人教版A版高中数学高二选修2-1 第二章复习高考中的圆锥曲线
人教版A版高中数学高二选修2-1 第二章复习浅谈圆锥曲线定义的综合运用.
浅谈圆锥曲线定义的综合运用圆锥曲线的定义是“圆锥曲线方程”这一章的基础，对这些定义我们有必要深刻地理解与把握。
这里就探讨一下圆锥曲线定义的深层及其综合运用。
一、椭圆定义的深层运用例1. 如图1，P为椭圆上一动点，为其两焦点，从的外角的平分线作垂线，垂足为M，将F2P的延长线于N，求M的轨迹方程。
图1解析：易知故在中，则点M的轨迹方程为。
二、双曲线定义的深层运用例2. 如图2，为双曲线的两焦点，P为其上一动点，从的平分线作垂线，垂足为M，求M的轨迹方程。
图2解析：不妨设P点在双曲线的右支上，延长F1M交PF2的延长线于N，则，即在故点M的轨迹方程为三、抛物线定义的深层运用例3. 如图3，AB为抛物线的一条弦，|AB|＝4，F为其焦点，求AB的中点M到直线y＝－1的最短距离。
图3解析：易知抛物线的准线l：，作AA”⊥l，BB”⊥l，MM”⊥l，垂足分别为A”、B”、M”则即M到直线的最短距离为2故M到直线y＝－1的最短距离为。
评注：上述解法中，当且仅当A、B、F共线，即AB为抛物线的一条焦点弦时，距离才取到最小值。
一般地，求抛物线的弦AB的中点到准线的最短距离，只有当（即通径长）时，才能用上述解法。
四、圆与椭圆、圆与双曲线定义的综合运用例4. ①已知圆，M为圆上任一点，MP的垂直平分线交OM于Q，则Q的轨迹为（）图4②已知圆，M为圆上任一点，MP的垂直平分线交OM于Q，则Q的轨迹为（）A. 圆B. 椭圆C. 双曲线D. 抛物线解析：①如图4，由垂直平分线的性质，知|QM|＝|QP|，而|QM|＝|OM|－|OQ|＝2－|OQ|即|OQ|＋|QP|＝2＞|OP|＝故Q的轨迹是以O（0，0）、P为焦点长轴长为2的椭圆。
应选B。
②同理，利用垂直平分线的性质及双曲线的定义，可知点Q的轨迹为双曲线的一支，应选C。
五、椭圆与双曲线定义的综合运用例5. 如图5，已知三点A（－7，0），B（7，0），C（2，－12）。
人教版A版高中数学高二选修2-1 第二章复习圆锥曲线中的数学思想
圆锥曲线中的数学思想山东 秦振数学思想方法是从数学内容中提炼出来的数学知识的精髓，是将知识转化为能力的桥梁。
解决圆锥曲线问题经常用到各种基本数学思想，掌握这些数学思想有利于提高我们分析问题和解决问题的能力。
下面介绍数学思想在圆锥曲线中的应用，供大家参考。
一、函数思想利用函数的有关性质，解决圆锥曲线的有关问题。
即以运动和变化的观点，分析圆锥曲线问题的数量关系，建立函数关系，运用函数的图象和性质求解，从而使问题获得解决。
例1 如图1所示，曲边梯形由曲线21y x =+及直线0y =，x=1，x =2所围成，试问通过曲线21y x =+，[]12x ∈，上的哪一点作切线，能使此切线从曲边梯形上切出一个最大面积的普通梯形。
分析 先求出适合条件[]12x ∈，的一条切线方程，再求出这条切线与直线x=1，x =2的交点坐标，根据梯形面积公式列出函数关系式，再求最值。
解 设[]012x ∈，，点()2001x x +，为曲线21y x =+上一点，过这点的切线的斜率是002y x '=，故切线方程是20021y x x x =-+①。
切线①与x=1，的交点纵坐标是210021y x x =-+，与x =2的交点的纵坐标是22041y x x =-+。
所以切线①在曲边梯形上切出梯形的中位线长21200312y y x x +=-+，梯形的高为1。
故普通梯形的面积20031S x x =-+2031324x ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭。
当032x =时，S 最大。
故过点31324⎛⎫ ⎪⎝⎭，作切线能切出最大面积的普通梯形。
评注 在解圆锥曲线中的最值或次数的取值范围问题时，通常转化为函数问题，结合具体的函数性质求解，这样可以使问题化难为易，化繁为简，是一个重要的解题策略。
如果函数解析式中含有参数，一般要根据定义域和参数的特点分类讨论。
二、方程思想圆锥曲线问题，大部分题目都以二元二次方程形式给出的，因此，根据题目中的其它数量关系再列出方程与原方程联立，并运用方程（组）的有关性质求解，从而简化解题过程，减少运算量。
人教版A版高中数学高二选修2-1 第二章复习立体几何与圆锥曲线的完美结合
立体+曲线 =“综合+创新”浙江 陈冬良新教材的改革使得试题日趋综合化，知识间的网络考查也日趋增多。
此类试题更能考查学生的综合、创新能力,起到一个选拔的功能。
立体几何常规考查往往是“立体+直线”型的综合，“立体+曲线”使得立体几何与平面几何、解析几何有机的结合，这也是现在考查的一个热点，以下是笔者教学中的一些点滴积累，供参阅。
一.立体+圆例1．1）(如图)已知平面α内一线段AB ，α⊥PA 于A 点,过B点在平面α内任作一直线l (不重合与AB)，又过P 作点于E l PE ⊥,问：E 点在平面α内的轨迹是______________解：连结AE ，由三垂线定理得AE l ⊥，由圆的性质得E 点轨迹为以AB 为直径的圆周(去掉A 、B 两点)2)已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1，在正方体表面上与点A 距离为233的点的集合形成一条曲线(此曲线不一定在同一平面上)，则此曲线的长度为_______________.解：由题意可得曲线是以A 为公共点的三个面上三段圆周,分离一个平面上的轨迹，如图所示，计算得是以A 为圆心，233为半径的圆周的121，三段之和为圆周的41，故曲线的长度为3322⋅π=33π. 3)已知平面α//平面β,直线,l P l α⊂∈点,平面α,β间的距离为8，则在β内到点P 的距离为10且到直线l 的距离为9的点的轨迹是A.一个圆B.两条直线C.四个点D.两个点解：如图，设点P 在平面β上的射影是O ，则OP 是平面α，β的公垂线段，OP=8。
在β内到点P 的距离等于10的点到O 点的距离等于6,故点的集合是以O 为圆心，以6为半径的圆。
在β内到直线l 的距离等于9的点的集合是两条平行直线m,n ，它们到点O 的距离都等于2298176-=<,所以直线m,n 与这个圆均相交，共有四个交点，因此所求点的轨迹是四个点。
故应选C 。
α m nO P l β评注：圆是到定点的距离等于定长的点的轨迹,在立体几何中渗透使得考查新颖独特.读者可自行处理以下一试题：如图，正方体ABCD_A 1B 1C 1D 1的棱长为2，点M 是BC 的中点，点P 是平面ABCD 内的一个动点，且满足PM=2，P到直线A 1D 1的距离为5，则点P 的轨迹是A ．圆 B.双曲线C .两个点 D.直线 二.立体+椭圆 例2.1)一圆柱被一平面所截，截口是一个椭圆．已知椭圆的长轴长为5，短轴长为4，被截后几何体的最短侧面母线长为1，则该几何体的体积等于 ．解：由题可知，圆柱直径即为椭圆的短轴长4，被截后几何体的最长侧面母线长为1+2245-=4,由椭圆的对称性可把被截后几何体切割后补成高为25的圆柱(过椭圆短轴作平行底面的平面截几何体上面部分刚好补全下方圆柱所缺部分)，则V=ππ102522=⋅⋅=⋅h S 底. 另解：可在几何体上面补一个同样大小的几何体，使其成为高为5的圆柱，则V=ππ105221212=⋅⋅=⋅h S 底. 评注：切与割是立体几何中求体积常用的方法，但上面的切割应建立在椭圆对称性的基础之上的。
高中数学人教A版选修2-1第2章章末总结.docx
章末总结知识点一圆锥曲线的定义和性质对于圆锥曲线的有关问题，要有运用圆锥曲线定义解题的意识，“回归定义”是一种重要的解题策略；应用圆锥曲线的性质时，要注意与数形结合思想、方程思想结合起来．总之，圆锥曲线的定义、性质在解题中有重要作用，要注意灵活运用．例1已知双曲线的焦点在x轴上，离心率为2，F1，F2为左、右焦点，P为双曲线上一点，且∠F1PF2＝60°，S△PF1F2＝123，求双曲线的标准方程．知识点二直线与圆锥曲线的位置关系直线与圆锥曲线一般有三种位置关系：相交、相切、相离．在直线与双曲线、抛物线的位置关系中有一种情况，即直线与其交于一点和切于一点，二者在几何意义上是截然不同的，反映在代数方程上也是完全不同的，这在解题中既是一个难点也是一个十分容易被忽视的地方．圆锥曲线的切线是圆锥曲线的割线与圆锥曲线的两个交点无限靠近时的极限情况，反映在消元后的方程上，就是一元二次方程有两个相等的实数根，即判别式等于零；而与圆锥曲线有一个交点的直线，是一种特殊的情况(抛物线中与对称轴平行，双曲线中与渐近线平行)，反映在消元后的方程上，该方程是一次的．例2如图所示，O为坐标原点，过点P(2，0)且斜率为k的直线l交抛物线y2＝2x于M(x1，y1)，N(x2，y2)两点．(1)求x1x2与y1y2的值；(2)求证：OM⊥ON.知识点三轨迹问题轨迹是解析几何的基本问题，求解的方法有以下几种：(1)直接法：建立适当的坐标系，设动点为(x，y)，根据几何条件直接寻求x、y之间的关系式．(2)代入法：利用所求曲线上的动点与某一已知曲线上的动点的关系，把所求动点转换为已知动点．具体地说，就是用所求动点的坐标x、y来表示已知动点的坐标并代入已知动点满足的曲线的方程，由此即可求得所求动点坐标x、y之间的关系式．(3)定义法：如果所给几何条件正好符合圆、椭圆、双曲线、抛物线等曲线的定义，则可直接利用这些已知曲线的方程写出动点的轨迹方程．(4)参数法：当很难找到形成曲线的动点P(x，y)的坐标x，y所满足的关系式时，借助第三个变量t，建立t和x，t和y的关系式x＝φ(t)，y＝Φ(t)，再通过一些条件消掉t就间接地找到了x和y所满足的方程，从而求出动点P(x，y)所形成的曲线的普通方程．例3设点A、B是抛物线y2＝4px (p>0)上除原点O以外的两个动点，已知OA⊥OB，OM⊥AB，垂足为M，求点M的轨迹方程，并说明它表示什么曲线？知识点四圆锥曲线中的定点、定值问题圆锥曲线中的定点、定值问题是高考命题的一个热点，也是圆锥曲线问题中的一个难点，解决这个难点没有常规的方法，但解决这个难点的基本思想是明确的，定点、定值问题必然是在变化中所表现出来的不变的量，那么就可以用变化的量表示问题的直线方程、数量积、比例关系等，这些直线方程、数量积、比例关系不受变化的量所影响的某个点或值，就是要求的定点、定值．化解这类问题难点的关键就是引进变化的参数表示直线方程、数量积、比例关系等，根据等式的恒成立、数式变换等寻找不受参数影响的量．例4 若直线l ：y ＝kx ＋m 与椭圆x 24＋y23＝1相交于A 、B 两点(A 、B 不是左、右顶点)，A 2为椭圆的右顶点且AA 2⊥BA 2，求证：直线l 过定点．知识点五 圆锥曲线中的最值、范围问题圆锥曲线中的最值、范围问题，是高考热点，主要有以下两种求解策略： (1)平面几何法平面几何法求最值问题，主要是运用圆锥曲线的定义和平面几何知识求解． (2)目标函数法建立目标函数解与圆锥曲线有关的最值问题，是常规方法，其关键是选取适当的变量建立目标函数，然后运用求函数最值的方法确定最值．例5已知A(4,0)，B(2,2)是椭圆x225＋y29＝1内的两定点，点M是椭圆上的动点，求MA＋MB的最值．例6 已知F 1、F 2为椭圆x 2＋y22＝1的上、下两个焦点，AB 是过焦点F 1的一条动弦，求△ABF 2面积的最大值．章末总结重点解读例1 解如图所示，设双曲线方程为x 2a2－y 2b2＝1 (a >0，b >0)． ∵e ＝c a＝2，∴c ＝2a .由双曲线的定义，得|PF 1－PF 2|＝2a ＝c ，在△PF 1F 2中，由余弦定理，得：F 1F 22＝PF 21＋PF 22－2PF 1·PF 2cos 60°＝(PF 1－PF 2)2＋2PF 1·PF 2(1－cos 60°)，即4c 2＝c 2＋PF 1·PF 2.① 又S △PF 1F 2＝123， ∴12PF 1·PF 2sin 60°＝123， 即PF 1·PF 2＝48.②由①②，得c 2＝16，c ＝4，则a ＝2，b 2＝c 2－a 2＝12， ∴所求的双曲线方程为x 24－y 212＝1.例2 (1)解 过点P (2,0)且斜率为k 的直线方程为：y ＝k (x －2)．把y ＝k (x －2)代入y 2＝2x ，消去y 得k 2x 2－(4k 2＋2)x ＋4k 2＝0， 由于直线与抛物线交于不同两点，故k 2≠0且Δ＝(4k 2＋2)2－16k 4＝16k 2＋4>0，x 1x 2＝4，x 1＋x 2＝4＋2k2，∵M 、N 两点在抛物线上， ∴y 21·y 22＝4x 1·x 2＝16， 而y 1·y 2<0，∴y 1y 2＝－4.(2)证明∵ OM →＝(x 1，y 1)， ON →＝(x 2，y 2)， ∴OM →·ON →＝x 1·x 2＋y 1·y 2＝4－4＝0. ∴OM →⊥ON →，即OM ⊥ON .例3 解 设直线OA 的方程为y ＝kx (k ≠±1，因为当k ＝±1时，直线AB 的斜率不存在)，则直线OB 的方程为y ＝－x k，进而可求A ⎝⎛⎭⎪⎫4p k 2，4p k、 B (4pk 2，－4pk )．于是直线AB 的斜率为k AB ＝k1－k2，从而k OM ＝k 2－1k，∴直线OM 的方程为y ＝k 2－1k x ，①直线AB 的方程为y ＋4pk ＝－k k 2－1(x －4pk 2)．②将①②相乘，得y 2＋4pky ＝－x (x －4pk 2)，即x 2＋y 2＝－4pky ＋4pk 2x ＝4p (k 2x －ky )，③又k 2x －ky ＝x ，代入③式并化简，得(x －2p )2＋y 2＝4p 2.当k ＝±1时，易求得直线AB 的方程为x ＝4p .故此时点M的坐标为(4p,0)，也在(x－2p)2＋y2＝4p2 (x≠0)上．∴点M的轨迹方程为(x－2p)2＋y2＝4p2 (x≠0)，∴其轨迹是以(2p,0)为圆心，半径为2p的圆，去掉坐标原点．例4证明 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 24＋y 23＝1， 得(3＋4k 2)x 2＋8mkx ＋4(m 2－3)＝0， 则⎩⎪⎨⎪⎧ Δ＝64m 2k 2－16(3＋4k 2)(m 2－3)>0，x 1＋x 2＝－8mk 3＋4k 2，x 1x 2＝4(m 2－3)3＋4k 2.即⎩⎪⎨⎪⎧ 3＋4k 2－m 2>0，x 1＋x 2＝－8mk 3＋4k 2，x 1x 2＝4(m 2－3)3＋4k 2.又y 1y 2＝(kx 1＋m )(kx 2＋m )＝k 2x 1x 2＋mk (x 1＋x 2)＋m 2＝3(m 2－4k 2)3＋4k 2. ∵椭圆的右顶点为A 2(2,0)，AA 2⊥BA 2，∴(x 1－2)(x 2－2)＋y 1y 2＝0.∴y 1y 2＋x 1x 2－2(x 1＋x 2)＋4＝0.∴3(m 2－4k 2)3＋4k 2＋4(m 2－3)3＋4k 2＋16mk 3＋4k 2＋4＝0. ∴7m 2＋16km ＋4k 2＝0，解得m 1＝－2k ，m 2＝－2k 7，且均满足3＋4k 2－m 2>0. 当m 1＝－2k 时，l 的方程为y ＝k (x －2)，直线过定点(2,0)，与已知矛盾．当m 2＝－2k 7时，l 的方程为y ＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －27，直线过定点⎝ ⎛⎭⎪⎫27，0，∴直线l 过定点．例5解因为A(4,0)是椭圆的右焦点，设A′为椭圆的左焦点，则A′(－4,0)，由椭圆定义知MA＋MA′＝10.如图所示，则MA＋MB＝MA＋MA′＋MB－MA′＝10＋MB－MA′≤10＋A′B.当点M在BA′的延长线上时取等号．所以当M为射线BA′与椭圆的交点时，(MA＋MB)max＝10＋A′B＝10＋210.又如图所示，MA＋MB＝MA＋MA′－MA′＋MB＝10－(MA′－MB)≥10－A′B，当M在A′B的延长线上时取等号．所以当M为射线A′B与椭圆的交点时，(MA＋MB)min＝10－A′B＝10－210.例6解 由题意，F 1F 2＝2. 设直线AB 方程为y ＝kx ＋1， 代入椭圆方程2x 2＋y 2＝2， 得(k 2＋2)x 2＋2kx －1＝0， 则x A ＋x B ＝－2k k 2＋2，x A ·x B ＝－1k 2＋2，∴|x A －x B |＝8(k 2＋1)k 2＋2.S △ABF 2＝12F 1F 2·|x A －x B |＝22×k 2＋1k 2＋2 ＝22×1k 2＋1＋1k 2＋1≤22×12＝ 2.当k 2＋1＝1k 2＋1，即k ＝0时，S △ABF 2有最大面积为 2.。
人教版A版高中数学高二选修2-1 第二章复习圆锥曲线的弦长公式
弦长公式实战演示（高二第20期）龚学谦在直线与圆锥曲线相交的位置关系中，涉及弦长的题型很多，这里介绍一个弦长公式，供同学们在有关题型的求解证明中应用。
一、公式的形成已知直线l ：y =k x +m 和圆锥曲线C ：f (x ,y )=0,若直线l 与圆锥曲线C 交于两点A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),设由方程组⎩⎨⎧y =k x +m f (x ,y )=0消去y 所得的一元二次方程为a x ²+b x +c=0,则A 、B 两点的横坐标x 1,x 2满足方程。
于是x 1+x 2= -b a ,x 1x 2=c a ,判别式Δ=b²-4ac. 从而|AB|=(x 1-x 2)2+(y 1-y 2)2=(x 1-x 2)2+[(kx 1+m)-(kx 2+m)]2 =(1+k 2)(x 1-x 2)2=(1+k 2)[(x 1+x 2)2-4x 1x 2]=(1+k 2)[(-b a )2-4×c a ]= (1+k 2)Δ|a|于是有圆锥曲线的弦长公式⑴：|AB|= (1+k 2)Δ|a| 同理：设由方程组⎩⎨⎧y =k x +m f (x ,y )=0消去x 所得的一元二次方程为a y ²+b y +c=0,可得圆锥曲线的弦长公式⑵：|AB|= (1+k 2)Δ|a|二、公式的应用举例⒈已知曲线和弦的中点，求弦长例1 已知抛物线y ²=6x ,过点P(4,1)作一弦与抛物线相交于A 、B ，使P 恰为弦AB 的中点，求弦AB 所在的直线方程和弦AB 的长。
分析：设出直线AB 方程，由根与系数关系，中点公式，弦长公式求解。
解：设过P 点的直线AB 方程为y -1=k(x -4)(k ≠0),由方程组⎩⎨⎧y 2=6x y-1=k(x-4)中消去x 得k y ²-6y +6-24k=0,⑴ 由中点公式及根与系数的关系得- -62k = y 1+y 22=1，解之k=3, 故弦AB 所在的直线方程为y -1=3(x -4),即y =3x -11,这时，方程⑴化为y ²-2y -22=0.由弦长公式得 |AB|=|13|)22(14)2)[(31(22⋅-⋅⋅--+=23032 点评：显然，由方程组消去y 比消去x 好，但要注意用弦长公式⑵求解弦长。
人教版A版高中数学高二选修2-1 第二章复习圆锥曲线消元的方法和技巧
圆锥曲线消元的方法和技巧山东 穆守伏与圆锥曲线有关的问题一般都需要通过大量的甚至是繁复的运算，掌握一些消元的技巧和方法，对于成功解题有很大帮助．一、设而不求巧替换例1 给定双曲线2x －2y 2＝1，过点A(2，1)的直线l 与所给双曲线交于P 1、P 2两点，求线段P 1P 2中点P 的轨迹方程．解：设P 1(x 1，y 1)、P 2(x 2，y 2)、P(x ，y)，又点P 是线段P 1P 2中点，则有21x －21y 2＝1，22x －22y 2＝1，x 1＋x 2＝2x ，y 1＋y 2＝2y ．∴2121y y x x --＝222121y y y y -+·212221x x x x +-＝2221y y 2y -·12222x y y 1+1+22-（）（）＝2xy ．又AP k ＝y 1x 2--，而AP k ＝12P P k ＝2121y y x x --，∴2x y ＝y 1x 2--， 即所求点P 的轨迹方程为22x －2y －4x ＋y ＝0．点评：与弦的中点有关的两种类型：⑴已知斜率求平行弦的中点的轨迹方程；⑵过某定点做圆锥曲线的割线，求截得弦的中点的轨迹方程．它们都可以采用点差法（设而不求，两式相减）来求解．二、整体意识妙构思例2 如图，在直角坐标系内，已知矩形OABC 的边长OA ＝a ，OC ＝b ，若点D 在AO 的延长线上，且|OD|＝a ．设M 、N 分别是OC 、BC 边上的动点，使得OM:MC ＝BN:NC ≠0，求直线DM 与AN 交点P 的轨迹方程．解：设点P(x ，y)，令OM:MC ＝BN:NC ＝λ≠0，可求出点M (0，λb 1λ+)，N(a1λ+，b)． 由D 、M 、P 三点共线，PD k ＝MD k ，故yx a+＝λb 1λa +()； 由A 、P 、N 三点共线，PA k ＝NA k ，故y x a-＝1λb λa +-()．以上两式相乘，消去参数λ，得所求轨迹方程为22x a＋22y b ＝1（x ＞0，y ＞0）．点评：求轨迹方程消去参数时，不一定使用加减消元法，也可以使用“乘除”消元法．故解答数学题不要拘泥于“成法”，要从整体上观察分析，然后采取适当的策略．三、技能积累能开窍例3 已知椭圆的中心在坐标原点O ，焦点在坐标轴上，直线y ＝x ＋1与该椭圆相交于两点P 和Q ，且OP ⊥OQ ，|PQ|，求椭圆的方程． 解：设椭圆方程为22x a＋22y b ＝1，将直线方程y ＝x ＋1代入，消去y 整理得(a 2＋b 2)x 2＋2a 2 x ＋a 2 －a 2 b 2＝0．由OP ⊥OQ ，即x 1x 2＋y 1y 2＝0，整理得 2x 1x 2＋(x 1＋x 2)＋1＝0；由|PQ||x 1－x 2|，整理得 (x 1＋x 2) 2－4x 1x 2＝54． 以上两式是关于x 1＋x 2，x 1x 2的二元一次方程组，解之得12123x x 21x x 4⎧+=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，或12121x x 21x x 4⎧+=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，即222222222a 3a b 2a a b 1 a b 4⎧-=-⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩，或222222222a 1a b 2a a b 1 a b 4⎧-=-⎪⎪+⎨-⎪=-⎪+⎩ 解之得22a 2 2b 3⎧=⎪⎨=⎪⎩，或222a 3b 2 ⎧=⎪⎨⎪=⎩．∴所求轨迹方程为2x 2＋2y 23＝1，或2y 2＋2x 23＝1．点评：要快速准确地解题，必须要有一定的技能的积累．将OP ⊥OQ 、PQ|转化为数量上的关系，解二元一次方程组等技能与平时的训练是密不可分的．四、信心坚定保成功例4 已知椭圆22x a＋22y b ＝1（a ＞b ＞0），A 、B 是椭圆上两点，线段AB 的垂直平分线与x 轴交于点P(x 0，0)，求证：－22a b a -＜x 0＜22a b a -．证明：设P 1(x 1，y 1)、P 2(x 2，y 2)，则212x a ＋212y b ＝1，222x a ＋222y b＝1，即y 22－y 12＝－22b a(x 22－x 12)．∵线段AB 的垂直平分线与x 轴交于点P(x 0，0)，∴|PA|2＝|PB|2，即(x 0－x 1)2＋(0－y 1)2＝(x 0－x 2)2＋(0－y 2)2， 整理得，x 0＝2112(x x )-(x 22－x 12＋y 22－y 12)＝2112(x x )-[x 22－x 12－22b a(x 22－x 12)] ＝222a b 2a -(x 2＋x 1)． ∵－2a ＜x 2＋x 1＜2a ，∴－22a b a -＜222a b 2a -(x 2＋x 1)＜22a b a -，即－22a b a -＜x 0＜22a b a-． 点评：要有能够成功解题的坚定信心，首先坚信x 0一定可以用x 2、x 1表示出来；得到解析式x 0＝222a b 2a -(x 2＋x 1)以后，要坚信x 2＋x 1的范围是可以求出来的．有了以上信心，下面的工作就是运算的问题了．。
人教版A版高中数学高二选修2-1 第二章复习圆锥曲线高考热点题型归纳
圆锥曲线高考热点题型归纳山东 王光天圆锥曲线的考题一般以两个选择、一个填空、一个解答题，客观题的难度为中等，解答题目相对较难，同时平面向量的介入，增加了本专题高考命题的广度与深度，成为近几年高考命题的一大亮点，备受命题者的青睐，本专题还经常结合函数、方程、不等式、数列、三角等知识进行综合考查。
下面对圆锥曲线在高考中出现的热点题型作简单的探究： 一、圆锥曲线的定义与标准方程：例1、已知12,F F 是椭圆2214x y +=的两个焦点，P 是椭圆上一个动点，则12PF PF ⋅的最大值为（ ）（A ） 1 （B ） 2（C ） 3（D ） 4解析：本题主要考查了椭圆的定义，根据条件124PF PF +=，所以2121242PF PF PF PF ⎛+⎫⋅≤= ⎪⎝⎭，所以12PF PF ⋅的最大值为4故答案选 D点评：圆锥曲线的定义反映了它们的图形特点，是画图、解题的依据和基础，在实际问题中正确的使用定义可以使问题的解决更加灵活。
同时平面向量与圆锥曲线的有机结合也是考查的重点和难点，是高考常常考查的重要内容之一。
二、圆锥曲线的离心率例2、⑴若双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的右支上到原点和右焦点距离相等有两个，则双曲线的离心率的取值范围是（ ）A 、e >B 、1e <<C 、2e >D 、12e <<解析：由于到原点O 和右焦点F 的距离相等的点在线段OF 的垂直平分线上，其方程为2cx =，依题意，在双曲线()222210,0x y a b a b -=>>的右支上到原点和右焦点距离相等的点两个，所以直线2c x =与右支有两个交点，故应满足2c x a =>，即2ca>， 得2e >。
故答案选 C点评：本题主要考查圆锥曲线的离心率的求解问题，这类问题的一般解法是将题目提供的曲线的几何关系转化为关于曲线基本量,,a b c 的方程或不等式，通过解方程或不等式求得离心率的值或取值范围，这是求离心率的的值或范围问题的常用解法。
人教版A版高中数学高二选修2-1 第二章复习补集思想在圆锥曲线中的应用
补集思想在圆锥曲线中的应用有些圆锥曲线问题，从正面处理较难，常需分类讨论，运算量大，且讨论不全又容易出错．如用补集思想考虑其对立面，可以达到化繁为简的目的．例1 若椭圆22x + y 2= a 2 ( a ＞0 ) 与连结两点A( 1，2 )，B( 3，4 )的线段没有公共点，求a 的范围．此题若从正面解需分A 、B 两点都在椭圆外或都在椭圆内两种情况考虑，如果利用补集思想求解，则可以避免分情况讨论，运算简洁．解：设a 的允许值的集合为全集I = {a |a ∈R ，a ＞0 }，先求椭圆和线段AB 有公共点时a 的取值范围．易得线段AB 的方程是y = x + 1，x ∈[1，3] ，由方程组⎪⎩⎪⎨⎧+==+.1,2222x y a y x ⇒ a 2=23x 2+ 2x + 1 ，x ∈[1，3] ，并求得：29≤a 2≤241． ∵ a ＞0，∴223≤a ≤282． 故当椭圆与线段AB 无公共点时 a ＞282 或 0＜a ＜223． 例2 已知椭圆42x + 32y = 1中，试证明：在椭圆位于y 轴左侧的部分找不到一点M ，使点M 到左准线l 的距离| MN|为M 到两个焦点F 1、F 2距离的等比中项．从找不到一点M 入手，无成功的把握，还是避难就易从反面思考． 解：设在椭圆上存在符合题设条件的点M(x 1，y 1)．在已知椭圆中，a = 2，b =3，c = 1．∴e =21，左准线x =－c a 2=－4．因为 M 点位于y 轴的左侧，所以－2≤x 1＜0． | M F 1| = a +e x 1，| M F 2| = a －e x 1，所以| M F 1|·| M F 2| = (a +e x 1)·( a －e x 1) = a 2－e 2x 21= 4－41x 21， 又| MN| = 4 + x 1，根据已知条件：| MN|2= | M F 1|·| M F 2|，∴(4 + x 1)2= 4－41x 21，解之可得： x 1=－512，或x 1=－4．这和－2≤x 1＜0矛盾，所以这样的M 点不存在．例3 k 为何值时，直线L ：y －1 = k(x －1)不能垂直平分抛物线y 2= x 的某弦．弦被直线垂直平分，就是弦的两个端点关于直线对称．“不能”的反面是“能”．因此，此题可转化为解决问题的补集：“k 为何值时，直线L ：y －1 = k(x －1)能垂直平分抛物线y 2= x 的某弦”．解：设I = { k | k ∈ R }，A = { k |直线L 垂直平分抛物线y 2= x 的某弦}． 若直线L 垂直平分抛物线的弦AB ，且A(x 1， y 1)，B(x 2， y 2)，则y 21= x 1，y 22= x 2．上述两式相减得 (y 1－y 2)( y 1+ y 2) = x 1－x 2， 即－k 1= 2121x x y y --=211y y + ． 又设M 是弦AB 的中点，且M(x 0， y 0)，则 y 0=221y y +=－2k．因为点M 在直线L 上，所以x 0=21－k1．由于M 在抛物线的内部，所以y 20＜x 0，即 (－2k )2 ＜21－k1⇒k k k 423+-＜0 ，⇒ kk k k )22)(2(2+-+＜0 ，⇒ －2＜k ＜0 ． 故原命题中k 的取值范围是 k ≤－2 或 k ≥0 ．例4 两个不同的点P 、Q 在曲线y = x 2上移动，不管如何选择其位置，它们总不能关于直线 y = m( x －3 )对称，求m 的范围．从不能的角度考虑，需分别讨论各种情况，比较麻烦．用补集思想解题就达到了删繁就简的目的．解：设I = { m | m ∈R }，A = { m | P 、Q 关于直线 y = m( x －3 )对称}． 若m = 0，显然曲线y = x 2上没有关于直线 y = 0对称的点．当m ≠0 时，设抛物线上的两点(x 1，x 21)，B(x 2，x 22)关于直线 y = m( x －3 )对称，则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=---+=+．m x x x x x x m x x 1,]3)(21[)(21212221212221⇒⎪⎩⎪⎨⎧-=+-+=+．m x x x x m x x 1,)6(21212221 消去x 2得 2 x 21+m x 12+21m+ 6m + 1 = 0 ， 由△= (m 2)2－8(21m+ 6m + 1)＞0，得 (2m + 1)(6m 2－2m + 1)＜0， ∵6k 2－2k + 1＞0恒成立 ，∴2m + 1＜0，即m ＜－21，∴A ={ m | m ＜－21＝，故当m ≥－21时满足题设条件．例5 已知曲线C 1：29x ＋24y = 1和C 2：x 2＋(y ＋1)2= r 2，问r 为何值时，两条曲线没有公共点？分析：可先求出两条曲线有公共点时r 的取值范围，进而利用补集思想得出两条曲线没有公共点时r 的取值范围．解：由C 1、C 2方程消去x ，得：r 2=－54y 2＋2y ＋10，把r 2视为y 的函数，则r 2=()f y =－54y 2＋2y ＋10 =－54(y －45)2＋545． 根据椭圆性质知：－2≤y ≤2，所以当y =45时，函数()f y 取得最大值4()5f =545．又(2)f = 1，(2)f = 9，从而可知1≤()f y ≤545，即1≤r它的补集就是两条曲线没有交点时r 的范围，显然应用0＜r ＜1或r ＞5．。
人教A版高中数学选修2-1第二章圆锥曲线定义(复习课)课件
例2 :已知动点P(x,y) 满足 5 (x 1)2 (y 2)2 3x 4y 12
则P的轨迹是＿抛＿＿物线
分析：
（x -1)2 ( y 2)2 1
3x 4y 12
5
变1: 已知动点P(x,y) 满足 5 (x 1)2 (y 2)2 3x 4y-11
则P的轨迹是＿直＿＿线
变2: 已知动点P(x,y) 满足 m (x 1)2 (y 2)2 3x 4y 12
变式1：若动点M（x,y）到定点F1（-4，0）和F2（4，0） 的距离 的和为8，则动点M的轨迹是＿线＿段＿F＿1F＿2 ＿。
变式2：若动点M（x,y）到定点F1（-4，0）和F2（4，0） 不存在的
的距离 的和为6，则动点M的轨迹是＿＿＿＿＿＿。
变式3：方程 x 2 (y 4 )2x 2 (y 4 )2 10 表示的
变式2：若动点M（x,y)与定点F(2,3)和定直线l: x+y-2=0的 距离相等，则M点的轨迹是＿＿以＿F＿（＿2，＿3＿）＿为＿焦点， ＿＿直＿线＿x+＿y＿-2=＿0＿为＿准＿线＿的＿抛＿物＿线。
4
y
P
O1
O2
PO1 2 R
PO2 10 R
PO1 PO2 12 O1O2 6
MF1 MF1 2a 0 2a F1F2
3、抛物线的定义
l
平面内到定点F的距离和到定直线l(F不在l上)的距离相等的点的轨 迹叫做抛物线
MF d F为焦点，d为动点M到准线l的距离
M
F2
M
F2
d .M .
F
二、定义辨析
例题1：已知A（－2，0）， B（2，0），动点M（x，y）满足
则
x
方程为x2 y2 1
人教版A版高中数学高二选修2-1 第二章复习高考圆锥曲线透视
透视高考《圆锥曲线》熊有画（江西南昌实验中学330006）大纲解读：分类展示高考要求，明晰把握高考大纲，预测08高考题型。
1考试内容：圆锥曲线（椭圆、双曲线、抛物线）标准方程，圆锥曲线简单几何性质，椭圆的参数方程。
2考试要求：掌握圆锥曲线（椭圆、双曲线、抛物线）的定义，标准方程及其简单几何性质，了解圆锥曲线的简单应用，结合教学内容进行运动、变化观点的教育。
3考点分析：高考对圆锥曲线知识的考查在选择题、填空题、解答题中均会出现，选择题、填空题通常考查圆锥曲线（椭圆、双曲线、抛物线）的定义，标准方程及其简单几何性质，了解圆锥曲线的简单应用，分值占5～10分，而解答题通常考查圆锥曲线的轨迹方程，直线与圆锥曲线的关系，圆锥曲线的综合应用，分值占12分。
考点主要有：（1）考查对圆锥曲线概念的认识和理解，如运用圆锥曲线的定义解题，计算圆锥曲线的标准方程，借助圆锥曲线的几何性质求解椭圆、双曲线的离心率，圆锥曲线的准线方程等；（2）以其它知识（如平面向量、数列、立体几何等、）为载体考查圆锥曲线轨迹方程、离心率、双曲线的渐近线等知识；或以圆锥曲线为载体考查其它知识（如平面向量的运算、三角函数的化简、函数方程的根的分布等），突出考查学生数学知识网络的交汇点、数学语言能力的转换和使用、圆锥曲线综合运用能力，直线与圆锥曲线的关系等，运用数形结合的思想、函数方程思想，分类与整合思想等数学思想分析问题与解决问题的能力；(3)以圆锥曲线为背景的应用性题型，具有构思独特、巧妙新颖、解法灵活等特点，主要考查学生的对数学问题的“观察、猜测、抽象、概括、证明”及创造性的解决问题的能力，培养与加强学生数学应用意识。
高考预测：预测在08年高考试题中仍可能会在选择题、填空题中出现5～10分的容易题或中档题，主要考查对圆锥曲线概念的认识与理解，或是以圆锥曲线为背景的应用性试题的运用，考查圆锥曲线的定义、标准方程、几何性质等，在解答题中继续保持12分的中档题或偏难度题题型，结合平面向量、数列、三角函数、函数方程等考查圆锥曲线的综合知识、圆锥曲线的轨迹方程、直线与圆锥曲线的关系。
人教版A版高中数学高二选修2-1 第二章复习如何求圆锥曲线离心率
如何求圆锥曲线离心率在高考中圆锥曲线的分值占总分的15%左右．高考试题和各地的模拟试题中，大凡考查解析几何的，绝大多数以圆锥曲线为背景，而圆锥曲线的离心率，是描述曲线形状的重要参数，求离心率又是一种重要的题型，本文通过列举实例，介绍一些常用的求离心率范围的方法．1．利用离心率定义e=a c直接计算．例1．设双曲线12222=-b y a x (0<a<b)的半焦距为，直线过(a ，0)、 (0，b)两点，且原点到直线的距离为c 43，求双曲线的离心率．解：由过点(a ，0)、 (0，b)得的方程：bx+ay-ab=0．由点到的距离为c 43，得22ba ab +=c 43．将b=22a c -代入，平方后整理，得16(22c a )2-1622ca+3=0,解得332=e 或e=2．因为0<a<b ，故e=a c=221a b +>2，所以应舍去332=e ．故所求离心率．点评：如果很容易由题设条件确定、，可直接用离心率定义求解．此题由两点式得直线的方程，再由双曲线中、、的关系及原点到直线的距离建立等式，从而解出a c的值．注意同学们解此题时一不小心易得到错误答案：e=2或332=e ．究其原因是未注意到题设条件(0<a<b)，从而离心率e>2，而332<2，故应舍去．2．利用曲线定义求离心率．第一种定义和第二种定义的灵活转换常常是打开解析几何思路的钥匙，在题目中挖掘这隐含信息有助于解题．例2． F 1、F 2是椭圆的两个焦点，过F 2作一条直线交椭圆于P 、Q 两点，使PF 1⊥PQ ，且｜PF 1｜=｜PQ ｜，求椭圆的离心率e.解：设｜PF 1｜=t ，则｜PQ ｜=t ，｜F 1Q ｜=2t ， 由椭圆定义有：| PF 1｜+｜PF 2｜=｜QF 1｜+｜QF 2｜=2a ，∴｜PF 1｜+｜PQ ｜+｜F 1Q ｜=4a ， 即(2+2)t=4a,t=(4-22)a ，∴｜PF 2｜=2a-t=(22-2)a ，在Rt △PF 1F 2中，｜F 1F 1｜2=(2c)2，∴［(4-22)a ］2+［(22-2)a ］2=(2c)2∴(a c )2=9-62， ∴e=a c =26-．点评：一般的，涉及焦点、准线方程、离心率、圆锥曲线上的点中的三个，就要联想到圆锥曲线定义，有时甚至只要知道其中的两个，也可以联想到圆锥曲线定义．灵活巧妙地运用圆锥曲线的定义，将会带给我们意想不到的方便和简单．教学中应着重培养学生灵活运用知识的能力．3.利用数形结合求离心率.由图形的的特定形状，找出有关量的性质、特征，并把几何图形和数有机结合起来，从而求出离心率的范围．例3. 直线l 过双曲线12222=-b y a x的右焦点，斜率k=2．若l 与双曲线的两个交点分别在左、右两支上，求双曲线离心率的取值范围．解：如图1，若k=a b ，则直线l 与双曲线的渐近线平行，从而l 与双曲线只有一个交点；若k>a b ，则l 与双曲线的两交点均在右支上， 故点评：此题若是直接求解，计算量比较大，而利用渐近线与双曲线的特性，从图中直接观察直线与渐近线，较易得出所要得出的东西．涉及直线与圆锥曲线交点问题，有时用此法也会取到意想不到的结果．4．运用均值不等式求解．例4． F 1、F 2为椭圆12222=+b y a x 的两焦点，若椭圆上存在一点P ，使∠F 1PF 2=90°，求椭圆的离心率的取值范围．解：由椭圆定义知：|PF 1|+|PF 2|=2a ，两边平方得：4a 2=|PF 1|2+|PF 2|2+2|PF 1||PF 2|≤2（|PF 1|2+|PF 2|2），∵∠F 1PF 2=90°，∴|PF 1|2+|PF 2|2=|F 1F 2|2，∴4a 2≤2（2c)2，得22≤e ＜1．点评：涉及到角度时，利用勾股定理或余弦定理，再利用不等式放缩，往往简单明了，注意放缩时等号条件是否成立．5．利用三角函数的有界性求离心率． 例5． 题目同上．解：设点P 坐标为（acos θ，bsin θ），由定义、焦半径公式及题设有：(2c)2＝(a －ccosθ)2＋(a ＋ccosθ)2 ， 化简得cos 2θ＝2222122e c ac -=-． 或由∠F 1PF 2=90°得：1cos sin cos sin -=•-+c a b c a b θθθθ，整理得b 2sin 2θ+ a 2cos 2θ-c 2=0，即(a 2-b 2)cos 2θ= c 2-b 2，cos 2θ＝2222122e c a c -=-． ∵ 0≤cos 2θ≤1，∴0≤212e -≤1，结合0＜e ＜1得22≤e ＜1为所求．点评：设圆锥曲线的参数形式，列式子比较简洁，但要注意各参数所限制的范围．6．列方程组求离心率． 例6． 题目同上．解：原题等价于以F 1F 2为直径的圆与椭圆有公共点，则⎪⎩⎪⎨⎧=+=+11222222y x b y a x 有实数解，消元得b 2x 2＋a 2(c 2﹣x 2)＝a 2b 2，即(b 2﹣a 2)x 2＋a 2c 2﹣a 2b 2=0有实数根，所以Δ≥0，即c 2﹣b 2≥0，c 2﹣（a 2 ﹣c 2）≥0，可得122<≤e ．点评：若两曲线相交，联立两个方程解出交点，再利用范围，列出不等式并 求其解或由根判别式根据条件建立与ａ、ｂ、ｃ相关的一元二次方程，再用根的判别式列出不等式，可得简解．7．运用比例性质求解离心率．在椭圆或双曲线中，若已知焦点三角形中的两个角，则可由定义、正弦定理、合分比定理推出其离心率．例7．椭圆)0(12222>>=+b a by a x 中，如果α=∠21F PF ，β=∠12F PF ，求椭圆离心率．解：由椭圆定义知：|PF 1|+|PF 2|=2a ，|F 1F 2|=2c ，∵||||22221PF PF ca c a c e +===由正弦定理，得|PF 1|=2Rsin β,|PF 2|=2Rsin α，|F 1F 2|=2Rsin(α+β)∴2cos2cos2cos 2sin 22cos2sin 2 sin sin )sin()sin (sin 2)sin(2||||221βαβαβαβαβαβαβαβαβαβα-+=-⋅++⋅+=++=++=+=R R PF PF c e说明：曲线上的点与焦点连线构成的三角形称焦点三角形，与焦点三角形有关的问题常常借助正(余)弦定理，借助比例性质进行处理．8．利用圆锥曲线中变量的变化范围求离心率．例8．已知椭圆，如果椭圆、的长轴两端点为B A b a by a x )0(12222>>=+上存在一点Q ，使0120=∠AQB ，求椭圆离心率的取值范围．解：根据椭圆的对称性，不妨设Q （x 0,y 0）在x 轴的上方，则b y ≤<00，a x y k a x y k QA QB+=-=0000, 321tan 202200-=+-=⋅+-=∠∴y a x ay k k k k AQB QB QA QA QB ①，又代入)1(22020b y a x -=①得)(322220b a ab y -=，则b b a ab ≤-<)(320222⇒ 22232c c a a ≤-,13631222<≤⇒≤-∴e e e ． 点评：此题解法实质上是分离变量．通过将离心率用曲线上一点坐标出来，借助于曲线上点的坐标范围求解离心率．涉及圆锥曲线中的不等问题要注意利用曲线上点的范围，探求离心率的范围．9．利用焦半径公式．例9．如图所示，已知梯形中，|AB|=2|CD|，点满足，双曲线过C 、D 、E 三点，且以A 、B 为焦点，当4332<<λ时，求双曲线离心率的取值范围．解：∵，∴x 0=)1(2)2(+-λλc ①∴λλ+=1||||CA EA ，由焦半径公式，得：λλ+•+--=12ce a ex a ②， 将①代入②，得：2)1(2)2(cce a e a •+•--+-λλλλ+=1．∵e=a c ，∴2321+-=e λ．又∵4332≤≤λ，∴43233221≤-≤+e ，∴107≤≤λ．∴双曲线离心率取值范围为[7,10]．点评：此题的特点是：已知一个变量的范围求另一个变量的范围，先利用题设条件建立含范围变量的关系式，将变量λ和另一个变量分离e ，得到函数关系，再利用已知变量λ的范围求出变量e 的范围，解法实质是分离变量．同时，该解法巧妙地运用了焦半径公式，使得求解过程变得简洁快捷，而且给人以一种轻松自在的感觉，这表明善于记忆一些结果对我们的学习帮助很大．。
人教版A版高中数学高二选修2-1 第二章复习例析运用圆锥曲线定义解答探索性问题的策略
例析运用圆锥曲线定义解答探索性问题的策略 慕芸蔚 在解析几何中，灵活运用圆锥曲线定义解题，往往能收到避繁就简，达到事半功倍之效.在解决与圆锥曲线有关的探索性中更能显示出特殊的功效，下面举例说明. 一、解答椭圆中的探索性问题例1 已知椭圆x 24+y 23=1，能否在椭圆的位于y 轴左侧部分，找到一点M ，使M 到左准线L 的距离|MN |等于M 到两个焦点F 、F 距离的等比中项？说明理由.分析与解：本题涉及到椭圆的两个焦点与准线，因此可考虑利用椭圆的第一定义和第二定义进行解答.由椭圆方程知a 2=4，b 2=3，所以c =1，左准线L 的方程x =-4，假设存在满足条件的点M (x ,y )，则|MN |=x +4.由椭圆第二定义得|MF 1|=e |MN |=12(x +4)(如右图)， 又由椭圆的第一定义得|MF 2|=2a -|MF 1|=2﹣12x ， 由条件|MN |2=|MF 1|·|MF 2|得 (x +4)2=12(x +4)(2﹣12x ) 解之得x =-4，x =﹣125. 由于椭圆上所有点的横坐标必须满足x ∈[-2，2]，但-4∉[-2，2]，﹣125∉[-2，2]. 故不存在点M 使M 到左准线L 的距离|MN |等于M 到两个焦点F 1、F 2距离的等比中项. 评注：本题的解法体现了方程的思想的应用，主要是充分利用椭圆的两个定义，建立两个方程，从而达到解题的目的.二、解答双曲线中的探索性问题例2 已知双曲线x 225﹣y 2144=1的左、右两个焦点分别为F 1、F 2，右准线为L ，能否在曲线的右半支上找到点P ，使得|PF 2|2=d ·|PF 1|(d 是P 到L 的距离).分析与解：本题涉及到双曲线的两个焦点与一条准线，因此考虑利用双曲线的定义.由已知曲线方程，得a =5，b =12，c =a 2+b 2=13，e =c a =135. 假设存在P (x ,y )满足条件，则x ≥5.根据双曲线的第二定义，得|PF 2|d =e =135. 因为|PF 2|2=d ·|PF 1|，∴|PF 1||PF 2|=|PF 2|d =e =135① 又由曲线的第一定义，得|PF 1|﹣|PF 2|=2a =10②由①、②解得|PF 2|=254，|PF 1|=654， ∴|PF 2|+|PF 1|=452<26，而|F 1F 2|=2c=26，∴|PF 2|+|PF 1|<|F 1F 2|.∴出现矛盾，故不存在P 使|PF 2|2=d ·|PF 1|.三、解答抛物线中的探索性问题例3 要使抛物线y 2=4x 上点P 到点A (4，1)的距离与P 点到焦点F 的距离和|PA |+|PF |最小，这样的点P 是否存在？若不存在，说明理由，若存在，求出点P 的坐标.分析与解：过点A 作x 轴平行线，交抛物线于点P ，交抛物线的准线于点B ，任取抛物线上异于P 的点P '，连结P 'A ，过P '作x 轴的平行线交准线于点C ，如图，则根据抛物线的定义，|PF |=|PB |∴|PA |+|PF |=|PA |+|PB |≤|P 'A |+|P 'C |.所以，像上面这样作出的点P 就能使|PA |+|PF |最小，.因为y P =1，所以x P =14y P 2==14，因此点P 的坐标为(14，1). 评注：本题用直接构造法给问题一个确定的答案，其解题过程通过利用抛物线的定义进行转化，充分体现了一个“化折为直”思想.例3 设抛物线y 2=2px (p >0)的焦点为 F ，经过点 F 的直线交抛物线于A 、B 两点．点 C 在抛物线的准线上，且BC ∥x 轴．试问直线AC 是否过一定点，若不过定点，说明理由；若过定点，求出定点的坐标．分析与解：如图，记x 轴与抛物线准线l 的交点为E ，过A 作AD ⊥l ，D 是垂足．则AD ∥FE ∥BC ．连结AC ，与EF 相交手点N ，则|EN ||AD |=|CN ||AC |=|BF ||AB |，|NF ||BC |=|AF ||AB |， 根据抛物线的定义，得|AF |=|AD |，|BF |=|BC | ，∴|EN |=|AD ||BF ||AB |=|AF ||BC ||AB |=|NF | 即点N 是EF 的中点，与抛物线的顶点O 重合，所以直线AC 经过定点O ．其坐标为(0，0). 评注：本题在充分利用抛物线定义的同时，通过结合平面几何的知识(平行线分线段成比例)进行转化，从而达到快速解题的目的.。
人教版A版高中数学高二选修2-1 第二章复习利用“设而不求法巧解圆锥曲线问题
利用“设而不求法”巧解圆锥曲线问题四川 成宝圆锥曲线与直线的关系问题是高考的重要考点，而对这类问题的常见处理方法是两种：一种是把直线代入圆锥曲线转化为一元二次方程根与系数的关系问题；一种是设而不求。
其中设而不求又以运算简单，方法巧妙而受人青睐。
设而不求在通常情况下是设点代入求差，从而转化为中点与直线斜率的关系，因此它需要在同时可表示中点及斜率的条件下才可使用。
现举例说明，以供参考.例1、 已知曲线C ：x 2－y 2=1及直线L ：y=kx －1.(1)若L 与C 有两个不同的交点，求实数k 的取值范围；(2)若L 与C 交于A 、B 两点，O 是坐标原点，且△OAB 的面积为2，求实数k 的值.。
解析：(1)曲线C 与直线L 有两个不同交点，则方程组⎩⎨⎧-==-1122kx y y x 有两个不同的解.代入整理得：(1－k 2)x 2+2kx －2=0. 此方程必有两个不等的实根x 1，x 2，∴⎪⎩⎪⎨⎧>-+=∆≠-.0)1(84,01222k k k 解得－2＜k ＜2且k ≠±1时，曲线C 与直线L 有两个不同的交点.(2)设交点A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，直线L 与y 轴交于点D(0，－1)， ∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧--=⋅--=+.12,12221221k x x k k x x ∵S △OAB =S △OAD +S △OBD =21|x 1|+21|x 2|=21(|x 1|+|x 2|) (∵x 1·x 2＜0) =21|x 1－x 2|=2， ∴(x 1－x 2)2=(22)2，即(212k k --)2+218k -=8.解得k=0或k=±26. ∵－2＜k ＜2，∴k=0或k=±26时，△OAB 面积为2. 点评:解决有关直线与圆锥曲线相交问题,若合理地运用根与系数的关系,可简化运算过y 程,从而体现了“设而不求法”的思想.例2 过抛物线26y x =的顶点作互相垂直的两条直线，交抛物线于Ａ、Ｂ两点，求线段ＡＢ中点的轨迹方程。
人教版A版高中数学高二选修2-1 第二章复习证明圆锥曲线中的定值二法
证明圆锥曲线中的定值二法山西 马志君在几何问题中，有些几何量和参数无关，这就构成定值问题，解决这类问题常通过取参数和特殊值来确定“定值”是多少，或者将问题涉及的几何式转化为代数式或三角式，证明该式是恒定的。
一、 特殊值法对于定值，可事先根据特殊情况，求出所要求证的定值为多少，然后有目标地去证明。
例1 已知：椭圆22a x +22by =1（a ＞b ＞0）上任意两点P 、Q （O 为原点），使OP ⊥OQ ，求证：2||1OP +2||1OQ 为定值。
证明：当OP 、OQ 为直线中有一斜率不存在或为零时，则|OP|、|OQ|，为半长轴和半短轴长，则有2||1OP +2||1OQ =21a +21b（定值） 当OP 、OQ 两直线的斜率都存在时，则两斜率均不为零，设直线OP 的方程为y=kx ，P （x 1，y 1），Q （x 2，y 2），直线OQ 的方程为y=-k1x 联立方程组⎩⎨⎧=+=22222ba y a bx kxy解之，得x 12=22222k a b b a +，y 12=222222ka b b a k +于是|OP|2=x 12+y 12=222222)1(k a b b a k ++同理可得|OQ|2=222222)1(kb a b a k ++∴2||1OP +2||1OQ =222222222)1(b a k k b a k a b ++++=222222)1())(1(ba kb a k +++ =2222b a b a +=21a +21b（定值） 点评：对于定值，可事先根据特殊情况，求出所要求证的定值为多少。
本题根据特别情况，可得出|OP|=a ，|OQ|=b ，故定值一定为21a +21b，然后有目标地去证明。
二、 参数法大胆地设参（有时甚至要设两个，三个参数）运算推理到最后，必定参数统消，定值显现。
例2 P （x 0，y 0）是双曲线22a x -22by =1上任一点，过P 作两渐近线的平行线，分别与另一渐近线交于Q 、R ，求证：平行四边形ORPQ 的面积为定值。
人教版A版高中数学高二选修2-1 第二章复习如何解决备受命题者青睐圆锥曲线三问题
如何解决备受命题者青睐的圆锥曲线三问题山东省利津县第一中学 胡彬 257400 解析几何考查的重点是圆锥曲线，圆锥曲线综合问题通常从以下几个方面进行考查：1.位置问题.直线与圆锥曲线的位置关系问题，是解析几何研究的重点内容.常涉及直线与曲线交点的判断、弦长、面积、对称、共线等问题.其解法是充分利用方程思想以及韦达定理.2.最值问题.最值问题是从动态角度去研究解析几何中的数学问题的主要内容.其解法是设变量、建立目标函数、转化为求函数的最值.3.范围问题.范围问题主要是根据条件，建立含有参变量的函数关系式或不等式，然后确定参数的取值范围.其解法主要有运用圆锥曲线上点的坐标的取值范围，运用求函数的值域、最值以及二次方程实根的分布等知识.以上这些问题由于综合性较强，所以备受命题者的青睐.常用来综合考查学生在数形结合、等价转化、分类讨论、逻辑推理等多方面的能力.一. “动中求静” 求范围【例1】已知椭圆22x +y 2=1的左焦点为F ，O 为坐标原点. (Ⅰ)求过点O 、F ，并且与椭圆的左准线l 相切的圆的方程；(Ⅱ)设过点F 且不与坐标轴垂直的直线交椭圆于A 、B 两点，线段AB 的垂直平分线与x 轴交于点G ，求点G 横坐标的取值范围.分析：(Ⅰ)先由圆过点O ，F 得出圆心在x=-21上，再由圆与l 相切得出半径r ，再进一步求出圆心坐标.(Ⅱ)G 点的横坐标的取值范围取决于直线的斜率的取值，故可先建立x G 关于直线的斜率K 的函数，再求函数的值域. 解：(Ⅰ)∵a 2=2,b 2=1,∴c=1,F(-1,0),l:x=-2∵圆过O ，F ，∴圆心M 在直线x=-21上， 设M(-21,t),则圆半径r=｜(-21)-(-2)｜=23. 由｜OM ｜=r 得22)21(t +-=23,得t=±2.∴所求圆的方程为(x+21)2+(y ±2)2=49. (Ⅱ)设直线AB 的方程为y=k(x+1)(k ≠0), 代入22x +y 2=1,得(1+2k 2)x 2+4k 2x+2k 2-2=0. ∵直线过椭圆的左焦点F ，∴方程有两个不等实根， 记A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),AB 中点N(x 0,y 0),则x 1+x 2=22214k k +, x 0=21(x 1+x 2)=-22212k k +, y 0=k(x 0+1)=122+k k ,∴AB 的垂直平分线NG 的方程为y-y 0=-k1(x-x 0),令y=0得 x G =x 0+ky 0=-1212122222222+-=+++k k k k k k =-21+2412+k .∵k ≠0,∴-21＜x ＜0. ∴点G 横坐标的取值范围为(-21,0). 评述：直线和圆锥曲线的位置关系，从代数的角度看转化为一个二元一次方程与一个二元二次方程组组成的解的研究，对于消之后的一元二次方程，必须讨论二次项系数和判别式Δ，若能数形结合，借助图形的几何性质则较为简单.对于动态问题，注意“动中求静”.二. 理直线与圆锥曲线关系问题中如何处理对称性【例2】过点(1，0)的直线l 与中心在原点，焦点在x 轴上且离心率为22的椭圆C 相交于A 、B 两点，直线y =21x 过线段AB 的中点，同时椭圆C 上存在一点与右焦点关于直线l 对称，试求直线l 与椭圆C 的方程.分析：本题是典型的求圆锥曲线方程的问题，解法一，将A 、B 两点坐标代入圆锥曲线方程，两式相减得关于直线AB 斜率的等式，再利用对称点所连线段被对称轴垂直平分来列式求解；解法二，用韦达定理. 解法一 由e =22=a c ,得21222=-ab a ,从而a 2=2b 2,c =b . 设椭圆方程为x 2+2y 2=2b 2,A (x 1,y 1),B (x 2,y 2)在椭圆上.则x 12+2y 12=2b 2,x 22+2y 22=2b 2,两式相减得:(x 12－x 22)+2(y 12－y 22)=0,.)(221212121y y x x x x y y ++-=-- 设AB 中点为(x 0,y 0)，则k AB =－002y x ，又(x 0,y 0)在直线y =21x 上，y 0=21x 0,于是－002y x =－1，k AB =－1，设l 的方程为y =－x +1. 右焦点(b ,0)关于l 的对称点设为(x ′,y ′),⎩⎨⎧-='='⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++'-='=-''b y x b x y b x y 11 1221解得则由点(1,1－b )在椭圆上，得 1+2(1－b )2=2b 2,b 2=89,1692=a . ∴所求椭圆C 的方程为2291698y x + =1,l 的方程为y =－x +1. 解法二 由e =21,22222=-=ab a ac 得,从而a 2=2b 2,c =b 设椭圆C 的方程为 x 2+2y 2=2b 2,l 的方程为y =k (x －1),将l 的方程代入C 的方程，得(1+2k 2)x 2－4k 2x +2k 2－2b 2=0,则x 1+x 2=22214k k +,y 1+y 2=k (x 1－1)+k (x 2－1)=k (x 1+x 2)－2k =－2212k k +. 直线l y =21x 过AB 的中点(2,22121y y x x ++),则2222122121k k kk +⋅=+-, 解得k =0，或k =－1.若k =0,则l 的方程为y =0,焦点F (c ,0)关于直线l 的对称点就是F 点本身，不能在椭圆C 上，所以k =0舍去，从而k =－1，直线l 的方程为y =－(x －1),即y =－x +1,以下同解法一点评：本题利用对称问题来考查用待定系数法求曲线方程的方法，设计新颖，基础性强 待定系数法求曲线方程，如何处理直线与圆锥曲线问题，对称问题，成为解决本题的关键.注意在设直线方程时要对直线斜率是否存在进行讨论.三. 建立目标函数求最值【例3】点A 、B 分别是椭圆1203622=+y x 长轴的左、右端点，点F 是椭圆的右焦点，点P 在椭圆上，且位于x 轴上方，PF PA ⊥.（1）求点P 的坐标；（2）设M 是椭圆长轴AB 上的一点，M 到直线A P 的距离等于||MB ，求椭圆上的点到点M 的距离d 的最小值.分析：设椭圆上动点坐标为(x ,y )，用该点的横坐标将距离d 表示出来，利用求函数最值的方法求d 的最小值.解（1）由已知可得点A(－6,0),F (0,4)设点P (x ,y ),则AP ={x +6, y },FP ={x －4, y },由已知可得22213620(6)(4)0x y x x y ⎧+=⎪⎨⎪+-+=⎩则22x +9x －18=0, x =23或x =－6. 由于y >0,只能x =23,于是y =235. ∴点P 的坐标是(23,235). (2) 直线A P 的方程是x －3y +6=0. 设点M(m ,0),则M 到直线A P 的距离是26+m . 于是26+m =6+m ,又－6≤m ≤6,解得m =2.椭圆上的点(x ,y )到点M 的距离d 有 222222549(2)4420()15992d x y x x x x =-+=-++-=-+, 由于－6≤m ≤6, ∴当x =29时,d 取得最小值15. 点评：解决有关最值问题时，首先要恰当地引入变量（如点的坐标、角、斜率等），建立目标函数，然后利用函数的有关知识和方法求解.。
人教版A版高中数学高二选修2-1 第二章复习解圆锥曲线问题的常见策略举隅
解圆锥曲线问题的常见策略举隅 河北 高志彬 解决圆锥曲线问题的方法很多，但细心归纳一下有如下六种常见策略。
策略一 活用定义法：在解题中若能正确和熟练掌握圆锥曲线的定义，对解决圆锥曲线问题是本分重要的，有时是十分简捷，能收到事半功倍的效果。
例1：已知F 是椭圆459522=+y x 的左焦点，P 是比椭圆上动点A （1，1）是一定点，求PF PA 23+的最小值，并求点P 的坐标。
解：如图，过P 向椭圆左准线作垂线， 垂足为Q ，由圆锥曲线第二定义知： 32==e PQ PF ∴PF PQ 23= 从而PQ PA PF PA +=+23 且当A 、P 、Q 共线时，PQ PA +最小，最小值为211129=+，此时P （)1,656。
策略二 数形结合法：方程与图形的结合应用。
这样可以扩大思维空间，使抽象问题形象性，从而找到一个更优的解题思路。
例2：椭圆14922=+y x 的焦点为F 1，F 2，点P 为其上的动点，当∠F 1PF 2为钝角时，点P 横坐标的取值范围是解 考虑∠F 1PF 2为直线情形，由于直径所对圆周角为直角，故作以F 1F 2为直径的辅助圆，易见当椭圆上的点P 位于此圆上时，∠F 1PF 2为 直角；当椭圆上的点P 位于此圆内时，则∠F 1PF 2为钝角。
由⎪⎩⎪⎨⎧=+=+51492222y x y x 得，553,55321=-=x x ∴点P 的横坐标的取值范围为)553,553(- 策略三 设而不求法：在解决几何题时，把题目中某些相关的点的坐标先设出来，但在解题中并不求出它的具体性，只把它们作为解题过程中的“桥梁”，使问题快速获解例3：直线l 交椭圆1922=+y x 于M 、N 两点，交直线21-=x 于点P ，当点P 为MN 中点时，求直线的倾斜角a 的范围。
解 设M 、N 、P 的坐标分别为021********,1),,21(),,(),,(y y y x x y y x y x =+-=+- ∵点M 、N 在椭圆1922=+y x 上，∴9x 12+y 12=9 ①, 9x 22+y 22=9 ② x Q F 0 A P由①-②得 0))(())((921212121=-++-+y y y y x x x x 即 .0)(2)(921021=-+--y y y x x∵,0,021≠≠y x x ∴a y x x y y tan 2902121==--. ∵点P 在椭圆1922=+y x 内， ∴19)21(202<+-y ，即3233230<<-y ∴3tan -<a 或3tan >a 故直线l 的倾斜角a 的范围是⋃)2,3(ππ)32,2(ππ 策略四 平几法：根据圆形的特征，借助平几知识（如中位线，角的平分线性质等）进行求解。
人教版A版高中数学高二选修2-1 第二章复习例谈圆锥曲线中的模型结论
例谈圆锥曲线中的模型结论河南 陈建新模型结论1.①在椭圆 12222＝＋by a x (a ＞b ＞0)中, 1F 、2F 是左右焦点，M 是椭圆上一点，∠21MF F ＝θ，则2tan 2MF F 21θ＝△b S .②在双曲线12222＝－by a x ( (a 、b ∈R +)中, 1F 、2F 是左右焦点，M 是双曲线上一点，∠21MF F ＝θ，则2cot 2MF F 21θ＝△b S .证明：结论① 由⎩⎨⎧θ－＋＝＝＋cos |MF |||2||||||2a |MF |||21222122121MF MF MFF F MF得：|MF 1|·|MF 2|＝θcos 122+b21MF F △S ＝ 21|MF 1|·|MF 2|·sin θ＝21·θcos 122+b · sin θ＝θθcos 1sin 2+b ＝2tan 2θb .同理可证结论②。
例1．在双曲线1251622＝－y x 上一点P 与两焦点1F 、2F 的连线互相垂直，则△21PF F 的面积为 。
解析：由模型结论1得：2cot 2PF F 21θ＝△b S ＝25×cot45 ＝25.模型结论2.①在椭圆中，以过焦点的弦为直径的圆与相应准线相离； ②在双曲线中，以过焦点的弦为直径的圆与相应准线相交； ③在抛物线中，以过焦点的弦为直径的圆与准线相切。
以椭圆为例简要证明： 如图所示：由第二定义知， |AF|＝e|AA 1| , |BF|＝e|BB 1| , 圆的半径R ＝|AB|＝21（|AF|＋ |BF|）＝2e（|AA 1|＋|BB 1|）＝e ·21（|AA 1|＋|BB 1|）＝e ·d (d 为圆心到准线的距离)在椭圆中e ＜1,故R ＜d . 即为所证。
例2.在双曲线191622＝－y x 中，过左焦点的直线AB 分别与双曲线相交于A 、B ，则以AB 为直径的圆与直线x ＝－516的位置关系是（ ） A.相交 B.相离 C.相切 D.不确定 解析：x ＝－516为该双曲线的左准线，由模型结论2得该直线与以AB 为直径的圆相交，故选A 。
人教版A版高中数学高二选修2-1 第二章复习圆锥曲线学习的几大看点
圆锥曲线复习的几大看点山东枣庄二中（277400）孙磊看点1：求圆锥曲线的标准方程、离心率、准线方程等. 利用待定系数法求出相应的a ，b ，p 等.例1．设椭圆的中心在原点，坐标轴为对称轴， 一个焦点与短轴两端点的连线互相垂直，且此焦点与长轴上较近的端点距离为24－4，求此椭圆方程、离心率、准线方程及准线间的距离.思路分析：设所求椭圆方程为12222=+b y a x 或)0(12222>>=+b a ay b x .根据题意列出关于a, b , c 方程组，从而求出a, b , c 的值，再求离心率、准线方程及准线间的距离. 解：设椭圆的方程为12222=+b y a x 或)0(12222>>=+b a a y b x ，则⎪⎩⎪⎨⎧+=-=-=222)12(4c b a c a c b ，解之得：24=a ，b=c ＝4.则所求的椭圆的方程为1163222=+y x 或1321622=+y x ，离心率22=e ；准线方程88±=±=y x 或，两准线的距离为16. 点评：充分认识椭圆中参数a,b,c,e 的意义及相互关系，在求标准方程时，已知条件常与这些参数有关.看点2：圆锥曲线的几何性质。
由方程来讨论其性质.例2：设F 1、F 2为椭圆14922=+y x 的两个焦点，P 为上一点，已知P 、F 1、F 2是一个直角三角形的三个顶点，且｜PF 1｜＞｜PF 2｜，求||||21PF PF 的值. 思路分析：由已知，F 1不是直角顶点，所以只要对P 、F 2中哪一个是直角顶点分两种情况即可.解法1：由已知，｜PF 1｜＞｜PF 2｜，｜PF 1｜＋｜PF 2｜＝6，｜F 1F 2｜＝52，若∠PF 2F 1为直角，则｜PF 1｜2＝｜PF 2｜2＋｜F 1F 2｜2，可解得：｜PF 1｜＝314，｜PF 2｜＝34，这时27||||21=PF PF . 若∠F 2PF 1为直角，则｜PF 1｜2＋｜PF 2｜2＝｜F 1F 2｜2，可解得：｜PF 1｜＝4，｜PF 2｜＝2，这时2||||21=PF PF . 解法2：由椭圆的对称性，不妨设P (x ,y)（其中x >0,y >0），)0,5(),0,5(21F F -.若∠PF 2F 1为直角，则P （34,5），这时｜PF 1｜＝314，｜PF 2｜＝34，这时27||||21=PF PF .若∠PF 2F 1为直角，则由⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-⋅+=+15514922x y x y y x ，解得：)554,553(P . 于是｜PF 1｜＝4，｜PF 2｜＝2，这时2||||21=PF PF . 点评：由椭圆的方程，熟练准确地写出其几何性质（如顶点，焦点，长、短轴长，焦距，离心率，焦半径等）是应对考试必备的基本功；在解法2中设出了P 点坐标的前提下，还可利用｜PF 1｜＝a +ex ,｜PF 2｜=a -ex 来求解.看点3：有圆锥曲线的定义的问题。
人教版A版高中数学高二选修2-1 第二章复习“圆锥曲线复习点滴
“圆锥曲线”复习点滴刘明远解析几何是中学数学的重点和难点，而圆锥曲线是重中之重，新课程标准对这一章的要求也比较高。
要学好圆锥曲线，必须熟悉各种圆锥曲线的有关概念和各种类型的标准方程，以及准线方程和渐近线方程等。
并且由曲线方程能迅速地找出有关点的坐标和有关的参量。
另外在这一章学习中还要特别注意以下几方面问题。
1.对概念、定义要牢固地掌握和深刻理解.对于定义必须学会用数学语言表达，但不能停留在死记硬背及形式上。
知识不是装饰品而是工具，更应该会用知识来解决问题。
况且，在学习知识的过程中又有好多好方法。
如：椭圆，双曲线的两个定义的应用就非常灵活，应用它们解题，可使许多问题得到简化。
2.熟记圆锥曲线中常见问题及相应的处理策略.圆锥曲线中有很多经典的题型，我们应该熟练掌握其解决方法，如直线与圆锥曲线的位置关系问题的处理方法，焦点弦、中点弦的处理方法，轨迹问题的处理方法，另外还有最值问题、定值问题、对称问题、存在性的问题等等。
3.注意圆锥曲线和其他知识的联系.数学是一个有机的整体，各部分之间均有内在的联系。
所以对中学阶段所学知识要有一个整体认识和比较全面、系统的了解，再经过自己的消化，理解，领会精神后、融化在头脑中，这样应用起来才会自如。
圆锥曲线与函数与方程的联系居多，常用函数与方程的思想处理圆锥曲线问题；圆锥曲线与不等式的联系主要是讨论参数的取值范围、最值问题等；与三角的联系多在圆锥曲线参数方程的运用上；与平面向量的联系则是利用向量来解圆锥曲线问题。
典型例题分析例 1. (2005年高考福建理科卷)已知12,F F 是双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的两焦点，以线段12F F 为边作正三角形12MF F ，若边1MF 的中点在双曲线上，则双曲线的离心率是（ ）A ．324+B ．13-C ．213+D ．13+解析：设边1MF 的中点为P ，则12PF F ∆是直角三角形，且12||2F F c =，1||2sin603PF c c ==，2||2cos 60PF c c ==。
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高考中的圆锥曲线山西省盂县旧党校 马志君 045100圆锥曲线是高考必考内容，也是难点，考查内容主要有：考查圆锥曲线的标准方程；考查圆锥曲线的性质；考查圆锥曲线的两个定义，考查直线与圆锥曲线，考查圆锥曲线与其它知识的交汇。
一、 考查圆锥曲线的标准方程例1 （2007·天津理）设双曲线22a x -22by =1（a ＞0，b ＞0）的离心率为3，且它的一条准线与抛物线y 2=4x 的准线重合，则此双曲线的方程为（ ）A 、122x -242y =1B 、482x -962y =1C 、32x -322y =1 D 、32x -62y =1解：y 2=4x 的准线为x=-1∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=-312ac c a ∴⎩⎨⎧==33c a ∴b 2=9-3=6故选D 。
点评：本题直接求出a 、b ，代入双曲线标准方程中求。
二、 考查圆锥曲线的性质例2 （1）（2007·全国I 理）抛物线y 2=4x 焦点为F ，准线为l ，经过F 且斜率为3的直线与抛物线在x 轴上方的部分，相交于点A ，AK ⊥l 垂足为K ，则△AKF 的面积是（ ）A 、4B 、33C 、43D 、8（2）（2007·湖南理）设F 1、F 2分别是椭圆22a x +22by =1（a ＞b ＞0）的左、右焦点，若在其右准线上存在点P ，使线段PF 1的中垂线过点F 2，则椭圆离心率的取值范围是（ ） A 、⎥⎦⎤ ⎝⎛22,0 B 、⎥⎦⎤ ⎝⎛33,0 C 、（22，1） D 、⎪⎪⎭⎫⎢⎣⎡1,33x解：(1)由抛物线的定义|AF|=|AK| ∴∠AFK=∠AKF ，而∠AKF=∠KFO∴∠AFK=60°，∴△AKF 为等边三角形，作FB ⊥AK 于B 则AK=2BK=2P=4，∴S △AKF =43·42=43，故选C （2）设P （2a c，y 1）则)11122122y y a a cc c c c•⎛+-- ⎝=-1 因为y 12≥0∴34221c c a a ⎛⎫⎛⎫+-≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭0 313c a ≥ 故选D点评：(1)题利用了双曲线的定义及P 的几何意义，等腰三角形三线一性质是解决本题的关键。
（2）依题意列出斜率积等于-1，得到34221c c a a ⎛⎫⎛⎫+-≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭0。
解出 313c a ≥。
三、 考查圆锥曲线的两个定义凡已知圆锥曲线上的点与圆锥曲线的焦点，则应考虑用圆锥曲线的两个定义解题。
例3 （2007·重庆理）过双曲线x 2-y 2=4的右焦点F 作倾斜角为105°的直线，交双曲线于P 、Q 两点，则|FP|·|FQ|的值为 。
解：直线PF 方程为：y=tan105°（x-22）=-（2+3）（x-22） 把它代入x 2-y 2=4得x 2-（2+3）2（x-22）2=4 即（6+43）x 2-（7+43）42x+60+323=0x∴x 1+x 2=34624)347(++=36426+x 1·x 2=34633260++=2+43设双曲线x 2-y 2=4的右准线为l ：则l 方程为x=224=2作PA ⊥l ，QB ⊥l 于A 、B ，由双曲线的第二定义知：||||QB QF =e ，||||PA PF =e ， 设P （x 1，y 1），Q （x 2，y 2），∴|FP||QF|=e 2·|PA|·|QB|=e 2|2-x 1|·|x 2-2| =2|-x 1x 2+2（x 1+x 2）-2|=2|-2-43-236426+-2|=338点评：本题利用了双曲线的第二定义，考查了学生的综合运算能力。
四、 考查直线与圆锥曲线的位置关系例4 （2007·湖南理）已知双曲线x 2-y 2=2的左、右焦点分别为F 1、F 2，过点F 2的动直线与双曲线相交于A 、B 两点。
（1） 若动点M 满足F 1M=F 1A+F 1B+F 1O （其中O 为坐标原点）求点M 的轨迹方程；（2） 在x 轴上理否存在定点C ，使CA ·CB 为常数；若存在，求出点C 的坐标，若不存在，请说明理由。
解：（1）由条件知，F 1（-2，0），F 2（2，0），设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），设M （x ，y ），则F 1M=（x+2，y ），F 1A=（x 1+2，y 1），F 1B=（x 2+2，y 2），F 1O=（2，0）由F 1M=F 1A+F 1B+F 1O 得⎩⎨⎧+=++=+212162y y y x x x 即⎩⎨⎧=+-=+y y y x x x 21214于是AB 的中点坐标为（2,24yx -） 当AB 不与x 轴垂直时，2121x x y y --=2242--x y=8-x y 即 y 1-y 2=8-x y（x 1-x 2）因为A 、B 两点在双曲线上，所以x 12-y 12=2，x 22-y 22=2 两式相减得（x 1-x 2）（x 1+x 2）=（y 1-y 2）（y 1+y 2）→ → → →→ →→ → →→ → → → →即（x 1-x 2）（x-4）=（y 1-y 2）y 将y 1-y 2=8-x y（x 1-x 2）代入上式，化简得（x-6）2-y 2=4 当AB 与x 轴垂直时，x 1=x 2=2，求得M （8，0），也满足上述方程 故点M 的轨迹方程是（x-6）2-y 2=4（2）假设在x 轴上存在点C （m ，0），使CA ·CB 为常数当AB 不与x 轴垂直时，设直线AB 的方程是y=k （x-2）（k ≠±1） 代入x 2-y 2=2有（1-k 2）x 2+4k 2x-（4k 2+2）=0则x 1、x 2是上述方程的两个实根，所以x 1+x 2=1422-k kx 1·x 2=12422-+k k于是CA ·CB=（x 1-m ）（x 2-m ）+k 2（x 1-2）（x 2-2） =（k 2+1）x 1x 2-（2k 2+m ）（x 1+x 2）+4k 2+m 2=1)24)(1(222-++k k k -1)2(4222-+k m k k +4k 2+m 2 =1)2()42(2222--++-k m m m k 因为CA ·CB 是与k 无关的常数，所以⎪⎩⎪⎨⎧=-=+-0202222m m m ，即m=1，此时CA ·CB=-1当AB 与x 轴垂直时，点A 、B 的坐标分别为（2，2），（2，-2），此时CA ·CB=（1，2）·（1，-2）=-1故在x 轴上存在定点C （1，0），使CA ·CB 为常数点评：本题（1）利用点差法求轨迹；（2）使CA ·CB 为常数，应与k 无关，列方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-=+-0202222m m m ，解出m=1。
五、 考查圆锥曲线中的定值与最值例5 （2007·湖北理）在平面直角坐标系xoy 中，过定点C （0，p ）作直线与抛物线x 2=2py （p ＞0）相交于A 、B 两点（1） 若点N 是点C 关于坐标原点O 的对称点，求△ANB 面积的最小值。
（2） 是否存在垂直于y 轴的直线l ，使得l 被以AC 为直径的圆截得的弦长恒为定值？若存在，求出l 的方程，若不存在，说明理由。
→→ → →→ → → →→ →→ →解：（1）依题意，点N 的坐标为N （0，-p ），可设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），直线AB 的方程为y=kx+p 与x 2=2py 联立得⎩⎨⎧+==pkx y pyx 22，消去y 得x 2-2pkx-2p 2=0∴x 1+x 2=2pk ，x 1x 2=-2p 2于是S △ANB =S △ANC +S △BNC =21·2p|x 1-x 2=2p∴当k=0时，（S △ANB ）min=22p 2（2）假设满足条件的直线l 存在，其方程为y=a ，则以AC 为直径的圆的方程为（x-0）（x-x 1）+（y-p ）（y-y 1）=0，将直线方程y=a 代入得x 2-x 1x+（a-p ）（a-y 1）=0，则△=x 12-4（a-p ）（a-y 1）=4[（a-2p）y 1+a （p-a ）] 设直线l 与以AC 为直径的圆的交点为P （x 3，y 3），Q （x 4，y 4），则有 |PQ|=|x 3-x 4|=)]()2[(41a p a y p a -+-=2)()2(1a p a y pa -+- 令a=2p =0，得a=2p，此时|PQ|=p 为定值，故满足条件的直线l 存在，其方程为y=2p，即抛物线的通径所在的直线。
点评：（1）求△ANB 的面积应将此分为△ANC 、△BCN ，以CN 为底边，求它两个三角形的面积。
（2）因为|PQ|为定值，故与y 1无关，所以由a-2p =0得a=2p 。
六、 考查圆锥曲线与其它知识的交汇例6 （2007·四川理）设F 1、F 2分别是椭圆42x +y 2=1的左、右焦点（1） 若P 是该椭圆上的一个动点，求PF 1·PF 2的最大值和最小值。
（2） 设过定点M （0，2）的直线l 与椭圆交于不同的两点A 、B ，且∠AOB为锐角（其中O 为坐标原点），求直线l 的斜率K 的取值范围。
解：（1）易知a=2，b=1，c=3，所以F 1（-3，0），F 2（3，0），设P（x ，y ）则PF 1·PF 2=（-3-x ，-y ）·（3-x ，-y ）=x 2+y 2-3=x 2+1-42x -3=41（3x 2-8） 因为x ∈[-2，2]，故当x=0即点P 为椭圆短轴端点时，PF 1·PF 2有最小值-2；当x=±2，即点P 为椭圆长轴端点时，PF 1·PF 2有最大值1。
（2）显然x=0不满足题设条件，可设直线l ：y=kx+2，A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），联立⎪⎩⎪⎨⎧=++=14222y x kx y 消去y ，整理得（k 2+41）x 2+4kx+3=0， ∴x 1+x 2=-4142+k k ，x 1x 2=4132+k由△=（4k ）2-4（k 2+41）×3=4k 2-3＞0 得k ＞23或k ＜-23…… ①又0°＜∠AOB ＜90°→cos ∠AOB ＞0→OA ·OB ＞0∴OA ·OB=x 1x 2+y 1y 2＞0又y 1y 2=（kx 1+2）（kx 2+2）=k 2x 1x 2+2k （x 1+x 2）+4=41322+k k +41822+-k k +4=41122++-k k∴4132+k +41122++-k k ＞0即k 2＜4 ∴-2＜k ＜2……② 故由①、②得，-2＜k ＜-23或23＜k ＜2 点评：本题是椭圆与直线,向量的交汇，（1）求PF 1·PF 2的最大值和最小值化为41（3x 2-8）时，由x ∈[-2，2]求.（2）由0°＜∠AOB ＜90°→cos ∠AOB ＞0→OA ·OB ＞0即x 1x 2+y 1y 2＞0，解不等式，求k 的范围。