第七讲 完全平方公式及其应用
完全平方公式
完全平方公式在代数学中，完全平方公式是一种特殊的二次多项式的因式分解方法。
它可用于将一个二次多项式表示为两个平方形式的因子相乘之积，并进一步简化求解过程。
完全平方公式的一般形式为：(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2这个公式表示，当我们将两个数相加，然后求它们的平方时，结果等于两个数的平方与它们的乘积的两倍之和。
为了更好地理解完全平方公式，我们将通过一些例子来演示它的应用。
例1：将二次多项式x^2+6x+9用完全平方公式进行因式分解。
根据完全平方公式，我们可以将该二次多项式表示为两个平方相加的形式。
首先，我们将二次项和常数项分别开平方，并将它们代入完全平方公式中：x^2+6x+9=(x+3)^2通过这个因式分解，我们可以看到(x+3)^2中的两个因子相同，即(x+3)。
这个结果告诉我们原始的二次多项式可以表示成两个相同的因子相乘。
例2：将二次多项式4x^2+12x+9用完全平方公式进行因式分解。
与例1类似，我们首先将二次项和常数项分别开平方，并代入完全平方公式中：4x^2+12x+9=(2x+3)^2这个因式分解告诉我们原始的二次多项式可以表示为(2x+3)^2的形式。
除了用完全平方公式进行因式分解，我们还可以通过完全平方公式求解二次方程。
例3：求解二次方程x^2+4x+3=0。
首先，我们将二次方程的表达式转化为完全平方的形式：x^2+4x+3=(x+2)^2-1通过将二次项和常数项开平方并代入完全平方公式，我们得到了一个新的方程：(x+2)^2-1=0。
接下来，我们将这个新方程转化为平方根的形式：(x+2)^2-1=0(x+2)^2=1x+2=±√1解这个方程，我们得到两个解：x+2=1或x+2=-1x=-1或x=-3因此，原始的二次方程有两个解：x=-1和x=-3通过以上示例，我们可以看到完全平方公式在因式分解和求解二次方程中的重要性。
它不仅可以简化求解过程，还能帮助我们理解二次多项式的性质。
完全平方公式教学课件
05
完全平方公式总结与展望
公式总结
完全平方公式的推导过程
通过完全平方公式，我们可以轻松计算土地面积。
详细描述
在农村或城市，土地的面积往往需要计算。完全平方公式可以用于计算土地的面积，特别是当土地形状不规则时。 我们可以通过将土地划分为多个小块，然后对每个小块进行面积计算，最后将所有小块的面积加起来得到总面积。
案例二：投资组合优化
总结词
完全平方公式可以帮助我们找到最佳的投资组合。
公式变形
平方差公式：完全平方公式可以推广 到平方差公式，用于解决两个数平方 差的计算问题。
平方差公式
应用范围：完全平方公式可以广泛应 用于代数、几何等领域，是数学中非 常重要的公式之一。
应用范围
复杂表达式的分解
完全平方公式的应用
通过完全平方公式的变形及应 用，可以将复杂表达式转化为 简单形式，便于计算。
完全平方公式教学课 件
01
引言
教学内容和目 标
内容
完全平方公式的推导过程、公式 应用、实例解析
目标
理解完全平方公式的意义和应用， 掌握公式推导方法，能够灵活运 用公式解决数学问题
教学重点与难点
重点
完全平方公式的推导过程和公式应用
难点
如何从完全平方公式的推导过程中理解公式的意义，并能够灵活运用公式解决 各种数学问题
进一步学习建议
学习建议
学生可以通过多做练习题，加深对完 全平方公式的理解，同时可以尝试使 用完全平方公式解决一些实际问题。
完全平方公式ppt课件
=-5x+7.
2
5.(2023 凉山)先化简,再求值:(2x+y) -(2x+y)(2x-y)-2y(x+y),其中
x=( )
2 023
,y=2
2 022
.
2
解:(2x+y) -(2x+y)(2x-y)-2y(x+y)
2
2
2
2
2
=4x +4xy+y -4x +y -2xy-2y
解:因为a-b=-4,ab=3,
所以a2+b2=(a-b)2+2ab=16+2×3=22.
所以(a+b)2=a2+b2+2ab=22+6=28,
所以a2+b2的值为22,(a+b)2的值为28.
.
完全平方公式的实际应用
[例3] 如图所示,在边长为m+4的正方形纸片上剪出一个边长为m的小
正方形后,将剩余部分剪拼成一个长方形(不重叠无缝隙),若这个长方
灵活应用完全平方公式的变形,可求相关代数式的值,主要的变形有
(1)(a+b)2-2ab=a2+b2;
2
2
2
(2)ab= [(a+b) -(a +b )];
(3)(a+b)2-(a-b)2=4ab.
新知应用
1.若(x+2y)2=(x-2y)2+A,则A表示的式子为 8xy
2.已知a-b=-4,ab=3.求a2+b2与(a+b)2的值.
=x2-(y+1)2
完全平方公式的深入理解与应用
完全平方公式的深入理解与应用完全平方公式是初中数学中重要的内容之一，对于学生来说，充分理解并灵活运用完全平方公式是提高解题效率和准确性的关键。
本文旨在通过深入探讨完全平方公式的概念、推导过程及应用技巧，帮助学生更好地掌握这一数学工具。
1. 完全平方的定义首先，我们来回顾一下完全平方的定义。
所谓完全平方，是指一个数等于某个数的平方，即能找到一个整数使得这个数等于这个整数的平方。
比如，4就是一个完全平方，因为4=2²。
在代数表达中，完全平方有一个明确的表达形式：(a + b)² = a² + 2ab + b²。
这个表达形式就是完全平方公式，也是我们接下来要深入探讨的内容。
2. 完全平方公式的推导完全平方公式的推导是很多学生难以理解的地方，但只要掌握了一些技巧，就能轻松完成。
这里，我们以(a + b)² = a² + 2ab + b²这个完全平方为例进行推导。
首先，我们将(a + b)²展开得到：(a + b)² = (a + b)(a + b) = a(a + b) + b(a + b)。
接着，我们分别将两部分进行展开计算：a(a + b) = a² + ab，b(a + b) = ab + b²。
最后，将两部分相加得到(a + b)² = a² + 2ab + b²。
通过以上推导过程，我们可以清晰地看到完全平方公式的由来，也更加深入地理解了这一公式的含义及应用。
3. 完全平方公式的应用完全平方公式在数学中有许多应用，其中包括解方程、化简表达式、证明等等。
下面，我们以解方程为例，简要说明完全平方公式的应用技巧。
当我们遇到形如 x² + 6x + 9 = 0 的方程时，可以利用完全平方公式求解。
首先，我们发现9可以写成3²，也就是(x + 3)² = 0。
完全平方公式(完整知识点)
完全平方公式(完整知识点)完全平方公式完全平方公式即(a±b)²=a²±2ab+b²该公式是进行代数运算与变形的重要的知识基础，是因式分解中常用到的公式。
该知识点重点是对完全平方公式的熟记及应用。
难点是对公式特征的理解(如对公式中积的一次项系数的理解）。
必须注意的：①漏下了一次项②混淆公式（与平方差公式）③运算结果中符号错误④变式应用难于掌握。
学会用文字概述公式的含义:两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们的积的2倍。
叫做完全平方公式．为了区别，我们把前者叫做两数和的完全平方公式，后者叫做两数差的完全平方公式。
这两个公式的结构特征：1、左边是两个相同的二项式相乘，右边是三项式，是左边二项式中两项的平方和，加上或减去这两项乘积的2倍；2、左边两项符号相同时，右侧各项全用“+”号毗连；左边两项符号相反时，右侧平方项用“+”号毗连后再“-”两项乘积的2倍（注：这里说项时未包括其符号在内）.完全平方公式口诀前平方，后平方，二倍乘积在中心。
同号加、异号减，符号添在异号前。
（可以背下来）即(a+b)2=a2+2ab+b2(a-b)2=a2-2ab+b2（注意：后面一定是加号）公式变形（题）变形的方法（一）、变符号：例1：应用完全平方公式计较：（1）(-4x+3y)2（2）(-a-b)2阐发：本例改变了公式中a、b的符号，以第二小题为例，处理该问题最简朴的方法是将这个式子中的(-a)看成原来公式中的a，将(-b)看成原来公式中的b，即可直接套用公式计较。
解答：(1)原式=16x2-24xy+9y2(2)原式=a2+2ab+b2（二）、变项数：例2：计算：(3a+2b+c)2分析：完全平方公式的左边是两个相同的二项式相乘，而本例中出现了三项，故应考虑将其中两项结合运用整体思想看成一项，从而化解矛盾。
所以在运用公式时，(3a+2b+c)2可先变形为[(3a+2b)+c]2，直接套用公式计算。
完全平方公式讲解
完全平方公式讲解完全平方公式是一种求解二次方程的方法，通常用于解决含有未知数的平方项和一次项的方程。
这个公式的公式表达形式为：$$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$$完全平方公式在数学中具有广泛的应用，可以用来解决一元二次方程、分解因式、证明等问题。
首先，我们可以考虑一个特殊的二次多项式：$$(x+a)^2$$这里，a 是一个常数。
根据分配律，我们可以展开该二次多项式：$$(x+a)(x+a)=x^2+ax+ax+a^2$$合并相同项得到：$$x^2+2ax+a^2$$我们可以观察到，这个二次多项式中的平方项（$x^2$）和常数项（$a^2$）是完全平方的结构。
而一次项的系数项（$2ax$）是两个a的乘积的两倍。
这就是所谓的完全平方。
根据以上的推导，我们得出了完全平方的一般形式。
接下来，我们将利用完全平方公式来解决一元二次方程的问题。
对于一元二次方程$$ax^2+bx+c=0$$其中a、b、c是已知实数常数。
我们将该方程两边移项，并利用一种变形技巧，将方程转化为完全平方的形式。
具体步骤如下：1. 将方程两边移项，使等式右边等于0，得到$$ax^2+bx=-c$$2.对于方程的左边，我们将其利用完全平方公式进行变形。
如果我们能找到一个常数k，使得左边可以变为$(x+k)^2$的形式，那么我们就可以利用完全平方公式直接求解。
3. 考虑到$(x+k)^2=x^2+2kx+k^2$，我们可以发现，当$b=2k$时，方程的左边可以写成完全平方形式。
4. 所以，我们可以得到方程$$ax^2+2kx+k^2=-c$$5.然而，我们不能直接将方程的右边变为k的平方形式，因为我们无法确切地知道k的值。
所以，我们需要做一个额外的变形。
6. 我们可以再次考虑方程的两边，得到$$ax^2+2kx+k^2+c=0$$7.现在，我们成功地将方程转化为一个完全平方的形式。
进一步观察，我们可以发现，左边的二次项是$x^2$的系数与$a$的乘积，一次项是$x$的系数与$2k$的乘积，常数项则是$k^2+c$。
完全平方公式及其应用
完全平方公式及其应用完全平方公式是数学中一个重要的公式，利用它可以快速计算一个二次多项式的解，也可以应用于各种数学和科学领域中。
一、完全平方公式的定义完全平方公式表明，任意一个二次多项式都可以表示为一个完全平方加上一个常数项。
具体地讲，对于形如ax²+bx+c的二次多项式，其完全平方公式为：ax²+bx+c = a(x + b/2a)² - (b² - 4ac)/4a其中，x是未知数，a、b、c均为实数且a不等于0。
二、完全平方公式的应用1. 求二次函数的零点对于形如ax²+bx+c=0的二次方程，可以利用完全平方公式解出其根。
ax²+bx+c = a(x + b/2a)² - (b² - 4ac)/4a = 0解得：x = (-b ± √(b² - 4ac))/2a这就是二次函数的根，也叫做零点。
2. 计算几何中的面积利用完全平方公式，可以计算各种几何图形的面积。
比如，对于一个正方形，其对角线的长度可以表示为边长的根号2倍，即：d = a√2其中，a为正方形的边长。
根据勾股定理，任意一个直角三角形的斜边也可以用完全平方公式表示。
3. 计算概率完全平方公式还可以应用于概率计算中。
比如，正态分布的概率密度函数服从下面的公式：f(x) = 1/√(2πσ²) * e^-(x-μ)²/2σ²其中，e是自然对数的底数，μ是正态分布的均值，σ²是方差。
这个公式中的(x-μ)²可以用完全平方公式表示为一个完全平方加上一个常数项。
4. 计算物理量在物理中，完全平方公式也有巨大的应用价值。
比如，牛顿第二定律可以表示为：F = ma其中，F是物体所受的力，m是物体的质量，a是物体所受的加速度。
根据质能方程E=mc²，物体的质量也可以用能量的形式表示为E/c²。
《完全平方公式》课件
数学运算技巧
在进行数学运算时，完全 平方公式可以作为一种常 用的技巧，用来简化计算 过程。
03
完全平方公式的证明
使用数学归纳法证明
总结词
数学归纳法是一种严谨的证明方法，通过逐步推导，最终得出结论。
详细描述
首先，我们需要对完全平方公式进行定义，然后通过数学归纳法，从公式的基本情况开始证明，逐步 推广到一般情况。在证明过程中，需要注意每个步骤的逻辑严谨性和正确性，以确保最终结论的正确 性。
$(7+8)^2$
计算下列各式的值
$(5+6)^2$
请简述完全平方公式的应用场景 和优势。
答案与解析
• $(3+4)^2 = 3^2 + 2\times3\times4 + 4^2 = 9 + 24 + 16 = 49$ • $(5+6)^2 = 5^2 + 2\times5\times6 + 6^2 = 25 + 60 + 36 = 111$ • $(7+8)^2 = 7^2 + 2\times7\times8 + 8^2 = 49 + 112 + 64 = 225$ • 完全平方公式是一种非常实用的数学工具，可以帮助我们快速计算出任意一个数的平方，同时也可以帮助
预测模型
在统计学和预测模型中，完全平方公式可以 用来建立回归模型并预测未来趋势。例如， 在时间序列分析中，完全平方公式可以用来
拟合时间序列数据并预测未来的值。
05
完全平方公式的扩展知识
完全立方公式
完全立方公式
$a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$
完全平方公式的运用
完全平方公式的运用完全平方公式是指一个二次方程中，如果其形式为ax^2 + bx + c = 0，那么其解可表示为 x = (-b ± √(b^2 - 4ac))/2a。
这个公式被广泛应用于解决与二次方程相关的问题。
下面将详细讨论完全平方公式的运用。
1.求解根最常见的运用完全平方公式是求解一个二次方程的根。
给定一个二次方程 ax^2 + bx + c = 0，我们可以直接将其参数代入公式，求出 x 的值。
需要注意的是，根的个数可以通过判别式来确定。
判别式 D = b^2 - 4ac 表示方程的解的性质，可以有以下三种情况：-当D>0时，方程有两个不同实数根。
-当D=0时，方程有两个相等的实数根。
-当D<0时，方程没有实数根，解为复数。
例如，对于方程3x^2+4x-2=0，我们可以使用完全平方公式来求解。
根据公式，我们可以得到：x = (-b ± √(b^2 - 4ac))/(2a)=(-4±√(4^2-4*3*(-2)))/(2*3)=(-4±√(16+24))/(6)=(-4±√(40))/6=(-4±2√10)/6所以，该方程的解为x=(-2±√10)/32.求解其中一边长根据矩形的面积公式A=a*b，我们可以得到二次方程a*b-A=0。
将其转化为解a的二次方程，则有a=(A/b)。
将此代入原方程，我们得到：b^2-A=0这是一个关于b的二次方程。
可以使用完全平方公式求解，得到b=±√A。
因为b作为一个长度，所以b的值应该是正数，因此b=√A。
这就解出了原问题，即给定矩形的面积，求解另一边长。
3.求解最值f(x)=a(x-h)^2+k其中h和k分别代表顶点的横坐标和纵坐标。
通过完全平方公式，我们可以得到：f(x) = a(x^2 - 2hx + h^2) + k= ax^2 - 2ahx + ah^2 + k通过比较系数，我们可以得到顶点的坐标为(h,k)=(-b/2a,f(-b/2a))。
完全平方公式课件ppt
完全平方公式
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复习提问：
CONTENTS
用一个多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加.
多项式的乘法法则是什么？
am+an
01
bm+bn
+
=
02
03
04
05
06
(a+b)2
01
(a-b)2
02
= a2 +2ab+b2
(2)(x -y)2 =x2 -y2
(3) (x -y)2 =x2+2xy +y2
(4) (x+y)2 =x2 +xy +y2
错
错
错
错
(x +y)2 =x2+2xy +y2
(x -y)2 =x2 -2xy +y2
(x -y)2 =x2 -2xy +y2
(x +y)2 =x2+2xy +y2
例1 运用完全平方公式计算：
Y
N
Y
N
N
N
Y
(a - b)2 与 (b - a)2 (-b +a)2 与(-a +b)2
(-a -b)2 与(a+b)2
比较下列各式之间的关系：
相等
相等
相等
1
2
3
4
5
6
如何计算 (a43;b+c)2 =[(a+b)+c]2 =(a+b)2+2·(a+b)·c+c2 =a2+2ab+b2+2ac+2bc+c2 =a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc
完全平方公式的实际问题解析
完全平方公式的实际问题解析完全平方公式是初中数学中非常重要的内容之一，它的应用领域非常广泛，不仅可以用来解决数学问题，还可以在现实生活中的各种实际问题中得到运用。
本文将对完全平方公式的实际问题进行深入分析和解析。
一、完全平方公式概述完全平方公式是指一个二元二次方程可以写成两个一次方程的平方和的形式，即a^2 + 2ab + b^2 = (a + b)^2。
在数学中，完全平方公式通常用于解决关于平方根的问题，包括方程的因式分解、解方程等。
二、房屋装修中的应用在现实生活中，完全平方公式可以被运用到房屋装修中。
比如，如果我们需要铺设一个长方形房间的地板，可以根据房间长度和宽度应用完全平方公式来计算所需的地板面积。
假设房间长度为a，宽度为b，则地板面积为a*b，这里a和b都是常数。
如果我们知道地板的总面积为x平方米，那么可以得到方程a*b=x。
通过完全平方公式的求解，可以得到a和b的具体数值，帮助我们合理规划房屋装修的预算和材料使用。
三、汽车行驶中的应用另外一个实际问题中完全平方公式的应用是汽车行驶中。
在汽车行驶中，速度、时间和距离之间存在着复杂的关系，而完全平方公式可以帮助我们更好地理解这些关系。
例如，如果我们知道汽车以a km/h的速度行驶了b小时，就可以通过完全平方公式计算汽车行驶的总距离。
假设汽车行驶的距离为x公里，可以得到方程a*b=x。
通过完全平方公式的运用，可以求解出汽车的行驶距离，为我们提供出行的参考依据。
四、多项式函数的图像分析除了房屋装修和汽车行驶这些实际问题，完全平方公式还可以被应用于多项式函数的图像分析中。
在数学函数的研究过程中，完全平方公式可以帮助我们快速求解函数的极值点、拐点等重要信息。
通过对多项式函数进行完全平方公式的分解，可以更清晰地了解函数的特性和规律，为数学建模和实际问题的解决提供了有效途径。
五、结语总的来说，完全平方公式在数学领域中的应用非常广泛，同时也可以在现实生活中的各种实际问题中得到有效运用。
八上完全平方公式
八上完全平方公式完全平方公式是在数学中非常有用的公式之一，主要用于求解几个数的平方和。
下面将详细介绍完全平方公式的概念、应用和示例。
一、完全平方公式的基本概念完全平方公式是指：如果有一个数x，那么(a ± b)² = a²± 2ab + b²其中，a和b是两个数，表示它们之间的差或和。
这个公式可以用来求解a、b的平方和。
二、完全平方公式的应用完全平方公式在数学中有很多应用，比如求多项式的平方和、解方程组等等。
其中最常见的是求解一元二次方程的根。
例如，对于方程x² + 2x + 3 = 0，可以通过求二次项系数a²和常数项b²的和的平方减去4倍的二次项系数a²来求解这个方程。
三、完全平方公式的示例以下是一些完全平方公式的示例：1. 求两个数的平方和：(3 + 4)² = 3² + 4² + 2 × 3 ×4 = 53 2. 求三个数的平方和：(1 - 2)² + (2 - 3)² + (4 -5)² = 2 - 2 × (2 × 2 +3 × 4 + 5 × 5) = -14以上这些示例说明完全平方公式不仅在求解两个数的平方和非常有用，而且也可以解决三个数的平方和的问题。
当然，当数字超过三个时，可以考虑其他数学方法。
四、总结通过上述介绍，我们了解了完全平方公式的基本概念、应用以及一些示例。
完全平方公式是数学中的一个重要工具，它能够解决许多数学问题，特别是求几个数的平方和的问题。
通过灵活运用完全平方公式，可以提高解题效率和准确性。
完全平方公式的五种常见应用举例
完全平方公式的五种常见应用举例完全平方公式的五种常见应用举例完全平方公式是整式乘法中最重要的公式之一在运用完全平方公式时，必须掌握一些使用技巧，才能灵活应用公式，其中包括“顺用”、“逆用”、“顺逆联用”，以及“特例应用”和“变形应用”等.下面举例说明.一、正用根据算式的结构特征，由左向右套用.例1 计算22(23)m m --分析本题是一个三项式的平方，可考虑将三项式中任意两项组合成一个整体，使其转化为一个二项式的平方，然后再运用完全平方公式便可以顺利求解. 解 22(23)m m --22[(2)3]m m =--222(2)6(2)9mm m m =---+ 4322446129m m m m m =-+-++43242129m m m m =--++思考本题中三项式转化为二项式的根据是什么?还有其它的方法吗?二、逆用将公式逆向使用，即由右向左套用.例 2 己知20172018a x =+，20172019b x =+，20172020c x =+，则多项式222a b c a b b c a c ++---的值为( ) (A) 0 (B)1 (C)2 (D)3分析观察本题已知条件，直接代入求值困难.但换个角度仔细观察多项式的结构就不难发现，该多项式的2倍恰好是3个完全平方公式的右端，于是逆用完全平方公式，就可以得到222()()()a b b c c a -+-+-，而a b -，b c -，c a -的值可求，故本题巧妙得解. 解∵20172018a x =+20172019b x =+20172020c x =+∴1a b -=-，1b c -=-，2c a -=∴222a b c a b b c a c ++---2221(222222)2a b c a b b c a c =++--- 2222221(222)2a a b b b b c c c a c a =-++-++-+ 2221[()()()]2a b b c c a =-+-+- 2221[(1)(1)2]2=-+-+3=应选D.三、正逆联用根据已知条件和待求式特征，有正用、又逆用，即综合运用. 例3 (全国初中数学竞赛试题)已知21()()()4b c a b c a -=--，且0a ≠，则b c a += . 分析欲求b c a +的值，则需要明b c +与a 之间的等量关系.而题目中的已知条件刚好就是a 、b 、c 之间的关系式，于是将条件等式进行化简变形，明确b c +与a 之间的关系，应该是一条即常规又恰当的选择.解由已知，得2()4()()b c a b c a -=-- 22224444b b c ca cbc a b a ∴-+=-+- 2222(44)40b b c c a b a c a∴++-++= 22()4()40b c a b c a ∴+-++=把b c +和2a 分别看成一个“整体”，再逆用完全平方公式，得2[()2]0b c a +-= 20b c a ∴+-=，2b c a +=22b caa a +∴==.四、特例应用在完全平方公式222()2a b a a b b +=++中，如果0a b =，那么222()a b a b +=+反之，若222()a b a b +=+，则一定有0a b =.例5 若n 满足22(2017)(2019)4n n -+-=，则(2019)(2017)n n --= . 分析若设2017n a -=，2019n b -=，则很容易验证222()a b a b +=+，这正好符合上面完全平方公式特例.据此，本题迎刃而解.解设2017n a -=，2019n b -=，则2()4a b +=，又已知224a b +=∴222()a b a b +=+于是0a b =∴(2019)(2017)n n --=(2017)(2019)n n --0a b ==五、变形应用由完全平方公式222()2a b a a b b ±=±+，易得如下的两个最常见的变形公式:①2222()2()2a b a b a b a b a b +=+-=-+②22()()4a b a b a b -=+-(或)221[()()]4a b a b a b =+--活用上面变形公式，常常会使问题化难为易，取得奇妙的解题效果。
完全平方公式的应用课件
a 老人一共给了这些孩子多少块糖？ 2
做一做
有一位老人非常喜欢孩子，每当有 孩子到他家做客时，老人都要拿出糖 果招待他们。来一个孩子，老人就给 这个孩子一块糖，来两个孩子，老人 就给每个孩子两块糖，来三个，就给 每人三块糖，……
(2)第二天有b个女孩一起去了老人家，
2.(x−2)(x−3)展开后的结果要注意添括号。
巩固练习：
(1)(a－b+3)(a－b－3)=a²-b²+6b-9 (2) (x－2)(x+2) －(x+1)(x－3)=2x-1 (3) (ab+1)2－ (ab－1)2 =4ab (4) (2x－y)2－4(x－y)(x+2y)=9y2-8xy
课堂小结
1.完全平方公式的使用：
在做题过程中一定要注意符号问题和 正确认识a，b表示的意义，它们可以 是数、也可以是单项式还可以是多项 式，所以要记得添括号。
2.解题技巧：
解题之前应注意观察思考，选择不同的 方法会有不同的效果，要学会优化选择。
作业：习题1.12第1、2题
=a2 +2ab+b2－9
温馨提示：将(a+b)看作一个整体，解题中
渗透了整体的数学思想。
例3 (3)(x+5)2–(x-2)(x-3)
解: (x+5)2-(x-2)(x-3)
=(x2+10x+25)-(x2-5x+6) = x2+10x+25-x2+5x-6
=15x+19
温馨提示：
1.注意运算的顺序。
(a+b)2
做一做
有一位老人非常喜欢孩子，每当有孩子到 他家做客时，老人都要拿出糖果招待他们。 来一个孩子，老人就给这个孩子一块糖，来 两个孩子，老人就给每个孩子两块糖，来三 个，就给每人三块糖，……
完全平方公式及各种典型问题ok课件
01
总结：完全平方公式的基本形式 和变形
02
通过简单的例题，让同学们熟悉 完全平方公式的各种形式，包括 基本的、变形的、和其他与完全 平方公式相关的内容。
提高练习题
总结：完全平方公式的应用和扩展
通过一些稍有难度的例题，让同学们 了解完全平方公式的应用和扩展，包 括与其他数学知识的结合、变形后的 应用等。
公式结构
这是一个基本的数学公式，用于计算一个数的平 方。公式中的“$a$”和“$b$”是变量， “$\pm$”表示正负两种情况。
公式的重要性
该公式是代数、几何等领域中广泛应用的工具， 可以帮助我们解决很多数学问题。
完全平方公式的性质
01
02
03
互逆性
$(a \pm b)^2 = a^2 \pm 2ab + b^2$，这个 公式可以正向使用，也可 以逆向使用。
法需要一定的观察和思考能力，但可以简化复杂的计算。
完全平方公式在实际问题中的应用
总结词
广泛应用于实际问题中，如几何、代数等领 域
详细描述
完全平方公式不仅在代数领域有广泛的应用 ，在几何、三角等领域也有广泛的应用。例 如，在解决几何问题时，完全平方公式可以 用于计算面积、周长等；在解决代数问题时 ，完全平方公式可以用于因式分解、化简等 。此外，完全平方公式还可以用于解决一些
因式分解
完全平方公式可以用于因式分解 ，将一个多项式分解为若干个因 式的乘积。
完全平方公式的实际应用案例
物理应用
在物理学中，完全平方公式可以用于 计算各种量，如速度、加速度等。
数学应用
在数学中，完全平方公式可以用于解 决各种问题，如代数方程、不等式等 。
05 完全平方公式的练习与巩固
完全平方公式课件hht
推导过程示例
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04
假设我们要推导公式(a+b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab，可以按
照以下步骤进行推导
第一步：根据平方差公式，我 们知道(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2。
第二步：将等式右边进行整理 ，得到(a+b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab。
第三步：通过比较左右两边的 表达式，我们可以得出结论：
平方差公式表示为 (a^2 - b^2 = (a - b)(a + b))，其中 (a) 和 (b) 是实数。这个公式在代数和数学分析中经常用到，可以用来 简化复杂的数学表达式。
平方和公式
总结词
平方和公式是数学中一个重要的公式 ，用于计算多个数的平方和。
详细描述
平方和公式表示为 (1^2 + 2^2 + ... + n^2 = frac{n(n + 1)(2n + 1)}{6})，其 中 (n) 是正整数。这个公式在数学和物 理中经常用到，可以用来计算各种实际 问题的结果。
勾股定理证明
在证明勾股定理时，完全平方公 式可以用来推导直角三角形的三
边关系。
图形面积计算
完全平方公式可以用来计算某些 图形的面积，如正方形的面积、
直角三角形的面积等。
图形性质推导
在证明图形的性质和定理时，完 全平方公式可以用来推导和证明
一些重要的几何关系。
在日常生活中的应用
房屋装修
在装修房屋时，完全平方公式可以用来计算房间的地面面积，从 而确定地砖、地板等装修材料的用量。
在代数中的应用
完全平方公式的应用
完全平方公式的应用首先，让我们回顾一下完全平方公式的表达方式。
对于一个一元二次方程ax^2+bx+c=0，其中a、b、c为实数并且a ≠ 0，我们可以使用完全平方公式来求解它的根。
完全平方公式的表达式如下所示：x = (-b±√(b^2-4ac))/(2a)这个公式由两个解构成，分别对应于二次方程的两个根。
正号表示一个解，负号表示另一个解。
首先是代数方面的应用。
我们可以使用完全平方公式来解决一元二次方程的根的问题。
例如，假设我们有一个方程x^2+3x+2=0，我们可以使用完全平方公式来求解它的根。
根据完全平方公式，我们可以计算出x的值为-2和-1、因此，这个方程的根为x=-2和x=-1除了求解一元二次方程的根之外，完全平方公式还可以帮助我们解决其他类型的数学问题。
例如，我们可以使用完全平方公式来解决关于面积和周长的问题。
假设我们有一个正方形的周长为12个单位，我们可以使用完全平方公式来计算出正方形的面积。
由于正方形的周长等于4a（其中a为正方形的边长），我们可以得到方程4a=12、通过解方程，我们可以得到正方形的边长为3个单位。
然后，我们可以使用完全平方公式来计算正方形的面积，即3^2=9、因此，这个正方形的面积为9个单位。
在几何方面，完全平方公式也有重要的应用。
例如，我们可以使用完全平方公式来求解直角三角形的斜边长度。
考虑一个直角三角形，其中两条边的长度分别为a和b，斜边的长度为c。
根据勾股定理，我们可以得到a^2+b^2=c^2、如果我们已知a和b的值，我们可以使用完全平方公式来求解c的值。
例如，如果a=3和b=4，我们可以计算出c=√(3^2+4^2)=5在物理方面，完全平方公式也有一些应用。
例如，根据牛顿第二定律F=ma（其中F为力，m为质量，a为加速度），我们可以得到a=F/m。
假设我们想要计算物体的加速度，但是我们只知道物体的质量和施加在它上面的力。
在这种情况下，我们可以使用完全平方公式来解决这个问题。
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第七讲 完全平方公式及其应用
一、知识精讲
1、完全平方差公式：222222
()2()2a b a ab b a b a ab b ⎧+=++⎪⎨-=-+⎪⎩两数和的平方：
两数差的平方：
★ 口诀：首平方，尾平方，二倍乘积在中央。
2.乘法公式的变形运用：
①2
2
()()4a b a b ab +=-+
②22
()()4a b a b ab -=+-
③222
2()()2a b a b a b ++-+= ④22
()()4
a b a b ab +--=
⑤2222
()2()2a b a b ab a b ab +=+-=-+ ⑥222222()()()()
22
a b a b a b a b ab +-+--+==-
⑦2222111
()2()2a a a a a a
+=+-=-+
3.完全平方公式的非负性：
①非负性:2
2
2
2()0a ab b a b ±+=±≥
②最值定理:a 、b 同号，则：2
2
2
()a b a b +≤+，当且仅当时a b =时，取等。
典例剖析
知识点一：公式的几何意义
【例1】如图，四张全等的矩形纸片拼成的图形，请利用图中空白部分面积的不同表示方法，
写出一个关于a 、b 的恒等式___________.
【变式】如图，利用边长为b a -的正方形的面积的不同表示方法，写出一个关于a 、b 的
恒等式___________.
知识点二：完全平方公式的应用
【例2】计算
（1）
2(4)m n + （2）2
(32)x y - （3）()2
2a b -+
a
b
b a
b
a-b
b 2
a-b
b
【变式】 ⑴2(811)a b -+
⑵2(23)x y -- （3）()()b c b c +--
小结：注意与平方差公式的区别，防止出现类似2
22)(b a b a ±=± 【例3】计算
⑴2()a b c ++ ⑵ 2()a b c +- 【变式】填空：（1）2()a b c --=_________________________________. （2）2
(23)________________________x y z -+=。
知识点三：完全平方公式的恒等变形
【例4】已知：4,2a b ab +==-，
求：（1）22
a b + 的值。
（2）()2
a b -的值。
【变式】已知实数a 、b 满足2()1a b +=，2()25a b -=，求22a b ab ++的值．
【例5】已知1x x +
=3， ①求221
x x
+的值。
②求441x x +的值。
知识点点四：利用完全平方公式简化计算
【例6】计算（1）2
501 （2）2
8.99
知识点五：配方思想
【例7】填空：⑴222_____()x y x y ++=+； ⑵2229_____(3___)a b a -+=-；
⑶2244____(2___)m mn m ++=+； ⑷2_____10______(5)xy x y ++=+.
【变式】1、已知k x x ++162
是完全平方式，则常数k 等于 （ ） A.64 B.48 C.32 D.16
2、若整式241x Q ++是完全平方式，请你写一个满足条件的单项式Q 是
【例8】已知012622
2=-+-+x xy y x ，求y x 2-的值。
【变式】已知y x y x 46132
2
-=++，求y
x 的值。
知识点六：平方差公式的应用：
考点一：例1. 1232－124×122
【变式1】2
2
()()x y z x y z -+-+-；【变式2】计算
2
2004
200420052003
-⨯的值为多少？
【变式3】2
2
4
4
()()()()y x x y x y x y ---+++
【变式4】2
2
2
2
2
2
10099989721-+-++-…
知识点七：完全平方公式的应用：
考点二：整体代换
例3．已知：5,3x y xy +==，求：①2
2
x y +； ②4
4
x y +； ③2
()x y -
【变式 】（1）2
2
2
2
12, 2.()=________()a b ab a b a b +==+-已知则；=______.
（2）2224, 2.=()a b ab a b a b +==+-已知则________；
=_______.
（3）2224,12.______()a b a b ab a b +=+==-已知则；
=_______.
（4）2224, 2.________;()a b ab a b a b -==+=+已知则=_______.
（5）2224,12.______;()=______a b a b ab a b -=+==+已知则.
（6）224, 2.=_______;_________a b a b a b ab +=-=+=已知则.
例4．已知：()()200920062a a --=，求：()()2
2
20092006a a -+-的值
知识点八：形如2
21
x x
+
的完全平方公式的变形运用 例5．22
42411310,;x x x x x x
-+=++已知求（1）（2）
【变式】（08成都中考改）已知a 是方程x 2
-5x+1= 0的解，则2
2
1
a a +的值为多少？
知识点九：配方法问题
例6．(09成都期末改)已知2
2
26100x x y y ++-+=,求x,y 的值
【变式】016822
=+-++y y x ，则3x-2y 的值为多少？
知识点十：最值问题
例7．多项式2
(1)5x +-的最小值为____________
【变式】已知n 是有理数，则二次三项式n 2-4n+7的最小值为___________。
知识点十一：含有字母系数的问题
例8．若2
1x kx -+是一个完全平方式，则k 的值为多少？
【变式1】2
2(3)9x m x --+是关于字母x 的一个完全平方式，则 m 为多少？
每日一练，天天向上
【基础演练】
1.（云南中考）已知22
5.6,x y xy x y +=-=+则的值为（ ）
A.1
B.13
C.17
D.25 2.（江苏中考）已知221
() 4.,()_____2
a b ab a b -==
+=则 3.若4a 2+ma+25是关于字母a 的一个完全平方式，则m 为多少？
4、计算：
⑴2
221(3)3
a b ab + ⑵
2()m n a b - ⑶(25)(52)x x --
（4）
22
(2)(2)x x +- （5）2(23)a b c -+
【能力提升】
5、简便计算：1.2345²+0.7655²+2.469×0.7655
6、已知：2
31x x -+=0， ①求:2
21x x +
的值。
②求:4
4
1x x +的值
7、已知5=+b a ，3-=ab ，求代数式2
)(b a ab -的值。
8、先化简后求值：2
()()()2x y x y x y x ⎡⎤-++-÷⎣⎦，其中3x =， 1.5y =.
9.已知：7x y -=，12xy =-，求()2
x y +的值。
10. 221
690,4
a b a b ++-+=已知求代数式2[(2)(2)(2)6]2a b b a b a a b +++--÷
家庭作业
1．计算（a 4
+b 4
）（a 2
+b 2
）（b －a ）（a+b ）的结果是（ ）
A ．a 8－b 8
B ．a 6－b 6
C ．b 6－a 8
D ．b 6－a 6
2.（07成都中考改)若0)3(42=-+-+xy y x ,则=+2
2y x .
3．已知30x y +=，则3
2
326x x y x y +--的值为________________. 4、计算
（1） 21()2x - （2）2
1
(4)4y --
（3）2
)(z y x -+ （4）2
22
2
2
)()()(y x y x y x ++-
5、已知2
41x x --=0， ①求2
21x x +
的值。
②求4
4
1x x
+的值。
6、先化简，再求值：2(32)(32)5(1)(21)x x x x x +-----，其中13x =-
7、已知x ²+y ²+6x+8y+25=0，求x ²-y ²的值。
8.2
2(3)9x m x --+是关于字母x 的一个完全平方，则 m 的值为多少？。