直线的方程点斜式优质课比赛教学案

直线的方程——点斜式

1.教材分析

从研究直线方程开始，学生对“解析几何”的学习进入了实质性阶段，“直线与方程”关系的研究，是“曲线与方程”的关系研究的前奏和基础，所以本节课教学的效果直接决定了整个“解析几何”教学的效果.

刚刚接触“解析几何”的学生，幼稚懵懂的心理致使他们还不能理解“解析几何”的实质，而本节课则以比较浅显的问题开启了“解析几何”学习的先河，他们可渐渐地逐步深刻地认识到直线上的点与有序实数对之间的对应关系，进而可理解“两个独立条件确定一条直线”这个本质规律，从而自然地构建出本节课研究的容.两种直线方程形式中的关键字“点、斜”与“斜、截”分别是“两个独立条件”的高度概括，是对直线方程特征的本质提炼.这些都是“解析几何”，乃至全部数学容的精髓，引导学生深刻理解、熟练掌握这些，对于提高他们的数学素养大有裨益.

贯穿“解析几何”始终的一个重要问题就是由曲线求其方程和由方程研究曲线性质，而本节课则以简单问题为载体，揭示了解决这个问题的基本方法和步骤，为进一步解决后继的问题打下了坚实的基础.

“解析几何”中处处渗透了各种数学思想，特别是数形结合与等价转化思想，本节课则以生动的具体事例有效地促进学生树立、巩固和熟练应用这些数学思想.

教学是以发展学生的数学思维为重要目标，本节课则在优化数学思维的多种特征上有着独特的功能.

综上，本节课是高中数学教学中极为关键的容，创设和实施优质的教学程序，在一定程度上影响着今后高中数学教学的成败.

2.教学目标

2.1 知识与技能

(1)知道由一个点和斜率可以确定一条直线，探索并掌握直线的点斜式、斜截式方程；

(2)能根据条件熟练地求出直线的点斜式、斜截式方程，并能化为一般式.

2.2 过程与方法

(1)让学生经历知识的构建过程，培养学生观察、探究能力；

(2)使学生进一步理解直线的方程与方程的直线之间的对应关系，渗透数形结合等

数学思想.

2.3 情感态度与价值观

(1)使学生进一步体会化归的思想，逐步培养他们分析问题、解决问题的能力；

(2)利用多媒体课件的精彩演示，增强图形美感，使学生享受数学美，增进数学学习的情趣.

3.教学重点与难点

教学重点：直线的点斜式方程.

教学难点：对直线的方程与方程的直线的对应关系的理解.

4.教学方法

(1)教师为主导，学生为主体，师生互动为主线.

(2)通过创设问题情境，引导学生观察、比较、转化、抽象来实现直线的点斜式教学，同时渗透数形结合等数学思想.

5.教学过程

5.1 问题情境（了解数学）

问题1 (1)若同学小说，有一条铁路经过市，你能知道这条铁路的具体位置吗？(不知道，因为不知道这条铁路的方向)

(2)若同学小王说，有一条铁路是正南正北方向，你能知道这条铁路的具体位置吗？(不知道，因为不知道这条铁路经过哪座城市)

(3)若同学小说，有一条铁路经过市，且是正南正北方向，你能知道这条铁路的具体位置吗？(知道了)

问题2 (1)过已知点A (−1，3)的直线有多少条？（无数条）

(2)斜率为−2的直线有多少条？（无数条）

(3)过已知点A (−1，3)，且斜率为−2的直线有多少条？（一条）

问题3 确定一条直线需要几个独立条件？你能举例说明吗？

学生可能的回答：

(1)已知直线上的一点和直线的方向(斜率或倾斜角)；

(2)已知直线上的两个点),(),,(222111y x P y x P .

问题4 若),(),,(222111y x P y x P (x 1≠x 2)，则直线21P P 的斜率为 .

若x 1=x 2，则直线21P P 的斜率 .

5.2 学生活动（体验数学）

探究：若直线l 经过点A (−1，3)，斜率为−2，点P 在直线l 上运动，那么点P 的坐标(x ，y )应满足什么样条件?

当点P (x ，y )在直线l 上运动时，点P 与定点A (−1，3)所确定的直线的斜率等于−2，故有2)1(3-=---x y ， （1） 即y −3= −2[x −(−1)]， （2）

即2x +y −1=0. （3）

问题5 点A （-1，3）的坐标满足上述各方程吗？

答：方程（1）中x

，丢掉了点A ； 方程（2）及（3）中x =，补上点A .

问题6 直线l 上任意一点的坐标与方程（2）(或（3））的解有什么关系？

答：当点P 在直线l 上运动时，其坐标（x ，y ）满足2x +y −1=0．反过来，以方程2x +y −1=0的解为坐标的点都在直线l 上．

5.3 数学理论（建构数学）

直线的点斜式方程:

一般地，设直线l 经过点),(111y x P ，斜率为k ，直线l 上任意一点P 的坐标为(x ，y ). 当点P (x ，y )在直线l 上运动时，1PP 的斜率恒等于k ，即

k x x y y =--1

1，（1x x ≠，除点1P 外）(丢掉了点P 1) 即)(11x x k y y -=-，（,1x x =包括点1P ）(补上点P 1)(比较重要的容)

方程)(11x x k y y -=-叫做直线的点斜式方程. (“点”和“斜”是两个独立条件的浓缩概括，一个极为传神精准的命名)

说明：(1)可以验证，直线l 上的每个点（包括点1P ）的坐标都是这个方程的解；反过来，以这个方程的解为坐标的点都在直线l 上；

(2)当直线l 与x 轴垂直时，斜率不存在，其方程不能用点斜式表示.但因为l 上每一点的横坐标都等于1x ，所以它的方程是1x x =．

当直线l 与y 轴垂直时，斜率为0，其方程能用点斜式表示.但因为l 上每一点的纵