·x ，所以S ＝2πRx －2πR h ·x 2，即圆柱的侧面积S 是关于x 的二次函数，S ＝－2πR h x 2＋2πRx .(3)因为S 的表达式中x 2的系数小于0，所以这个二次函数有最大值，这时圆柱的高x ＝－2πR －2·2πR h＝h 2，即当圆柱的高是已知圆锥的高的一半时，它的侧面积最大.1.若空间中n 个不同的点两两距离都相等，则正整数n 的取值( )A.至多等于3B.至多等于4C.等于5D.大于5【解析】 n ＝2时，可以；n ＝3时，为正三角形，可以；n ＝4时，为正四面体，可以；n ＝5时，为四棱锥，侧面为正三角形，底面为菱形且对角线长与边长相等，不可能.【答案】 B2.如图1-10，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条互相垂直的半径.若该几何体的体积是28π3，则它的表面积是()图1-10A.17πB.18πC.20πD.28π【解析】 由几何体的三视图可知，该几何体是一个球体去掉上半球的14，得到的几何体如图.设球的半径为R ，则43πR 3－18×43πR 3＝283π，解得R ＝2.因此它的表面积为78×4πR 2＋34πR 2＝17π.故选A.【答案】 A3.已知m ，n 表示两条不同直线，α表示平面.下列说法正确的是( )A.若m ∥α，n ∥α，则m ∥nB.若m ⊥α，n ⊂α，则m ⊥nC.若m ⊥α，m ⊥n ，则n ∥αD.若m ∥α，m ⊥n ，则n ⊥α【解析】 A 选项m 、n 也可以相交或异面，C 选项也可以n ⊂α，D 选项也可以n ∥α或n 与α相交.根据线面垂直的性质可知选B.【答案】 B4.某工件的三视图如图1-11所示.现将该工件通过切削，加工成一个体积尽可能大的长方体新工件，并使新工件的一个面落在原工件的一个面内，则原工件材料的利用率为( )⎝⎛⎭⎪⎫材料利用率＝新工件的体积原工件的体积图1-11A.89πB.827πC.24(2－1)3π D.8(2－1)3π【解析】 由三视图知原工件为一圆锥，底面半径为1，母线长为3，则高为32－12＝22，设其内接正方体的棱长为x ，则2x 2＝22－x 22，∴x ＝223. ∴V 新工件＝x 3＝16227. 又V 原工件＝13π×12×22＝22π3，∴V 新工件V 原工件＝1622722π3＝89π.故选A. 【答案】 A5.如图1-12，已知正三棱锥P -ABC 的侧面是直角三角形，P A ＝6，顶点P 在平面ABC 内的正投影为点D，D 在平面P AB 内的正投影为点E ，连接PE 并延长交AB 于点G .图1-12(1)证明：G 是AB 的中点；(2)在图中作出点E 在平面P AC 内的正投影F (说明作法及理由)，并求四面体PDEF 的体积.【解】 (1)证明：因为P 在平面ABC 内的正投影为D ，所以AB ⊥PD .因为D 在平面P AB 内的正投影为E ，所以AB ⊥DE .因为PD ∩DE ＝D ，所以AB ⊥平面PED ，故AB ⊥PG .又由已知可得，P A ＝PB ，所以G 是AB 的中点.(2)在平面P AB 内，过点E 作PB 的平行线交P A 于点F ，F即为E 在平面P AC 内的正投影.理由如下：由已知可得PB ⊥P A ，PB ⊥PC ，又EF ∥PB ，所以EF ⊥P A ，EF ⊥PC .又P A ∩PC ＝P ，因此EF⊥平面P AC ，即点F 为E 在平面P AC 内的正投影.连接CG，因为P在平面ABC内的正投影为D，所以D是正三角形ABC的中心.由(1)知，G是AB的中点，所以D在CG上，故CD＝23CG.由题设可得PC⊥平面P AB，DE⊥平面P AB，所以DE∥PC，因此PE＝23PG，DE＝13PC.由已知，正三棱锥的侧面是直角三角形且P A＝6，可得DE＝2，PE＝2 2.在等腰直角三角形EFP中，可得EF＝PF＝2，所以四面体PDEF的体积V＝13×12×2×2×2＝43.。
2017-2018学年高中数学北师大版选修4-4学业分层测评：第1章 2 2-3+2-4+2-5 含答案 精品
学业分层测评(四) (建议用时：45分钟)一、选择题1.在极坐标系中，过点⎝⎛⎭⎪⎫2，3π2且平行于极轴的直线的极坐标方程是( )A.ρsin θ＝－2B.ρcos θ＝－2C.ρsin θ＝2D.ρcos θ＝2【解析】 过点⎝⎛⎭⎪⎫2，3π2与极轴平行的直线为y ＝－2，即ρsin θ＝－2. 【答案】 A2.在极坐标系中，圆ρ＝－2sin θ的圆心的极坐标是( )A.⎝⎛⎭⎪⎫1，π2B.⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－π2C.(1,0)D.(1，π)【解析】 由ρ＝－2sin θ，得ρ2＝－2ρsin θ，化成直角坐标方程为x 2＋y 2＝－2y ，化成标准方程为x 2＋(y ＋1)2＝1，圆心坐标为(0，－1)，其对应的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－π2.【答案】 B3.极坐标方程(ρ－1)(θ－π)＝0(ρ≥0)表示的图形是( )【导学号：12990013】A.两个圆B.两条直线C.一个圆和一条射线D.一条直线和一条射线【解析】 ∵方程(ρ－1)(θ－π)＝0， ∴ρ＝1或θ＝π，ρ＝1为半径是1的圆，θ＝π是一条射线. 【答案】 C4.曲线的极坐标方程ρ＝4sin θ化成直角坐标方程为( ) A.x 2＋(y ＋2)2＝4 B.x 2＋(y －2)2＝4 C.(x －2)2＋y 2＝4D.(x ＋2)2＋y 2＝4【解析】 ∵ρ＝4sin θ， ∴ρ2＝4ρsin θ， ∴x 2＋y 2＝4y ， ∴x 2＋(y －2)2＝4. 【答案】 B5.在极坐标系中，圆ρ＝2cos θ垂直于极轴的两条切线方程分别为( ) A.θ＝0(ρ∈R )和ρcos θ＝2 B.θ＝π2(ρ∈R )和ρcos θ＝2C.θ＝π2(ρ∈R )和ρcos θ＝1D.θ＝0(ρ∈R )和ρcos θ＝1【解析】 在极坐标系中，圆心坐标ρ＝1，θ＝0，半径r ＝1. 故左切线为θ＝π2或3π2.右切线满足cos θ＝2ρ⇒ρcos θ＝2，即切线方程为θ＝π2和ρcos θ＝2.所以选B.【答案】 B 二、填空题6.圆ρ＝2cos θ的半径是________.【解析】 ∵ρ＝2cos θ，∴ρ2＝2ρcos θ， 即x 2＋y 2＝2x ， (x －1)2＋y 2＝1， ∴r ＝1. 【答案】 17.在极坐标系中，圆ρ＝4sin θ的圆心到直线θ＝π6(ρ∈R )的距离是________. 【解析】 ∵ρ＝4sin θ， ∴ρ2＝4ρsin θ，x 2＋y 2＝4y ，∴x 2＋(y －2)2＝4. 又θ＝π6，∴直线方程y ＝33x . 由点到直线的距离公式有d ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫332＋1＝ 3. 【答案】 38.在极坐标系中，曲线C 1：ρ(2cos θ＋sin θ)＝1与曲线C 2：ρ＝a (a >0)的一个交点在极轴上，则a ＝________.【解析】 ρ(2cos θ＋sin θ)＝1，即2ρcos θ＋ρsin θ＝1对应的普通方程为2x ＋y －1＝0，ρ＝a (a >0)对应的普通方程为x 2＋y 2＝a 2.在2x ＋y －1＝0中，令y ＝0，得x ＝22.将⎝ ⎛⎭⎪⎫22，0代入x 2＋y 2＝a 2，得a ＝22. 【答案】22三、解答题9.在极坐标系中，已知圆ρ＝2cos θ与直线3ρcos θ＋4ρsin θ＋a ＝0相切，求实数a 的值.【解】 将极坐标方程化为直角坐标方程，得圆的方程为x 2＋y 2＝2x ，即(x －1)2＋y 2＝1，直线的方程为3x ＋4y ＋a ＝0.由题设知，圆心(1,0)到直线的距离为1，即有|3×1＋4×0＋a |32＋42＝1，解得a ＝－8或a ＝2.故a 的值为－8或2.10.在极坐标系中，已知圆C 经过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π4，圆心为直线ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3＝－32与极轴的交点，求圆C 的极坐标方程.【解】 在ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3＝－32中，令θ＝0，得ρ＝1，所以圆C 的圆心坐标为(1,0)， 因为圆C 经过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π4， 所以圆C 的半径PC ＝ 2 2＋12－2×1×2cos π4＝1，于是圆C 过极点，所以圆C 的极坐标方程为ρ＝2cos θ.1.在极坐标方程中，曲线C 的方程是ρ＝4sin θ，过点⎝⎛⎭⎪⎫4，π6作曲线C 的切线，则切线长为( )【导学号：12990014】A.4B.7C.2 2D.2 3【解析】 ρ＝4sin θ化为普通方程为x 2＋(y －2)2＝4，点⎝⎛⎭⎪⎫4，π6化为直角坐标为(23，2)，切线长、圆心到定点的距离及半径构成直角三角形，由勾股定理得，切线长为 23 2＋ 2－2 2－22＝22，故选C. 【答案】 C2.在极坐标系中，直线l 的方程为ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝22，则点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，3π4到直线l 的距离为( )A. 2B.22C.2－22D.2＋22【解析】 由ρsin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝22，得ρsin θ＋ρcos θ＝1，即直线方程为x ＋y ＝1.点A ⎝⎛⎭⎪⎫2，3π4对应的直角坐标为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ＝2cos3π4＝－2，y ＝ρsin θ＝2sin3π4＝ 2.即直角坐标为(－2，2).所以点到直线的距离为|－2＋2－1|2＝22，选B.【答案】 B3.在以O 为极点的极坐标系中，圆ρ＝4sin θ和直线ρsin θ＝a 相交于A ，B 两点.若△AOB 是等边三角形，则a 的值为________.【解析】 由ρ＝4sin θ可得x 2＋y 2＝4y ，即x 2＋(y －2)2＝4. 由ρsin θ＝a 可得y ＝a .设圆的圆心为O ′，y ＝a 与x 2＋(y －2)2＝4的两交点A ，B 与O 构成等边三角形，如图所示.由对称性知∠O ′OB ＝30°，OD ＝a . 在Rt△DOB 中，易求DB ＝33a ， ∴B 点的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫33a ，a . 又∵B 在x 2＋y 2－4y ＝0上，∴⎝⎛⎭⎪⎫33a 2＋a 2－4a ＝0， 即43a 2－4a ＝0，解得a ＝0(舍去)或a ＝3.【答案】 34.在极坐标系中，P 是曲线ρ＝12sin θ上的动点，Q 是曲线ρ＝12cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π6上的动点，试求|PQ |的最大值.【解】 ∵ρ＝12sin θ， ∴ρ2＝12ρsin θ， ∴x 2＋y 2－12y ＝0， 即x 2＋(y －6)2＝36. 又∵ρ＝12cos ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π6，∴ρ2＝12ρ⎝ ⎛⎭⎪⎫cos θcos π6＋sin θsin π6，∴x 2＋y 2－63x －6y ＝0， ∴(x －33)2＋(y －3)2＝36，∴|PQ |max ＝6＋6＋ 33 2＋32＝18.。
2017-2018学年高一数学北师大版必修4学业分层测评：第
学业分层测评(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3(ω>0)的最小正周期为π，则该函数的图像( )A ．关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，0对称 B ．关于直线x ＝π4对称C ．关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，0对称D ．关于直线x ＝π3对称【解析】 由于T ＝2πω＝π，∴ω＝2， 则f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3.当x ＝π3时，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＋π3＝0，∴该函数的图像关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，0对称，故选A ．【答案】 A2．若函数f (x )＝sin ωx (ω>0)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3上单调递增，在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π2上单调递减，则ω＝( )A ．3B ．2C ．23 D.32【解析】 由题意知，函数在x ＝π3处取得最大值1，所以1＝sin ωπ3，所以ω＝32.【答案】 D3．将函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4的图像向右平移π8个单位，所得图像所对应的函数是( )A ．非奇非偶函数B ．即奇又偶函数C ．奇函数D ．偶函数【解析】 将函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4的图像向右平移π8个单位后，得函数y ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π8＋π4＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4＋π4＝sin 2x ，为奇函数，故选C ． 【答案】 C4．将函数f (x )＝sin ωx (其中ω>0)的图像向右平移π4个单位长度，所得图像经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4，0，则ω的最小值是( )A ．13B ．1C ．53 D ．2【解析】 函数f (x )＝sin ωx (其中ω>0)的图像向右平移π4个单位长度得到函数f (x )＝sin ω⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4(其中ω>0)，将⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4，0代入得0＝sin ωπ2，故得ω的最小值是2.【答案】 D5．函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)的部分图像如图1-8-5.则f (1)＋f (2)＋…＋f (2 016)＝( )图1-8-5A ． 3B ．0C ．2＋ 3D ．3－2【解析】 由题图知，该函数周期T ＝6， ∴ω＝2πT ＝π3，又A ＝2.∵(3,0)相当于“五点法”作图的第三个点， ∴π3×3＋φ＝π，∴φ＝0， 即f (x )＝2sin π3x .根据对称性知，f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＋f (5)＋f (6)＝0， ∴f (1)＋f (2)＋…＋f (2 016) ＝336[f (1)＋f (2)＋…＋f (6)] ＝0. 【答案】 B 二、填空题6．设函数y ＝1－3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3⎝ ⎛⎭⎪⎫其中－π2≤x ≤0，当x ＝ 时，函数的最大值为4.【解析】 由－π2≤x ≤0知－2π3≤2x ＋π3≤π3， 当2x ＋π3＝－π2，即x ＝－5π12时， y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3取最小值－1，故y ＝1－3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3取最大值4.【答案】 －5π127．当－π2≤x ≤π2时，函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3的最大值是 ，最小值是 ．【解析】 ∵－π2≤x ≤π2，∴－π6≤x ＋π3≤56π. ∵当x ＋π3＝－π6，即x ＝－π2时，f (x )min ＝－22， 当x ＋π3＝π2，即x ＝π6时，f (x )max ＝ 2. 【答案】2 －228．关于函数f (x )＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3(x ∈R )有下列命题，其中正确的是 ．(填序号)【导学号：66470032】⎝⎭6②y ＝f (x )是以2π为最小正周期的周期函数； ③y ＝f (x )的图像关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，0对称；④y ＝f (x )的图像关于直线x ＝π6对称． 【解析】 因为4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＝4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－2x ＝4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6，所以①正确，易得②不正确，而f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＝0，故⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，0是对称中心，③正确④不正确． 【答案】 ①③ 三、解答题 9.图1-8-6已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫A >0，ω>0，－π2<φ<π2一个周期的图像如图1-8-6所示，(1)求函数f (x )的最小正周期T 及最大值、最小值； (2)求函数f (x )的表达式、单调递增区间．【解】 (1)由题图知，函数f (x )的最小正周期为T ＝4×⎝ ⎛⎭⎪⎫π12＋π6＝π，函数的最大值为1，最小值为－1.(2)T ＝2πω，则ω＝2，又x ＝－π6时，y ＝0，所以sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＋φ＝0，而－π2<φ<π2，则φ＝π3，⎝⎭3由2k π－π2≤2x ＋π3≤2k π＋π2，k ∈Z ， 得k π－5π12≤x ≤k π＋π12，k ∈Z ， 所以函数f (x )的单调递增区间为 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－5π12，k π＋π12，k ∈Z . 10．已知函数f (x )＝sin(2x ＋φ)，其中φ为实数，若f (x )≤⎪⎪⎪⎪⎪⎪f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6对x ∈R 恒成立，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2>f (π)，求f (x )的单调递增区间.【导学号：69992011】【解】 因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2>f (π)，故sin (π＋φ)>sin φ，得sin φ<0， 又f (x )≤⎪⎪⎪⎪⎪⎪f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6对x ∈R 恒成立，故f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝±1，即sin (π3＋φ)＝±1， π3＋φ＝π2＋k π，k ∈Z ， φ＝π6＋k π，k ∈Z . 又sin φ<0，取φ＝－5π6， 故f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －5π6.令－π2＋2k π≤2x －5π6≤π2＋2k π，k ∈Z ， 解得：π6＋k π≤x ≤2π3＋k π，k ∈Z .故f (x )的单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6＋k π，2π3＋k π，k ∈Z .[能力提升]1．为了使函数y ＝sin ωx (ω>0)在区间[0,1]上至少出现50次最大值，则ω的最小值是( )A ．98πB ．1972πC ．1992π D ．100π【解析】 由题意至少出现50次最大值，即至少需用4914个周期，所以4914·T ＝1974·2πω≤1，所以ω≥1972π.【答案】 B2．函数y ＝－52sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋2π3图像上距离原点最近的与x 轴的交点是( )A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫π12，0B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－π12，0C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，0D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，0【解析】 令4x ＋2π3＝k π，k ∈Z ， 则x ＝－π6＋k π4(k ∈Z )． 当k ＝0时，x ＝－π6； 当k ＝1时，x ＝π12. 所以点⎝ ⎛⎭⎪⎫π12，0为所求．【答案】 A3．设函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ，ω，φ是常数，A >0，ω>0)．若f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π2上具有单调性，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，则f (x )的最小正周期为 ．【解析】 ∵f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π2上具有单调性，∴T 2≥π2－π6，∴T ≥2π3.∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3，∴f (x )的一条对称轴为x ＝π2＋2π32＝7π12. 又∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，∴f (x )的一个对称中心的横坐标为π2＋π62＝π3， ∴14T ＝7π12－π3＝π4，∴T ＝π. 【答案】 π4．已知函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)的图像过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12，0，图像与P 点最近的一个最高点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，5.(1)求函数解析式； (2)指出函数的增区间； (3)求使y ≤0的x 的取值范围．【解】 (1)∵图像最高点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，5，∴A ＝5.∵T 4＝π3－π12＝π4，∴T ＝π， ∴ω＝2πT ＝2，∴y ＝5sin(2x ＋φ)，代入点⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，5，得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫23π＋φ＝1，∴23π＋φ＝2k π＋π2，k ∈Z .令k ＝0，则φ＝－π6，∴y ＝5sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6. (2)∵函数的增区间满足2k π－π2≤2x －π6≤2k π＋π2(k ∈Z )，∴2k π－π3≤2x ≤2k π＋2π3(k ∈Z )，∴k π－π6≤x ≤k π＋π3(k ∈Z )，∴增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π6，k π＋π3(k ∈Z )．(3)∵5sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6≤0，∴2k π－π≤2x －π6≤2k π(k ∈Z )， ∴k π－512π≤x ≤k π＋π12(k ∈Z )．。
2017-2018学年高一数学北师大版必修4学业分层测评：第
学业分层测评(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．若cot α＝m ，则tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－α＝( )A ．mB ．－mC ．1mD ．－1m 【解析】 tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－α＝tan ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＝cot α＝m . 【答案】 A2．函数y ＝2 tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4的定义域是( )A ．⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ x ∈R 且x ≠k π－π4，k ∈Z B.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ∈R 且x ≠k π2＋3π8，k ∈ZC ．⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ∈R 且x ≠k π＋3π4，k ∈ZD.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ∈R 且x ≠k π2＋π8，k ∈Z【解析】 由2x －π4≠k π＋π2，得x ≠k π2＋3π8，k ∈Z ，所以定义域为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≠k π2＋3π8，k ∈Z .【答案】 B3．下列不等式正确的是( ) A ．tan 4π7>tan 3π7B ．tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13π4>tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12π5C ．1tan 4 <1tan 3 D.1tan 281°<1tan 665°【解析】 因为tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13π4＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4，tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12π5＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2π5，而－π2<－2π5<－π4<π2，y ＝tan x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2上是增加的，故tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4>tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2π5，即tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13π4>tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12π5.【答案】 B4．函数y ＝tan(sin x )的值域是( ) A ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4B ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤－22，22C ．[－tan 1，tan 1]D ．[－1,1]【解析】 sin x ∈[－1,1]，又－π2<－1<1<π2，且y ＝tan x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2上是增加的，所以y min ＝tan(－1)＝－tan 1，y max ＝tan 1.【答案】 C5．直线y ＝a (常数)与正切曲线y ＝tan ωx (ω为常数且ω≠0)相交的两相邻点间的距离为( )A ．πB ．2πC ．π|ω|D ．与a 值有关【解析】 两相邻交点间的距离为正切函数的一个周期，因而距离为 π|ω|. 【答案】 C 二、填空题 6．函数y ＝3－tan x 的定义域为 ，值域为 .【导学号：66470024】【解析】 由⎩⎪⎨⎪⎧3－tan x ≥0，x ≠k π＋π2，k ∈Z ，得定义域为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－π2＋k π<x ≤π3＋k π，k ∈Z，值域为{y |y ≥0}． 【答案】⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－π2＋k π<x ≤π3＋k π，k ∈Z{y |y ≥0} 7．已知函数y ＝tan(2x ＋φ)的图像过点⎝ ⎛⎭⎪⎫π12，0，则φ等于 ．【解析】 由已知，可得tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π12＋φ＝0，即tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋φ＝0，∴φ＋π6＝k π(k ∈Z )，即φ＝k π－π6(k ∈Z )．【答案】 －π6＋k π(k ∈Z ) 8．化简：tan (α＋π)tan (α＋3π)tan (α－π)tan (－α－π)＝ .【解析】 原式＝tan α·tan αtan α·(－tan α)＝－1.【答案】 －1 三、解答题9．已知角α的终边经过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫45，－35.(1)求sin α的值；(2)求sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－αsin (α＋π)·tan (α－π)cos (3π－α)的值．【解】 (1)∵|OP |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫452＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－352＝1， ∴sin α＝y |OP |＝－351＝－35. (2)原式＝cos α－sin α·tan α－cos α＝tan αsin α＝sin αcos αsin α＝1cos α.由余弦函数的定义，得cos α＝45，故所求式子的值为54.10．已知函数f (x )＝x 2＋2x tan θ－1，x ∈[－1，3]，其中θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2.【导学号：69992009】(1)当θ＝－π6时，求函数f (x )的最大值与最小值；(2)求θ的取值范围，使y ＝f (x )在区间[－1，3]上是单调函数． 【解】 (1)当θ＝－π6时，f (x )＝x 2－233x －1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －332－43，x ∈[－1，3]．∴当x ＝33时，f (x )的最小值为－43； 当x ＝－1时，f (x )的最大值为233.(2)函数f (x )＝(x ＋tan θ)2－1－tan 2θ的图像的对称轴为x ＝－tan θ. ∴y ＝f (x )在区间[－1，3]上是单调函数， ∴－tan θ≤－1或－tan θ≥ 3. 即tan θ≥1或tan θ≤－ 3. 又θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，∴θ的取值范围是 ⎝ ⎛⎦⎥⎤－π2，－π3∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫π4，π2. [能力提升]1．设a ＝sin 33°，b ＝cos 55°，c ＝tan 35°，则( ) A ．a >b >c B ．b >c >a C ．c >b >aD ．c >a >b【解析】 b ＝cos 55°＝sin 35°，又a ＝sin 33°，0°<33°<35°<90°， 且y ＝sin x 在[0,90°]是增加的，所以sin 33°<sin 35°，即b >a ．tan 35°＝sin 35°cos 35°，又cos 35°∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，32，所以tan 35°>sin 35°，故c >b >A ． 【答案】 C2．已知f (α)＝sin (π－α)cos (2π－α)tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－α＋3π2cos (－π－α)，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－313π的值为( )A ．12B ．－12C ．32D ．－32 【解析】 由于tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－α＋3π2＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－α＋3π2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－α＋3π2 ＝－cos α－sin α＝cos αsin α，所以f (α)＝sin α·cos α·cos αsin α－cos α ＝－cos α，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－313π＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－313π＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－10π－π3＝－cos π3＝－12.【答案】 B3．已知tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－α－4π3＝－5，则tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋α＝ .【导学号：66470025】【解析】 tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－α－4π3＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π－π3－α＝－tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋α，∴tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋α＝5.【答案】 54．设函数f (x )＝tan(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω>0，0<φ<π2，已知函数y ＝f (x )的图像与x 轴相邻两交点的距离为π2，且图像关于点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π8，0对称，求f (x )的解析式．【解】 由题意可知，函数f (x )的最小正周期T ＝π2，即πω＝π2， ∴ω＝2，从而f (x )＝tan(2x ＋φ)．∵函数y ＝f (x )的图像关于点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π8，0对称，∴2·⎝ ⎛⎭⎪⎫－π8＋φ＝k π或π2＋k π(k ∈Z )． 即φ＝k π＋π4或φ＝k π＋3π4(k ∈Z )． ∵0<φ<π2， ∴φ＝π4，故f (x )＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4.。
2017-2018学年高中数学学业分层测评19(含解析)北师大版选修2-1
学业分层测评(十九)(建议用时：45分钟)［学业达标］、选择题B. 两条互相平行的直线C. 两条互相垂直的直线yj/V、D. 两条相交但不垂直的直线-X【解析】T4x2—y2+ 4x+ 2y= 0,2 2•••(2x+ 1) —(y—1) = 0,••• 2x + 1 = ±( y—1),/ / 亠• 2x + y = 0或2x—y + 2= 0,这两条直线相交但不垂直.【答案】D3.已知定点A—1,0) , B(1,0)，动点P满足直线PA PB的斜率之积为一1,则动点P满足的方程是()A. x2+ y2= 1C. x2+ y2= 1( X M 0)2 2B. x + y = 1(X M± 1) D. y= . 1—x2(x工士1)【解析】y设动点P的坐标为(x, y)，贝U k pA=丄1(X M— 1),1.方程|x| + |y| = 1表示的曲线是( J-11【解析】原方程可化为x>0, y>0,x+y= 1,x<0, y>0,—x+ y = 1.作出其曲线为【答案】D2.方程4x2—A. 一个占I 八、、2 ___________________________y + 4x+ 2y = 0表示的曲线是(I 7或D.或x>0, y<0, 或x—y = 1,或x w0,丫三0,一x+y = —1,y kpB= x—1(x M 1)()AB .4 7t7t c . 8 D . 9 7t7t t 1A 1B .121 25 21 25 C1 D . 1 + 25 2125 2124y 24x 2 4x 24y4x 2 4x 2 '/ k pA • k pB = —1, y y• x —= — 1,整理得 x + y = 1(x 工土 1).【答案】 B4.已知两定点 A — 2,0)、B (1,0)，如果动点P 满足|PA = 2|PE |，则点P 的轨迹所包 【答案】是圆内一定点，Q 为圆周上任一点.线段AQ 的垂直平分线与CQ 的连线交于点M 则M 的轨迹方程为(■ f\【解析】 •/ M 为AQ 垂直平分线上一点，则| AM = I MQ , •••|MC + |MA = | M (C + |MQ =|CQ = 5，故M 的轨迹是以定点 C A 为焦点的椭圆，二a5 2 2 2 21 =^, c = 1,贝U b = a — c ="4, 2 2•其标准方程为彩+芽=1. 【答案】 D 、填空题【导学号：32550093】【解析】 将点(2 , — 1)代入曲线C 的方程xy + 3x + ky + 2 = 0,由曲线与方程的概念 知，方程成立，即 2X ( — 1) + 3X 2+ k x ( — 1) + 2= 0，解得 k = 6.【答案】 6围的图形的面积等于 【解析】 根据题意，用直译法•设动点P 的坐标为(x , y )，所以P 点的轨迹是半径为 2的圆，所以面积是 6.若曲线 C ： xy + 3x + ky + 2= 0，当 k =时，曲线经过点(2 , — 1).冷 x +2 + y = 2x —1 2 2得(x — 2) + y = 4.得 2 + y 2，两边平方, 2 2 2 2x + 4x + 4+ y = 4x — 8x + 4 + 4y ，化简4 n .17.已知点M 到定点F (1,0)的距离和它到定直线 I : x = 4的距离的比是常数乞设点M的轨迹为曲线 C,则曲线C 的轨迹方程是 ___________【解析】 设点Mx ，y )则2 2“ 2 2+ y 1 x y=2整理得4+3 = 1.&下列结论正确的是 ____________ .(填序号)X① 方程2=1表示斜率为1，在y 轴上的截距是2的直线； ②、ABC 勺顶点坐标分别为 A (0,3) , B ( — 2,0) , C (2,0)，则中线AD 的方程是x = 0;③ 到x 轴距离为5的点的轨迹方程是 y = 5;④ 曲线2x — 3y — 2x + m= 0通过原点的充要条件是 m= 0. 【解析】 ①③不符合曲线与方程概念中的条件 (1);②不满足曲线与方程概念中的条件(2);只有④正确.【答案】 ④ 三、解答题9.光线沿直线I 仁x — 2y + 5= 0射入，遇直线I : 3x — 2y + 7= 0后反射，求反射光线 所在的直线方程.x — 2y + 5= 0,x =— 1,【解】 由得3x — 2y + 7 = 0,y = 2.即反射点M 的坐标为(一1,2).又取直线x — 2y + 5 = 0上一点P ( — 5,0)，设P 关于直线l 的对称点P'(x o, y o )，由PP' 「一2 y丄l 可知，k pp ，=—;= .3 X 0+ 51X0— 5 中、、而PP 的中点Q 的坐标为 二〒,\丿，Q 点在丨上，阳 X 。
2017-2018学年高中数学 学业分层测评10(含解析)北师大版选修2-1
学业分层测评(十)(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题 1．以下四组向量：①a ＝(1，－2,1)，b ＝(－1,2，－1)； ②a ＝(8,4,0)，b ＝(2,1,0)； ③a ＝(1,0，－1)，b ＝(－3,0,3)；④a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－43，1，－1，b ＝(4，－3,3)． 其中a ，b 分别为直线l 1，l 2的方向向量，则它们互相平行的是( ) A ．②③ B ．①④ C ．①②④D ．①②③④【解析】 ①∵a ＝－b ，∴a ∥b . ②∵a ＝4b ，∴a∥b . ③∵b ＝－3a ，∴a ∥b . ④∵b ＝－3a ，∴a ∥b . 【答案】 D2．已知线段AB 的两端点坐标为A (93,4)，B (9,2,1)则线段AB 与坐标平面( )A ．xOy 平行B ．xOz 平行C ．yOz 平行D ．yOz 相交 【解析】 ∵A (9，－3,4)，B (9,2,1) ∴AB →＝(0,5，－3)∵yOz 平面内的向量的一般形式为a ＝(0，y ，z ) ∴AB →∥a∴AB →∥平面yOz .∴AB ∥平面yOz . 【答案】 C3．已知向量a ＝(2,4,5)，b ＝(3，x ，y )分别是直线l 1，l 2的方向向量，若l 1∥l 2，则( ) A ．x ＝6，y ＝15 B ．x ＝3，y ＝152C ．x ＝3，y ＝15D ．x ＝6，y ＝152【解析】 ∵l 1∥l 2，设a ＝λb ， ∴(2,4,5)＝λ(3，x ，y )， ∴x ＝6，y ＝152.【答案】 D4．已知平面α的法向量是(2,3，－1)，平面β的法向量是(4，λ，－2)，若α⊥β，则λ的值是( )【导学号：32550041】A ．－103B ．6C ．－6D ．103【解析】 ∵α⊥β，∴α的法向量与β的法向量也互相垂直．∴(2,3，－1)·(4，λ，－2)＝8＋3λ＋2＝0【答案】 A5．已知平面α内有一个点A (2，－1,2)，α的一个法向量为n ＝(3,1,2)，则下列点P 中在平面α内的是( )B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫1，3，32D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，3，－32α内，只需判断向量PA →与平面α的法向量n 是否垂A ，PA →＝(1,0,1)，则PA →·n ；对于选项B ，PA →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－4，12，则PA →·n ＝(1，－4，12)·(3,1,2)＝0，故B 正确；同理可排除C ，D.故选B. 【答案】 B 二、填空题6．已知l ∥α，且l 的方向向量为(2，－8,1)平面α的法向量为(1，y,2)，则y ＝________.【解析】 ∵l ∥α，∴l ⊥α的法向量，∴2×1－8y ＋1×2＝0，∴y ＝12.【答案】 12.7．已知A (1,0,0)，B (0,1,0)，C (0,0,1)，向量(x ，y ，z )是平面ABC 的一个法向量，则x ∶y ∶z ＝________.【解析】 设n ＝(x ，y ，z )则n ·AB →＝0，即(x ，y ，z )·(－1,1,0)＝0， ∴－x ＋y ＝0，n ·BC →＝0，即(x ，y ，z )·(0，－1,1)＝0， ∴－y ＋z ＝0， ∴x ∶y ∶z ＝1∶1∶1. 【答案】 1∶1∶18．已知a ＝(1,1,0)，b ＝(1,1,1)，若b ＝b 1＋b 2，且b 1∥a ，b 2⊥a ，则b 1＝________，b 2＝________.【解析】 设b 1＝(x ，y ，z )，∵b 1∥a ，∴x ＝y ，z ＝0. 又∵b 2＝b －b 1＝(1－x,1－y,1－z )，b 2⊥a ， ∴b 2·a ＝1－x ＋1－y ＝0，得x ＋y ＝2. ∴x ＝y ＝1.即b 1＝(1,1,0)，b 2＝(0,0,1)． 【答案】 (1,1,0) (0,0,1) 三、解答题9．用向量方法证明：如果两个相交平面与第三个平面垂直，则它们的交线也与第三个平面垂直．【解】 已知：如图，α∩β＝l ，α⊥γ，β⊥γ. 求证：l ⊥γ证明：设平面α，β，γ的法向量分别为a ，b ，c ，直线l 的方向向量为e ，则a·e ＝0，b·e ＝0.因为a ，b 与e 不共面，故存在实数x ，y ，z 使c ＝x a ＋y b ＋z e . 因为a ⊥c ，b⊥c ，所以⎩⎪⎨⎪⎧a x a ＋yb ＋z e ＝0，b x a ＋y b ＋z e ＝0，⎩⎪⎨⎪⎧x ·a 2＋y a·b ＝0.x a ·b ＋y b 2＝0，因为α与β相交，所以a 与b 不共线，所以a 2a·b ≠a·b b2，所以方程组有唯一解⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝0，所以c ＝z e ，即c∥e ，从而有l ⊥γ.图24410．如图244所示，在四棱锥P ABCD 中，底面ABCD 是正方形，侧棱PD ⊥底面ABCD ，PD ＝DC ，E 是PC 的中点，作EF ⊥PB 交PB 于点F .证明：(1)PA ∥平面EDB ； (2)PB ⊥平面EFD .【证明】 (1)以D 为坐标原点，DA 、DC 、DP 所在的直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系．连结AC ，AC 交BD 于G . 连结EG .设DC ＝a ，依题意得A (a,0,0)，P (0,0，a )，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，a 2，a2，∵底面ABCD 是正方形， ∴G 是此正方形的中心，故点G 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，a2，0， 且PA →＝(a,0，－a )，EG ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a2，0，－a 2.∴PA →＝2EG →，即PA ∥EG .而EG ⊂平面EDB 且PA ⊄平面EDB ， ∴PA ∥平面EDB .(2)依题意得B (a ，a,0)，PB ＝(a ，a ，－a )． 又DE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，a 2，a 2， 故PB →·DE →＝0＋a 22－a 22＝0，∴PB ⊥DE ，由已知EF ⊥PB ，且EF ∩DE ＝E ， 所以PB ⊥平面EFD .[能力提升]1．已知AB →＝(1,5，－2)，BC →＝(3,1，z )．若AB →⊥BC →，BP →＝(x －1，y ，－3)，且BP ⊥平面ABC ，则x ，y ，z 分别为( )A.337、－157、4 B ．407、－157、4C.407、－2、4 D ．4、407、－15【解析】 AB →⊥BC →，∴AB →·BC →＝0，得z ＝4.又BP ⊥平面ABC ，∴BP →·AB →＝0，BP →·BC →＝0，可解得x ＝407，y ＝－157.【答案】 B2．如图245，PA ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 为正方形，E 是CD 的中点，F 是AD 上一点，当BF ⊥PE 时，AF ：FD 的值为( )图245A ．1∶2B ．1∶1C ．3∶1D ．2∶1【解析】 建立如图所示的空间直角坐标系，设正方形边长为1，PA ＝a .则B (1,0,0)，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，0， P (0,0，a )．设点F 的坐标为(0，y,0)，则BF →＝(－1，y,0)，PE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，－a . ∵BF ⊥PE ，∴BF →·PE →＝0，解得y ＝12，则F 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，0，∴F 为AD 中点，∴AF ∶FD ＝1∶1. 【答案】 B3．已知点P 是平行四边形ABCD 所在的平面外一点，如果AB →＝(2，－1，－4)，AD →＝(4,2,0)，AP →＝(－1,2，－1)．对于结论：①AP ⊥AB ；②AP ⊥AD ；③AP →是平面ABCD 的法向量；④AP →∥BD →，其中正确的是________．【导学号：32550042】【解析】 ∵AP →·AB →＝0，AP →·AD →＝0， ∴AP ⊥AB ，AP ⊥AD 且AP →是平面ABCD 的法向量． 【答案】 ①②③4．如图246，在三棱锥P ABC 中，PA ⊥平面ABC ，AB ⊥AC .图246(1)求证：AC ⊥PB ；(2)设O ，D 分别为AC ，AP 的中点，点G 为△OAB 内一点，且满足OG →＝13(OA →＋OB →)，求证：DG ∥面PBC ；【证明】 (1)因为PA ⊥平面ABC ，AC ⊂平面ABC ，所以PA ⊥AC . 又因为AB ⊥AC ，且PA ∩AB ＝A ， 所以AC ⊥平面PAB . 又因为PB ⊂平面PAB ， 所以AC ⊥PB .(2)法一：因为PA ⊥平面ABC ， 所以PA ⊥AB ，PA ⊥AC . 又因为AB ⊥AC ，所以建立如图所示的空间直角坐标系A xyz.设AC ＝2a ，AB ＝b ，PA ＝2c ，则A (0,0,0)，B (0，b,0)，C (2a,0,0)，P (0,0,2c )，D (0,0，c )，O (a,0,0)， 又因为OG →＝13(OA →＋OB →)，所以G ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 3，b3，0. 于是DG →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a 3，b3，－c ， BC →＝(2a ，－b,0)，PB →＝(0，b ，－2c )． 设平面PBC 的一个法向量n ＝(x 0，y 0，z 0)，则有⎩⎨⎧n ·BC →＝0，n ·PB →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧2ax 0－by 0＝0，by 0－2cz 0＝0.不妨设z 0＝1，则有y 0＝2c b ，x 0＝ca，所以n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫c a ，2c b ，1 因为n ·DG →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫c a ，2c b ，1·⎝ ⎛⎭⎪⎫a 3，b 3，－c ＝c a ·a 3＋2c b ·b 3＋1·(－c )＝0，所以n ⊥DG →.又因为DG ⊄平面PBC ，所以DG ∥平面PBC .法二：取AB 中点E ，连接OE ，则OE →＝12(OA →＋OB →)．由已知OG →＝13(OA →＋OB →)可得OG →＝23OE →，则点G 在OE 上．连接AG 并延长交CB 于点F ，连接PF .因为O ，E 分别为AC ，AB 的中点，所以OE ∥BC ，即G 为AF 的中点．又因为D 为线段PA 的中点，又所以DG ∥PF ，又DG ⊄平面PBC ，PF ⊂平面PBC ，所以DG ∥平面PBC .。
2017-2018学年高中数学北师大版选修4-4学业分层测评：第1章 1 平面直角坐标系 含答案 精品
学业分层测评(一) (建议用时：45分钟)一、选择题1.▱ABCD 中三个顶点A ，B ，C 的坐标分别是(－1,2)，(3,0)，(5,1)，则顶点D 的坐标是( )A.(9，－1)B.(－3,1)C.(1,3)D.(2,2)【解析】 设D点坐标为(x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧k AB ＝k DC ，k AD ＝k BC .即⎩⎪⎨⎪⎧2－0－1－3＝y －1x －5，2－y －1－x ＝0－13－5，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝3.故D 点坐标为(1,3).故应选C.【答案】 C2.方程(x 2－4)2＋(y 2－4)2＝0表示的图形是( ) A.两条直线 B.四条直线 C.两个点D.四个点【解析】 由方程得⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4＝0，y 2－4＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝－2或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝－2，故选D.【答案】 D3.在同一平面直角坐标系中，将曲线y ＝13cos 2x 按伸缩变换⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2x ，y ′＝3y 后为( )A.y ＝cos xB.y ＝3cos 12xC.y ＝2cos 13xD.y ＝12cos 3x【解析】 由⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2x ，y ′＝3y ，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x ′2，y ＝y ′3.代入y ＝13cos 2x ，得y ′3＝13cos x ′. ∴y ′＝cos x ′，即曲线y ＝cos x . 【答案】 A4.将圆x 2＋y 2－2x －4y ＋1＝0平分的直线是( ) A.x ＋y －1＝0 B.x ＋y ＋3＝0 C.x －y ＋1＝0D.x －y ＋3＝0【解析】 因为圆心是(1,2)，所以将圆心坐标代入各选项验证知选C. 【答案】 C5.平面内有一条固定线段AB ，|AB |＝4，动点P 满足|PA |－|PB |＝3，O 为AB 的中点，则|OP |的最小值是( )【导学号：12990002】A.32B.12C.2D.3【解析】 以AB 的中点O 为原点，AB 所在直线为x 轴建立平面直角坐标系，如图，则点P 的轨迹是以A ，B 为焦点的双曲线的一部分.2c ＝4，c ＝2,2a ＝3，∴a ＝32，∴b 2＝c 2－a 2＝4－94＝74.∴点P 的轨迹方程为x 294－y 274＝1⎝ ⎛⎭⎪⎫x ≥32.由图可知，点P 为双曲线与x 轴的右交点时，|OP |最小，|OP |的最小值是32.【答案】 A 二、填空题6.x 轴上的单位长度为y 轴上单位长度的2倍的平面直角坐标系中，以原点为圆心，4为半径的圆的图形变为________.【解析】 如果x 轴上的单位长度不变，y 轴上的单位长度缩小为原来的12，圆x 2＋y2＝16的图形变为中心在原点，焦点在x 轴上的一个椭圆.【答案】 椭圆7.已知点A (－2,0)，B (－3,0)，动点P (x ，y )满足PA →·PB →＝x 2＋1，则点P 的轨迹方程是____________.【解析】 由题意得PA →＝(－2－x ，－y )， PB →＝(－3－x ，－y )，∴PA →·PB →＝(－2－x )(－3－x )＋(－y )2＝x 2＋1， 即y 2＋5x ＋5＝0. 【答案】 y 2＋5x ＋5＝08.如图112所示，正方体ABCD A 1B 1C 1D 1的棱长为1，点M 在AB 上，且AM ＝13AB ，点P在平面ABCD 上，且动点P 到直线A 1D 1的距离的平方与P 到点M 的距离的平方差为1，在平面直角坐标系xAy 中，动点P 的轨迹方程是________.图112【解析】 过P 作PQ ⊥AD 于Q ，再过Q 作QH ⊥A 1D 1于H ，连结PH ，PM ，可证PH ⊥A 1D 1，设P (x ，y )，由|PH |2－|PM |2＝1，得x 2＋1－⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫x －132＋y 2＝1，化简得y 2＝23x －19.【答案】 y 2＝23x －19三、解答题9.台风中心从A 地以20 km/h 的速度向东北方向移动，离台风中心30 km 内的地区为危险区，城市B 在A 地正东40 km 处，求城市B 处于危险区内的时间.【解】 以A 为坐标原点，AB 所在直线为x 轴，建立平面直角坐标系，则B 点坐标为(40,0)，以点B 为圆心，30为半径的圆的方程为(x －40)2＋y 2＝302，台风中心移动到圆B 内时，城市B 处于危险区，台风中心移动的轨迹为直线y ＝x ，与圆B 相交于点M ，N ，点B 到直线y ＝x 的距离d ＝402＝20 2.求得|MN |＝2302－d 2＝20(km).所以|MN |20＝1，所以城市B 处于危险区内的时间为1 h.10.A 为定点，线段BC 在定直线l 上滑动.已知|BC |＝4，A 到l 的距离为3，求△ABC 的外心的轨迹方程.【解】 建立平面直角坐标系，使x 轴与l 重合，A 点在y 轴上(如图)，则A 点的坐标为(0,3).设外心P 点的坐标为(x ，y ).∵P 在BC 的垂直平分线上，∴B (x ＋2,0)，C (x －2,0). ∵P 也在AB 的垂直平分线上， ∴|PA |＝|PB |， 即x 2＋y －2＝22＋y 2，化简得x 2－6y ＋5＝0. 这就是所求的轨迹方程.1.方程x 2＋xy ＝0的曲线是( ) A.一个点 B.一条直线 C.两条直线D.一个点和一条直线【解析】 x 2＋xy ＝x (x ＋y )＝0，即x ＝0或x ＋y ＝0. 故方程x 2＋xy ＝0表示两条直线. 【答案】 C2.已知△ABC 的底边BC 长为12，且底边固定，顶点A 是动点，且sin B －sin C ＝12sinA ，若以底边BC 为x 轴、底边BC 的中点为原点建立平面直角坐标系，则点A 的轨迹方程是( )【导学号：12990003】A.x 29－y 227＝1 B.x 29－y 227＝1(x <－3) C.x 227－y 29＝1 D.x 227－y 29＝1(x <－3) 【解析】 由题意知，B (－6,0)，C (6,0) 由sin B －sin C ＝12sin A ，得b －c ＝12a ＝6，即|AC |－|AB |＝6.所以点A 的轨迹是以B (－6,0)，C (6,0)为焦点，2a ＝6的双曲线的左支且y ≠0.其方程为x 29－y 227＝1(x <－3).【答案】 B3.曲线C 是平面内与两个定点F 1(－1,0)和F 2(1,0)的距离的积等于常数a 2(a >1)的点的轨迹.给出下列三个结论：①曲线C 过坐标原点； ②曲线C 关于坐标原点对称；③若点P 在曲线C 上，则△F 1PF 2的面积不大于12a 2.其中，所有正确结论的序号是________.【解析】 因为原点O 到两个定点F 1(－1,0)，F 2(1,0)的距离的积是1，而a >1，所以曲线C 不过原点，即①错误；因为F 1(－1,0)，F 2(1,0)关于原点对称，所以|PF 1||PF 2|＝a2对应的轨迹关于原点对称，即②正确；因为S △F 1PF 2＝12|PF 1||PF 2|sin ∠F 1PF 2≤12|PF 1||PF 2|＝12a 2，即面积不大于12a 2，所以③正确. 【答案】 ②③4.学校科技小组在计算机上模拟航天器变轨返回试验.设计方案如图113，航天器运行(按顺时针方向)的轨迹方程为x 2100＋y 225＝1，变轨(即航天器运行轨迹由椭圆变为抛物线)后返回的轨迹是以y 轴为对称轴，M ⎝⎛⎭⎪⎫0，647为顶点的抛物线的实线部分，降落点为D (8,0).观测点A (4,0)，B (6,0).图113(1)求航天器变轨后的运行轨迹所在的曲线方程；(2)试问：当航天器在x 轴上方时，航天器离观测点A ，B 分别为多远时，应向航天器发出变轨指令？【解】 (1)设曲线方程为y ＝ax 2＋647，∵点D (8,0)在抛物线上，∴a ＝－17，∴曲线方程为y ＝－17x 2＋647.(2)设变轨点为C (x ，y )，根据题意可知⎩⎪⎨⎪⎧x 2100＋y 225＝1， ①y ＝－17x 2＋647， ②得4y 2－7y －36＝0.y ＝4或y ＝－94(舍去)，∴y ＝4，得x ＝6或x ＝－6(舍去). ∴C 点的坐标为(6,4)， ∴|AC |＝25，|BC |＝4.所以当航天器离观测点A ，B 的距离分别为25，4时，应向航天器发出变轨指令.。
2017-2018学年高中数学北师大版选修2-3学业分层测评
学业分层测评 (建议用时：45分钟)一、选择题1．有以下三个问题：①掷一枚骰子一次，事件M ：“出现的点数为奇数”，事件N ：“出现的点数为偶数”； ②袋中有3白、2黑，5个大小相同的小球，依次不放回地摸两球，事件M ：“第1次摸到白球”，事件N ：“第2次摸到白球”；③分别抛掷2枚相同的硬币，事件M ：“第1枚为正面”，事件N ：“两枚结果相同”． 这三个问题中，M ，N 是相互独立事件的有( ) A ．3个 B ．2个 C ．1个D ．0个【解析】 ①中，M ，N 是互斥事件；②中，P (M )＝35，P (N )＝12.即事件M 的结果对事件N 的结果有影响，所以M ，N 不是相互独立事件；③中，P (M )＝12，P (N )＝12，P (MN )＝14，P (MN )＝P (M )P (N )，因此M ，N 是相互独立事件．【答案】 C2．从甲袋中摸出一个红球的概率是13，从乙袋中摸出一个红球的概率是12，从两袋各摸出一个球，则23表示( )A ．2个球不都是红球的概率B ．2个球都是红球的概率C ．至少有1个红球的概率D ．2个球中恰有1个红球的概率【解析】 分别记从甲、乙袋中摸出一个红球为事件A ，B ，则P (A )＝13，P (B )＝12，由于A ，B 相互独立，所以1－P (A )P (B )＝1－23×12＝23.根据互斥事件可知C 正确．【答案】 C3．甲、乙两队进行排球决赛，现在的情形是甲队只要再赢一局就获冠军，乙队需要再赢两局才能得冠军．若两队胜每局的概率相同，则甲队获得冠军的概率为( )A.34B.2352【解析】 问题等价为两类：第一类，第一局甲赢，其概率P 1＝12；第二类，需比赛2局，第一局甲负，第二局甲赢，其概率P 2＝12×12＝14.故甲队获得冠军的概率为P 1＋P 2＝34.【答案】 A4.在荷花池中，有一只青蛙在成品字形的三片荷叶上跳来跳去(每次跳跃时，均从一叶跳到另一叶)，而且逆时针方向跳的概率是顺时针方向跳的概率的两倍，如图233所示．假设现在青蛙在A 叶上，则跳三次之后停在A 叶上的概率是( )图233A.13 B.29 C.49D.827【解析】 青蛙跳三次要回到A 叶有两条途径： 第一条：按A →B →C →A ，P 1＝23×23×23＝827；第二条，按A →C →B →A ，P 2＝13×13×13＝127.所以跳三次之后停在A 叶上的概率为P ＝P 1＋P 2＝827＋127＝13.【答案】 A5．如图234所示，在两个圆盘中，指针落在圆盘每个数所在区域的机会均等，那么两个指针同时落在奇数所在区域的概率是( )图23499C.23D.13【解析】 “左边圆盘指针落在奇数区域”记为事件A ，则P (A )＝46＝23，“右边圆盘指针落在奇数区域”记为事件B ，则P (B )＝23，事件A ，B 相互独立，所以两个指针同时落在奇数区域的概率为23×23＝49，故选A.【答案】 A 二、填空题6．在甲盒内的200个螺杆中有160个是A 型，在乙盒内的240个螺母中有180个是A 型．若从甲、乙两盒内各取一个，则能配成A 型螺栓的概率为________. 【导学号：62690038】【解析】 “从200个螺杆中，任取一个是A 型”记为事件B .“从240个螺母中任取一个是A 型”记为事件C ，则P (B )＝C 1160C 1200，P (C )＝C 1180C 1240.∴P (A )＝P (BC )＝P (B )·P (C )＝C 1160C 1200·C 1180C 1240＝35.【答案】 357．三人独立地破译一份密码，他们能单独译出的概率分别为15，13，14，假设他们破译密码是彼此独立的，则此密码被破译的概率为________．【解析】 用A ，B ，C 分别表示“甲、乙、丙三人能破译出密码”，则P (A )＝15，P (B )＝13，P (C )＝14， 且P (A B C )＝P (A )P (B )P (C )＝45×23×34＝25.所以此密码被破译的概率为1－25＝35.【答案】 358．同学甲参加某科普知识竞赛，需回答三个问题，竞赛规则规定：答对第一、二、三个问题分别得100分、100分、200分，答错或不答均得零分．假设同学甲答对第一、二、三个问题的概率分别为0.8,0.6,0.5，且各题答对与否相互之间没有影响，则同学甲得分不低于300分的概率是________．【解析】设“同学甲答对第i个题”为事件A i(i＝1,2,3)，则P(A1)＝0.8，P(A2)＝0.6，P(A3)＝0.5，且A1，A2，A3相互独立，同学甲得分不低于300分对应于事件A1A2A3∪A1A 2A3∪A1A2A3发生，故所求概率为P＝P(A1A2A3∪A1A2A3∪A1A2A3)＝P(A1A2A3)＋P(A1A2A3)＋P(A1A2A3)＝P(A1)P(A2)P(A3)＋P(A1)P(A2)·P(A3)＋P(A1)P(A2)P(A3)＝0.8×0.6×0.5＋0.8×0.4×0.5＋0.2×0.6×0.5＝0.46【答案】0.46三、解答题9．根据以往统计资料，某地车主购买甲种保险的概率为0.5，购买乙种保险的概率为0.3.设各车主购买保险相互独立．(1)求该地的1位车主至少购买甲、乙两种保险中的1种的概率；(2)求该地的3位车主中恰有1位车主甲、乙两种保险都不购买的概率．【解】记A表示事件：该地的1位车主购买甲种保险；B表示事件：该地的1位车主购买乙种保险；C表示事件：该地的1位车主至少购买甲、乙两种保险中的一种；D表示事件：该地的1位车主甲、乙两种保险都不购买；E表示事件：该地的3位车主中恰有1位车主甲、乙两种保险都不购买．(1)P(A)＝0.5，P(B)＝0.3，C＝A＋B，P(C)＝P(A＋B)＝P(A)＋P(B)＝0.8.(2)D＝C，P(D)＝1－P(C)＝1－0.8＝0.2，P(E)＝0.8×0.2×0.8＋0.8×0.8×0.2＋0.2×0.8×0.8＝0.384.10．某城市有甲、乙、丙3个旅游景点，一位游客游览这3个景点的概率分别是0.4,0.5,0.6，且游客是否游览哪个景点互不影响，用ξ表示该游客离开该城市时游览的景点数与没有游览的景点数之差的绝对值，求ξ的分布列．【解】设游客游览甲、乙、丙景点分别记为事件A1，A2，A3，已知A1，A2，A3相互独立，且P(A1)＝0.4，P(A2)＝0.5，P(A3)＝0.6，游客游览的景点数可能取值为0,1,2,3，相应的游客没有游览的景点数可能取值为3,2,1,0，所以ξ的可能取值为1,3.则P(ξ＝3)＝P(A1·A2·A3)＋P(A1·A2·A3)＝P(A1)·P(A2)·P(A3)＋P(A1)·P(A2)·P(A3)＝2×0.4×0.5×0.6＝0.24.P (ξ＝1)＝1－0.24＝0.76.所以分布列为：1．设两个独立事件A 和B 都不发生的概率为19，A 发生B 不发生的概率与B 发生A 不发生的概率相同，则事件A 发生的概率P (A )是( )A.29B.118C.13D.23【解析】 由P (A B )＝P (B A )，得P (A )P (B )＝P (B )·P (A )，即P (A )＝P (B )， ∴P (A )＝P (B )．又P (A B )＝19，∴P (A )＝P (B )＝13，∴P (A )＝23.【答案】 D2.三个元件T 1，T 2，T 3正常工作的概率分别为12，34，34，且是互相独立的．将它们中某两个元件并联后再和第三个元件串联接入电路，在如图235的电路中，电路不发生故障的概率是( )图235A.1532 B.932 C.732D.1732【解析】 记“三个元件T 1，T 2，T 3正常工作”分别为事件A 1，A 2，A 3，则P (A 1)＝12，P (A 2)＝34，P (A 3)＝34.不发生故障的事件为(A 2∪A 3)A 1， ∴不发生故障的概率为P ＝P＝·P (A 1)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14×14×12＝1532.故选A. 【答案】 A3．本着健康、低碳的生活理念，租自行车骑游的人越来越多，某自行车租车点的收费标准是每车每次租车时间不超过两小时免费，超过两小时的部分每小时收费2元(不足1小时的部分按1小时计算)，有甲、乙两人相互独立来该租车点租车骑游(各租一车一次)．设甲、乙不超过两小时还车的概率分别为14，12，两小时以上且不超过三小时还车的概率分别是12，14，两人租车时间都不会超过四小时．则甲、乙两人所付的租车费用相同的概率为________． 【解析】 由题意可知，甲、乙在三小时以上且不超过四个小时还车的概率分别为14，14，设甲、乙两人所付的租车费用相同为事件A ，则P (A )＝14×12＋12×14＋14×14＝516.所以甲、乙两人所付的租车费用相同的概率为516.【答案】5164．在一个选拔项目中，每个选手都需要进行四轮考核，每轮设有一个问题，能正确回答者进入下一轮考核，否则被淘汰．已知某选手能正确回答第一、二、三、四轮问题的概率分别为56，45，34，13，且各轮问题能否正确回答互不影响．(1)求该选手进入第三轮才被淘汰的概率； (2)求该选手至多进入第三轮考核的概率；(3)该选手在选拔过程中回答的问题的个数记为X ，求随机变量X 的分布列． 【解】 设事件A i (i ＝1,2,3,4)表示“该选手能正确回答第i 轮问题”， 由已知P (A 1)＝56，P (A 2)＝45，P (A 3)＝34，P (A 4)＝13.(1)设事件B 表示“该选手进入第三轮才被淘汰”， 则P (B )＝P (A 1A 2A 3)＝P (A 1)P (A 2)P (A 3) ＝56×45×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－34＝16. (2)设事件C 表示“该选手至多进入第三轮考核”， 则P (C )＝P (A 1＋A 1A 2＋A 1A 2A 3)＝P (A 1)＋P (A 1A 2)＋P (A 1A 2A 3) ＝16＋56×15＋56×45×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－34＝12. (3)X 的可能取值为1,2,3,4.P (X ＝1)＝P (A 1)＝16，P (X ＝2)＝P (A 1A 2)＝56×⎝⎛⎭⎪⎫1－45＝16，P (X ＝3)＝P (A 1A 2A 3)＝56×45×⎝⎛⎭⎪⎫1－34＝16，P (X ＝4)＝P (A 1A 2A 3)＝56×45×34＝12，所以，X 的分布列为。
2017_2018学年高中数学学业分层测评1含解析北师大版选修2_12017100321
学业分层测评(一)(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．下列语句不是命题的有()①《非常学案》是最畅销的教辅材料吗？②2x－1＞3.③7＋6＝14.④两直线平行内错角相等．A．①②B．①③C．②④D．①②③【答案】 A2．若命题p的逆命题是假命题，则下列判断一定正确的是()A．命题p是真命题B．命题p的否命题是假命题C．命题p的逆否命题是假命题D．命题p的否命题是真命题【解析】一个命题的逆命题与否命题互为逆否命题，故它们同真假，故选B.【答案】 B3．命题“平行四边形的对角线既互相平分，也互相垂直”的结论是()A．这个四边形的对角线互相平分B．这个四边形的对角线互相垂直C．这个四边形的对角线既互相平分，也互相垂直D．这个四边形是平行四边形【解析】此命题可改为“若一个四边形是平行四边形则它的对角线互相平分，也互相垂直”，故结论为选项C.【答案】 C4．在下列命题中，真命题是()A．“x＝2时，x2－3x＋2＝0”的否命题B．“若b＝3，则b2＝9”的逆命题C．若x∈R，则x2＋3＜0D．“相似三角形的对应角相等”的逆否命题【解析】“相似三角形的对应角相等”是真命题，又因为原命题与逆否命题为等价命题，故选D.1【答案】 D5．给出命题：若函数y＝f(x)是幂函数，则函数y＝f(x)的图像不过第四象限．在它的逆命题、否命题、逆否命题三个命题中，真命题的个数是()A．3B．2C．1D．0【解析】易知原命题是真命题，则其逆否命题也是真命题，而逆命题、否命题是假命题，故它的逆命题、否命题、逆否命题三个命题中，真命题只有一个．【答案】 C二、填空题6．若命题p的否命题为r，命题r的逆命题为s，则s是p的逆命题t的________命题．【导学号：32550002】【解析】根据四种命题的关系，易知s是t的否命题．【答案】否7．把下列不完整的命题补充完整，并使之成为真命题．若函数f(x)＝3＋log2x的图像与g(x)的图像关于________对称，则函数g(x)＝________.(填上你认为可以成为真命题的一种情况既可)【解析】该题将函数的图像和性质与命题综合在一起，要综合利用各部分的知识．部分可能情况有：x轴，－3－log2x；y轴，3＋log2(－x)；原点，－3－log2(－x)；直线y＝x,2x－3等．【答案】x轴－3－log2x8．给定下列命题：①“若k＞0，则方程x2＋2x－k＝0”有实数根；②若a＞b＞0，c＞d＞0，则ac＞bd；③对角线相等的四边形是矩形；④若xy＝0，则x、y中至少有一个为0.其中真命题的序号是________．【解析】①Δ＝4＋4k∵k＞0，∴Δ＞0方程有实根，故①为真命题．②，④易判断为真命题．③对角线相等的四边形有可能是梯形．【答案】①②④三、解答题9．将下列命题改写为“若p，则q”的形式，并判断真假．(1)偶数能被2整除；(2)奇函数的图像关于原点对称．【解】(1)若一个数是偶数，则它能被2整除．真命题．2(2)若一个函数是奇函数，则它的图像关于原点对称．真命题．10．分别写出下列命题的逆命题、否命题及逆否命题，并判断这四个命题的真假：(1)若一个整数的末位数字是0，则这个整数能被5整除；(2)四条边相等的四边形是正方形．【解】找出原命题的条件和结论，依照定义写出另外三种命题．(1)逆命题：若一个整数能被5整除，则这个整数的末位数字是0；否命题：若一个整数的末位数字不是0，则这个整数不能被5整除；逆否命题：若一个整数不能被5整除，则这个整数的末位数字不是0.逆命题和否命题是假命题，原命题和逆否命题是真命题．(2)原命题可以改写成：若一个四边形的四条边相等，则它是正方形；逆命题：若一个四边形是正方形，则它的四条边相等；否命题：若一个四边形的四条边不全相等，则它不是正方形；逆否命题：若一个四边形不是正方形，则它的四条边不全相等．原命题和逆否命题是假命题，逆命题和否命题是真命题．[能力提升]1．有下列四个命题：①“若x＋y＝0，则x、y互为相反数”的逆命题；②“全等三角形的面积相等”的否命题；③“若q≤1，则x2＋2x＋q＝0有实根”的逆命题；④“不等边三角形的三个内角相等”的逆否命题．其中真命题的序号为()A．①②B．②③C．①③D．③④【解析】①“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”的逆命题是“若x，y互为相反数，则x＋y＝0”，是真命题；②“全等三角形的面积相等”的否命题是“若两个三角形不全等，则这两个三角形面积不相等”，是假命题；③“若q≤1，则x2＋2x＋q＝0有实根”的逆命题是“若x2＋2x＋q＝0有实根，则q≤1”，是真命题；④“不等边三角形的三个内角相等”是假命题，其逆否命题是假命题．【答案】 C2．若命题p的逆否命题是q，q的逆命题是r，则p与r是() A．互逆命题B．互否命题C．互逆否命题D．不确定【解析】p，q互为逆否命题，又q的逆命题是r，故p、r为互否命题．3【答案】 B3．下列说法正确的是________．①“若x2＋y2＝0，则x，y全为零”的否命题为“若x2＋y2≠0，则x，y全不为零”．②“正多边形都相似”的逆命题是真命题．1③“若x－3 是有理数，则x是无理数”的逆否命题是真命题．2【解析】①中否命题：“若x2＋y2≠0则x，y不全为0”，故是错误的．②中逆命题：“若两个多边形相似，则这两个多边形是正多边形”，是假命题，故此说法错误．1③中逆否命题：“若x不是无理数，则x－3 不是有理数”，是真命题，故说法正确．2【答案】③14．若方程x2＋2px－q＝0(p，q是实数)没有实数根，则p＋q< .4(1)判断上述命题的真假，并说明理由．(2)试写出上述命题的逆命题，并判断真假，说明理由．【解】(1)上述命题是真命题，由题意，得方程的判别式Δ＝4p2＋4q<0，得q<－p2，1 1 1(p－2 )2＋≤，∴p＋q<p－p2＝－4 41∴p＋q< .41(2)逆命题：如果p，q是实数，p＋q< ，则方程x2＋2px－q＝0没有实数根．逆命题是假41命题，如当p＝1，q＝－1时，p＋q< ，但原方程有实数根x＝－1.44。
2017-2018学年高中数学 学业分层测评17(含解析)北师大版选修2-1
学业分层测评(十七)(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．已知点F 1(0，－13)，F 2(0,13)，动点P 到F 1与F 2的距离之差的绝对值为26，则动点P 的轨迹方程为( )A ．y ＝0B ．y ＝0(|x |≥13)C ．x ＝0(|y |≥13)D ．以上都不对【解析】 ∵||PF 1|－|PF 2||＝|F 1F 2|，∴点P 的轨迹是分别以F 1，F 2为端点的两条射线． 【答案】 C2．已知方程x 21＋k －y 21－k ＝1表示双曲线，则k 的取值范围是( )A ．－1＜k ＜1B ．k ＞0C ．k ≥0D ．k ＞1或k ＜－1【解析】 ∵方程x 21＋k －y 21－k ＝1表示双曲线，∴(1＋k )(1－k )＞0，∴－1＜k ＜1.【答案】 A3．若双曲线E ：x 29－y 216＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 在双曲线E 上，且|PF 1|＝3，则|PF 2|等于( )A ．11B ．9C ．5D ．3【解析】 根据双曲线的定义求解．由题意知a ＝3，b ＝4，∴c ＝5.由双曲线的定义有||PF 1|－|PF 2||＝|3－|PF 2||＝2a ＝6，∴|PF 2|＝9.【答案】 B4．已知F 1，F 2为双曲线C ：x 2－y 2＝2的左、右焦点，点P 在双曲线上，|PF 1|＝2|PF 2|，则cos ∠F 1PF 2＝( )A.14 B ．35 C.34D ．45【解析】 由题意可知，a ＝2＝b ，∴c ＝2. 设|PF 1|＝2x ，|PF 2|＝x ， ∴|PF 1|－|PF 2|＝x ＝22，∴|PF 1|＝42，|PF 2|＝22，|F 1F 2|＝4. 利用余弦定理有 cos ∠F 1PF 2＝22＋22－422×42×22＝34. 【答案】 C5．已知点F 1(－2，0)，F 2(2，0)，动点P 满足|PF 2|－|PF 1|＝2，当点P 的纵坐标为12时，点P 到坐标原点的距离是( ) A. 3 B ．32 C.62D ．2【解析】 ∵动点P 满足|PF 2|－|PF 1|＝2＜22为定值，∴P 点轨迹为双曲线的左支，方程为x 2－y 2＝1(x ≤－1)．当y ＝12时，x 2＝y 2＋1＝54，∴x 2＋y 2＝54＋14＝62【答案】 C 二、填空题6．若双曲线8kx 2－ky 2＝8的一个焦点坐标是(0,3)，则实数k 的值为________． 【解析】 因为双曲线焦点在y 轴上，所以k ＜0，所以双曲线的标准方程为y 2－8k －x 2－1k＝1，且－8k －1k＝32＝9，解得k ＝－1.【答案】 －17．若椭圆x 2m ＋y 2n ＝1(m ＞n ＞0)和双曲线x 2a －y 2b＝1(a ＞0，b ＞0)有相同的焦点F 1，F 2，P是它们的一个公共点，则|PF 1|·|PF 2|＝________.【导学号：32550085】【解析】 ∵P 是椭圆x 2m ＋y 2n ＝1上的点，焦点为F 1，F 2，∴|PF 1|＋|PF 2|＝2m .①又∵P 是双曲线x 2a －y 2b＝1上的点，焦点为F 1，F 2，∴||PF 1|－|PF 2||＝2a .②①2－②2，得4|PF 1|·|PF 2|＝4m －4a ，∴|PF 1|·|PF 2|＝m －a . 【答案】 m －a8．P 为双曲线x 2－y 215＝1右支上一点，M 、N 分别是圆(x ＋4)2＋y 2＝4和圆(x －4)2＋y2＝1上的点，则|PM |－|PN |的最大值为________．【解析】 设双曲线的两个焦点为F 1(－4,0)、F 2(4,0)，则F 1、F 2为两圆的圆心，又两圆的半径分别为r 1＝2，r 2＝1，则|PM |≤|PF 1|＋2，|PN |≥|PF 2|－1，故|PM |－|PN |≤(|PF 1|＋2)－(|PF 2|－1)＝|PF 1|－|PF 2|＋3＝2a ＋3＝5.【答案】 5 三、解答题9.如图332，已知定圆F 1：x 2＋y 2＋10x ＋24＝0，定圆F 2：x 2＋y 2－10x ＋9＝0，动圆M 与定圆F 1、F 2都外切，求动圆圆心M 的轨迹方程．图332【解】 ∵圆F 1：(x ＋5)2＋y 2＝1， ∴圆心F 1(－5,0)，半径r 1＝1. ∵圆心F 2：(x －5)2＋y 2＝42， ∴圆心F 2(5,0)，半径r 2＝4.设动圆M 的半径为R ，则有|MF 1|＝R ＋1，|MF 2|＝R ＋4，∴|MF 2|－|MF 1|＝3＜|F 1F 2|. ∴M 点轨迹是以F 1，F 2为焦点的双曲线(左支)，且a ＝32，c ＝5.∴双曲线方程为49x 2－491y 2＝1⎝⎛⎭⎪⎫x ≤－32.10．已知双曲线过点(3，－2)且与椭圆4x 2＋9y 2＝36有相同的焦点． (1)求双曲线的标准方程；(2)若点M 在双曲线上，F 1、F 2为左、右焦点，且|MF 1|＋|MF 2|＝63，试判别△MF 1F 2的形状．【解】 (1)椭圆方程可化为x 29＋y 24＝1，焦点在x 轴上，且c ＝9－4＝5， 故设双曲线方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)，则有⎩⎪⎨⎪⎧9a 2－4b2＝1，a 2＋b 2＝5，解得a 2＝3，b 2＝2，所以双曲线的标准方程为x 23－y 22＝1.(2)不妨设M 点在右支上，则有|MF 1|－|MF 2|＝23， 又|MF 1|＋|MF 2|＝63，故解得|MF 1|＝43，|MF 2|＝23， 又|F 1F 2|＝25，因此在△MF 1F 2中，|MF 1|边最长，而 cos ∠MF 2F 1＝|MF 2|2＋|F 1F 2|2－|MF 1|22·|MF 2|·|F 1F 2|＜0，所以∠MF 2F 1为钝角，故△MF 1F 2为钝角三角形．[能力提升]1．已知F 1(－3,0)，F 2(3,0)，满足条件|PF 1|－|PF 2|＝2m －1的动点P 的轨迹是双曲线的一支．下列数据：①2；②－1；③4；④－3；⑤12，则m 可以是( )A ．①②B ．①③C ．①②⑤D ．②④【解析】 由双曲线定义得⎩⎪⎨⎪⎧|2m －1|＜6，2m －1≠0，∴－52＜m ＜72且m ≠12.故选A.【答案】 A2．已知F 1，F 2分别为双曲线x 25－y 24＝1的左、右焦点，P (3，1)为双曲线内一点，点A在双曲线的右支上，则|AP |＋|AF 2|的最小值为( )A.37＋4 B ．37－4 C.37－2 5D ．37＋2 5【解析】 因为|AP |＋|AF 2|＝|AP |＋|AF 1|－25，所以要求|AP |＋|AF 2|的最小值，只需求|AP |＋|AF 1|的最小值．如图，连接F 1P 交双曲线的右支于点A 0.当点A 位于A 0处时，|AP |＋|AF 1|最小，最小值为37.故|AP |＋|AF 2|的最小值为37－2 5.【答案】 C3．已知F 是双曲线x 24－y 212＝1的左焦点，A (1,4)，点P 是双曲线右支上的动点，则|PF |＋|PA |的最小值是________．【导学号：32550086】【解析】 设F ′为双曲线的右焦点，则F ′(4,0)， |PF |＋|PA |＝|PF ′|＋|PA |＋2a ＝|PF ′|＋|PA |＋4， 当P ，F ′，A 三点共线时|PF ′|＋|PA |最小， 即|PF |＋|PA |最小，∴|PF ′|＋|PA |＋4＝－2＋42＋4＝9.【答案】 94．如图333所示，某建筑工地要挖一个横截面为半圆的柱形土坑，挖出的土能沿AP ，BP 运到P 处，其中|AP |＝100m ，|BP |＝150m ，∠APB ＝60°，怎样运土才能最省工？图333【解】 设M 为分界线上任一点，则|MA |＋|AP |＝|MB |＋|BP |，即|MA |－|MB |＝|PB |－|PA |＝50m ，所以M 在以A ，B 为焦点的双曲线的右支上，易得|AB |2＝17 500m 2，建立直角坐标系，得分界线所在的曲线方程为x 2625－y 23 750＝1(x ≥25)．故运土时，在双曲线左侧的土沿AP 运到P 处，右侧的土沿BP 运到P 处最省工.。
【小初高学习】2017_2018学年高中数学学业分层测评6含解析北师大版选修2_1
学业分层测评(六)(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．若空间任意两个非零向量a ，b ，则|a |＝|b |，且a ∥b 是a ＝b 的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【解析】 a ＝b ⇒|a |＝|b |，且a ∥b ；所以，必要；当b ＝－a 时，有|a |＝|b |且a ∥b ，但a ≠b ，所以，不充分．故选B.【答案】 B2．下列命题中正确的个数是( )①如果a ，b 是两个单位向量，则|a |＝|b |； ②两个空间向量共线，则这两个向量方向相同； ③若a ，b ，c 为非零向量，且a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c ； ④空间任意两个非零向量都可以平移到同一平面内． A ．1个 B ．2个 C ．3个D ．4个【解析】 对于①：由单位向量的定义即得|a |＝|b |＝1，故①正确；对于②：共线不一定同向，故②错；对于③：正确；对于④：正确，在空间任取一点，过此点引两个与已知非零向量相等的向量，而这两个向量所在的直线相交于此点，两条相交直线确定一个平面，所以两个非零向量可以平移到同一平面内．【答案】 C3．如图213所示，三棱锥A BCD 中，AB ⊥面BCD ，∠BDC ＝90°，则在所有的棱表示的向量中，夹角为90°的共有( )图213A ．3对B ．4对C ．5对D ．6对【解析】 夹角为90°的共有BA →与BD →，BA →与BC →，DB →与DC →，BA →与DC →，DA →与DC →.【答案】 C4.在如图214所示的正三棱柱中，与〈AB →，AC →〉相等的是( )图214A ．〈AB →，BC →〉 B ．〈BC →，CA →〉 C ．〈C 1B 1→，AC →〉 D ．〈BC →，B 1A 1→〉【解析】 ∵B 1A 1→＝BA →，∴〈BA →，BC →〉＝〈AB →，AC →〉＝〈BC →，B 1A 1→〉＝60°，故选D. 【答案】 D5．在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，平面ACC 1A 1的法向量是( ) A.BD → B ．BC 1→C.BD 1→D ．A 1B →【解析】 ∵BD ⊥AC ，BD ⊥AA 1， ∴BD ⊥面ACC 1A 1，故BD →为平面ACC 1A 1的法向量． 【答案】 A 二、填空题6．正四面体S ABC 中，E ，F 分别为SB ，AB 中点，则〈EF →，AC →〉＝________.【解析】 如图所示，∵E ，F 为中点， ∴EF ∥SA ，而△SAC 为正三角形，∴∠SAC ＝π3，∴〈EF →，AC →〉＝2π3.【答案】2π37．下列命题正确的序号是________． ①若a ∥b ，〈b ，c 〉＝π4，则〈a ，c 〉＝π4；②若a ，b 是同一个平面的两个法向量，则a ＝b ； ③若空间向量a ，b ，c 满足a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c ； ④异面直线的方向向量不共线．【导学号：32550022】【解析】 ①〈a ，c 〉＝π4或3π4，①错；②a ∥b ，②错；③当b ＝0时，推不出a ∥c ，③错；④由于异面直线既不平行也不重合，所以它们的方向向量不共线，④对． 【答案】 ④图2158．如图215，在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，E ，F ，G ，H 分别为AA 1，AB ，BB 1，B 1C 1的中点，则异面直线EF 与GH 所成的角等于________．【解析】 要求异面直线EF 与GH 所成的角就是求〈FE →，GH →〉，因为FE →与BA 1→同向共线，GH →与BC 1→同向共线，所以〈FE →，GH →〉＝〈BA 1→，BC 1→〉，在正方体中△A 1BC 1为等边三角形，所以〈FE →，GH →〉＝〈BA 1→，BC 1→〉＝60°.【答案】 60° 三、解答题9.如图216，在长方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，AB ＝3，AD ＝2，AA 1＝1，在以长方体的顶点为起点和终点的向量中，图216(1)写出所有的单位向量； (2)写出与AB →相等的所有向量； (3)写出与AD →相反的所有向量； (4)写出模为5的所有向量．【解】 在长方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，因为长、宽、高分别为AB ＝3，AD ＝2，AA 1＝1，所以AD 1＝12＋22＝ 5.(1)单位向量有：AA 1→，A 1A →，BB 1→，B 1B →，CC 1→，C 1C →，DD 1→，D 1D →. (2)与AB →相等的向量有：DC →，D 1C 1→，A 1B 1→. (3)与AD →相反的向量有：DA →，CB →，C 1B 1→，D 1A 1→.(4)模为5的向量有：AD 1→，A 1D →，BC 1→，B 1C →，D 1A →，DA 1→，C 1B →，CB 1→.图21710．如图217所示，已知正四面体A BCD . (1)过点A ，作出方向向量为BC →的空间直线； (2)过点A ，作出平面BCD 的一个法向量．【解】 如图所示，过点A 作直线AE ∥BC ，由直线的方向向量的定义可知，直线AE 即为过点A 且方向向量为BC →的空间直线．(2)如图所示，取平面BCD 的中心O ，由正四面体的性质可知，AO 垂直于平面BCD ，∴向量AO →可作为平面BCD 的一个法向量．[能力提升]1．空间两向量a ，b 互为相反向量，已知向量|b |＝3，则下列结论正确的是( ) A ．a ＝b B ．a ＋b 为实数0 C ．a 与b 方向相同D ．|a |＝3【解析】 ∵a ，b 互为相反向量， ∴a ＝－b ，又∵|b |＝3， ∴|a |＝3. 【答案】 D2．在平行六面体ABCD A 1B 1C 1D 1中，下列四对向量：①AB →与C 1D 1→；②AC 1→与BD 1→；③AD 1→与C 1B →；④A 1D →与B 1C →.其中互为相反向量的有n 对，则n ＝( )A ．1B ．2C ．3D ．4【解析】 AB →与C 1D 1→，AD 1→与C 1B →平行且方向相反，互为相反向量． 【答案】 B图2183．如图218所示，四棱锥D 1ABCD 中，AD ＝DD 1＝CD ，底面ABCD 是正方形，DD 1⊥面ABCD ，E 是AD 1的中点，求〈AC →，DE →〉．【解】 取CD 1的中点F ，连接EF ，DF ， 则EF →＝12AC →，∴〈AC →，DE →〉＝〈EF →，DE →〉，由AD ＝DD 1＝CD ， 且D 1D ⊥AD ，D 1D ⊥CD ，∴DE ＝DF ＝EF ＝22DD 1， ∴△EFD 为正三角形， ∠FED ＝π3，∴〈AC →，DE →〉＝〈EF →，DE →〉＝2π3.4．如图219，四棱锥V ABCD ，底面ABCD 为正方形，VA ⊥平面ABCD ，以这五个顶点为起点和终点的向量中，求：【导学号：32550023】图219(1)直线AB 的方向向量；(2)求证：BD ⊥平面VAC ，并确定平面VAC 的法向量．【解】 (1)由已知得，在以这五个顶点为起点和终点的向量中，直线AB 的方向向量有AB →，BA →，CD →，DC →这4个．(2)证明：∵四边形ABCD 为正方形， ∴AC ⊥BD .又∵VA ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ， ∴BD ⊥VA .又AC ∩VA ＝A ，∴BD ⊥平面VAC . ∴平面VAC 的法向量有BD →，DB →这2个．。
2016-2017学年高中数学北师大版必修2学业分层测评18 平面直角坐标系中的距离公式
学业分层测评(十八)(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．(2016·西安高一检测)已知点A(2k，－1)，B(k,1)，且|AB|＝13，则实数k 等于()A．±3 B．3 C．－3 D．0【解析】|AB|＝(2k－k)2＋(－1－1)2＝13，即k2＋4＝13，所以k＝±3.【答案】 A2．到直线3x－4y－11＝0的距离为2的直线方程为()A．3x－4y－1＝0B．3x－4y－1＝0或3x－4y－21＝0C．3x－4y＋1＝0D．3x－4y－21＝0【解析】设所求的直线方程为3x－4y＋c＝0.由题意|c－(－11)|32＋(－4)2＝2，解得c＝－1或c＝－21.故选B.【答案】 B3．点P(a,0)到直线3x＋4y－6＝0的距离大于3，则实数a的取值范围为() A．a>7 B．a<－3C．a>7或a<－3 D．a>7或－3<a<7【解析】根据题意，得|3a－6|32＋42>3，解得a>7或a<－3.【答案】 C4．点P(x，y)在直线x＋y－4＝0上，O是坐标原点，则|OP|的最小值是() A. 5 B.7 C. 6 D．2 2【解析】|OP|的最小值就是原点到直线x＋y－4＝0的距离，d＝|0＋0－4|2＝2 2.【答案】 D5．过点A (4，a )和点B (5，b )的直线与y ＝x ＋m 平行，则|AB |的值为( ) A ．6 B. 2 C ．2D ．不能确定【解析】 k AB ＝b －a5－4＝b －a . 又∵过A ，B 的直线与y ＝x ＋m 平行， ∴b －a ＝1，∴|AB |＝(5－4)2＋(b －a )2＝ 2. 【答案】 B 二、填空题6．点P 与x 轴及点A (－4,2)的距离都是10，则P 的坐标为________． 【解析】 设P (x ，y )，则⎩⎨⎧|y |＝10，(x ＋4)2＋(y －2)2＝100. 当y ＝10时，x ＝2或－10；当y ＝－10时，无解． 则P (2,10)或P (－10,10)． 【答案】 (2,10)或(－10,10)7．倾斜角为60°，且与原点的距离是5的直线方程为________.【导学号：10690056】【解析】 因为直线斜率为tan 60°＝3，可设直线方程为y ＝3x ＋b ，化为一般式得3x －y ＋b ＝0.由直线与原点距离为5，得|0－0＋b |(3)2＋(－1)2＝5⇒|b |＝10，所以b ＝±10，所以直线方程为3x －y ＋10＝0或 3x －y －10＝0.【答案】3x －y ＋10＝0或3x －y －10＝08．(2016·蚌埠高一检测)如图2-1-6，点A 的坐标为(1,0)，点B 在直线y ＝－x 上运动，当线段AB 最短时，点B 的坐标为______．图2-1-6【解析】 由题意知，当AB 垂直于直线x ＋y ＝0时，线段AB 最短，此时k AB ＝1，设B (a ，－a )，则k AB ＝－a a －1＝1，∴a ＝12，故B ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－12.【答案】 ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－12三、解答题9．在直线2x －y ＝0上求一点P ，使它到点M (5,8)的距离为5，并求直线PM 的方程．【解】 ∵点P 在直线2x －y ＝0上，∴可设P (a,2a )． 根据两点间的距离公式得 |PM |2＝(a －5)2＋(2a －8)2＝52，即5a 2－42a ＋64＝0，解得a ＝2或a ＝325， ∴P (2,4)或⎝ ⎛⎭⎪⎫325，645，∴直线PM 的方程为y －84－8＝x －52－5或y －8645－8＝x －5325－5，整理得4x －3y ＋4＝0或24x －7y －64＝0.10．已知点A (0,0)，B (1,1)，C (2，－1)，求△ABC 的面积． 【解】 直线AB 的方程为x －y ＝0， 点C 到AB 的距离d ＝|2－(－1)|12＋(－1)2＝322， |AB |＝(1－0)2＋(1－0)2＝2， ∴S △ABC ＝12|AB |d ＝12×2×322＝32.[能力提升]1．过点P(1,2)引直线，使A(2,3)、B(4，－5)到它的距离相等，则这条直线的方程是()A．4x＋y－6＝0B．x＋4y－6＝0C．2x＋3y－7＝0或x＋4y－6＝0D．3x＋2y－7＝0或4x＋y－6＝0【解析】∵k AB＝－4，线段AB的中点C(3，－1)，∴过点P(1,2)与AB平行的直线方程为y－2＝－4(x－1)，即4x＋y－6＝0，此直线符合题意．过点P(1,2)与线段AB中点C(3，－1)的直线方程为y－2＝－32(x－1)，即3x＋2y－7＝0，此直线符合题意．故所求直线方程为4x＋y－6＝0或3x＋2y－7＝0.故选D.【答案】 D2．直线2x＋3y－6＝0关于点(1，－1)对称的直线方程是() A．3x－2y－6＝0 B．2x＋3y＋7＝0C．3x－2y－12＝0 D．2x＋3y＋8＝0【解析】法一：设所求直线的方程为2x＋3y＋C＝0，由题意可知|2－3－6| 22＋32＝|2－3＋C|22＋32，∴C＝－6(舍)或C＝8，故所求直线的方程为2x＋3y＋8＝0.法二：令(x0，y0)为所求直线上任意一点，则点(x0，y0)关于(1，－1)的对称点为(2－x0，－2－y0)，此点在直线2x＋3y－6＝0上，代入可得所求直线方程为2x ＋3y＋8＝0.【答案】 D3．若实数x，y满足关系式x＋y＋1＝0，则式子S＝x2＋y2－2x－2y＋2的最小值为________．【解析】 法一：∵x 2＋y 2－2x －2y ＋2＝(x －1)2＋(y －1)2， ∴上式可看成是一个动点M (x ，y )到一个定点N (1,1)的距离． 即为点N 与直线l ：x ＋y ＋1＝0上任意一点M (x ，y )的距离， ∴S ＝|MN |的最小值应为点N 到直线l 的距离，即 |MN |min ＝d ＝|1＋1＋1|2＝322. 法二：∵x ＋y ＋1＝0，∴y ＝－x －1， ∴S ＝x 2＋(－x －1)2－2x －2(－x －1)＋2 ＝2x 2＋2x ＋5＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122＋92， ∴x ＝－12时，S min ＝92＝322.【答案】3224．直线l 经过点P (2，－5)，且与点A (3，－2)和B (－1,6)的距离之比为1∶2，求直线l 的方程．【解】 ∵直线l 过点P (2，－5)， ∴可设直线l 的方程为y ＋5＝k (x －2)， 即kx －y －2k －5＝0.∴点A (3，－2)到直线l 的距离为 d 1＝|k ·3－(－2)－2k －5|k 2＋1＝|k －3|k 2＋1，点B (－1,6)到直线l 的距离为 d 2＝|k ·(－1)－6－2k －5|k 2＋1＝|3k ＋11|k 2＋1. ∵d 1∶d 2＝1∶2， ∴|k －3||3k ＋11|＝12，∴k 2＋18k ＋17＝0， 解得k 1＝－1，k 2＝－17，∴所求直线方程为x ＋y ＋3＝0或17x ＋y －29＝0.。
2018高中数学学业分层测评18北师大版2-1Word版
学业分层测评(十八)(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．若点P (2,0)到双曲线x 2a 2－y 2b2＝1的一条渐近线的距离为2，则双曲线的离心率为( )A. 2 B ． 3 C ．2 2D ．2 3【解析】 双曲线的渐近线方程为bx ±ay ＝0，点P (2,0)到渐近线的距离为|2b |a 2＋b 2＝2，所以a 2＝b 2，所以双曲线的离心率为2，故选A. 【答案】 A2．过双曲线x 2－y 23＝1的右焦点且与x 轴垂直的直线，交该双曲线的两条渐近线于A ，B 两点，则|AB |＝( )A.433B ．2 3C ．6D ．4 3【解析】 设A ，B 两点的坐标分别为(x ，y A )，(x ，y B )，将x ＝c ＝2代入渐近线方程y ＝±3x 得到y A ，y B ，进而求|AB |.由题意知，双曲线x 2－y 23＝1的渐近线方程为y ＝±3x ，将x ＝c ＝2代入得y ＝±23，即A ，B 两点的坐标分别为(2,23)，(2，－23)，所以|AB |＝4 3.【答案】 D3．下列双曲线中，焦点在y 轴上且渐近线方程为y ＝±2x 的是( ) A ．x 2－y 24＝1B ．x 24－y 2＝1C.y 24－x 2＝1 D ．y 2－x 24＝1【解析】 由双曲线的性质利用排除法求解．由双曲线焦点在y 轴上，排除选项A 、B ，选项C 中双曲线的渐近线方程为y ＝±2x ，故选C.【答案】 C4．将离心率为e 1的双曲线C 1的实半轴长a 和虚半轴长b (a ≠b )同时增加m (m ＞0)个单位长度，得到离心率为e2的双曲线C2，则( )A ．对任意的a ，b ，e 1＞e 2B ．当a ＞b 时，e 1＞e 2；当a ＜b 时，e 1＜e 2C ．对任意的a ，b ，e 1＜e 2D ．当a ＞b 时，e 1＜e 2；当a ＜b 时，e 1＞e 2【解析】 分别表示出e 1和e 2，利用作差法比较大小． 由题意e 1＝a 2＋b 2a 2＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2；双曲线C 2的实半轴长为a ＋m ，虚半轴长为b ＋m ，离心率e 2＝a ＋m2＋b ＋m 2a ＋m 2＝1＋⎝⎛⎭⎪⎫b ＋m a ＋m 2.因为b ＋m a ＋m －b a ＝m a －ba a ＋m，且a ＞0，b ＞0，m ＞0，a ≠b ， 所以当a ＞b 时，m a －b a a ＋m ＞0，即b ＋m a ＋m ＞ba.又b ＋m a ＋m ＞0，ba＞0， 所以由不等式的性质依次可得⎝⎛⎭⎪⎫b ＋m a ＋m 2＞⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2,1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋m a ＋m 2＞1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2，所以1＋⎝⎛⎭⎪⎫b ＋m a ＋m 2＞1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2，即e 2＞e 1；同理，当a ＜b 时，m a －ba a ＋m＜0，可推得e 2＜e 1.综上，当a ＞b 时，e 1＜e 2；当a ＜b 时，e 1＞e 2.【答案】 D5．设双曲线的一个焦点为F ，虚轴的一个端点为B ，如果直线FB 与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为( )A. 2 B ． 3 C.3＋12D ．5＋12【解析】 设双曲线方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)，不妨设一个焦点为F (c,0)，虚轴端点为B (0，b )，则k FB ＝－b c .又渐近线的斜率为±b a，所以由直线垂直关系得⎝ ⎛⎭⎪⎫－b c ·b a＝－1⎝ ⎛⎭⎪⎫－ba显然不符合，即b 2＝ac ，又c 2－a 2＝b 2，所以c 2－a 2＝ac ，两边同除以a 2，整理得e2－e －1＝0，解得e ＝5＋12或e ＝1－52(舍去)． 【答案】 D 二、填空题6．过双曲线x 24－y 23＝1的左焦点F 1的直线交双曲线的左支于M ，N 两点，F 2为其右焦点，则|MF 2|＋|NF 2|－|MN |的值为________．【解析】 |MF 2|＋|NF 2|－|MN |＝|MF 2|＋|NF 2|－(|MF 1|＋|NF 1|)＝(|MF 2|－|MF 1|)＋(|NF 2|－|NF 1|)＝2a ＋2a ＝4a ＝8.【答案】 87．设F 是双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1的一个焦点．若C 上存在点P, 使线段PF 的中点恰为其虚轴的一个端点，则C 的离心率为__________．【解析】 根据题意建立a ，c 间的联系，再利用离心率公式计算．不妨设F (－c,0)，PF 的中点为(0，b )．由中点坐标公式可知P (c,2b )．又点P 在双曲线上，则c 2a 2－4b 2b 2＝1，故c 2a 2＝5，即e ＝ca＝ 5. 【答案】58．若双曲线x 2－y 2＝1右支上一点P (a ，b )到直线y ＝x 的距离为3，则a ＋b ＝________.【导学号：32550089】【解析】 由于点P (a ，b )在右支上，所以a －b >0. 又∵|a －b |2＝3，∴a －b ＝6，又∵a 2－b 2＝1，∴a ＋b ＝a 2－b 2a －b ＝16＝66.【答案】66三、解答题9．已知双曲线的方程是16x 2－9y 2＝144. (1)求双曲线的焦点坐标、离心率和渐近线方程；(2)设F 1和F 2是双曲线的左、右焦点，点P 在双曲线上，且|PF 1|·|PF 2|＝32，求∠F 1PF 2的大小．【解】 (1)由16x 2－9y 2＝144得x 29－y 216＝1，所以a ＝3，b ＝4，c ＝5，所以焦点坐标F 1(－5,0)，F 2(5,0)，离心率e ＝53，渐近线方程为y ＝±43x .(2)由双曲线的定义可知||PF 1|－|PF 2||＝6， cos ∠F 1PF 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22|PF 1||PF 2|＝|PF 1|－|PF 2|2＋2|PF 1||PF 2|－|F 1F 2|22|PF 1||PF 2|＝36＋64－10064＝0，∴∠F 1PF 2＝90°.10．已知双曲线的中心在原点，焦点F 1，F 2在坐标轴上，离心率为2，且过点P (4，－10)．(1)求双曲线方程；(2)若点M (3，m )在双曲线上，求证：MF 1→·MF 2→＝0；(3)在(2)的条件下，求△F 1MF 2的面积． 【解】 (1)∵e ＝2，∴可设双曲线方程为x 2－y 2＝λ(λ≠0)． ∵过点(4，－10)，∴16－10＝λ，即λ＝6. ∴双曲线方程为x 2－y 2＝6.(2)证明：法一：由(1)可知，双曲线中a ＝b ＝6， ∴c ＝23，∴F 1(－23，0)，F 2(23，0)， ∴kMF 1＝m 3＋23，kMF 2＝m3－23，kMF 1·kMF 2＝m 29－12＝－m 23.∵点(3，m )在双曲线上，∴9－m 2＝6，m 2＝3，故kMF 1·kMF 2＝－1，∴MF 1⊥MF 2，∴MF 1→·MF 2→＝0.法二：∵MF 1→＝(－3－23，－m )， MF 2→＝(23－3，－m )，∴MF 1→·MF 2→＝(3＋23)×(3－23)＋m 2＝－3＋m 2. ∵M 点在双曲线上，∴9－m 2＝6，即m 2－3＝0， ∴MF 1→·MF 2→＝0.(3)△F 1MF 2的底|F 1F 2|＝43，△F 1MF 2的高h ＝|m |＝3，∴S △F 1MF 2＝6.[能力提升]1．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的焦点为F 1，F 2，且C 上的点P 满足PF 1→·PF 2→＝0，|PF 1→|＝3，|PF 2→|＝4，则双曲线C 的离心率为( )A.102B ． 5 C.52D ．5 【解析】 由双曲线的定义可得2a ＝||PF 2→|－|PF 1→||＝1，所以a ＝12；因为PF 1→·PF 2→＝0，所以PF 1→⊥PF 2→，所以(2c )2＝|PF 1→|2＋|PF 2→|2＝25，解得c ＝52.所以此双曲线的离心率为e ＝c a＝5.故D 正确．【答案】 D2．已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线过点(2，3)，且双曲线的一个焦点在抛物线y 2＝47x 的准线上，则双曲线的方程为( )A.x 221－y 228＝1 B ．x 228－y 221＝1 C.x 23－y 24＝1 D ．x 24－y 23＝1【解析】 利用渐近线过已知点以及双曲线的一个焦点在抛物线的准线上，列出方程组求解．由双曲线的渐近线y ＝b a x 过点(2，3)，可得3＝b a×2.①由双曲线的焦点(－a 2＋b 2，0)在抛物线y 2＝47x 的准线x ＝－7上，可得a 2＋b 2＝7.②由①②解得a ＝2，b ＝3，所以双曲线的方程为x 24－y 23＝1.【答案】 D3．双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1，y 2b 2－x 2a 2＝1的离心率分别为e 1，e 2，则e 1＋e 2的最小值为________．【解析】 由已知得e 1＝a 2＋b 2a ，e 2＝a 2＋b 2b ，则e 1＋e 2＝a 2＋b 2a ＋a 2＋b 2b＝(a 2＋b 2)⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ≥2ab ·21ab＝2 2.【答案】 2 24．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点为F 1、F 2，点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫4105，3105在双曲线的右支上，且|PF 1|＝3|PF 2|，PF 1→·PF 2→＝0，求双曲线的标准方程．【解】∵|PF1|－|PF2|＝2a，|PF1|＝3|PF2|，∴|PF 1|＝3a ，|PF 2|＝a . 又PF 1→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－c －4105，－3105，PF 2→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫c －4105，－3105， ∵PF 1→·PF 2→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫41052－c 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫31052＝0， ∴c 2＝10.又|PF 2|＝a ，∴⎝⎛⎭⎪⎫c －41052＋⎝ ⎛⎭⎪⎫31052＝a 2.∴a 2＝4， ∴b 2＝c 2－a 2＝6.故所求双曲线的标准方程为x 24－y 26＝1.（注：可编辑下载，若有不当之处，请指正，谢谢!）。
2017-2018学年高中数学人教B版必修一学业分层测评：第
学业分层测评(十八) 指数函数(建议用时：45分钟)一、选择题1．函数y ＝(a 2－4a ＋4)a x是指数函数，则a 的值是( ) A ．4 B ．1或3 C ．3D ．1【解析】 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a >0，a ≠1，a 2－4a ＋4＝1，得a ＝3，故选C.【答案】 C2．若⎝ ⎛⎭⎪⎫122a ＋1<⎝ ⎛⎭⎪⎫123－2a，则实数a 的取值范围是( )A ．(1，＋∞) B.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞ C ．(－∞，1)D.⎝⎛⎭⎪⎫－∞，12【解析】 ∵函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x在R 上为减函数，∴2a ＋1>3－2a ，∴a >12.【答案】 B3．已知a ＝20.2，b ＝0.40.2，c ＝0.40.6，则( )【导学号：97512042】A ．a >b >cB ．a >c >bC ．c >a >bD ．b >c >a【解析】 由0.2<0.6,0.4<1，并结合指数函数的图象可知0.40.2>0.40.6，即b >c ；因为a ＝20.2>1，b ＝0.40.2<1，所以a >b .综上a >b >c .【答案】 A4．函数y ＝a |x |(a >1)的图象是( )【解析】 当x ≥0时，y ＝a |x |的图象与指数函数y ＝a x(a >1)的图象相同，当x <0时，y ＝a |x |与y ＝a －x的图象相同，由此判断B 正确．【答案】 B5．如图313是指数函数①y ＝a x，②y ＝b x，③y ＝c x，④y ＝d x的图象，则a 、b 、c 、d与1的大小关系是( )图313A ．a ＜b ＜1＜c ＜dB ．b ＜a ＜1＜d ＜cC ．1＜a ＜b ＜c ＜dD ．a ＜b ＜1＜d ＜c【解析】 法一 当指数函数底数大于1时，图象上升，且当底数越大，图象向上越靠近于y 轴；当底数大于0小于1时，图象下降，底数越小，图象向右越靠近于x 轴，得b ＜a ＜1＜d ＜c .法二 令x ＝1，由题图知c 1＞d 1＞a 1＞b 1，∴b ＜a ＜1＜d ＜c . 【答案】 B 二、填空题6．定义在R 上的奇函数，当x ≥0，f (x )＝2x＋2x ＋b ，(b 为常数)，则f (－1)＝________.【导学号：97512043】【解析】 f (x )为奇函数，f (0)＝0可得b ＝－1， ∴f (－1)＝－f (1)＝－(2＋2－1)＝－3. 【答案】 －37．函数f (x )＝3x －1的定义域为________．【解析】 由x －1≥0可得x ≥1，所以函数f (x )＝3x －1的定义域为上的值域． 【解】 (1)证明：由题意，得x ∈R ，即函数的定义域关于原点对称， f (－x )＝12－112x ＋1＝12－2x2x ＋1＝1－2xx ＋＝－＋2x＋2x＋＝－12＋12x ＋1＝－f (x )，∴函数f (x )为奇函数．∴函数f (x )在(－∞，＋∞)内是增函数． (3)∵函数f (x )在(－∞，＋∞)内是增函数， ∴函数f (x )在上也是增函数，∴f (x )min ＝f (1)＝16，f (x )max ＝f (2)＝310.∴函数f (x )在上的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤16，310.1．如图314所示，已知f (x )＝2|x －1|，该函数在区间上的值域为，记满足该条件的实数a 、b 所形成的实数对为点P (a ，b )，则由点P 构成的点集组成的图形为( )图314A ．线段ADB ．线段ABC ．线段AD 与线段CD D ．线段AB 与BC 【解析】 ∵函数f (x )＝2|x －1|的图象为开口方向朝上，以x ＝1为对称轴的曲线，如图(1)，当x ＝1时，函数取最小值1，若y ＝2|x －1|＝2，则x ＝0，或x ＝1，而函数y ＝2|x －1|在区间上的值域为，则⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0，1≤b ≤2或⎩⎪⎨⎪⎧0<a ≤1，b ＝2，则有序实数对(a ，b )在坐标平面内所对应点组成的图形为图(2)，故选C.(1) (2)【答案】 C2．函数y ＝xa x|x |(0<a <1)的图象的大致形状是( )【导学号：97512044】【解析】 由函数式可知当x >0时，y ＝a x(0<a <1)，当x <0时，y ＝－a x(0<a <1)，由函数的图象可知，函数的大致形状是D 选项．【答案】 D3．若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧a x，x >1，－3a x ＋1，x ≤1是R 上的减函数，则实数a 的取值范围是________．【解析】 ∵f (x )是R 上的减函数， ∴⎩⎪⎨⎪⎧0<a <1，2－3a <0，－3a ＋1≥a ，解得23<a ≤34.【答案】 ⎝ ⎛⎦⎥⎤23，34(1)求f (x )在(－1,1)上的解析式； (2)求函数f (x )的值域．【解】 (1)∵f (x )在(－1,1)上为奇函数，f (0)＝0，∵f (x )为奇函数，∴当x ∈(－1,0)时， ∴f (x )∈⎝⎛⎭⎪⎫－1，－12， ∴综上所述，f (x )的值域为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1∪⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－12.。
2017-2018学年高中数学北师大版选修2-3学业分层测评
学业分层测评 (建议用时：45分钟)一、选择题1．在(a －b )20的二项展开式中，二项式系数与第6项的二项式系数相同的项是( ) A ．第15项 B ．第16项 C ．第17项D ．第18项【解析】 第6项的二项式系数为C 520，又C 1520＝C 520，所以第16项符合条件． 【答案】 B2．已知⎝⎛⎭⎪⎫x 2＋1x n的展开式的二项式系数之和为32，则展开式中含x 项的系数是( )A ．5B ．20C ．10D ．40【解析】 根据题意，该二项式的展开式的二项式系数之和为32， 则有2n＝32，可得n ＝5，T r ＋1＝C r 5x2(5－r )·x －r ＝C r 5x 10－3r， 令10－3r ＝1，解得r ＝3，所以展开式中含x 项的系数是C 35＝10，故选C. 【答案】 C3．设(1＋x ＋x 2)n＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 2n x 2n，则a 0＋a 2＋a 4＋…＋a 2n 等于( )A ．2nB.3n－12C ．2n ＋1D.3n＋12【解析】 令x ＝1，得3n＝a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 2n －1＋a 2n ，① 令x ＝－1，得1＝a 0－a 1＋a 2－…－a 2n －1＋a 2n ，② ①＋②得3n＋1＝2(a 0＋a 2＋…＋a 2n )， ∴a 0＋a 2＋…＋a 2n ＝3n＋12.故选D.【答案】 D4．已知(1＋2x )8展开式的二项式系数的最大值为a ，系数的最大值为b ，则b a的值为( ) 【导学号：62690024】A.1285B.2567C.5125D.1287【解析】 a ＝C 48＝70，设b ＝C r 82r，则⎩⎪⎨⎪⎧C r 82r≥C r －182r －1，C r 82r ≥C r ＋182r ＋1，得5≤r ≤6，所以b ＝C 6826＝C 2826＝7×28，所以b a ＝1285.故选A.【答案】 A 5．在(x －2)2 010的二项展开式中，含x 的奇次幂的项之和为S ，当x ＝2时，S 等于( )A ．23 015B ．－23 014C ．23 014D ．－23 008【解析】 因为S ＝x －22 010－x ＋22 0102，当x ＝2时，S ＝－23 0152＝－23 014.【答案】 B 二、填空题 6．若(1－2x )2 016＝a 0＋a 1x ＋…＋a 2 016x2 016(x ∈R )，则a 12＋a 222＋…＋a 2 01622 016的值为________．【解析】 令x ＝0，得a 0＝1.令x ＝12，得a 0＋a 12＋a 222＋…＋a 2 01622 016＝0，所以a 12＋a 222＋…＋a 2 01622 016＝－1. 【答案】 －17．若n 是正整数，则7n＋7n －1C 1n＋7n －2C 2n＋…＋7C n －1n 除以9的余数是________．【解析】 7n＋7n －1C 1n ＋7n －2C 2n ＋…＋7C n －1n ＝(7＋1)n－C nn ＝8n－1＝(9－1)n－1＝C 0n 9n(－1)＋C 1n 9n －1(－1)1＋…＋C n n 90(－1)n－1，∴n 为偶数时，余数为0；当n 为奇数时，余数为7.【答案】 7或08．在“杨辉三角”中，每一个数都是它“肩上”两个数的和，它开头几行如图154所示．那么，在“杨辉三角”中，第________行会出现三个相邻的数，其比为3∶4∶5.第0行 1 第1行 1 1 第2行 1 2 1 第3行3 3 1第4行 1 4 6 4 1 第5行 1 5 10 10 5 1图154【解析】 根据题意，设所求的行数为n ，则存在正整数k ，使得连续三项C k －1n，C k n ，Ck ＋1n，有C k －1n C k n ＝34且C kn C k ＋1n ＝45.化简得k n －k ＋1＝34，k ＋1n －k ＝45，联立解得k ＝27，n ＝62.故第62行会出现满足条件的三个相邻的数． 【答案】 62 三、解答题9．已知(1＋2x －x 2)7＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 13x 13＋a 14x 14. (1)求a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 14； (2)求a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 13. 【解】 (1)令x ＝1，则a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 14＝27＝128.① (2)令x ＝－1，则a 0－a 1＋a 2－a 3＋…－a 13＋a 14＝(－2)7＝－128.② ①－②得2(a 1＋a 3＋…＋a 13)＝256， 所以a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 13＝128.10．已知⎝ ⎛⎭⎪⎫14＋2x n的展开式中前三项的二项式系数的和等于37.求展开式中二项式系数最大的项的系数．【解】 由C 0n ＋C 1n ＋C 2n ＝37，得1＋n ＋12n (n －1)＝37，得n ＝8.⎝ ⎛⎭⎪⎫14＋2x 8的展开式共有9项，其中T 5＝C 48⎝ ⎛⎭⎪⎫144(2x )4＝358x 4，该项的二项式系数最大，系数为358.1．若(2－x )10＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 10x 10，则(a 0＋a 2＋…＋a 10)2－(a 1＋a 3＋…＋a 9)2＝( )A ．1B ．－1C ．2D ．－2【解析】 令x ＝1，得a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 10＝(2－1)10， 令x ＝－1，得a 0－a 1＋a 2－a 3＋…＋a 10＝(2＋1)10， 故(a 0＋a 2＋…＋a 10)2－(a 1＋a 3＋…＋a 9)2＝(a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 10)(a 0－a 1＋a 2－a 3＋…＋a 10) ＝(2－1)10(2＋1)10＝1. 【答案】 A2．把通项公式为a n ＝2n －1(n ∈N ＋)的数列{a n }的各项排成如图155所示的三角形数阵．记S (m ，n )表示该数阵的第m 行中从左到右的第n 个数，则S (10,6)对应于数阵中的数是( )1 3 5 7 9 11 13 15 17 19…… 图155A ．91B ．101C ．106D ．103【解析】 设这个数阵每一行的第一个数组成数列{b n }，则b 1＝1，b n －b n －1＝2(n －1)，∴b n ＝(b n －b n －1)＋(b n －1－b n －2)＋…＋(b 2－b 1)＋b 1＝2＋1＝n 2－n ＋1，∴b 10＝102－10＋1＝91，S (10,6)＝b 10＋2×(6－1)＝101. 【答案】 B3．若(x 2＋1)(x －3)9＝a 0＋a 1(x －2)＋a 2(x －2)2＋a 3(x －2)3＋…＋a 11(x －2)11，则a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 11的值为________．【解析】 令x ＝2，得－5＝a 0，令x ＝3，得0＝a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 11，所以a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 11＝－a 0＝5.【答案】 54．已知f (x )＝(1＋x )m ＋(1＋2x )n(m ，n ∈N ＋)的展开式中x 的系数为11. (1)求x 2的系数取最小值时n 的值；(2)当x 2的系数取得最小值时，求f (x )展开式中x 的奇次项的系数之和.【导学号：62690025】【解】 (1)由已知C 1m ＋2C 1n ＝11，所以m ＋2n ＝11，x 2的系数为C 2m ＋22C 2n ＝m m －2＋2n (n －1)＝m 2－m2＋(11－m )·⎝⎛⎭⎪⎫11－m 2－1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫m －2142＋35116. 因为m ∈N ＋，所以m ＝5时，x 2的系数取得最小值22，此时n ＝3. (2)由(1)知，当x 2的系数取得最小值时，m ＝5，n ＝3， 所以f (x )＝(1＋x )5＋(1＋2x )3，设这时f (x )的展开式为f (x )＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋a 3x 3＋a 4x 4＋a 5x 5， 令x ＝1，a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＝25＋33， 令x ＝－1，a 0－a 1＋a 2－a 3＋a 4－a 5＝－1，两式相减得2(a1＋a3＋a5)＝60，故展开式中x的奇次项的系数之和为30.。
2017-2018学年高中数学北师大版 必修二学业分层测评：
学业分层测评(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1.用与球心距离为1的平面去截球，所得截面面积为π，则球的体积为()A.323π B.8π3C.82πD.82 3π【解析】设球的半径为R，截面的半径为r.∵πr2＝π，∴r＝1，∴R＝2，∴V＝43πR3＝4π3(2)3＝823π.【答案】 D2.64个半径都为a4的球，记它们的体积之和为V甲，表面积之和为S甲；一个半径为a的球，记其体积为V乙，表面积为S乙，则()A.V甲>V乙且S甲>S乙B.V甲<V乙且S甲<S乙C.V甲＝V乙且S甲>S乙D.V甲＝V乙且S甲＝S乙【解析】64个半径都为a4的球，它们的体积之和为V甲＝64×43π·⎝⎛⎭⎪⎫a43＝43πa3，表面积之和为S甲＝64×4π⎝⎛⎭⎪⎫a42＝16πa2；一个半径为a的球，其体积为V乙＝43πa3，表面积为S乙＝4πa2，所以V甲＝V乙且S甲>S乙，故选C.【答案】 C3.一根细金属丝下端挂着一个半径为1 cm的金属球，将它浸没在底面半径为2 cm的圆柱形容器内的水中，现将金属丝向上提升，当金属球被拉出水面时，容器内的水面下降了()A.43 cmB.316 cm C.34 cmD.13 cm【解析】 设容器内的水面下降了h cm ，则球的体积等于水下降的体积，即43π·13＝π·22·h ，解得h ＝13.【答案】 D4.一个球与一个正三棱柱的三个侧面和两个底面都相切，已知这个球的体积是32π3，那么该三棱柱的体积是( )【导学号：39292057】A.96 3B.16 3C.24 3D.48 3【解析】用平行于棱柱底面的平面去截棱柱和球，截面如图所示：设球的半径为R ，则4π3R 3＝32π3，所以R ＝2. 所以正三棱柱底面边长a ＝43，其高h ＝2R ＝4，V ＝34×(43)2×4＝48 3. 【答案】 D5.若与球相切的圆台的上、下底面半径分别为r ，R ，则球的表面积为( )【导学号：39292058】A.4π(r ＋R )2B.4πr 2R 2C.4πrRD.π(R ＋r )2【解析】 法一：如图，设球的半径为r 1，则在Rt △CDE中，DE ＝2r 1，CE ＝R －r ，DC ＝R ＋r .由勾股定理得4r 21＝(R ＋r )2－(R －r )2，解得r 1＝Rr .故球的表面积为S 球＝4πr 21＝4πRr .法二：如图，设球心为O ，球的半径为r 1，连接OA ，OB ，则在Rt △AOB 中，OF 是斜边AB 上的高.由相似三角形的性质得OF 2＝BF ·AF ＝Rr ，即r 21＝Rr ，故r 1＝Rr ，故球的表面积为S 球＝4πRr .【答案】 C 二、填空题6.正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为________.【解析】 如图所示，设球半径为R ，底面中心为O ′且球心为O ，∵正四棱锥P -ABCD 中AB ＝2，∴AO ′＝ 2.∵PO ′＝4， ∴在Rt △AOO ′中，AO 2＝AO ′2＋OO ′2，∴R 2＝(2)2＋(4－R )2，解得R ＝94，∴该球的表面积为4πR 2＝4π×⎝ ⎛⎭⎪⎫942＝81π4.【答案】81π47.如图1-7-32是一个几何体的三视图，则该几何体的表面积为________.图1-7-32【解析】 根据三视图可知，该几何体是一个半球与一个圆锥组合而成，所以其表面积为S ＝S 半球＋S 侧＝12×4π×12＋π×1×5＝(2＋5)π.【答案】 (2＋5)π8.圆柱形容器内部盛有高度为8 cm 的水，若放入三个相同的球(球的半径与圆柱的底面半径相同)后，水恰好淹没最上面的球(如图1-7-33所示)，则球的半径是________cm.图1-7-33【解析】 设球的半径为r ，放入3个球后，圆柱液面高度变为6r .则有 πr 2·6r ＝8πr 2＋3×43πr 3，即2r ＝8，∴r ＝4. 【答案】 4 三、解答题9.设正方体的表面积为24，求其内切球的体积及外接球的体积.【导学号：39292059】【解】 设正方体的棱长为a ，则6a 2＝24，∴a ＝2， 正方体内切球的直径等于其棱长，∴2r ＝2，r ＝1， 故内切球的体积V 内＝43πr 3＝43π. 外接球的直径等于正方体的对角线长， ∴2R ＝3a ，∴R ＝3，故外接球的体积V 外＝43πR 3＝43π×(3)3＝43π.10.如图1-7-34，半径为R 的半圆内的阴影部分以直径AB 所在直线为轴，旋转一周得到一几何体，求该几何体的体积.(其中∠BAC ＝30°)图1-7-34【解】 过C 作CO 1⊥AB 于O 1，在半圆中可得∠BCA ＝90°，∠BAC ＝30°，AB ＝2R ，∴AC ＝3R ，BC ＝R ，CO 1＝32R . AO 1＝AC ·sin 60°＝32R ，BO 1＝AB －AO 1＝R 2，∴V 球＝43πR 3. V 圆锥AO 1＝13·π·⎝ ⎛⎭⎪⎫32R 2·32R ＝38πR 3，V 圆锥BO 1＝13·π·⎝ ⎛⎭⎪⎫32R 2·12R ＝18πR 3， V 几何体＝V 球－V 圆锥AO 1－V 圆锥BO 1 ＝43πR 3－38πR 3－18πR 3＝56πR 3.[能力提升]1.如图1-7-35，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8 cm ，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6 cm ，如果不计容器厚度，则球的体积为( )图1-7-35A.500π3 cm 3 B.866π3 cm 3 C.1 372π3cm 3 D.2 048π3cm 3【解析】 如图，作出球的一个截面，则MC ＝8－6＝2(cm)，BM ＝12AB ＝12×8＝4(cm).设球的半径为R cm ，则R 2＝OM 2＋MB 2＝(R －2)2＋42，∴R ＝5，∴V 球＝43π×53＝5003π(cm 3). 【答案】 A2.已知A ，B 是球O 的球面上两点，∠AOB ＝90，C 为该球面上的动点，若三棱锥O -ABC 体积的最大值为36，则球O 的表面积为( )A.36πB.64πC.144πD.256π【解析】 如图所示，当点C 位于垂直于面AOB 的直径端点时，三棱锥O -ABC 的体积最大，设球O 的半径为R ，此时V O -ABC ＝V C -AOB＝13×12R 2×R ＝16R 3＝36，故R ＝6，则球O 的表面积为S ＝4πR 2＝144π，故选C.【答案】 C3.一个四面体的所有棱长都为2，四个顶点都在同一球面上，则此球的表面积为________.【解析】 如图，把四面体ABCD 补成正方体，则正方体的棱长为1，正方体的体对角线长等于外接球的直径，球的直径2R ＝3，球的表面积S ＝4πR 2＝3π.【答案】 3π4.已知正四棱锥的底面边长为a ，侧棱长为2a ，求它的外接球的体积. 【解】 如图，作PE 垂直底面ABCD 于E ，则E 在AC 上. 设外接球的半径为R ，球心为O ， 连接OA ，OC ，则OA ＝OC ＝OP ，∴O 为△P AC 的外心，即△P AC 的外接圆半径就是球的半径. ∵AB ＝BC ＝a ，∴AC ＝2a .∵P A ＝PC ＝AC ＝2a ，∴△P AC 为正三角形， ∴R ＝AE cos ∠OAE ＝2a2cos 30°＝63a ，∴V 球＝43πR 3＝8627πa 3.。
2017_2018学年高中数学学业分层测评8含解析北师大版选修2_120171003219
学业分层测评(八)(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．给出下列命题：①空间任意三个不共面的向量都可以作为一个基底；②已知向量a∥b，则a、b与任何向量都不能构成空间的一个基底；→→→③A、B、M、N是空间四点，若BA、BM、BN不能构成空间的一个基底，那么A、B、M、N共面；④已知向量组{a，b，c}是空间的一个基底，若m＝a＋c，则{a，b，m}也是空间的一个基底．其中正确命题的个数为()A．1B．2C．3D．4【解析】空间中只要三个向量不共面就可以作为一个基底，故①正确；②中，a∥b，→→→则a，b与其他任一向量共面，不能作为基底；③中，向量BA，BM，BN共面，则A、B、M、N共面；④中，a与m，b不共面，可作为空间一个基底．故①②③④均正确．【答案】 D2．若a＝e1＋e2＋e3，b＝e1＋e2－e3，c＝e1－e2＋e3，d＝e1＋2e2＋3e3，d＝αa＋βb＋γc，则α、β、γ分别为()5 1 5 1A. ，－1，－B．，1，2 2 2 25 1 5 1C．－，1，－D．，1，－2 2 2 2【解析】d＝αa＋βb＋γc＝α(e1＋e2＋e3)＋β(e1＋e2－e3)＋γ(e1－e2＋e3)＝(α＋β＋γ)e1＋(α＋β－γ)e2＋(α－β＋γ)e3＝e1＋2e2＋3e3.由向量基底表示唯一性得Error!∴Error!【答案】 A3．已知i，j，k为标准正交基底，a＝i＋2j＋3k，则a在i方向上的投影为()1A．1 B．－1C. 14 D．－14【解析】a·i＝|a||i|cos〈a，i〉，a·i∴|a|cos〈a，i〉＝＝(i＋2j＋3k)·i＝1.|i|【答案】 A→→→4．如图239，在三棱柱ABCA1B1C1中，D是面BB1C1C的中心，且AA1＝a，AB＝b，AC＝→c，则A1D＝()图2391 1 1A. a＋b＋c2 2 21 1 1B. a－b＋c2 2 21 1 1C. a＋b－c2 2 21 1 1D．－a＋b＋c2 2 2→→→→ 1 →→ 【解析】A1D＝A1C1＋C1D＝AC＋(C1C＋C1B1)21 →→→ ＝c＋(－AA1＋CA＋AB)21 1 1＝c－a＋(－c)＋b2 2 21 1 1＝－a＋b＋c.2 2 2【答案】 D5．已知点A在基底{a，b，c}下的坐标为{8,6,4}，其中a＝i＋j，b＝j＋k，c＝k＋i，则点A在基底{i，j，k}下的坐标为()A．(12,14,10) B．(10,12,14)C．(14,10,12) D．(4,2,3)【解析】∵点A在基底{a，b，c}下坐标为(8,6,4)，2→∴OA＝8a＋6b＋4c＝8(i＋j)＋6(j＋k)＋4(k＋i)＝12i＋14j＋10k，∴点A在基底{i，j，k}下的坐标为(12,14,10)．【答案】 A二、填空题6．e1，e2，e3是空间一组基底，a＝e1－2e2＋e3，b＝－2e1＋4e2－2e3，则a与b的关系为________．【导学号：32550030】【解析】∵b＝－2a，∴a∥b.【答案】a∥b7．已知点A在基底{a，b，c}下的坐标为(2,1,3)，其中a＝4i＋2j，b＝2j＋3k，c＝3k－j，则点A在基底{i，j，k}下的坐标为________．【解析】由题意知点A对应向量为2a＋b＋3c＝2(4i＋2j)＋(2j＋3k)＋3(3k－j)＝8i＋3j＋12k，∴点A在基底{i，j，k}下的坐标为(8,3,12)．【答案】(8,3,12)8．已知长方体ABCDA′B′C′D′，点E，F分别是上底面A′B′C′D′和面CC′D′D→→→→的中心，且AE＝xAB＋yBC＋zCC′，则2x－4y＋6z＝________.→→→→ 1 →→ 【解析】∵AE＝AA′＋A′E＝AA′＋(A′B′＋A′D′)21→1→→＝AB＋BC＋CC′，2 2→→→→ 又AE＝xAB＋yBC＋zCC′，1 1∴x＝，y＝，z＝1.2 2∴2x－4y＋6z＝5.【答案】 5三、解答题9．已知在正四棱锥PABCD中，O为底面中心，底面边长和高都是2，E，F分别是侧棱PA，PB的中点，如图2310，以O为坐标原点，分别以射线DA，DC，OP的指向为x轴，y轴，z轴的正方向，建立空间直角坐标系，写出点A，B，C，D，P，E，F的坐标．3图2310【解】设i，j，k分别是x轴，y轴，z轴的正方向方向相同的单位向量．→(1)因为点B在坐标平面xOy内，且底面正方形的中心为O，边长为2，所以OB＝i＋j，→所以向量OB的坐标为(1,1,0)，即点B的坐标为(1,1,0)．同理可得A(1，－1,0)，C(－1,1,0)，D(－1，－1,0)．→ 又点P在z轴上，所以OP＝2k.→所以向量OP的坐标为(0,0,2)，即点P的坐标为(0,0,2)．→ 1 →→ 1 1 1因为F为侧棱PB的中点，所以OF＝(OB＋OP)＝(i＋j＋2k)＝i＋j＋k，所以点F的坐2 2 2 21 1 标为(，1).，2 21 1 同理点(，1).E的坐标为，－2 2故所求各点的坐标分别为A(1，－1,0)，B(1,1,0)，C(－1，1,0)，D(－1，－1,0)，1 1 1 1P(0,0,2)，E(，1)，F(.，－，1)，2 2 2 210．如图2311，在空间四边形OABC中，|OA|＝8，|AB|＝6，|AC|＝4，|BC|＝5，∠OAC→→＝45°，∠OAB＝60°，求OA在BC上的投影．【导学号：32550031】图2311→→→【解】∵BC＝AC－AB，→→→→→→∴OA·BC＝OA·AC－OA·AB4→→→→→→→→ ＝|OA||AC|cos 〈OA，AC〉－|OA||AB|cos 〈OA，AB〉＝8×4×cos135°－8×6×cos120°＝24－16 2，→→→→→24－16 2∴OA在BC上的投影为|OA|·cos〈OA，BC〉＝.5[能力提升]→→1．设OABC是四面体，G1是△ABC的重心，G是OG1上的一点，且OG＝3GG1，若OG＝xOA＋y→→OB＋zOC，则(x，y，z)为()1 1 1 3 3 3A.(B．，，4)4)(，，4 4 4 41 1 12 2 2C.(D．，，，，3)(3)3 3 3 33→ 3 →→【解析】因为OG＝OG1＝(OA＋AG1)4 43→ 3 2 1→→＝OA＋×3[2(AB＋AC)]4 43→ 1 →→→→＝＋4[OBOA－OA＋OC－OA]41→1→1→＝OA＋OB＋OC，4 4 4→→→→ 而OG＝xOA＋yOB＋zOC，1 1 1所以x＝，y＝，z＝.4 4 4【答案】 A2．已知向量{a，b，c}是空间的一基底，向量{a＋b，a－b，c}是空间的另一基底，一向量p在基底{a，b，c}下的坐标为(1,2,3)，则向量p在基底{a＋b，a－b，c}下的坐标为()1 3 3 1A.(B．，，3)(，3)，－2 2 2 21 3 1 3C.(3，－2)D．(－，3)，，2 2 2【解析】设向量p在基底{a＋b，a－b，c}下的坐标为(x，y，z)，则a＋2b＋3c＝x(a＋b) ＋y(a－b)＋z c＝(x＋y)a＋(x－y)b＋z c∴Error!，即Error!.【答案】 B5→→1→1→3．已知点M在平面ABC内，并且对空间任一点O，OM＝xOA＋OB＋OC，则x＝________.3 21 1 1【解析】由于M∈平面ABC，所以x＋＋＝1，解得x＝.3 2 61【答案】6→→→4．如图2312所示，在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，设AA1＝a，AB＝b，AD＝c，M，N，P 分别是AA1，BC，C1D1的中点，试用a，b，c表示以下各向量：图2312→→→→(1)AP；(2)A1N；(3)MP＋NC1.【解】(1)∵P是C1D1的中点，→→→→→ 1 →1→ 1∴AP＝AA1＋A1D1＋D1P＝a＋AD＋D1C1＝a＋c＋AB＝a＋c＋b.2 2 2(2)∵N是BC的中点，→→→→1→1→ 1∴A1N＝A1A＋AB＋BN＝－a＋b＋BC＝－a＋b＋AD＝－a＋b＋c.2 2 2(3)∵M是AA1的中点，→→→1→→ 1 1 1 1∴MP＝＋＝＋＝－a＋b)＝a＋b＋c，MA 2 (a＋c＋AP A1A AP2 2 2 2→→→1→→1→→ 1又NC1＝NC＋CC1＝BC＋AA1＝AD＋AA1＝c＋a，2 2 2→→ 1 1 1 3 1 3( b＋c) (a＋c)∴MP＋NC1＝a＋＋＝a＋b＋c.2 2 2 2 2 26。
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学业分层测评(十八)(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．若点P (2,0)到双曲线x 2a 2－y 2b2＝1的一条渐近线的距离为2，则双曲线的离心率为( )A. 2 B ． 3 C ．2 2D ．2 3【解析】 双曲线的渐近线方程为bx ±ay ＝0，点P (2,0)到渐近线的距离为|2b |a 2＋b 2＝2，所以a 2＝b 2，所以双曲线的离心率为2，故选A. 【答案】 A2．过双曲线x 2－y 23＝1的右焦点且与x 轴垂直的直线，交该双曲线的两条渐近线于A ，B 两点，则|AB |＝( )A.433B ．2 3C ．6D ．4 3【解析】 设A ，B 两点的坐标分别为(x ，y A )，(x ，y B )，将x ＝c ＝2代入渐近线方程y ＝±3x 得到y A ，y B ，进而求|AB |.由题意知，双曲线x 2－y 23＝1的渐近线方程为y ＝±3x ，将x ＝c ＝2代入得y ＝±23，即A ，B 两点的坐标分别为(2,23)，(2，－23)，所以|AB |＝4 3.【答案】 D3．下列双曲线中，焦点在y 轴上且渐近线方程为y ＝±2x 的是( ) A ．x 2－y 24＝1B ．x 24－y 2＝1C.y 24－x 2＝1 D ．y 2－x 24＝1【解析】 由双曲线的性质利用排除法求解．由双曲线焦点在y 轴上，排除选项A 、B ，选项C 中双曲线的渐近线方程为y ＝±2x ，故选C.【答案】 C4．将离心率为e 1的双曲线C 1的实半轴长a 和虚半轴长b (a ≠b )同时增加m (m ＞0)个单位长度，得到离心率为e 2的双曲线C 2，则( )A ．对任意的a ，b ，e 1＞e 2B ．当a ＞b 时，e 1＞e 2；当a ＜b 时，e 1＜e 2C ．对任意的a ，b ，e 1＜e 2D ．当a ＞b 时，e 1＜e 2；当a ＜b 时，e 1＞e 2【解析】 分别表示出e 1和e 2，利用作差法比较大小． 由题意e 1＝a 2＋b 2a 2＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2；双曲线C 2的实半轴长为a ＋m ，虚半轴长为b ＋m ， 离心率e 2＝a ＋m2＋b ＋m 2a ＋m 2＝1＋⎝⎛⎭⎪⎫b ＋m a ＋m 2.因为b ＋m a ＋m －b a ＝m a －ba a ＋m，且a ＞0，b ＞0，m ＞0，a ≠b ， 所以当a ＞b 时，m a －b a a ＋m ＞0，即b ＋m a ＋m ＞ba.又b ＋m a ＋m ＞0，ba＞0， 所以由不等式的性质依次可得⎝⎛⎭⎪⎫b ＋m a ＋m 2＞⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2,1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋m a ＋m 2＞1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2，所以1＋⎝⎛⎭⎪⎫b ＋m a ＋m 2＞1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a2，即e 2＞e 1；同理，当a ＜b 时，m a －ba a ＋m＜0，可推得e 2＜e 1.综上，当a ＞b 时，e 1＜e 2；当a ＜b 时，e 1＞e 2.【答案】 D5．设双曲线的一个焦点为F ，虚轴的一个端点为B ，如果直线FB 与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为( )A. 2 B ． 3 C.3＋12D ．5＋12【解析】 设双曲线方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)，不妨设一个焦点为F (c,0)，虚轴端点为B (0，b )，则k FB ＝－b c .又渐近线的斜率为±b a，所以由直线垂直关系得⎝ ⎛⎭⎪⎫－b c ·b a＝－1⎝ ⎛⎭⎪⎫－ba显然不符合，即b 2＝ac ，又c 2－a 2＝b 2，所以c 2－a 2＝ac ，两边同除以a 2，整理得e2－e －1＝0，解得e ＝5＋12或e ＝1－52(舍去)． 【答案】 D 二、填空题6．过双曲线x 24－y 23＝1的左焦点F 1的直线交双曲线的左支于M ，N 两点，F 2为其右焦点，则|MF 2|＋|NF 2|－|MN |的值为________．【解析】 |MF 2|＋|NF 2|－|MN |＝|MF 2|＋|NF 2|－(|MF 1|＋|NF 1|)＝(|MF 2|－|MF 1|)＋(|NF 2|－|NF 1|)＝2a ＋2a ＝4a ＝8.【答案】 87．设F 是双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1的一个焦点．若C 上存在点P, 使线段PF 的中点恰为其虚轴的一个端点，则C 的离心率为__________．【解析】 根据题意建立a ，c 间的联系，再利用离心率公式计算．不妨设F (－c,0)，PF 的中点为(0，b )．由中点坐标公式可知P (c,2b )．又点P 在双曲线上，则c 2a 2－4b 2b 2＝1，故c 2a 2＝5，即e ＝ca＝ 5. 【答案】58．若双曲线x 2－y 2＝1右支上一点P (a ，b )到直线y ＝x 的距离为3，则a ＋b ＝________.【导学号：32550089】【解析】 由于点P (a ，b )在右支上，所以a －b >0. 又∵|a －b |2＝3，∴a －b ＝6，又∵a 2－b 2＝1，∴a ＋b ＝a 2－b 2a －b ＝16＝66.【答案】66三、解答题9．已知双曲线的方程是16x 2－9y 2＝144. (1)求双曲线的焦点坐标、离心率和渐近线方程；(2)设F 1和F 2是双曲线的左、右焦点，点P 在双曲线上，且|PF 1|·|PF 2|＝32，求∠F 1PF 2的大小．【解】 (1)由16x 2－9y 2＝144得x 29－y 216＝1，所以a ＝3，b ＝4，c ＝5，所以焦点坐标F 1(－5,0)，F 2(5,0)，离心率e ＝53，渐近线方程为y ＝±43x .(2)由双曲线的定义可知||PF 1|－|PF 2||＝6，cos ∠F 1PF 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22|PF 1||PF 2|＝PF 1|－|PF 22＋2|PF 1||PF 2|－|F 1F 2|22|PF 1||PF 2|＝36＋64－10064＝0，∴∠F 1PF 2＝90°.10．已知双曲线的中心在原点，焦点F 1，F 2在坐标轴上，离心率为2，且过点P (4，－10)．(1)求双曲线方程；(2)若点M (3，m )在双曲线上，求证：MF 1→·MF 2→＝0；(3)在(2)的条件下，求△F 1MF 2的面积． 【解】 (1)∵e ＝2，∴可设双曲线方程为x 2－y 2＝λ(λ≠0)． ∵过点(4，－10)，∴16－10＝λ，即λ＝6. ∴双曲线方程为x 2－y 2＝6.(2)证明：法一：由(1)可知，双曲线中a ＝b ＝6， ∴c ＝23，∴F 1(－23，0)，F 2(23，0)， ∴kMF 1＝m 3＋23，kMF 2＝m3－23，kMF 1·kMF 2＝m 29－12＝－m 23.∵点(3，m )在双曲线上，∴9－m 2＝6，m 2＝3，故kMF 1·kMF 2＝－1，∴MF 1⊥MF 2，∴MF 1→·MF 2→＝0.法二：∵MF 1→＝(－3－23，－m )， MF 2→＝(23－3，－m )，∴MF 1→·MF 2→＝(3＋23)×(3－23)＋m 2＝－3＋m 2. ∵M 点在双曲线上，∴9－m 2＝6，即m 2－3＝0， ∴MF 1→·MF 2→＝0.(3)△F 1MF 2的底|F 1F 2|＝43，△F 1MF 2的高h ＝|m |＝3，∴S △F 1MF 2＝6.[能力提升]1．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的焦点为F 1，F 2，且C 上的点P 满足PF 1→·PF 2→＝0，|PF 1→|＝3，|PF 2→|＝4，则双曲线C 的离心率为( )A.102B ． 5 C.52D ．5 【解析】 由双曲线的定义可得2a ＝||PF 2→|－|PF 1→||＝1，所以a ＝12；因为PF 1→·PF 2→＝0，所以PF 1→⊥PF 2→，所以(2c )2＝|PF 1→|2＋|PF 2→|2＝25，解得c ＝52.所以此双曲线的离心率为e ＝c a＝5.故D 正确．【答案】 D2．已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线过点(2，3)，且双曲线的一个焦点在抛物线y 2＝47x 的准线上，则双曲线的方程为( )A.x 221－y 228＝1 B ．x 228－y 221＝1 C.x 23－y 24＝1 D ．x 24－y 23＝1【解析】 利用渐近线过已知点以及双曲线的一个焦点在抛物线的准线上，列出方程组求解．由双曲线的渐近线y ＝b a x 过点(2，3)，可得3＝b a×2.①由双曲线的焦点(－a 2＋b 2，0)在抛物线y 2＝47x 的准线x ＝－7上，可得a 2＋b 2＝7.②由①②解得a ＝2，b ＝3，所以双曲线的方程为x 24－y 23＝1.【答案】 D3．双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1，y 2b 2－x 2a 2＝1的离心率分别为e 1，e 2，则e 1＋e 2的最小值为________．【解析】 由已知得e 1＝a 2＋b 2a ，e 2＝a 2＋b 2b ，则e 1＋e 2＝a 2＋b 2a ＋a 2＋b 2b＝(a 2＋b 2)⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ≥2ab ·21ab＝2 2.【答案】 2 24．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点为F 1、F 2，点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫4105，3105在双曲线的右支上，且|PF 1|＝3|PF 2|，PF 1→·PF 2→＝0，求双曲线的标准方程．【解】 ∵|PF 1|－|PF 2|＝2a ，|PF 1|＝3|PF 2|， ∴|PF 1|＝3a ，|PF 2|＝a . 又PF 1→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－c －4105，－3105，PF 2→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫c －4105，－3105， ∵PF 1→·PF 2→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫41052－c 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫31052＝0， ∴c 2＝10.又|PF 2|＝a ，∴⎝⎛⎭⎪⎫c －41052＋⎝ ⎛⎭⎪⎫31052＝a 2.∴a 2＝4， ∴b 2＝c 2－a 2＝6.故所求双曲线的标准方程为x 24－y 26＝1.。