勾股定理讲课

意大利著名画家达芬奇的验证方法
图一
图 二
图 三
1. 在一张长方形的纸板上画两个边长分别为a,b的正方 形，并连接BC,FE，如图一 ； 2. 沿ABCDEFA剪下，得到两个大小相同的纸板Ⅰ和Ⅱ ，如图二 ； 3. 将纸板Ⅱ翻转后与Ⅰ拼成如图三所示的图形； 4. 比较图一和图二两个多边形ABCDEF和A’B’C’D’E’F’的 面积，就可验证勾股定理。
直角三角形中 较短的直角边称为 勾 ， 较长的直角边称为 股 ， 斜边称为 弦 。
弦
勾
股 勾2 + 股2 = 弦2
印度、阿拉伯世界和欧洲的拼图验证
做法是将一条垂直线和一条水平线，将较大直角边的正 方形分成 4 份。 之后依照图中的颜色，将两个直角边的正方形填入斜边 正方形之中，便可完成定理的证明。
C A B 图1-1
（2）你们能发现图 1-1中三个正方形A， B，C的面积之间有什 么关系吗？
SA+SB=SC
（图中每个小方格代表一个单位面积）
即：两条直角边上的正方形面积之和等于 斜边上的正方形的面积
做一做
你是怎样得到 表中的结果的？ （1）观察图 与同伴交流。 A
C
1-2，并填写 下表：
B
图1-2 A的面积 B的面积 C的面积 （单位面积） （单位面积） （单位面积）
图1-2
16
9
25
S正方形c
1 4 4 3ห้องสมุดไป่ตู้1 2
A
C
25
（面积单位）
B
图1-2
分割成若干个直角边为 整数的三角形
S正方形c
1 2 7 4 43 2
A B
图1-2
C
25
（面积单位）
可以将C补成边长为7的正方形，用其面 积减去4个全等的直角三角形的面积
（2）三个 正方形A， B，C的面 积之间有什 么关系？
A
C
B
图1-2
SA+SB=SC
即：两条直角边上的正方形面积之和等于 斜边上的正方形的面积
勾 股 定 理
①同学们，请你们用尺测量自己手中直角 边分别为6cm，8cm的直角三角形的斜 边，看看是多少？
a
a2+2ab+b2 = c2 +2ab ∴a2+b2=c2
b
c
你能用两种方法表示这个梯形的面积吗？
a b c
c
1 S 梯 形 (a b )( a b ) 2 1 1 1 2 S S梯 形 ab ab c 2 2 2
∴
b
a
a2 + b2 = c2
美国第二十任总统加菲尔德的证法，所以 又称这种证法为“总统”证法。
2
c2
；
∵ a c a b a
c2=
=2ab+b2-2ab+a2 =a2+b2 ∴a2+b2=c2
c
ab 4• +(b-a)2 2
c
a b b
b
c
赵爽弦图
2 (a+b) 大正方形的面积可以表示为 ；
ab 也可以表示为 c 4 2
2
ab ∵ (a+b)2 = c 4 2
2
a
b
a
b
c
c
a
b c
勾股定理
这是本届大会 会徽的图案．
它是我国汉代数学家赵爽 在证明勾股定理时用到的，被 称为“赵爽弦图”．
（1）观察图1-1
C A B 图1-1
①正方形A中含有 9 个 小方格，即A的面积是 9 个单位面积。 ②正方形B的面积是
9 个单位面积。
③正方形C的面积是
18 个单位面积。
（图中每个小方格代表一个单位面积） 你是怎样得到上面的结 果的？与同伴交流。
勾 股 定 理
二、如图,从高8米电线杆OA的顶端A点， 扯一根10米的钢丝绳固定在地面上的B点， 这根钢丝绳距线杆OA的距离OB是多少？
A
B
GOUGUDINGLI
O
勾 股 定 理
1、这节课我的收获是——
2、我最感兴趣的地方是……
3、我想进一步研究的问题—— 4、我还有哪些疑惑……
GOUGUDINGLI
C A B 图1-1
S正方形c
1 4 3 3 18 2
（单位面积）
（图中每个小方格代表一个单位面积）
可以将C分割成4个直 角边为整数的三角形
S正方形c
C A B 图1-1
1 6 4 3 3 2
2
（单位面积） 18
（图中每个小方格代表一个单位面积）
可以将C补成边长为6的正方形，用其 面积减去4个全等的直角三角形的面积
勾股定理
直角三角形两直角边的平方和等于斜边 的平方。 如果直角三角形两直角边分别为a、b,斜 B 边为c，那么
2 a
+
2 b
=
2 c
A
c b
a C
∵ △ABC为直角三角形，∠C=90°
∴ AC2+BC2=AB2.
(或a2+b2=c2)
勾股世界
我国是最早了解勾股定理的国家之 一。三千多年前，周朝数学家商高就提 出了“勾三股四弦五”的说法。
思维拓展： 请同学们看我们的一对三角板，想 一想若已知三角板的一边可以求另外两 边长吗？ A A
a C c 45° b B a c
C
b
30°
B
经过我们刚才观察，猜想，验证发现了勾股定理， 那么你们会不会用它解决数学问题呢？
例：在Rt△ABC中∠C =90°，a =3，b =4，求c.
A
解：∵在Rt△ABC中∠C =90°，
b
c
∴a² +b² =c²
又∵ a =3，b =4， ∴c=5
C
a
B
变式：在Rt△ABC中，∠B=90°，a =3，b =4，求c.
勾 股 定 理
②我们的定理都是要经过严格的验证的， 你们能利用手中四个全等的直角三角形 纸片，通过将它们拼接成为一个正方形 来证明我们的猜想吗？ ③试试看，有几种拼图方法，你能利用拼 出的图形，结合简明的数学表达式来证 明勾股定理吗？你是怎样想到这个拼图 的？和你的同学交流。
大正方形的面积可以表示为 ab 2 4• +(b a) 也可以表示为
A
B
C
通过例题的解答，我们知道：
（1）在直角三角形中，认准直角边和斜边。
（2）在直角三角形中,已知两边,可求第三边; 结论变形为：
a c b b c a c a b
2 2
2 2
2
2
课堂练习：
△ABC中，AB=c，BC=a，AC=b
1.若∠C=900，a=6,b=8,则c= 10 2.若∠A=900，c=9,b=12,则a= 15 3.若∠B=900，b=25,a=15,则c= 20