§1-6 回顾和思考第一章直角三角形边角关系练习
北师版九年级下册第一章直角三角形的边角关系知识点及习题
九年级下册第一章 直角三角形的边角关系【知识要点】 一、锐角三角函数：正切：在Rt △ABC 中，锐角∠A 的对边与邻边的比叫做∠A 的正切．．，记作tanA ，即bA atan =;正弦：．．．在Rt △ABC 中，锐角∠A 的对边与斜边的比叫做∠A 的正弦，记作sinA ，即ca sin =A ;余弦：在Rt △ABC 中，锐角∠A 的邻边与斜边的比叫做∠A 的余弦，记作cosA ，即cA b cos =;余切：在Rt △ABC 中，锐角∠A 的邻边与对边的比叫做∠A 的余切，记作cotA ，即cA b cot =;注：（1）sinA,cosA,tanA, 是在直角三角形中定义的,∠A 是锐角(注意数形结合,构造直角三角形).（2）sinA,cosA,tanA, 是一个完整的符号,表示∠A,习惯省去“∠”号； （3）sinA,cosA,tanA,是一个比值.注意比的顺序,且sinA,cosA,tanA,均﹥0,无单位.（4）sinA,cosA,tanA, 的大小只与∠A 的大小有关,而与直角三角形的边长无关.（5）角相等,则其三角函数值相等；两锐角的三角函数值相等,则这两个锐角相等.1、三角函数和角的关系tanA 的值越大，梯子越陡，∠A 越大；∠A 越大，梯子越陡，tanA 的值越大。
sinA 的值越大，梯子越陡，∠A 越大；∠A 越大，梯子越陡，sinA 的值越大。
cosA 的值越小，梯子越陡，∠A 越大；∠A 越大，梯子越陡，cosA 的值越大。
2、三角函数之间的关系 （1）互为余角的函数之间的关系 若∠A 为锐角，则 ①)90cos(sin A A ∠-︒=；)90sin(cos A A ∠-︒=②)90cot(tan A A ∠-︒=；)90tan(cot A A ∠-︒=（2）同角的三角函数的关系 1)平方关系：sinA 2＋cosA 2＝1 2)倒数关系：tanA ·cotA ＝13)商的关系：tanA ＝A o A s c sin ，cotA二、解直角三角形：※在直角三角形中，除直角外，一共有五个元素，即三条边和二个锐角。
(2021年整理)新北师大版九年级数学下册第一章直角三角形的边角关系小结复习练习
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直角三角形的边角关系知识点复习 考点一、锐角三角函数的概念 如图，在△ABC 中,∠C=90° 正弦：_____sin =∠=斜边的对边A A余弦：____cos =∠=斜边的邻边A A正切：_____tan =∠∠=的邻边的对边A A A考点二、一些特殊角的三角函数值三角函数 30°45°60°sin α cos α tan α考点三、各锐角三角函数之间的关系（1）互余关系：sinA=cos(90°—A)， cosA=sin(90°—A) ；（2)平方关系:1cos sin 22=+A A ； （3）倒数关系：tanA •tan （90°-A ）=1 (4)商的关系：tanA=AAcos sin 考点四、锐角三角函数的增减性当角度在0°~90°之间变化时， (1） 正弦值随着角度的增大而_______； （2) 余弦值随着角度的增大而_______；(3) 正切值随着角度的增大而___________；考点五、解直角三角形1、解直角三角形的概念2、解直角三角形的理论依据在Rt △ABC 中，∠C=90°，∠A,∠B ，∠C 所对的边分别为a ，b ，c（1）三边之间的关系：________（勾股定理）；（2）锐角之间的关系：_______________ （3）边角之间的关系:正弦sinA=___________，余弦cosA=______,正切tanA=_______ (4） 面积公式:c ch ab s 2121==（h c 为c 边上的高） 考点六、解直角三角形应用1、将实际问题转化到直角三角形中，用锐角三角函数、代数和几何知识综合求解2、仰角、俯角、坡面 知识点及应用举例：（1)仰角：视线在水平线上方的角；俯角：视线在水平线下方的角。
九下第一章直角三角形的边角关系回顾与思考一直角三角形的边角关系作业新版北师大版
4．计算：cos245°＋2sicno6s03°0＋°1 － 3 tan30°. 解：原式＝1－ 3
4
知识点 3 解直角三角形
5．(黑龙江中考)如图，在△ABC 中，∠ACB＝90°，点 D 在 AB 的延长线上，连接
CD，若 AB＝2BD，tan ∠BCD＝2 ，则AC 的值为( B ) 3 BC
10．(2023·凉山州)超速容易造成交通事故．高速公路管理部门在某隧道内的 C，E 两处安装了测速仪，该段隧道的截面示意图如图所示，图中所有点都在同一平面内，且 A，D，B，F 在同一直线上．点 C、点 E 到 AB 的距离分别为 CD，EF，且 CD＝EF＝ 7 m，CE＝895 m，在 C 处测得 A 点的俯角为 30°，在 E 处测得 B 点的俯角为 45°，小 型汽车从点 A 行驶到点 B 所用时间为 45 s.
10 ＝2
＝10
2
≈10×1.41≈14(千
2
米).∴AD 的长度约为 14 千米
(2) 小明应该选择线路①， 理由：在 Rt△ADF 中，∠DAF＝45°，AF＝10 千米，∴∠ADF＝45°＝∠DAF， ∴DF＝AF＝10 千米，在 Rt△ABE 中，∠ABE＝90°－60°＝30°，AB＝DF＋CD＝24 千米，∴AE＝AB·tan30°＝24× 3 ＝8 3 (千米)，EB＝2AE＝16 3 千米，按路线①A
A．1
B．2
C．12
D．32
6．在△ABC 中，AB＝8，∠ABC＝30°，AC＝5，则 BC＝_4___3__＋__3_或___4__3__－__3__．
7．如图，在△ABC 中，BC＝12，tan A＝34 ，∠B＝30°，求 AC 和 AB 的长．
解：过点 C 作 CD⊥AB 于点 D.∵∠B＝30°，BC＝12，∴CD＝6.在 Rt△BDC 中， BD＝ BC2－CD2 ＝6 3 .∵tan A＝CD ＝3 ，∴AD＝8.∴AB＝AD＋BD＝8＋6 3 .
第一章《直角三角形的边角关系》单元测试题(含答案)
第一章 直角三角形的边角关系一、选择题(本大题共6小题，每小题4分，共24分；在每小题列出的四个选项中，只有一项符合题意)1．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝2BC ，那么sin A 的值为( )A.12B.22C.32 D ．1 2．在△ABC 中，∠C ，∠B 为锐角，且满足⎪⎪⎪⎪sin C －22＋(32－cos B )2＝0，则∠A 的度数为( )A ．100°B ．105°C ．90°D ．60°3．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝20，cos A ＝14，则AC 等于( )A ．45B ．5 C.15 D.1454．在Rt △ABC 中，如果边长都扩大为原来的5倍，那么锐角A 的正弦值、余弦值和正切值( )A ．都没有变化B ．都扩大为原来的5倍C ．都缩小为原来的15D ．不能确定5．如图1－Z －1，过点C (－2，5)的直线AB 与坐标轴分别交于A (0，2)，B 两点，则tan ∠OAB 的值为( )图1－Z －1A.25B.23C.52D.326．如图1－Z －2①为折叠椅，图②是折叠椅撑开后的侧面示意图，其中椅腿AB 和CD 的长度相等，O 是它们的中点．为使折叠椅既舒适又牢固，厂家将撑开后的折叠椅高度设计为32 cm ，∠DOB ＝100°，那么椅腿AB 的长应设计为(结果精确到0.1 cm ，参考数据：sin50°＝cos40°≈0.77，sin40°＝cos50°≈0.64，tan40°≈0.84，tan50°≈1.19)( )图1－Z －2A ．38.1 cmB ．49.8 cmC ．41.6 cmD ．45.3 cm 二、填空题(本大题共5小题，每小题4分，共20分) 7．在△ABC 中，∠C ＝90°，sin A ＝14，则tan B ＝________．8．如图1－Z －3，将∠AOB 放在边长为1的小正方形组成的网格中，则tan ∠AOB ＝________．图1－Z －39．如图1－Z －4，在菱形ABCD 中，DE ⊥AB ，垂足是E ，DE ＝6，sin A ＝35，则菱形ABCD 的周长是________．图1－Z －410．某校研究性学习小组测量学校旗杆AB 的高度，如图1－Z －5，在教学楼一楼C 处测得旗杆顶部的仰角为60°，在教学楼三楼D 处测得旗杆顶部的仰角为30°，旗杆底部与教学楼一楼在同一水平线上，已知每层楼的高度为3米，则旗杆AB 的高度为________米．图1－Z －511．已知△ABC 中，tan B ＝23，BC ＝6，过点A 作BC 边上的高，垂足为D ，且满足BD ∶CD ＝2∶1，则△ABC 的面积为________．三、解答题(本大题共5小题，共56分) 12．(8分)计算：24sin45°＋cos 230°－12tan60°＋2sin60°.13．(10分)如图1－Z －6，在△ABC 中，CD ⊥AB 于点D ，AB ＝22，CD ＝8，tan A ＝43.求：(1)BD 的长； (2)sin B 的值．图1－Z －614．(12分)某大坝修建有以下方案：大坝的横断面为等腰梯形，如图1－Z －7，AD ∥BC ，坝高10米，迎水坡面AB 的坡度i ＝53，老师看后，从力学的角度对此方案提出了建议，小明决定在原方案的基础上，将迎水坡面AB 的坡度进行修改，修改后的迎水坡面AE 的坡度i ＝56.(1)求原方案中此大坝迎水坡AB 的长(结果保留根号)；(2)如果方案修改前后，修建大坝所需土石方总体积不变，在方案修改后，若坝顶沿EC 方向拓宽2.7米，求坝底将会沿AD 方向加宽多少米．图1－Z －715．(12分)“和谐号”高铁列车的小桌板收起时可近似看作与地面垂直，展开小桌板使桌面保持水平，其示意图如图1－Z －8所示．连接OA ，此时OA ＝75 cm ，CB ⊥AO ，∠AOB ＝∠ACB ＝37°，且桌面宽OB 与BC 的长度之和等于OA 的长度．求支架BC 的长度(参考数据：sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，tan37°≈0.75)．图1－Z －816．(14分)我们定义：等腰三角形中底边与腰的比叫做底角的邻对(can)．如图1－Z －9①，在△ABC 中，AB ＝AC ，底角∠B 的邻对记作can B ，这时can B ＝底边腰＝BCAB .容易知道一个角的大小与这个角的邻对值是一一对应的，根据上述角的邻对的定义，解下列问题：(1)can30°＝________；(2)如图②，已知在△ABC 中，AB ＝AC ，can B ＝85，S △ABC ＝24，求△ABC 的周长．图1－Z －9详解详析1．[解析] A ∵∠C ＝90°，AB ＝2BC ，∴sin A ＝BC AB ＝12.故选A.2．[解析] B ∵⎪⎪⎪⎪sin C －22＋(32－cos B )2＝0，∴sin C －22＝0，32－cos B ＝0，则sin C ＝22，cos B ＝32，故∠C ＝45°，∠B ＝30°，∴∠A ＝180°－45°－30°＝105°.故选B. 3．[答案] B4．[解析] A 三角函数值的大小只与角的大小有关，当角度一定时，其三角函数值不变． 5．[解析] B 方法1：设直线AB 的表达式是y ＝kx ＋b .根据题意，得⎩⎨⎧－2k ＋b ＝5，b ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－32，b ＝2，则直线AB 的表达式是y ＝－32x ＋2.在y ＝－32x ＋2中令y ＝0，解得x ＝43.则点B 的坐标是(43，0)，即OB ＝43.则tan ∠OAB ＝OB OA ＝432＝23.故选B.方法2：过点C 作CD ⊥y 轴于点D ，∵C (－2，5)， ∴CD ＝2，OD ＝5.∵A (0，2)，∴OA ＝2， ∴AD ＝OD －OA ＝3.在Rt △ACD 中，tan ∠OAB ＝tan ∠CAD ＝CD AD ＝23.故选B.6．[解析] C 连接BD ，由题意得OA ＝OB ＝OC ＝OD .∵∠DOB ＝100°，∴∠DAO ＝∠ADO ＝50°，∠OBD ＝∠ODB ＝40°，∴∠ADB ＝90°.又∵BD ＝32 cm ，∴AB ＝BD sin ∠DAO ≈320.77≈41.6(cm)．故选C. 7．[答案] 158．[答案] 12[解析] 过点A 作AD ⊥OB ，垂足为D ，如图，在Rt △AOD 中，AD ＝1，OD ＝2，则tan ∠AOB ＝AD OD ＝12. 9．[答案] 40[解析] ∵DE ⊥AB ，垂足是E ，∴△AED 为直角三角形，则sin A ＝DE AD ，即35＝6AD ，∴AD ＝10，∴菱形ABCD 的周长为10×4＝40.10．[答案] 9[解析] 过点D 作DE ⊥AB ，垂足为E ，由题意可知，四边形ACDE 为矩形，则AE ＝CD ＝6米，AC ＝DE .设BE ＝x 米．在Rt △BDE 中，∵∠BED ＝90°，∠BDE ＝30°，∴DE ＝3BE ＝3x 米，∴AC ＝DE ＝3x 米． 在Rt △ABC 中， ∵∠BAC ＝90°，∠ACB ＝60°， ∴AB ＝3AC ＝3×3x ＝3x (米)． ∵AB －BE ＝AE ，∴3x －x ＝6， ∴x ＝3，∴AB ＝3×3＝9(米)， 即旗杆AB 的高度为9米． 11．[答案] 8或24[解析] △ABC 有两种情况：(1)如图①所示，∵BC ＝6，BD ∶CD ＝2∶1，∴BD ＝4.∵AD ⊥BC ，tan B ＝23，∴AD BD ＝23，∴AD＝23BD ＝83，∴S △ABC ＝12BC ·AD ＝12×6×83＝8；(2)如图②所示，∵BC ＝6，BD ∶CD ＝2∶1，∴BD ＝12.∵AD ⊥BC ，tan B ＝23，∴AD BD ＝23，∴AD ＝23BD ＝8，∴S △ABC ＝12BC ·AD ＝12×6×8＝24.综上所述，△ABC 的面积为8或24.12．解：原式＝24×22＋(32)2－12×3＋2×32 ＝14＋34－36＋ 3 ＝1＋5 36.13．[解析] (1)根据在△ABC 中，CD ⊥AB 于点D ，AB ＝22，CD ＝8，tan A ＝43，可以求得AD 的长，从而可以求得BD 的长；(2)由(1)中BD 的长和题目中CD 的长可以求得BC 的长，从而可以求得sin B 的值．解：(1)∵在△ABC 中，CD ⊥AB 于点D ，CD ＝8，tan A ＝43，∴tan A ＝CD AD ＝43，解得AD ＝6，∴BD ＝AB －AD ＝22－6＝16.(2)由(1)知BD ＝16，∵CD ⊥AB ，CD ＝8， ∴BC ＝CD 2＋BD 2＝82＋162＝8 5，∴sin B ＝CD BC ＝88 5＝55.14．[解析] (1)过点B 作BF ⊥AD 于点F ，在直角三角形ABF 中求得AF ，AB 的长； (2)过点E 作EG ⊥AD 于点G ，延长EC 至点M ，延长AD 至点N ，连接MN . 由S △ABE ＝S 梯形CMND 从而求得DN 的长．解：(1)如图，过点B 作BF ⊥AD 于点F . 在Rt △ABF 中，∵i ＝BF AF ＝53，且BF ＝10米，∴AF ＝6米，∴AB ＝102＋62＝2 34(米)．答：原方案中此大坝迎水坡AB 的长为2 34米． (2)如图，过点E 作EG ⊥AD 于点G . 在Rt △AEG 中，∵i ＝EG AG ＝56，且EG ＝BF ＝10米，易得AG ＝12米，BE ＝GF ＝AG －AF ＝6米． 延长EC 至点M ，延长AD 至点N ，连接MN .∵方案修改前后，修建大坝所需土石方总体积不变， ∴S △ABE ＝S 梯形CMND ， ∴12·BE ·EG ＝12(MC ＋ND )·EG ， 即BE ＝MC ＋ND ，∴ND ＝BE －MC ＝6－2.7＝3.3(米). 答：坝底将会沿AD 方向加宽3.3米．15．解：延长CB 交AO 于点D ，∴CD ⊥OA . 设BC ＝x cm ，则OB ＝(75－x )cm. 在Rt △OBD 中，∵∠DOB ＝37°， ∴OD ＝OB ·cos ∠DOB ≈0.8(75－x )＝(60－0.8x )cm ，BD ＝OB ·sin ∠DOB ≈0.6(75－x )＝(45－0.6x )cm ，∴DC ＝BD ＋BC ≈(0.4＋45x )cm.在Rt △ACD 中，∵∠ACD ＝37°，∴AD ＝DC ·tan ∠ACD ≈0.75(0.4x ＋45)＝(0.3x ＋33.75)cm. ∵OA ＝AD ＋OD ＝75 cm ，∴0.3x ＋33.75＋60－0.8x ＝75， 解得x ≈37.5， ∴BC ≈37.5 cm ，故支架BC 的长度约为37.5 cm. 16．解：(1) 3(2)过点A 作AE ⊥BC 于点E ，∵can B ＝85，可设BC ＝8x ，AB ＝5x ，则BE ＝12BC ＝4x ，∴AE ＝AB 2－BE 2＝3x .∵S △ABC ＝24， ∴12BC ·AE ＝12x 2＝24， 解得x ＝2(负值已舍去)，故AB ＝AC ＝5 2，BC ＝8 2， ∴△ABC 的周长为AB ＋AC ＋BC ＝5 2＋5 2＋8 2＝18 2.。
直角三角形的边角关系习题集含答案
第一章回顾与思考1、等腰三角形的一腰长为cm 6，底边长为cm 36，则其底角为（ ） A 030 B 060 C 090 D 01202、某水库大坝的横断面是梯形，坝内斜坡的坡度3:1=i ，坝外斜坡的坡度1:1=i ，则两个坡角的和为 （ ）A 090 B 060 C 075 D01053、如图，在矩形ABCD 中，DE⊥AC 于E ，设∠ADE=α，且53c o s =α, AB = 4, 则AD 的长为（ ）．（A ）3 （B ）316 （C ）320 （D ）5164、在课外活动上，老师让同学们做一个对角线互相垂直的等腰梯形形状的风筝，其面积为4502cm ，则对角线所用的竹条至少需（ ）． （A ）cm 230 （B ）30cm （C ）60cm （D ）cm 260 5、如果α是锐角，且135cos sin 22=︒+α，那么=α º． 6、如图，在坡度为1：2的山坡上种树，要求株距（相邻两树间的水平距离）是6米，斜坡上相邻两树间的坡面距离是 米． 7、如图,P 是∠α的边OA 上一点, 且P 点坐标为(3,4),则αsin = ,αcos =______.8、支离旗杆20米处的地方用测角仪测得旗杆顶的仰角为α，如果测角仪高为1.5米．那么旗杆的有为 米（用含α的三角比表示）．9、在Rt ABC ∆中∠A＜∠B，CM 是斜边AB 上的中线，将ACM ∆沿直线CM 折叠，点A 落在点D 处，如果CD 恰好与AB 垂直，那么∠A 等于 度．10、如图，某公路路基横断面为等腰梯形.按工程设计要求路面宽度为10米，坡角为︒55，路基高度为5.8米，求路基下底宽（精确到0.1米）.11、“曙光中学”有一块三角形形状的花圃ABC ，现可直接测量到，A ︒=∠30AC = 40米，αPoyx34ABCDE︒555.8m10mBC = 25米，请你求出这块花圃的面积.12、如图，在小山的东侧A 处有一热气球，以每分钟28米的速度沿着与垂直方向夹角为︒30的方向飞行，半小时后到达C 处，这时气球上的人发现，在A 处的正西方向有一处着火点B ，5分钟后，在D 处测得着火点B 的俯角是︒15，求热气球升空点A 与着火点B 的距离．13、如图，一勘测人员从B 点出发，沿坡角为︒15的坡面以5千米/时的速度行至D 点，用了12分钟，然后沿坡角为︒20的坡面以3千米/时的速度到达山顶A 点，用了10分钟.求山高（即AC 的长度）及A 、B 两点的水平距离（即BC 的长度）（精确到0.01千米）.14、为申办2010年冬奥会，须改变哈尔滨市的交通状况。
直角三角形的边角关系回顾与思考-PPT课件
点拨：台风中心在AC上移动，要知道B处是否 受影响，只要求出B到AC的最短距离并比较这 个最短距离与200的关系，若小于或等于200 海里则受影响，若大于200海里则不受影响。
（2）要使卸货过程不受台风影响，就应在台风 中心从出发到第一次到达距B200海里的这段时 间内卸完货，弄清楚这一点，再结合直角三角 形边角关系，此题就不难得到解决。
2、 如图，某货船以20海里/时的速度将一批重要物资由A处运往正西方向的 B处，经16时的航行到达，到达后必须立即卸货，此时接到气象部门通知， 一台风中心正以40海里/时的速度由A向北偏西60°方向移动，距台风中心200 海里的圆形区域（包括边界）均会受到影响。 （1）问B处是否会受到影响？请说明理由。 （2）为避免受到台风的影响，该船应在多长时间内卸完货物?
第一章 直角三角形的边角关系
回顾与思考
大庆市第四十四中学 王 琦
小结
拓展
回味无穷
• 由锐角的三角函数值反求锐角
填表:已知一个角的三角函数值,求这个角的度数(逆向思维)
sin A 1 ∠A= 2
300 sin A 3 ∠A=
2
600 sin A 2 ∠A= 450
2
cos A 1 ∠A= 2
北
C
西
D
E
B
A
4
1、在Rt△ABC中，∠B＝900，AB＝3，BC＝4，则 sinA=
5
2、（1） 2 sin 600 3 cos 450 6
（2） 3 cos 600 5 sin 300 1
1
3.在Rt△ABC中,∠C=90°,a,b,c分别是∠A,∠B,∠C的
对边.
(1)已知c=8,b=4,则a= 4 3 ∠A= 60°
北师大版九年级数学下册第一章直角三角形的边角关系(基础训练)
第一章直角三角形的边角关系1.1.1 锐角三角函数1．如图，已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝1，AC＝2，则tanA的值为( )A．2 B.12C.55D.2552．在△ABC中，若BC∶CA∶AB＝3∶4∶5，则tan B＝( )A.45B.35C.43D.343．如图，点A(t，3)在第一象限，OA与x轴所夹的锐角为α，tanα＝32，则t的值是( )A．1 B．1.5 C．2 D．34．在Rt△ABC中，∠C＝90°，若三角形各边同时扩大三倍，则tanA的值( )A．扩大为原来的三倍 B．不变 C．缩小为原来的13D．不确定5．如图，将△ABC放在每个小正方形的边长为1的网格中，点A，B，C均在格点上，则tanC的值是( )A．2 B.43C．1 D.346．(教材P4习题T2变式)如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝15，tanA＝158，则AB＝．7．西安市某新修商业大厦的一处自动扶梯如图，已知扶梯的长l为10米，该自动扶梯到达的高度h为6米，自动扶梯与地面所成的角为θ，则tanθ的值等于．8．如图，斜坡AB的坡度是1∶4，如果从点B测得离地面的铅垂线高度BC是6米，那么斜坡AB的长度米．9．如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，已知CD＝5，AC＝6，则tan∠DBC的值是．10．(教材P4随堂练习T1变式)如图，等腰△ABC的腰AB，AC的长为5，底边长为6，则tanC＝．11．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝12 cm，AB＝20 cm，求tanA和tanB的值．12．(教材P3例1变式)如图所示，方方和圆圆分别将两根木棒AB，CD斜立在墙AE上，其中AB＝10 cm，CD＝6 cm，BE＝6 cm，DE＝2 cm，你能判断谁的木棒更陡吗？请说明理由．13．如图，在Rt△AOB中，∠AOB＝90°，顶点A，B分别在反比例函数y＝1x(x＞0)与y＝－5x(x＜0)的图象上，则tan∠BAO的值为5．1.1.2 锐角三角函数1．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，AC＝8，则sinA等于( )A.35B.45C.34D.432．在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA＝35，BC＝6，则AB＝( )A．4 B．6 C．8 D．103．如图，在Rt△ABC中，斜边AB的长为m，∠A＝35°，则直角边AC的长是( )A．msin35° B．mcos35° C.msin35°D.mcos35°4.在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝α，AC＝3，则AB的长可以表示为( )A.3cosαB.3sinαC．3sinα D．3cosα5.如图，在面积为24的▱ABCD中，对角线BD平分∠ABC，过点D作DE⊥BD交BC的延长线于点E，DE＝6，则sin∠DCE的值为( )A.2425B.45C.34D.12256．如图，在菱形ABCD中，DE⊥AB，cosA＝35，则cos∠DBE的值是( )A.12B.54C.55D.337．在△ABC中，∠C＝90°.若tanA＝12，则sinB＝．8．在Rt△ABC中，若2AB＝AC，则cosC＝．9．如图，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝5，点E在DC上，将矩形ABCD沿AE折叠，点D恰好落在BC边上的点F处，那么sin∠EFC的值为．10．如图，已知△ABC的三个顶点均在格点上，则cosA的值为．11．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，a，b，c分别表示Rt△ABC中∠A，∠B，∠C的对边．(1)求sinA，cosB；(2)求tanA，tanB；(3)观察(1)(2)中的计算结果，你能发现sinA与cosB，tanA与tanB之间有什么关系吗？(4)应用：①在Rt△ABC中，∠C＝90°，若sinA＝23，则cosB的值为23；②在Rt△ABC中，∠C＝90°，若tanA＝2，则tanB＝1 2．12．如图，在△ABC中，CD⊥AB，垂足为D.若AB＝12，CD＝6，tanA＝32，求sinA＋cosB的值．13．如图，在△ABC中，AD是边BC上的高，E为AC的中点，BC＝14，AD＝12，sinB＝45.求：(1)线段CD的长；(2)tan∠EDC的值．1.2 30°，45°，60°角的三角函数值1．2sin60°的值等于( )A． 2 C. 3 D．2 2．计算：cos245°＋sin245°＝( )A.12B．1 C.14D.223．已知α为锐角，且sinα＝12，则α＝( )A．30° B．45° C．60° D．90°4．在△ABC中，若sinA＝cosB＝22，则下列结论最确切的是( )A．△ABC是直角三角形 B．△ABC是等腰三角形C．△ABC是等腰直角三角形 D．△ABC是锐角三角形5．如图，将三角板的直角顶点放置在直线AB上的点O处，使斜边CD∥AB，则∠α的余弦值是( )A.12B.32C.22D.236．在Rt△ABC中，已知∠B＝90°，AB＝3BC，则∠C等于( )A．45° B．30° C．60° D．50°7．菱形OABC在平面直角坐标系中的位置如图所示．若∠AOC＝45°，OC＝2，则点B的坐标为( ) A．2，1) B．(1，2) C．(2＋1，1) D．(1，2＋1)8．计算：||1－tan60°＝．9．把sin60°，cos60°，tan60°按从小到大顺序排列，用“＜”连接起来 . 10．在等腰△ABC中，∠C＝90°，则tanA＝．11．在△ABC中，(tanA－3)2＋|22－cosB|＝0，则∠C的度数为．12．在△ABC中，∠C＝90°，AC＝2，BC＝23，则∠A＝．13．计算：2sin30°＋(－1)2 019－(12)－1＝．14．如图，将一副三角尺如图所示叠放在一起，若AB＝14 cm，则阴影部分的面积是 cm2.15．规定：sin(－x)＝－sinx，cos(－x)＝cosx，sin(x＋y)＝sinx·cosy＋cosx·siny. 据此判断下列等式成立的是 (写出所有正确的序号)．16．计算：(1)3tan30°＋cos60°； (2)2cos30°－2sin30°＋3tan45°；(3)cos30°－sin45°sin60°－tan30°. （4）2cos30°－tan45°－（1－tan60°）2；(5)已知∠α是锐角，且sin(α＋15°)＝32，求8－4cosα－(π－3.14)0＋tanα＋(13)－1的值．17．(2019·西安莲湖区二模)某小区为了安全起见，决定将小区内的滑滑板的倾斜角由45°调为30°，如图，已知原滑滑板AB的长为4米，点D，B，C在同一水平地面上，调整后滑滑板会加长多少米？(结果保留根号)1.4 解直角三角形1．在△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，AB＝4，欲求∠A的值，最适宜的做法是( ) A．计算tanA的值求出 B．计算sinA的值求出C．计算cosA的值求出 D．先根据sinB求出∠B，再利用90°－∠B求出2．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝5，∠A＝60°，则BC的长是( ) A． 3 B．5 2 C．5 D．103．已知，在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA＝37，BC＝4，则AB的长度为( )A.43B.74C.8103D.2834．如果等腰三角形的底角为30°，腰长为6 cm，那么这个三角形的面积为( )A．12 cm2 B．6 3 cm2 C．6 cm2 D．9 3 cm25．如图，在△ABC中，CA＝CB＝4，cosC＝14，则sinB的值为( )A.102B.153C.64D.1046．如图，在△ABC中，AC⊥BC，∠ABC＝30°，点D是CB延长线上的一点，且BD＝BA，则tan∠DAC 的值为( )A．2 3 B．2 3 C．3＋ 3 D．3 37．菱形ABCD的对角线AC＝63，BD＝6，则菱形的四个内角的度数分别是．8．在△ABC中，∠ABC＝30°，AB＝3，AC＝1，则∠ACB＝．9．(2019·盐城)如图，在△ABC中，BC＝6＋2，∠C＝45°，AB＝2AC，则AC的长为．10．如图，已知正方形ABCD的边长为4，对角线AC与BD相交于点O，点E在DC边的延长线上．若∠CAE＝15°，则CE＝．11．(2019·黔东南)三角板是我们学习数学的好帮手．将一对直角三角板如图放置，点C在FD的延长线上，点B在ED上，AB∥CF，∠F＝∠ACB＝90°，∠E＝45°，∠A＝60°，AC＝10，则CD的长度是．12．(教材P16例1变式)在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c.根据下列条件求出直角三角形的其他元素．(1)已知a＝6，b＝23；(2)已知a＝24，c＝24 2.13．已知：如图，在△ABC中，AB＝AC＝9，BC＝6.(1)求sinC的值；(2)求AC边上的高BD的长14．如图，AD是△ABC的中线，tanB＝13，cosC＝22，AC＝ 2.(1)求BC的长；(2)求sin∠ADC的值．周测(1.1～1.4) 1．sin60°的值等于( )A.12B.22C．1 D.322．在△ABC中，∠C＝90°，6，8分别是∠A，∠B所对的两条直角边，c是斜边，则有( )A．sinA＝53B．cosB＝45C．tanA＝34D．cosB＝433．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝6，cosB＝23，则BC的长为( )A．4 B．2 5 C.181313D.1213134．在△ABC中，∠A，∠B均为锐角，且有|tanB－3|＋(2cosA－1)2＝0，则△ABC是( ) A．直角(不等腰)三角形 B．等边三角形C．等腰(不等边)三角形 D．等腰直角三角形5．如图，梯子跟地面的夹角为∠A，关于∠A的三角函数值与梯子的倾斜程度之间的关系，叙述正确的是( )A．sinA的值越小，梯子越陡 B．cosA的值越小，梯子越陡C．tanA的值越小，梯子越陡 D．陡缓程度与∠A的三角函数值无关6．如图，在网格中，小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，则∠ABC的正切值是( )A．2 B.255C.55D.127．一个直角三角形有两条边长为3，4，则较小的锐角约为( )A．41° B．37° C．41°或37° D．以上答案都不对8．如果三角形满足一个角是另一个角的3倍，那么我们称这个三角形为“智慧三角形”．下列各组数据中，能作为一个智慧三角形三边长的一组是( )A．1，2，3 B．1，1， 2 C．1，1， 3 D．1，2， 39．如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交成的锐角为α.若AC＝a，BD＝b，则▱ABCD的面积是( )A.12absinα B．absinα C．Abcosα D.12abcosα10．已知α为锐角，若sin(α－10°)＝32，则α＝ .11．如图，旗杆高AB＝8 m，某一时刻，旗杆影子长BC＝16 m，则tanC＝．12．如图，已知菱形ABCD，对角线AC，BD相交于点O.若tan∠BAC＝13，AC＝6，则BD的长是．13．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝5 cm，∠BAC的平分线交BC于点D，AD＝1033cm，则BC＝ cm.14．如图，某建筑物BC直立于水平地面，AC＝9 m，要建造阶梯AB，使每阶高不超过20 cm，则此阶梯最少要建阶(最后一阶的高度不足20 cm时，按一阶算，3取1.732)．15．计算： (1)3cos30°＋2sin45°； (2)(tan30°＋cos45°)(tan30°－cos45°)．16．如图，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为D.若BC＝14，AD＝12，tan∠BAD＝34，求sinC的值．17．改革开放40年来，中国已经成为领先世界的基建强国，如图1是建筑工地常见的塔吊，其主体部分的平面示意图如图2，点F在线段HG上运动，BC∥HG，AE⊥BC，垂足为E，AE的延长线交HG于点G，经测量，∠ABD＝11°，∠ADE＝26°，∠ACE＝31°，BC＝20 m，EG＝0.6 m.(1)求线段AG的长度；(2)连接AF，当线段AF⊥AC时，求点F和点G之间的距离．(所有结果精确到0.1 m．参考数据：tan11°≈0.19，tan26°≈0.49，tan31°≈0.60)1.5.1三角函数的应用1．已知：岛P位于岛Q的正西方，由岛P，Q分别测得船R位于南偏东30°和南偏西45°方向上，符合条件的示意图是( )2．如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东55°方向，距离灯塔2海里的点A处．如果海轮沿正南方向航行到灯塔的正东方向，那么海轮航行的距离AB的长是( )A．2海里B．2sin55°海里C．2cos55°海里D．2tan55°海里第2题图第3题图第4题图第5题图3．(2019·长沙)如图，一艘轮船从位于灯塔C的北偏东60°方向，距离灯塔60 n mile的小岛A出发，沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔C的南偏东45°方向上的B处，这时轮船B与小岛A的距离是( )A．30 3 n mile B．60 n mile C．120 n mile D．(30＋303)n mile 4．如图，轮船从B处以每小时50海里的速度沿南偏东30°方向匀速航行，在B处观测灯塔A位于南偏东75°方向上，轮船航行半小时到达C处，在C处观测灯塔A位于北偏东60°方向上，则C处与灯塔A的距离是______海里．5．如图，C，D分别是一个湖的南、北两端A和B正东方向的两个村庄，CD＝6 km，且D位于C 的北偏东30°方向上，则AB＝______km.6．(2019·商洛商南县模拟)为了保证端午龙舟赛在我市汉江水域顺利举办，某部门工作人员乘快艇到汉江水域考察水情，以每秒10米的速度沿平行于岸边的赛道AB由西向东行驶．在A处测得岸边一建筑物P在北偏东30°方向上，继续行驶40秒到达B处时，测得建筑物P在北偏西60°方向上，如图所示，求建筑物P到赛道AB的距离(结果保留根号)．7．(2019·青岛)如图，某旅游景区为方便游客，修建了一条东西走向的木栈道AB，栈道AB与景区道路CD平行．在C处测得栈道一端A位于北偏西42°方向，在D处测得栈道另一端B位于北偏西32°方向．已知CD＝120 m，BD＝80 m，求木栈道AB的长度(结果保留整数)．(参考数据：sin32°≈17 32，cos32°≈1720，tan32°≈58，sin42°≈2740，cos42°≈34，tan42°≈910)8．(2019·随州)在一次海上救援中，两艘专业救助船A，B同时收到某事故渔船的求救讯息，已知此时救助船B在A的正北方向，事故渔船P在救助船A的北偏西30°方向上，在救助船B的西南方向上，且事故渔船P与救助船A相距120海里．(1)求收到求救讯息时，事故渔船P与救助船B之间的距离；(2)若救助船A，B分别以40海里/小时、30海里/小时的速度同时出发，匀速直线前往事故渔船P处搜救，试通过计算判断哪艘船先到达？9．如图，我国南海某海域A处有一艘捕鱼船在作业时突遇特大风浪，船长马上向我国渔政搜救中心发出求救信号，此时一艘渔政船正巡航到捕鱼船正西方向的B处，该渔政船收到渔政求救中心指令后前去救援，但两船之间有大片暗礁，无法直线到达，于是决定马上调整航向，先向北偏东60°方向以每小时30海里的速度航行半小时到达C处，同时捕鱼船低速航行到A点的正北方向1.5海里的D 处，渔政船航行到点C处时测得点D位于其南偏东53°方向上．(1)求C，D两点的距离；(2)渔政船决定再次调整航向前去救援，若两船航速不变，并且在点E处会合，求∠ECD的正弦值(参考数据：sin53°≈45，cos53°≈35，tan53°≈43)．1.5.2 仰角、俯角问题1．如图，某飞机在空中A处探测到它的正下方地平面上目标C，此时飞行高度AC＝1 200 m，从飞机上看地平面指挥台B的俯角α＝30°，则飞机A与指挥台B的距离为()A．1 200 m B．1 200 2 m C．1 200 3 m D．2 400 m2．(2019·枣庄)如图，小明为了测量校园里旗杆AB的高度，将测角仪CD竖直放在距离旗杆底部B 点6 m的位置，在D处测得旗杆顶端A的仰角为53°.若测角仪的高度是1.5 m，则旗杆AB的高度约为______m(精确到0.1 m，参考数据：sin53°≈0.80，cos53°≈0.60，tan53°≈1.33)第1题图第2题图第3题图第4题图3.(2019·广东)如图，某校教学楼AC与实验楼BD的水平间距CD＝153米，在实验楼顶部B点测得教学楼顶部A点的仰角是30°，底部C点的俯角是45°，则教学楼AC的高度是______米(结果保留根号)．4．如图，某城市的电视塔AB坐落在湖边，数学老师带领学生隔湖测量电视塔AB的高度，在点M 处测得塔尖点A的仰角∠AMB为22.5°，沿射线MB方向前进200米到达湖边点N处，测得塔尖点A在湖中的倒影A′的俯角∠A′NB为45°，则电视塔AB的高度为______米(结果保留根号)．5．(2019·宜宾)如图，为了测得某建筑物的高度AB，在C处用高为1米的测角仪CF，测得该建筑物顶端A的仰角为45°，再向建筑物方向前进40米，又测得该建筑物顶端A的仰角为60°.求该建筑物的高度AB.(结果保留根号)6.(2019·西安二模)如图，为了测量某风景区内一座塔AB的高度，小明分别在塔的对面一楼房CD的楼底C、楼顶D处，测得塔顶A的仰角为45°和30°，已知楼高CD为10 m，求塔的高度．(结果精确到0.1 m，参考数据：2≈1.414，3≈1.732，5≈2.236)7．(2019·河南)数学兴趣小组到黄河风景名胜区测量炎帝塑像(塑像中高者)的高度．如图所示，炎帝塑像DE在高55 m的小山EC上，在A处测得塑像底部E的仰角为34°，再沿AC方向前进21 m 到达B处，测得塑像顶部D的仰角为60°，求炎帝塑像DE的高度．(精确到1 m，参考数据：sin34°≈0.56，cos34°≈0.83，tan34°≈0.67，3≈1.73)8．(2019·株洲)小强的爸爸准备驾车外出．启动汽车时，车载报警系统显示正前方有障碍物，此时在眼睛点A处测得汽车前端F的俯角为α，且tanα＝13.若直线AF与地面l1相交于点B，点A到地面l1的垂线段AC的长度为1.6米，假设眼睛A处的水平线l2与地面l1平行．(1)求BC的长度；(2)假如障碍物上的点M正好位于线段BC的中点位置(障碍物的横截面为长方形，且线段MN为此长方形前端的边)，MN⊥l1，若小强的爸爸将汽车沿直线l1后退0.6米，通过汽车的前端F1点恰好看见障碍物的顶部N点(点D为点A的对应点，点F1为点F的对应点)，求障碍物的高度．9．(2017·陕西)某市一湖的湖心岛有一棵百年古树，当地人称它为“乡思柳”，不乘船不易到达，每年初春时节，人们喜欢在“聚贤亭”观湖赏柳．小红和小军很想知道“聚贤亭”与“乡思柳”之间的大致距离，于是，有一天，他们俩带着侧倾器和皮尺来测量这个距离．测量方法如下：如图，首先，小军站在“聚贤亭”的A处，用侧倾器测得“乡思柳”顶端M点的仰角为23°，此时测得小军的眼睛距地面的高度AB为1.7米，然后，小军在A处蹲下，用侧倾器测得“乡思柳”顶端M点的仰角为24°，这时测得小军的眼睛距地面的高度AC为1米．请你利用以上测得的数据，计算“聚贤亭”与“乡思柳”之间的距离AN的长(结果精确到1米，参考数据：sin23°≈0.390 7，cos23°≈0.920 5，tan23°≈0.424 5，sin24°≈0.406 7，cos24°≈0.913 5，tan24°≈0.4452)1.5.3坡度问题1．(2019·广州)如图，有一斜坡AB，坡顶B离地面的高度BC为30 m，斜坡的倾斜角是∠BAC.若tan∠BAC＝25，则此斜坡的水平距离AC为()A．75 m B．50 m C．30 m D．12 m2．如图，某游乐场一山顶滑梯的高为h，滑梯的坡角为α，那么滑梯长l为()A.hsinαB.htanαC.hcosαD．h sinα第1题图第2题图第3题图第4题图3．(2019·西安莲湖区二模)如图，AB是一垂直于水平面的建筑物，某同学从建筑物底端B出发，先沿水平方向向右行走20米到达点C，再经过一段坡度(或坡比)为i＝1∶0.75、坡长为10米的斜坡CD到达点D，然后再沿水平方向向右行走40米到达点E(A，B，C，D，E均在同一平面内)．在E 处测得建筑物顶端A的仰角为24°，则建筑物AB的高度约为(参考数据：sin24°≈0.41，cos24°≈0.91，tan24°≈0.45)()A．21.7米B．22.4米C．27.4米D．28.8米4．(2019·重庆A卷)为践行“绿水青山就是金山银山”的重要思想，某森林保护区开展了寻找古树活动．如图，在一个坡度(或坡比)i＝1∶2.4的山坡AB上发现有一棵古树CD.测得古树底端C到山脚点A的距离AC＝26米，在距山脚点A水平距离6米的点E处，测得古树顶端D的仰角∠AED＝48°(古树CD与山坡AB的剖面、点E在同一平面上，古树CD与直线AE垂直)，则古树CD的高度约为(参考数据：sin48°≈0.74，cos48°≈0.67，tan48°≈1.11)()A．17.0米B．21.9米C．23.3米D．33.3米5．如图，一个斜坡长130 m，坡顶离水平地面的距离为50 m，则该斜坡的坡比是______．6．(2018·枣庄)如图，某商店营业大厅自动扶梯AB的倾斜角为31°，AB的长为12米，则大厅两层之间的高度为______米(结果保留两个有效数字，参考数据：sin31°≈0.515，cos31°≈0.857，tan31°≈0.601)．第5题图第6题图7．如图，在山坡上植树，已知山坡的倾斜角α是20°，小明种植的两棵树间的坡面距离AB是6米，要求相邻两棵树间的水平距离AC在5.3～5.7米范围内，问小明种植的这两棵树是否符合这个要求(参考数据：sin20°≈0.34，cos20°≈0.94，tan20°≈0.36)?8．学校校园内有一小山坡AB(如图)，经测量，坡角∠ABC＝30°，斜坡AB长为12米．为方便学生行走，决定开挖小山坡，使斜坡BD的坡比是1∶3，A，D两点处于同一铅垂线上，求开挖后小山坡下降的高度AD.9．(2018·安顺)如图是某市一座人行天桥的示意图，天桥离地面的高BC是10米，坡面AC的倾斜角∠CAB＝45°，在距A点10米处有一建筑物HQ，为了方便行人推车过天桥，市政府部门决定降低坡度，使新坡面DC的倾斜角∠BDC＝30°.若新坡面下D处与建筑物之间需留下至少3米宽的人行道，问该建筑物是否需要拆除(计算最后结果保留一位小数，参考数据：2≈1.414，3≈1.732)?10．“蘑菇石”是贵州省著名自然保护区梵净山的标志，小明从山脚B点先乘坐缆车到达观景平台DE观景，然后再沿着坡角为29°的斜坡由E点步行到达“蘑菇石”A点，“蘑菇石”A点到水平面BC的垂直距离为1 790 m．如图，DE∥BC，BD＝1 700 m，∠DBC＝80°，求斜坡AE的长度．(参考数据：sin29°≈0.484 8，cos29°≈0.874 6，sin80°≈0.984 8，cos80°≈0.173 6.结果精确到0.1 m)11．(2018·连云港)如图1，水坝的横截面是梯形ABCD，∠ABC＝37°，坝顶DC＝3 m，背水坡AD 的坡度i(即tan∠DAB)为1∶0.5，坝底AB＝14 m.(1)求坝高；(2)如图2，为了提高堤坝的防洪抗洪能力，防汛指挥部决定在背水坡将坝顶和坝底同时拓宽加固，使得AE＝2DF，EF⊥BF，求DF的长．(参考数据：sin37°≈35，cos37°≈45，tan37°≈34)1.6利用三角函数测高1．(2019·益阳)南洞庭大桥是南益高速公路上的重要桥梁，小芳同学在校外实践活动中对此开展测量活动．如图，在桥外一点A测得大桥主架与水面的交汇点C的俯角为α，大桥主架的顶端D的仰角为β，已知测量点与大桥主架的水平距离AB＝a，则此时大桥主架顶端离水面的高CD为()A．a sinα＋a sinβ B．a cosα＋a cosβC．a tanα＋a tanβ D.atanα＋atanβ2．如图，王师傅在楼顶上A点处测得楼前一棵树CD的顶端C的俯角为60°.若水平距离BD＝10 m，楼高AB＝24 m，则树CD高约为()A．5 m B．6 m C．7 m D．8 m第1题图第2题图第3题图3．如图是矗立在高速公路水平地面上的交通警示牌，经测量得到如下数据：AM＝4米，AB＝8米，∠MAD＝45°，∠MBC＝30°，则警示牌的高CD为______米(结果精确到0.1，参考数据：2≈1.41，3≈1.73)．4．如图，在高度是21 m的小山A处测得建筑物CD顶部C处的仰角为30°，底部D处的俯角为45°，则这个建筑物的高度CD＝______m.5．(2018·荆州)荆州市滨江公园旁的万寿宝塔始建于明嘉靖年间，周边风景秀丽．现在塔底低于地面约7 m，某校学生测得古塔的整体高度约为40 m．其测量塔顶相对地面高度的过程如下：先在地面A处测得塔顶的仰角为30°，再向古塔方向行进a m后到达B处，在B处测得塔顶的仰角为45°(如图所示)，那么a的值约为______．(3≈1.73，结果精确到0.1)．第4题图第5题图6．如图，某建筑物BC上有一旗杆AB，小明在与BC相距12 m的F处，由E点观测到旗杆顶部A的仰角为52°，底部B的仰角为45°，小明的观测点与地面的距离EF为1.6 m，求旗杆AB的高度(结果精确到0.1 m，参考数据：2≈1.41，sin52°≈0.79，tan52°≈1.28)．7．(2019·西安蓝田县一模)大雁塔南广场玄奘铜像是为纪念唐代高僧玄奘而设计．在一次课外活动中，甲、乙两位同学测量玄奘铜像的高度，他们分别在A，B两处用高度为1.8 m的测角仪测得铜像顶部C的仰角分别为30°，60°，两人间的水平距离AB为10 m，求玄奘铜像的高度CF.(结果保留根号) 8．(2019·广安)如图，某数学兴趣小组为测量一颗古树BH和教学楼CG的高，先在A处用高1.5米的测角仪AF测得古树顶端H的仰角∠HFE为45°，此时教学楼顶端G恰好在视线FH上，再向前走10米到达B处，又测得教学楼顶端G的仰角∠GED为60°，点A，B，C三点在同一水平线上．(1)求古树BH的高；(2)求教学楼CG的高．(参考数据：2≈1.4，3≈1.7)10．(2019·宝鸡岐山县一模)为了测量休闲凉亭AB的高度，某数学兴趣小组在水平地面D处竖直放置一个标杆CD，并在地面上水平放置一个平面镜E，使得B，E，D在同一水平线上，如图所示．该小组在标杆的F处通过平面镜E恰好观测到凉亭顶端A，在F处测得凉亭A顶端的仰角为30°，平面镜E的俯角为45°，FD＝2米，求休闲凉亭AB的高度．(结果保留根号)小专题(一)构造基本图形解直角三角形的实际应用模型1单一直角三角形1．(2019·温州)某简易房示意图如图所示，它是一个轴对称图形，则坡屋顶上弦杆AB的长为()A.95sinα米B.95cosα米C.59sinα米D.59cosα米2．(2018·台州)图1是一辆吊车的实物图，图2是其工作示意图，AC是可以伸缩的起重臂，其转动点A离地面BD的高度AH为3.4 m．当起重臂AC长度为9 m，张角∠HAC为118°时，求操作平台C离地面的高度(结果保留小数点后一位，参考数据：sin28°≈0.47，cos28°≈0.88，tan28°≈0.53)．模型2背靠背型及其变式第3题图第4题图3．如图，为保护门源百里油菜花海，由“芬芳浴”游客中心A处修建通往百米观景长廊BC的两条栈道AB，AC.若∠B＝56°，∠C＝45°，则游客中心A到观景长廊BC的距离AD的长约为______米(参考数据：sin56°≈0.8，tan56°≈1.5)．4．某市对拦水坝进行加固。
九年级数学下册：第一章直角三角形的边角关系复习教案(北师大版)
第1章直角三角形的边角关系课题回顾与思考教具目标(一)教学知识点1．经历回顾与思考，建立本章的知识框架图．2．利用计算器，发现同角的正弦、余弦、正切之间的关系。
3．进一步体会直角三角形边角关系在现实生活中的广泛应用．(二)能力训练要求1．体会数形之间的联系，逐步学会利用数形结合的思想分析问题和解决问题．2．进一步体会三角函数在现实生活中的广泛应用，增强应用数学的意识．(三)情感与价值观要求1．在独立思考问题的基础上，积极参与对数学问题的讨论，敢于发表自己的观点．并尊重与理解他人的见解，在交流中获益．2．认识到数学是解决现实问题的重要工具，提高学习数学的自信心．教学重点1．建立本章的知识结构框架图．2．应用三角函数解决现实生活中的问题，进一步理解三角函数的意义．教学难点应用三角函数解决问题教学方法探索——发现法教具准备多媒体演示、计算器教学过程Ⅰ．回顾、思考下列问题，建立本章的知识框架图[师]直角三角形的边角关系，是现实世界中应用广泛的关系之一．通过本章的学习，我们知道了锐角三角函数在解决现实问题中有着重要的作用．如在测量、建筑、工程技术和物理学中，人们常常遇到距离、高度、角度的计算问题，—般来说，这些实际问题的数量关系往往归结为直角三角形中边和角的关系．利用锐角三角函数解决实际问题是本章的重要内容，很多实际问题穿插于各节内容之中．[问题门举例说明，三角函数在现实生活中的应用．[生]例如：甲、乙两楼相距30 m，甲楼高40 m，自甲楼楼顶看乙楼楼顶．仰角为30°，乙楼有多高?(结果精确到1 m)解：根据题意可知：3乙楼的高度为30tn30°=40+30×3=40+103≈57(m)，即乙楼的高度约为57 m．[生]例如，为了测量一条河流的宽度，一测量员在河岸边相距180 m的P和Q两点分别测定对岸一棵树T的位置，T在P的正南方向，在Q南偏西50°的方向，求河宽(结果精确到1 m)．解：根据题意，∠TPQ＝90°，∠PQT=90°-50°＝40°，PQ＝180 m．则：PT就是所求的河宽．在Rt△TPQ中，PT=180×tan40°=180×0．839≈151 m，即河宽为151 m．[师]三角函数在现实生活中的应用很广泛，下面我们来看一个例子．多媒体演示如图．MN表示某引水工程的一段设计路线从M到N的走向为南偏东30°，在M的南偏东60°的方向上有一点A，以A为圆心，500 m为半径的圆形区域为居民区，取MN上的另一点B，测得BA 的方向为南偏东75°，已知MB＝400 m，通过计算回答，如果不改变方向，输水路线是否会穿过居民区?[师生共析]解：根据题意可知∠CMB=30°，∠CMA＝60°，∠EBA＝75°，MB=400 m，输水路线是否会穿过居民区，关键看A 到MN 的最短距离大于400 m 还是等于400 m ，于是过A 作AD ⊥MN ．垂足为D ．∵BE//MC ．∴∠EBD ＝∠CMB ＝30°．∴∠ABN=45°．∠AMD ＝∠CMA-∠CMB ＝60°-30°=30°．在Rt △ADB 中，∠ABD ＝45°，∴tan45°＝BD AD ，BD ＝︒45tan AD ＝AD ， 在Rt △AMD 中．∠AMD=30°，tan30° =MD AD ，MD ＝︒30tan AD =3AD ， ∵MD=MD-BD ，即 3AD-AD ＝400， AD-200(3+1)m>400m ．所以输水路线不会穿过居民区．[师]我们再来看[问题2]任意给定一个角，用计算器探索这个角的正弦、余弦、正切之间的关系．例如∠α＝25°，sin α、cos α、tan α的值是多少?它们有何关系呢?[生]sin25°≈0．4226，cos25°≈0．9063，tan25°≈0．4663． 而︒︒25cos 25sin ≈0．4663． 我们可以发现ααcos sin ＝tan α． [师]这个关系是否对任意锐角都成立呢?我们不妨从三角函数的定义出发来推证一下．[师生共析]如 图，在Rt △ABC 中． ∠C ＝90°，∵sinA ＝ABBC cosA ＝AB AC tanA ＝ACBC ， ∴ACBC AC AB AB BC AB AC AB BC A A =⋅=÷=cos sin =tanA, tanA=A A cos sin . 这就是说，对于任意锐角A ，∠A 的正弦与余弦的商等于∠A 的正切．[师]下面请同学们继续用计算器探索sin α，cos α之间的关系．[生]sin 225°≈0．1787,cos 225°≈0．8213，可以发现：sin 225°+cos 225°≈0．1787+0．8213＝1．[师]我们可以猜想任意锐角都有关系：sin 2α+cos 2α＝1，你能证明吗?[师生共析]如上图．sinA= AB BC ，cosA=ABAC sin 2A+cos 2A ＝2222222AB AC BC AB AC AB BC +=+， 根据勾股定理，得BC 2+AC 2＝AB 2，∴sin 2A+cos 2A ＝1，这就是说,对于任意锐角A ，∠A 的正弦与余弦的平方和等于1．[师]我们来看一个例题，看是否可以应用上面的tanA 、sinA 、cosA 之间的关系．已知cosA=53，求sinA ．tanA ． [生]解：根据sin 2A+cos 2A ＝1．得sinA ＝.54)53(1cos 122=-=-A tanA=345354cos sin ==A A . [生]我还有另外一种解法,用三角函数的定义来解．解：∵cosA ＝.53=∠斜边的邻边A 设∠A 的邻边＝3k ．斜边＝5k ．则∠A 的对边＝.4)3()5(22k k k =-∴sinA=.5454==∠k k A 斜边的邻边 tanA=.3434==∠∠k k A A 的邻边的对边 [师]问题3：你能应用三角函数解决哪些问题?[生]锐角三角函数反映了直角三角形的边角关系．凡是属于直角三角形的问题或可以转化为直角三角形的问题，都可以用三角函数来解决．[师]我们知道在直角三角形中，除直角外，有两个锐角．两条直角边以及斜边共5个元素，它们之间的关系很丰富．如图：在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠A 、∠B 、∠C 所对的边分别为a 、b 、c ．(1)边的关系：a 2+b 2=c 2(勾股定理)：(2)角的关系：∠A+∠B ＝90； (3)sinA=c a ，cosA=c b ，tanA=b a ；sinB=c b ，cosB=c a ，tanB=ab ． 利用三角形的全等和直角三角形全等，以及作图，我们知道：当一直角边和斜边确定时，直角三角形唯一确定，即直角三角形的一直角边和斜边已知，则直角三角形中其他元素都可以求出．同学们不妨试一试．[生]例如Rt △ABC 中，∠C ＝90°．a ＝4，c=8求b ，∠A 及∠B解：∵a ＝4，c ＝8，根据勾股定理可得 b=3422=-a c .∵sinA=c a =2184=， ∴∠A ＝30°．又∵∠A+∠B ＝90°，∴∠B ＝60°．[师]很好，是不是只要知道直角三角形除直角外的两个元素，其余元素就都可以求出呢?[生甲]可以．[生乙]不可以．例如Rt △ABC 中，∠c ＝90°，∠A ＝25°．∠B=65°．这样的直角三角形有无数多个，是不唯一确定的，所以其余的元素无法确定．[生丙]我认为已知直角三角形中除直角外的两个元素．其中至少有一个边，就可以求出其余元素．[师]很好，我们来做一个练习．多媒体演示：在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，a 、b 、c 分别是∠A ，∠B 、∠C 的对边．(1)已知a ＝3，b ＝3，求C ，∠A ，∠B ．(2)已知b ＝5，c ＝10，求a ，∠A ，∠B ．(3)已知∠A=45°，c ＝8，求a ，b ，∠B ．[生]解：(1)根据勾股定理c ．=23332222=+=+b a .又∵tanA ∴∠A=b a =33=1, ∴∠A=45°． 又∵∠A+∠B ＝90，∴∠B ＝45°．(2)根据勾股定理，得a=355102222=-=-b c ,又∵sinB ＝21105==c b ∴∠B=30°． 又∵∠A+∠B=90°∴∠A=60°.(3)∵sinA=ca ∴=csinA=8×sin45°=42, 又∵cosA ＝c b ∴b=c ·cosA ＝8×cos45°=42， 又∵∠A+∠B ＝90°，∴∠B=45°．[师]实践证明，在直角三角形中，已知除直角外的两个元素(至少有一个是边)，利用直角三角形中特殊的边的关系、角的关系、边角关系，就可求出其余所有元素．因此，在现实生活中，如测量、建筑、工程技术和物理学中，常遇到的距离、高度、角度都可以转化到直角三角形中，这些实际问题的数量关系往往就归结为直角三角形中边和角的关系问题．接下来，我们看问题4：如何测量一座楼的高度?你能想出几种办法?[生]有四种方法：第一种：用太阳光下的影子来测量．因为在同一时刻，物体的高度与它的影子的比值是一个定值．测量出物体的高度和它的影子的长度，再测出高楼在同一时刻的影子的长度．利用物体的高度：物体影子的长度＝高楼的高度，高楼影子的长度．便可求出高楼的高．第二种：在地面上放一面镜子，利用三角形相似，也可以测量出楼的高度．第三种：用标杆的方法．第四种：利用直角三角形的边角关系求楼的高度．[师]下面就请同学们对本章的内容小结，建立本章内容框架图．[师生共析]本章内容框架如下：Ⅱ．随堂练习1．计算(1)︒-︒︒-︒45cos 60sin 45sin 30cos (2)sin 230°+2sin60°+tan45°-tan60°+cos 230°；(3)原式＝.60tan 60tan 60tan 212︒-︒+︒-解：（1）原式=22232223--=1； （2）原式=（21）2+2×23+1-3+（23）2； =4331341+-++ =1+1=2（3）原式=︒-︒-60tan )60tan 1(2＝｜1-tan60°｜-tan60°＝tan60°-1-tan60°＝-1．2．如图，大楼高30 m ，远处有一塔BC ，某人在楼底A 处测得塔顶的仰角为60°，爬到楼顶D 测得塔顶的仰角为30°，求塔高BC 及楼与塔之间的距离AC(结果19确到0．0l m)．解：没AC=x ，BC ＝y ，在Rt △ABC 中，tan60°=xy ，① 在Rt △BDE 中．tan30°=x y 30-，② 由①得y ＝3x ，代入②得33=xx 303 . x=153≈25．98(m)．将x ＝153代入y=3x=3×153 ＝45(m)．所以塔高BC 为45 m ，大楼与塔之间的距离为25．98 m ．Ⅲ．课时小结本节课针对回顾与思考中的四个问题作了研讨，并以此为基础，建立本章的知识框植架结构图．进一步体验三角函数在现实生活中的广泛应用．Ⅳ．课后作业复习题A 组1，2，5，6，8B 组2．3，4，5，6Ⅴ．活动与探究如图．AC 表示一幢楼，它的各楼层都可到达；BD 表示一个建筑物，但不能到达．已知AC 与BD 地平高度相同，AC 周围没有开阔地带，仅有的测量工具为皮尺(可测量长度)和测角器(可测量仰角、俯角和两视线间的夹角)．(1)请你设计一个测量建筑物BD 高度的方案，要求写出测量步骤和必要的测量数据(用字母表示)，并画出测量示意图：(2)写出计算BD 高度的表达式．[过程]利用测量工具和直角三角形的边角关系来解决．这里的答案不唯一，下面只写出一种方法供参考．[结果]测量步骤(如图)：①用测角器在A 处测得D 的俯角α；②用测角器在A 处测得B 的仰角β ③用皮尺测得AC=am ．(2)CD=αtan a ,BE=αtan a ·tan β, BD=a+αβtan tan a . 板书设计回顾与思考本章内容结构框架图:。
数学北师大版九年级下册回顾与思考 第一章 直角三角形的边角关系
A视线
O
P水平线
B视线
(2)坡度和坡角 坡度：坡面的铅直高度h和水平宽度l的比叫做坡面的坡度(或坡比)， 记作i＝________ 坡角： 坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作α，i＝tanα 坡度越大，α角越大，坡面________
例2. △ABC中，∠A、∠B满足|tanA-1|+(2cosB-1)2=0，则∠C=
4.解直角三角形 解直角三角形的常用关系 在Rt△ABC中，∠C＝90°，则： (1)三边关系：
(2)两锐角关系：
(3)边与角关系：
4.解直角三角形的应用的常用知识 (1) 仰角和俯角： 仰角：在视线与水平线所成的角中， 视线在水平线上方的角叫做仰角 俯角： 在视线与水平线所成的角中， 视线在水平线下方的角叫做俯角
F
E
例7.某地的一座人行天桥如图所示，天桥高为6米，坡面BC的坡度为1：1， 为了方便行人推车过天桥，有关部门决定降低坡度，使新坡面的坡度为 1： 3． （1）求新坡面的坡角α； （2）原天桥底部正前方8米处（PB的长）的文化墙PM是否需要拆桥？请 说明理由．
三.分享你的收获：
D
3 ，tan(90°－B)2
D
E
F
例4.如图，已知在Rt△ABC中，∠ABC=90°，点D沿BC自B向C运动（点D 与点B、C不重合），作BE⊥AD于E，CF⊥AD于F， 则BE+CF的值（ C ） A.不变 B.增大 C.减小 D.先变大再变小
例5.如图，小东在教学楼距地面9米高的窗口C处， 测得正前方旗杆顶部A点的仰角为37°，旗杆底部B 点的俯角为45°.升旗时，国旗上端悬挂在距地面 2.25米处. 若国旗随国歌声冉冉升起，并在国歌播放 45秒结束时到达旗杆顶端，则国旗应以多少米/秒 的速度匀速上升？（参考数据：sin370=0.60， cos370=0.80，tan370=0.75）
直角三角形的边角关系练习题
§ 11
四、随堂练习:
2、如图，某人从山脚下的点
走了200m后到达山顶的点B,已知点B到山脚的垂直距离为
55m
求山的坡度.（结果精确到0.001）
4、菱形的两条对角线分别是 的夹角为则tan0 = _
3、若某人沿坡度i = 3:4的斜坡前进10米,则他所在的位置
比原来的位置升高
5、如图，Rt△ABC是一防洪堤背水坡的横截面图，斜坡AB的长为12m,它的坡角为45。，为了提高该堤的防洪能力，现 将背水坡改造成坡比为1：1.5
的斜坡AD求DB的长.（结果保留根号）
五、课后练习：
1、在Rt△ABC中，/C=90 ,AB=3,BC=1,则tanA二・
2、在厶ABC中,AB=10,AC=8,BC=6,贝U tanA=・
12
7、已知:如图，斜坡AB的倾斜角a,且tan a二•现有一小球从坡底
4
处以20cm/s的速度向坡顶B处移动，则小球以多大的速度向上升高
§
四、随堂练习：
2、在厶ABC中，Z C=90。,si nA-,BC=2Q求厶ABC的周长和面积
1、在等腰三角形ABC中，AB=AC=5,BC=6求sinB,cosBftanB.
3、在厶ABC中/AB=AC=3,BC=4/则tanC=・
4、在RfABC中，ZC是直角，/A、/B、ZC的对边分别是a、b、c,且a=24,c=25,求tanA、tanB的值
5、若三角形三边的比是25:ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ4:7,求最小角的正切值
6、如图，在菱形ABCD中,AE丄BC于EzEC=l,tanB=，求菱形的边长和四边形
中考数学复习指导：《直角三角形的边角关系》专题专练及答案
（1）较长的对角线长； （精确到 0.1cm）；
（2）菱形的面积（精确到 1cm2）（其中 tan 25 0 ＝0.4663 ）
B
D O
C 图3
10、已知如图 4， AB ∥DC ，∠ D＝ 900， BC ＝ 10 ， AB ＝ 4，
tan C ＝ 1 ，求梯形 ABCD 的面积。 3
A
B
D
C
图4
分析：本题可以根据定义转化为边的比，也可以利用特殊角的三角
函数值求解 解：由勾股定理的逆定理、 直角三角形斜边上的中线性质
图3 . 由 52+122=132 知△ ABC是直角
三角形， AC是斜边，所以
1
BD=
AC=13
cm.
22
点评：由数量关系判断三角形的形状，这是数形结合思想的体现
. 学习时要注意把直角
例 1. 如图 4，在 Rt △ ABC 中，
确的是（
）
ACB
Rt ， BC 1， AB
2 ，则下列结论正
B
A． sin A 3 2
C． cos B 3 2
1 B． tan A
2 D． tan B 3
A
C
图4
【分析】此题考查了特殊角的三角函数值 . 由已知可知∠ A=30°，∠ B=60°，对照 30°、）图2A 、115B、2
15
C、
2
15
D、
2
5、李红同学遇到了这样一道题：
3 tan(α +20 ° )=1，你猜想锐角 α 的度数应是
A.40 °
B.30 °
C.20 °
D.10 °
6、在△ ABC 中，若 tanA=1， sinB= 2 ，你认为最确切的判断是 2
北师版九年级下册第一章直角三角形的边角关系知识点及习题
九年级下册第一章 直角三角形的边角关系【知识要点】一、锐角三角函数：正切：在Rt △ABC 中，锐角∠A 的对边与邻边的比叫做∠A 的正切．．，记作tanA ，即b A atan =; 正弦．．：．在Rt △ABC 中，锐角∠A 的对边与斜边的比叫做∠A 的正弦，记作sinA ，即ca sin =A ; 余弦：在Rt △ABC 中，锐角∠A 的邻边与斜边的比叫做∠A 的余弦，记作cosA ，即cA bcos =; 余切：在Rt △ABC 中，锐角∠A 的邻边与对边的比叫做∠A 的余切，记作cotA ，即cA b cot =; 注：（1）sinA,cosA,tanA, 是在直角三角形中定义的,∠A 是锐角(注意数形结合,构造直角三角形). （2）sinA,cosA,tanA, 是一个完整的符号,表示∠A,习惯省去“∠”号； （3）sinA,cosA,tanA,是一个比值.注意比的顺序,且sinA,cosA,tanA,均﹥0,无单位. （4）sinA,cosA,tanA, 的大小只与∠A 的大小有关,而与直角三角形的边长无关. （5）角相等,则其三角函数值相等；两锐角的三角函数值相等,则这两个锐角相等. 1、三角函数和角的关系tanA 的值越大，梯子越陡，∠A 越大；∠A 越大，梯子越陡，tanA 的值越大。
sinA 的值越大，梯子越陡，∠A 越大；∠A 越大，梯子越陡，sinA 的值越大。
cosA 的值越小，梯子越陡，∠A 越大；∠A 越大，梯子越陡，cosA 的值越大。
2、三角函数之间的关系 （1）互为余角的函数之间的关系0º 30 º 45 º 60 º 90 º若∠A 为锐角，则①)90cos(sin A A ∠-︒=；)90sin(cos A A ∠-︒=②)90cot(tan A A ∠-︒=；)90tan(cot A A ∠-︒=（2）同角的三角函数的关系 1)平方关系：sinA 2＋cosA 2＝1 2)倒数关系：tanA ·cotA ＝13)商的关系：tanA ＝A o A s c sin ，cotA ＝A Asin cos二、解直角三角形：※在直角三角形中，除直角外，一共有五个元素，即三条边和二个锐角。
北师大版九年级下册数学：第一章 直角三角形的边角关系 回顾与思考
13
求：cosA，sinB，tanA.的值 .
练一练
点拨：画出图形，直观分析。结 合勾股定理和三角函数知识单位 三角形解决。
4.在Rt△ABC中,∠C=90°,a,b,c分别是 ∠A,∠B,∠C的对边. (1)已知a=3,b=3,求∠A; (2)已知c=8,b=4,求a及∠A;; (3)已知c=8,∠A=45°,求a及b .
4.直角三角形的边角关系
直角三角形三边的关系: 勾股定理 a2+b2=c2.
直角三角形两锐角的关系:两锐角互余 ∠A+∠B=900. 直角三角形边与角之间的关系:锐角三角函数
互余si两n A角 c之osB间的ac , 三c角osA函数sin关B 系 bc:,∠A+t∠anBA=90ba°. .c
B
sinA=cosB
坡度。坡度通常写成i=h/l=tan α。
二.练习
1、在Rt△ABC中，∠B＝900，AB＝3，BC＝4，则 ；sinA, tanA.
2、（1）sin 60 2sin 30cos30
3cos60 0
（2） 2 sin 60 0 3 cos450 （3） 5sin 30 0 1
3. 在Rt△ABC中，∠C＝900，若 sin A 12
sin A 1 2
∠A=
300 sin A 3 2
∠A=
600 sin A 2
2
∠A= 450
cos A 1 2
∠A=
600 cos A
2 2
∠A=
450 cos A 3 2
∠A= 300
tan A 3 3
∠A=
300 tan A
3 ∠A= 600
tan A 1 ∠A= 450
九下第一章：直角三角形的边角关系
九下第一章《直角三角形的边角关系》测验卷一、选择题（本大题有6小题，第6小题选做一题,每小题3分，共18分） 1、在Rt ΔABC 中，∠C=90°，AB=13，BC=5，则下列各式中正确的是（ ）．A 、512sin =A B 、1312cos =A C 、512tan =A D 、1312tan =A 2、在Rt △ABC 中，∠C=90°，若22sin =A ，则cosB 的值为（ ）． A 、21B 、22C 、23D 、13、在△ABC 中，∠C=90°，∠B=2∠A ，则cosA 等于（ ）．A 、23 B 、21C 、3D 、33 4、在△ABC 中，∠C=90°，如果125tan =A ，那么sinB 的值等于（ ）． A 、135 B 、1312C 、125D 、5125、如图，Rt △ABC 中，∠ACB=90°，CD ⊥AB ，D 为垂足，若AC=4，BC=3，则sin ∠ACD 的值为（ ）．A 、34 B 、43 C 、54 D 、536～A 、2tan 302tan301tan30︒-︒++︒=( ) A 、233 B 、2313- C 、231- D 、1 6～B 、如图，在高为2m ，坡角为︒30的楼梯表面铺地毯，地毯的长度至少需要（ ）． A 、m )13(2+ B 、4m C 、m )23(+ D 、m )33(2+ 二、填空题（本大题有6小题，第12小题选做一题，每小题3分，共18分） 7、在Rt ABC △中，90C ∠=°，若1sin 2A =，则A ∠= 。
8、比较大小：tan29° tan41°DCA B第5题图6～B 图9、如图是某商场一楼与二楼之间的手扶电梯示意图．其中AB 、CD 分别表示一楼、二楼地面的水平线，∠ABC =150°，BC 的长是8 m ，则乘电梯从点B 到点C 上升的高度 h= 。
§1-6 回顾和思考第一章直角三角形边角关系练习-精品文档
6. 回顾与思考(2)直角三角形边 角关系练习
阳泉市义井中学 高铁牛
想一想P29 1
看图说话--你学到了什么
1. 锐角三角 c 函数的定义.
A b
驶向胜利 的彼岸
B
2.特殊角的 三角函数值.
a
2
450
300
450
┌
2
1
600 ┌ A
3
1
┌ C A
450 ┌ 300
2 x-k=0的两根,求∠A,∠B的度数及k值.
9 随堂练习P31
正弦、余弦函数
题6.
驶向胜利 的彼岸
1
3.应用锐角三 角函数求三角 形中未知的边 和角及其面积.
B
D
20
0 0 C B 60 ┐ 45 D
C
20
4.如何测量一物体的高度?你能想出几种方法?
想一想P29 2
根据图中所示数值求AD
1.
A
驶向胜利 的彼岸
2.
300 20 600
A
3.
A
B 20 C
300
450
┌ D
B
C
┌ D
0 450 60┌ B 20 C D
13
12
13 5
(2).在Rt△ABC中,∠C=900,下列式子中不一定成立的 是( ) A A.Sin A=sinB; B.cosA=sinB; C.sinA = cosB; D.sin(A+B)=sinC;
6 例题欣赏P30
正弦、余弦函数
驶向胜利 的彼岸
题4.(1).在Rt△ABC中，∠C=900，a，b分别∠A,∠B的对 边,若sinA:sinB=2:3,则a:b=( A ) A.2:3; B. 3:2; C.4:9 ; D. 9:4; (4).已知:角α为锐角,sin α=0.8,则α的范围是( C ) A.00< α<300; B. 300< α<450; C. 450< α<600; D. 600< α<900; (5).在△ABC中,∠C =900,sin A= 3 ,则cosB=( A ) 9 A. 3 B. 4 C. 5 16 D.
第一章 直角三角形边角关系练习题-
第一章 直角三角形边角关系练习题班级 姓名 总分_______一、填空题：（每小题2分，共20分）1、 在Rt △ABC 中，∠B ＝900，AB ＝3，BC ＝4，则A sin = ，A cos = ；2、 Rt △ABC 中，∠C ＝900，A sin =54，AB =10，则BC ＝ ； 3、α是锐角，若︒=15cos sin α,则α＝ ;若8018.0'1853sin =︒，则'4236cos ︒= ；4、∠B 为锐角，且01cos 2=-B ，则∠B ＝ ；5、在△ABC 中，∠C ＝900，∠A ，∠B ，∠C 所对的边分别为a 、b 、c ，12,9==b a ，则A sin = ，B sin = ；6、在Rt △ABC 中，∠C ＝900，21tan =A ，则=B tan ； 7、若∠A 为锐角，且03tan 2tan 2=-+A A ，则∠A ＝8、Rt △ABC 中，8,60=︒=∠c A ，则__________,==b a ；9、在△ABC 中，若2,32==b c ,，则____tan =B ，面积S ＝ ；10、在△ABC 中，AC ：BC ＝1：3，AB ＝6，∠B ＝ ，AC ＝ BC ＝二、选择题 （每小题3分，共15分）1、在Rt △ABC 中，各边的长度都扩大2倍，那么锐角A 的正弦、余弦值 （ ）（A ）都扩大2倍 （B ）都扩大4倍 （C ）没有变化 （D ）都缩小一半2、在Rt △ABC 中，已知a 边及∠A ，则斜边应为 （ ）（A ）a A sin （B ）Aa sin （C ）a A cos （D ）A a cos 3、等腰三角形底边与底边上的高的比是3:2，则顶角为 （ ）（A ）600 （B ）900 （C ）1200 （D ）15004、在△ABC 中，A ，B 为锐角，且有 B A cos sin =，则这个三角形是 （ ）（A ）等腰三角形 （B ）直角三角形 （C ）钝角三角形 （D ）锐角三角形5、有一个角是︒30的直角三角形，斜边为cm 1，则斜边上的高为 （ ）（A ）cm 41（B ）cm 21（C ）cm 43（D ）cm 23三、求下列各式的值（每小题4分，共32分）1、︒+︒60cos 60sin 222、︒︒-︒30cos 30sin 260sin3、︒-︒45cos 30sin 24、3245cos 2-+︒5、0045cos 360sin 2+6、130sin 560cos 300-7、︒30sin 22·︒+︒60cos 30tan ·︒30cos 8、︒-︒30tan 45sin 22四、解答下列各题（每小题5分，共15分）1、在Rt △ABC 中，∠C ＝900，，AB ＝13，BC ＝5，求A sin , A cos ，A tan .2. 在Rt △ABC 中，∠C ＝900，若1312sin =A 求 A cos ，B sin ，B cos ；3. 在Rt △ABC 中，︒=∠=︒=∠45,17,90B b C ,求a 、c 与A ∠；五、（每小题3分，共12分）在Rt △ABC 中︒=∠90C ，根据下列条件解直角三角形。
九下第一章直角三角形的边角关系回顾与思考一作业新版北师大版
13.(2023•内江)某中学依山而建，校门 A 处有一坡度 i＝5∶12 的斜坡 AB，长度 为 26 m，在坡顶 B 处看教学楼 CF 的楼顶 C 的仰角∠CBF＝45°，离 B 点 4 m 远的 E 处有一个花台，在 E 处仰望 C 的仰角∠CEF＝60°，CF 的延长线交校门处的水平 面于点 D，求 CD 的长(结果保留根号).
在 Rt△CEF 中，CF＝EF•tan ∠CEF＝tan 60°EF＝ 3 EF，∴BF＝ 3 EF，即 BE
＋EF＝ 3 EF，即 4＋EF＝ 3 EF，∴EF＝(2 3 ＋2)m，∴CF＝(6＋2 3 )m，∴CD
＝CF＋DF＝6＋2 3 ＋10＝(16＋2 3 )(m)
14.
(2023•锦州)如图①所示的是某校教学楼正厅一角处摆放的
＝
AC2＋CD2 ＝
62＋42
＝2
13
.又∵S
△ABD
＝1 2
AB·DE
＝1 2
BD·AC，即12
·10DE
＝1 ×4×6，∴DE＝12 ，∴AE＝ AD2－DE2 ＝ （2 13）2－（12）2 ＝34 ，∴tan
2
5
5
5
∠BAD＝DAEE
＝6 17
考点 4 三角函数的实际应用
11.
如图，某停车场入口的栏杆 AB 从水平位置绕点 O 旋转到 A′B′
“教学楼平面示意图”展板，数学学习小组想要测量此展板的最高点到地面的高度，
他们绘制了如图②所示的展板侧面的截面图，并测得 AB＝120 cm，BD＝80 cm，
∠ABD＝105°，∠BDQ＝60°，底座四边形 EFPQ 为矩形，EF＝5 cm.请你帮助该数
学学习小组求出展板的最高点 A 到地面 PF 的距离(结果精确到 1 cm，参考数据：
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450 60┌0 B 20 C D
A
α β┌ Ba C D
5.ADatatannttaann.
Bα
┐β Da
C
想一想P29 2
750角的三角函数值
驶向胜利 的彼岸
5.请你设法构造一个图形,求出750,150角的三角函数 值(结果用带根号的数表示).
A
sin750 6 2 cos750 6 2
九年级数学(下)第一章 直角三角形的边角关系
6. 回顾与思考(2)直角三角形边 角关系练习
阳泉市义井中学 高铁牛
想一想P29 1
看图说话--你学到了什么
驶向胜利 的彼岸
1. 锐角三角 函数的定义. c
A
b
3.应用锐角三
B 2.特殊角的
三角函数值.
300
2
a ┌ C
A
2 450 1
3
450 ┌ 600 ┌
4
4
3 300
6 2
E
2
1
1 450
75┌0
2
ta7n502 3
B 2CD
6 2 2
注意到了吗,750与150互为余角.
你还有不同的方法吗?与同伴交流.
想一想P29 2
150角的三角函数值
驶向胜利 的彼岸
5.请你设法构造一个图形,求出750,150角的三角函数 值(结果用带根号的数表示).
13
3 . 化 : s4 i简 c n 2 o s2 s ic n 2 o . s
A
21 3
sin150 6 2
2
4
3 3 E 3 1
2
2
3002 450
B 3 1 C
1
1
┌ D
ta1n502 3
co1s 50 6 2 4
3
注意到了吗,150与750互为余角.
你还有不同的方法吗?与同伴交流.
想一想P29 2
150角的三角函数值
驶向胜利 的彼岸
5.请你设法构造一个图形,求出750,150角的三角函数 值(结果用带根号的数表示).
(6).sin370cos(8+x)0-cos530sin(49-x)0+sin370cos(41+x)0cos530sin(82-x)0
(7).已知:sinα·cosβ= 1,且450<α<900,求:cosα-sinα的值. 8
(8).在Rt△ABC中,∠C=900,若sinA,sinB是方程
A. 3
5
B. 4
5
C. 5 16
25
D. 9
25
做一做P30 7
正弦、余弦函数
驶向胜利 的彼岸
题5 计算:
1 .1 s6 in 0 02 c2 o 40 s 5 s3 in 0 c 03 o0 0 s si 4 n 0 ;5
2
2
2. 3si6 n0 0co 24 s0 5 3co 6s0 0
x2- 2 x-k=0的两根,求∠A,∠B的度数及k值.
随堂练习P391
正弦、余弦函数
驶向胜利 的彼岸
题6.
1 .已s知 ixn co x s7,求 sixn co x的 s. 值
(2).已知:在Rt△ABC中5 ,∠C=900,sinAcoA s 17,
周长为60cm.求斜边c的长.
边,若sinA:sinB=2:3,则a:b=( A )
A.2:3; B. 3:2; C.4:9 ; D. 9:4;
(4).已知:角α为锐角,sin α=0.8,则α的范围是( C )
A.00< α<300;
B. 300< α<450;
C. 450< α<600; D. 600< α<900;
(5).在△ABC中,∠C =900,sin A= 3 ,则cosB=( A )
时竹竿与地面所成锐角的大小是多少？ 解：如图，在Rt△ABC中
si nBC 2.30.57, 5350.
AB 4
B
4m
2.3m
A
C
随堂练习P249
无处不在的数学
驶向胜利 的彼岸
题2: 如图,拦水坝的横断面为梯形ABCD,背水坡的坡度
为1︰3,求背水坡的坡角α？
A
D
坡度 (tan)AE.
则sinA=(
A.
12
13
B)
B. 5
13
C. 5
12
D. 13
5
(2).在Rt△ABC中,∠C=900,下列式子中不一定nB;
B.cosA=sinB;
C.sinA = cosB;
D.sin(A+B)=sinC;
例题欣赏P360
正弦、余弦函数
驶向胜利 的彼岸
题4.(1).在Rt△ABC中，∠C=900，a，b分别∠A,∠B的对
1A 1
角函数求三角
形中未知的边 和角及其面积.
B
450 ┌ D
300
20
C
600 ┐
B
D
450
C
20
4.如何测量一物体的高度?你能想出几种方法?
想一想P29 2
根据图中所示数值求AD
1.
A
2.
A 3.
驶向胜利 的彼岸
A
300
B 20 C
4.
450 ┌ D
300
B 20
60┌0 CD
A
4.ADatantan. 5. tantan
BE
B
E
解：过点A作AE⊥BC于E.
ta nAE10.333 , 3
BE 3
C
数学化
?
18.4330.2(或18°25′59″).
∴背水坡的坡角α约为18°.
想一想P29 5
正弦、余弦函数
驶向胜利 的彼岸
题3.基础训练:
(1).在Rt△ABC中,∠C=900,AB=13,AC=12,BC=5.
2
3 . s 2 3 i 0 2 n s 0 6 0 i c n 0 4 0 o c 9 5 0 o s s 0 9 0 i s s 4 n 0 0 in
随堂练习P381
正弦、余弦函数
驶向胜利 的彼岸
(4). sin 2α+sin 2β- sin 2α·sinβ+cos2α·cos2β. (5).(sin2360+sin2540-sin900) ·sin600·cos450·sin450
A
6 2
150
B2
2
300
┌
C
3D
sin150 6 2
1
4
co1s 50 6 2 4
ta1n502 3
注意到了吗,150与750互为余角. 你还有不同的方法吗?与同伴交流.
回顾与思考3
随处可见的数学
驶向胜利 的彼岸
题1：一根4m长的竹竿斜靠在墙上.
①如解果：∴∴竹如竹A图竿C竿，=与下A在地B端R×面t离△co成墙As6脚B60C°0有°中=2角4(×mc,o)12远那s6=0。么°2竹(=mAA竿)CB 下端离墙脚A4m多60°远BC？ ② 如果竹竿上端顺墙下滑到高度2.3m处停止,那么此