有序Banach空间中二阶时滞微分方程正周期解的存在性

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有序Banach空间中二阶时滞微分方程正周期解的存在性

有序Banach空间中二阶时滞微分方程正周期解的存在性吕娜【摘要】Existence of positiveω-periodic solution was studied for second order differential equation with delays in ordered Banach space E-u″(t)+a(t)u(t) =f(t,u(t-τ1),…,u(t-τn)),t∈R, where a∈C( R) was a positive ω-periodic function,f:R × Kn→K was a continuous function, and f( t,v) wasω-periodic in t, v=(ν1,ν2,…,νn)∈Kn, K was the positive cone,τi≥0,i=1,2,…n were constants. Un-der more general conditions of noncompactness measure and semi-ordering, the existence results of posi-tive ω-periodic solutions were obtained by applying the fixed point fixed theory of condensing mapping.%研究了有序Banach空间E中二阶多时滞微分方程-u″( t)+a( t) u( t)=f( t,u( t-τ1),…,u( t-τn )),t∈R,正ω-周期解的存在性,其中：a∈C( R)是正的ω-周期函数；f：R × Kn→K 连续且 f( t,v)关于 t 为ω-周期函数；v=(ν1,ν2,…,νn)∈Kn；K 为正元锥；τi≥0,i=1,2,…n为常数。

在较一般的非紧性测度条件与有序条件下,应用凝聚映射的不动点指数理论,获得了该问题正ω-周期解的存在性结果。

Banach空间二阶非线性常微分方程周期边值问题的解

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Ｂｎｃ间．令ｃ，］｛：ａａｈ空ＵＥ一ＵＪ— ＥＩ续｝Ｕ连，则ｃｊ，］［Ｅ在范数ＩＩ一ｍａＩ（）ｌｘｌ￡ｌｕ下也是Ｂｎｃａａｈ空间．令ｃ［，一｛：。－Ｅ］ “ Ｊ— 厂
第４６卷２１００年第５期
Ｖ０１４２０Ｎｏ．５．６０１
西
北师范大学
学
报自然科学版）（
１３
ＪｕｎｌｏｒｈｓｏｒａｆＮｏｔｗｅｔＮｏｒａｎｉｅｓｔ（ｔｒｌｃｅｃ）ｍｌＵｖｒｉｙＮａｕａｉｎｅＳ
ｄｉｆｒｎｔａｑａｉｎｗｉｈｄｉｃｎｔｎｏｅｍｓｉｎｃｐａｅｒｂｔｉｄｆｅｅｉｌｅｕｔｏｔｓｏｉｕｓｔｒｎＢａａｈｓｃｓａｅｏａｎｅ．
ｒｓｌｉ；ｎｏｏｔｒｔｖｅｈｎｑＫｅｒｓ：ｉｃｅｓｎｅａｏｙｗｏｄｎｒａｉｇｏｐｒｔｒ；ｆｘｄｐｎｔｕ —ｏｗｅｏｕｔｏｎｓｍｏｔｎｅｉｅａｉｅｔｃｉｕｅｉｅｏｉ；ｐｌ
近年来，非线性常微分方程周期边值问题解的
一
存在性、唯一性和多解性一直是微分方程领域非常引人关注的问题Ｌ］１，但现有文献大都要求非线性
项ｆｔ连续．本文在Ｂｎｃ（，）ａａｈ空间中，就非线性项ｆ（，在较弱的连续性条件下，利用上下解方ｔ）法与增算子不动点定理，讨论二阶非线性常微分方程周期边值问题ｆ一（）一ｆｔ，ｔＪ一［，丁， … ￡（，） ∈ Ｏ２ｃ］

Banach空间中二阶脉冲微分方程多个正解的存在性

Banach空间中二阶脉冲微分方程多个正解的存在性陈旭;仲秋艳【摘要】By using the fixed point index theory of completely continuous operators,we investigate the existence of multiple positive solutions for the second order boundary value problem with integral boundary conditions of nonlinear impulsive differential equations on an infinite interval in a Banach space.%利用全连续算子的不动点指数理论,研究了Banach空间中无穷区间上带有积分边值条件的二阶非线性脉冲微分方程多个解的存在性.【期刊名称】《聊城大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2011(024)004【总页数】9页(P55-63)【关键词】脉冲微分方程;正解;全连续算子;非紧性测度【作者】陈旭;仲秋艳【作者单位】聊城大学数学科学学院,山东聊城252059;聊城大学数学科学学院,山东聊城252059【正文语种】中文【中图分类】O175.81 IntroductionThe theory of impulsive differential equations describes processes whichexperience a sudden change of their state at certain moments.Processes with such a character arise naturally and often，especially in phenomena studied in physics，chemical technology，population dynamics，economics and biotechnology.The theory of impulsive differential equations has been emerging as an important of investigation in recent years［1－3］.Very recently，by using the fixed point index theory of completely continuous operators，Guo［6］obtained the existence of multiple positive solutions for a class of nth－order nonlinear impulsive differential equations in a Banach space.Motivated by Guo＇s work，in this paper，we shall use the cone theory and the fixed point index theory to investigate the multiple positive solutions for a class of second－order nonlinear impulsive differential equations in a Banach space.Let Ebe a real Banach space and Pbe a cone inwhich defined a partial ordering in Eby x≤yif and only if y－x∈p.Pis said to be normal if there exists a positive constant Nsuchthatθ≤x≤yimplies‖x‖≤N‖y‖.whereθdenotes the zero element of E，and the smallest Nis called the normal constant of P（it is clear，N≥1）.Pis called solid if its interior Pis nonempty.If x≤yand x≠y，we write x＜y.If Pis solid and y－x∈p。

二阶微分方程周期边值问题解的存在性

)]
∀
sin 2 M 1- cos 2 M
cosM t+ sinM t #
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第 2期
周媛媛: 二阶微分方程周期边值问题解的存在性
1 61
!m
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) ],
则当 m !( 0 ) > m !( 2 )时, 由 - m ∃M 2m + !m 即得
第 20卷第 2期 2010年 3月
黑龙江科技学院学报 Journa l o fH e ilong jiang Institute o f Science & T echnology
文章编号: 1671- 0118( 2010) 01- 0159- 05
V o.l 20 N o. 2 M ar. 2010
0, !( 0) ∃ !( 2 ),
!=
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M M-
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!( 0) ],
!( 0) < !( 2 ),
0, !( 0) # !( 2 ),
!=
M e2 M -
[ 1
!( 0) -
!( 2 ) ],
!( 0) > !( 2 ),
此时称 ( t )、 ( t )为周期边值问题 ( 1 )、( 2) 的下上解。
K ey w ords: per iodic boundary va lue problem s; upper and low er solutions; upper and low er so lu tions in reversed order

有序Banach空间常微分方程的正周期解

Ｍｕ１：ｌ）（），）正周期解的存在一（睫结果关键词：正规锥；凝聚映射；正解；周期解；存在性中圈分类号：０１５１５７文献标识码：Ａ文章编号：１０—８Ｘ（０２０．０１５１１８２０）１０— ３９００
以下设Ｅ为有序Ｂｎｃａａｈ空间，Ｐ为其正元锥，Ｐ＝｛ ∈Ｅ：）０ ∈ＰｊＰ的对偶锥（１，＞为 Ⅱ ＝ｎｊｌ成的ＢｎｃｍＩ）ｌ（构ａａｈ空间．记，０１ｃ（，），上的Ｅ值连续函数按范数＝［，，，Ｅ为为了研究方程（，先考虑Ｅ中的线性周期２）
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第３卷２０８０２年第１期
Ｖ【３２ＯＮｏ１ｏ＿８Ｏ２
西北师范大学学报（自然科学敝）
ＪｕｌｆＮｒｗｓＮｎｎｖｒｔｆ日Ｉ丑ｃｎｅｏｍａｏｔｅｔｏｍｌＵｉｅｓｙＮｔｌｉｃ）ｏｈｉ Ⅱ Ｓｅ
边值问题
周期裤的存在性问题，其中Ｍ＞０为常数．显然
该问题等价于Ｅ中的周期边值问题
『） Ⅱ（＋慨（），（），０ ≤ ｆ＝（，） ≤ｆ， …
１（） Ⅱ叫 “ｏ：（）
．
２
因为当问题（１）一周期解限制在［，：的０上时即为问题（的解，而以为周期的问题（的解延２）２）拓到Ｒ上即为问题（１）的解．关于问题（２），文献［１～［已作过研究，使用的都是上下解的单３］调迭代方法，要求ｆ，）于Ｉ序增．本文不使（ “关ｔ用序增性条件，借助于对线性方程周期解算子范数的精确估计与凝聚锥映射的一个Ｋａｎｓｌｉ型不ｒｏｅｋｓｓｉ动定理，获得了方程（的正解，亦即方程２）（的正一周期解．本文的结果对＝Ｒ１）月的情形，即普通常微分方程组的情形也是新的．

分数阶微分方程两点边值问题正解的存在性

分数阶微分方程两点边值问题正解的存在性如何理解分数阶微分方程两点边值问题正解的存在性正解，正解是指题目的正确答案或者正确的解决方案，通常用于测验、考试等场景。

正解边值问题，最小边值问题（Minimum Cut Problem）指在一个连通的加权图G（V，E）中找到一个切割S，使得S中包含的边的总权重最小。

G表示一个有向图或无向图，V代表其节点集合，E表示其边集合，边e的权重用w(e)表示。

S是V的子集合，S-S表示S的补集，切割S定义为从V到S-S的路径中的边的集合。

要得到最小的切割，我们就要求出最小的边权重和。

正解边值问题微分方程，边值问题微分方程定义是指一类常微分方程，给出了在某个区间的未知函数及其一阶导数的某些边界条件，要求求出该函数在这个区间内的解。

正解边值问题微分方程分数，式为：∂u/∂t + a∂u/∂x = b(∂²u/∂x²) + c(∂u/∂x)其中，u是函数的值，a、b、c是常量参数。

其中：∂u/∂t表示函数u随时间的变化率；∂u/∂x表示函数u随空间的变化率；∂²u/∂x²表示函数u随空间的二阶变化率。

分数阶微分方程两点边值问题正解的存在性，答：一阶分数阶微分方程两点边值问题的正解存在性取决于给定边值问题的可解性。

一般来说，当方程有足够的初值解的连续性或足够的连续性以及给定的两点边值条件，正解就存在。

为什么需要分数阶微分方程两点边值问题正解的存在性1.意义意味着当各种不同的初始/边界条件及其未知函数给定时，它能找到合适的解决方法。

2.它说明了求解此问题的算法的可靠性，从而保证了其精确性和有效性。

3.它能帮助科学家和工程师更好地了解其实际应用中出现的一系列问题的原因和解决方案，从而可以更有效地解决问题。

怎么进一步推进完成分数阶微分方程两点边值问题正解的存在性1. 利用Kirchhoff积分变换，尝试将微分方程转化为微分不等式来证明有限解的存在性。

Banach空间中常微分方程解的存在与唯一性定理

Banach空间中常微分方程解的存在唯一性定理總婷婷(XX帅X学院数学与鋭计学院,XX,XX,741000)描要:在Banach空同中，常械分方程解的存在唯一性定理中力=｝，初值冋題的解y(f)的变量『在t o-h<t<t o+ht变化，把f的变化X围扩大为心％「5+%, 为此给出f变化X围后的Banach 空间中常做分方程解的存在唯一性定理，并对定理给予明确的证明.关维词:存在唯一;常撤分方程;数学IJ3细袪;皮卡逐步II近法\ Banach空间引言常撤分方程解的存在唯一性定理明确地肯定了在一定条件下方程的解的存在性和唯一性，它是常ta分方程理论中最基本且实用的定理，有其重大的理论怠义，另一方面，它也是近做求解法的前提和理论基硝.对于人们裁知的Banach空同中常撤分方程解的存在唯一性定理,解的存在区同较小,只限制在一个小的球形邻裁内,(球形邻域的半径若为5, U需满足Ld<\,且辭只在以儿为中心以5为半径的冈球B t5(y0) = (yeX|||y-y0||<J)存在唯一，其中X是Banach空间)因此在应用过程中受到了一定的眼制.如今我们尝试扩大了解的存在XIJ.U而使此重要的定理今后有更加广泛的应用.1预备定理我们给岀Banach空同中常做分方程解的存在唯一性定理如下设X是Banach空同，UuX是一f开集.f :U i X上关干 >，满足利普希茨(Lipschitz)条件，即存在常数厶>0,使得不等式］/(/, ”)- /(/, y2)|| <厶卜】一儿||，对于所有y^y2eu部成立.® y.eU ,在u内，以儿为中心作一个半径为“的冈球3心())=© eX|||y-儿||詡’对所有的y e B b(y0)都成立，且有,取h = min{%,%^},则存在唯一的C、曲线y(t)，使得在r0-h<t< t0+h上满足y w B h(y0), 并有y' = /(/,y),y(G)=)b・2结果与证明笔者通il改进对力的限歟即仅取〃 = %/，硕备定理仍然成立,从而使定理的应用进一步广泛.2.1改进条件后的定理定理假设条件同上预备定理，设初值为仇,儿)，则存在唯一的C、曲线y(『),对任恿的G 一%/ ° "u + %r满足y €场(儿),且使得V = /(/, y) , Wo)=儿.显然可有% —〃，心 + 幻 U〔5 - ，心 + % ］，目"min{%,%} •2.2定理舸证明证明证明过程中我们利用皮卡(Picard)逐步逼近法•为了简单起见，只就区同对干区间t.<t<t.+y M的讨论完全一样.2.2.1定理证明的思想现在先简单叙述一下运用皮卡逐步逼近法证明的壬要思想.首先证明条件 H), xu=y0等价于求枳分方程y(Q = %+j\/a，y)〃•⑴再证明积分方程的解的存在唯一性.任取一个儿⑴为连续函数，将它代人方程⑴的右常，可得到函数卩⑴=y(> +J；./■(/,%)〃/,显然，儿⑴也为连续函数•若x⑴=y o(0,1可知y()⑴就是方程⑴的解•若不然，我ill a把川)代人枳分方程⑴的右竭m,y)，可得到函数儿⑴=儿+J；“/(/')〉)/•若y2(0 = >'i(0 JO可知莎⑴就是方程(1)的解•若不然，我们如此下去,可作连续函红儿(/) = + j* ：＞/(/，y”-i M ・(2)这算就得到连续函数列儿(0，”(/)，儿⑴,…，儿⑴，…若畑⑴=儿⑴,那么儿⑴就是枳分方程的解，如果始终不发生眩种悄猊，我们可以证明上面的函数序列有一个极眼函数y(t), fill liin y…(t) = y(f)存在，因而对(2)式两jfi取枚限时,就得到巴y n(0 = y0 + lim J :/(f,y…_,)dt = y0+J ；o lim/(r,儿“)/ =儿 + J ；o/(r,y)dt, 即y(0 = y0 + J；/(心)力謔就是说M)是枳分方程的解•在定理的假设条件下，以上的步骤是可以实现的.2.2.2定理iil明的步骤下面我门分五个命题来证明定理.金題1设y = y(r)是y'5，y)的定义于区同心％““上,满足初值条件〉仇)=儿(3)的解厲y = y(r)是枳分方程W)=儿+ 定义于心一夕缶上的连续解，反之亦衆证明因为y = y(0是方程y' = /(/, y)的解，故有竽5,刃.at对上式两fflU/o到「取定枳分得到W) - W())= J ；＞ /(/，y W ‘ 5 - ％ o()‘把(3)式代入上式,即有y(f) = ＞o+J 财(人曲5-%；"")•⑷因此,y = XO是(4)的定义于上的连续解.反之，如果y = y（f）是⑷的连续解,）心）=儿+J: <t<t0.fit分之，得到弊局）•ata把心心代人⑷式，得到y（G =儿，S此,y = y（r）是方程 H）的定义于区间且満足初值条件（3）的解.金题1込毕.现在取y。

时滞微分方程解的存在性

时滞微分方程解的存在性时滞方程更能反映真实的自然现象，关于Banach 空间中具有整数阶物质导数的时滞微分方程解的存在性的研究已有了不少，包括积分方程最优控制，边值问题，方法也都类似，但对于分数阶导数的方程的研究不多。

可能是因为分数阶导数问题还没有被应用到更广泛的领域，或者是因为分数阶导数较整数阶研究更为困难。

一般研究微分方程是在实数空间内，为了使结果更具一般性，下面本文研究抽象空间中一般分数阶物质导数的方程解的存在性，从而得到一般性的结论。

为后文的工作做理论准备。

现有的研究分数阶导数的微分方程解的存在性的文章不多，事先查得的的一篇文章是研究整数阶的有时滞项的微分方程的解的存在性的。

由于分数阶导数和整数阶导数的性质有很大差异，研究整数阶导数方程的方法不能照搬到分数阶导数方程上，所以我们研究时加上了一条限制条件，即方程右端的非线性项的范数小于一个常数加上一个常数和解函数范数的乘积，之后用了皮卡迭代方法，得到一个函数序列，然后用数学归纳法证明此序列一致有界且等度连续，然后结合相关文献，就证明了上面得到的函数序列有弱收敛子列，最后证明弱收敛子列的极限函数就是方程的解。

从而证明了该方程解的存在性。

具体过程如下：令E 为Banach 空间,E*为其对偶空间并且E 0 =C([−h,0],E),上面的范数分别为:，* 和 0E ，0[,0]max ()t h E t ϕϕ∈-=，同时, 00(,){:},X X B y r y X y y r =∈-≤其中，X E =或0E ，(), 表示E 和E*中的元素的内积。

考虑如下Banach 空间分数阶微分方程的初值问题：00()(,),0,01,(2.0.1)t D u t f t u t u E ααψ⎧=≥<<⎪⎨=∈⎪⎩其中D α是Caputo 分数阶导数。

f:[0,+∞)×E 0→E 。

同时对于任意u ∈C([−h,0],E)函数0,0,t u E t ∈≥定义为成u t (s)=u(t+s),s ∈[−h,0]。

Banach空间中常微分方程解的存在与唯一性定理(参考模板)

Banach 空间中常微分方程解的存在唯一性定理魏婷婷(天水师范学院数学与统计学院,甘肃,天水,741000)摘要: 在Banach 空间中, 常微分方程解的存在唯一性定理中},1min{M b L h =,初值问题的解)(t y 的变量t 在h t t h t +≤≤-00上变化,把t 的变化范围扩大为Mbt t Mbt +≤≤-00,为此给出t 变化范围后的Banach 空间中常微分方程解的存在唯一性定理,并对定理给予明确的证明.关键词: 存在唯一;常微分方程;数学归纳法;皮卡逐步逼近法;Banach 空间引言常微分方程解的存在唯一性定理明确地肯定了在一定条件下方程的解的存在性和唯一性,它是常微分方程理论中最基本且实用的定理,有其重大的理论意义,另一方面,它也是近似求解法的前提和理论基础.对于人们熟知的Banach 空间中常微分方程解的存在唯一性定理,解的存在区间较小, 只限制在一个小的球形邻域内,(球形邻域的半径若为δ,还需满足1<δL ,且解只在以0y 为中心以δ为半径的闭球δδ≤-∈=00)(y y X y y B 存在唯一,其中X 是Banach 空间)因此在应用过程中受到了一定的限制.如今我们尝试扩大了解的存在范围,从而使此重要的定理今后有更加广泛的应用.1 预备定理我们给出Banach 空间中常微分方程解的存在唯一性定理如下设X 是Banach 空间, X U ⊂是一个开集. X U f →:上关于y 满足利普希茨)(Lipschitz 条件,即存在常数0>L ,使得不等式2121),(),(y y L y t f y t f -≤-,对于所有U y y ∈21,都成立.取U y ∈0,在U 内,以0y 为中心作一个半径为b 的闭球b y y X y y B b ≤-∈=00)(,对所有的)(0y B y b ∈都成立,且有M y f ≤)(,取},1min{Mb L h =,则存在唯一的1C 曲线)(t y ,使得在h t t h t +≤≤-00上满足)(0y B y b ∈,并有),(y t f y =',00)(y t y =.2 结果与证明笔者通过改进对h 的限制,即仅取Mb h =,预备定理仍然成立,从而使定理的应用进一步广泛.2.1改进条件后的定理定理假设条件同上预备定理,设初值为),(00y t ,则存在唯一的1C 曲线)(t y ,对任意的Mbt t Mbt +≤≤-00,满足)(0y B y b ∈,且使得),(y t f y =',00)(y t y =.显然可有],[],[0000Mbt M bt h t h t +-⊂+-,且},1min{MbL h =.2.2定理的证明证明证明过程中我们利用皮卡)(Picard 逐步逼近法.为了简单起见,只就区间00t t Mbt ≤≤-进行讨论,对于区间Mbt t t +≤≤00的讨论完全一样.2.2.1定理证明的思想现在先简单叙述一下运用皮卡逐步逼近法证明的主要思想. 首先证明条件),(y t f y =',00)(y t y =等价于求积分方程dt y t f y t y t t ),()(00⎰+=.(1)再证明积分方程的解的存在唯一性.任取一个)(0t y 为连续函数,将它代入方程(1)的右端),(y t f ,可得到函数dt y t f y t y t t ),()(0010⎰+=,显然,)(1t y 也为连续函数.若)()(01t y t y =,则可知)(0t y 就是方程(1)的解.若不然,我们又把)(1t y 代入积分方程(1)的右端),(y t f ,可得到函数dt y t f y t y t t ),()(1020⎰+=.若)()(12t y t y =,则可知)(1t y 就是方程(1)的解.若不然,我们如此下去,可作连续函数,dt y t f y t y n t t n ),()(100-⎰+=. (2)这样就得到连续函数列),(,),(),(),(210t y t y t y t y n若)()(1t y t y n n =+,那么)(t y n 就是积分方程的解,如果始终不发生这种情况,我们可以证明上面的函数序列有一个极限函数)(t y ,即)()(lim t y t y n n =∞→存在,因而对(2)式两边取极限时,就得到dt y t f y dt y t f y dt y t f y t y t t n n t t n t t n n n ⎰⎰⎰+=+=+=-∞→-∞→∞→),(),(lim ),(lim )(lim 00001010,即dt y t f y t y t t ),()(00⎰+=,这就是说,)(t y 是积分方程的解.在定理的假设条件下,以上的步骤是可以实现的. 2.2.2定理证明的步骤下面我们分五个命题来证明定理.命题1 设)(t y y =是),(y t f y ='的定义于区间00t t Mbt ≤≤-上,满足初值条件00)(y t y = (3) 的解,则)(t y y =是积分方程dt y t f y t y t t ),()(00⎰+=定义于00t t M b t ≤≤-上的连续解,反之亦然.证明因为)(t y y =是方程),(y t f y ='的解,故有),()(y t f dtt dy =. 对上式两边从0t 到t 取定积分得到dt y t f t y t y t t ⎰=-),()()(00,00t t M b t ≤≤-,把(3)式代入上式,即有dt y t f y t y t t ⎰+=),()(00,00t t M b t ≤≤-. (4)因此, )(t y y =是(4)的定义于00t t Mbt ≤≤-上的连续解.反之,如果)(t y y =是(4)的连续解, dt y t f y t y t t ⎰+=),()(00,00t t M b t ≤≤-.微分之,得到),()(y t f dtt dy =. 又把0t t =代入(4)式,得到00)(y t y =,因此, )(t y y =是方程),(y t f y ='的定义于区间00t t Mbt ≤≤-,且满足初值条件(3)的解.命题1证毕.现在取00)(y t y =,构造皮卡逐步逼近函数序列如下⎪⎩⎪⎨⎧=≤≤-+==⎰-),2,1(,),()()(0010000 n t t M b t dt y t f y t y y t y n t t n(5) 命题2 对于所有的n ,(5)中函数)(t y n 在00t t Mb t ≤≤-上有定义,连续且满足不等式b y t y n ≤-0)(.证明用数学归纳法可以证明,如下)()(0y B t y b n ∈,对于任意N n ∈,00t t Mbt ≤≤-,当1=n 时, ξξd y f y t y t t ),()(0010⎰+=,显然)(1t y 在00t t Mb t ≤≤-上有定义,连续且有b t t M d y f d y f y t y t t t t ≤-≤≤=-⎰⎰)(),(),()(0000100ξξξξ.设当k n =时有)()(0y B t y b k ∈,也即)(t y k 在00t t Mbt ≤≤-上有定义,连续且满足不等式b y t y k ≤-0)(,这时ξξd y f y t y k t t k ),()(001⎰+=+.由假设,命题2当k n =时成立,则可知)(1t y k +在00t t Mb t ≤≤-上有定义,连续且有当1+=k n 时b t t M d y f d y f y t y k t t k t t k ≤-≤≤=-⎰⎰+)(),(),()(00100ξξξξ,即命题2当1+=k n 时也成立,从而得知命题2对于所有的n 均成立.命题2证毕.命题3 函数序列)}({t y n 在00t t Mb t ≤≤-上是一致收敛的.证明我们考虑级数∑∞=--+110)]()([)(k k k t y t y t y ,00t t Mbt ≤≤-,(6)(6)式级数的部分和为)()]()([)(110t y t y t y t y n nk k k =-+∑=-,因此,要证明函数序列)}({t y n 在00t t Mbt ≤≤-上一致收敛,我们仅证明级数(6)在00t t Mbt ≤≤-上一致收敛.因此,我们可进行如下计算,由)(),(),()(0000100t t M d y f d y f y t y t t t t -≤≤=-⎰⎰ξξξξ, (7)及ξξξd y f y f t y t y t t ⎰-≤-),(),()()(01120,利用利普希茨)(Lipschitz 条件及(7)式可知对于任意的n 为正整数,不等式n n n n t t n ML t y t y )(!)()(011-≤---成立. 则由利普希茨条件,当00t t Mbt ≤≤-时,有为此,由数学归纳法可知,对于所有的正整数k ,可有如下的式子成立,k k k k t t k ML t y t y )(!)()(011-≤---,00t t M b t ≤≤-.因此可有,当k k kk k k M b k ML t t k ML t y t y )(!)(!)()(1011---≤-≤-, (8) (8)式右端为收敛的正项级数∑∞=-11)(!k k k M bk ML 的一般项. 由魏尔斯特拉斯)(s Weierstras 判别法,级数(6)在00t t Mb t ≤≤-上是一致收敛的,因此序列)}({t y n 也在00t t Mbt ≤≤-上一致收敛,命题3证毕.现设)()(lim t y t y n n =∞→,为此)(t y 也在00t t Mbt ≤≤-上连续,且由命题2又可知b y t y ≤-0)(,命题4 )(t y 是积分方程dt y t f y t y t t ),()(00⎰+=的定义在区间00t t M b t ≤≤-上的连续解.证明由利普希茨条件)()(),(),(t y t y L y t f y t f n n -≤-以及)}({t y n 在2000112)(!2)()()()()(0t t ML d t M L d y y L t y t y t t t t -=-≤-≤-⎰⎰ξξξξξ100111)()!1()(!)()(),(),()()(000+--+-+=-≤-≤-≤-⎰⎰⎰n nnt t n n n t t n n t t n n t t n ML d t n ML d y y L d y f y f t y t y ξξξξξξξξ00t t Mbt ≤≤-上一致收敛于)(t y ,且函数列)}({t y n 逐项连续,即知序列))}(({t y f n 在00t t Mbt ≤≤-上一致收敛于))((t y f .因而对(5)式两边取极限,得到ξξξξd y f y d y f y t y n n t t n t t n n n ),(lim ),(lim )(lim 101000-∞→-∞→∞→⎰⎰+=+=即ξξd y f y t y t t ),()(00⎰+=,这就是说, )(t y 是积分方程dt y t f y t y t t ),()(00⎰+=的定义于00t t Mbt ≤≤-上的连续解.命题4证毕.命题5 (证明解的唯一性)设)(t x 是积分方程dt y t f y t y t t ),()(00⎰+=定义于00t t Mbt ≤≤-上的另一个连续解,则)()(t x t y =,00t t Mbt ≤≤-.证明现在我们证明)(t x 也是序列)}({t y n 的一致收敛极限函数.为此,从00)(y t y =,.),()(100ξξd y f y t y n t t n ⎰-+= )1(≥n ,ξξd x f y t x t t ),()(00⎰+=,可以进行如下的估计,)(),(),()()(0000t t M d x f d x f t x t y t t t t -≤≤=-⎰⎰ξξξξ200001)(!2)()()(),(),()()(000t t MLd t ML d x y L d x f y f t x t y t t t t t t -=-≤-≤-≤-⎰⎰⎰ξξξξξξξξ现在我们可以假设n n n t t n ML t x t y )(!)()(011-≤---,则有 .)()!1()(!)()(),(),()()(10011000+---+=-≤-≤-≤-⎰⎰⎰n nnt t n n t t n t t n t t n ML d t n ML d x y L d x f y f t x t y ξξξξξξξξ故由数学归纳法得知,对于所有的正整数n ,有下面的估计式10)()!1()()(+-+≤-n nn t t n ML t x t y ,于是我们可知在00t t Mbt ≤≤-上有110)()!1()()!1()()(+++≤-+≤-n n n n n Mb n ML t t n ML t x t y , (9)1)()!1(++n n M b n ML 是收敛级数的公项,且当∞→n 时, 0)()!1(1→++n n Mb n ML . 因而)}({t y n 在00t t Mbt ≤≤-上一致收敛于)(t x .根据极限的唯一性,即可知)()(t x t y =,00t t Mbt ≤≤-.命题5证毕.综合命题1～5,即得到Banach 空间中常微分方程解的存在唯一性定理的证明. 例题求初值问题⎪⎩⎪⎨⎧=--=0)1(22y yt dtdy 其中R :[]0,2-∈t ,[]1,1-∈y 的解的存在区间,并求第二次近似解,给出在解的存在区间的误差估计.解 ()4),(max ,==∈y t f M Ry t则利用本文的结果41==Mbh , 在R 上函数22),(y t y t f -=的利普希茨常数可取2=L ,因为L y yf=≤-=∂∂22. 0)(0=t y ,313))(()(220211+=-=⎰-t d y t y t ξξξ,4211631893))(()(74321212+---=-=⎰-t t t t d y t y t ξξξ.在本文的估计式(9)中令)()(t y t x =,则有误差估计式110)()!1()()!1()()(+++≤-+≤-n n n n n Mb n ML t t n ML t y t y ,从而可得241)41(!324)()(322=⨯⨯≤-t y t y .利用本文结果,初值问题解的存在区间为Mbt t Mbt +≤≤-00为此将10-=t ,41=Mb代入上式,可得解的存在区间为4345-≤≤-t ; 第二次近似解为42116318937432+---=t t t t y ;在解的存在区间的误差估计为2412≤-y y . 结束语在Banach 空间中,通过运用皮卡的逐步逼近法,从证明解的存在性,到解的唯一性,采用严密的逻辑推理和理论证明,得到扩大解的存在区间后Banach 空间中常微分方程解的存在唯一性定理,从而使定理更加实用.当然,展望未来,我们还可以利用所得到的结果进一步作为探究其他问题的可靠性依据.参考文献[1] 王高雄,周之铭,朱思铭,王寿松,编.常微分方程[M].北京：高等教育出版社,2006.[2] 郭大均,孙经先.抽象空间常微分方程[M].济南:山东科学技术出版社,2003.[3] 王兴涛,编.常微分方程[M].哈尔滨:哈尔滨工业大学出版社,2004.[4] 邓海荣,马兆丰.Banach空间中常微分方程解的存在唯一性定理的注[J].扬州大学学报:自然科学版,2007,10（1）: 1～3.[5] 房琦贵.关于常微分方程解的存在唯一问题的讨论[J].高校讲坛,2010.[6] 王声望,郑伟行,编.实变函数与泛函分析概要[M].北京：高等教育出版社,2005.如不慎侵犯了你的权益，请联系告知！致谢在完成终稿的今天,在敲完最后一个句号的时刻,我的思想同周围凝固的热气一样停驻了,不知道是慰藉还是悲伤,大学四年的生活就这样结束了,而眼前的路还很长,虽然似乎有些迷茫,但我必须整理心情,背上行囊,坚定的踏上新的征程……我要感谢,非常感谢我的指导老师何老师.在忙碌的教学工作中挤出时间来审查修改我的论文,循循善诱的教导和不拘一格的思路给予我无尽的启迪.他为人随和热情﹑治学严谨细心﹑广博的学识﹑深厚的学术素养,在论文的写作和措辞等方面他也总会以专业标准严格要求,从选题﹑定题﹑开始,一直到论文的反复修改,何老师始终认真负责地给予我深刻而细致地指导,帮助我开拓研究思路,精心点拨﹑热忱鼓励.正是何老师的无私帮助与热忱鼓励,我的毕业论文才能够得以顺利完成,谢谢何老师.再次,我还要认真地谢谢我身边所有的朋友和同学,你们对我的关心﹑帮助和支持是我不断前进的动力之一,我的大学生活因为有你们而更加精彩.最后,向在百忙中抽出时间对本文进行评审并提出宝贵意见的各位专家表示衷心地感谢!（本资料素材和资料部分来自网络，仅供参考。

Banach空间含间断项的二阶非线性脉冲微分方程终值问题

ｗｉｔｈＤｉｓｃｏｎｉｎｔｕｏｕｓＴｅｒｍｓｉｎＢａｇｓｈｅｎｇＤａｉＢｉｎｘｉａｎｇ
（ＳｃｈｏｏｌｏｆＭａｔｈｅｍａｔｉｃｓａｎｄＳｔａｔｉｓｔｉｃｓ，ＣｅｎｔｒａｌＳｏｕｔｈＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｃｈａｎｇｓｈａ，Ｈｕｎａｎ４１００７５，Ｃｈｉｎａ）
ｎｏｎｌｉｎｅａｒｉｍｐｕｌｓｉｖｅｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａ［ｅｑｕａｔｉｏｎｓｗｉｔｈｄｉｓｃｏｎｔｉｎｕｏｕｓｔｅｍｓｒｉｎＢａｎａｃｈｓｐａｃｅｒｅａｃｏｎｓｉｄｅｒｅｄ，ａｎｄｔｈｅｅｘｉｓｔｅｎｃｅ
国家自然科学基金（Ｎｏｌ１２７１３７１）资助项目收稿日期：２０１３年８月２５日
２
数学理论与应用
” （ｔ）＝ｔ，，），ｔ∈．，，ｔ ≠ｔＺｉｘＩＺｉｘＩ＝Ｉｋ（（ｔ）），ｋ＝１，２， …
一
（１）
＝Ｉｋ（ｘ（ｔ），（ｔｋ）），ｋ：１，２， …
，（ ∞）＝：
（ｏ。）＝
其中，： ∈ Ｅ，Ｊ＝［０， ∞），０＜ｔ１＜ｔ２＜ … ＜ｔ＾＜… ＜＋。。，ｋ＝１，２，・・：．，×ＥＸＥ－＋Ｅ，：ＥＥ，：ＥＸＥ— Ｅ，（不假定，厶，，连续），Ｉ＝（￡）一（ｔ一）．

banach空间范数

banach空间范数Banach空间是数学中的一个重要概念，它是由波兰数学家斯特凡·巴拿赫（Stefan Banach）在20世纪初提出的。

Banach空间是一种完备的赋范线性空间，其中的范数满足一定的性质。

在数学中，范数是一种度量向量大小的方法。

对于一个向量空间V，如果定义了一个函数∥·∥：V→R，满足以下条件：1. 非负性：对于任意的向量x∈V，有∥x∥≥0，并且当且仅当x=0时，有∥x∥=0；2. 齐次性：对于任意的向量x∈V和标量α，有∥αx∥=|α|∥x∥；3. 三角不等式：对于任意的向量x和y∈V，有∥x+y∥≤∥x∥+∥y∥。

那么∥·∥就是V上的一个范数。

而如果V是一个完备的赋范线性空间，即对于其中的柯西序列，都存在一个极限点，那么这个空间就是一个Banach空间。

在Banach空间中，范数的定义不仅仅是为了度量向量的大小，还可以用来定义收敛性。

对于一个Banach空间V中的序列{x_n}，如果对于任意的ε>0，存在一个正整数N，使得当n>N时，有∥x_n-x∥<ε，那么序列{x_n}就是收敛于x的。

Banach空间范数的一个重要性质是等价性。

对于一个Banach空间V，如果存在两个范数∥·∥_1和∥·∥_2，使得对于任意的向量x∈V，有c_1∥x∥_1≤∥x∥_2≤c_2∥x∥_1，其中c_1和c_2是正常数，那么这两个范数是等价的。

等价的范数在度量向量大小和定义收敛性时是等效的。

Banach空间范数在数学中有广泛的应用。

它不仅仅是函数空间和算子空间的基础，还在泛函分析、偏微分方程、概率论等领域中发挥着重要的作用。

例如，在泛函分析中，Banach空间范数可以用来定义线性算子的连续性和有界性。

在偏微分方程中，Banach空间范数可以用来定义解的存在性和唯一性。

在概率论中，Banach空间范数可以用来定义随机变量的收敛性。

二阶常微分方程组正解的存在性与多解性

ＩＩＩ东科学
ＳＨＡＮＤＯＮＧＳＣＩＥＮＣＥ
第２８卷第６期２０１５年ｌ２月出版
Ｖｏ１．２８Ｎｏ．６Ｄｅｃ２ＯＪ５
ＤＯＩ：１０３９７６／ｊｉｓｓｎ．１００２—４０２６２０１５０６０１８
ｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌｅｑｕａｔｉｏｎｓ
，
，Ｍ（ｔ）＋Ａｌ（ｔ）Ａ“ ，）＝０，
２（ｔ）＋Ａ２（ｔ）ｇ（ “ ，）：０，
【Ｈ（０）： “ （１）：（０）：（１）：０
引言
本文主要考虑以下形式的二阶常微分方程组系统正解的存在性与多解性
收稿Ｅｌ期：２０１５４）１１５
作者简介：周世磊（１９９１一），男，硕士研究生，研究方向为应用数学。Ｅｍａｉｌ：ｈｏｕｓｈｉｌｌｅｉ＠１６３．ｃｍｎ
阶常微分方程组正解的存在性与多解性
周世磊，董雪，董晓玉
（山东科技大学数学与系统科学学院，山东青岛２６６５９０）
摘要：本文主要研究以下形式二阶常微分方程组系统正解的存在性与多解性
ｒｕ（ｔ）＋Ａ＾１（）八Ｍ，）：０，
Ｋｅｙｗｏｒｄｓ：ｂｏｕｎｄａｒｙｖａｌｕｅｐｒｏｂｌｅｍｓ；ｐｏｓｉｔｉｖｅｓｏｌｕｔｉｏｎｓ；ｍｕｌｔｉｐｌｅｐｏｓｉｔｉｖｅｓｏｌｕｔｉｏｎｓ；ｆｉｘｅｄｐｏｉｎｔ

Banach空间含导数项的二阶脉冲微分方程的解

收稿日期：２０１６— ０７一Ｏ８
解的存在性，并建立了极大解和极小解的存在性定
理，但其非线性项与无关．
殊情形Ｉｋ＝０，即边值问题
文献［４］在抽象Ｂａｎａｅｈ空间中运用上下解方法和单调迭代技巧研究了如下的二阶脉冲微分方程边值问题
，一
（ｔ）＝ｔ， “ （ｔ）），ｔ ≠ｔ，ｔ仨Ｊ＝［０，１］，
在抽象空间中，文献［９］考虑了Ｉｌ，，Ｙ）ｌＪ ≤ （Ｍ＞０为常数）时ＢＶＰ（２）解的存在性，条件
较强．由于有限维与无限维空间的本质差异，
ＢＶＰ（２）对应的线性问题的解算子不再具有紧性，
２０１７年１月
第４０卷
第１期
Ｉ￣Ｊｌｌ师范大学学报（自然科学版）ＪｏｕｎａｒｌｏｆＳｉｅｈｕａｎＮｏｒｍａｌＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙ（ＮａｔｕｒａｌＳｃｉｅｎｃｅ）
解的存在性与唯一性，其中厂Ｅｃ（ＪＸＥ×Ｅ，Ｅ），，＾ｅｃ（Ｅ×Ｅ，Ｅ），＝１，２， …，ｍ．通过选取恰当的工作空
间及等价范数，在非线性项ｔ，，Ｙ）及脉冲函数满足较一般的非紧性测度条件下，结合新的非紧性测度
Ｊａｎ．，２０１７
Ｖｏ１．４０，Ｎｏ．１

Banach空间中具无穷时滞的二阶脉冲系统的精确可控性的开题报告

Banach空间中具无穷时滞的二阶脉冲系统的精确可
控性的开题报告
背景介绍：
随着现代控制理论的不断发展，越来越多的研究者开始关注具有时
滞的非线性系统，使用数学模型来描述这些非线性系统的行为特征，以
便找到控制这些系统的方法。

二阶脉冲控制系统是一种特殊的非线性系统，它包括一个二阶微分方程和一组时间点的脉冲序列。

这种系统在自
然界和工程应用中都有非常广泛的应用，例如振动抑制、力控制等。

研究目的：
本文主要研究具有无穷时滞的二阶脉冲控制系统的精确可控性问题。

具体来说，我们将利用Banach空间中的相关知识和技巧，研究这类系统的双线性协变形式，并建立其正则化表达式。

然后，我们将证明在一些
特殊情况下，该系统可以精确可控。

方法：
本文将通过以下几个步骤，在Banach空间中研究具有无穷时滞的二阶脉冲控制系统的精确可控性问题：
1. 分析系统的动力学特性，建立其脉冲响应数学模型。

2. 探究系统的双线性协变形式，建立其正则化表达式，并证明该表
达式的存在性和唯一性。

3. 分析系统是否可以精确可控，建立其可控性条件，并证明在满足
这些条件的情况下，系统可以精确可控。

预期贡献：
本文将针对具有无穷时滞的二阶脉冲控制系统的精确可控性问题进
行深入研究。

通过使用Banach空间中的相关理论和技术，建立系统的正
则化表达式，并探究其可控性条件，以及在满足这些条件时系统可以实现精确可控。

这项工作将极大地推动该领域的研究进展，为应用该类控制系统提供更有效的指导意见。

二阶微分方程周期解的存在性和唯一性

二阶微分方程周期解的存在性和唯一性
魏元鸿;刘冬
【期刊名称】《吉林大学学报（理学版）》
【年(卷),期】2010(048)002
【摘要】应用Schauder不动点定理研究二阶微分方程周期解的存在性和唯一性,在右端函数连续可微时,得到了周期解的存在性和唯一性,并对右端函数仅为连续的情形给出了周期解存在的充分条件.
【总页数】2页(P229-230)
【作者】魏元鸿;刘冬
【作者单位】吉林大学,数学研究所,长春,130012;吉林大学,数学学院,长春,130012【正文语种】中文
【中图分类】O175.14
【相关文献】
1.时滞Nicholson飞蝇方程的正概周期解的不存在性、存在性和唯一性 [J], 吕小俊;谢海平;李睿
2.一类二阶微分方程周期解的存在性与唯一性 [J], 陈应生;陈东晓
3.具有时滞的非线性二阶微分方程的概周期解的存在唯一性及稳定性 [J], 倪华;田立新
4.非自治二阶微分方程周期解的存在唯一性 [J], 李万同;洪小波
5.一类二阶微分方程周期解的存在性和唯一性 [J], 黄勇;姚晓洁;秦发金
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Banach空间中常微分方程的周期解

Banach空间中常微分方程的周期解
林壮鹏
【期刊名称】《《高校应用数学学报A辑》》
【年(卷),期】1996(000)001
【摘要】本文研究Banach空间中常微分方程的周期解的存在性,在耗散型条件下得到一系列新结果。

同时,还给出一个无穷维微分方程存在周期解的例子。

【总页数】1页(P15)
【作者】林壮鹏
【作者单位】
【正文语种】中文
【中图分类】O175.15
【相关文献】
1.Banach空间中二阶时滞微分方程的周期解 [J], 李玉玉;
2.有序Banach空间二阶时滞微分方程的正周期解 [J], 李玉玉
3.Banach空间变系数的一阶非线性微分方程的正周期解 [J], 李小龙
4.有序Banach空间中二阶时滞微分方程正周期解的存在性 [J], 吕娜
5.一致凸Banach空间中常微分方程周期解的存在性 [J], 林壮鹏
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Banach空间无界时滞的脉冲发展中立泛函积分微分包含的存在性(英文)

Banach空间无界时滞的脉冲发展中立泛函积分微分包含的存
在性(英文)
胡军浩;沈轶
【期刊名称】《应用数学》
【年(卷),期】2007(20)3
【摘要】本文建立了Banach空间中无界时滞的脉冲发展中立泛函积分微分包含温和解存在的充分条件,我们利用由Dhage建立的多值混合不动点定理与发展系统证明了解的存在性.
【总页数】6页(P568-573)
【关键词】脉冲积分微分包含;发展系统;不动点定理
【作者】胡军浩;沈轶
【作者单位】华中科技大学控制科学与工程系
【正文语种】中文
【中图分类】O175.6
【相关文献】
1.时滞依赖状态的中立型泛函积分微分包含 [J], 李文胜
2.无穷时滞的一阶脉冲偏中立型泛函微分方程积分解的存在唯一性 [J], 李文胜;赵治汉;常永奎
3.Hilbert空间上无穷时滞中立型随机偏泛函微分方程适度解的存在唯一性 [J], 余国胜
4.Banach空间中一类具有无穷时滞泛函积分微分方程解的存在性 [J], 傅显隆;张书年
5.具有无穷时滞中立型泛函积分微分方程周期解的存在性 [J], 王晓;李志祥;张浩因版权原因，仅展示原文概要，查看原文内容请购买。

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