高中数学 第二章 从位移、速度、力到向量教案 北师大版必修4
高中数学 第二章 平面向量 1 从位移、速度、力到向量教学案 北师大版必修4
1 从位移、速度、力到向量[核心必知]1．位移、速度和力位移、速度和力这些物理量都是既有大小，又有方向的量，在物理中称为“矢量”，它们和长度、面积、质量等只有大小的量是不同的．2．向量的概念(1)向量的定义：在数学中，把既有大小，又有方向的量统称为向量．(2)向量的表示法①有向线段：具有方向和长度的线段叫作有向线段．②向量的表示法(ⅰ)几何表示法：用有向线段表示，若有向线段的起点为A ，终点为B ，则该有向线段记作：(ⅱ)字母表示法：用黑体小写字母a，b，c，…表示，书写用表示．(3)向量的模(长度)向量 (或a)的大小，称为向量 (或a)的长度，也叫模，记作||(或|a|)．(4)与向量有关的概念零向量长度为零的向量称为零向量，记作0单位向量与向量a同方向，且长度为单位1的向量，叫作a方向上的单位向量，记作a0自由向量由大小和方向确定，而与起点位置无关的向量称为自由向量相等向量长度相等且方向相同的向量，叫作相等向量．向量a与b相等，记作a＝b平行(共线)向量如果表示两个向量的有向线段所在的直线平行或重合，则称这两个向量平行或共线．a与b平行或共线，记作a∥b．零向量与任一向量平行[问题思考]1．有向线段就是向量，对吗？提示：不对．有向线段的起点、终点是确定的，而向量与起点无关，可以自由平移，它可以用有向线段表示，但不能说有向线段就是向量．2．相等向量的起点相同，对吗？提示：不对．相等向量是指长度相等且方向相同的向量．所以，两个向量只要长度相等，方向相同，即是相等的向量，与起点的位置无关．讲一讲1．判断给出下列命题是否正确，并说明理由．(1)若|a|>|b|，则a>b；(2)若|a|＝|b|，则a＝b；[尝试解答] (1)不正确．向量的模是一个非负实数，可以比较大小，但向量是有方向的量，方向是不能比较大小的，所以，向量只有相等与不相等的关系．(2)不正确．两向量相等，必须长度相等，且方向相同，所以仅模相等，并不一定是相等的向量；1．对向量有关概念的理解要严谨、准确，特别注意向量不同于数量，它既有大小，又有方向，而方向不能比较大小，所以任给两个向量都不能比较大小．2.对于两个向量，只要方向相同或相反，一定是共线向量．3．零向量是特殊的向量，解题时一定要注意其方向的任意性．练一练1．给出下列命题(1)若|a|＝0，则a＝0；(2)若a＝b，则|a|＝|b|；(3)向量a与向量b平行，则a与b的方向相同或相反；(4)两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同；(5)两个有共同终点的向量，一定是共线向量；其中正确命题的个数是( )A．1 B．2C．3 D．4解析：选B (1)不正确．零向量与数字0是两个不同的概念，零向量是一个向量，而数字0是一个实数，没有等量关系；(2)正确．两向量相等，其长度必然相等；(3)不正确．若a与b中有一个为零向量时，其方向是不确定的；(4)正确．相等的向量，长度相等且方向相同，若起点相同，则终点必相同；(5)不正确．终点相同并不能说明这两个向量的方向相同或相反．讲一讲2．小李离家从A点出发向东走2 km到达B点，然后从B点沿南偏西60°走4 km，到达C 点，又改变方向向西走2 km到达D点．(2)求小李到达D点时与A点的距离．即小李到达D点时离A点4 km.1．用有向线段表示向量时，先确定起点，再确定方向，最后依据模的大小确定向量的终点．2．确定向量的长度或方向时，需要用平面几何的知识，如直角三角形的解法、平行四边形的性质等．练一练2. 中国象棋中规定：马走“日”字，象走“田”字．如下图所示，在中国象棋的半个棋盘(4×8个矩形中，每个小方格都是单位正方形)中，若马在A处，可跳到A1处，也可跳到A2处，用向量表示马走了“一步”，试在图中画出马在B、C处走了一步的所有情况．解：如图，以点C为起点作向量(共8个)，以点B为起点作向量(共3个)．讲一讲3．如图所示，O为正方形ABCD对角线的交点，四边形OAED、OCFB都是正方形．在图中所示的向量中：(1)分别写出与相等的向量；(2)写出与共线的向量．1．在平面图形中找相等向量、共线向量时，首先要注意分析平面图形中相等、平行关系，同时注意线段的平行和相等与向量平行和相等的区别，充分利用平行四边形的性质．2．寻求相等向量，抓住长度相等，方向相同两个要素；寻求共线向量，抓住方向相同或相反的一个要素．练一练3. 如右图，四边形ABCD、CEFG、CGHD都是全等的菱形，则下列关系不一定成立的是( )解析：选C 由题意知，AB＝EF，∴A成立；又AB∥FH，DC与EC共线都成立，∴B，D成立．而BD不一定等于EH，故C不一定成立．[巧思] ＝1说明点P到定点O的距离为1，即P在以原点为圆心，以1为半径的圆上，Q点在圆外，表示P、Q两点的距离，因此可采用数形结合法来解决．[妙解] 如图，由＝1知动点P的轨迹是单位圆，连接QO并延长与单位圆相交于A，B两点，由平面知识易知：当P运动至A，B两点时，向量|分别取最小值，最大值，1．下列物理量：①质量；②速度；③力；④加速度；⑤路程；⑥密度；⑦功．其中不是向量的有( )A．1个B．2个C．3个 D．4个解析：选D 本题主要考查向量的概念，看一个量是不是向量，就是看它是否具备向量的两个要素：大小和方向，因为②③④是既有大小，又有方向的量，所以它们是向量；而①⑤⑥⑦只有大小而没有方向的量，所以不是向量．2．给出下列命题：①起点相同，方向相同的两个非零向量的终点相同；②起点相同的两个相等的非零向量的终点相同；③两个平行的非零向量的方向相同；④两个共线的非零向量的起点与终点一定共线．其中正确的是( )A．①② B．②C．②③ D．③④解析：选B 起点相同，方向相同的两个非零向量若长度不相等，则终点不相同，故①不正确；起点相同且相等的两个非零向量的终点相同，故②正确；两个平行的非零向量的方向相同或相反，故③不正确；两个共线的非零向量的起点与终点不一定共线，所对应的直线可能平行，故④不正确．3. 设O为△ABC的外心，则是( )A．相等向量B．平行向量C．模相等的向量D．起点相同的向量解析：选C 显然AO、BO、CO互不平行，但长度相等，所以|.4．如图所示，四边形ABCD和四边形ABDE都是平行四边形．(1)与向量相等的向量有________；(2)若＝3，则向量的模等于________．解析：(1)相等向量既模相等，又方向相同，所以与相等的向量有.5. 如图，B、C是线段AD的三等分点，分别以图中各点为起点和终点最多可以写出________个互不相等的非零向量．答案： 66．我国国内有些城市的道路命名非常有趣，它以“经纬”来命名道路，目前比较典型的有郑州市，其经纬路走向与地理意义上的经纬走向保持了一致，济南市的命名则与地理意义的经纬走向是完全相反的，另外西安市以前也以经纬命名道路，但后来大多更名．设某城市的地图如图(街道刚好分布在一个方形格纸中且距离都为1个单位)：请作出某人从经1纬2路口走到经3纬4路口的位移，并计算其走过的最短路程和位移的大小．解：如图，用向量表示某人的位移．位移的大小为22＋22＝22个单位长度．从A走到B，必然向右走2个单位，向下走2个单位，所以走过的路程为4个单位长度．一、选择题1．给出下列命题：①若a＝－b，则|a|＝|b|；②若|a|<|b|，则a<b；③若a＝b，则a∥b；④若a∥b，b∥c，则a∥c.其中正确命题的个数是( )A．0 B．1C．2 D．3解析：选C 对于①，若a＝－b，则a，b互为反向量，所以|a|＝|b|，①正确；对于②，向量的长度有大小，但向量不能比较大小，所以②不正确；对于③，a＝b，意味着a与b的方向相同，所以a∥b；对于④，若b＝0，则a∥b，b∥c，但a与c方向不一定相同或相反，所以④不正确．2．某人向正东方向行进100 m后，再向正南方向行进100 3 m，则此人位移的方向是( ) A．南偏东60° B．南偏东45°C．南偏东30° D．南偏东15°∴θ＝60°.3．下列说法中正确的是( )A．平行向量一定方向相同B．共线向量一定相等C．起点不同，但方向和模相等的几个向量一定是相等的向量D．与任意向量都平行的向量不一定是零向量解析：选C 非零平行(共线)向量要么方向相同，要么方向相反，所以A、B均不正确；只有零向量与任意向量平行，故D不正确；C正确．4．已知集合A＝{与a共线的向量}，B＝{与a长度相等的向量}，C＝{与a长度相等，方向相反的向量}，其中a为非零向量，则下列命题中错误的是( )A．C A B．A∩B＝CC．C B D．A∩B C解析：选B ∵A∩B中还含有向量a，故B错．二、填空题5. 如图，在四边形ABCD中，且则四边形ABCD为________．答案：菱形6．在▱ABCD中，E，F分别是AB、CD的中点，如图所示的向量中，设＝a，＝b，则与a相等的向量是________；与b共线的向量是________．7．如图，设每一个正方形小方格的边长为1，则向量，GH―→的长度从小到大排列依次为________________．8. 如图，已知矩形ABCD中，设点集M＝{A，B，C，D}，集合T＝{PQ|P、Q∈M，且PQ≠0}．则集合T中有________个元素．解析：集合T＝{PQ|P、Q∈M，且PQ≠0}中的元素为非零向量PQ，且向量的起点与终点分别为矩形的顶点A、B、C、D.根据集合元素的互异性，得集合T＝{，}共含有8个元素．答案：8三、解答题9．一架测绘飞机从A点向北飞行200 km到达B点，再从B点向东飞行100 km到达C点，再从C点向东南45°飞行了100 2 km到达D点，问飞机从D点飞回A点的位移大小是多少km?解：如图，建立平面直角坐标系xAy，其中x轴的正方向表示正东方向，y轴的正方向表示正北方向，作DE⊥AB，CF⊥DE，垂足分别为E、F.在Rt△CDF中，|CD|＝1002，∠CFD＝90°，∠CDF＝45°，∴CF＝DF＝100，ED＝200，在Rt△AED中，BE＝EA＝100，∴|DA|＝1002＋2002＝1005(km)．故飞机从D点飞回A点的位移大小为100 5 km.10．在如图所示的方格纸上(每个小方格边长均为1)，已知向量a.(1)试以B为起点画一个向量b，使b＝a；(2)画一个以C为起点的向量c，使|c|＝2，并说出c的终点的轨迹是什么．解：(1)根据相等向量的定义，所作向量应与a平行，且长度相等，如图所示．(2)由平面几何知识可作满足条件的向量c.所有这样的向量c的终点的轨迹是以C为圆心，2为半径的圆，如上图．。
高中数学第二章平面向量1从位移速度力到向量课件北师大版必修4
考点一 向量有关概念的辨析
[典例] 给出下列四个命题： ①若两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同；
②若|a|＝|b|，则 a＝b；
③在▱ABCD 中，一定有―A→B ＝―C→D ； ④若 a∥b，b∥c，则 a∥c.
其中不正确的命题的个数是
()
A．1
B．2
C．3
D．4
[解析] 若两个向量起点相同，终点相同，则这两个 向量相等，但两个向量相等，不一定有相同的起点和终点， 故①不正确；|a|＝|b|，由于 a 与 b 方向不确定，所以 a，b 不一定相等，故②不正确；零向量与任一向量平行，故当 a∥b，b∥c 时，若 b＝0，则 a 与 c 不一定平行，故⑤不正 确．所以不正确的是①②④，正确的是③.
[类题通法] 用有向线段表示向量的方法
用有向线段表示向量时，先确定起点，再确定方向，最后依 据向量模的大小确定向量的终点．必要时，需依据直角三角形知 识求出向量的方向(即夹角)或长度(即模)，选择合适的比例关系 作出向量．
[针对训练] 已知飞机从 A 地按北偏东 30°的方向飞行 2 000 km 到达 B 地，再从 B 地按南偏东 30°的方向飞行 2 000 km 到达 C 地， 再从 C 地按西南方向飞行 1 000 2 km 到达 D 地． (1)作出向量―A→B ，―B→C ，―C→D ，―D→A ； (2)问 D 地在 A 地的什么方向？D 地距 A 地多远？
(2)若|a |＝|b |，则 a ＝b ； (3)向量 AB 和向量―B→A 的长度相等； (4)若 a ＝b ，则 a 与 b 是共线向量； (5)若量 AB 与向量CD 是共线向量，则 A，B，C，D 四点共线．
解：(1)不正确．向量的模是一个非负实数，可以比较大小，但向 量是有方向的量，方向是不能比较大小的，所以，向量只有相等 与不相等的关系． (2)不正确．两向量相等，必须长度相等，且方向相同，所以仅模 相等，并不一定是相等的向量； (3)正确．向量 AB 与―B→A 的长度都等于线段 AB 的长度，故(3)正确． (4)正确．若 a＝b，说明向量 a 与 b 的模相等，且方向相同，是 共线向量． (5)不正确．若向量 AB 向量CD 是共线向量，则向量 AB 与CD 所在的直 线平行或重合．因此，A、B、C、D 不一定共线．
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(1)零向量是用向量的长度来定义的，共线向量是用表示向量的有向线段所在直线平行 或重合来定义的．相等向量是用向量的长度和方向共同定义的，要弄清这些概念的联 系和区别． (2)理解向量的有关概念时，注意区分向量与有向线段： 只有起点、大小和方向均相同，才是相同的有向线段．对于向量，只要大小和方向相 同，就是相等向量，而与起点无关．
D．4 对
答案：B
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4.在四边形 ABCD 中，A→B＝D→C，N、M 分别是 AD、BC 上的点， 且C→N＝M→A，证明：四边形 DNBM 是平行四边形． 解析：∵A→B＝D→C， ∴四边形 ABCD 为平行四边形， ∴AD、BC 平行且相等． 又∵C→N＝M→A，∴四边形 CNAM 为平行四边形， ∴AN、MC 平行且相等，∴DN、MB 平行且相等， ∴四边形 DNBM 是平行四边形．
同学们，下课休息十分钟。现在是休息时间，你们休息一下眼睛， 看看远处，要保护好眼睛哦~站起来动一动，久坐对身体不好哦~
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探究二 向量的表示方法 [典例 2] 一辆汽车从 A 点出发向西行驶了 100 km 到达 B 点，然后又改变方向向北偏 西 40°走了 200 km 到达 C 点，最后改变方向，向东行驶了 100 km 到达 D 点． (1)作出向量A→B，B→C，C→D； (2)求|A→D|.
复习课件
高中数学 第二章 平面向量 1 从位移、速度、力到向量课件 北师大版必修4
1 从位移、速度、力到向量
2.1《从位移速度力到向量》(北师大版必修4)
§1.从位移、速度、力到向量【教材版本】北师大版【教材分析】随着人类新型知识体系的构建和形成，新的教育理念正在向传统的教育模式发起挑战，促使其必须进行重大革命，以适应高度发展起来的新型知识体系。
直到19世纪末20世纪初才发展起来的“向量数学”，以其在物理学、空间物质结构中的广泛应用，而备受人们所观注，进而很快形成了一套具有优良运算通法的数学体系，现已被纳入中学数学基础教程中，成为数学新教材改革的一大闪光点。
几何学是研究现实世界中物体的形状、大小与位置关系的数学学科.传统的欧几里得几何是进行严谨思维训练的典范，但是几何学要进一步发展，就必须采用数量化的方法，通过数量化的方法，可以化抽象为具体，将技巧性比较强的问题逐渐程序化解决。
而中学教育是基础教育，是大众教育，是需要普及的教育，问题的程序化解决是普及的关键。
在这方面，与导数的引入有异曲同工之妙。
归纳起来讲，这些内容的引入，扫除了学生学习数学的障碍，有利于数学的普及。
从另一方面讲，向量发展的前景是广阔的，它含盖了平面几何、立体几何、解析几何、三角函数、复数等领域，为学习这些方面的知识提供了新的工具。
向量作为一种新的量，它不同于数量，数量的代数运算在向量范围不一定能施行，因此在实际教学中，应明确数量和向量的区别，并重新规定了向量的加法、减法、实数和向量的积、向量的数性积和矢性积等运算法则。
并在引入二维坐标系后，将向量与坐标紧紧联系起来，增加了向量的渗透性和实用性，更体现了向量运算的价值。
实际上，如果引进了向量和向量代数，简单几何(比如中学数学中的平面几何和立体几何)中的许多知识和问题都可以有新的向量的解释。
新教材在引入向量以后，使得平面几何和空间几何中许多定理、公式及一些相关问题变得直观、浅显、易理解。
中学阶段要学习平面向量和空间向量，而对于学生而言，不仅是因为向量是一个新的知识，关键是它的运算是一个新的体系，有新的法则，这是前面无论那一章的知识都从未涉及的，所以教材将向量分两个阶段来安排，首先学习平面向量。
北师大版高中数学第二章从位移、速度、力到向量
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探究三 相等向量与共线向量 [典例 3] 如图所示，△ABC 的三边均不相等，E，F，D 分别是 AC，AB，BC 的中点． (1)写出与E→F共线的向量； (2)写出与E→F的模相等的向量； (3)写出与E→F相等的向量．
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1．要能够运用向量的观点将实际问题抽象成数学模型，数学建模是今后能力培养的主要 方向，在日常学习中应注意积累经验． 2．要注意区分向量和向量的模．
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2. 在平面直角坐标系中，画出下列向量： (1)|a|＝2，a 的方向与 x 轴正方向的夹角为 60°，与 y 轴正方向的夹角为 30°； (2)|a|＝4，a 的方向与 x 轴正方向的夹角为 30°，与 y 轴正方向的夹角为 120°； 解析：如图所示：
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(3)不正确．两个向量只要长度相等、方向相同就相等，和始点、终点的位置无关． (4)不正确．所有的单位向量的长度均等于 1，但它们的方向不一定相同，所以它们不一定 相等． (5)正确.A→B与B→A的长度均为线段 AB 的长度．
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(1)零向量是用向量的长度来定义的，共线向量是用表示向量的有向线段所在直线平行或 重合来定义的．相等向量是用向量的长度和方向共同定义的，要弄清这些概念的联系和 区别． (2)理解向量的有关概念时，注意区分向量与有向线段： 只有起点、大小和方向均相同，才是相同的有向线段．对于向量，只要大小和方向相同， 就是相等向量，而与起点无关．
必修4-2.1 从力、速度、位移到向量
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本课所学的知识点有哪些？ 向量的概念及几何表示； 零向量、单位向量、相等向量、共线向量．
你有何收获？
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1、P75习题2-4，A组1、2、3、4， 2、高中同步测控优化设计“训练与测评 ”P13 3、预习：P76、§2从位移的合成到向量的加法
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向量a与b相等，记作a b .
因此，当用有向线段 表示向量时，起点可以任 意选取，同向且等长的有 向线段都表示同一向量， 或者说向量可以在平面内 平行移动 .
A1B1 A2 B2 A3 B3
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B1 B2
B3 A2 A1 A3
4、平行向量： 如果表示两个向量的有向线段所在的直线平行或重合， 则称这两个向量平行或共线 .
哈尔滨
北京
重庆 广州
上海
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飞机向东北方向飞行了150km，飞行时间为半 小时，那么飞行速度的大小是300km/h，方向是 东北 . 假如学校位于你家东偏北30°方向，距离你家 2000m . 从家到学校，可能有长短不同的几条路 . 无论走那条路，你的位移都是东偏北30°方向移 动了 2000m .
B（终点）
A（起点）
有向线段的三个要素：起点、方向、长度
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2、向量的几何表示：用有向线段表示 .
向量AB 的大小，也就是有向线 段 AB 的长度（也称 模），记作| AB | .
长度为0 的向量称为零向量，记 作0 或0.
长度为单位1的向量，叫作单位向量 .
思考: “向量就是有向线段, 有向线段就是向量.”的说法 对吗?
F 图2-7
解 （1）在以A，B，C，D，E，F为起点或终点的 向量中，与向量DE相等的向量有：AF和FC； （2）在以A，B，C，D，E，F为起点或终点的向 量中，与向量DF相等的向量有：BE，EB，EC， CE，BC，CB，FD .
高中数学 第二章 平面向量 2.1 从位移、速度、力到向量教材解读素材 北师大版必修4
2.1 从位移、速度、力到向量教材解读一、平面向量的基本概念1．向量既有大小、又有方向的量叫做向量．注：向量有两个要素：大小和方向，二者缺一不可．2．向量的表示①用一个小写字母表示向量，如a，b等．②用有向线段表示向量，以A为起点，B为终点的向量记为AB，注意起点写在前面、终点写在后面．3．向量的模向量AB的大小，称作向量AB的长度（或称模），记作AB．注：向量是不能比较大小的，但向量的模可以比较大小．4．零向量长度为0的向量叫做零向量，记作0．注：①=00；②零向量的方向是任意的．5．单位向量长度等于１个单位的向量，叫做单位向量．6．平行向量方向相同或相反的非零向量叫做平行向量．向量a，b平行，记作∥a b．注：①规定：零向量与任一向量平行，即对于任意向量a，都有a0∥；②由于任意一组平行向量都可移动到同一直线上，故平行向量也叫做共线向量；③两个向量共线与两条线段共线不同，前者的起点可以不同，而后者必须在同一直线上．同样，两个平行向量与两条平行直线是不同的，因为两个平行向量可以移到同一直线上．7．相等向量长度相等且方向相同的向量叫做相等向量．向量a与b相等，记作a b=．注：①零向量与零向量相等；②任意两个相等的非零向量，都可用一条有向线段来表示，并且与有向线段的起点无关；③对于一个向量，只要不改变它的大小和方向，是可以任意平行移动的；④a b a b=⇒=；反之不成立．8．相反向量与a长度相等，方向相反的向量，叫做a的相反向量，记作a-．注：①a与a-互为相反向量；②-=00；③相反向量与方向相反的向量不是同一个概念，相反向量是方向相反的向量，反之不成立．。
高中数学 第二章 平面向量 2.1 从位移、速度、力到向量学案 北师大版必修4
从位移、速度、力到向量1．向量的概念既有____，又有____的量叫作向量． 预习交流1有下列物理量：①质量；②力；③加速度；④路程；⑤密度；⑥功．其中不．是向量的有( )．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 2．向量的表示方法(1)具有__________的线段，叫作有向线段．以A 为始点，以B 为终点的有向线段记作______，线段AB →的长度也叫作有向线段AB →的长度，记作|AB →|.(2)向量可以用________来表示．有向线段的长度表示__________，箭头所指的方向表示__________．(3)向量也可以用黑体小写字母如a ，b ，c ，…来表示，书写用a →， b →， c →，…来表示．预习交流2有向线段是向量吗？ 3．向量的长度(模)(或____)表示向量AB →(或a )的大小，即长度(也称模)．预习交流3两个向量的模能否比较大小？两个向量呢？ 4．4种重要的向量(1)长度为零的向量叫作______，记作__或__，它的方向与任一向量平行．(2)与向量a ______，且长度为______的向量，叫作a 方向上的单位向量，记作______． (3)长度____且方向____的向量叫作相等向量，向量a 与b 相等，记作a ＝b .规定所有的零向量____．(4)如果表示两个向量的有向线段所在的直线__________，则称这些向量____或____，a 与b 平行或共线，记作a ∥b .预习交流4(1)0与0相同吗？有什么区别？(2)表示相等向量的有向线段一定重合吗？答案：1．大小 方向预习交流1：D 解析：质量、路程、密度、功只有大小而没有方向，不是向量．2．(1)方向和长度 AB (2)有向线段 向量的大小 向量的方向 预习交流2：提示：有向线段不是向量，它只是向量的一种表现形式．3．|AB | |a |预习交流3：提示：模是向量的长度，所以能比较大小，而向量不能，因为向量的大小即长度可以比较大小，但方向不能比较大小．4．(1)零向量 0 0→(2)同方向 单位1 a 0 (3)相等 相同 相等 (4)平行或重合 平行 共线预习交流4：(1)提示：不相同，0是向量，模等于0,0是数量，无方向． (2)提示：不一定，也可能平行或在同一条直线上．1．向量的有关概念给出下列几种说法：(1)温度、速度、位移这些物理量都是向量； (2)若|a|＝|b|，则a ＝b 或a ＝－b ； (3)向量的模一定是正数；(4)起点不同，但方向相同且模相等的几个向量是相等向量； (5)向量AB →与CD →是共线向量，则A ，B ，C ，D 四点必在同一直线上．其中正确的序号是________．思路分析：本题涉及了向量的几个重要概念．解答时可从向量的定义、向量的模、相等向量、平行向量等概念入手，逐一判断对错．判断下列说法是否正确，并说明理由．(1)两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同； (2)两个有公共终点的向量，一定是共线向量； (3)数轴是向量；(4)由于0方向不确定，故0不能与任意向量平行； (5)若向量a 与b 同向，且|a|＞|b|，则a ＞b .对向量有关概念的理解要严谨、准确，特别注意向量不同于数量，它既有大小又有方向，方向不能比较大小．零向量是比较特殊的向量，解题时一定要看清是“零向量”还是“非零向量”．2．向量的表示方法一运输汽车从A 点出发向西行驶了100 km 到达B 点，然后又改变方向向西偏北50°走了200 km 到达C 点，最后又改变方向，向东行驶了100 km 到达D 点．(1)作出向量AB →，BC →，CD →； (2)求AD →.思路分析：作图时既要考虑向量的大小，又要考虑其方向及起点，为此应首先建立坐标系，然后再根据行驶方向确定出有关向量，进而求解．在如图所示的坐标系中(1个小方格表示1个单位长度)，用直尺和圆规画出下列向量．(1)|OA →|＝3，点A 在点O 正西方向；(2)|OB →|＝32，点B 在点O 北偏西45°方向； (3)|OC →|＝2，点C 在点O 南偏东60°方向．准确画出向量的方法是先确定向量的起点，再确定向量的方向，然后根据向量的大小确定向量的终点． 3．相等向量与共线向量如图所示，△ABC 的三边均不相等，E ，F ，D 分别是AC ，AB ，BC 的中点．(1)写出与EF →共线的向量； (2)写出与EF →的模大小相等的向量；。
2018版高中数学北师大版必修四学案：第二章 1 从位移、速度、力到向量 精品
学习目标 1.能结合物理中的力、位移、速度等具体背景认识向量，掌握向量与数量的区别.2.会用有向线段作向量的几何表示，了解有向线段与向量的联系与区别，会用字母表示向量.3.理解零向量、单位向量、平行向量、共线向量、相等向量及向量的模等概念，会辨识图形中这些相关的概念．知识点一向量的概念思考1在日常生活中有很多量，如面积、质量、速度、位移等，这些量有什么区别？思考2两个数量可以比较大小，那么两个向量能比较大小吗？梳理向量与数量(1)向量：既有________，又有________的量统称为向量．(2)数量：只有________，没有________的量称为数量．知识点二向量的表示方法思考1向量既有大小又有方向，那么如何形象、直观地表示出来？思考20的模长是多少？0有方向吗？思考3 单位向量的模长是多少？梳理 (1)向量的表示①具有________和长度的线段叫作有向线段，以A 为起点，以B 为终点的有向线段记作________，线段AB 的长度也叫作有向线段AB →的长度，记作________．②向量可以用____________来表示．有向线段的长度表示____________，即长度(也称模)．箭头所指的方向表示____________．③向量也可以用黑体小写字母如a ，b ，c ，…来表示，书写用a →, b →, c →，…来表示． (2)________的向量叫作零向量，记作______________；______________________________的向量，叫作a 方向上的单位向量，记作a 0. 知识点三 相等向量与共线向量思考1 已知A ，B 为平面上不同两点，那么向量AB →和向量BA →相等吗？它们共线吗？思考2 向量平行、共线与平面几何中的直线、线段平行、共线相同吗？思考3 若a ∥b ，b ∥c ，那么一定有a ∥c 吗？梳理 (1)相等向量：____________且____________的向量叫作相等向量．(2)平行向量：如果表示两个向量的有向线段所在的直线______________，则称这两个向量平行或共线．①记法：a 与b 平行或共线，记作________． ②规定：零向量与____________平行．类型一 向量的概念例1 下列说法正确的是( ) A ．向量AB →与向量BA →的长度相等B ．两个有共同起点，且长度相等的向量，它们的终点相同C ．零向量没有方向D ．任意两个单位向量都相等反思与感悟 解决向量概念问题一定要紧扣定义，对单位向量与零向量要特别注意方向问题． 跟踪训练1 下列说法正确的有________． ①若|a |＝|b |，则a ＝b 或a ＝－b ；②向量AB →与CD →是共线向量，则A 、B 、C 、D 四点必在同一条直线上； ③向量AB →与BA →是平行向量． 类型二 共线向量与相等向量例2 如图所示，△ABC 的三边均不相等，E 、F 、D分别是AC 、AB 、BC 的中点． (1)写出与EF →共线的向量； (2)写出与EF →的模大小相等的向量； (3)写出与EF →相等的向量．反思与感悟 (1)非零向量共线是指向量的方向相同或相反． (2)共线的向量不一定相等，但相等的向量一定共线． 跟踪训练2如图所示，O 是正六边形ABCDEF 的中心．(1)与OA →的模相等的向量有多少个？(2)是否存在与OA →长度相等、方向相反的向量？若存在，有几个？ (3)与OA →共线的向量有哪些？类型三 向量的表示及应用例3 一辆汽车从A 点出发向西行驶了100 km 到达B 点，然后又改变方向，向西偏北50°的方向走了200 km 到达C 点，最后又改变方向，向东行驶了100 km 到达D 点．(1)作出向量AB →、BC →、CD →； (2)求|AD →|.反思与感悟 准确画出向量的方法是先确定向量的起点，再确定向量的方向，然后根据向量的大小确定向量的终点．跟踪训练3 在如图的方格纸上，已知向量a ，每个小正方形的边长为1.(1)试以B 为终点画一个向量b ，使b ＝a ；(2)在图中画一个以A 为起点的向量c ，使|c |＝5，并说出向量c 的终点的轨迹是什么？1．下列结论正确的个数是( )①温度含零上和零下温度，所以温度是向量； ②向量的模是一个正实数；③向量a 与b 不共线，则a 与b 都是非零向量； ④若|a |>|b |，则a >b . A ．0 B ．1 C ．2D ．32．下列说法错误的是( ) A ．若a ＝0，则|a |＝0 B ．零向量是没有方向的 C ．零向量与任一向量平行 D ．零向量的方向是任意的3．如图所示，梯形ABCD 为等腰梯形，则两腰上的向量AB →与DC →的关系是( )A.AB →＝DC → B ．|AB →|＝|DC →| C.AB →>DC → D.AB →<DC →4．如图所示，在以1×2方格纸中的格点(各线段的交点)为起点和终点的向量中．(1)写出与AF →、AE →相等的向量； (2)写出与AD →的模相等的向量．1．向量是既有大小又有方向的量，从其定义可以看出向量既有代数特征又有几何特征，因此借助于向量，我们可以将某些代数问题转化为几何问题，又将几何问题转化为代数问题，故向量能起到数形结合的桥梁作用．2．共线向量与平行向量是一组等价的概念．两个共线向量不一定要在一条直线上．当然，同一直线上的向量也是平行向量．3．注意两个特殊向量——零向量和单位向量，零向量与任何向量都平行，单位向量有无穷多个，起点相同的所有单位向量的终点在平面内形成一个单位圆．答案精析问题导学 知识点一思考1 面积、质量只有大小，没有方向；而速度和位移既有大小又有方向． 思考2 数量之间可以比较大小，而两个向量不能比较大小． 梳理 (1)大小 方向 (2)大小 方向 知识点二思考1 可以用一条有向线段表示． 思考2 0的模长为0，方向任意． 思考3 单位向量的模长为1个单位长度．梳理 (1)①方向 AB → |AB →| ②有向线段 向量的大小 向量的方向 (2)长度为0 0或 0→与向量a 同方向，且长度为单位1 知识点三思考1 因为向量AB →和向量BA →方向不同，所以二者不相等．又表示它们的有向线段在同一直线上，所以两向量共线．思考2 不相同，由相等向量定义可知，向量可以任意移动．由于任意一组平行向量都可以移动到同一直线上，所以平行向量也叫作共线向量．因此共线向量所在的直线可以平行，也可以重合．思考3 不一定．因为当b ＝0时，a ，c 可以是任意向量．梳理 (1)长度相等 方向相同 (2)平行或重合 ①a ∥b ②任一向量 题型探究 例1 A 跟踪训练1 ③例2 解 (1)因为E 、F 分别是AC 、AB 的中点， 所以EF 綊12BC .又因为D 是BC 的中点，所以与EF →共线的向量有FE →，BD →，DB →，DC →，CD →，BC →，CB →. (2)与EF →模相等的向量有FE →，BD →，DB →，DC →，CD →. (3)与EF →相等的向量有DB →，CD →.跟踪训练2 解 (1)与OA →的模相等的线段是六条边和六条半径(如OB )，而每一条线段可以有两个向量，所以这样的向量共有23个．(2)存在．由正六边形的性质可知，BC ∥AO ∥EF ，所以与OA →长度相等、方向相反的向量有AO →，OD →，FE →，BC →，共4个．(3)由(2)知，BC ∥OA ∥EF ，线段OD ，AD 与OA 在同一条直线上，所以与OA →共线的向量有BC →，CB →，EF →，FE →，AO →，OD →，DO →，AD →，DA →，共9个． 例3 解 (1)向量AB →、BC →、CD →如图所示．(2)由题意易知，AB →与CD →方向相反，故AB →与CD →共线． 又∵|AB →|＝|CD →|，∴在四边形ABCD 中，AB 綊CD ， ∴四边形ABCD 为平行四边形， ∴AD →＝BC →，∴|AD →|＝|BC →|＝200 km.跟踪训练3 解 (1)根据相等向量的定义，所作向量与向量a 平行，且长度相等(作图略)． (2)由平面几何知识可知，所有这样的向量c 的终点的轨迹是以A 为圆心，5为半径的圆(作图略)． 当堂训练 1．B 2.B 3.B4．解 (1)AF →＝BE →＝CD →，AE →＝BD →. (2)与AD →的模相等的向量有DA →，CF →，FC →.。
高一数学教学案1.1位移、速度、力到向量北师大版必修4
二师生互动
例1在如图所示的坐标纸中，用直尺和圆规画出下列向量：
⑴ ，点 在点 的正北方向；
⑵ ，点 在点 南偏东 方向.
例2下列说法中正确的有
①向量可以比较大小；②零向量与任一向量平行；
③向量就是有向线段；④非零向量 的单位向量是 .
练一练下列说法中正确的是
①若 ，则 ；②若 ，则 ；
教案、学案用纸
年级高一
学科数学
课题
位移、速度、力及向量的概念
授课时间
撰写人
时间
学习重点
了解向量的实际背景，向量的概念；
学习难点
向量的模、零向量与单位向量的概念
学习目标
1.通过对物理中有关概念的分析，了解向量的实际背景，进而深刻理解向量的概念；
2.掌握向量的几何表示；
3.理解向量的模、零向量与单位向量的概念.
A. B.
C. D.
5.若 ，且 ，则四边形 的形状为（）.
A.平行四边形B.菱形C.矩形D.等腰梯形
6.一木块放在桌面上，木块所受重力为 ，桌面所受压力为 ，则 与 之间的关系为（）.
A.大小不等，方向相同B.大小相等，方向不同
C.大小相等，方向相同D.大小不等，方向不同
7. 、 是线段 的三等分点，分别以图中各点为起点和终点，最多可以写出个互不相同的向量.
教学过程
一自主学习
1、力是常见的物理量，重力、浮力、弹力等都是既有又有的量；而有一类量如长度、质量、面积、体积等，只有没有，这类量我们称之为数量.
2.向量的概念：
3数量和向量的异同点有哪些.
试试1：下列物理量：①质量；②速度；③位移；④力；⑤加速度；⑥路程；⑦密度；⑧功.其中不是向量的有（）
高中数学 第二章 从位移、速度、力到向量课件1 北师大版必修4
一、教学目标
1.知识与技能：
（1）理解向量与数量、向量与力、速度、位移之间
的区别；
（2）理解向量的实际背景与基本概念，理解向量的
几何表示，并体会学科之间的联系.
（3）通过教师指导发现知识结论，培养学生抽象概 括能力和逻辑思维能力。
一、教学目标 2.过程与方法：通过力与力的分析等实例，引导学 生了解向量的实际背景，帮助学生理解平面向量与 向量相等的含义以及向量的几何表示；最后通过讲 解例题，指导学生能够发现问题和提出问题，善于 独立思考，学会分析问题和创造地解决问题.
(× )
③任一向量与它的相反向量(长度相同,方向相 反的向量)不相等； (× )
④共线的向量，若起点不同，则终点一定不同。
(× )
2.下面几个命题：
（1）若a = b，b = c，则a = c。 （2）若|a|=0，则a = 0 （3）若|a|=|b|，则a = b （4）两个向量a、b相等的充要条件是 |a|=|b| a ∥b （5）若A、B、C、D是不共线的四点，则AB=DC是 四边形ABCD是平形四边形的充要条件。 其中正确的个数是( A．0 B. 1 C. 2
2、向量的字母表示：（1）a , b , c , ... （2）用表示向量的有向线段的起点和终点字母 表示，例如，AB，CD
判断题
1.温度含零上和零下温度，所以温度是向量（ 2.向量的模是一个正实数。（ 3.若|a|>|b| ，则a > b ( 注:向量不能比较大小
）
）
)
长度相等且方向相同的两个向量表示相等向量， 但是两个向量之间只有相等关系，没有大小之分，“对于向
与向量OA相等的向量。 OA = DO = CB
高中数学新北师大版精品教案《北师大版高中数学必修4 1 从位移、速度、力到向量》4
从位移、速度、力到向量教学目标1.知识与技能通过位移的概念，了解向量的实际背景；理解平面向量的概念及向量的几何表示。
2.过程与方法通过分析学生熟悉的物理量（位移、速度、力等），让学生通过分析归纳总结出平面向量的基本概念。
3情感、态度与价值观通过本节的学习，培养学生的抽象概括能力、逻辑思维能力和数学应用意识，激发他们的学习兴趣。
教材分析本节课学生初次接触平面向量的基本概念，学生需要在数量、物理学中的矢量的基础之上，进一步掌握向量的基本特征及类型，为后面学习空间向量知识奠定基础。
教材充分利用向量的物理背景，从学生熟悉的生活实例出发，抽象概括出平面向量的概念。
结合物理学中位移的表示方法，引出了向量的表示方法---几何表示。
接着给出了向量的模、零向量、单位向量、相等向量、平行向量（共线向量）的概念。
学情分析教学对象在初中阶段已经学习了一定的矢量，例如：位移、速度、力等，进入高中以后又进一步深刻学习了这些物理量。
本节课主要从矢量入手，引入向量的基本概念，以便于学生掌握。
同时，从学生学过的数量为突破口，强化学生对向量特征的认识和掌握，建立从数量到矢量再到向量的知识体系，构建完整的知识体系，为后面的空间向量学习奠定基础。
教学重点和难点：重点：对向量的概念的理解和向量的几何表示难点：相等向量、共线向量的理解与应用教学方法：合作探究教具：三角板、多媒体教学过程创设情境，引入新课2字母表示向量也可以用黑体小写字母如a ，b ，c ，…来表示,书写用a →，b →，c →，…来表示。
问题：有向线段和向量有什么区别与联系呢？区别：有向线段有起点、方向和长度即大小三个要素；向量仅有大小和方向两个要素，与起点无关联系：向量可以用有向线段来表示，有向线段是向量的一种几何表示，但向量不是有向线段。
3向量的模向量AB 的大小（即向量AB 的长度）叫作向量AB 的模，记作。
另外，向量a 的模记作a 。
问题：向量的模能比较大小吗？因为任意向量的模都是非负实数，所以向量的模可以比较大小。
2019-2020学年高中数学北师大版必修四教学案：第二章 §1 从位移、速度、力到向量 Word版含答案
[核心必知]1．位移、速度和力位移、速度和力这些物理量都是既有大小，又有方向的量，在物理中称为“矢量”，它们和长度、面积、质量等只有大小的量是不同的．2．向量的概念(1)向量的定义：在数学中，把既有大小，又有方向的量统称为向量．(2)向量的表示法①有向线段：具有方向和长度的线段叫作有向线段．②向量的表示法(ⅰ)几何表示法：用有向线段表示，若有向线段的起点为A，终点为B ，则该有向线段记作：(ⅱ)字母表示法：用黑体小写字母a，b，c ，…表示，书写用表示．(3)向量的模(长度)向量 (或a)的大小，称为向量 (或a)的长度，也叫模，记作||(或|a|)．(4)与向量有关的概念[问题思考]1．有向线段就是向量，对吗？提示：不对．有向线段的起点、终点是确定的，而向量与起点无关，可以自由平移，它可以用有向线段表示，但不能说有向线段就是向量．2．相等向量的起点相同，对吗？提示：不对．相等向量是指长度相等且方向相同的向量．所以，两个向量只要长度相等，方向相同，即是相等的向量，与起点的位置无关．讲一讲1．判断给出下列命题是否正确，并说明理由．(1)若|a|>|b|，则a>b；(2)若|a|＝|b|，则a＝b；[尝试解答] (1)不正确．向量的模是一个非负实数，可以比较大小，但向量是有方向的量，方向是不能比较大小的，所以，向量只有相等与不相等的关系．(2)不正确．两向量相等，必须长度相等，且方向相同，所以仅模相等，并不一定是相等的向量；1．对向量有关概念的理解要严谨、准确，特别注意向量不同于数量，它既有大小，又有方向，而方向不能比较大小，所以任给两个向量都不能比较大小．2.对于两个向量，只要方向相同或相反，一定是共线向量．3．零向量是特殊的向量，解题时一定要注意其方向的任意性．练一练1．给出下列命题(1)若|a|＝0，则a＝0；(2)若a＝b，则|a|＝|b|；(3)向量a与向量b平行，则a与b的方向相同或相反；(4)两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同；(5)两个有共同终点的向量，一定是共线向量；其中正确命题的个数是( )A．1 B．2C．3 D．4解析：选B (1)不正确．零向量与数字0是两个不同的概念，零向量是一个向量，而数字0是一个实数，没有等量关系；(2)正确．两向量相等，其长度必然相等；(3)不正确．若a与b中有一个为零向量时，其方向是不确定的；(4)正确．相等的向量，长度相等且方向相同，若起点相同，则终点必相同；(5)不正确．终点相同并不能说明这两个向量的方向相同或相反．讲一讲2．小李离家从A点出发向东走2 km到达B点，然后从B点沿南偏西60°走4 km，到达C点，又改变方向向西走2 km到达D点．(2)求小李到达D点时与A点的距离．即小李到达D点时离A点4 km.1．用有向线段表示向量时，先确定起点，再确定方向，最后依据模的大小确定向量的终点．2．确定向量的长度或方向时，需要用平面几何的知识，如直角三角形的解法、平行四边形的性质等．练一练2. 中国象棋中规定：马走“日”字，象走“田”字．如下图所示，在中国象棋的半个棋盘(4×8个矩形中，每个小方格都是单位正方形)中，若马在A处，可跳到A1处，也可跳到A2处，用向量表示马走了“一步”，试在图中画出马在B、C处走了一步的所有情况．解：如图，以点C为起点作向量(共8个)，以点B为起点作向量(共3个)．讲一讲3．如图所示，O为正方形ABCD对角线的交点，四边形OAED、OCFB都是正方形．在图中所示的向量中：(1)分别写出与相等的向量；(2)写出与共线的向量．1．在平面图形中找相等向量、共线向量时，首先要注意分析平面图形中相等、平行关系，同时注意线段的平行和相等与向量平行和相等的区别，充分利用平行四边形的性质．2．寻求相等向量，抓住长度相等，方向相同两个要素；寻求共线向量，抓住方向相同或相反的一个要素．练一练3. 如右图，四边形ABCD、CEFG、CGHD都是全等的菱形，则下列关系不一定成立的是( )解析：选C 由题意知，AB＝EF，∴A成立；又AB∥FH，DC与EC共线都成立，∴B，D成立．而BD不一定等于EH，故C不一定成立．[巧思] ＝1说明点P到定点O的距离为1，即P在以原点为圆心，以1为半径的圆上，Q点在圆外，表示P、Q两点的距离，因此可采用数形结合法来解决．[妙解] 如图，由＝1知动点P的轨迹是单位圆，连接QO并延长与单位圆相交于A，B两点，由平面知识易知：当P运动至A，B两点时，向量|分别取最小值，最大值，1．下列物理量：①质量；②速度；③力；④加速度；⑤路程；⑥密度；⑦功．其中不是向量的有( ) A．1个B．2个C．3个 D．4个解析：选D 本题主要考查向量的概念，看一个量是不是向量，就是看它是否具备向量的两个要素：大小和方向，因为②③④是既有大小，又有方向的量，所以它们是向量；而①⑤⑥⑦只有大小而没有方向的量，所以不是向量．2．给出下列命题：①起点相同，方向相同的两个非零向量的终点相同；②起点相同的两个相等的非零向量的终点相同；③两个平行的非零向量的方向相同；④两个共线的非零向量的起点与终点一定共线．其中正确的是( ) A．①② B．②C．②③ D．③④解析：选B 起点相同，方向相同的两个非零向量若长度不相等，则终点不相同，故①不正确；起点相同且相等的两个非零向量的终点相同，故②正确；两个平行的非零向量的方向相同或相反，故③不正确；两个共线的非零向量的起点与终点不一定共线，所对应的直线可能平行，故④不正确．3. 设O为△ABC的外心，则是( )A．相等向量B．平行向量C．模相等的向量D．起点相同的向量解析：选C 显然AO、BO、CO互不平行，但长度相等，所以|.4．如图所示，四边形ABCD和四边形ABDE都是平行四边形．(1)与向量相等的向量有________；(2)若＝3，则向量的模等于________．解析：(1)相等向量既模相等，又方向相同，所以与相等的向量有.5. 如图，B、C是线段AD的三等分点，分别以图中各点为起点和终点最多可以写出________个互不相等的非零向量．答案： 66．我国国内有些城市的道路命名非常有趣，它以“经纬”来命名道路，目前比较典型的有郑州市，其经纬路走向与地理意义上的经纬走向保持了一致，济南市的命名则与地理意义的经纬走向是完全相反的，另外西安市以前也以经纬命名道路，但后来大多更名．设某城市的地图如图(街道刚好分布在一个方形格纸中且距离都为1个单位)：请作出某人从经1纬2路口走到经3纬4路口的位移，并计算其走过的最短路程和位移的大小．解：如图，用向量表示某人的位移．位移的大小为22＋22＝22个单位长度．从A走到B，必然向右走2个单位，向下走2个单位，所以走过的路程为4个单位长度．一、选择题1．给出下列命题：①若a＝－b，则|a|＝|b|；②若|a|<|b|，则a<b；③若a＝b，则a∥b；④若a∥b，b∥c，则a∥c.其中正确命题的个数是( )A．0 B．1C．2 D．3解析：选C 对于①，若a＝－b，则a，b互为反向量，所以|a|＝|b|，①正确；对于②，向量的长度有大小，但向量不能比较大小，所以②不正确；对于③，a＝b，意味着a与b的方向相同，所以a∥b；对于④，若b＝0，则a∥b，b∥c，但a与c方向不一定相同或相反，所以④不正确．2．某人向正东方向行进100 m后，再向正南方向行进1003 m，则此人位移的方向是( )A．南偏东60° B．南偏东45°C．南偏东30° D．南偏东15°∴θ＝60°.3．下列说法中正确的是( )A．平行向量一定方向相同B．共线向量一定相等C．起点不同，但方向和模相等的几个向量一定是相等的向量D．与任意向量都平行的向量不一定是零向量解析：选C 非零平行(共线)向量要么方向相同，要么方向相反，所以A、B均不正确；只有零向量与任意向量平行，故D不正确；C正确．4．已知集合A＝{与a共线的向量}，B＝{与a长度相等的向量}，C＝{与a长度相等，方向相反的向量}，其中a为非零向量，则下列命题中错误的是( )A．C A B．A∩B＝CC．C B D．A∩B C解析：选B ∵A∩B中还含有向量a，故B错．二、填空题5. 如图，在四边形ABCD中，且则四边形ABCD为________．答案：菱形6．在▱ABCD中，E，F分别是AB、CD的中点，如图所示的向量中，设＝a，＝b，则与a相等的向量是________；与b共线的向量是________．7．如图，设每一个正方形小方格的边长为1，则向量，GH―→的长度从小到大排列依次为________________．8. 如图，已知矩形ABCD中，设点集M＝{A，B，C，D}，集合T＝{PQ|P、Q∈M，且PQ≠0}．则集合T中有________个元素．解析：集合T＝{PQ|P、Q∈M，且PQ≠0}中的元素为非零向量PQ，且向量的起点与终点分别为矩形的顶点A、B、C、D.根据集合元素的互异性，得集合T＝{，}共含有8个元素．答案：8三、解答题9．一架测绘飞机从A点向北飞行200 km到达B点，再从B点向东飞行100 km到达C点，再从C点向东南45°飞行了100 2 km到达D点，问飞机从D点飞回A点的位移大小是多少km?解：如图，建立平面直角坐标系xAy，其中x轴的正方向表示正东方向，y轴的正方向表示正北方向，作DE⊥AB，CF⊥DE，垂足分别为E、F.在Rt△CDF中，||＝1002，∠CFD＝90°，∠CDF＝45°，∴CF＝DF＝100，ED＝200，在Rt△AED中，BE＝EA＝100，∴|DA|＝1002＋2002＝1005(km)．故飞机从D点飞回A点的位移大小为100 5 km.10．在如图所示的方格纸上(每个小方格边长均为1)，已知向量a.(1)试以B为起点画一个向量b，使b＝a；(2)画一个以C为起点的向量c，使|c|＝2，并说出c的终点的轨迹是什么．解：(1)根据相等向量的定义，所作向量应与a平行，且长度相等，如图所示．(2)由平面几何知识可作满足条件的向量c.所有这样的向量c的终点的轨迹是以C为圆心，2为半径的圆，如上图．。
高中数学 第二章 从位移的合成到向量的加法教案 北师大版必修4
从位移的合成到向量的加法一、教学目标：1.知识与技能（1）掌握向量加法的概念；能熟练运用三角形法则和平行四边形法则做几个向量的和向量；能准确表述向量加法的交换律和结合律，并能熟练运用它们进行向量计算.（2）了解相反向量的概念；掌握向量的减法，会作两个向量的减向量（3）通过实例，掌握向量加、减法的运算，并理解其几何意义.（4）初步体会数形结合在向量解题中的应用.2.过程与方法教材利用同学们熟悉的物理知识引出向量的加法，一方面启发我们利用位移的合成去探索两个向量的和，另一方面帮助我们利用物理背景去理解向量的加法. 然后用“相反向量”定义向量的减法；最后通过讲解例题，指导发现知识结论，培养学生抽象概括能力和逻辑思维能力.3.情感态度价值观通过本节内容的学习，使同学们对向量加法的三角形法则和平行四边形法则有了一定的认识，进一步让学生理解和领悟数形结合的思想；同时以较熟悉的物理背景去理解向量的加法，这样有助于激发学生学习数学的兴趣和积极性，实事求是的科学学习态度和勇于创新的精神.二.教学重、难点重点: 向量加法的概念和向量加法的法则及运算律.难点: 向量的减法转化为加法的运算.三.学法与教学用具学法：(1)自主性学习+探究式学习法：(2)反馈练习法：以练习来检验知识的应用情况，找出未掌握的内容及其存在的差距.教学用具:电脑、投影机.四.教学设想【创设情境】一、提出课题：向量是否能进行运算？1．某人从A到B，再从B按原方向到C，则两次的位移和：−→−AB+−→−BC=−→−ACA B C2． 若上题改为从A 到B ，再从B 按反方向到C ，则两次的位移和：−→−AB +−→−BC =−→−AC 3． 某车从A 到B ，再从B 改变方向到C ， 则两次的位移和：−→−AB +−→−BC =−→−AC 4． 船速为AB ，水速为BC ， 则两速度和：−→−AB +−→−BC =−→−AC 提出课题：向量的加法【探究新知】1．定义：求两个向量的和的运算，叫做向量的加法。
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从位移、速度、力到向量
一、教学目标：
1.知识与技能
（1）理解向量与数量、向量与力、速度、位移之间的区别；
（2）理解向量的实际背景与基本概念，理解向量的几何表示，并体会学科之间的联系. （3）通过教师指导发现知识结论，培养学生抽象概括能力和逻辑思维能力
2.过程与方法
通过力与力的分析等实例，引导学生了解向量的实际背景，帮助学生理解平面向量与向量相等的含义以及向量的几何表示；最后通过讲解例题，指导学生能够发现问题和提出问题，善于独立思考，学会分析问题和创造地解决问题.
3.情感态度价值观
通过本节的学习，使同学们对向量的实际背景、几何表示有了一个基本的认识；激发学生学习数学的兴趣和积极性，陶冶学生的情操，培养学生坚忍不拔的意志，实事求是的科学学习态度和勇于创新的精神.
二.教学重、难点
重点: 向量及向量的有关概念、表示方法.
难点: 向量及向量的有关概念、表示方法.
三.学法与教学用具
学法：(1)自主性学习+探究式学习法：
(2)反馈练习法：以练习来检验知识的应用情况，找出未掌握的内容及其存在的差距.
教学用具:电脑、投影机.
四.教学设想
【创设情境】
实例：老鼠由A向西北逃窜，猫在B处向东追去，
问：猫能否追到老鼠？（画图）
A B
结论：猫的速度再快也没用，因为方向错了.
【探究新知】
1．学生阅读教材思考如下问题
[展示投影]（学生先讲，教师提示或适当补充）
1. 举例说明什么是向量？向量与数量有何区别？
既有大小又有方向的量叫向量。
例：力、速度、加速度、冲量等 注意：①数量与向量的区别：
数量只有大小，是一个代数量，可以进行代数运算、比较大小； 向量有方向，大小，双重性，不能比较大小。
②从19世纪末到20世纪初，向量就成为一套优良通性的数学体系，用以研究空间性质。
2.向量的表示方法有哪些？ ①几何表示法：有向线段
有向线段：具有方向的线段叫做有向线段。
记作：−→
−AB 注意：起点一定写在终点的前面。
有向线段的长度：线段AB 的长度也叫做有向线段−→−AB 的长度 有向线段的三要素：起点、方向、长度
②字母表示法：也可用字母a 、b 、c （黑体字）来表示，即−→
−AB 可表示为a （印刷时用黑体字）
3. 向量的模的概念是如何定义的？ 向量−→
−AB 的大小——长度称为向量的模。
记作：|−→−AB | 模是可以比较大小的 4.两个特殊的向量：
①零向量——长度（模）为0的向量，记作。
的方向是任意的. 注意0与0的区别
②单位向量——长度（模）为1个单位长度的向量叫做单位向量。
思考：①温度有零上零下之分，“温度”是否向量？
答：不是。
因为零上零下也只是大小之分。
②−→
−AB 与−→
−BA 是否同一向量？ 答：不是同一向量。
③有几个单位向量？单位向量的大小是否相等？单位向量是否都相等？
A(起点)
B
（终点）
a
答：有无数个单位向量，单位向量大小相等，单位向量不一定相等。
5.向量间的关系：
1．平行向量：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量。
记作：∥∥
规定：0与任一向量平行
2．相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量。
记作：a=b
规定：=
任两相等的非零向量都可用一有向线段表示，与起点无关。
3．共线向量：任一组平行向量都可移到同一条直线上，
所以平行向量也叫共线向量。
−→−OA=
−→
−
OB=
−→
−
OC=
例题讲评（学生先做，学生讲，教师提示或适当补充）
例题：如图，设O是正六边形ABCDEF的中心，①分别写出图中与向量
−→
−
OA、
−→
−
OB、
−→
−
OC
相等的向量；②分别写出图中与向量
−→
−
OD、
−→
−
OE、
−→
−
OE共线的向量.
[学习小结]（学生总结，其它学生补充）
①向量及其表示方法.
②向量的模. a
b
c
③零向量与单位向量（零向量的方向任意；单位向量不一定相等）
④相等向量与平行向量.
五.作业：
六. 课后反思。