2014届益阳市高三模拟考试理科数学试题
2014届益阳市高三模拟考试理科数学试题
x ) n 的展开式中 x 项的系数（ n = 2, 3, 4, L ） ，若 bn =
最大值是 9 − 2 14 7−2 6 3 2 A． B． C． D． 25 25 50 33 10．函数 y = f ( x ) 的定义域为 (−∞, −1) U (1, +∞ ) ，且其图象上任一点 P ( x , y ) 满足方程
2 2
8． 在 ∆ABC 中， 角 A， B， C 所对的边长分别为 a， b， c． 若 a sin A + b sin B − c sin C = 3a sin B ． 则 角 C 等于 A．
π 6
B．
π 4
C．
π 3
D．
5π 6
an +1 ，则 bn 的 (n + 7)an + 2
9．设 a n 是 (1 −
x 2 − y 2 = 1 ，给出以下四个命题：①函数 y = f ( x ) 是偶函数；
②函数 y = f ( x ) 不可能是奇函数；③ ∃x ∈ (−∞, −1) U (1, +∞) ， x < f ( x ) ； ④ ∀x ∈ ( −∞, −1) U (1, +∞ ) ， x > f ( x ) .其中真命题的个数是 B．2 C．3 A．1 D．4
频率/组距
0.08 0.06 0.04 0.02 0 15 20 25 30 35 次数
x ≥ 0 y ≥ 0 ，则 z = 4 x + 3 y 的最大值是 6．设变量 x，y 满足约束条件 2 x + y ≤ 4 2 x + 3 y ≤ 6
A．7 B．8 C．9 D．10 7．下列有关命题的说法正确的是 A．命题“若 x = 1 ，则 x = 1 ”的否命题为：“若 x = 1 ，则 x ≠ 1 ”．
2014年湖南省益阳市箴言中学高考数学一模试卷(理科)
2014年湖南省益阳市箴言中学高考数学一模试卷（理科）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、选择题(本大题共8小题，共40.0分)1.设i为虚数单位，则等于（）A.iB.-iC.1+iD.1-i【答案】A【解析】解：===i答案为：i．故选A．分子和分母同乘以分母的共轭复数，分母上进行复数的乘法运算，分母上进行复数的乘法运算，得到最简形式，约分得到结果．本题考查复数的除法运算，分子和分母同乘以分母的共轭复数，把复数整理成整式形式，这是经常出现的一个复数题目，在解题时注意运算，一定能得分．2.已知集合M={x||x-7|＜9}，N={x|y=}，且M，N都是全集U的子集，则如图所示韦恩图中阴影部分表示的集合（）A.{x|-3＜x＜-2}B.{x|-3≤x≤-2}C.{x|x≥16}D.{x|x＞16}【答案】B【解析】解：M={x||x-7|＜9}={x|-2＜x＜16}，则C U M═{x|x≥16或x≤-2}，又N={x|y=}={x|-3≤x≤3}，∴C U M∩N={x|-3≤x≤-2}．故选B．先化简M集合，再求得其补集，再与N集合求交集即可本小题主要考查V enn图表达集合的关系及运算、V enn图的应用等基础知识，考查数形结合思想．属于基础题．3.按照如图的程序框图执行，若输出结果为15，则M处条件为（）A.k≥16B.k＜8C.k＜16 D.k≥8【答案】A【解析】解：程序运行过程中，各变量的值如下表示：S k是否继续循环循环前01/第一圈12是第二圈34是第三圈78是第四圈1516否故退出循环的条件应为k≥16故选A分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是累加k值到S并输出S．算法是新课程中的新增加的内容，也必然是新高考中的一个热点，应高度重视．程序填空也是重要的考试题型，这种题考试的重点有：①分支的条件②循环的条件③变量的赋值④变量的输出．其中前两点考试的概率更大．此种题型的易忽略点是：不能准确理解流程图的含义而导致错误．4.给出下列命题中①向量，满足||=||=|-|，则与+的夹角为30°；②•＞0，是，的夹角为锐角的充要条件；③将函数y=|x-1|的图象按向量=（-1，0）平移，得到的图象对应的函数表达式为y=|x|；④若，则△ABC为等腰三角形；以上命题正确的个数是（）A.4个B.1个C.3个D.2个【答案】D【解析】解：对于①，取特值零向量时，命题错误，若前提为非零向量由向量加减法的平行四边形法则与夹角的概念正确．对②•＞0时，，的夹角为锐角或零角，不一定是锐角，故充分性不成立．对于③，注意按向量平移的意义，就是图象向左移1个单位，故结论正确．对于④；由于向量的数量积满足分配律运算，故结论正确，故选D．对于①，当，中有一个为0时，结论不成立．对②•＞0时，，的夹角为锐角或零角．按向量平移的意义③正确．由向量的数量积满足分配律运算，以及=|AB|2，故④正确．本题考查两个向量的加减混合运算及其几何意义，用两个向量的数量积表示两个向量的夹角．5.已知某几何体的正视图和侧视图均是边长为1的正方形，则这个几何体的体积不可能是（）A. B. C.1 D.【答案】D【解析】解：∵几何体的正视图和侧视图均是边长为1的正方形，故它必是一个柱体当它的底面是一个以1为两直角边的直角梯形时其面积为，故排除A；当它的底面是一个以1为直径的圆时其面积为，故排除B；当它的底面是一个以1为边长的正方形时其面积为1，故排除C；由于正视图和侧视图均是边长为1的正方形，故俯视图的面积最大为1×1=1即几何体的体积最大为1而＞1，故这个几何体的体积不可能是故选D由已知中几何体的正视图和侧视图均是边长为1的正方形，可得俯视图的面积最大为1×1=1，即几何体的体积最大为1，分析四个答案，可得结论．本题考查的知识点是由三视图求体积，其中分析出几何体的底面面积，即俯视图最大面积是1是解答的关键．6.有下列四种说法：①命题：“∃x0∈R，使得x2-x＞0”的否定是“∀x∈R，都有x2-x≤0”；②已知随机变量x服从正态分布N（1，σ2），P（x≤4）=0.79，则P（x≤-2）=0.21；③函数f（x）=2sinxcosx-1，（x∈R）图象关于直线对称，且在区间，上是增函数；④设实数x，y∈[0，1]，则满足：x2+y2＜1的概率为．其中错误的个数是（）A.0B.1C.2D.3【答案】A【解析】解：由含有一个量词的命题的否定得①显然正确；由②可得μ=1（即平均数为1），P（x≥4）=1-0.79=0.21，又图象对称轴为x=μ=1，所以P（x≤-2）=P（x≥4）=0.21，故②正确；③由于函数f（x）=2sinxcosx-1，（x∈R），即f（x）=sin（2x）-1的对称轴为x=，单调增区间为[kπ-，kπ+]（k∈Z），所以f（x）的图象关于直线对称，且在区间，上是增函数，故③正确；④这是几何概率，区域D：边长为1的正方形，区域d：第一象限内的个单位圆，测度：面积，所以满足：x2+y2＜1的概率是，故④正确．故选：A①由全称命题与存在性命题的否定推断；②运用正态分布的特点可计算求得；③运用正弦函数的对称轴方程和单调增区间判断；④由几何概率知识可得．本题考查简易逻辑的基础知识：命题的否定，以及正弦函数的对称轴和单调区间，几何概率问题，意在考查学生的综合运用知识的能力，是一道基础题．7.函数 ， ， ＞ ，若方程f （x ）=x +a 恰有两个不等的实根，则a 的取值范围为（ ）A.（-∞，0）B.[0，1）C.（-∞，1）D.[0，+∞） 【答案】 C【解析】解：由函数， ， ＞，可得f （x ）的图象和函数y =x +a 有两个不同的交点， 如图所示：故有a ＜1， 故选C ．由题意可得f （x ）的图象和函数y =x +a 有两个不同的交点，结合图象，求出a 的取值范围．本题考查根的存在性及根的个数判断，以及函数与方程的思想、数形结合的数学思想，解答关键是运用数形结合的思想，属于中档题．8.已知f （x ）为R 上的可导函数，且对∀x ∈R ，均有f （x ）＞f ′（x ），则有（ ） A.e 2013f （-2013）＜f （0），f （2013）＜e 2013f （0） B.e 2013f （-2013）＜f （0），f （2013）＞e 2013f （0） C.e 2013f （-2013）＞f （0），f （2013）＜e 2013f （0） D.e 2013f （-2013）＞f （0），f （2013）＞e 2013f （0） 【答案】 C【解析】 解：令，则 ′′，因为f （x ）＞f '（x ），所以g ′（x ）＜0，所以函数g （x ）为R 上的减函数， 所以g （-2013）＞g （0）， 即＞，所以e 2013f （-2013）＞f （0），＜，所以f （2013）＜e 2013f （0）．故选C ．根据题目给出的条件：“f （x ）为R 上的可导函数，且对∀x ∈R ，均有f （x ）＞f '（x ）”，结合给出的四个选项，设想寻找一个辅助函数g （x ）=，这样有以e 为底数的幂出现，求出函数g （x ）的导函数，由已知得该导函数小于0，得出函数g （x ）为减函数，利用函数的单调性即可得到结论．本题考查了导数的运算，由题目给出的条件结合选项去分析函数解析式，属逆向思维，属中档题．二、填空题(本大题共8小题，共40.0分)9.如图，割线PBC经过圆心O，PB=OB=1，PB绕点O逆时针旋120°到OD，连PD交圆O于点E，则PE= ______ ．【答案】【解析】解：由余弦定理得，PD2=OD2+OP2-2OD•OP cos120°=1+4-2×1×2×（-）=7，所以PD=．根据割线定理PE•PD=PB•PC得，PE=1×3，所以PE=．故答案为．先由余弦定理求出PD，再根据割线定理即可求出PE，问题解决．已知三角形两边与夹角时，一定要想到余弦定理的运用，之后做题的思路也许会豁然开朗．10.（坐标系与参数方程选做题）若直线l的极坐标方程为，曲线C：ρ=1上的点到直线l的距离为d，则d的最大值为______ ．【答案】【解析】解：直线的直角坐标方程为x+y-6=0，曲线C的方程为x2+y2=1，为圆；d的最大值为圆心到直线的距离加半径，即为故答案为：．求出直线的直角坐标方程，圆的直角坐标方程，通过圆心到直线的距离求出d的最大值．本题考查极坐标方程与直角坐标方程的互化，直线与圆的位置关系，考查计算能力．11.若不等式|a-1|≥x+2y，对满足x2+y2=5的一切实数x，y恒成立，则实数a的取值范围是______ ．【答案】a≥6或a≤-4【解析】解：∵x2+y2=5，∴令x=，，∴x+2y==，令tanφ=2，∴x+2y=5sin（θ+φ）≤5，∵不等式|a-1|≥x+2y，对满足x2+y2=5的一切实数x，y恒成立，∴|a-1|≥5，则a-1≤-5或a-1≥5，解得：a≤-4或a≥6．故答案为：a≥6或a≤-4．由题意令x=，，由三角函数的化积公式求出x+2y的最大值，再由不等式|a-1|≥x+2y，对满足x2+y2=5的一切实数x，y恒成立，可得|a-1|大于等于x+2y 的最大值，求解绝对值得不等式得a的取值范围．本题考查了函数恒成立问题，考查了圆的参数方程，体现了数学转化思想方法，是中档题．12.设，则二项式的展开式中，x2项的系数为______ ．【答案】60【解析】解：=-6cosx=-6cos+6cos0=6T r+1=x6-r（-2）r x-r=（-2）r x6-2r，当6-2r=2即r=2T3=（-2）2x2=60x2，故答案为：60先利用定积分的运算法则求出n的值，然后研究的展开式通项公式，使x的指数为2，可求出x2的项，得到所求．本题主要考查了定积分的应用，以及二项式定理的应用，同时考查了运算求解的能力，属于中档题．13.设实数x，y满足条件：①x≥0，y≥0；②3x-y-6≤0；③x-y+2≥0，目标函数z=ax+by （a＞0，b＞0）的最大值为12，则的最小值是______ ．【答案】【解析】解：不等式表示的平面区域如图所示阴影部分，由ax+by=z（a＞0，b＞0），得，则的斜率k=＜，平移直线得，由图象可知当直线得经过点B时，直线的截距最大，此时z最大，由，解得，即直线x-y+2=0与直线3x-y-6=0的交点为B（4，6），此时目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）取得最大12，即4a+6b=12，∴2a+3b=6，即，∴=（）（）=，当且仅当即a=b时取等号，∴的最小值是，故答案为：已知2a+3b=6，求的最小值，可以作出不等式的平面区域，先用乘积进而用基本不等式解答．本题综合地考查了线性规划问题和由基本不等式求函数的最值问题．要求能准确地画出不等式表示的平面区域，并且能够求得目标函数的最值．利用数形结合是解决本题的关键．14.设数列{a n}，{b n}都是正项等比数列，S n，T n分别为数列{lga n}与{lgb n}的前n项和，且，则= ______ ．【答案】【解析】解：设正项等比数列{a n}的公比为q，设正项等比数列{b n}的公比为p，则数列{lga n}是等差数列，公差为lgq，{lgb n}是等差数列，公差为lgp．故S n=n•lga1+，同理可得T n=n•lgb1+．又=，∴====，故答案为．设{a n}的公比为q，{b n}的公比为p，则数列{lga n}是等差数列，公差为lgq，{lgb n}是等差数列，公差为lgp．求出S n和T n，由于=，根据===，运算求得结果．本题主要考查等比数列的定义和性质，等比数列的通项公式，对数的运算性质以及等差数列的前n项和公式的应用，属于中档题．15.已知点F为抛物线y2=-8x的焦点，O为原点，点P是抛物线准线上一动点，点A在抛物线上，且|AF|=4，则|PA|+|PO|的最小值为______ ．【答案】2【解析】解：∵|AF|=4，由抛物线的定义得，∴A到准线的距离为4，即A点的横坐标为-2，又点A在抛物线上，∴从而点A的坐标A（-2，4）；坐标原点关于准线的对称点的坐标为B（4，0）则|PA|+|PO|的最小值为：|AB|=故答案为：2．利用抛物线的定义由|AF|=4得到A到准线的距离为4，即可求出点A的坐标，根据：“|PA|+|PO|”相当于在准线上找一点，使得它到两个定点的距离之和最小，最后利用平面几何的方法即可求出距离之和的最小值．此题考查学生灵活运用抛物线的简单性质解决最小值问题，灵活运用点到点的距离、对称性化简求值，是一道中档题．16.设集合M={1，2，3，4，5，6}，对于a i，b i∈M，记且a i＜b i，由所有e i组成的集合设为：A={e1，e2，…，e k}，则k的值为______ ；设集合B=′′，，对任意e i∈A，e′j∈B，则e i+e′∈M的概率为______ ．【答案】11；【解析】解：由题意知，a i，b i∈M，a i＜b i，∵首先考虑M中的二元子集有{1，2}，{1，3}，…，{5，6}，共15个，即为C62=15个．又a i＜b i，满足的二元子集有：{1，2}，{2，4}，{3，6}，这时，{1，3}，{2，6}，这时，{2，3}，{4，6}，这时，共7个二元子集．故集合A中的元素个数为k=15-7+3=11．列举A={，，，，，，，，，，}B={2，3，4，5，6，，，，，，}，，，，，共6对．∴所求概率为：．故答案为：11；．由题意知本题是一个古典概型，a i，b i∈M，a i＜b i，首先考虑M中的二元子集有C62=15个，通过列举得到集合A中共有11个元素，列举A和B集合，满足条件的共有6种结果，根据古典概型概率公式得到结果．本题考查古典概型，是一个通过列举来解决的概率问题，从这个题目上体会列举法的优越性和局限性．是一个基础题．三、解答题(本大题共6小题，共75.0分)17.在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a、b、c，已知向量=（cos A，cos B），=（a，2c-b），且∥．（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）若a=4，求△ABC面积的最大值．【答案】解：（I）∵向量=（cos A，cos B），=（a，2c-b），且∥，∴acos B-（2c-b）cos A=0，利用正弦定理化简得：sin A cos B-（2sin C-sin B）cos A=0，∴sin A cos B+cos A sin B-2sin C cos A=0，即sin（A+B）=sin C=2sin C cos A，∵sin C≠0，∴cos A=，又0＜A＜π，则A=；（II）由余弦定理a2=b2+c2-2bccos A，得：16=b2+c2-bc≥bc，即bc≤16，当且仅当b=c=4时，上式取等号，∴S△ABC=bcsin A≤4，则△ABC面积的最大值为4．【解析】（I）由两向量的坐标及两向量平行，利用平面向量的数量积运算法则列出关系式，再利用正弦定理化简，整理后再利用两角和与差的正弦函数公式化简，根据sin C不为0，求出cos A的值，由A为三角形的内角，利用特殊角的三角函数值即可求出A的度数；（II）由a与cos A的值，利用余弦定理列出关系式，整理后利用基本不等式求出bc的最大值，再由bc的最大值与sin A的值即可得到三角形ABC面积的最大值．此题考查了正弦、余弦定理，三角形的面积公式，基本不等式的运用，以及平面向量的数量积运算法则，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．18.2012年“双节”期间，高速公路车辆较多．某调查公司在一服务区从七座以下小型汽车中按进服务区的先后每间隔50辆就抽取一辆的抽样方法抽取40名驾驶员进行询问调查，将他们在某段高速公路的车速（km/h）分成六段：[60，65）[65，70）[70，75）[75，80），[80，85）[85，90），得到如图的频率分布直方图．问：（1）某调查公司在采样中，用到的是什么抽样方法？（2）求这40辆小型车辆车速的众数和中位数的估计值．（3）若从车速在（60，70）的车辆中任抽取2辆，求抽出的2辆车中速车在[65，70）的车辆数ξ的分布列及其均值（即数学期望）．【答案】解：（1）由题意知这个抽样是按进服务区的先后每间隔50辆就抽取一辆的抽样方法抽取40名驾驶员进行询问调查，是一个具有相同间隔的抽样，并且总体的个数比较多，这是一个系统抽样．故调查公司在采样中，用到的是系统抽样，（2分）（2）众数的估计值为最高的矩形的中点，即众数的估计值等于77.5（4分）设图中虚线所对应的车速为x，则中位数的估计值为：0.01×5+0.02×5+0.04×5+0.06×（x-75）=0.5，解得x=77.5，即中位数的估计值为77.5（6分）（3）从图中可知，车速在[60，65）的车辆数为：m1=0.01×5×40=2（辆），（7分）车速在[65，70）的车辆数为：m2=0.02×5×40=4（辆）（8分）∴ξ=0，1，2，P（ξ=0）=，P（ξ=1）=，P（ξ=2）=，ξ的分布列为：（11分）数学期望Eξ=0×+1×+2×=．（12分）【解析】（1）这个抽样是按进服务区的先后每间隔50辆就抽取一辆的抽样方法抽取40名驾驶员进行询问调查，是一个具有相同间隔的抽样，并且总体的个数比较多，这是一个系统抽样；（2）选出直方图中最高的矩形求出其底边的中点即为众数；求出从左边开始小矩形的面积和为0.5对应的横轴的左边即为中位数；利用各个小矩形的面积乘以对应矩形的底边的中点的和为数据的平均数．（3）从车速在（60，70）的车辆中任抽取2辆，根据题意抽出的2辆车中速车在（65，70）的车辆数ξ可能为0、1、2，求出相应的概率，即可求得分布列和期望．解决频率分布直方图的有关特征数问题，利用众数是最高矩形的底边中点；中位数是左右两边的矩形的面积相等的底边的值；平均数等于各个小矩形的面积乘以对应的矩形的底边中点的和．此题把统计和概率结合在一起，比较新颖，也是高考的方向，应引起重视．19.如图，在三棱锥P-ABC中，PA=PB=AB=2，BC=3，∠ABC=90°，平面PAB⊥平面ABC，D、E分别为AB、AC中点．（1）求证：DE∥平面PBC；（2）求证：AB⊥PE；（3）求二面角A-PB-E的大小．【答案】解：（Ⅰ）∵D、E分别为AB、AC中点，∴DE∥BC．∵DE⊄平面PBC，BC⊂平面PBC，∴DE∥平面PBC．…（4分）（Ⅱ）连接PD，∵PA=PB，D为AB中点，∴PD⊥AB．…．（5分）∵DE∥BC，BC⊥AB，∴DE⊥AB…（6分）又∵PD∩DE=D，PD，DE⊂平面PDE∴AB⊥平面PDE…（8分）∵PE⊂平面PDE，∴AB⊥PE…（9分）（Ⅲ）∵AB⊥平面PDE，DE⊥AB…（10分）如图，以D为原点建立空间直角坐标系，由PA=PB=AB=2，BC=3，则B（1，0，0），P（0，0，），E（0，，0），∴=（1，0，），=（0，，）．设平面PBE的法向量，，，∴令得，，…（11分）∵DE⊥平面PAB，∴平面PAB的法向量为，，．…（12分）设二面角的A-PB-E大小为θ，由图知，＜，＞，所以θ=60°，即二面角的A-PB-E大小为60°…（14分）【解析】（Ⅰ）由三角形中位线定理可得DE∥BC，进而由线面平行的判定定理得到DE∥平面PBC（II）连接PD，由等腰三角形三线合一，可得PD⊥AB，由DE∥BC，BC⊥AB可得DE⊥AB，进而由线面垂直的判定定理得到AB⊥平面PDE，再由线面垂直的性质得到AB⊥PE；（Ⅲ）以D为原点建立空间直角坐标系，分别求出平面PBE的法向量和平面PAB的法向量，代入向量夹角公式，可得二面角A-PB-E的大小．本题考查的知识点是二面角的平面角及求法，直线与平面平行的判定，直线与平面垂直的判定，熟练掌握空间直线与平面位置关系的判定，性质是解答（I）和（II）的关键，而（III）的关键是建立空间坐标系，将空间角问题转化为向量夹角问题．20.如图，某隧道设计为双向四车道，车道总宽20m，要求通行车辆限高5m，隧道全长2.5km，隧道的两侧是与地面垂直的墙，高度为3米，隧道上部拱线近似地看成半个椭圆．（1）若最大拱高h为6m，则隧道设计的拱宽l是多少？（2）若要使隧道上方半椭圆部分的土方工程量最小，则应如何设计拱高h和拱宽l？（已知：椭圆+=1的面积公式为S=πab，柱体体积为底面积乘以高．）（3）为了使隧道内部美观，要求在拱线上找两个点M、N，使它们所在位置的高度恰好是限高5m，现以M、N以及椭圆的左、右顶点为支点，用合金钢板把隧道拱线部分连接封闭，形成一个梯形，若l=30m，梯形两腰所在侧面单位面积的钢板造价是梯形顶部单位面积钢板造价的倍，试确定M、N的位置以及h的值，使总造价最少．【答案】解：（1）如图建立直角坐标系，则点P（10，2），椭圆方程为+=1．将b=h-3=3与点P坐标代入椭圆方程，得a=，此时l=2a=，因此隧道的拱宽约为m．（5分）（2）要使隧道上方半椭圆部分的土方工程量最小，由柱体的体积公式可知：只需半椭圆的面积最小即可．由椭圆方程+=1，得+=1．因为+≥，即ab≥40，（8分）所以半椭圆面积S=≥．（10分）当S取最小值时，有==，得a=10，b=．此时l=2a=20，h=b+3=+3（12分）故当拱高为（+3）m、拱宽为20m时，隧道上方半椭圆部分的土方工程量最小（13分）（3）根据题意设M（x，2），N（-x，2），则10≤x＜15设=2[x+]，（10≤x＜15）（11分）则′令f'（x）=0，⇒x2-30x+221=0⇒x=13（x=17舍去），且10≤x＜13时，f′（x）＜0，13＜x＜15时，f′（x）＞0，∴x=13时，f（x）取最小值，此时M（13，2），N（-13，2），代入椭圆方程得∴（13分）【解析】（1）先建立直角坐标系，找到对应椭圆方程再把b=h-3=3与点P坐标代入椭圆方程，即可求出隧道设计的拱宽l是多少；（2）转化为求半椭圆的面积最小值问题，对椭圆方程用基本不等式即可求出对应的半椭圆面积以及满足要求的拱高h和拱宽l．（3）先求出总造价的表达式，再利用导函数研究其最值即可．本题是对椭圆方程在实际生活中应用的考查．涉及到了函数的最值问题．一般在研究函数的最值问题时，通常借助于导函数．21.已知椭圆C的中心在原点，离心率等于，它的一个短轴端点点恰好是抛物线x2=8y的焦点．（1）求椭圆C的方程；（2）已知P（2，3）、Q（2，-3）是椭圆上的两点，A，B是椭圆上位于直线PQ两侧的动点，①若直线AB的斜率为，求四边形APBQ面积的最大值；②当A、B运动时，满足∠APQ=∠BPQ，试问直线AB的斜率是否为定值，请说明理由．【答案】解：（Ⅰ）设C方程为＞＞，则．由，，得a=4∴椭圆C的方程为．…（4分）（Ⅱ）①解：设A（x1，y1），B（x2，y2），直线AB的方程为，代入，得x2+tx+t2-12=0由△＞0，解得-4＜t＜4…（6分）由韦达定理得x1+x2=-t，x1x2=t2-12．∴==．由此可得：四边形APBQ的面积∴当t=0，．…（8分）②解：当∠APQ=∠BPQ，则PA、PB的斜率之和为0，设直线PA的斜率为k则PB的斜率为-k，直线PA的直线方程为y-3=k（x-2）由（1）代入（2）整理得（3+4k2）x2+8（3-2k）kx+4（3-2k）2-48=0∴…（10分）同理直线PB的直线方程为y-3=-k（x-2），可得∴，…（12分）所以AB的斜率为定值．…（14分）【解析】（Ⅰ）根据椭圆C的一个顶点恰好是抛物线的焦点，离心率等于．由此列式解出出a，b的值，即可得到椭圆C的方程．（Ⅱ）①设A（x1，y1），B（x2，y2），直线AB的方程为，将直线的方程代入椭圆的方程，消去y得到关于x的一元二次方程，再结合根系数的关系利用弦长公式即可求得四边形APBQ的面积，从而解决问题．②设直线PA的斜率为k，则PB的斜率为-k，PA的直线方程为y-3=k（x-2）将直线的方程代入椭圆的方程，消去y得到关于x的一元二次方程，再结合根系数的关系利用弦长公式即可求得x1+2，同理PB的直线方程为y-3=-k（x-2），可得x2+2，从而得出AB的斜率为定值．本题考查的知识点是椭圆的标准方程，直线与圆锥曲线的综合问题，其中根据已知条件计算出椭圆的标准方程是解答本题的关键．22.已知函数g（x）=x2-（2a+1）x+alnx（Ⅰ）当a=1时，求函数g（x）的极值；（Ⅱ）求函数g（x）在区间[1，e]上的最小值；（Ⅲ）在（Ⅰ）的条件下，设f（x）=g（x）+4x-x2-2lnx，证明：＞（n≥2）．参考数据：ln2≈0.6931．【答案】解：（Ⅰ）∵a=1，可得g（x）=x2-3x+lnx，（x＞0）∴g′（x）=2x-3+==，令g′（x）=0，x1=，x2=1，g′（x）＞0，即x＞1或x＜，g（x）为增函数，g′（x）＜0，即＜x＜1，g（x）为减函数，g（x）在x=出取极大值，g（x）极大值=g（）=--ln2，g（x）在x=1出取极小值，g（x）极小值=g（1）=-2，（Ⅱ）g′（x）=2x-（2a+1）+==当a≤1时，x∈[1，e]，g′（x）≥0，g（x）单调递增，g（x）min=g（1）=-2a，当1＜a＜e时，x∈[1，a]时，g′（x）＜0，g（x）单调递减，x∈[a，e]时，g′（x）＞0，g（x）单调递增，∴g（x）min=g（a）=-a2-a+alna，当a≥e时，x∈[1，e]，g′（x）＜0，g（x）单调递减，g（x）min=g（e）=e2-（2a+1）e+a，∴g（x）的最小值为：g（a）=＜＜（III）依题意可得，f（x）=g（x）+4x-x2-lnx=x-lnx（x＞0）∴k-f（k）=lnk，令h（x）=lnx-（x2-1），∵x∈[2，+∞）时，h′（0）=＜0，∴h（x）≤h（2）=ln2-＜0，即lnx＜（x2-1），∴＞=2（-）∴==++…+＞2（1-+-+…+-+-）=2（1+--）=，（n≥2）；【解析】（Ⅰ）把a=1代入g（x）然后对g（x）进行求导，令g′（x）=0，可得极值点，从而求出函数g（x）的极值；（Ⅱ）已知函数g（x）=x2-（2a+1）x+alnx，对其进行求导，利用导数研究单调性，对a值进行讨论，从而求解；（III）根据题意，f（x）=g（x）+4x-x2-2lnx=x-lnx（x＞0），利用不等式lnx＜（x2-1），对要证明的不等式左边进行放缩，来进行证明；本题考查导数知识的运用，考查函数的极值问题，考查不等式的证明，用好导数是关键，本题考查的知识点比较全面，是一道难题，计算量也很大，同学们要认真做好笔记；。
数学(理)卷·2014届湖南省益阳市箴言中学高三上学期第五次模拟考试试题(2014.01)
19、（本大题满分 12 分）某投资公司拟投资开发某项新产品，市场评估能获 10--1 000 万元
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的投资收益，现公司准备制定一个对科研课题组的奖励方案：奖金 y(单位：万元)随投资收 益 x(单位：万元)的增加而增加，且奖金不低于 1 万元，同时奖金不超过投资收益的 20%， (Ⅰ)设奖励方案的函数模拟为 f（x），试用数学语言表述公司对奖励方案的函数模型 f（x） 的基本要求； (Ⅱ)下面是公司预设的两个奖励方案的函数模型： (1) y= +2；(2)y=4lgx-3． 试分别分析这两个函数模型是否符合公司要求？
2 sin B cos A = 3 sin A cos C + 3 sin C cos A = 3 sin( A + C)
则 2sinBcosA= 3 sinB……………………………………………………4 分
所以 cosA= 3 于是Ａ＝ π ……………………………………………6 分
2
6
（2）由（1）知Ａ＝ π ，又ＡＣ＝ＢＣ，所以 C= 2π ………………7 分
故 x 的取值范围是 (3, 4] ………………………………12 分
17. 解：（１）由 m • n = 0 (2b − 3c) cos A = 3a cos C ……………………………………………1 分
所以 (2 sin B − 3 sin C) cos A = 3 sin A cos C ………………………2 分
设 g(x) = 4 lg x − 2 − x ，则 g ′(x) = 4 lg e − 1
5
x5
当 x≥10 时， g ′(x) = 4 lg e − 1 ≤ 2 lg e − 1 = lg e2 − 1 < 0
2014年湖南省益阳市箴言中学高三理科一模数学试卷
2014年湖南省益阳市箴言中学高三理科一模数学试卷一、选择题（共8小题；共40分）1. 设i为虚数单位，则1+i1−i等于 A. iB. −iC. 1+iD. 1−i2. 设全集U=R，集合A=x x2−1<0,B=x x x−2≥0，则A∩∁U B= ______A. x0<x<2B. x0<x<1C. x0≤x<1D. x−1<x<03. 按照如图的程序框图执行，若输出结果为15，则M处条件为 A. k≥16B. k<8C. k<16D. k≥84. 已知a，b是非零向量，则a=b是 a+b与 a−b垂直的______ 条件．A. 充分不必要B. 必要不充分C. 既不充分也不必要D. 充要5. 已知某几何体的正视图和侧视图均是边长为1的正方形，则这个几何体的体积不可能是 A. 12B. π4C. 1D. π36. 有下列四种说法：①命题：“∂x0∈R，使得x2−x>0”的否定是“∀x∈R，都有x2−x≤0”；②已知随机变量x服从正态分布N1,σ2，P x≤4=0.79，则P x≤−2=0.21；③函数f x=2sin x cos x−1，x∈R图象关于直线x=3π4对称，且在区间 −π4,π4上是增函数；④设实数x,y∈0,1，则满足：x2+y2<1的概率为π4．其中错误的个数是 A. 0B. 1C. 2D. 37. 已知函数f x=2−x−1,x≤0,f x−1,x>0.若方程f x=x+a有且只有两个不相等的实数根，则实数a的取值范围是______A. −∞,1B. −∞,1C. 0,1D. 0,+∞8. 已知 f x 为 R 上的可导函数，且对 ∀x ∈R ，均有 f x >fʹ x ，则有 A. e 2013f −2013 <f 0 ，f 2013 <e 2013f 0 B. e 2013f −2013 <f 0 ，f 2013 >e 2013f 0 C. e 2013f −2013 >f 0 ，f 2013 <e 2013f 0D. e 2013f −2013 >f 0 ，f 2013 >e 2013f 0二、填空题（共8小题；共40分）9. 如图，割线 PBC 经过圆心 O ，PB =OB =1，PB 绕点 O 逆时针旋 120∘ 到 OD ，连 PD 交圆 O 于点 E ，则 PE = ______．10. 若直线 l 的极坐标方程为 ρcos θ−π4 =3 2，曲线 C :ρ=1 上的点到直线 l 的距离为 d ，则 d的最大值为______．11. 若不等式 a −1 ≥x +2y ，对满足 x 2+y 2=5 的一切实数 x ，y 恒成立，则实数 a 的取值范围是______．12. 设 n =∫0π6sin x d x ，则二项式 x −2x n的展开式中，x 2 项的系数为______．13. 设实数 x ，y 满足条件：①x ≥0，y ≥0；②3x −y −6≤0；③x −y +2≥0，目标函数z =ax +by a >0,b >0 的最大值为 12，则 2a+3b 的最小值是______．14. 设数列 a n ， b n 都是正项等比数列，S n ，T n 分别为数列 lg a n 与 lg b n 的前 n 项和，且S n T n=n2n +1，则 log b 5a 5= ______．15. 已知点 F 为抛物线 y 2=−8x 的焦点，O 为原点，点 P 是抛物线准线上一动点，点 A 在抛物线上，且 AF =4，则 PA + PO 的最小值为 ______．16. 设集合 M = 1,2,3,4,5,6 , 对于 a i ,b i ∈M ，记 e i =a ib i且 a i <b i ，由所有 e i 组成的集合设为：A = e 1,e 2,⋯,e k ，则 k 的值为______；设集合B = eʹi eʹi =1e i,e i ∈A ，对任意 e i ∈A ，eʹj ∈B ，则 e i +eʹj ∈M 的概率为______．三、解答题（共6小题；共78分）17. 在 △ABC 中，角 A ，B ，C 的对边分别是 a ，b ，c ，已知向量 m = cos A ,cos B ，n = a ,2c −b ，且 m ∥n ．（1）求角 A 的大小； （2）若 a =4，求 △ABC 面积的最大值．18. 2012 年“双节”期间，高速公路车辆较多．某调查公司在一服务区从七座以下小型汽车中按进服务区的先后每间隔 50 辆就抽取一辆的抽样方法抽取 40 名驾驶员进行询问调查，将他们在某段高速公路的车速（km/h）分成六段：60,65，65,70，70,75，75,80，80,85，85,90，得到如图的频率分布直方图．问：（1）某调查公司在采样中，用到的是什么抽样方法?（2）求这40辆小型车辆车速的众数和中位数的估计值．（3）若从车速在60,70的车辆中任抽取2辆，求抽出的2辆车中速车在65,70的车辆数ξ的分布列及其均值（即数学期望）．19. 如图，在三棱锥P−ABC中，PA=PB=AB=2，BC=3，∠ABC=90∘，平面PAB⊥平面ABC，D，E分别为AB，AC中点．（1）求证：DE∥平面PBC；（2）求证：AB⊥PE；（3）求二面角A−PB−E的大小．20. 如图，某隧道设计为双向四车道，车道总宽20 m，要求通行车辆限高5 m，隧道全长2.5 km，隧道的两侧是与地面垂直的墙，高度为3 m，隧道上部拱线近似地看成半个椭圆．（1）若最大拱高 为6 m，则隧道设计的拱宽l是多少?（2）若要使隧道上方半椭圆部分的土方工程量最小，则应如何设计拱高 和拱宽l?（已知：椭圆x2a2+y2b2=1的面积公式为S=πab，柱体体积为底面积乘以高．）（3）为了使隧道内部美观，要求在拱线上找两个点 M ，N ，使它们所在位置的高度恰好是限高5 m ，现以 M ，N 以及椭圆的左、右顶点为支点，用合金钢板把隧道拱线部分连接封闭，形成一个梯形，若 l =30 m ，梯形两腰所在侧面单位面积的钢板造价是梯形顶部单位面积钢板造价的 2 倍，试确定 M ，N 的位置以及 的值，使总造价最少．21. 已知椭圆 C 的中心在原点，离心率等于 12，它的一个短轴端点恰好是抛物线 x 2=8 3y 的焦点．（1）求椭圆 C 的方程；（2）已知 P 2,3 ，Q 2,−3 是椭圆上的两点，A ，B 是椭圆上位于直线 PQ 两侧的动点，①若直线 AB 的斜率为 12，求四边形 APBQ 面积的最大值；②当 A ，B 运动时，满足 ∠APQ =∠BPQ ，试问直线 AB 的斜率是否为定值，请说明理由．22. 已知函数 g x =x 2− 2a +1 x +a ln x（1）当 a =1 时，求函数 g x 的极值； （2）求函数 g x 在区间 1,e 上的最小值；（3）在（Ⅰ）的条件下，设 f x =g x +4x −x 2−2ln x ，证明： 1k−f kn k =2>3n 2−n−2n n +1n ≥2 ．答案第一部分1. A2. B3. A4. B5. D6. A7. A8. C第二部分9. 37710. 32+111. a≥6或a≤−412. 6013. 25614. 91915. 216. 11；6121第三部分17. （1）因为m=cos A,cos B，n=a,2c−b，且m∥n，所以a cos B−2c−b cos A=0，利用正弦定理化简得：sin A cos B−2sin C−sin B cos A=0，所以sin A cos B+cos A sin B−2sin C cos A=0，即sin A+B=sin C=2sin C cos A，因为sin C≠0，所以cos A=1，2．又0<A<π，则A=π3（2）由余弦定理a2=b2+c2−2bc cos A，得：16=b2+c2−bc≥bc，即bc≤16，当且仅当b=c=4时，上式取等号，bc sin A≤43，所以S△ABC=12则△ABC面积的最大值为418. （1）由题意知这个抽样是按进服务区的先后每间隔50辆就抽取一辆的抽样方法抽取40名驾驶员进行询问调查，是一个具有相同间隔的抽样，并且总体的个数比较多，这是一个系统抽样．故调查公司在采样中，用到的是系统抽样．（2）众数的估计值为最高的矩形的中点，即众数的估计值等于77.5．设图中虚线所对应的车速为x，则中位数的估计值为：0.01×5+0.02×5+0.04×5+0.06×x−75=0.5，解得x=77.5，即中位数的估计值为77.5．（3）从图中可知，车速在60,65的车辆数为：m1=0.01×5×40=2（辆），车速在65,70的车辆数为：m2=0.02×5×40=4（辆）．所以ξ=0,1,2，Pξ=0=C22C40C62=115，Pξ=1=C21C41C62=815，Pξ=2=C20C42C62=615，ξ的分布列为：ξ012P115815615数学期望Eξ=0×115+1×815+2×615=43．19. （1）∵D，E分别为AB，AC中点，∴DE∥BC．∵DE⊄平面PBC，BC⊂平面PBC，∴DE∥平面PBC．（2）连接PD，∵PA=PB，∴PD⊥AB．∵DE∥BC，BC⊥AB，∴DE⊥AB．又∵PD∩DE=D，∴AB⊥平面PDE．∵PE⊂平面PDE∴AB⊥PE．（3）∵平面PAB⊥平面ABC，平面PAB∩平面ABC=AB，PD⊥AB，∴PD⊥平面ABC．如图，以D为原点建立空间直角坐标系B1,0,0，P 0,0,3，E0,32,0，PB=1,0,−3，PE=0,32,−3．PBE的法向量n1=x,y,z，∴x−3z=0,32y−3z=0,令z=3得n1=3,2,3．∵DE⊥平面PAB，∴平面PAB的法向量为n2=0,1,0．设二面角的A−PB−E大小为∠BAC=90∘，由图知cosθ=cos n1,n2=n1 ⋅n2n1⋅ n2=12,所以θ=60∘，即二面角的A−PB−E大小为60∘．20. （1）如图建立直角坐标系，P10,2，椭圆方程为x2a +y2b=1．将b= −3=3与点P的坐标代入椭圆方程，得a=65，此时l=2a=125，因此隧道的拱宽约为12 5 m．（2）要使隧道上方半椭圆部分的土方工程量最小，由柱体的体积公式可知：只需半椭圆的面积最小即可．由椭圆方程x 2a +y2b=1得102a+22b=1．因为102a2+22b2≥2×10×2ab，即ab≥40，所以半椭圆面积S=πab2≥40π2=20π．当S取最小值时，有102a2=22b2=12，得a=102，b=22．此时l=2a=20 =b+3=2+3，故当拱高为22+3m，拱宽为20 2 m时，隧道上方半椭圆部分的土方工程量最小．（3）根据题意，设M x,2，N−x,2，则10≤x<15，设f x=2x+22 x=2 x+2x2−30x+29910≤x<15.则fʹx= x 2−30x+229+2x2−30x+229．令fʹx=0,⇒x2−30x+221=0⇒x=13（x=17舍去），且10≤x<13时，fʹx<0，13<x<15时，fʹx>0，所以x=13时，f x取最小值，此时M13,2，N−13,2，代入椭圆方程得b=251414，所以 =3+b=3+251414．21. （1）设C方程为x2a2+y2b2=1a>b>0，则b=23．由ca =12，a2=c2+b2，得a=4．所以椭圆C的方程为x 216+y212=1．（2）①设A x1,y1，B x2,y2，直线AB的方程为y=12x+t，代入x216+y212=1，得x2+tx+t2−12=0．由Δ>0，解得−4<t<4．由韦达定理得x1+x2=−t，x1x2=t2−12．所以x1−x2= x1+x22−4x1x2=22=48−3t2.由此可得：四边形APBQ的面积S=12×6×x1−x2=348−3t2所以当t=0，S max=123．②当∠APQ=∠BPQ，则PA，PB的斜率之和为0，设直线PA的斜率为k，则PB的斜率为−k，直线PA的直线方程为y−3=k x−2．由y−3=k x−2, ⋯⋯1 x216+y212=1, ⋯⋯21代入2整理得3+4k2x2+83−2k kx+43−2k2−48=0，所以x1+2=82k−3k3+4k．同理直线PB的直线方程为y−3=−k x−2，可得x2+2=−8k−2k−33+4k =8k2k+33+4k．所以x1+x2=16k2−123+4k2，x1−x2=−48k3+4k2，k AB=y1−y2x1−x2=k x1−2+3+k x2−2−312=k x1+x2−4kx1−x2=12,所以AB的斜率为定值12．22. （1）因为a=1，可得g x=x2−3x+ln x,x>0所以gʹx=2x−3+1x =2x2−3x+1x=2x−1x−1x，令gʹx=0，x1=12，x2=1，gʹx>0，即x>1或x<12，g x为增函数，gʹx<0，即12<x<1，g x为减函数，g x在x=12出取极大值，g x极大值=g12=−54−ln2，g x在x=1出取极小值，g x极小值=g1=−2．（2）gʹx=2x−2a+1+ax =2x2−2a+1x+ax=2x−1x−ax．当a≤1时，x∈1,e，gʹx≥0，g x单调递增，g x min=g1=−2a，当1<a<e时，x∈1,a时，gʹx<0，g x单调递减，x∈a,e时，gʹx>0，g x单调递增，所以g x min=g a=−a2−a+a ln a，当a≥e时，x∈1,e，gʹx<0，g x单调递减，g x min=g e=e2−2a+1e+a，所以g x的最小值为：g a=−2a,a≤1−a2−a+a ln a,1<a<e e2−2a+1e+a,a≥e．（3）依题意可得，f x=g x+4x−x2−ln x=x−ln x x>0所以k−f k=ln k，令 x=ln x−14x2−1，因为x∈2,+∞时， ʹ0=2−x 22x2<0．所以 x≤ 2=ln2−34<0，即ln x<14x2−1，所以1ln x >4x−1x+1=21x−1−1x+1所以1nk=2=1 nk=2=1+1+⋯+1>21−1+1−1+⋯+1−1+1−1=21+12−1n−1n+1=3n2−n−2n n+1n≥2.。
湖南省益阳市一中高三第十次月考数学理试题 Word版含答案.txt
湖南省益阳市第一中学2014届高三第十次月考 数学试题（理科） 时间：120分钟，总分：150分 一、选择题共小题，每小题5分，共0分，每题给出的四个选项中只有一项符合要求．1．是纯虚数，是虚数单位，则的值是 ( ) A． B． C． D． 2. 已知随机变量，且，则等于 ( )A． B． C． D． 3．A．B．C．D．4．满足约束条件且的最小值为，则实数的值为（ ） A．B．C．D．．为执行如图所示的程序框图输出的结果，则二项式的展开式中含项的系数是（ ） A． B．C． D．中，为侧面的中心，则与平面所成的角的正弦值为（ ） A． B．C． D． 且恒过点，则的解的个数为（ ） A．B．C．D．．中，，则角的最大值为（ ） A． B． C． D． 9．已知双曲线的两个焦点为，其中一条渐近线方程为，为双曲线上一点，且满足(其中为坐标原点)，若、、成等比数列，则双曲线的方程为（ ） A．B．C．D．，使得”的否定是“，使得”； ② 是向量的夹角为锐角的充要条件； ③ 设的内角的对边分别为，且满足， 则； ④ 记集合，定义映射，则从中任取一个映射满足“由点 构成且”的概率为． 以上命题正确的个数为（ ） A．B．C．D．二、填空题每小题分，共分．的极坐标方程为，圆的圆心为，半径为，则直线被圆所截得的弦长为__________． 12．已知，则实数的取值范围是________． 13．中，，过作的外接圆的切线，于，与外接圆交于点，已知，则的外接圆的半径为________. （二）必做题（12～16．且，则 _______． 15．在区间的端点上恰取相邻一个最大值点和一个最小值点，则 （1）的值为______； （2）在和轴围成的矩形区域里掷一小球，小球恰好落在函数 与轴围成的区域内的概率为__________．．，如果是偶数，就将它减半（即）；如果是奇数，则将它乘加（即），不断重复这样的运算，经过有限步后，一定可以得到．，按照上述变换规则，我们可以得到一个数列：，，，，，，，，．，则按照上述规则施行变换后的第项为_________； （2）如果对正整数（首项）按照上述规则施行变换后的第项为（注：可以多次出现），则的所有不同值的个数为________．三、解答题（6小题，共75分，）．的值及数列的通项公式； （2）是否存在等差数列，使得对任意都成立？若存在，求出数列的通项公式；若不存在，请说明理由．本小题满分1分）名学生进行数学知识比赛，决出第一名至第五名的名次．比赛之后甲乙两位同学去询问成绩，回答者对甲说“很遗憾，你和乙都没有得冠军”，对乙说“你当然不会是最差的”． （1）从上述回答分析，人的名次排列可能有多少种不同的情况？ （2）比赛组委会规定，第一名获奖金元，第二名获奖金元，第三名获奖金元，第四名及第五名没有奖金，求丙获奖金数的分布列及数学期望． 19．中，，，分别为边和上的点，且，．将四边形沿折起成如图②的位置，使．平面； （2）求平面与平面所成锐二面角的余弦值． 20. (本小题满分1分）海里以内的区域.如图所示，我国某海岛是由半径为海里的一段圆弧(圆周)和线段所围的区域（、、分别位于圆心的正西、正东和正北位置）.在、设有两个观察点，现发现在点处停有一外轮，并测得，. (1)该外轮是否已进入我国领海主权范围内？ （2）该外轮因故障向我方求助，我方停泊在处的求助船紧急起航，首先沿正北方向行驶一段至点位置，再从（“拐点”）向右拐头沿直线前往出事点，记“拐角”的大小为.由于水域的原因，救助船沿方向的行船最大速度是方向行船最大速度的倍.试确定的值，使我方救助船到达点的时间最短. 21.(本小题满分13分) 已知椭圆的离心率为，过其右焦点作与轴垂直的直线与该椭圆交于、两点，与抛物线交于、两点，且. （1）求椭圆的方程； （2）设，过点作与轴不重合的直线交椭圆于、两点，连接、分别交直线于、两点. 试问直线、的斜率之积是否为定值，若是，求出定值；若不是，请说明理由. 22. (本小题满分13分) 已知函数. （1）若，求在点处的切线方程； （2）令，求证：在区间上，存在唯一极值点； （3）令，定义数列：，. 当且时，求证：对于任意的，恒有. 益阳市第一中学2014年第十次月考 高三数学试题（理科）参考答案 一．选择题（每小题5分，共50分）1---10 ADBCC DAAAC 二．填空题（本大题6小题，考生作答5小题，每小题5分，共25分） （一）选做题11． 12． 13． （二）必做题14． 15．； 16．（1） （2） 三．解答题（本大题共6小题，共75分） 17.（12分） 解：（1）设，则， ，，．，使得对任意都成立．时，等式左边，等式右边，所以等式成立．时等式成立，即，……9分 则 ……11分 这就是说，当时，等式也成立．都成立．，使得对任意都成立.……12分 18．人的名次排列可能情况的种数是 种可能．……5分 （2）记事件“丙获第一名、丙获第二名、丙获第三名、丙获第四名、丙获第五名”分别为 、、、、，则，，， ，……8分 故随机变量丙获奖金数的可能取值为且 ，，， 随机变量丙获奖金数的分布列为 …………10分 （元）．…………12分 19．（12分）．所以．……5分．．……12分，因，. 在中， ，即，故该外轮未进入我领海主权范围内.……5分 （2）作于，于，则， 因，首先应有，，设方向的船速为，则我救助船全速到达点共所需时间为 ……7分 ，令得，设使的锐角为，在当时，，当时，；在上递减，在上递增，所以当时，取得最小值.……10分 另一方面，延长与交于，须救助船才能沿直线航行， ，由解得，此时，而当时，，由的单调性知取时，最小.……12分 综上可知，为使到达点时间最短，当时，救助船选择的拐角应满足；当时，救助船应在处拐头直朝点航行，此时.……13分 21．过右焦点且与轴垂直，. 又椭圆的离心率为，且， ，解得 ，故椭圆的方程为.……5分 （2）由题意知直线的斜率不为零，设直线的方程为， 联立，消去得 设，则……7分 三点共线，，即……8分 同理可得， ……10分 而……11分 故直线的斜率为定值.……13分 22．（13分）解：（1）若，则，， 所以所求的切线方程为 即.……3分 （2），问题等价于证明在上有唯一零点 . 事实上，，，所以在上单调递减，且，. 故原命题得证.……8分 （3）当时，，，，，， 而 所以 .……13分 ： ： ① ②。
2014湖南高考理科数学模拟试卷
2014年普通高等学校招生全国统一考试模拟试卷（湖南卷）数学（理工农医类）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合A={0，1，2}，则集合B={x-y|x∈A，y∈A}中元素的个数是（）A. 1B. 3C. 5D. 92．若复数z满足iz=2+4i，则在复平面内，z对应的点的坐标是（）A．（2，4）B．（2，-4）C．（4，-2）D．（4，2）3．执行如图的程序框图，如果输入的N=4，那么输出的S=（）A．1+12+13+14B．1+12+13*2+14*3*2C．1+12+13+14+15D．1+12+13*2+14*3*2+15*4*3*24．已知三棱锥的正视图与俯视图如图，那么该三棱锥的侧视图可能为（）A．B．C．D．5．设x ∈Z ，集合A 是奇数集，集合B 是偶数集．若命题p ：x ∈A,2x ∈B ，则( )．A ．p ：x ∈A,2xB B ．p ：x A,2x BC ．p ：x0A,2x 0∈B D ．p ：x 0∈A,2x0 B6．若向量a =(1，1)， b =(-1，1) ，c =(4，2)，则c =( )A ．3a +bB ． 3a -bC ． -a +3bD ． a +3b7．设双曲线C 的中心为点O ，若有且只有一对相交于点O ，所成的角为60°的直线A 1B 1和A 2B 2，使|A 1B 1|=|A 2B 2|，其中A 1、B 1和A 2、B 2分别是这对直线与双曲线C 的交点，则该双曲线的离心率的取值范围是（ ）A ．(，2]B ．2)C ．+∞)D ．+∞)8．已知函数f （x ）=|2x-1|-1+a 有两个不同的零点，则实数a 的取值范围为（ ） A ．(−∞，32 )B ．(12，+∞)C ．（-∞，1）D ．（1，+∞）二、填空题： 本大题共8小题，考生作答7小题，每小题5分 ，共35分，把答案填在答．题卡．．中对应题号后的横线上． （一）选做题（请考生在第9，10，11三题中任选两题作答，如果全做，则按前两题记分）9．在极坐标系中，由三条直线θ=0，θ＝3，ρcosθ+ρsinθ=1围成图形的面积等于 10．设x ，y 为实数，若4x 2+y 2+xy=1，则2x+y 的最大值是11.如图，弦AB 与CD 相交于⊙O 内一点E ，过E 作BC 的平行线与AD 的延长线相交于点P ．已知PD=2DA=2，则PE=．（二）必做题（12～17题）12．利用计算机产生0～1之间的均匀随机数a ，则事件“3a -1＜0”的概率为13.设△ABC 的内角A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，c ，若b+c=2a ，3sinA=5sinB ，则角C=（ ）14．在平行四边形ABCD 中，AD=1，∠BAD=60°，E 为CD 的中点．若AC *BE ＝1，则AB 的长为15.如果一个等比数列前5项的和等于10，前,10项的和等于50，那么它前15项的和是16．设函数f （x ）的定义域为D ，若存在非零实数L 使得对于任意x ∈M （M ⊆D ），有x+L ∈D ，且f （x+L ）≥f （x ），则称f （x ）为M 上的L 高调函数，如果定义域是[-1，+∞）的函数f （x ）=x 2为[-1，+∞）上的m 高调函数，那么①实数m 的取值范围是②如果定义域为R 的函数f （x ）是奇函数，当x≥0时，f （x ）=|x-a 2|-a 2，且f （x ）为R 上的8高调函数，那么实数a 的取值范围是三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分12分）已知函数f （x ）=sin （wx+φ）（w ＞0，0＜φ＜π）的周期为π，图象的一个对称中心为（4π，0），将函数f （x ）图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再将得到的图象向右平移2π个单位长度后得到函数g （x ）的图象． （1）求函数f （x ）与g （x ）的解析式。
2014湖南省益阳市一中高三高考模拟理科数学试题和答案
2014湖南省益阳市一中高三高考模拟数学试题（理科）时间：120分钟，总分：150分一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求． 1．若复数2()1aiz a R i-=∈+是纯虚数，i 是虚数单位，则a 的值是 ( ) A ．2 B ．1 C ．1- D ．2- 2. 已知随机变量2(2,)N ξσ，且(1)0.4P ξ<=，则(3)P ξ≤等于 ( )A ．0.3B ．0.4C ．0.5D ．0.6 3．某几何体的三视图如右图所示，则该几何体的体积为（ ）A ．1B ．13 C ．12 D ．324．设实数,x y 满足约束条件20,30,2,x y x y x y m -≤⎧⎪+-≥⎨⎪+≤⎩且z x y =-的最小值为3-，则实数m 的值为（ ）A ．1-B ．52-C ．6D ．7 5．已知i 为执行如图所示的程序框图输出的结果，则二项式6i ⎛ ⎝的展开式中含2x -项的系数是（ ） A ．192 B ．32 C ．42- D ．192- 6．正方体1111ABCD A BC D -中，O 为侧面11BCC B 的中心，则AO 与平面ABCD 所成的角的正弦值为（ ）AB ．12 CD ．7．已知函数3()log ()(0a f x x a a=+>且1)a ≠恒过点(2,1)，则2()232f x x x =--+的解的个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4 8．在ABC ∆中，()3AB AC CB -⊥，则角A 的最大值为（ ）A ．6πB ．4πC ．3πD ．2π9．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的两个焦点为12,F F ，其中一条渐近线方程为()2by x b N +=∈，P 为双曲线上一点，且满足5OP <(其中O 为坐标原点)，若1PF 、12F F 、2PF 成等比数列，则双曲线C 的方程为（ ）A ．2214x y -=B ．221x y -= C ．22149x y -= D ．221416x y -= 10．给出下列命题：① “0x R ∃∈，使得20010x x -+<”的否定是“x R ∀∈，使得210x x -+≥”； ② 0a b ⋅>是向量,a b 的夹角为锐角的充要条件；③ 设ABC ∆的内角A B C 、、的对边分别为a b c 、、，且满足3cos cos 5a Bb Ac -=， 则tan 4tan AB=； ④ 记集合{1,2,3},{1,2,3,4}M N ==，定义映射:f M N →，则从中任取一个映射满足“由点(1,(1)),(2,(2)),(3,(3))A f B f C f 构成ABC ∆且AB BC =”的概率为316． 以上命题正确的个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4二、填空题：本大题共6小题，考生作答5小题，每小题5分，共25分．把答案填在答题卡中对应题号的横线上．（一）选做题（请考生在第11，12，13三题中任选两题作答，如果全做，则按前两题记分）11．在极坐标系中，已知直线l 的极坐标方程为sin()14πρθ+=，圆C 的圆心为4π⎫⎪⎭，l 被圆C 所截得的弦长为__________．12．已知222236,2x y z a x y z a ++=++=-，则实数a 的取值范围是________．13．如图，在ABC ∆中，90,60C A ∠=∠=，过C 作ABC ∆的外接圆的切线CD ，BD CD ⊥于D ，BD 与外接圆交于点E ，已知5DE =，则ABC ∆的外接圆的半径为________. （二）必做题（12～16题）14．已知向量1(2sin ,),(2,cos )3a b αα==且//a b ，则2cos ()4πα+= _______．15．已知函数()sin()(0)3f x x πωω=+>在区间5,66ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦的端点上恰取相邻一个最大值点和一个最小值点，则（1）ω的值为______； （2）在,,136x x y ππ=-==和x 轴围成的矩形区域里掷一小球，小球恰好落在函数()f x =sin()([,])336x x πππω+∈-与x 轴围成的区域内的概率为__________．16．科拉茨是德国数学家，他在1937年提出一个著名的猜想：任给一个正整数n ，如果n 是偶数，就将它减半（即2n）；如果n 是奇数，则将它乘3加1（即31n +），不断重复这样的运算，经过有限步后，一定可以得到1．如初始正整数为6，按照上述变换规则，我们可以得到一个数列：6，3，10，5，16，8，4，2，1．（1）如果2n =，则按照上述规则施行变换后的第8项为_________；（2）如果对正整数n （首项）按照上述规则施行变换后的第8项为1（注：1可以多次出现），则n的所有不同值的个数为________．三、解答题（本大题共6小题，共75分，请将解答过程写在答题卡的相应位置，要有必要的文字说明和演算步骤）17．(本小题满分12分) 已知等比数列{}n a 的各项均为正数，12a =，*14,n n n a a m n N +=⋅∈， （1）求m 的值及数列{}n a 的通项公式； （2）是否存在等差数列{}n b ，使得11122(34)28n n n a b a b a b n ++++=-⋅+对任意*n N ∈都成立？若存在，求出数列{}n b 的通项公式；若不存在，请说明理由．18. (本小题满分12分）甲、乙、丙、丁、戊5名学生进行数学知识比赛，决出第一名至第五名的名次．比赛之后甲乙两位同学去询问成绩，回答者对甲说“很遗憾，你和乙都没有得冠军”，对乙说“你当然不会是最差的”．（1）从上述回答分析，5人的名次排列可能有多少种不同的情况？（2）比赛组委会规定，第一名获奖金1000元，第二名获奖金800元，第三名获奖金600元，第四名及第五名没有奖金，求丙获奖金数的分布列及数学期望．19．(本小题满分12分)如图①，直角梯形ABCD 中，//AD BC ，090ABC ∠=，,E F 分别为边AD 和BC 上的点，且//EF AB ，2244AD AE AB FC ====．将四边形EFCD 沿EF 折起成如图②的位置，使AD AE =． （1）求证：//AF 平面CBD ；（2）求平面CBD 与平面DAE 所成锐二面角的余弦值．①②20. (本小题满分13分）外国油轮（简称外轮）除特许外，不得进入离我国海岸线12海里以内的区域.如图所示，我国某海岛是由半径为10海里的一段圆弧ABC (34圆周)和线段AC 所围的区域（A 、B 、C 分别位于圆心O 的正西、正东和正北位置）.在A 、B 设有两个观察点，现发现在P点处停有一外轮，并测得30BAP ∠=，120ABP ︒∠=.(1)该外轮是否已进入我国领海主权范围内？（2）该外轮因故障向我方求助，我方停泊在A 处的求助船紧急起航，首先沿正北方向AN 行驶一段至点M 位置，再从M （“拐点”）向右拐头沿直线MP 前往出事点，记“拐角”NMP ∠的大小为θ.由于水域的原因，救助船沿AN 方向的行船最大速度是MP 方向行船最大速度的λ倍.试确定cos θ的值，使我方救助船到达P 点的时间最短.21.(本小题满分13分) 已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的离心率为12，过其右焦点2F 作与x轴垂直的直线l 与该椭圆交于A 、B 两点，与抛物线24y x =交于C 、D 两点，且324AB CD =. （1）求椭圆E 的方程；（2）设(4,0)A -，过点(3,0)R 作与x 轴不重合的直线l '交椭圆于P 、Q 两点，连接AP 、AQ 分别交直线163x =于M 、N 两点. 试问直线MR 、NR 的斜率之积是否为定值，若是，求出定值；若不是，请说明理由.22. (本小题满分13分) 已知函数2()ln()(0)f x x a a =+>. （1）若2a =，求()f x 在点(1,(1))f 处的切线方程；（2）令32()()3g x f x x =-，求证：在区间10,a ⎛⎫⎪⎝⎭上，()g x 存在唯一极值点； （3）令()()2f x h x x '=，定义数列{}n x ：10x =，1()n n x h x +=. 当2a =且10,2k x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦(2,3,4)k =时，求证：对于任意的*m N ∈，恒有1134m k k k x x +--<⋅.益阳市第一中学2014年第十次月考 高三数学试题（理科）参考答案一．选择题（每小题5分，共50分）1---10 ADBCC DAAAC 二．填空题（本大题6小题，考生作答5小题，每小题5分，共25分） （一）选做题11．2 12．[]1,4 13．10 （二）必做题14．16 15．1；2π16．（1）1 （2）6 三．解答题（本大题共6小题，共75分） 17.（12分） 解：（1）设12(0)n n a q q -=>，则221214n n n n n n a a a q a a a ++++===，∴2q = ∴2n n a =，2114224n n n n n a a m ++=⋅==⋅，∴2m =．……5分（2）存在等差数列31n b n =-，使得11122(34)28n n n a b a b a b n ++++=-⋅+对任意*n N ∈都成立．…… ……7分下面用数学归纳法证明：（i ）当1n =时，等式左边114a b ==，等式右边2(34)284=-⋅+=，所以等式成立．……8分 （ii ）假设当n k =时等式成立，即11122(34)28k k k a b a b a b k ++++=-⋅+，……9分则11112211(34)28(32)2k k k k k k a b a b a b a b k k ++++++++=-⋅+++⋅()122(31)28[3(1)4]28k k k k +++=-⋅+=+-⋅+……11分这就是说，当1n k =+时，等式也成立．综上（i ）（ii ）可知，等式对一切*n N ∈都成立．故存在等差数列{}n b ，使得11122(34)28n n n a b a b a b n ++++=-⋅+对任意*n N ∈都成立.……12分18．（12分）解：（1）5人的名次排列可能情况的种数是 11333354A A A ⋅⋅=种可能．……5分（2）记事件“丙获第一名、丙获第二名、丙获第三名、丙获第四名、丙获第五名”分别为1A 、2A 、3A 、4A 、5A ，则11()3P A =，112222211333384()5427C C A P A C C A ===，34()27P A =， 44()27P A =，13235113333122()549C A P A C C A ===……8分故随机变量丙获奖金数X 的可能取值为1000,800,600,0且1(1000)3P X ==，4(800)27P X ==，4(600)27P X ==，4210(0)27927P X ==+=∴随机变量丙获奖金数X 的分布列为…………10分14410146010008006000327272727EX =⨯+⨯+⨯+⨯=（元）．…………12分19．（12分）解：（1）取DE 的中点G ，连接,,AG CG FG ，则 //CF DG =，所以//FG CD //CG AB =，所以//AG BC ，故平面//AFG 平面CBD ．所以//AF 平面CBD ．……5分（2）如图所示，以AE 中点为原点，AE 为x 轴建立空间直角坐标系，则(1,0,0)A -，(1,0,0)E ，D ，∴DE的中点坐标为1(2，12CF DE =，∴1(,2C - 易知BA 平面ADE 的一个法向量，记1(0,2,0)BA n ==，……7分 设平面BCD 的一个法向量为2(,,)n x y z =，而3(2BC =，(1BD =，则 2200n BC n BD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即30220x z x y ⎧=⎪⎨⎪++⎩，取2(2,2,n =-……10分∴121212cos,n n n n n n ⋅<>=== 平面CBD 与平面DAE 12分 20．（13分）解：（1）连接OP ，因30,120BAP ABP ∠=∠=，∴30APB ∠=.在PBO ∆中，222102021020cos120700OP =+-⨯⨯=22(1012)OP >+，即22OP >，故该外轮未进入我领海主权范围内.……5分（2）作PQ AN ⊥于Q ，PS AB ⊥于S ，则30AQ SP PQ ===， 因60,NAP NMP θ∠=∠=，首先应有3060,sin PM θθ>=，30cos sin AM θθ=，设MP 方向的船速为V，则我救助船全速到达P点共所需时间为130cos13030cos()sin sin sinTV V Vθλθθλθθλθ-⎛⎫=+⋅=+⨯⎪⎝⎭……7分2301cos()sinTVλθθλθ-'=⨯，令()0Tθ'=得1cosθλ=，设使1c o sθλ=的锐角为λθ，在当(60,)λθθ∈时，()0Tθ'<，当(,90)λθθ∈时，()0Tθ'>；()Tθ在(60,)λθ上递减，在(,90)λθ上递增，所以当1cosθλ=时，()Tθ取得最小值.……10分另一方面，延长PC与AN交于M，须QM QM≥救助船才能沿直线MP航行，cos cos QM Pθ≤∠==，由113λ≤解得3λ≥QM Pλθ≥∠，而当λ<0QM Pλθ<∠，由()Tθ的单调性知θ取QM P∠时，()Tθ最小.……12分综上可知，为使到达P点时间最短，当λ≥θ应满足1cosθλ=；当λ<M处拐头直朝P点航行，此时cosθ=……13分21．（13分）解：（1）直线l过右焦点2F且与x轴垂直，∴22,bAB CDa==又椭圆E的离心率为12，且324AB CD=，∴2222122cabaa b c⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎪⎩2216,12a b==，故椭圆E的方程为2211612x y+=.……5分（2）由题意知直线l'的斜率不为零，设直线l'的方程为3x my=+，联立2211612x y+=，消去x得22(34)18210m y my++-=设1122(,),(,)P x y Q x y，则1212221821,3434my y y ym m+=-=-++……7分,,A P M三点共线，∴1116443My yx=++，即112834Myyx=⋅+……8分同理可得，222834Nyyx=⋅+1212916161649(4)(4)3333N M NMMR NRy y yy y yk kx x⋅=⋅==++--……10分而212121212(4)(4)(7)(7)7()49x x my my m y y m y y++=++=+++……11分∴2222211616(21)1234211844977493434MR MNmk kmm mm m-⨯⨯-+⋅===---⨯⨯+⨯+++故直线,MR NR的斜率为定值127-.……13分22．（13分）解：（1）若2a=，则22()2xf xx'=+，2(1)3f'=，(1)ln3f=所以所求的切线方程为2ln3(1)3y x-=-即233ln320x y-+-=.……3分（2）2()()2g x f x x''=-212()x xx a=-+，问题等价于证明21()x xx aϕ=-+在10,a⎛⎫⎪⎝⎭上有唯一零点 . 事实上，()222()10xxx aϕ-'=-<+，10,xa⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以21()x xx aϕ=-+在10,a⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，且1(0)0aϕ=>，2111()01a aaaϕ=-<+. 故原命题得证.……8分（3）当2a=时，()()2f xh xx'=212x=+，1x=，212x=，349x=，32118x x-=，10,2kx⎛⎤∈ ⎥⎝⎦而()()111222211112222k k k kk kk k k kx x x xx xx x x x--+---+-=-=++++11221144k k k kx x x x---<-<-<3222111141844k k kx x--<-=⋅<所以1121m k k m k m k m k m k k kx x x x x x x x+++-+-+-+-<-+-++-11111111144111141444343414m mkk k k m k k++---⎡⎤⎛⎫⎛⎫-⎢⎥⎪- ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦⎝⎭<+++==<⋅⋅-.……13分。
湖南省益阳市箴言中学2014届下学期高三年级第九次模拟考试数学试卷(理科)
湖南省益阳市箴言中学2014届下学期高三年级第九次模拟考试数学试卷（理科）总分150分 时量：120分钟一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的． 1．设非空集合P 、Q 满足PQ P =，则（ ）A ．,x Q x P ∀∈∈有B ．x Q ∀∉，有x P ∉C ．0x Q ∃∉，使得0x P ∈D ．0x P ∃∈，使得0x Q ∉2．已知11xyi i=-+，其中,x y 是实数，i 是虚数单位，则x yi +的共轭复数为（ ） A ．12i + B ．12i - C ．2i + D ．2i - 3．设随机变量ξ服从正态分布N (3，7)，若(2)(2)P a P a ξξ>+=<-，则a =（ ）A ．1B ．2C ．3D ．44．已知某几何体的三视图如下，则该几何体体积为（ ）A ．4+52π B ．4+32π C ．4+2π D ．4+π 5．如右上图，已知k 为如图所示的程序框图输出的结果，二项式1k nx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中含有非零常数项，则正整数n 的最小值为 ( )A ．4B ．5C ．6D ．7 6．先后掷骰子（骰子的六个面上分别标有1、2、3、4、5、6个点）两次，落在水平桌面后，记正面朝上的点数分别为x ，y ，设事件A 为“x +y 为偶数”， 事件B 为“x ，y 中A ．12 B ．13 C ．14 D ．257．正项等比数列{}n a 中，存在两项,m n aa 14a =，且6542a a a =+，则14m n+的 最小值是( ) A ．32B ．2C ．73D ．2568．设y x ,满足约束条件223231x y x y x y -≥-⎧⎪-≤⎨⎪+≥⎩，若224x y a +≥ 恒成立，则实数a 的最大值为( )A ．12 B ．34 C ．45 D ．569．已知函数()(f x x ∈R)是偶函数，且(2)(2)f x f x +=-，当[0,2]x ∈时，()1f x x =-，则方程1()1||f x x =-在区间[10,10]-上的解的个数是（ ） A ．8 B ．9 C ．10 D ．11 10.在平面直角坐标系中，定义||||),(2121y y x x Q P d -+-=为),(),,(2211y x Q y x P 两点之间的“折线距离”。
湖南省益阳市箴言中学2014届高三第三次模拟(期中)考试试题 数学(理) 含答案
时量：120分钟总分：150分命题：樊智能审题：杨超群,谢立荣一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，）1.已知集合{|M x y==，{}|12N x x=+≤，全集I=R，则图中阴影部分表示的集合为（）A.{}|1x x≤≤ B.{}|31x x-≤≤C.{|3x x-≤< D.{|1x x≤≤2. 已知函数1(),4,()2(1),4,x xf xf x x⎧≥⎪=⎨⎪+<⎩则2(2log3)f+的值为（）A.124B.112C.16D.133．已知3()sin4f x ax b x=-+（其中以,a b为常数且0ab≠），如果(3)5f=,则(20123)fπ-的值为（）A．－3 B．－5 C．3 D．54.设函数2()(),f xg x x=+曲线y=g(x)在点(1,(1))g处的切线方程为21y x=+，则曲线()1y f x=在点（，f(1))处切线的斜率为（）A. 4B.14- C. 2 D.12-5.定义在R上的函数)(xf的图象关于点（3,0)4-成中心对称，对任意的实数x都有3()(),2f x f x=-+且(1)1,(0)2,f f-==-则(1)(2)(3)(2014)f f f f++++的值为（）A.2-B. 1-C. 0D.16.已知1sin sin,3αβ+=则2sin cosαβ-的最大值为（）A．432 B．49C．1112-D．23-7.已知函数[]3221,0()31,(),()0468,0x xf x x xg x f x axx x x⎧+>⎪=-+=-=⎨⎪---≤⎩则方程g（a为正实数）的根的个数不可能为（）益阳市箴言中学2014届高三第三次模拟考试理科数学试卷A.6个B. 5个C. 4个D.3个8.对于定义域为[0,1]的函数()f x ，如果同时满足以下三个条件： ①对任意的]1,0[∈x ，总有0)(≥x f ②1)1(=f③若0,021≥≥x x ，121≤+x x ，都有)()()(2121x f x f x x f +≥+ 成立； 则称函数)(x f 为理想函数. 下面有三个命题： （1）若函数)(x f 为理想函数，则0)0(=f ； （2）函数])1,0[(12)(∈-=x x f x 是理想函数； （3）若函数)(x f 是理想函数，假定存在]1,0[0∈x ，使得]1,0[)(0∈x f ，且00)]([x x f f =， 则00)(x x f =；其中正确的命题个数有（ ）A. 0个B.1个C.2个D.3个二.填空题（本大题共7小题，每小题5分 ，共35分）9.设())(0f x ϕ=+ ＜ϕ＜),π若/()()f x f x +为奇函数，则ϕ=10.10x dx ⎤=⎦⎰11．函数y =的最大值是 ．12．已知圆O 的半径为3，从圆O 外一点A 引切线AD 和割线ABC ，圆心O 到AC 的距离为3AB =，则切线AD 的长为13.设4(0,),cos(),sin(2)26512πππααα∈+=+若则的值为_________。
2014年湖南省益阳市箴言中学高考数学十模试卷(理科)
2014年湖南省益阳市箴言中学高考数学十模试卷（理科）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、选择题(本大题共10小题，共50.0分)1.已知z（1+i）=-3+4i（i为虚数单位），复数Z的共轭复数为（）A.+iB.-+iC.-iD.--i【答案】C【解析】解：∵z（1+i）=-3+4i，∴z（1+i）（1-i）=（-3+4i）（1+i），∴2z=-7+i，∴z=+i．复数z的共轭复数为：-i．故选：C．利用复数的代数形式的混合运算，求出复数z，然后求出共轭复数．本题考查复数代数形式的混合运算以及复数的基本概念的应用，基础题．2.已知某篮球运动员2013年度参加了25场比赛，我从中抽取5场，用茎叶图统计该运动员5场中的得分如图所示，则该样本的方差为（）A.25B.24C.18D.16【答案】D【解析】解：样本的平均数为=24，则样本方差为[（19-24）2+（21-24）2+（23-24）2+（27-24）2+（30-24）2]=16，故选：D．根据茎叶图中的数据，求出平均数，利用方差的公式即可得到结论．本题主要考查茎叶图的应用，根据平均数和方差的定义和公式是解决本题的关键．3.已知命题p：∃φ∈R，使f（x）=sin（x+φ）为偶函数；命题q：函数y=tanx在（，π）上单调递减，则下列命题为真命题的是（）A.p∧qB.（￢p）∨qC.（￢p）∧（￢q）D.（￢p）∨（￢q）【答案】D【解析】解：当φ=时，f（x）=sin（x+φ）=cosx为偶函数，即命题p为真命题．函数y=tanx在（，π）上单调递增，故命题q是假命题，则p∧q，为假命题，（￢p）∨q为假命题，（￢p）∧（￢q）为假命题，（￢p）∨（￢q）为真命题，故选：D分别判定命题p，q的真假，利用复合命题之间的关系即可得到结论．本题主要考查复合命题之间的关系，先判定命题p，q真假是解决本题的关键．4.设实数x，y满足约束条件，若目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）的，最大值为12，则ab的取值范围是（）A.（0，+∞）B.，C.，∞D.，【答案】D【解析】解：不等式表示的平面区域如图所示阴影部分，当直线ax+by=z（a＞0，b＞0）过直线x-y+2=0与直线3x-y-6=0的交点（4，6）时，目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）取得最大12，即4a+6b=12，即2a+3b=6，而6=2a+3b≥2⇒ab≤，当且仅当2a=3b时取等号．又ab＞0，则ab的取值范围是，．故选D．先根据条件画出可行域，设z=ax+by，再利用几何意义求最值，将最大值转化为y轴上的截距，只需求出直线z=ax+by，过可行域内的点（4，6）时取得最大值，从而得到一个关于a，b的等式，最后利用基本不等式求ab的取值范围即可．本题主要考查了基本不等式在最值问题中的应用、简单的线性规划，以及利用几何意义求最值，属于基础题．5.运行如图的程序图，则输出s的结果是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】解：由程序语句知：算法的功能是求S=++…+的值，∵跳出循环的n值为10，∴输出S=+++=+=．故选：B．算法的功能是求S=++…+的值，根据条件确定跳出循环的n值，计算输出的S值．本题考查了当型循环结构的程序语句，根据算法的流程判断算法的功能是解题的关键．6.三棱柱的侧棱与底面垂直，且底面是边长为2的等边三角形，其正视图（如图所示）的面积为8，则该三棱柱外接球的表面积为（）A. B. C.D.24π【答案】C【解析】解：∵正三棱柱ABC-A1B1C1的中，底面边长为2，正视图（如图所示）的面积为8，∴棱柱的高为4，由题意可得：三棱柱上下底面中点连线的中点，到三棱柱顶点的距离相等，说明中心就是外接球的球心，∴正三棱柱ABC-A1B1C1的外接球的球心为O，外接球的半径为r，球心到底面的距离为2，底面中心到底面三角形的顶点的距离为：=，∴球的半径为r=．外接球的表面积为：4πr2=4π=．故选：C．由题意推出三棱柱上下底面中点连线的中点，到三棱柱顶点的距离相等，说明中心就是外接球的球心，求出球的半径，即可求出外接球的表面积．本题考查空间想象能力，计算能力；三棱柱上下底面中点连线的中点，到三棱柱顶点的距离相等，说明中心就是外接球的球心，是本题解题的关键，仔细观察和分析题意，是解好数学题目的前提．7.在矩形ABCD中，AB=1，AD=，P为矩形内一点，且，若（λ，μ∈R），則的最大值为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】B（1，0），D（0，），C（1，）．由，得x2+y2=，则点P满足的约束条件为．∵即（x，y）=λ（1，0）+μ（0，）∴x=λ，y=μ，∴=x+y．由于x+y≤==，当且仅当x=y时取等号．則=x+y的最大值为．故选C．由题意正确得出点P（x，y）所满足的约束条件，利用=（x，y）=λ（1，0）+μ（0，）进行坐标变换得出x，y满足的约束条件，利用基本不等式的方法找出x+y的最大截距即可．本题主要考查了向量在几何中的应用，基本不等式的运用，属于中档题．8.设F1，F2分别是椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左、右焦点，点P在椭圆C上，线段PF1的中点在y轴上，若∠PF1F2=30°，则椭圆C的离心率为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】解：∵线段PF1的中点在y轴上设P的横坐标为x，F1（-c，0），∴-c+x=0，∴x=c；∴P与F2的横坐标相等，∴PF2⊥x轴，∵∠PF1F2=30°，∴PF2=，∵PF1+PF2=2a，∴PF2=，tan∠PF1F2===，∴=，∴e==．故选：A．由已知条件推导出PF2⊥x轴，PF2=，PF2=，从而得到=，由此能求出椭圆的离心率．本题考查椭圆的离心率的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意椭圆的简单性质的灵活运用．9.已知函数f（x）=（k∈R），若函数y=|f（x）|+k有三个零点，则实数k的取值范围是（）A.k≤2B.-1＜k＜0C.-2≤k＜-1D.k≤-2【答案】D【解析】解：由y=|f（x）|+k=0得|f（x）|=-k≥0，所以k≤0，作出函数y=|f（x）|的图象，由图象可知：要使y=-k与函数y=|f（x）|有三个交点，则有-k≥2，即k≤-2，故选D．由题意可得|f（x）|=-k≥0，进而可得k≤0，作出图象，结合图象可得答案．本题考查根的存在性及个数的判断，作出函数的图象是解决问题的关键，属中档题．10.定义域为[a，b]的函数y=f（x）图象上两点A（a，f（a）），B（b，f（b）），M（x，y）是y=f（x）图象上任意一点，其中x=λa+（1-λ）b，λ∈[0，1]．已知向量=+（1-λ），若不等式|MN|≤k对任意λ∈[0，1]恒成立，则称函数f（x）在[a，b]上“k阶线性近似”．若函数y=x-在[1，3]上“k阶线性近似”，则实数的k取值范围为（）A.[0，+∞） B.[，+∞） C.[，+∞） D.[，+∞）【答案】C【解析】解：∵函数y=x-的定义域为[1，3]．∴A（1，0），B（3，）．x M=λ×1+（1-λ）×3=3-2λ，，∴M，（λ∈[0，1]）．∴向量=+（1-λ）=，，=，．∴=，-，=，．∴==≤．当且仅当λ=时取等号．∵不等式|MN|≤k对任意λ∈[0，1]恒成立，∴．∴实数的k取值范围为[，+∞）．故选：C．利用新定义“k阶线性近似”，向量的线性运算和模的计算公式、基本不等式即可得出．本题考查了新定义“k阶线性近似”，向量的线性运算和模的计算公式、基本不等式，考查了分析问题和解决问题的能力，考查了计算能力，属于难题．二、填空题(本大题共6小题，共30.0分)11.（坐标系与参数方程选做题）已知直线的极坐标方程为，则点A，到这条直线的距离为______ ．【答案】【解析】解：直线，可化为x+y-1=0，点A，可化为，，根据点到直线的距离公式，故答案为．把极坐标方程化为普通方程，把点A的极坐标化为直角坐标，利用点到直线的距离公式求出点A到这条直线的距离．本题考查把极坐标方程化为普通方程的方法，两角和的正弦公式，以及点到直线的距离公式的应用．12.已知正数x，y，z满足x+2y+3z=1，则++的最小值为______ ．【答案】18【解析】解：由柯西不等式可得（x+2y+2y+3z+3z+x）（++）≥（1+2+3）2，∵x+2y+3z=1，∴2（++）≥36，∴++≥18，∴++的最小值为18．故答案为：18．运用柯西不等式可得（x+2y+2y+3z+3z+x）（++）≥（1+2+3）2，即可得出结论．本题考查三元柯西不等式及应用，考查基本的运算能力，是一道基础题．13.如图，PA是圆O的切线，切点为A，PO交圆O于B，C两点，且PA=2，PB=1，则AB的长为______ ．【答案】【解析】解：∵PA是圆O的切线，切点为A，PO交圆O于B，C两点，∴PA2=PB•PC，∵PA=2，PB=1，∴PC=4，BC=3，∵△PAB∽△PCA，∴，∴，∴AB=．故答案为：．利用切割线定理，求出PC，BC，再利用△PAB∽△PCA，即可得出结论．本题考查切割线定理，考查三角形相似的性质，考查学生的计算能力，属于中档题．14.二项式（ax+2）6的展开式的第二项的系数为12，则x2dx= ______ ．【答案】3【解析】解：二项式（ax+2）6的展开式的第二项为，则第二项的系数为12a5=12，解得a=1，∴x2dx=x2dx=，故答案为：3利用二项式定理求出a的值，然后根据积分公式即可得到结论．本题主要考查二项式定理以及的定积分的计算，要求熟练掌握相应的公式．15.数列{a n}的前n项和记为S n，a1=1，a n+1=2S n+1，n∈N*则数列{a n}的通项公式是a n= ______ ．【答案】3n-1【解析】解：因为a n+1=2S n+1，…①所以a n=2S n-1+1（n≥2），…②所以①②两式相减得a n+1-a n=2a n，即a n+1=3a n（n≥2）又因为a2=2S1+1=3，所以a2=3a1，故{a n}是首项为1，公比为3的等比数列∴a n=3n-1．故答案为：3n-1．由题意可得：a n=2S n-1+1（n≥2），所以a n+1-a n=2a n，即a n+1=3a n（n≥2），又因为a2=3a1，故{a n}是等比数列，进而得到答案．本题主要考查求数列通项公式的方法，以及等比数列与等差数列的有关性质与求和．16.将含有3n个正整数的集合M分成元素个数相等且两两没有公共元素的三个集合A、B、C，其中A={a1，a2，…，a n}，B={b1，b2，…，b n}，C={c1，c2，…，c n}，若A、B、C中的元素满足条件：c1＜c2＜…＜c n，a k+b k=c k，k=1，2，…，n，则称M为“完并集合”．（1）若M={1，x，3，4，5，6}为“完并集合”，则x的一个可能值为______ ．（写出一个即可）（2）对于“完并集合”M={1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12}，在所有符合条件的集合C中，其元素乘积最小的集合是______ ．【答案】7，9，11；{6，10，11，12}【解析】解：（1）若集合A={1，4}，B={3，5}，根据完并集合的概念知集合C={6，x}，∴x=“4+3=7，“若集合A={1，5}，B={3，6}，根据完并集合的概念知集合C={4，x}，∴x=“5+6=11，“若集合A={1，3}，B={4，6}，根据完并集合的概念知集合C={5，x}，∴x=3+6=9，故x的一个可能值为7，9，11中任一个；（2）若A={1，2，3，4}，B={5，8，7，9}，则C={6，10，12，11}，若A={1，2，3，4}，B=“{5，6，8，10}，则C={7，9，12，11}，若A={1，2，3，4}，B={5，6，7，11}，则C={8，10，12，9}，这两组比较得元素乘积最小的集合是{6，10，11，12}故答案为：7，9，11，{6，10，11，12}（1）讨论集合A与集合B，根据完并集合的概念知集合C，根据a k+b k=c k建立等式可求出x的值；（2）讨论集合A与集合B，根据完并集合的概念知集合C，然后比较得元素乘积最小的集合即可．这类题型的特点是在通过假设来给出一个新概念，在新情景下考查考生解决问题的迁移能力，要求解题者紧扣新概念，对题目中给出的条件抓住关键的信息，进行整理、加工、判断，实现信息的转化三、解答题(本大题共6小题，共75.0分)17.在△ABC中，角A，B，C对应的边分别是a，b，c，已知cos2A-3cos（B+C）=1．（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）若△ABC的面积S=5，b=5，求sin B sin C的值．【答案】解：（Ⅰ）由cos2A-3cos（B+C）=1，得2cos2A+3cos A-2=0，即（2cos A-1）（cos A+2）=0，解得或（舍去）．因为0＜A＜π，所以．（Ⅱ）由S===，得到bc=20．又b=5，解得c=4．由余弦定理得a2=b2+c2-2bccos A=25+16-20=21，故．又由正弦定理得．【解析】（I）利用倍角公式和诱导公式即可得出；（II）由三角形的面积公式即可得到bc=20．又b=5，解得c=4．由余弦定理得a2=b2+c2-2bccos A=25+16-20=21，即可得出a．又由正弦定理得即可得到即可得出．熟练掌握三角函数的倍角公式和诱导公式、三角形的面积公式、余弦定理得、正弦定理是解题的关键．18.在一次数学测验后，班级学委王明对选答题的选题情况进行了统计，如下表：（单位：2列联表：（单位：人）（Ⅱ）在原统计结果中，如果不考虑性别因素，按分层抽样的方法从选做不同选做题的同学中随机选出7名同学进行座谈．已知学委王明和两名数学科代表三人都在选做《不等式选讲》的同学中．①求在这名班级学委被选中的条件下，两名数学科代表也被选中的概率；②记抽到数学科代表的人数为X，求X的分布列及数学期望E（X）．下面临界值表仅供参考：参考公式：．【答案】解：（Ⅰ）由表中数据得K2的观测值k==≈4.582＞3.841．…（2分）所以，据此统计有95%的把握认为选做“几何类”或“代数类”与性别有关．…（4分）（Ⅱ）由题可知在“不等式选讲”的18位同学中，要选取3位同学．①方法一：令事件A为“这名班级学委被抽到”；事件B为“两名数学科代表被抽到”，则P（A∩B）=，P（A）=．所以P（B|A）====．…（7分）方法二：令事件C为“在这名学委被抽到的条件下，两名数学科代表也被抽到”，则P（C）===．②由题知X的可能值为0，1，2．依题意P（X=0）==；P（X=1）==；P（X=2）==．从而X的分布列为…（10分）于是E（X）=0×+1×+2×==．…（12分）【解析】（1）根据所给的列联表得到求观测值所用的数据，把数据代入观测值公式中，做出观测值，同所给的临界值表进行比较，得到所求的值所处的位置，得到百分数．（2）①令事件A为“这名学委被抽取到”；事件B为“两名数学科代表被抽到”，利用条件概率求得两名数学科代表也被选中的概率，或利用古典概型概率公式求解；②记抽取到数学科代表的人数为X，由题X的可能值有0，1，2．依次求出相应的概率求分布列，再求期望即可．本题考查离散型随机变量及其分布列、独立性检验的应用，考查根据列联表做出观测值，根据所给的临界值表进行比较，本题是一个基础题．19.在斜三棱柱ABC-A1B1C1中，侧面ACC1A1⊥面ABC，AA1=a，A1C=CA=AB=a，AB⊥AC，D为AA1中点．（1）求证：CD⊥面ABB1A1；（2）在侧棱BB1上确定一点E，使得二面角E-A1C1-A的大小为，求．【答案】（1）∵AB⊥AC，面ACC1A1⊥面ABC，证明：∴AB⊥面ACC1A1，即有AB⊥CD；又AC=A1C，D为AA1中点，则CD⊥AA1∴CD⊥面ABB1A1…（4分）解：（2）如图所示建立空间直角坐标系C-xyz，则有A（a，0，0），B（a，a，0），A1（0，0，a），B1（0，a，a）C1（-a，0，a），设E（x，y，z），且，即有（x-a，y-a，z）=λ（-a，0，a），所以E点坐标为（（1-λ）a，a，λa）．…（7分）由条件易得面A1C1A地一个法向量为，，，设平面EA1C1地一个法向量为，，，由可得令y=1，则有，，，…（10分）则，得所以，当时，二面角E-A1C1-A的大小为…（12分）【解析】（1）由已知中侧面ACC1A1⊥面ABC，AB⊥AC，由面面垂直的性质定理可得AB⊥面ACC1A1，进而AB⊥CD，由AC=A1C，D为AA1中点，根据等腰三角形“三线合一”可得CD⊥AA1，结合线面垂直的判定定理可得CD⊥面ABB1A1；（2）建立空间直角坐标系C-xyz，由，可得E点坐标为（（1-λ）a，a，λa）．求出面A1C1A地一个法向量和平面EA1C1地一个法向量，根据二面角E-A1C1-A的大小为，构造方程组，解出λ值后，可得E点的位置．本题考查的知识点是用空间向量求平面间的夹角，直线与平面垂直的判定，其中（1）的关键是熟练掌握线面垂直的判定定理，（2）的关键是设出E点坐标，求出面A1C1A 地一个法向量和平面EA1C1地一个法向量，并根据二面角E-A1C1-A的大小为，构造方程．20.随着我国新型城镇化建设的推进，城市人口有了很大发展，生活垃圾也急剧递增．据统计资料显示，到2013年末，某城市堆积的垃圾已达到50万吨，为减少垃圾对环境污染，实现无害化、减量化和再生资源化，该市对垃圾进行资源化和回收处理．（1）假设2003年底该市堆积的垃圾为10万吨，从2003年底到2013年底这十年中，该市每年产生的新垃圾以10%的年平均增长率增长，试求2013年，该市产生的新垃圾约有多少吨？（2）根据预测，从2014年起该市还将以每年3万吨的速度产生新的垃圾，同时政府规划每年处理上年堆积垃圾的20%，现用b1表示2014年底该市堆积的垃圾数量，b2表示2015年底该市堆积的垃圾数量，…，b n表示经过n年后该城市年底堆积的垃圾数量．①求b1的值和b n的表达式；②经过多少年后，该城市的垃圾数量可以控制在30万吨的范围内．（结果精确到0.1，参考数据：1.111=2.9，1.110=2.6，1.19=2.4，1.18=2.1）【答案】解：（1）设2004年该城市产生垃圾为x万吨，依题意得：10+x+1.1x+1.12x+…+1.19x=50，…（2分）所以，所以（万吨）…（4分）所以2013年该城市产生的新垃圾为2.5×1.19=7（万吨）；…（5分）（2）①b1=50×0.8+3=43（万吨）；…（6分）∵，，…（7分）所以=…（9分）②由题意，，∴，…（10分）∵＞，＜，是n的减函数，…（12分）∴n≥4时，该城市垃圾堆积量会少于30万吨，∴4年后该城市垃圾量可以控制在30万吨内．…（13分）【解析】（1）设2004年该城市产生垃圾为x万吨，根据市每年产生的新垃圾以10%的年平均增长率增长，建立方程，利用等比数列的求和公式即可得到结果；（2）①b1=50×0.8+3；b n=50×（）n+3×（）n-1+3×（）n-2+…+3×+3；②解不等式，可得，即可得出结论．函数的实际应用题，我们要经过析题→建模→解模→还原四个过程，在建模时要注意实际情况对自变量x取值范围的限制，解模时也要实际问题实际考虑．将实际的最大（小）化问题，利用函数模型，转化为求函数的最大（小）是最优化问题中，最常见的思路之一．21.在平面直角坐标系x O y中，已知F1，F2分别是双曲线G：-=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，双曲线G与抛物线y2=-4x有一个公共的焦点，且过点（-，1）（Ⅰ）求双曲线G的方程；（Ⅱ）设直线l与双曲线G相切于第一象限上的一点P，连接PF1，PF2，设l的斜率为k，直线PF1，PF2的斜率分别为k1，k2，试证明+为定值，并求出这个定值；（Ⅲ）在第（Ⅱ）问的条件下，作F2Q⊥F2P，设F2Q交l于点Q，证明：当点P在双曲线右支上移动时，点Q在一条定直线上．【答案】（Ⅰ）解：依题意得c=1，∴a2+b2=1，∵双曲线过点（-，1），∴，∴，…（2分）∴双曲线方程为…（3分）（Ⅱ）证明：设P（x0，y0），l：y-y0=k（x-x0），∴，代入双曲线方程得：，依题意得△=0，∴，∴，∴…（6分）∴，，∴=（）=2（定值）…（8分）（Ⅲ）证明：，∴，∴：…①，：…②，由①②得，∴，∴，∵，∴2x-1=0，∴点Q恒在定直线上．…（13分）【解析】（Ⅰ）依题意得c=1，，由此能求出双曲线方程．（Ⅱ）设P（x0，y0），l：y-y0=k（x-x0），则，代入双曲线方程得，由此能证明=（）=2（定值）．（Ⅲ）由，得，由此能证明点Q恒在定直线上．本题考查双曲线方程的求法，考查直线斜率乘积的倒数和为定值的证明，考查动点恒在定直线上的证明，解题时要认真审题，注意函数与方程思想的灵活运用．22.已知函数f（x）的定义域为（-∞，-1）∪（1，+∞），对定义域内的任意x，满足f （x）+f（-x）=0，当x＜-1时，（a为常），且x=2是函数f（x）的一个极值点，（Ⅰ）求实数a的值；（Ⅱ）如果当x≥2时，不等式恒成立，求实数m的最大值；（Ⅲ）求证：＜．【答案】（Ⅰ）解：∵函数f（x）的定义域为（-∞，-1）∪（1，+∞），对定义域内的任意x，满足f（x）+f（-x）=0，∴f（x）为奇函数，当x＞1时，-x＜-1，∴f（x）=-f（-x）=，∴当x＞1时，f′（x）=∵x=2是函数f（x）的一个极值点，∴f′（2）==0，∴a=1；（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知，当x＞1时，f（x）=当x≥2时，不等式恒成立，等价于m≤x•，令g（x）=x•=1+，则g′（x）=，令h（x）=（x-1）-ln（x-1）（x≥2），则h′（x）=，当x＞2时，h′（x）=＞0，函数h（x）在[2，+∞）上单调递增，∴h（x）≥h（2）=1＞0，∴当x≥2时，g′（x）=＞0，∴g（x）在[2，+∞）上单调递增，∴g（x）min=g（2）=2，∴m≤2，∴实数m的最大值为2；（Ⅲ）证明：由（Ⅱ）知，当x≥2时，f（x）≥，即≥，则ln（x-1）≥1-＞1-，令x-1=，则1-=1-，∴1-＜ln；1-＜ln，…，1-＜ln，累加可得＜．【解析】（Ⅰ）先求出当x＞1时，f（x）=-f（-x）=，可得当x＞1时，f′（x）=，利用x=2是函数f（x）的一个极值点，即可求实数a的值；（Ⅱ）当x≥2时，不等式恒成立，等价于m≤x•，令g（x）=x•=1+，求出最小值，即可求实数m的最大值；（Ⅲ）由（Ⅱ）知，当x≥2时，f（x）≥，即≥，可得ln（x-1）≥1-＞1-，令x-1=，则1-=1-，进而取值累加，即可证明结论．本题考查导数知识的综合运用，考查函数的极值，考查恒成立问题，考查不等式的证明，正确分离参数求最值是关键．。
湖南省益阳市箴言中学2014届高三第三次模拟(期中)考试试题 数学(理) Word版含答案
时量：120分钟总分：150分命题：樊智能审题：杨超群,谢立荣一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，）1.已知集合{|M x y==，{}|12N x x=+≤，全集I=R，则图中阴影部分表示的集合为（）A.{}|1x x≤≤ B.{}|31x x-≤≤C.{|3x x-≤< D.{|1x x≤≤2. 已知函数1(),4,()2(1),4,x xf xf x x⎧≥⎪=⎨⎪+<⎩则2(2log3)f+的值为（）A.124B.112C.16D.133．已知3()sin4f x ax b x=-+（其中以,a b为常数且0ab≠），如果(3)5f=,则(20123)fπ-的值为（）A．－3 B．－5 C．3 D．54.设函数2()(),f xg x x=+曲线y=g(x)在点(1,(1))g处的切线方程为21y x=+，则曲线()1y f x=在点（，f(1))处切线的斜率为（）A. 4B.14- C. 2 D.12-5.定义在R上的函数)(xf的图象关于点（3,0)4-成中心对称，对任意的实数x都有3()(),2f x f x=-+且(1)1,(0)2,f f-==-则(1)(2)(3)(2014)f f f f++++的值为（）A.2-B. 1-C. 0D.16.已知1sin sin,3αβ+=则2sin cosαβ-的最大值为（）A．432 B．49C．1112-D．23-7.已知函数[]3221,0()31,(),()0468,0x xf x x xg x f x axx x x⎧+>⎪=-+=-=⎨⎪---≤⎩则方程g（a为正实数）益阳市箴言中学2014届高三第三次模拟考试理科数学试卷的根的个数不可能为（ ）A.6个B. 5个C. 4个D.3个8.对于定义域为[0,1]的函数()f x ，如果同时满足以下三个条件： ①对任意的]1,0[∈x ，总有0)(≥x f ②1)1(=f③若0,021≥≥x x ，121≤+x x ，都有)()()(2121x f x f x x f +≥+ 成立； 则称函数)(x f 为理想函数. 下面有三个命题： （1）若函数)(x f 为理想函数，则0)0(=f ； （2）函数])1,0[(12)(∈-=x x f x 是理想函数； （3）若函数)(x f 是理想函数，假定存在]1,0[0∈x ，使得]1,0[)(0∈x f ，且00)]([x x f f =， 则00)(x x f =；其中正确的命题个数有（ ）A. 0个B.1个C.2个D.3个二.填空题（本大题共7小题，每小题5分 ，共35分）9.设())(0f x ϕ=+ ＜ϕ＜),π若/()()f x f x +为奇函数，则ϕ=10.10x dx ⎤=⎦⎰11．函数y =的最大值是 ．12．已知圆O 的半径为3，从圆O 外一点A 引切线AD 和割线ABC ，圆心O 到AC 的距离为3AB =，则切线AD 的长为13.设4(0,),cos(),sin(2)26512πππααα∈+=+若则的值为_________。
湖南省益阳市箴言中学2014届高三第六次模拟考试试题数学(理)(附答案)
一、选择题(5分×8=40分)1.定义A-B={x|x ∈A,且x ∉B},若A={1,3,5,7,9},B={2,3,5},则A-B=( ) (A)A(B)B (C){1,2,7,9}(D){1,7,9}2．复数z ＝1i －1的模为( )(A)12 (B)22(C) 2 (D)2 3.若某几何体的三视图(单位:cm)如图所示, 则此几何体的体积是 ( ) (A)36 cm 3 (B)48 cm 3 (C)60 cm 3(D)72 cm 34.“a=3”是“直线ax+2y+2a=0和直线3x+(a-1)y-a+7=0平行”的 ( ) (A)充分不必要条件(B)必要不充分条件(C)充要条件(D)既不充分又不必要条件5 ．已知数列{}n a 满足12430,3n n a a a ++==-,则{}n a 的前10项和等于（ ） (A)()10613--- (B)()101139-- (C)()10313-- (D)()1031+3- 6.函数f(x)＝(x 2－1)cos 2x 在区间[0,2π]上的零点个数为( ) (A)．6 (B)．5 (C)．4 (D)．3 7.若f(x)=是(-∞,+∞)上的减函数,则a 的取值范围是( ) (A)(0,3)(B)(0,3](C)(0,2)(D)(0,2]8.设f(a)＝⎠⎛01|x 2－a 2|dx.当a ≥0时，则f(a)的最小值为( )．(A)32 (B)41 (C)31- (D)无最小值 二、填空题(5分×7=35分)9.已知曲线C 的极坐标方程是ρ＝1，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线l 的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋4t y ＝3t (t 为参数)，则直线l 与曲线C相交所截的弦长为10.f(x)=3x+sinx+1(x ∈R),若f(t)=2,则f(-t)的值为.2014年上学期第六次模拟考试理科数学试卷11.已知圆C 的圆心是双曲线141222=-x y 的上焦点,直线4x-3y-3=0与圆C 相交于A,B 两点,且|AB|=8,则圆C 的方程为 . 12．按上图所示的程序框图运算， 若输出k ＝2，则输入x 的取值范 围是________． 13．观察下图：1 2 3 4 3 4 5 6 7 4 5 6 7 8 9 10 ……则第________行的各数之和等于2 013214.已知f(x)是定义在R 上的偶函数,对任意x ∈R,都有f(x+4)=f(x)+2f(2),且f(-1)=2,则f(2013)等于15.对于函数f(x),若存在区间M=[a,b](a<b),使得{y|y=f(x),x ∈M}=M,则称区间M 为函数f(x)的一个“稳定区间”.给出以下4个函数:①f(x)=e x ;②f(x)=x 3;③f(x)=cos x;④f(x)=lnx+1.其中存在“稳定区间”的函数有 (填上所有符合要求的序号). 三、解答题16. (12分)在ABC ∆中,角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,且232coscos sin()sin cos()25A B B A B B A C ---++=-. (Ⅰ)求cos A 的值;(Ⅱ)若a =5b =,求向量BA 在BC 方向上的投影.17.(12分)已知某公司生产某品牌服装的年固定成本为10万元,每生产一千件,需要另投入2.7万元,设该公司年内共生产该品牌服装x 千件并全部销售完,每千件的销售收入为R(x)万元,且R(x)=(1)写出年利润W(万元)关于年产量x(千件)的函数关系式.(2)年生产量为多少千件时,该公司在这一品牌服装的生产中所获年利润最大?18.(12分)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直角三角形,且直线x-y+b=0是抛物线y 2=4x 的一条切线. (1)求椭圆C 的方程. (2)过点S(0,21-)且斜率为1的直线l 交椭圆C 于M,N 两点,求ΔOMN 的面积.19.(13分)如图,在直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中,AB=BC=2AA 1, ∠ABC=90°,D 是BC 的中点. (1)求证:A 1B ∥平面ADC 1. (2)求二面角C 1-AD-B 的余弦值.(3)试问线段A 1B 1上是否存在点E,使AE 与 DC 1的夹角为60°?若存在,确定E 点位置; 若不存在,说明理由.20．(13分)设数列{}n a 的前n 项和为n S .已知11a =,2121233n n S a n n n +=---,*n ∈N . (Ⅰ) 求2a 的值;(Ⅱ) 求数列{}n a 的通项公式; (Ⅲ) 证明:对一切正整数n ,有1211174n a a a +++<.21．(13分)设L 为曲线C:ln xyx=在点(1,0)处的切线. (I)求L 的方程;(II)证明:除切点(1,0)之外,曲线C 在直线L 的下方.第六次模拟考试理科数学卷参考答案1—8、DBBA ，CBDB9、85 10、0 11、x 2+(y-4)2=25 12、(28,57] 13、1007 14、2 15、②③16、解:()I 由()()232coscos sin sin cos 25A B B A B B A C ---++=-,得 ()()3cos 1cos sin sin cos 5A B B A B B B -+---=-⎡⎤⎣⎦, 即()()3cos cos sin sin 5A B B A B B ---=-, 则()3cos 5A B B -+=-,即3cos 5A =-()II 由3cos ,05A A π=-<<,得4sin 5A =,由正弦定理,有sin sin a b A B =,所以,sin sin b A B a == 由题知a b >,则A B >,故4B π=.根据余弦定理,有(22235255c c ⎛⎫=+-⨯⨯- ⎪⎝⎭,解得1c =或7c =-(舍去). 故向量BA 在BC 方向上的投影为cos BA B =17、解: (1)当0<x ≤10时,W=xR(x)-(10+2.7x)=8.1x--10; 当x>10时,W=xR(x)-(10+2.7x)=98--2.7x.∴年利润W(万元)关于年产量x(千件)的函数关系式为 W=(2)当0<x ≤10时,由W ′=8.1->0⇒0<x<9, 即年利润W 在(0,9)上增加,在(9,10)上减少, ∴当x=9时,W 取得最大值,且W max =38.6(万元). 当x>10时,W=98-(+2.7x)≤98-2=38,仅当x=1009时取“=”,综上可知,当年产量为9千件时,该公司这一品牌服装的生产中所获年利润最大,最大值为38.6万元. 18、解: (1)由⇒x 2+(2b-4)x+b 2=0.因直线x-y+b=0与抛物线y 2=4x 相切,∴Δ=(2b-4)2-4b 2=0⇒b=1.∵椭圆+=1(a>b>0)的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直角三角形,∴a=b=.故所求椭圆方程为+y 2=1.(2)由已知得直线l 的方程为y=x-,与+y 2=1联立消y 得3x 2-2x-=0. 设M(x 1,y 1),N(x 2,y 2),则x 1+x 2=,x 1·x 2=-, ∴(y 1-y 2)2=(x 1-x 2)2=(x 1+x 2)2-4x 1x 2=,∴|MN|==.又原点O 到直线l 的距离为d=221∴S ΔOMN =××221=222 19、解: (1)连接A 1C,交AC 1于点O,连接OD.由ABC-A 1B 1C 1是直三棱柱,得四边形ACC 1A 1为矩形,O 为A 1C 的中点. 又D 为BC 的中点,所以OD 为△A 1BC 的中位线.所以A 1B ∥OD. 因为OD平面ADC 1,A 1B ⊈平面ADC 1,所以A 1B ∥平面ADC 1.(2)由ABC-A 1B 1C 1是直三棱柱,且∠ABC=90°,得BA,BC,BB 1两两垂直.以BC,BA,BB 1所在直线分别为x,y,z 轴,建立如图所示的空间直角坐标系.设BA=2,则B(0,0,0),C(2,0,0),A(0,2,0),C 1(2,0,1),D(1,0,0), 所以=(1,-2,0),=(2,-2,1).设平面C 1AD 的一个法向量为n=(x,y,z),则有所以取y=1,得n=(2,1,-2).易知平面CAD 的一个法向量为v=(0,0,1).所以cos<n,v>==-.所以二面角C 1-AD-B 的余弦值余弦值为-. (3)存在点E 为A 1B 1的中点时满足条件.理由如下:假设存在满足条件的点E.因为点E 在线段A 1B 1上,A 1(0,2,1),B 1(0,0,1),故可设E(0,λ,1),其中0≤λ≤2.所以=(0,λ-2,1),=(1,0,1).因为AE 与DC 1的夹角为60°,所以|cos<,>|=||=.即=,解得λ=1或λ=3(舍去).所以当点E 为线段A 1B 1的中点时,AE 与DC 1的夹角为60°.20、解: (1) 解:2121233n n S a n n n +=---,n N *∈. ∴ 当1n =时,112212221233a S a a ==---=- 又11a =,24a ∴=(2)解: 2121233n n S a n n n +=---,n N *∈. ∴ ()()321112122333n n n n n n S na n n n na ++++=---=-① ∴当2n ≥时,()()()111213n n n n n S n a =-+=--②由① — ②,得 ()()112211n n n n S S na n a n n -+-=---+1222n n n a S S -=- ()()1211n n n a na n a n n +∴=---+111n n a a n n +∴-=+∴数列n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以首项为111a =,公差为1的等差数列. ()()2111,2nn a n n a n n n∴=+⨯-=∴=≥ 当1n =时,上式显然成立.2*,n a n n N ∴=∈ (3)证明:由(2)知,2*,n a n n N =∈ ①当1n =时,11714a =<,∴原不等式成立. ②当2n =时,121117144a a +=+<,∴原不等式亦成立.③当3n ≥时,()()()()221111,11n n n n n n >-⋅+∴<-⋅+ ()()()2221211111111111121324211n a a a n n n n n ∴+++=+++<+++++⨯⨯-⋅-⋅+ 111111111111111121322423522211n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-+-+-++-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭1111111111112132435211n n n n ⎛⎫=+-+-+-++-+- ⎪--+⎝⎭1111171117121214214n n n n ⎛⎫⎛⎫=++--=+--< ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭ ∴当3n ≥时∴原不等式亦成立.综上,对一切正整数n ,有1211174n a a a +++<. 21、解: (I)设ln ()x f x x =,则21ln ()xf x x -'=.所以(1)1f '=. 所以L 的方程为1y x =-.(II)令()1()g x x f x =--,则除切点之外,曲线C 在直线l 的下方等价于()0g x >(0,1)x x ∀>≠. ()g x 满足(1)0g =,且221ln ()1()x xg x f x x-+''=-=. 当01x <<时,210x -<,ln 0x <,所以()0g x '<,故()g x 单调递减;当1x >时,210x ->,ln 0x >,所以()0g x '>,故()g x 单调递增.所以,()(1)0g x g >=(0,1x x >≠). 所以除切点之外,曲线C 在直线L 的下方. 又解:()0g x >即ln 10xx x-->变形为2ln 0x x x -->,记2()ln h x x x x =--,则2121(21)(1)()21x x x x h x x x x x--+-'=--==,所以当01x <<时,()0h x '<,()h x 在(0,1)上单调递减;当1x >时,()0h x '>,()h x 在(1,+∞)上单调递增. 所以()(1)0h x h >=.)。
2014湖南益阳高考数学第十次模拟试卷(有答案理科)
2014湖南益阳高考数学第十次模拟试卷（有答案理科）时间：120分钟，满分150分，祝同学们考试顺利！1.已知(1)34z i i +=-+（i 为虚数单位），复数Z 的共轭复数为（ ） A.1722i + B. 7722i -+ C.1722i - D.7722i -- 2. 某篮球运动员2013年度参加了25场比赛，我从中抽取5场，用茎叶图统计该运动员5场中的得分如图所示，则该样本的方差为（ ） A.25B.24C.18D.163．已知命题R p ∈∃ϕ:，使)sin()(ϕ+=x x f 为偶函数；命题q ：函数tan y x =在,2ππ（）上单调递减，则下列命题为真命题的是( )A.p q ∧B.()p q ⌝∨C.()()p q ⌝∧⌝D. ()()p q ⌝∨⌝4. 设,x y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≥≥+-≤--0,002063y x y x y x ，若目标函数z ax by =+（0a >，0b >）的最大值为12，则ab 的取值范围是（ ）A. 3(0,]2B. 3(0,)2C. 3[,)2+∞ D. (0,)+∞5. 运行如图1的程序图，则输出s 的结果是( ) A.16 B.2524 C.34 D.11126. 三棱柱的侧棱与底面垂直，且底面是边长为2的等边三角形，其正视图（如图所示）的面积为8，则该三棱柱外接球的表面积为（ ） A. 163πB.283πC.643πD. 24π7.在矩形ABCD 中，AB ＝1，AD ＝3，P 为矩形内一点，且AP ＝32. 若AP AB AD λμ=+ (λ，μ∈R)，则λ＋3μ的最大值为 ( ) A.32 B.62 C.3＋34 D.6＋324192 1 37 3图18．设12,F F 分别是椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左、右焦点，点P 在椭圆C 上，线段1PF 的中点在y 轴上，若1230PF F ︒∠=，则椭圆C 的离心率为（ ）A ．16 B ．13 C9. 已知函数()2,01,0kx x f x nx x +≤⎧=⎨>⎩()k R ∈，若函数()y f x k =+有三个零点，则实数k 的取值范围是（ ）A. 2k ≤-B. 21k -≤<-C. 10k -<<D. 2k ≤10.定义域为[a,b]的函数()y f x =的图像上两点(,()),(,())A a f a B b f b ，(,)M x y 是()y f x =图像上任意一点，其中(1),[0,1]x a b λλλ=+-∈，已知向量(1)ON OA OB λλ=+-，若不等式MN k ≤对任意的[0,1]λ∈恒成立，则称函数()f x 在[,]a b 上的“k 阶线性近式”，若函数1y x x=-在[1,3]上“k 阶线性近似”，则实数k 的取值范围是（ ） A ．[0,)+∞ B.1[,)12+∞C.4[)33-+∞D.4[)33-++∞ 二．填空题：（一）选作题：（请在11,12,13三题中任选两题作答，如果全做按前两题计分）11.（坐标系与参数方程选做题）已知直线的极坐标方程为42sin πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则点A (2，74π)到这条直线的距离为 .12.（不等式选将选作题）已知正数x, y, z 满足x+2y+3z=1, 则xz z y y x +++++3932421的最小值为 ．13. （几何证明选讲）如图：PA 是圆O 的切线，切点为A ，PO 交圆O 于,B C 两点，且2,1,PA PB ==则AB 的长为 .（二）必做题（14～16题）14. 二项式()62ax +的展开式的第二项的系数为12，则22a x dx -=⎰15. 数列{}n a 的前n 项和为()11,1,21n n n S a a S n N *+==+∈，则n a = .16. 将含有3n 个正整数的集合M 分成元素个数相等且两两没有公共元素的三个集合A 、B 、C ，其 中12{,,,}n A a a a =，12{,,,}n B b b b =，12{,,,}n C c c c =，若A 、B 、C 中的元素满足条件：12n c c c <<<，k k k a b c +=，k =1,2，…，n ，则称M 为“完并集合”.（1）若{1,,3,4,5,6}M x =为“完并集合”，则x 的取值集合为 .（2）对于“完并集合”{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12}M =，在所有符合条件的集合C 中，其元素乘积最小的集合是 .三．解答题：本大题6个小题共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
湖南省益阳市2014届高三模拟考试数学(理)试题 含解析
第Ⅰ卷（共50分）一、选择题:本大题共10个小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1. 若,a b ∈R ，i 为虚数单位，且12i a bi i -+=，则（ ）A ．12a =- ，12b = B ．12a =- ,12b =-C ．12a = ，12b =-D ．12a = ，12b =2.已知01a <<，则2a 、2a、2log a 的大小关系是（ ）A ．2a>2a >2log aB ．2a>2a >2log a C ．2loga >2a >2aD ．2a>2log a >2a3。
执行如下图所示的程序框图,则输出的结果是 （ ）A ．6B ．8C ．10D ．154.设某几何体的三视图如下图所示，则该几何体的体积为（ ）A ．24πB ．32πC ．52πD ．96π【答案】A 【解析】试题分析：观察三视图可知，该几何体为圆柱、圆锥的组合体，底面半径均为2，圆柱高为5，圆锥高为3，，所以，该几何体的体积为正视图侧视图俯视图4352212523243πππ⨯⨯+⨯⨯=，故选A ．考点：三视图，几何体的体积。
5。
为了了解某校九年级1600名学生的体能情况，随机抽查了部分学生,测试1分钟仰卧起坐的成绩（次数），将数据整理后绘制成如图所示的频率分布直方图，根据统计图的数据,下列结论错误．．的是（ ）A ．该校九年级学生1分钟仰卧起坐的次数的中位数为26。
25次B ．该校九年级学生1分钟仰卧起坐的次数的众数为27。
5次C ．该校九年级学生1分钟仰卧起坐的次数超过30次的人数约有320人D ．该校九年级学生1分钟仰卧起坐的次数少于20次的人数约有32人15 20 25 30 35 次数频率/组距0.08 0.06 0.04 0.026。
设变量x,y 满足约束条件0024236x y x y x y ≥⎧⎪≥⎪⎨+≤⎪⎪+≤⎩，则43z x y =+的最大值是（ ）A ．7B ．8C ．9D ．10【答案】C 【解析】试题分析：画出可行域及直线430x y +=，如图所示.平移直线430x y +=，当其经过点3(,1)2A 时,max343192z=⨯+⨯=。
湖南省益阳市箴言中学2014届高三第二次模拟考试试题 数学(理) 含解析
学必求其心得，业必贵于专精时间：120分钟 满分150分命题人：谢立荣老师 审题人：杨超群老师一．选择题:（本大题共8小题，每小题5分,共40分,在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的。
）1。
设集合A ＝{x ｜1＜x ＜4}，B ＝{x |x 2－2x －3≤0｝,则A ∩(C R B ）＝（ ）A ．（1,4）B ．（3，4)C ．(1,3)D ．（1,2） 2. 已知命题p :函数2()f x x =在R 上为偶函数；命题q :函数f (x )＝x 2－x在区间［0，＋∞）上单调递增，则下列命题中为真命题的是( )A ．p ∨qB ．p ∧qC ．(┐p )∧(┐q )D ．(┐p ）∨q3。
函数⎩⎨⎧>-≤=-1,log 11,2)(21x x x x f x ,则满足2)(≤x f 的x 的取值范围是（ ）A ．1[-，2]B ．[0，2］C ．[1，+∞]D ．［0，+∞］ 4. 已知324log 0.3log 3.4log 3.617,7,,7a b c ⎛⎫=== ⎪⎝⎭则（ ）A ．a b c >>B ．b a c >>C ．a c b >>D ．c a b >>5。
设当x ∈(1，2)时，不等式(x －1）2〈log a x 恒成立，则a 的范围是 （ ）A ．(0,1）B ．(1，2)C ．(1，2］ D.错误! 6。
f (x ）是定义在R 上的奇函数，且满足f (x ＋2)＝f （x )，又当x ∈（0,1）时，f (x ）＝2x －1，则12(log 6)f 等于 （ ）．A ．－5B ．－6C ．－错误!D ．－错误!7. 设函数f （x )＝x 3＋sin x ，若0≤θ≤错误!时，f (m cos θ)＋f （1－m )〉2014届高三第二次模拟考试 理科数学试卷0恒成立，则实数m 的取值范围是 ( )A ．(0，1）B ．(－∞，0)C ．(－∞，1) D.错误! 8。
湖南省益阳市箴言中学2014届高三第一次模拟考试数学(理)试题 含解析
第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1。
若i为虚数单位，则ii -+11等于（ ）A 、iB 、i -C 、1D 、－12.已知集合{}97<-=x x M ，{}29x y x N -==，且N M ,都是全集U 的子集，则右图中阴影部分表示的集合是 ( )3.按照如图的程序框图执行,若输出结果为15，则M 处条件为（)A．16k<D．8k≥k≥B．8k<C．164。
给出下列命题：错误!向量a，b b=，则a,b的夹角为030；a=ab错误!a•b0>是〈a，b〉为锐角的充要条件；错误!将函数1-y的图象按向量)0,1(-=a平移，=x得到函数xy=的图象；错误!若)AB+•0(AC∆为等腰三角形。
AB，则ABC(=)-AC以上命题正确的个数是（）A、1个B、2个C、3个D、4个)(AC AB +•0)(=-AC AB ，则220AB AC -=，即AB AC=，故错误!正确，因此选B.考点：1.向量的运算；2.图像的平移.5。
已知某几何体的正视图和侧视图均是边长为１的正方形，则这个几何体的体积不可能是A 、21B 、4πC 、1D 、3π （ ）6。
有下列四种说法：①命题：“R x ∈∃0，使得02>-x x "的否定是“R x ∈∀，都有02≤-x x "；错误!已知随机变量x 服从正态分布),1(2σN ，79.0)4(=≤x P ,则21.0)2(=-≤x P ;错误!函数)(,1cos sin 2)(R x x x x f ∈-=图像关于直线43π=x 对称，且在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡-4,4ππ上是增函数；错误!设实数[]1,0,∈y x ，则满足：122<+y x 的概率为4π。
其中错误的个数是 ( )A 、0B 、1C 、2D 、3。
【答案】A 【解析】7。
益阳市届高三模拟考试数学试题及答案(理)
2014届益阳市高三模拟考试数学（理工农医类）第Ⅰ卷（共50分）一、选择题：本大题共10个小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 若,a b ∈R ，i 为虚数单位，且12ia bi i-+=，则（ ） A ．12a =- ，12b =B ．12a =- ，12b =-C ．12a = ，12b =-D ．12a = ，12b =2.已知01a <<，则2a 、2a、2log a 的大小关系是（ ） A ．2a>2a >2log a B ．2a >2a >2log a C ．2log a >2a >2a D ．2a >2log a >2a3.执行如下图所示的程序框图，则输出的结果是 （ ）A ．6B ．8C ．10D ．154.设某几何体的三视图如下图所示，则该几何体的体积为（ ）A ．24πB ．32πC ．52πD ．96π 【答案】A【解析】试题分析：观察三视图可知，该几何体为圆柱、圆锥的组合体，底面半径均为2，圆柱高为5，圆锥高为3，,所以，该几何体的体积为2212523243πππ⨯⨯+⨯⨯=，故选A ．考点：三视图，几何体的体积.5.为了了解某校九年级1600名学生的体能情况，随机抽查了部分学生，测试1分钟仰卧起坐的成绩（次数），将数据整理后绘制成如图所示的频率分布直方图，根据统计图的数据，下列结论错误．．的是（ ）正视图侧视图俯视图次数A ．该校九年级学生1分钟仰卧起坐的次数的中位数为26.25次B ．该校九年级学生1分钟仰卧起坐的次数的众数为27.5次C ．该校九年级学生1分钟仰卧起坐的次数超过30次的人数约有320人D ．该校九年级学生1分钟仰卧起坐的次数少于20次的人数约有32人6.设变量x ，y 满足约束条件0024236x y x y x y ≥⎧⎪≥⎪⎨+≤⎪⎪+≤⎩，则43z x y =+的最大值是（ ）A ．7B ．8C ．9D ．10【答案】C 【解析】试题分析：画出可行域及直线430x y +=，如图所示.平移直线430x y +=，当其经过点3(,1)2A 时，max 343192z =⨯+⨯=.选C .考点：简单线性规划7.下列有关命题的说法正确的是（ ）A ．命题“若21x =，则1x =”的否命题为：“若21x =，则1x ≠”． B ．“1x =-” 是“2560x x --=”的必要不充分条件. C ．命题“若x y =，则sin sin x y =”的逆否命题为真命题.D ．命题“x ∃∈R 使得210x x ++<”的否定是：“x ∀∈R 均有210x x ++<”．考点：命题及其关系，充要条件，存在性命题与全称命题.8.在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ．若s i ns i n s i n 3s i n a A b B c C a +-=．则角C 等于（ ） A ．6πB ．4πC ．3πD ．65π9.设n a 是nx )1(-的展开式中x 项的系数（ ,4,3,2=n ），若12(7)n n n a b n a ++=+，则n b 的最大值是（ ） ABC ．350D ．23310.函数()y f x =的定义域为(,1)(1,)-∞-+∞，且其图象上任一点(,)P x y 满足方程221x y -=，给出以下四个命题：①函数()y f x =是偶函数；②函数()y f x =不可能是奇函数； ③(,1)(1,)x ∃∈-∞-+∞，()x f x <；④(,1)(1,)x ∀∈-∞-+∞，()x f x >.其中真命题的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4③ ④从以上情况可以看出：①④表示偶函数，②③表示奇函数，命题①②不正确； 由图①②可知(,1)(1,)x ∃∈-∞-+∞，()x f x <，故命题③正确； 由于双曲线221x y -=的渐近线为y x =±，所以命题④正确. 故选B .考点：函数的定义，函数的奇偶性、单调性，双曲线.第Ⅱ卷（共100分）二、填空题：本大题共6小题，考生作答5小题，每小题5分 ，共25分，把答案填在答题卡中对应题号后的横线上.（一）选做题（请考生在第11、12、 13三题中任选两题作答，如果全做，则按前两题记分） 11.在直角坐标系xOy 中,曲线1C 的参数方程为2,2x t y t =-⎧⎨=⎩（t 为参数），在极坐标系 （与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点,以x 轴正半轴为极轴）中，曲线2C 的极坐标方程为4cos ρθ=,则1C 与2C 的两个交点之间的距离等于 .12.不等式|1||2|5x x -++≥的解集是 . 【答案】{|32x x x ≤-≥或}【解析】试题分析：由绝对值的几何意义，|1|,|2|x x -+分别表示数轴上点x 到点1,2-的距离，不等式|1||2|5x x -++≥的解集，就是数轴上到1,2-距离之和不小于5的x 的集合.结合数轴知所求解集为{|32x x x ≤-≥或}.考点：不等式选讲，绝对值不等式.13.如图，在Rt △ADE 中，B 是斜边AE 的中点，以AB 为直径的圆O 与边DE 相切于点C ，若 AB ＝3，则线段CD 的长为 ．（二）必做题（14～16题）14.已知向量a =(12-x ,x +2), b =(x ,1)，若//a b ，则x = . 【答案】21-=x 【解析】试题分析： 由已知．2(1)1(2)0x x x -⨯-+⋅=，解得，21-=x .考点：平面向量的坐标运算. 15.直线x y 31=与抛物线2y x x =-所围图形的面积等于 .16.设集合P ={1，2，3，4，5},对任意P k ∈和正整数m ，记∑=++=51]11[),(i i k mk m f ，其中，][a 表示不大于a 的最大整数，则)2,2(f = ，若19),(=k m f ，则=k m .【答案】7，64.【解析】试题分析：由已知，)2,2(f =]632[]532[]432[]332[]232[++++=221117++++=；观察可知，当k 一定时，∑=++=51]11[),(i i k mk m f 随m 的增大而增大，进一步考察如下：)2,3(f =]633[]533[]433[]333[]233[++++=3322212++++=； (4,2)f =]634[]534[]434[]334[]234[++++=4433317++++=； (5,2)f =]635[]535[]435[]335[]235[++++=6543321++++=； 当m 一定时，∑=++=51]11[),(i i k mk m f 随k 的增大而增大，进一步考察如下：(4,3)f =++++=5443319++++=； 故=km 64，综上知，答案为7，64. 考点：新定义，取整函数.三、解答题 （本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.（本小题满分12分）（本小题满分12分）已知函数()cos sin(2)2f x x x x π=--，x ∈R ．（Ⅰ）求()f x 的最小值，并求出相应的x 值的集合； （Ⅱ）求()f x 的单调递减区间．（Ⅱ）由3222()262k x k k Z πππππ+≤-≤+∈得 5,36k x k k Z ππππ+≤≤+∈ 所以函数()f x 的单调递减区间为5[,],36k k k Z ππππ++∈． （12分） 考点：和差倍半的三角函数，三角函数的性质.18.（本小题满分12分）甲、乙、丙三名音乐爱好者参加某电视台举办的演唱技能海选活动，在本次海选中有合格和不合格两个等级．若海选合格记1分，海选不合格记0分．假设甲、乙、丙海选合格的概率分别为231,,342，他们海选合格与不合格是相互独立的．（Ⅰ）求在这次海选中，这三名音乐爱好者至少有一名海选合格的概率；（Ⅱ）记在这次海选中，甲、乙、丙三名音乐爱好者所得分之和为随机变量ξ,求随机变量ξ的分布列和数学期望E ξ．（Ⅱ）注意到ξ的所有可能取值为0, 1, 2, 3．利用独立事件概率的计算、互斥事件概率的计算得ξ的分布列，应用数学期望计算公式可得161162301232424242412E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=． 试题解析：（Ⅰ）记“甲海选合格”为事件Ａ，“乙海选合格”为事件Ｂ，“丙海选合格”为事件Ｃ，“甲、乙、丙至少有一名海选合格”为事件Ｅ．则19.（本题满分12分）如图，在三棱锥C ABD -中，AC CB ⊥,AC CB =,E 为AB 的中点，2AD DE EC ===,CD=（Ⅰ）求证：平面ABC ⊥平面ABD ；（Ⅱ）求直线BD 与平面CAD 所成角的正弦值．【答案】（I ）见解析；（II）7. 【解析】试题分析：（Ⅰ）欲证面面垂直，应先证线线垂直、线面垂直.注意到在CDE ∆中的边长关系，应用勾股定理逆定理可得CDE ∆为直角三角形，CE DE ⊥．又,AC BC AC BC ⊥=，且E 是AB 的中点，可得CE AB ⊥，从而证得CE ⊥平面ABD ，即证得平面ABC ⊥平面ABD ．DABCE又AB DE E =I ，CE ∴⊥平面ABD又CE ⊂面ABC∴平面ABC ⊥平面ABD ．（6分） （Ⅱ）以E 点为坐标原点，建立如图 所示直角坐标系，则(0,0,2),(0,2,0),C B (0,2,0),1,0)A D --，(3,0),(0,2,2),(,2)DB AC DC ===u u u r u u u r u u u r． 设平面ACD 的法向量为(,,)n x y z =r，则有20.（本小题满分13分）科学研究证实，二氧化碳等温室气体的排放（简称碳排放）对全球气候和生态环境产生了负面影响.环境部门对A 市每年的碳排放总量规定不能超过550万吨，否则将采取紧急限排措施.已知A 市2013年的碳排放总量为400万吨，通过技术改造和倡导低碳生活等措施，此后每年的碳排放量比上一年的碳排放总量减少10%．同时，因经济发展和人口增加等因素，每年又新增加碳排放量m 万吨（m>0）. （Ⅰ）求A 市2015年的碳排放总量(用含m 的式子表示)； （Ⅱ）若A 市永远不需要采取紧急限排措施，求m 的取值范围.124000.90.90.90.9n n n n a m m m m --=⨯+++⋅⋅⋅+ (40010)0.910n m m =-⋅+.由已知有*,550n n N a ∀∈≤. 注意分三种情况加以讨论：（1）当400100m -=即40m =时；（1）当400100m -=即40m =时,显然满足题意； （2）当400100m ->即40m <时，由指数函数的性质可得:(40010)0.910550m m -⨯+≤，解得190m ≤. 综合得40m <；（3）当400100m -<即40m >时，由指数函数的性质可得:10550m ≤，解得55m ≤,综合得4055m <≤. 综上可得所求范围是(0,55]m ∈.（13分）考点：函数应用问题，等比数列的求和，指数函数的性质，分类讨论思想.21.（本小题满分13分）已知椭圆2222:1x y C a b+=(0a b >>)的短轴长为2，离心率为M （2,0）的直线l 与椭圆C 相交于A 、B 两点,O 为坐标原点. （Ⅰ）求椭圆C 的方程； （Ⅱ）求OA OB ⋅的取值范围；（Ⅲ）若B 点关于x 轴的对称点是N ，证明：直线AN 恒过一定点.故方程为2212x y +=. （3分）（Ⅱ）设l ：(2)y k x =-，与椭圆C 的方程联立,消去y 得2222(12)8820k x k x k +-+-=. 由△＞0得2102k ≤<. 设1122(,),(,)A x y B x y ,则222212122881212,kk kkx x x x -+++==.∴1212OA OB x x y y ⋅=+22.（本小题满分13分）已知函数x a x x f ln 21)(2+=，x a x g )1()(+=． （Ⅰ）若直线)(x g y =恰好为曲线)(x f y =的切线时，求实数a 的值；（Ⅱ）当ex 1[∈，]e 时（其中无理数 71828.2=e ），)()(x g x f ≤恒成立，试确定实数a 的取值范围．【答案】（Ⅰ）21-=a .（Ⅱ）实数a 的取值范围是[），∞+--)1(222e ee ． 【解析】试题分析：（Ⅰ）切点处的导函数值，为切线的斜率.因此，设切点为)0(),000>x y x P （，可得⎩⎨⎧+=+='000)1()(1)(x a x f a x f ，即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=++=+)2()1(ln 21)1(1002000x a x a x a x a x ， 由（1）解得10=x 或a x =0.分别代人（2）讨论得到21-=a . （Ⅱ）由)()(x g x f ≤得：x x x x a -≥-221)ln ( （4），（Ⅱ）由)()(x g x f ≤得：x x x x a -≥-221)ln ( （4）， 由xx x x 1)ln (-='-知：x x ln -在（0,1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增， 所以, x x ln -的最小值为011ln 1>=-，所以不等式（4）可化为：xx x x a ln 212--≥； （8分）设xx x x x t ln 21)(2--=，e x 1[∈，]e ，222)ln ()ln 121)(1()ln ()21)(11()ln )(1()(x x x x x x x x x x x x x x t --+-=------=' 当1(∈x ，]e 时，0ln 121)(,01>-+I >-x x x 知由，所以0)(>'x t ； 当ex 1[∈，1）时，0ln 121)(,01>-+I <-x x x 知由，所以0)(<'x t ；所以)(x t 在]1,1[e上单调递减，在[1，e ]上单调递增,所以)}(),1(max{)(e t e t x t =最大值，又)1(221)1(+-=e e e e t ，)1(22)(2--=e ee e t ，)1)(1(21)3()()1(23-+-++-=-e e e e e e e t e t ，又 718.2=e ，所以0323<++-e e ， 所以，)1(22)()(2--==e ee e t x t 最大值， 所以，当e x 1[∈，]e 时，)()(x g x f ≤恒成立时实数a 的取值范围是[），∞+--)1(222e ee ．（13分）备注：解答题的其它解法可相应给分。
湖南省益阳市2014届高三下学期模拟考试 理科综合 Word版含答案.pdf
B．德国天文学家普勒对他导师第谷观测的行星数据进行了多年研究，得出了万有引力定律
C．电荷间的相互作用，磁体间相互作用，本质上是同一种相互作用的不同表现
D．安培发现了电流的磁效应，法拉第发现了电磁感应现象
15．随着人们生活水平的提高，高尔夫球将逐渐成为普通人的休闲娱乐。如图所示，某人从高出水平地面h的坡上
D．恒星“Glicsc581”的密度是地球的倍
18．如图所示，在互相垂直的匀强电场和匀强磁场中，电荷量为q的液滴在竖直面内做半径为R的匀速圆周运动．已
知电场强度为E，磁感应强度为B，则液滴的质量和环绕速度分别为
A．，B．，C．B ， D．，19．如图所示，理想变压器原线圈接有交流电源，当副线圈上的滑片P处于图示位置时
激光笔分别照射两种物质，从侧面观察是否出现光亮的通路。C检验酒精中是否含有水取少量酒精加入无水硫酸铜D鉴别
苯、环已烯和已烷加入酸性高锰酸钾溶液选择题：本题共小题，每小题6分，共8分。在每小题给出的四个选项中，只有
。14．物理学是一门实验科学，也是一门崇尚理性重视逻辑的科学，以下说法正确的是
A．牛顿在前人研究基础上总结出万有引力定律，并第一个测出引力常数为G
绝密 ★ 启用前 注意事项： 1．．3．选择题：本题共13小题，每小题6分，共78分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 。1．下列有关细胞结构和功能的叙述正确的是 A．能将无机物转化成有机物的生物细胞一定含有核糖体 B．神经细胞轴突末梢突起释放神经递质C．细胞间进行信息交流时依赖于细胞膜上的特异性受体 D．效应T细胞与癌变细胞密切接触可导致癌变细胞坏死并裂解 2．下列叙述正确的是 A．若图甲为有丝分裂过程中的某时期，则赤道板存在于上一时期的细胞中 B．若图乙表示有丝分裂过程中的某阶段，则该阶段发生染色体着丝点分裂 C．若图乙表示减数分裂过程中的某阶段，则等位基因的分离可发生在这一阶段 D．若图丙表示某动物精巢内的几种细胞，则b组细胞出现四分体 3．赤霉菌产生的赤霉素使水稻患恶苗病，患病植株比正常植株高50％以上。下列有关叙述正确的是 A．据题分析可知，赤霉素属于植物激素 B．赤霉菌和其他微生物对不同矿质元素的吸收量都相同 C．植物体内合成赤霉素的主要部位是根冠、叶片、成熟的种子 D．植物体内赤霉素的合成受基因组调节控制，还受光照等因素的影响 4．下列说法正确的是 A．观察质壁分离与复原的紫色洋葱表皮细胞也可用于观察细胞有丝分裂 B．观察DNA和RNA在细胞中分布的实验不需要水浴 C．探究酵母菌呼吸方式时，可用溴麝香草酚蓝水溶液来检测CO2产生情况 D．孟德尔运用假说演绎法证明了“基因在染色体上”这一假说 5．下列有关生物进化和变异的叙述正确的是 A．共同进化都是通过物种之间的生存斗争实现的 B．基因的自由组合和染色体数目改变均不会引起DNA碱基序列的改变 C．二倍体与四倍体杂交可产生三倍体，说明二者之间无生殖隔离 D．体细胞的基因突变都不能遗传给后代 6．对下列相关解释，正确的是 A．甲图所示植物的光合作用和呼吸作用的最适温度相同 B．乙图所示n点后影响矿质元素吸收速率的主要因素是土壤溶液离子浓度 C．图丙中m点所对应浓度对芽的生长既不促进也不抑制 D．图丁k点表示酶的最适宜温度，动物体内的酶最适宜温度差别最大 7．下列叙述中不正确的是 A．B．导电塑料是应用于电子工业的一种新型有机高分子材料C．、．8．莽草酸的结构简式如下图所示，可用来合 成药物达菲，下列关于莽草酸的说法错误的是 A．分子式为C7H10O5 B．分子中含有两种官能团 C．既可发生加成又可发生取代反应 D．能够使酸性高锰酸钾溶液和溴水褪色 9．W、X、Y、Z四种短周期元素在元素周期表中的相对位置如图所示，W的气态氢化物可与其最高价含氧酸反应生成 离子化合物，下列结论正确的是 WXYZA．X、Y、Z中最简单氢化物稳定性最弱的是Z B．Z元素氧化物对应水化物的酸性一定强于Y C．Z元素单质在化学反应中只表现氧化性 D．X、Y、Z元素形成的单核阴离子还原性最强的是Y 10．设NA为阿伏加德罗常数的值，下列叙述正确的是 ①常温常压下，18g14CH4所含中子数目为8 NA ②1L0.1mol·L－1的氨水中有NA个NH4+ ③1mol Na2O2中含有NA个阴离子 ④1L1mol·L－1NaClO 溶液中含有ClO－的数目为NA
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绝密 ★ 启用前本试卷包括选择题、填空题和解答题三部分，共5页，时量120分钟，满分150分 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．若,a b ∈R ，i 为虚数单位，且12ia bi i-+=，则A ．12a =- ，12b =B ．12a =- ，12b =-C ．12a = ，12b =-D ．12a = ，12b =2．已知01a <<，则2a 、2a、2log a 的大小关系是A ．2a >2a >2log aB ．2a >2a >2log aC ．2log a >2a >2a D ．2a >2log a >2a 3．执行如下图所示的程序框图，则输出的结果是 A ．6 B ．8 C ．10 D ．154．设某几何体的三视图如下图所示，则该几何体的体积为 A ．24π B ．32π C ．52π D ．96π正视图 侧视图 俯视图 2014届益阳市高三模拟考试数学（理工农医类）5．为了了解某校九年级1600名学生的体能情况，随机抽查了部分学生，测试1分钟仰卧起坐的成绩（次数），将数据整理后绘制成如图所示的频率分布直方图，根据统计图的数据，下列结论错误．．的是 A ．该校九年级学生1分钟仰卧起坐的次数的中位数为26.25次B ．该校九年级学生1分钟仰卧起坐的次数的众数 为27.5次C ．该校九年级学生1分钟仰卧起坐的次数超过30次的人数约有320人D ．该校九年级学生1分钟仰卧起坐的次数少于20次的人数约有32人6．设变量x ，y 满足约束条件0024236x y x y x y ≥⎧⎪≥⎪⎨+≤⎪⎪+≤⎩，则43z x y =+的最大值是A ．7B ．8C ．9D ．10 7．下列有关命题的说法正确的是A ．命题“若21x =，则1x =”的否命题为：“若21x =，则1x ≠”．B ．“1x =-” 是“2560x x --=”的必要不充分条件. C ．命题“若x y =，则sin sin x y =”的逆否命题为真命题.D ．命题“x ∃∈R 使得210x x ++<”的否定是：“x ∀∈R 均有210x x ++<”．8．在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ．若s i n s i n s i n 3s i n a A b B c C a +-=．则角C 等于 A ．6π B ．4π C ．3π D ．65π 9．设n a 是n x )1(-的展开式中x 项的系数（ ,4,3,2=n ），若12(7)n n n a b n a ++=+，则n b 的最大值是A．925- BC ．350D ．23310．函数()y f x =的定义域为(,1)(1,)-∞-+∞ ，且其图象上任一点(,)P x y 满足方程221x y -=，给出以下四个命题：①函数()y f x =是偶函数；②函数()y f x =不可能是奇函数；③(,1)(1,)x ∃∈-∞-+∞ ，()x f x <；④(,1)(1,)x ∀∈-∞-+∞ ，()x f x >.其中真命题的个数是A ．1B ．2C ．3D ．4二、填空题：本大题共6小题，考生作答5小题，每小题5分 ，共25分，把答案填在答题卡中对应题号后的横线上.次数（一）选做题（请考生在第11、12、 13三题中任选两题作答，如果全做，则按前两题记分）11．在直角坐标系xOy 中,曲线1C 的参数方程为2,2x t y t =-⎧⎨=⎩（t 为参数），在极坐标系 （与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点,以x 轴正半轴为极轴）中，曲线2C 的极坐标方程为4cos ρθ=,则1C 与2C 的两个交点之间的距离等于 . 12．不等式|1||2|5x x -++≥的解集是 .13．如图，在Rt △ADE 中，B 是斜边AE 的中点，以AB 为直径的圆O 与边DE 相切于点C ，若 AB ＝3，则线段CD 的长为 ．（二）必做题（14～16题）14．已知向量a =(12-x ,x +2), b =(x ,1)，若a ∥b ，则x = . 15．直线x y 31=与抛物线2y x x =-所围图形的面积等于 . 16．设集合P ={1，2，3，4，5},对任意P k ∈和正整数m ，记∑=++=51]11[),(i i k mk m f ，其中，][a 表示不大于a 的最大整数，则)2,2(f = ，若19),(=k m f ，则=k m .三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.（本小题满分12分）已知函数()cos sin(2)2f x x x x π=--，x ∈R ．（Ⅰ）求()f x 的最小值，并求出相应的x 值的集合； （Ⅱ）求()f x 的单调递减区间．18．（本小题满分12分）甲、乙、丙三名音乐爱好者参加某电视台举办的演唱技能海选活动，在本次海选中有合格和不合格两个等级．若海选合格记1分，海选不合格记0分．假设甲、乙、丙海选合格的概率分别为231,,342，他们海选合格与不合格是相互独立的．（Ⅰ）求在这次海选中，这三名音乐爱好者至少有一名海选合格的概率；（Ⅱ）记在这次海选中，甲、乙、丙三名音乐爱好者所得分之和为随机变量ξ,求随机变量ξ的分布列和数学期望E ξ．如图，在三棱锥C A B D -中，A C C B ⊥,AC CB =,E 为AB 的中点，2A D D E E C ===,CD=（Ⅰ）求证：平面ABC ⊥平面；（Ⅱ）求直线BD 与平面CAD 所成角的正弦值． 20．（本小题满分13分）科学研究证实，二氧化碳等温室气体的排放（简称碳排放）对全球气候和生态环境产生了负面影响.环境部门对A 市每年的碳排放总量规定不能超过550万吨，否则将采取紧急限排措施.已知A 市2013年的碳排放总量为400万吨，通过技术改造和倡导低碳生活等措施，此后每年的碳排放量比上一年的碳排放总量减少10%．同时，因经济发展和人口增加等因素，每年又新增加碳排放量m 万吨（m >0）. （Ⅰ）求A 市2015年的碳排放总量(用含m 的式子表示)； （Ⅱ）若A 市永远不需要采取紧急限排措施，求m 的取值范围.21．（本小题满分13分）已知椭圆2222:1x y C a b+=(0a b >>)的短轴长为2，离心率为2．过点M （2,0）的直线l 与椭圆C 相交于A 、B 两点,O 为坐标原点. （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）求OA OB ⋅的取值范围；（Ⅲ）若B 点关于x 轴的对称点是N ，证明：直线AN 恒过一定点.DABCE已知函数x a x x f ln 21)(2+=，x a x g )1()(+=． （Ⅰ）若直线)(x g y =恰好为曲线)(x f y =的切线时，求实数a 的值；（Ⅱ）当ex 1[∈，]e 时（其中无理数 71828.2=e ），)()(x g x f ≤恒成立，试确定实数a 的取值范围．2014届益阳市高三模拟考试参考答案数学（理工农医类）本试题卷包括选择题、填空题和解答题三部分，共5页．时量120分钟，满分150分． 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．B 2．B 3．C 4．A 5．D 6．C 7．C 8．A 9．D 10．B二、填空题： 本大题共6小题，考生作答5小题，每小题5分 ，共25分，把答案填在答题卡中对应题号后的横线上.（一）选做题（请考生在第11、12、 13三题中任选两题作答，如果全做，则按前两题记分）11．4 12．{|32x x x ≤-≥或} 13 （二）必做题（14～16题）14. 21-=x 15．814 16．7，64（提示：利用(,)f m k 的单调性进行估算验证确定）三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.（本小题满分12分）解:（Ⅰ）()cos sin(2)2cos 22f x x x x x x π=--=-2sin(2)6x π=-.（6分）所以函数()f x 的最小值为2-, 此时x 满足22,()62x k k Z πππ-=-∈,即相应的x 的取值的集合为{|,}6x x k k Z ππ=-∈.（9分）（Ⅱ）由3222()262k x k k Z πππππ+≤-≤+∈得 5,36k x k k Z ππππ+≤≤+∈所以函数()f x 的单调递减区间为5[,],36k k k Z ππππ++∈． （12分）18.（本小题满分12分）解:（Ⅰ）记“甲海选合格”为事件Ａ，“乙海选合格”为事件Ｂ，“丙海选合格”为事件Ｃ，“甲、乙、丙至少有一名海选合格”为事件Ｅ．则11123()1()134224P E P ABC =-=-⨯⨯=． （4分）（Ⅱ）ξ的所有可能取值为0, 1, 2, 3．1(0)()24P P ABC ξ===； 6(1)()()()24P P ABC P ABC P ABC ξ==++=； 11(2)()()()24P P ABC P ABC P ABC ξ==++=； 6(3)()24P P ABC ξ===． 所以ξ的分布列为01232424242412E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=． （12分）19.（本小题满分12分）解：（Ⅰ）证明：在CDE ∆中，2CD DE EC ===，222222228,8DE EC CD ∴+=+===，222CD DE EC ∴=+， 则CDE ∆为直角三角形， 所以，CE DE ⊥．又由已知,AC BC AC BC ⊥=，且E 是AB 的中点，可得CE AB ⊥ 又AB DE E =I ， CE ∴⊥平面ABD 又CE ⊂面ABC∴平面ABC ⊥平面ABD ．（6分） （Ⅱ）以E 点为坐标原点，建立如图所示直角坐标系，则(0,0,2),(0,2,0),C B (0,2,0),1,0)A D --，(3,0),(0,2,2),(2)DB AC DC ===uu u r uuu r uuu r．设平面ACD 的法向量为(,,)n x y z =r，则有 0,0,n DC n AC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩r uuu r r uuur 即20,220y z y z ⎧++=⎪⎨+=⎪⎩ 解得：,z y z ==-，所以，平面ACD的一个法向量为(1,n =r，cos 7||||DB n n DB DB n ⋅<⋅>===-⋅uu u r rr uu u r uu u r r ，故直线DB 与平面ADE（12分）20.（本小题满分13分）解：设2014年的碳排放总量为1a ，2015年的碳排放总量为2a ，…（Ⅰ）由已知，14000.9a m =⨯+,220.9(4000.9)4000.90.9a m m m m =⨯⨯++=⨯++=324 1.9m +. （3分）（Ⅱ）230.9(4000.90.9)a m m m =⨯⨯+++324000.90.90.9m m m =⨯+++,…124000.90.90.90.9n n n n a m m m m --=⨯+++⋅⋅⋅+10.94000.94000.910(10.9)10.9nnn n m m -=⨯+=⋅+--(40010)0.910n m m =-⋅+. （7分） 由已知有*,550n n N a ∀∈≤（1）当400100m -=即40m =时,显然满足题意； （2）当400100m ->即40m <时，由指数函数的性质可得:(40010)0.910550m m -⨯+≤，解得190m ≤. 综合得40m <；（3）当400100m -<即40m >时，由指数函数的性质可得:10550m ≤，解得55m ≤,综合得4055m <≤. 综上可得所求范围是(0,55]m ∈. （13分）21.（本小题满分13分）解：（Ⅰ）易知1b =，2cae ==得2222222a c a b ==-,故22a =.故方程为2212x y +=. （3分）（Ⅱ）证明：设l ：(2)y k x =-，与椭圆C 的方程联立,消去y 得2222(12)8820k x k x k +-+-=. 由△＞0得2102k ≤<. 设1122(,),(,)A x y B x y ,则222212122881212,kk k kx x x x -+++==. ∴1212OA OB x x y y ⋅=+222212121212(2)(2)(1)2()4x x k x x k x x k x x k =+--=+-++=222102751212k k k-=-++2102k ≤<，∴2777212k <≤+， 故所求范围是3[2,)2-.（8分）（Ⅲ）由对称性可知N 22(,)x y -，定点在x 轴上.直线AN ：121112()y y y y x x x x +-=--，令0y =得:22112122112121121212242416161212812()22()14k kk k kky x x x y x y x x x x x x y y y y x x ---+++-+-+=-====+++-, ∴直线l 过定点(1,0).（13分）22.（本小题满分13分）解：（Ⅰ）设切点为)0(),000>x y x P （，由题意得：⎩⎨⎧+=+='000)1()(1)(x a x f a x f ，即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=++=+)2()1(ln 21)1(1002000x a x a x a x a x ， 由（1）解得10=x 或a x =0. （4分）将10=x 代入（2）得：21-=a .将a x =0代入（2）得：12ln +=aa （3），设x x x h ln )12()(-+=，则xx x h 22)(-='，所以)(x h 在（0,2）上单调递减，在（2，+∞）上单调递增，02ln 2)2()(>-==h x h 最小值，所以方程（3）无实数解。