§1.3 信号的运算
合集下载
《信号与系统教学课件》§1.3信号的运算
信号加法运算的应用
02
CHAPTER
信号的减法运算
信号减法运算的定义
信号减法运算是指将两个信号对应时间点的值相减，得到一个新的信号。
信号减法运算可以用数学表达式表示为：y(t) = x1(t) - x2(t)。
信号减法运算满足交换律和结合律，即x1(t) - x2(t) = x2(t) - x1(t)，以及(x1(t) - x2(t)) - x3(t) = x1(t) - (x2(t) + x3(t))。
信号减法运算的应用
03
CHAPTER
信号的乘法运算
01
02
04
信号乘法运算的定义
信号乘法运算是指两个信号的对应时间点的值相乘，得到一个新的信号。
信号乘法运算适用于时间域和频率域两种情况。
在时间域中，信号乘法运算可以用于实现信号的幅度调整和波形变换。
在频率域中，信号乘法运算可以用于实现信号的频谱分析和调制解调等操作。
信号积分运算的应用
05
CHAPTER
信号的微分运算
信号微分运算的定义
信号微分运算是指对信号进行求导的过程，即对信号的每个时间点上的值进行求导，得到一个新的信号。
在信号处理中，信号的微分运算常用于提取信号的突变点和边缘信息，以及分析信号的波形变化趋势。
信号微分运算的性质
信号微分运算具有线性性质，即对于两个信号的加法或乘法运算，其微分运算结果等于各自微分运算结果的加法或乘法运算。
在实际应用中，信号加法运算可以用于组合多个信号、增强信号强度、合成新的信号等。
03
信号加法运算满足线性性质，即对于任意常数$k$，有$k(a+b)=ka+kb$。
线性性质
§1.3 信号的运算
积分运算是指对信号 在时间轴上从-∞到t时刻取定积分，
f 1 t t f d
X
f t A cos(t 0 )
三．信号幅度运算
3．微分、积分运算
• 微分运算是求 在 时刻的变化率，反映了信号的局部差 异。积分是累积运算，反映的是信号的整体特性如能 量、功率等。
• 微分运算不改变信号的周期性，而周期信号经过积分 运算后可能是周期信号，也可能是非周期信号。
X
f t A cos(t 0 )
四．信号的时间运算
反褶、压缩与扩展
X
对于两个周期信号，若周期的比值为有理数，则加、 减、乘、除运算后依然为周期信号，且为两个周期的最 小公倍数。
例
周因期T信1 号7co为s3有ω理t和数co，s7则ωtc的os周3ω期t和分c别os7为ωtT任1 然32ω为π 周和期T2信 号72ωπ，，
T2 3
且周期为T1和T2的最小公倍数
。Байду номын сангаас
X
f t A cos(t 0 )
四．信号的时间运算
3．压缩与扩展 所谓信号的压缩与扩展是指原信号持续时间的缩短与展长。
a 1 1 a 0
（a）原信号 （b）信号压缩 （c）信号扩展 图1.3.6 信号的压缩与扩展
X
f t A cos(t 0 )
四．信号的时间运算
4．反褶+压缩与扩展
（a）原信号 （b）信号压缩+反褶 （c）信号扩展+反褶 图1.3.7 信号的反褶+压缩与扩展
进行，也可以同时对幅度和时间变量进行。
X
f t A cos(t 0 )
三．信号幅度运算
1．四则运算 加、减、乘、除四则运算是两个或多个相同或不同的信 号之间的运算，所得运算结果是各信号在相同时刻取值 的加、减、乘、除的结果。
f 1 t t f d
X
f t A cos(t 0 )
三．信号幅度运算
3．微分、积分运算
• 微分运算是求 在 时刻的变化率，反映了信号的局部差 异。积分是累积运算，反映的是信号的整体特性如能 量、功率等。
• 微分运算不改变信号的周期性，而周期信号经过积分 运算后可能是周期信号，也可能是非周期信号。
X
f t A cos(t 0 )
四．信号的时间运算
反褶、压缩与扩展
X
对于两个周期信号，若周期的比值为有理数，则加、 减、乘、除运算后依然为周期信号，且为两个周期的最 小公倍数。
例
周因期T信1 号7co为s3有ω理t和数co，s7则ωtc的os周3ω期t和分c别os7为ωtT任1 然32ω为π 周和期T2信 号72ωπ，，
T2 3
且周期为T1和T2的最小公倍数
。Байду номын сангаас
X
f t A cos(t 0 )
四．信号的时间运算
3．压缩与扩展 所谓信号的压缩与扩展是指原信号持续时间的缩短与展长。
a 1 1 a 0
（a）原信号 （b）信号压缩 （c）信号扩展 图1.3.6 信号的压缩与扩展
X
f t A cos(t 0 )
四．信号的时间运算
4．反褶+压缩与扩展
（a）原信号 （b）信号压缩+反褶 （c）信号扩展+反褶 图1.3.7 信号的反褶+压缩与扩展
进行，也可以同时对幅度和时间变量进行。
X
f t A cos(t 0 )
三．信号幅度运算
1．四则运算 加、减、乘、除四则运算是两个或多个相同或不同的信 号之间的运算，所得运算结果是各信号在相同时刻取值 的加、减、乘、除的结果。
1.3 信号的基本运算
-2 o
2t
f ( 2t ) 1
-1 o 1 t
右移2，得f (2t – 4)
f (-2t -4) 1
反转，得f (– 2t – 4)
f (2t -4) 1
-3 -1 o t
o 123 t
▲
■
第 12 页
若已知f (– 4 – 2t) ，画出 f (t) 。
f (-2t -4) 1
反转，得f (2t –4)
例2 平移与尺度变换相结合 例3 平移、反转、尺度变换相结合，正逆运算。
可以看出：
混合运算时，三种运算的次序可任意。但一定要 注意一切变换都是相对t 而言。 通常，对正向运算，先平移，后反转和展缩不易 出错；对逆运算，反之。
▲
■
第8页
平移与反转相结合举例
例 已知f (t)如图所示，画出 f (2 – t)。 解答 法一：①先平移f (t) → f (t +2)
§1.3 信号的基本运算
两信号相加或相乘 信号的时间变换
➢ 反转 ➢ 平移 ➢ 尺度变换 信号的微分和积分
■
第1页
一、信号的加法和乘法
同一瞬时两信号对应值相加（相乘）。
sint
sint
t
sin8t
sin8t
t
sint sin8t
sint sin8t
t
▲
t t
t
■
第2页
离散序列相加、乘
■
第9页
平移与尺度变换相结合举例
例 已知f (t)如图所示，画出 f (3t + 5)。
解答
f (t)
f (t 5)
1
时移
1
1 O 1 t
1.3信号基本运算
f (t) = fe(t) + fo(t)
可推得： 可推得：
f (t) + f (−t) fe(t) = 2 f (t) − f (−t) fo(t) = 2
• 对离散序列： 对离散序列：
f [n] = fe[n]+ fo[n]
1 fe[n] = ( f [n]+ f [−n]) 2
1 fo[n] = ( f [n]− f [−n]) 2
f1[n]+f2[n]=
(−1 +n )
n
2 + 2n
-n
乘法： 2 乘法：
两个信号对应时刻的函数值相乘。 两个信号对应时刻的函数值相乘。例
0
t
σ >0
0
t
σ<0
0
t
σ=0
ω≠ 0
3 时移： 时移：
将原信号沿时间轴左移或右移。 将原信号沿时间轴左移或右移。 其物理意义为：表示信号的接入时间不同。 其物理意义为：表示信号的接入时间不同。
f1(t) 1 t -1
3 1
f2(t) 1 0 1 -1 2 t
0 1
f1 ( t ) + f2 ( t )
解：
-1
-1
0 1
2
3
t
例3 f1[n]=
2 n
n , n<-3 < , n≥-3 ≥
f2[n]= ；
(-1) -n 2 + n
n
, ,
n<0 n ≥0
解：
Hale Waihona Puke (−1 +2 )n
n
n<-3 < n= -3,-2,-1 n ≥0
§1.3 信号的运算
t 0 t 1 0 t 1
f
(t
)
1
f
(t
1)
1
f
(t
1)
1
X
第
2．反褶
4
页
f (t) f (t)
以纵轴为轴折叠，把信号的过去与未来对调。
例：
f t
1
f t
1
2
O 1t
1 O
2t
没有可实现此功能的实际器件。数字信号处理中可 以实现此概念，例如堆栈中的“后进先出”。
信号的变换?信号的自变量的变换平移尺度一般情况?微分和积分?两信号相加或相乘为常数即得时移信号轴平移0左移超前宗量相同函数值相同求新坐标ft1的波形
§1.3 信号的运算
•信号的自变量的变换 平移 反褶 尺度 一般情况
•微分和积分 •两信号相加或相乘
第
一．信号的自变量的变换（波形变换）页2
1.信号的移位 2.信号的反褶 3.信号的展缩（尺度变换） 4.一般情况
加上倒置：f at b f at b a
注意！
一切变换都是相对t 而言 最好用先翻缩后平移的顺序
X
第
二．微分和积分
9 页
微分：f t d f t，
dt
积分：t
f
d
X
三．两信号相加和相乘
第 10
页
同一瞬时两信号对应值相加（相乘）。
sint
sint
t
t
sin8t
sin8t
t
sint sin8t
t
sint sin8t
信号的运算
d f (t ) 微分：f (t ) dt
f (t )
2
第
11 页
t
积分：
f ( ) d
0
1
(a)
4
5
t
2
0
2
d f (t ) dt
4
5
t
1
(b )
信号的微分
X
三．两信号相加和相乘
同一瞬时两信号对应值相加（相乘）。
sint t sin8t t sint sin8t
t 例：已知 f t ，画出 f 2t 和 f 的波形。 2
第 5 页
f t f at 波形的压缩与扩展，标度变换
f (t ) f t 2
f t 2 1
O
2
t f( ) 2
1
T
t
O
2T
t
宗量相同，函数值相同
t 0 T f(t) 1 2 t/2 0 T f(t/2) 1 2
f (t ) f (t )
第 3 页
< 0，左移(超前)
例：
f (t )
1
f(t+1)的波形？
f( (tt ) 1) f
1
1 O
1
t
1 O
1
t
宗量相同，函数值相同，求新坐标
t 0 t 1 0 t 1 f ( t ) 1 f ( t 1) 1 f ( t 1) 1
X
2．反褶
f (t ) f ( t )
以纵轴为轴折叠，把信号的过去与未来对调。
例：
f t 1 2 O 1 t 1 O f t 1 2 t
f (t )
2
第
11 页
t
积分：
f ( ) d
0
1
(a)
4
5
t
2
0
2
d f (t ) dt
4
5
t
1
(b )
信号的微分
X
三．两信号相加和相乘
同一瞬时两信号对应值相加（相乘）。
sint t sin8t t sint sin8t
t 例：已知 f t ，画出 f 2t 和 f 的波形。 2
第 5 页
f t f at 波形的压缩与扩展，标度变换
f (t ) f t 2
f t 2 1
O
2
t f( ) 2
1
T
t
O
2T
t
宗量相同，函数值相同
t 0 T f(t) 1 2 t/2 0 T f(t/2) 1 2
f (t ) f (t )
第 3 页
< 0，左移(超前)
例：
f (t )
1
f(t+1)的波形？
f( (tt ) 1) f
1
1 O
1
t
1 O
1
t
宗量相同，函数值相同，求新坐标
t 0 t 1 0 t 1 f ( t ) 1 f ( t 1) 1 f ( t 1) 1
X
2．反褶
f (t ) f ( t )
以纵轴为轴折叠，把信号的过去与未来对调。
例：
f t 1 2 O 1 t 1 O f t 1 2 t
1.3信号的运算
18
冲激函数的性质
f (t)δ (t) = f (0)δ (t)
f (t)δ (t t0 ) = f (t0 )δ (t t0 )
∫
∞
∞
δ (t t0 ) f (t)dt =f (t0 )
∫
∞ ∞
∞
∞
δ (t) f (t)dt =f (0)
∫
∞
∞
δ (t t0 ) f (t)dt =∫ f (t0 )δ (t t0 )dt
∞
f ( t ) d δ ( t )
∞ ∞
= f ( t )δ ( t ) ∞ = f ' (0)
∫
∞
∞
δ ( t ) df ( t ) = ∫ δ ( t ) f ' ( t ) dt
∫
δ '(t t0 ) f (t)dt = f ' (t0 ) ∞
∞
28
1 1 尺度特性 δ ' (at) = δ ' (t) a a
d [ f (t) δ (t)] = f (0) δ ' (t) dt = f ' (t) δ (t) + f (t) δ ' (t)
= f ' (0) δ (t ) + f (t) δ ' (t)
f (t) δ ' (t) = f (0) δ ' (t) f ' (0) δ (t)
f (t) δ ' (t t0 ) = f (t0 ) δ ' (t t0 ) f ' (t0 ) δ (t t0 )
δ (t ) = δ (t )
冲激函数的积分等于阶跃函数
∫
δ (τ )dτ = u(t) ∞
冲激函数的性质
f (t)δ (t) = f (0)δ (t)
f (t)δ (t t0 ) = f (t0 )δ (t t0 )
∫
∞
∞
δ (t t0 ) f (t)dt =f (t0 )
∫
∞ ∞
∞
∞
δ (t) f (t)dt =f (0)
∫
∞
∞
δ (t t0 ) f (t)dt =∫ f (t0 )δ (t t0 )dt
∞
f ( t ) d δ ( t )
∞ ∞
= f ( t )δ ( t ) ∞ = f ' (0)
∫
∞
∞
δ ( t ) df ( t ) = ∫ δ ( t ) f ' ( t ) dt
∫
δ '(t t0 ) f (t)dt = f ' (t0 ) ∞
∞
28
1 1 尺度特性 δ ' (at) = δ ' (t) a a
d [ f (t) δ (t)] = f (0) δ ' (t) dt = f ' (t) δ (t) + f (t) δ ' (t)
= f ' (0) δ (t ) + f (t) δ ' (t)
f (t) δ ' (t) = f (0) δ ' (t) f ' (0) δ (t)
f (t) δ ' (t t0 ) = f (t0 ) δ ' (t t0 ) f ' (t0 ) δ (t t0 )
δ (t ) = δ (t )
冲激函数的积分等于阶跃函数
∫
δ (τ )dτ = u(t) ∞
§1.3信号的分解
1 2 *
j fi (t ) [ f (t ) f (t )]
1 2 *
8
0.5
fo(t)
0.5
奇分量
－2
－1 0
1
2
3
t
－2
－1 0
1
2
3
t
5
-0.5
-0.5
3 信号分解成冲激脉冲分量之和
f (t )
f (t1 )
t1
t1
t t1 0
t
6
f (t ) f (t1 )[u(t t1 ) u(t t1 t1 )]
f (t ) f (t1 )[u(t t1 ) u(t t1 t1 )]
§1-1-4 信号的分解
为了便于研究信号的传输和处理问题，往 往将信号分解为一些简单(基本)的信号之和， 分解角度不同，可以分解为不同的分量。 •直流分量和交流分量 •偶分量与奇分量 •脉冲分量 •实部分量与虚部分量
1
1 信号分解成直流分量和交流分量
f (t ) f D f A (t )
直流分量 交流分量
信号平均值
fD
f A (t )
f (t )
f A (t )dt 0 。即交流分量在一个周期内的积分为0。 对于交流分量，必有 T / 2 2 另外，一个信号的平均功率等于直流功率和交流功率之和。
T /2
2 信号分解成偶分量与奇分量
偶分量定义 奇分量定义
f e (t ) fe (t )
fo (t ) fo (t )
0 t
0
t
3
信号分解为奇、偶分量：
偶分量：fe (t ) fe (t ) 奇分量：f 0 (t ) f0 (t ) 信号 f (t )可 表示为：
j fi (t ) [ f (t ) f (t )]
1 2 *
8
0.5
fo(t)
0.5
奇分量
－2
－1 0
1
2
3
t
－2
－1 0
1
2
3
t
5
-0.5
-0.5
3 信号分解成冲激脉冲分量之和
f (t )
f (t1 )
t1
t1
t t1 0
t
6
f (t ) f (t1 )[u(t t1 ) u(t t1 t1 )]
f (t ) f (t1 )[u(t t1 ) u(t t1 t1 )]
§1-1-4 信号的分解
为了便于研究信号的传输和处理问题，往 往将信号分解为一些简单(基本)的信号之和， 分解角度不同，可以分解为不同的分量。 •直流分量和交流分量 •偶分量与奇分量 •脉冲分量 •实部分量与虚部分量
1
1 信号分解成直流分量和交流分量
f (t ) f D f A (t )
直流分量 交流分量
信号平均值
fD
f A (t )
f (t )
f A (t )dt 0 。即交流分量在一个周期内的积分为0。 对于交流分量，必有 T / 2 2 另外，一个信号的平均功率等于直流功率和交流功率之和。
T /2
2 信号分解成偶分量与奇分量
偶分量定义 奇分量定义
f e (t ) fe (t )
fo (t ) fo (t )
0 t
0
t
3
信号分解为奇、偶分量：
偶分量：fe (t ) fe (t ) 奇分量：f 0 (t ) f0 (t ) 信号 f (t )可 表示为：
《信号与系统》课程讲义1-2
ii)抽样特性： (t ) f (t )dt f (0)
证明： (t ) f (t )dt ( ) f ( )d ( ) ( ) f 0 d f 0
iv)延时抽样： v)关系：
t t f t dt f (t )
1 t
-1 0 f(-t-2) 1 -3 -2 0 t 2 t
0 1
1 -1
2 3
f(-3t-2)
0
t
§1.3信号的运算
②已知f(t)定义域为[-1,4]，求f(-2t+5)的定义域 解：
i)方法一：f(t)→f(-t) [-4,1]；f(-t)→f(-t+5) [1,6]；
ii)方法二： 1 2t 5 4 6 2t 1
f (t ) f 1 ( t ) f 2 ( t )
§1.3信号的运算
7．信号相乘 ① f (t ) f1 (t ) f 2 (t )
②常用在调制解调中 8．卷积
f (t ) f1 (t ) f 2 (t )
f1 ( ) f 2 (t )d
9．相关
a
Ke at (a 0)
③特性：微积分后仍为指数信号
§1.2 信号描述分类和典型示例
2．正弦信号 ①表达式：
f (t ) K sin(t )
②参数：K振幅， 角频率， 初相位 f(t) ③特性 i)周期信号， 0 2 1 T f ii)微积分后仍为正弦信号
3 8
t
t
f(t)
t
0 ln 2 2 ln 2 3 ln 2
3
练习
信号与系统第二讲
若 H[C1 f1(t ) + C2 f2 (t )] = C1H[ f1(t )] + C2H[ f2 (t )] 是线性系统,否则是非线性系统 否则是非线性系统。 则系统 H[•]是线性系统 否则是非线性系统。 注意：外加激励与系统非零状态单独处理。 注意：外加激励与系统非零状态单独处理。
25
二．时变系统与时不变系统
∫
r (t ) r (t ) r (t )
r(t ) = ∫ e(t )dt
−∞
t
τ
T
r ( t ) = e( t −τ ) r ( t ) = e( t −T )
18
二．系统的定义和表示
系统：具有特定功能的总体， 系统：具有特定功能的总体，可以看作信号的变换 处理器。 器、处理器。 系统模型：系统物理特性的数学抽象。 系统模型：系统物理特性的数学抽象。 系统的表示： 系统的表示： 数学表达式：系统物理特性的数学抽象。 数学表达式：系统物理特性的数学抽象。 系统图：形象地表示其功能。 系统图：形象地表示其功能。
5
1.3 信号的运算与变换
信号的代数运算 信号的微分与积分 信号的反褶 信号的时移 信号的尺度变换 信号的分解
6
1.3.1 信号的代数运算
信号的加减运算： f ( t ) = f 1 ( t ) ± f 2 ( t ) 注意要在对应的时间上进行加减运算。
1 t1 1 0 -1
7
0
t2 相加
t1
2 1 0 -1 t2
绪论
第一章 信号与系统概论
1.1 信号的描述与分类 1.2 基本典型信号 1.3 信号的运算与变换 1.4 系统
1
冲激函数的性质
延迟的冲激函数
信号与系统第一章(2)信号的运算
f t f 2t 4
解法六：尺度 变换
f (t)
平移
反转。
f ( 2t )
1
-2 0 1 t
尺度变换
1
-1 0 0.5 t
f (2t +4)
f (- 2t +4)
左移2个单位
-3 -1.5 0
1
t
反转
1
0 1.5 3 t
补充例题1：已知 f (5 t ) 的波形，试画出 f (3t 6) 的波 形。
f t f 2t 4
解法一：平移
f (t)
反转
尺度变换。
f ( t+4 )
1
-2 0 1 t
ห้องสมุดไป่ตู้
左移4个单位
1
-6 -3 0 f (- 2t +4)
t
f (- t +4)
反转
1
0 3 6
尺度变换 1
t 0 1.5 3 t
f t f 2t 4
解法二：平移
f (t)
1 尺度变换
-0.5 0 1 t
右移2个单位
1
0 1.5 3 t
f t f 2t 4
解法五：反转
f (t)
平移
尺度 变换 。
f ( -t )
1
-2 0 1 t
反转
-1
1
0 2 t
f (- t+4 )
f (- 2t +4)
右移4个 单位
0
尺度变换
1
3 6 t
1
0 1.5 3 t
f2(t)=sin6t
1.1.4信号的时域变换 也属于信号的运算。包括信号的反转、时移、 尺度变换及三者的结合变换。
《信号与系统教学课件》§1.3信号的运算
信号的基本运算
1 线性运算
2 平移运算
信号的线性运算是指对信号进行加法和数乘操作， 结果仍然是信号。
平移运算改变信号在时间或空间上的位置，通过 延时或提前来实现。
3 缩放运算
4 对称运算
缩放运算改变信号的振幅或幅度范围，通过增大 或减小信号的幅度来实现。
对称运算改变信号的对称性，通过翻转信号使其 与原信号一致。
线性运算
加法运算
信号的加法运算是指两个信号相加，对应位置的值相加 得到新的信号。
乘法运算
信号的乘法运算是指两个信号相乘，对应位置的值相乘 得到新的信号。
平移运算
1
正向平移
信号的正向平移是将信号向右或向上移动一定距离。
2
负向平移
信号的负向平移是将信号向左或向下移动一定距离。来自3平移运算的应用
平移运算常用于时域信号分析中，可以改变信号的起始时间或位置。
缩放运算
放大运算
信号的放大运算是指增加信号的幅度，使其振幅或幅 度范围增加。
缩小运算
信号的缩小运算是指减小信号的幅度，使其振幅或幅 度范围减小。
对称运算
1 水平对称
水平对称是指将信号沿垂直轴进行翻转，左右对称。
2 垂直对称
垂直对称是指将信号沿水平轴进行翻转，上下对称。
《信号与系统教学课件》 §1.3信号的运算
信号的定义、分类和基本运算是了解信号与系统的重要基础。本节课将介绍 信号的不同运算方式，包括线性运算、平移运算、缩放运算和对称运算。
信号的定义
什么是信号？
信号是随时间、空间或其它独立变量的变化而变化的 量，描述了某种信息或现象的特征。
信号的类型
常见的信号类型包括连续信号和离散信号，它们在时 间或空间上的变化特性不同。
§1-3 信号的基本运算
x(n)
1 1
x(n 2)
1
x(n 2)
2 1
0 1 2 3 4 5
n
2 1
0 1 2 3 4 5 6 7
n
4 3 2 1
0 1 2 3
n
2、反褶：a=-1，b=0: x(t ) x(t ) , x(n) x(n)
x(t )
1 1
x ( t )
1
x(n)
x(t )
1 1
x(t 1)
1
x (2t )
1
0
1
2
t
2 1
0
1
2
t
1
0
1
2
t
x(1 t )
1 1
x(2t )
1
0
1
2
t
1
0
1
2
t
x(1 2t )
1 1
x(1 2t )
1
0
1
2
t
1
0
1
2
t
二、信号的加减与相乘：
两信号相加减或相乘，是两信号在同一时刻的函数值 相加减或相乘，形成新的时间信号。例如：
1
a 1
1 2
2 1
0
3
4
t
离散时间信号没有与连续时间信号一样意义的 展缩运算，但当a为一整数时，也相当于时域压缩:
x(n) x(an)
a 1
2 1
x(2n) y(n)
3
x(n)
3
2 1
3 2 1
称作减采样
0 1 2 3 4 5
n
3 2 1
0 1 2 3 4 5
1 1
x(n 2)
1
x(n 2)
2 1
0 1 2 3 4 5
n
2 1
0 1 2 3 4 5 6 7
n
4 3 2 1
0 1 2 3
n
2、反褶：a=-1，b=0: x(t ) x(t ) , x(n) x(n)
x(t )
1 1
x ( t )
1
x(n)
x(t )
1 1
x(t 1)
1
x (2t )
1
0
1
2
t
2 1
0
1
2
t
1
0
1
2
t
x(1 t )
1 1
x(2t )
1
0
1
2
t
1
0
1
2
t
x(1 2t )
1 1
x(1 2t )
1
0
1
2
t
1
0
1
2
t
二、信号的加减与相乘：
两信号相加减或相乘，是两信号在同一时刻的函数值 相加减或相乘，形成新的时间信号。例如：
1
a 1
1 2
2 1
0
3
4
t
离散时间信号没有与连续时间信号一样意义的 展缩运算，但当a为一整数时，也相当于时域压缩:
x(n) x(an)
a 1
2 1
x(2n) y(n)
3
x(n)
3
2 1
3 2 1
称作减采样
0 1 2 3 4 5
n
3 2 1
0 1 2 3 4 5
第1章_信号与系统的基本概念_1.3信号的基本运算
（2）位移 ）位移(shift)
位移： 位移：x[n]→x[n±k] → ± 如果序列y(n)与序列 与序列x(n)之间满足关系 之间满足关系y(n)=x(n-k)， 如果序列 与序列 之间满足关系 ， 其中k为整数 则称序列y(n)是序列 为整数， 是序列x(n)的移位。 的移位。 其中 为整数，则称序列 是序列 的移位 当k>0时，称为向右移位。 时 称为向右移位。 当k<0时，称为向左移位。 时 称为向左移位。 或者说， 表示将x[n]右移 个单位， 右移k个单位 或者说，当k>0时，x[n-k]表示将 时 表示将 右移 个单位， x[n+k]表示将 表示将x[n]左移 个单位。 左移k个单位 表示将 左移 个单位。
序列的差分(difference)与函数的微分 与函数的微分(differential)相对应。 相对应。 序列的差分 与函数的微分 相对应 序列的求和(sum)与函数的积分 与函数的积分(integral)相对应。 相对应。 序列的求和 与函数的积分 相对应 后向差分的定义： 后向差分的定义： 一阶后向差分： 一阶后向差分： ∇x ( n) = x ( n) − x ( n − 1) 二阶后向差分： 二阶后向差分： 2 x(n) = ∇x(n) − ∇x(n − 1) = x(n) − 2 x(n − 1) + x(n − 2) ∇ 三阶后向差分： 三阶后向差分： ∇ 3 x(n) = ∇ 2 x(n) − ∇ 2 x(n − 1) = x(n) − 3x(n − 1) + 3 x(n − 2) − x(n − 3) 依此类推， 阶后向差分 阶后向差分： 依此类推，N阶后向差分： ∇ N x(n ) = ∇ ∇ N −1 x(n )
（3）尺度变换 ）尺度变换(scaling)
信号基本运算(尺度变换,卷积等)
o 123
n
hn
1
o 123 n
hn m
a m um
hn m
a m um
o 123
m
n0
o 123
m
n 1
y(n) u(n) n αm 1 αn1 un 1 yn
m0
1α
11
当n 时，yn 1
1α
o 1234
g(t )
1 1t
1 2
d
t
2 T4
1 f1 f2t
1 O t 3 1
t
t 3 1
t
3
1
即2 t 4
g(t) 1 1(t )d t 2 t 2
t3 2
42
T4
1 f1
f2t
（A）1
（B）-1
（C）1.5 f1（t）
（D) -0.5
f t f1 t f2 t
f2（t）
-1
t
1
-1
tt
图1
2、卷积积分f (t-t1)* δ(t-t2)的结果为
A.f (t-t1-t2)
B. δ(t-t1-t2)
C.f (t+t1+t2)
D. δ(t+t1+t2)
3、已知f1 (t),f2(t)的波形如题图所示，试 画出f1(t)*f2(t)的波形。
当 f1或t 为f2非t 连续函数时，卷积需分段，积分限分段定。
卷积的性质
•代数性质 •微分积分性质 •与冲激函数或阶跃函数的卷积
一．代数性质
信号与系统 第一章_绪论(青岛大学)小白发布
（1）偶函数； ）偶函数； （2） ）
∫
∞
−∞ ∞
Sa (t )dt = π Sa 2 (t )dt = π
∫
−∞
另外一个类似的函数：
sin π t sinc( t ) = πt
§1.3 信号的运算
（一）对自变量进行的运算： 移位、反褶与尺度 对自变量进行的运算： 移位、 1. 移位： f (t ) → f (t ± t0 ) 移位：
t
t
t
sin (Ωt ) + sin (8 Ωt )
× sin ( Ωt ) sin (8 Ωt )
t
t
反相点
§1.4 阶跃信号与冲激信号 奇异信号： 奇异信号：
（一）单位斜变信号tu(t) （二）单位阶跃信号 u(t) （三）单位冲激信号δ (t) （四）冲激偶信号δ ' (t)
（一）单位斜变信号tu(t)
（3） cos(3n − )
当 当
2π
2π
π
ω0
为有理数时， 为周期序列； 为有理数时，sin(ω0n) 为周期序列； 为无理数时， 为非周期序列。 为无理数时，sin(ω0n) 为非周期序列。
2π 为无理数， 为无理数， 3
非周期序列
4
ω0
4．能量（有限）信号与功率（有限）信号 能量（有限）信号与功率（有限）
2.信号的传输、 2.信号的传输、交换和处理 信号的传输
信号传输（Transmission）
——古代烽火传送边疆警报 ——击鼓、信鸽、旗语等 击鼓、信鸽、 ——电信号传输（19世纪开始）： 电信号传输（ 世纪开始 世纪开始）：
1837年莫尔斯发明了电报 年莫尔斯发明了电报 1876年贝尔发明了电话 年
∫
∞
−∞ ∞
Sa (t )dt = π Sa 2 (t )dt = π
∫
−∞
另外一个类似的函数：
sin π t sinc( t ) = πt
§1.3 信号的运算
（一）对自变量进行的运算： 移位、反褶与尺度 对自变量进行的运算： 移位、 1. 移位： f (t ) → f (t ± t0 ) 移位：
t
t
t
sin (Ωt ) + sin (8 Ωt )
× sin ( Ωt ) sin (8 Ωt )
t
t
反相点
§1.4 阶跃信号与冲激信号 奇异信号： 奇异信号：
（一）单位斜变信号tu(t) （二）单位阶跃信号 u(t) （三）单位冲激信号δ (t) （四）冲激偶信号δ ' (t)
（一）单位斜变信号tu(t)
（3） cos(3n − )
当 当
2π
2π
π
ω0
为有理数时， 为周期序列； 为有理数时，sin(ω0n) 为周期序列； 为无理数时， 为非周期序列。 为无理数时，sin(ω0n) 为非周期序列。
2π 为无理数， 为无理数， 3
非周期序列
4
ω0
4．能量（有限）信号与功率（有限）信号 能量（有限）信号与功率（有限）
2.信号的传输、 2.信号的传输、交换和处理 信号的传输
信号传输（Transmission）
——古代烽火传送边疆警报 ——击鼓、信鸽、旗语等 击鼓、信鸽、 ——电信号传输（19世纪开始）： 电信号传输（ 世纪开始 世纪开始）：
1837年莫尔斯发明了电报 年莫尔斯发明了电报 1876年贝尔发明了电话 年
第二讲 信号的基本运算与波形变换
o
②再平移 f (– t) → f (– t +2)= f [– (t – 2)]
19
【例1. 6】 信号的波形如图所示，求 f t 1, f t 1, f t , f t 1 及 f t 1 的表达式，并画出其波形。
解 由信号 f t 的波形图可得 0, t 0 f t t ,0 t 1 0, t 1
n0 n0 n0
n0 0 n y 2 ( n) f ( n) 1 n0 n a (1 a n ) n0 1 a
13
4. 取模（或取绝对值）运算 连续时间复信号的取模运算
yt f t
离散时间复信号的取模运算
yn f n
t 1 0 0, t 1 0, f t 1 t 1,0 t 1 1 t 1,1 t 0 0, 0, t 1 1 t 0
t 1 0 0, t 1 0, f t 1 t 1,0 t 1 1 t 1,1 t 2 0, 0, t 1 1 t2
' f (t ) (t ) (t 1)
11
a n , 【例1. 5】已知单边衰减指数序列为 f n 0, 试分别求其一阶差分和一次累加。 解：
0 y1 (n) f (n) f (n 1) 1 a n a n 1
n0 , n0
1 n y (n) 2 n 1
n 1 n 1
求x(n)+ y(n)。 解：
n 1 z ( n) x ( n) y ( n) 2 n 1 n 3 2
n 1 n 1 n 1
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
后平移： +，左移b/a单位；－，右移b/a单位
加上倒置：f at b f at b a 一切变换都是对t而言 最好用先翻缩后平移的顺序
注意！
退出
f (t )
例题 已知f(t)，求f(3t+5)。
解 方法1：先时移，再标度变换
f(t)f(t+5) f(3t+5)
t
0 T
f(t)
1 2
2t
0 T
f(2t)
1
2
t
0 T/2
f(２t)
1 2
t2t，时间尺度增加，波形压缩。
退出
比较
f t
a 1压缩,保持信号的时间缩短了 f ( t ) f (at ) 0 a 1扩展,保持信号的时间增长了
f t / 2 2 1
T
t
f 2 t 2 1
§1.3 信号的运算
主要内容
一. 信号的自变量的变换 1. 信号的平移 2. 倒置(翻转) 3. 信号的展缩 4. 一般情况
二. 信号的时域运算 重点
信号的展缩 信号 平移、倒置、展缩 同时都有的变换
退出 开始
难点
BUPT EE 2010.9
一.信号的自变量的变换（波形变换）
1.信号的平移
2.信号的倒置
同一瞬时两信号对应值相加（相乘）。
sin t
1 sin 3 t 3
1 sin 3 t 3
1 sin t sin 3 t 3
1 sin t sin 3 t 3
退出
2.微分和积分
1
f t
df t 微分：f t ， dt
1
积分： f d
t
f t
O
2
2
f t 2
t
O
2
t
2
t
O 2
2
t
f d
2
t
1
O 2
退出
1
1
0
T
t/2 0 T
t
0
求新坐标 f(t/2) 1 2 t 0 2T
退出
2T
t
宗量相同，函数值相同 t 0 T f(t) 1 2
f(t/2) 1 2
时间尺度压缩：t t 2 ,波形扩展
f(t)f(2t)
f t
t 2 ff
2
1
2
1
0
T
t
0 T /2
t
求新坐标
宗量相同，函数值相同
6 5 4
f ( t 5)
1
1 0 1 f (3t 5)
t
1 t
f ( 3t )
1
1 301 3
2
4 3
1 t
方法2：先压缩， 后移动 验证： 计算特殊点
宗量t
f (3t 5)
1
t
2
4 3
t
宗量3t+5
函数值
t=-1 t=0 t=1
3t+5=-1，t=-2 3t+5=0，t=-5/3 3t+5=1，t=-4/3
3.信号的展缩
4.一般情况
退出
1.信号的平移
将信号f t 沿 t轴平移即得时移信号 f t , 为时间常数 >0，右移(滞后) <0，左移(超前)
f (t ) f f( (tt) 1) 1 t
f (t ) f (t )
例：
1 O
1 1
2
1 O
1
t
宗量相同，函数值相同，求新坐标
1 2
t
把信号的过去与未来对调。
没有可实现此功能的实际器件。数字信号处理中可 以实现此概念，例如堆栈中的“后进先出” 。
退出
3. 信号的展缩
f t f at
标度变换
t 例：已知 f t ，画出 f 2t 和 f 的波形。 2 f (t ) f t 2 f t ff tt/2 2 2
1 1 0
退出
f (t )
1
f (3t 5)
1
1
t
2
4 3
1 0
t
函数值 1 1 0
宗量t t=-1 t=0 t=1
宗量3t+5 3t+5=-1，t=-2 3t+5=0，t=-5/3 3t+5=1，t=-4/3
退出
二. 信号的时域运算
1.相加和相乘 2.微分和积分
退出
1.相加和相乘
sin t
t 0 t 1 0 t 1 f ( t ) 1 f ( t 1) 1 f ( t 1) 1
退出
2. 倒置(翻转)
f (t ) f ( t )
例：
f (t )
1
以纵轴为轴折叠
f (t )t )
1
1
2 1 0
t
1 02T t2源自1000 T /2
t
•三个波形相似，都是t 的一次函数。
•但由于自变量t 的系数不同，则达到同样函数值2的时 间不同。
•时间变量乘以一个系数等于改变观察时间的标度。
退出
4. 一般情况
f t f at b f at b a 设a 0
先展缩：a>1，压缩a倍； a<1，扩展1/a倍