2020届(新增4页)高三一轮数学复习第8讲幂函数、指数与指数函数

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5．设 a＝0.20.3，b＝0.30.3，c＝0.30.2，则 a，b，c 的大小关
系为( B )
A．a>b>c
B．a<b<c
C．a<c<b
D．b<a<c
解析：因为函数 y＝x0.3 在(0，＋∞)上为增函数，所以 0.20.3<0.30.3，即 a<b；因为函数 y＝0.3x 在 R 上为减函数，所 以 0.30.3<0.30.2，即 b<c，所以 a<b<c，故选 B.
1.(2012·四川卷)函数 y＝ax－1a(a>0，且 a≠1)的图象可
能是( D )
解析：y＝ax－1a(a>0，且 a≠1)的图象是由函数 y＝ax 向下平移1a个单位得到的，所以分两种情况讨论：(1)当 a>1 时，0<1a<1，故 A、B 排除；当 0<a<1 时，1a>1，故排除 C， 因此选 D.
＝[49－73＋25×5 1 2×4102]÷12 ＝(－197＋2)×2＝29.
(2)原式＝ a－63·a130·3 a25·a－52 ＝(a43)12·(a0)13
＝a23＝3 a2.
【拓展演练 1】 化简：
(1)(235)0＋2－2×(214)－12－(0.01)0.5＝
；
3 (2)
3 a2·
一 有关指数幂的运算问题
【例 1】计算与化简：
(1)[(3
3 8
)
－
2 3
－
(5
4 9
)0.5
＋
(0.008)
－
2 3
÷(0.02)
－
1 2
×(0.32)12]÷0.06250.25；
(2)
3
a－6·3
3 a10·
a25· a－5.
解析：(1)原式＝[(287)23－(499)12＋(10800)23÷ 50 ×4102]÷(16020500)14
B．a
a C.b
D．b
解析：原式＝
＝a，故选 B.
3.(改编)函数 y＝ax－2013＋2013(a>0，且 a≠1)的图象经过
定点( D )
A．(0,1)
B．(0,2014)
C．(2013,2013)
D．(2013,2014)
解析：令 x－2013＝0，得 x＝2013，此时 y＝2014，即 过定点(2013,2014)，故选 D.
解析：因为一元二次不等式 f(x)<0 的解集为 {x|x<－1 或 x>12}，所以可设 f(x)＝a(x＋1)(x－12)(a<0)， 由 f(10x)>0，可得(10x＋1)(10x－12)<0， 即 0<10x<12， 解得 x<－lg 2，选 D.
4.(2011·湖北卷)放射性元素由于不断有原子放射出微粒
A．－1 或 1 或 3 B．1 或 3 C．－1 或 3 D．1
(2)已知幂函数 y＝f(x)的图象经过点(3 3，3)，则 f(32)与 f(54)的大小关系为( )
A．f(32)>f(54) B．f(32)≥f(54) C．f(32)<f(54) D．无法确定
解析：(1)因为 m∈Z，且函数图象与 x 轴、y 轴均无交 点，所以 m2－2m－3＝(m＋1)(m－3)≤0，即－1≤m≤3(m ∈Z)，又因为函数图象关于 y 轴对称，所以 m2－2m－3 是 偶数，得 m＝1 或 m＝－1 或 m＝3.选 A.
4．已知幂函数 f(x)＝k·xα 的图象过点(12，22)，则 k＋α＝
.
解析：因为 f(x)＝k·xα 为幂函数，所以 k＝1. 又 f(x)的图象过点(12， 22)，即(12)α＝ 22，所以 α＝12， 故 k＋α＝1＋12＝32.
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C．f(1)>f(2) D．f(－2)>f(2)
(2)(2013·长郡中学第二次模拟)若函数 f(x)＝ax(a>0)，且
a≠1)在[－1,2]上的最大值为 4，最小值为 m，
且函数 g(x)＝(1－4m) x在[0，＋∞)上是增函数，
则 a＝
.
解析：(1)因为 f(2)＝4，即 a－2＝4，所以 a＝12， 所以 f(x)＝(12)－|x|＝2|x|，所以 f(－2)>f(－1)，故选 A. (2)函数 g(x)在[0，＋∞)上是增函数，则 1－4m>0，即 1 m<4. 若 a>1，则函数 f(x)在[－1,2]上的最小值为 a－1＝m，最大 值为 a2＝4，解得 a＝2，m＝12与 m<14矛盾； 当 0<a<1 时，函数 f(x)在[－1,2]上的最小值为 a2＝m，最 大值为 a－1＝4，解得 a＝14，m＝116满足条件． 所以 a＝14.
f(x)＝ax 为 R 上的减函数不成立，故选 A.
3.(2013·安徽卷)已知一元二次不等式 f(x)<0 的解集为
{x|x<－1 或 x>12}，则 f(10x)>0 的解集为( D )
A．{x|x<－1 或 x>lg 2}
B．{x|－1<x<lg 2}
C．{x|x>－lg 2}
Hale Waihona Puke D．{x|x<－lg 2}(2)因为 f(x)在(0，＋∞)上递减，所以21(m－4)<0 ， m∈N
所以mm<∈4N ，所以 m＝0,1,2,3. 而当 m＝1 或 2 或 3 时，f(x)不是偶函数； 当 m＝0 时，f(x)＝x－2 为偶函数， 故 f(x)＝x－2.
三 指数函数的图象与性质
【例 3】(1)(2012·西安市第一次质检)已知 a＝ 23，
2.(2012·山东卷)设 a>0 且 a≠1，则“函数 f(x)＝ax 在 R
上是减函数”是“函数 g(x)＝(2－a)x3 在 R 上是增函数”
的( A )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：当 f(x)＝ax 为 R 上的减函数时，0<a<1，则 2－a>0， 此时 g(x)＝(2－a)x3 在 R 上是增函数成立；当 g(x)＝(2－a)x3 在 R 上是增函数时，2－a>0，即 a<2，但 1<a<2 时，
四 指数函数的综合应用
【例 4】已知函数 f(x)＝a2－a 1(ax－a－x)(a>0 且 a≠1)． (1)判断函数 f(x)的奇偶性； (2)讨论 f(x)的单调性； (3)当 x∈[－1,1]时，f(x)≥b 恒成立，求 b 的取值范围．
分析：(1)函数的奇偶性可由定义来判断；(2)函数的单调 性可由定义，导数法或由基本函数的单调性观察确定，对含 参问题注意参数对单调性的影响；(3)f(x)≥b 恒成立，只需 f(x)min≥b.
【拓展演练 4】 已知 f(x)是定义在 R 上的奇函数，且当 x∈(0,1)时， f(x)＝4x2＋x 1. (1)求 f(x)在(－1,1)上的解析式； (2)证明：f(x)在(0,1)上是减函数．
解析：(1)因为 f(x)是定义在 R 上的奇函数， 所以当 x＝0 时，f(x)＝0. 设 x∈(－1,0)，则－x∈(0,1)， 所以 f(x)＝－f(－x)＝－4－2x－＋x 1＝－4x2＋x 1，
则 m＝ ；
(2)已知幂函数 f(x)＝x12(m－4)(m∈N)是偶函数，
且在(0，＋∞)上递减，则 f(x)＝
.
解析：(1)因为函数 f(x)＝(m2－m－1)xm2－2m－1 是幂函 数，所以 m2－m－1＝1，即 m2－m－2＝0，
所以 m＝2 或 m＝－1. 又 f(x)是奇函数，而 m＝－1 时，f(x)＝x2 为偶函数， 当 m＝2 时，f(x)＝x－1 为奇函数，所以 m＝2.
(2)f(x)＝22xx－＋11＝2x2＋x＋1－1 2＝1＋2－x＋21. 因为 2x＋1∈(1，＋∞)，所以2－x＋21∈(－2,0)， 故 f(x)的值域为(－1,1)．
【拓展演练 3】
(1)设函数 f(x)＝a－|x|(a>0，且 a≠1)，f(2)＝4，则( )
A．f(－2)>f(－1) B．f(－1)>f(－2)
a－3÷
3 a－7·3 a13＝
.
解析：(1)原式＝1＋14×(49)12－(1100)12 ＝1＋16－110＝1165. (2)原式＝(a32·a－32)13÷(a－73·a133)12 ＝(a0)13÷(a2)12 ＝1a.
二 幂函数的图象与性质
【例 2】(1)(改编)已知幂函数 y＝xm2－2m－3(m∈Z)的图 象与 x、y 轴都无交点，且关于 y 轴对称，则 m 的值为( )
故当 a>0，且 a≠1 时，函数 f(x)＝a2－a 1(ax－a－x)在 R 上 是增函数．
(3)由(2)可知，函数 f(x)为 R 上的增函数， 当 x∈[－1,1]时，f(－1)≤f(x)≤f(1)， 所以 f(x)min＝f(－1)＝a2－a 1(a－1－a)＝－1. 要使 f(x)≥b 在[－1,1]上恒成立，则只需 b≤－1. 所以 b 的取值范围是(－∞，－1]．
函数 f(x)＝ax，若实数 m，n 满足 f(m)＞f(n)，则 m、n 满