江西专用2019中考数学总复习第二部分专题综合强化专题五几何探究题类型2针对训练

第二部分 专题五 类型二1．(2018·临沂)将矩形ABCD 绕点A 顺时针旋转α(0°＜α＜360°)，得到矩形AEFG .(1)如图，当点E 在BD 上时．求证：FD ＝CD ； (2)当α为何值时，GC ＝GB ？画出图形，并说明理由．解：(1)由旋转可得，AE ＝AB ，∠AEF ＝∠ABC ＝∠DAB ＝90°，EF ＝BC ＝AD ，∴∠AEB ＝∠ABE .∵∠ABE ＋∠EDA ＝90°＝∠AEB ＋∠DEF ， ∴∠EDA ＝∠DEF .∵DE ＝ED ，∴△AED ≌△FDE (SAS)， ∴DF ＝AE ，∵AE ＝AB ＝CD ，∴CD ＝DF .(2)当GB ＝GC 时，点G 在BC 的垂直平分线上，分两种情况讨论： ①当点G 在AD 右侧时，如答图1，取BC 的中点H ，连接GH 交AD 于M ， ∵GC ＝GB ，∴GH ⊥BC ，∴四边形ABHM 是矩形， ∴AM ＝BH ＝12AD ＝12AG ，∴GM 垂直平分AD ，∴GD ＝GA ＝DA ， ∴△ADG 是等边三角形，∴∠DAG ＝60°， ∴旋转角α＝60°；②当点G 在AD 左侧时，如答图2，同理可得△ADG 是等边三角形，∴∠DAG ＝60°， ∴旋转角α＝360°－60°＝300°. 综上，α为60°或300°时，GC ＝GB .2．(2014·江西)如图1，边长为4的正方形ABCD 中，点E 在AB 边上(不与点A ，B 重合)，点F 在BC 边上(不与点B ，C 重合)．第一次操作：将线段EF 绕点F 顺时针旋转，当点E 落在正方形上时，记为点G ； 第二次操作：将线段FG 绕点G 顺时针旋转，当点F 落在正方形上时，记为点H ； 依此操作下去…(1)图2中的△EFD 是经过两次操作后得到的，其形状为等边三角形，求此时线段EF 的长；(2)若经过三次操作可得到四边形EFGH .①请判断四边形EFGH 的形状为正方形，此时AE 与BF 的数量关系是AE ＝BF ； ②以①中的结论为前提，设AE 的长为x ，四边形EFGH 的面积为y ，求y 与x 的函数关系式及面积y 的取值范围．解：(1)如题图2，由旋转性质可知EF ＝DF ＝DE ，则△DEF 为等边三角形．在Rt △ADE 和Rt △CDF 中，⎩⎪⎨⎪⎧AD ＝CD ，DE ＝DF ，∴Rt △ADE ≌Rt △CDF (HL)．∴AE ＝CF . 设AE ＝CF ＝x ，则BE ＝BF ＝4－x ∴△BEF 为等腰直角三角形． ∴EF ＝2BF ＝2(4－x )． ∴DE ＝DF ＝EF ＝2(4－x )．在Rt △ADE 中，由勾股定理得AE 2＋AD 2＝DE 2，即x 2＋42＝[2(4－x )]2， 解得x 1＝8－43，x 2＝8＋43(舍去)． ∴EF ＝2(4－x )＝46－4 2.△DEF 的形状为等边三角形，EF 的长为46－4 2.第2题答图(2)①四边形EFGH 的形状为正方形，此时AE ＝BF .理由如下：依题意画出图形，如答图所示，连接EG ，FH ，作HN ⊥BC 于N ，GM ⊥AB 于M . 由旋转性质可知，EF ＝FG ＝GH ＝HE ，∴四边形EFGH 是菱形， 由△EGM ≌△FHN ，可知EG ＝FH ，∴四边形EFGH 的形状为正方形，∴∠HEF ＝90°. ∵∠1＋∠2＝90°，∠2＋∠3＝90°，∴∠1＝∠3. ∵∠3＋∠4＝90°，∠2＋∠3＝90°，∴∠2＝∠4. 在△AEH 和△BFE 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠1＝∠3，EH ＝EF ，∠2＝∠4，∴△AEH ≌△BFE (ASA)，∴AE ＝BF .②利用①中结论，易证△AEH ，△BFE ，△CGF ，△DHG 均为全等三角形， ∴BF ＝CG ＝DH ＝AE ＝x ，AH ＝BE ＝CF ＝DG ＝4－x . ∴y ＝S 正方形ABCD－4S △AEH ＝4×4－4×12·x ·(4－x )＝2x 2－8x ＋16，∴y ＝2x 2－8x ＋16(0＜x ＜4)．∵y ＝2x 2－8x ＋16＝2(x －2)2＋8，∴当x ＝2时，y 取得最小值8；当x ＝0或4时，y ＝16. ∴y 的取值范围为8≤y ＜16.3．(2016·江西)【图形定义】如图，将正n 边形绕点A 顺时针旋转60°后，发现旋转前后两图形有另一交点O ，连接AO ，我们称AO 为“叠弦”；再将“叠弦”AO 所在的直线绕点A 逆时针旋转60°后，交旋转前的图形于点P ，连接PO ，我们称∠OAB 为“叠弦角”，△AOP 为“叠弦三角形”；【探究证明】(1)请在图1和图2中选择其中一个证明：“叠弦三角形”(△AOP )是等边三角形． (2)如图2，求证：∠OAB ＝∠OAE ′； 【归纳猜想】(3)图1、图2中的“叠弦角”的度数分别为15°，24°； (4)图n 中，“叠弦三角形”是等边三角形(填“是”或“不是”)； (5)图n 中，“叠弦角”的度数为60°－180°n.(用含n 的式子表示)解：(1)∵四边形ABCD 是正方形，由旋转知，AD ＝AD ′，∠D ＝∠D ′＝90°，∠DAD ′＝∠OAP ＝60°， ∴∠DAP ＝∠D ′AO ，∴△APD ≌△AOD ′(ASA)， ∴AP ＝AO .∵∠OAP ＝60°，∴△AOP 是等边三角形；第2题答图(2)如答图，作AM ⊥DE 于M ，作AN ⊥CB 于N . ∵五边形ABCDE 是正五边形，由旋转知，AE ＝AE ′，∠E ＝∠E ′＝108°，∠EAE ′＝∠OAP ＝60°， ∴∠EAP ＝∠E ′AO .在Rt △AEM 和Rt △ABN 中，∠AEM ＝∠ABN ＝72°，AE ＝AB ， ∴Rt △AEM ≌Rt △ABN (AAS)， ∴∠EAM ＝∠BAN ，AM ＝AN .在Rt △APM 和Rt △AON 中，AP ＝AO ，AM ＝AN ， ∴Rt △APM ≌Rt △AON (HL)， ∴∠PAM ＝∠OAN ，∴∠PAE ＝∠OAB, ∴∠OAE ′＝∠OAB .(3)由(1)知，△APD ≌△AOD ′， ∴∠DAP ＝∠D ′AO .在Rt △AD ′O 和Rt △ABO 中，⎩⎪⎨⎪⎧AD ′＝AB ，AO ＝AO ，∴Rt △AD ′O ≌Rt △ABO (HL)， ∴∠D ′AO ＝∠BAO .由旋转得，∠DAD ′＝60°.∵∠DAB ＝90°， ∴∠D ′AB ＝∠DAB －∠DAD ′＝30°，∴∠D ′AO ＝12∠D ′AB ＝15°，∵题图2的多边形是正五边形， ∴∠EAB ＝－5＝108°，∴∠E ′AB ＝∠EAB －∠EAE ′＝108°－60°＝48°， ∴同理可得，∠E ′AO ＝12∠E ′AB ＝24°.(4)是(5)同(3)的方法得，∠OAB ＝[(n －2)×180°÷n －60°]÷2＝60°－180°n.4．(2018·赤峰)将一副三角尺按图1摆放，等腰直角三角尺的直角边DF 恰好垂直平分AB ，与AC 相交于点G ，BC ＝2 3 cm.(1)求GC 的长；(2)如图2，将△DEF 绕点D 顺时针旋转，使直角边DF 经过点C ，另一直角边DE 与AC 相交于点H ，分别过H ，C 作AB 的垂线，垂足分别为M ，N ，通过观察，猜想MD 与ND 的数量关系，并验证你的猜想．(3)在(2)的条件下，将△DEF 沿DB 方向平移得到△D ′E ′F ′，当D ′E ′恰好经过(1)中的点G 时，请直接写出DD ′的长度．解：(1)在Rt △ABC 中，∵BC ＝23，∠B ＝60°， ∴AC ＝BC ·tan60°＝6，AB ＝2BC ＝43， 在Rt △ADG 中，AG ＝ADcos30°＝4，∴CG ＝AC －AG ＝6－4＝2. (2)结论：DM ＋DN ＝2 3. 理由：∵HM ⊥AB ，CN ⊥AB ，∴∠AMH ＝∠DMH ＝∠CNB ＝∠CND ＝90°.∵∠A ＋∠B ＝90°，∠B ＋∠BCN ＝90°， ∴∠A ＝∠BCN ，∴△AHM ∽△CBN ，∴AM CN ＝HM BN①， 同理可证：△DHM ∽△CDN ，∴DN MH ＝CNDM ② 由①②可得AM ·BN ＝DN ·DM ，∴DM AM ＝BN DN， ∴DM ＋AM AM ＝BN ＋DN DN ，∴AD AM ＝BDDN. ∵AD ＝BD ，∴AM ＝DN ， ∴DM ＋DN ＝AM ＋DM ＝AD ＝2 3.第4题答图(3)如答图，作GK ∥DE 交AB 于K .在△AGK 中，AG ＝GK ＝4，∠A ＝∠GKD ＝30°，作GH ⊥AB 于H . 则AH ＝AG ·cos30°＝23，可得AK ＝2AH ＝43，此时K 与B 重合． ∴DD ′＝DB ＝2 3.。