2015-2016学年高三12月月考数学(文)试卷

2015学年高三月考数学（文）试卷（12月）试卷满分：150分 考试时间：120分钟一、选择题（共40分） 1.“φ=”是“函数y=sin （x+φ）为偶函数的”（ ）A ． 充分不必要条件B ． 必要不充分条件C ． 充要条件D ． 既不充分也不必要条件2.若函数f （x ）=ka x﹣a ﹣x，（a ＞0，a ≠1）在（﹣∞，+∞）上既是奇函数，又是增函数，则g （x ）=log a （x+k ）的是（ ）A ．B ．C ．D ．3.已知f （x ）为偶函数，当x ≥0时，f （x ）=，则不等式f （x﹣1）≤的解集为（ ）A ． [，]∪[，]B ． [﹣，﹣]∪[，]C ． [，]∪[，]D ． [﹣，﹣]∪[，]4.若正项数列{}n a 满足1111n n ga ga +=+,且2014201020022001=+++a a a ，则202020122011a a a +++ 的值为( )A ．10102014⋅B ．11102014⋅C ．10102015⋅D ．11102015⋅ 5.若将函数f （x ）=sin2x+cos2x 的图象向右平移φ个单位，所得图象关于y 轴对称，则φ的最小正值是（ ）A ．B ．C ．D ．6.已知向量⊥，|﹣|=2，定义：=λ+（1﹣λ ），其中0≤λ≤1．若•=，则||的最大值为( )A ．B ．C ．1D ．7.下列命题中错误．．的是( ) A ．如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面βB ．如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面βC ．如果平面α⊥平面γ，平面α⊥平面γ，l αβ⋂=，那么直线l ⊥平面γD ．如果平面α⊥平面β，那么平面α内所有直线都垂直于平面β8.已知抛物线y 2=8x 的焦点F 到双曲线C ：=1（a ＞0，b ＞0）渐近线的距离为，点P 是抛物线y 2=8x 上的一动点，P 到双曲线C 的上焦点F 1（0，c ）的距离与到直线x=﹣2的距离之和的最小值为3，则该双曲线的方程为( ) A ．B ．C ．D ．二、填空题（9-12每题6分，13-15每题4分）9.定义在R 上的偶函数()f x ，对任意实数x 都有(2)()f x f x +=，当[01]x ,∈时,2()f x x =，若在区间[]1,3-内，函数()()g x f x kx k =--有4个零点，则实数k 的取值范围是_______________. 10.已知11{|2}82x A x -=<<，2{|log (2)1}B x x =-<，则A B = ________________. 11.已知非零向量序列：满足如下条件：||=2，•=﹣，且=（n=2，3，4，…，n ∈N *），S n =，当S n 最大时，n= ． 12.若θ∈（，），sin2θ=，则cos θ﹣sin θ的值是 ． 13.设向量，满足|+|=，|﹣|=，则•= ．14.已知x ，y 满足，则x+y 的最大值为 ．15.已知某几何体的三视图如图所示，这该几何体的体积为 ，表面积为 ．三、解答题（共74分）16.已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，0≤φ≤π）为偶函数，且其图象上相邻两对称轴之间的距离为π．（Ⅰ）求函数f（x）的表达式．（Ⅱ）若sinα+f（α）=，求的值．17.如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，B1B=B1A=BA=BC=2，∠B1BC=90°，D为AC的中点，AB⊥B1D．（Ⅰ）求证：平面ABC⊥平面ABB1A1；（Ⅱ）求B到平面AB1D的距离．18.已知中心在原点O，焦点在x轴上，离心率为的椭圆过点（，）．（1）求椭圆的方程；（2）设不过原点O的直线l与该椭圆交于P，Q两点，满足直线OP，PQ，OQ的斜率依次成等比数列，求△OPQ面积的取值范围．19.已知a∈R，函数f（x）=x2﹣a|x﹣1|．（Ⅰ）当a=1时，求函数f（x）的最小值；（Ⅱ）讨论y=f（x）的图象与y=|x﹣a|的图象的公共点个数．20.在等比数列{a n}中，a1=1，a3，a2+a4，a5成等差数列．（1）求数列{a n}的通项公式（2）若数列{b n}满足b1++…+（n∈N+），{b n}的前n项和为S n，求证S n≤n•a n（n∈N+）2015学年高三月考数学（文）答案二、填空题9.⎥⎦⎤ ⎝⎛41,0 10.{}41|<<x x 11.8或9 12.﹣13.1 14.2 15.288,336. 三、解答题16.解：（I ）∵f （x ）为偶函数∴sin （﹣ωx+ϕ）=sin （ωx+ϕ） 即2sin ωxcos ϕ=0恒成立∴cos ϕ=0， 又∵0≤ϕ≤π，∴（3分）又其图象上相邻对称轴之间的距离为π∴T=2π∴ω=1 ∴f （x ）=cosx （6分） （II ）∵原式=（10分） 又∵，∴（11分）即，故原式=（12分）17.（Ⅰ）证明：取AB 中点为O ，连接OD ，OB 1．因为B 1B=B 1A ，所以OB 1⊥AB．又AB⊥B 1D ，OB 1∩B 1D=B 1，所以AB⊥平面B 1OD ，因为OD ⊂平面B 1OD ，所以AB⊥OD，由已知，BC⊥B 1B ，又OD∥BC，所以OD⊥⊥B 1B ，因为AB∩B 1B=B ，所以OD⊥平面ABB 1A 1． 又OD ⊂平面ABC ，所以平面平面ABC⊥平面ABB 1A 1； （Ⅱ）解：由（Ⅰ）知，B 1O=，S △ABC ==2，B 1A=2，AC=B 1C=2，=，因为B 1O⊥平面ABC ，所以==， 设B 到平面AB 1D 的距离是d ，则==d ，得B 到平面AB 1D 的距离d=．…18.解：（1）由题意可设椭圆方程为（a＞b＞0），则则故所以，椭圆方程为．（2）由题意可知，直线l的斜率存在且不为0，故可设直线l的方程为y=kx+m（m≠0），P（x1，y1），Q（x2，y2），由消去y得（1+4k2）x2+8kmx+4（m2﹣1）=0，则△=64k2b2﹣16（1+4k2b2）（b2﹣1）=16（4k2﹣m2+1）＞0，且，．故y1y2=（kx1+m）（kx2+m）=k2x1x2+km（x1+x2）+m2．因为直线OP，PQ，OQ的斜率依次成等比数列，所以=k2，即+m2=0，又m≠0，所以k2=，即k=．由于直线OP，OQ的斜率存在，且△＞0，得0＜m2＜2且m2≠1．设d为点O到直线l的距离，则S△OPQ=d|PQ|=|x1﹣x2||m|=，所以S△OPQ的取值范围为（0，1）．19.解（Ⅰ）当a=1时，，故；（Ⅱ）设h（x）=x2﹣a|x﹣1|﹣|x﹣a|，当a＞1时，，1、x≥a时，h（a）=a＞0，对称轴，无零点．1≤x＜a时，x1=0（舍去），x2=a ﹣1，所以（ⅰ）a≥2时，一个零点；（ⅱ）1＜a＜2时，x＜1时，△=a2+10a+1＞0，对称轴，h（1）=2﹣a所以（ⅰ）a≥2时，一个零点；（ⅱ）1＜a＜2时，两个零点．综上所述，a＞1时，h（x）有两个零点，即y=f（x）的图象与y=|x﹣a|的图象的公共点有2个，2．a=1时，，即y=f（x）的图象与y=|x﹣a|的图象的公共点有2个，3．a＜1时，…x≥1时，对称轴，h（1）=a．所以（ⅰ）a≤0时，一个零点；（ⅱ）0＜a＜1时，无零点．a≤x＜1时，x1=0（舍去），x2=1﹣a，所以（ⅰ）时，一个零点；（ⅱ）时，无零点．x＜a时，△=a2+10a+1，对称轴，h（a）=a（2a﹣1）所以（ⅰ）时，对称轴，h（a）=a（2a﹣1）＞0，无零点；（ⅱ）时，△=a2+10a+1＜0，无零点；（ⅲ）时，，一个零点；（ⅳ）或时，△=a2+10a+1＞0，对称轴，h（a）=a（2a﹣1）＞0，两个零点；（ⅴ）时，h（a）=a（2a﹣1）≤0，一个零点，综上，（ⅰ）或a＞0时，y=f（x）与y=g（x）的图象的公共点有2个；（ⅱ）或a=0时，y=f（x）与y=g（x）的图象的公共点有3个；（ⅲ）时，y=f（x）与y=g（x）的图象的公共点有4个．20.（1）解：设数列{a n}的公比为q，∵a1=1，∴a2=q，a3=q2，a4=q3，a5=q4，又∵a3，a2+a4，a5成等差数列，∴2（a2+a4）=a3+a5，即2（q+q3）=q2+q4，解得q=2或0（舍），∴a n=2n﹣1；（2）证明：∵数列{b n}满足b1++…+=a n（n∈N+），∴当n=1时，b1=a1=1，此时S1=1×a1；当n≥2时，=a n﹣a n﹣1=2n﹣1﹣2n﹣2=2n﹣2，∴b n=n•2n﹣2，∴S n=1+2×20+3×21+4×22+…+（n﹣1）×2n﹣3+n×2n﹣2，∴2S n=2×20+2×21+3×22+4×23+…+（n﹣1）×2n﹣2+n×2n﹣1，两式相减，得﹣S n=1+21+22+23+…+2n﹣2﹣n×2n﹣1，∴S n=n×2n﹣1﹣1﹣（21+22+23+…+2n﹣2）=n×2n﹣1﹣1﹣=（n﹣1）×2n﹣1﹣1=n×2n﹣1﹣（1+2n﹣1）＜n×2n﹣1=n•a n，综上所述，S n≤n•a n（n∈N+）。