数学必修四课件 1.1.1 任意角
高一数学苏教版必修4教师用书：1.1.1 任意角
1.1 任意角、弧度1.1.1 任意角1.了解任意角的概念.2.理解象限角的概念及终边相同的角的含义.(重点)3.掌握判断象限角及表示终边相同的角的方法.(难点)[基础·初探]教材整理1任意角的概念阅读教材P5前五个自然段的有关内容，完成下列问题.1.角的概念：一个角可以看做平面内一条射线绕着它的端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形.2.角的分类：按旋转方向可将角分为如下三类：类型定义图示正角按逆时针方向旋转所形成的角负角按顺时针方向旋转所形成的角零角一条射线没有作任何旋转，称它形成了一个零角如图1-1-1，则α＝________，β＝________.图1-1-1【解析】α是按逆时针方向旋转的，为240°，β是按顺时针方向旋转的，为－120°.【★答案★】240°－120°教材整理2象限角与轴线角阅读教材P5最后一自然段的有关内容，完成下列问题.1.象限角：以角的顶点为坐标原点，角的始边为x轴正半轴建立平面直角坐标系.这样，角的终边(除端点外)在第几象限，就说这个角是第几象限角.2.轴线角：终边在坐标轴上的角.判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)180°是第二象限角.()(2)－45°是第一象限角.()(3)第一象限内的角都小于第二象限内的角.()【解析】(1)×.180°是轴线角.(2)×.－45°是第四象限角.(3)×.如375°＞120°，而375°和120°分别是第一、二象限内的角.【★答案★】(1)×(2)×(3)×教材整理3终边相同的角阅读教材P6“思考”及“例1”的有关内容，完成下列问题.与角α终边相同的角的集合为{β|β＝k·360°＋α，k∈Z}.1.与30°角终边相同的角的集合可表示为________.【解析】由终边相同角的表示可知，满足题意的角的集合为{β|β＝k·360°＋30°，k∈Z}.【★答案★】{β|β＝k·360°＋30°，k∈Z}2.将－885°化成k·360°＋α(0°≤α<360°，k∈Z)的形式是________.【解析】设－885°＝k·360°＋α，易得－885°＝(－3)×360°＋195°.【★答案★】(－3)×360°＋195°[小组合作型]角的概念辨析(1)下列结论：①第一象限角是锐角；②锐角是第一象限角；③第二象限角大于第一象限角；④钝角是第二象限角；⑤小于90°的角是锐角；⑥第一象限角一定不是负角.其中正确的结论是________(填序号).图1-1-2(2)如图1-1-2所示，射线OA绕端点O逆时针旋转45°到OB的位置，再顺时针旋转90°到OC的位置，则∠AOC＝________.【精彩点拨】(1)根据任意角、象限角的概念进行判断，正确区分第一象限角、锐角和小于90°的角.(2)图形→正负角的概念→∠AOC的大小【自主解答】(1)①400°角是第一象限角，但不是锐角，故①不正确；②锐角是大于0°且小于90°的角，终边落在第一象限，故是第一象限角，②正确；③120°角是第二象限角，400°角是第一象限角，故第二象限角不一定大于第一象限角，③不正确；④钝角是大于90°且小于180°的角，终边落在第二象限，故是第二象限角，④正确；⑤0°角是小于90°的角，但不是锐角，故⑤不正确；⑥－300°角是第一象限角，但－300°角是负角，故⑥不正确.(2)由角的定义可知∠AOC＝45°＋(－90°)＝－45°.【★答案★】(1)②④(2)－45°1.解决此类问题的关键在于正确理解象限角与锐角、直角、钝角、平角、周角等概念，严格辨析它们之间的联系与区别.2.判断结论正确与否时，若结论正确，需要严格的推理论证，若要说明结论错误，只需举出反例即可.[再练一题]1.时钟走了3小时20分，则时针所转过的角的度数为________，分针转过的角的度数为________.【解析】时针每小时转30°，分针每小时转360°，由于旋转方向均为顺时针方向，故转过的角度均为负值，又3小时20分等于313小时，故时针转过的角度为－313×30°＝－100°；分针转过的角度为－313×360°＝－1 200°.【★答案★】－100°－1 200°终边相同的角与象限角已知α＝2 016°.(1)把α改写成k·360°＋β(k∈Z，0°≤β＜360°)的形式，并指出它是第几象限角；(2)求θ，使θ与α终边相同，且－360°≤θ＜720°.【精彩点拨】令2 016°＝k·360°＋β――――――→k∈Z0°≤β＜360°求k，β―→θ＝k·360°＋β求k―→求θ【自主解答】(1)用2 016°除以360°商为5，余数为216°，∴k＝5，∴α＝5×360°＋216°(β＝216°)，∴α为第三象限角.(2)∵θ＝k·360°＋216°，k∈Z，又－360°≤θ＜720°，∴k＝－1，0，1，∴θ＝－144°，216°，576°.1.把任意角化为k·360°＋α(k∈Z且0°≤α＜360°)的形式，关键是确定k，可以用观察法(α的绝对值较小)，也可用除法.2.要求适合某种条件且与已知角终边相同的角时，其方法是先求出与已知角终边相同的角的一般形式，再依条件构建不等式求出k的值.3.终边相同的角常用的三个结论：(1)终边相同的角之间相差360°的整数倍.(2)终边在同一直线上的角之间相差180°的整数倍.(3)终边在相互垂直的两直线上的角之间相差90°的整数倍.[再练一题]2.在0°～360°之间，求出与下列各角终边相同的角，并判断是第几象限角.(1)－736°；(2)904°18′. 【导学号：48582001】【解】(1)－736°＝－3×360°＋344°，344°是第四象限角，∴344°与－736°是终边相同的角，且－736°为第四象限角.(2)904°18′＝2×360°＋184°18′，184°18′是第三象限角，∴184°18′与904°18′是终边相同的角，且904°18′为第三象限角.[探究共研型]区域角的表示【提示】不能，第一象限内的角未必是(0°，90°)的角，其可能是负角，也可能是大于360°的角，其表示为{α|k·360°＜α＜90°＋k·360°，k∈Z}.探究2终边落在x轴上的角如何表示？【提示】{α|α＝k·180°，k∈Z}.探究3若角α，β满足β＝α＋k·180°，k∈Z，则角α，β的终边存在怎样的关系？【提示】角α，β的终边落在同一条直线上.写出终边落在阴影部分的角的集合.图1-1-3【精彩点拨】法一：先写出30°及105°终边相同角的集合，再写出其对称区域内角的集合，最后合并便可.法二：分别写出与30°及105°的终边在同一直线上的角的集合，合并求解便可.【自主解答】法一：设终边落在阴影部分的角为α，角α的集合由两部分组成：①{α|k·360°＋30°≤α＜k·360°＋105°，k∈Z}.②{α|k·360°＋210°≤α＜k·360°＋285°，k∈Z}，∴角α的集合应当是集合①与②的并集：{α|k·360°＋30°≤α＜k·360°＋105°，k∈Z}∪{α|k·360°＋210°≤α＜k·360°＋285°，k∈Z}＝{α|2k·180°＋30°≤α＜2k·180°＋105°，k∈Z}∪{α|(2k＋1)180°＋30°≤α＜(2k＋1)180°＋105°，k∈Z}＝{α|2k·180°＋30°≤α＜2k·180°＋105°或(2k＋1)·180°＋30°≤α＜(2k＋1)180°＋105°，k∈Z}＝{α|n·180°＋30°≤α＜n·180°＋105°，n∈Z}.法二：与30°角终边在同一条直线上的角的集合为{α|α＝k·180°＋30°，k∈Z}.与180°－75°＝105°角终边在同一条直线上的角的集合为{α|α＝k·180°＋105°，k∈Z}，结合图形可知，阴影部分的角的集合为{α|k·180°＋30°≤α＜k·180°＋105°，k∈Z}.1.本题的求解注意实线边界与虚线边界的差异.2.解答此类问题应先在0°～360°上写出角的集合，再利用终边相同的角(或终边在同一条直线上的角)写出符合条件的所有角的集合，最后借助图形表示出区域角的范围.[再练一题]3.如图1-1-4所示：图1-1-4(1)分别写出终边落在OA ，OB 位置上的角的集合；(2)写出终边落在阴影部分(包括边界)的角的集合.【解】 (1)终边在OA 的最小正角为150°，故终边在OA 的角的集合为{α|α＝k ·360°＋150°，k ∈Z }.同理，终边在OB 上的最大负角为－45°，故终边在OB 的角的集合为{β|β＝k ·360°－45°，k ∈Z }.(2)由题图知，阴影部分区域表示为{x |k ·360°－45°≤x ≤k ·360°＋150°，k ∈Z }.1.－210°为第________象限角.【解析】 －210°＝(－1)×360°＋150°，150°是第二象限角.【★答案★】 二2.钟表经过4小时，时针转过的度数为________，分针转过的度数为________.【解析】 分针和时针均按顺时针方向旋转，其中分针连续转过4周，时针转过13周.【★答案★】 －120° －1 440°3.下列四个角中与30°角终边相同的角是________.①－30°；②210°；③390°；④－360°.【解析】 ∵390°＝360°＋30°，∴390°角与30°角的终边相同.【★答案★】 ③4.在0°≤α＜360°中与－120°角终边相同的角为________.【解析】 ∵－120°＝－360°＋240°，∴在0°～360°内与－120°终边相同的角为240°.【★答案★】 240°5.已知角β的终边在直线3x －y ＝0上.(1)写出角β的集合S ；(2)写出S 中适合不等式－360°≤β＜720°的元素.【导学号：48582002】【解】 (1)如图，直线3x －y ＝0过原点，倾斜角为60°，在0°～360°范围内，终边落在射线OA 上的角是60°，终边落在射线OB 上的角是240°，所以以射线OA ，OB 为终边的角的集合为：S 1＝{β|β＝k ·360°＋60°，k ∈Z }，S 2＝{β|β＝k ·360°＋240°，k ∈Z }，所以，角β的集合S ＝S 1∪S 2＝{β|β＝k ·360°＋60°，k ∈Z }∪{β|β＝60°＋180°＋k ·360°，k ∈Z }＝{β|β＝2k ·180°＋60°，k ∈Z }∪{β|β＝(2k ＋1)·180°＋60°，k ∈Z }＝{β|β＝n ·180°＋60°，n ∈Z }.(2)由于－360°≤β＜720°，即－360°≤60°＋n ·180°＜720°，n ∈Z ，解得－73≤n＜113，n ∈Z ，所以n ＝－2，－1，0，1，2，3.所以S 中适合不等式－360°≤β＜720°的元素为：－2×180°＋60°＝－300°；－1×180°＋60°＝－120°；0×180°＋60°＝60°；1×180°＋60°＝240°；2×180°＋60°＝420°；3×180°＋60°＝600°.。
1.1.1《任意角》课件(人教A版必修4)
5.与1 991°终边相同的最小正角是_____. 【解析】∵与1 991°终边相同的角β=1 991°+ k²360°,（k∈Z）,∴0°＜1 991°+k²360°≤360°
191 ＜k≤ 191 又k∈Z, 即 -5 -4 , 360 360 ∴k=-5,∴与1 991°终边相同的最小正角是
)
(B)钝角是第二象限角
(C)终边相同的角一定相等 (D)不相等的角，它们的终边必不相同 【解析】选B.因为钝角α满足90°＜α＜180°，所以角α的 终边一定在第二象限.
3.若α 是第四象限角，则180°+α 一定是（ (A)第一象限角 (B)第二象限角
）
(C)第三象限角
(D)第四象限角
【解析】选B.方法一：∵α是第四象限角 ∴-90°+k²360°＜α＜k²360° ∴90°+k²360°＜180°+α＜180°+k²360°（k∈Z） 方法二：由角的运算知，角α与角180°+α关于原点对称，即
∴θ=120°或240°.
7.在0°～360°范围内，找出与下列各角终边相同的角，并 判断它们是第几象限角： （1）918°;(2)-624°18′. 【解析】(1)∵918°=2〓360°+198°,
而198°∈(180°,270°），
∴918°与198°的终边相同，是第三象限角. (2)∵-624°18′=-2〓360°+95°42′, 又95°42′∈(90°,180°）， ∴-624°18′与95°42′的终边相同，是第二象限角.
n²360°,
∴ 是第三象限角. 3 答案：一、三、四
4.（15分）若集合A={α ｜k²180°+30°<α <k²180°+90°, k∈Z}，集合B={β ｜k²360°-45°<β <k²360°+45°， k∈Z}，求A∩B.
高中数学 1.1.1任意角 新人教A版必修4(2)
【解】 终边在30°角的终边所在直线上的角的集合为 S1＝{α|α＝30°＋k·180°，k∈Z}，终边在180°－75°＝105°角 的终边所在直线上的角的集合为S2＝{α|α＝105°＋k·180°，k ∈Z}，因此，终边在图中阴影部分内的角α的取值范围为 {α|α＝30°＋k·180°≤α<105°＋k·180°，k∈Z}．
终边相同的角
所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一 个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}，即任一与角α终边 相同的角，都可以表示成角α与 整数个周角 的和．
5．终边相同的角相等吗？相等的角终边相同吗？ 答：终边相同的角不一定相等，它们相差360°的整数 倍；相等的角，终边相同．
1．解读任意角的概念 (1)用运动的观点来定义角，就可以把角的概念推广到 任意角，包括任意大小的正角、负角和零角． (2)对角的概念的认识关键是抓住“旋转”二字． ①要明确旋转的方向； ②要明确旋转的大小； ③要明确射线未作任何旋转时的位置．
2．终边相同的角的关注点 所有与角α终边相同的角，连同角α在内可以用式子 k·360°＋α，k∈Z表示，在运用时需注意以下四点： (1)k是整数，这个条件不能漏掉． (2)α是任意角． (3)k·360°与α之间用“＋”连接，如k·360°－30°应看成 k·360°＋(－30°)，k∈Z. (4)终边相同的角不一定相等，终边相同的角有无数 个，它们相差周角的整数倍．相等的角终边一定相同．
课堂篇02
合作探究
终边相同的角及象限角
【例1】 将下列各角表示为k·360°＋α(k∈ Z,0°≤α<360°)的形式，并指出是第几象限角．
(1)420°；(2)－510°；(3)1 020°.
【解】 (1)420°＝360°＋60°， 而60°角是第一象限角，故420°是第一象限角． (2)－510°＝－2×360°＋210°， 而210°是第三象限角，故－510°是第三象限角． (3)用1 020°除以360°的商为2，余数为300°， 即1 020°＝2×360°＋300°， 而300°是第四象限角，故1 020°是第四象限角．
1.1.1任意角
第四象限角 0
α
x
0
角α始边
第三象限角
平面直角坐标系
定义：我们使角的顶点与原点重合，角的 始边与X轴的非负半轴重合。那么，角的 终边在第几象限，我们就说这个角是第几 象限角。
练习1：锐角、钝角分别是第几象限角？第一 象限角一定是锐角吗？第四象限角一定是负 角吗？（口答）
练习2： 作出下列各角，并指出它们是第几象限角。 ⑴420°⑵-75°⑶-32° ⑷-392°⑸328°⑹-752°
是按相反方向旋转的.一般地，一条射线 绕其端点旋转，既可以按逆时针方向旋 转，也可以按顺时针方向旋转.你认为将 一条射线绕其端点按逆时针方向旋转600 所形成的角，与按顺时针方向旋转600所 形成的角是否相等？
【角的概念的推广】 逆时针旋转： 正角 负角 顺时针旋转： 零角 不发生旋转：
注意：
B
正角
o o o o
例2
写出终边在y轴上的角的集合。
• 解：终边落在ｙ轴非负半轴上的角的集合为 S1={β| β=90°+k∙360°， k∈Z} ={β| β=90°+2k∙180°,k∈Z} ｛偶数｝∪｛奇数｝ ={β| β=90°+180° 的偶数倍} ＝｛整数｝ 终边落在ｙ轴非正半轴上的角的集合为 S2={β| β=270°+k∙360°,k∈Z} 90°+k∙360° ={β| β=90°+180°+2K∙180°,K∈Z} y ={β| β=90°+（2K+1）180° ，K∈Z} ={β| β=90°+180°的奇数倍} 所以，终边落在ｙ轴上的角的集合为 0 x S=S1∪S2 ={β| β=90°+180° 的偶数倍} ∪{β| β=90°+180° 的奇数倍} ={β| β=90°+180° 的整数倍} 270°+k∙360° ={β| β=90°+K∙180° ，K∈Z}
高中数学必修四：1.1.1《任意角》 PPT课件 图文
精讲领学
例题1 写出与下列各角终边相同的角的集合S，并把S中在 360~720范围的角写出来.
( 1 ) 6 0 ;( 2 ) 2 1 ;( 3 ) 3 6 3 1 4
解: ( 1 ) S {| k 3 6 0 6 0 , k Z }300,60,420
( 2 ) S {| k 3 6 0 2 1 , k Z }21,339,699
2、下列角中终边与330°相同的角是（ ） A．30° B．-30° C．630° D．-630°
3、把－1485°转化为α＋k·360° （0°≤α＜360°, k∈Z）的形式是（ ） A．45°－4×360° B．－45°－4×360° C．－45°－5×360° D．315°－5×360°
反馈固学
1.1.1 任意角
第一课时
（1）推广角的概念；理解并掌握正角、负角、零角的定义； （2）理解任意角以及象限角的概念； （3）掌握所有与角终边相同的角（包括角）的表示方法； （4）树立运动变化观点，深刻理解推广后的角的概念；
思考：那么工人在拧紧或拧松螺丝时，转动的角度 如何表示才比较合适？
逆时 针
4、下列结论中正确的是( ) A.小于90°的角是锐角 B.第二象限的角是钝角 C.相等的角终边一定相同 D.终边相同的角一定相等
5：任意两个角的数量大小可以相加、相减.
例如50°＋80°=130°, 50°－80°=－30°， 你能解释一下这两个式子的几何意义吗？
130°是以50°角的终边为始边，逆时针旋转80°所成的角. －30°是以50°角的终边为始边，顺时针旋转80°所成的角.
注3：(1) 为任意角 (2) k Z这一条件必不可少；
(3) 终边相同的角不一定相等， 终边相等的角有无数多个，它们相差3600的整数倍.
1.1.1 任意角 课件
={β|β=90°+K∙180°，K∈Z}.
课后练习：
终边落在各坐标轴上的角的集合
（1）终边落在x轴的正半轴上的角的集合： （2）终边落在y轴的正半轴上的角的集合：
例3 写出终边在直线y=x上的角的集合S,并把 S中适合不等式-360°≤ β＜720°的元素β写 出来.
Y
解：在0°～360°范围内，终边落在直线 y=x的角有两个：45°，225°.因此终边 落在直线y=x上的角的集合为：
45 O 225
X
S 45 k 360 , k Z 225 k 360 , k Z
45 n 180 , n Z
45 2 180 315
S中适合-360°≤ β＜720°的元素是：
S2={β| β=270°+K∙360°,K∈Z}
={β| β=90°+180°+2K∙180°,K∈Z} ={β| β=90°+（2K+1）180°,K∈Z} ={β| β=90°+180°的奇数倍}.
所以，终边落在y轴上的角的集合为
S=S1∪S2
={β|β=90°+180°的偶数倍}
∪{β|β=90°+180°的奇数倍} ={β|β=90°+180°的整数倍}
终边落在第几象限就是第几象限角
3 . 终边与 角ａ相同的角
＋K· 0，K∈Z 360
九、课后练习
练习：P5：3(1)(2),4(2), 5(2) 作业：习题1.1 A组: 1、2、3
一、角的定义
新的定义：平面内一条射线绕着端点从一个位置 旋转到另一个位置所成的图形叫做角.
必修四 第一章 三角函数 1.1.1任意角
练习
☼ 打开水龙头形成的角是正角吗？ ☼ 经过两个小时，时针上的时针旋转了多少度？
是正角 -600
☼ 与-4630角终边相同的角是（
A、3600K+1030,K∈Z C、3600K+4630,K∈Z
）
B、3600K+2570,K∈ Z B D、3600K-2570,K∈Z
☼ 若α是第四象限角，则下列是第一象限角的是（ ） A、α+1800 B、α+2700 C、α-1800 D、α-2700
0
终边相同的角
一般地，我们有： 所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合 S={β|β=α+3600k,k∈Z}， 即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整个周角的 和。
☼ 一个具体的角，对应一个终边
☼ 一个终边对应无数个角，它们圈数、方向有区别
☼ 分两步确定一个角：代表角+方向和圈数
象限角
为了方便，我们将角放在直角坐标系中研究 ☼ 让角的“始边”与x轴“非负半轴”重合，那么，角的终边在第几象限，我们就说这个角是第 几“象限角(quadrant angle)”。 画出一个第二象限角 ☼ 象限角有几种？ 四种，一、二、三、四象限角。 ☼ 直角坐标系内，只有象限角吗？
终边落在坐标轴上时——轴角。
生活中的角
你能举出生活中超过360o的例子吗？
用什么来区分 这种不同方向 的角呢？ 顺时针 逆时针
角的概念推广
通过刚才的试验，我们发现：要准确的描述角，除了给定 大小，还需要给定方向！ 正角(positive angle)：按逆时针方向旋转形成的角 负角(negative angle)：按顺时针方向旋转形成的角 零角(zero angle)：一条射线没作任何旋转
高中数学 必修四 1.1.1任意角和弧度制
又k∈Z，故所求的最大负角为β=-50°. (2)由360°≤10 030°+k·360°<720°， 得-9670°≤k·360°<-9310°，又k∈Z，解得k=-26. 故所求的角为β=670°.
【方法技巧】 1.在0°到360°范围内找与给定角终边相同的角的方法 (1)一般地，可以将所给的角α 化成k·360°+β 的形式(其中 0°≤β <360°，k∈Z)，其中的β 就是所求的角. (2)如果所给的角的绝对值不是很大，可以通过如下方法完成：当所 给角是负角时，采用连续加360°的方式；当所给角是正角时，采用 连续减360°的方式，直到所得结果达到要求为止.
4.将35°角的终边按顺时针方向旋转60°所得的角度数为_______， 将35°角的终边按逆时针方向旋转两周后的角度数________. 【解析】将35°角的终边按顺时针方向旋转60°所得的角为35°60°=-25°，将35°角的终边按逆时针方向旋转两周后的角为 35°+2×360°=755°. 答案：-25° 755°
【解析】(1)错误.终边与始边重合的角是k·360°(k∈Z)，不一定 是零角. (2)错误.如-10°与350°终边相同，但是不相等. (3)错误.如-330°角是第一象限角，但它是负角. (4)错误.终边在x轴上的角不属于任何象限. 答案：(1)× (2)× (3)× (4)×
2.下列各组角中，终边不相同的是( )
2.判断角的概念问题的关键与技巧 (1)关键：正确理解象限角与锐角、直角、钝角、平角、周角等概念. (2)技巧：判断一种说法正确需要证明，而判断一种说法错误只要举 出反例即可.
【变式训练】射线OA绕端点O顺时针旋转80°到OB位置，接着逆时针 旋转250°到OC位置，然后再顺时针旋转270°到OD位置，则 ∠AOD=________.
1.1.1任意角
角．
2．已知角的顶点与坐标系原点重合，始边
落在x轴的正半轴上，作出下列各角，并指
出它们是哪个象限的角？
(1)420º ，(2) －75º ，(3)3855º ，(4) －510º ． 答：(1)第一象限角； (2)第四象限角，
(3)第二象限角，
(4)第三象限角.
3. 写出与下列各角终边相同的角的集合， 并把集合中适合不等式－720º≤β <360º的 元素β 写出来。 （1）1303º18’ (2)-225º
3. 终边相同的角的关系
所有与终边相同的角连同在内可以构 成一个集合：{β| β=α+k·360º}(k∈Z).
练习题
1．锐角是第几象限的角？第一象限的角是 否都是锐角？小于90º 的角是锐角吗？区间 (0º )内的角是锐角吗？ ,90º 答：锐角是第一象限角；第一象限角不一定 是锐角；小于90º 的角可能是零角或负角，故 它不一定是锐角；区间(0º )内的角是锐 ,90º
定义1. 任意角
⑴“旋转”形成角 一条射线由原来的位置OA，绕着它的端点O 按逆时针方向旋转到另一位置OB，就形成角 α． 始边，终边，顶点． ⑵“正角”与“负角”、“0º角” 我们把按逆时针方向旋转所形成的角叫 做正角，把按顺时针方向旋转所形成的角叫做 负角。
定义2．“象限角”
角的顶点重合于坐标原点， 角的始边重合于x轴的正半轴， 这样一来，角的终边落在第几 象限，我们就说这个角是第几 象限的角（角的终边落在坐标 轴上，则此角不属于任何一β=α±90o
C β=k· o+90o+α,k∈Z 360
D β=k· o±90o+α, k∈Z 360
9. 若90º <β<α<135º ，则α－β的范围是 (0º ) ,45º (180º ,270º ) __________，α+β的范围是___________;
高中数学必修四 第一章三角函数 1.1.1 任意角
2.角α,β的终边相同,α与β不一定相等 剖析因为角α,β的终边相同,所以将角α终边旋转(逆时针或顺时 针)k(k∈Z)周可得角β,所以角α,β的数量关系为β=k·360°+α(k∈Z), 即角α,β的大小相差360°的k(k∈Z)倍,因此α与β不一定相等.
3.锐角、0°~90°的角、小于90°的角、第一象限的角的区别 剖析:受初中所学角的影响,往往在解决问题时,考虑的角仅仅停 留在锐角、直角、钝角上.将角扩展到任意角后,可用集合的观点 来区别上述各类角. 锐角的集合可表示为{α|0°<α<90°}; 0°~90°的角的集合可表示为{α|0°≤α<90°}; 小于90°的角的集合可表示为{α|α<90°},其中包括锐角和零角 以及所有的负角; 第一象限的角的集合可表示为 {α|k·360°<α<k·360°+90°,k∈Z},其中有正角,也有负角.
0°<α<90°
第一象限
90°
y 轴非负半轴
90°<α<180°
第二象限
180°
x 轴非正半轴
α 的范围 180°<α<270°
α 终边的位置 第三象限
270°
y 轴非正半轴
270°<α<360°
第四象限
(2)当α<0°或α≥360°时,将α化为 k·360°+β(k∈Z,0°≤β<360°),转化为判断角β的终边所在的位置.
名师点拨要正确区分易混的概念,如锐角一定是第一象限的角,而 第一象限的角不全是锐角,如-350°,730°都是第一象限角,但它们 都不是锐角.
典型例题
题型一
判断象限角
【例1】 在0°~360°之间,求出一个与下列各角终边相同的角,
高中数学人教A版必修四1.1.1【教学课件】《任意角》
|必修四
【解析】①0°～90°的角是指[0°，90°)，0°角不属于任何象 限，所以①不正确。 ②120° 是 第 二 象 限 角 ， 390° 是 第 一 象 限 角 ， 显 然 390°>120°，所以②不正确。 ③钝角的范围是(90°，180°)，显然是第二象限角，所以③ 正确。 ④锐角的范围是(0°，90°)，小于 90°的角也可以是零角或 负角，所以④不正确。
畅言教育
人民教育出版社
|必修四
2．对终边相同的角的概念的理解 (1)角α 是任意角。 (2)k·360°与α 之间用“＋”号，k·360°－α 可理解为k·360°＋(－α )，k∈Z
(3)终边相同的角不一定相等，但相等的角终边一定相同。
(4)终边相同的角有无数多个，它们相差360°的整数倍。 (5)终边相同的角的应用： ①利用与角α 终边相同的角的集合，可把任意与角α 终边相同的角β 转化成 β ＝α ＋k·360°，k∈Z ， 0°≤α <360°的形式；
畅言教育
人民教育出版社
|必修四
2．与 30°角终边相同的角的集合是( A ) A．{α |α ＝30°＋k·360°，k∈Z} B．{α |α ＝－30°＋k·360°，k∈Z} C．{α |α ＝30°＋k·180°，k∈Z} D．{α |α ＝－30°＋k·180°，k∈Z}
解析： 由终边相同的角的定义可知与 30°角终边相同的角的集合 是{α |α ＝30°＋k·360°，k∈Z} 答案：A
1.1.1任意角赛课获奖课件公开课一等奖课件省赛课获奖课件
注意下列四点：
(1) k Z
(2) 是任意角；
(3) k 3600与之间是“+”号， 如k 3600-30°，应看成 k 3600+(-30°)
(4)终边相似的角不一定相等，但相等 的角，终边一定相似，终边相似的角 有无数多个，它们相差360°的整数倍．
例1. 在0º到360º范畴内，找出与下列各角终边 相似的角，并判断它是哪个象限的角.
例2终边在y轴正半轴上角的集合 ｛β︱β= 900 +k·360°,k∈Z｝
终边在y轴负半轴上角的集合 ｛β︱β= 2700+k·360°,k∈Z｝ 或｛β︱β= -900+k·360°,k∈Z｝
变式训练 写出终边落在y轴上的角的集合。
• 解：终边落在ｙ轴正半轴上的角的集合为
S1={β| β=900+k∙3600,k∈Z}
4.培养学生用运动变化的观点审 视事物;通过与数的类比,理解正 角、负角和零角,让学生感受图 形的对称美、运动美 教学重点: 1.任意角的概念，象限角的概念 2.掌握终边相似的角的表达办法 及鉴定
教学难点: 把终边相似的角用集合和符号语言 对的地表达出来
突破办法：
在平面内建立适宜的坐标系，通过数 形结合来认识角的几何表达和终边相 同的角集合
小结作业
1.角的概念推广后，角的大小能够任意取值. 把角放在直角坐标系中进行研究，对于一种 给定的角，都有唯一的一条终边与之对应， 并使得角含有代数和几何双重意义.
2.终边相似的角有无数个，在0°～360°范畴 内与已知角β终边相似的角有且只有一种. 用 β除以360°，若所得的商为k，余数为α（α 必须是正数），则α即为所找的角.
1.掌握终边相似的角的 表达办法及鉴定 2.注意： 00到900的角； 00～3600的角； 第一象限角；锐角； 不大于900的角的区别
九年级【数学】1.1.1《任意角的概念》课件(新人教A版必修4)---初级版
特别地，当一条射线没有作任何旋转时， 我们也认为这时形成了一个角，并把这个角 叫做零度角（0º）．
角的记法：角α或可以简记成∠α.
⑶角的概念扩展的意义：
用“旋转”定义角之后，角的范围大大地扩大 了
① 角有正负之分; 如：=210, = 150, =660.
② 角可以任意大; 实例：体操动作：旋转2周（360×2=720）
3周（360×3=1080） ③ 还有零角, 一条射线，没有旋转.
角的概念推广以后，它包括任意大小的正 角、负角和零角．
要注意，正角和负角是表示具有相反意义 的旋转量，它的正负规定纯属于习惯，就好象 与正数、负数的规定一样，零角无正负，就好 象数零无正负一样．
用旋转来描述角，需要注意三个要素（旋 转中心、旋转方向和旋转量）
5 、已知角2α的终边在x轴的上方，那么α是
( C) A 第一象限角
B 第一、二象限角
C 第一、三象限角 D 第一、四象限角
6、若α是第四象限角，则180º－α是（ ）
A C第一象限角
B 第二象限角
C 坐标系中，若α与β终边互相垂直， 那么α与β之间的关系是（ ） D
(1) 60º；(2) －21º；(3) 363º14′.
解：(1) S={β| β=k·360º+60º(k∈Z) }, S中在－360º～720º间的角是 －1×360º+60º=－280º； 0×360º+60º=60º； 1×360º+60º=420º．
(2) S={β| β=k·360º－21º(k∈Z) } S中在－360º～720º间的角是 0×360º－21º=－21º； 1×360º－21º=339º； 2×360º－21º=699º．
1.1.1任意角1
角
任意角
为了讨论问题的方便 我们常将角放入直角 , 坐标系 :
ห้องสมุดไป่ตู้
(1)使角的顶点与原点重合始边与x轴非负 , 半轴重合;
( 2)角的终边在第几象限 就说这个角是第 , 几象限角 ;
( 3)角的终边在坐标轴上就说这个角不属 , 于任何象限.
新课讲解
一般地, 所有与角终边相同的角 连同角 ,
新课引入
初中角的有关概念 :
(1)平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转 到另一个位置所成的图形;
G S P
(2)范围 都在 : 0 ~ 360 .
实际使用中的角 : 既要知道旋转量, 又要知道旋 转方向.
新课讲解
规定 : (1)按逆时针方向旋转形成 的角叫做正角 ; ( 2)按顺时针方向旋转形成 的角叫做负角 ; ( 3)若射线没有作任何旋转则形成零角 , .
在内, 可构成一个集合
S | k 360 , k Z
0
即任一与角 终边相同的角 都可以表示成 , 角 与整数个周角的和 .
例1、在0 ~ 360 范围内, 找出与 950 12' 角
0 0 0
终边相同的角 并判定它是第几象限角 , .
例2、写出终边在 轴上的角的集合 y .
G S P
新课讲解
例 3、写出终边在直线 x上的角的集合 , y S 并把S中适合不等式 360 720 的元
0 0
素 写出来.
G S P
总结作业
１．自己小结 ２．课本5页练习第３， ４，５题
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• 1.1 任意角和弧度制 • 1.1.1 任意角
2
目标定位 重点难点 1.了解角的概念的推广过 重点：理解任意角 程 的概念 2.理解任意角的概念 难点：认识终边相 同的角并会简单 3.认识终边相同的角并会 表示 简单表示
3
• 1．角的分类 • (1)按角的旋转方向分类 逆时针 正角 • ①按________方向旋转形成的角，规定为 顺时针 负角 ________ ． 零角 • ②按________方向旋转形成的角，规定为 ________． 象限 • ③当一条射线没有作任何旋转时，规定为 坐标轴 ________．
6
• 2．射线OA绕端点O逆时针旋转120°到达OB 位置，由OB位置顺时针旋转270°到达OC位 置，则∠AOC＝( ) • A．150° B．－150° • C．390° D．－390° • 【答案】B
7
• 3．下列说法正确的个数是( ) • ①小于90°的角是锐角；②钝角一定大于第 一象限的角；③第二象限的角一定大于第一 象限的角；④始边与终边重合的角为0°. • A．0 B．1 • C．2 D．3 • 【答案】A
14
• 【答案】D • 【解析】对于A，例如460°是第二象限角， 但不是钝角，故A错；对于B，例如460°是 第二象限角，190°是第三象限角，但460° ＞190°，故B错；对于C，－831°＝－ 360°×3＋249°是第三象限的角，故C错； 对于D,984°40′＝－95°20′＋3×360°， 264°40′＝－95°20′＋360°，故D对．故选 D.
12
• • • • •
(2015年陕西咸阳期末)角－1 120°是( ) A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 【答案】D 【解析】∵－1 120°＝－4×360°＋ 320°，∴角－1 120°在第四象限．故选D.
13
• 终边相同的角的运用
• 【例2】 (2015年宁夏银川校级期末)下列说 法中，正确的是( ) • A．第二象限的角是钝角 • B．第三象限的角必大于第二象限的角 • C．－831°是第二象限角 • D．－95°20′，984°40′，264°40′是终边相 同的角 • 【解题探究】解决角的终边所在的象限问 题，一般利用与α终边相同的角的集合公式．
19
• 【温馨提示】表示区间角的三个步骤 • 第一步：先按逆时针的方向找到区域的起始 和终止边界； • 第二步：按由小到大分别标出起始和终止边 界对应的0°～360°范围内的角α和β，写出 最简区间{x|α＜x＜β}； • 第三步：起始、终止边界对应角α，β再加上 360°的整数倍，即得区间角集合．
15
• 【方法规律】记住终边相同角常用的三个结 论 • (1)终边相同的角之间相差360°的整数倍． • (2)终边在同一直线上的角之间相差180°的 整数倍． • (3)终边在相互垂直的两直线上的角之间相差 90°的奇数倍．
16
•
• • • •
(2015年福建莆田校级期末)在－ 360°～0°范围内与角1 250°终边相同的角 是( ) A．－210° B．－150° C．－190° D．－170° 【答案】C 【解析】与1 250°终边相同的角的集合为 {α|α＝1 250°＋k•360°，k∈Z}，取k＝－ 4，得α＝1 250°－1 440°＝－190°.∴在－ 360°～0°范围内与角1 250°终边相同的角 是－190°.故选C.
20
•
已知角α的终边在如图所示的阴影 部分内(包括边界)，试指出角α的取值范围．
17
• 区间角的表示 • 【例3】 已知角α的终边落在 阴影所表示的范围内(包括边界)， 试写出角α的集合．
【解题探究】写出满足条件的 结合终边相同的 0° ～360° 范围内的角→ 角表示出区间角
18
• 【解析】在0°～360°范围内，终边落在阴 影内的角为90°≤α≤135°或270°≤α≤315°. • 所以终边落在阴影所表示的范围内的角α的集 合360°， k∈Z}∪ • {α|270°＋k·360°≤α≤315°＋k·360°， k∈Z} • ＝{α|90°＋2k·180°≤α≤135°＋2k·180°， k∈Z}∪{α|90°＋(2k＋1)·180°≤α≤135°＋ (2k＋1)·180°，k∈Z}＝{α|90°＋
8
• 4．下列各角中，与60°角终边相同的角是 ( ) • A．－300° B．－60° • C．600° D．1 380° • 【答案】A
9
• 象限角的判定 • 【例1】 已知角的顶点与坐标原点重合，始 边落在x轴的非负半轴上，作出下列各角，并 指出它们是第几象限的角． • (1)－75°；(2)855°；(3)－510°. • 【解题探究】画出平面直角坐标系，作出相 应角，判断出相应象限．
10
【解析】作出各角，其对应的终边如图所示．
(1)由图可知－75° 是第四象限的角． (2)由图可知 855° 是第二象限的角． (3)由图可知－510° 是第三象限的角．
11
• 【方法规律】象限角的判定方法 • (1)根据图象判定．利用图象实际操作时，依 据是终边相同的角的概念，因为0°～360° 之间的角与坐标系中的射线可建立一一对应 的关系． • (2)将角转化到0°～360°范围内．在直角坐 标平面内，在0°～360°范围内没有两个角 终边是相同的．
4
• 2．终边相同的角 • 所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可 构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°， k∈Z}，即任一与角α整数个周角 终边相同的角，都可以 表示成角α与_______________的和．
5
• 1．想一想 • (1)理解角的概念要把握哪些要素？ • (2)象限角与终边落在坐标轴上的角表示形式 唯一吗？ • 【解析】(1)顶点、始边、终边． • (2)不唯一．如：终边落在y轴的非正半轴上 的角的集合也可以表示为{α|α＝k·360°－ 90°，k∈Z}．