2013年高考数学总复习 2-3 函数的奇偶性与周期性但因为测试 新人教B版
高考数学 2-4函数的奇偶性与周期性课件 理 新人教B版
函数的奇偶性ห้องสมุดไป่ตู้周期性
一、函数的奇偶性
二、周期性 1．周期函数 对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内 的任何值时，都有 f(x＋T)＝f(x) ，那么就称函数y＝f(x)为周期函数， 称T为这个函数的周期． 2．最小正周期 如果在周期函数f(x)的所有周期中 存在一个最小 这个 最小正数 就叫做f(x)的最小正周期． [疑难关注] 1．奇偶性与单调性 的正数，那么
)
1 A．－2 1 C.4
1 B．－4 1 D.2
解析：∵f(x)是周期为 2 的奇函数，
5 5 1 1 ∴f－2＝f－2＋2＝f－2＝－f2
1 1 1 ＝－2×2×1－2＝－2.
答案：A
3 ． (2012 年高考重庆卷 ) 若 f(x) ＝ (x ＋ a)(x － 4) 为偶函数，则实数 a
f(x－1)的图象关于点(1,0)对称且f(4)＝4”．
求f(2 012)的值． 解析： 由y＝f(x－1)的图象关于点 (1,0)对称可知，函数f(x)的图象 关于点 (0,0) 对称，即函数 f(x) 为奇函数，在已知等式中取 x ＝－ 3 ，得 f(3)＋f(－3)＝2f(3)，所以f(－ 3)＝f(3)．又f(－ 3)＝－f(3)，因此f(3)＝0， 所以f(6＋x)＋f(x)＝0. f(12＋x)＋f(6＋x)＝0.故f(12＋x)＝f(x)． ∴f(x)的一个周期为12， ∴f(2 012)＝f(12×168－4)＝f(－4)＝－f(4)＝－4.
2
) B．y＝x－1 1 D．y＝x 3
解析：函数为偶函数，则f(－x)＝f(x)，故排除B，D.C选项中y＝ x2为偶函数，但在(0，＋∞)上单调递增，不满足题意．故选A.
高考数学一轮复习-2-3函数的奇偶性与周期性课件-理
•f(x)在R上是奇函数， •∴f(x)在区间[－2,2]上是增函数， •∴f(－1)＜f(0)＜f(1)，即f(－25)＜f(80)＜f(11)．
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考点突破
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考点二 函数周期性的应用 【例 2】(1)(2014·安徽卷)若函数 f(x)(x∈R)是周期为 4 的奇函
数，且在[0,2]上的解析式为 f(x)＝xsin1－πxx，，1＜0≤x≤x≤2，1， 则 f 249＋f 461＝________. (2)已知 f(x)是定义在 R 上的偶函数，且 f(x＋2)＝－f(x)，当 2≤x≤3 时，f(x)＝x，则 f(105.5)＝________.
• 第3讲 函数的奇偶性与周期性
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• 考试要求 1.函数奇偶性的含义及判断，B级 要求；2.运用函数的图象理解、研究函数的奇 偶性，A级要求；3.函数的周期性、最小正周 期的含义，周期性的判断及应用，B级要求．
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• 知识梳理 • 1．函数的奇偶性
奇偶 性
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【训练 2】 (2014·南通模拟)已知函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数， 且是以 2 为周期的周期函数．若当 x∈[0,1)时，f(x)＝2x－1，则
f(log16)的值为________．
2
解析 ∵f(x)是周期为 2 的奇函数．
∴f(log16)＝f
2
log1
2
法二 易知 f(x)的定义域为 R. ∵f(－x)＋f(x)＝log2[－x＋ －x2＋1]＋ log2(x＋ x2＋1)＝log21＝0，即 f(－x)＝－f(x)， ∴f(x)为奇函数． 对于 g(x)，由|x－2|＞0，得 x≠2. ∴g(x)的定义域为{x|x≠2}． ∵g(x)的定义域关于原点不对称， ∴g(x)为非奇非偶函数． 答案 (1)① (2)奇 非奇非偶
2-3函数的奇偶性与周期性
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第二篇 函数、导数及应用
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(3)在公共定义域内， ①两个奇函数的和是 奇函数
，两个奇函数的积是偶函
数；
②两个偶函数的和、积是 偶函数 ； ③一个奇函数，一个偶函数的积是 奇函数．
(4)复合函数的奇偶性特点是“内偶则偶，内奇同外”．
(5)既奇又偶的函数有无穷多个(如f(x)＝0，定义域是关于原
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考情分析 3．高考中考查函数的性质往往不是单纯考查一个性质， 而是综合考查，所以需要对函数的各个性质非常熟悉并能结 合函数图象的特点，对各个性质综合运用． 预测与备考：2014 年仍将以函数的性质及应用为主， 考查延续选择、填空题形式，分值 5 分．备考时要切实掌握 判断函数奇偶性、周期性的方法，强化函数性质的应用意识.
点对称的任意一个数集)．
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问题探究1：奇函数、偶函数的定义域具有什么特点？它是 函数具有奇偶性的什么条件？
提示：定义域关于原点对称，必要不充分条件．
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3．对称性 若函数f(x)满足f(a－x)＝f(a＋x)或f(x)＝f(2a－x)，则函数f(x) 关于直线x＝a对称． 若函数f(x)满足f(a＋x)＝－f(a－x)或f(x)＝－f(2a－x)，则函 数f(x)关于点(a,0)成中心对称．
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问题探究2：如果T是函数y＝f(x)的周期，那么kT(k∈Z)是否 一定也是该函数的周期？
2-3函数的奇偶性和周期性
R总有f(－x)＝f(x)．
f(x)为偶函数
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函数
方法二：x≥0时，f(x)＝x2－2x＝x2－2|x| x＜0时，f(x)＝x2＋2x＝x2－2|x| ∴f(x)＝x2－2|x| ∴f(－x)＝(－x)2－2|－x|＝x2－2|x|＝f(x) ∴f(x)为偶函数．
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(1－ax)－1 1 ＝－ ＋ 2 1－ax 1 1 ＝－1＋ x＋ 1－a 2 1 1 ＝－( x ＋ )＝－f(x)． a －1 2 即 f(－x)＝－f(x)，∴f(x)为奇函数．
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1．奇函数、偶函数、奇偶性 对于函数f(x)，其定义域关于原点对称： ①如果对于函数定义域内任意一个x，都有 f(－x)＝ －f(x) ，那么函数f(x)就是奇函数； 如果对于函数定义域内任意一个x，都有 f(－x)＝
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5．(2010·安徽卷)若f(x)是R上周期为5的奇函数，且满 足f(1)＝1，f(2)＝2，则f(3)－f(4)＝( A．－1 C．－2 答案 A 解析 由于函数f(x)的周期为5，所以f(3)－f(4)＝f(－2)
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) B．1 D．2
A．f(x)与g(x)均为偶函数 B．f(x)为偶函数，g(x)为奇函数 C．f(x)与g(x)均为奇函数 D．f(x)为奇函数，g(x)为偶函数
高三数学一轮复习精品教案1：2.3函数的奇偶性与周期性教学设计
2.3函数的奇偶性及周期性1．函数的奇偶性2.周期性(1)周期函数：对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期．(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期．1．判断函数的奇偶性，易忽视判断函数定义域是否关于原点对称．定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的一个必要条件．2．判断函数f(x)的奇偶性时，必须对定义域内的每一个x，均有f(－x)＝－f(x)，而不能说存在x0使f(－x0)＝－f(x0)、f(－x0)＝f(x0)．3．分段函数奇偶性判定时，f(－x0)＝f(x0)利用函数在定义域某一区间上不是奇偶函数而否定函数在整个定义域上的奇偶性是错误的．『试一试』1．(2013·南通三模)对于定义在R上的函数f(x)，给出三个命题：①若f(－2)＝f(2)，则f(x)为偶函数；②若f(－2)≠f(2)，则f(x)不是偶函数；③若f (－2)＝f (2)，则f (x )一定不是奇函数． 其中正确命题的序号为________．『解析』根据偶函数的定义，对于定义域内的任意实数x ，若f (－x )＝f (x )，则f (x )是偶函数．从而命题①错误，命题②正确；对于常数函数，命题③错误． 『答案』①2．已知f (x )＝ax 2＋bx 是定义在『a －1,2a 』上的偶函数，那么a ＋b 的值是________． 『解析』∵f (x )＝ax 2＋bx 是定义在『a －1,2a 』上的偶函数， ∴a －1＋2a ＝0，∴a ＝13.又f (－x )＝f (x )，∴b ＝0，∴a ＋b ＝13.『答案』131．判断函数奇偶性的两个方法 (1)定义法：(2)图像法：2．周期性常用的结论对f (x )定义域内任一自变量的值x ： (1)若f (x ＋a )＝－f (x )，则T ＝2a ； (2)若f (x ＋a )＝1f x，则T ＝2a ； (3)若f (x ＋a )＝－1f x ，则T ＝2a .(a >0)『练一练』已知定义在R 上的函数f (x )满足f (x )＝－f ⎝⎛⎭⎫x ＋32，且f (1)＝2，则f (2 014)＝________.『解析』∵f (x )＝－f ⎝⎛⎭⎫x ＋32， ∴f (x ＋3)＝f ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫x ＋32＋32＝－f ⎝⎛⎭⎫x ＋32＝f (x )． ∴f (x )是以3为周期的周期函数． 则f (2 014)＝f (671×3＋1)＝f (1)＝2. 『答案』2判断下列函数的奇偶性． (1)f (x )＝1－x 2＋x 2－1； (2)f (x )＝3－2x ＋2x －3； (3)f (x )＝3x －3－x ； (4)f (x )＝4－x 2|x ＋3|－3；(5)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x ，x >0，x 2－x ，x <0.『解析』(1)∵由⎩⎪⎨⎪⎧x 2－1≥0，1－x 2≥0，得x ＝±1， ∴f (x )的定义域为{－1,1}．又f (1)＋f (－1)＝0，f (1)－f (－1)＝0， 即f (x )＝±f (－x )．∴f (x )既是奇函数又是偶函数．(2)∵函数f (x )＝3－2x ＋2x －3的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫32，不关于坐标原点对称，∴函数f (x )既不是奇函数，也不是偶函数． (3)∵f (x )的定义域为R ，∴f (－x )＝3－x －3x ＝－(3x －3－x )＝－f (x )， 所以f (x )为奇函数．(4)∵由⎩⎪⎨⎪⎧4－x 2≥0，|x ＋3|－3≠0，得－2≤x ≤2且x ≠0.∴f (x )的定义域为『－2,0)∪(0,2』，∴f (x )＝4－x 2|x ＋3|－3＝4－x 2x ＋3－3＝4－x 2x ，∴f (－x )＝－f (x )，∴f (x )是奇函数．(5)易知函数的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)关于原点对称，又当x >0时，f (x )＝x 2＋x ，则当x <0时，－x >0， 故f (－x )＝x 2－x ＝f (x )；当x <0时，f (x )＝x 2－x ，则当x >0时，－x <0， 故f (－x )＝x 2＋x ＝f (x )，故原函数是偶函数．『备课札记』 『类题通法』判断函数奇偶性除利用定义法和图像法，应学会利用性质(1)“奇＋奇”是奇，“奇－奇”是奇，“奇·奇”是偶，“奇÷奇”是偶； (2)“偶＋偶”是偶，“偶－偶”是偶，“偶·偶”是偶，“偶÷偶”是偶； (3)“奇·偶”是奇，“奇÷偶”是奇.『典例』 (1)已知y ＝f (x )＋x 2是奇函数，且f (1)＝1.若g (x )＝f (x )＋2，则g (－1)＝________. (2)已知奇函数f (x )的定义域为『－2,2』，且在区间『－2,0』上递减，求满足f (1－m )＋f (1－m 2)<0的实数m 的取值范围．『解析』 (1)∵y ＝f (x )＋x 2是奇函数，且x ＝1时，y ＝2，∴当x ＝－1时，y ＝－2， 即f (－1)＋(－1)2＝－2，得f (－1)＝－3，所以g (－1)＝f (－1)＋2＝－1. (2)∵f (x )的定义域为『－2,2』，∴⎩⎪⎨⎪⎧－2≤1－m ≤2，－2≤1－m 2≤2，解得－1≤m ≤ 3.① 又f (x )为奇函数，且在『－2,0』上递减， ∴f (x )在『－2,2』上递减，∴f (1－m )<－f (1－m 2)＝f (m 2－1)⇒1－m >m 2－1，即－2<m <1.② 综合①②可知，－1≤m <1.『备课札记』『解析』改变．∵f(x)为奇函数且在『－2,0』上递增，∴f(x)在『－2,2』上递增．∴m2－1>1－m.即m>1或m<－2.由例(2)①知1<m≤ 3.故m的取值范围为(1，3』．『类题通法』应用函数奇偶性可解决的四类问题及解题方法(1)求函数值：将待求值利用奇偶性转化为已知区间上的函数值求解．(2)求解析式：将待求区间上的自变量转化到已知区间上，再利用奇偶性求出，或充分利用奇偶性构造关于f(x)的方程(组)，从而得到f(x)的解析式．(3)求函数解析式中参数的值：利用待定系数法求解，根据f(x)±f(－x)＝0得到关于待求参数的恒等式，由系数的对等性得参数的值或方程(组)，进而得出参数的值．(4)画函数图像和判断单调性：利用奇偶性可画出另一对称区间上的图像及判断另一区间上的单调性．『针对训练』1．已知函数y＝f(x)是R上的偶函数，且在(－∞，0』上是减函数，若f(a)≥f(2)，则实数a 的取值范围是________．『解析』∵y＝f(x)是R上的偶函数，且在(－∞，0』上是减函数，∴函数y＝f(x)在『0，＋∞)上是增函数．∴当a>0时，由f(a)≥f(2)可得a≥2，当a<0时，由f(a)≥f(2)＝f(－2)，可得a≤－2.所以实数a的取值范围是(－∞，－2』∪『2，＋∞)．『答案』(－∞，－2』∪『2，＋∞)2．(2013·苏北四市期中)已知定义在R 上的偶函数f (x )在『0，＋∞)上是增函数，且f (2)＝1，若f (x ＋a )≤1对x ∈『－1,1』恒成立，则实数a 的取值范围是________．『解析』由题意得－2≤x ＋a ≤2对x ∈『－1,1』恒成立，即－2－x ≤a ≤2－x 对x ∈『－1,1』恒成立．当x ∈『－1,1』时，(－2－x )max ＝－2－(－1)＝－1，(2－x )min ＝2－1＝1，所以实数a 的取值范围是『－1,1』． 『答案』『－1,1』『典例』 已知函数f (x )对任意的实数满足：f (x ＋3)＝－1f x ，且当－3≤x <－1时，f (x )＝－(x ＋2)2，当－1≤x <3时，f (x )＝x .则f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2 014)＝________. 『解析』 ∵对任意x ∈R ，都有f (x ＋3)＝－1f x ，∴f (x ＋6)＝f (x ＋3＋3)＝－1f x ＋3＝－1－1f x＝f (x )，∴f (x )是以6为周期的周期函数，∵当－3≤x <－1时， f (x )＝－(x ＋2)2， 当－1≤x <3时，f (x )＝x ，∴f (1)＝1，f (2)＝2，f (3)＝f (－3)＝－1， f (4)＝f (－2)＝0，f (5)＝f (－1)＝－1，f (6)＝f (0)＝0. ∴f (1)＋f (2)＋…＋f (6)＝1，∴f (1)＋f (2)＋…＋f (6)＝f (7)＋f (8)＋…＋f (12)＝…＝f (2 005)＋f (2 006)＋…＋f (2 010)＝1， ∴f (1)＋f (2)＋…＋f (2 010)＝1×2 0106＝335.而f (2 011)＋f (2 012)＋f (2 013)＋f (2 014)＝f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＝1＋2－1＋0＝2， ∴f (1)＋f (2)＋…＋f (2 014)＝335＋2＝337. 『答案』 337『备课札记』 『类题通法』函数周期性的判定与应用(1)判断函数的周期只需证明f (x ＋T )＝f (x )(T ≠0)便可证明函数是周期函数，且周期为T ，函数的周期性常与函数的其他性质综合命题．(2)根据函数的周期性，可以由函数局部的性质得到函数的整体性质，在解决具体问题时，要注意结论：若T 是函数的周期，则kT (k ∈Z 且k ≠0)也是函数的周期． 『针对训练』设f (x )是定义在R 上的奇函数，且对任意实数x ，恒有f (x ＋2)＝－f (x )．当x ∈『0,2』时，f (x )＝2x －x 2.(1)求证：f (x )是周期函数；(2)当x ∈『2,4』时，求f (x )的解析式． 『解析』(1)证明：∵f (x ＋2)＝－f (x )， ∴f (x ＋4)＝－f (x ＋2)＝f (x )． ∴f (x )是周期为4的周期函数．(2)∵x ∈『2,4』，∴－x ∈『－4，－2』，∴4－x ∈『0,2』， ∴f (4－x )＝2(4－x )－(4－x )2＝－x 2＋6x －8. 又∵f (4－x )＝f (－x )＝－f (x )， ∴－f (x )＝－x 2＋6x －8， 即f (x )＝x 2－6x ＋8，x ∈『2,4』．『课堂练通考点』1．设f (x )是周期为2的奇函数，当0≤x ≤1时，f (x )＝2x (1－x )，则f ⎝⎛⎭⎫－52＝________. 『解析』∵f (x )是周期为2的奇函数， ∴f ⎝⎛⎭⎫－52＝－f ⎝⎛⎭⎫52＝－f ⎝⎛⎭⎫52－2 ＝－f ⎝⎛⎭⎫12＝－2×12×⎝⎛⎭⎫1－12＝－12. 『答案』－122．(2010·江苏高考)设函数f (x )＝x (e x ＋a e －x )(x ∈R )是偶函数，则实数a 的值为________． 『解析』设g (x )＝x ，h (x )＝e x ＋a e －x ，因为函数g (x )＝x 是奇函数，则由题意知，函数h (x )＝e x ＋a e －x 为奇函数，又函数f (x )的定义域为R ，∴h (0)＝0，解得a ＝－1. 『答案』－13．设函数f (x )＝x 3cos x ＋1.若f (a )＝11，则f (－a )＝________.『解析』观察可知，y ＝x 3cos x 为奇函数，且f (a )＝a 3cos a ＋1＝11，故a 3cos a ＝10.则f (－a )＝－a 3·cos a ＋1＝－10＋1＝－9. 『答案』－94．若函数f (x )＝x 2－|x ＋a |为偶函数，则实数a ＝________. 『解析』法一：∵f (－x )＝f (x )对于x ∈R 恒成立，∴|－x ＋a |＝|x ＋a |对于x ∈R 恒成立，两边平方整理得ax ＝0对于x ∈R 恒成立，故a ＝0. 法二：由f (－1)＝f (1)，得|a －1|＝|a ＋1|得a ＝0. 『答案』05．设定义在『－2,2』上的偶函数f (x )在区间『－2,0』上单调递减，若f (1－m )<f (m )，求实数m 的取值范围．『解析』由偶函数性质知f (x )在『0,2』上单调递增，且f (1－m )＝f (|1－m |)，f (m )＝f (|m |)，因此f (1－m )<f (m )等价于 ⎩⎪⎨⎪⎧－2≤1－m ≤2，－2≤m ≤2，|1－m |<|m |.解得：12<m ≤2.因此实数m 的取值范围是⎝⎛⎦⎤12，2.。
原创2：2.3 函数的奇偶性与周期性
考点一 函数的周期性
(1)已知函数 f(x)是定义域为 R 的偶函数，且 f(x＋
1)＝f（1x），若 f(x)在[－1，0]上是减函数，那么 f(x)在[2，
3]上是( A )
A．增函数
B．减函数
C．先增后减的函数
D．先减后增的函数
(2)(2014·高考安徽卷)若函数 f(x)(x∈R)是周期为 4 的奇函
即实数 m 的取值范围是[－1，1)．
(3)∵f(x)为奇函数，∴f(－x)＝－f(x)， ∴（x＋2t）an（xx＋k）＝－（－x＋tan2（）－（x－）x＋k）， ∴(x＋2)(x＋k)＝(2－x)(k－x)， x2＋2x＋kx＋2k＝2k－kx－2x＋x2，∴k＝－2．
[规律方法] 与函数奇偶性有关问题的解决方法 (1)已知函数的奇偶性，求函数值 将待求值利用奇偶性转化为已知区间上的函数值求解． (2)已知函数的奇偶性求解析式 将待求区间上的自变量，转化到已知区间上，再利用奇偶 性求出，或充分利用奇偶性构造关于 f(x)的方程(组)，从而 得到 f(x)的解析式． (3)已知函数的奇偶性，求函数解析式中参数的值 常常利用待定系数法：利用 f(x)±f(－x)＝0 得到关于待求参 数的恒等式，由系数的对等性得参数的值或方程求解． (4)应用奇偶性画图象和判断单调性
1．设 f(x)是定义在 R 上的奇函数，且对任意 实数 x，恒有 f(x＋2)＝－f(x)．当 x∈[0，2]时,f(x)＝2x－x2． (1)求证：f(x)是周期函数；
(2)当 x∈[2，4]时，求 f(x)的解析式．
解：(1)证明：∵f(x＋2)＝－f(x)，∴f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)． ∴f(x)是周期为 4 的周期函数． (2)∵x∈[2，4]，∴－x∈[－4，－2]， ∴4－x∈[0，2]， ∴f(4－x)＝2(4－x)－(4－x)2＝－x2＋6x－8． 又 f(4－x)＝f(－x)＝－f(x)，∴－f(x)＝－x2＋6x－8， 即 f(x)＝x2－6x＋8，x∈[2，4]．
2013届高考数学一轮复习教案2.4函数的奇偶性与周期性
§2.4函数的奇偶性与周期性1.奇、偶函数的概念一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有__________，那么函数f(x)就叫做偶函数.一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有____________，那么函数f(x)就叫做奇函数.奇函数的图象关于原点对称；偶函数的图象关于y轴对称.2.奇、偶函数的性质(1)奇函数在关于原点对称的区间上的单调性__________，偶函数在关于原点对称的区间上的单调性________.(2)在公共定义域内，①两个奇函数的和是________，两个奇函数的积是偶函数；②两个偶函数的和、积都是__________；③一个奇函数，一个偶函数的积是__________.3.周期性(1)周期函数：对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝________，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期.(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中____________的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期.4.对称性若函数f(x)满足f(a－x)＝f(a＋x)或f(x)＝f(2a－x)，则函数f(x)关于直线x＝a对称. [难点正本疑点清源]1.函数奇偶性的判断判断函数的奇偶性主要根据定义：一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝f(x)(或f(－x)＝－f(x))，那么函数f(x)就叫做偶函数(或奇函数).其中包含两个必备条件：①定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要不充分条件，所以首先考虑定义域有利于准确简捷地解决问题；②判断f (x )与f (－x )是否具有等量关系.在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价关系式(f (x )＋f (－x )＝0(奇函数)或f (x )－f (－x )＝0(偶函数))是否成立.2.函数奇偶性的性质(1)奇函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性完全相同；偶函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性恰恰相反.(2)若f (x )为偶函数，则f (－x )＝f (x )＝f (|x |).(3)若奇函数f (x )定义域中含有0，则必有f (0)＝0.f (0)＝0是f (x )为奇函数的既不充分也不必要条件.(4)定义在关于原点对称区间上的任意一个函数，都可表示成“一个奇函数与一个偶函数的和(或差)”.(5)复合函数的奇偶性特点是：“内偶则偶，内奇同外”.(6)既奇又偶的函数有无穷多个(如f (x )＝0，定义域是关于原点对称的任意一个数集).1.已知f (x )＝ax 2＋bx 是定义在[a －1,2a ]上的偶函数，那么a ＋b 的值是________.2.下列函数中，所有奇函数的序号是________.①f (x )＝2x 4＋3x 2；②f (x )＝x 3－2x ；③f (x )＝x 2＋1x；④f (x )＝x 3＋1. 3.(2011·广东)设函数f (x )＝x 3cos x ＋1.若f (a )＝11，则f (－a )＝________.4.设函数f (x )是定义在R 上的奇函数，若当x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝lg x ，则满足f (x )>0的x 的取值范围是________.5.定义在R 上的函数y ＝f (x )是奇函数，且满足f (1＋x )＝f (1－x ).当x ∈[－1,1]时，f (x )＝x 3，则f (2 013)的值是( )A.－1B.0C.1D.2题型一 函数奇偶性的判断例1 判断下列函数的奇偶性.(1)f (x )＝9－x 2＋x 2－9；(2)f (x )＝(x ＋1)1－x 1＋x； (3)f (x )＝4－x 2|x ＋3|－3.探究提高 判断函数的奇偶性，其中包括两个必备条件：(1)定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要不充分条件，所以首先考虑定义域对解决问题是有利的；(2)判断f (x )与f (－x )是否具有等量关系.在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价等量关系式(f (x )＋f (－x )＝0(奇函数)或f (x )－f (－x )＝0(偶函数))是否成立. 分段函数指在定义域的不同子集有不同对应关系的函数，分段函数奇偶性的判断，要分别从x >0或x <0来寻找等式f (－x )＝f (x )或f (－x )＝－f (x )成立，只有当对称的两个区间上满足相同关系时，分段函数才具有确定的奇偶性.判断下列函数的奇偶性.(1)f (x )＝lg 1－x 1＋x；(2)f (x )＝(x －1) 2＋x 2－x ； (3)f (x )＝{ x 2＋x (x >0)，x 2－x (x <0)；(4)f (x )＝lg (1－x 2)|x 2－2|－2. 题型二 函数的单调性与奇偶性例2 定义在(－1,1)上的函数f (x ).(ⅰ)对任意x ，y ∈(－1,1)都有：f (x )＋f (y )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋y 1＋xy ； (ⅱ)当x ∈(－∞，0)时，f (x )>0，回答下列问题.(1)判断f (x )在(－1,1)上的奇偶性，并说明理由；(2)判断函数f (x )在(0,1)上的单调性，并说明理由；(3)若f ⎝⎛⎭⎫15＝12，试求f ⎝⎛⎭⎫12－f ⎝⎛⎭⎫111－f ⎝⎛⎭⎫119的值. 探究提高 对于抽象函数单调性和奇偶性的判断一般要紧扣定义.通过赋值要出现：f (x 1)－f (x 2)与0的大小关系，f (x )与f (－x )的关系.就本题来讲要注意运用x <0时f (x )>0的条件.函数y ＝f (x )(x ≠0)是奇函数，且当x ∈(0，＋∞)时是增函数，若f (1)＝0，求不等式f [x (x －12)]<0的解集. 题型三 函数的奇偶性与周期性例3 设f (x )是定义在R 上的奇函数，且对任意实数x ，恒有f (x ＋2)＝－f (x ).当x ∈[0,2]时，f (x )＝2x －x 2.(1)求证：f (x )是周期函数；(2)当x ∈[2,4]时，求f (x )的解析式；(3)计算f (0)＋f (1)＋f (2)＋…＋f (2 011).探究提高 判断函数的周期只需证明f (x ＋T )＝f (x ) (T ≠0)便可证明函数是周期函数，且周期为T，函数的周期性常与函数的其他性质综合命题，是高考考查的重点问题.已知f(x)是定义在R上的偶函数，并且f(x＋2)＝－1f(x)，当2≤x≤3时，f(x)＝x，则f(105.5)＝________.2.等价转换要规范试题：(12分)函数f(x)的定义域D＝{x|x≠0}，且满足对于任意x1，x2∈D.有f(x1·x2)＝f(x1)＋f(x2).(1)求f(1)的值；(2)判断f(x)的奇偶性并证明；(3)如果f(4)＝1，f(3x＋1)＋f(2x－6)≤3，且f(x)在(0，＋∞)上是增函数，求x的取值范围.学生解答展示审题视角(1)从f(1)联想自变量的值为1，进而想到赋值x1＝x2＝1.(2)判断f(x)的奇偶性，就是研究f(x)、f(－x)的关系.从而想到赋值x1＝－1，x2＝x.即f(－x)＝f(－1)＋f(x).(3)就是要出现f(M)<f(N)的形式，再结合单调性转化为M<N或M>N的形式求解.规范解答解(1)令x1＝x2＝1，有f(1×1)＝f(1)＋f(1)，解得f(1)＝0.[2分](2)f (x )为偶函数，证明如下：[4分]令x 1＝x 2＝－1，有f [(－1)×(－1)]＝f (－1)＋f (－1)，解得f (－1)＝0.令x 1＝－1，x 2＝x ，有f (－x )＝f (－1)＋f (x )，∴f (－x )＝f (x ).∴f (x )为偶函数.[7分](3)f (4×4)＝f (4)＋f (4)＝2，f (16×4)＝f (16)＋f (4)＝3.[8分]由f (3x ＋1)＋f (2x －6)≤3，变形为f [(3x ＋1)(2x －6)]≤f (64).(*)∵f (x )为偶函数，∴f (－x )＝f (x )＝f (|x |).∴不等式(*)等价于f [|(3x ＋1)(2x －6)|]≤f (64).[9分]又∵f (x )在(0，＋∞)上是增函数，∴|(3x ＋1)(2x －6)|≤64，且(3x ＋1)(2x －6)≠0.解得－73≤x <－13或－13<x <3或3<x ≤5. ∴x 的取值范围是{x |－73≤x <－13或－13<x <3或3<x ≤5}.[12分] 批阅笔记 数学解题的过程就是一个转换的过程.解题质量的高低，取决于每步等价转换的规范程度.如果每一步等价转换都是正确的、规范的，那么这个解题过程就一定是规范的.等价转化要做到规范，应注意以下几点：(1)要有明确的语言表示.如“M ”等价于“N ”，“M ”变形为“N ”.(2)要写明转化的条件.如本例中：∵f (x )为偶函数，∴不等式(*)等价于f [|(3x ＋1)(2x －6)|]≤f (64).(3)转化的结果要等价.如本例：由于f [|(3x ＋1)(2x －6)|]≤f (64)⇒|(3x ＋1)(2x －6)|≤64， 且(3x ＋1)(2x －6)≠0.若漏掉(3x ＋1)(2x －6)≠0，则这个转化就不等价了.方法与技巧1.正确理解奇函数和偶函数的定义，必须把握好两个问题：(1)定义域在数轴上关于原点对称是函数f (x )为奇函数或偶函数的必要非充分条件；(2)f (－x )＝－f (x )或f (－x )＝f (x )是定义域上的恒等式.2.奇偶函数的定义是判断函数奇偶性的主要依据.为了便于判断函数的奇偶性，有时需要先将函数进行化简，或应用定义的等价形式：f (－x )＝±f (x )⇔f (－x )±f (x )＝0⇔f (－x )f (x )＝±1(f (x )≠0).3.奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y 轴对称，反之也真.利用这一性质可简化一些函数图象的画法，也可以利用它去判断函数的奇偶性.失误与防范1.判断函数的奇偶性，首先应该判断函数定义域是否关于原点对称.定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的一个必要条件.2.判断函数f (x )是奇函数，必须对定义域内的每一个x ，均有f (－x )＝－f (x )，而不能说存在x 0使f (－x 0)＝－f (x 0).对于偶函数的判断以此类推.3.分段函数奇偶性判定时，要以整体的观点进行判断，不可以利用函数在定义域某一区间上不是奇偶函数而否定函数在整个定义域上的奇偶性.答案要点梳理1．f (－x )＝f (x ) f (－x )＝－f (x )2．(1)相同 相反 (2)①奇函数 ②偶函数 ③奇函数3．(1)f (x ) (2)存在一个最小基础自测1.132.②③3.－9 4．(－1,0)∪(1，＋∞) 5.C题型分类·深度剖析例1 解 (1)由⎩⎪⎨⎪⎧9－x 2≥0x 2－9≥0，得x ＝±3. ∴f (x )的定义域为{－3,3}．又f (3)＋f (－3)＝0，f (3)－f (－3)＝0.即f (x )＝±f (－x )．∴f (x )既是奇函数，又是偶函数．(2)由⎩⎪⎨⎪⎧ 1－x 1＋x ≥01＋x ≠0，得－1<x ≤1.∵f (x )的定义域(－1,1]不关于原点对称．∴f (x )既不是奇函数，也不是偶函数．(3)由⎩⎪⎨⎪⎧4－x 2≥0|x ＋3|－3≠0，得－2≤x ≤2且x ≠0.∴f (x )的定义域为[－2,0)∪(0,2]，关于原点对称．∴f (x )＝4－x 2(x ＋3)－3＝4－x 2x . ∴f (x )＝－f (－x )，∴f (x )是奇函数．变式训练1 解 (1)由1－x 1＋x>0⇒－1<x <1，定义域关于原点对称． 又f (－x )＝lg 1＋x 1－x ＝lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 1＋x －1 ＝－lg 1－x 1＋x＝－f (x )， 故原函数是奇函数．(2)由2＋x 2－x≥0且2－x ≠0⇒－2≤x <2， 定义域关于原点不对称，故原函数是非奇非偶函数．(3)函数定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称，又当x >0时，f (x )＝x 2＋x ，则当x <0时，－x >0，故f (－x )＝x 2－x ＝f (x )；当x <0时，f (x )＝x 2－x ，则当x >0时，－x <0，故f (－x )＝x 2＋x ＝f (x )，故原函数是偶函数．(4)由⎩⎪⎨⎪⎧1－x 2>0，|x 2－2|－2≠0得定义域为(－1,0)∪(0,1)，关于原点对称， ∴f (x )＝lg (1－x 2)－(x 2－2)－2＝－lg (1－x 2)x 2. ∵f (－x )＝－lg[1－(－x )2](－x )2＝－lg (1－x 2)x 2＝f (x )，∴f (x )为偶函数． 例2 解 (1)令x ＝y ＝0⇒f (0)＝0，令y ＝－x ，则f (x )＋f (－x )＝0⇒f (－x )＝－f (x )⇒f (x )在(－1,1)上是奇函数．(2)设0<x 1<x 2<1，则f (x 1)－f (x 2)＝f (x 1)＋f (－x 2)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1－x 21－x 1x 2， 而x 1－x 2<0,0<x 1x 2<1⇒x 1－x 21－x 1x 2<0 ⇒f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1－x 21－x 1x 2>0， 即当0<x 1<x 2<1时，f (x 1)>f (x 2)，∴f (x )在(0,1)上单调递减．(3)由于f ⎝⎛⎭⎫12－f ⎝⎛⎭⎫15＝f ⎝⎛⎭⎫12＋f ⎝⎛⎭⎫－15＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12－151－12×5＝f ⎝⎛⎭⎫13，同理，f ⎝⎛⎭⎫13－f ⎝⎛⎭⎫111＝f ⎝⎛⎭⎫14，f ⎝⎛⎭⎫14－f ⎝⎛⎭⎫119＝f ⎝⎛⎭⎫15，∴f ⎝⎛⎭⎫12－f ⎝⎛⎭⎫111－f ⎝⎛⎭⎫119＝2f ⎝⎛⎭⎫15＝2×12＝1. 变式训练2 解 ∵y ＝f (x )为奇函数，且在(0，＋∞)上为增函数，∴y ＝f (x )在(－∞，0)上也是增函数，且由f (1)＝0得f (－1)＝0.若f [x (x －12)]<0＝f (1)， 则⎩⎨⎧ x (x －12)>0x (x －12)<1即0<x (x －12)<1， 解得12<x <1＋174或1－174<x <0. 若f [x (x －12)]<0＝f (－1)， 则⎩⎨⎧ x (x －12)<0x (x －12)<－1 由x (x －12)<－1，解得x ∈∅. ∴原不等式的解集是{x |12<x <1＋174或1－174<x <0}． 例3 (1)证明 ∵f (x ＋2)＝－f (x )，∴f (x ＋4)＝－f (x ＋2)＝f (x )．∴f (x )是周期为4的周期函数．(2)解∵x∈[2,4]，∴－x∈[－4，－2]，∴4－x∈[0,2]，∴f(4－x)＝2(4－x)－(4－x)2＝－x2＋6x－8，又f(4－x)＝f(－x)＝－f(x)，∴－f(x)＝－x2＋6x－8，即f(x)＝x2－6x＋8，x∈[2,4]．(3)解∵f(0)＝0，f(2)＝0，f(1)＝1，f(3)＝－1.又f(x)是周期为4的周期函数，∴f(0)＋f(1)＋f(2)＋f(3)＝f(4)＋f(5)＋f(6)＋f(7)＝…＝f(2 008)＋f(2 009)＋f(2 010)＋f(2 011)＝0.∴f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2 011)＝0.变式训练3 2.5高%考☆试ω题$库。
高考数学总复习 2-3 函数的奇偶性与周期性但因为测试 新人教B版
高考数学总复习 2-3 函数的奇偶性与周期性但因为测试 新人教B 版1.(2010·北京西城区抽检)下列各函数中，( )是R 上的偶函数( ) A ．y ＝x 2－2x B ．y ＝2x C ．y ＝cos2x D ．y ＝1|x |－1[答案] C[解析] A 、B 不是偶函数，D 的定义域{x ∈R|x ≠±1}不是R ，故选C.2．(文)设f (x )是定义在R 上的奇函数，且当x >0时，f (x )＝2x －3，则f (－2)的值等于( ) A ．－1 B.114 C ．1 D ．－114[答案] A[解析] f (2)＝22－3＝1，又f (x )是奇函数， ∴f (－2)＝－f (2)＝－1，故选A.(理)(2011·浙江杭州月考)已知函数f (x )为定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝2x ＋2x ＋m (m 为常数)，则f (－1)的值为( )A ．－3B ．－1C ．1D ．3[答案] A[解析] ∵函数f (x )是定义在R 上的奇函数， ∴f (0)＝0，即f (0)＝20＋m ＝0，解得m ＝－1. ∴f (x )＝2x ＋2x －1，f (1)＝21＋2×1－1＝3， f (－1)＝－f (1)＝－3.3．(文)(2011·济南模拟)函数f (x )(x ∈R)是周期为3的奇函数，且f (－1)＝a ，则f (2011)的值为( )A ．aB ．－aC ．0D ．2a[答案] B[解析] ∵f (x )周期为3， ∴f (2011)＝f (670×3＋1)＝f (1)， ∵f (x )为奇函数，f (－1)＝a ， ∴f (1)＝－a ，故选B.(理)(2011·兰州诊断、河北三校联考)已知f (x )是定义在R 上的偶函数，并满足f (x ＋2)＝－1fx，当1≤x≤2时，f(x)＝x－2，则f(6.5)＝()A．4.5 B．－4.5C．0.5 D．－0.5[答案] D[解析]∵f(x＋2)＝－1fx，∴f(x＋4)＝f[(x＋2)＋2]＝－1fx＋＝f(x)，∴f(x)周期为4，∴f(6.5)＝f(6.5－8)＝f(－1.5)＝f(1.5)＝1.5－2＝－0.5.4．(文)(2011·北京东城一模)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且当x>0时，f(x)＝ln(x ＋1)，则函数f(x)的图象大致为()[答案] C[解析]函数f(x)＝ln(x＋1)的图象由f(x)＝ln x的图象向左平移1个单位得到，选取x>0的部分，然后作关于y轴的对称图形即得．(理)(2011·北京西城模拟)定义在R 上的偶函数f (x )的部分图象如图所示，则在(－2,0)上，下列函数中与f (x )的单调性不同的是( )A ．y ＝x 2＋1B ．y ＝|x |＋1C ．y ＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋1，x ≥0x 3＋1，x <0D ．y ＝⎩⎪⎨⎪⎧e x，x ≥0e －x ，x <0[答案] C[解析] ∵f (x )为偶函数，由图象知，f (x )在(－2,0)上为减函数，而y ＝x 3＋1在(－∞，0)上为增函数．5．(2011·青岛模拟)已知定义在R 上的函数f (x )满足f (3)＝2－3，且对任意的x 都有f (x ＋3)＝1－fx，则f (2010)的值为( )A ．－2－ 3B ．－2＋ 3C ．2－ 3D ．－3－ 3[答案] A[解析] 由题意得f (x ＋6)＝f (x ＋3＋3)＝1－fx ＋＝1－－1fx ＝f (x )．∴函数f (x )的周期为6. f (2010)＝f (335×6)＝f (6)，而f (6)＝f (3＋3)＝－1f ＝－12－3＝－2－ 3.6．(文)(2011·合肥模拟)设f (x )是偶函数，且当x >0时是单调函数，则满足f (2x )＝f (x ＋1x ＋4)的所有x 之和为( )A ．－92B ．－72C ．－8D ．8[答案] C[解析] ∵f (x )是偶函数，f (2x )＝f (x ＋1x ＋4)∴f (|2x |)＝f (|x ＋1x ＋4|)又∵f (x )在(0，＋∞)上为单调函数， ∴|2x |＝|x ＋1x ＋4|，即2x ＝x ＋1x ＋4或2x ＝－x ＋1x ＋4整理得2x 2＋7x －1＝0或2x 2＋9x ＋1＝0设方程2x 2＋7x －1＝0的两根为x 1，x 2，方程2x 2＋9x ＋1＝0的两根为x 3，x 4. 则(x 1＋x 2)＋(x 3＋x 4)＝－72＋(－92)＝－8.(理)已知f (x )是定义在(－∞，＋∞)上的偶函数，且在(－∞，0]上是增函数，设a ＝f (log 47)，b ＝f (log 123)，c ＝f (0.20.6)，则a 、b 、c 的大小关系是( )A ．c <b <aB ．b <c <aC ．b <a <cD ．a <b <c[答案] C[解析] 由题意知f (x )＝f (|x |)．∵log 47＝log 27>1，|log 12 3|＝log 23>log 27，0<0.20.6<1，∴|log 123|>|log 47|>|0.20.6|.又∵f (x )在(－∞，0]上是增函数，且f (x )为偶函数， ∴f (x )在[0，＋∞)上是减函数． ∴b <a <c .故选C.7．(文)若f (x )是定义在R 上的偶函数，其图象关于直线x ＝2对称，且当x ∈(－2,2)时，f (x )＝－x 2＋1.则f (－5)＝________.[答案] 0[解析] 由题意知f (－5)＝f (5)＝f (2＋3)＝f (2－3)＝f (－1)＝－(－1)2＋1＝0.(理)(2010·深圳中学)已知函数y ＝f (x )是偶函数，y ＝g (x )是奇函数，它们的定义域都是[－π，π]，且它们在x ∈[0，π]上的图象如图所示，则不等式fxgx<0的解集是________．[答案] ⎝⎛⎭⎫－π3，0∪⎝⎛⎭⎫π3，π [解析] 依据偶函数的图象关于y 轴对称，奇函数的图象关于原点对称，先补全f (x )、g (x )的图象，∵fxgx <0，∴⎩⎨⎧fx gx，或⎩⎨⎧fxgx，观察两函数的图象，其中一个在x 轴上方，一个在x轴下方的，即满足要求，∴－π3<x <0或π3<x <π.8．设函数f (x )＝cos(3x ＋φ)(0<φ<π)．若f (x )＋f ′(x )是奇函数，则φ＝________. [答案] π6[解析] ∵f ′(x )＝－3sin(3x ＋φ)． ∴f (x )＋f ′(x )＝cos(3x ＋φ)－3sin(3x ＋φ) ＝2cos ⎝⎛⎭⎫3x ＋φ＋π3. f (x )＋f ′(x )是奇函数⇔φ＋π3＝k π＋π2(k ∈Z)，即φ＝k π＋π6(k ∈Z)．又∵0<φ<π，∴k ＝0时，φ＝π6.9．定义在R 上的偶函数f (x )在[0，＋∞)上单调递减，且f (12)＝0，则满足f (log 14 x )<0的集合为________．[答案] (0，12)∪(2，＋∞)[解析] 由题意知f (x )<0的解为x >12或x <－12，∴由f (log 14 x )<0得log 14 x >12或log 14x <－12，∴0<x <12或x >2.10．(文)已知函数f (x )＝1－42a x＋a(a >0且a ≠1)是定义在(－∞，＋∞)上的奇函数． (1)求a 的值； (2)求函数f (x )的值域；(3)当x ∈(0,1]时，tf (x )≥2x －2恒成立，求实数t 的取值范围．[解析] (1)∵f (x )是定义在(－∞，＋∞)上的奇函数，即f (－x )＝－f (x )恒成立，∴f (0)＝0. 即1－42×a 0＋a＝0，解得a ＝2.(2)∵y ＝2x －12x ＋1，∴2x ＝1＋y1－y ，由2x >0知1＋y1－y>0，∴－1<y <1，即f (x )的值域为(－1,1)． (3)不等式tf (x )≥2x－2即为t ·2x －t 2x ＋1≥2x－2.即：(2x )2－(t ＋1)·2x ＋t －2≤0.设2x ＝u ， ∵x ∈(0,1]，∴u ∈(1,2]．∵u ∈(1,2]时u 2－(t ＋1)·u ＋t －2≤0恒成立．∴⎩⎪⎨⎪⎧12－t ＋＋t －2≤022－t ＋＋t －2≤0，解得t ≥0.(理)(2011·烟台模拟)已知函数f (x )＝ax ＋1x 2(x ≠0，常数a ∈R)．(1)讨论函数f (x )的奇偶性，并说明理由；(2)若函数f (x )在x ∈[3，＋∞)上为增函数，求a 的取值范围． [解析] (1)定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称．当a ＝0时，f (x )＝1x 2，满足对定义域上任意x ，f (－x )＝f (x )，∴a ＝0时，f (x )是偶函数；当a ≠0时，f (1)＝a ＋1，f (－1)＝1－a ， 若f (x )为偶函数，则a ＋1＝1－a ，a ＝0矛盾； 若f (x )为奇函数，则1－a ＝－(a ＋1)，1＝－1矛盾， ∴当a ≠0时，f (x )是非奇非偶函数． (2)对任意x 1，x 2∈[3，＋∞)，且x 1>x 2， f (x 1)－f (x 2)＝ax 1＋1x 21－ax 2－1x 22＝a (x 1－x 2)＋x 22－x 21x 21x 22＝(x 1－x 2)(a －x 1＋x 2x 21x 22)．∵x 1－x 2>0，f (x )在[3，＋∞)上为增函数，∴a >x 1＋x 2x 21x 22，即a >1x 1x 22＋1x 21x 2在[3，＋∞)上恒成立．∵1x 1x 22＋1x 21x 2<227，∴a ≥227.11.(2011·泰安模拟)f (x )是定义在R 上的以3为周期的偶函数，且f (2)＝0，则方程f (x )＝0在区间(0,6)内解的个数至少是( )A ．1B ．4C ．3D ．2 [答案] B[解析] 由f (2)＝0，得f (5)＝0， ∴f (－2)＝0，f (－5)＝0. ∴f (－2)＝f (－2＋3)＝f (1)＝0， f (－5)＝f (－5＋9)＝f (4)＝0，故f (x )＝0在区间(0,6)内的解至少有1,2,4,5四个．12．(2011·开封调研)已知f (x )(x ∈R)为奇函数，f (2)＝1，f (x ＋2)＝f (x )＋f (2)，则f (3)等于( )A.12 B ．1 C.32 D ．2[答案] C[分析] 为求f (3)先求f (1)，为求f (1)先在f (x ＋2)＝f (x )＋f (2)中，令x ＝－1，利用f (x )为奇函数，可解出f (1)．[解析] 令x ＝－1得f (1)＝f (－1)＋f (2)＝f (2)－f (1)， ∴f (1)＝12f (2)＝12，∴f (3)＝f (1)＋f (2)＝32.[点评] 解答此类题目，一般先看给出的值和待求值之间可以通过条件式怎样赋值才能产生联系，赋值时同时兼顾奇偶性或周期性的运用，请再练习下题：若奇函数f (x )(x ∈R)满足f (3)＝1，f (x ＋3)＝f (x )＋f (3)，则f ⎝⎛⎭⎫32等于( ) A ．0 B ．1 C.12 D ．－12[答案] C[解析] 在f (x ＋3)＝f (x )＋f (3)中取x ＝－32得，f ⎝⎛⎭⎫32＝f ⎝⎛⎭⎫－32＋f (3)，∴f (x )是奇函数，且f (3)＝1，∴f ⎝⎛⎭⎫32＝12.13．(文)(2011·山东淄博一模)设奇函数f (x )的定义域为R ，最小正周期T ＝3，若f (1)≥1，f (2)＝2a －3a ＋1，则a 的取值范围是( ) A ．a <－1或a ≥23B ．a <－1C ．－1<a ≤23D ．a ≤23[答案] C[解析] 函数f (x )为奇函数，则f (－1)＝－f (1)． 由f (1)＝－f (－1)≥1得，f (－1)≤－1； 函数的最小正周期T ＝3，则f (－1)＝f (2)，由2a －3a ＋1≤－1解得，－1<a ≤23.(理)(2011·新方一模)已知定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x －4)＝－f (x )，且在区间[0,2]上是增函数，则( )A ．f (－25)<f (11)<f (80)B ．f (80)<f (11)<f (－25)C ．f (11)<f (80)<f (－25)D ．f (－25)<f (80)<f (11) [答案] D[解析] ∵f (x －4)＝－f (x )， ∴f (x －8)＝－f (x －4)＝f (x )，∴f (x ＋8)＝f (x )，∴f (x )周期为8.∴f (80)＝f (0)， 又∵f (x )为奇函数，∴f (－25)＝f (－24－1)＝f (－1)， ∴f (11)＝f (3)＝－f (3－4)＝f (1)， 由条件知f (x )在[－2,2]上为增函数，∴f (－1)<f (0)<f (1)，∴f (－25)<f (80)<f (11)．14．(文)设f (x )是定义在R 上的奇函数，且y ＝f (x )的图象关于直线x ＝12对称，则f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＋f (5)＝________.[答案] 0[解析] ∵f (x )的图象关于直线x ＝12对称，∴f ⎝⎛⎭⎫12＋x ＝f ⎝⎛⎭⎫12－x ，对任意x ∈R 都成立， ∴f (x )＝f (1－x )，又f (x )为奇函数， ∴f (x )＝－f (－x )＝－f (1＋x ) ＝f (－1－x )＝f (2＋x )，∴周期T ＝2 ∴f (0)＝f (2)＝f (4)＝0 又f (1)与f (0)关于x ＝12对称∴f (1)＝0 ∴f (3)＝f (5)＝0 填0.(理)若函数f (x )＝a －e x1＋a e x (a 为常数)在定义域上为奇函数，则实数a 的值为________．[答案] 1或－1[解析] f (－x )＝a －e －x 1＋ae －x ＝ae x －1e x ＋af (x )＋f (－x )＝a －e x a ＋e x ＋＋ae x ae x －＋ae x e x ＋a＝a 2－e 2x ＋a 2e 2x －1＋ae x e x ＋a ＝0恒成立，所以a ＝1或－1.15．已知函数f (x )＝e x －e －x (x ∈R 且e 为自然对数的底数)．(1)判断函数f (x )的奇偶性与单调性；(2)是否存在实数t ，使不等式f (x －t )＋f (x 2－t 2)≥0对一切x 都成立？若存在，求出t ；若不存在，请说明理由．[解析] (1)∵f (x )的定义域为R ，且f (－x )＝e －x －e x ＝－f (x )，∴f (x )为奇函数；∵f (x )＝e x －1e x ，而y ＝e x 为增函数，y ＝－1e x 为增函数，∴f (x )为增函数．(2)∵f (x －t )＋f (x 2－t 2)≥0，∴f (x 2－t 2)≥－f (x －t )， ∵f (x )为奇函数，∴f (x 2－t 2)≥f (t －x )， ∵f (x )为增函数，∴x 2－t 2≥t －x ，∴t 2＋t ≤x 2＋x .由条件知，t 2＋t ≤x 2＋x 对任意实数x 恒成立， 当x ∈R 时，x 2＋x ＝(x ＋12)2－14≥－14.∴t 2＋t ≤－14，∴(t ＋12)2≤0，∴t ＝－12.故存在t ＝－12，使不等式f (x －t )＋f (x 2－t 2)≥0对一切实数x 都成立．16．(2010·泉州模拟)已知函数f (x )＝log a 1－mxx －1(a >0且a ≠1)是奇函数．(1)求m 的值；(2)判断f (x )在区间(1，＋∞)上的单调性并加以证明；(3)当a >1，x ∈(1，3)时，f (x )的值域是(1，＋∞)，求a 的值．[解析] (1)∵f (x )是奇函数，x ＝1不在f (x )的定义域内，∴x ＝－1也不在函数定义域内， 令1－m ·(－1)＝0得m ＝－1. (也可以由f (－x )＝－f (x )恒成立求m ) (2)由(1)得f (x )＝log a x ＋1x －1(a >0且a ≠1)，任取x 1，x 2∈(1，＋∞)，且x 1<x 2，令t (x )＝x ＋1x －1，则t (x 1)＝x 1＋1x 1－1，t (x 2)＝x 2＋1x 2－1，∴t (x 1)－t (x 2)＝x 1＋1x 1－1－x 2＋1x 2－1＝x 2－x 1x 1－x 2－， ∵x 1>1，x 2>1，x 1<x 2， ∴x 1－1>0，x 2－1>0，x 2－x 1>0. ∴t (x 1)>t (x 2)，即x 1＋1x 1－1>x 2＋1x 2－1，∴当a >1时，log a x 1＋1x 1－1>log a x 2＋1x 2－1， 即f (x 1)>f (x 2)；当0<a <1时，log a x 1＋1x 1－1<log a x 2＋1x 2－1，即f (x 1)<f (x 2)，∴当a >1时，f (x )在(1，＋∞)上是减函数，当0<a <1时，f (x )在(1，＋∞)上是增函数． (3)∵a >1，∴f (x )在(1，3)上是减函数， ∴当x ∈(1，3)时，f (x )>f (3)＝log a (2＋3)， 由条件知，log a (2＋3)＝1，∴a ＝2＋ 3.1．已知g (x )是定义在R 上的奇函数，且在(0，＋∞)内有1005个零点，则f (x )的零点共有( )A ．1005个B ．1006个C ．2009个D ．2011个[答案] D[解析] ∵奇函数的图象关于原点对称，g (x )在(0，＋∞)上与x 轴有1005个交点，故在(－∞，0)上也有1005个交点，又f (0)＝0，∴共有零点2011个．2．(2010·杭州模拟)若函数f (x )是定义在R 上的偶函数，在(－∞，0]上是减函数，且f (2)＝0，则使得f (x )<0的x 的取值范围是( )A ．(－∞，2)B ．(－2,2)C ．(－∞，－2)∪(2，＋∞)D ．(2，＋∞)[答案] B[解析] ∵f (x )是定义在R 上的偶函数，在(－∞，0]上是减函数，∴f (x )在(0，＋∞)上为增函数，由f (x )<f (2)得f (|x |)<f (2)，∴|x |<2，∴－2<x <2.3．下列函数中既是奇函数，又在区间[－1,1]上单调递减的是( ) A ．f (x )＝sin x B ．f (x )＝－|x ＋1| C ．f (x )＝12(a x ＋a －x )D ．f (x )＝ln 2－x2＋x[答案] D[解析] y ＝sin x 与y ＝ln 2－x 2＋x 为奇函数，而y ＝12(a x ＋a －x )为偶函数，y ＝－|x ＋1|是非奇非偶函数．y ＝sin x 在[－1,1]上为增函数．故选D.4．(2010·安徽理，4)若f (x )是R 上周期为5的奇函数，且满足f (1)＝1，f (2)＝2，则f (3)－f (4)＝( )A ．－1B ．1C ．－2D ．2[答案] A[解析] f (3)－f (4)＝f (－2)－f (－1)＝－f (2)＋f (1)＝－2＋1＝－1，故选A. 5．定义两种运算：a ⊗b ＝a 2－b 2，a ⊕b ＝|a －b |，则函数f (x )＝2⊗xx ⊕－2( )A ．是偶函数B．是奇函数C．既是奇函数又是偶函数D．既不是奇函数又不是偶函数[答案] B[解析]f(x)＝4－x2|x－2|－2，∵x2≤4，∴－2≤x≤2，又∵x≠0，∴x∈[－2,0)∪(0,2]．则f(x)＝4－x2－x，f(x)＋f(－x)＝0，故选B.6．已知函数f(x)是R上的偶函数，g(x)是R上的奇函数，且g(x)＝f(x－1)，若g(1)＝2，则f(2012)的值为()A．2 B．0C．－2 D．±2[答案] A[解析]由已知：g(－x)＝f(－x－1)，又g(x)、f(x)分别为R上的奇、偶函数，∴－g(x)＝f(x＋1)，∴f(x－1)＝－f(x＋1)，∴f(x)＝－f(x＋2)，∴f(x)＝f(x＋4)，即f(x)的周期T＝4，∴f(2012)＝f(0)＝g(1)＝2，故选A.。
2013届高考一轮数学复习理科课件(人教版)第3课时 函数的奇偶性和周期性
第二章
第3课时
高考调研
高三数学（新课标版· 理）
(2)∵f(x)为奇函数，且在[0,1]上为增函数， ∴f(x)在[－1,0]上也是增函数， ∴f(x)在(－1,1)上为增函数， 1 f(x)＋f(x－2)＜0， 1 1 ⇔f(x)＜－f(x－ )＝f( －x)， 2 2
第二章
第3课时
高考调研
高三数学（新课标版· 理）
1＋x ＝(x－1) 1－x
即f(－x)＝f(x)，∴f(x)是偶函数．
第二章
第3课时
高考调研
高三数学（新课标版· 理）
(3)∵f(x)的定义域为{x|x∈R，且x≠0}， 其定义域关于原点对称，并且有 1 1 1 1 f(－x)＝ －x ＋2＝ 1 ＋2 a －1 －1 ax ax 1 ＝ x＋ 1－a 2 1－ax－1 1 ＝－ ＋2 1－ax
第二章
第3课时
高考调研
高三数学（新课标版· 理）
题型二
奇偶性的应用
例2 (1)已知函数f(x)为奇函数且定义域为R，x＞0时， f(x)＝x＋1，f(x)的解析式为___________________________． (2)f(x)是定义在(－1,1)上的奇函数，且x∈[0,1]时f(x)为增 1 函数，则不等式f(x)＋f(x－2)＜0的解集为__________． (3)函数f(x＋1)为偶函数，则函数f(x)的图像的对称轴方程 为__________．
已知f(x)的定义域为(－1,1)， 其定义域关于原点对称，
第二章
第3课时
高考调研
高三数学（新课标版· 理）
又f(－x)＝(－x－1) ＝－(x＋1)
1－x 1＋x 1＋x21－x 1＋x 1＋x1－x2 1－x 1＋x ＝f(x)， 1－x
【新高考】高三数学一轮复习知识点专题2-3 函数的奇偶性与周期性
【核心素养分析】1.结合具体函数，了解函数奇偶性的含义；2.会运用函数的图象理解和研究函数的奇偶性；3.了解函数周期性、最小正周期的含义，会判断、应用简单函数的周期性.3.培养学生数学抽象、逻辑推理、直观想象、数学运算的素养。
【重点知识梳理】知识点一函数的奇偶性知识点二函数的周期性(1)周期函数：对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x ＋T)＝f(x)，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期.(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期.【特别提醒】1.(1)如果一个奇函数f(x)在原点处有定义，即f(0)有意义，那么一定有f(0)＝0.(2)如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)＝f(|x|).2.奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性.3.函数周期性常用结论对f(x)定义域内任一自变量的值x：(1)若f(x＋a)＝－f(x)，则T＝2a(a>0).(2)若f(x＋a)＝1f（x），则T＝2a(a>0).(3)若f(x＋a)＝－1f（x），则T＝2a(a>0).4.对称性的三个常用结论(1)若函数y＝f(x＋a)是偶函数，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称.(2)若对于R上的任意x都有f(2a－x)＝f(x)或f(－x)＝f(2a＋x)，则y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称.(3)若函数y ＝f (x ＋b )是奇函数，则函数y ＝f (x )的图象关于点(b ，0)中心对称. 【典型题分析】高频考点一函数奇偶性的判定例1．【2020·全国Ⅱ卷理数】设函数()ln |21|ln |21|f x x x =+--，则f (x ) A ．是偶函数，且在1(,)2+∞单调递增B ．是奇函数，且在11(,)22-单调递减C ．是偶函数，且在1(,)2-∞-单调递增D ．是奇函数，且在1(,)2-∞-单调递减【答案】D 【解析】由()ln 21ln 21f x x x =+--得()f x 定义域为12x x ⎧⎫≠±⎨⎬⎩⎭，关于坐标原点对称，又()()ln 12ln 21ln 21ln 21f x x x x x f x -=----=--+=-，()f x ∴为定义域上的奇函数，可排除AC ；当11,22x ⎛⎫∈-⎪⎝⎭时，()()()ln 21ln 12f x x x =+--， ()ln 21y x =+在11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，()ln 12y x =-在11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减，()f x ∴在11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，排除B ；当1,2x ⎛⎫∈-∞-⎪⎝⎭时，()()()212ln 21ln 12ln ln 12121x f x x x x x +⎛⎫=----==+ ⎪--⎝⎭， 2121x μ=+-在1,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭上单调递减，()ln f μμ=在定义域内单调递增，根据复合函数单调性可知：()f x 在1,2⎛⎫-∞-⎪⎝⎭上单调递减，D 正确. 【举一反三】（2020·四川成都七中模拟）下列函数为偶函数的是( ) A ．y ＝tan ⎝⎛⎭⎫x ＋π4 B ．y ＝x 2＋e |x | C ．y ＝x cos x D ．y ＝ln|x |－sin x【答案】B【解析】对于选项A ，易知y ＝tan ⎝⎛⎭⎫x ＋π4为非奇非偶函数；对于选项B ，设f (x )＝x 2＋e |x |，则f (－x )＝(－x )2＋e |－x |＝x 2＋e |x |＝f (x )，所以y ＝x 2＋e |x |为偶函数；对于选项C ，设f (x )＝x cos x ，则f (－x )＝－x cos(－x )＝－x cos x ＝－f (x )，所以y ＝x cos x 为奇函数；对于选项D ，设f (x )＝ln|x |－sin x ，则f (2)＝ln 2－sin 2，f (－2)＝ln 2－sin(－2)＝ln 2＋sin 2≠f (2)，所以y ＝ln|x |－sin x 为非奇非偶函数，故选B.【方法技巧】判断函数奇偶性的常用方法 (1)定义法：确定函数的奇偶性时，必须先判定函数定义域是否关于原点对称．若对称，再化简解析式后验证f (－x )＝±f (x )或其等价形式f (－x )±f (x )＝0是否成立．(2)图象法：f (x )的图像关于原点对称，f (x )为奇函数； f (x )的图像关于y 轴对称，f (x )为偶函数。
【全程复习方略】2013版高中数学 (主干知识+典例精析)2.3函数的奇偶性与周期性课件 理 新人教B版
C
3 4
D 1
(3)已知偶函数f(x)在区间［0，+∞)上单调递增，则满足
f 2x 2 f ( 2) 的x的取值范围是(
)
2
A ,0
B 0,
2
C 0, 2
D(
2, )
【解题指南】解答本题需利用函数的奇偶性： (1)将求f(1)的值转化为求f(-1)的值的问题求解； (2)由题意可知f(-x)+f(x)=0，从而得到关于x的恒等式，再构 建a的方程求解； (3)得到 f 2x 2 f | 2x 2 | , 将原不等式转化为
【例3】(2011·新课标全国卷改编)已知函数f(x)对任意的实 数x满足：f x 1 1 , 且当x∈［-1,1］时，f(x)=x2.
f x
(1)求f(2 012);
(2)确定函数y=f(x)的图象与函数y=|lgx|的图象的交点个数.
【解题指南】解答(1)题需先由 f x 1 1
探究出函数
f (x)
f(x)的周期，进而利用周期性，求f(2 012),(2)作出y=f(x) 及y=|lgx|的图象，从而使问题得解.
【规范解答】(1)∵对任意x∈R,都有 f x 1 1 ,
f x
f x 2 f x 1 1
1 1 f x . 1 f x 1 f x
1 ，则函数f(x)必为周期函数，2|a|是它的一 ② f x a f x
个周期；
③ f x a
个周期；
1 ，则函数f(x)必为周期函数，2|a|是它的一 f x
(2)如果T是函数y=f(x)的周期，则 ①kT(k∈Z,k≠0)也是函数y=f(x)的周期，即f(x+kT)=f(x)； ②若已知区间［m,n］(m<n)上的图象，则可画出区间［m+kT, n+kT］(k∈Z,k≠0)上的图象.
高考数学总复习 2-3 函数的奇偶性与周期性课件 新人教B版
函数的奇偶性与周期性
重点难点 重点：1.奇偶函数的定义及其图象的对称特征． 2．函数的周期性． 难点：函数性质的综合应用．
知识归纳 一、函数的奇偶性 1．奇偶性的定义 设函数 y＝f(x)的定义域为 D，若对 D 内的任意一个
－f(x) (或 f(－x)＝_____) f(x) x，都有－x∈D，且 f(－x)＝______
二、解题技巧 1．判别函数奇偶性的方法 (1)定义法：第一步先看函数 f(x)的定义域是否关于 原点对称，若不对称，则为非奇非偶函数． 第二步直接或间接利用奇偶函数的定义来判断． 即若有：f(－x)＝－f(x)(或 f(－x)＋f(x)＝0，f(x)/f(－ x)＝－1)，则 f(x)为奇函数．
若有 f(－x)＝f(x)(或 f(－x)－f(x)＝0， f(x)/f(－x)＝1)， 则 f(x)为偶函数． (2)图象法：利用奇偶函数图象的对称性来判断． (3)复合函数奇偶性的判断 若复合函数由若干个函数复合而成，则复合函数可 依若干个函数的奇偶性而定，概括为“同奇为奇，一偶 则偶”．
三、恒等式 f(x)为奇(偶)函数是说对函数 f(x)定义域内的任意 x 的值都有 f(－x)＝－f(x)， (f(－x)＝f(x))， 这是关于 x 的一 个恒等式． f(x)是周期为 T 的周期函数是说，对于 f(x)定义域内 的任意 x，都有 f(x＋T)＝f(x)成立，这也是关于 x 的恒等 式． 处理恒等式问题关键是利用 x 取值的任意性，常用 比较系数法和赋值法求解．
f(x) ，那么函 定义域内的每一个 x 值，都满足 f(x＋T)＝____
数 f(x)叫做周期函数．T 叫做这个函数的一个周期．如果 在周期函数 f(x)的所有周期中存在一个最小正数， 那么这 个最小正数叫做它的最小正周期．
高考数一轮复习精品案：2.3函数的奇偶性与周期性
2013版高三数学一轮复习精品学案：函数、导数及其应用2.3函数的奇偶性与周期性【高考新动向】一、考纲点击1、结合具体函数，了解函数奇偶性的含义；2、会运用函数图象理解和研究函数的奇偶性;3、了解函数周期性、最小正周期的含义，会判断、应用简单函数的周期性。
二、热点难点提示1.函数的奇偶性、周期性的应用是高考的重要考点；2.常与函数的图象、单调性、对称性、零点等综合命题；3.多以选择、填空题的形式出现，属中低档题目.【考纲全景透析】-x在定义域中，即说明奇偶函数的定义域必关于原点对称；2、存在既是奇函数，又是偶函数的函数，它们的特点是定义域关于原点对称，且解析式化简后等于零。
二、奇偶函数的性质1、奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反（填“相同”、“相反”）。
2、在公共定义域内，亦即：（1）两个奇函数的和函数是奇函数，两个奇函数的积函数是偶函数；（2）两个偶函数的和函数、积函数是偶函数；（3）一个奇函数，一个偶函数的积函数是奇函数。
注：以上结论是在两函数的公共定义域内才成立；并且只能在选择题、填空题中直接应用，解答题需先证明再利用。
3、若是奇函数f(x)且在x=0处有定义，则f(0)=0.4、对称性：奇（偶）函数的定义域关于原点对称，且这是函数具有奇偶性的必要不充分条件；5、整体性：奇偶性是函数的整体性质，对定义域内任意一个x 都必须成立；6、可逆性： )()(x f x f =- ⇔)(x f 是偶函数；)()(x f x f -=-⇔)(x f 奇函数；7、等价性：)()(x f x f =-⇔0)()(=--x f x f)()(x f x f -=-⇔0)()(=+-x f x f8、奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y 轴对称；9、可分性：根据函数奇偶性可将函数分类为四类：奇函数、偶函数、既是奇函数又是偶函数、非奇非偶函数。
三、周期性1、周期函数：对于函数y=f(x)，如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域内的任何值时，都有f(x+T)=f(x),那么就称函数y=f(x)为周期函数，T 为这个函数的周期。
2-3函数的奇偶性与周期性
2-3函数的奇偶性与周期性基础巩固强化1.(文)下列各函数中，()是R上的偶函数() A．y＝x2－2x B．y＝2xC．y＝cos2x D．y＝1|x|－1[答案] C[解析]A、B不是偶函数，D的定义域{x∈R|x≠±1}不是R，故选C.(理)(2012·洛阳示范高中联考)下列函数中，既是偶函数又在(0，＋∞)单调递增的函数是()A．y＝x3B．y＝|x|＋1C．y＝－x2＋1 D．y＝2－|x|[答案] B[解析]y＝x3是奇函数，y＝－x2＋1与y＝2－|x|在(0，＋∞)上为减函数，故选B.2．已知g(x)是定义在R上的奇函数，且在(0，＋∞)内有1007个零点，则f(x)的零点共有()A．2014个B．2015个C．1007个D．1008个[答案] B[解析]∵奇函数的图象关于原点对称，g(x)在(0，＋∞)上与x 轴有1007个交点，故在(－∞，0)上也有1007个交点，又f(0)＝0，∴共有零点2015个．3．(文)若奇函数f (x )(x ∈R )满足f (3)＝1，f (x ＋3)＝f (x )＋f (3)，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32等于( ) A ．0 B ．1 C.12 D ．－12 [答案] C[解析] 在f (x ＋3)＝f (x )＋f (3)中取x ＝－32得，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＋f (3)，∵f (x )是奇函数，且f (3)＝1，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝12. [点评] 解答此类题目，一般先看给出的值和待求值之间可以通过条件式怎样赋值才能产生联系，赋值时同时兼顾奇偶性或周期性的运用．(理)(2011·兰州诊断)已知f (x )是定义在R 上的偶函数，并满足f (x ＋2)＝－1f (x )，当1≤x ≤2时，f (x )＝x －2，则f (6.5)＝( )A ．4.5B ．－4.5C ．0.5D ．－0.5[答案] D[解析] ∵f (x ＋2)＝－1f (x )，∴f (x ＋4)＝f [(x ＋2)＋2]＝－1f (x ＋2)＝f (x )，∴f (x )周期为4，∴f (6.5)＝f (6.5－8)＝f (－1.5)＝f (1.5)＝1.5－2＝－0.5.4．函数y ＝log 22－x2＋x 的图象( )A ．关于原点对称B ．关于直线y ＝－x 对称C ．关于y 轴对称D ．关于直线y ＝x 对称 [答案] A[解析] 首先由2－x 2＋x >0得，－2<x <2，其次令f (x )＝log 22－x2＋x ，则f (x )＋f (－x )＝log 22－x 2＋x ＋log 22＋x2－x ＝log 21＝0.故f (x )为奇函数，其图象关于原点对称，故选A.5．(文)奇函数f (x )在(0，＋∞)上为增函数，且f (1)＝0，则不等式f (x )－f (－x )x<0的解集为( ) A ．(－1,0)∪(1，＋∞)B ．(－∞，－1)∪(0,1)C ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)D ．(－1,0)∪(0,1) [答案] D[解析] ∵f (x )为奇函数，∴不等式f (x )－f (－x )x <0化为xf (x )<0， ∵f (x )在(0，＋∞)上为增函数，且f (1)＝0， ∴当0<x <1时，f (x )<0，当x >1时，f (x )>0，又f (x )为奇函数，∴当－1<x <0时，f (x )>0， 当x <－1时，f (x )<0.∴不等式xf (x )<0的解集为0<x <1或－1<x <0.(理)(2012·河南洛阳统考)设函数f (x )是定义在R 上的奇函数，若当x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝lg x ，则满足f (x )>0的x 的取值范围是( )A ．(－1,0)B ．(－1,0)∪(1，＋∞)C ．(1，＋∞)D ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)[答案] B[解析] ∵函数f (x )是定义在R 上的奇函数，且x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝lg x ，∴当x ∈(－∞，0)时，f (x )＝－lg(－x )，且f (0)＝0，∴f (x )>0⇔⎩⎨⎧x >0，lg x >0，或⎩⎨⎧x <0，－lg (－x )>0，解得x >1或－1<x <0.6．(2012·河南商丘模拟)已知f (x )是定义在R 上的奇函数，它的最小正周期为T ，则f (－T2)的值为( )A ．－T 2B ．0 C.T 2 D ．T[答案] B[解析] ∵f (－T 2)＝－f (T 2)，且f (－T 2)＝f (－T 2＋T )＝f (T 2)，∴f (T2)＝0，∴f (－T2)＝0.7．已知函数y ＝f (x )是偶函数，y ＝g (x )是奇函数，它们的定义域都是[－π，π]，且它们在x ∈[0，π]上的图象如图所示，则不等式f (x )g (x )<0的解集是________．[答案] ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3，0∪⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，π [解析] 依据偶函数的图象关于y 轴对称，奇函数的图象关于原点对称，先补全f (x )、g (x )的图象，∵f (x )g (x )<0，∴⎩⎪⎨⎪⎧ f (x )<0，g (x )>0.或⎩⎪⎨⎪⎧f (x )>0，g (x )<0.观察两函数的图象，其中一个在x 轴上方，一个在x 轴下方的，即满足要求，∴－π3<x <0或π3<x <π.8．(文)函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －1 x >0，a x ＝0，x ＋b x <0.是奇函数，则a ＋b ＝________.[答案] 1[解析] ∵f (x )是奇函数，且x ∈R ，∴f (0)＝0，即a ＝0.又f (－1)＝－f (1)，∴b －1＝－(1－1)＝0，即b ＝1，因此a ＋b ＝1.(理)若函数f (x )＝a －e x1＋a e x(a 为常数)在定义域上为奇函数，则实数a 的值为________．[答案] 1或－1[解析] f (－x )＝a －e －x1＋a e －x ＝a e x －1e x ＋af (x )＋f (－x )＝(a －e x )(a ＋e x )＋(1＋a e x )(a e x －1)(1＋a e x )(e x＋a )＝a 2－e 2x ＋a 2e 2x －1(1＋a e x )(e x＋a )＝0恒成立， 所以a ＝1或－1.9．(2012·衡阳六校联考)已知实数a ≠0，函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋a ，x <1，－x －2a ，x ≥1，若f (1－a )＝f (1＋a )，则a 的值为________． [答案] －34[解析] 由a ≠0得1－a ≠1＋a .当a >0时，1－a <1<1＋a ，则f (1－a )＝2(1－a )＋a ＝2－a ，f (1＋a )＝－(1＋a )－2a ＝－3a －1，由f (1－a )＝f (1＋a )得a ＝－32<0，舍去；当a <0时，1－a >1>1＋a ，则f (1－a )＝－(1－a )－2a ＝－1－a ，f (1＋a )＝2(1＋a )＋a ＝3a ＋1，由f (1－a )＝f (1＋a )得a ＝－34<0.综上所述，a ＝－34.10．(2012·扬州模拟)已知函数f (x )对任意x 、y ∈R ，都有f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )，且x >0时，f (x )<0，f (1)＝－2.(1)求证：f (x )是奇函数；(2)求f (x )在[－3,3]上的最大值和最小值．[解析] (1)证明：令x ＝y ＝0，知f (0)＝0；再令y ＝－x ，则f (0)＝f (x )＋f (－x )＝0，∴f (－x )＝－f (x )，∴f (x )为奇函数．(2)解：对任意x 1、x 2∈[－3,3]，设x 1<x 2，则x 2－x 1>0，∴f (x 2－x 1)＝f [x 2＋(－x 1)]＝f (x 2)＋f (－x 1)＝f (x 2)－f (x 1)<0，∴f (x )为减函数．而f (3)＝f (2＋1)＝f (2)＋f (1)＝3f (1)＝－6，f (－3)＝－f (3)＝6.∴f (x )max ＝f (－3)＝6，f (x )min ＝f (3)＝－6.能力拓展提升11.(文)f (x )是定义在R 上的奇函数且满足f (x ＋2)＝f (x )，当x ∈(0,1)时，f (x )＝2x －1，则f (log 126)＝( )A.12 B ．－12 C.16 D ．6 [答案] B[解析] ∵log 126＝－log 26<0， 且f (x )为奇函数， ∴f (log 126)＝－f (log 26)． 又∵f (x ＋2)＝f (x )，∴f (log 26)＝f (log 26－2)＝f (log 232)， 而log 232∈(0,1)．∴f (log 232)＝2log 232－1＝32－1＝12. ∴f (log 126)＝－12.(理)(2012·吉林延吉市质检)函数f (x )的定义域为R ，且满足f (x )是偶函数，f (x －1)是奇函数，若f (0.5)＝9，则f (8.5)等于( )A．－9 B．9C．－3 D．0[答案] B[解析]∵f(x)是偶函数，∴f(－x)＝f(x)，∵f(x－1)是奇函数，∴f(－x－1)＝－f(x－1)，∴f(x＋1)＝－f(x－1)，在此式中以x＋1代替x得f(x＋2)＝－f(x)，∴f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，∴f(x)的周期为4，∴f(8.5)＝f(0.5)＝9.[点评]令F(x)＝f(x－1)，∵F(x)为奇函数，∴F(－x)＝－F(x)，∴f(－x－1)＝－f(x－1)．12．(文)已知函数f(x)是R上的偶函数，g(x)是R上的奇函数，且g(x)＝f(x－1)，若g(1)＝2，则f(2014)的值为()A．2 B．0C．－2 D．±2[答案] C[解析]由已知：g(－x)＝f(－x－1)，又g(x)、f(x)分别为R上的奇、偶函数，∴－g(x)＝f(x＋1)，∴f(x－1)＝－f(x＋1)，∴f(x)＝－f(x＋2)，∴f(x)＝f(x＋4)，即f(x)的周期T＝4，∴f(2014)＝f(2)＝g(－1)＝－g(1)＝－2，故选C.(理)已知函数f (x )满足：f (1)＝2，f (x ＋1)＝1＋f (x )1－f (x )，则f (2015)等于( )A ．2B ．－3C ．－12 D.13 [答案] C[解析] 由条件知，f (2)＝－3，f (3)＝－12，f (4)＝13，f (5)＝f (1)＝2，故f (x ＋4)＝f (x ) (x ∈N *)．∴f (x )的周期为4， 故f (2015)＝f (3)＝－12. [点评] 严格推证如下： f (x ＋2)＝1＋f (x ＋1)1－f (x ＋1)＝－1f (x )，∴f (x ＋4)＝f [(x ＋2)＋2]＝1－f (x ＋2)＝f (x )．即f (x )周期为4.故f (4k ＋x )＝f (x )，(x ∈N *，k ∈N *)，13．(2012·合肥二模)已知定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x )＝x 2＋2x (x ≥0)，若f (3－a 2)>f (2a )，则实数a 的取值范围是________．[答案] (－3,1)[解析] 依题意得，函数f (x )＝x 2＋2x 在[0，＋∞)上是增函数，又因为f (x )是R 上的奇函数，所以函数f (x )是R 上的增函数，要使f (3－a 2)>f (2a )，只需3－a 2>2a .由此解得－3<a <1，即实数a 的取值范围是(－3,1)．14．(2012·福州质检)已知集合M 是满足下列条件的函数f (x )的全体：(1)f (x )既不是奇函数也不是偶函数；(2)函数f (x )有零点．那么在函数①f (x )＝|x |－1，②f (x )＝2x －1，③f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x －2，x >0，0，x ＝0，x ＋2，x <0，④f (x )＝x 2－x －1＋ln x 中，属于M 的有________．(写出所有符合条件的函数序号)[答案] ②④[解析] 对于①，∵f (－x )＝|－x |－1＝|x |－1，∴f (x )＝|x |－1是偶函数，∴①不符合条件；易知f (x )＝2x －1既不是奇函数也不是偶函数，且有一个零点x ＝0，∴②符合条件；对于③，令x >0，则－x <0，∴f (x )＝x －2，f (－x )＝－x ＋2＝－(x －2)，即f (x )＝－f (－x )，又f (0)＝0，∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x －2，x >0，0，x ＝0，x ＋2，x <0，是奇函数，∴③不符合条件；对于④，函数f (x )＝x 2－x －1＋ln x 的定义域为(0，＋∞)，故它既不是奇函数也不是偶函数，∵f ′(x )＝2x －1＋1x ＝2x 2－x ＋1x＝2(x －14)2＋78x>0，∴函数f (x )在(0，＋∞)上单调递增，又f (1)＝1－1－1＋0＝－1<0，f (e)＝e 2－e －1＋1＝e(e －1)>0，∴函数f (x )在(1，e)上存在零点，∴④符合条件．故应选择②④.15．已知集合M 是满足下列性质的函数f (x )的全体：存在非零常数T ，对任意x ∈R ，有f (x ＋T )＝Tf (x )成立．(1)函数f (x )＝x 是否属于集合M ？说明理由；(2)设f (x )∈M ，且T ＝2，已知当1<x <2时，f (x )＝x ＋ln x ，当－3<x <－2时，求f (x )的解析式．[解析] (1)假设函数f (x )＝x 属于集合M ，则存在非零常数T ，对任意x ∈R ，有f (x ＋T )＝Tf (x )成立，即x ＋T ＝Tx 成立．令x ＝0，得T ＝0，与题目矛盾．故f (x )∉M .(2)f (x )∈M ，且T ＝2，则对任意x ∈R ，有f (x ＋2)＝2f (x )．设－3<x <－2，则1<x ＋4<2.又f (x )＝12f (x ＋2)＝14f (x ＋4)，且当1<x <2时，f (x )＝x ＋ln x ，故当－3<x <－2时，f (x )＝14[x ＋4＋ln(x ＋4)]．16．(文)已知函数f (x )＝log a 1－mx x －1(a >0且a ≠1)是奇函数． (1)求m 的值；(2)判断f (x )在区间(1，＋∞)上的单调性并加以证明；(3)当a >1，x ∈(1，3)时，f (x )的值域是(1，＋∞)，求a 的值．[解析] (1)∵f (x )是奇函数，x ＝1不在f (x )的定义域内，∴x ＝－1也不在函数定义域内，令1－m ·(－1)＝0得m ＝－1.(也可以由f (－x )＝－f (x )恒成立求m )(2)由(1)得f (x )＝log a x ＋1x －1(a >0且a ≠1)， 任取x 1、x 2∈(1，＋∞)，且x 1<x 2，令t (x )＝x ＋1x －1，则t (x 1)＝x 1＋1x 1－1，t (x 2)＝x 2＋1x 2－1， ∴t (x 1)－t (x 2)＝x 1＋1x 1－1－x 2－1x 2－1＝2(x 2－x 1)(x 1－1)(x 2－1)， ∵x 1>1，x 2>1，x 1<x 2，∴x 1－1>0，x 2－1>0，x 2－x 1>0.∴t (x 1)>t (x 2)，即x 1＋1x 1－1>x 2＋1x 2－1， ∴当a >1时，log a x 1＋1x 1－1>log a x 2＋1x 2－1， 即f (x 1)>f (x 2)；当0<a <1时，log a x 1＋1x 1－1<log a x 2＋1x 2－1， 即f (x 1)<f (x 2)，∴当a >1时，f (x )在(1，＋∞)上是减函数，当0<a <1时，f (x )在(1，＋∞)上是增函数．(3)∵a >1，∴f (x )在(1，3)上是减函数，∴当x ∈(1，3)时，f (x )>f (3)＝log a (2＋3)，由条件知，log a (2＋3)＝1，∴a ＝2＋ 3.(理)已知函数f (x )＝－x 2＋8x ，g (x )＝6ln x ＋m .(1)求f (x )在区间[t ，t ＋1]上的最大值h (t )；(2)是否存在实数m ，使得y ＝f (x )的图象与y ＝g (x )的图象有且只有三个不同的交点？若存在，求出m 的取值范围；若不存在，说明理由．[解析] (1)f (x )＝－x 2＋8x ＝－(x －4)2＋16，当t ＋1<4，即t <3时，f (x )在[t ，t ＋1]上单调递增，h (t )＝f (t ＋1)＝－(t ＋1)2＋8(t ＋1)＝－t 2＋6t ＋7；当t ≤4≤t ＋1，即3≤t ≤4时，h (t )＝f (4)＝16；当t >4时，f (x )在[t ，t ＋1]上单调递减，h (t )＝f (t )＝－t 2＋8t .综上，h (t )＝⎩⎪⎨⎪⎧ －t 2＋6t ＋7，t <3，16 3≤t ≤4，－t 2＋8t ， t >4.(2)函数y ＝f (x )的图象与y ＝g (x )的图象有且只有三个不同的交点，即函数φ(x )＝g (x )－f (x )的图象与x 轴的正半轴有且只有三个不同的交点．∵φ(x )＝x 2－8x ＋6ln x ＋m ，∴φ′(x )＝2x －8＋6x ＝2x 2－8x ＋6x＝2(x －1)(x －3)x(x >0)． 当x ∈(0,1)时，φ′(x )>0，φ(x )是增函数；当x ∈(1,3)时，φ′(x )<0，φ(x )是减函数；当x ∈(3，＋∞)时，φ′(x )>0，φ(x )是增函数；当x ＝1或x ＝3时，φ′(x )＝0.∴φ(x )极大值＝φ(1)＝m －7，φ(x )极小值＝φ(3)＝m ＋6ln3－15.∵当x 充分接近0时，φ(x )<0；当x 充分大时，φ(x )>0.∴要使φ(x )的图象与x 轴正半轴有三个不同的交点，必须且只需 ⎩⎨⎧ φ(x )极大值＝m －7>0，φ(x )极小值＝m ＋6ln3－15<0.即7<m <15－6ln3.所以存在实数m ，使得函数y ＝f (x )与y ＝g (x )的图象有且只有三个不同的交点，m 的取值范围为(7,15－6ln3)．1．下列函数中既是奇函数，又在区间[－1,1]上单调递减的是( )A ．f (x )＝sin xB ．f (x )＝－|x ＋1|C ．f (x )＝12(a x ＋a －x )D ．f (x )＝ln 2－x 2＋x[答案] D[解析] y ＝sin x 与y ＝ln 2－x 2＋x为奇函数，而y ＝12(a x ＋a －x )为偶函数，y ＝－|x ＋1|是非奇非偶函数．y ＝sin x 在[－1,1]上为增函数．故选D.2．(2012·南昌二中月考)函数f (x )的定义域为R ，若f (x ＋1)与f (x －1)都是奇函数，则( )A ．f (x )是偶函数B ．f (x )是奇函数C ．f (x )＝f (x ＋2)D ．f (x ＋3)是奇函数 [答案] D[解析] 由于f (x ＋1)是奇函数，则函数f (x )的对称中心为(1,0)，∴f (1＋x )＝－f (1－x )，即f (x )＝－f (2－x )．又f (x －1)是奇函数，则函数f (x )的对称中心为(－1,0)，∴f (－1＋x )＝－f (－x －1)，即f (x )＝－f (－2－x )，∴f (2－x )＝f (－2－x )，∴f (4－x )＝f (x )．可知4为函数f (x )的周期，则f (x ＋3)是奇函数，故选D.3．已知f (x )是定义在(－∞，＋∞)上的偶函数，且在(－∞，0]上是增函数，设a ＝f (log 47)，b ＝f (log 123)，c ＝f (0.20.6)，则a 、b 、c 的大小关系是( )A ．c <b <aB ．b <c <aC ．b <a <cD ．a <b <c[答案] C[解析] 由题意知f (x )＝f (|x |)．∵log 47＝log 27>1，|log 123|＝log 23>log 27，0<0.20.6<0.20＝1，∴|log 123|>|log 47|>|0.20.6|.又∵f (x )在(－∞，0]上是增函数，且f (x )为偶函数，∴f (x )在[0，＋∞)上是减函数．∴b <a <c .故选C.4．若f (x )是偶函数，且当x ∈[0，＋∞]时，f (x )＝x －1，则不等式f (x －1)<0的解集是( )A ．{x |－1<x <0}B ．{x |x <0或1<x <2}C ．{x |0<x <2}D ．{x |1<x <2}[答案] C [解析] ∵f (x )为偶函数，x ∈[0，＋∞)时，f (x )＝x －1，∴当x ∈(－∞，0]时，f (x )＝f (－x )＝－x －1，∴f (x －1)<0⇒⎩⎨⎧ x －1≥0，x －1－1<0，或⎩⎨⎧ x －1<0，－(x －1)－1<0，解之得0<x <2. 5．若函数f (x )、g (x )分别是R 上的奇函数、偶函数，且满足f (x )－g (x )＝e x ，则有( )A ．f (2)<f (3)<g (0)B ．g (0)<f (3)<f (2)C ．f (2)<g (0)<f (3)D ．g (0)<f (2)<f (3)[答案] D[解析] 由已知，f (－x )－g (－x )＝－f (x )－g (x )＝e －x ，∴f (x )＋g (x )＝e －x ，又f (x )－g (x )＝e x ，故f (x )＝e x －e －x 2，g (x )＝－e x ＋e －x 2.∵f ′(x )＝e x ＋e －x 2>0，故f (x )单调递增，∴f (3)>f (2)且f (2)＝e 2－e －22>0>g (0)＝－1，故选D.6．给出下列三个等式：f (xy )＝f (x )＋f (y )，f (x ＋y )＝f (x )f (y )，f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )1－f (x )f (y ).下列函数中不满足其中任何一个等式的是( ) A ．f (x )＝3xB ．f (x )＝sin xC ．f (x )＝log 2xD ．f (x )＝tan x[答案] B[解析] 选项A ，满足f (x ＋y )＝f (x )f (y )；选项C 满足f (xy )＝f (x )＋f (y )；选项D ，满足f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )1－f (x )f (y ). 7．(2012·东北三校联考)若定义在R 上的函数f (x )满足f (x ＋2)＝f (x )，且x ∈[－1,1]时，f (x )＝1－x 2，函数g (x )＝⎩⎨⎧ lg x ，x >0，0，x ＝0，－1x ，x <0.则函数h (x )＝f (x )－g (x )在区间[－5,5]内的零点的个数是( )A ．5B ．7C ．8D ．10[答案] C[解析] 依题意得，函数f (x )是以2为周期的函数，在同一直角坐标系内分别画出函数y ＝f (x )与函数y ＝g (x )的图象(如图所示)，结合图象得，当x ∈[－5,5]时，它们的图象的公共点共有8个，即函数h (x )＝f (x )－g (x )在区间[－5,5]内的零点的个数是8，选C.8．(2012·深圳调研)给出四个函数：f(x)＝x＋1x，g(x)＝3x＋3－x，u(x)＝x3，v(x)＝sin x，其中满足条件：对任意实数x及任意正数m，有f(－x)＋f(x)＝0及f(x＋m)>f(x)的函数为()A．f(x) B．g(x)C．u(x) D．v(x)[答案] C[解析]注意到满足题中的条件：f(－x)＝－f(x)(x∈R)，即所求函数是定义在R上的奇函数；f(x＋m)>f(x)，其中m>0，即所求函数是R上的增函数．对于A，函数f(x)的定义域为{x|x≠0}，因此A不正确；对于B，函数g(x)是偶函数，因此B不正确；对于C，函数u(x)＝x3是奇函数且是定义在R上的增函数，因此C正确；对于D，v(x)＝sin x不是R上的增函数，因此D不正确．选C.9．(2012·山西四校联考)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧ (a －2)x ，x ≥2，(12)x －1，x <2，满足对任意的实数x 1≠x 2都有f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2<0成立，则实数a 的取值范围为( )A ．(－∞，2)B ．(－∞，138]C ．(－∞，2]D ．[138，2) [答案] B[解析] 函数f (x )是R 上的减函数，于是有⎩⎪⎨⎪⎧ a －2<0，(a －2)×2≤(12)2－1，由此解得a ≤138，即实数a 的取值范围是(－∞，138]，选B. 10．对于函数f (x )定义域内任意的x 1、x 2(x 1≠x 2)，①f (x 1＋x 2)＝f (x 1)f (x 2)；②f (x 1·x 2)＝f (x 1)＋f (x 2)；③f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2>0; ④f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22<f (x 1)＋f (x 2)2. 当f (x )＝2x 时，上述结论中正确结论的序号是______．[答案] ①③④[解析] 由于2x 1＋x 2＝2x 1·2x 2，所以①正确；由于f (x )在R 上为增函数，即当x 1<x 2时，f (x 1)<f (x 2)，所以有f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2>0，因此③正确；又f(x)＝2x的图象向下凸出，所以④正确．而20×1≠20＋21，所以②不正确，故填①③④.。
高考数学新一轮总复习 2.3 函数的奇偶性与周期性基础盘点系统化AB演练 理
【高考领航】2015届高考数学新一轮总复习 2.3 函数的奇偶性与周期性基础盘点系统化AB 演练 理A 组 基础演练1．(2013·广东)定义域为R 的四个函数，y ＝x 3，y ＝2x ，y ＝x 2＋1，y ＝2sin x 中，奇函数的个数是( )A ．4B ．3C ．2D ．1解析：函数y ＝x 3，y ＝2sin x 为奇函数，y ＝2x为非奇非偶函数，y ＝x 2＋1为偶函数，故奇函数的个数是2，故选C. 答案：C2．(2013·湖南)已知f (x )是奇函数，g (x )是偶函数，且f (－1)＋g (1)＝2，f (1)＋g (－1)＝4，则g (1)等于( )A ．4B ．3C ．2D ．1解析：由已知得f (－1)＝－f (1)，g (－1)＝g (1)，则有⎩⎪⎨⎪⎧－f＋g ＝2，f ＋g＝4，解得g (1)＝3.答案：B 3．若函数f (x )＝x x ＋x －a为奇函数，则a 等于( )A.12B.23C.34D ．1解析：∵f (－x )＝－f (x )， ∴－x－2x ＋－x －a＝－x x ＋x －a，∴(2a －1)x ＝0，∴a ＝12.答案：A4．函数y ＝f (x )(x ≠0)为奇函数，且当x ∈(0，＋∞)时是增函数，若f (2)＝0，则不等式f [x (x －1)]＜0的解集为( )A ．(－1,0)∪(1,2)B ．(－1,2)C ．(0,1)D ．(0,2)解析：由奇函数y ＝f (x )在(0，＋∞)上递增得f (x )在(－∞，0)上也递增，且f (－2)＝－f (2)＝0，∴f [x (x －1)]＜f (2)＝f (－2)，∴⎩⎪⎨⎪⎧x x －＞0，x x －＜2，或⎩⎪⎨⎪⎧xx －＜0，x x －＜－2.解之得原不等式解集为(－1,0)∪(1,2)． 答案：A5．设函数f (x )＝x (e x ＋a e －x)(x ∈R )是偶函数，则实数a 的值为________．解析：因为f (x )是偶函数，所以恒有f (－x )＝f (x )，即－x (e －x＋a e x )＝x (e x ＋a e －x)，化简得x (e －x＋e x)(a ＋1)＝0.因为上式对任意实数x 都成立，所以a ＝－1. 答案：－16．设f (x )为定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝2x＋2x ＋b (b 为常数)，则f (－1)＝________.解析：因为f (x )是定义在R 上的奇函数，因此f (－x )＋f (x )＝0.当x ＝0时，可得f (0)＝0，可得b ＝－1，此时f (x )＝2x＋2x －1，因此f (1)＝3.又f (－1)＝－f (1)，所以f (－1)＝－3. 答案：－37．已知定义在R 上的函数y ＝f (x )满足条件f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋32＝－f (x )，且函数y ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －34为奇函数，给出以下四个命题： ①函数f (x )是周期函数；②函数f (x )的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫－34，0对称；③函数f (x )为R 上的偶函数； ④函数f (x )为R 上的单调函数． 其中真命题的序号为________．解析：由f (x )＝f (x ＋3)⇒f (x )为周期函数，且T ＝3，①为真命题；又y ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －34关于(0,0)对称，y ＝f ⎝⎛⎭⎪⎫x －34向左平移34个单位得y ＝f (x )的图象，则y ＝f (x )的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫－34，0对称，②为真命题； 又y ＝f (x －34)为奇函数，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －34＝－f ⎝⎛⎭⎪⎫－x －34， f ⎝⎛⎭⎪⎫x －34－34＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫34－x －34＝－f (－x )，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －32＝－f (－x )， f (x )＝f (x －3)＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －32＝f (－x )，∴f (x )为偶函数，不可能为R 上的单调函数．所以③为真命题，④为假命题． 答案：①②③8．已知y ＝f (x )是定义在R 上的偶函数，当x ≥0时，f (x )＝x 2－2x ，求f (x )在R 上的解析式．解：设x ＜0，则－x ＞0，∴f (－x )＝(－x )2－2(－x )＝x 2＋2x . 又y ＝f (x )是定义在R 上的偶函数， ∴f (－x )＝f (x )，∴f (x )＝x 2＋2x (x ＜0)．∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x ，x ≥0，x 2＋2x ，x ＜0.9．已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，且它的图象关于直线x ＝1对称．(1)求证：f (x )是周期为4的周期函数；(2)若f (x )＝x (0＜x ≤1)，求x ∈[－5，－4]时，函数f (x )的解析式． 解：(1)证明：由函数f (x )的图象关于直线x ＝1对称，得f (x ＋1)＝f (1－x )， 即有f (－x )＝f (x ＋2)．又函数f (x )是定义在R 上的奇函数， 故有f (－x )＝－f (x )． 故f (x ＋2)＝－f (x )．从而f (x ＋4)＝－f (x ＋2)＝f (x )． 即f (x )是周期为4的周期函数．(2)由函数f (x )是定义在R 上的奇函数，有f (0)＝0.x ∈[－1,0)时，－x ∈(0,1]，f (x )＝－f (－x )＝－－x ，又f (0)＝0，故x ∈[－1,0]时，f (x )＝－－x .x ∈[－5，－4]，x ＋4∈[－1,0]， f (x )＝f (x ＋4)＝－－x －4.从而，x ∈[－5，－4]时，函数f (x )＝－－x －4.B 组 能力突破1．(2013·重庆)已知函数f (x )＝ax 3＋b sin x ＋4(a ，b ∈R )，f (lg(log 210))＝5，则f (lg(lg2))＝( )A ．－5B ．－1C ．3D ．4解析：∵f (x )＝ax 3＋b sin x ＋4，① ∴f (－x )＝a (－x )3＋b sin(－x )＋4， 即f (－x )＝－ax 3－b sin x ＋4，② ①＋②得f (x )＋f (－x )＝8，③ 又∵lg(log 210)＝lg ⎝⎛⎭⎪⎫1lg 2＝lg(lg 2)－1＝－lg(lg 2)，∴f (lg(log 210))＝f (－lg(lg 2))＝5， 又由③式知f (－lg(lg 2))＋f (lg(lg 2))＝8，∴5＋f (lg(lg 2))＝8， ∴f (lg(lg 2))＝3.故选C. 答案：C2．(2014·淄博模拟)定义在R 上的偶函数f (x )在[0，＋∞)上递增，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＝0，则满足f (log 18x )＞0的x 的取值范围是( )A ．(0，＋∞)B.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12∪(2，＋∞)C.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，18∪⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12 解析：由f (x )＝f (－x )＝f (|x |)得f (|log 18x |)＞f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13，于是|log 18x |＞13，解出答案，可知选B. 答案：B3．设函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且对任意的x ∈R 恒有f (x ＋1)＝f (x －1)，已知当x ∈[0,1]时，f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫121－x ，则：①2是函数f (x )的周期；②函数f (x )在(1,2)上递减，在(2,3)上递增； ③函数f (x )的最大值是1，最小值是0；④当x ∈(3,4)时，f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －3.其中所有正确命题的序号是________． 解析：由已知条件：f (x ＋2)＝f (x )，则y ＝f (x )是以2为周期的周期函数，①正确； 当－1≤x ≤0时0≤－x ≤1，f (x )＝f (－x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫121＋x ，函数y ＝f (x )的图象如图所示：当3＜x ＜4时， －1＜x －4＜0，f (x )＝f (x －4)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －3，因此②④正确．③不正确．答案：①②④4．(2014·南通三模)定义在R 上的增函数y ＝f (x )对任意x ，y ∈R 都有f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )．(1)求f (0)；(2)求证：f (x )为奇函数；(3)若f (k ·3x )＋f (3x －9x－2)＜0对任意x ∈R 恒成立，求实数k 的取值范围． 解：(1)令x ＝y ＝0，得f (0＋0)＝f (0)＋f (0)， 即f (0)＝0.(2)证明：令y ＝－x ，得f (x －x )＝f (x )＋f (－x )，又f (0)＝0，则有0＝f (x )＋f (－x )，即f (－x )＝－f (x )对任意x ∈R 成立，所以f (x )是奇函数．(3)因为f (x )在R 上是增函数，又由(2)知f (x )是奇函数．所以f (k ·3x )＜－f (3x －9x －2)＝f (－3x ＋9x ＋2)，所以k ·3x ＜－3x ＋9x ＋2，即32x－(1＋k )·3x＋2＞0对任意x ∈R 成立．令t ＝3x＞0，问题等价于t 2－(1＋k )t ＋2＞0对任意t ＞0恒成立．令f (t )＝t 2－(1＋k )t ＋2，其对称轴为t ＝1＋k 2，当1＋k 2＜0，即k ＜－1时，f (0)＝2＞0，符合题意； 当1＋k2≥0，即k ≥－1时，f (t )＞0对任意t ＞0恒成立⇔⎩⎪⎨⎪⎧1＋k 2≥0，Δ＝＋k2－4×2＜0，解得－1≤k ＜－1＋2 2.综上所述，当k ＜－1＋22时，f (k ·3x)＋f (3x－9x－2)＜0对任意x ∈R 恒成立．。
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2013年高考数学总复习 2-3 函数的奇偶性与周期性但因为测试 新人教B 版1.(2010·北京西城区抽检)下列各函数中，( )是R 上的偶函数( ) A ．y ＝x 2－2x B ．y ＝2x C ．y ＝cos2x D ．y ＝1|x |－1[答案] C[解析] A 、B 不是偶函数，D 的定义域{x ∈R|x ≠±1}不是R ，故选C.2．(文)设f (x )是定义在R 上的奇函数，且当x >0时，f (x )＝2x －3，则f (－2)的值等于( ) A ．－1 B.114 C ．1 D ．－114[答案] A[解析] f (2)＝22－3＝1，又f (x )是奇函数， ∴f (－2)＝－f (2)＝－1，故选A.(理)(2011·浙江杭州月考)已知函数f (x )为定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝2x ＋2x ＋m (m 为常数)，则f (－1)的值为( )A ．－3B ．－1C ．1D ．3[答案] A[解析] ∵函数f (x )是定义在R 上的奇函数， ∴f (0)＝0，即f (0)＝20＋m ＝0，解得m ＝－1. ∴f (x )＝2x ＋2x －1，f (1)＝21＋2×1－1＝3， f (－1)＝－f (1)＝－3.3．(文)(2011·济南模拟)函数f (x )(x ∈R)是周期为3的奇函数，且f (－1)＝a ，则f (2011)的值为( )A ．aB ．－aC ．0D ．2a[答案] B[解析] ∵f (x )周期为3， ∴f (2011)＝f (670×3＋1)＝f (1)， ∵f (x )为奇函数，f (－1)＝a ， ∴f (1)＝－a ，故选B.(理)(2011·兰州诊断、河北三校联考)已知f (x )是定义在R 上的偶函数，并满足f (x ＋2)＝－1f x，当1≤x≤2时，f(x)＝x－2，则f(6.5)＝()A．4.5 B．－4.5C．0.5 D．－0.5[答案] D[解析]∵f(x＋2)＝－1f x，∴f(x＋4)＝f[(x＋2)＋2]＝－1f x＋2＝f(x)，∴f(x)周期为4，∴f(6.5)＝f(6.5－8)＝f(－1.5)＝f(1.5)＝1.5－2＝－0.5.4．(文)(2011·北京东城一模)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且当x>0时，f(x)＝ln(x ＋1)，则函数f(x)的图象大致为()[答案] C[解析]函数f(x)＝ln(x＋1)的图象由f(x)＝ln x的图象向左平移1个单位得到，选取x>0的部分，然后作关于y轴的对称图形即得．(理)(2011·北京西城模拟)定义在R 上的偶函数f (x )的部分图象如图所示，则在(－2,0)上，下列函数中与f (x )的单调性不同的是( )A ．y ＝x 2＋1B ．y ＝|x |＋1C ．y ＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋1，x ≥0x 3＋1，x <0D ．y ＝⎩⎪⎨⎪⎧e x，x ≥0e －x ，x <0[答案] C[解析] ∵f (x )为偶函数，由图象知，f (x )在(－2,0)上为减函数，而y ＝x 3＋1在(－∞，0)上为增函数．5．(2011·青岛模拟)已知定义在R 上的函数f (x )满足f (3)＝2－3，且对任意的x 都有f (x ＋3)＝1－f x ，则f (2010)的值为( )A ．－2－ 3B ．－2＋ 3C ．2－ 3D ．－3－ 3[答案] A[解析] 由题意得f (x ＋6)＝f (x ＋3＋3)＝1－f x ＋3＝1－－1f x ＝f (x )．∴函数f (x )的周期为6. f (2010)＝f (335×6)＝f (6)，而f (6)＝f (3＋3)＝－1f 3＝－12－3＝－2－ 3.6．(文)(2011·合肥模拟)设f (x )是偶函数，且当x >0时是单调函数，则满足f (2x )＝f (x ＋1x ＋4)的所有x 之和为( )A ．－92B ．－72C ．－8D ．8[答案] C[解析] ∵f (x )是偶函数，f (2x )＝f (x ＋1x ＋4)∴f (|2x |)＝f (|x ＋1x ＋4|)又∵f (x )在(0，＋∞)上为单调函数， ∴|2x |＝|x ＋1x ＋4|，即2x ＝x ＋1x ＋4或2x ＝－x ＋1x ＋4整理得2x 2＋7x －1＝0或2x 2＋9x ＋1＝0设方程2x 2＋7x －1＝0的两根为x 1，x 2，方程2x 2＋9x ＋1＝0的两根为x 3，x 4. 则(x 1＋x 2)＋(x 3＋x 4)＝－72＋(－92)＝－8.(理)已知f (x )是定义在(－∞，＋∞)上的偶函数，且在(－∞，0]上是增函数，设a ＝f (log 47)，b ＝f (log 123)，c ＝f (0.20.6)，则a 、b 、c 的大小关系是( )A ．c <b <aB ．b <c <aC ．b <a <cD ．a <b <c[答案] C[解析] 由题意知f (x )＝f (|x |)．∵log 47＝log 27>1，|log 12 3|＝log 23>log 27，0<0.20.6<1，∴|log 123|>|log 47|>|0.20.6|.又∵f (x )在(－∞，0]上是增函数，且f (x )为偶函数， ∴f (x )在[0，＋∞)上是减函数． ∴b <a <c .故选C.7．(文)若f (x )是定义在R 上的偶函数，其图象关于直线x ＝2对称，且当x ∈(－2,2)时，f (x )＝－x 2＋1.则f (－5)＝________.[答案] 0[解析] 由题意知f (－5)＝f (5)＝f (2＋3)＝f (2－3)＝f (－1)＝－(－1)2＋1＝0.(理)(2010·深圳中学)已知函数y ＝f (x )是偶函数，y ＝g (x )是奇函数，它们的定义域都是[－π，π]，且它们在x ∈[0，π]上的图象如图所示，则不等式f x g x <0的解集是________．[答案] ⎝⎛⎭⎫－π3，0∪⎝⎛⎭⎫π3，π [解析] 依据偶函数的图象关于y 轴对称，奇函数的图象关于原点对称，先补全f (x )、g (x )的图象，∵f x g x <0，∴⎩⎨⎧ f x <0g x >0，或⎩⎨⎧f x >0g x <0，观察两函数的图象，其中一个在x 轴上方，一个在x 轴下方的，即满足要求，∴－π3<x <0或π3<x <π.8．设函数f (x )＝cos(3x ＋φ)(0<φ<π)．若f (x )＋f ′(x )是奇函数，则φ＝________. [答案] π6[解析] ∵f ′(x )＝－3sin(3x ＋φ)． ∴f (x )＋f ′(x )＝cos(3x ＋φ)－3sin(3x ＋φ) ＝2cos ⎝⎛⎭⎫3x ＋φ＋π3. f (x )＋f ′(x )是奇函数⇔φ＋π3＝k π＋π2(k ∈Z)，即φ＝k π＋π6(k ∈Z)．又∵0<φ<π，∴k ＝0时，φ＝π6.9．定义在R 上的偶函数f (x )在[0，＋∞)上单调递减，且f (12)＝0，则满足f (log 14 x )<0的集合为________．[答案] (0，12)∪(2，＋∞)[解析] 由题意知f (x )<0的解为x >12或x <－12，∴由f (log 14 x )<0得log 14 x >12或log 14x <－12，∴0<x <12或x >2.10．(文)已知函数f (x )＝1－42a x＋a(a >0且a ≠1)是定义在(－∞，＋∞)上的奇函数． (1)求a 的值； (2)求函数f (x )的值域；(3)当x ∈(0,1]时，tf (x )≥2x －2恒成立，求实数t 的取值范围．[解析] (1)∵f (x )是定义在(－∞，＋∞)上的奇函数，即f (－x )＝－f (x )恒成立，∴f (0)＝0. 即1－42×a 0＋a＝0，解得a ＝2.(2)∵y ＝2x －12x ＋1，∴2x ＝1＋y1－y ，由2x >0知1＋y1－y>0，∴－1<y <1，即f (x )的值域为(－1,1)． (3)不等式tf (x )≥2x－2即为t ·2x －t 2x ＋1≥2x－2.即：(2x )2－(t ＋1)·2x ＋t －2≤0.设2x ＝u ， ∵x ∈(0,1]，∴u ∈(1,2]．∵u ∈(1,2]时u 2－(t ＋1)·u ＋t －2≤0恒成立．∴⎩⎪⎨⎪⎧12－t ＋1 ×1＋t －2≤022－t ＋1 ×2＋t －2≤0，解得t ≥0. (理)(2011·烟台模拟)已知函数f (x )＝ax ＋1x 2(x ≠0，常数a ∈R)．(1)讨论函数f (x )的奇偶性，并说明理由；(2)若函数f (x )在x ∈[3，＋∞)上为增函数，求a 的取值范围． [解析] (1)定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称．当a ＝0时，f (x )＝1x 2，满足对定义域上任意x ，f (－x )＝f (x )，∴a ＝0时，f (x )是偶函数；当a ≠0时，f (1)＝a ＋1，f (－1)＝1－a ， 若f (x )为偶函数，则a ＋1＝1－a ，a ＝0矛盾； 若f (x )为奇函数，则1－a ＝－(a ＋1)，1＝－1矛盾， ∴当a ≠0时，f (x )是非奇非偶函数． (2)对任意x 1，x 2∈[3，＋∞)，且x 1>x 2， f (x 1)－f (x 2)＝ax 1＋1x 21－ax 2－1x 22＝a (x 1－x 2)＋x 22－x 21x 21x 22＝(x 1－x 2)(a －x 1＋x 2x 21x 22)．∵x 1－x 2>0，f (x )在[3，＋∞)上为增函数，∴a >x 1＋x 2x 21x 22，即a >1x 1x 22＋1x 21x 2在[3，＋∞)上恒成立．∵1x 1x 22＋1x 21x 2<227，∴a ≥227.11.(2011·泰安模拟)f (x )是定义在R 上的以3为周期的偶函数，且f (2)＝0，则方程f (x )＝0在区间(0,6)内解的个数至少是( )A ．1B ．4C ．3D ．2 [答案] B[解析] 由f (2)＝0，得f (5)＝0， ∴f (－2)＝0，f (－5)＝0. ∴f (－2)＝f (－2＋3)＝f (1)＝0， f (－5)＝f (－5＋9)＝f (4)＝0，故f (x )＝0在区间(0,6)内的解至少有1,2,4,5四个．12．(2011·开封调研)已知f (x )(x ∈R)为奇函数，f (2)＝1，f (x ＋2)＝f (x )＋f (2)，则f (3)等于( )A.12 B ．1 C.32 D ．2[答案] C[分析] 为求f (3)先求f (1)，为求f (1)先在f (x ＋2)＝f (x )＋f (2)中，令x ＝－1，利用f (x )为奇函数，可解出f (1)．[解析] 令x ＝－1得f (1)＝f (－1)＋f (2)＝f (2)－f (1)， ∴f (1)＝12f (2)＝12，∴f (3)＝f (1)＋f (2)＝32.[点评] 解答此类题目，一般先看给出的值和待求值之间可以通过条件式怎样赋值才能产生联系，赋值时同时兼顾奇偶性或周期性的运用，请再练习下题：若奇函数f (x )(x ∈R)满足f (3)＝1，f (x ＋3)＝f (x )＋f (3)，则f ⎝⎛⎭⎫32等于( ) A ．0 B ．1 C.12 D ．－12[答案] C[解析] 在f (x ＋3)＝f (x )＋f (3)中取x ＝－32得，f ⎝⎛⎭⎫32＝f ⎝⎛⎭⎫－32＋f (3)，∴f (x )是奇函数，且f (3)＝1，∴f ⎝⎛⎭⎫32＝12.13．(文)(2011·山东淄博一模)设奇函数f (x )的定义域为R ，最小正周期T ＝3，若f (1)≥1，f (2)＝2a －3a ＋1，则a 的取值范围是( ) A ．a <－1或a ≥23B ．a <－1C ．－1<a ≤23D ．a ≤23[答案] C[解析] 函数f (x )为奇函数，则f (－1)＝－f (1)． 由f (1)＝－f (－1)≥1得，f (－1)≤－1； 函数的最小正周期T ＝3，则f (－1)＝f (2)，由2a －3a ＋1≤－1解得，－1<a ≤23.(理)(2011·新方一模)已知定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x －4)＝－f (x )，且在区间[0,2]上是增函数，则( )A ．f (－25)<f (11)<f (80)B ．f (80)<f (11)<f (－25)C ．f (11)<f (80)<f (－25)D ．f (－25)<f (80)<f (11) [答案] D[解析] ∵f (x －4)＝－f (x )， ∴f (x －8)＝－f (x －4)＝f (x )，∴f (x ＋8)＝f (x )，∴f (x )周期为8.∴f (80)＝f (0)， 又∵f (x )为奇函数，∴f (－25)＝f (－24－1)＝f (－1)， ∴f (11)＝f (3)＝－f (3－4)＝f (1)， 由条件知f (x )在[－2,2]上为增函数，∴f (－1)<f (0)<f (1)，∴f (－25)<f (80)<f (11)．14．(文)设f (x )是定义在R 上的奇函数，且y ＝f (x )的图象关于直线x ＝12对称，则f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＋f (5)＝________.[答案] 0[解析] ∵f (x )的图象关于直线x ＝12对称，∴f ⎝⎛⎭⎫12＋x ＝f ⎝⎛⎭⎫12－x ，对任意x ∈R 都成立， ∴f (x )＝f (1－x )，又f (x )为奇函数， ∴f (x )＝－f (－x )＝－f (1＋x ) ＝f (－1－x )＝f (2＋x )，∴周期T ＝2 ∴f (0)＝f (2)＝f (4)＝0 又f (1)与f (0)关于x ＝12对称∴f (1)＝0 ∴f (3)＝f (5)＝0 填0.(理)若函数f (x )＝a －e x1＋a e x (a 为常数)在定义域上为奇函数，则实数a 的值为________．[答案] 1或－1[解析] f (－x )＝a －e －x 1＋ae －x ＝ae x －1e x ＋af (x )＋f (－x )＝a －e x a ＋e x ＋1＋ae x a e x －1 1＋ae x e x ＋a＝a 2－e 2x ＋a 2e 2x －11＋ae x e x ＋a ＝0恒成立，所以a ＝1或－1.15．已知函数f (x )＝e x －e －x (x ∈R 且e 为自然对数的底数)．(1)判断函数f (x )的奇偶性与单调性；(2)是否存在实数t ，使不等式f (x －t )＋f (x 2－t 2)≥0对一切x 都成立？若存在，求出t ；若不存在，请说明理由．[解析] (1)∵f (x )的定义域为R ，且f (－x )＝e －x －e x ＝－f (x )，∴f (x )为奇函数；∵f (x )＝e x －1e x ，而y ＝e x 为增函数，y ＝－1e x 为增函数，∴f (x )为增函数．(2)∵f (x －t )＋f (x 2－t 2)≥0，∴f (x 2－t 2)≥－f (x －t )， ∵f (x )为奇函数，∴f (x 2－t 2)≥f (t －x )， ∵f (x )为增函数，∴x 2－t 2≥t －x ，∴t 2＋t ≤x 2＋x .由条件知，t 2＋t ≤x 2＋x 对任意实数x 恒成立， 当x ∈R 时，x 2＋x ＝(x ＋12)2－14≥－14.∴t 2＋t ≤－14，∴(t ＋12)2≤0，∴t ＝－12.故存在t ＝－12，使不等式f (x －t )＋f (x 2－t 2)≥0对一切实数x 都成立．16．(2010·泉州模拟)已知函数f (x )＝log a 1－mxx －1(a >0且a ≠1)是奇函数．(1)求m 的值；(2)判断f (x )在区间(1，＋∞)上的单调性并加以证明；(3)当a >1，x ∈(1，3)时，f (x )的值域是(1，＋∞)，求a 的值．[解析] (1)∵f (x )是奇函数，x ＝1不在f (x )的定义域内，∴x ＝－1也不在函数定义域内， 令1－m ·(－1)＝0得m ＝－1. (也可以由f (－x )＝－f (x )恒成立求m ) (2)由(1)得f (x )＝log a x ＋1x －1(a >0且a ≠1)，任取x 1，x 2∈(1，＋∞)，且x 1<x 2，令t (x )＝x ＋1x －1，则t (x 1)＝x 1＋1x 1－1，t (x 2)＝x 2＋1x 2－1，∴t (x 1)－t (x 2)＝x 1＋1x 1－1－x 2＋1x 2－1＝2 x 2－x 1x 1－1 x 2－1， ∵x 1>1，x 2>1，x 1<x 2， ∴x 1－1>0，x 2－1>0，x 2－x 1>0. ∴t (x 1)>t (x 2)，即x 1＋1x 1－1>x 2＋1x 2－1，∴当a >1时，log a x 1＋1x 1－1>log a x 2＋1x 2－1， 即f (x 1)>f (x 2)；当0<a <1时，log a x 1＋1x 1－1<log a x 2＋1x 2－1，即f (x 1)<f (x 2)，∴当a >1时，f (x )在(1，＋∞)上是减函数，当0<a <1时，f (x )在(1，＋∞)上是增函数． (3)∵a >1，∴f (x )在(1，3)上是减函数， ∴当x ∈(1，3)时，f (x )>f (3)＝log a (2＋3)， 由条件知，log a (2＋3)＝1，∴a ＝2＋ 3.1．已知g (x )是定义在R 上的奇函数，且在(0，＋∞)内有1005个零点，则f (x )的零点共有( )A ．1005个B ．1006个C ．2009个D ．2011个[答案] D[解析] ∵奇函数的图象关于原点对称，g (x )在(0，＋∞)上与x 轴有1005个交点，故在(－∞，0)上也有1005个交点，又f (0)＝0，∴共有零点2011个．2．(2010·杭州模拟)若函数f (x )是定义在R 上的偶函数，在(－∞，0]上是减函数，且f (2)＝0，则使得f (x )<0的x 的取值范围是( )A ．(－∞，2)B ．(－2,2)C ．(－∞，－2)∪(2，＋∞)D ．(2，＋∞)[答案] B[解析] ∵f (x )是定义在R 上的偶函数，在(－∞，0]上是减函数，∴f (x )在(0，＋∞)上为增函数，由f (x )<f (2)得f (|x |)<f (2)，∴|x |<2，∴－2<x <2.3．下列函数中既是奇函数，又在区间[－1,1]上单调递减的是( ) A ．f (x )＝sin x B ．f (x )＝－|x ＋1| C ．f (x )＝12(a x ＋a －x )D ．f (x )＝ln 2－x2＋x[答案] D[解析] y ＝sin x 与y ＝ln 2－x 2＋x 为奇函数，而y ＝12(a x ＋a －x )为偶函数，y ＝－|x ＋1|是非奇非偶函数．y ＝sin x 在[－1,1]上为增函数．故选D.4．(2010·安徽理，4)若f (x )是R 上周期为5的奇函数，且满足f (1)＝1，f (2)＝2，则f (3)－f (4)＝( )A ．－1B ．1C ．－2D ．2[答案] A[解析] f (3)－f (4)＝f (－2)－f (－1)＝－f (2)＋f (1)＝－2＋1＝－1，故选A. 5．定义两种运算：a ⊗b ＝a 2－b 2，a ⊕b ＝|a －b |，则函数f (x )＝2⊗xx ⊕2 －2( )A ．是偶函数B．是奇函数C．既是奇函数又是偶函数D．既不是奇函数又不是偶函数[答案] B[解析]f(x)＝4－x2|x－2|－2，∵x2≤4，∴－2≤x≤2，又∵x≠0，∴x∈[－2,0)∪(0,2]．则f(x)＝4－x2－x，f(x)＋f(－x)＝0，故选B.6．已知函数f(x)是R上的偶函数，g(x)是R上的奇函数，且g(x)＝f(x－1)，若g(1)＝2，则f(2012)的值为()A．2 B．0C．－2 D．±2[答案] A[解析]由已知：g(－x)＝f(－x－1)，又g(x)、f(x)分别为R上的奇、偶函数，∴－g(x)＝f(x＋1)，∴f(x－1)＝－f(x＋1)，∴f(x)＝－f(x＋2)，∴f(x)＝f(x＋4)，即f(x)的周期T＝4，∴f(2012)＝f(0)＝g(1)＝2，故选A.。