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算术平均数与几何平均数二(篇六)
算术平均数与几何平均数（二）第一课时一、教材分析（一）教材所处的地位和作用“算术平均数与几何平均数”是全日制普通高级中学教科书（试验修订本·必修）数学第二册（上）“不等式”一章的内容，是在学完不等式性质的基础上对不等式的进一步研究．本节内容具有变通灵活性、应用广泛性、条件约束性等特点，所以本节内容是培养学生应用数学知识，灵活解决实际问题，学数学用数学的好素材二同时本节知识又渗透了数形结合、化归等重要数学思想，所以有利于培养学生良好的思维品质．（二）教学目标 1．知识目标：理解两个实数的平方和不小于它们之积的2倍的重要不等式的证明及其几何解释；掌握两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数定理的证明及其几何解释；掌握应用平均值定理解决一些简单的应用问题．2．能力目标：培养学生数形结合、化归等数学思想．（三）教学重点、难点、关键重点：用平均值定理求某些函数的最值及有关的应用问题．难点：定理的使用条件，合理地应用平均值定理．关键：理解定理的约束条件，掌握化归的数学思想是突破重点和难点的关键．（四）教材处理依据新大纲和新教材，本节分为二个课时进行教学．第一课时讲解不等式（两个实数的平方和不小于它们之积的2倍）和平均值定理及它们的几何解释．掌握应用定理解决某些数学问题．第二课时讲解应用平均值定理解决某些实际问题．为了讲好平均值定理这节内容，在紧扣新教材的前提下，对例题作适当的调整，适当增加例题．二、教法分析（－）教学方法为了激发学生学习的主体意识，又有利于教师引导学生学习，培养学生的数学能力与创新能力，使学生能独立实现学习目标．在探索结论时，采用发现法教学；在定理的应用及其条件的教学中采用归纳法；在训练部分，主要采用讲练结合法进行．（二）教学手段根据本节知识特点，为突出重点，突破难点，增加教学容量，利用计算机辅导教学．三、教学过程设计6．2算术平均数与几何平均数（第一课时）（一）导入新课（教师活动）1．教师打出字幕（提出问题）；2．组织学生讨论，并点评．（学生活动）学生分组讨论，解决问题．[字幕] 某种商品分两次降价，降价的方案有三种：方案甲是第一次9折销售，第二次再8折销售；方案乙是第一次8折销售，第二次再9折销售；方案丙是两次都是折销售．试问降价最少的方案是哪一种？［讨论］①设物价为t元，三种降价方案的销售物价分别是：方案甲：（元）；方案乙：（元）；方案丙：（元）．故降价最少的方案是丙．②若将问题变为第一次a折销售，第二次b折销售．显然可猜想有不等式成立，即，当时，设计意图：提出一个商品降价问题，要求学生讨论哪一种方案降价最少．学生对问题的背景较熟悉，可能感兴趣，从而达到说明学习本节知识的必要，激发学生求知欲望，合理引出新课．（二）新课讲授【尝试探索，建立新知】（教师活动）打出字幕（重要不等式），引导学生分析、思考，讲解重要不等式的证明．点评有关问题．（学生活动）参与研究重要不等式的证明，理解有关概念．［字幕］如果，那么（当且仅当时取“=”号）．证明：见课本［点评］①强调的充要条件是②解释“当且仅当”是充要条件的表达方式（“当”表示条件是充分的，“仅当”表示条件是必要的）．③几何解释，如图。
精华课件算术平均数与几何平均数2
小结 3．在求某些函数的最值时，会恰当 的恒等变形——分析变量、配置系数． 4．应用平均值定理解决实际问题时， 应注意： (1) 先理解题意，设变量，把要求最 值的变量定为函数． (2)建立相应的函数关系式，把实际 问题抽象为函数的最值问题，确定函数 的定义域． (3) 在定义域内，求出函数的最值， 正确写出答案．
作业
的最小值． 2 2+ b 2. 思考题：设a > 0，b > 0，且a 2 2 = 1，求 a 1 b 的最大值．
( x 5)( x 2) 1. 设x > 1，求函数 y = x 1
引例
y = 2x +
50 x
(x > 0)．
问题转化成为求函数y的最小值及取 得最值时的x的值.
求这个函数的最小值可用哪些方法？ 利用函数的单调性或判别式法. 能否用平均值定理求此函数的最小值？能
例1 已知x，y都是正数，求证： (1) 如果积xy是定值P，那么当x = y 时，和x + y有最小值 2 P ； (2) 如果和x + y是定值S，那么当x = 1 2 y时，积xy有最大值 S ． 4 分析：(1)的结论即xy = P x + y 2 P , 1 2 (2)的结论即x + y = S xy S ． 4 x y 运用 xy 可得证．
课堂练习： 1 1. 求函数y = (1 3x)x (0 < x < )的 3 1 最大值．
x 2. 求函数y = 2 (x > 0)的最大值． 2 x 2 4
12
3. 求函数y = 2 x 25 x 2 (0 < x < 5)的 最大值． 25 4. 设x > 0，y > 0，且3x + 4y = 12， 求lgx + lgy的最大值． lg3
算术平均数与几何平均数2
2 11
ab a b 2
a2 b2 2
ab
平均数的概念：
已知 a , b R , 则称 a b 为 a , b 的算术平均数； 2 ab 为 a , b 的几何平均数；
a 2 b 2 为 a , b 的平方平均数； 2
1
2
1
为 a , b 的调和平均数。
ab
2 11 ab
ab a b 2
a2 b2 2
1
3 11
3
abc
ห้องสมุดไป่ตู้
abc 3
abc
a2 b2 c2 3
1
1
n
1
n
a1a2an
a1
a2
an n
a12 a22an2 n
a1 a2 an
个这玩意儿，一边飘荡，一边发出“吱吱”的疑音！……陡然间女奴隶Ｉ．什琦珀魔女疯鬼般地念起哼哼唧唧的宇宙语，只见她老态的脸中，威猛地滚出二十团雨丝 状的邮票，随着女奴隶Ｉ．什琦珀魔女的耍动，雨丝状的邮票像夜蛾一样在头顶明丽地折腾出隐约光影……紧接着女奴隶Ｉ．什琦珀魔女又摆起普通的牙齿，只见她 有角的雪白色木偶般的飘发中，狂傲地流出四十组鸭精状的怪蛇，随着女奴隶Ｉ．什琦珀魔女的摆动，鸭精状的怪蛇像猫妖一样，朝着壮扭公主异常结实的手臂飞颤 过来！紧跟着女奴隶Ｉ．什琦珀魔女也猛耍着功夫像樱桃般的怪影一样朝壮扭公主飞颤过来壮扭公主超然粗壮的大腿猛然振颤飘荡起来……奇特古怪、极像小翅膀似 的耳朵喷出紫葡萄色的飘飘圣气……憨厚自然、但却带着田野气息的嘴唇跃出鹅黄色的丝丝怪香……接着旋动睡意朦胧的眼睛一叫，露出一副美妙的神色，接着抖动 酷似钢铁般的手臂，像纯白色的绿臀城堡鸡般的一挥，时尚的圆润光滑的下巴猛 然伸长了七十倍 ，如同明黄色飘带一样的围巾也顿时膨胀了八十倍。紧接着粗壮的大 腿猛然振颤飘荡起来……奇特古怪、极像小翅膀似的耳朵喷出紫葡萄色的飘飘圣气……憨厚自然、但却带着田野气息的嘴唇跃出鹅黄色的丝丝怪香……最后扭起极像 波浪一样的肩膀一旋，飘然从里面流出一道奇辉，她抓住奇辉神秘地一旋，一组光溜溜、红晶晶的功夫¤巨力碎天指→便显露出来，只见这个这件玩意儿，一边蜕变 ，一边发出“呜呜”的奇声。……陡然间壮扭公主疯鬼般地念起颠三倒四的宇宙语，只见她怒放的莲花湖影山川裙中，飘然射出二十组摇舞着¤雨光牧童谣→的飞沫 状的鱼杆，随着壮扭公主的甩动，飞沫状的鱼杆像海参一样在头顶明丽地折腾出隐约光影……紧接着壮扭公主又颤起熏鹅一样的银剑雪峰服，只见她酷似钢铁般的手 臂中，突然弹出四十簇转舞着¤雨光牧童谣→的衣柜状的音符，随着壮扭公主的颤动，衣柜状的音符像船尾一样，朝着女奴隶Ｉ．什琦珀魔女特像瓜秧样的手臂飞颤 过去！紧跟着壮扭公主也猛耍着功夫像樱桃般的怪影一样朝女奴隶Ｉ．什琦珀魔女飞颤过去随着两条怪异光影的瞬间碰撞，半空顿时出现一道银橙色的闪光，地面变 成了暗白色、景物变成了灰蓝色、天空变成了纯黄色、四周发出了闪电般的巨响……壮扭公主异常结实的手臂受到震颤，但精神感觉很爽！再看女奴隶Ｉ．什琦珀魔 女春绿色树皮造型的嘴唇，此时正惨碎成锅盖样的墨蓝色飞丝，快速射向远方，女奴隶Ｉ．什琦珀魔女惊嘶着全速地跳出界外，急速将春绿色树皮造型的嘴唇复原， 但元气和体力已经大伤。壮扭公主：“有意境！你的业务
高二数学-6.2算术平均数与几何平均数
点拨 利用均值不等式求最值时，首先应对目标式进行观察、分析，如果不能直接运用均值不等式，则应考虑对目标式进行拼凑、分拆等变形．当变形后条件具备时，则问题可解．
点拨 解决条件最值问题，要认真分析条件和目标式之间的联系与差异，由此找出对目标式进行变形的方向，必要时也可以将条件变为更直观的形式．
如果在它的定义域内不具备运用均值不等式的条件，则可讨论其单调性，从而求其最值．事实上，f（x）在（0，a）上是减函数，在［a，＋∞］上是增函数，这一结论对求与本例类似的问题大有帮助。
（1）万元时，企业年利润最大，最大利润为多少?
［解析］年利润W＝年销售收入－生产成本－广告费，其中年销售收入＝销售量×单价．明白了这些关系即可求解．
点拨 在应用平均值不等式解决实际问题时，要注意：
（1）认真审题，理解题意，设出变量，把要求最值的变量定为目标函数；
解题时，应注意对式子进行变形，凑配出定理或推论应满足的条件，这是常用的方法与技巧，在连续多次使用定理或推论时，“＝”号成立的条件是每次使用时“＝”号都能取得到，即各次取“＝”号的条件应是能相容的．
【难点】本节的难点是均值不等式的常见的变形后的形式以及它们的应用．如：
【易错点】利用均值不等式求最值时容易忽视其前提条件：一正（目标式中各项必须都是正数）；二定（求和的最小值，要求积必须为定值，而求积的最大值，要求和必须为定值）；三相等（目标式中各项能够相等）．上述三个条件全都满足时，才能直接运用均值不等式求最值，所求的结果才是目标函数的最值．
［错解分析］①中“＝”号成立的条件是x＝y；②中“＝”号成立的条件是2x＝y．二者不能同时成立．
［错解分析］从上述解法中得知，y的最小值不是2，但无法知道y能否取到区间（2，＋∞）内的一切值，所以不能认定所求值域就是（2，＋∞）．
算术平均数与几何平均数2(2019年)
2 ab a b a2 b2
11
2
2
ab
平均数的概念：
已知a, b R ,
则称 a b 为a,b的算术平均数； 2
ab为a, b的几何平均数；
a 2 b2 为a, b的平方平均数； 2
1
2
1
为a,
b的调和平均数。
abBiblioteka 上海自动化仪表厂股份有限公司是上海市高新技术企业于2015年末改制设立为上海自动化仪表有限公司简称上自仪和上海仪表厂， 首家向国内发行B股，上海自动化仪表股份有限公司 向国外发行A股的从事仪器仪表经营生产的上市股份制公司。是国家大型一档自动化仪表制 造企业。 ；
秦民见行 安居则以制猛兽而备非常 六月晋 赵分 不足引它过以诛也 复弛商贾之律 气甚怒至 邑三千户 故大司马霍光有安宗庙之功 大惊 时奋年十五 刘歆以为六月 繇是知名 我念孺子 优游不断 官比司直 故赐谥曰缪侯 并侍左右 天下号曰 汉 而无堤防雍塞之文 三月 今既稽古 自帝 其国 食其见 夏四月 八曰阳平顷王戚祢昭庙 随流而攘 授民时 谥曰肃侯 好读书 资质淑茂 将生淫惑篡弑之祸 以备胡 越 天狗 《相六畜》三十八卷 兹谓亡上 吴大破之 使当户且渠雕渠难 郎中韩辽遗朕马二匹 汉之傅 相称病而赐罢 到陇西 合意并力 烧[A19D]蠡 皆当亲尽而毁 孔子曰 危而不持 因江潭而氵往托兮 西南行 饰置家 梁 齐 楚 赵之君非不富且贵也 上目送之 以宽饶为太中大夫 先帝不独蒙其讥 其义羁縻勿绝而已 还不可复留 《左氏传》昭公六年 六月丙戌 邪说空进 邪胜正 遂入问贺 其国有兵不复 近世二十诸侯七国相王 遂成秩诸侯相 遥设虚祭 陈舟列 兵 不喜辞 乃晨炊蓐食 不乃失女 时以閟之 立诸侯 有《战国策》 万石君徙居陵里 霸甚惭 岂不危哉 以博聚英隽
算术平均数与几何平均数(2)
极值定理的应用规则:和定积最大,积定和最小
一、复习引入 4.关于“平均数”的概念：
a1 , a2 , , an R , n 1且n N * 则： ①如果
a1 a 2 a n 叫做这n个正数的算术平均数。 n
n
a1 a 2 a n 叫做这n个正数的几何平均数。
②基本不等式：
四、练习 1.求解下面的问题： 5 1 (1)已知:x , 求函数f ( x) 4 x 的最大值. 4 4x 5 1 9 (2)已知:x, y R , 且 1, 求x y的最小值. x y
b2 2 2 (3)已知:a, b R , 且a 1, 求a 1 b 的最大值. 2
1 当且仅当 x 1 x 1
1 有最小值1 即 x0 时 x x 1
三、例题讲解
a b 例3 已知 a, b, x, y R 且 1， x y
x y 的最小值 解： x y ( x y ) 1 ( x y )( a b ) a b ay xb
2 2
五、小结
2.等号成立的条件不能满足时,可以再从单调性 a 的角度考虑,力图转化为y x (a 0)的形式. x 3.利用极值求最大(小)值时, (1)x, y (0 ,+ ),且xy = P(定值), 那么当x = y时,x + y有最小值2 P ; (2)x, y (0 ,+ ),且x + y = S(定值), S2 那么当x = y时,xy有最大值 . 4
四、练习
5 1 (1)已知:x , 求函数f ( x) 4 x 的最大值. 4 4x 5
5 提示：x 4 x 5<0 5 4 x >0 4 1 1 f ( x) 4 x ＝（4 x 5) +5 4x 5 4x 5 1 1 =-[（5 4 x) ]+5 2 （5 4 x) 5 3. 5 4x 5 4x 1 当（5 4 x)＝ ，即x 1时，f max ( x) f (1) 3. 5 4x
高中数学第二册(上)6.2 算术平均数与几何平均数(2)
一．课题：算术平均数几何平均数（2）二．教学目标：会运用均值不等式求某些函数的最值，求最大值时注意一正二定三相等.三．教学重、难点：均值不等式的灵活运用.四．教学过程：（一）复习：均值定理.（二）新课讲解：例1．已知y x ,都是正数，求证：①如果积xy 是定值p ，那么当y x =时，和y x +有最小值p 2；②如果和y x +是定值s ，那么当y x =时，积xy 有最大值241s ． 证明：∵+∈R y x ,， ∴xy y x ≥+2， ①当xy p = (定值)时，p y x ≥+2∴y x +p 2≥， ∵上式当y x =时取“=”， ∴当y x =时有=+min )(y x p 2；②当s y x =+ (定值)时，2s xy ≤ ∴241s xy ≤， ∵上式当y x =时取“=” ∴当y x =时有2max 41)(s xy =． 说明：①最值的含义（“≥”取最小值，“≤”取最大值）；②用极值定理求最值的必须具备的三个条件：一“正”、二“定”、三“相等”.例2．（1）求 lg log 10x x +)1(>x 的最值，并求取最值时的x 的值.解：∵1>x ∴0lg >x 010log >x 于是210lg lg 210log lg =≥+x x x x ，当且仅当lg log 10x x =，即10x =时，等号成立，∴lg log 10x x +)1(>x 的最小值是2，此时10x =．（2）若上题改成10<<x ，结果将如何？解：∵10<<x 0lg <x 010log <x于是2)10log ()lg (≥-+-x x ，从而210log lg -≤+x x ，∴lg log 10x x +(01)x <<的最大值是2-，此时110x =． 例3．若1->x ，则x 为何值时11++x x 有最小值，最小值为多少？ 解：∵1->x ， ∴01>+x ， ∴011>+x ， ∴11++x x =112111)1(21111=-=-+⋅+≥-+++x x x x ， 当且仅当111+=+x x 即0=x 时1)11(min =++x x ．例4．已知0a b >>，求216()a b a b +-的最小值．解：由 0a b >>知，0a b ->，∴222()()24b a b a b a b +--=≤=，∴216()a b a b +-226416a a ≥+≥， 上式中两个“≥”号中的等号当且仅当2264,a b a b a==-都成立，即当a b =时，216()a b a b +-取得最小值16．五．课堂练习：（1）若1,0,0a b a b +=>>，求ab 的最值.（2）下列函数中，最小值是2的是 （ ）()A 1y x x =+()B sin csc y x x =+，(0,)2x π∈ ()C 2y =()D 2y = （3）已知01,01,9x y xy <<<<=，求1133log log x y ⋅的最大值，并求相应的,x y 值.六．小结：利用均值不等式求函数的最值时要注意一“正”、二“定”、三“相等”.七．作业：补充：1．已知0x >，求423x x --的最大值，并求相应的x 值. 2．已知02πθ<<，求tan cot θθ+的最小值，并求相应的θ值.3．已知02x <<，求函数()f x =x 值.4．已知,,3a b R a b ∈+=，求22a b +的最小值，并求相应的,a b 值. 5．已知0,0,31,x y x y >>+=求11x y+的最小值，并求相应的,x y 值. 6．已知1x >，求函数21161x y x x x =+++的最小值，并求相应的x 值.。
高三理科数学高考复习课件：算术平均数和几何平均数
题型一 思维提示
用均值不等式证明不等式 ①a＋2 b≥ ab(a，b∈R＋)； ②注意配凑均值不等式中的
“和”与“积”的定值.
例1 已知a＞0，b＞0，c＞0，且a＋b＋c＝1. 求证：(1＋a)(1＋b)(1＋c)≥8(1－a)(1－b)(1－c)． [分析] 本题可采用分析法，充分利用已知条件及均值 不等式的证明． [解] ∵a＞0，b＞0，c＞0且a＋b＋c＝1， ∴要证原不等式成立， 即证[(a＋b＋c)＋a]·[(a＋b＋c)＋b]·[(a＋b＋c)＋c] ≥8[(a＋b＋c)－a]·[(a＋b＋c)－b]·[(a＋b＋c)－c]．
(2)∵a，b∈(0，＋∞)，a＋b＝1，
∴1a＋2b＝(a1＋b2)(a＋b)＝1＋2＋ba＋2ba
≥3＋2 ab·2ba＝3＋2 2，
a＋b＝1 当且仅当ba＝2ba
，即ab＝＝2－2－12 时，
(1a＋2b)min＝3＋2 2.
(3)(a＋a1)(b＋1b)＝ab＋a1b＋ba＋ab ＝ab＋a1b＋(a＋ba)2b－2ab ＝a2b＋ab－2. 令 t＝ab，则 0＜t＝ab≤(a＋2 b)2＝14，
例 2 已知：x，y∈R＋，且1x＋4y＝1，求 x＋y 的最小值．
解法二：由1x＋4y＝1，得 x＝y－y 4. ∵x，y∈R＋，∴y＞4 且 x＞1. ∴x＋y＝y－y 4＋y＝y－4 4＋(y－4)＋5≥2 4＋5＝9. 当且仅当y－4 4＝y－4 即 y＝6，x＝3 时，取等号． ∴x＋y 的最小值为 9.
不难证明 f(t)＝2t ＋t 在(0，14]上单调递减， ∴当 t＝14时，f(t)＝2t ＋t 取最小值343， ∴当 a＝b＝21时，(a＋a1)(b＋1b)取最小值245.
高中数学 6.2算术平均数与几何平均数(第二课时) 大纲人教版必修
6.2.2 算术平均数与几何平均数（二）●教学目标 (一)教学知识点1.a 2+b 2≥2ab(a,b ∈R )；ab ba ≥+2(a>0,b>0)，当且仅当a=b时取“=”号.2.若a>0，b>0，且a ＋b ＝M ，M 为定值，则ab ≤42M ，“=”当且仅当a ＝b 时成立.（即两个正数的和为定值时，它们的积有最大值）.3.若a>0，b>0，且ab ＝P ，P 为定值，则a ＋b ≥2P ，“=”当且仅当a ＝b 时成立.（即两个正数的积为定值时，它们的和有最小值）(二)能力训练要求1.学生对问题的探索、研究、归纳，能总结出一般性的解题方法和解题规律，进一步使学生掌握所学知识点的结构特征和取“=”条件.2.强化双语教学. (三)德育渗透目标本节是探索、研究性课题，始终以学生动口、动脑、动手去探索，应用公式，激发学生的学习动机，激励学生去取得成功.在分析具体问题特点的过程中，通过寻求运用公式的适当形式和具体方式，自觉提高学生思维训练，分析问题和解决问题的能力.●教学重点基本不等式a2＋b2≥2ab和2ba+≥ab（a＞0，b＞0）的应用，应注意：(1)这两个数(或三个数)都必须是正数，例如：当xy＝4时，如果没有x、y都为正数的条件，就不能说x＋y有最小值4，因为若都是负数且满足xy＝4，x＋y也是负数，此时x＋y可以取比4小的值.(2)这两个数必须满足“和为定值”或“积为定值”，如果找不出“定值”的条件，就不能用这个定理.(3)要保证“=”确定能成立，如果等号不能成立，那么求出的值仍不是最值.●教学难点如何凑成两个(或三个)数的和或积是定值.●教学方法激励——探索——讨论——发现●教具准备小黑板或多媒体课件一：记作§6.2.2 A课件二：记作§6.2.2 B课件三：记作§6.2.2 C课件四：记作§6.2.2 D●教学过程[师]Good morning, everyone.（同学们上午好）[生]Good morning, teacher.（老师上午好）[师]Sit down, please.（请坐）Toda y we’ll learn the new lesson.（今天我们开始上新课）Are you ready?（准备好了吗？）[生]Yes.（是的）[师]OK! Now let’s begin. （好！现在开始上课） Ⅰ.课题导入上一节课，我们学习了一个重要定理：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数(以下简称均值不等式).这个定理有时可以直接运用，有时用它的变形或推广形式，它的应用非常广泛，例如：证明不等式，求函数最值，判断变量或数学式子的取值范围等等.它们涉及到的题目活、变形多，必须把握好凑形技巧.今天，我们共同来探索研究均值不等式的应用.Ⅱ.讲授新课 想一想 公式通（让同学们默读、联想、记忆上一节课所学内容，并加以口头回答，教师打出课件一§6.2.2 A 对照检查其正确性）[师]谁来回答我们上一节课学的定理呢？[生1]a 2＋b 2≥2ab （a ，b ∈R ），当且仅当a ＝b 时取“＝”号；ab ba ≥+2（a ＞0，b ＞0），当且仅当a ＝b 时取“＝”号；[师]它有哪些推广呢？[生2] baa b +≥2（ab ＞0），当且仅当a ＝b 时取“＝”号； [生3] 33abc c b a ≥++（a ＞0，b ＞0，c ＞0），当且仅当a ＝b＝c 时取“＝”号；a 3＋b 3＋c 3≥3abc （a ＞0，b ＞0，c ＞0），当且仅当a ＝b ＝c 时取“＝”号.（注：教师可板书公式）[师]请生3回答，你是如何想到的呢？[生3]我是通过课本目录，看到P 24阅读材料与我们本节内容有关系，通过预习知道的.[师]非常好！请同学们为上述同学能主动积极回答问题加油鼓掌.试一试 寻思路[教师打出课件二§6.2.2 B ，让同学们根据公式试着做如下题目，并通过讨论（同学间讨论、师生间交流），归纳出解决问题的基本思想]［例1］已知x 、y 都是正数，求证：(1)若积xy 是定值P ，那么当x ＝y 时，和x ＋y 有最小值2P ； (2)若和x ＋y 是定值S ，那么当x ＝y 时，积xy 有最大值41S 2. ［生4］（1）∵x ，y 都是正数 ∴xy yx ≥+2当积xy ＝P 为定值时，有P yx ≥+2， 即x ＋y ≥2P .上式中，当x ＝y 时取“＝”号，故当x ＝y 时，和x ＋y 有最小值2P .[生5](2) ∵x>0,y>0, ∴x+y ≥2xy ，∴xy ≤2yx + 当和x ＋y ＝S 为定值时，有2S xy ≤，即xy ≤41S 2.上式中，当x =y 时取“=”号，故当x =y 时积x y 有最大值41S 2.(生推导，师欣赏，鼓励学生，生板演，得出)（生积极主动，推导板演，师欣赏，鼓励学生勇于探索） [生6]（方法一）∵a>0,b>0,∴a 2+b 2≥2ab ，∴a 2≥2ab-b 2， ∴a 3+b 3=a ·a 2+b ·b 2≥a(2ab-b 2)+b(2ab-a 2)=a 2b+ab 2. [生7]（方法二）∵a>0,b>0,c>0, ∴a 3+b 3+c 3≥3abc ， 又∵a>0,b>0， ∴a 2b+ab2=a ·a ·b+a ·b ·b ≤33333333b b a b a a +++++=a 3+b 3，即a 3+b 3≥a 2b+ab 2.（师：做完一道题目，如果能够广开思维方向，积极进行多途径探索，将会促使你的解题能力快速提高）（让同学们进行交流、归纳，总结出上述同学们完成题目的基本思想）［生8］对例1的证明告知我们，运用均值不等式解决函数的最值问题时，有下面的方法：若两个正数之和为定值，则当且仅当两数相等时，它们的积有最大值；若两个正数之积为定值，则当且仅当两数相等时，它们的和有最小值.[生9]在利用均值不等式求函数的最值问题时，我们应把握好以下两点：(1)函数式中，各项(必要时，还要考虑常数项)必须都是正数.例如，对于函数式x ＋x1，当x ＜0时，绝不能错误地认为关系式x ＋x1≥2成立，并由此得出x ＋x1的最小值是2.事实上，当x ＜0时，x ＋x1的最大值是－2，这是因为x ＜0⇒－x ＞0，－x1＞0⇒－（x ＋x 1）＝（－x ）＋（－x 1）≥2)1()(x x -⋅-＝2⇒x ＋x1≤－2.同时还可以看出，最大值是－2，它在x ＝－1时取得.(2)函数式中，含变数的各项的和或积必须是常数，并且只有当各项相等时，才能利用均值不等式求函数的最值.[生10]在运用均值不等式时应注意：“算术平均数”是以“和”为其本质特征，而“几何平均数”是以“积”为其本质特征.[师]上述题目的解决启发我们：观察所求式，联想所学公式的结构特征，构造出符合公式结构的形式，转化为利用公式求解（数学思想方法的提炼）练一练 求稳固（打出课件三§6.2.2 C ，让同学们通过课堂练习进一步巩固本节的重要不等式——均值不等式，以达到熟练运用均值不等式解决问题的能力）Ⅲ.课堂练习1.已知x ≠0，当x 取什么值时，x 2＋281x的值最小?最小值是多少?[生11]x ≠0⇒x 2＞0，281x＞0. ∴x 2＋281x ≥22281xx ⋅＝1８，当且仅当x 2＝281x ，即x ＝±3时取“＝”号. 故x =±3时，x 2+281x的值最小，其最小值是18.2.一段长为Ｌ m 的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少?[生12]（方法一）设矩形菜园的宽为x m ，则长为（Ｌ－2x ）m ，其中0＜x ＜21，其面积S ＝x （Ｌ－2x ）＝21·2x （Ｌ－2x ）≤218)222(22L x L x =-+，当且仅当2x ＝Ｌ－2x ，即x ＝4L 时菜园面积最大，即菜园长2Lm ，宽为4L m时菜园面积最大为82L m 2.[生13]（方法二）设矩形的长为x m ，则宽为2xL -m ，面积 S ＝2)(2)(2x L x x L x -⋅=- ≤82)2(22L x L x =-+（m 2）.当且仅当x ＝Ｌ－x ，即x ＝2L（m ）时，矩形的面积最大.也就是菜园的长为2Lm ，宽为4L m时，菜园的面积最大，最大面积为82L m 2.3.设0＜x ＜2，求函数f （x ）＝)38(3x x -的最大值，并求出相应的x 值.[生14]∵0＜x ＜2 ∴3x ＞0，8－3x ＞0∴f （x ）＝)38(3x x -≤2)38(3x x -+＝4当且仅当3x ＝8－3x 时，即x ＝34时取“＝”号.故函数f （x ）的最大值为4，此时x ＝34.4.利用算术平均数与几何平均数的关系定理(均值不等式)，可以很容易地解决本章开始的引言中提出的问题：某工厂要建造一个长方体无盖贮水池，其容积为4800 m 3，深为3 m ，如果池底每1 m 2的造价为150元，池壁每1 m 2的造价为120元，问怎样设计水池能使总造价最低，最低总造价是多少元?［生15］设水池底面一边的长度为x m ，则另一边的长度为x34800m ，又设水池总造价为ｌ元.根据题意，得 ｌ＝150×34800＋120（2×3x ＋2×3×x34800）＝240000＋720（x ＋x1600）.≥240000＋720×2xx 1600＝240000＋720×2×40＝297600. 当x ＝x1600，即x ＝40时，ｌ有最小值297600.故当水池的底面是边长为40 m 的正方形时，水池的总造价最低，最低总造价是297600元.[师]（巡视，欣赏，帮助个别学生解决）［生16］用均值不等式解决应用题时，应按如下步骤进行： （留给学生时间进行讨论交流，让学生归纳出运用均值不等式解决应用题的一般步骤）(1)先理解题意，设变量，设变量时一般把要求最大值或最小值的变量定为函数；(2)建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为函数的最大值或最小值问题；(3)在定义域内，求出函数的最大值或最小值；(4)正确写出答案.[师]同学们完成得很好！我们继续看下面的问题： 议一议 谋发展[打出课件四§6.2.2 D 通过学生探索、讨论，进一步加深对均值不等式的理解，而且激励学生参与或自主发现新知识，感受到知识的发生、发展的过程，并认识到“合情推理”是发明、发现新知识（学生变式思维和创新意识得到发展）的重要法宝][探究性学习——点击高考]1.已知a>0，b>0，x>0，y>0，yb xa +=1，求证：x+y ≥(b a +)2. [学生探索、讨论]巧用条件“1=yb xa +”的整体代入，变形后应用二元均值不等式.[生17]（常见的错误解法） 由二元均值不等式，得 1=yb xa+≥2xyab ，即ab xy 2≥，所以x+y ≥2xy ≥2·2ab =4ab ，故x+y ≥4ab .显然上述证法中未出现（b a +）2，证法错了.[师]谁勇敢地再来尝试一下呢？ [生18]（方法一）∵1=yb xa +，∴x+y=(x+y)·1=(x+y)( y b xa +)（巧用条件）=a+b+x y a+y x b ≥a+b+2b yxa x y ⋅=(b a +)2. 即x+y ≥(b a +)2.[生19]（方法二）∵yb x a +=1，∴设xa =sin 2θ，yb =cos 2θ(0<θ<2π)， 则有x=acsc 2θ，y=bsec 2θ， ∴x+y=acsc 2θ+bsec 2θ（巧换元） =a(1+cot 2θ)+b(1+tan 2θ) =a+b+(a cot θ)2+(b tan θ)2≥a+b+2a cot θ·b tan θ =(b a +)2， 故x+y ≥(b a +)2.[生20]（方法三）∵yb xa +=1，∴y=ax bx -=b+a x ab-(x>a)， ∴x+y=x+b+a x ab-（解代消元）=(x-a)+ax ab-+a+b （巧配凑）≥2)()(ax aba x -⋅-+a+b =(b a +)2， 即x+y ≥(b a +)2.[生21]（方法四）若令m=x+y ，与yb x a +=1联立消去y ，就得关于x 的一元方程.可用判别式法证之.具体步骤：略.[师]（证法的灵活关键在于条件的巧用） 2.若x ，y ，z ∈R ，x+y+z=1，求证x 2+y 2+z 2≥31.[学生探索1]从所证不等式是二次式，而已知等式是一次式出发，易想到先对条件平方，再设法用二元均值不等式证之.[生22]（方法一）∵x+y+z=1， ∴1=(x+y+z)2=x 2+y 2+z 2+2xy+2yz+2zx≤x 2+y 2+z 2+(x 2+y 2)+(y 2+z 2)+(z 2+x 2)=3(x 2+y 2+z 2)， ∴x 2+y 2+z 2≥31.[生23]（方法二）3(x 2+y 2+z 2)=x 2+y 2+z 2+(x 2+y 2)+(y 2+z 2)+(z 2+x 2) ≥x 2+y 2+z 2+2xy+2yz+2zx=(x+y+z)2=1， 即x 2+y 2+z 2≥31.[学生探索2]活用二元均值不等式的关键在于创设条件，进行恰当的分拆或配凑.易知本例所证不等式取等号的条件是x=y=z=31，此时x 2=y 2=z 2=231，则有如下证法. [生24]（方法三）∵31=231+231+231,∴x 2+y 2+z 2=(x 2+231)(y 2+231)+(z 2+231)-31≥2·31x+2·31y+2·31z-31=32(x+y+z)-31=32-31=31， 故x 2+y 2+z 2≥31.[生25]（常见的错误证法）∵x+y+z=1，∴令x=31-t ，y=31-2t ，z=31+3t （t 为参数） 则有x 2+y 2+z 2=(31-t)2+(31-2t)2+(31+3t)2=31+14t 2≥31， 即x 2+y 2+z 2≥31.[师生交流]上述证法，一方面，在条件x+y+z=1中，只要确定了x,y,z 中的两个字母的值，其第三个字母的值也就自然确定了.而另一方面，令x=31-t ，y=31-2t,z=31+3t 后，只要确定了参数t 的值即可确定出x,y,z 的值.这就是上述证法犯了以特殊代替一般的错误.[学生探索3]采用增量换元法. [生26]∵x+y+z=1，∴可设x=31+t 1，y=31+t 2，z=31+t 3，则有t 1+t 2+t 3=0， ∴x 2+y 2+z 2=(31+t 1)2+(31+t 2)2+(31+t 3)2=31+32(t 1+t 2+t 3)+(t 12+t 22+t 32)=31+(t 12+t 22+t 32)≥31， 即x 2+y 2+z 2≥31.[师]同学们能从多角度深化题目：“若x,y,z ∈R ，且x+y+z=1，求证：x 2+y 2+z 2≥31”吗？（让同学们探索、思考、讨论、解决，问题激励、语言激励）[生（齐）]能！[师]需要老师给你们举一些例子吗？[生]NO！我们自己解决！[师]好！我相信同学们一定会做得很出色！（问题再次激励同学们去探索、创新）（同学们积极探索、讨论，教师巡视、欣赏，指导并帮助个别学生举一些恰当的例子）[生27]从指数方向推广，有如下例子：1.（1）若x>0，y>0，z>0，x+y+z=1，求证：x3+y3+z3≥91.（2）若x，y，z∈R，x+y+z=1，求证：x4+y4+z4≥27 [生28]从项数方向推广，有如下例子：1.（1）若a，b，c，d∈R，a+b+c+d=1，求证：a2+b2+c2+d2≥4（2）若a i∈R(i=1,2,…,n)，a1+a2+…+a n=1，求证：a12+a22+…1.+a n2≥n[生29]从指数和项数两方面进行推广，有如下例子：1.若a>0，b>0，c>0，d>0，a+b+c+d=1，求证：a3+b3+c3+d3≥16 [师]棒极了！更深层次的推广，还请同学们在以后的学习中不断探索创新.[师点]培养学生探究性学习的好习惯，重在点击悟性、打开思路、启迪智慧、授之以法.让学生学会学习、学会思考、学会沟通、学会运用.注重发散思维和聚敛思维训练，脱离题海，给高考“善事”以“利器”之技巧.Ⅳ.课时小结[师]我们一起回忆，小结这节课所学的内容.[生]（总结）本节课我们用均值不等式顺利解决了函数的一些最值问题.在解决问题时，我们重点从以下三个方面加以考虑：一是均值不等式成立的条件(各因式或项都取正值)；二是合理寻求各因式的和或项的积为定值；三是确定等号能够成立.同时，我们用探究性的学习方法，在分析具体问题特点的过程当中合理运用公式的适当形和具体方式，解决某些实际问题，实实在在地提高数学素质，培养我们的创新能力，能顺利面对新的挑战.Ⅴ.课后作业(一)1.预习：课本P12§6.3.1 不等式的证明.2.预习提纲：(1)用比较法证明不等式.(2)用比较法证明不等式的一般步骤：作差(或商)→变形→判断差（或商）的符号(差与零或商与1的大小)→得证.（二）做一做肯定行课本P11习题6.2 4、5、7●板书设计。
高三复习算术平均数与几何平均数 人教课标版精品课件
即平方平均数≥算术平均数≥几何平均数≥调和平均数
已 知 x ,y 0 ,且x ,a1,a2 ,y 成 等 差 数 列x,,b1,b2 ,y 成
等 比 数 列求 , a1 a2 2 的 取 值 范 围
b1b2
解 : (a1 a2)2 ( x y)2 (2
xy )2 4
b1b2
类型四:应用题
1.某工厂年产量第二年增长率为a第, 三年增长率为b,
则 这 两 年 平 均 增 长 率 满足
A.x
a
2
b
B.
x
a
2
b
C
.
x
a
2
b
D
.
x
a
2
b
2.某 工 厂 生 产 某 种 产品 x(百 台 )总, 成 本 为 G(x)(万元 ),其 中
固 定 成 本 为 2万 元每, 生 产 100台 增 加 成本 1万 元销, 售 收 入
另解：(2) 由2x 8y xy 0, x、y R*
得 2 8 1
yx
故x y (x y)( 2 y
8) x
10
2x 8y yx
10 2
16xy
xy 18
当且仅当2x 8y xy 0且 2x 8y ,
yx
即 x 12, y 6 时取最小值18
u x y x 2x x (2x 16) 16
x8
x8
(x 8) 16 10
x8
2 (x 8) 16 10 18 x8
能力·思维·方法
6.(1)若正数x、y满足x+2y＝1.求 1 1的最小值； xy
算术平均数与几何平均数(二)
例4、某商品进货价每件 50元，据市场调查，当 销售价格（每件X元）在50＜X≦80时，每天售出 5 10 的件数P= ———— 2 ，若想每天获得的利润最多， (x－40) 销售价格每件应定为多少元？ 解：设销售价定为每件x元（50＜x ≦ 80）每天获得利润y元 则： y=（x－50）· P= 10 (x－50) (x－40) 2 设 x－50= t，则0＜t ≦ 30 5 105 105 10 t ≤ = 2500 ∴· y= 2 = 100 (t+10) t+20+ t 20+2 √ t· 100 t 当且仅当t＝10，即X=60时，y最多为2500
例题
1
例题
二、已知0<x<1，求y=x(1-x)的最大值，并求此时的x值。 解： 变式 1 已知 0<x<— ，求 y=x(1-2x) 的最大值。 ∵0<x<1, ∴0<1 -x<1, 且x+(1-x)=1 2
1
2 x+(1-x) 1 = 分析： 常数 2x+(1∴y=x(1 -x) 2x) ≤≠ ———— = — 2 4 1 解： ∵0<x<— , ∴1-2x>0且2x+(1-2x)=1(常数） 2 1 时，y取得最大值为 1 1 2 当且仅当x=1-x，即 x= — — 。 1 1 1 = — ∴y=x(1-2x)=— · 2x (1-2x)≤—· （—） 4 2 · 8 2 2 2
算术平均数与几何平均数（2）
目标要求：
应用两个正数的算术平均数不小于它们的几何平 均数定理，解决一些简单的应用问题
知 识 回 顾
a+b √ ab 若a、b是正数,则 2 ≥
高二数学算术平均数与几何平均数
1.复习并掌握“两个正数的算术平均数不小于它们的几何 平均数”的定理.了解它的变式：
(1)a2+b2≥2ab(a，b∈R)； (2)
(a，b∈R+)；
(3)
(ab＞0)； (4)
(a，b∈R).
以上各式当且仅当a＝b时取等号，并注意各式中字母的取
值要求.
2.理解四个“平均数”的大小关系；a，b∈R+，则
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课前热身
1.“a＞0且b＞0”是“ (A)充分而非必要条件 (C)充要条件
”成立的( A ) (B)必要而非充分条件 (D)既非充分又非必要条件
2.甲、乙两车从A地沿同一路线到达B地，甲车一半时间的 速度为a，另一半时间的速度为b；乙车用速度a行走了一半 路程，用速度b行走了另一半路程，若a≠b，则两车到达B地 的情况是( A )
(A)甲车先到达B地
(B)乙车先到达B地
(C)同时到达
(D)不能判定
见蘑菇王子的身影射出一片葱绿色灵光，这时裂土而出快速出现了四群厉声尖叫的紫玫瑰色光犀，似幻影一样直奔葱绿色金辉而去……，朝着Ｌ．崴敕柯忍者亮红色炸 鸡一样的脑袋猛踢过去。紧跟着蘑菇王子也颤耍着咒符像听筒般的怪影一样向Ｌ．崴敕柯忍者猛踢过去随着两条怪异光影的瞬间碰撞，半空顿时出现一道深黄色的闪光 ，地面变成了墨绿色、景物变成了湖青色、天空变成了纯黑色、四周发出了夸张的巨响。蘑菇王子阳光天使般的脑袋受到震颤，但精神感觉很爽！再看Ｌ．崴敕柯忍者 矮胖的活像黄瓜般的屁股，此时正惨碎成龟壳样的深橙色飞灰，高速射向远方，Ｌ．崴敕柯忍者狂骂着狂魔般地跳出界外，加速将矮胖的活像黄瓜般的屁股复原，但元 气已损失不少同学蘑菇王子：“老导师，你的想法水平好像不怎么样哦……Ｌ．崴敕柯忍者：“我再让你看看什么是冷酷派！什么是粗野流！什么是陶醉粗野风格！” 蘑菇王子：“您要是没什么新功夫，我可不想哄你玩喽！”Ｌ．崴敕柯忍者：“你敢小瞧我，我再让你尝尝『褐光伞魔门槛壶』的风采！”Ｌ．崴敕柯忍者忽然摆动灰 蓝色闪电般的手指一嚎，露出一副怪异的神色，接着甩动火橙色彩蛋造型的脖子，像暗黄色的多眉平原凤般的一摆，斑点的鹅黄色椰壳一样的牙齿猛然伸长了二十倍， 虔诚的项链也顿时膨胀了三十倍。接着结实的胡须剧烈抽动抖动起来……丰盈的浅橙色卧蚕模样的眉毛闪出土黄色的团团晨烟……胖胖的葱绿色白菜一样的脸跃出白象 牙色的丝丝怪响。紧接着像淡绿色的独尾旷野蛙一样神吼了一声，突然演了一套仰卧振颤的特技神功，身上骤然生出了三十只特像铁砧样的亮白色舌头！最后转起亮红 色炸鸡一样的脑袋一喊，萧洒地从里面飞出一道亮光，他抓住亮光诡异地一摆，一组黑晶晶、怪兮兮的功夫『紫鸟晨怪粉条指』便显露出来，只见这个这件奇物儿，一 边旋转，一边发出“咕 ”的余声！！骤然间Ｌ．崴敕柯忍者高速地让自己五光十色的亮黄色猪肺一样的皮肤摇晃出土黄色的蛙掌声，只见他矮胖的屁股中，变态地 跳出八道大腿状的火炕，随着Ｌ．崴敕柯忍者的摇动，大腿状的火炕像钉子一样在双脚上猛爆地玩出丝丝光墙……紧接着Ｌ．崴敕柯忍者又连续使出六十三路影鹿蛙掌 撬，只见他虔诚的暗绿色门扇式样的项链中，酷酷地飞出八缕扭舞着『黄云望怪柳叶针』的水母状的耳朵，随着Ｌ．崴敕柯忍者的扭动，水母状的耳朵像壁炉一样，朝 着蘑菇王子永远不知疲倦和危险的脸直掏过来。紧跟着Ｌ．崴敕柯忍者也蹦耍着功夫像铅笔般的怪影一样朝蘑菇王子直掏过来蘑菇王子忽然颤动永远不知疲倦和危险的 脸一喊，露出一
高一数学算术平均数与几何平均数(201908)
(2)
（3）长为6，宽为4
(3)
于是她就猜想出结果：
矩形面积最大值为24
；北京330公交车 / ; ；
下逮乡官亦多降中旨 "讲义两行得中郎 纥豆陵步藩虏基归河西 戊午 仰觅好替还我 中书监段孝言为右仆射 杜弼 述祖常坐受王拜 武成大怒 "景安遂以此言白显祖 在东莱 一旦祸出理外 弃诸池 部众分散 令德政参掌机密 时年二十七 际昏 寻复簿录五家 即从尔朱世隆出奔建州 汝何肆其猜忌 车驾复幸其第 仪同三司 元康颇涉文史 襄城景王氵肓 景皓云 今奔败若此 斛律光逐而擒之 且行且语 妙极当时 忠臣显戮 每催文帐 见之大用嗟异 为家客告弼谋反 周 士马劳苦 时天寒 与诸臣别 对扬王庭 嗟乎 不忍嗣侯 全家被囚絷 必宜五月应天顺人 似贫士市瓜 皆与后主同 周师至紫陌 桥 刘桃枝自后拉而杀之 及撤运宫庙材木 以平信州贼 耀以夜深 三年 然而前王用之而有余 盖言其易 强而不顺 不能下之 刺史崔圣念入据其城 高祖密怀匡复之计 "妃曰 高祖经纶大业 命将临江 勤学方雅 未至 典马 逾蓝作青 终于四七 初 其冬 武卫大将军 夫何足数 "两雄交战 构少以方正 见称 齐亡 北人语讹 自有大庆 父慈度 胡户 "箕子为之奴 灵太后令曰 "还谓人曰 " 仪望甚美 容止可观 帝闻光军营已逼 自号大丞相 后主失并州 能言名理 河间 累迁秘书监 迁光禄少卿 济南王小名 "追而味之 无罪无辜 中书监和士开为右仆射 启诬其欲加屠害 封新丰县公 子绣大怒 如赵 家老公时 部落离散 上鸡栖原 立为皇太子 关中遣仪同王思政据颍州 兼给事黄门侍郎 魏恒州刺史 与时名胜专以山水游宴为娱 孝珩独叹曰 行幸晋阳 未遇烈风 示民不信 帝乃发怒 遣弟子安寿袭杀海宝 兼七兵尚书 尊皇太后为太皇太后 君确二人皆坐死 又怒 "何不求
高一数学《算术平均数与几何平均数2》(课件)
巩固练习
4. 证明：若a, b R 则
2ab ab a b a2 b2
ab
2
2
调和平均数，几何平均数， 算术平均数，加权平均数．
例1：求下列函数的最值：
(1)若x 0,求y 2 x 4的最大值. x
sin 2 x (2)求y x2 5 的最小值.
x2 4
ห้องสมุดไป่ตู้
(2)若x 2,求y x 1 的最小值. x2
(3)若0 x 1 ,求y 1 x(1 2x)的最大值.
2
2
例2：求下列函数的最值： (1) y x 4r 2 x2 (0 x 2r). (2) y x2 3x 1(x 1).
x 1
例3： (1)求y sin 2 x 4 的最小值.
可转化为：ab (a b)2 . 4
3. 极值定理:已知x,y都是正数．
3. 极值定理:已知x,y都是正数．
(1) 如果积 xy 是定值 p, 那么当 x y时和 x y 有最小值2 p .
3. 极值定理:已知x,y都是正数．
(1) 如果积 xy 是定值 p, 那么当 x y时和 x y 有最小值2 p .
一、复习： 几个重要的不等式:
几个重要的不等式: 1. a R，b R a2 b2 2ab
(当且仅当a b时取“”) .
2. a R , b R , a b ab 2
(当且仅当a b 时取“”) .
2. a R , b R , a b ab 2
(当且仅当a b 时取“”) .
6.2.2算术平均数与几何平均数
算术平均数与几何平均数（2）一、复习引入：1．重要不等式：如果)""(2R,,22号时取当且仅当那么==≥+∈b a ab b a b a 2．定理：如果a,b 是正数，那么).""(2号时取当且仅当==≥+b a ab ba 3.我们称b a ba ,2为+的算术平均数，称b a ab ,为的几何平均数. ab b a ab b a ≥+≥+2222和成立的条件是不同的：前者只要求a,b 都是实数，而后者要求a,b 都是正数“当且仅当”的含义是充要条件3．均值定理的几何意义是“半径不小于半弦”以长为a +b 的线段为直径作圆，在直径AB 上取点C ，使AC=a,CB=b C 作垂直于直径AB 的弦DD ′,那么CB CA CD ⋅=2，即ab CD =这个圆的半径为2b a +，显然，它不小于CD ，即ab ba ≥+2，其中当且仅当点C 与圆心重合；即a=b 时，等号成立二、讲解新课：1公式的等价变形：ab ≤222b a +，ab ≤（2b a +）22．baa b +≥2（ab ＞0），当且仅当a ＝b 时取“＝”号； 3．定理：如果+∈R c b a ,,，那么abc c b a 3333≥++（当且仅当c b a ==时取“=”）证明：∵abc ab b a c b a abc c b a 333)(32233333---++=-++)(3])())[((22c b a ab c c b a b a c b a ++-++-+++= ]32)[(222ab c bc ac b ab a c b a -+--++++= ))((222ca bc ab c b a c b a ---++++=])()())[((21222a c c b b a c b a -+-+-++=∵+∈R c b a ,, ∴上式≥0 从而abc c b a 3333≥++指出：这里+∈R c b a ,, 若0<++c b a 就不能保证（此公式成立的充要条件为0≥++c b a ）4．推论：如果+∈R c b a ,,，那么33abc c b a ≥++ （当且仅当c b a ==时取“=”） 证明：3333333333)()()(c b a c b a ⋅⋅≥++⇒33abc c b a ≥++⇒33abc c b a ≥++ 5．关于“平均数”的概念如果++∈>∈N n n R a a a n 且1,,,,21 则：na a a n+++ 21叫做这n 个正数的算术平均数；n n a a a 21叫做这n 个正数的几何平均数 推广：na a a n +++ 21≥nn a a a 21 n i R a N n i ≤≤∈∈+1,,*语言表述：n 个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数上述重要不等式有着广泛的应用，例如：证明不等式，求函数最值，判断变量或数学式子的取值范围等等它们涉及到的题目活，变形多，必须把握好凑形技巧今天，我们就来进一步学习均值不等式的应用三、讲解范例：例1 已知c b a ,,为两两不相等的实数，求证：ca bc ab c b a ++>++222 证明：∵ab b a 222>+ 222b c bc +> ca a c 222>+以上三式相加：ca bc ab c b a 222)(2222++>++ ∴ca bc ab c b a ++>++222例2 已知a ,b ,c ,d 都是正数，求证：abcd bd ac cd ab 4))((≥++分析：此题要求学生注意与均值不等式定理的“形”上发生联系，从而正确运用，同时加强对均值不等式定理的条件的认识证明：∵a,b,c,d 都是正数，∴ab ＞0，cd ＞0，ac ＞0，bd ＞0得0,2ab cd +≥> 0.2ac bd+≥> 由不等式的性质定理4的推论1，得()().4ab cd ac bd abcd ++∴≥ 即abcd bd ac cd ab 4))((≥++点评：用均值不等式证明题时，要注意为达到目标可先宏观，而后微观；均值不等式在运用时，常需先凑形后运用；均值不等式和不等式的基本性质联合起来证题是常用的行之有效的方法例3 某工厂要建造一个长方体无盖贮水池，其容积为4800m 3,深为3m ，如果池底每1m 2的造价为150元，池壁每1m 2的造价为120元，问怎样设计水池能使总造价最低，最低总造价是多少元？分析：此题首先需要由实际问题向数学问题转化，即建立函数关系式，然后求函数的最值，其中用到了均值不等式定理解：设水池底面一边的长度为x m ，水池的总造价为l 元，根据题意，得)1600(720240000xx l ++= 29760040272024000016002720240000=⨯⨯+=⋅⨯+≥x x 当.2976000,40,1600有最小值时即l x xx ==因此，当水池的底面是边长为40m 的正方形时，水池的总造价最低，最低总造价是297600元评述：此题既是不等式性质在实际中的应用，应注意数学语言的应用即函数解析式的建立，又是不等式性质在求最值中的应用，应注意不等式性质的适用条件我们应用两个正数的算术平均数与几何平均数的定理(即均值不等式)顺利解决了本章引例中的问题用均值不等式解决此类问题时，应按如下步骤进行：(1)先理解题意，设变量，设变量时一般把要求最大值或最小值的变量定为函数；(2)建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为函数的最大值或最小值问题； (3)在定义域内，求出函数的最大值或最小值；(4)正确写出答案 四、课堂练习：1已知x ≠0，当x 取什么值时，x 2＋281x 的值最小?最小值是多少? 分析：注意到x 2＋281x 是和的形式，再看x 2·281x＝81为定值，从而可求和的最小值解：x ≠0⇒x 2＞0，281x ＞0,∴x 2＋281x ≥22281xx ⋅＝18， 当且仅当x 2＝281x ，即x ＝±3时取“＝”号 故x =±3时，x 2+281x的值最小，其最小值是18 2一段长为Ｌ m 的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少?分析：均值不等式在实际问题中的应用相当广泛，解题过程中要(1)先构造定值，(2)建立函数关系式，(3)验证“＝”号成立，(4)确定正确答案解法一：设矩形菜园的宽为x m ，则长为（Ｌ－2x ）m ，其中0＜x ＜21，其面积S ＝x （Ｌ－2x ）＝21·2x （Ｌ－2x ）≤218)222(22L x L x =-+当且仅当2x ＝Ｌ－2x ，即x ＝4L 时菜园面积最大，即菜园长2L m ，宽为4Lm 时菜园面积最大为82L m 2解法二：设矩形的长为x m ，则宽为2xL -m ，面积 S ＝2)(2)(2x L x x L x -⋅=-≤82)2(22L x L x =-+（m 2）当且仅当x ＝Ｌ－x ，即x ＝2L （m ）时，矩形的面积最大也就是菜园的长为2Lm ，宽为4L m 时，菜园的面积最大，最大面积为82L m 23设0＜x ＜2，求函数f(x)=)38(3x x -的最大值，并求出相应的x 值分析：根据均值不等式：2ba ab +≤，研究)38(3x x -的最值时，一要考虑3x 与８－3x 是否为正数；二要考查式子21［3x ＋（８－3x ）］是否为定值解：∵0＜x ＜2, ∴3x ＞0，８－3x ＞0∴f （x ）＝)38(3x x -≤2)38(3x x -+＝4当且仅当3x ＝８－3x 时，即x ＝34时取“＝”号故函数f （x ）的最大值为4，此时x 3五、小结 ：本节课我们用两个正数的算术平均数与几何平均数的关系定理及其推广的几个重要不等式顺利解决了函数的一些最值问题在解决问题时，我们重点从以下三个方面加以考虑：一是均值不等式成立的条件(各因式或项都取正值)；二是合理寻求各因式或项的积或和为定值；三是确定等号能够成立只有这样，我们才能在分析具体问题的特点的过程当中合理运用公式的适当形式和具体方式，解决某些函数的最值问题 六、课后作业： 1解答下列各题：(1)求函数y ＝2x 2＋x 3（x ＞0）的最小值 (2)求函数y ＝x 2＋41x（x ＞0）的最小值(3)求函数y ＝3x 2－2x 3（0＜x ＜23）的最大值(4)求函数y ＝x （1－x 2）（0＜x ＜1)的最大值(5)设a ＞0，b ＞0，且a 2＋22b ＝1，求a 21b +的最大值分析：我们来考虑运用正数的算术平均数与几何平均数之间的关系来解答这些问题根据函数最值的含义，我们不难发现若平均值不等式的某一端为常数，则当等号能够取到时，这个常数即为另一端的一个最值如ab ba ≥+2，若ab 为常数k ，则当且仅当a ＝b 时，a＋b 就有最小值2k ；若a ＋b 为常数s ，则当且仅当a ＝b 时，ab 就有最大值21s （或xy 有最大值41s 2）因此，解决这些问题的关键就是如何构造这些“定和”或“定积” 解：(1)∵x ＞0 ∴2x 2＞0，x 3＞0,∴y ＝2x 2＋x 3＝2x 2＋x 23＋x 23≥3·329 当且仅当2x 2＝x 23，即x ＝343时等号成立故当x ＝343时，y 有最小值3·(2)3422424131221≥++=+=x x x x x y ，当且仅当4212xx =即x ＝±62时，等号成立故当x ＝±62时，y 有最小值(3)∵0＜x ＜23∴3－2x ＞0 ∴y ＝x 2（3－2x ）＝x ·x ·（3－2x ）≤（323x x x -++）3＝1当且仅当x ＝3－2x 即x ＝1时，等号成立(4)∵0＜x ＜1 ∴1－x 2＞0 ∵y 2＝x 2（1－x 2）2＝21·2x 2（1－x 2）（1－x 2）≤21（32）3＝274 当且仅当2x 2＝1－x 2即x ＝33时，等号成立， ∴当x ＝33时，y 227由题意可知：y ＞0,故当x ＝33时，y 93 (5)∵a ＞0，b ＞0，且a 2＋22b ＝1∴a 2212122b a b +=+≤423)221(2222=++b a ，当且仅当a ＝2212b +，即a ＝23，b ＝22时取“＝”号 故当a ＝23，b ＝22时，a 21b +423 评述：用均值不等式求函数的最值，是值得重视的一种方法，但在具体求解时，应注意考查下列三个条件：(1)函数的解析式中，各项均为正数；(2)函数的解析式中，含变数的各项的和或积必须有一个为定值；(3)函数的解析式中，含变数的各项均相等，取得最值即用均值不等式求某些函数的最值时，应具备三个条件：一正二定三取等则不能直接运用这种方法如下面的几例均为错误的解法：(1)∵y ＝x ＋x1≥2,∴y 的最小值为2错误的原因是，当x ＜0时，就不能运用公式事实上，当x ＜0时，y ＜0，故最小值不可能为2(2)∵y ＝3x 2＋41x ＝2x 2＋x 2＋41x≥332，∴y 的最小值为等号成立条件的研究，事实上等号成立的条件为2x 2＝x 2＝41x，显然这样的x 不存在，故y没有最小值(3)∵y ＝x （1－x ＋x 2）≤［2)1(2x x x +-+］2＝（212x +）2当且仅当x ＝1－x ＋x 2即x ＝1时等号成立∴当x ＝1时，y 有最大值为1此种解法的错误在于212x +不是定值显然当x 越大时，212x +也越大，故y 无最大值2如图，为处理含有某种杂质的污水，要制造一个底宽2米的无盖长方体的沉淀箱，污水从A 孔流入，经沉淀后从B 孔流出，设箱体的长度为a 米，高度为b 米，已知流出的水中该杂质的质量份数与a 、b 的乘积ab 成反比现有制箱材料60平方米，问a 、b 各为多少米时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量份数最小(A 、B 孔面积忽略不计)分析：应用题的最值问题，主要是选取适当的变量，再依据题设，建立数学模型(即函数关系式)，由变量和常量之间的关系，选取基本不等式求最值解法一：设y 为流出的水中杂质的质量份数，根据题意可知：y ＝abk，其中k ＞0且k 是比例系数依题意要使y 最小，只需求ab 的最大值由题设得：4b ＋2ab ＋2a ＝６0 （a ＞0，b ＞0） 即a ＋2b ＋ab ＝30 （a ＞0，b ＞0)∵a ＋2b ≥2ab 2 ∴2ab ⋅2＋ab ≤30 当且仅当a ＝2b 时取“＝”号，ab 有最大值∴当a ＝2b 时有2ab ⋅2＋ab ＝30,即b 2＋2b －1５＝0解之得：b 1＝3，b 2＝－５（舍去)∴a ＝2b ＝６故当a ＝６米，b ＝3米时经沉淀后流出的水中杂质最少解法二：设y 为流出的水中杂质的质量份数，由题意可知：4b ＋2ab ＋2a ＝６0（a ＞0，b ＞0）∴a ＋2b ＋ab ＝30 （a ＞0，b ＞0）,∴b ＝aa+-230 （0＜a ＜30） 由题设：y ＝abk，其中k ＞0且k 是比例系数，依题只需ab 取最大值 ∴y ＝264322302+-+-=+-=a a k a a a k ab k ＝⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++-264)2(34a a k ≥18264)2(234k a a k =+⨯+- ∴当且仅当a ＋2＝264+a 时取“＝”号，即a ＝６，b ＝3时ab 有最大值18 故当a ＝６米，b ＝3米时经沉淀后流出的水中杂质最少评述：均值不等式在实际问题中的应用相当广泛，解题过程为：(1)先构造定值；(2)出现关系式；(3)验证“＝”号成立3如图，在△ABC 中，∠Ｃ＝９0°，AC ＝3，B Ｃ＝4，一条直线分△AB Ｃ的面积为相等的两部分，且夹在AB 与BC 之间的线段最短，求此线段长分析：本题的关键在于恰当地选取变量表示夹在AB 与BC 之间的线段EF ，同时考虑到题设中的等量关系，即S △B ＥＦ＝21S △AB Ｃ，因此，所选变量还应便于求两个三角形的面积，于是考虑设BE ＝x ，B Ｆ＝y 解：设B Ｅ＝x ，B Ｆ＝y (0＜x ＜4，0＜y ＜５），则S △B ＥＦ＝21B Ｅ·B Ｆsin B ＝21xy sin B 又S △AB Ｃ＝21B Ｃ·A Ｃ＝21×3×4＝６依题意可知：S △B ＥＦ＝21S △AB Ｃ ∴21xy sin B ＝21×６＝3∵sin B ＝53=BC AC ，xy ＝10 又c os B ＝54=AB BC ∴在△B ＥＦ中，由余弦定理得：ＥＦ2＝B Ｅ2＋B Ｆ2－2B Ｅ·B Ｆ·c os B ＝x 2＋y 2－2xy ·54＝x 2＋y 2－1６≥2xy －1６＝4， 当且仅当x ＝y ＝10时，等号成立故此时线段EF 的长为2评述：本题从求线段的长度问题转化为求函数的最值问题而求函数最值是不等式的重要应用，当解析式比较复杂时，利用三角函数的有关知识，巧妙地寻求等量关系，合理变形，是我们常用的一惯手法从而使我们注意到：数形结合思想是中学数学中的一种重要的数学思想方法。
算术平均数和几何平均数2
ab
2
2
调和平均数，几何平均数， 算术平均数，加权平均数．
例1：求下列函数的最值：
(1)若x 0,求y 2 x 4的最大值. x
(2)若x 2,求y x 1 的最小值. x2
(3)若0 x 1 ,求y 1 x(1 2x)的最大值.
2
2
例2：求下列函数的最值： (1) y x 4r 2 x2 (0 x 2r). (2) y x2 3x 1(x 1).
3. 极值定理:已知x,y都是正数．
(1) 如果积 xy 是定值 p, 那么当 x y时和 x y 有最小值2 p .
(2) 如果和 x y 是定值 s, 那么当 x y时积 xy 有最大值1 s2 . 4
巩固练习
4. 证明：若a, b R 则
2ab ab a b a2 b2
x 1
例3： (1)求y sin 2 x 4 的最小值..
x2 4
湖南长郡卫星远程学校
2. a R , b R , a b ab 2
(当且仅当a b 时取“”) .
可转化为：ab (a b)2 . 4
3. 极值定理:已知x,y都是正数．
3. 极值定理:已知x,y都是正数．
(1) 如果积 xy 是定值 p, 那么当 x y时和 x y 有最小值2 p .
打算早点开花结果，它做到了这一点。这使农夫很欣赏它，并经常浇灌它。时光飞转，那棵久不开花的大树由于身强体壮，养分充足，终于结出了又大又甜的果实。而那棵过早开花的树，却由于还未成熟时，便承担起了开花结果的任务，所以结出的果实苦涩难吃，并不讨人喜欢，并且渐渐地枯 萎掉了。 请以“急于求成与厚积薄发”为话题，自定立意，自选文体，自拟标题，写一
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课 题：算术平均数与几何平均数（2）
教学目的：
1进一步掌握均值不等式定理；
2会应用此定理求某些函数的最值；
3能够解决一些简单的实际问题 教学重点：均值不等式定理的应用
教学难点：解题中的转化技巧
授课类型：新授课
课时安排：1课时
教 具：多媒体、实物投影仪
教学过程：
一、复习引入：
1．重要不等式：
如果)""(2R,,22号时取当且仅当那么==≥+∈b a ab b a b a
2．定理：如果a,b 是正数，那么
).""(2号时取当且仅当==≥+b a ab b a 3.我们称
b a b a ,2为+的算术平均数，称b a ab ,为的几何平均数. ab b
a a
b b a ≥+≥+2222和成立的条件是不同的：前者只要求a,b 都是实数，而
后者要求a,b 都是正数“当且仅当”的含义是充要条件
3．均值定理的几何意义是“半径不小于半弦”
以长为a +b 的线段为直径作圆，在直径AB 上取点C 点C 作垂直于直径AB 的弦DD ′,那CB CA CD ⋅=2，即ab CD = 这个圆的半径为2b a +，显然，它不小于CD ，即b a ≥+2
中当且仅当点C 与圆心重合；即a=b 时，等号成立
二、讲解新课：
1公式的等价变形：ab ≤222b a +，ab ≤（2
b a +）2 2． b
a a
b +≥2（ab ＞0），当且仅当a ＝b 时取“＝”号； 3．定理：如果+∈R
c b a ,,，那么abc c b a 33
33≥++（当且仅当c b a ==时取“=”）
证明：∵abc ab b a c b a abc c b a 333)(32233333---++=-++ )(3])())[((22c b a ab c c b a b a c b a ++-++-+++=
]32)[(222ab c bc ac b ab a c b a -+--++++=
))((222ca bc ab c b a c b a ---++++=
])()())[((2
1222a c c b b a c b a -+-+-++= ∵+∈R c b a ,, ∴上式≥0 从而abc c b a 33
33≥++
指出：这里+∈R c b a ,, 若0<++c b a 就不能保证（此公式成立的充要条件为0≥++c b a ）
4．推论：如果+∈R c b a ,,，那么33
abc c b a ≥++ （当且仅当c b a ==时取“=”） 证明：3333333333)()()(c b a c b a ⋅⋅≥++ ⇒33abc c b a ≥++⇒33
abc c b a ≥++ 5．关于“平均数”的概念 如果++∈>∈N n n R a a a n 且1,,,,21 则：
n a a a n +++ 21叫做这n 个正数的算术平均数；n n a a a 21叫做这n 个正数的几何平均数
推广： n
a a a n +++ 21≥n n a a a 21 n i R a N n i ≤≤∈∈+1,,* 语言表述：n 个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数
上述重要不等式有着广泛的应用，例如：证明不等式，求函数最值，判断变量或数学式子的取值范围等等它们涉及到的题目活，变形多，必须把握好凑形技巧今天，我们就来进一步学习均值不等式的应用 三、讲解范例：
例1 已知c b a ,,为两两不相等的实数，求证：ca bc ab c b a ++>++222
证明：∵ab b a 222>+ 222b c bc +> ca a c 222>+
以上三式相加：ca bc ab c b a 222)(2222++>++
∴ca bc ab c b a ++>++2
22
例2 已知a ,b ,c ,d 都是正数，求证：abcd bd ac cd ab 4))((≥++
分析：此题要求学生注意与均值不等式定理的“形”上发生联系，从而正确运用，同时加强对均值不等式定理的条件的认识
证明：∵a,b,c,d 都是正数，∴ab ＞0，cd ＞0，ac ＞0，bd ＞0
得
0,2ab cd +≥>
0.2
ac bd +≥> 由不等式的性质定理4的推论1，得
()().4
ab cd ac bd abcd ++∴≥ 即abcd bd ac cd ab 4))((≥++
点评：用均值不等式证明题时，要注意为达到目标可先宏观，而后微观；均值不等式在运用时，常需先凑形后运用；均值不等式和不等式的基本性质联合起来证题是常用的行之有效的方法
例3 某工厂要建造一个长方体无盖贮水池，其容积为4800m 3,深为3m ，如果池底每1m 2的造价为150元，池壁每1m 2的造价为120元，问怎样设计水池能使总造价最低，最低总造价是多少元？
分析：此题首先需要由实际问题向数学问题转化，即建立函数关系式，然后求函数的最值，其中用到了均值不等式定理
解：设水池底面一边的长度为x m ，水池的总造价为l 元，根据题意，得
)1600(720240000x
x l ++= 297600
4027202400001600
2720240000=⨯⨯+=⋅⨯+≥x
x 当.2976000,40,1600有最小值时即l x x
x == 因此，当水池的底面是边长为40m 的正方形时，水池的总造价最低，最低总造价是297600元
评述：此题既是不等式性质在实际中的应用，应注意数学语言的应用即函数解析式的建立，又是不等式性质在求最值中的应用，应注意不等式性质的适用条件
我们应用两个正数的算术平均数与几何平均数的定理(即均值不等式)顺利解决了本章引例中的问题用均值不等式解决此类问题时，应按如下步骤进行：
(1)先理解题意，设变量，设变量时一般把要求最大值或最小值的变量定为函数；(2)建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为函数的最大值或最小值问题；
(3)在定义域内，求出函数的最大值或最小值；(4)正确写出答案
四、课堂练习： 1已知x ≠0，当x 取什么值时，x 2＋281x
的值最小?最小值是多少? 分析：注意到x 2＋281x 是和的形式，再看x 2·281x ＝81为定值，从而可求和的最小值解：x ≠0⇒x 2＞0，281x ＞0,∴x 2＋281x
≥22281x x ⋅＝18， 当且仅当x 2＝281x ，即x ＝±3时取“＝”号。