人教新课标九年级初三数学下册28.2.5解直角三角形的应用(方位角)
人教版九年级数学下册:28.2解直角三角形的应用(教案)
1.理论介绍:首先,我们要了解锐角三角函数的基本概念。锐角三角函数是指在直角三角形中,锐角的正弦、余弦和正切值。它们是解决直角三角形问题的关键,广泛应用于工程测量、建筑设计等领域。
2.案例分析:接下来,我们来看一个具ห้องสมุดไป่ตู้的案例。这个案例展示了如何利用锐角三角函数测量建筑物的高度,以及它如何帮助我们解决问题。
3.成果展示:每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。
(四)学生小组讨论(用时10分钟)
1.讨论主题:学生将围绕“解直角三角形在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法,并与其他小组成员进行交流。
2.引导与启发:在讨论过程中,我将作为一个引导者,帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考。
-正弦、余弦、正切函数的定义及图形表示;
-锐角三角函数在解直角三角形中的应用,特别是如何根据已知信息求解未知边或角;
-实际问题中的直角三角形求解,如测量物体高度、计算角度等。
举例:在求解直角三角形的问题中,重点在于让学生掌握如何使用正弦、余弦、正切函数,以及如何将实际问题转化为数学模型。
2.教学难点
4.在课堂总结环节,学生对本节课的知识点掌握程度较好,但仍有个别学生存在疑问。我意识到,在课后需要关注这部分学生的辅导,确保他们能够跟上教学进度。
5.本次教学中,我尽量采用生动形象的语言和丰富的教学手段,以提高学生的学习兴趣。但从学生的反馈来看,仍有改进空间。在今后的教学中,我将尝试更多有趣的教学方法,激发学生的学习热情。
人教版九年级数学下册:28.2解直角三角形的应用(教案)
一、教学内容
人教版九年级数学下册:28.2解直角三角形的应用。本节课我们将围绕以下内容进行教学:
人教版九年级下册数学 28.2.2解直角三角形的应用举例 例5 航海——方位角(共18张PPT)
险区。这渔船如果继续向东追赶鱼群,有没有进入危险 将实际问题抽象为数学问题(画出平面图形,转化为解直角三角形的问题);
方位角
区的可能? (3)边角之间的关系:
某社会实践活动小组实地测量两岸互相平行的一段河的宽度,在河的南岸边点A处,测得河的北岸边点B在其北偏东45°方向,然后向
的速度沿西偏北30°方向前进,乙船以每小时15千米的速度沿东北 方向前进,甲船航行2小时到达C处,此时甲船发现渔具丢在乙船上, 于是甲船快速(匀速)沿北偏东75°的方向追赶,结果两船在B处 相遇。 (1)甲船从C处追赶上乙船用了多长时间? (2)甲船追赶乙船的速度北是每小时多少千米?
B
D
C 75°
45°
西走60米到达C点,测得点B在点C的北偏东60°方向。 这渔船如果继续向东追赶鱼群,有没有进入危险区的可能?
C
为有效开发海洋资源,保护海洋权益,我国对南海诸岛
2解直角三角形的应用举例
北 为有效开发海洋资源,保护海洋权益,我国对南海诸岛
进行了全面调查,一测量船在A岛测得B岛2解直角三角形的应用举例 航海问题——方位角
北 M东
B
A
D
N
解直角三角形的依据
(1)三边之间的关系: (2)锐角之间的关系:
(3)边角之间的关系:
B
c a
A
bC
仰角俯角
A
?
E 34
F
18
D
10米
B
方位角
北
C
西
O
B
东
南
利用锐角三角函数解决航海问题
如图,一艘海伦位于灯塔P的北偏东65°方向,距离灯 塔80海里的A处,它沿正南方向航行一段时间后,到达 位于灯塔P的南偏东34°方向的B处。这时,B处距离 灯塔P有多远?(结果取整数)(cos25°=0.9063, sin34°=0.5291, )
解直角三角形的应用举例(方位角)
交BD的延长线于点F,垂足为F, ∠AFD=90° 由题意图示可知∠DAF=30°
设DF= x , AD=2x 则在Rt△ADF中,根据勾股定理
AF AD2 DF 2 2x2 x2 3x
在Rt△ABF中,
tan ABF AF BF
解得x=6
60° B
A
DF 30°
10.4 > 8没有触礁危险
布置作业:
(一)巩固练习:课本79页拓广探索10 (二)提高、拓展练习: 1、如图,已知MN表示某引水工程的一段设计路线,从M到N的走向为南 偏东30°,在M的南偏东60°方向上有一点A,以A为圆心,500m为半径的 圆形区域为居民区。取MN上另一点B,测得BA的方向为南偏东75°.已知 MB=400m,通过计算回答,如果不改变方向,输水线路是否会穿过居民区?
新人教版九年级数学(下册)第二十八章
§28.2 解直角三角形(2)
湖北省十堰市房县七河中学 刘成
学习目标
1
了解方位角的命名特点,能准确把握
所指的方位角是指哪一个角。
2 能利用解直角三角形的方法解决方
位角问题
情景导入
画出方向图(表示东南西北四个方向的)并依 次画表示东南方向、西北方向、北偏东65度、 南偏东34度方向的射线.
巩固练习:2、海中有一个小岛A,它的周围8n mile范围内有暗礁,渔船跟 踪鱼群由西向东航行,在B点测得小岛A在北偏东60°方向上,航行12n mile到达D点,这时测得小岛A在北偏东30°方向上,如果渔船不改变航线 继续向东航行,有没有触礁的危险?
A
60°
B 12
30°
DF
解:由点A作BD的垂线
A
=80×cos25° ≈80×0.91
人教版数学九年级下册第28章28.2-解直角三角形及其应用
课堂小结
解 直 角 三 角 形
依据
勾股定理 两锐角互余 锐角的三角函数
解法:只要知道五个元素中的两个元素(至 少有一个是边),就可以求出余下的三个未 知元素
对接中考
对接中考
H
对接中考
A
B
C
对接中考
A
B
C D
对接中考
B
CD
A
对接中考
B
C D
A
课后作业 请完成课本后习题第1题.
12 、能者上,庸者下,平者让。谁砸企业的牌子,企业就砸谁的饭碗。 19 、生活中的许多事,并不是我们不能做到,而是我们不相信能够做到。 5 、当你手中抓住一件东西不放时,你只能拥有一件东西,如果你肯放手,你就有机会选择更多。( ) 1 、生活是一面镜子。你对它笑,它就对你笑;你对它哭,它也对你哭。 17 、再长的路,一步步也能走完,再短的路,不迈开双脚也无法到达。 17 、忍耐力较诸脑力,尤胜一筹。 15 、如果你不给自己烦恼,别人也永远不可能给你烦恼。因为你自己的内心,你放不下。 19 、你不能左右天气,但可以改变心情。你不能改变容貌,但可以掌握自己。你不能预见明天,但可以珍惜今天。 7 、如果我们投一辈子石块,即使闭着眼睛,也肯定有一次击中成功。 1 、生活是一面镜子。你对它笑,它就对你笑;你对它哭,它也对你哭。 19 、经营信为本,买卖礼当先。心态决定成败,有志者事竟成。 10 、人生有顺境也有逆境,输什么也不能输了心情;人生有进有退,输什么也不要输掉自己。 7 、成功在于好的心态与坚持,心态决定状态,心胸决定格局,眼界决定境界。 7 、喜欢一个人不是回复他每条动态,而是研究下面可疑的评论。 13 、用冷静的目光去看待人世间的一切,才能活得坦荡,活得超然。 6 、人的一生要面临许多选择,而每次选择都会带来一阵阵剧痛,而这种剧痛叫做成长。 12 、天下没有免费的午餐,一切成功都要靠自己的努力去争取。机会需要把握,也需要创造。 6 、大部分人往往对已经失去的机遇捶胸顿足,却对眼前的机遇熟视无睹。 16 、并不是先有了勇气才敢于说话,而是在说话的同时培养了勇气。 13 、不要在你的智慧中夹杂着傲慢,不要使你的谦虚心缺乏智慧。 12 、你希望别人怎样对待自己,你首先应该怎样来对待别人。
人教初中数学九年级下册28-2 解直角三角形及其应用(教学设计)
师:尝试写出∠A 的三角函数。
生:∠A 的正弦值:sin A=∠A 所对的边斜边= ac∠A 的余弦值:cos A= ∠A 所邻的边斜边= bc∠A 的正切值:tan A=∠A 所对的边邻边= ab师:将 30°、45°、60°角的正弦值、余弦值和正切值填入下表:生:变式1-1 在Rt △ABC 中,∠C =90°,a = 30, b = 20,根据条件解直角三角形.变式1-2 在△ABC 中,∠C =90∘, AB =6, cosA =13,则AC 等于( )A .18B .2C .12D .118变式1-3在Rt △ABC 中,斜边AB 的长为m ,∠A =35°,则直角边BC 的长是( ) A .msin35° B .mcos35° C .m sin35°D .mcos35°变式1-4 如图,在Rt △ABC 中,∠C=90°,∠B=35° ,b=20,解这个直角三角形(结果保留小数点后一位). 变式1-5 如图,太阳光线与水平线成70°角,窗子高AB =2米, 要在窗子外面上方0.2米的点D 处安装水平遮阳板DC ,使光线不 能直接射入室内,则遮阳板DC 的长度至少是( ) A .2tan70°米 B .2sin70°米 C .2.2tan70°米 D .2.2cos70°米平线下方的叫做俯角。
指南或指北的方向线与目标方向线构成小于900的角,叫做方位角. 师:尝试说出A,B关于坐标原点O的位置?生:点A位于点O北偏东30°位置,点B位于点O南偏西45°位置[多媒体展示]热气球的探测器显示,从热气球看一栋高楼顶部的仰角为30°,看这栋高楼底部的俯角为60°,热气球与高楼的水平距离为120m,这栋高楼有多高(结果精确到0.1m)。
数学人教版九年级下册28.2.2解直角三角形及其应用(方向角)
课题:28.2.2 解直角三角形 应用举例------方向角
黄山市屯溪第五中学:胡智宁
一、知识回顾
方向角的定义: 指南或指北方向线与目标方向线所 成的小于90°的角叫做方向角。
认识方向角
北 D E 45° 45°
(1)正东,正南,正西,正北
射线OA、OB、OC、OD H
(2)西北方向:_________ 射线OE
西南方向:_________ 射线OF 东
西
C O A
射线OG 东南方向:_________ F
B 南
G
东北方向:_________ 射线OH
认识方向角
北 D B 西 70° O 60° C 25° 北偏东50° A 南 50° (3)南偏西25°
北偏西70°
30°
A
60°
B
12
D
F
四、总结归纳
将实际问题抽象为数学问题 寻找、构造直角三角形
选用适当的锐角三
角函数解直角三角形
得出实际问题的答案
五、课后延伸
六、课后作业
基础训练P89----91页相应练习
谢谢大家!
P
65°
A
∟ C
∴PC=AP·cos ∠APC= 80 ×cos25°≈72.505 ∵AB∥MN, ∠BPN=34 º
34°
∴ ∠B=∠BPN=34 º
N
B
因此,当海轮到达位于灯塔P 的南偏东34°方向时,它距离 灯塔P 大约130海里。
2、如图,某日在我国钓鱼岛附近海域有两艘自西 向东航行的海监船A和B,B船在A船的正东方向,且两船 保持20海里的距离。某一时刻两海监船同时测得在A的东 北方向,B的北偏东15°方向有一艘我国渔政执法船C。 求此时船C与船B的距离是多少?(结果保留根号)
人教版九年级下册数学:第28章 28.2.2解直角三角形的应用 (2)方位角、坡度坡比
达标测试
1.如图,C岛在A岛的北偏东50°方 向,C岛在B岛的北偏西40°方向,则从C
岛看A,B两岛的视角∠ACB等于 90° 。 50°
40° 50° 40°
2、如下图,在一次数学课外活动中,测得电线杆底部B与 钢缆固定点O的距离为4米,钢缆与地面的夹角∠BOA为60º,则 这条钢缆在电线杆上的固定点A到地面的距离AB是多少米.
tanα= 1 = 3 33
∴α=30°
240
C
1: 3
?
A?
B
在Rt△ABC中,∠B=90°,∠A=30°,AC=240m
∴ sinα= BC = BC
AC 240
∴ BC=240×sin30°=120(m)
答:这座山坡的坡角为30°,小刚上升了120m.
【例4 】水库大坝的横断面是梯形,坝顶宽6m,坝高23m,
北
PC=PA·cos(90°-65°)=80×cos25°
≈80×0.91 =72.8
65°
在Rt△BPC中,∠B=34°
西
P
∵ sinB = PC
PB
34°
∴
PB
=
PC sinB
=
72.8 sin340
≈
72.8 0.559
≈130.23(海里)
南
?
当海轮到达位于灯塔P的南偏东34°
方向时,它距离灯塔P大约130.23海里。
45° 南
45° 45°
西南
(南偏西45°)
南
东南
(南偏东45°)
典例精析
【例1】如图,一艘海轮位于灯塔P的北偏东65°方向,距
离灯塔80海里的A处,它沿正南方向航行一段时间后,到达位
数学人教版九年级下册解直角三角形及其应用——方位角
解直角三角形及其应用——方位角和坡度问题在前面我们学习了直角三角形及其应用关于仰角和俯角的问题,我们在解决这类实际问题的时候,首先是要画出平面图形,然后转化为解直角三角形。
那我们今天继续进行解直角三角形及其应用的学习。
现在请看问题1:问题1:一艘轮船在大海上航行,当航行到A处时,观测到小岛B的方向是北偏西35°,那么同时从B处观测到轮船在什么方向?若轮船从A处继续往正西方向航行到C处,此时,C 处位于小岛B 的南偏西40°方向,你能确定C的位置吗?试画图说明.1当航行到A处时,观测到小岛B的方向是北偏西35°。
由这句话知谁是坐标原点?怎样建立直角坐标系?生:A是坐标原点。
上北下南左西又东。
2那么同时从B处观测到轮船在什么方向?由这句话你想到什么呢?谁是坐标原点?B还需满足什么条件?在同一图形中怎样建立直角坐标系?生:需另建立直角坐标系。
以B是坐标原点。
在A的北偏西35°3若轮船从A处继续往正西方向航行到C处,此时,C 处位于小岛 B 的南偏西40°方向,师:由这句话知轮船现在的航行路线?你能确定C的方向吗?你能确定C的具体位置吗?你是怎样想到的?生:往正西方向航行。
B是坐标原点。
正西方向与小岛B的南偏西40方向的交点,就是C点的位置。
我们经过这几个步骤,就把图形画出来了,也把这个问题解决了。
我们回过头来看看,从这个问题中我们学到了什么?生:将实际问题抽象为数学问题:画出平面图形,转化为解直角三角形的问题。
师:解决这个问题的关键就是能画出平面图形。
平面图形一经画出,所有问题就迎刃而解了。
如何画出这样的平面图形呢?生:1 找准坐标原点。
2 能准确地确定问题中提出的各个方位。
刚才同学们总结得很好,这就是今天我们要研究的第一个问题:解直角三角形的应用——方位角的问题。
出示课题。
刚才同学们都表现得非常不错,那我们再来继续下一个问题,看能不能解决呢?问题2 一艘海轮位于灯塔P 的北偏东65°方向,距离灯塔80 n mile 的 A 处,它沿正南方向航行一段时间后,到达位于灯塔P 的南偏东34°方向上的 B 处,这时, B 处距离灯塔P 有多远(结果取整数)?(1)根据题意,你能画出示意图吗?画出图形后,你想到什么呢?(用哪个知识点解决这个问题呢?)生:可以用解直角三角形的知识解决问题(2)结合题目的条件,你能确定图中哪些线段和角?求什么?怎样求?师:在图上标出已知条件,需要求的量.怎样求?抽学生回答解题思路生:AP=80n mile; ∠APC=90-65=25; ∠A=65 ; ∠B=34;AB⊥PC。
九年级数学下册28.2.2解直角三角形的简单应用第3课时利用方位角坡度角解直角三角形新人教版8
28.2.2 解直角三角形的简单应用第 3 课时利用方向角、坡度角解直角三角形知识点 1: 利用方向角解直角三角形1.如图,某人从 O点沿北偏东 30°的方向走了 20 米抵达 A 点, B 在 O点的正东方,且在 A 的正南方,则此时 AB 间的距离是 ________米. ( 结果保存根号 )2. ( 百色中考 ) 有一轮船在 A 处测得南偏东30°方向上有一小岛P,轮船沿正南方向航行至 B 处,测得小岛 P 在南偏东45°方向上,按原方向再航行10 海里到 C处,测得小岛P 在正东方向上,则A、 B 之间的距离是()A. 10 3海里 B . (102- 10) 海里C. 10 海里D . (103- 10) 海里3.( 昭通中考 ) 小亮一家在一湖泊中游乐,湖泊中有一孤岛,妈妈在孤岛P 处观看小亮与爸爸在湖中划船( 如下图 ) .小船从P 处出发,沿北偏东60°方向划行200 米到 A 处,接着向正南方向划行一段时间到 B 处.在 B 处小亮观察到妈妈所在的P 处在北偏西37°的方向上,这时小亮与妈妈相距多少米( 精准到 1 米)?( 参照数据: sin37 °≈ 0.60 ,cos37 °≈ 0.80 ,tan37 °≈ 0.75 ,2≈ 1.41 , 3 ≈1.73)知识点 2: 利用坡度 ( 角 ) 解直角三角形4. ( 聊城中考 ) 河堤横断面如下图,堤高BC= 6 米,迎水坡AB 的坡比为 1∶3,则AB的长为 ()A.12 米B.4 3米C.5 3米D.6 3米5.如图,在坡度为 1∶2的山坡上种树,要求株距 ( 相邻两树间的水平距离 ) 是 6 米,斜坡上相邻两树间的坡面距离是 ________米.6. ( 昆明中考 ) 如图,为了缓解交通拥挤,方便行人,在某街道计划修筑一座横断面为梯形 ABCD的过街天桥,若天桥斜坡 AB的坡角∠ BAD 为 35°,斜坡 CD的坡度为 i =1∶1.2( 垂直高度CE与水平宽度DE的比) ,上底BC=10 m,天桥高度CE=5 m,求天桥下底AD的长度.( 结果精准到 0.1 m ,参照数据: sin35 °≈ 0.57 , cos35 °≈ 0.82 , tan35 °≈ 0.70)中档题7. ( 铜仁中考 ) 如图,一艘轮船航行到 B 处时,测得小岛 A 在船的北偏东60°的方向,轮船从 B 处持续向正东方向航行200 海里抵达 C 处时,测得小岛 A 在船的北偏东30°的方向.已知在小岛四周170 海里内有暗礁,若轮船不改变航向持续向前行驶,试问轮船有无触礁的危险? (3≈ 1.732)8. ( 遵义中考 ) 如图,一楼房AB 后有一假山,其坡度为i =1∶3,山坡坡面上 E 点处有一歇息亭,测得假山坡脚 C 与楼房水平距离BC= 25 米,与亭子距离CE= 20 米,小丽从楼房顶测得 E 点的俯角为45°,求楼房AB 的高. ( 注:坡度i 是指坡面的铅直高度与水平宽度的比 )综合题9. ( 南充中考 ) 马航 MH370失联后,我国政府踊跃参加搜救.某日,我国两艘专业救援船 A、B 同时收到相关可疑飘荡物的讯息,如图,可疑飘荡物P 在救援船 A 的北偏东53.5 °方向上,在救援船 B 的西北方向上,船 B 在船 A 正东方向 140 海里处. ( 参照数据: sin36.5 °≈0.6 , cos36.5 °≈ 0.8 , tan36.5 °≈ 0.75)(1) 求可疑飘荡物P 到 A、B 两船所在直线的距离;(2)若救援船 A、救援船 B 分别以 40 海里 / 时,30 海里 / 时的速度同时出发,匀速直线前往搜救,试经过计算判断哪艘船先抵达P 处.参照答案1.1032.D3. 过 P作 PC⊥AB 于 C,在 Rt△ APC中, AP = 200 m ,∠ ACP = 90 °,∠ PAC = 60 °.∴ PC= 200× sin60 °= 200 ×3= 1003(m) .2PC PC100×1.73∵在 Rt△ PBC中, sin37 °=PB,∴ PB=sin37°=0.6≈288(m) .答:小亮与妈妈相距约288 米.4.A5.356. 过 B 点作 BF⊥AD于点 F.∵四边形 BFEC是矩形,∴ BF= CE= 5 m, EF= BC= 10 m.BF∵在 Rt△ ABF 中,∠ BAF= 35°, t an∠BAF=AF,BF5∴ AF=tan35°≈0.70≈7.14(m) .∵斜坡 CD的坡度为 i =1∶1.2 ,∴CE1, ED= 1.2CE=1.2 ×5= 6(m) .=ED 1.2∴AD= AF+ FE+ED= 7.14 + 10+ 6=23.14 ≈ 23.1(m) .答:天桥下底AD的长度为 23.1 m .7.该轮船不改变航向持续前行,没有触礁危险.原因如下:由题意,得∠ ABD=30°,∠ ACD= 60° .∴∠ CAB=∠ ABD,∴ BC=AC= 200 海里.在 Rt△ ACD中,设 CD= x 海里,则 AC= 2x , AD =2222= 3x. AC- CD=( 2x)-x22( 222在 Rt△ ABD中, AB= 2AD= 2 3x , BD= AB-AD=3x)-(3x)= 3x.又∵ BD= BC+ CD,∴ 3x=200+ x,解得 x=100.∴AD= 3x= 1003≈ 173.2 ,∵ 173.2 海里> 170 海里,∴轮船不改变航向持续向前行驶,轮船无触礁的危险.8.过点 E 作 EF⊥BC的延伸线于 F,EH⊥ AB于点 H ,在 Rt△ CEF中,∵ i =EF1== tan ∠ ECF,∴∠ ECF= 30° .∴EF=1CE= 10 米, CF= 10 3米. 2∴BH= EF= 10 米, HE= BF= BC+ CF= (25 +103) 米.在 Rt△ AHE中,∵∠ HAE= 45°,∴AH=HE= (25 + 10 3) 米.∴AB= AH+ HB=(35 + 103) 米.答:楼房 AB 的高为 (35 +10 3) 米.9.(1) 过点 P 作 PH⊥AB 于点 H,依据题意,得∠ PAH= 90°- 5 3.5 °= 36.5 °,∠ PBH= 45°, AB= 140 海里.设 PH= x 海里,在 Rt △ PHB中, tan45 °=x,BHx x4∴ BH=x. 在 Rt△ PHA中, tan36.5 °=,∴ AH== x.AH tan36.534又∵ AB= 140,∴3x+ x= 140,解得 x= 60,即 PH= 60.答:可疑飘荡物 P 到 A、B 两船所在直线的距离为60 海里.422(2) 在 Rt △ PHA中, AH=3× 60= 80, PA=60+ 80 =10 0.救援船 A 抵达 P 处的时间 t A=100÷40= 2.5( 小时 ) ;在 Rt△ PHB中, PB= 602+ 602= 60 2,救援船 B 抵达 P 处的时间 t B= 60 2÷ 30= 22( 小时 ) .∵2.5 < 2 2,∴救援船 A 先抵达 P 处.。
九年级数学下册28.2解直角三角形及其应用28.2.2应用举例(第2课时方向角在解直角三角形中的应用)课件
,第 8 题图)
二、填空题(共 10 分) 8.如图,在东西方向的海岸线上有 A,B 两个港口,甲货船从 A 港沿北偏东 60°的方 向以 40 海里/小时的速度出发,同时乙货船从 B 港沿西北方向出发,2 小时后相遇在点 P 处, 问乙货船每小时航行_20 2 _海里.
三、解答题(共 40 分)
C)
6.(10 分)(2014·张家界)如图,我渔政 310 船在南海海面上沿正东方向匀速航行,在 A 点观测到我渔船 C 在北偏东 60°方向的我国某传统渔场捕鱼作业.若渔政 310 船航向不变, 航行半小时后到达 B 点,观测到我渔船 C 在东北方向上.问:渔政 310 船再按原航向航行多 长时间,离渔船 C 的距离最近?(渔船 C 捕鱼时移动距离忽略不计,结果不取近似值)
-1)x,设渔政船从 B 航行到 D 需要 t 小时,则A0.B5=BtD,∴( 30-.51)x=xt ,∴( 3-1)t=
0.5,解得:t=
30-.5 1,∴t=
3+1 4
一、选择题(共 10 分) 7.(2014·苏州)如图,港口 A 在观测站 O 的正东方向,OA=4 km,某船从港口 A 出发, 沿北偏东 15°方向航行一段距离后到达 B 处,此时从观测站 O 处测得该船位于北偏东 60° 的方向,则该船航行的距离(即 AB 的长)为( C ) A.4 km B.2 3 km C.2 2 km D.( 3+1) km
解:作 CD⊥AB,交 AB 的延长线于 D,则当渔政 310 船航行到 D 处时,离渔船 C 的距
离最近,设 CD 长为 x,在 Rt△ACD 中,∵∠ACD=60°,tan∠ACD=ACDD,∴AD= 3x,
在 Rt△BCD 中,∵∠CBD=∠BCD=45°,∴BD=CD=x,∴AB=AD-BD= 3x-x=( 3
人教版数学九年级下册 28.2 解直角三角形的应用(2)----方位角教 导学案
28.2 解直角三角形的应用(2)----方位角教 导学案【教学目标】1.使学生理解方位角概念的意义,并能适当的选择锐角三角函数关系式去解决有关直角三角形实际问题;2. 培养学生将实际问题抽象为数学问题(画出平面图形转化为解直角三角形)的能力【教学重点】用三角函数有关知识解决方位角的实际问题【教学难点】学会准确分析问题并将实际问题转化成数学模型【自主探究】一. 导引自学:阅读书本P75例5,思考以下问题1.(1)方位角的定义是什么?(2)画出以下方位角;南偏东300 ; 南偏西600;北偏西150 ; 东北方向。
(3)A 点在B 点的南偏东360,,则B 点在A 点的什么方向?2.例2中如何把实际问题转化成几何问题?可将问题到一个什么几何图形中解决?根据示意图,用什么知识解出来的?你知道每一步的依据吗?体现了数学中的哪些思想方法?3.你知道利用直角三角形的知识解决实际问题的一般步骤吗?二.自我检测:1.如图,太阳光线与地面成60°角,一棵倾斜的大树与地面成30°角,这时测得大树在地面上的影子约为10米,则大树的高约为________米.(结果保留根号)2. 王英同学从A 地沿北偏西60º方向走100m 到B 地,再从B 地向正南方向走200m 到C 地,此时王英同学离A 地 ( )A .150mB .mC .100 mD .m3.如图所示,海上有一灯塔P ,在它周围3海里处有暗礁.一艘客轮以9海里/时的速度由西向东航行,行至A 点处测得P 在它的北偏东60°的方向,继续行驶20分钟后,到达B 处又测得灯塔P 在它的北偏东45°方向.问客轮不改变方向继续前进有无触礁的危险?4.书本76页练习1三.知新有疑【范例精析】如图,某货船以20海里/时的速度将一批重要物资由A 处运往正西方向的B 处,经16小时的航行到达,到达后必须立即卸货.此时.接到气象部门通知,一台风中心正以40海里/3503100时的速度由A 向北偏西60°方向移动,距台风中心200海里的圆形区域(包括边界)均受到影响.(1)B 处是否会受到台风的影响?请说明理由.(2)为避免受到台风的影响,该船应在多少小时内卸完货物?(供选用数据:≈1.4, ≈1.7)【达标测评】1.上午10点整,一渔轮在小岛O 的北偏东30°方向,距离等于10海里的A 处,正以每小时10海里的速度向南偏东60°方向航行.那么渔轮到达小岛O 的正东方向是什么时间?(精确到1分).2、在东西方向的海岸线上有一长为1km 的码头MN (如图),在码头西端M 的正西19.5 km 处有一观察站A .某时刻测得一艘匀速直线航行的轮船位于 A 的北偏西30°,且与A 相距40km 的B 处;经过1小时20分钟,又测得该轮船位于A 的北偏东60°,且与A 相距km 的C 处.(1)求该轮船航行的速度(保留精确结果);(2)如果该轮船不改变航向继续航行,那么轮船能否正好行至码头MN 靠岸?请说明理由.3.书本79页习题9【自我反思】1、知识技能: 。
人教版九年级数学下册《28.2.5 用解直角三角形解方位角、坡角的应用》课件
12= 3 AC-
AC 3
,
6 3
(来自教材)
知1-练
2 【2017· 大庆】如图,已知一条东西走向的河流,在 河流对岸有一点A,小明在岸边点B处测得点A在点 B的北偏东30°方向上,小明沿河岸向东走80 m后 到达点C,测得点A在点C的北偏西60°方向上,则
20 3m . 点A到河岸BC的距离为________
B.30海里
C.45海里 D.30 3 海里
知1-练
5 【2017· 百色】如图,在距离铁轨200米的B处,观 察由南宁开往百色的“和谐号”动车,当动车车头 在A处时,恰好位于B处的北偏东60°方向上;10秒 钟后,动车车头到达C处,恰好位于B处的西北方向 上,则这时段动车的平均速度是( A )米/秒.
PC sin B , PB PC 72.505 PB 130 (n mile) . sin B sin 34
因此,当海轮到达位于灯塔P的南偏东34°方向
时,它距离灯塔P大约 130 n mile.
(来自教材)
知1-讲
总 结
利用解直角三角形解决方向角的问题时,“同方 向的方向线互相平行”是其中的一个隐含条件.
知2-讲
解:如图,连接AE. 在Rt△ABE中,AB=3,BE= 3 ,
则AE= AB2 BE 2 2 3. BE 3 , ∵tan ∠EAB= AB 3 ∴∠EAB=30°.
在Rt△AEF中,∠EAF=∠EAB+∠BAC =30°+30°=60°, 3 3. ∴EF=AE×sin ∠EAF= 2 3 2 答:木箱端点E距地面AC的高度EF为3 m.
第二十八章
锐角三角函数
28.2
解直角三角形及其应用
人教版九年级数学下册《 28.2 解直角三角形及其应用 28.2.2应用举例 例5 航海——方位角》公开课教案_9
4、解题思想和方法小结
1.数形结合思想
2.方程思想.
3.转化(化归)思想
(1)正东,正南,正西,正北
射线:_______________________________
(2)西北方向:_________
西南方向:__________
东南方向:__________
海里周围内为暗礁区,一艘
海里到C,在B处见
在北偏西30˚,货轮继续向西航行,有无触礁的危险?
P的南偏西45°方向,距海里处,甲船从小岛A出发,沿AP方
时的速度驶向港口;乙船从港口P出
°方向,以18海里/时的速度驶离港口。
已知两船同时出发。
、如图,海关缉私艇在A处接到情报,在A的北
处发现一可疑船只正以24海里
解直角三角形的应用(方位角):
将实际问题(方位角问题)抽象为数学问题(画
解直角三角形的应用——方位角
潘庄镇中学
冯长喜
2018年4月。
九年级数学下册 28.2 解直角三角形及其应用 28.2.3 用解直角三角形解方位角、坡角的应用教案
28.2.3 用解直角三角形解方位角、坡角的应用一、教学目标(一)知识与技能巩固直角三角形中锐角的三角函数,学会解关于方位角、坡度角和有关角度的问题.(二)过程与方法逐步培养学生分析问题解决问题的能力,进一步渗透数形结合的数学思想和方法.(三)情感态度与价值观培养学生用数学的意识;渗透数学来源于实践又反过来作用于实践的辩证唯物主义观点.二、重、难点重点:能熟练运用有关三角函数知识.难点:解决实际问题.三、教学过程(一)明确目标讲评上课节课后作业(二)重点、难点的学习与目标完成过程教师出示例题.例1 如图,在山坡上种树,要求株距(相邻两树间的水平距离)是5.5m,测得斜坡的倾斜角是24°,求斜坡上相邻两树的坡面距离是多少(精确到0.1m).分析:1.例题中出现许多术语——株距,倾斜角,这些概念学生未接触过,比较生疏,而株距概念又是学生易记错之处,因此教师最好准备教具:用木板钉成一斜坡,再在斜坡上钉几个铁钉,利用这种直观教具更容易说明术语,符合学生的思维特点.2.引导学生将实际问题转化为数学问题画出图形(上图 (2)).已知:Rt△ABC中,∠C=90°,AC=5.5,∠A=24°,求AB.3.学生运用解直角三角形知识完全可以独立解决例1.教师可请一名同学上黑板做,其余同学在练习本上做,教师巡视.答:斜坡上相邻两树间的坡面距离约是6.0米.教师引导学生评价黑板上的解题过程,做到全体学生都掌握.例2 如图6-30,沿AC方向开山修渠,为了加快施工速度,要从小山的另一边同时施工,从AC上的一点B取∠ABD=140°,BD=52cm,∠D=50°,那么开挖点E离D多远(精确到0.1m),正好能使A、C、E成一条直线?这是实际施工中经常遇到的问题.应首先引导学生将实际问题转化为数学问题.由题目的已知条件,∠D=50°,∠ABD=140°,BD=520米,求DE为多少时,A、C、E在一条直线上。
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P
A
B
作业:书93页9.10(认真画图,其实 很简单哟)
练习:专题训练测试题
请认真独立完成!相信你是最棒的!!加油
北 P 东
A
当堂练习
4、如图,海关缉私艇在A处接到情报,在A的北偏西 60°方向的B处发现一可疑船只正以24海里/时的速度 向正东方向航行,于是该艇立即沿北偏西45°方向前 进,经过1小时航行,恰好在C处截住可疑船只,求缉 私艇的速度。
北
B
C
O
东
A
5.国外船只,除特许外,不得进入我国海洋100海里 以内的区域,如图,设A、B是我们的观察站,A和B 之间的距离为157.73海里,海岸线是过A、B的一条 直线,一外国船只在P点,在A点测得∠BAP=450,同 时在B点测得∠ABP=600,问此时是否要向外国船只 发出警告,令其退出我国海域.
射线OE (2)西北方向:_________ 射线OF 西南方向:__________ 东 A 射线OG 东南方向:__________
O
F
B
南
射线OH 东北方向 :__________ G
认识方位角
北
(3)南偏西25°
B 西 70° 东 O 60° 25° A 南
C
射线OA
北偏西70° 射线OB 南偏东60° 射线OC
A
N1
N
D X
C
24海里
B
答:货轮无触礁危险。
当堂练习
2、如图,某船以29.8海里/时的速度向正北方向航 行,在A处测得灯塔C在该船的北偏东32°方向上, 半小时后该船航行到点B处,发现此时灯塔C与船 的距离最短。 (1)在图上标出点B的位置; (2)求灯塔C到B处的距离(精确到0.1海里)。
北
D
北 P
A C
B
小结
解直角三角形的应用:
(1)将实际问题抽象为数学问题(画出平面 图形,转化为解直角三角形的问题); (2)根据条件的特点,适当选用锐角三角 函数等知识去解直角三角形; (3)得到数学问题答案; (4)得到实际问题答案;
当堂练习
1、海中有一个小岛A,它的周围8海里内有暗礁,鱼 船跟踪鱼群由西向东航行。在B点测得小岛A在北偏 东60°方向上,航行12海里到达点D,这时测得小岛 A在北偏东30°方向上,如果鱼船不改变航线继续向 东航行,有没有触礁的危险?
1.解直角三角形
在直角三角形中,除直角外,由已知两元素 (必有一边) 求其余未知元素的过程叫解直角三角形.
2.解直角三角形的依据
(1)三边之间的关系: a2+b2=c2(勾股定理); c
B
; (2)两锐角之间的关系: ∠ A+ ∠ B= 90º (3)边角之间的关系: a sinA= c b cosA= c a tanA= b
复习
如图,在高为300m的山顶上,测得一 建筑物顶端与底端的俯角分别为30°和 60°,求该建筑物的高。
A
300m
C
B
D
方位角的定义:
指北或指南方向线与目标方向线所 成的小于90°的角叫做方位角。
认识方位角
北 D E 45° 45° 西 C
(1)正东,正南,正西,正北
射线OA OB OC H OD
C
A
东
当堂练习
3、如图,小岛A在港口P的南偏西45°方向,距离港 口81海里处,甲船从小岛A出发,沿AP方向以9海里/ 时的速度驶向港口;乙船从港口P出发,沿南偏东60° 方向,以18海里/时的速度驶离港口。已知两船同时出 发。 (1)出发后几小时两船与港口P的距离相等? (2)出发后几小时乙船在甲船的正东方向?
A
Bห้องสมุดไป่ตู้
D
例、如图,海岛A四周20海里周围内为暗礁区,一艘货轮
二、探究
由东向西航行,,航行24海里到C,在B处见岛A在北偏 西60˚.在c见岛A在北偏西30˚,货轮继续向西航行,有 无触礁的危险?
解:过点A作AD⊥BC于D,
设CD=x,则BD=X+24
在Rt△ADC中, AD ∵ tan∠DCA=-----DC ∴AD= tan600x= 3 x 在Rt△ADB中, AD √ 3 x ∵ tan30˚= ---- = -------BD X+24 X=12 AD≈12×1.732 =20.784 > 20
归纳 方位角问题的实际应用题解法:
直接或间接把问题放在直角三角形中, 解题时应善于发现直角三角形,用三角函 数等知识解决问题。
探究
例题:如图,一艘海轮位于灯塔P的北偏东65°方向, 距离灯塔80海里的A处,它正沿着正南方向航行一 段时间后,到达位于灯塔P的南偏东34°方向上的B 处,这时,海轮所在的B处距离灯塔P有多远?
A
a
b
C
P
归纳与提高
α β
450
P
450
45°
30°
30°
45°
O
B
C
30°
60°
A
B
O
A
P
A
P
45° 45 °
200 200米
30 ° 30 °
D
45°
200米 45° 200
O
B
O
B
思想与方法
1.数形结合思想. 2.方程思想. 3.转化(化归)思想. 方法:把数学问题转化成解直角三角形问题, 如果示意图不是直角三角形,可添加适当的辅 助线,构造出直角三角形.