《复变函数》教学资料 2.3
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复变函数课件2-3
re
w 2 = →
θ →θ + 2× ( n − 1)π
θ → θ + 2× 2 π
re
iϕ 2
θ → θ 2× k π L + w k = →
n
r e iϕ k L
w n − 1 = →
n
re
iϕ n−1
产生多值的原因是:当 取定后 其辐角不固定， 取定后， 产生多值的原因是 当z取定后，其辐角不固定，可 以连续改变2π的整数倍， 以连续改变 π的整数倍，对应的函数值连续改变到 下一个值
′ = 1 , (Lnz )′ = 1 . (ln z ) z z
19
例：
Bernoulli 悖论
2 2
原因
(3) ⇒(4) 错了 Lnz是集合 是集合 2 2 ⇒ (2)Lnz = Ln ( − z ) 记号， 记号，应该 理解为两个 ⇒(3)Lnz + Lnz = Ln( −z) + Ln( −z) 集合相加 荒谬透 ⇒ (4)2Lnz = 2Ln ( − z ) 顶！！！ A={0,1} ⇒ (5)Lnz = Ln ( − z ) 决不会相 A+A={0,1,2} 因为 Ln(−1) = (2k + 1)π i k = 0, ±1, ±2,L 2A={0,2} 等！！！ Ln(1) = 2kπ i k = 0, ±1, ±2,L A+A≠2A ≠
注意: 在实变函数中, 负数无对数, 注意 在实变函数中 负数无对数 而复变数对 数函数是实变数对数函数的拓广. 数函数是实变数对数函数的拓广
15
例5 解
解方程 e z − 1 − 3i = 0.
因为 e z = 1 + 3i ,
复变函数-第三讲
s inz,c ozs作 为 复 变,函 是 数 否 与 实 变 函 数
有类似的:结si果 nz 1, cozs 1.
5) 由正弦和余弦函及 数指 定数 义函数 的加法定理可推三 知角 一公 些式
scionzzs1(1( zz22)) scionzz1s1ccoozzs2s2csionzzs11ssiin nzz22 sin 2zco2sz1
当x0时, eiy coysisiny, 从而得到 : eiy coysisiny
e iy e iy
e iy e iy
si y n
cy o s
y R(2 )
2 i
2
推广到复变数情形
定义
ezi ezi sinz
ezi ezi co sz
(3)
2i
2
称 为z的 正 弦 与 余 弦 函 数
uv v u x y x y
上述条件满足时,有
f'(z)uxivxux iuyvy iuy vy ivx
最易记忆
仅用u 表示
仅用v 表示
定理2 函数f (z)=u(x, y)+iv(x, y)在D内解析充要 条件是 u(x, y) 和 v(x, y)在D内可微，且 满足Cauchy-Riemann方程
第三讲 解析函数的充要条件 初等函数
§2.2 解析函数的充要条件
1. 解析函数的充要条件 2. 举例
如果复变函数 w = f (z) = u(x, y) + iv(x, y)在定 义域 D内处处可导，则函数 w = f (z) 在 D内解析。
问题 如何判断函数的解析性呢？
本节从函数 u (x , y) 及 v (x , y) 的可导性，探求 函数w=f (z) 的可导性，从而给出判别函数解析的 一个充分必要条件，并给出解析函数的求导方法。
复变函数课件2-3
(k 0,1, 2,, n)
(3) 根式函数的单值解析分支
w n z, 对根式函数
(1)
来说，当
z0w n 0 0
(2)
z 0 wk
z
n
n | z |e
k
i
2 k
n
k 0,1, n 1,
arg z z的主辐角
由于
Argz arg z 2k ,
n
re
n
ik
k
2k
n
=
arg z 2k k 0,1, n 1 n
w0 n re
i0
2 w1 n re i1
n
2 2 w2
2( n 1) wn 1
4. 分出w=Lnz的单值解析分支
wk (Ln z ) k ln r i(arg z 2k ), k 0,1,2,,
1
1. 乘幂: 设 a 为不等于零的一个复数, b 为任意一个
复数, 乘幂 a b 定义为 e bLna , 即 a b e bLna . 注：由于 Ln a ln a i(arga 2k ) 是多值的, 因而 b 一般情况下，a 也是多值的.
五、多支点函数
定义2.8(单叶函数）
设函数f(z)在区域D内有定义,且对D内任意不同的
两点z1及z2都有f(z1)≠f(z2),则称函数 f(z)在D内是单叶的.
并且称区域D为f(z)的单叶性区域.
显然,区域D到区域G的单叶满变换w=f(z)就是D 到G的一一变换. f(z)=z2不是C上的单叶函数. f(z)=z3是C上的单叶函数
上岸
下岸
复变函数(第四版)课件--章节2.3
e iw + e − iw 得 e 2 iw − 2 ze iw + 1 = 0, , 由 z = cos w = 2
方程的根为 e iw = z + z 2 − 1, 两端取对数得
Arccos z = −iLn(z + z2 − 1).
同样可以定义反正弦函数和反正切函数, 重复以上步骤, 可以得到它们的表达式:
e +e cos iy = = ch y 2 −y y e −e sin iy = = i sh y 2i
y
−y
所以
cos(x + iy) = cos x ch y − i sin x sh y, sin( x + iy) = sin x ch y + i cos x sh y.
iii)公式
cos(z1 + z2 ) = cos z1 cos z2 − sin z1 sin z2 sin( z1 + z2 ) = sin z1 cos z2 + cos z1 sin z2 sin 2 z + cos2 z =1
由此得 cos(x+iy)=cosxcosiy-sinxsiniy, sin(x+iy)=sinxcosiy+cosxsiniy. 但当z为纯虚数iy时, 我们有
Ln( z1z2 ) = Ln z1 + Ln z2 z1 Ln = Ln z1 − Ln z2 z2
ii)对数函数的解析性. 就主值ln z而言, 其中ln|z|除原点外在其它 点都是连续的, 而arg z在原点与负实轴上都不 连续. 因为若设z=x+iy, 则当z<0时,
y→0
lim− arg z = −π , lim+ arg z =π .
方程的根为 e iw = z + z 2 − 1, 两端取对数得
Arccos z = −iLn(z + z2 − 1).
同样可以定义反正弦函数和反正切函数, 重复以上步骤, 可以得到它们的表达式:
e +e cos iy = = ch y 2 −y y e −e sin iy = = i sh y 2i
y
−y
所以
cos(x + iy) = cos x ch y − i sin x sh y, sin( x + iy) = sin x ch y + i cos x sh y.
iii)公式
cos(z1 + z2 ) = cos z1 cos z2 − sin z1 sin z2 sin( z1 + z2 ) = sin z1 cos z2 + cos z1 sin z2 sin 2 z + cos2 z =1
由此得 cos(x+iy)=cosxcosiy-sinxsiniy, sin(x+iy)=sinxcosiy+cosxsiniy. 但当z为纯虚数iy时, 我们有
Ln( z1z2 ) = Ln z1 + Ln z2 z1 Ln = Ln z1 − Ln z2 z2
ii)对数函数的解析性. 就主值ln z而言, 其中ln|z|除原点外在其它 点都是连续的, 而arg z在原点与负实轴上都不 连续. 因为若设z=x+iy, 则当z<0时,
y→0
lim− arg z = −π , lim+ arg z =π .
复变函数课件2.3(1a)
第二章
第三节
初等多值函数
2、对数函数 5、反三角函数与反双曲函数 3、一般幂函数与指数函数 1、根式函数 4、多个有限支点情形
上页
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返回
复习指数函数的定义和性质
规定 : e e (cos y i sin y ).
z x
、定义域z C , 值域w C \ {0, }
、指数函数w e 是周期为2 i的周期函数:
解
因为 e z 1 3i ,
所以 z Ln(1 3i )
ln 1 3i i 2k 3 ln 2 i 2k 3
( k 0, 1, 2,)
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返回
对数函数的基本性质
1、对数函数w Lnz是定义在整个复平面减去原点 上的多值函数;
上页
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返回
5 反三角函数和反双曲函数
反三角函数的定义
设 z cos w , 那么称 w 为 z 的反余弦函数, 记作 w Arc cos z . e iw e iw 2 iw iw 由 z cos w , 得 e 2ze 1 0, 2 方程的根为e iw z z 2 1, 两端取对数得
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返回
2、对数函数的代数性质： Ln(z1 z2 ) Lnz1＋Lnz2 Ln(z1 / z2 ) Lnz1 Lnz2
并且下面的等式将不再成立: Lnz 2×2Lnz, Ln n z ×n Lnz 1 而应是：Lnz 2 2ln | z | i 2arg z 2k i ,
1 1 Ln n z n ln | z | i n arg z 2k i
1 1 i ( 2 3i ) 解 Arc tan( 2 3i ) Ln 2i 1 i ( 2 3i ) i 3i Ln 2 5
第三节
初等多值函数
2、对数函数 5、反三角函数与反双曲函数 3、一般幂函数与指数函数 1、根式函数 4、多个有限支点情形
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复习指数函数的定义和性质
规定 : e e (cos y i sin y ).
z x
、定义域z C , 值域w C \ {0, }
、指数函数w e 是周期为2 i的周期函数:
解
因为 e z 1 3i ,
所以 z Ln(1 3i )
ln 1 3i i 2k 3 ln 2 i 2k 3
( k 0, 1, 2,)
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对数函数的基本性质
1、对数函数w Lnz是定义在整个复平面减去原点 上的多值函数;
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5 反三角函数和反双曲函数
反三角函数的定义
设 z cos w , 那么称 w 为 z 的反余弦函数, 记作 w Arc cos z . e iw e iw 2 iw iw 由 z cos w , 得 e 2ze 1 0, 2 方程的根为e iw z z 2 1, 两端取对数得
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2、对数函数的代数性质： Ln(z1 z2 ) Lnz1＋Lnz2 Ln(z1 / z2 ) Lnz1 Lnz2
并且下面的等式将不再成立: Lnz 2×2Lnz, Ln n z ×n Lnz 1 而应是：Lnz 2 2ln | z | i 2arg z 2k i ,
1 1 Ln n z n ln | z | i n arg z 2k i
1 1 i ( 2 3i ) 解 Arc tan( 2 3i ) Ln 2i 1 i ( 2 3i ) i 3i Ln 2 5
(最新整理)(完整版)复变函数解析函数
f(z)Ae
成立, 则称当z趋于z0时, f(z)以A为极限，并记做 limf(z)A 或 f(z) A (z z0 ).
zz0
注意: 定义中zz0的方式是任意的.
几何意义
y
(z)
v
w f(z)
z0 d
o
xo
(w)
e
A
u
几何意义: 当变点z一旦进
入z0 的充分小去 心邻域时,它的象
点f(z)就落入A的
(最新整理)(完整版)复变函数解析函数
2021/7/26
1
第二章 解析函数
2.1 复变函数的概念 2.2 解析函数的概念 2.3 解析的充要条件 2.4 初等函数
2.1 复变函数的概念、极限与连续性
复变函数的概念
1. 复变函数的定义 2. 映射的概念 3. 反函数或逆映射
1. 复变函数的定义—与实变函数定义相类似
0)
A
zz0 g(z) l i mg(z) zz0
B
zz0
以上定理用极限定义证!
例1
证明 wx2yi(xy2)在平面上处处 . x2 y, x y2在平面上处处有极限
例2
求 f(z)zz
z 在 z0时的极 . 限 z
f(z)2(xx22yy22)在(0,0)处极限不 . 存在
例3
证 明 f(z)Rez z在z0时 的 极 限.不 存
y (z)
v (w)
w z2
2
o
x
o
u
y (z)
v (w)
w z2
w z2
o
6
x w z2 o
3
u
x2 y2 4
3. 反函数或逆映射
成立, 则称当z趋于z0时, f(z)以A为极限，并记做 limf(z)A 或 f(z) A (z z0 ).
zz0
注意: 定义中zz0的方式是任意的.
几何意义
y
(z)
v
w f(z)
z0 d
o
xo
(w)
e
A
u
几何意义: 当变点z一旦进
入z0 的充分小去 心邻域时,它的象
点f(z)就落入A的
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第二章 解析函数
2.1 复变函数的概念 2.2 解析函数的概念 2.3 解析的充要条件 2.4 初等函数
2.1 复变函数的概念、极限与连续性
复变函数的概念
1. 复变函数的定义 2. 映射的概念 3. 反函数或逆映射
1. 复变函数的定义—与实变函数定义相类似
0)
A
zz0 g(z) l i mg(z) zz0
B
zz0
以上定理用极限定义证!
例1
证明 wx2yi(xy2)在平面上处处 . x2 y, x y2在平面上处处有极限
例2
求 f(z)zz
z 在 z0时的极 . 限 z
f(z)2(xx22yy22)在(0,0)处极限不 . 存在
例3
证 明 f(z)Rez z在z0时 的 极 限.不 存
y (z)
v (w)
w z2
2
o
x
o
u
y (z)
v (w)
w z2
w z2
o
6
x w z2 o
3
u
x2 y2 4
3. 反函数或逆映射
《复变函数》教案
《复变函数》教案第一章：复数的概念与运算1.1 复数的基本概念介绍复数的定义：形如a + bi 的数，其中i 是虚数单位，i^2 = -1。
解释实部和虚部的概念。
强调复数是实数域的拓展。
1.2 复数的运算掌握复数加法、减法、乘法和除法的运算规则。
举例说明复数运算的实质：代数形式的运算。
1.3 复数的几何表示引入复平面（复数坐标系）。
讲解复数在复平面上的表示：点的坐标。
介绍共轭复数的概念及其在复平面上的表示。
第二章：复变函数的定义与基本性质2.1 复变函数的定义给出复变函数的定义：定义在复平面上的函数，输入为复数，输出也为复数。
强调函数的连续性和可导性。
2.2 复变函数的基本性质介绍复变函数的奇偶性、周期性和可积性等基本性质。
举例说明这些性质的应用和判定方法。
2.3 复变函数的极限与连续性讲解复变函数在一点或一点的邻域内的极限概念。
强调复变函数的连续性及其与实变函数连续性的联系。
第三章：解析函数3.1 解析函数的定义引入解析函数的概念：在其定义域内具有无穷导数的复变函数。
解释解析函数的导数性质：解析函数是解析的，即在其定义域内每个点上都可以求导。
3.2 解析函数的例子举例说明常见解析函数：三角函数、指数函数、对数函数等。
强调解析函数在复平面上的图形特点：没有奇点。
3.3 解析函数的积分讲解解析函数的积分性质：解析函数在其定义域内积分路径无关。
介绍柯西积分定理和柯西积分公式。
第四章：积分变换4.1 傅里叶变换引入傅里叶变换的概念：将一个函数从时域转换到频域的积分变换。
讲解傅里叶变换的数学表达式及其物理意义。
4.2 拉普拉斯变换介绍拉普拉斯变换的概念：解决偏微分方程的积分变换方法。
强调拉普拉斯变换的应用领域：工程和物理学。
4.3 其他积分变换简要介绍希尔伯特变换、哈特莱变换等其他积分变换。
强调这些变换在信号处理等领域的应用。
第五章：复变函数在几何中的应用5.1 复数与几何的关系强调复变函数与复数几何的紧密联系。
复变函数
y i z x yi 1 ki x z x yi 1 y i 1 ki x h z0 z h z0 不趋于一个确定的值。所以，当z 0时，比值 z 的极限不存在。 1
趋于z0，由于k的任意性，
因此，h( z ) z 仅在z 0处可导，而在其它点都不可导。由定义， 它在复平面内处处不解析。
(1) f(z)=z2 (2) g(z)=Im(z) (3) h(z)= |z|2
2 由解析函数的定义与前面例 1 、例 2 可知， f ( z ) z 在复平面内 解: 2
是解析的，而g ( z ) Im( z )却处处不解析。下面研究h( z ) z 的解析性。
h z0 z h z0 z0 z z0 由于 z z
函数 f(z) 的导数定义为
如果函数 f ( z) 在区域 D 内处处可导, 我们 就称 f ( z)在区域D内可导 . 2
例1:
求f ( z ) z 2的导数 .
( z z )2 z 2 f ( z z ) f ( z ) lim ( 2 z z ) 2 z . lim lim 解: f ( z ) z 0 z 0 z 0 z z
u u x y 1x 2 y, x y v v v x y 3 x 4 y, 其中 lim k 0, x 0 x y y 0
于 是 u
( k 1,2,3,4)
u v v u i x i y ( 1 i 3 )x ( 2 i f ( z z ) f ( z ) 4 )y . 13 x y x y
f (z) f ( z ) g( z ) f ( z ) g( z ) ( 5) . ( g ( z ) 0) 2 g (z) g( z ) (6) f [ g( z )] f ( w ) g ( z ). 其中 w g( z )
趋于z0，由于k的任意性，
因此，h( z ) z 仅在z 0处可导，而在其它点都不可导。由定义， 它在复平面内处处不解析。
(1) f(z)=z2 (2) g(z)=Im(z) (3) h(z)= |z|2
2 由解析函数的定义与前面例 1 、例 2 可知， f ( z ) z 在复平面内 解: 2
是解析的，而g ( z ) Im( z )却处处不解析。下面研究h( z ) z 的解析性。
h z0 z h z0 z0 z z0 由于 z z
函数 f(z) 的导数定义为
如果函数 f ( z) 在区域 D 内处处可导, 我们 就称 f ( z)在区域D内可导 . 2
例1:
求f ( z ) z 2的导数 .
( z z )2 z 2 f ( z z ) f ( z ) lim ( 2 z z ) 2 z . lim lim 解: f ( z ) z 0 z 0 z 0 z z
u u x y 1x 2 y, x y v v v x y 3 x 4 y, 其中 lim k 0, x 0 x y y 0
于 是 u
( k 1,2,3,4)
u v v u i x i y ( 1 i 3 )x ( 2 i f ( z z ) f ( z ) 4 )y . 13 x y x y
f (z) f ( z ) g( z ) f ( z ) g( z ) ( 5) . ( g ( z ) 0) 2 g (z) g( z ) (6) f [ g( z )] f ( w ) g ( z ). 其中 w g( z )
复变函数-2.3 初等函数共26页
解 析 函 数
25/25
休息一下 ……
数
2
eiwz z21, iw L(zn z2 1),
w A cz r o i c L s( z n z 2 1 ) .
同理可得 A sr z i n c iL (iz n 1 z 2 );
Artcazni Ln iz. 2 iz
§2.3 初等函数
事实上，在无穷远点有
当 y0,x 时，ez ;
当 y0,x 时，ez 0.
(3) ez 0. 因为 e x 0 ,co y is siy n 0 .
§2.3 初等函数
5/25
第 一、指数函数
二 章
性质
解
事实上，
析 函
e z 1 e z 2 e x 1 (y c 1 i s o y 1 ) i e x s 2 n (y c 2 i s o y 2 ) is n
解 析
|w| ex,
Aw r y g 2 k π ,
由 z 的实部得到 w 的模； 由 z 的虚部得到 w 的辐角。
函 数
(k0 ,1 ,2 , )
y
(z)
v
(w)
y4π
y2π y
z xx
wez
zLnw
w
ex
y
u
§2.3 初等函数
7/25
第 二、对数函数
二 章
对数函数定义为指数函数的反函数。
析
函
主值 ln (1)πi.
数
可见，在复数域内，负实数是可以求对数的。
12/25
§2.3 初等函数
第 ▲例 求对数 Ln2 以及它的主值。 二 章 解 L 2 l n |2 n | ia2 r 2 k π g iln 22kπi;
25/25
休息一下 ……
数
2
eiwz z21, iw L(zn z2 1),
w A cz r o i c L s( z n z 2 1 ) .
同理可得 A sr z i n c iL (iz n 1 z 2 );
Artcazni Ln iz. 2 iz
§2.3 初等函数
事实上，在无穷远点有
当 y0,x 时，ez ;
当 y0,x 时，ez 0.
(3) ez 0. 因为 e x 0 ,co y is siy n 0 .
§2.3 初等函数
5/25
第 一、指数函数
二 章
性质
解
事实上，
析 函
e z 1 e z 2 e x 1 (y c 1 i s o y 1 ) i e x s 2 n (y c 2 i s o y 2 ) is n
解 析
|w| ex,
Aw r y g 2 k π ,
由 z 的实部得到 w 的模； 由 z 的虚部得到 w 的辐角。
函 数
(k0 ,1 ,2 , )
y
(z)
v
(w)
y4π
y2π y
z xx
wez
zLnw
w
ex
y
u
§2.3 初等函数
7/25
第 二、对数函数
二 章
对数函数定义为指数函数的反函数。
析
函
主值 ln (1)πi.
数
可见，在复数域内，负实数是可以求对数的。
12/25
§2.3 初等函数
第 ▲例 求对数 Ln2 以及它的主值。 二 章 解 L 2 l n |2 n | ia2 r 2 k π g iln 22kπi;
复变函数第二章-2
因此， 因此， Lnz 可表示为
Lnz = ln z + 2kπi （k = 0, ±1, ±2, ⋅⋅⋅）
对于每一个固定的k, 上式为一单值函数, 一个分支。 对于每一个固定的 上式为一单值函数 称为 Lnz 的一个分支。 这就是实变数对数函数。 当 z = x > 0 时 Lnz 的主值 ln z = ln x，这就是实变数对数函数。
1) 实变量的对数函数 ln x 。
它对一切正数x有定义，且是单值的； 它对一切正数 有定义，且是单值的； 有定义
2) 复变量的对数函数 Lnz 。
它对于一切不为0的复数 有定义 且每个z对应无穷多值 对应无穷多值； 它对于一切不为 的复数z有定义，且每个 对应无穷多值； 的复数 有定义，
3) 复变量对数函数的主值 ln z 。
aLnz
是多值函数， （由于 Lnz 是多值函数，所以 e
一般也是多值函数。） 一般也是多值函数。）
17
幂函数的性质： 2) 当a为正整数 时 为正整数n时 为正整数
w=z =e
n
n Ln z
=e
n [ln| z | + i (arg z + 2 k π i )]
= z e in arg z
n
是一个单值函数； 一个单值函数；
所以 即
eu + iv = re iθ
（k = 0, ±1, ±2, ⋅⋅⋅）。
eu = r， v = θ + 2kπ
u = ln r， v = θ + 2kπ （k = 0, ±1, ±2, ⋅⋅⋅）。 的辐角， 由于 r = z ，而 θ是z的辐角，故恰有v = Argz ，故有 的辐角
w = Lnz = ln z + iArgz， z ≠ 0.
Lnz = ln z + 2kπi （k = 0, ±1, ±2, ⋅⋅⋅）
对于每一个固定的k, 上式为一单值函数, 一个分支。 对于每一个固定的 上式为一单值函数 称为 Lnz 的一个分支。 这就是实变数对数函数。 当 z = x > 0 时 Lnz 的主值 ln z = ln x，这就是实变数对数函数。
1) 实变量的对数函数 ln x 。
它对一切正数x有定义，且是单值的； 它对一切正数 有定义，且是单值的； 有定义
2) 复变量的对数函数 Lnz 。
它对于一切不为0的复数 有定义 且每个z对应无穷多值 对应无穷多值； 它对于一切不为 的复数z有定义，且每个 对应无穷多值； 的复数 有定义，
3) 复变量对数函数的主值 ln z 。
aLnz
是多值函数， （由于 Lnz 是多值函数，所以 e
一般也是多值函数。） 一般也是多值函数。）
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幂函数的性质： 2) 当a为正整数 时 为正整数n时 为正整数
w=z =e
n
n Ln z
=e
n [ln| z | + i (arg z + 2 k π i )]
= z e in arg z
n
是一个单值函数； 一个单值函数；
所以 即
eu + iv = re iθ
（k = 0, ±1, ±2, ⋅⋅⋅）。
eu = r， v = θ + 2kπ
u = ln r， v = θ + 2kπ （k = 0, ±1, ±2, ⋅⋅⋅）。 的辐角， 由于 r = z ，而 θ是z的辐角，故恰有v = Argz ，故有 的辐角
w = Lnz = ln z + iArgz， z ≠ 0.
复变函数2.3第三节 初等多值函数
(ln 22k )i(ln 22k )
2e2k (cosln 2 i sin ln 2) (k 0,1,2, ,)
2 e e e 2
2Ln2
2[ln 2i(arg 22k )]
2ln 22 2ki
2 2 e2 2ki (k 0,1,2, )
2
2
01
2
arg(i 2) arctan1 ,
2
所以
w(i)
4
i ( arctan1 )
10e 2 4
2
4
i arctan1
10e 2 3 .
例2：
例2、验证函数
w 4 z(1 z)3 ,
在区域D=C-[0,1]内可以分解成解析分支；求出 这个分支函数在(0,1)上沿取正实值的一个分支 在z=-1处的值及函数在（0，1）下沿的值。
无穷阶支点:
（2）a不是有理数时，容易验证原点和无穷远点
是 w z a 的无穷阶支点。
当a不是整数时，由于原点和无穷远点是w z a
的支点，所以任取连接这两个支点的一条简单连
续曲线作为 内，可以把
wK1割线z a，分得解一成个解区析域分D支1。。在
D1
幂函数的映射性质:
关于幂函数当a为正实数时的映射性质，有下面
的角形，同时，这个函数把A中以原点为心的
圆弧映射成中 A1 以原点为心的圆弧。
a
幂函数的映射性质:
类似地，我们有，当n(>1)是正整数时，
wn z
的n个分支
i 1 2 k
w n z(n 1 e n ) (k 0,1,2,...,n 1)
分别把区域D*双射成w平面的n个角形
复变函数与积分变换-2.3
概率论与数理统计
这说明一个复数 z( z 0)的 对 数 仍 为 复 数 ,它 的 实部是 z的 模 的 实 自 然 对 数 ； 的 它虚 部 是 z的 幅 角的一般值 ,即 虚 部 无 穷 多 ,其任意两个相异值 相 差2的 一 个 整 数 倍 .
即, w Lnz是z的无穷多值函数
当k 0时, Lnz ln z iargz lnz 为Lnz的一单值函数 , 称为Lnz的主值(主值支)
概率论与数理统计
第三节、初等解析函数
指数函数 对数函数 乘幂与幂函数 三角函数和双曲函数 反三角函数与反双曲函数
1
概率论与数理统计
1. 指数函数
定义: 如果函数f(z)满足下列三个条件: i) f(z)在复平面内处处解析; ii) f ′(z) = f(z)
iii) 当Im(z)=0时, f(z)=ex, 其中x=Re(z)；
这个性质是实变指数函数所没有的。
又 e z e z e x x (cos(y y ) i sin(y y )) e 0 1 1 1 z e z e
e z1 z 2 z2 e e
z1
概率论与数理统计
注 意
1 i 2
(1)e z 仅仅是个符号 ,它的定义为:e z e x (cosy isiny) ，
(2)当z为实数 x时, f ( z ) expz e x ( y 0)
(3) f ( z ) expz在复平面上处处解析， 且(expz ) expz .
expz2 (4) 加法定理 expz 1
证明：设 z1 x1 iy1 ,
exp(z1 z2 )
z2 x2 iy2 .
《复变函数》教案
《复变函数》教案第一章：复变函数概述1.1 复数的概念1. 实数与虚数2. 复数的表示方法3. 复数的运算规则1.2 复变函数的定义1. 函数的概念2. 复变函数的表示方法3. 复变函数的运算规则1.3 复变函数的性质1. 解析函数的概念2. 奇函数与偶函数3. 周期函数第二章：复变函数的积分2.1 复变函数的积分概念1. 积分的基本概念2. 复变函数的积分表示3. 积分的性质2.2 复变函数的积分计算1. 柯西积分定理2. 柯西积分公式3. 复变函数的积分计算方法2.3 复变函数的积分应用1. 解析函数的奇偶性2. 解析函数的周期性3. 复变函数的图像与性质第三章：复变函数的级数3.1 复变函数的级数概念1. 级数的基本概念2. 收敛级数与发散级数3. 复变函数的级数表示3.2 复变函数的级数计算1. 泰勒级数展开2. 洛朗级数展开3. 复变函数的级数计算方法3.3 复变函数的级数应用1. 解析函数的逼近2. 解析函数的计算3. 复变函数的图像与性质第四章：复变函数的微分4.1 复变函数的微分概念1. 微分的定义2. 微分的表示方法3. 微分的性质4.2 复变函数的微分计算1. 复变函数的求导法则2. 复变函数的高阶微分3. 复变函数的微分计算方法4.3 复变函数的微分应用1. 解析函数的单调性2. 解析函数的极值3. 复变函数的图像与性质第五章：复变函数的积分变换5.1 复变函数的积分变换概念1. 积分变换的定义2. 积分变换的表示方法3. 积分变换的性质5.2 复变函数的积分变换计算1. 傅里叶积分变换2. 拉普拉斯积分变换3. 复变函数的积分变换计算方法5.3 复变函数的积分变换应用1. 解析函数的变换2. 解析函数的计算3. 复变函数的应用领域第六章：复变函数的方程6.1 复变函数方程的概念1. 方程的定义2. 复变函数方程的表示方法3. 复变函数方程的性质6.2 复变函数方程的求解方法1. 解析函数的方程求解2. 非解析函数的方程求解3. 复变函数方程的求解技巧6.3 复变函数方程的应用1. 复变函数方程在数学分析中的应用2. 复变函数方程在物理学中的应用3. 复变函数方程在其他领域的应用第七章：复变函数的极限7.1 复变函数极限的概念1. 极限的定义2. 复变函数极限的表示方法3. 复变函数极限的性质7.2 复变函数极限的计算方法1. 复变函数的无穷小与无穷大2. 复变函数的极限计算法则3. 复变函数极限的计算技巧7.3 复变函数极限的应用1. 解析函数的连续性2. 解析函数的导数3. 复变函数极限在其他领域的应用第八章：复变函数的泰勒级数8.1 泰勒级数的概念1. 泰勒级数的定义2. 泰勒级数的表示方法3. 泰勒级数的性质8.2 泰勒级数的计算方法1. 泰勒公式的推导2. 泰勒级数的展开与收敛性3. 泰勒级数的计算技巧8.3 泰勒级数在复变函数中的应用1. 解析函数的逼近与计算2. 解析函数的图像与性质分析3. 泰勒级数在其他领域的应用第九章：复变函数的洛朗级数9.1 洛朗级数的概念1. 洛朗级数的定义2. 洛朗级数的表示方法3. 洛朗级数的性质9.2 洛朗级数的计算方法1. 洛朗公式的推导2. 洛朗级数的展开与收敛性3. 洛朗级数的计算技巧9.3 洛朗级数在复变函数中的应用1. 解析函数的逼近与计算2. 解析函数的图像与性质分析3. 洛朗级数在其他领域的应用第十章：复变函数的选讲10.1 复变函数的解析延拓1. 解析延拓的概念2. 解析延拓的方法3. 解析延拓的应用10.2 复变函数的解析函数族1. 函数族的概念2. 解析函数族的性质3. 解析函数族的应用10.3 复变函数的积分变换及其他1. 其他积分变换的介绍2. 积分变换的应用3. 复变函数在其他领域的应用重点和难点解析重点环节一：复数的概念和运算规则重点：理解实数与虚数的概念，掌握复数的表示方法，熟悉复数的四则运算规则。
复变函数课件2.3(3)
i [Argz3Arg(1-z )]
e4
,
可能的支点为0、1与无穷，具体分析见下图
arg z增加2，arg(1 z)不
变，所以arg w增加 / 2， 01
arg(1 z)增加2，arg z不
01
变，所以arg w增加3 / 2，
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arg z增加2，arg(1 z)也增加2，所以arg w 增加(2 3 2 ) / 4 2 ,回到同一个分支。
i [arg z arg (z 1)arg (z 2)] k i
e2
(k 0,1)
中取k=0那支.
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如右图，
i
01 2
arg i ,arg(i 1) 3
2
4
arg(i 2) arctan 1 ,
2
所以
w(i)
4
i ( 9 arctan 1 )
10e 2 4
2
4
i
1
1 2
(2)
(3)
3
2
2
w(z)
4
10e
i arctan 1
2
3
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我们求函数下述的解析分支
w z(z 1)(z 2), (w(1) 6i)
在z=i的值。在z = -1处，取
arg z arg(z 1) arg(z 2) ,
在w的两个解析分支为：
w
|
z(z 1)(z 2) |1/ 2
根式函数的支点: 原点(有限)和无穷远点 切割平面
如果一个多值复函数有多个有限支点, 情况如何?
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考虑对象
w n P(z) n A(z a1 )b1 ...(z am )bm a1,..., am不同，且b1 ... bm N
复变函数论第三版2.3
的整数，q > 0）：
p q p Lnz q
z =e =e =e 由于p与q为互素，所以不难看到，当k取 0，2， , q − 1时，得到q个不同的值，即这 1， ⋯ 时幂函数是一个q值的函数；
p [ln| z|+ i (arg z + 2 kπ )] q
p ln z + 1 i 2 pkπ q q
n
1 n
时，有 1 1 1 1 ln z 2 kπi (ln| z |+ i arg z ) 2 kπi n n n n n w= z =e e =e e
= n | z |e
1 i (arg z + 2 kπ ) n
(−π < arg z ≤ π , k ∈ Z )
这是一个n值函数。
在复平面上以负实轴（包括0）为割线而得的区 域D内，它有n个不同的解析分支：
=e
2Ln2
(1+i ) Ln2
(1+i )[ln 2+i (arg 2+ 2 kπ )]
(1+i )[ln 2+ 2 kπi )]
2
2
=e
2 [ln 2+i (arg 2+ 2 kπ )]
=e
2 ln 2+ 2 2kπi
=2 e
2
2 2kπi
(k = 0,±1,±2,⋯)
7、幂函数在C \ {Im z = 0, Re z ≤ 0}上解析，
(2)根式函数 w = n z的单值解析分支：
从原点O到点∞引一条射线，将z平面割破，得到 一个以此割线为边界的区域G.在G内指定一点z0 , 并指定z0的一个辐角值，则G内任意一点z的辐角， 都可以从z 都可以从z0的辐角连续变化而得到 .
[高等教育]复变函数教案资料
![[高等教育]复变函数教案资料](https://img.taocdn.com/s3/m/9a1485d5250c844769eae009581b6bd97f19bc29.png)
1 dz |z|1 z(z 2)
1
dz |z2|1 z(z 2)
1
dz |z|3 z(z 2)
z |z1|1
1
12 z
3
dz
i
i
0 i
2
37
• 路径积分
本章小结
– 复变函数的积分可分解为2个线积分；
– 一般情况下，积分与路径有关；
• 柯西定理
– 在单连通区域内解析，则积分与路径无关，完全由起 点和终点决定；
z y
ρ φ
O
x
5
3．复数的三角式 指数式
zc o is s in
z ei Argz (辐角)
0arzg2
x2 y2 (模)
(主辐角)
4．无穷远点 零点，辐角没有定义。
模为无穷大，辐角没有定义。
6
5．复数的运算
加减
x 1 i y 1 x 2 i y 2 x 1 x 2 i y 1 y 2
n 1
R lim n
1
1
an n
R 收敛 z z0 R 不确定
R 发散
44
例 求收敛圆的半径，判断收敛圆上的敛散性：
1zz2zn
S 1 1 z
z z2
zn
1
12
n
S
1
z
1 z
2
11z2
z2 22
zn nn
45
§3.3 函数的泰勒级数展开
1．展开定理
设 f z 在以 z 0 为圆心，R 为半径的圆 C R 内解析，则：
a
1dr0eidie1
1d
r
1r
ar
i
z1dz2 eidiei
2.3.12.1.3复变函数可导性与解析性的判定
充要条件是：u(x,y)与 v(x,y)在区域 D 内处处可微， 且满足柯西—黎曼方程.
二、区域内解析的充要条件
推论 函数 f (z)=u(x,y)+iv(x,y)在区域 D 内有定义，
如果 u(x,y) 与 v(x,y) 在区域 D 内的四个一阶偏导数
u x
，u
y
，v
x
，v
y
存在且连续，且满足柯西—黎曼
u x
i
v x
v i v y x
u i u x y
v i u y y
注意 C-R方程是函数可导的必要条件而非充分条件， 因为二元实变函数在一点处偏导数存在并不能 保证在该点连续，更不能保证在该点可微.
二、区域内解析的充要条件
定理 函数 f (z)=u(x,y)+iv(x,y) 在区域 D 内解析的
则 f (z)在区域 D 内解析.
总结 解析函数的判定方法:
(1) 如果能用求导公式与求导法则证实复变函数f (z) 的导数在区域D内处处存在，则可根据解析函数 的定义断定 f (z) 在D内是解析的.
总结 解析函数的判定方法:
(2) 如果复变函数f (z)=u(x,y)+iv(x,y) 中u(x,y)与v(x,y) 在 D 内的各一阶偏导数都存在且连续，且满足 柯西—黎曼方程，那么根据解析函数的充要条件 可以断定f (z)在D内是解析的.
1 一点处可导的充要条件 2 区域内解析的充要条件
一、一点处可导的充要条件
定理 设函数 f (z)=u(x,y)+iv(x,y) 定义在区域 D 内，
则 f (z)在 D 内一点 z=x+yi 可导的充要条件是：
u(x,y)与 v(x,y)在点 (x,y)处可微，并且在该点满足
二、区域内解析的充要条件
推论 函数 f (z)=u(x,y)+iv(x,y)在区域 D 内有定义，
如果 u(x,y) 与 v(x,y) 在区域 D 内的四个一阶偏导数
u x
，u
y
，v
x
，v
y
存在且连续，且满足柯西—黎曼
u x
i
v x
v i v y x
u i u x y
v i u y y
注意 C-R方程是函数可导的必要条件而非充分条件， 因为二元实变函数在一点处偏导数存在并不能 保证在该点连续，更不能保证在该点可微.
二、区域内解析的充要条件
定理 函数 f (z)=u(x,y)+iv(x,y) 在区域 D 内解析的
则 f (z)在区域 D 内解析.
总结 解析函数的判定方法:
(1) 如果能用求导公式与求导法则证实复变函数f (z) 的导数在区域D内处处存在，则可根据解析函数 的定义断定 f (z) 在D内是解析的.
总结 解析函数的判定方法:
(2) 如果复变函数f (z)=u(x,y)+iv(x,y) 中u(x,y)与v(x,y) 在 D 内的各一阶偏导数都存在且连续，且满足 柯西—黎曼方程，那么根据解析函数的充要条件 可以断定f (z)在D内是解析的.
1 一点处可导的充要条件 2 区域内解析的充要条件
一、一点处可导的充要条件
定理 设函数 f (z)=u(x,y)+iv(x,y) 定义在区域 D 内，
则 f (z)在 D 内一点 z=x+yi 可导的充要条件是：
u(x,y)与 v(x,y)在点 (x,y)处可微，并且在该点满足
2.3 复变函数的导数与微分
则 f ( z0 z ) f ( z0 ) u i v . 于是有
u i v (ax by 1x 2y )
i (bx ay 2x 1y ).
由两个复数相等的条件可得
u ax by 1x 2y , v bx ay 2x 1y .
k 0
所以，由导数定义有
( z z ) n z n f ( z ) ( z n ) lim z 0 z
1 n lim [( z ) n 1 C n (z ) n 2 z C n 1 z n 1 ] nz n1 z 0
( z ) nz
引理 条件是 f ( z ) 在 z 0 点可微，且 A f ( z0 ).
(a ib)( x i y ) (1 i 2 )( x i y ) (ax by 1x 2y ) i (bx ay 2x 1y ,
• 此极限值称为 f (z )在点 z 0处的导数，记作 f ( z 0 )
dw 或 dz
z z0
，即
dw f ( z0 ) dz
f ( z ) f ( z0 ) lim z z0 zz z z0 f ( z0 z ) f ( z0 ) lim z 0 z
u v u v , x y y x
• 上式称为柯西-黎曼（Cauchy-Riemann）条件 （或方程），简称C-R条件（或方程）.
★ 证明：必要性. 若 f ( z0 ) 存在，设
f ( z0 ) a ib (a, b是实常数).
由 引理 ,
f ( z0 z ) f ( z0 ) f ( z0 )z z
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遍布 [a, b]区间，并且取每一点的可能性是相
同的，则称X 服从[a,b]区间上的均匀分布，
记为 X ~ U[a,b].其概率密度为
f
(
x)
b
1
a
,
a x b,
0, x a, x b.
分布函数为：
0,
F
(x)
x b
a
a 1,
,
x a, a x b,
x b.
例2（指数分布） 若随机变量 X 的概率
1 (2) (2) 0.9772.
（2）
P( X 1 4) P(3 X 5) 5 10 3 10 6 6
5 6
13 6
1
5 6
1
13 6
13 5 0.1883 6 6
例7 假设某种电池寿命（单位：h ）为 一随机变量。它服从参数为 300 和 352的正态 分布，计算：
P(a) F (a) b f (x)dx
类似可得 X 取值落入 (x,)内的概率
P( X x) 1 F (x) x f (t)dt
由定积分的几何意义可知，X 取值落入
区间 (a,b]内的概率即是以 x 轴上的区间 (a,b]
x)
0.1,
即
0.015 e0.015t dt x
0.1,
积分有e0.015x 0.1,得 x 153.5
指数分布经常被用来近似描述各种“寿命”
分布，如无线电元件的寿命，动物的寿命，
电话问题中的通话时间，传呼台首次传呼来
到的时刻，随机服务系统中的服务时间等都
常假定是服从指数分布的。
指数分布有类似于几何分布的“无记忆
性” 。对于任意的s 0,t 0,
P( X
s t |
X
s)
P(X s t) P(X s)
e ( st ) e s
et
即 P(X s t | X s) P(X t), 假如把 X 理解
为人的寿命，则上式表明已活了 s 年之后再 活 t 年的概率与已经活过的年龄无关，所以
又风趣的称指数分布是永远年轻的。
(1)这种电池寿命在250小时以上的概率。 (2)确定数字 x，使电池寿命落在区间
300 x,300 x 内的概率不低于 90% 。
解 (1)设电池的寿命为 X 则 X ~ N (300,35 2 )
P(X 250) 1 P(X 250)
1 250 300 1 10
35
F (x) f (x).
对于概率密度，由定义容易推得以下两 条性质：
（1） f (x) 0, x ;
（2） f (x)dx 1.
反过来，假如有非负可积函数 g(x) 满足：
g
(
x)dx
1,
则g
(
x)
一定可作为某连续型随机变
量的概率密度。
利用以上关系可以推得随机变量 X 落入
某有限区间 (a,b] 内的概率为
密度为
ex , x 0,
f (x) 0, x 0.
其中为大于0的常数，则称 X 服从参数 的
指数分布。 显然 f (x) 0,且
f (x)dx
ex dx
0
e x
|0 1
所以 f (x) 是一概率密度。
例3 变量 X 服从参数为 0.015的指数分布 （1）试计算 X 取值大于 100 的概率
7
(10) 0.9236; 7
(2)P(300 x X 300 x) 90%,
300 x 300 300 x 300 90% 35 35
x x 90%, 2 x 90% 1,
35 35
35
x .095, 35
利用分布函数的单调不减性，查表可得
x 对称，x 时严格单调递增，x 时严
格单调递减，函数的最
大值是
1
2
，
越大图
像越扁平， 越小图像
越向 x 集中，图像看
起来像钟的形状，
-3
-2
0.1 -
0.2 -
0.3 -
0.4 -
0.5 -
0.6 -
0.7 -
0.8 -
-1
0
1
2
3
4
正态分布是我们日常生活中应用最广泛 的一种连续型变量的概率分布。一般来讲， 如果某随机变量的取值充满某空间，而且取 在偏中间的值多，偏两头的值少，大都近似 服从正态分布的，一般地，若影响某一数量 指标的随机因素很多，而每个因素的作用都 不大，则这个指标近似服从正态分布。实际 中遇到的很多的概率分布都可用正态分布来
为底，以曲线 y f (x) 为顶的曲边梯形的面
积。应当强调的是，连续型随机变量取某特
定值的概率为0，
x
P( X x) lim
f (t)dt 0
x0 xx
从而 P(a X b) P(a X b)
P(a X b) P(a X b)
例1（均匀分布） 如果随机变量 X 取值
1
y 1ey dy 1
0 ()
() 0
其中用到变换 y x。特别地，当 1 时， 分布是指数分布。 分布在水文统计的概率 计算中经常用到，在数理统计中也有重要应 用。
例5（正态分布）若随机变量 X 的概率
密度为
f (x)
1
(x)2
e , 2 2
2
x
其中 , 为常数 0 。称X 服从参数为 和
2.3 连续性随机变量的分布
定义1 设F(x)是随机变量X 的分布函
数，如果存在一非负可积函数 f (x) ，使得对
任意实数 x 有
x
F(x) f (t)dt,
则称随机变量 X 为连续性随机变量， f (x) 为 X 的概率密度函数，简称概率密度。
有定义可知连续型随机变量的分布函数
F(x) 是连续函数，它完全由概率密度 f (x)所 决定，在 f (x) 的连续点处有
x ,
2
2
两函数的图形如图2-3 所示
0.4 (x)
(x) 1.0
x
x
标准正态分布分布函数 (x) 的性质：
（1）
(0)
1 2
（2） x R, (x) 1 (x)
这是由于
x
x
x
(x) (t)dt (s)ds 1 (s)ds 1 (x),
其中用到变换 t s.
若 X ~ N (, 2 ) 那么Y X - ~ N(0,1) 事实上
P( X 3 ) (3) (3) 2(3) 1 0.9973.
上式表明 X 取值落入区间( 3 , 3 ) 的概率
高达 99.73%, 称为 3 法则
例6 设 X ~ N(10,36), 计算（1）P(X 2);
（2）P X 1 4;
解
（1）P( X
2)
1
P( X
2)
1
( 2 10) 6
近似。另一方面，正态分布具有许多良好的 性质。因此无论是在理论研究还是应用研究 上，正态分布都是十分重要的。
特别地，当 0, 1时，对应的正态分 布称为标准正态分布，记为N(0,1)相应的概率 密度和分布函数分别用 (x) 和 (x) 表示
(x)
1
x2
x
e 2 , (x)
1
t2
e 2 dt,
x 1.645, x 57.5.
35
例4（Γ分布）若随机变量 X的概率密
度为
f
(x)
λα Γ(α)
x α1e λx
,
0,
x 0, x 0,
其中 0, 0, ( ) x1exdx, 0
则称 X 服从参
数为 和 的 分布，记为 X ~ (,).
显然，f (x) 0 ，而且
f (x)dx
x 1ex dx
P
X-
y
P(X
y
)
y
-
1
e-(x2-2)2 dx y
2
-
1
-t2
e 2 dt
2
其中用到变换t x - .
F(x) 为 X
的分布函数，
那么
F(x)
P(X
x)
P
X-
x
( x ).
一般地，X ~ N (, 2 ), 则
P(a X b) b a ,
2的正态分布，记为 X ~ N (, 2 )
显然，对任一 x (,), f (x) 0, 且
I
1
( x )2
e
2 2
dx
1
y2
e 2 dy
2
2
其中用到变换 y x
I 2 1
x2 y2
e 2 dxdy
1
2 r 2
e 2 rdrd 1
2
2 0 0
所以 f (x) 为一概率密度函数，其图像关于
（2）若要求 P(X x) 0.1，问 x 应在什么 范围内。
解 （1）由指数分布的定义可得
P(X 100) 1 P(X 100)
1
100
f (x)dx 1
100 0.015 e 0.015x dx
0
0.015 e0.015x dx e1.5 0.223 100
（2）若要求 P(X