九年级数学第一章第一节《菱形的性质与判定》练习题教案资料
北师大版九上数学(教案)第一章：第1节 菱形的性质与判定第二课时
北师大版九年级上第一章《特殊平行四边形》《菱形的性质与判定》(第2课时)教案【教学目标】1.知识与技能（1）.经历菱形判定定理的探索过程，进一步发展合情推理能力.（2）.能够用综合法证明菱形的判定定理，进一步发展演绎推理能力.2.过程与方法在探究活动中，学会与人合作并能与他人交流思维的过程和探究结果。
3.情感态度和价值观体会探索与证明过程中所蕴含的抽象、推理等数学思想.【教学重点】菱形判定定理的发现与证明.【教学难点】菱形判定定理的应用.【教学方法】合作、探究【课前准备】多媒体课件【教学过程】一、复习引入（1）菱形的定义；（2）菱形的特征；（3）菱形的性质；提出问题引入新课：想一想我们可以怎样判定一个四边形是菱形？二、探究新知1.菱形的判定1：定义法（有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形）数学语言：∵四边形ABCD是平行四边形且AB=AD∴四边形ABCD是菱形2.菱形的判定2的探究：对角线互相垂直的平行四边形是菱形活动内容1：根据菱形的定义，有一组邻边相等的平行四边形是菱形，除此之外，你认为还有什么条件可以判断一个平行四边形是菱形，先想一想，再与同伴交流.处理方式：先由学生独立思考，尝试解答，再采取小组合作的方式，交流讨论，进而得到结论:对角线互相垂直的平行四边形是菱形.活动内容2：通过思考、交流，我们可以发现，对角线互相垂直的平行四边形是菱形，你能证明这个命题吗？处理方式：鼓励学生积极探索，大胆猜想，在此基础上再进行严格地证明.证明过程中，学生可能会有一定的困难，教师要及时予以指导和规范.此处可安排学生板演证明过程.但是要帮助引导学生写出已知、求证，并以本题为例，规范证明命题的一般步骤，即：先将命题改写为“如果···，那么···.”的形式，分析命题的条件和结论，再根据条件和结论画出图形，写出已知、求证，最后再规范证明.同时，本题可能会有学生用证明△AOB ≌△COB 的方法证明BA=BC ，对此，教师可引导学生思考，AC 和BD 的关系，即互相垂直平分,因而可以利用线段垂直平分线定理来证明BA=BC.并对两种方法进行比较.已知: ABCD 中,对角线AC 与BD 相交于点O,AC ⊥BD. 求证: ABCD 是菱形证明：∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AO =CO 又∵AC ⊥BD∴BD 是线段AC 的垂直平分线.∴BA =BC （线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等） ∴四边形ABCD 是菱形（菱形的定义）.设计意图：由于要判定的是一个平行四边形，因此，若要考虑边，则容易想到定义，若要考虑对角线，则可能受到性质的启发，想到对角线互相垂直的平行四边形是菱形，进而对这一命题进行严格证明，得到结论.3.菱形的判定3的探究：四边相等的四边形是菱形活动内容1：已知线段AC ，你能用尺规作图的方法作一个菱形ABCD ，使AC 为菱形的一条对角线吗？你是怎么做的？思考并独立完成后，与同伴交流.处理方式：学生独立完成作图后可与课本作法进行对比，通过思考作法的正确性，探索得到菱形的另一种判定方法：四条边都相等的四边形是菱形.并对这一判定方法加以证明. 这里可能会有一个问题：对于作图要求，学生可能会不太明确，教师要及时点拨，作图要求是要使已知线段为对角线，因而可以借助菱形的对角线互相垂直且平分这一性质，通过作线段AC 的垂直平分线来完成作图.如还是无法完成，可借鉴课本作法.活动内容2：你所做的四边形是菱形吗？你能得到怎样的结论？你能证明这个结论吗？ 处理方式：根据作图过程，学生能猜想出所在在四边形为菱形，进而猜想出菱形的另一种判定方法：四条边都相等的四边形是菱形.对于学生作法的正确性的证明，可以先证明所做四边形为平行四边形，再利用定义，证明是菱形.由此得出结论：四条边都相等的四边形是菱形.AB DC O已知: 在四边形 ABCD 中,AB=BC=CD=AD 求证: 四边形 ABCD 是菱形 证明：∵AB=CD ，BC=AD∴四边形ABCD 是平行四边形 又∵AB=BC∴四边形 ABCD 是菱形归纳：菱形的三个判定：1.有一组邻边相等的平行四边形是菱形.2.对角线互相垂直的平行四边形是菱形.3.有四条边相等的四边形是菱形. 三、例题讲解例1.下列条件中,不能判定四边形ABCD 为菱形的是（ C ）Ａ. AC ⊥BD ，AC 与BD 互相平分 Ｂ. AB=BC=CD=DAＣ. AB=BC ，AD=CD ，且AC ⊥BD Ｄ. AB=CD ，AD=BC ，AC ⊥BD解析：根据菱形的三个判定可得C 是错误的.例2、如图， ABCD 的两条对角线AC 、BD 相交于点O ，AB=5，AC=8，DB=6， 求证:四边形ABCD 是菱形.证明:∵ 四边形ABCD 是平行四边形 ∴OA=OC=4 OB=OD=3 又∵AB=5∴222BO AO AB += ∴∠AOB=90° ∴AC ⊥BD又∵ 四边形ABCD 是平行四边形 ∴四边形ABCD 是菱形. 四、巩固练习：1.判断下列说法是否正确？为什么？(1)对角线互相垂直的四边形是菱形； （ ×）BCAD(2)对角线互相垂直平分的四边形是菱形；（√）(3)对角线互相垂直,且有一组邻边相等的四边形是菱形；（×）(4)两条邻边相等，且一条对角线平分一组对角的四边形是菱形．（×）2.对角线互相垂直且平分的四边形是（ C ）A.矩形B.一般的平行四边形C.菱形D.以上都不对3.如图所示，在△ABC中，AB＝AC，∠A＜90°，边BC，CA，AB的中点分别是点D，E，F，则四边形AFDE是( A )A．菱形 B．正方形 C．平行四边形 D．梯形4.如图，将△ABC沿BC方向平移得到△DCE，连接AD，下列条件能够判定四边形ABCD为菱形的是( A )A．AB＝BC B．AC＝BCC．∠B＝60° D．∠ACB＝60°五．拓展提高1.如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC,BD交于点O,E是BD延长线上的点，且△ACE是等边三角形，求证：四边形ABCD是菱形。
1.1《菱形的性质与判定》北师大版九年级数学上册教案(第3课时)
第一章特殊的平行四边形1.1 菱形的判定和面积第3课时一、教学目标1．巩固对菱形的性质定理和判定定理的理解。
2．认识菱形的性质定理和判定定理的区别，正确应用有关定理。
3．运用菱形的性质定理和判定定理解决一些问题。
二、教学重点及难点重点：熟悉菱形的性质定理和判定定理。
难点：灵活运用菱形的性质定理和判定定理解决问题．三、教学用具多媒体课件、直尺或三角板。
四、相关资《菱形的判定》微课五、教学过程【复习引入】在学习本节课之前，请同学们首先回顾一下菱形的性质和判定．师生活动：教师出示问题，学生回顾菱形的性质和判定，教师找学生代表回答．答：1．菱形的性质定理:(1)菱形的四条边相等(2)菱形的对角线互相垂直2．菱形的判定方法：（1）定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形．（2）判定定理1：对角线互相垂直的平行四边形是菱形．（3）判定定理2：四条边相等的四边形是菱形．这节课我们研究对菱形性质和判定的综合运用。
设计意图：通过复习菱形的性质和判定为本节课的学习作准备．【探究新知】做一做如图，两张等宽的纸条交叉重叠在一起，重叠的部分ABCD是菱形吗？为什么？师生活动：教师出示问题，引导学生完成解答．答：是菱形；理由：设两张等宽的纸条的宽为h，因为纸条的对应边平行，所以AD∥BC，AB∥DC．所以四边形ABCD是平行四边形．又因为S□ABCD=BC·h=AB·h，所以BC=AB．所以平行四边形ABCD是菱形（一组邻边相等的平行四边形是菱形）．设计意图：巩固学生对菱形判定定理的理解．运用菱形的定义解决问题，也提供了一种制作菱形的方法。
【典例精析】例如图，四边形ABCD是边长为13 cm的菱形，其中对角线BD长10 cm．求：（1）对角线AC的长度；（2）菱形ABCD的面积．师生活动：教师分析、引导学生完成解题过程．分析：本例是菱形性质的应用和菱形面积的计算；学生对于第（1）个问题的解决比较容易，但是学生的书写过程可能不够规范；对于第（2）个问题，教师要注意引导学生用简便方法，并总结菱形面积的计算方法．解：（1）∵四边形ABCD是菱形，AC与BD相交于点E，∴∠AED=90°（菱形的对角线互相垂直），DE=BD=×10=5(cm)（菱形的对角线互相平分）．∴在Rt△ADE中，由勾股定理，得∴AC=2AE=2×12=24(cm)（菱形的对角线互相平分）．（2）S菱形ABCD=S△ABD+S△CBD=2×S△ABD=2××BD×AE=BD×AE=10×12=120(cm2)．总结菱形面积的计算方法：（1）一边长与两对边之间的距离（即菱形的高）的积；（2）四个小直角三角形的面积之和（或一个小直角三角形面积的4倍）；（3）两条对角线长度乘积的一半．设计意图：本例是菱形性质的应用与菱形面积的计算。
(名师整理)最新北师大版数学九年级上册第1章第1节《菱形的性质与判定》精品教案
§1.1《菱形的性质与判定》教案第一课时一、教学内容分析：教材分析：《菱形的性质与判定》是北师版九年级数学上册第一章第一节的内容，《菱形的性质与判定》共2 个课时，本节课学习的是第一课时的内容——菱形的概念及菱形的性质。
学生分析：“菱形的性质与判定”是继学习了平行四边形以后，在此基础上进行研究的第一种特殊的平行四边形。
它既是对平行四边形认识的延续和深入，同时也为后面学习矩形和正方形奠定了基础，提供了有效的探索方法。
起到承上启下的作用。
二、教学目标分析：知识与能力目标：1、掌握菱形的的定义，理解菱形与平行四边形的“特殊与一般”的关系。
2、理解并掌握菱形的性质定理; 在证明性质和运用性质解决问题的过程中过程与方法目标：1、通过菱形的轴对称性发现菱形的特殊性质；2、通过灵活运用菱形的性质解决有关问题，掌握几何的思维方法。
情感态度价值观目标：在猜想与证明菱形性质的过程中，感受证明的必要性，培养严谨的推理能力。
三、教学重点难点分析：教学重点：了解并掌握菱形的概念及其性质定理。
教学难点：菱形性质定理的应用。
四、教学准备：预备知识：平行四边形的性质；轴对称图形；等腰三角形性质；等边三角形性质及判定。
教学方法：启发式。
五、教学过程： 预计时间 教学内容 教师活动 学生活动 教学评价 5 分一、引入问题：1．复习回顾：什么样的四边形叫平行四边形？它有哪些性质？1、请从对称性， 边，角，对角线的角度回答问题。
2、板书课题。
菱形是特殊的平行1、平行四边形是中心对称图形；两组对边平行且相等； 对角相等；对通过情景引 入，让学生体会到“一般”与“特殊”的关证明方法可证），所以，菱形的面积=三角形ABO 面积的4倍。
1注意：4×=1×2OB×2OA 2=1BD •AC2预计时间教学内容教师活动学生活动教学评价3分钟四、学以致用，随堂练习。
2．如图，在菱形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O. 已知AB=5cm，AO=4cm，求BD 的长. 独立完成，算出结果：BD=6cm检测教学效果，查看学生当堂掌握情况。
北师大版九年级上册数学1章《菱形的性质与判定》教案
第一章特殊平行四边形1.1菱形的性质与判定第1课时菱形的性质【学习目标】1．理解菱形的概念，掌握菱形的性质．2．培养学生主动探究的习惯、严密的思维意识和审美意识．3．经历探索菱形的性质和基本概念的过程，在操作、观察、分析过程中发展学生思维意识，体会几何说理的基本方法．【学习重点】理解并掌握菱形的性质．【学习难点】形成推理的能力．一、情景导入生成问题1．平行四边形的一组对边平行且相等．2．平行四边形的对角相等．3．平行四边形的对角线互相平分．二、自学互研生成能力知识模块一探索菱形的性质先阅读教材P2页的内容，然后完成下面的问题：－31．菱形的定义是什么？答：菱形定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形．2．菱形具有平行四边形的所有性质吗？答：菱形是特殊的平行四边形，它具有一般平行四边形的所有性质．1．教师拿出平行四边形木框(可活动的)，操作给学生看，让学生体会到：平移平行四边形的一条边，使它与相邻的一条边相等，可以得到一个菱形，说明菱形也是特殊的平行四边形，因此，菱形也具有平行四边形的所有性质．2．如图：将一张矩形的纸对折再对折，然后沿着图中的虚线剪下，再打开．思考：(1)这是一个什么样的图形呢？(2)有几条对称轴？(3)对称轴之间有什么位置关系？(4)菱形中有哪些相等的线段？师生结论：(1)菱形；(2)菱形是轴对称图形，有两条对称轴，是菱形对角线所在的直线；(3)两条对称轴互相垂直；(4)菱形的四条边相等．3．归纳结论：菱形具有平行四边形的一切性质，另外，菱形的四条边相等、对角线互相垂直．知识模块二菱形性质的应用解答下列各题：1．已知菱形ABCD的边长为3cm，则该菱形的周长为__12__cm.2．如图，已知菱形ABCD的周长为20cm，∠A＝60°，则对角线BD＝__5__cm.典例讲解：如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，∠BAD＝60°，BD＝6，求菱形的边长AB和对角线AC的长．解：∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝AD(菱形的四条边都相等)，AC⊥BD(菱形的对角线互相垂直)，OB＝OD＝12BD＝12×6＝3(菱形的对角线互相平分)．在等腰三角形ABC中，∵∠BAD＝60°，∴△ABD是等边三角形，∴AB＝BD＝6.在Rt△AOB中，由勾股定理得OA2＋OB2＝AB2，∴OA＝AB2－OB2＝62－32＝33，∴AC＝2OA＝6 3.对应练习：如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O.已知AB＝5cm，AO＝4cm.求BD的长．解：∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD(菱形的对角线互相垂直)．在Rt△AOB中，由勾股定理，得AO2＋BO2＝AB2，∴BO＝AB2－AO2＝52－42＝3.∵四边形ABCD是菱形，∴BD＝2BO ＝2×3＝6(菱形的对角线互相平分)．三、交流展示生成新知1．将阅读教材时“生成的问题”和通过“自主探究、合作探究”得出的“结论”展示在各小组的小黑板上．并将疑难问题也板演到黑板上，再一次通过小组间就上述疑难问题相互释疑．2．各小组由组长统一分配展示任务，由代表将“问题和结论”展示在黑板上，通过交流“生成新知”．知识模块一探索菱形的性质知识模块二菱形性质的应用四、检测反馈达成目标见《名师测控》学生用书．五、课后反思查漏补缺1．收获：________________________________________________2．存在困惑：____________________________________________第2课时菱形的判定【学习目标】1．理解并掌握菱形的定义及两种判定方法．2．会用这些判定方法进行有关的论证和计算．3．经历探索菱形判定条件的过程，领会菱形的概念以及判定方法，发展学生主动探究的思想并了解说理的基本方法．4．培养良好的探究意识以及推理能力，感悟其应用价值；培养学生的观察能力、动手能力及逻辑思维能力．【学习重点】菱形的两个判定方法．【学习难点】判定方法的证明及运用．一、情景导入生成问题1．菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形．2．菱形的性质：性质1：菱形的四条边都相等；性质2：菱形的对角线互相垂直．二、自学互研生成能力知识模块一探索菱形的判定方法页内容，然后完成下面的问题。
【教育资料】北师大版九年级上册第一章1.1 菱形的性质与判定 (教案)学习专用
1.1 菱形的性质与判定教学目标：1.探索并掌握菱形的概念和菱形所具有的特殊性质,会进行简单的推理和运算.2.在观察、操作、推理、归纳等探索过程中,发展学生合情推理的能力,进一步让学生养成用数学知识说理的习惯,并要求学生能熟练地按规范的推理格式书写.3.从学生已有的知识出发,通过欣赏、观察、动手操作等活动让学生感受身边的数学图形的和谐美与对称美,激发他们学习数学的兴趣,树立学好数学的信心,体会学习数学的快乐.培养学生主动探究、自主学习和合作交流的意识.教学重难点：【重点】菱形的概念和性质.【难点】菱形性质的灵活应用.教学过程：一、新课导入：1.提问:什么是平行四边形?学生回顾交流.2.平行四边形的相邻两边可能相等吗?请同学们讨论一下在我们生活中是否有相邻两边相等的平行四边形形状的图案?[设计意图]通过这个环节,培养了学生的观察和对比分析能力.提高学生发现数学、应用数学的意识和学习兴趣.二、.新知构建情景交流：结合上面的观察,你能举出和上述图形具有相同特征的实物图形吗?具有这一特征的平行四边形是什么四边形?【学生活动】通过讨论,以小组为单位分别说出生活中具有邻边相等特征的平行四边形形状的实物.【教师活动】投影图片展示一些生活中的具有邻边相等特征的平行四边形形状的实物.三、.学生活动,归纳概念思路一：请口答下列问题.(1)上述图形都是平行四边形吗?(2)上述图形都有一组邻边相等吗?(3)如果平行四边形有一组邻边相等,那么另一组邻边也相等吗?小组合作交流,类比平行四边形的定义尝试给出菱形的定义.【老师点评】(1)是平行四边形;(2)都有一组邻边相等.【课件展示】像这样,有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.四、共同探究【想一想】(1)菱形是特殊的平行四边形,它具有一般平行四边形的所有性质.你能列举一些这样的性质吗?【生】菱形的对边平行且相等,对角相等,对角线互相平分.(2)同学们,你认为菱形还具有哪些特殊的性质?请你与同伴交流.【学生活动】分小组讨论菱形的性质,组长组织组员讨论,让尽可能多的组员发言,并汇总结果.【教师活动】教师巡视,并参与到学生的讨论中,启发学生类比平行四边形从图形的边、角和对角线三个方面探讨菱形的性质.对学生的结论,教师要及时作出评价,积极引导,激励学生.【做一做】请同学们用菱形纸片折一折,回答下列问题:(1)菱形是轴对称图形吗?如果是,它有几条对称轴?对称轴之间有什么位置关系?(2)菱形中有哪些相等的线段?五、展示交流【教师活动】例题讲解.(教材例1)如图所示,在菱形ABCD中,对角线AC与BD相交于点O, ∠BAD＝60°,BD＝6,求菱形的边长AB和对角线AC的长.〔解析〕因为菱形的邻边相等,一个内角是60°,这样就可以得到等边三角形ABD,由BD＝6知菱形的边长也是6.菱形的对角线互相垂直,可以得到直角三角形AOB.菱形的对角线互相平分,可以得到OB ＝3,根据勾股定理就可以求出OA的长度,再一次根据菱形的对角线互相平分,即AC＝2OA,求出AC.解:∵四边形ABCD是菱形,∴AB＝AD(菱形的四条边相等),AC⊥BD(菱形的对角线互相垂直),OB＝OD＝BD＝×6＝3(菱形的对角线互相平分).在等腰三角形ABD中,∵∠BAD＝60°,∴ΔABD是等边三角形.∴AB＝BD＝6.在RtΔAOB中,由勾股定理,得:OA2＋OB2＝AB2,∴OA＝＝3,∴AC＝2OA＝6.[知识拓展](1)菱形是特殊的平行四边形,它具有平行四边形的所有性质;(2)菱形的定义既可以看做菱形的性质,也可以看做菱形的判定方法.六、小结1.菱形的定义:有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.2.菱形的性质:(1)菱形是轴对称图形,对称轴是两条对角线所在的直线;(2)菱形的四条边都相等;(3)菱形的对角线互相垂直平分.3.菱形具有平行四边形的所有性质,应用菱形的性质可以进行计算和推理.七、作业练习册随堂练习。
《菱形的性质与判定》教案
《菱形的性质与判定》教案教学目标：菱形的定义、菱形的性质、菱形的判定．教学重点：菱形的性质及判定方法．教学难点：菱形性质和直角三角形的知识的综合应用．教学过程：一．巧设情景问题，引入课题前面我们探讨了平行四边形的性质和判别条件，下面我们来共同回忆一下．大家来看一个衣帽架．这个衣帽架中有你熟悉的图形吗？图中三个四边形都可以看成是平行四边形，那么这几个平行四边形有什么特点呢？让学生注意观察，然后回答．这三个平行四边形都是邻边相等的平行四边形．我们把这样的平行四边形叫做菱形．这节课我们就来探讨一下菱形．二．新课你能给菱形下定义吗？(一组邻边相等的平行四边形叫做菱形．)菱形是一种特殊的平行四边形，特殊之处在于它是有一组邻边相等．所以菱形是具备：“①平行四边形，②一组邻边相等．”这两个条件的四边形．将一个菱形ABCD按图示折叠并展开，(1)说明两条折痕的交点为菱形中心O．(2)菱形是轴对称图形吗？如果是，那么它有几条对称轴？对称轴之间有什么位置关系？我们得到：菱形是中心对称图形，也是轴对称图形，它有两条对称轴，这两条对称轴是菱形的对角线，所以两条对称轴互相垂直．下面大家画一个菱形，然后回答下列问题：如图，在菱形ABCD中，AB=AD，对角线AC、BD相交于点O．(1)图中有哪些线段是相等的？哪些角是相等的？(2)图中有哪些等腰三角形、直角三角形？(3)两条对角线AC、BD有什么特定的位置关系？(同学们讨论分析回答)同学们分析得很好，能否从中归纳出菱形的性质呢？因为菱形是特殊的平行四边形，所以它除具有平行四边形的所有性质外，还有平行四边形所没有的特殊性质：1．菱形的四条边都相等．2．菱形的两条对角线互相垂直平分，每一条对角线平分一组对角．同学们回答得很好，我们知道了菱形的性质，那想一想如何利用折纸、剪切的方法，既快又准确地剪出一个菱形的纸片？大家拿出准备好的白纸，小剪刀来动手做一做．(学生想动手折、剪，教师指导，然后出示两种及学生总结的折纸、剪切的方法)方法一：将一张长方形纸对折，再在折痕上取任意长为底边，剪一个等腰三角形，然后打开即是菱形．方法二：将一张长方形的纸横对折，再竖对折，得到一个长方形，然后沿新长方形的不含原长方形纸片四个角的顶点的对角线剪裁，打开即是菱形纸片．你能说一说按这两种方法做的理由吗？大家讨论一下回答．按方法一得到的菱形的理由是：如图2，△ABC 是以BC 为底的等腰三角形，所以AB =AC ，以BC 为折痕，对折后，得到的三角形BCD 仍是等腰三角形，即：BD =DC ，又因为AB =BD ，DC =AC ，所以AB =CD ，BD =AC ，所以四边形ABDC 是平行四边形，又AB =AC ，因此，平行四边形ABDC 是菱形．方法二主要是利用了菱形的轴对称性．按方法一剪出如图所示的图形．以BC 所在的直线对折时，OA =OD ，以AD 所在的直线对折时，OB =OC ，这时四边形ABDC 是平行四边形，又因为两条折痕是互相垂直的，即：AD ⊥BC ，又OA =OD ，所以BC 是AD 的中垂线．即AB =AC ，因此平行四边形ABCD 是菱形．刚才通过折纸、剪切，得到了菱形，你能因此归纳一下菱形的判别方法吗？分组讨论，然后总结：菱形的判别方法：1．对角线互相垂直的平行四边形是菱形．2．四条边都相等的四边形是菱形．(要注意的是：菱形的判别方法的题设条件是平行四边形还是任意四边形．)三．应用例2 已知：如图，在□ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O ，2 1.===，AB OA OB 求证：□ABCD 是菱形．证明：证明：在△AOB 中，222521.===∴=+，，AB OA OB AB AO OB ∴在△AOB 是直角三角形，∠AOB 是直角．∴AC ⊥BD ．∴□ABCD 是菱形(对角线互相垂直的平行四边形是菱形)．如图，在Rt △ABC 中，∠BAC =90°，AD ⊥BC 于D ，BE 平分∠ABC 交AD 于F ，交AC 于E ，若EG ⊥BC 于G ，连结FG ．求证：四边形AFGE 是菱形．分析：要判别四边形AFGE 是菱形，要先证它是平行四边形，然后再寻找邻边相等的条件，而要证明它是平行四边形，要找出平行四边形的判定条件．由已知易得AF //EG ，再证FG //AE ；由已知不难得出∠3=∠4，BE 为ΔABE 与ΔGBE 的公共边，而ΔABE 与ΔGBE 都是直角三角形，所以ΔABE ≌ΔGBE ，AB =BG ，因此，ΔABF 与ΔGBF 中，∠3=∠4，BG =BA ，BF 为公共边，所以ΔABF ≌ΔGBF ，∠2=∠FGD ，而∠2+∠1=90º=∠FGD +∠EGF ，所以∠1=∠EGF ，而∠EGF =∠GFD ，所以∠1=∠GFD ，AE //FG ；由前面所证得的ΔABE ≌ΔGBE ，可知EG =EA ，即四边形AFGE 是菱形．例3 如图，四边形ABCD 是边长为13cm 的菱形，其中对角线BD 长10cm ．求：(1)对角线AC 的长度；(2)菱形ABCD 的面积．解：(1) ∵四边形ABCD 是菱形，AC 与BD 相交于点E ，∴∠AED =90°(菱形的对角线互相垂直)，11105(cm)22==⨯=DE BD (菱形的对角线互相垂直平分)．12(cm).221224(cm)∴==∴==⨯=AE AC AE (菱形的对角线互相垂直平分)．(2)菱形ABCD 的面积=△ABD 的面积+△CBD 的面积=2×△ABD 的面积21221210122120(cm ).=⨯⨯⨯=⨯⨯⨯=BD AE 四．小结本节课我们探讨了菱形的定义、性质和判别方法，我们来共同总结一下：菱形的定义：一组邻边相等的平行四边形是菱形．菱形的性质：边：四条边都相等；对边分别平行．角：对角线相等．对角线：互相垂直、平分；每一条对角线平分一组对角．菱形的判定：1．四条边都相等的四边形是菱形．2．对角线互相垂直的平行四边形是菱形；五．布置作业1．课本习题6．1的1、2、3题．2．课本6．2的1、2题．。
数学北师大版九年级上册第一章1.1《菱形的性质与判定》教案
菱形的性质学习目标了解菱形的基本性质，掌握其特征．学习难点掌握菱形的性质．教学过程一、复习平行四边形有何特征？如何识别一个四边形是平行四边形？在学生思考、交流的过程中，老师适时进行指导．二、创设问题情境，导入新知出示可伸缩的衣帽架实物．老师在演示的过程中提问：图中的基本图形你熟悉吗？学生大多回答是平行四边形，让一个同学用尺量出这个平行四边形的邻边的长度（发现邻边相等这个特性）接着老师告诉学生，这种邻边相等的平行四边形，与一个角是直角的平行四边形一样也是一种特殊的平行四边形，这是今天我们要研究的课题．教师板书：菱形．那究竟什么是菱形呢？学生在思考、交流中，老师适时地进行指导，把正确的定义板书在黑板上：一组邻边相等的平行四边形叫做菱形．这里的“平行四边形”不能写成“四边形”．“一组邻边相等的四边形，不一定是菱形”．这点务必加以强调．如果要用四边形下菱形的定义就应该是“四边都相等的四边形是菱形”．三、学生动手操作1．画一个△ABC，取BC的中点M，把△ABC绕着M，旋转180°后得一个△A′B′C′，△A′B′C′与△ABC拼成一个怎样的图形？（平行四边形）那么菱形也可以看作什么样的三角形通过绕着那一边的中点旋转180°后与原三角形拼成的？2．画一个等腰△ABC，取底边BC中点M，把△ABC绕着M旋转180•°后的三角形与原三角形拼成一个怎样的图形？（菱形）要说明它菱形，就应讲出根据来．•请一个同学说出根据：“它是邻边相等的平行四边形”．如图所示．3．观察图，思考：（1）图中有哪些三角形是等腰三角形？（2）图中有哪些直角三角形？在学生交流的基础教师板书：（1）△ABC，△A′BC，△ACA′，△ABA′都是等腰三角形．（2）△ACM，△CMA′，△ABM，△BMA′都是直角三角形．让学生想一想后继续操作．菱形是中心对称图形，这点大家是不会怀疑的，刚才的操作已经说明了这一点，•那么菱形是不是轴对称图形呢？•大家都知道菱形可以把等腰三角形绕着底边中点旋转180°后所得的三角形与原三角形拼成的．由于等腰三角形是轴对称图形，•所以我们也可以判断出菱形也是轴对称图形．请大家想一想：（1）直角△ACM，直角△CMA′，直角△ABM，直角△BMA′的形状、大小是否相同？（2）如何用剪刀的办法，得到一个菱形的纸片呢？如图所示．请大家按如下步骤操作：（1）将一张矩形纸对折再对折；（2）用尺在折后的矩形的一角上画一条直线；（3）用剪刀沿着这条线剪下，打开．你发现这是一个什么样的图形．（•如果在另一角画直线剪下的是两个等腰三角形要拼起来才可完成上面的四边形，究竟在哪一角画线，请思考后再动手．）根据以上的操作与思考，你发现菱形它有哪些性质吗？教师让学生用语言进行表达出来，用边、角、对角线的顺序来阐明．教师板书：菱形性质：（边）：对边平行、四边都相等．（角）：对角相等．（对角线）：对角线互相垂直平分，且平分各内角．由于菱形是平行四边形，所以它具有平行四边形的一切性质，上述的对边平行、对边相等、对角相等、对角线互相平分，就是平行四边形的性质，而邻边相等、对角线互相垂直，是它与平行四边形不同的特殊性质．上述的菱形性质是两种性质的总和．同时菱形还是轴对称图形，它的对称轴有两条，是两条对角线所在的直线，它是中心对称图形，其对称中心，就是它两条对角线的交点．四、范例分析，加深理解例2 在菱形ABCD中，BAD=2∠B．如图所示．试说明△ABC是等边三角形．学生观察图形并对照条件，进行思考、交流．师生共同分析：要说明△ABC是等边三角形，可以从以下几条入手：（1）说明AB=BC=AC；（2）说明∠BAC=∠ACB=∠ABC；（3）说明△ABC中，有两个角都等于60°．从第一条途径出发：我们知道四边形ABCD是菱形，即可获得AB=BC，•现在只差AB=AC或BC=AC．要知道CB=AC，就要说明∠ABC=∠CAB；要知道BA=AC，就要说明∠ABC=∠ACB．由于AD∥BC，即可得到∠DAB+∠ABC=180°，故3∠ABC=180°，∠ABC=60°．那么∠BAD=120°．由于菱形对角线平分内角．故∠BAC=60°，即∠BAC=∠ABC=60°．那么AB=AC．这样就可以得到△ABC是等边三角形．从第二条途径出发：就要从三个角入手，上面分析已得到：∠BAC=∠ABC，由于BA=BC，故∠BAC=∠BCA．那么∠BAC=∠ABC=∠BCA．这样△ABC是等边三角形就可获得说明，从第三条途径出发，•第一条途径分析中已获得了．解：由于四边形ABCD是菱形，所以AB=BC，AD∥BC．即∠B+∠BAD=180°，∠BAC=∠BAC．又∠BAD=2∠ABC．所以3∠ABC=180°，即∠ABC=60°．因为∠BAC+∠BCA+∠ABC=180°，故∠BAC+∠BCA=120°．那么2∠BAC=120°．即∠BAC=60°，∠BCA=60°．因此三角形ABC为等边三角形．也可以说△ABC是一个角等于60°的等腰三角形，所以△ABC为等边三角形．五、随堂练习，巩固新知六、全课小结，提高认识1．菱形有哪些特征？它与矩形的特征有何异同点？2．如何识别一个四边形是菱形？七、作业布置【课后作业】班级姓名学号一、判断题1．一组邻边相等，且对角线互相垂直的四边形是菱形．（）2．一条对角线平分一组对角的四边形是菱形．（）3．对角线交点到各边中点的距离都相等的四边形是菱形．（）4．菱形是轴对称图形，它的对称轴只有一条．（）5．菱形的对角线互相垂直平分，且平分各内角．（）二、填空题6．菱形的邻角比为1：5，它的高为1.5cm，则它的周长为_______．7．两条对角线_________的四边形是菱形．8．已知菱形的两对角线的比为2：3，两对角线和为20，•则这对角线长分别为_____，_______．9．菱形ABCD的AC交BD于O，AB=13，BO=12，AO=5，求菱形的周长=_____，面积=•____．10．O为菱形ABCD的对角线交点，E、F、G、H分别是菱形各边的中点，若OE=3cm，•则OF=_____，OG=_______，OH=______．三、选择题11．从菱形的钝角的顶点向对边引垂线，并且这条垂线平分对边，•则该菱形的钝角为（）．A．110° B．120° C．135° D．150°12．菱形的两邻角之比为1：2，如果它的较短对角线为3cm，则它的周长为（）． A．8cm B．9cm C．12cm D．15cm13．菱形具有而矩形不一定具有的性质是（）．A．对边相等 B．对角相等C．对角线互相相等 D．对有线相等14．能够找到一点使该点到各边距离相等的图形为（）．A．平行四边形 B．菱形 C．矩形 D．不存在15．下列说法不正确的是（）．A．菱形的对角线互相垂直 B．菱形的对角线平分各内角C ．菱形的对角线相等D ．菱形的对角线交点到各边等距离 四、解答题16．如图所示，已知E 为菱形ABCD 的边AD 的中点，EF ⊥AC 于F 交AB 于M ．试说明M 为AB 的中点．21M FE DCBA17．如图所示，已知菱形ABCD 中E 在BC 上，且AB=AE ，∠BAE=12∠EAD ，AE 交BD 于M ，试说明BE=AM ．3421ME DC BA18．如图所示，已知在菱形ABCD 中，AE ⊥CD 于E ，∠ABC=60°，求∠CAE 的度数．19．如图所示，菱形的周长为20cm ，两邻角的比为1：2． 求：（1）较短对角线长是多少？（2）一组对边的距离是多少？20．如图所示，已知菱形ABCD 中，E 、F 分别在BC 和CD 上，且∠B=∠EAF=•60°，∠BAE=15°，求∠CEF 的度数．21．已知：菱形一边及这边上的高．求作：满足条件的这个菱形．22．已知在菱形ABCD中，AE⊥BC于E，且BE=EC，若AC=6，求菱形ABCD的各边长．23．菱形一边与两条对角线所构成的两个角的差为10°，求菱形的各内角．24．如图所示，已知菱形ABCD中，E、F是BC、CD上的点，且AE=EF=AF=AB，•求∠C的度数．25．如图所示，O为矩形ABCD的对角线交点，DE∥AC，CE⊥BD，OE与CD•互相垂直平分吗？请说明理由．26．如图所示，已知在菱形ABCD中，E在BC上，若∠B=∠EAD=70°，ED•平分∠AEC吗？请说明理由．27．试说明：菱形的对角线的交点到各边的中点距离相等．。
(名师整理)最新北师大版数学九年级上册第1章第1节《菱形的性质与判定》精品教案
1.1 菱形的性质与判定（2）一．备课标：（一）内容标准：（1）探索并证明菱形的判定定理。
（2）在参与观察、实验、猜想、证明、综合实践等数学活动中，发展合情推理和演绎推理能力，清晰地表达自己的想法。
（3）学会独立思考，体会从一般到特殊的思考问题的方法，增强发现问题和提出问题的能力。
（二）核心概念：本节课通过对菱形的判定定理的探索与证明，建立符号意识、空间观念，初步形成几何直观，发展学生的推理能力。
二、备重点、难点：（一）教材分析：本章属于“图形与几何”领域，是在八年级下册“第三章图形的平移与旋转”和“第六章平行四边形”的基础上继续采用探究和证明相结合的方式研究特殊平行四边形，有助于深化学生对平行四边形的理解，是发展学生空间观念的重要载体。
九年级的学生在学习菱形之前，已经掌握了简单图形平移旋转和平行四边形的性质和判定，学生完全能够借助图形的旋转平移和轴对称直观的理解菱形的定义和性质。
经历了七年级下册“第二章相交线与平行线”、“第三章三角形”和八年级下册“第六章平行四边形”的学习，通过推理训练，学生们已经具备了一定的推理能力，树立了初步的推理意识，为严格的推理证明打下了基础。
（二）重点、难点分析：本节主要是探索并证明菱形的判定定理，学生虽然已经已经具备了一定的推理能力，但是严格的推理证明还需要适时的指导，运用判定定理需要及时指导，所以确定：重点：探索并证明菱形的判定定理。
难点：选择合适的判定方法进行运用。
1/ 9三．备学情：（一）学习条件和起点能力分析：1.学习条件分析：（1）必要条件：学生已经学习了平行四边形的判别方法，能够从边、角、对角线等角度说出平行四边形的判别方法；并且认识了菱形与平行四边形的关系，这些都为本节课进一步探索发现相关定理提供了较好的知识基础和活动经验基础。
（2）支持性条件：学生在前面的学习中已经积累了总结概括知识的经验，能够类比已有知识框架构建新知，了解特殊图形与一般图形的关系。
北师大版九年级数学上册教案-第一章第一节菱形的性质与判定
第一章特殊平行四边形第一节菱形的性质与判定第1课时菱形的性质教学目标1．经历观察菱形的特点、猜想及证明的过程，理解菱形性质定理及其推论．2．通过练习及例题的分析，能正确运用性质解题．教学重点菱形的性质的探究．教学难点菱形的性质的探究及灵活运用．教学设计(设计者：×××)教学过程设计一、创设情景明确目标教学问题设计1．前面我们学习了平行四边形的性质和判定，请大家回忆一下平行四边形的性质和判定．2．我们知道，两组对边分别平行的四边形，叫做平行四边形，如果这个平行四边形有一组邻边相等就成为了一种特殊的平行四边形，这就是今天我们要研究的——菱形．教学活动设计：参考教材第1页图形提问学生．二、自主学习指向目标1．自学教材第1至3页．2．学习至此，请完成学生用书“课前预习”部分．三、合作探究达成目标探究点一菱形的定义请同学们根据刚才的演示图试着给出菱形的定义．菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形．【针对训练】见学生用书P1“当堂训练”第1题探究点二菱形的性质定理从定义上分析，有一组邻边相等的平行四边形是菱形．那么除了这两个特点之外，大家观察，菱形还有什么特点？定理1：菱形的四条边都相等．定理2：菱形的对角线互相垂直．教学活动设计学生活动学习教材，分析问题．寻求答案并师生共同写出过程．【针对训练】①：见学生用书第1页“当堂训练”第2题【针对训练】②：1．菱形的四边________；两条对角线________．2．四边形ABCD是菱形，O是两条对角线的交点，AB＝5，AO＝4，则对角线AC的长为________，BD的长为________．3．菱形的两条对角线的长分别是6和8，则其周长为________，面积为________．4．用你认为是最简洁的方法画一个菱形．四、总结梳理内化目标本节课你有哪些收获？1．菱形定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形．2．菱形的性质菱形的四条边都相等．菱形的对角线互相垂直．五、达标检测反思目标1．菱形的两条对角线将菱形分成________个等腰三角形；________个直角三角形．2．菱形的对角线长为4和6，求面积．3．菱形的对角线长为6和8，求边长．4．菱形的边长为10，一条对角线长为12，求另一条对角线长．5．菱形的面积为24，一条对角线长为6，求另一条对角线的长．6．菱形的边长为10，一个内角为60°，求对角线的长．7．菱形的周长为24，短对角线长为6，求各内角．8．菱形的边长为8，一个内角为120°，求对角线的长．六、布置作业教材第4页习题1.1第1，2，3题．见学生用书“课后作业”栏题目．第2课时菱形的判定教学目标理解并掌握菱形的定义及判定定理，会利用它们来进行有关论证和计算．教学重点菱形的判定定理．教学难点菱形的定义及判定定理的运用．教学设计(设计者：×××)教学过程设计一、创设情景明确目标我们已经学习了菱形的性质：菱形的定义：一组邻边相等的平行四边形；(判定：2个条件)性质定理：菱形的四条边都相等；性质定理：菱形的对角线互相垂直平分；二、自主学习指向目标1．自学教材第5至7页．2．学习至此，请完成学生用书“课前预习”部分．三、合作探究达成目标探究点一菱形的定义菱形的定义是？它能否作为菱形的判定？探究点二菱形判定定理(1)(2)判定定理1的内容是什么？写出已知、求证，并证明．判定定理2的内容是什么？写出已知、求证，并证明；还有其他方法进行证明吗？例2的证明还有其他方法吗？1．自学质疑：自学课本P5～P6，完成预习题，并提出疑难问题．2．分组讨论：讨论自学中不能解决的问题及学生提出问题．【针对训练】①：已知：在四边形ABCD中，对角线AC与BC互相垂直平分，求证：平行四边形ABCD是菱形．【针对训练】②：见学生用书第2页“当堂训练”第1，2题四、总结梳理内化目标小结：菱形的判定方法1．定义：有一组邻边相等的平行四边形．定理1：对角线互相垂直的平行四边形．定理2：四条边都相等的四边形．2．菱形可根据哪些进行判定？填写下表：菱形的判定应具备两个条件菱形的定义判定定理1判定定理2五、达标检测1．如图，将一个长为10 cm，宽为8 cm矩形纸片对折两次后，沿所折矩形两邻边中点连线(虚线)剪下，再打开，得到的菱形的面积为()A．10 cm2B．20 cm2C．40 cm2D．80 cm2错误!,第2题图)2．如图，点O是AC的中点，将周长为4 cm菱形沿对角线AC方向平移AO长度，得到菱形OB′C′D′，则四边形OECF的周长是________．3．已知：如图，M是等腰三角形ABC底边BC上的中点，DM⊥AB，EF⊥AB，ME⊥AC，DG⊥AC.求证：四边形MEND是菱形．六、布置作业教材第7页习题1.2第1，2题．见学生用书“课后作业”栏题目．第3课时菱形的性质与判定的综合教学目标熟练运用菱形的性质和判定解决综合问题．教学重点菱形的性质及判定的综合应用．教学难点培养学生运用菱形知识分析问题解决问题的能力．教学设计(设计者：×××)教学过程设计一、创设情景明确目标我们曾在前面探讨过一种特殊的平行四边形——菱形，大家还记得它吗？——我们来共同回忆一下．1．菱形的定义2．菱形的性质3．菱形的判别方法师：菱形的这些性质和判别方法我们是怎样得到的？那么你能运用它们解决一些几何综合问题吗？这节课我们就来探讨这些问题．二、自主学习指向目标1．回顾菱形的性质与判定有关定义、定理．2．学习至此，请完成学生用书“课前预习”部分．三、合作探究达成目标探究点一菱形性质的综合运用菱形的性质：1．菱形具有平行四边形的一切性质．2．菱形的四条边都相等．3．菱形的对角线互相垂直．【针对训练】如图，四边形ABCD是边长为13cm的菱形，其中对角线BD长10cm.通过以上已知条件你能获得哪些结论？若将菱形ABCD的边长改为10cm.你又能获得那些结论？并说明你的理由．探究点二菱形的判定综合运用你还记得怎样判别一个平行四边形是菱形吗？那么满足什么条件的四边形是菱形？你能证明吗？1．定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形．2．对角线互相垂直的平行四边形是菱形．3．四条边都相等的四边形是菱形．说明：利用课件将学生能想到的判别方法作了总结，除定义外，其他的判别方法要求学生：选择其中一个画图，写已知、求证，并思考证明过程，老师巡视指导，然后小组间交流，中心发言人回答，通过引导学生反思本题是否还有其他解法，比较哪种解法较为简捷，进一步拓宽学生的解题思路，培养思维的灵活性．【针对训练】见教材P8做一做．四、总结梳理内化目标师：通过本节课你学习了哪些知识？对你有什么帮助？小结：1.菱形的性质与判定的综合运用．2．探索问题，总结规律．3．发现的新的数学思想及方法．五、达标检测反思目标1．求证：有一条对角线平分一个内角的平行四边形是菱形．2．已知两条对角线，怎样用尺规作一个菱形．3．拓展延伸：已知△ABC中AB＝AC，M为底边BC上任意一点，过M点做AC，AB 的平行线交AC于P，交AB于点Q.则M位于BC什么位置时，四边形AQMP为菱形，并说明理由．4．想一想：师：你手中菱形是怎样制作的，除了利用菱形的定义以外，我们还可以用哪些方法来作？你可以证明它吗？六、布置作业教材第9页习题1.3第1，2，3，4题．见学生用书“课后作业”栏题目．。
北师大版九年级上册第一章1.2菱形的性质与判定(教案)
1.2菱形的性质与判定教学目标：1.理解菱形的定义,掌握菱形的判定方法;会用这些判定方法进行有关的论证和计算.2.在菱形的判定方法的探索与综合应用中,培养学生的观察能力、动手能力及逻辑思维能力.教学重难点：【重点】探索证明菱形的两个判定方法,掌握证明的基本要求和方法.【难点】明确推理证明的条件和结论能用数学语言正确表达.教学过程：一、新课导入人们戴的帽子的形状千奇百怪,有一段时间,电视上经常看到大学生戴的菱形帽,它是受到外国博士帽的启发.在日本,到第二次世界大战为止,戴菱形帽一直是年轻人的梦想,戴上它显得有知识有学问.这是由于菱形的特殊因素能给人一种舒服的感觉.那么,我们怎样判断一个四边形是否是菱形呢?二、新知构建由菱形的定义判定【学生活动】明确菱形的定义既是菱形的性质,又可作为菱形的第一种判定方法,即有一组邻边相等的平行四边形是菱形.【思考】除了运用菱形的定义,类比平行四边形的性质定理和判定定理,你能找出判定菱形的其他方法吗?菱形的判定(1)已知:在▱ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,AC⊥BD.求证▱ABCD 是菱形.证明:∵四边形ABCD是平行四边形,∴OA＝OC.∵AC⊥BD,∴BD所在的直线是线段AC的垂直平分线.∴BA＝BC.∴▱ABCD是菱形(菱形的定义).【思考】从上述证明过程中,你得出什么结论?定理:对角线互相垂直的平行四边形是菱形.菱形的判定(2)问题：我们如何画一个菱形呢?通常先画两条等长的线段AB,AD,然后分别以B,D为圆心,AB长为半径画弧,得到两弧交点C,连接BC,CD 即可.三、课堂小结活动内容：学生互相交流菱形的性质与判定定理，何时该选用性质定理，何时选择判定定理，菱形与平行四边形的关系，遇到菱形实际题目时如何分析思路，以及遇到困难时如何克服等。
活动目的：鼓励学生结合前面的准备活动畅所欲言自己的感受和收获，让学生在不知不觉中提高自己的推理论证能力，并且对于研究科学需要严谨的作风这一点有深刻的认识。
(名师整理)最新北师大版数学九年级上册第1章第1节《菱形的性质与判定》精品教案
第一章特殊平行四边形1.1 菱形的性质与判定（一）教学目标知识与技能：1、理解并掌握菱形的定义及性质定理；会用这些定理进行有关的论证和计算；2、培养学生的观察能力、动手能力自学能力、计算能力、逻辑思维能力；3．通过运用菱形知识解决具体问题，提高分析能力和观察能力．4．根据平行四边形与矩形、菱形的从属关系，通过画图向学生渗透集合思想．过程与方法：经历探索菱形的性质和基本概念的过程，在操作、观察、分析过程中发展学生思维意识，体会几何说理的基本方法。
情感态度与价值观：培养学生主动探究的习惯和严密的思维意识、审判观、价值观。
并在教学中渗透事物总是相互联系又相互区别的辨证唯物主义观点。
教学重点：掌握菱形的性质。
教学难点：运用菱形的性质解决与菱形有关的问题教具准备：菱形图片，多媒体教学方法：讲练结合法教学过程：一、回顾交流，引出概念1.提问：什么是平行四边形？学生回顾交流。
1/ 42 / 42.教师出示生活中菱形的例子，引出这类特殊的平行四边形——菱形，并得出菱形的概念：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。
二、师生互动，探究新知1.教师组织学生活动，通过折菱形纸片，得出以下结论:（1）菱形是轴对称图形；（2）菱形的四条边相等；（3）菱形的对角线互相垂直。
2.如何证明上面的（2）和（3）呢？教师引导学生证明，进而得出以下定理：定理 菱形的四条边都相等。
定理 菱形的对角线互相垂直。
二、范例学习，实战演练例1 如图1-2，在菱形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O, ∠BAD=60°，BD=6，求菱形的边长AB 和对角线AC 的长。
解：∵ 四边形ABCD 是菱形 ∴AB=AD(菱形的四条边都相等)图1-2 O AB3 / 4AC ⊥BD （菱形的对角线互相垂直） OB=OD= BD =×6 =3（菱形的对角线互相平分）在等腰三角形ABC 中， ∵∠BAD=60° ∴△ABD 是等边三角形 ∴AB=BD=6 在Rt △AOB 中，由勾股定理，得OA 2+OB 2=AB 2 22226333OA AB OB =-=-= =2=63AC OA三、随堂练习，巩固新知如图，在菱形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O.已知AB=5cm ，AO=4cm 求 BD 的长.解：∵ 四边形ABCD 是菱形∴AC ⊥BD （菱形的对角线互相垂直）在Rt △AOB 中，由勾股定理，得AO 2+BO 2=AB 2∴ ∵ 四边形ABCD 是菱形∴BD=2BO=2×3=6（菱形的对角线互相平分）2121∴ ∴ 3452222=-=-=AO AB BO A O所以，BD的长是6cm.四、课堂总结菱形具有平行四边形的所有性质，菱形的四边相等；对角线互相垂直。
北师大版九年级上册1菱形的性质与判定第一章：菱形的性质与判定教学设计
北师大版九年级上册1菱形的性质与判定第一章：菱形的性质与判定教学设计一、教学目标1.理解菱形的定义，掌握菱形的性质。
2.能够准确辨认菱形，判断一个图形是否为菱形。
3.能够应用菱形的性质解决实际问题。
二、教学重难点1.菱形的定义与性质。
2.菱形的判定。
三、教学内容与方法1、菱形的定义与性质•教学内容：–菱形的定义与性质。
•教学方法：–PPT讲解–教师示范•学生操作：–学生听课、记录笔记。
2、菱形的判定•教学内容：–菱形的判定。
•教学方法：–案例演示–小组合作•学生操作：–学生观看演示，对照题目进行判定。
四、教学过程1、导入以现实中的实际例子来让学生了解菱形并且掌握菱形的形态。
2、授课简单介绍菱形及其定义，接着通过菱形的定义来介绍相关性质，让学生了解菱形的性质与判定。
3、案例演示通过模拟题目，让学生在案例演示中学习如何判断一个图形是否为菱形。
在演示过程中，教师将模拟出几道题目，讲解判定方法，并鼓励学生自主思考、探究，积极参与讨论。
4、小组合作让学生分组，自主合作完成判定菱形的练习，通过小组合作，增强了学生的参与感和活跃性。
5、总结在课堂结束前，教师根据学生表现进行点评，并为学生做总结，强调菱形的定义与性质。
五、教学评价•观察学生听课的注意力、课堂纪律和作业认真程度。
•考查学生的综合思维能力，能否运用菱形的性质解决实际问题。
•收集学生的反馈意见，了解教学效果。
六、教学资源•课件：PPT演示、案例演示；•教学用具：黑板、粉笔、直尺、圆规。
九年级数学第一章第一节《菱形的性质与判定》练习题
九年级数学第一章第一节《菱形的性质与判定》练习题班级姓名一、填空、选择题：1．下列命题中，真命题是（）A．对角线互相垂直且相等的四边形是菱形B．有一组邻边相等的平行四边形是菱形C．对角线互相平分且相等的四边形是菱形D．对角线相等的四边形是菱形2．菱形的周长为12cm，相邻两角之比为5：1，那么菱形对边间的距离是（）A．6cm B．1.5cm C．3cm D．0.75cm3．在菱形ABCD中，AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F，且E、F分别为BC、CD的中点，（如图）则∠E AF等于（）A．75° B．60° C．45°D．30°第3题第4题4．已知：如图，菱形ABCD中，AE⊥BC于E，若S菱形ABCD=24，且AE=6，则菱形的边长为（）A．12 B．8 C．4 D．2 5．菱形的边长是2 cm，一条对角线的长是2 cm，则另一条对角线的长约是（）A．4cm B．1cm C．3.4cm D．2cm6、(2010•肇庆）菱形的周长为4，一个内角为60°，则较短的对角线长为（）A．2 B． C．1 D．7、(2010•襄阳）菱形的周长为8cm，高为1cm，则该菱形两邻角度数比为（）A．3：1 B．4：1 C．5：1 D．6：18、如图，将一张矩形纸片对折后再对折，然后沿着图中的虚线剪下，得到①、②两部分，将①展开后得到的平面图形是( )(A) 矩形 (B)平行四边形 (C)梯形 (D) 菱形第9题9、如图，在菱形ABCD中，∠ABC=60°，AC=4，则BD的长为（）A、、、、8二、填空题10、已知菱形的周长为40cm，两条对角线之比为3：4，则菱形的面积为__________cm2．11、已知菱形的周长是52cm，一条对角线长是24cm，则它的面积是__________cm2．12、如图，菱形ABCD的对角线的长分别为2和5，P是对角线AC上任一点（点P不与点A、C 重合），且PE∥BC交AB于E，PF∥CD交AD于F，则阴影部分的面积是_______.第12题第13题第14题13、（2003•温州）如图：菱形ABCD中，AB=2，∠B=120°，E是AB的中点，P是对角线AC上的一个动点，则PE+PB的最小值是__________．14、如图：点E、F分别是菱形ABCD的边BC、CD上的点，且∠EAF=∠D=60°，∠FAD=45°，则∠CFE=__________度．15、(2013南京）如图，将菱形纸片ABCD折叠，使点A恰好落在菱形的对称中心O处，折痕为EF，若菱形ABCD的边长为2cm，∠A=120°，则EF= _______第15题第16题第17题16、（2013•黔西南州）如图所示，菱形ABCD的边长为4，且AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，∠B=60°，则菱形的面积为__________17、（2013•临沂）如图，菱形ABCD中，AB=4，∠B=60°，AE⊥BC，AF⊥CD，垂足分别为E，F，连接EF，则△AEF的面积是__________18、如图：菱形ABCD的对角线AC、BD相较于点O，且AC=8，BD=6，过点O作OH⊥AB，垂足为H．试求点O到边AB的距离OH__________19、如图，ABCD是对角线互相垂直的四边形，且OB=OD,请你添加一个适当的条件 ____________,使ABCD成为菱形.（只需添加一个即可）第18题第19题第20题20、已知：如图，菱形ABCD的两条对角线分别为6和8，M、N分别是边BC、CD的中点，P是对角线BD上一点，则PM+PN的最小值是___________二、证明题：21、如图，四边形ABCD中，AB∥CD，AC平分∠BAD，CE∥AD交AB于E．求证：四边形AECD是菱形．22、如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC、BD相交于点O，DH⊥AB于H，连接OH，求证：∠DHO=∠DCO．23、如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD的中点，过点A作BC的平行线交BE的延长线于点F，连接CF．（1）求证：AF=DC；（2）若AB⊥AC，试判断四边形ADCF的形状，并证明你的结论．24、（2014•宁洱县）如图，四边形ABCD是菱形，BE⊥AD、BF⊥CD，垂足分别为E、F．（1）求证：BE=BF；（2）当菱形ABCD的对角线AC=8，BD=6时，求BE的长．25(泰安中考)如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，CB＝CD，E是CD上一点，BE交AC于F，连接DF.(1)证明：∠BAC＝∠DAC，∠AFD＝∠CFE；(2)若AB∥CD，试证明四边形ABCD是菱形．26、（2011•贵阳）如图，在菱形ABCD中，P是AB上的一个动点（不与A、B重合），连接DP交对角线AC于E连接BE．（1）证明：∠APD=∠CBE；（2）若∠DAB=60°，试问P点运动到什么位置时，△ADP的面积等于菱形ABCD面积的，为什么？。
北师大版九年级上册第一章1.3菱形的性质与判定(教案)
北师大版九年级上册第一章1.3菱形的性质与判定（教案）
问题(教材例3)如图所示,四边形ABCD是边长为13 cm的菱形,其中对角线BD长10 cm.求:菱形的面积等于其对角线长的乘积的一半.
三、课堂小结
菱形是特殊的平行四边形,所以平行四边形的面积公式同样适用于菱形,即“底×高”,要注意底与高必须是相互对应的.另外由于菱形的特殊性,它的面积等于其两条对角线长的乘积的一半.
四、课堂练习
1.菱形的两条对角线长是8 cm和10 cm,则菱形的面积是
cm2.
答案:40
2.一个菱形的两条对角线长分别为7 cm和8 cm,则这个菱形面积为
( )
A.56 cm2
B.28 cm2
C.14 cm2
D.36 cm2
五、布置作业
1、下列条件中，能判定一个四边形为菱形的条件是（）
A.对角线互相平分的四边形
B.对角线互相垂直且平分的四边形
C.对角线相等的四边形
D.对角线相等且互相垂直的四边形
2、菱形的边长是2 cm，一条对角线的长是23 cm，则另一条对角线的长是（）
A．4cm B．3cm C．2cm D．23cm
3、菱形的周长为16，两邻角度数的比为1∶2，此菱形的面积为（）
A. 4
B. 8
C. 10
D. 12
3333
4、如图，菱形ABCD的对角线AC、BD交于点O，且
AC＝16cm，BD＝12cm，求菱形ABCD的高DH.
5、如图，在四边形ABCD中，AB＝CD，M，N，P，Q分别是AD，BC，BD，AC的中点．求证：MN与PQ互相垂直平分．。
(名师整理)最新北师大版数学九年级上册第1章第1节《菱形的性质与判定 》精品教案
《菱形的性质与判定》教学设计1. 教材分析菱形是我们在八下平行四边形的基础上，我们研究的第一个特殊平行四边形，起着承上启下的作用，菱形的性质与判定的学习为接下来研究的矩形和正方形提供了思路和方法。
菱形分为3个课时来研究，本节是第一课时，主要研究菱形的定义和性质。
2. 学情分析1、学生已有的基础①对轴对称性的判断；②对平移、旋转、中心对称的理解；③对平行四边形性质的认识；④学生的小组合作学习、交流、展示能力2、学生面临的问题①虽有平行四边形性质与判定的推理证明过程的正确表述和书写的基础经验，但是经过了一个暑假，会有遗忘；②证明方法的选取；3.教学任务分析平行四边形的性质已经研究过了，菱形是特殊的平行四边形，具有平行四边形的性质，但是菱形又具有自己独有的性质“四边等”,“对角线互相垂直”,“菱形是轴对称图形”,类比平行四边形性质的研究方法来研究平行四边形，让1/ 10孩子们充分发挥自己的解决问题的能力，也为后面研究矩形和正方形提供了信息。
因此，把教学目标设定为：1.经历从现实生活中抽象出图形的过程，了解菱形的概念及其与平行四边形的关系；2.体会菱形的轴对称性，经历利用折纸等活动探索菱形性质的过程，发展合情推理能力；3.在证明性质和运用性质解决问题的过程中进一步发展学生的逻辑推理能力教学重点：菱形的性质定理的探究和运用。
教学难点：菱形的性质定理的理解及灵活运用。
4.教法与学法分析“三三四教学模式”基本内容是“教学全程三强调”（第一个三）“目标落实三要求”（第二个三）“摸探展测四步教学法（学习法）”。
“摸探展测四步教学法”：“学案导学，自主摸索”“分组学习，合作探究”“学生展示，教师点拨”“检测反馈，巩固提高”四步流程。
5.教学过程分析教学过程分为七个环节：一、知识铺垫；二、图片欣赏，通晓定义，三、动手操作，交流展示，四、推理归纳，得出定理，五、定理运用，例题示范，六、目标检测，提升自我，七、课堂小结，布置作业一、知识铺垫；1、想一想：平行四边形有哪些性质？2/ 10角对角线对称性说出轴对称性说出中心对称性2、教师准备10组菱形纸片，每组3个，每组形状大小不一样。
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B=60 °，则菱形的面积为 __________
17、（ 2013?临沂）如图，菱形 ABCD 中， AB=4 ，∠ B=60°， AE ⊥ BC， AF ⊥ CD ，垂足分别为 E，F ，连
接 EF，则△ AEF 的面积是 __________
18、如图：菱形 ABCD 的对角线 AC 、 BD 相较于点 O，且 AC=8 ， BD=6，过点 O 作 OH ⊥ AB ，垂足为
到的平面图形是 ( )
） D．2
(A) 矩形
(B) 平行四边形
(C) 梯形
(D) 菱形
9、如图，在菱形 ABCD 中，∠ ABC=60 °， AC=4 ，则 BD 的长为（ ）
A、 8 3
二、填空题
B、 4 3
C、 2 3
D、8
第 9题
10、已知菱形的周长为 40cm，两条对角线之比为 3： 4，则菱形的面积为 __________cm2．
ABCD 中， P 是 AB 上的一个动点（不与
A 、 B 重合），连接 DP 交对角线 AC
（ 2）若 ∠ DAB=60 °，试问 P 点运动到什么位置时， △ADP 的面积等于菱形 ABCD 面积的 ，为什么？
∠ CFE=__________ 度．
15、 (2013 南京）如图，将菱形纸片 ABCD 折叠，使点 A 恰好落在菱形的对称中心 O 处，折痕为 EF，
若菱形 ABCD 的边长为 2cm，∠ A=120 °，则 EF= _______
第 15 题
第 16 题
第 17 题
16、（ 2013?黔西南州）如图所示，菱形 ABCD 的边长为 4，且 AE ⊥ BC 于 E， AF ⊥ CD 于 F，∠
第 12 题
第 13 题
第 14 题
13、（2003?温州）如图：菱形 ABCD 中， AB=2 ， ∠B=120 °， E 是 AB 的中点， P 是对角线 AC 上的一 个动点，则 PE+PB 的最小值是 __________．
14、如图：点 E、 F 分别是菱形 ABCD 的边 BC 、CD 上的点，且 ∠ EAF= ∠ D=60 °， ∠ FAD=45 °，则
6、 (2010 ?肇庆）菱形的周长为 4，一个内角为 60°，则较短的对角线长为（
）
A．2
B．
C ．1
D．
7、 (2010 ?襄阳）菱形的周长为 8cm ，高为 1cm ，则该菱形两邻角度数比为（
）
A ． 3： 1
B ． 4： 1
C ． 5： 1
D ．6： 1
8、如图，将一张矩形纸片对折后再对折，然后沿着图中的虚线剪下，得到①、②两部分，将①展开后得
九年级数学第一章第一节《菱形的性质与判定》练习题
班级
姓名
一、填空、选择题：
1．下列命题中，真命题是（
）
A ．对角线互相垂直且相等的四边形是菱形 B ．有一组邻边相等的平行四边形是菱形 C ．对角线互相平分且相等的四边形是菱形
D．对角线相等的四 边形是菱形
2．菱形的周长为 12cm ，相邻两角之比 为 5： 1，那么菱形对边间的距离是（
H ．试求点 O 到边 AB 的距离 OH__________
19、如图， ABCD 是对角线互相垂直的四边形，且 OB=OD, 请你添加一个适当的条件 ____________,使
ABCD 成为菱形 .（只需添加一个即可）
第 18 题
第 19 题
第 20 题
20、已知：如图，菱形 ABCD 的两条对角线分别为 6 和 8， M 、N 分别是边 BC 、 CD 的中点， P 是对角线
E、 F．
25( 泰安中考 ) 如图，在四边形 ABCD中， AB＝AD， CB＝ CD，E 是 CD上一点， BE 交 AC于 F，连接 DF.
(1) 证明：∠ BAC＝∠ DAC，∠ AFD＝∠ CFE； (2) 若 AB∥ CD，试证明四边形 ABCD是菱形．
26、（ 2011?贵阳）如图，在菱形 于 E 连接 BE ． （ 1）证明： ∠ APD= ∠ CBE ；
）
A ． 6cm
B ． 1. 5 cm
C ． 3cm
D． 0. 75cm
3．在菱形 ABCD 中， AE ⊥ BC 于点 E， AF ⊥ CD 于点 F，且 E、 F 分别为 BC、 CD 的中点，（如图 ）
则∠ E AF 等于（ ）
A． 75°
B ． 60°
C ． 45°
D． 30°
第 3题
第 4题
23、如图，在△ ABC 中， AD 是 BC 边上的中线， E 是 AD 的中点，过点 点 F，连接 CF ． （ 1）求证： AF=DC ； （ 2）若 AB ⊥AC ，试判 断四边形 ADCF 的形状，并证明你的结论．
A 作 BC 的平行线交
BE 的延长线于
24、（ 2014?宁洱县）如图，四边形 ABCD 是菱形， BE ⊥AD 、 BF ⊥ CD ，垂足分别为 （ 1）求证： BE=BF ； （ 2）当菱形 ABCD 的对角线 AC=8 ， BD=6 时，求 BE 的长．
4．已知：如图，菱形 ABCD 中， AE ⊥ BC 于 E，若 S 菱形 ABCD =24 ，且 AE =6，则菱形的边长为（
A ． 12
B．8
C． 4
5．菱形的边长 是 2 cm，一条对角线的长是 2 cm ， 则另一条对角线的长约是（
）
A ． 4cm
B ． 1cm
C ． 3.4cm
D ． 2cm
11、已知菱形的周长是 52cm，一条对角线长是 24cm ，则它的面积是 __________cm2． 12、如图，菱形 ABCD 的对角线的长分别为 2 和 5， P 是对角线 AC 上任一点（点 P 不与点 A 、 C 重 合），且 PE∥BC 交 AB 于 E， PF∥ CD 交 AD 于 F，则阴影部分的面积是 _______.
BD 上一点，则 PM+PN 的最小值是 ___________
二、证明题： 21、如图，四边形 ABCD 中， AB ∥ CD ， AC 平分∠ BAD ， CE∥ AD 交 AB 于 E ．
求证：四边形 AECD 是菱形．
22、如图，四边形 ABCD 是菱形，对角线 AC 、 BD 相交于点 O，DH ⊥ AB 于 H ，连接 OH ， 求证：∠ DHO= ∠DCO ．