《2.4弦切角的性质》课件2-优质公开课-人教A版选修4-1精品

图 2－4－3
【证明】
如图，连接 BC.
∵CD 为⊙O 的切线， ∴∠ACD＝∠ABC. 又 AC 为∠BAD 的平分线， 故∠BAC＝∠CAD， ∴△ACD∽△ABC. ∴∠ADC＝∠ACB. 又∵AB 为⊙O 的直径，∴∠ACB＝90° . ∴∠ADC＝90° ，即 AD⊥CD.
如图 2－4－4，PA、PB 是⊙O 的切线，点 C 在 AB 上，CD⊥AB，CE⊥PA，CF⊥PB，垂足分别为 D、E、F， 求证：CD2＝CE· CF.
图 2－4－2
【思路探究】
解答本题的关键是运用弦切角定理与圆
周角定理的有关知识，进行角度的等量替换．
【自主解答】 连接 AC，BE，在 DC 延长线上取一点 F，因为 AB 是半 圆 O 的直径，C 为圆周上一点， 所以∠ACB＝90° ，即∠BCF＋∠ACD＝90° 又因为 AD⊥l，所以∠DAC＋∠ACD＝90° 所以∠BCF＝∠DAC 又因为直线 l 是圆 O 的切线，所以∠CEB＝∠BCF， 又∠DAC＝∠CBE，所以∠CBE＝∠CEB，∴CB＝CE.
【提示】 弦切角的度数等于它所夹弧度数的一半，圆 周角的度数等于它所对的弧的度数的一半，圆心角的度数等 于它所对弧的度数．
3．运用弦切角定理解题时，一般怎样添加辅助线？
【提示】
添加辅助线构成弦切角所夹的弧对应合适的
圆周角，为解题提供条件．
如图 2－4－2， AB 是半圆 O 的直径， C 是圆周上一点(异 于 A、B)，过 C 作圆 O 的切线 l，过 A 作直线 l 的垂线 AD， 垂足为 D，AD 交半圆于点 E，求证：CB＝CE.
图 2－4－7
【命题意图】 考查圆的几何性质、勾股定理及直角三 角形的性质．结合图形和圆的几何性质求解，考查了数形结 合能力和逻辑推理能力．
【解】 (1)证明：如图，连接 DE，交 BC 于点 G.
由弦切角定理，得∠ABE＝∠BCE， 而∠ABE＝∠CBE，故∠CBE＝∠BCE，所以 BE＝CE. 又因为 DB⊥BE，所以 DE 为圆的直径，∠DCE＝90° . 由勾股定理可得 DB＝DC.
如图 2－4－5，已知圆上的弧
＝
，过 C 点的圆的
切线与 BA 的延长线交于 E 点，证明： (1)∠ACE＝∠BCD； (2)BC2＝BE· CD.
图 2－4－9
【证明】 (1)∵ ∴∠BCD＝∠ABC.
＝
，
又∵EC 与圆相切于点 C， ∴∠ACE＝∠ABC.∴∠ACE＝∠BCD. (2)∵∠ECB＝∠CDB，∠EBC＝∠BCD， BC CD ∴△BDC∽△ECB，∴ ＝ ， BE BC 即 BC2＝BE· CD.
图 2－4－4
【思路探究】
【自主解答】 连接 CA、CB. ∵PA、PB 是⊙O 的切线． ∴∠CAP＝∠CBA，∠CBP＝∠CAB. 又 CD⊥AB，CE⊥PA，CF⊥PB， ∴Rt△CAE∽Rt△CBD， Rt△CBF∽Rt△CAD， CA CE CB CF ∴ ＝ ， ＝ ， CB CD CA CD CE CD ∴ ＝ ，即 CD2＝CE· CF. CD CF
1 ． 把证明线段相等转化为证明角的相等是弦切角定理 应用的常见题目． 2 ．利用弦切角定理进行计算、证明，要特别注意弦切 角所夹弧所对的圆周角，有时与圆的直径所对的圆周角结合 运用，同时要注意根据题目的需要可添加辅助线构成所需要 的弦切角．
如图 2－4－3，AB 是⊙O 的直径，CD 是⊙O 的切线，C 为切点，AC 平分∠BAD.求证：AD⊥CD.
图 2－4－8
【解析】 根据弦切角定理：∠NMP＝∠PQM＝70° . 【答案】 B
(教材第 34 页习题 2.4 第 2 题)如图 2－4－6， ⊙O 和⊙O′都经过 A、B 两点，AC 是⊙O′的切线，交⊙O 于点 C，AD 是⊙O 的切线，交⊙O′于点 D，求证：AB2＝ BC· BD.
图 2－4－6
(2013· 课标全国卷Ⅰ) 如图 2－4－7，直线 AB 为圆的切线，切点为 B，点 C 在圆上，∠ABC 的角平分线 BE 交圆于点 E，DB 垂直 BE 交 圆于点 D. (1)证明：DB＝DC； (2)设圆的半径为 1，BC＝ 3，延长 CE 交 AB 于点 F， 求△BCF 外接圆的半径．
1 ． 解答本题的难点在于乘积式中的线段不在两个相似 三角形中，需用中间量过渡． 2．弦切角定理经常作为工具，进行三角形相似的证明， 然后利用三角形相似进一步确定相应边之间的关系，在圆中 证明比例式或等积式，常常需要借助于三角形相似处理． 3 ．弦切角定理有时还与圆周角定理等知识综合运用， 它们不但在证明方法上相似，在解题功能上也有相似之处， 通常都作为辅助工具出现．
四 弦切角的性质
1．弦切角 顶点在 圆 上，一边和圆相交 、另一边和圆 相切 的角 叫做弦切角． 2．弦切角定理 (1)文字语言叙述： 弦切角等于它 所夹的弧 所对的圆周角．
(2)图形语言叙述： 如图 2－Байду номын сангаас－1，AB 与⊙O 切于 A 点，则∠BAC＝∠D .
图 2－4－1
1．怎样正确理解弦切角的定义？ 【提示】 弦切角的特点：(1)顶点在圆上；(2)一边与圆
相交；(3)一边与圆相切． 弦切角定义中的三个条件缺一不可． 如图(1)(2)(3)(4)中的 角都不是弦切角．图(1)中，缺少“顶点在圆上”的条件；图 (2)中，缺少“一边和圆相交”的条件；图(3)中，缺少“一边 和圆相切”的条件；图(4)中，缺少 “顶点在圆上”和“ 一边 和圆相切”两个条件．
2 ．弦切角、圆周角、圆心角与它们所对应的弧有什么 关系？
3 故 DG 是 BC 边的中垂线，所以 BG＝ 2 . 设 DE 的中点为 O，连接 BO，则∠BOG＝60° ，从而∠ ABE＝∠BCE＝∠CBE＝30° ，所以 CF⊥BF，故 Rt△BCF 外 3 接圆的半径等于 2 .
1．如图 2－4－8 所示，MN 与⊙O 相切于点 M，Q 和 P 是⊙O 上两点，∠PQM＝70° ，则∠NMP 等于( A．20° C．110° B．70° D．160° )