浙江专用2019高考数学二轮复习精准提分第一篇屑点抢先练基础题不失分第6练计数原理试题

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2019高考数学浙江精准提分练：高考模拟试卷(六)

高考模拟试卷(六)(时间：120分钟满分：150分) 第Ⅰ卷(选择题共40分)一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．若复数z 满足z1－i ＝i2 016＋i2 017(i 为虚数单位)，则z 为( ) A ．－2 B ．2 C ．2i D ．－2i答案 B解析设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则a ＋b i1－i＝1＋i ⇒a ＋b i ＝2，得z ＝2，故选B.2．已知A ＝{x |y 2＝x }，B ＝{y |y 2＝x }，则( ) A ．A ∪B ＝A B ．A ∩B ＝A C ．A ＝B D ．(∁R A )∩B ＝∅答案 B解析因为A ＝{x |x ≥0}，B ＝{y |y ∈R }，所以A ∩B ＝A ，故选B.3．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足3b cos C ＝3a －c ，则cos B 等于( ) A.223B.13 C ．－223D ．－13答案 B解析因为3b cos C ＝3a －c ，则3sin B cos C ＝3sin A －sin C ＝3sin(B ＋C )－sin C ，所以sin C ＝3[sin(B ＋C )－sin B cos C ]＝3cos B sin C ，因为sin C ≠0，所以cos B ＝13，故选B.4．若实数x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －4y ＋4≤0，x ＋y ≤1，x ≥－3，则x －y 的最大值是( )A ．－7B ．－134C ．－1D ．7答案 C解析题中的不等式组表示的平面区域为以⎝ ⎛⎭⎪⎫－3，14，(0,1)，(－3，4)为顶点的三角形区域(包含边界)，设z ＝x －y ，由图易得当直线z ＝x －y 经过平面区域内的点(0,1)时，目标函数z ＝x －y 取得最大值，最大值为0－1＝－1，故选C.5．已知{a n }是等比数列，则“a 2<a 4”是“{a n }是单调递增数列”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件答案 B解析若a n ＝(－2)n是等比数列，且a 2＝4<a 4＝16，但该数列不具有单调性，所以充分性不成立；若{a n }是单调递增的等比数列，则必有a 2<a 4，所以必要性成立．即“a 2<a 4”是“{a n }是单调递增数列”的必要不充分条件，故选B. 6．已知p >0，q >0，随机变量ξ的分布列如下表：若E (ξ)＝49，则p 2＋q 2等于( )A.49B.12C.59 D ．1答案 C解析由题意得q ＋p ＝1，E (ξ)＝pq ＋qp ＝2pq ＝49，所以p 2＋q 2＝(q ＋p )2－2pq ＝1－49＝59，故选C.7．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ，x >0，－x 2－4x ，x ≤0，则此函数图象上关于原点对称的点有( )A ．0对B ．1对C ．2对D ．3对答案 B解析作出函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ，x >0的图象关于原点对称的图象，确定它与函数y ＝－x 2－4x ，x ≤0的图象的交点个数即可，由图象易知有1个交点，故选B.8．双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1(－c ,0)，F 2(c ,0)，A 为双曲线C右支上一点，且|AF 1|＝2c ，AF 1与y 轴交于点B ，若F 2B 是∠AF 2F 1的平分线，则双曲线C 的离心率是( ) A.3＋32B ．1＋ 3 C.3＋53D.3＋52答案 D解析设∠AF 2B ＝α，由F 2B 是∠AF 2F 1的平分线，得∠BF 2F 1＝α，又|AF 1|＝2c ，|F 1F 2|＝2c ，∴∠F 2AF 1＝2α，又|BF 1|＝|BF 2|，∴∠BF 1F 2＝α，故∠ABF 2＝2α.由|AF 1|＝2c ，得|AF 2|＝2c －2a ，∴|AB |＝2a ，由角平分线性质知|F 1F 2||AF 2|＝|BF 1||AB |，即2c 2c －2a ＝2c －2a 2a ，∴ac ＝c 2－2ac＋a 2，∴e 2－3e ＋1＝0，解得e ＝3±52，又e >1，∴e ＝3＋52，故选D.9．已知θ∈[0，π)，若对任意的x ∈[－1,0]，不等式x 2cos θ＋(x ＋1)2sin θ＋x 2＋x >0恒成立，则实数θ的取值范围是( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫π12，5π12B.⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，π4C.⎝⎛⎭⎪⎫π4，3π4D.⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，5π6答案 A解析由题意可设f (x )＝(cos θ＋sin θ＋1)x 2＋(2sin θ＋1)x ＋sin θ.因为θ∈[0，π)，所以θ＋π4∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫π4，5π4，所以cos θ＋sin θ＋1＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＋1∈(0，2＋1]，所以关于x 的一元二次函数的图象开口向上，要使当x ∈[－1,0]时，f (x )>0恒成立，则必有⎩⎪⎨⎪⎧f (0)＝sin θ>0，f (－1)＝cos θ>0，所以θ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，此时2cos θ＋2sin θ＋2>2sin θ＋1，则函数的对称轴x 0＝－2sin θ＋12cos θ＋2sin θ＋2>－1，且x 0<0，所以Δ＝(2sin θ＋1)2－4sin θ(cos θ＋sin θ＋1)<0，整理得sin 2θ>12，所以2θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，5π6，即θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π12，5π12，故选A.10．已知向量a ，b 的夹角为π3，|b |＝2，对任意x ∈R ，有|b ＋x a |≥|a －b |，则|t b －a |＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪t b －a 2(t ∈R )的最小值是( ) A.132B.32 C ．1＋32D.72答案 D解析因为|b ＋x a |≥|a －b |，两边平方，得b 2＋2x a ·b ＋x 2a 2≥a 2－2a ·b ＋b 2，即x 2a 2＋2x a ·b －a 2＋2a ·b ≥0.则Δ＝(2a ·b )2－4a 2·(－a 2＋2a ·b )≤0，即(a 2－a ·b )2≤0，即a 2＝a ·b ，所以(a －b )⊥a ，即(a －b )·a ＝|a |2－a ·b ＝0.又因为向量a ，b 的夹角为π3，|b |＝2，所以|a |2－2|a |cosπ3＝0，解得|a |＝1，则不妨设b ＝OB →＝(2,0)，a ＝OA →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32，OC →＝a 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫14，34，则|t b －a |＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪t b －a 2(t ∈R )等价于位于x 轴上的点到A ，C 两点的距离之和，易得点C 关于x 轴的对称点为C ′⎝ ⎛⎭⎪⎫14，－34，所以|t b －a |＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪t b －a 2(t ∈R )的最小值为|AC ′|＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－142＋⎝ ⎛⎭⎪⎫32＋342＝72，故选D. 第Ⅱ卷(非选择题共110分)二、填空题(本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分．把答案填在题中横线上)11．设等差数列{a n }的公差是d ，前n 项和是S n .若a 1＝1，a 5＝9，则公差d ＝________，S n ＝________. 答案 2 n 2解析公差d ＝a 5－a 15－1＝2，前n 项和S n ＝na 1＋n (n －1)2d ＝n ＋n (n －1)＝n 2.12．某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的体积是________(单位：cm 3)，表面积是________(单位：cm 2)．答案4338＋3＋7 解析由三视图可得该几何体是四棱锥，底面是边长为2的正方形，高为3，则该几何体的体积为13×4×3＝433.有一个侧面是边长为2的等边三角形，且该侧面垂直于底面，有两个侧面是以2为直角边的等腰直角三角形，面积均为2，另一个侧面是等腰三角形，腰长为22，底边长为2，面积为7，故该几何体的表面积为34×22＋2×2＋7＋4＝8＋3＋7.13．已知(x ＋1)2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x3n 的展开式中没有x 2项，n ∈N *，且5≤n ≤8，则n ＝________，常数项为________．答案 7 42解析因为(x ＋1)2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x 3n ＝(x 2＋2x ＋1)·⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x3n ，则当第1个括号取x 2时，第2个括号不能有常数项，而当n ＝8时，展开式中含有常数项C 28；当第1个括号取2x 时，第2个括号不能含有x 项，而当n ＝5时，展开式中含有x 项C 15x ；当第1个括号取1时，第2个括号不能含有x 2项，而当n ＝6时，展开式中含有x 2项C 16x 2.由上可知n ＝7.常数项为C 12x ·C 27⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 32·x5＝42.14．已知圆C ：(x －a )2＋(y －b )2＝2，圆心C 在曲线y ＝1x(x ∈[1,2])上，则ab ＝________，直线l ：x ＋2y ＝0被圆C 所截得的弦的长度的取值范围是________．答案 1 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤255，2105解析由题意得圆C 的圆心为(a ，b )，所以b ＝1a，1≤a ≤2，则ab ＝1.圆心(a ，b )到直线x＋2y ＝0的距离d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪a ＋2a 5，则直线x ＋2y ＝0被圆C 所截得的弦的长度为l ＝2r 2－d 2＝22－⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪a ＋2a 52＝26－⎝⎛⎭⎪⎫a 2＋4a 25，则由基本不等式易得当a 2＝2时，l 取得最大值2105；当a 2＝1或a 2＝4时，l 取得最小值255，所以直线x ＋2y ＝0被圆C 所截得的弦的长度的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤255，2105.15．A ，B ，C ，D ，E 5名同学坐成一排照相，要求学生A ，B 不能同时坐在两旁，也不能相邻而坐，则这5名同学坐成一排的不同坐法共有________种．(用数字作答) 答案 60解析先排C ，D ，E 三名学生，有A 33＝6(种)坐法，A ，B 两名学生有A 24－A 22＝10(种)坐法，故这5名学生的不同坐法共有6×10＝60(种)．16．已知a >0，b >0，且满足3a ＋b ＝a 2＋ab ，则2a ＋b 的最小值为________．答案 22＋3解析由3a ＋b ＝a 2＋ab 知，显然a ≠1，所以b ＝3a －a2a －1，又因为a >0，b >0，所以(a －1)(3a －a 2)>0，即a (a －1)(a －3)<0，所以1<a <3，所以a －1>0，则2a ＋b ＝2a ＋3a －a2a －1＝2a 2－2a ＋3a －a 2a －1＝a 2＋a a －1＝a －1＋2a －1＋3≥2(a －1)·2a －1＋3＝22＋3，当且仅当a －1＝2a －1，即a ＝1＋2(舍负)时，等号成立，所以2a ＋b 的最小值为22＋3.17．已知△ABC 的面积为1，∠A 的平分线交对边BC 于点D ，AB ＝2AC ，且AD ＝kAC ，k ∈R ，则当k ＝________时，边BC 的长度最短．答案2105解析设AC ＝a ，则12·2a ·a ·sin∠BAC ＝1，∴sin∠BAC ＝1a2，则a ≥1，当BC 最短时，∠BAC <90°，∴cos∠BAC ＝a 4－1a 2，∴BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC cos∠BAC ＝5a 2－2×2a ×a ×a 4－1a2＝5a 2－4a 4－1，设a 2＝t ，则f (t )＝5t －4t 2－1(t >1)， ∴f ′(t )＝5－4tt 2－1＝5－41－1t 2，当t >53时，f ′(t )>0；当1<t <53时，f ′(t )<0，∴当t ＝53时，f (t )最小，此时BC ＝3，∴cos∠BAC ＝45＝2cos 2∠CAD －1，∴cos∠CAD ＝31010，由角平分线性质得，AB AC ＝BD CD＝2，在△ABC 中，由正弦定理得，2a sin C ＝BCsin∠BAC ，在△ACD 中，由正弦定理得，CD sin∠CAD ＝ADsin C，解得AD ＝2105a ，∴k ＝2105.三、解答题(本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 18．(14分)在锐角△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，若A 满足2cos 2A ＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2A ＋π3＝－12.(1)求A 的值；(2)若c ＝3，△ABC 的面积为33，求a 的值．解 (1)因为2cos 2A ＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2A ＋π3＝－12，所以2×1＋cos 2A 2＋12cos 2A －32sin 2A ＝－12，化简得sin ⎝⎛⎭⎪⎫2A －π3＝32.因为△ABC 是锐角三角形，所以0<A <π2，故－π3＜2A －π3＜2π3，所以2A －π3＝π3，即A ＝π3.(2)由S △ABC ＝12bc sin A ＝3b 2×32＝33，解得b ＝4. 又由余弦定理，得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝42＋32－2×4×3×12＝13，即a ＝13.19．(15分)已知等腰梯形ABCD 中(如图1)，AB ＝4，BC ＝CD ＝DA ＝2，F 为线段CD 的中点，E ，M 为线段AB 上的点，AE ＝EM ＝1，现将四边形AEFD 沿EF 折起(如图2)．(1)求证：AM ∥平面BCD ； (2)在图2中，若BD ＝302，求直线CD 与平面BCFE 所成角的正弦值． (1)证明连接CM ， ∵EM ∥FC 且EM ＝FC ＝1， ∴四边形EFCM 为平行四边形， ∴EF ∥CM 且EF ＝CM ，又EF ∥AD 且EF ＝AD ， ∴CM ∥AD 且CM ＝AD ， ∴四边形ADCM 为平行四边形， ∴AM ∥DC ，又∵DC ⊂平面BCD ，AM ⊄平面BCD ， ∴AM ∥平面BCD ，(2)解作DH ⊥EF 于H ，连接BH ，CH ，在Rt△DFH 中，易知∠DFH ＝60°，而DF ＝1，∴DH ＝32，FH ＝12，在△BEH 中，EH ＝EF －FH ＝32，易知∠HEB ＝60°，又∵EB ＝3，∴HB 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫322＋32－2×32×3cos 60°＝274，在△BDH 中，DH ＝32，BH ＝332，BD ＝302， ∴DH 2＋BH 2＝BD 2， ∴DH ⊥HB ，又EF ∩HB ＝H ，EF ，HB ⊂平面BCFE ，由线面垂直的判定定理得DH ⊥平面BCFE ， ∴CH 为CD 在平面BCFE 内的射影， ∴∠DCH 为CD 与平面BCFE 所成的角，在△FCH 中，易知∠CFH ＝120°， ∴CH ＝FH 2＋CF 2－2FH ·CF cos 120°＝72，在Rt△CDH 中，CD ＝DH 2＋CH 2＝102， ∴sin∠DCH ＝DH CD ＝3010，即CD 与平面BCFE 所成的角的正弦值为3010. 20．(15分)设数列{}a n 的首项a 1＝1，前n 项和S n 满足关系式tS n －()t ＋1S n －1＝t ()t >0，n ∈N *，n ≥2.(1)求证：数列{}a n 是等比数列；(2)设数列{}a n 的公比为f (t )，作数列{}b n ，使b 1＝1，b n ＝f ⎝⎛⎭⎪⎫1b n －1()n ∈N *，n ≥2，求数列{}b n 的通项公式；(3)数列{}b n 满足条件(2)，求和：b 1b 2－b 2b 3＋b 3b 4－…＋b 2n －1b 2n －b 2n b 2n ＋1. (1)证明因为tS n －()t ＋1S n －1＝t ()n ≥2，①tS n －1－()t ＋1S n －2＝t ()n ≥3，②①－②，得ta n －()t ＋1a n －1＝0，所以a n a n －1＝t ＋1t()n ∈N *，n ≥3. 又由t ()1＋a 2－()t ＋1＝t ，得a 2＝t ＋1t. 又因为a 1＝1，所以a 2a 1＝t ＋1t.所以{}a n 是一个首项为1，公比为t ＋1t的等比数列． (2)解由f (t )＝t ＋1t ，得b n ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1b n －1＝1＋b n －1()n ≥2，n ∈N *.所以{}b n 是一个首项为1，公差为1的等差数列．于是b n ＝n (n ∈N *)．(3)解由b n ＝n ，可知{b 2n －1}和{b 2n }是首项分别为1和2，公差均为2的等差数列，于是b 2n ＝2n ，所以b 1b 2－b 2b 3＋b 3b 4－…＋b 2n －1b 2n －b 2n b 2n ＋1 ＝b 2(b 1－b 3)＋b 4(b 3－b 5)＋…＋b 2n (b 2n －1－b 2n ＋1) ＝－2(b 2＋b 4＋…＋b 2n )＝－2·()2＋2n n2＝－2n 2－2n (n ∈N *)．21．(15分)已知椭圆x 2a2＋y 2＝1(a ＞1)，过直线l ：x ＝2上一点P 作椭圆的切线，切点为A ，当点P 在x 轴上时，切线PA 的斜率为±22. (1)求椭圆的方程；(2)设O 为坐标原点，求△POA 面积的最小值．解 (1)当点P 在x 轴上时，P (2,0)，直线PA 的方程为y ＝±22(x －2)．联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝±22(x －2)，x 2a 2＋y 2＝1，消去y ，得⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 2＋12x 2－2x ＋1＝0，由Δ＝0，得a 2＝2，所以椭圆的方程为x 22＋y 2＝1. (2)由题意知，切线斜率必存在，设切线为y ＝kx ＋m ，P (2，y 0)，A (x 1，y 1)，则由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝kx ＋m ，x 2＋2y 2－2＝0，得(1＋2k 2)x 2＋4kmx ＋2m 2－2＝0，由Δ＝0，得m 2＝2k 2＋1，且x 1＝－2km 1＋2k 2，y 1＝m 1＋2k2，y 0＝2k ＋m ，则|PO |＝y 20＋4，直线PO 的方程为y ＝y 02x ，所以点A 到直线PO 距离d ＝|y 0x 1－2y 1|y 20＋4，则S △POA ＝12|PO |·d ＝12|y 0x 1－2y 1|＝12⎪⎪⎪⎪⎪⎪(2k ＋m )×－2km 1＋2k 2－2m 1＋2k 2＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪1＋2k 2＋km 1＋2k 2×m ＝|k ＋m |.当m ＝2k 2＋1时，S ＝|k ＋1＋2k 2|.由(S －k )2＝1＋2k 2，得k 2＋2Sk －S 2＋1＝0，由Δ＝8S 2－4≥0，解得S ≥22，当S ＝22时，k ＝－22. 同理当m ＝－2k 2＋1时，可得S ≥22，当S ＝22时，k ＝22，所以△POA 面积的最小值为22. 22．(15分)已知函数f (x )＝e x －2a －ln x .(1)当a ＝12时，求f (x )的单调区间； (2)当a ≤1时，证明：f (x )>0.(1)解当a ＝12时，f (x )＝e x －1－ln x ，f ′(x )＝e x －1－1x(x >0)，因为f ′(1)＝0，故当0<x <1时，f ′(x )<0；当x >1时，f ′(x )>0，所以f (x )在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增．(2)证明当a ≤1时，x －2a ≥x －2，f (x )≥ex －2－ln x ，令φ(x )＝e x －2－ln x ，x >0，则φ′(x )＝e x －2－1x，显然φ′(x )在(0，＋∞)上单调递增，且φ′(1)<0，φ′(2)>0，所以φ′(x )在(0，＋∞)上存在唯一零点x 0，x 0∈(1,2)，又当0<x <x 0时，φ′(x )<0，当x >x 0时，φ′(x )>0，所以当x ∈(0，＋∞)时，φ(x )≥φ(x 0)＝02ex －－ln x 0，由φ′(x 0)＝0，得02e x －＝1x 0，x 0＝02e x －，所以φ(x 0)＝1x 0－ln 02e x －＝1x 0－(2－x 0)＝1x 0＋x 0－2>2－2＝0，综上，当a ≤1时，f (x )>0.。

2019高考数学浙江精准提分练：高考模拟试卷(二) Word版含解析

高考模拟试卷(二)(时间：120分钟满分：150分)第Ⅰ卷(选择题共40分)一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知集合P＝{x|x2≥9}，Q＝{x|x>2}，则P∩Q等于()A．{x|x≥3} B．{x|x>2}C．{x|2<x<3} D．{x|2<x≤3}答案A解析由题意得，P＝{x|x≤－3或x≥3}，Q＝{x|x>2}，∴P∩Q＝{x|x≥3}．故选A.2．设数列{a n}的通项公式为a n＝kn＋2(n∈N*)，则“k>2”是“数列{a n}为单调递增数列”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案A解析当k>2时，a n＋1－a n＝k>2，则数列{a n}为单调递增数列；若数列{a n}为单调递增数列，则只需a n＋1－a n＝k>0即可，所以“k>2”是“数列{a n}为单调递增数列”的充分不必要条件．故选A.3．某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的体积(单位：cm3)是()A.212 B.26 C.23 D.2答案B解析由三视图易知该几何体为三棱锥．该几何体的体积V ＝13×⎝⎛⎭⎫12×1×1×2＝26(cm 3)．故选B. 4．已知y ＝f (x )＋x 是偶函数，且f (2)＝1，则f (－2)等于( )A ．2B ．3C ．4D ．5答案 D解析 ∵y ＝f (x )＋x 是偶函数，∴f (x )＋x ＝f (－x )－x ，当x ＝2时，f (2)＋2＝f (－2)－2，又f (2)＝1.∴f (－2)＝5.故选D.5．等差数列{a n }中，a 1＝3，a 1＋a 2＋a 3＝21，则a 3＋a 4＋a 5等于( )A ．45B ．42C ．21D ．84答案 A解析由题意得，a 1＋a 2＋a 3＝3a 2＝21，a 2＝7，故d ＝a 2－a 1＝4，a 3＋a 4＋a 5＝(a 1＋a 2＋a 3)＋6d ＝21＋24＝45.故选A.6．由函数y ＝cos 2x 的图象，变换得到函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π3的图象，这个变换可以是( ) A ．向左平移π6个单位长度 B ．向右平移π6个单位长度 C ．向左平移π3个单位长度 D ．向右平移π3个单位长度答案 B解析由函数y ＝cos 2x 的图象，变换得到函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π3＝cos ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x －π6的图象，只需将y ＝cos 2x 的图象向右平移π6个单位长度．故选B. 7．若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧ x －y >0，3x ＋y <3，x ＋y >a表示一个三角形内部的区域，则实数a 的取值范围是( ) A.⎝⎛⎭⎫－∞，34 B.⎝⎛⎭⎫34，＋∞ C.⎝⎛⎭⎫－∞，32 D.⎝⎛⎭⎫32，＋∞ 答案 C解析 x ＋y >a 表示直线的右上方，若构成三角形，点A 在x ＋y ＝a 的右上方即可．又A ⎝⎛⎭⎫34，34，所以34＋34>a ，即a <32.故选C.。

浙江专用2019高考数学二轮复习精准提分第一篇屑点抢先练基础题不失分第6练计数原理课件20190.pdf

第一篇　小考点抢先练，基础题不失分第6练　计数原理明晰考情1.命题角度：考查两个计数原理的简单应用；二项式定理主要考查特定项、系数和系数和.2.题目难度：中低档难度.栏目索引核心考点突破练易错易混专项练高考押题冲刺练核心考点突破练考点一　两个计数原理要点重组　(1)分类加法计数原理中分类方法中的每一种方法都能完成这件事情，类与类之间是独立的.(2)分步乘法计数原理中每步中的某一方法只能完成这件事的一部分，步与步之间是相关联的.解析　由题意知本题是一个计数原理的应用，首先对数字分类，当数字不含0时，从9个数字中选三个，1.在100,101,102，…，999这些数中，各位数字按严格递增(如“145”)或严格递减(如“321”)顺序排列的数的个数是A.120B.204C.168D.216√根据分类加法计数原理知共有168＋36＝204(个)，故选B.2.如图，正五边形ABCDE 中，若把顶点A ，B ，C ，D ，E 染上红、黄、绿三种颜色中的一种，使得相邻顶点所染颜色不相同，则不同的染色方法共有A.30种B.27种C.24种D.21种解析　由题意知本题需要分类来解答，首先A 选取一种颜色，有3种情况.如果A 的两个相邻点颜色相同，有2种情况；这时最后两个点也有2种情况；如果A 的两个相邻点颜色不同，有2种情况；这时最后两个点有3种情况.所以共有3×(2×2＋2×3)＝30(种)方法.√3.在1,2,3,4,5,6,7的任一排列a1，a2，a3，a4，a5，a6，a7中，使相邻两数都互质的排列方式共有A.576种B.720种√C.864种D.1 152种解析　由题意可知，2,4,6不能相邻，且6与3也不能相邻，再插入6，由于1,3,5,7四个数字产生5个空位，所以6只有3个空位可以插，2和4则是从其余4个空位中选择2个空位插入，4.某校开设5门不同的数学选修课，每位同学可以从中任选1门或2门课学习，甲、乙、丙三位同学选择的课没有一门是相同的，则不同的选法共有√A.330种B.420种C.510种D.600种解析　由题意知，就甲、乙、丙三位同学总共所选课程数进行分类计数：因此满足题意的方法共有60＋180＋90＝330(种).考点二　排列组合问题方法技巧　(1)解排列组合问题的三大原则：先特殊后一般，先取后排，先分类后分步.(2)排列组合问题的常用解法：①特殊元素(特殊位置)优先安排法.②相邻问题捆绑法.③不相邻问题插空法.④定序问题缩倍法.5.3名医生和6名护士被分配到3所学校为学生体检，每所学校分配1名医生和2名护士，则不同的分配方法共有A.90种B.180种√C.270种D.540种6.张、王两家夫妇各带一个小孩一起到动物园游玩，购票后排队依次入园.为安全起见，首尾一定要排两位爸爸，另外，两个小孩一定要排在一起，则这六人的入园顺序排法种数为√A.12B.24C.36D.48解析　将两位爸爸排在两端，有2种排法；将两个小孩视作一人与两位妈妈任意排在中间的三个位置上，7.《红海行动》是一部现代海军题材影片，该片讲述了中国海军“蛟龙突击队”奉命执行撤侨任务的故事.撤侨过程中，海军舰长要求队员们依次完成六项任务，并对任务的顺序提出了如下要求：重点任务A必须排在前三位，且任务E，F必须排在一起，则这六项任务的不同安排方案共有A.240种 B.188种√C.156种D.120种8.为促进城乡一体化进程，某单位选取了6户家庭到4个村庄体验农村生活，要求将6户家庭分成4组，其中2组各有2户家庭，另外2组各有1户家庭，则不同的分配方案的种数是√A.216B.420C.720D.1 080解析　先分组，每组含有2户家庭的有2组，考点三　二项式定理的应用方法技巧　(1)求二项展开式的特定项的实质是通项公式T k＋1＝a n－k b k的应用，可通过确定k的值再代入求解.(2)二项展开式各项系数和可利用赋值法解决.(3)求二项展开式系数最大的项，一般采用不等式组法：设展开式各项系数分别为A，A2，…，A n＋1，则最大的系数A k满足9.(2018·全国Ⅲ) 的展开式中x4的系数为√A.10B.20C.40D.80令10－3k＝4，得k＝2.10.使(n ∈N *)的展开式中含有常数项的最小的n 为 A.4 B.5 C.6 D.7√52n k x11.已知(1＋x)10＝a0＋a1(1－x)＋a2(1－x)2＋…＋a10(1－x)10，则a8等于A.－5B.5C.90D.180√解析　∵(1＋x)10＝[2－(1－x)]10＝a0＋a1(1－x)＋a2(1－x)2＋…＋a10(1－x)10，√易错易混专项练1.在航天员进行的一项太空实验中，要先后实施6个程序，其中程序A只能出现在第一步或最后一步，程序B和C在实施时必须相邻，则在该实验中程序顺序的编排方法共有√A.34种B.48种C.96种D.144种解析　由题意知，程序A只能出现在第一步或最后一步，根据分步乘法计数原理可知，共有2×48＝96(种)结果，故选C.。

浙江专用2019高考数学二轮复习精准提分第一篇屑点抢先练基础题不失分第3练复数与数学文化课件20190.pdf

第一篇　小考点抢先练，基础题不失分第3练　复数与数学文化明晰考情1.命题角度：复数的四则运算和几何意义；数学文化的考查内容不拘一格，古今中外文化兼有.2.题目难度：复数的考查难度为低档难度，数学文化的考查难度为中档难度.栏目索引核心考点突破练易错易混专项练高考押题冲刺练核心考点突破练考点一　复数的概念要点重组　(1)复数：形如a＋b i(a，b∈R)的数叫做复数，其中a，b分别是它的实部和虚部，i为虚数单位.若b＝0，则a＋b i为实数；若b≠0，则a ＋b i为虚数；若a＝0且b≠0，则a＋b i为纯虚数.(2)复数相等：a＋b i＝c＋d i⇔a＝c且b＝d(a，b，c，d∈R).(3)共轭复数：a＋b i与c＋d i共轭⇔a＝c，b＝－d(a，b，c，d∈R).(4)复数的模：向量的模r叫做复数z＝a＋b i(a，b∈R)的模，记作|z|或|a ＋b i|，即|z|＝|a＋b i|＝r＝ (r≥0，r∈R ).方法技巧　复数的四则运算类似于多项式的四则运算，复数除法的关键是分子分母同乘以分母的共轭复数.√∴|z|＝1.故选C.√故选D.3.已知a，b∈R，i是虚数单位.若a－i与2＋b i互为共轭复数，则(a＋b i)2等于A.5－4iB.5＋4i√C.3－4iD.3＋4i解析　由已知得a＝2，b＝1，即a＋b i＝2＋i，∴(a＋b i)2＝(2＋i)2＝3＋4i.故选D.√解析　(1＋3i)(1＋a i)＝1＋a i＋3i－3a，∵(1＋3i)(1＋a i)∈R，∴虚部为0，则a＋3＝0，∴a＝－3.5.(2018·浙江省杭州市第二中学月考)若复数z满足(1－2i)·z＝3＋i(i为虚数单位)，则z＝______；|z|＝_____.6.(2017·浙江)已知a ，b ∈R ，(a ＋b i)2＝3＋4i(i 是虚数单位)，则a 2＋b 2＝____，ab ＝____.解析　(a ＋b i)2＝a 2－b 2＋2ab i.5　2解得a 2＝4，b 2＝1.所以a 2＋b 2＝5，ab ＝2.考点二　复数的几何意义7.已知z＝(m＋3)＋(m－1)i在复平面内对应的点在第四象限，则实数m的取值范围是√A.(－3,1)B.(－1,3)C.(1，＋∞)D.(－∞，－3)解析　由复数z＝(m＋3)＋(m－1)i在复平面内对应的点在第四象限，8.已知复数(i为虚数单位)在复平面上对应的点在虚轴上，则实数a＝___.29.如图所示，在复平面内，网格中的每个小正方形的边长都为1，点A，B 对应的复数分别是z1，z2，则＝________.解析　由题意，根据复数的表示可知z1＝i，z2＝2－i，－1－2i10.设复数z 满足(2＋i)z ＝ i 为虚数单位，则复数z 在复平面内对应的点在第____象限.在第四象限.四11.已知复数z＝，则复数z在复平面内对应的点位于第____象限.一解析　因为i4n＋k＝i k(n∈Z)，且i＋i2＋i3＋i4＝0，所以i＋i2＋i3＋…＋i2 017＝i，考点三　几何中的数学文化方法技巧　从题目叙述中分析蕴含的图形及数量关系，通过分析图形特征建立数学模型，转化为三角函数或几何问题.12.我国古代数学名著《九章算术》在“勾股”一章中有如下数学问题：“今有勾八步，股十五步，勾中容圆，问径几何？”.意思是一个直角三角形的两条直角边的长度分别是8步和15步，则其内切圆的直径是多少步？则此问题的答案是√A.3步B.6步C.4步D.8步解析　由于该直角三角形的两直角边长分别是8和15，则得其斜边长为17，设其内切圆半径为r，解得r＝3，故其直径为6步.13.如图是我国古代数学家赵爽的弦图，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，如果小正方形的面积为4，大正方形的面积为100，直角三角形中较小的锐角为α，则tan α等于解析　由题意得，大正方形的边长为10，小正方形的边长为 2，∴2＝10cos α－10sin α，√。

2019高考数学浙江专用通用版精准提分二轮课件：第一篇+第4练+平面向量

由于上式对任意单位向量e都成立.
∴ 6≥|a＋b|成立.
∴6≥(a＋b)2＝a2＋b2＋2a· b＝12＋22＋2a· b.
1 即 6≥5＋2a· b，∴a· b≤ . 2
6 7 8 9 10
解析
答案
→ → → → → → → → 10.在平面内， AB· AC＝BA· BC＝CA· CB＝6，动点 P， M 满足|AP|＝2， PM → → 2 16 ＝MC，则|BM| 的最大值是____.
6
7
8
9
10
解析
答案
3 1 3 1 → → 8.已知向量BA＝， BC ＝，，，则∠ABC 等于 2 2 2 2
√
A.30° C.60°
B.45° D.120°
→ → BA· BC 3 → → 解析 |BA|＝1，|BC|＝1，cos∠ABC＝＝ . 2 → → |BA||BC|
→ → → → 1→ 解析因为AM＝AC＋CM＝AC＋ BC， 2
→ → → BC＝AC－AB， → → 1 → → 3→ 1→ 所以AM＝AC＋ (AC－AB)＝ AC－ AB， 2 2 2 1 3 所以 x＝－，y＝，则 x－y＝－2. 2 2
1 2 3 4 5
解析
答案
考点二平面向量的数量积
故选A.
1 2 3 4 5
解析
答案
→ 1→ 2.如图，在△ABC 中，N 是 AC 边上一点，且AN＝2NC，P 是 BN 上的一 → → 2→ 点，若AP＝mAB＋9AC，则实数 m 的值为 1 A.9 C.1
√
1 B.3 D.3
→ 1→ → 1→ 解析 ∵AN＝ NC，∴AN＝ AC， 2 3

(浙江专用)2019高考数学二轮复习精准提分第二篇重点专题分层练,中高档题得高分第10练正弦定理、余

解析 ∵cos C2＝ 55， ∴cos C＝2cos2C2－1＝2× 552－1＝－53.
在△ABC 中，由余弦定理，
得 AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cos C＝52＋12－2×5×1×－53＝32，
∴AB＝ 32＝4 2.故选 A.
解析答案
3.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若2bcos B＝acos C＋ π
解析答案
6.钝角三角形 ABC 的面积是21，AB＝1，BC＝ 2，则 AC 等于
A.5
√B. 5
C.2
D.1
解析答案
7.(2018·全国Ⅰ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知bsin C
23 ＋csin B＝4asin Bsin C，b2＋c2－a2＝8，则△ABC的面积为___3___.
所以角 A 的取值范围是π3，2π.
解析答案
2.在△ABC中，三内角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为S，若S＋
a2＝(b＋c)2，则cos A等于
4 A.5
B.－54
15 C.17
√D.－1157
∴S△ABC＝12bcsin
A＝21×8
3
3×12＝2
3
3 .
解析答案
8.在△ABC中，A，B，C的对边分别为a，b，c，且bcos C＝3acos B－ ccos B，B→A·B→C＝2，则△ABC的面积为_2__2__.
解析答案
考点三解三角形中的最值(范围)问题
方法技巧由余弦定理中含两边和的平方(如a2＋b2－2abcos C＝c2)且a2 ＋b2≥2ab，因此在解三角形中，若涉及已知条件中含边长之间的关系，且与面积有关的最值问题，一般利用S＝ 1 absin C型面积公式及基本不等

(浙江专用)2019高考数学二轮复习精准提分第二篇重点专题分层练得高分第12练数列的基本运算及性质课件

解析
答案
10.已知等差数列{an}的前n项和Sn＝n2＋bn＋c，等比数列{bn}的前n项和
Tn＝3n＋d，则向量a＝(c，d)的模为
A.1 √ B. 2
C. 3 c＝0，d＝－1，
D.无法确定
解析由等差数列与等比数列的前n项和公式知，所以向量a＝(c，d)的模为1.
解析
答案
11. 设等比数列 {an} 满足 a1 ＋ a3 ＝ 10 ， a2 ＋ a4 ＝ 5 ，则 a1a2…an 的最大值为 64 _____. 解析由已知a1＋a3＝10，a2＋a4＝a1q＋a3q＝5，
Sn，n＝1， (2)利用 an＝求通项时，要注意检验 n＝1 的情况. Sn－Sn－1，n≥2
1 1 5.数列{an}满足 a1＝0，－＝1(n≥2，n∈N*)，则 a2 019 等于 1－an 1－an－1 1 A. 2 019 2 018 C. √ 2 019 1 B. 2 018 2 017 D. 2 018
说明{an}有连续四项在集合{－54，－24，18,36,81}中，
由于{an}中连续四项至少有一项为负，∴q<0，
又∵|q|>1，
∴{an}的连续四项为－24，36，－54，81，
36 3 ∴q＝＝－2，∴6q＝－9. －24
解析答案
考点二数列的通项与求和
方法技巧 (1)已知数列的递推关系，求数列的通项时，通常利用累加法、累乘法、构造法求解.
A.－24 √
B.－3
C.3
D.8
解析由已知条件可得a1＝1，d≠0，
2 由 a2 ＝ a a ，可得 (1 ＋ 2 d ) ＝(1＋d)(1＋5d)， 3 2 6

2019高考数学浙江精准提分练(33)

高考模拟试卷(一)(时间：120分钟满分：150分) 第Ⅰ卷(选择题共40分)一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知全集U ＝R ，A ＝{y |y ＝2x ＋1}，B ＝{x |ln x <0}，则(∁U A )∩B 等于( ) A ．∅B ．{x |0<x <1}C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪12<x ≤1 D ．{x |x <1}答案 B解析因为A ＝{x |x >1}，所以∁U A ＝{x |x ≤1}，又因为B ＝{x |0<x <1}，所以(∁U A )∩B ＝{x |0<x <1}．故选B. 2．双曲线x 2－y 24＝1的渐近线方程为( )A ．y ＝±12xB ．y ＝±2xC ．y ＝±32xD ．y ＝±52x答案 B解析由双曲线x 2－y 24＝1，得a ＝1，b ＝2，所以渐近线方程为y ＝±bax ＝±2x ，故选B.3．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是( )A ．64B ．72C ．80D ．112 答案 C解析由三视图可知，该几何体为一个正方体与一个四棱锥的组合体，故体积为43＋13×42×3＝80.故选C.4．已知α为锐角，且tan α＝34，则sin 2α等于( )A.35B.45C.1225D.2425答案 D解析 sin 2α＝2sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝2tan αtan 2α＋1＝2×34916＋1＝2425，故选D.5．设实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －y －2≤0，x ＋2y －4≥0，y －2≤0，z ＝y ＋1x，则( )A ．z 有最大值，有最小值B ．z 有最大值，无最小值C ．z 无最大值，有最小值D ．z 无最大值，无最小值答案 C解析不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y －2≤0，x ＋2y －4≥0，y －2≤0表示的平面区域如图阴影部分(含边界)所示，目标函数z ＝y ＋1x表示平面区域内的点与点(0，－1)的连线的斜率，故z 有最小值，无最大值．故选C.6．在二项式⎝⎛⎭⎫2x －1x 25的展开式中，含x 2的项的系数是( ) A ．－80 B ．－40 C ．5 D ．10 答案 A解析二项式⎝⎛⎭⎫2x －1x 25的展开式的通项为T k ＋1＝C k 5·(2x )5－k ·⎝⎛⎭⎫－1x 2k ＝C k 5·25－k ·(－1)k ·x 5－3k ，由5－3k ＝2，得k ＝1，所以含x 2的项的系数是C 15·24·(－1)1＝－80.故选A. 7．有一批产品，其中有12件正品和4件次品，有放回地任取3件，若X 表示取到次品的件数，则D (X )等于( )A.18B.516C.58D.916 答案 D解析由题意知，取到次品的概率为14，∴X ～B ⎝⎛⎭⎫3，14，∴D (X )＝3×14×⎝⎛⎭⎫1－14＝916.8．已知F 为抛物线C ：y 2＝4x 的焦点，A ，B ，C 为抛物线C 上三点，当F A →＋FB →＋FC →＝0时，称△ABC 为“和谐三角形”，则“和谐三角形”有( ) A ．0个 B ．1个 C ．3个 D ．无数个答案 D解析如图，由F A →＋FB →＋FC →＝0得F 为△ABC 的重心，设点A 坐标为(x 0，y 0)，AM →＝－3MF →，则点M 坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－x 0－32，－y 02，只要满足点M 在抛物线内部，即⎝⎛⎭⎫－y 022<4·⎝ ⎛⎭⎪⎫－x 0－32，当0≤x 0<2时，直线l ：y ＝－4y 0⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋x 0－32－y 02与抛物线C ：y 2＝4x 的交点B ，C 关于点M 对称，此时△ABC 为“和谐三角形”，因此有无数个“和谐三角形”．故选D.9．已知向量a ＝(3，－1)，向量b ＝⎝⎛⎭⎫1＋t cos π5，t sin π5(t >0)，则向量a ，b 的夹角可能是( ) A.218π B.518π C.718π D.1118π 答案 B解析如图，向量a 与x 轴正半轴夹角为π6，若向量b ＝⎝⎛⎭⎫1＋t cos π5，t sin π5(t >0)的起点为原点，则其终点在射线y ＝(x －1)tan π5(x >1)上，故向量a ，b 的夹角的取值范围为⎝⎛⎭⎫π6，1130π.故选B.10．已知函数f (x )＝2x 2x ＋1，x ∈[0,1]，函数g (x )＝a sin π6x －2a ＋2(a ＞0)，若存在x 1，x 2∈[0,1]，使得f (x 1)＝g (x 2)成立，则实数a 的取值范围是( ) A.⎣⎡⎦⎤12，43 B.⎝⎛⎦⎤0，12 C.⎣⎡⎦⎤23，43 D.⎣⎡⎦⎤12，1 答案 A解析当x ∈[0,1]时，f (x )＝2x 2x ＋1的值域是[0,1]，g (x )＝a sin π6x －2a ＋2(a ＞0)的值域是⎣⎡⎦⎤2－2a ，2－32a ，因为存在x 1，x 2∈[0,1]使得f (x 1)＝g (x 2)成立，所以[0,1]∩⎣⎡⎦⎤2－2a ，2－32a ≠∅，若[0,1]∩⎣⎡⎦⎤2－2a ，2－32a ＝∅，则2－2a ＞1或2－32a ＜0，即a <12或a ＞43，所以a 的取值范围是⎣⎡⎦⎤12，43，故选A. 第Ⅱ卷(非选择题共110分)二、填空题(本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分．把答案填在题中横线上) 11．已知复数z ＝1＋2i ，其中i 为虚数单位，则z ＝________，⎪⎪⎪⎪⎪⎪z z ＝________. 答案 1－2i 1解析 z ＝1－2i ，⎪⎪⎪⎪⎪⎪z z ＝|z ||z |＝1.12．设等比数列{a n }的首项a 1＝1，且4a 1,2a 2，a 3成等差数列，则公比q ＝________；数列{a n }的前n 项和S n ＝__________. 答案 2 2n －1解析由4a 1,2a 2，a 3成等差数列得4a 2＝4a 1＋a 3，即4q ＝4＋q 2，解得q ＝2，S n ＝1·1－2n 1－2＝2n－1.13．已知圆C 的方程为x 2＋y 2－6x －8y ＝0，则圆C 的半径是________；圆C 关于直线l ：x －y －1＝0对称的圆的方程是______________________________．答案 5 (x －5)2＋(y －2)2＝25解析由圆C 的方程为(x －3)2＋(y －4)2＝25得圆心坐标为(3,4)，半径为5，圆心(3,4)关于直线l ：x －y －1＝0的对称点的坐标为(5,2)，所以圆C 关于直线l ：x －y －1＝0对称的圆的方程是(x －5)2＋(y －2)2＝25. 14．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝⎛⎭⎫12x －1，x ≤0，2x 2－ln x ，x >0，则f (f (－1))＝________；若函数y ＝f (x )－a 有一个零点，则a 的取值范围是____________．答案 2 ⎣⎡⎭⎫0，12＋ln 2 解析 f (－1)＝⎝⎛⎭⎫12－1－1＝1，则f (f (－1))＝f (1)＝2，由f (x )＝2x 2－ln x 得f ′(x )＝4x －1x ＝4x 2－1x，因此y ＝f (x )在区间⎝⎛⎭⎫0，12上单调递减，在区间⎝⎛⎭⎫12，＋∞上单调递增，故f (x )极小值＝f ⎝⎛⎭⎫12＝12＋ln 2，函数y ＝f (x )的图象如图所示，当x >0时，f (x )min ＝f (x )极小值，所以当a ∈⎣⎡⎭⎫0，12＋ln 2时，函数y ＝f (x )－a 有一个零点．15．将3个1,11个0排成一列，使得每两个1之间至少隔着两个0，则共有________种不同的排法．答案 120解析符合条件的排列中，3个1将11个0分成四段，设每一段分别有x 1，x 2，x 3，x 4个0，则x 1≥0，x 2≥2，x 3≥2，x 4≥0且x 1＋x 2＋x 3＋x 4＝11，令x 2′＝x 2－2，x 3′＝x 3－2，则x 1＋x 2′＋x 3′＋x 4＝7.因此原问题等价于求方程x 1＋x 2′＋x 3′＋x 4＝7的自然数解的组数，将7个1与3块隔板进行排列，其排列数即对应方程自然数解的组数，所以方程共有C 310＝120组自然数解，故共有120种不同的排法． 16．设a ，b 为正实数，则a a ＋2b ＋ba ＋b 的最小值是________．答案 22－2解析令⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋2b ＝x ，a ＋b ＝y ，显然x ，y >0，则⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2y －x ，b ＝x －y ，所以a a ＋2b ＋ba ＋b ＝2y －x x ＋x －y y ＝2y x ＋x y －2≥22－2，当且仅当x ＝2y ，即a ＝2b 时，等号成立．17．如图，平面ABC ⊥α，且平面ABC ∩α＝BC ，AB ＝1，BC ＝3，∠ABC ＝56π，平面α内一动点P 满足∠P AB ＝π6，则PC 的最小值是________．答案52解析如图，因为射线AP 的轨迹为以AB 为轴，母线与轴夹角为π6的圆锥面，且平面α平行于该圆锥面的一条母线，所以平面α截该圆锥面所得的截线即P 点的轨迹为以BC 为对称轴的抛物线．以BC 为x 轴，抛物线的顶点为原点O 建立直角坐标系，则△AOB 为底角为π6的等腰三角形，所以OB ＝33AB ＝33，当PB ⊥平面ABC 时，PB ＝AB ·tan π6＝33，此时点P 的坐标为⎝⎛⎭⎫33，33，因此抛物线的方程为y 2＝33x ，点C的坐标为⎝⎛⎭⎫433，0，所以抛物线上的点到点C 的距离的平方为⎝⎛⎭⎫x －4332＋y 2＝x 2－733x ＋163＝⎝⎛⎭⎫x －7632＋54，故PC 的最小值是52.三、解答题(本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)18．(14分)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，角A ，B ，C 的度数成等差数列，b ＝13. (1)若3sin C ＝4sin A ，求c 的值； (2)求a ＋c 的最大值．解 (1)由角A ，B ，C 的度数成等差数列，得2B ＝A ＋C . 又A ＋B ＋C ＝π，所以B ＝π3.由正弦定理，得3c ＝4a ，即a ＝3c4.由余弦定理，得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，即13＝⎝⎛⎭⎫3c 42＋c 2－2×3c 4×c ×12，解得c ＝4. (2)由正弦定理，得a sin A ＝c sin C ＝b sin B ＝1332＝2133，所以a ＝2133sin A ，c ＝2133sin C .所以a ＋c ＝2133(sin A ＋sin C )＝2133[sin A ＋sin(A ＋B )]＝2133⎣⎡⎦⎤sin A ＋sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π3＝2133⎝⎛⎭⎫32sin A ＋32cos A ＝213sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π6. 由0＜A ＜2π3，得π6＜A ＋π6＜5π6.所以当A ＋π6＝π2，即A ＝π3时，(a ＋c )max ＝213.19．(15分)如图，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 是菱形，∠BAD ＝60°，AB ＝2，P A ＝1，P A ⊥平面ABCD ，点E 是PC 的中点，F 是AB 的中点．(1)求证：BE ∥平面PDF ；(2)求直线BE 与平面P AD 所成角的正弦值．(1)证明取PD 的中点为M ，连接ME ，MF . ∵E 是PC 的中点， ∴ME 是△PCD 的中位线， ∴ME ∥CD 且ME ＝12CD .∵F 是AB 的中点且ABCD 是菱形，AB ∥CD 且AB ＝CD ， ∴ME ∥AB 且ME ＝12AB .∴ME ∥FB 且ME ＝FB .∴四边形MEBF 是平行四边形，∴BE ∥MF . 又BE ⊄平面PDF ，MF ⊂平面PDF ， ∴BE ∥平面PDF . (2)解由(1)得BE ∥MF ，∴直线BE 与平面P AD 所成角就是直线MF 与平面P AD 所成角．取AD 的中点G ，连接BD ，BG . ∵底面ABCD 是菱形，∠BAD ＝60°， ∴△ABD 是正三角形， ∴BG ⊥AD ，∵P A ⊥平面ABCD ，P A ⊂平面P AD ， ∴平面P AD ⊥平面ABCD ，且平面P AD ∩平面ABCD ＝AD ，BG ⊥AD ，BG ⊂平面ABCD ， ∴BG ⊥平面P AD ，过F 作FH ∥BG ，交AD 于H ，则FH ⊥平面P AD ，连接MH ，则∠FMH 就是MF 与平面P AD 所成的角．又F 是AB 的中点， ∴H 是AG 的中点．连接MG ，又M 是PD 的中点， ∴MG ∥P A 且MG ＝12P A .在Rt △MGH 中，MG ＝12P A ＝12，GH ＝14AD ＝12，∴MH ＝22. 在正三角形ABD 中，BG ＝3， ∴FH ＝12BG ＝32.在Rt △MHF 中， MF ＝⎝⎛⎭⎫222＋⎝⎛⎭⎫322＝52， ∴sin ∠FMH ＝FH FM ＝3252＝155，∴直线BE 与平面P AD 所成角的正弦值为155. 20．(15分)已知函数f (x )＝5x 2＋a x ＋14(x >0)，g (x )＝ln x ＋4，曲线y ＝g (x )在点(1,4)处的切线与曲线y ＝f (x )相切．(1)求实数a 的值；(2)证明：当x >0时，f (x )>g (x )．(1)解由g ′(x )＝1x 得g ′(1)＝1，所以曲线y ＝g (x )在点(1,4)处的切线方程为y ＝x ＋3.设曲线y ＝f (x )与直线y ＝x ＋3切于点(x 0，y 0)，由⎩⎪⎨⎪⎧f (x 0)＝x 0＋3，f ′(x 0)＝1，得⎩⎨⎧5x 20＋a x 0＋14＝x 0＋3，10x 0－a x 20＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝12，a ＝1.(2)证明令F (x )＝f (x )－(x ＋3)＝5x 2＋1x －x －114，则F ′(x )＝10x －1x 2－1＝(2x －1)(5x 2＋2x ＋1)x 2，令F ′(x )>0，解得x >12，令F ′(x )<0，解得0<x <12，所以函数y ＝F (x )在区间⎝⎛⎭⎫0，12上单调递减，在区间⎝⎛⎭⎫12，＋∞上单调递增，所以当x >0时，F (x )≥F ⎝⎛⎭⎫12＝0，因此当x >0时，f (x )≥x ＋3，当且仅当x ＝12时等号成立．令G (x )＝(x ＋3)－g (x )＝x －1－ln x ，则G ′(x )＝1－1x ＝x －1x ，令G ′(x )>0，解得x >1，令G ′(x )<0，解得0<x <1，所以函数y ＝G (x )在区间(0,1)上单调递减，在区间(1，＋∞)上单调递增，所以当x >0时，G (x )≥G (1)＝0，因此当x >0时，x ＋3≥g (x )，当且仅当x ＝1时等号成立．因为f (x )≥x ＋3，x ＋3≥g (x )，且等号成立的条件不同，所以f (x )>g (x )．21．(15分)已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为63，以椭圆的2 个焦点与1个短轴端点为顶点的三角形的面积为2 2. (1)求椭圆的方程；(2)如图，斜率为k 的直线l 过椭圆的右焦点F ，且与椭圆交于A ，B 两点，以线段AB 为直径的圆截直线x ＝1所得的弦的长度为5，求直线l 的方程．解 (1)由椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为63，得c ＝63a ，b ＝33a ，由S ＝12·2c ·b ＝23a 2＝22，得a ＝6，b ＝2，所以椭圆的方程为x 26＋y22＝1.(2)由(1)知，焦点F 坐标为(2,0)，设直线l AB ：y ＝k (x －2)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，AB 中点M (x 0，y 0)．联立方程⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －2)，x 2＋3y 2－6＝0，得(1＋3k 2)x 2－12k 2x ＋12k 2－6＝0， x 1＋x 2＝12k 21＋3k 2，x 1x 2＝12k 2－61＋3k 2，所以x 0＝x 1＋x 22＝6k 21＋3k 2，|AB |＝1＋k 2·|x 1－x 2|＝1＋k 2·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝26·()1＋k 21＋3k 2.点M 到直线x ＝1的距离为d ＝|x 0－1|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪6k 21＋3k 2－1＝|3k 2－1|1＋3k 2.由以线段AB 为直径的圆截直线x ＝1所得的弦的长度为5得，⎝⎛⎭⎫|AB |22－d 2＝⎝⎛⎭⎫522，所以⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤6·()1＋k 21＋3k 22－⎝⎛⎭⎪⎫3k 2－11＋3k 22＝⎝⎛⎭⎫522，解得k ＝±1，所以直线l 的方程为y ＝x －2或y ＝－x ＋2.22．(15分)设数列{a n }满足a 1＝13，a n ＋1＝a n ＋a 2nn 2，n ∈N *.(1)求a 2，a 3；(2)证明：数列{a n }为递增数列； (3)证明：n2n ＋1≤a n ≤2n －12n ＋1，n ∈N *.(1)解 a 2＝a 1＋a 2112＝13＋19＝49，a 3＝a 2＋a 2222＝49＋⎝⎛⎭⎫292＝4081.(2)证明 ①当n ＝1时，a 1＝13>0；②假设当n ＝k 时，a k >0，2019高考数学浙江精准提分练2019高考数学浙江精准提分练当n ＝k ＋1时，a k ＋1＝a k ＋a 2k k 2>0；由①②得a n >0，n ∈N *.所以a n ＋1－a n ＝a 2n n 2>0，即a n ＋1>a n ，所以数列{}a n 为递增数列．(3)证明由0<a n ＋1－a n ＝a 2n n 2<a n a n ＋1n 2，得1a n －1a n ＋1<1n 2<1n 2－14＝1n －12－1n ＋12，所以1a 1－1a n ≤2－1n －12，故a n ≤2n －12n ＋1(n ∈N *)．由a n ≤2n －12n ＋1<1，得a n ＋1＝a n ＋a 2n n 2<a n ＋a n n 2，所以a n >n 2n 2＋1，故a n ＋1－a n ＝a 2n n 2>a n a n ＋1n 2＋1，所以1a n －1a n ＋1>1n 2＋1≥1n 2＋n ＝1n －1n ＋1，因此1a 1－1a n ≥1－1n ，故a n ≥n 2n ＋1. 所以n 2n ＋1≤a n ≤2n －12n ＋1.。

2019高考数学浙江精准提分练：解答题滚动练4 Word版含解析

解答题滚动练41．已知△ABC 中，若角A ，B ，C 对应的边分别为a ，b ，c ，满足a ＋1a ＋4cos C ＝0，b ＝1. (1)若△ABC 的面积为32，求a ； (2)若A ＝π6，求△ABC 的面积．解 (1)由S ＝12ab sin C ＝12a sin C ＝32，得a sin C ＝3，即sin C ＝3a. 又a ＋1a＝－4cos C ，那么⎝⎛⎭⎫a ＋1a 2＝16cos 2C ＝16(1－sin 2C )＝16－48a2，即a 4－14a 2＋49＝0，得到a 2＝7，即a ＝7.(2)由题意有a ＋1a ＝－4cos C 及余弦定理cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab，则a ＋1a ＝－4·a 2＋b 2－c 22ab ＝－2()a 2＋1－c 2a，即a 2＋1＝23c 2，① 又由b 2＋c 2－a 2＝2bc cos A ，可知c 2－a 2＋1＝3c ，②由①②得到c 2－33c ＋6＝0，亦即()c －3()c －23＝0，可知c ＝3或c ＝2 3.经检验知，c ＝3或c ＝23均符合题意．那么△ABC 的面积为S ＝12bc sin A ＝32或34. 2．已知菱形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于一点O ，∠A ＝60°，将△BDC 沿着BD 折起得△BDC ′，连接AC ′.(1)求证：平面AOC ′⊥平面ABD ；(2)若点C ′在平面ABD 上的投影恰好是△ABD 的重心，求直线CD 与平面ADC ′所成角的正弦值．(1)证明因为C′O⊥BD，AO⊥BD，C′O∩AO＝O，所以BD⊥平面C′OA，又因为BD⊂平面ABD，所以平面AOC′⊥平面ABD.(2)解方法一设C′在平面ABD上的投影为H，即C′H⊥平面ABD，过点H作HP∥CD交AD于点P，过点H作HK⊥AD于点K，连接C′K，并过H作HQ⊥C′K于点Q，因为C′H⊥平面ABD，即AD⊥C′H，且有HK⊥AD，HK∩C′H＝H，HK，C′H⊂平面KC′H，所以AD⊥平面KC′H，又QH⊂平面KC′H，所以AD⊥QH，又因为HQ⊥C′K，且AD∩C′K＝K，AD，C′K⊂平面ADC′，故HQ⊥平面ADC′，从而知∠HPQ是PH与平面ADC′所成的角，设AB＝a，则在Rt△HPQ中有PH＝a3，HQ＝69a，所以sin∠HPQ＝63，所以PH与平面ADC′所成角的正弦值为63，故CD与平面ADC′所成角的正弦值为63.方法二如图，以点O为坐标原点，OA，OB所在直线分别为x轴，y轴，建立空间直角坐标系．。

浙江2019版高考数学复习第一篇屑点抢先练基础题不失分第5练不等式试题

第5练不等式[明晰考情] 1.命题角度：不等式的性质和线性规划在高考中一直是命题的热点.2.题目难度：中高档难度．考点一不等式的性质与解法要点重组不等式的常用性质(1)如果a ＞b ＞0，c ＞d ＞0，那么ac ＞bd . (2)如果a ＞b ＞0，那么a n＞b n(n ∈N ，n ≥2)． (3)如果a ＞b ＞0，那么na ＞nb (n ∈N ，n ≥2)．方法技巧 (1)解一元二次不等式的步骤一化(二次项系数化为正)，二判(看判别式Δ)，三解(解对应的一元二次方程)，四写(根据“大于取两边，小于取中间”写出不等式的解集)． (2)可化为f (x )g (x )＜0(或＞0)型的分式不等式，转化为一元二次不等式求解． (3)指数不等式、对数不等式可利用函数单调性求解． 1．若a ，b ，c 为实数，则下列命题为真命题的是( ) A ．若a ＞b ，则ac 2＞bc 2B ．若a ＜b ＜0，则a 2＞ab ＞b 2C ．若a ＜b ＜0，则1a ＜1bD ．若a ＜b ＜0，则b a ＞a b答案 B解析 B 中，∵a ＜b ＜0，∴a 2－ab ＝a (a －b )＞0，ab －b 2＝b (a －b )＞0. 故a 2＞ab ＞b 2，B 正确．2．(2018·全国Ⅲ)设a ＝log 0.20.3，b ＝log 20.3，则( ) A ．a ＋b ＜ab ＜0 B ．ab ＜a ＋b ＜0 C ．a ＋b ＜0＜ab D ．ab ＜0＜a ＋b答案 B解析 ∵a ＝log 0.20.3＞log 0.21＝0，b ＝log 20.3＜log 21＝0，∴ab ＜0.∵a ＋b ab ＝1a ＋1b＝log 0.30.2＋log 0.32＝log 0.30.4， ∴1＝log 0.30.3＞log 0.30.4＞log 0.31＝0， ∴0＜a ＋bab＜1，∴ab ＜a ＋b ＜0. 3．若a ＞b ＞0，且ab ＝1，则下列不等式成立的是( ) A ．a ＋1b ＜b2a ＜log 2(a ＋b )B.b 2a ＜log 2(a ＋b )＜a ＋1bC ．a ＋1b ＜log 2(a ＋b )＜b 2aD ．log 2(a ＋b )＜a ＋1b ＜b 2a答案 B解析方法一 ∵a ＞b ＞0，ab ＝1， ∴log 2(a ＋b )＞log 2(2ab )＝1.∵b 2a ＝1a2a ＝a －1·2－a ，令f (a )＝a －1·2－a，又∵b ＝1a ，a ＞b ＞0，∴a ＞1a，解得a ＞1.∴f ′(a )＝－a －2·2－a －a －1·2－a·ln2 ＝－a －2·2－a(1＋a ln2)＜0， ∴f (a )在(1，＋∞)上单调递减．∴f (a )＜f (1)，即b 2a ＜12.∵a ＋1b＝a ＋a ＝2a ＞a ＋b ＞log 2(a ＋b )，∴b 2a ＜log 2(a ＋b )＜a ＋1b. 故选B.方法二 ∵a ＞b ＞0，ab ＝1，∴取a ＝2，b ＝12，此时a ＋1b ＝4，b 2a ＝18，log 2(a ＋b )＝log 25－1≈1.3，∴b 2a ＜log 2(a ＋b )＜a ＋1b. 故选B.4．关于x 的不等式x 2－2ax －8a 2＜0(a ＞0)的解集为(x 1，x 2)，且x 2－x 1＝15，则a 等于( ) A.52 B.72 C.154 D.152答案 A解析由条件知，x 1，x 2为方程x 2－2ax －8a 2＝0的两根，则x 1＋x 2＝2a ，x 1x 2＝－8a 2，故(x 2－x 1)2＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝(2a )2－4×(－8a 2)＝36a 2＝152，解得a ＝52，故选A.5．若关于x 的不等式ax －b ＞0的解集是(－∞，－2)，则关于x 的不等式ax 2＋bxx －1＞0的解集为____________．答案 {x |x ＜0或1＜x ＜2}解析 ∵关于x 的不等式ax －b ＞0的解集是(－∞，－2)， ∴a ＜0，b a＝－2，∴b ＝－2a ，∴ax 2＋bx x －1＝ax 2－2ax x －1＞0，即x 2－2x x －1＜0，解得x ＜0或1＜x ＜2. 考点二基本不等式要点重组基本不等式：a ＋b2≥ab (a >0，b >0)(1)利用基本不等式求最值的条件：一正二定三相等．(2)求最值时若连续利用两次基本不等式，必须保证两次等号成立的条件一致． 6．若正数x ，y 满足4x ＋y －1＝0，则x ＋yxy的最小值为( ) A ．12 B ．10 C ．9 D ．8答案 C解析由4x ＋y －1＝0，得4x ＋y ＝1，则x ＋y xy ＝(4x ＋y )(x ＋y )xy ＝4x 2＋5xy ＋y 2xy＝5＋4x y ＋yx≥5＋24x y ·yx＝9，当且仅当x ＝16，y ＝13时，等号成立，所以x ＋yxy的最小值为9，故选C.7．若正数x ，y 满足x 2＋6xy －1＝0，则x ＋2y 的最小值是( ) A.223B.23C.33D.233答案 A解析由x 2＋6xy －1＝0，可得x 2＋6xy ＝1，即x (x ＋6y )＝1.因为x ，y 都是正数，所以x ＋6y ＞0. 故2x ＋(x ＋6y )≥22x ×(x ＋6y )＝22，即3x ＋6y ≥22，故x ＋2y ≥223(当且仅当2x ＝x ＋6y ，即x ＝6y >0时等号成立)．故选A.8.如图，在Rt△ABC 中，P 是斜边BC 上一点，且满足BP →＝12PC →，点M ，N 在过点P 的直线上，若AM →＝λAB →，AN →＝μAC →(λ，μ>0)，则λ＋2μ的最小值为( )A ．2 B.83 C ．3 D.103答案 B解析 AP →＝AB →＋BP →＝AB →＋13BC →＝AB →＋13(AC →－AB →)＝23AB →＋13AC →＝23λAM →＋13μAN →，因为M ，N ，P 三点共线，所以23λ＋13μ＝1，因此λ＋2μ＝(λ＋2μ)⎝ ⎛⎭⎪⎫23λ＋13μ＝43＋4μ3λ＋λ3μ≥43＋24μ3λ×λ3μ＝83，当且仅当λ＝43，μ＝23时“＝”成立，故选B.9．若a ，b ∈R ，ab >0，则a 4＋4b 4＋1ab的最小值为________．答案 4解析 ∵a ，b ∈R ，ab ＞0，∴a 4＋4b 4＋1ab ≥4a 2b 2＋1ab ＝4ab ＋1ab≥24ab ·1ab＝4，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝2b 2，4ab ＝1ab ，即⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝22，b 2＝24且a ，b 同号时取得等号．故a 4＋4b 4＋1ab的最小值为4.10．已知a ＞0，b ＞0，c ＞1且a ＋b ＝1，则⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＋1ab －2·c ＋2c －1的最小值为________．答案 4＋2 2解析 a 2＋1ab －2＝a 2＋(a ＋b )2－2ab ab ＝2a b ＋b a≥22，当且仅当b ＝2a 时取等号，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＋1ab －2c ＋2c －1≥22(c －1)＋2c －1＋2 2 ≥222(c －1)·2c －1＋22＝4＋22，当且仅当22(c －1)＝2c －1，即c ＝1＋22时取等号，故⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＋1ab －2·c ＋2c －1的最小值是4＋2 2.考点三简单的线性规划问题方法技巧 (1)求目标函数最值的一般步骤：一画二移三求． (2)常见的目标函数 ①截距型：z ＝ax ＋by ；②距离型：z ＝(x －a )2＋(y －b )2； ③斜率型：z ＝y －bx －a. 11．(2018·天津)设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤5，2x －y ≤4，－x ＋y ≤1，y ≥0，则目标函数z ＝3x ＋5y的最大值为( ) A ．6B ．19C ．21D ．45 答案 C解析画出可行域如图中阴影部分所示(含边界)，由z ＝3x ＋5y ，得y ＝－35x ＋z5.设直线l 0为y ＝－35x ，平移直线l 0，当直线y ＝－35x ＋z5过点P (2,3)时，z 取得最大值，z max＝3×2＋5×3＝21.故选C.12．设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≥0，x ＋2y －2≥0，4x －y －8≤0，则z ＝|x ＋3y |的最大值为( )A ．15B ．13C ．3D ．2 答案 A解析画出约束条件所表示的可行域，如图(阴影部分含边界)所示，设z 1＝x ＋3y ，可化为y ＝－13x ＋z 13，当直线y ＝－13x ＋z 13经过点A 时，直线在y 轴上的截距最大，此时z 1取得最大值，当直线y ＝－13x ＋z 13经过点B 时，直线在y 轴上的截距最小，此时z 1取得最小值，由⎩⎪⎨⎪⎧ x －y ＋1＝0，4x －y －8＝0，解得A (3,4)，此时最大值为z 1＝3＋3×4＝15；由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －2＝0，4x －y －8＝0，解得B (2,0)，此时最小值为z 1＝2＋3×0＝2，所以目标函数z ＝|x ＋3y |的最大值为15.13．若变量x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤2，2x －3y ≤9，x ≥0，则x 2＋y 2的最大值是( )A ．4B ．9C ．10D ．12 答案 C解析满足条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤2，2x －3y ≤9，x ≥0的可行域如图阴影部分(包括边界)，x 2＋y 2是可行域上动点(x ，y )到原点(0,0)距离的平方，显然，当x ＝3，y ＝－1时，x 2＋y 2取最大值，最大值为10.故选C.14．(2018·浙江省金华市浦江县高考适应性考试)已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≤1，x ＋y ≤1，x ≥0，则此平面区域的面积为______，2x ＋y 的最大值为________．答案 1 2解析它表示的可行域如图阴影部分所示(含边界)．则其围成的平面区域的面积为12×2×1＝1；当x ＝1，y ＝0时，2x ＋y 取得最大值2.15．设实数x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －2y －2≤0，x ＋y －4≥0，y ≤2，则z ＝yx的最大值是________．答案 1解析满足条件⎩⎪⎨⎪⎧x －2y －2≤0，x ＋y －4≥0，y ≤2的可行域如图阴影部分(包括边界)所示．z ＝yx表示点(x ，y )与(0,0)连线的斜率，由可行域可知，最大值为k OA ＝22＝1.考点四绝对值不等式要点重组 (1)绝对值三角不等式①|a ＋b |≤|a |＋|b |，当且仅当ab ≥0时等号成立；②|a －c |≤|a －b |＋|b －c |，当且仅当(a －b )(b －c )≥0时等号成立． (2)|ax ＋b |≤c (c ＞0)⇔－c ≤ax ＋b ≤c . |ax ＋b |≥c (c ＞0)⇔ax ＋b ≥c 或ax ＋b ≤－c .16．不等式－x －1x ＋2＞－⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －1x ＋2的解集为( )A ．(－∞，－2)∪(1，＋∞)B ．(－∞，－2)C ．(1，＋∞)D ．(－2,1) 答案 D 解析由－x －1x ＋2＞－⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －1x ＋2，可得x －1x ＋2＜0， ∴－2＜x ＜1.17．已知x ，y ∈R ，下列不等式成立的是( )A ．若|x －y 2|＋|x 2＋y |≤1，则⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －122≤32B ．若|x －y 2|＋|x 2－y |≤1，则⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －122≤32C ．若|x ＋y 2|＋|x 2－y |≤1，则⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋122≤32D ．若|x ＋y 2|＋|x 2＋y |≤1，则⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋122≤32答案 B解析因为|x －y 2|＋|x 2－y |≥|x 2－x ＋y 2－y |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －122－12≥⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －122－12，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －122≤32，因此B 正确；取x ＝12，y ＝－12，此时|x －y 2|＋|x 2＋y |≤1，但⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －122＞32，因此A 错误；取x ＝12，y ＝12，此时|x ＋y 2|＋|x 2－y |≤1，但⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋122＞32，因此C 错误；取x ＝－12，y ＝12，此时|x ＋y 2|＋|x 2＋y |≤1，但⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋122＞32，因此D 错误，故选B.18．已知f (x )＝x －2，g (x )＝2x －5，则不等式|f (x )|＋|g (x )|≤2的解集为________；|f (2x )|＋|g (x )|的最小值为________．答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤53，3 3 解析由题意得|f (x )|＋|g (x )|＝|x －2|＋|2x －5|＝⎩⎪⎨⎪⎧7－3x ，x ＜2，－x ＋3，2≤x ≤52，3x －7，x ＞52，所以|f (x )|＋|g (x )|≤2等价于⎩⎪⎨⎪⎧7－3x ≤2，x ＜2或⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋3≤2，2≤x ≤52或⎩⎪⎨⎪⎧3x －7≤2，x ＞52，解得53≤x ≤3.|f (2x )|＋|g (x )|＝|2x －2|＋|2x －5|＝⎩⎪⎨⎪⎧7－4x ，x ＜1，3，1≤x ≤52，4x －7，x ＞52，|f (2x )|＋|g (x )|的图象如图，则由图象易得|f (2x )|＋|g (x )|的最小值为3.19．已知函数f (x )＝|x 2＋ax ＋b |在[0，c ]内的最大值为M (a ，b ∈R ，c ＞0为常数)，且存在实数a ，b ，使得M 取最小值2，则a ＋b ＋c ＝________. 答案 2 解析令x ＝c (t ＋1)2，∵0≤x ≤c ，c ＞0，∴－1≤t ≤1，f (x )＝|x 2＋ax ＋b |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪c 24(t ＋1)2＋ac 2(t ＋1)＋b＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪c 24t 2＋c 2＋ac 2t ＋c 2＋2ac ＋4b 4≤⎪⎪⎪⎪⎪⎪c 24＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪c 2＋ac 2＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪c 2＋2ac ＋4b 4.∵函数f (x )＝|x 2＋ax ＋b |在区间[0，c ]上的最大值为M ，∴M ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪c 24＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪c 2＋ac 2＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪c 2＋2ac ＋4b 4，又∵存在实数a ，b ，使得M 取最小值2，而⎪⎪⎪⎪⎪⎪c 2＋ac 2≥0，⎪⎪⎪⎪⎪⎪c 2＋2ac ＋4b 4≥0， ∴当⎪⎪⎪⎪⎪⎪c 2＋ac 2＝0且⎪⎪⎪⎪⎪⎪c 2＋2ac ＋4b 4＝0时，M 有最小值⎪⎪⎪⎪⎪⎪c 24＝2，又c ＞0，解得c ＝22，a ＝－22，b ＝2， ∴a ＋b ＋c ＝2.1．若不等式(－2)na －3n －1－(－2)n＜0对任意正整数n 恒成立，则实数a 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫1，43B.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，43C.⎝ ⎛⎭⎪⎫1，74 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，74 答案 D解析当n 为奇数时，要满足2n(1－a )＜3n －1恒成立，即1－a ＜13×⎝ ⎛⎭⎪⎫32n 恒成立，只需1－a ＜13×⎝ ⎛⎭⎪⎫321，解得a ＞12；当n 为偶数时，要满足2n(a －1)＜3n －1恒成立，即a －1＜13×⎝ ⎛⎭⎪⎫32n 恒成立，只需a －1＜13×⎝ ⎛⎭⎪⎫322，解得a ＜74.综上，12＜a ＜74，故选D.2．设函数f (x )＝|2x －1|，若不等式f (x )≥|a ＋1|－|2a －1||a |对任意实数a ≠0恒成立，则x 的取值范围是( )A ．(－∞，－1]∪[3，＋∞)B ．(－∞，－1]∪[2，＋∞)C ．(－∞，－3]∪[1，＋∞)D ．(－∞，－2]∪[1，＋∞)答案 B解析不等式f (x )≥|a ＋1|－|2a －1||a |对任意实数a ≠0恒成立，仅需f (x )≥⎩⎨⎧⎭⎬⎫|a ＋1|－|2a －1||a |max . 因为|a ＋1|－|2a －1||a |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪1＋1a －⎪⎪⎪⎪⎪⎪2－1a ≤3，所以f (x )≥3，即|2x －1|≥3，即2x －1≥3或2x －1≤－3，即x ≥2或x ≤－1，故选B.3．已知实数x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤2，x －y ≥－2，y ≥1，则(x －3)2＋(y ＋2)2的最小值为________．答案 13解析画出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤2，x －y ≥－2，y ≥1表示的平面区域(图略)，易知(x －3)2＋(y ＋2)2表示可行域内的点(x ，y )与(3，－2)两点间距离的平方，通过数形结合可知，当(x ，y )为直线x ＋y ＝2与y ＝1的交点(1,1)时，(x －3)2＋(y ＋2)2取得最小值13.4．已知x ，y ∈R 且满足x 2＋2xy ＋4y 2＝6，则z ＝x 2＋4y 2的取值范围为________．答案 [4,12]解析 ∵2xy ＝6－(x 2＋4y 2)，而2xy ≤x 2＋4y 22，∴6－(x 2＋4y 2)≤x 2＋4y 22，∴x 2＋4y 2≥4(当且仅当x ＝2y 时取等号)．又∵(x ＋2y )2＝6＋2xy ≥0，即2xy ≥－6，∴z ＝x 2＋4y 2＝6－2xy ≤12(当且仅当x ＝－2y 时取等号)．综上可知，4≤x 2＋4y 2≤12.解题秘籍 (1)不等式恒成立或有解问题能分离参数的，可先分离参数，然后通过求最值解决．(2)利用基本不等式求最值时要灵活运用两个公式： ①a 2＋b 2≥2ab (a ，b ∈R )，当且仅当a ＝b 时取等号；②a ＋b ≥2ab (a >0，b >0)，当且仅当a ＝b 时取等号．注意公式的变形使用和等号成立的条件．(3)理解线性规划问题中目标函数的实际意义．(4)含绝对值不等式的恒成立问题可以转化为求含绝对值函数的最值或利用绝对值三角不等式求最值．1．(2016·浙江)已知a ，b ＞0，且a ≠1，b ≠1，若log a b ＞1，则( ) A ．(a －1)(b －1)＜0 B ．(a －1)(a －b )＞0 C ．(b －1)(b －a )＜0 D ．(b －1)(b －a )＞0答案 D解析取a ＝2，b ＝4，则(a －1)(b －1)＝3＞0，排除A ；则(a －1)(a －b )＝－2＜0，排除B ；(b －1)(b －a )＝6＞0，排除C ，故选D.2．设实数a ∈(1,2)，关于x 的一元二次不等式x 2－(a 2＋3a ＋2)x ＋3a (a 2＋2)<0的解集为( )A ．(3a ，a 2＋2) B ．(a 2＋2,3a ) C ．(3,4) D ．(3,6)答案 B解析 ∵x 2－(a 2＋3a ＋2)x ＋3a (a 2＋2)<0，∴[x －(a 2＋2)](x －3a )<0，又∵a ∈(1,2)，∴a 2＋2<3a ，∴a 2＋2<x <3a ，故选B.3．(2018·浙江省台州中学模拟)已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧y ≥0，x －y ≥1，x ＋2y ≤4，则该不等式组所表示的平面区域的面积为( ) A.12B.32C ．2D ．3 答案 B解析根据题中所给的约束条件，画出其表示的平面区域如图阴影部分所示(含边界)，解方程组得三个顶点的坐标分别为(1,0)，(2,1)，(4,0)，根据三角形的面积公式得S ＝12×(4－1)×1＝32，故选B.4．(2018·浙江省杭州市第二中学模拟)已知不等式组⎩⎪⎨⎪⎧y ≤x ，y ≥－x ，x ≤a表示的平面区域M 的面积为9，若点P (x ，y )∈M ，则z ＝2x ＋y 的最大值为( ) A ．3B ．6C ．9D ．12 答案 C解析由题意知a >0，作出不等式组对应的平面区域如图阴影部分所示(含边界)．则A (a ，a )，B (a ，－a )，所以平面区域的面积S ＝12·a ·2a ＝9，解得a ＝3(舍负)，此时A (3,3)，B (3，－3)，由图可得当z ＝2x ＋y 过点A (3,3)时，z ＝2x ＋y 取得最大值9，故选C. 5．已知正实数a ，b 满足1a ＋2b＝3，则(a ＋1)(b ＋2)的最小值是( )A.163B.509C.499D ．6 答案 B解析 ∵1a ＋2b＝3，∴2a ＋b ＝3ab ，又2a ＋b ≥22ab ，∴22ab ≤3ab ，得ab ≥89，因此(a ＋1)(b ＋2)＝ab ＋2a ＋b ＋2＝4ab ＋2≥4×89＋2＝509，当且仅当2a ＝b ＝43时，等号成立．6．设x ，y ∈R ，下列不等式成立的是( ) A ．1＋|x ＋y |＋|xy |≥|x |＋|y | B ．1＋2|x ＋y |≥|x |＋|y | C ．1＋2|xy |≥|x |＋|y | D ．|x ＋y |＋2|xy |≥|x |＋|y |答案 A解析当x ＝1，y ＝－1时， 1＋2|x ＋y |＜|x |＋|y |，故B 错误；当x ＝4，y ＝14时，1＋2|xy |＜|x |＋|y |，故C 错误；当x ＝12，y ＝－12时，|x ＋y |＋2|xy |＜|x |＋|y |，故D 错误；故选A.7．实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ≥a (a ＜1)，y ≥x ，x ＋y ≤2，且z ＝2x ＋y 的最大值是最小值的4倍，则a 的值是( ) A.211B.14C.12D.34 答案 B解析在直角坐标系中作出不等式组所表示的可行域如图中阴影部分(包括边界)所示，当目标函数z ＝2x ＋y 经过可行域中的点B (1,1)时有最大值3，当目标函数z ＝2x ＋y 经过可行域中的点A (a ，a )时有最小值3a ，由3＝4×3a ，得a ＝14.8．若对任意的x ，y ∈R ，不等式x 2＋y 2＋xy ≥3(x ＋y －a )恒成立，则实数a 的取值范围为( ) A ．(－∞，1] B ．[1，＋∞) C ．[－1，＋∞) D ．(－∞，－1]答案 B解析不等式x 2＋y 2＋xy ≥3(x ＋y －a )对任意的x ，y ∈R 恒成立等价于不等式x 2＋(y －3)x ＋y 2－3y ＋3a ≥0对任意的x ，y ∈R 恒成立，所以Δ＝(y －3)2－4(y 2－3y ＋3a )＝－3y 2＋6y ＋9－12a ＝－3(y －1)2＋12(1－a )≤0对任意的y ∈R 恒成立，所以1－a ≤0，即a ≥1，故选B.9．设函数f (x )＝12log 1－x 1＋x ，则不等式f (12log x )＞－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12的解集是________．答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2解析函数f (x )的定义域为(－1,1)且在(－1,1)上单调递增，f (－x )＝－f (x )，所以f (12log x )＞－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12⇔f (12log x )＞f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12⇔－12＜12log x ＜1，解得x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2.10．(2018·诸暨模拟)若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≤0，x －y －2≤0，x ＋2≥0，则目标函数z ＝3x ＋y 的最大值为______，最小值为______．答案 6 －10解析作出x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≤0，x －y －2≤0，x ＋2≥0的可行域如图阴影部分(含边界)所示，由z ＝3x ＋y 知，y ＝－3x ＋z ，所以动直线y ＝－3x ＋z 在y 轴上的截距z 取得最大值时，目标函数取得最大值．由可行域得B (－2，－4)，A (2,0)，结合可行域可知当动直线经过点B 时，目标函数取得最小值z ＝－3×2－4＝－10.目标函数经过可行域的点A 时，取得最大值6.11．(2018·绍兴模拟)若实数x ，y ，z 满足x ＋2y ＋3z ＝1，x 2＋4y 2＋9z 2＝1，则实数z 的最小值是________．答案－19解析 x ＋2y ＋3z ＝1，则x ＝1－2y －3z ，据此可得(1－2y －3z )2＋4y 2＋9z 2＝1，整理可得4y 2＋(6z －2)y ＋(9z 2－3z )＝0，满足题意时上述关于y 的一元二次方程有实数根，则Δ＝(6z －2)2－16(9z 2－3z )≥0，整理可得(3z －1)(9z ＋1)≤0，则－19≤z ≤13.则实数z 的最小值是－19.12．已知a >0，b >0，则6ab 9b 2＋a 2＋2abb 2＋a 2的最大值是________．答案3解析 ∵6ab 9b 2＋a 2＋2ab b 2＋a 2＝24ab 3＋8a 3b9b 4＋10a 2b 2＋a4，∴24×b a ＋8×a b 9b 2a2＋10＋a 2b2＝8⎝ ⎛⎭⎪⎫3b a ＋a b ⎝ ⎛⎭⎪⎫3b a 2＋a 2b2＋10. 令3b a ＋ab＝t ，则8⎝ ⎛⎭⎪⎫3b a ＋a b ⎝ ⎛⎭⎪⎫3b a 2＋a 2b 2＋10＝8t t 2＋4. ∵a >0，b >0，∴t ≥23， ∴8t t 2＋4＝8t ＋4t. 又∵y ＝t ＋4t在[)23，＋∞上单调递增，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋4t min ＝23＋423＝833，∴6ab 9b 2＋a 2＋2ab b 2＋a 2的最大值是8×383＝ 3.。

2019版高考数学二轮复习专题二函数与导数专题对点练6 导数与函数的单调性、极值、最值文

专题对点练6 导数与函数的单调性、极值、最值1.已知函数f(x)=ln x+(a∈R).(1)若函数f(x)在区间(0,4)上单调递增,求a的取值范围;(2)若函数y=f(x)的图象与直线y=2x相切,求a的值.2.已知函数f(x)=ln x+ax2-x-m(m∈Z).(1)若f(x)是增函数,求a的取值范围;(2)若a<0,且f(x)<0恒成立,求m的最小值.3.设函数f(x)=a ln x+ (e为自然对数的底数).(1)当a>0时,求函数f(x)的极值;(2)若不等式f(x)<0在区间(0,e2]内有解,求实数a的取值范围.4.已知函数f(x)= x3-ax2,a∈R.(1)当a=2时,求曲线y=f(x)在点(3,f(3))处的切线方程;(2)设函数g(x)=f(x)+(x-a)cos x-sin x,讨论g(x)的单调性并判断有无极值,有极值时求出极值.专题对点练6答案1.解 (1)f'(x)=,∵函数f(x)在区间(0,4)上单调递增,∴f'(x)≥0在(0,4)上恒成立,∴(x+1)2+ax≥0,即a≥-=--2在(0,4)上恒成立,∵x+≥2,取等号条件为当且仅当x=1,∴a≥-4.(2)设切点为(x0,y0),则y0=2x0,f'(x0)=2,y0=ln x0+,∴=2, ①且2x0=ln x0+.②由①得a=,代入②得2x0=ln x0+(2x0-1)(x0+1),即ln x0+2-x0-1=0.令F(x)=ln x+2x2-x-1,则F'(x)= +4x-1=.∵4x2-x+1=0的Δ=-15<0,∴4x2-x+1>0恒成立.∴F'(x)在(0,+∞)上恒为正值,∴F(x)在(0,+∞)上单调递增.∵F(1)=0,∴x0=1代入①式得a=4.2.解 (1)f'(x)= +ax-1,依题设可得a≥,而=-,当x=2时,等号成立.所以a的取值范围是.(2)由(1)可知f'(x)= +ax-1=.设g(x)=ax2-x+1,则g(0)=1>0,g(1)=a<0,g(x)=a+1-在(0,+∞)内单调递减,因此g(x)=0在(0,1)内有唯一的解x0,使得a=x0-1,而且当0<x<x0时,f'(x)>0,当x>x0时,f'(x)<0,所以f(x)≤f(x0)=ln x0+-x0-m=ln x0+ (x0-1)-x0-m=ln x0-x0--m.设r(x)=ln x-x--m,则r'(x)=>0.所以r(x)在(0,1)内单调递增.所以r(x)<r(1)=-1-m,由已知可得-1-m≤0,所以m≥-1,即m的最小值为-1.3.解 (1)由题意,f(x)的定义域是(0,+∞),f'(x)=(x>0),当a>0时,由f'(x)>0,解得x>,由f'(x)<0,解得0<x<,故函数f(x)在递减,在递增,故函数f(x)只有极小值f=a ln+a,无极大值.(2)f(x)<0在区间(0,e2]内有解,即f(x)在区间(0,e2]的最小值小于0.(ⅰ)当a≤0时,f'(x)<0,则函数f(x)在区间(0,e2]内为减函数,故f(x)的最小值是f(e2)=2a+<0,即a<-;(ⅱ)当a>0时,函数f(x)在区间内为减函数,在区间内为增函数,①若e2≤,即0<a≤,函数f(x)在区间(0,e2]内为减函数,由(ⅰ)知,f(x)的最小值f(e2)<0时,a<-,与0<a≤矛盾;②若e2>,即a>,则函数f(x)的最小值是f=a ln+a,令f=a ln+a<0,得a>e2.综上,实数a的范围是∪(e2,+∞).4.解 (1)由题意f'(x)=x2-ax,所以当a=2时,f(3)=0,f'(x)=x2-2x,所以f'(3)=3,因此曲线y=f(x)在点(3,f(3))处的切线方程是y=3(x-3),即3x-y-9=0.(2)因为g(x)=f(x)+(x-a)cos x-sin x,所以g'(x)=f'(x)+cos x-(x-a)sin x-cos x=x(x-a)-(x-a)sin x=(x-a)(x-sin x).令h(x)=x-sin x,则h'(x)=1-cos x≥0,所以h(x)在R上单调递增.因为h(0)=0,所以当x>0时,h(x)>0;当x<0时,h(x)<0.①当a<0时,g'(x)=(x-a)(x-sin x),当x∈(-∞,a)时,x-a<0,g'(x)>0,g(x)单调递增;当x∈(a,0)时,x-a>0,g'(x)<0,g(x)单调递减;当x∈(0,+∞)时,x-a>0,g'(x)>0,g(x)单调递增.所以当x=a时g(x)取到极大值,极大值是g(a)=- a3-sin a,当x=0时g(x)取到极小值,极小值是g(0)=-a.②当a=0时,g'(x)=x(x-sin x),当x∈(-∞,+∞)时,g'(x)≥0,g(x)单调递增.所以g(x)在(-∞,+∞)上单调递增,g(x)无极大值也无极小值.③当a>0时,g'(x)=(x-a)(x-sin x).当x∈(-∞,0)时,x-a<0,g'(x)>0,g(x)单调递增;当x∈(0,a)时,x-a<0,g'(x)<0,g(x)单调递减;当x∈(a,+∞)时,x-a>0,g'(x)>0,g(x)单调递增.所以当x=0时g(x)取到极大值,极大值是g(0)=-a;当x=a时g(x)取到极小值,极小值是g(a)=- a3-sin a.综上所述:当a<0时,函数g(x)在(-∞,a)和(0,+∞)上单调递增,在(a,0)上单调递减,函数既有极大值,又有极小值,极大值是g(a)=- a3-sin a,极小值是g(0)=-a;当a=0时,函数g(x)在(-∞,+∞)上单调递增,无极值;当a>0时,函数g(x)在(-∞,0)和(a,+∞)上单调递增,在(0,a)上单调递减,函数既有极大值,又有极小值,极大值是g(0)=-a,极小值是g(a)=- a3-sin a.。

浙江专用2019高考数学二轮复习精准提分第二篇重点专题分层练中高档题得高分第20练函数的概念图象和性质试题

第20练　函数的概念、图象和性质[明晰考情]　1.命题角度：(1)以基本初等函数为载体，考查函数的定义域、最值、奇偶性、单调性和周期性；(2)利用函数的图象研究函数性质，能用函数的图象性质解决简单问题.2.题目难度：中档难度．考点一　函数及其表示要点重组　(1)给出解析式的函数的定义域是使解析式有意义的自变量的集合；探求抽象函数的定义域要把握一个原则：f (g (x ))中g (x )的范围与f (x )中x 的范围相同．(2)对于分段函数的求值问题，必须依据条件准确地找出利用哪一段求解；形如f (g (x ))的函数求值时，应遵循先内后外的原则．1．函数y ＝的定义域为( )lg (1－x 2)2x 2－3x －2A ．(－∞，1]B ．[－1,1]C.∪(－1，－12)(－12，1)D.∪[－1，－12)(－12，1]答案　C解析　函数有意义，则Error!即Error!所以函数的定义域为Error!.2．设f (x )＝Error!若f (a )＝f (a ＋1)，则f 等于( )(1a )A ．2B ．4C ．6D ．8答案　C解析　若0＜a ＜1，由f (a )＝f (a ＋1)，得＝2(a ＋1－1)，a ∴a ＝，∴f ＝f (4)＝2×(4－1)＝6.14(1a )若a ≥1，由f (a )＝f (a ＋1)，得2(a －1)＝2(a ＋1－1)，无解．综上，f ＝6.(1a )故选C.3．若函数y ＝f (x )的定义域是[0,2]，则函数g (x )＝的定义域是__________．f (2x )x －1答案　[0,1)解析　由Error!得0≤x ＜1，∴函数g (x )的定义域为[0,1)．4．函数f (x )＝(a ＞0且a ≠1)的值域为______．2ax －2017ax ＋1答案　(－2017,2)解析　f (x )＝＝＝2－，2ax －2017ax ＋12(ax ＋1)－2019ax ＋12019ax ＋1因为a x ＞0，所以a x ＋1＞1，所以0＜＜2019，所以－2017＜2－＜2，2019ax ＋12019ax ＋1故函数f (x )的值域为(－2017,2)．考点二　函数的图象及应用方法技巧　(1)函数图象的判断方法，①找特殊点；②看性质：根据函数性质判断图象的位置，对称性，变化趋势等；③看变换：看函数是由基本初等函数经过怎样的变换得到．(2)利用图象可确定函数的性质、方程与不等式的解问题．5．函数y ＝1＋x ＋的部分图象大致为( )sin xx 2答案　D解析　当x →＋∞时，→0,1＋x →＋∞，y ＝1＋x ＋→＋∞，故排除选项B.sin x x 2sin xx 2当0＜x ＜时，y ＝1＋x ＋＞0，故排除选项A ，C.π2sin xx 2故选D.6．已知f (x )＝2x －1，g (x )＝1－x 2，规定：当|f (x )|≥g (x )时，h (x )＝|f (x )|；当|f (x )|<g (x )时，h (x )＝－g (x )，则h (x )( )A ．有最小值－1，最大值1B ．有最大值1，无最小值C ．有最小值－1，无最大值D ．有最大值－1，无最小值答案　C解析　画出y ＝|f (x )|＝|2x －1|与y ＝g (x )＝1－x 2的图象，它们交于A ，B 两点．由“规定”，在A ，B 两侧，|f (x )|≥g (x )，故h (x )＝|f (x )|；在A ，B 之间，|f (x )|<g (x )，故h (x )＝－g (x )．综上可知，y ＝h (x )的图象是图中的实线部分，因此h (x )有最小值－1，无最大值．7．函数y ＝的图象与函数y ＝2sinπx (－2≤x ≤4)的图象所有交点的横坐标之和等于11－x ________．答案　8解析　如图，两个函数图象都关于点(1,0)成中心对称，两个图象在[－2,4]上共8个交点，每两个对应交点横坐标之和为2.故所有交点的横坐标之和为8.8．设函数f (x )＝e x (2x －1)－ax ＋a ，其中a ＜1，若存在唯一的整数x 0，使得f (x 0)＜0，则a 的取值范围是________．答案　[32e ，1)解析　设g (x )＝e x (2x －1)，h (x )＝ax －a ，由题意知存在唯一的整数x 0使得g (x 0)在直线h (x )＝ax －a 的下方，如图．∵g ′(x )＝e x (2x －1)＋2e x ＝e x (2x ＋1)，∴当x ＜－时，g ′(x )＜0，函数g (x )单调递减，12当x >－时，g ′(x )＞0，函数g (x )单调递增，12∴当x ＝－时，g (x )取最小值122e --，12当x ＝0时，g (x )＝－1，当x ＝1时，g (x )＝e ＞0，直线h (x )＝ax －a 恒过定点(1,0)且斜率为a ，故－a ＞g (0)＝－1且g ＝－3e －1≥－a －a ，解得≤a ＜1.(－1)32e 考点三　函数的性质与应用要点重组　(1)利用函数的奇偶性和周期性可以转化函数的解析式、图象和性质，把不在已知区间上的问题，转化到已知区间上求解．(2)函数单调性的应用：可以比较大小、求函数最值、解不等式、证明方程根的唯一性．(3)函数周期性的常用结论：若f (x ＋a )＝－f (x )或f (x ＋a )＝，则2a 是函数f (x )的周1f (x )期．9．已知f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝3x ＋m (m 为常数)，则f (－log 35)的值为( )A ．4B ．－4C ．6D ．－6答案　B解析　由f (x )是定义在R 上的奇函数，得f (0)＝1＋m ＝0，解得m ＝－1，f (－log 35)＝－f (log 35)＝－(3log 53－1)＝－4，故选B.10．设函数y ＝f (x )(x ∈R )为偶函数，且任意x ∈R ，满足f ＝f ，当x ∈[2,3]时，(x －32)(x ＋12)f (x )＝x ，则当x ∈[－2,0]时，f (x )＝__________.答案　3－|x ＋1|解析　f (x )的周期T ＝2，当x ∈[0,1]时，x ＋2∈[2,3]，∴f (x )＝f (x ＋2)＝x ＋2.又f (x )为偶函数，∴当x ∈[－1,0]时，－x ∈[0,1]，f (－x )＝－x ＋2，∴f (x )＝－x ＋2；当x ∈[－2，－1]时，x ＋2∈[0,1]，f (x )＝f (x ＋2)＝x ＋4.综上，当x ∈[－2,0]时，f (x )＝3－|x ＋1|.11．已知偶函数f ，当x ∈时，f (x )＝13x ＋sin x ．设a ＝f (1)，b ＝f (2)，(x ＋π2)(－π2，π2)c ＝f (3)，则a ，b ，c 的大小关系是________．(用“<”连接)答案　c <a <b解析　因为函数f为偶函数，(x ＋π2)所以f＝f ，(－x ＋π2)(x ＋π2)即函数f (x )的图象关于直线x ＝对称，即f (x )＝f (π－x )．π2又因为当x ∈时，f (x )＝13x ＋sin x ，(－π2，π2)所以函数f (x )在上单调递增，在上单调递减，(－π2，π2)(π2，3π2)因为2<π－1<3，所以f (2)>f (π－1)＝f (1)>f (3)，即c <a <b .12．已知函数y ＝f (x )，x ∈R ，有下列四个命题：①若f (1＋2x )＝f (1－2x )，则f (x )的图象关于直线x ＝1对称；②y ＝f (x －2)与y ＝f (2－x )的图象关于直线x ＝2对称；③若f (x )为偶函数，且f (2＋x )＝－f (x )，则f (x )的图象关于直线x ＝2对称；④若f (x )为奇函数，且f (x )＝f (－x －2)，则f (x )的图象关于直线x ＝1对称．其中正确命题的序号为________．答案　①②④解析　＝1，故函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝1对称，故①正确；对于1＋2x ＋1－2x 2②，令t ＝x －2，则问题等价于y ＝f (t )与y ＝f (－t )图象的对称问题，显然这两个函数的图象关于直线t ＝0对称，即函数y ＝f (x －2)与y ＝f (2－x )的图象关于直线x －2＝0，即x ＝2对称，故②正确；由f (x ＋2)＝－f (x )，可得f (x ＋4)＝－f (x ＋2)＝f (x )，我们只能得到函数的周期为4，即只能推得函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝4k (k ∈Z )对称，不能推得函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝2对称，故③错误；由于函数f (x )为奇函数，且f (x )＝f (－x －2)，可得f (－x )＝f (x ＋2)，由于＝1，可得函数y ＝f (x )的图象关于－x ＋x ＋22直线x ＝1对称，故④正确．1．已知函数f (x )的定义域为(－1,1)，则函数g (x )＝f ＋f (x －1)的定义域为( )(x 2)A ．(－2,0)B ．(－2,2)C ．(0,2)D.(－12，0)答案　C解析　由题意得Error!解得Error!故0＜x ＜2.故选C.2．已知函数f (x )为R 上的减函数，则满足f ＜f (1)的实数x 的取值范围是( )(|1x |)A ．(－1,1)B ．(0,1)C ．(－1,0)∪(0,1)D ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)答案　C解析　由f (x )为R 上的减函数且f ＜f (1)，(|1x |)得Error!即Error!∴－1＜x ＜0或0＜x ＜1.3．已知函数f (x )＝Error!若a ，b ，c 互不相等，且f (a )＝f (b )＝f (c )，则a ＋b ＋c 的取值范围是( )A ．(1,2016)B ．[1,2 016]C ．(2,2017)D ．[2,2 017]答案　C解析　在平面直角坐标系中画出f (x )的图象，如图所示．设a ＜b ＜c ，要满足存在互不相等的a ，b ，c ，使f (a )＝f (b )＝f (c )，则a ，b 关于直线x ＝对称，可得12a ＋b ＝1,1＜c ＜2016，故a ＋b ＋c 的取值范围是(2,2017)．解题秘籍　(1)从映射的观点理解抽象函数的定义域，如函数y ＝f (g (x ))中，若函数y ＝f (x )的定义域为A ，则有g (x )∈A .(2)利用函数的性质求函数值时，要灵活应用性质对函数值进行转换．(3)解题过程中要利用数形结合的思想，将函数图象、性质有机结合．1．函数f (x )＝＋的定义域是( )3x 21－x lg (3x ＋1)A. B.(－13，＋∞)(－13，1)C.D ．[0,1)(－13，13)答案　D解析　要使函数有意义，需Error!即0≤x ＜1.故函数的定义域为[0,1)，故选D.2．若函数f (x )＝Error!则f (f (2))等于( )A ．1B ．4C ．0D ．5－e 2答案　A解析　由题意知，f (2)＝5－4＝1，f (1)＝e 0＝1，所以f (f (2))＝1.3．(2018·全国Ⅱ)函数f (x )＝的图象大致为( )e x －e －xx 2答案　B解析　∵y ＝e x －e －x 是奇函数，y ＝x 2是偶函数，∴f (x )＝是奇函数，图象关于原点对称，排除A 选项．e x －e －xx 2当x ＝1时，f (1)＝＝e －＞0，排除D 选项．e －e －111e 又e ＞2，∴＜，∴e－＞，排除C 选项．1e 121e 32故选B.4．如果函数f (x )＝ax 2＋2x －3在区间(－∞，4)上是单调递增的，则实数a 的取值范围是( )A. B.(－14，＋∞)[－14，＋∞)C. D.[－14，0)[－14，0]答案　D解析　当a ＝0时，f (x )＝2x －3，在定义域R 上是单调递增的，故在(－∞，4)上单调递增；当a ≠0时，二次函数f (x )的对称轴为x ＝－.1a 因为f (x )在(－∞，4)上单调递增，所以a ＜0，且－≥4，解得－≤a ＜0.1a 14综上所述a 的取值范围是.[－14，0]5．已知函数g (x )的定义域为{x |x ≠0}，且g (x )≠0，设p ：函数f (x )＝g (x )是(11－2x －12)偶函数；q ：函数g (x )是奇函数，则p 是q 的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案　C解析　令h (x )＝－(x ≠0)，易得h (x )＋h (－x )＝0，则h (x )为奇函数，又g (x )是奇11－2x 12函数，所以f (x )为偶函数；反过来也成立．因此p 是q 的充要条件．6．已知定义在R 上的函数f (x )＝2|x －m |－1(m 为实数)为偶函数．记a ＝f (log 0.53)，b ＝f (log 25)，c ＝f (2m )，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．a ＜b ＜cB ．a ＜c ＜bC ．c ＜a ＜bD ．c ＜b ＜a答案　C解析　由f (x )＝2|x －m |－1是偶函数，得m ＝0，则f (x )＝2|x |－1.当x ∈[0，＋∞)时，f (x )＝2x －1单调递增，又a ＝f (log 0.53)＝f (|log 0.53|)＝f (log 23)，c ＝f (0)，且0＜log 23＜log 25，则f (0)＜f (log 23)＜f (log 25)，即c ＜a ＜b ，故选C.7．已知函数f (x )＝Error!若f (4)＝3，则f (x )>0的解集为( )A ．{x |x >－1}B ．{x |－1<x ≤0}C ．{x |x >－1且x ≠0}D.Error!答案　D解析　因为f (4)＝2＋a ＝3，所以a ＝1.所以不等式f (x )>0等价于Error!即x >，或Error!即－1<x ≤0，12所以f (x )>0的解集为Error!.8．已知函数f (x ＋2)(x ∈R )为奇函数，且函数f (x )的图象关于直线x ＝1对称，当x ∈[0,1]时，f (x )＝，则f (2018)等于( )x 2018A ．2018B.12018C.D ．011009答案　D解析　由题意知，f (x ＋2)＝－f (－x ＋2)，∴f (x )＝－f (－x ＋4)，又f (x )＝f (－x ＋2)，∴－f (－x ＋4)＝f (－x ＋2)，∴－f (－x ＋2)＝f (－x )，∴f (－x ＋4)＝f (－x )，∴f (x )的周期为4，故f (2018)＝f (2016＋2)＝f (2)＝f (0)＝0.9.(2018·全国Ⅲ)已知函数f (x )＝ln(－x )＋1，f (a )＝4，则f (－a )＝________.1＋x 2答案　－2解析　∵f (x )＋f (－x )＝ln(－x )＋1＋ln(＋x )＋1＝ln(1＋x 2－x 2)＋2＝2，1＋x 21＋x 2∴f (a )＋f (－a )＝2，∴f (－a )＝－2.10．设函数f (x )＝Error!则满足f (x )＋f>1的x 的取值范围是________．(x －12)答案　(－14，＋∞)解析　由题意知，可对不等式分x ≤0,0＜x ≤，x ＞三段讨论．1212当x ≤0时，原不等式为x ＋1＋x ＋＞1，12解得x ＞－，∴－＜x ≤0.1414当0＜x ≤时，原不等式为2x ＋x ＋＞1，显然成立．1212当x ＞时，原不等式为2x ＋122x －＞1，显然成立．12综上可知，x 的取值范围是.(－14，＋∞)11．已知函数f (x )＝Error!若a [f (a )－f (－a )]>0，则实数a 的取值范围为______________________．答案　(－∞，－2)∪(2，＋∞)解析　当a >0时，a 2＋a －[－3(－a )]>0⇒a 2－2a >0⇒a >2；当a ＜0时，－3a －[(－a )2＋(－a )]<0⇒a 2＋2a >0⇒a <－2.综上，实数a 的取值范围为(－∞，－2)∪(2，＋∞)．12．能够把圆O ：x 2＋y 2＝16的周长和面积同时分为相等的两部分的函数称为圆O 的“和谐函数”，下列函数是圆O 的“和谐函数”的是________．(填序号)①f (x )＝e x ＋e －x ；②f (x )＝ln ；5－x5＋x ③f (x )＝tan ；x2④f (x )＝4x 3＋x .答案　②③④解析　由“和谐函数”的定义知，若函数为“和谐函数”，则该函数为过原点的奇函数，①中，f (0)＝e 0＋e －0＝2，所以f (x )＝e x ＋e －x 的图象不过原点，故f (x )＝e x ＋e －x 不是“和谐函数”；②中，f (0)＝ln ＝ln1＝0，f (x )的定义域为(－5,5)，且f (－x )5－05＋0＝ln ＝－ln ＝－f (x )，所以f (x )为奇函数，所以f (x )＝ln 为“和谐函数”；5＋x 5－x 5－x 5＋x 5－x5＋x ③中，f (0)＝tan0＝0，f (x )的定义域为{x |x ≠π＋2k π，k ∈Z }，且f (－x )＝tan ＝－tan ＝－f (x )，f (x )为奇函数，故f (x )＝tan 为“和谐函数”；④中，f (0)－x 2x 2x 2＝0，且f (x )的定义域为R ，f (x )为奇函数，故f (x )＝4x 3＋x 为“和谐函数”，所以②③④中的函数都是“和谐函数”．。

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第一篇　小考点抢先练，基础题不失分第5练　不等式明晰考情1.命题角度：不等式的性质和线性规划在高考中一直是命题的热点.2.题目难度：中高档难度.栏目索引核心考点突破练易错易混专项练高考押题冲刺练核心考点突破练考点一　不等式的性质与解法要点重组　不等式的常用性质(1)如果a＞b＞0，c＞d＞0，那么ac＞bd.(2)如果a＞b＞0，那么a n＞b n(n∈N，n≥2).(3)如果a＞b＞0，那么 (n∈N，n≥2).方法技巧　(1)解一元二次不等式的步骤一化(二次项系数化为正)，二判(看判别式Δ)，三解(解对应的一元二次方程)，四写(根据“大于取两边，小于取中间”写出不等式的解集).(2)可化为＜0(或＞0)型的分式不等式，转化为一元二次不等式求解.(3)指数不等式、对数不等式可利用函数单调性求解.1.若a，b，c为实数，则下列命题为真命题的是A.若a＞b，则ac2＞bc2√B.若a＜b＜0，则a2＞ab＞b2解析　B中，∵a＜b＜0，∴a2－ab＝a(a－b)＞0，ab－b2＝b(a－b)＞0.故a2＞ab＞b2，B正确.2.(2018·全国Ⅲ)设a＝log0.20.3，b＝log20.3，则√A.a＋b＜ab＜0B.ab＜a＋b＜0C.a＋b＜0＜abD.ab＜0＜a＋b解析　∵a＝log0.20.3＞log0.21＝0，b＝log20.3＜log21＝0，∴ab＜0.∴1＝log0.30.3＞log0.30.4＞log0.31＝0，3.若a＞b＞0，且ab＝1，则下列不等式成立的是√解析　方法一　∵a＞b＞0，ab＝1，∴f′(a)＝－a－2·2－a－a－1·2－a·ln 2＝－a－2·2－a(1＋a ln 2)＜0，∴f(a)在(1，＋∞)上单调递减.4.关于x的不等式x2－2ax－8a2＜0(a＞0)的解集为(x1，x2)，且x2－x1＝15，则a等于√解析　由条件知，x1，x2为方程x2－2ax－8a2＝0的两根，则x1＋x2＝2a，x1x2＝－8a2，故(x2－x1)2＝(x1＋x2)2－4x1x2＝(2a)2－4×(－8a2)＝36a2＝152，{x|x＜0或1＜x＜2}解析　∵关于x的不等式ax－b＞0的解集是(－∞，－2)，解得x＜0或1＜x＜2.考点二　基本不等式(1)利用基本不等式求最值的条件：一正二定三相等.(2)求最值时若连续利用两次基本不等式，必须保证两次等号成立的条件一致.6.若正数x，y满足4x＋y－1＝0，则的最小值为√A.12B.10C.9D.8解析　由4x＋y－1＝0，得4x＋y＝1，7.若正数x ，y 满足x 2＋6xy －1＝0，则x ＋2y 的最小值是解析　由x 2＋6xy －1＝0，可得x 2＋6xy ＝1，即x (x ＋6y )＝1.因为x ，y 都是正数，所以x ＋6y ＞0.√√4 9.若a，b∈R，ab>0，则的最小值为____.解析　∵a，b∈R，ab＞0，考点三　简单的线性规划问题方法技巧　(1)求目标函数最值的一般步骤：一画二移三求.(2)常见的目标函数①截距型：z＝ax＋by；②距离型：z＝(x－a)2＋(y－b)2；③斜率型：z＝。

推荐K12学习浙江专用2019高考数学二轮复习精准提分第一篇屑点抢先练基础题不失分第7练概率试题

第7练概率[明晰考情] 1.命题角度：概率是高考的必考知识点，古典概型和离散型随机变量的期望、方差是选择题、填空题考查的热点.2.题目难度：中低档难度．考点一随机事件的概率要点重组 (1)对立事件是互斥事件的特殊情况，互斥事件不一定是对立事件． (2)若事件A ，B 互斥，则P (A ∪B )＝P (A )＋P (B )；若事件A ，B 对立，则P (A )＝1－P (B )．1．从10个事件中任取一个事件，若这个事件是必然事件的概率为0.2，是不可能事件的概率为0.3，则这10个事件中随机事件的个数是( ) A ．3B ．4C ．5D ．6 答案 C解析这10个事件中，必然事件的个数为10×0.2＝2，不可能事件的个数为10×0.3＝3. 而必然事件、不可能事件、随机事件是彼此互斥的事件，且它们的个数和为10. 故随机事件的个数为10－2－3＝5.故选C.2．一个人打靶时连续射击两次，事件“至少有一次中靶”的互斥事件是( ) A ．至多有一次中靶 B ．两次都中靶 C ．只有一次中靶 D ．两次都不中靶答案 D解析射击两次有四种可能，就是(中，不中)、(不中，中)、(中，中)、(不中，不中)，其中“至少有一次中靶”含有前三种情况，选项A 、B 、C 中都有与其重叠的部分，只有选项D 为其互斥事件，也是对立事件．3．抛掷一枚均匀的正方体骰子(各面分别标有数字1,2,3,4,5,6)，事件A 表示“朝上一面的数是奇数”，事件B 表示“朝上一面的数不超过3”，则P (A ∪B )＝________. 答案 23解析事件A ∪B 可以分成事件C ：“朝上一面的数为1,2,3”与事件D ：“朝上一面的数为5”这两件事，则事件C 和事件D 互斥，故P (A ∪B )＝P (C ∪D )＝P (C )＋P (D )＝36＋16＝46＝23.4.某学校成立了数学、英语、音乐3个课外兴趣小组，3个小组分别有39,32,33个成员，一些成员参加了不止一个小组，具体情况如图所示．现随机选取一个成员，他属于至少2个小组的概率是________，他属于不超过2个小组的概率是________．答案 35 1315解析 “至少2个小组”包含“2个小组”和“3个小组”两种情况，故他属于至少2个小组的概率为P ＝11＋10＋7＋86＋7＋8＋8＋10＋10＋11＝35.“不超过2个小组”包含“1个小组”和“2个小组”，其对立事件是“3个小组”．故他属于不超过2个小组的概率是P ＝1－86＋7＋8＋8＋10＋10＋11＝1315.考点二古典概型方法技巧求解古典概型的概率的两种常用方法(1)直接法：将所求事件转化成几个彼此互斥的事件的和事件，利用概率加法公式求解概率． (2)间接法：若将一个较复杂的事件转化为几个互斥事件的和事件，需要分类太多，而其对立面的分类较少时，可考虑利用对立事件的概率公式进行求解，即“正难则反”．它常用来求“至少”或“至多”型事件的概率．5．(2018·全国Ⅱ)从2名男同学和3名女同学中任选2人参加社区服务，则选中的2人都是女同学的概率为( ) A ．0.6B ．0.5C ．0.4D ．0.3 答案 D解析设2名男同学为a ，b ，3名女同学为A ，B ，C ，从中选出两人的情形有(a ，b )，(a ，A )，(a ，B )，(a ，C )，(b ，A )，(b ，B )，(b ，C )，(A ，B )，(A ，C )，(B ，C )，共10种，而都是女同学的情形有(A ，B )，(A ，C )，(B ，C )，共3种，故所求概率为310＝0.3.6．有5支彩笔(除颜色外无差别)，颜色分别为红、黄、蓝、绿、紫．从这5支彩笔中任取2支不同颜色的彩笔，则取出的2支彩笔中含有红色彩笔的概率为( ) A.45B.35C.25D.15 答案 C解析从5支彩笔中任取2支不同颜色彩笔的取法有红黄、红蓝、红绿、红紫、黄蓝、黄绿、黄紫、蓝绿、蓝紫、绿紫，共10种，其中取出的2支彩笔中含有红色彩笔的取法有红黄、红蓝、红绿、红紫，共4种，所以所求概率P ＝410＝25.故选C.7．有两张卡片，一张的正反面分别画着老鼠和小鸡，另一张的正反面分别画着老鹰和蛇．现在有个小孩随机地将两张卡片排在一起放在桌面上，不考虑顺序，则向上的图案是老鹰和小鸡的概率是( ) A.12B.13C.14D.15 答案 C解析向上的图案为鼠鹰、鼠蛇、鸡鹰、鸡蛇四种情况，其中向上的图案是鸡鹰的概率为14.故选C.8.如图，在平行四边形ABCD 中，O 是AC 与BD 的交点，P ，Q ，M ，N 分别是线段OA ，OB ，OC ，OD 的中点，在A ，P ，M ，C 中任取一点记为E ，在B ，Q ，N ，D 中任取一点记为F ，设G 为满足OG →＝OE →＋OF →的点，则在上述的点G 组成的集合中的点，落在平行四边形ABCD 外(不含边界)的概率为________．答案 34解析基本事件的总数是4×4＝16，在OG →＝OE →＋OF →中，当OG →＝OP →＋OQ →，OG →＝OP →＋ON →，OG →＝ON →＋OM →，OG →＝OM →＋OQ →时，点G 分别为该平行四边形的各边的中点，此时点G 在平行四边形的边界上，而其余情况的点G 都在平行四边形外，故所求的概率是1－416＝34.考点三离散型随机变量的期望和方差要点重组(1)相互独立事件同时发生的概率P (AB )＝P (A )P (B )．(2)独立重复试验、二项分布如果事件A 在一次试验中发生的概率是p ，那么它在n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率为P n (k )＝C k n p k (1－p )n －k，k ＝0,1,2，…，n . 一般地，在n 次独立重复试验中，用X 表示事件A 发生的次数，设每次试验中事件A 发生的概率为p ，则P (X ＝k )＝C k n p k qn －k，其中0<p <1，p ＋q ＝1，k ＝0,1,2，…，n ，称X 服从参数为n ，p 的二项分布，记作X ～B (n ，p )，且E (X )＝np ，D (X )＝np (1－p )．方法技巧离散型随机变量期望与方差的解题思路(1)理解随机变量X 的意义，写出X 的所有可能取值，确定分布列的类型． (2)求X 取每个值的概率． (3)写出X 的分布列． (4)求出E (X )，D (X )．9．(2017·浙江)已知随机变量ξi 满足P (ξi ＝1)＝p i ，P (ξi ＝0)＝1－p i ，i ＝1,2.若0＜p 1＜p 2＜12，则( )A ．E (ξ1)＜E (ξ2)，D (ξ1)＜D (ξ2)B ．E (ξ1)＜E (ξ2)，D (ξ1)＞D (ξ2)C ．E (ξ1)＞E (ξ2)，D (ξ1)＜D (ξ2) D ．E (ξ1)＞E (ξ2)，D (ξ1)＞D (ξ2) 答案 A解析由题意可知ξi (i ＝1,2)服从两点分布， ∴E (ξ1)＝p 1，E (ξ2)＝p 2，D (ξ1)＝p 1(1－p 1)，D (ξ2)＝p 2(1－p 2)，又∵0＜p 1＜p 2＜12，∴E (ξ1)＜E (ξ2)，把方差看作函数y ＝x (1－x )，根据0＜p 1＜p 2＜12知，D (ξ1)＜D (ξ2)．故选A.10．(2018·浙江)设0＜p ＜1，随机变量ξ的分布列是则当p 在(0,1)内增大时，( ) A ．D (ξ)减小 B ．D (ξ)增大 C ．D (ξ)先减小后增大 D ．D (ξ)先增大后减小答案 D解析由题意知E (ξ)＝0×1－p 2＋1×12＋2×p 2＝p ＋12， D (ξ)＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0－⎝⎛⎭⎪⎫p ＋122×1－p 2＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫p ＋122×12＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤2－⎝ ⎛⎭⎪⎫p ＋122×p2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫p ＋122×1－p 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫p －122×12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫32－p 2×p 2＝12⎝⎛⎭⎪⎫p ＋122＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫p －122－p 2⎝ ⎛⎭⎪⎫p ＋122＋p 2⎝ ⎛⎭⎪⎫32－p 2＝12⎝⎛⎭⎪⎫2p 2＋12－p 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫p ＋122－⎝ ⎛⎭⎪⎫p －322＝p 2＋14－p (2p －1)＝－p 2＋p ＋14＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫p －122＋12，∴D (ξ)在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12上单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1上单调递减，即当p 在(0,1)内增大时，D (ξ)先增大后减小．故选D.11．(2018·全国Ⅲ)某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为p ，各成员的支付方式相互独立．设X 为该群体的10位成员中使用移动支付的人数，D (X )＝2.4，P (X ＝4)＜P (X ＝6)，则p 等于( )A ．0.7B ．0.6C ．0.4D ．0.3 答案 B解析由题意可知，10位成员中使用移动支付的人数X 服从二项分布，即X ～B (10，p )，所以D (X )＝10p (1－p )＝2.4，所以p ＝0.4或0.6. 又因为P (X ＝4)＜P (X ＝6)，所以C 410p 4(1－p )6＜C 610p 6(1－p )4，所以p ＞0.5，所以p ＝0.6.12．甲、乙两人被随机分配到A ，B ，C 三个不同的岗位(一个人只能去一个工作岗位)．记分配到A 岗位的人数为随机变量X ，则随机变量X 的期望E (X )＝________，方差D (X )＝________. 答案 23 49解析由题意可知X 的可能取值有0,1,2，P (X ＝0)＝2×23×3＝49， P (X ＝1)＝C 12×23×3＝49，P (X ＝2)＝13×3＝19，则期望E (X )＝0×49＋1×49＋2×19＝23，方差D (X )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0－232×49＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－232×49＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2－232×19＝49.1．甲袋中装有3个白球和5个黑球，乙袋中装有4个白球和6个黑球，现从甲袋中随机取出一个球放入乙袋中，充分混合后，再从乙袋中随机取出一个球放回甲袋中，则甲袋中白球没有减少的概率为( ) A.944 B.2544 C.3544 D.3744答案 C解析白球没有减少的情况有： ①取出黑球，放入任意球，概率是58；②取出白球，放入白球，概率是38×511＝1588，故所求事件的概率为58＋1588＝3544.2．体育课的排球发球项目考试的规则是：每位学生最多可发球3次，一旦发球成功，则停止发球，否则一直发到3次为止．设学生一次发球成功的概率为p (p ≠0)，发球次数为X ，若X 的期望E (X )＞1.75，则p 的取值范围是( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，712 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫712，1 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1 答案 C解析发球次数X 的分布列如下表：所以期望E (X )＝p ＋2(1－p )p ＋3(1－p )2＞1.75，解得p ＞52或p ＜12，又0<p ≤1，所以0＜p ＜12.解题秘籍 (1)解决一些复杂事件的概率问题，关键在于将事件拆分成若干个互斥事件的和或者相互独立事件的积，再利用概率的加法公式或事件的相互独立性求概率．(2)求离散型随机变量的分布列，首先要判断事件的类型和随机变量的分布，一定要保证随机变量各个取值对应的概率之和为1.1．为美化环境，从红、黄、白、紫4种颜色的花中任选2种花种在一个花坛中，余下的2种花种在另一个花坛中，则红色和紫色的花不在同一花坛的概率是( ) A.13B.12C.23D.56 答案 C解析方法一将4种颜色的花任选2种种在花坛中，余下的2种花种在另一个花坛中，有C 24＝6(种)种法，其中红色和紫色的花不在同一花坛的种数为4，故概率为23.方法二将4种颜色的花任选2种种在一个花坛中，余下2种种在另一个花坛中，有((红黄)、(白紫))，((白紫)、(红黄))，((红白)、(黄紫))，((黄紫)、(红白))，((红紫)、(黄白))，((黄白)、(红紫))，共6种种法，其中红色和紫色不在一个花坛中的种法有((红黄)、(白紫))，((白紫)、(红黄))，((红白)、(黄紫))，((黄紫)，(红白))，共4种，故所求概率为P ＝46＝23. 2．每年3月为学雷锋活动月，某班有青年志愿者男生3人，女生2人，现需选出2名青年志愿者到社区做公益宣传活动，则选出的2名志愿者性别相同的概率为( ) A.35B.25C.15D.310 答案 B解析方法一从5名志愿者中选2名，有C 25＝10(种)不同选法，其中性别相同的选法有C 23＋C 22＝4(种)，故所求概率P ＝410＝25.方法二设男生为A ，B ，C ，女生为a ，b ，从5名中选出2名志愿者有(A ，B )，(A ，C )，(A ，a )，(A ，b )，(B ，C )，(B ，a )，(B ，b )，(C ，a )，(C ，b )，(a ，b )，共10种不同情况，其中选出的2名志愿者性别相同的有(A ，B )，(A ，C )，(B ，C )，(a ，b )，共4种不同情况，则选出的2名志愿者性别相同的概率为P ＝410＝25，故选B.3．一盒中有白、黑、红三种颜色的小球各一个，每次从中取出一个，记下颜色后放回，当三种颜色的球全部取出时停止取球，则恰好取5次时停止取球的概率为( ) A.1481 B.2081 C.2281 D.2581答案 A解析当取球的个数是3,1,1时，P 1＝C 13C 34C 1235＝881；当取球的个数是2,2,1时，P 2＝C 13C 24C 2235＝681，故P ＝P 1＋P 2＝1481.4．某人射击一次击中的概率为35，经过3次射击，此人至少有2次击中目标的概率为( )A.54125B.27125C.81125D.108125答案 C解析该人3次射击，恰有2次击中目标的概率是P 1＝C 23·⎝ ⎛⎭⎪⎫352·25，3次全部击中目标的概率是P 2＝C 33·⎝ ⎛⎭⎪⎫353，所以此人至少有2次击中目标的概率是P ＝P 1＋P 2＝C 23·⎝ ⎛⎭⎪⎫352·25＋C 33·⎝ ⎛⎭⎪⎫353＝81125. 5．袋子里有大小、形状相同的红球m 个，黑球n 个(m ＞n ＞2)．从中任取1个球是红球的概率记为p 1，若将红球、黑球各增加1个，此时从中任取1个球是红球的概率记为p 2；若将红球、黑球各减少1个，此时从中任取1个球是红球的概率记为p 3，则( ) A ．p 1＞p 2＞p 3 B ．p 1＞p 3＞p 2 C ．p 3＞p 2＞p 1 D ．p 3＞p 1＞p 2答案 D解析由题意得p 1＝mm ＋n，p 2＝m ＋1m ＋n ＋2，p 3＝m －1m ＋n －2，则1p 1＝m ＋n m ＝1＋n m ，1p 2＝m ＋n ＋2m ＋1＝1＋n ＋1m ＋1， 1p 3＝m ＋n －2m －1＝1＋n －1m －1，则1p 1－1p 2＝n m －n ＋1m ＋1＝n －m m (m ＋1)＜0， 1p 1－1p 3＝n m －n －1m －1＝m －n m (m －1)＞0，所以1p 2＞1p 1＞1p 3，所以p 3＞p 1＞p 2，故选D.6.如图，将一个各面都涂了油漆的正方体，切割为125个同样大小的小正方体，经过搅拌后，从中随机取一个小正方体，记它的油漆面数为X ，则X 的期望E (X )等于( )A.126125B.65C.168125D.75答案 B解析由题意可知，涂漆面数X 的可能取值为0,1,2,3.由于P (X ＝0)＝27125，P (X ＝1)＝54125，P (X ＝2)＝36125，P (X ＝3)＝8125，故E (X )＝0×27125＋1×54125＋2×36125＋3×8125＝150125＝65.7．在“石头、剪刀、布”的游戏中，规定：“石头赢剪刀”“剪刀赢布”“布赢石头”．现有甲、乙两人玩这个游戏，共玩3局，每一局中每人都等可能地独立选择一种手势．设甲赢乙的局数为ξ，则随机变量ξ的期望是( ) A.13 B.49 C.23 D ．1 答案 D解析每一局中每人有3种选择，故共有9种情况，其中甲赢乙的有3种，故每一局中甲赢乙的概率为13，易知随机变量ξ服从二项分布，即ξ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，13，故E (ξ)＝3×13＝1. 8．已知甲盒中仅有1个球且为红球，乙盒中有m 个红球和n 个蓝球(m ≥3，n ≥3)，从乙盒中随机抽取i (i ＝1,2)个球放入甲盒中．(a )放入i 个球后，甲盒中含有红球的个数记为ξi (i ＝1,2)；(b )放入i 个球后，从甲盒中取1个球是红球的概率记为p i (i ＝1,2)．则( ) A ．p 1>p 2，E (ξ1)<E (ξ2) B ．p 1<p 2，E (ξ1)>E (ξ2) C ．p 1>p 2，E (ξ1)>E (ξ2) D ．p 1<p 2，E (ξ1)<E (ξ2)答案 A解析当i ＝1时，若从乙盒中抽取的1个球为红球，记从甲盒中取1个球是红球的事件为A 1，则P (A 1)＝mm ＋n.若从乙盒中抽取的1个球为蓝球，记从甲盒取1个球是红球的事件为A 2，则P (A 2)＝12×n m ＋n ＝n 2(m ＋n )，而A 1与A 2互斥，则p 1＝P (A 1＋A 2)＝P (A 1)＋P (A 2)＝n ＋2m2(m ＋n )，此时，ξ1的取值为1或2，P (ξ1＝1)＝nm ＋n，P (ξ1＝2)＝mm ＋n，则E (ξ1)＝1×nm ＋n＋2×mm ＋n＝n ＋2mm ＋n；当i ＝2时，若从乙盒中抽取2个球都为红球，记从甲盒中取1个球是红球的事件为B 1，则P (B 1)＝C 2mC 2m ＋n .若从乙盒中抽取的2个球为1个红球和1个蓝球，记从甲盒中取1个球是红球的事件为B 2，则P (B 2)＝23×C 1m C 1nC 2m ＋n .若从乙盒中抽取的2个球都是蓝球，记从甲盒中取1个球是红球的事件为B 3，则P (B 3)＝13×C 2nC 2m ＋n.因为B 1，B 2，B 3互斥，则p 2＝P (B 1＋B 2＋B 3)＝P (B 1)＋P (B 2)＋P (B 3)＝3C 2m ＋2C 1m C 1n ＋C 2n3C 2m ＋n ＝3m 2－3m ＋4mn ＋n 2－n 3(m ＋n )(m ＋n －1)＝(n ＋3m )(m ＋n －1)3(m ＋n )(m ＋n －1)＝3m ＋n 3(m ＋n ).则p 1－p 2＝n 6(m ＋n )>0，即有p 1>p 2.此时，ξ2的取值为1,2,3，P (ξ2＝1)＝C 2nC 2m ＋n ，P (ξ2＝2)＝C 1m C 1n C 2m ＋n ，P (ξ2＝3)＝C 2mC 2m ＋n，则E (ξ2)＝1×C 2n C 2m ＋n ＋2×C 1m C 1n C 2m ＋n ＋3×C 2m C 2m ＋n ＝C 2n ＋2C 1m C 1n ＋3C 2m C 2m ＋n ＝3p 2＝n ＋3mn ＋m ，则有E (ξ1)<E (ξ2)，综上，p 1>p 2，E (ξ1)<E (ξ2)．故选A.9．在等差数列{a n }中，a 4＝2，a 7＝－4，现从{a n }的前10项中随机取数，每次取出一个数，取后放回，连续抽取3次，假定每次取数互不影响，那么在这三次取数中，取出的数恰好为两个正数和一个负数的概率为________．答案625解析由已知可求得通项公式为a n ＝10－2n (n ＝1,2,3，…)，其中a 1，a 2，a 3，a 4为正数，a 5＝0，a 6，a 7，a 8，a 9，a 10为负数，∴从中取一个数为正数的概率为410＝25，为负数的概率为12.∴取出的数恰好为两个正数和一个负数的概率为C 23×⎝ ⎛⎭⎪⎫252×⎝ ⎛⎭⎪⎫121＝625. 10．(2018·浙江省余姚中学模拟)若随机变量ξ的分布列如表所示，则E (ξ)＝________，D (2ξ－1)＝________.答案－14 114解析由题意可知，a ＋14＋a 2＝1，解得a ＝－32(舍去)或a ＝12，E (ξ)＝－1×12＋0×14＋1×14＝－14，由方差的性质，得D (2ξ－1)＝4D (ξ)＝4×⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫－1＋142×12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫0＋142×14＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋142×14＝114. 11．某央企申请在雄安新区建立分公司．若规定每家央企只能在雄县、容城、安新3个片区中的一个片区建立分公司，且申请在其中任一个片区建立是等可能的，每家央企选择哪个片区相互之间互不影响且必须在其中一个片区建立分公司，若向雄安新区申请建立分公司的有4家央企，则恰有2家央企申请在“雄县”片区建立分公司的概率为________．答案827解析方法一依题意，每家央企在“雄县”片区建立分公司的概率为13，去另外两个片区建立分公司的概率为23，这4家央企恰有2家央企在“雄县”片区建立分公司的概率为P ＝C 24⎝ ⎛⎭⎪⎫132⎝ ⎛⎭⎪⎫1－132＝827.方法二所有可能的申请方式有34种，恰有2家央企申请在“雄县”片区建立分公司的方式有C 24·22种，从而恰有2家央企在“雄县”片区建立分公司的概率为P ＝C 24·2234＝827.12．(2018·浙江省“七彩阳光”联盟联考)某人喜欢玩有三个关卡的通关游戏，根据他的游戏经验，每次开启一个新的游戏，这三个关卡他能够通关的概率分别为12，13，14(这个游戏的游戏规则是：如果玩者没有通过上一个关卡，他照样可以玩下一个关卡，但玩该游戏的得分会有影响)，则此人在开启一个这种新的游戏时，他能够通过两个关卡的概率为________，设X 表示他能够通过此游戏的关卡的个数，则随机变量X 的期望为________．答案 14 1312解析随机变量X 的所有可能取值为0,1,2,3.又P (X ＝2)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12×13×14＋12×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13×14＋12×13×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14＝14.P (X ＝0)＝⎝⎛⎭⎪⎫1－12×⎝⎛⎭⎪⎫1－13×⎝⎛⎭⎪⎫1－14＝14，P (X ＝1)＝12×⎝⎛⎭⎪⎫1－13×⎝⎛⎭⎪⎫1－14＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12×13×⎝⎛⎭⎪⎫1－14＋⎝⎛⎭⎪⎫1－12×⎝⎛⎭⎪⎫1－13×14＝1124，P (X ＝3)＝12×13×14＝124.所以，随机变量X 的分布列为随机变量X 的期望E (X )＝0×14＋1×1124＋2×14＋3×124＝1312.。

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第6练计数原理[明晰考情] 1.命题角度：考查两个计数原理的简单应用；二项式定理主要考查特定项、系数和系数和.2.题目难度：中低档难度．考点一两个计数原理要点重组(1)分类加法计数原理中分类方法中的每一种方法都能完成这件事情，类与类之间是独立的．(2)分步乘法计数原理中每步中的某一方法只能完成这件事的一部分，步与步之间是相关联的．1．在100,101,102，…，999这些数中，各位数字按严格递增(如“145”)或严格递减(如“321”)顺序排列的数的个数是( )A．120B．204C．168D．216答案 B解析由题意知本题是一个计数原理的应用，首先对数字分类，当数字不含0时，从9个数字中选三个，则这三个数字递增或递减的顺序可以确定两个三位数，共有2C39＝168(个)，当三个数字中含有0时，从9个数字中选2个数，它们只有递减一种结果，共有C29＝36(个)，根据分类加法计数原理知共有168＋36＝204(个)，故选B.2.如图，正五边形ABCDE中，若把顶点A，B，C，D，E染上红、黄、绿三种颜色中的一种，使得相邻顶点所染颜色不相同，则不同的染色方法共有( )A．30种B．27种C．24种D．21种答案 A解析由题意知本题需要分类来解答，首先A选取一种颜色，有3种情况．如果A的两个相邻点颜色相同，有2种情况；这时最后两个点也有2种情况；如果A的两个相邻点颜色不同，有2种情况；这时最后两个点有3种情况．所以共有3×(2×2＋2×3)＝30(种)方法．3．在1,2,3,4,5,6,7的任一排列a 1，a 2，a 3，a 4，a 5，a 6，a 7中，使相邻两数都互质的排列方式共有( )A ．576种B ．720种C ．864种D ．1152种答案 C解析由题意可知，2,4,6不能相邻，且6与3也不能相邻，所以先排1,3,5,7四个数字，有A44种排法；再插入6，由于1,3,5,7四个数字产生5个空位，所以6只有3个空位可以插，2和4则是从其余4个空位中选择2个空位插入，所以共有A44A13A24＝24×3×12＝864(种)排法，故选C.4．某校开设5门不同的数学选修课，每位同学可以从中任选1门或2门课学习，甲、乙、丙三位同学选择的课没有一门是相同的，则不同的选法共有( )A ．330种B ．420种C ．510种D ．600种答案 A解析由题意知，就甲、乙、丙三位同学总共所选课程数进行分类计数：第一类，甲、乙、丙三位同学总共所选课程数为3时，满足题意的方法共有C35·A 3＝60(种)；第二类，甲、乙、丙三位同学总共所选课程数为4时，满足题意的方法有C45·C 24·A 3＝180(种)；第三类，甲、乙、丙三位同学总共所选课程数为5时，满足题意的方法有C25·C23A22·A 3＝90(种)．因此满足题意的方法共有60＋180＋90＝330(种)．考点二排列组合问题方法技巧 (1)解排列组合问题的三大原则：先特殊后一般，先取后排，先分类后分步．(2)排列组合问题的常用解法：①特殊元素(特殊位置)优先安排法．②相邻问题捆绑法．③不相邻问题插空法．④定序问题缩倍法．5．3名医生和6名护士被分配到3所学校为学生体检，每所学校分配1名医生和2名护士，则不同的分配方法共有( )A ．90种B ．180种C ．270种D ．540种答案 D解析不同的分配方法共有C13C26C12C24＝540(种)，故选D.6．张、王两家夫妇各带一个小孩一起到动物园游玩，购票后排队依次入园．为安全起见，首尾一定要排两位爸爸，另外，两个小孩一定要排在一起，则这六人的入园顺序排法种数为( )A ．12B ．24C ．36D ．48答案 B解析将两位爸爸排在两端，有2种排法；将两个小孩视作一人与两位妈妈任意排在中间的三个位置上，有2A33种排法，故总的排法有2×2×A 3＝24(种)．7．《红海行动》是一部现代海军题材影片，该片讲述了中国海军“蛟龙突击队”奉命执行撤侨任务的故事．撤侨过程中，海军舰长要求队员们依次完成六项任务，并对任务的顺序提出了如下要求：重点任务A 必须排在前三位，且任务E ，F 必须排在一起，则这六项任务的不同安排方案共有( )A ．240种B ．188种C ．156种D ．120种答案 D解析当E ，F 排在前三位时有(A22A22)·A 3＝24(种)方法；当E ，F 排在后三位时，有(A22C13A22)·A 3＝72(种)方法；当E ，F 排3,4位时有(C13A22)·A 2A22＝24(种)方法，∴共有24＋72＋24＝120(种)方案．8．为促进城乡一体化进程，某单位选取了6户家庭到4个村庄体验农村生活，要求将6户家庭分成4组，其中2组各有2户家庭，另外2组各有1户家庭，则不同的分配方案的种数是( )A ．216B ．420C ．720D ．1080答案 D解析先分组，每组含有2户家庭的有2组，则有C26C24A22种分组方法，剩下的2户家庭可以直接看成2组，然后将分成的4组进行全排列，故有C26C24A22×A 4＝1080(种)．考点三二项式定理的应用方法技巧 (1)求二项展开式的特定项的实质是通项公式T k ＋1＝Ck n an －k b k 的应用，可通过确定k 的值再代入求解．(2)二项展开式各项系数和可利用赋值法解决．(3)求二项展开式系数最大的项，一般采用不等式组法：设展开式各项系数分别为A 1，A 2，…，A n ＋1，则最大的系数A k 满足⎩⎪⎨⎪⎧ Ak ≥Ak －1，Ak ≥Ak ＋1.9．(2018·全国Ⅲ)⎝⎛⎭⎪⎫x2＋2x 5的展开式中x 4的系数为( ) A ．10B ．20C ．40D ．80答案 C解析 ⎝ ⎛⎭⎪⎫x2＋2x 5的展开式的通项公式为T k ＋1＝Ck 5·(x 2)5－k ·⎝ ⎛⎭⎪⎫2x k ＝Ck 5·2k ·x 10－3k ，令10－3k ＝4，得k ＝2.故展开式中x 4的系数为C25·22＝40. 10．使⎝⎛⎭⎪⎫3x ＋1x x n (n ∈N *)的展开式中含有常数项的最小的n 为( ) A ．4B ．5C ．6D ．7答案 B解析 T k ＋1＝Ck n (3x )n －k ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x x k ＝Ck n 3n －k 52n k x -，当T k ＋1是常数项时，n －52k ＝0，当k ＝2，n ＝5时满足题意． 11．已知(1＋x )10＝a 0＋a 1(1－x )＋a 2(1－x )2＋…＋a 10(1－x )10，则a 8等于( )A ．－5B ．5C ．90D ．180答案 D解析 ∵(1＋x )10＝[2－(1－x )]10＝a 0＋a 1(1－x )＋a 2(1－x )2＋…＋a 10(1－x )10，∴a 8＝C810·22·(－1)8＝180.12．(1＋x 2)⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －16的展开式中1x 项的系数为( ) A ．－12B ．12C ．－172D ．172答案 C 解析因为⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －16的通项公式为Ck 6⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 6－k (－1)k ＝26－k Ck 6(－1)k x k －6.故展开式中1x 项的系数为 2C56(－1)5＋23C36(－1)3＝－172.故选C.1．在航天员进行的一项太空实验中，要先后实施6个程序，其中程序A 只能出现在第一步或最后一步，程序B 和C 在实施时必须相邻，则在该实验中程序顺序的编排方法共有( )A ．34种B ．48种C ．96种D ．144种答案 C解析由题意知，程序A 只能出现在第一步或最后一步，所以有A22＝2(种)结果．因为程序B 和C 在实施时必须相邻，所以把B 和C 看作一个元素，有A44A22＝48(种)结果，根据分步乘法计数原理可知，共有2×48＝96(种)结果，故选C.2．某公司有五个不同的部门，现有4名在校大学生来该公司实习，要求安排到该公司的两个部门，且每部门安排两名，则不同的安排方案种数为( )A ．60B ．40C ．120D ．240答案 A 解析由题意得，先将4名大学生平均分为两组，共有C24C22A22＝3(种)不同的分法．再将两组安排在其中的两个部门，共有3×A 25＝60(种)不同的安排方法，故选A.3．若(1＋y 3)⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x2y n (n ∈N *)的展开式中存在常数项，则常数项为________．答案－84解析 ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x2y n 展开式的通项为Ck n x n －k ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1x2y k ＝Ck n (－1)k x n －3k y －k ，(1＋y 3)⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x2y n 展开式的通项为Ck n (－1)k x n －3k y －k 和y 3Ck n (－1)k x n －3k y －k ＝Ck n (－1)k x n －3k y 3－k ，若存在常数项则有⎩⎪⎨⎪⎧ n －3k ＝0，－k ＝0(舍)或⎩⎪⎨⎪⎧ n －3k ＝0，3－k ＝0，解得k ＝3，n ＝9，常数项为C39(－1)3＝－84.解题秘籍 (1)解有限制条件的排列组合问题，要按照元素(或位置)的性质进行分类，按事件发生的顺序进行分步．(2)平均分组问题中，平均分成的组，不管它们的顺序如何，都是一种情况．(3)求各项系数和要根据式子整体结构，灵活赋值；对复杂的展开式的指定项，可利用转化思想，通过二项展开式的项解决．1．安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有( )A ．12种B ．18种C ．24种D ．36种答案 D解析由题意可得，其中1人必须完成2项工作，其他2人各完成1项工作，可得安排方式为C13·C 24·A 2＝36(种)，或列式为C13·C 24·C 12＝3×4×32×2＝36(种)．故选D.2．某大型花展期间，安排6位志愿者到4个展区提供服务，要求甲、乙两个展区各安排一个人，剩下两个展区各安排两个人，其中的小李和小王不在一起，则不同的安排方案共有( )A ．168种B ．156种C ．172种D ．180种答案 B解析小李和小王分别去甲、乙展区有A22C24C22＝12(种)方案；小王、小李中有一人去甲、乙展区，有C12C12C14C24C22＝96(种)方案；小王、小李都不去甲、乙展区，有A22A44＝48(种)方案，∴共有12＋96＋48＝156(种)方案．3．将18个参加青少年科技创新大赛的名额分配给3所学校，要求每所学校至少有1个名额且各校分配的名额互不相等，则不同的分配方法种数为( )A ．96B ．114C ．128D ．136答案 B解析由题意可得每所学校至少有1个名额的分配方法种数为C217＝136，分配名额相等有22种(可以逐个数)，则满足题意的方法有136－22＝114(种)．4.⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1x2(1＋x )6的展开式中x 2的系数为( ) A ．15B ．20C ．30D ．35答案 C解析因为(1＋x )6的通项为Ck 6x k ，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1x2(1＋x )6的展开式中含x 2的项为1·C 26x 2和1x2·C 46x 4. 因为C26＋C46＝2C26＝2×6×52×1＝30，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1x2(1＋x )6的展开式中x 2的系数为30.故选C. 5．从5位男实习教师和4位女实习教师中选出3位教师派到3个班实习班主任工作，每班派一名，要求这3位实习教师中男女都要有，则不同的选派方案共有( )A ．210种B ．420种C ．630种D ．840种答案 B解析 (用间接法)9人中选3人到3个班实习班主任工作共A39种结果，其中均为男教师的有A35种，均为女教师的有A34种．∴满足条件的方案有A39－A35－A34＝420(种)．6．已知(1＋ax )(1＋x )5的展开式中x 2的系数为5，则a 等于( )A ．－4B ．－3C ．－2D ．－1答案 D解析因为(1＋x )5的二项展开式的通项为Ck 5x k(0≤k ≤5，k ∈Z )，则含x 2的项为C25x 2＋ax ·C 15x ＝(10＋5a )x 2，所以10＋5a ＝5，a ＝－1.7．(2x －1)10＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 9x 9＋a 10x 10，则a 2＋a 3＋…＋a 9＋a 10的值为( )A ．－20B ．0C ．1D ．20答案 D解析令x ＝1，得a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 9＋a 10＝1，再令x ＝0，得a 0＝1，所以a 1＋a 2＋…＋a 9＋a 10＝0，又因为a 1＝C910×21×(－1)9＝－20，所以a 2＋a 3＋…＋a 9＋a 10＝20.8．登山运动员10人，平均分为两组，其中熟悉道路的有4人，每组都需要2人，那么不同的分配方法种数是( )A ．30B ．60C ．120D ．240答案 B解析先将4个熟悉道路的人平均分成两组，有C24C22A22种，再将余下的6人平均分成两组，有C36C33A22种，然后这四个组自由搭配还有A22种，故最终分配方法有C24C36A22＝60(种)． 9．(2018·浙江)从1,3,5,7,9中任取2个数字，从0,2,4,6中任取2个数字，一共可以组成________个没有重复数字的四位数．(用数字作答)答案 1260解析不含有0的四位数有C25×C 23×A 4＝720(个)．含有0的四位数有C25×C 13×C 13×A 3＝540(个)．综上，四位数的个数为720＋540＝1260.10．(2018·浙江)二项式⎝⎛⎭⎪⎫3x ＋12x 8的展开式的常数项是________．答案 7解析由题意，得T k ＋1＝Ck 8·(3x)8－k ·⎝ ⎛⎭⎪⎫12x k ＝Ck 8·⎝ ⎛⎭⎪⎫12k ·83k x -·x －k ＝Ck 8·⎝ ⎛⎭⎪⎫12k ·843k x -. 令8－4k 3＝0，得k ＝2. 因此T 3＝C28×⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝8×72×14＝7. 11．设m 为正整数，(x ＋y )2m 展开式的二项式系数的最大值为a ，(x ＋y )2m ＋1展开式的二项式系数的最大值为b .若13a ＝7b ，则m ＝________.答案 6解析由题意可知，a ＝Cm 2m ，b ＝Cm 2m ＋1，又∵13a ＝7b ，∴13·(2m )！m ！m ！＝7·(2m ＋1)！m ！(m ＋1)！，即137＝2m ＋1m ＋1，解得m ＝6. 12．公安部新修订的《机动车登记规定》正式实施后，小型汽车的号牌已经可以采用“自主编排”的方式进行编排．某人欲选由A ，B ，C ，D ，E 中的两个不同的字母和1,2,3,4,5中的三个不同数字(三个数字都相邻)组成一个号牌，则他选择号牌的方法种数为________．答案 3600解析三个数字相邻，则共有A35种情况，在A ，B ，C ，D ，E 中选两个不同的字母，共有A25种不同的情况，这两个字母形成三个空，将数字整体插空，共C13种情况，综上所述，此人选择号牌的方法种数为A35A25C13＝60×20×3＝3600.。